Chapitre 5 Calcul littéral

Identités remarquables

I-RAPPELS

1) Écriture littérale - Identité

On appelle écriture littérale une écriture dans laquelle certains nombres sont remplacés par des lettres.Exemples : A = 3x +2y – 3 B = 2(x+5)(4x-6)

Une identité est une égalité qui est toujours vraie.Exemples : 2×6=4×3 est une identité.

2) Nom d’une expression algébrique

Une expression algébrique porte le nom de la opération effectuée.Exemples : C = (2x+1)(3x+2) est un D=x(2x-3) + x est une

3) Développer et factoriser

Développer un produit, c’est le transformer en une algébriquePour tous nombres a,b,c,d et k :

dernièreproduit

somme

somme

k(a+b) = ka + kb

k(a-b) = ka - kb (a+b)(c-d) =

(a+b)(c+d) = ac +

ac - ad + bc - bdExemples :

3(x+2) =

5(3x-1) =

3x+6

15x-5

(x+1)(3+x) = 3x+x²+3+x = x²+4x+3

(2x+5)(x-2) = 2x²-4x+5x-10 = 2x²+x-10

ad + bc + bd

Factoriser une somme algébrique, c’est l’écrire sous la forme d’un produit

Exemples :

x² + 2x = x ×x + 2x = x(x+2)

20 + 15x = 5×4 + 3×5x = 5(4+3x)

(x+1)(x+3) – (2x-3)(x+1) = (x+1)[(x+3)-(2x-3)] = (x+1)[x+3-2x+3)] = (x+1)(-x+6)

II-IDENTITES REMARQUABLES

1) Carré d’une somme

Propriété :Pour tous nombres a et b :

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Démonstration :

(a+b)² (a+b)(a+b)=

= a² + ab + ba + b²

= a² + ab + ab + b²

= a² + 2ab + b²

Factorisation

Développement

2) Carré d’une différence

Propriété :Pour tous nombres a et b :

(a-b)² = a² - 2ab + b²

Développement

FactorisationDémonstration :

(a-b)² (a-b)(a-b)=

= a² - ab - ba + b²

= a² - ab - ab + b²

= a² - 2ab + b²

Exemples :

(3x+2)² = (3x)² + 2×3x×2 + 2² = 9x² + 12x + 4

16x² + 8x + 1 = (4x)² + 2×4x×1 + 1 =(4x+1)²

Exemples :

(2x-3)² = (2x)² -2×2x×3 + 3² = 4x² - 12x + 9

25x² - 20x + 4 = (5x-2)² (5x)² - 2×5x×2 + 2² =

3) Différence de deux carrés

Propriété :Pour tous nombres a et b :

(a+b)(a-b) = a² - b²

Développement

Factorisation

Exemples :

(x-2)(x+2) = x²-2² = x²-4

16x²-9 = (4x)²-3² = (4x-3)(4x+3)

Démonstration :

(a+b)(a-b) a² - ab + ba - b²=

= a² - ab + ab - b²

= a² - b²