1

Les écritures fractionnaires

…. du cycle III au collège

2

Utilisation des écritures fractionnaires

Pour coder le résultat d'une mesure (en cycle 3)

Pour écrire un quotient (en 6e)

Pour exprimer une proportion (en 5e et si nécessaire en 6e )

3

Les différents sens des écritures fractionnaires

L’aspect fraction d’une grandeur unité

L’aspect quotient Nombre Opérateur

4

La fraction est liée au partage,au fractionnement d'une grandeur.

Les fractions d’une grandeur unité au cycle 3

Le partage des longueurs peut se faire : par pliage à l’aide d’un réseau de droites

parallèles équidistantes.

5

Le « guide-âne »

Partage en 5

Partage en 3

13

15

6

73 c’est 7 fois le tiers de l’unité ou 7 fois

13

73 = 7

13 = 2 +

13

Les fractions d’une grandeur unité

au cycle 3

unité

73

13

7

Dénominateurs simples 2, 3, 4, 5 ( et 8, 16, 9,…).

Fractions inférieures ou supérieures à l’unité

Les fractions d’une grandeur unité

au cycle 3

8

L’écriture fractionnaire d’un nombre au cycle 3

Pour donner du sens aux nombres décimaux

7,36 = 7 + 310 +

6100

2 + 110 s’écrit 2,1

9

Pour préparer l’approche du nombre :

52

25

12

5,02

1•Un demi

•Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs

•

L’écriture fractionnaire d’un nombre au cycle 3

:

10

L’écriture fractionnaire d’un nombre en sixième

le produit de ab par b est égal à a

Trois idées fondamentales b 0

le quotient ab est un nombre

le nombre ab peut être approché, si

nécessaire par des nombres décimaux

•

•

•

11

7 fois le tiers de 1 est égale au tiers de 7

Obstacle

13

1

7

713

73

Fraction d’une grandeur unité et nombre

12

Difficultés

73 désigne un nombre et non un calcul à effectuer

73 est le résultat de la division de 7 par 3

L’écriture fractionnaire d’un nombre en sixième

13

L’écriture fractionnaire d’un nombre en sixième

Comment introduire le nombre deux tiers en sixième ?

On souhaite partager un segment de longueur 2 cm en 3 morceaux de même longueur. Quelle est la longueur d’un morceau?

14

2

3

2

3

2

3

2

3

1

3

1

1 1

Comment introduire le nombre deux tiers?

73

73

3

7

3

7

3

7

7

1

16

5 73 de l’aire du disque = 5 7 tiers de l’aire du disque

= (57) tiers de l’aire du disque = 35 tiers de l’aire du

disque = 353 de l’aire du disque

Introduction du produit d’un nombre entier par un quotient de nombres entiers

Les fractions d’une grandeur unité

en sixième

5 73 =

353

17

Masse 7 kg 12 kgPrix 16,25 € ?

127

127

Masse 4 kg 12 kgPrix 15 € ?

3

3

L’écriture fractionnaire en tant qu’opérateur

18

Comment prendre les 23 de 7 ?

On prend le tiers de 7 (on divise 7 par 3).

On obtient 73.

On multiplie ce nombre par 2.

On obtient 273.

On a : 273 = 27

13 = 2

137 =

237

L’écriture fractionnaire en tant qu’opérateur

19

23

34

calcul de 23

34

Une introduction possible du produit de deux nombres en écriture fractionnaire

Les fractions d’une grandeur unité en cinquième

23

34 =

612

20

Utilisation des quotients au cycle central

Justification du calcul du produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire

21

Utilisation des quotients au cycle central

a = 13 et b =

17

Que vaut ab ? On traduit l’énoncé : 3a =1 et 7b =1 Pour faire apparaître ab l’idée est de calculer (3a)(7b). D’après les deux égalités précédentes : (3a)(7b) = 1 Dans un produit de plusieurs nombres on peut supprimer les parenthèses et changer l’ordre des facteurs. On obtient : (3a)(7b) = 21(ab) On a donc : 21(ab) = 1

Par définition du quotient ab =1

21

Conclusion : 13

17 =

121

22

Utilisation des quotients au cycle central

Calcul de 23

47

On sait que 23 = 2

13 et

47 = 4

17

23

47 = 2

134

17

Dans un produit on peut changer l’ordre des facteurs. On obtient : 23

47 = 24

131

7 = 81

21 = 8

21

Conclusion : 23

47 =

821

23

Fraction d’une grandeur unité et nombre

32

de l’aire

32

de la longueur

Le nombre

32

sur la droite graduée

23

Voici les obstacles qu’un élève de collège doit franchir :

Quelles peuvent-être les représentations d’une écriture fractionnaire pour un élève de sixième ?