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Picchione Serge 2012-2013

RÉVISION D'ALGÈBRE

1.1 Polynômes et opérations 1 1.2 Identités remarquables et factorisation 6 1.3 Les équations 10 1.4 Systèmes d'équations linéaires 13 1.5 Corrections des exercices 15

Picchione Serge 2012-2013

AVANT-PROPOS

Que contient cette brochure de révision d’algèbre ? Cette brochure se divise en 5 chapitres. Les 4 premiers contiennent chacun de la théorie et des exercices. Le dernier chapitre contient les corrigés complets de tous les exercices. Les 4 premiers chapitres résument toutes les notions d’algèbre étudiées au Cycle d’orientation. C’est donc un document idéal pour faire de la révision pendant les vacances ou tout au long de l’année scolaire. Pourquoi l’algèbre est-elle si importante ? En mathématique, l’algèbre c’est un peu comme l’orthographe en français ! C’est une connaissance de base qui permet de maîtriser par la suite les autres branches des mathématiques. Comment utiliser au mieux cette brochure de révision d’algèbre ?

Cette brochure ne se lit pas comme un roman ; il n’est pas nécessaire de parcourir toutes les pages d’un chapitre pour le comprendre et le maîtriser. Il est donc conseillé de résoudre une partie seulement des exercices d’un chapitre et, suivant le taux de réussite, de lire ou non la théorie qui s’y rapporte. Cette brochure sert avant tout, à combler certaines lacunes et à réactiver les connaissances en algèbre acquises durant les études au Cycle d’orientation.

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BON TRAVAIL !

________________________________________________________________________________ P.S. / 2012-2013 1 Révision d’algèbre

1.1 Polynômes et opérations Définition

Un monôme (à une variable) est le produit d’un nombre réel donné et d’une variable réelle élevée à une certaine puissance entière positive ou nulle.

Exemples 9x3 7x1 by5 -1x2 -4x0 ay3

Remarques a) Le nombre donné qui compose le monôme s’appelle le coefficient du monôme. b) On note : 1 x 1⋅ = , ( )1 x x− ⋅ = − , 0x 1= et 1x x=

Définition

Un polynôme (à une variable) est une somme de monômes (à une variable) . Ces monômes s’appellent les termes du polynôme.

Exemples

a) = +5P( x ) 4 x 7 x - 9 est un polynôme en x composé de 3 monômes. Le degré du polynôme est 5, on note deg(P) = 5 et ses coefficients sont : 5 1 0c =4 , c =7 , c = 9.−

b) = +P( t ) -t 9 est un polynôme en t composé de 2 monômes. Le degré du polynôme est 1, on note deg(P) = 1 et ses coefficients sont : 1 0c = 1 , c = 9.−

Remarque Dans ce cours, un monôme est considéré comme un polynôme à 1 terme. Définition

Le degré n du polynôme, c’est la plus grande puissance de la variable qu’il contient. Notation : deg(P) = n.

Remarques

a) Un polynôme ne possède pas de variable à l’exposant : xP( x ) 2 3x= + n’est pas un polynôme car x2 n’est pas un monôme. 2P( x ) x 3x= + est un polynôme deg( P ) 2= et ses coefficients sont : 2 1 0c =1 , c =3 , c =0 .

b) Un polynôme ne possède pas de variable sous une racine :

P( x ) 5x 2= + n’est pas un polynôme car 125x 5 x 5x= = n’est pas un monôme.

P( x ) 5x 2= + est un polynôme deg( P ) 1= et ses coefficients sont : 1 0c = 5 , c =2 .

c) Un polynôme ne possède pas de division par la variable :

3P( x ) 6x

= + n’est pas un polynôme car 13 13 3xx x

−= = n’est pas un monôme.

xP( x ) 63

= + est un polynôme deg( P ) 1= et ses coefficients sont : 1 01c = , c =63

.

Convention On écrit toujours les termes d’un polynôme (monômes) de telle sorte que les puissances soient présentées dans l’ordre décroissant.

Exemple 2P( x ) 5x 6 x 2= − + + est la forme ordonnée et non pas : 2P( x ) 6x 5x 2= + + .


Somme de deux polynômes (addition)

( )

2 2

2 2

2

3t 2t 1 6t 8t 2 3t 6t 2t 8t 1 2

=( 3 6 )t ( 2 8 )t ( 1 2 )

=

= −

= + + + − +

= + + − + +

+ + − + +

= −

2 2

2

P(t) + Q(t)(3t + 2t + 1) + (6t 8t + 2)

9t 6t + 3 = P + Q (t)

associativité a+(b+c)=(a+b) +ccommutativité a+b=b+amise en évidence ab ac a( b c ) forme réduiteet ordonnée

↓

↓

↓ + = +

↓

Différence de deux polynômes (soustraction)

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2

2 2

2

( 3t 2t 1) ( 6t 8t 2 )3t 2t 1 6t 8t 23t 6t 2t 8t 1 23 6 t 2 8 t 1 2

−

= − − =

= + + + − + −

= + + − + −

= − + + + −

= − + + + −

= − − −

2 2

2

P(t) Q(t) =(3t + 2t + 1) (6t 8t + 2)

3t + 10t 1 = P Q (t)

( )def. de la soustraction a b=a+( b)=a+ 1 b

associativité a+( b+c )=( a+b )+ccommutativité a+b=b+a mise en évidence ab ac a( b c ) forme réduiteet ordonnée

↓ − − − ⋅

↓

↓

↓ + = +

↓

• Le polynôme opposé à 2Q( t ) 6t 8t 2= − + est 2Q( t ) 6t 8t 2− = − + − et réciproquement. Si on change les signes de chaque coefficient d’un polynôme, on obtient le polynôme opposé.

• Par définition, la somme d'un polynôme et de son opposé est égale au polynôme nul ; c'est à dire : ( ) ( )( ) ( )( ) ( )Q t Q t Q t Q t 0+ − = − + = Produit de deux polynômes (multiplication)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 3 3 2

5 3 3

5 3

3t 5t + 1 5t 3t 8t + 1 8t

15t 5t 24t 8t15t ( 5 24)t 8t

⋅ = −

= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ −

= + − −

= + − −

= − − ⋅

2 3

5 3

R(t) T(t) (3t + 1)(5t 8t)

15t 19t 8t = R T (t)

n m n m

(a+b)( c d ) = ac ad bc bddouble distributivité

commutativité ab ba et a a a

mise en évidence ab ac a( b c )

forme réduite et ordonnée

+

+ + + +↓

↓ = =

↓ + = +

↓

Illustration de la distributivité

Remarques

On se souviendra qu'il est naturel d'utiliser les propriétés bien connues des opérations sur les nombres réels (mise en évidence, distributivité, commutativité, associativité, etc.) lorsque l'on multiplie, additionne ou soustrait deux où plusieurs polynômes, car les lettres composant le polynôme représentent des nombres. Lorsqu’on additionne, soustrait ou multiplie deux nombres réels le résultat est un nombre réel ce qui est aussi le cas pour les polynômes !!

5t3

1

-8t

( )1 8t⋅ − 31 5t⋅

2 33t 5t⋅ ( )23t 8t⋅ − 3t2


Exercice 1

a) Exprimer les nombres suivants en utilisant n pour représenter un nombre entier naturel.

Exemple Les nombres pairs : 2n car si n est un entier naturel { }n 0,1,2,3 ,4 ,5 ,.......∈ =

alors { }2n 0,2 ,4,6 ,8 ,10 ,.......∈

1) Les nombres impairs.

2) Les multiples de 3.

3) Les multiples de 5.

4) Les multiples de π.

5) Les multiples de 2π.

6) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 3.



b) Exprimer et simplifier à l’aide des lettres données :

1) le périmètre d’un rectangle de dimensions a et b.

2) l’aire totale des faces d’un parallélipipède rectangle de dimensions x , y et z.

3) la somme des aires de deux disques, l’un de rayon r, l’autre de rayon 2r.

4) la somme des aires de trois carrés de côtés respectifs x , 3x et 9x.

5) le volume total du corps formé de deux cubes, l’un d’arête x et l’autre d’arête y.

6) le périmètre d’un triangle équilatéral de côté 3c.

7) l’aire de la couronne comprise entre deux cercles concentriques de rayon x , respectivement y

(avec y >x).

8) l’aire d’un carré de diagonale d.

9) l’aire d’un losange dont la petite diagonale mesure d et la grande le triple de la petite.

10) la somme des périmètres de deux disques, l’un de rayon r, l’autre de rayon 3r.

11) l’aire totale A des faces de l’objet. 12) le volume V de l’objet.

Remarque : les dessins ne sont pas à l’échelle.

x

x

2 x3

1 x3

1 x3

3x

x

y

2

x

x


Exercice 2

Effectuer les opérations entre les polynômes et donner les coefficients et le degré des polynômes.

1) ( )2x x 1+ −

2) ( )2 22x x 2+ −

3) ( ) ( )223x 4 x 1− + +

4) ( ) ( )2x 9x 14 x 4− + + −

5) ( ) ( )22x 11x 28 2x 2− + − −

6) ( ) ( )2 3z z z z− + −

7) ( ) ( )2 224 t 1 1 t⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

8) ( ) ( )2y 1 y y 1+ + − +

9) ( ) ( )2 2x 1 x x 1− + + +

10) ( ) ( )6 3 3x 3x 9 x 3− + + + −

11) ( )2x 1 x 13 x 23 5− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

12) 23x 4 x 12 4− +

+

13) ( )7 2x 32x 3 14 2

−+ + −

14) ( ) ( ) ( )2 t 1 2t 6 4 t 53

− − + − −

15) ( )2

3x x 12+ −

16) ( ) 1 2 y 6 y 53y 12 8 3

+ −⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

17) x 1 x 2 x 3 x 42 3 4 5− − − −

− + − +

Exercice 3

Effectuer les opérations entre les polynômes et donner les coefficients et le degré des polynômes.

1) ( )2x x 1−

2) ( )2 22x x 2−

3) ( )( )23x 4 x 1− +

4) ( )( )2x 9x 14 x 4− + −

5) ( ) ( )2 3z z z z− −

6) ( ) ( )22t 1 1 t− −

7) ( ) ( )2 2y 1 y y 1+ − +

8) ( ) ( )2x 1 x x 1− + +

9) ( ) ( )6 3 3x 3x 9 x 3+ + −

10) ( ) ( )x 1 x 2x 1− +

11) ( ) ( )2x x 2 2x 3+ −

12) ( ) ( ) ( )1 x 2 x x 3− − −

13) ( )23 t 2 9+ +

14) ( )24 x 2 6− − −


Exercice 4

Considérons les polynômes : = +P( x ) 3x 5 = + +3 2Q( x ) 2x 7 x 3x

= + + + +5 3 2R( x ) x 7 x 4 x 2x 1 =− + +5S( x ) x 7 x 1

Si on veut obtenir uniquement le coefficient du terme de degré 2 du polynôme P( x ) Q( x )⋅ on écrit :

( ) ( )3 2 2 2 2 2P( x ) Q( x ) 3x 5 2x 7 x 3x ... 3x 3x 5 7x ... ... 9x 35x ... ... x ...⋅ = + ⋅ + + = + ⋅ + ⋅ ± = + + ± = + ±44

a) Sans tout calculer / développer, déterminer :

1) le coefficient du terme de degré 3 du polynôme P⋅ Q

2) le coefficient du terme de degré 4 du polynôme Q⋅ R

3) le coefficient du terme de degré 3 du polynôme R⋅ S b) Sans tout calculer / développer, déterminer le degré des polynômes :

1) P+Q 2) R+S 3) P+Q+R 4) P+Q+R+S

5) P− Q 6) R− S 7) P− Q− R 8) P− Q− R− S

9) P⋅ Q 10) R⋅ S 11) P⋅ Q⋅ R 12) P⋅ Q⋅ R⋅ S


1.2 Identités remarquables et factorisation Quels que soient les nombres a, b et x on a :

1) ( )2 2 2x a x 2ax a+ = + +

2) ( )2 2 2x a x 2ax a− = − +

3) ( ) ( ) 2 2x a x a x a+ − = −

4) ( ) ( ) ( )2x a x b x a b x a b+ + = + + + ⋅

Remarques

a) Il n'existe pas d'écriture sous forme d’un produit pour 2 2 x a+ .

b) Ces identités remarquables vont notamment nous permettre de gagner du temps dans le calcul algébrique.

c) Il est important de savoir reconnaître une identité remarquable et d’être capable de passer d’un produit à une somme et réciproquement. Définitions

• Factoriser un polynôme, c’est le transformer en produit de polynômes.

• Développer, c'est transformer les produits de polynômes pour obtenir une somme de termes simples (sommes de monômes).

Exemple

= − + = − −2P( x ) x 10x 25 ( x 5 )( x 5 ) Remarque Factoriser un polynôme et développer sont des transformations réciproques.

Factoriser

Développer


• Méthodes de factorisation

1) ( )2 8x 3x = x 8x 3− − Mise en évidence : ( )ab+ac = a b+c

On met en évidence les symboles apparaissant dans tous les monômes. 2) ( ) ( )− = − ⋅ +2x 2 x 2 x 2 Identité remarquable : ( ) ( )2 2x a = x +a x a− −

3) En général, il est nécessaire d’utiliser la mise en évidence et les identités remarquables plusieurs fois pour factoriser le plus possible un polynôme.

( )( ) ( ) ( ) Polynome factorisé

3 2

2

2

x 10x +25x

= x x 10x+25

ˆ= x x 5 x 5 = x x 5

− ↓

− ↓

− − −

Mise en évidence

Identité remarquable

4) Il existe des polynômes comme + +3 2x x - 26 x 24 qui sont factorisables mais les méthodes étudiées ci-dessus ne sont pas applicables. ( ) ( ) ( ) 3 2x x 26 x 24 x 6 x 1 x 4+ − + = + − −

D’autres méthodes existent pour factoriser certains polynômes, mais elles seront traitées en 1ère et en 2ème année en lien avec les solutions d’une équation polynomiale.

On verra en outre, l’utilité de la factorisation pour la résolution d’équations polynomiales. Remarques

a) Tous les polynômes ne sont pas factorisables ; Les polynômes de degré 1 comme 3x+1 et le polynôme +2x 4 de degré 2 ne sont pas factorisables.

Cependant, le théorème suivant nous donne une information importante :

Tout polynôme se décompose de manière unique en un produit de polynômes du 1er degré et/ou du 2ème degré.

Exemples

= +P(x) 3x 1 deg(P)=1 P( x ) n' est pas factorisable.

+2Q(x)= x 4 deg(Q)=2 Q( x ) n' est pas factorisable.

( ) ( )2R( x ) x 10x 25 x 5 x 5= − + = − − deg(R)=2 R( x ) est factorisable.

( ) ( ) ( ) 3 2S( x ) x x 26 x 24 x 6 x 1 x 4= + − + = + − − deg(S)=3 S( x ) est factorisable.

( ) ( ) ( )4 3 2 2T( x ) x 5x 2x 20x 24 x 6 x 1 x 4= + − + − = + − + deg(T)=4 T( x ) est factorisable.

Nous étudierons dans un prochain chapitre la condition pour qu'un polynôme de degré 2 soit factorisable ou non.

b) On retiendra que, factoriser un polynôme est une transformation sur les polynômes alors que la mise en évidence et les identités remarquables sont deux « outils » pour factoriser un polynôme.

Factorisation

Factorisation

Factorisation


Exercice 5

Factoriser complètement les polynômes.

Exemples : i) ( ) ( )2x 16= x 4 x 4− − +

ii) ( ) ( )2 7 2 5 et 10 2 5x 7 x 10 x 2 x 5 = + = ⋅+ + = + +

iii) ( ) ( ) ( ) ( )22 23x 6 x 3 3 x 2x 1 3 x 1 x 1 3 x 1+ + = + + = + + = + 1) + +2x 14x 49

2) − +2x 16 x 63

3) −2x 9

4) + +24x 20x 25

5) − 24 x

6) + −2x 20x 21

7) − +2x 11x 30

8) − +236 x 24x 4

9) + +22x 26 x 24

10) −29t 49

11) + −2x 2x 63

12) −22x 72

13) − −2x 10x 39

14) − −2x 12 11x

15) −29x 4

16) − +2x 24x 144

17) − +2x 22x 21

18) + +216 x 2x 32

19) + +216t 64t 64

20) + +2v 11v 30

21) − +22a 14a 24

22) − + +212 x 11x

23) − +29x 12x 4

24) + +23x 21x 36

25) − −24x 4x 120

26) − −2x 20x 21

27) + +2x 16 x 63

28) + +2x 21 22x

29) − +2x 18x 81

30) − −2x 16 x 36

31) −25x 125

32) − +2x 20x 36

33) + +236 x 24x 4

34) + −2x 16 x 36

35) + +2x 20x 36

36) + +2x 39 16 x

37) − +2x 13x 12

38) − + 210x 39 x

39) − − +22x 2x 60

40) + −2x 10x 39

41) − +2x 6 x 9

42) −236 x 16

43) −24x 1

44) − − −22x 26 x 24

45) − −2y y 12

46) −227z 12

47) + +216t 24t 9

48) − + −23u 18u 27

49) − 21 4x

50) ( ) ( )+ +2x 7 2x 7

51) − +2x 4x 4

52) ( )+x x 1

53) +2x 100

54) −2x 100

55) ( ) ( )+ +2x 1 3x 100

56) ( ) ( )+ +x 10 x 20

57) +2x 1

58) − + +2x 4x 32

59) + +24z 8z 4

60) +24x 25

61) − +26 x 12x 6

62) − +212 y 12 y 3

63) − +245t 30t 5

64) + +218x 12x 2

65) − −24x 16 x 84

66) − −22x 20x 48

67) + +22x 18x 40

68) + −23x 3x 60

69) + +24x 28x 48

70) − −2ax 4ax 5a

71) − +22cx 18cx 28c

72) − −23kx 12kx 63k

73) − −2 2 2 24m x 40m x 96m

74) −2 2 23a x 3a x


Exercice 6

Développer à l’aide des identités remarquables.

Exemples : i) ( ) ( )2 2 2 22x 3 2x 2 2x 3 3 4x 12x 9+ = + ⋅ ⋅ + = + +

ii) ( ) ( ) 2 2 2y 8 y 8 y 8 y 64+ − = − = −

1) ( )2x 2+

2) ( )2x 3−

3) ( )2y 5+

4) ( ) ( )y 7 y 7+ −

5) ( )( )2 2x 1 x 1+ −

6) ( )23y 3−

7) ( ) ( )4z 4 4z 4+ −

8) ( )226b 1+

9) ( )24m 3+

10) ( )25s 2−

11) ( )222a 1−

12) ( ) ( )2 2x 5 x 5+ −

13) ( )23 3x 2+

14) ( ) ( )x 2 x 12+ −

15) ( ) ( ) ( )( )2 4a 1 a 1 a 1 a 1+ − + −

16) ( )( )2 2a 6 a 4+ +

17) 217a

2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

18) ( )( )2 2ax 1 ax 19− −

19) ( )24 44a 2−

20) ( ) ( )2 26ax a 6ax a− +

21) ( ) ( )9z 2 9z 2− +

22) 1 110x 10x10 10

⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

23) ( ) ( ) ( )2x 1 x 1 x 1− + +

24) ( ) ( ) ( )( )4 2x 2 x 2 x 16 x 4+ − + +

25) ( ) ( )( )2 2 4x 1 x 1 x 8− + −

26) 2 21 1 1a 3 a 3 a 32 2 4

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

27) ( ) ( ) ( )2 20,1w 5 0,1w 5 0,01w 5+ − +

Exercice 7

a) Développer les produits suivants et compléter le tableau des coefficients s’y rattachant : 0

1

2 2 2

3

4

5

6

( a b ) 1 1( a b ) a b 1 1( a b ) a 2ab b 1 2 1( a b ) ......... ............( a b ) ......... ............( a b ) ......... ............( a b ) .......... ............

+ =

+ = +

+ = + +

+ =

+ =

+ =

+ =

b) Y a-t-il une règle pour déterminer les puissances et les coefficients des termes de ces sommes ? Si oui, laquelle ?


1.3 Les équations Considérons l'égalité : −6x 7 = 2x + 5 . Pour quelles valeurs de x cette égalité est-elle vérifiée ?

C'est le genre de problème que nous allons résoudre dans ce chapitre. L'égalité −6x 7 = 2x + 5 est une équation.

Définition

Une équation est l’énoncé d’une égalité entre deux expressions algébriques, dans lesquelles figurent une ou plusieurs variables qui prennent le statut d’inconnues.

• Résolution d’une équation Exemple

6 x 7 2x 5− = + donnée

6 x 7 2x 5⇔ − = ++ 7 + 7 additionner +7

6 x 2x 12⇔ = + réduire

6 x 2x 12⇔ = +- 2x - 2x soustraire 2x

4x 12⇔ = réduire

4x 12⇔ =

4 4 diviser par 4

x 3⇔ = réduire

Contrôle

x 3= dans le membre de gauche : 6 7 18 7 11⋅ − = − =3

x 3= dans le membre de droite : 2 5 6 5 11⋅ + = + =3

Conclusion : x 3= est l’unique solution de l’équation. On note : S { 3}=

Le principe général utilisé pour résoudre une équation, c'est remplacer l’équation donnée par des équations équivalentes de plus en plus simples jusqu'à isoler l'inconnue.

6x−7 2x+5=

+7 +7 =

−2x −2x=

/4 /4 =


• Principes d’équivalence pour résoudre une équation Pour passer d'une équation équivalente à une autre il faut respecter les principes suivants : Principe 1) On peut additionner (ou soustraire) une même expression aux deux membres d’une équation. Principe 2)

On peut multiplier (ou diviser, mais pas par 0) par une même expression ne contenant pas l’inconnue les deux membres d’une équation. Remarques 1) Les principes d’équivalences se résument de la manière suivante :

Effectuer les mêmes opérations à droite et à gauche de l’égalité.

L’illustration souvent retenue est "une balance qui doit rester en équilibre".

2) Ne pas multiplier ou diviser les deux membres de l’équation par l’inconnue .

Exemples

a) x 1 2+ = ⇔ x( x 1) 2x+ = multiplication par l’inconnue ⇒ ajoute une solution

b) 2x x 0+ = ⇔2x x 0x x+

= ⇔ x 1 0+ = division par l’inconnue ⇒ perte d’une solution

c) 2x 3x= ⇔2x 3xx x= ⇔ 2 3= division par l’inconnue ⇒ l’égalité n’est plus vraie

et perte d’une solution

A B = A + C B + C= ⇔

A B = C⋅ A C⋅ B= ⇔


Exercice 8

Résoudre les équations polynomiales du 1er degré suivantes (réponses en valeurs exactes). Indications : Lors de la résolution des équations doivent figurer toutes les étapes de calculs (addition, soustraction, multiplication, etc..) et le contrôle des solutions. 1) 2x 4 6 x 14− = −

2) 3 t 7t 8− = −

3) 6 x 0=

4) 10 y 7 10 y 7+ = +

5) 2 y 8 2 y= +

6) ( ) ( )3 t 7 5 3 t 2t 6− = − + +

7) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 x 2 x 1 6 3x 2 0− + + − − − − =

8) 2 2 x 3 4 2 x 3− = +

9) R 3 R 2π − = +

10) 0,25R 2 0,75R 5+ = +

11) 2 214x 8x 2 14x 6− − = −

12) x 6 x 36 4− −

=

13) ( )3 R 5 6R7 4−

=

14) x x3 16 4− = −

15) t 13t 5t 1529 10 18+ + =

16) ( )4 x x 3 5x 1x 44 2 6+ − +

− − = −

17) 3 ax b= + (inconnue : x )

18) ( ) ( )a c x b d x− = − (inconnue : x)

19) x 1 2x 4 x 3x7 2 21− − −

− + =

20) ( )3x 18 3 x 6= + −

21) ( ) ( )224 x 49 61 2x 5− + = −

22) ( ) ( ) ( ) ( )t 1 t 2 t 3 t 4 10+ + = − − +

23) x 1 1 x 3 7 x x 3 54 2 2 5 2 8− − − +⎛ ⎞− − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

24) 2x 1 5x 2 x 113 5 3− + +

− = −

Exercice 9

Résoudre ces équations mentalement.

1) 2( x 1) x+ = 2) 3x 1 2x+ = 3) 100 450 2x= − 4) x 2x 5− =−

5) 4x 1 82+

= 6) 5( x 1) 7 x 5 2x+ = + − 7) 7 x 21 0− = 8) 1 2x 5− =

Exercice 10

Un étudiant a obtenu en français les notes suivantes : 3.5 , 4.5 , 4.5 , 3 , 2.5 et 5.5. Quelle note doit-il encore avoir pour obtenir une moyenne de 4.5 ? Exercice 11

Yannick possède des CD : un quart est constitué de CD de rock, deux tiers de CD de rap et tous les autres sont des CD de techno. Yannick a quatre CD de techno. Combien Yannick possède-t-il de CD au total ? Exercice 12

Actuellement, l’âge de M. Dupont est le double de celui de Frédéric. Dans cinq ans, ils auront à eux deux 70 ans. Quel est l’âge de M. Dupont ?


1.4 Systèmes d'équations linéaires Définition

On appelle système d'équations un ensemble d'équations qui doivent être résolues simultanément. Les équations composant le système peuvent comporter plusieurs inconnues.

Exemples

a) 2x y 4x 2 y 2

− =⎧⎨ + =⎩

et x y 5x y 1+ =⎧

⎨ =⎩ sont des systèmes de 2 équations à 2 inconnues.

b) 2x y 4x 2 y 2x y 7

− =⎧⎪ + = −⎨⎪ + =⎩

est un système de 3 équations à 2 inconnues.

Remarque On signale un système d'équations par une accolade placée à gauche des équations. Résolution par « triangulation » d’un système d’équations linéaires 2 x 2 Exemple

1

2

2x y 4 Lx 2 y 2 L

− =⎧⎨ + =⎩

Donnée :

Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues.

1 1

1 2 2

2x y 4 L L

5x 10 2 L L L

⎧ − = =⎪⇔ ⎨= ⋅ + =⎪⎩

On décide de conserver la première équation et d’éliminer l’inconnue y dans la deuxième équation.

Nous avons triangulé le système d’équations linéaires.

2x y 4x 2− =⎧

⇔ ⎨ =⎩

On peut trouver facilement la solution d’un système triangulé.

En effet, la deuxième équation d’un tel système est une équation à une inconnue en x.

y 0x 2=⎧

⇔ ⎨ =⎩

On substitue maintenant dans la première équation la valeur de x et on trouve y.

La première équation d’un tel système est une équation à une inconnue en y.

2 2 0 4 ok !2 2 0 2 ok !⋅ − =⎧

⎨ + ⋅ =⎩ Vérification.

( ){ }S 2;0= Le système admet une solution, qui est un couple de nombres.

Définition

Un système d’équations linéaires est dit triangulé si chaque équation de ce système possède une inconnue de moins que la précédente, la dernière équation ne possédant qu’une seule inconnue.


Exercice 13

Résoudre les systèmes d’équations linéaires 2×2 suivants en utilisant la méthode de la « triangulation ». (Réponses en valeurs exactes).

Lors de la résolution des systèmes d'équations doivent figurer : − toutes les étapes de calculs. − le contrôle des solutions.

1) 7x 12y 35x 8y 31+ =⎧

⎨− + =⎩ 2)

x y 1613x 11y 16

+ =⎧⎨ − =⎩

3) 11a 9b 98

6a b 18− = −⎧

⎨ − − =⎩

4) 10x 7y 10520x 14 y 47

+ = −⎧⎨ + = −⎩

5) 4x y 28x+2y 4− + = −⎧

⎨− = −⎩ 6)

5x+2y 354x+3y 21

− =⎧⎨− =⎩

7) 11x 8y 59

5x 3y 13+ = −⎧

⎨ − =⎩ 8)

15a 14b 273a 14b 45

+ =⎧⎨ − = −⎩

9) 7u v 18u+3v 12− = −⎧

⎨ = −⎩

Exercice 14

Un champ rectangulaire a un périmètre de 632 mètres. Calculer ses dimensions sachant que la longueur mesure 24 mètres de plus que sa largeur. Exercice 15

La recette d'un cinéma s'élève à 13'450 F ; les places sont à 30 F et à 40 F. 30 personnes ont mangé une glace et 50 personnes du popcorn. Sachant qu'il y a eu 400 places vendues, déterminer le nombre de places de chaque espèce. Exercice 16

Un entrepreneur doit déplacer 460 tonnes de terre : il dispose de 2 camions, l'un pouvant transporter 5 tonnes et l'autre 3 tonnes ; il désire effectuer 100 transports. Combien de fois doit-il utiliser chaque camion ? Exercice 17

Un diététicien hospitalier veut préparer un plat de 10 unités de viande et de légume qui donnera 7 g de protéines. Si une unité de légume fournit 0,5 g de protéines et une unité de viande 1 g de protéines, combien de chaque produit doit-il utiliser? Exercice 18

La largeur d’une piscine rectangulaire est égale au 3/4 de sa longueur. Cette piscine est entourée d’une allée large de 3 m, d’une aire de 246 m2 . Calculer les dimensions de la piscine.


1.5 Corrections des exercices Correction Exercice 1 a)

1) Les nombres impairs : 2n 1+ car si n est un entier naturel { }n 0,1,2,3,4,...∈ alors { }2n 1 1,2,3,5,7,9,...+ ∈

2) Les multiples de 3 : 3n

3) Les multiples de 5 : 5n

4) Les multiples de π : nπ

5) Les multiples de 2π : 2 nπ

6) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 3 : 10n 3+ ( )10n multiple de 10=

7) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 23 : 100n 23+ ( )100n multiple de 100=

8) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 570 : 1000n 570+

( )1000n multiple de 1000= b)

1) 2a 2b+ 2) 2xy 2xz 2yz+ +

3) 25 rπ 4) 291x

5) 3 3x y+ 6) 9c

7) 2 2y xπ π− 8) 2d

2

9) 23 d2

10) 2 r 2 3r 2 r 6 r 8 rπ π π π π+ = + =

11) 2 1 2 2 1 1 2 1A x x x x x x x 2 x x x x3 3 3 3 3 3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + + + + + + ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) 2 2 2 2 2 22 2 4 8 2 4 14x 4x x x x x x x3 3 3 3 3 3 3

⎛ ⎞= ⋅ + + = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

12) ( ) ( ) 2 2 2 2 2V 2 3x x y x 2 y 2x y 6 x y 2xy 2x y 4x y 2xy= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = + − = +


Correction Exercice 2 1) ( )2 2x x 1 x x 1+ − = + −

2 1 0Coeff : c 1 ;c 1 ;c 1 deg( P ) 2= = = − =

2) ( )2 2 2 2 22x x 2 2x x 2 3x 2+ − = + − = −

2 0Coeff : c 3 ; c 2 deg( P ) 2= = − =

3) ( ) ( )22 2 2 23x 4 x 1 3x 4 x 2x 1 4x 2x 3− + + = − + + + = + −

2 1 0Coeff : c 4 ;c 2 ;c 3 deg( P ) 2= = = − =

4) ( ) ( )2 2 2x 9x 14 x 4 x 9x 14 x 4 x 8x 10− + + − = − + + − = − +

2 1 0Coeff : c 1 ;c 8 ;c 10 deg( P ) 2= = − = =

5) ( ) ( ) ( )22 2 2 2x 11x 28 2x 2 x 11x 28 4x 8x 4 3x 3x 24− + − − = − + − − + = − − +

2 1 0Coeff : c 3 ;c 3 ;c 24 deg( P ) 2= − = − = =

6) ( ) ( )2 3 2 3 3 2z z z z z z z z z z− + − = − + − = − +

3 2Coeff : c 1 ;c 1 deg( P ) 3= − = =

7) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 4 2 2 4 24 t 1 1 t 4 t 2t 1 1 2t t 4t 12t 8t⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − = − + − − + = − +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

4 2 1Coeff : c 4 ;c 12 ;c 8 deg( P ) 4= = − = =

8) ( ) ( )2 2 2y 1 y y 1 y 1 y y 1 y 2+ + − + = + + − + = +

2 0Coeff : c 1 ; c 2 deg( P ) 2= = =

9) ( ) ( )2 2 2 2 2x 1 x x 1 x 2x 1 x x 1 2x x 2− + + + = − + + + + = − +

2 1 0Coeff : c 2 ;c 1 ;c 2 deg( P ) 2= = − = =

10) ( ) ( )6 3 3 6 3 3 6 3x 3x 9 x 3 x 3x 9 x 3 x 2x 12− + + + − = − − − + − = − − −

6 3 0Coeff : c 1 ;c 2 ;c 12 deg( P ) 6= − = − = − =

11) ( )2x 1 x 1 2x 1 x 13 x 2 3 x 23 5 3 3 5 5− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − = − − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 1 1 2 1 1 1 10 3 15 5 75 3x x x 3 2 1 x 5 x3 5 3 5 3 5 3 5 15 15

+ + + +⎛ ⎞= + + − − − − = + + − − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

28 83x15 15

= − 1 028 83Coeff : c ;c deg( P ) 115 15

= = − =


12) 2 23x 4 x 1 3x 42 4 2− +

+ = −

2

22 2

1

x 1 3 1 1 3 1 8 1x x 2 x x4 4 2 4 4 2 4 4

− ++ + = + − + = + +

23 1 7x x2 4 4

= + − 2 1 03 1 7Coeff : c ;c ;c deg( P ) 22 4 4

= = = − =

13) ( )7 2x 3 7 2 7 3 22x 3 1 x4 2 4 4

− ⋅ ⋅+ + − = + +

x2

3 1412

− − =

7

42

21 3x x 14 2

+ + − −

7 21 3 7 21 3 7 2 21 6 4 9 11x x 1 1 x 1 x x2 4 2 2 4 2 2 4 2 4

+ − −⎛ ⎞= + + − − = + + − − = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 09 11Coeff : c ;c deg( P ) 12 4

= = =

14) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 2t 1 2t 6 4 t 5 t 2t 6 4t 20 t 2t 4t 6 203 3 3 2 3

− − + − − = − − − − + = − − − − +

2 2 16 406 t 14 t3 3 3 3

⎛ ⎞= − − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 016 40Coeff : c ;c deg( P ) 13 3

= − = =

15) ( ) ( )( )2 2 2

3 2 3 2 3 2x x x 5x 1 x 2x 1 x 1 x 3x 3x 1 x x 3x 12 2 2 2+ − = + − + − = + − + + = − + +

3 2 1 05Coeff : c 1 ;c ;c 3 ;c 1 deg( P ) 32

= = − = = =

16) ( ) 1 2 y 6 y 5 23y 1 3y 12 8 3

+ −⎛ ⎞− − − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

y 6+3

2y 5 y 3 y 53y 12 3 8 8 6 68−

+ = − − − + −⋅⋅

1 1 3 5 1 1 3 5 72 3 4 24 9 203y y y 1 3 y 1 y8 6 8 6 8 6 8 6 24 24

− + + +⎛ ⎞= − + − − − = − + − − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

73 53y24 24

= − 1 073 53Coeff : c ;c deg( P ) 124 24

= = − =

17) ( ) ( )x 1 x 3x 1 x 2 x 3 x 4 x 2 x 42 3 4 5 2 3 4 5

− − − −− − − − − −− + − + = + + +

( ) ( ) ( ) ( )30 x 1 20 x 2 15 x 3 12 x 4x 1 x 2 x 3 x 42 3 4 5 60

− + + − + − + + −− + − − + −= + + + =

30x 30 20x 40 15x 45 12x 48 13x 13 13 13x60 60 60 60

− + + − − + + − −= = = −

1 013 13Coeff : c ;c deg( P ) 160 60

= = − =


Correction Exercice 3

1) ( )2 3 2x x 1 x x− = −

3 2Coeff : c 1 ;c 1 deg( P ) 3= = − =

2) ( )2 2 4 22x x 2 2x 4x− = −

4 2Coeff : c 2 ;c 4 deg( P ) 4= = − =

3) ( ) ( )2 3 23x 4 x 1 3x 3x 4x 4− + = + − −

3 2 1 0Coeff : c 3 ;c 3 ;c 4 ;c 4 deg( P ) 3= = = − = − =

4) ( ) ( )2 3 2 2 3 2x 9x 14 x 4 x 4x 9x 36 x 14x 56 x 13x 50x 56− + − = − − + + − = − + −

3 2 1 0Coeff : c 1 ;c 13 ;c 50 ;c 56 deg( P ) 3= = − = = − =

5) ( ) ( )2 3 3 5 2 4 5 4 3 2z z z z z z z z z z z z− − = − − + = − + + −

5 4 3 2Coeff : c 1 ;c 1 ;c 1 ;c 1 deg( P ) 5= − = = = − =

6) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2t 1 1 t t 1 1 2t t t− − = − − + = 3 4 22t t 1 2t t− + − + − 4 3t 2t 2t 1= − + −

4 3 1 0Coeff : c 1 ;c 2 ;c 2 ;c 1 deg( P ) 4= = − = = − =

7) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2y 1 y y 1 y 2 y 1 y y 1+ − + = + + − +

4 3 2 3 2 2 4 3y y y 2 y 2 y 2 y y y 1 y y y 1= − + + − + + − + = + + +

4 3 1 0Coeff : c 1 ; c 1 ;c 1 ; c 1 deg( P ) 4= = = = =

8) ( ) ( )2 3 2x 1 x x 1 x x− + + = + x+ 2x− x− 31 x 1− = −

3 0Coeff : c 1 ;c 1 deg( P ) 3= = − =

9) ( )( )6 3 3 9 6x 3x 9 x 3 x 3x+ + − = − 63x+ 39x− 39x+ 927 x 27− = −

9 0Coeff : c 1 ;c 27 deg( P ) 9= = − =

10) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 2 3 2x 1 x 2x 1 x x 2x 1 2x x 2x x 2x x x− + = − ⋅ + = + − − = − + +

3 2 1Coeff : c 2 ;c 1 ;c 1 deg( P ) 3= − = = =

11) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 4 3 3 2 4 3 2x x 2 2x 3 x 2x 2x 3 2x 3x 4x 6 x 2x x 6 x+ − = + ⋅ − = − + − = + −

4 3 2Coeff : c 2 ;c 1 ;c 6 deg( P ) 4= = = − =

12) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2 3 21 x 2 x x 3 2 x 2x x x 3 x 3x 2 x 3 x 6 x 11x 6− − − = − − + − = − + − = − + −

3 2 1 0Coeff : c 1 ;c 6 ;c 11 ;c 6 deg( P ) 3= = − = = − =


13) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 t 2 9 3 t 2 t 2 9 3 t 4t 4 9 3t 12t 21+ + = + + + = + + + = + +

2 1 0Coeff : c 3 ;c 12 ;c 21 deg( P ) 2= = = =

14) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 24 x 2 6 4 x 2 x 2 6 4 x 4x 4 6 4x 16 x 22− − − = − − − − = − − + − = − + −

2 1 0Coeff : c 4 ;c 16 ;c 22 deg( P ) 2= − = = − = Correction Exercice 4 a)

1) 2 3 3 3 3( P Q )( x ) 3x 7 x 5 2x ........ 21x 10x ........ ..... 31 x ........⋅ = ⋅ + ⋅ ± = + ± = + ±

2) 3 2 2 3 4 4 4( Q R )( x ) ...... 2x 2x 7x 4x 3x 7x ........ ..... 4x 28x 21x ........⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ ± = + + + ± =

4..... 53 x ........= + ±

3) 3 2 3 3 3( R S )( x ) ...... 7 x 1 4x 7 x ........ ..... 7 x 28x ........ ..... 35 x ........⋅ = + ⋅ + ⋅ ± = + + ± = + ±

b) On identifie à chaque fois le terme dont le degré est le plus élevé :

1) 3( P Q )( x ) 2x ......+ = ± deg( P Q ) 3+ =

2) 5( R S )( x ) x+ = 5x− 37 x ......+ ± deg( R S ) 3+ =

3) 5( P Q R )( x ) x ......+ + = ± deg( P Q R ) 5+ + =

4) 3( P Q R S )( x ) 9x .....+ + + = ± deg( P Q R S ) 3+ + + =

5) 3( P Q )( x ) 2x .....− = − ± deg( P Q ) 3− =

6) 5( R S )( x ) 2x ......− = ± deg( R S ) 5− =

7) 5( P Q R )( x ) x ........− − = − ± deg( P Q R ) 5− − =

8) 3( P Q R S )( x ) 9x .......− − − = − ± deg( P Q R S ) 3− − − =

9) 4( P Q )( x ) 6 x ........⋅ = ± deg( P Q ) 4⋅ =

10) 10( R S )( x ) x ........⋅ = − ± deg( R S ) 10⋅ =

11) 9( P Q R )( x ) 6 x .......⋅ ⋅ = ⋅ ± deg( P Q R ) 9⋅ ⋅ =

12) 14( P Q R S )( x ) 6 x .......⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ± deg( P Q R S ) 14⋅ ⋅ ⋅ =


Correction Exercice 5 1) ( )+ + = + 22x 14x 49 x 7 2) ( ) ( )− + = − −2x 16 x 63 x 9 x 7

3) ( ) ( )− = + −2x 9 x 3 x 3 4) ( )+ + = + 224x 20x 25 2x 5

5) ( ) ( )− = + −24 x 2 x 2 x 6) ( ) ( )+ − = + −2x 20x 21 x 21 x 1

7) ( ) ( )− + = − −2x 11x 30 x 5 x 6 8) ( )− + = − 2236 x 24x 4 4 3x 1

9) ( ) ( )+ + = + +22x 26 x 24 2 x 1 x 12 10) ( ) ( )− = + −29t 49 3t 7 3t 7

11) ( ) ( )+ − = + −2x 2x 63 x 9 x 7 12) ( ) ( )− = + −22x 72 2 x 6 x 6

13) ( ) ( )− − = + −2x 10x 39 x 3 x 13 14) ( ) ( )− − = + −2x 12 11x x 1 x 12

15) ( ) ( )− = + −29x 4 3x 2 3x 2 16) ( )− + = − 22x 24x 144 x 12

17) ( ) ( )− + = − −2x 22x 21 x 1 x 21 18) ( )+ + = + 2216 x 2x 32 2 x 4

19) ( )+ + = + 2216t 64t 64 16 t 2 20) ( ) ( )+ + = + +2v 11v 30 v 6 v 5

21) ( ) ( )− + = − −22a 14a 24 2 a 4 a 3 22) ( ) ( )− + + = + −212 x 11x x 12 x 1

23) ( )− + = − 229x 12x 4 3x 2 24) ( ) ( )+ + = + +23x 21x 36 3 x 3 x 4

25) ( ) ( )− − = − +24x 4x 120 4 x 6 x 5 26) ( ) ( )− − = − +2x 20x 21 x 21 x 1

27) ( ) ( )+ + = + +2x 16 x 63 x 7 x 9 28) ( ) ( )+ + = + +2x 21 22x x 1 x 21

29) ( )− + = − 22x 18x 81 x 9 30) ( ) ( )− − = − +2x 16 x 36 x 18 x 2

31) ( ) ( )− = + −25x 125 5 x 5 x 5 32) ( ) ( )− + = − −2x 20x 36 x 18 x 2

33) ( )+ + = + 2236 x 24x 4 4 3x 1 34) ( ) ( )+ − = + −2x 16 x 36 x 18 x 2

35) ( ) ( )+ + = + +2x 20x 36 x 18 x 2 36) ( ) ( )+ + = + +2x 39 16 x x 3 x 13

37) ( ) ( )− + = − −2x 13x 12 x 1 x 12 38) ( ) ( )− + = + −210x 39 x x 13 x 3

39) ( ) ( ) ( )− − + = − + −22x 2x 60 2 x 6 x 5 40) ( ) ( )+ − = + −2x 10x 39 x 13 x 3

41) ( )− + = − 22x 6 x 9 x 3 42) ( ) ( )− = + −236 x 16 4 3x 2 3x 2

43) ( ) ( )− = + −24x 1 2x 1 2x 1 44) ( ) ( ) ( )− − − = − + +22x 26 x 24 2 x 1 x 12

45) ( ) ( )− − = − +2y y 12 y 4 y 3 46) ( ) ( )− = + −227z 12 3 3z 2 3z 2

47) ( )+ + = + 2216t 24t 9 4t 3 48) ( )− + − = − − 223u 18u 27 3 u 3

49) ( ) ( )− = + −21 4x 1 2x 1 2x 50) ( ) ( )+ +2x 7 2x 7 Déjà factorisé


51) ( )− + = − 22x 4x 4 x 2

52) ( )+x x 1 Déjà factorisé

53) 2 2 2x 100 x 10+ = + Pas factorisable car de la forme +2 2x a

54) ( ) ( )− = − +2x 100 x 10 x 10

55) ( ) ( )+ +2x 1 3x 100 Déjà factorisé

56) ( ) ( )+ +x 10 x 20 Déjà factorisé

57) 2 2 2x 1 x 1+ = + Pas factorisable car de la forme +2 2x a

58) ( ) ( ) ( )− + + = − + −2x 4x 32 1 x 4 x 8

59) ( )+ + = + 224z 8z 4 4 z 1

60) ( )22 24x 25 2x 5+ = + Pas factorisable car de la forme +2 2x a

61) ( ) ( )− + = − + = − 22 26 x 12x 6 6 x 2x 1 6 x 1

62) ( ) ( )− + = − + = − 22 212 y 12 y 3 3 4 y 4 y 1 3 2 y 1

63) ( ) ( )− + = − + = − 22 245t 30t 5 5 9t 6t 1 5 3t 1

64) ( ) ( )+ + = + + = + 22 218x 12x 2 2 9x 6 x 1 2 3x 1

65) ( ) ( ) ( )− − = − − = + −2 24x 16 x 84 4 x 4x 21 4 x 3 x 7

66) ( ) ( ) ( )− − = − − = + −2 22x 20x 48 2 x 10x 24 2 x 2 x 12

67) ( ) ( )+ + = + +22x 18x 40 2 x 5 x 4

68) ( ) ( )+ − = + −23x 3x 60 3 x 5 x 4

69) ( ) ( )+ + = + +24x 28x 48 4 x 4 x 3

70) ( ) ( )− − = + −2ax 4ax 5a a x 1 x 5

71) ( ) ( )− + = − −22cx 18cx 28c 2c x 2 x 7

72) ( ) ( )− − = + −23kx 12kx 63k 3k x 3 x 7

73) ( ) ( ) ( )− − = − − = + −2 2 2 2 2 2 24m x 40m x 96m 4m x 10x 24 4m x 2 x 12

74) ( )− = −2 2 2 23a x 3a x 3a x x 1


Correction Exercice 6 1) 2 2( x 2 ) x 4x 4+ = + + 2) 2 2( x 3 ) x 6 x 9− = − +

3) 2 2( y 5 ) y 10 y 25+ = + + 4) 2( y 7 )( y 7 ) y 49+ − = −

5) 2 2 4( x 1)( x 1) x 1+ − = − 6) 2 2( 3y 3 ) 9 y 18 y 9− = − +

7) 2( 4z 4 )( 4z 4 ) 16 z 16+ − = − 8) 2 2 4 2( 6b 1) 36b 12b 1+ = + +

9) 2 2( 4m 3 ) 16m 24m 9+ = + + 10) 2 2( 5s 2 ) 25s 20s 4− = − +

11) 2 2 4 2( 2a 1) 4a 4a 1− = − +

12) 2 2 4( x 5 )( x 5 ) x 5+ − = −

13) ( )23 3 6 3 3 6 6 3x 2 x 2x 2 2 x 16 x 64+ = + + = + +

14) 2( x 2 )( x 12 ) x 10x 24+ − = − −

15) 2 4 2 2 4 4 4 8 4( a 1)( a 1)( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) a 2a 1+ − + − = − + − = − − = − +

16) ( )( )2 2 4 2a 6 a 4 a 10a 24+ + = + +

17) 2

21 17a 49a 7a2 4

⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

18) 2 2 2 4 2( ax 1)( ax 19 ) a x 20ax 19− − = − +

19) ( )24 4 8 4 4 8 8 44a 2 = 16a 8a 2 +2 = 16a 128a +256− − −

20) ( ) ( )2 2 2 2 46ax a 6ax a 36a x a− + = −

21) 2( 9z 2 )( 9z 2 ) 81z 4− + = −

22) 21 1 110x 10x 100x10 10 100

⎛ ⎞⎛ ⎞− + = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

23) ( )( )2 2 2 4( x 1)( x 1)( x 1) x 1 x 1 x 1− + + = − + = −

24) ( )( ) ( ) ( )( )4 2 2 2 4 4 4( x 2 )( x 2 )( x 16 )( x 4 ) x 4 x 4 x 16 x 16 x 16+ − + + = − + + = − +

( ) ( )2 24 8x 16 x 256= − = −

25) ( )( )2 2 4 4 4 8 4( x 1)( x 1)( x 8 ) x 1 x 8 x 9x 8− + − = − − = − +

26) ( )2

22 2 2 2 2 2 2 2 41 1 1 1 1 1 1a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 812 2 4 4 4 4 16

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + = − + = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

27) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 40,01w 5 0,01w 5 0,01w 5 0,01w 5 0,01w 5 0,0001w 625− + + = − + = −


Correction Exercice 7 a)

( )0a b+ = 1 1

( )1a b+ = a b+ 1 1

( )2a b+ = 2 2a 2ab b+ + 1 2 1

( )3a b+ = 3 2 2 3a 3a b 3ab b+ + + 1 3 3 1

( )4a b+ = 4 3 2 2 3 4a 4a b 6a b 4ab b+ + + + 1 4 6 4 1

( )5a b+ = 5 4 3 2 2 3 4 5a 5a b 10a b 10a b 5ab b+ + + + + 1 5 10 10 5 1

( )6a b+ = 6 5 4 2 3 3 4 2 5 6a 6a b 15a b 20a b 15a b 6a b b+ + + + + + 1 6 15 20 15 6 1 ……….. b) La somme des puissances de chaque terme du développement de ( )na b+ est constante et

égale à n. Exemple : ( )3 3 2 1 1 2 3

33 2 1 1 2a b a 3a b 3a b b

+ +

+ = + + +

Les coefficients du développement de ( )na b+ s’obtiennent en additionnant deux à deux les

coefficients du développement de ( )n 1a b −+ Exemple : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 La somme des coefficients du développement de ( )na b+ vaut 2n . Exemple :

1 = 1 = 20

1 + 1 = 2 = 21

1 + 2 + 1 = 4 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25

1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 26

+ +

+

+ =

+ + =

=

=

= =


Correction Exercice 8 1) 2x 4 6 x 14− = −

2x 4 2x 14 6 x 14 2x 144 14 6 x 2x

4x 104 4

10 5x4 2

⇔ − − + = − − +⇔ − + = −

⇔ =

⇔ = =

Contrôle : 2 52

⋅ 4 1 et 6− =3 5

2⋅ 14 1− = 5S

2⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

2) 3 t 7t 8− = −

3 t t 8 7t 8 t 83 8 7t t8t 118 8

11t8

⇔ − + + = − + +⇔ + = +

⇔ =

⇔ =

Contrôle : 11 24 11 13 11 77 64 133 et 7 88 8 8 8 8 8 8 8

− = − = ⋅ − = − = 11S8

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

3) 6 x 0=

6 x 06 6

0x 06

⇔ =

⇔ = =

Contrôle : 6 0 0⋅ = { }S 0=

4) 10 y 7 10 y 7+ = +

0 y 0⇔ = S = (vrai pour tout y∈ )

5) 2 y 8 2 y= +

2 y 2 y 8 2 y 2 y0 y 8

⇔ − = + −⇔ =

S = ∅ (aucune solution dans )


6) ( ) ( )3 t 7 5 3 t 2t 6− = − + +

3t 21 15 5t 2t 63t 21 3t 21 3t 21 3t 213t 3t 21 216t 426 6t 7

⇔ − = − + +⇔ − + + = − + + +⇔ + = +

⇔ =

⇔ =

Contrôle : ( ) ( )3 7 7 3 0 0 et 5 3 7 2 7 6 0⋅ − = ⋅ = ⋅ − + ⋅ + = { }S 7= 7) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 x 2 x 1 6 3x 2 0− + + − − − − =

x 1⇔ − x+ 2 x+ − 1+ 18x 12 0

17x 14 17x 0 17x14x17

− + =⇔ − + + = +

⇔ =

Contrôle :

14 14 14 14 14 34 252 2041 2 1 6 3 2 017 17 17 17 17 17 17 17

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − − − ⋅ ⋅ − = + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

14S17

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

8) 2 2 x 3 4 2 x 3− = +

2 2x 3 2 2x 3 4 2x 3 2 2x 3

6 4 2x 2 2x

6 2 2x2 2 2 2

3x2

⇔ − − − = + − −

⇔ − = −

−⇔ =

⇔ = −

Contrôle : 2 2 32

⋅ − 3 6 3 9 et 4 2⎛ ⎞

− = − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

32

⋅ − 3 12 3 9⎛ ⎞

+ = − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3S2

⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭

9) R 3 R 2π − = +

( )

R 3 R 3 R 2 R 3

R R 2 3

1 R 2 3- 1 - 12 3R

1

π

π

ππ π

π

⇔ − − + = + − +

⇔ − = +

− ⋅ +⇔ =

+⇔ =

−


Contrôle : ( )( )3 12 3 2 3 2 33

1 1 1ππ π π ππ

π π π⎛ ⎞ ⋅ −+ + ⋅ + ⋅⋅ − = − =⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

3 π− ⋅ 3 2 31 1

ππ π

+ +=

− −

( )( )

2 12 3 2 3 221 1 1

ππ π π

⎛ ⎞ ⋅ −+ ++ = + =⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

3 2 2π+ + − 2 31 1

ππ π

+=

− −

2 3S1π

⎧ ⎫+⎪ ⎪= ⎨ ⎬−⎪ ⎪⎩ ⎭

10) 0,25R 2 0,75R 5+ = +

0,25R 2 0,25R 5 0,75R 5 0,25R 52 5 0,75R 0,25R

3 2 0,5R 2R 6

⇔ + − − = + − −⇔ − = −⇔ − ⋅ = ⋅⇔ = −

Contrôle : ( ) ( )0,25 6 2 1,5 2 0,5 et 0,75 6 5 4,5 5 0,5⋅ − + = − + = ⋅ − + = − + =

{ }S 6= −

11) 2 214x 8x 2 14x 6− − = −

214x⇔ 28x 2 2 14x− − + = 6 28x 48 8

1x2

− +− −

⇔ =− −

⇔ =

Contrôle : 2114 8

2⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

4 12

⋅ 2 14⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

7 14

⋅

2

7 7 12 54 2 62 2 2

−− − = − = = −

2114 6 14

2⎛ ⎞⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

7 14

⋅

2

7 56 62 2

− = − = − 1S2

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

12) x 6 x 36 4− −

=

( ) ( )

x 6 x 312 126 4

2 x 6 3 x 32x 12 2x 9 3x 9 2x 9x 3

− −⇔ ⋅ = ⋅

⇔ − = −

⇔ − − + = − − +⇔ = −

Contrôle : 3 6 9 3 3 3 6 3et6 6 2 4 4 2

− − − −= − = − = − = − { }S 3= −


13) ( )3 R 5 6R7 4−

=

( )

( )

3 R 5 3R14 147 2

6 R 5 21R6R 30 6R 21R 6R

30 15R30R 2

15

−⇔ ⋅ = ⋅

⇔ ⋅ − =

⇔ − − = −⇔ − =

−⇔ = = −

Contrôle : ( ) 3 73 2 57

⋅ −⋅ − −=

( )7

( )6 23 et 3

4⋅ −

= − = − { }S 2= −

14) x x3 16 4− = −

x x x x3 1 1 16 6 4 6

x x3 14 6

1 12 x4 6

3 22 x12

12 12 x 1212

x 24

⇔ − − + = − − +

⇔ − + = −

⎛ ⎞⇔ − = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠−

⇔ − = ⋅

⇔ − ⋅ = ⋅ ⋅

⇔ = −

Contrôle : 24 243 4 3 7 et 1 6 1 76 4− −

− = − − = − − = − − = − { }S 24= −

15) t 13t 5t 1529 10 18+ + =

1 13 5 t 1529 10 18

10 117 25 t 15290

152 t 15290

t 90

⎛ ⎞⇔ + + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ +⇔ ⋅ =

⇔ ⋅ =

⇔ =

Contrôle : 9010

913 90⋅

+

9

105 90⋅

+

5

1810 117 25 152= + + = { }S 90=


16) ( )4 x x 3 5x 1x 44 2 6+ − +

− − = −

( )

( ) ( ) ( ) ( )

4 x x 3 5x 112 x 4 124 2 6

3 4 x 12 x 4 6 x 3 2 5x 112 3x 12x 48 6 x 18 10x 260 20 4x 9x80 5x5 5

x 16

+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔ + − − = − − +

⇔ + − + = − − −⇔ + = − +

⇔ =

⇔ =

Contrôle : ( )4 16 2016 4 12 5 12 74 4+

− − = − = − = −

16 3 5 16 1 13 80 1 13 812 6 2 6 2− ⋅ + +

− = − = −

27

62

14 72

= − = − { }S 16=

17) 3 ax b= + (inconnue : x )

3 b ax⇔ − =

3 bxa−

⇔ = 3 bSa−⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

18) ( ) ( )a c x b d x− = − (inconnue : x)

( )

ac ax bd bxbx ax bd acx b a bd ac

⇔ − = −⇔ − = −

⇔ − = −

bd acxb a−

⇔ =−

bd acSb a−⎧ ⎫= ⎨ ⎬−⎩ ⎭

19) x 1 2x 4 x 3x7 2 21− − −

− + = { }S 21= −

20) ( )3x 18 3 x 6= + − S =

21) ( ) ( )224 x 49 61 2x 5− + = − { }S 8=

22) ( ) ( ) ( ) ( )t 1 t 2 t 3 t 4 10+ + = − − + { }S 2=

23) x 1 1 x 3 7 x x 3 54 2 2 5 2 8− − − +⎛ ⎞− − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ 13S

24⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

24) 2x 1 5x 2 x 113 5 3− + +

− = − S = ∅



1) S = {-2} 3) S = {175} 5) S = {15/4} 7) S = {3}

2) S = {-1} 4) S = {5} 6) S = R 8) S = {-2}


Inconnue : x = dernière note

Équation : ( )3.5 4.5 4.5 3 2.5 5.5 x4.5 23.5 x 31.5 x 8

7+ + + + + +

= ⇔ + = ⇔ =

Réponse : x = 8 ; C’est impossible ! Correction Exercice 11

Inconnue : x = nombre de CD que possède Yannick

Équation : 1 2x x 4 x ...... x 484 3

+ + = ⇔ ⇔ =

Réponse : Yannick possède 48 CD. Correction Exercice 12

Inconnue : x = âge de M. Dupont

Équation : ( ) xx 5 5 70 ...... x 402

⎛ ⎞+ + + = ⇔ ⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Réponse : L’âge de M. Dupont est de 40 ans et l’âge de Frédéric est de 20 ans.



1) 1

2

7x 12y 3 L5x 8y 31 L+ =⎧

⎨− + =⎩

Donnée :


( )1 1

1 2 2

7x 12y 3 L L

29x 87 2 L 3 L L

⎧ + = =⎪⇔ ⎨= − ⋅ + − ⋅ =⎪⎩


Nous avons triangulé le système d’équation linéaire.

7x 12y 3x 3+ =⎧

⇔ ⎨ = −⎩



y 2x 3=⎧

⇔ ⎨ = −⎩



( ) ( )( ) ( )

7 3 12 2 3 ok !ok !5 3 8 2 31

⋅ − + ⋅ =⎧⎪⎨− ⋅ − + ⋅ =⎪⎩

Vérification.

( ){ }=S -3; 2 Le système admet une solution, qui est un couple de nombre .

2) x y 16

13x 11y 16+ =⎧

⎨ − =⎩ ( ){ }=S 8;8

3) 11a 9b 98

6a b 18− = −⎧

⎨− − =⎩ ( ){ }=S -4;6

4) 1

2

10x 7 y 105 L20x 14 y 47 L

+ = −⎧⎨ + = −⎩

Donnée :


( )1 1

1 2 2

10x 7 y 105 L L

0x 163 2 L L L

⎧ + = − =⎪⇔ ⎨= − ⋅ + =⎪⎩



10x 7 y 1050x 163 impossible

+ = −⎧⇔ ⎨ =⎩



= ∅S Le système n’admet aucune solution .


5) 1

2

4x y 2 L8x 2 y 4 L

− + = −⎧⎨− + = −⎩

Donnée :


( )1 1

1 2 2

4x y 2 L L

0x 0 y 0 2 L L L

⎧− + = − =⎪⇔ ⎨+ = − ⋅ + =⎪⎩



4x y 2( paramètre )

xλ

λ− + = −⎧

⇔ ∈⎨ =⎩



y 4 2( paramètre )

xλ

λλ

= −⎧⇔ ∈⎨ =⎩



( )( )

4 4 2 2 ok !

8 2 4 2 4 ok !

λ λ

λ λ

− + − = −⎧⎪⎨− + − = −⎪⎩

Vérification.

( ){ }= − ∈S ;4 2λ λ λ Le système admet une infinité de solutions.

6) 5x 2 y 354x 3y 21− + =⎧⎨− + =⎩

( ){ }=S -9; -5

7) 11x 8 y 595x 3y 13

+ = −⎧⎨ − =⎩

( ){ }=S -1; -6

8) 15a 14b 273a 14b 45

+ =⎧⎨ − = −⎩

( ){ }=S -1; 3

9) 7u v 18u 3v 12

− = −⎧⎨ + = −⎩

( ){ }=S -3; -3


Donnée : Périmètre du champ = 632 m. Inconnues : L = longueur du champ et l = largeur du champ Système d'équations linéaire 2×2:

L l 24 L 170....

632 2 L 2 l l 146= + =⎧ ⎧

⇔ ⇔⎨ ⎨= ⋅ + ⋅ =⎩ ⎩

170 146 24 ok!

ˆControle : 632 2 170 2 146 ok!

= +⎧⎨ = ⋅ + ⋅⎩

Réponse : La longueur champ est de 170 m et sa largeur de 146 m.

l

L



Données : recette du cinéma = 13'450 F

nombre de places vendues = 400 Inconnues : x = nombre de places vendues à 30 F y = nombre de places vendues à 40 F Système d'équations linéaire 2×2:

x y 400 y 145 ....

30x 40 y 13 450 x 255+ = =⎧ ⎧

⇔ ⇔⎨ ⎨′+ = =⎩ ⎩

Contrôle : 255 145 400 ok30 255 40 145 13 450 ok

+ =⎧⎨ ′⋅ + ⋅ =⎩

Réponse : Le nombre de places vendues à 30 F est de 255 et le nombre de places vendues à 40 F est de 145. Correction Exercice 16

Données : tonnes de terre à déplacer = 460 tonnes nombre de transports = 100 Inconnues : x = nombre de transports effectués par le camion de capacité de 5 tonnes y = nombre de transports effectués par le camion de capacité de 3 tonnes Système d'équations linéaire 2×2 :

x y 100 y 20....

5x 3y 460 x 80+ = =⎧ ⎧

⇔ ⇔⎨ ⎨+ = =⎩ ⎩

Contrôle : 80 20 100 ok !5 80 3 20 460 ok !

+ =⎧⎨ ⋅ + ⋅ =⎩

Réponse : Le nombre de transports effectués par le camion de capacité de 5 tonnes est de 80 et le nombre de transports effectués par le camion de capacité de 3 tonnes est de 20.


Correction Exercice 17 Données : Le plat doit donner en tout 7 g de protéines. Nombre total d'unités contenu dans le plat = 10 Inconnues : x = nombre d'unités de viande.

y = nombre d'unités de légume. Système d'équations linéaire 2×2 :

x y 10x y 10 y 6....11 x 0,5 y 7 x 4x y 7

2

+ =⎧+ = =⎧ ⎧⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⋅ + ⋅ = =+ =⎩ ⎩⎪⎩

Contrôle : 4 6 10 ok !1 4 0,5 6 7 ok !+ =⎧

⎨ ⋅ + ⋅ =⎩

Réponse : Le plat doit contenir 4 unités de viande et 6 unités de légume. Correction Exercice 18 Données : Aire de l'allée = 246 m2 Largeur de l'allée =3 m.

Inconnues : x = longueur de la piscine y = largeur de la piscine

Système d'équations linéaire 2×2 :

3y x4

( x 6 )( y 6 ) xy 246

3y x 4

6 x 6 y 36 246

3 y 15x y 0....4

x 206 x 6 y 210

⎧ =⎪⎨⎪ + + − =⎩⎧ =⎪⇔ ⎨⎪ + + =⎩⎧ =− = ⎧⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ =⎩⎪ + =⎩

315 20 okˆControle : 4( 20 6 )( 15 6 ) 20 15 246 ok

⎧ = ⋅⎪⎨⎪ + + − ⋅ =⎩

Réponse : La longueur de la piscine est de 20 m et sa largeur de 15 m.

y

x 3 3

3

3

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

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