Chapitre 5 - Cinématique et Dynamique Newtonienne

De l’atome aux galaxies, la matière est en mouvement.La mécanique se donne pour but de décrire le mouvement d’objets appelés systèmes ; l’étude est dans unpremier temps ramenée à celle du mouvement de leur centre d’inertie.

I- Forces et mouvement : Le principe d’inertie

1- Description du mouvement - Avant de décrire un mouvement, il est nécessaire de définir :→ Le système : objet dont on étudie le mouvement → Le référentiel d’étude : objet par rapport auquel on décrit le mouvement. On associe au référentiel unrepère orthonormé ainsi qu’une horloge.

Référentiel terrestre

Centré en un point de la Terre.Ses axes sont liés à la rotation.

Utilisé pour les mouvements surTerre.

Référentiel géocentrique

Origine du repère : centre de laTerre. Axes orientés vers desétoiles suffisamment éloignéspour qu’elles puissent êtreconsidéré comme fixes.

Utilisé pour les mouvementsautour de la Terre (satellites).

Référentiel héliocentrique

Origine du repère : centre dusoleil. Axes orientés vers desétoiles suffisamment éloignéspour qu’elles puissent êtreconsidéré comme fixes.

Utilisé pour les mouvements dusystème solaire.

- Si je dois décrire un mouvement, je dois donner :→ Une indication sur la trajectoire : rectiligne (droite), circulaire (cercle) ou curviligne (courbequelconque) → Une indication sur l’évolution de la vitesse : uniforme (vitesse constante), accéléré (la vitesseaugmente), décéléré (la vitesse diminue)

2- Notion de forces Pour modéliser l’action mécanique d’un objet (acteur de la force) sur un autre objet (receveur de la force),on utilise la notion de force. Une force est représentée par un vecteur dont la norme dépend de l’intensitéde la force.

Les forces régulièrement rencontrées : unité de la force (N = Newton)- La force d’attraction gravitationnelle (entre deux corps de masse M (kg) et M (kg) séparé d’une₁ ₂

distance R(m) ) : F=G×M ₁M ₂

R2 : toujours orienté vers l’objet attracteur.

- Le poids : P=m g : il s’applique au centre de gravité de l’objet et il est toujours vertical, vers le bas.- La réaction du support R (si l’objet est au sol, ou sur une table …) : toujours perpendiculaire au sol,dirigé vers le haut. - La force de frottements f : cette force s’oppose au mouvement, elle est donc opposée au vecteurvitesse.

Ce qu’il faut savoir

3- Le principe d’inertie

Le principe d’inertie, aussi appelé Première loi de Newton dit que : Dans un référentiel Galiléen, le centre d'inertie d'un système isolé (soumis à des forces qui secompensent) est en mouvement rectiligne et uniforme (ou au repos).

Mathématiquement : si ∑ F ext=0 alors l’accélération est nulle a=0 (mouvement rectiligneuniforme

La réciproque de cette loi est vrai : si un système est en mouvement rectiligne uniforme, alors je peux direque les forces qui s’exercent sur celui-ci se compensent.

Exercice 1 : Représenter les forcesOn considère le mouvement rectiligne uniforme d'une luge descendant une pente faisant un angle de30° avec l'horizontale. La masse de la luge et de son pilote est de 80 kg. (g=9,8N/kg)

a) Indiquer le référentiel d'étude ainsi que le système.b) Faire un bilan des forces s'exerçant sur le système. Réaliser un schéma à l’échelle. (1cm →200 N) c) Déterminer la valeur de la force de frottements.

Exercice 2 : Le speeder Bike Un soldat de l’empire enfourche un Speeder Bike se déplace à la surface de la panète Endor. Lesforces s’exerçant sur le système sont représentées sur l’image, on se propre d’en étudier lemouvement.

1- Définir le système étudié. 2- Dans quel référentiel se place-t-on implicitement ici pour étudier le mouvement du système. 3- Quel serait le mouvement du système dans le référentiel d’un autre Speeder Bike se déplaçant àcoté de lui. 4- Attribuer à chacune des forces F ₁ , F ₂ , F ₃ , F ₄ l’action correspondante :

- Poids du speeder bike + soldat- Force de propulsion- Force de frottements- Force de sustentation

5- En argumentant à l’aide de l’image, décrire le mouvement du système.

Exercice 3 : Analyser le mouvement de Jango Fett Dans cette scène de StarWars Episode II, Obiwan se bat avec le booty hunter Jango Fett qui sedéplace à l’aide d’un propulseur. On s’intéresse au système {Jango Fett}.

Applications

Au moment où l’image est arrêtée, deux forces s’exercent surJango Fett. 1- Quelles sont les deux forces s’exerçant sur Jango Fett ? 2- Jango Fett a-t-il un mouvement rectiligne uniforme ?Justifier. 3- Dans la suite de la séquence, les forces subies par Jango Fettrestent strictement les mêmes. Par les trajectoires ci-dessous,lesquelles sont possiblement suivies par Jango Fett à la suitede l’arrêt sur image ?

4- Dans le film, la trajectoire suivie par Jango Fett est la deuxième car il a une vitesse initiale vers lehaut au moment de l’arrêt sur image. Décrire l’évolution de la vitesse de Jango Fett dans la suite dumouvement.

Exercice 4 : Analyser l’orbite de l’Etoile Noire L’étoile Noire, chère aux plans destructeurs de Dark Vador, est en orbite autour de la planète Yavin.On s’intéresse au système {Etoile Noire}.

1- Dans quel référentiel est-il naturel de se placer pour étudier le mouvement de l’Etoile Noire ? 2- Quelle est sa trajectoire dans ce référentiel 3- Quelle(s) force(s) s’exerce(nt) sur le système ? La ou les représenter ci dessus. 4- Y a-t-il une contradiction entre le(s) force(s) représentée(s) et la trajectoire du système.

II- Vitesse, quantité de mouvement et accélération

1- Vitesse du système :

La vitesse moyenne d’un système sur un trajet de distance d est donnée par : v=dΔt

Cependant lorsque le mouvement n’est pas uniforme, la vitesse n’est pas la même à chaque instant,il est donné nécessaire de calculer la vitesse instantanée.

La vitesse instantanée est modélisée par un vecteur. Ce vecteur correspond à la variation du vecteurposition OM en fonction du tempsOn utilise l’outil « dérivée par rapport au temps », par calculer variation. Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire.

Le vecteur vitesse instantanée est donc :

v (t)=d OM (t)

dt

Or la position M du système, en un instant t, est repéré par les coordonnées x, y, et z.

x (t)OG(t ) = y (t)

z (t)

v x (t)=d x( t)

dt

Par conséquent, les coordonnées du vecteur vitesse sont : v (t) = v y(t )=d y (t )

dt

v z(t)=d z (t)

dt

Ce vecteur est aussi noté v (t) = d x (t)

dti +

d y (t)dt

j +d z (t)

dtk

La valeur (norme) de la vitesse est : v=√(v x) ²+(v y) ²+(vz) ²=√(dxdt

)2

+(dydt

)2

+(dzdt

)2

et s'exprime

en m.s-1.

2- La quantité de mouvement :

Le mouvement d’un système et en particulier l’effet d’une force sur un système dépend bienentendu de sa vitesse mais également de sa masse. C’est pourquoi on a défini une grandeurréunissant ces deux paramètres pour étudier les mouvement, il s’agit du vecteur quantité demouvement, noté p .

p=m v unité : kg.m.s-1

3- L’accélération : L’accélération d’un système est intuitivement liée à la variation de la vitesse en fonction du temps, si la vitesse augmente on dit que le système accélère, si la vitesse diminue il décélère et si la vitesse ne varie pas alors l’accélération est nulle.

C’est pourquoi nous utiliserons l’outil dérivée par calculer l’accélération :

a (t)=d v (t )

dt

Ce qu’il faut savoir

ax (t)=d v x( t)

dt

Par conséquent, les coordonnées du vecteur accélération sont : a (t) = a y(t )=d v y (t)

dt

az(t)=d vz(t)

dt

Ce vecteur est aussi noté v (t) = d vx (t)

dti +

d v y(t )

dtj+

d v z(t)

dtk

La valeur (norme) de l’accélération est : a=√ax²+ay ²+az ²=√(d vx

dt)

2

+(d v y

dt)

2

+(d vz

dt)

2

et

s'exprime en m.s-2.

Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner monte à bord d’une capsule surmontée d’un ballon gonflé àl’hélium. Le ballon l’emmènera à 39 000 km d’altitude (1er record battu) d’où il s’élance pour unechute qui durera 9 minutes et demie. Au cours de sa chute, Baumgartner devient le première hommeà franchir le mur du son en chute libre sans moteur.

Document 1 : Evolution de la vitesse de Baumgartner au cours du saut

Document 2 : En chute libre En physique, un corps en chute libre si la seule action mécanique qu’il subit est le poids. C’est enparticulier un chute sans force de frottements. De plus si la chute libre s’effectue sans vitesse initiale et au voisinage de la Terre alors elles’effectue avec une vitesse qui est proportionnelle au temps qui s’écoule. La valeur du coefficientde proportionnalité est d’environ 9,8 (en m.s-2).

1- Vérifier que Baumgartner a bien franchi le mur du son. (vitesse du son : vson = 340m.s-1)2- Le saut de Baumgartner se décompose en trois phases. Dans la phase (1) Que peut-on dire del’évolution de la vitesse ? Comment peut-on qualifier le mouvement de Baumgartner durant cettephase ? Que peut-on dire de l’accélération ?3- Vérifier que Félix Baumgartner est en « chute libre » pendant les 38 premières secondes de sonsaut. 4- Sur un schéma, représenter la (les) force(s) agissant sur Baumgartner, le vecteur vitesse et levecteur accélération de manière qualitative.

Application : L’exploit de Félix Baumgartner

5- Comment expliquer la diminution de vitesse durant la phase (2) ? Que pouvez vous dire del’accélération durant cette phase ?6- Sur la photo du document 1 prise durant la phase (2), représenter les deux forces s’exerçant surBaumgartner en tenant compte du principe d’inertie. Ajouter les vecteurs vitesse et accélération. 7- Comment expliquer la nouvelle diminution de vitesse durant la phase (3) ? 8- Finalement, expliquer pourquoi il était nécessaire de monter aussi haut pour battre ces deuxrecords.

III- Deuxième et troisième loi de Newton :

1- Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique) : Il est évident que la modification de la trajectoire d’un système dépend des forces qui s’exercentcelui-ci et de sa masse. Newton a formulé ce constat dans la deuxième loi de Newton :

Enoncé de la deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique) : Dans unréférentiel galiléen, la somme des forces extérieures Σ F ext qui s'exercent sur un système demasse m est égale à la variation par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement.

Mathématiquement : ∑ F ext=d pdt

Si la masse du système en fonction du temps, cette loi devient :

On sait que p=m v donc

∑ F ext=d m v

dt

∑ Fext=md vdt

+vd mdt

(Rappel en maths : dérivée d’un produit (uv)’ = vu’ + uv’)

Si la masse est constante alors sa dérivée en fonction du temps est nulle par conséquent la loidevient :

∑ F ext=md vdt

Or d vdt

=a donc ∑ F ext=m a

(On peut utiliser directement cette loi dans les exercices où la masse du système est constante. )

2- Troisième loi de Newton : Principe d’action-réaction

Si je frappe fort dans un mur, je me fais très mal à la main. Cela s’explique tout simplement par lefait que lorsque ma main exerce une force sur le mur, le mur exerce la même force, de sens opposéesur ma main. C’est le principe d’action-réaction.

Troisième loi de Newton (principe d’action réaction) : Deux corps A et B en interaction exercent l'un surl'autre des forces opposées et de mêmes normes.

Mathématiquement : Soit F A /B la force exercée par le corps A sur le corps B et F B /A la forceexercée par le corps B sur le corps A :

FA /B=− FB /A

Ce qu’il faut savoir

Exercice 1 : Samuel n’a pas de chance ..

Bien que parti se prélasser au soleil tout l’été en Australie, les grandes vacances de Samuel ne sesont pas bien terminées : il s’est d’abord fait attaquer par un serpent qui a essayé de l’étrangler puisil est tombé en panne en plein désert avec sa Simba 1000…. Que la force soit avec lui car il doit pousser son véhicule jusqu’au garage le plus proche (en lignedroite sur un sol horizontal).

Le but de cette activité est de déterminer et d’exploiter l’équation horaire du véhicule de massem=1,00 tonnes. La voiture est repérée par la position x de son centre d’inertie G sur l’axe (Ox)horizontal et orienté dans le sens du déplacement du véhicule. A t=0s, G est en 0 et la vitesse de la voiture est nulle. La poussée d’Archimède et les frottements de l’air sont négligés. La force horizontale F exercéepar Samuel est supposée constante et de valeur F = 2,23.102N. La force de frottement horizontale f , due au sol, supposée également constante, vaut f = 2,20.102

N.

1- Faire le bilan des forces s’exerçant sur la voiture et les représenter sur un schéma. 2- Quel est le référentiel le plus adapté pour étudier le mouvement de la voiture ? 3- Compléter l’expression vectorielle de la force vec F exercée par Samuel et de la force defrottement vec f

F= × i F= × i ( i est un vecteur unitaire selon l’axe Ox) 4- Écrire l’expression de la deuxième loi de Newton appliquée à la voiture de Samuel. 5- En déduire la valeur de la coordonnée ax de l’accélération. 6- Déterminer l’expression de la vitesse vx de la voiture en fonction du temps t.

Montrer ensuite que l’équation horaire de sa position s’écrit x (t)=12

ax t 2

7- Le garage se situe à une distance d=0,50 km (quelle chance, un garage aussi proche dans ledésert!). Au bout de combien de temps Samuel y-arrive-t-il en poussant sa voiture ?

Exercice 2 : Tony Parker va-t-il faire gagner les Spurs ? Dans le "money time", Tony Parker tente de marquer un panier à 3 points afin de faire gagner son équipe,les San Antonio Spurs.Après s'être débarrassé de tous ces défenseurs, il se retrouve face au panier sur laligne des 3 points (d = 6,75 m du panier).Il sait que son lancer aura une vitesse initiale v0= 8,95 m.s-1 et fera un angle α = 45° avec l'horizontale.

Donnée : Hauteur du panier : H = 3,05 m Masse du ballon : m = 592 g Age de T.P. : 32 ans Taille de T.P. : 1,88 m (Altitude initiale du lancer) g = 9,81 m.s-2

On considérera le champ de pesanteur g=−g e y uniforme.On choisira de se placer dans un repère cartésien (O,x,y) dont l'origine est placée au niveau des mains deT.P. lors du lancer.

1) Déterminer les deux équations horaires puis en déduire l'équation de la trajectoire du ballon y = f(x),en utilisant la méthode donnée page suivante.

Applications

Etape 1 : Choix du référentiel et bilan des forcesEtape 2 : Application du principe fondamental de ladynamique puis projection sur les axes Ox et OyEtape 3 : Détermination du vecteur vitesse instantanée

v (t)Etape 4 : Détermination des équations horaires (vecteurposition OG (t) )Etape 5 : Equation cartésienne de la trajectoire y=f(x)

Interprétation : 2) T.P. a-t-il fait gagner son équipe?3) Quelle est la durée du lancer?4) Quelle est l'altitude maximale du ballon par rapport au sol?

Exercice 3 : Accélération d’un faisceau d’électrons (Extrait Bac Antilles-Guyane 2016) Les rayons X sont produits dans des dispositifs appelés tubes de Coolidge (W.D.COOLIDGE, physicien américain, 1873 -1975).Dans ce dispositif, des électrons émis par un filament chauffé par effet Joule, sont accélérés sous l’effet

d’un champ électrique uniforme . Ce champ est créé par une tension électrique U d’environ 100 kV.Les électrons se dirigent vers une cible de molybdène, métal de symbole Mo, avec laquelle ils interagissent pour produire les rayons X. Se déplaçant à une vitesse très élevée, ces électrons peuvent acquérir une énergie cinétique suffisante pour perturber les couches électroniques internes des atomes de la cible. Ces atomes, dans un état excité, vont alors émettre des rayons X en retournant à leur état fondamental.La figure 1 ci-dessous reprend de manière simplifiée le principe du tube de Coolidge.

Données :· entre le filament et la cible, séparées d’une distance OA = L = 2 cm, règne un champ électrique uniforme

dont la valeur est donnée par la relation : ;· célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 × 108 m.s-1 ;· charge électrique élémentaire : e = 1,60 × 10–19 C ;· masse de l’électron : me = 9,11 × 10–31 kg ;· intensité de la pesanteur : g = 9,81 N.kg-1 ;On se propose d’évaluer l’ordre de grandeur de la vitesse atteinte par les électrons lorsqu’ils arrivent sur la cible en molybdène. On suppose pour cela qu’un électron est émis au point O avec une vitesse nulle à t = 0 s. Il arrive au point

A avec une vitesse .

On considère qu’il est soumis à la force électrique .

1.1 Donner l’expression vectorielle de la force électrique subie par un électron.

Comparer la direction et le sens de la force électrique à ceux du champ électrique .

1.2 Montrer que dans le cas où la tension électrique U appliquée entre le filament et la cible vaut 100 kV, on peut négliger le poids de l’électron devant la force électrique.1.3 Montrer que l’expression de la vitesse de l’électron lorsqu’il arrive au point A est :

Tout élément de la démarche sera valorisé, même si celle-ci n’aboutit pas.1.4 Calculer la vitesse de l’électron lorsqu’il arrive au point A dans le cas où la tension électrique U appliquée entre le filament et la cible vaut 100 kV.

IV- Conservation de la quantité de mouvement :

Perdu dans l’espace, aucune force ne s’exerce sur un vaisseau spatial, c’est un système isolé (sumFext=0 ). Comment le vaisseau spatial fait-il pour avancer ?

La propulsion repose sur le principe de conservation de la quantité de mouvement :

Pour un système isolé, d’après la deuxième loi de Newton : ∑ Fext=0=d pdt

Si la dérivée de la quantité de mouvement par rapport au temps est nulle cela signifie que la quantité de mouvement est constante, on dit qu’elle se conserve.

Exercice 1 : Propulsion du vaisseau spatial :Modélisons le vaisseau spatial par une voiture (customisée en vaisseau) et les gaz éjectés par une Pomme de Terre (Nommée « SuperPatate »). 1- Réaliser un schéma de l’expérience et noter les observations. 2- Quel est le système étudié ? Quel est le référentiel d’étude ? Quelle(s) force(s) s’exerce(nt) sur le système ? 3- Donner l’expression de la quantité de mouvement du système avant le lancer de « SuperPatate ». 4- Donner l’expression de la quantité de mouvement du système après la lancer de « SuperPatate ». 5- En utilisant le principe de conservation de la quantité de mouvement, établir l’expression du vecteur vitesse du vaisseau en fonction des masses et du vecteur vitesse de SuperPatate. Cette expression est-elle en accord avec les observations expérimentales ?

Exercice 2 : Parée au décollage ...(d'après Bac Amérique du Nord 2013)

Le 23 mars 2012, un lanceur Ariane 5 a décollé du port spatial de l'Europe à Kourou (Guyane), emportantà son bord le véhicule de transfert automatique (ATV) qui permet de ravitailler la station spatialeinternationale (ISS). Au moment du décollage, la masse de la fusée est égale à 7,8x102 tonnes, dont environ 3,5 tonnes decargaison : ergols, oxygène, air, eau potable, équipements scientifiques, vivres et vêtements pourl'équipage à bord de l'ATV.On se propose d'étudier le décollage de la fusée. Pour ce faire, on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. A la date t=0s, le système estimmobile. A t=1s, la fusée a éjecté une masse de gaz notée mg, à la vitesse v g . Sa masse est alors notéemf et sa vitesse v f .

Ce qu’il faut savoir

Applications

Données : Intensité de la pesanteur à Kourou : g=9,78N.kg-1

Débit d'éjection des gaz au décollage : D = 2,9.103kg.s-1

Vitesse d'éjection des gaz au décollage : vg = 4,0km.s-1

2.1- Modèle simplifié du décollage : Dans ce modèle simplifié, on suppose que le système {fusée+gaz} est isolé.

a- En comparant la quantité de mouvement du système considéré aux dates t=0s et t=1s, montrer que :

v f =−mg

m f

v g

Quelle est la conséquence de l'éjection de ces gaz sur le mouvement de la fusée ?b- Après avoir montré numériquement que la variation de la masse de la fusée est négligeable au boutd'une seconde après le décollage, calculer la valeur de la vitesse de la fusée à cet instant.

2.2- Etude plus réaliste du décollage : a- En réalité la vitesse vf est très inférieure à celle calculée à la question 2.1.b. Quelle force n'aurait-on pasdû négliger ? On considère désormais le système {fusée}. Il est soumis à son poids F définie par F=−D v g où Dest la masse de gaz éjecté par seconde.b- Montre que le produit (D.vg) est homogène à une force. c- Vérifier par une application numérique que la fusée peut effectivement décoller.