CHAPITRE 5 ANALYSE EN REGIME SINUSOIDAL · Fig. 5.1 Circuit RLC en régime sinusoïdal Si à la...

CHAPITRE 5 ANALYSE EN REGIME

SINUSOIDAL

H.W. Bode (1905-1982), mathématicien et physicien américain. Bode entra dès 1929 aux Bell Labs, où il travailla avec Fry et Nyquist sur la théorie des circuits et des systèmes. Il apporta plusieurs contributions fondamentales à l’étude de la stabilité, notamment pour les amplificateurs à contre-réaction. Il participa également à de nombreux comités d’études (notamment pour la création de la NASA en 1958). Entre 1952 et 1967, il fut directeur de la recherche en mathématiques aux Bell Labs. Il termina sa carrière comme professeur de Théorie des Circuits à Harvard. D’un naturel modeste, il était connu pour son sens didactique.

Nous avons jusqu'ici caractérisé les systèmes linéaires par leur fonction de réponse opérationnelle H(p) ou leur réponse impulsionnelle h(t). Ces fonctions permettent en effet de calculer la réponse forcée du système (transitoire et régime) à n'importe quelle excitation.

Le plus souvent, lorsqu'on excite ces circuits avec un signal périodique, c'est la réponse de régime qui importe le plus. Nous allons voir dans ce chapitre qu'il est très facile de calculer la réponse de régime à une sinusoïde : la fonction de réponse opérationnelle, H(p), se réduit en effet dans ce cas une fonction de réponse isochrone, ou réponse en fréquence, H(jω). La réponse à une excitation périodique quelconque est dès lors facile à calculer, par décomposition du signal en série de Fourier. Nous verrons même au chapitre 7 que la transformée de Fourier nous permettra de calculer, via H(jω), la réponse à une excitation quelconque (même non périodique).

L'importance pratique de cette réponse en fréquence justifie l'étude des graphes permettant de l'afficher (lieux complexes, diagramme de Bode et diagramme asymptotique de Bode).

Le chapitre se termine par l'étude plus approfondie des fonctions de réponse en fréquence des systèmes du premier et second ordre, généralisés à un ordre quelconque. On étudie en particulier les circuits résonants.

5.1 Réponse forcée en régime sinusoïdal - Réponse isochrone

2 ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL

Considérons le cas d'un système linéaire à l'état quiescent dont l'excitation vaut :

00

1( ) ( ).exp( ) ( )x t t j t X pp j

ε ωω

= =−

(5.1)

La réponse est donnée par :

1

0

( )( ) IH py t L

p jω− ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ (5.2)

Après décomposition en fractions simples, on trouve, en supposant que les pôles de H(p) sont simples :

0

0 0

0

( )( )( ) ( )

( )( )( )

i

ii

p p

AH jH p iY p p j p j p pi iH p p pavec A

p j

ωω ω

ω=

= = + ∑− − −

−=

−

(5.3)

et

00( ) ( ) . ( )ij t p t

i

y t H j e A e tiωω ε⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ (5.4)

Si la pulsation jω0 coïncide avec une pulsation propre pi, Y(p)possède un pôle double qui, engendrera un terme t ejω

0t en plus du terme ejω

0t.

Dans tous les cas, si le système est strictement stable (c'est-à-dire si tous ses pôles sont à gauche de l'axe imaginaire), tous les termes en ejp

it sont transitoires.

Après un temps suffisant, il ne subsiste donc que le terme de régime :

00( ) ( ) ( )j t

régimey t H j e ω tω ε= (5.5)

On constate donc que la réponse de régime d'un système linéaire à une excitation exponentielle imaginaire est l'excitation elle-même, multipliée par une constante complexe qui peut être obtenue en remplaçant p par jω0 dans la fonction de réponse opérationnelle H(p). La fonction H(jω) est appelée fonction de réponse isochrone ou réponse en fréquence du système.

La conclusion est la même si l'excitation est sinusoïdale :

0 00( ) cos ( ) / 2j t j ts t t e eω ωω −= = + (5.6)

La réponse est donnée par :

[ ]10 0 02( ) ( )exp( ) ( )exp( )y t H j j t H j j tω ω ω ω= + − 0− (5.7)

Or, H(p) est une fraction rationnelle à coefficients réels, ce qui implique que [ ]( ) ( )H j H jω ω ∗− = .

Si l'on pose 00 0( ) ( ) jH j H j e θω ω= , il vient :

0 0( ) ( ) cos( )y t H j t 0ω ω θ= + (5.8)

Une sinusoïde engendre une réponse sinusoïdale dont l'amplitude et la phase seront modifiées par rapport au signal, mais dont la fréquence ne change pas.

ANALYSE EN REGIME SINUSOÏDAL 3

Exemple 5.1

Le bipôle représenté à la Fig. 5.1, supposé dans l'état quiescent ( ( est

connecté à une source de tension :

0) 0, (0) 0)L Ci u= =

( ) 2 cos( ) ( )u t U t tω ε= +Φ .

R

ueC

L

iiL

Cu

1

1'

Fig. 5.1 Circuit RLC en régime sinusoïdal

Si à la tension réelle on substitue la tension complexe 2 j j tU e e tω ( )εΦ , l'équation du circuit

en transformée de Laplace devient:

1 1( ) ( ) ( ) 2 jRI p Lp I p I p U epC p jω

Φ+ + =−

1 2( ) ( ) ( )1 ( )( )

jU eI p Yp jR Lp

pCω

Φ

= =−+ +

p U p

La réponse i(t) comporte un terme transitoire et un terme de régime; excepté dans le cas limite où R=0, on peut écrire, après extinction du terme transitoire :

( )

( )

1( ) 2 21

( ) 2

j j t j t

j t

i t I e e U eR j L

j C

Y j U e

ϕ ω ω

ω

ωω

ω

+Φ

+Φ

= =+ +

=

et le courant de régime dû à la tension réelle u(t) est donné par la partie réelle de cette expression. La fonction de réponse de régime sinusoïdal Y(jω) est obtenue par simple substitution de jω à p dans la fonction de réponse isomorphe.

On aurait d'ailleurs pu obtenir i(t) plus rapidement en ne considérant plus que les substituts complexes 2 jU U e Φ= et 2 jI I e ϕ= des courants et tensions, et on aurait pu écrire :

( )I Y j Uω=

ce qui exprime que si ( ) 2 cos( )u t U tω= +Φ , le courant de régime vaut ( ) 2 cos( )i t I tω ϕ= + , avec :

2 2

1( 1/ )

I U etR L C

ϕ θω ω

= =+ −

Φ −

Dans le cas particulier où la fonction de réponse H(p) est une immitance (Z(p) ou Y(p)), H(jω) s'écrit :

( ) ( ) ( )Z j R jXω ω= + ω ou ( ) ( ) ( )Y j G jBω ω ω= + (5.9)


et R(ω) est appelée résistance1, X(ω) réactance, G(ω) conductance2 et B(ω), susceptance.

5.2 Lieux complexes Le lieu complexe relatif à une grandeur complexe quelconque F(ω) est la courbe décrite par l'extrémité du vecteur qui représente cette grandeur lorsque l'on fait varier la pulsation ω de 0 à +∞.

En général, la fonction de départ F(p) est une fraction rationnelle à coefficient réels et on a donc *( ) ( )F j F jω ω− = . Le lieu qui correspond à ω de -∞ à 0est donc le symétrique du précédent par rapport à l'axe réel.

Les lieux complexes de H(jω) (parfois appelés diagrammes de Nyquist) permettent de visualiser, sur un seul graphique, le module et la phase de la réponse isochrone. Ils sont gradués en ω.

Exemple 5.2 - Lieux complexes des fonctions de transfert de quadripôles du premier ordre Le lieu complexe associé à la fonction de réponse du premier ordre est un cercle. En effet, le lieu associé à la fonction ( ) /j a aω + est une droite verticale qui passe par le point de coordonnées (1,0) (Fig. 5.2.a) et on a vu en géométrie que l'inverse d'une droite qui ne passe pas par l'origine est un cercle qui passe par l'origine. On peut raisonner de la même façon à propos de la fonction /( )j j aω ω + (Fig. 5.2.b).

Re

a a

0

a

a

a

a a

(1,0)

Im

Im a

0a

a

a

a

Re

(a) (b)

Fig. 5.2 Lieux complexes des fonctions de réponse du premier ordre. (a : ( ) /j a aω + /( )j j aω ω +; b: )

5.3 Diagrammes de Bode

1 Il faut éviter de confondre cette fonction R(ω) avec l'élément résistance R, composant éventuel

du dipôle sous-jacent.

2 Même danger de confusion


5.3.1 Gain logarithmique - Phase Le plus souvent, on visualise séparément le logarithme3 du module et la phase de H(jω) :

( ) ln ( )( ) arg ( )

a H jb H jω ωω ω

=

= (5.10)

La grandeur a(ω) est appelée gain logarithmique, et b(ω) phase ou argument.

Le gain ainsi défini s'exprime en Néper (N); dans la pratique cependant, on utilise beaucoup plus le passage par le logarithme en base 10 :

210 10( ) 20.log ( ) 10.log ( )a H j H jω ω ω= = (5.11)

et dans ce cas l'unité est le décibel4 (dB). Il existe bien entendu un rapport de proportionnalité entre Népers et décibels:

101 20 log 8,686N e= ≅ dB (5.12)

La valeurs du Tableau 5.1 permettent de se fixer les idées.

Gain en puissance

Gain en amplitude

dB

¼ ½ 20log(2) 3dB− ≅ −

½ 1/ 2 10log(2) 3dB− ≅ −

2 2 6 dB

10 10 20 dB

10 100 40 dB

1000 1000 60 dB

Tableau 5.1 Valeurs usuelles et équivalents en dB

5.3.2 Diagrammes de Bode L'affichage du gain logarithmique et de la phase de H(jω) en fonction de log(ω) constitue ce que l'on appelle des diagrammes de Bode.

L'affichage en fonction de log(ω) fait bien apparaître les décades qui caractérisent un rapport de fréquences égal à 10; on parle parfois également en

3 Le passage par le logarithme du module de H(jω) permet de faire mieux apparaître les rapports

de modules (H(jω1)/ H(jω2)) identiques. Le logarithme permet donc de voir, avec un même niveau

de détail, les variations relatives de H(jω) autour de son maximum et de son ou ses minima. On

verra également plus loin que le logarithme permet une visualisation rapide sous forme de

segments de droites dans le diagramme asymptotique de Bode.

4 Le Bel est une unité définie en acoustique, comme le logarithme décimal d'un rapport de

puissances : 2log ( )H jω


termes d'octave, qui est le rapport entre deux fréquences dont l'une est le double de l'autre.

Exemple 5.3 - Pôle réel simple Considérons la transmittance du premier ordre ( ) 1/( )H p p a= + dont on désire représenter la courbe de gain logarithmique. On a :

( ) 20loga jω ω= − + a

Pour ω Æ 0, la courbe de gain tend vers :

0( ) 20 loga a

ωω

→= −

et pour ω Æ • :

( ) 20logaω

ω ω→∞= −

Si l'on choisit log(ω) pour abscisse, ces deux expressions sont les équations de deux droites : une asymptote basse fréquence et une asymptote haute fréquence. La pente de l'asymptote haute fréquence est donc de -20 dB/décade ou -6 dB/octave.

3 dB

log ω

H(p) = 1/(p+a)

w=1 w=|a|

-20log|a| -20log|a|

-20logw

Fig. 5.3 Diagramme de Bode de ( ) 1/( )H p p a= +

Considérons trois valeurs particulières caractéristiques de ω :

: ( ) 20log | | 20log 2 20log | | 3

2 : ( ) 20log | | 20log 5 20log | | 7

1/ 2 : ( ) 20log | | 20log 5 / 4 20log | | 1

a a a a d

a a a a dB

a a a a

ω ω

ω ω

ω ω

= = − − ≅ −

= = − − ≅ −

= = − − ≅ −

B

dB

−

−

−

On peut ainsi construire aisément trois points de la courbe du gain à partir des asymptotes (Fig. 5.3).

Exemple 5.4 – Zéro réel simple Le cas de la transmittance du premier ordre ( )H p p a= + est obtenu immédiatement, puisque le logarithme change simplement de signe.

( ) 20loga jω ω= + a

Pour ω Æ 0, la courbe de gain tend vers :

0( ) 20 loga a

ωω

→=


et pour ω Æ • :

( ) 20logaω

ω ω→∞=

On a donc toujours deux asymptotes. La pente de l'asymptote haute fréquence est de +20 dB/décade ou +6 dB/octave (Fig. 5.4).

3 dB

log ω

H(p) = p+a

w=1 w=|a|

+20log|a|

+20logw

Fig. 5.4 Diagramme de Bode de ( )H p p a= +

Exemple 5.5 – Paire de pôles complexes conjugués Soit la fonction de réponse opérationnelle :

2 2

1( )2

pp pσ ρ

Η =+ +

qui correspond à un système dont les pôles (complexes) ont pour partie réelle -s et pour module r.

Le gain logarithmique est donné par :

2 2 2 2

( ) 20 log ( )

20 log ( ) 4

a H jω ω2ρ ω σ

=

= − − + ω

On observe donc deux asymptotes de gain logarithmique:

2

0( ) 20 log

( ) 40 log

a

aω

ω

ω ρ

ω ω→

→∞

= −

= −

L'asymptote en haute fréquence à une pente de -40 dB/déc; les deux asymptotes se

rencontrent au droit du module des pôles : en *1 1p pω ρ= = = .

Nous allons rechercher la position de la courbe réelle par rapport aux asymptotes. Elle passe par un maximum dont l'abscisse est donné par :

( ) 0a∂ ω∂ ω

= c.à.d. : 2 2 22( )( 2 ) 8 0ρ ω ω σ ω− − + =

et :

2

2 2

2 11 = 1-2M Q

σω ρ ρρ

= −


où / 2Q ρ σ= est appelé facteur de qualité de la paire de pôles.

On remarque que si 1, MQ ω ρ>> ≈ et le gain logarithmique en ω ρ= vaut :

2 2( ) 10 log(4 )a ρ σ ρ= −

La différence entre cette valeur et la valeur de l’asymptote horizontale vaut donc :

2 2 2( ) (0) 10 log(4 ) 20 log( ) 20 log( / 2 ) 20 loga aρ σ ρ ρ ρ σ− = − + = = Q

)<

La Fig. 5.5 illustre les différents cas possibles ( 1 . On remarquera que lorsque les pôles de sont réels ; les développements obtenus ici ne sont donc plus valables.

0.5 1Q et Q> <0.5Q < ( )H p

20 log Q (Q < 1)

20 log Q (Q > 1)

-40 dB/déc

log ω ω=ρ ω=1

20 log r²

Fig. 5.5 Diagramme de Bode de 2 2

1( )2

pp pσ ρ

Η =+ +

Exemple 5.6 – Système d’ordre élevé Affichons sous Matlab, pour ω allant de 10-1 à 10+1 rad/s, le diagramme de Bode de la fonction de réponse :

3

6 5 4 3

0.0069( )p +0.2389 p +3.0724 p +0.4848 p +3.0724 p²+0.2389 p+1

pH p = (5.13)

N =[0.0069,0,0,0]; D =[1,0.2389,3.0724,0.4848,3.0724,0.2389,1.0000]; freqs(N,D,logspace(-1,1));


10-1 100 101-200

-100

0

100

200

Frequency (radians)

Pha

se (d

egre

es)

100 101

10-4

10-2

100

Frequency (radians)

Mag

nitu

de

Fig. 5.6 Diagramme de Bode

On constate que la réponse en fréquence vaut à peu près 0 dB autour de 1 rad/s, et qu'elle décroît en basse et haute fréquence, avec une pente de 60 dB/décade.

5.3.3 Interprétation géométrique des diagrammes de Bode Les diagrammes de Bode en gain et en phase peuvent être interprétés géométriquement à partir de la position des pôles et des zéros de H(p). En effet, on peut toujours mettre H(p) sous la forme:

( 1)( 2)...( )( )( 1)( 2)...( )

p z p z p zMH p kp p p p p pN− − −

=− − −

(5.14)

ce qui conduit à:

( 1)( 2)...( )( )( 1)( 2)...( )

j z j z j zMH j kj p j p j pNω ω ωωω ω ω− − −

=− − −

(5.15)

Il s'ensuit que:

1 2

1 2

...( )

...M

N

N N NH j kD D D

ω = (5.16)

où Nq et Dp sont les modules des vecteurs (complexes) qui ont leur origine sur le qème zéro ou le pème pôle et leur extrémité en jω sur le plan complexe (Fig. 5.7).

On en conclut que, lorsque le vecteur jω passe à proximité (voire sur) un zéro zq de H(p), la norme Nq du vecteur correspondant passe par un minimum, et le diagramme de gain accuse lui aussi un minimum local (d'autant plus aigu qu'on passe près du zéro). Inversement, lorsque le vecteur jω passe à proximité (voire sur) un pôle pp de H(p), le diagramme gain accuse un maximum local (d'autant plus aigu qu'on passe près du pôle).

Il est clair également qu’en haute fréquence, l’action de chaque zéro zq annule celle d’un pôle pp : Nq/Dp tend vers 1.


Im

Re

Nq

bpjω

0

aq

Dp

Fig. 5.7 Estimation du gain et de la phase à partir du diagramme des pôles et zéros

Il vient également, pour la phase :

( ) 1 2 1 2arg ( ) arg( ) ... ...M NH j kω α α α β β β= + + + + − − − − (5.17)

où αq et βp sont les arguments des vecteurs (complexes) qui ont leur origine sur le qème zéro ou le pème pôle et leur extrémité en jω sur le plan complexe. Comme k est réel, arg(k) vaut 0 ou π.

On en déduit le rôle de chaque paire de zéros complexes zq et zq* sur le

diagramme de phase. Dans le cas d’une paire de zéros à droite de l’axe imaginaire (Fig. 5.8), lorsque ω passe de 0 à l’infini, l’argument αq du vecteur complexe qui a son origine sur zq fait un saut de π/2+arg(zq) vers le bas, tandis que l’argument αq

* correspondant à zq* fait un saut de π/2-arg(zq) (Fig. 5.8).

Deux zéros à droite de l’axe imaginaire interviennent donc pour un saut de π vers le bas. Ce saut sur le diagramme de phase est d'autant plus rapide que l’axe jω passe près du zéro. Il est facile de montrer par un raisonnement similaire que, dans le cas d’une paire de zéros à gauche de l’axe imaginaire, le saut de phase est de π vers le haut. De même, un zéro réel intervient pour un saut de phase de π/2, vers le bas ou vers le haut selon son signe.

Le rôle des pôles est identique au signe près : chaque paire de pôles (forcément à gauche de l’axe imaginaire, si le système est stable) contribue à un saut de phase de π vers le bas. Ce saut sur le diagramme de phase est d'autant plus rapide que l’axe jω passe près du pôle. Un pôle réel (forcément négatif) contribue à un saut de phase de π/2 vers le bas selon son signe.

Un zéro ou un pôle sur l’axe imaginaire contribue à un saut de phase brusque d’exactement π 5.

5 Ce saut n'est ni vers le haut ou vers le bas, puisque la phase est définie à 2π près et que le

« saut » est infiniment rapide.


Im

Re

aq

(w=0)

aq

(w=µ)

arg(zq )

p/2 +arg(zq)

zq

a*q

(w=0) a*

q

(w=µ) p/2 -arg(zq)

-arg(zq )

zq*

Fig. 5.8 Valeurs extrêmes des contributions de phase dues à deux zéros complexes conjugués à droite de l’axe imaginaire

Exemple 5.7 Affichons les pôles et zéros de la fonction de transfert de l'exemple précédent :

zplane(N,D)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Real part

Imag

inar

y pa

rt

3

Fig. 5.9 Pôles et zéros de H(p)

On constate 3 zéros en ω=0 et 3 paires de pôles complexes conjugués très proches de ω=1 (Fig. 5.9).

On en conclut déjà que, au voisinage de ω=1, les pôles vont contribuer à créer une résonance sur le diagramme de gain. On voit également que la réponse en fréquence vaut -∞ (dB) en ω=0, et en ω=∞. Plus précisément, lorsque ωÆ∞, le système se comporte comme un système à trois pôles, d’où la pente de –60 dB/décade. Tout ceci peut être vérifié sur la Fig. 5.6.

Enfin, la réponse en phase subit visiblement un saut assez brusque de 3π vers le bas autour de ω=1, à cause des trois pôles proches de l’axe imaginaire.


En pratique, vu que la phase est définie à 2π près, les diagrammes de phase (obtenus ici pas calcul numérique, mais le même problème se présente pour le diagrammes obtenus par mesure) présentent souvent des discontinuités brusques de 2π. On en voit un bel exemple à la Fig. 5.6. Ces discontinuités doivent être interprétées comme des artifices (et si possible corrigées), et non pas comme des caractéristiques du système étudié.

5.3.4 Diagrammes asymptotiques de Bode Si le calcul et l'affichage précis des courbes de Bode de systèmes complexes nécessite le recours à des moyens informatiques, l'allure des courbes de Bode de ces systèmes peut souvent être obtenue à la main.

On a en effet, vu la relation (5.15) :

1 1

1log ( ) log( ) log ( ) log( )

M N

ii i i

H j k j zj p

ω ωω= =

= + − +−∑ ∑

( )1 1

1arg ( ) arg( ) arg( ) arg( )

M N

ii i i

H j k j zj p

ω ωω= =

⎛ ⎞= + − + ⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑ ∑

(5.18)

Autrement dit, les courbes de Bode d'un système complexe sont la somme des courbes de Bode de chacun de ses zéros et pôles calculées comme s'ils étaient seuls (à la contribution de k près).

On comprend dès lors l'intérêt de connaître mieux les courbes de Bode des systèmes simples (pôle ou zéro réel; paire de zéros ou pôles complexes conjugués).

Une bonne connaissance des diagrammes et diagrammes asymptotiques des exemples précédents permet ainsi de tracer rapidement les diagrammes de systèmes plus compliqués. En effet, on sait :

− Que les cassures des diagrammes asymptotiques se font toujours au droit du modules des zéros et pôle concernés.

− Que, lorsqu'on trace le diagramme asymptotique du gain de gauche à droite, le passage au droit du module d'un zéro correspond à une pente asymptotique de gain qui augmente de 20 dB/décade; le passage au droit du module d'un pôle correspond à une pente asymptotique qui diminue de 20 dB/décade. Les zéros ou pôles complexes conjugués comptent pour deux zéros ou pôles de même module (ce qui explique les variations de ±40dB/déc).

− Que, lorsqu'on trace le diagramme asymptotique de la phase de gauche à droite, le passage au droit du module d'un zéro à gauche (resp. à droite) de l’axe imaginaire correspond à un saut asymptotique de phase égal à π/2 vers le haut (resp. vers le bas). Le passage au droit du module d'un pôle à gauche (et forcément jamais à droite) de l’axe imaginaire correspond à un saut asymptotique de phase égal à π/2 vers le bas. Les zéros ou pôles complexes conjugués comptent pour deux zéros ou pôles de même module (ce qui explique les variations de ±π).

Exemple 5.8 La courbe du gain logarithmique correspondant à la fonction /( )Kp p λ− est donnée à la Fig. 5.10. On observe une asymptote horizontale en haute fréquence :


( ) 20loga K∞ =

et une asymptote en basse fréquence :

( ) ( ) 20log /a aω λ ω= ∞ −

dont la pente vaut + 20 dB/décade.

3dB

a ω

ωlog

+ 20 dB/décade a 20 log K

λ

H(p)=Kp/(p- )λ

Fig. 5.10 Diagramme de Bode de H(p)

Exemple 5.9 Le quadripôle de la Fig. 5.11 a pour fonction de réponse en tension :

Fig. 5.11 Circuit RC d'ordre 2

1( ) 0( )( )

abH p a bp a p b

= >+ +

>

Le gain logarithmique défini au paragraphe 5.1.5 est obtenu en sommant la contribution de chaque binôme du dénominateur de H1:

2 2( ) (0) 20log 1 ( / ) 20log 1 ( / )a a a bω ω= − + − + ω

et sa représentation en fonction de log ω est immédiate (Fig. 5.12)


H (p)=ab/(p+a) (p+b)1 -40 dB/décade

-20 dB/décade

log|a| ωloglog|b|

Fig. 5.12 Diagramme de Bode du gain de H(p)

Exemple 5.10 Le quadripôle de la Fig. 5.11 dans lequel on inverse les capacités et les résistances, a pour fonction de réponse en tension :

2

2 ( )( )(

pH p)p a p b

=+ +

Une procédure similaire à celle de l’exercice précédent permet d'obtenir le gain associé à la fonction H2 ; sa représentation est donnée à la Fig. 5.13.

+40 dB/décade

+20 dB/décade

log | b | log | a | logω

H (p)=p / (p+a) (p+b)22

Fig. 5.13 Diagramme de Bode du gain de H(p)

Exemple 5.11 Soit la fonction de transfert :

2 100( )( 1)( ² 0.5 25

pH pp p p

+=

+ + + )

Cette fonction possède :

une paire de zéros complexes conjugués en p=±j10, de facteur de qualité infini

un pôle simple en p=-1


une paire de pôles complexes conjugués de module = 5 et de facteur de qualité = 10

En basse fréquence, on a une asymptote horizontale de gain égal à 20log(4)=12dB ; en haute fréquence, deux pôles annulent deux zéros, ce qui donne une asymptote de gain ayant une pente de –20 dB/déc. Le diagramme asymptotique chute donc à -20 dB/déc à partir de ω=1, puis à -60 dB/déc au delà de ω=5, et remonte de 40 dB/déc au delà de ω=10, ce qui donne –20 dB/déc. La courbe réelle passe de 20 dB au dessus de la cassure à ω=5 et chute à -∝ au droit de ω=10.

La courbe asymptotique de phase part de 0, chute à -π/2 après ω=1, à –3π/2 après ω=5, et remonte à -π/2 au delà de ω=10. La courbe de phase a une évolution plus douce que la courbe asymptotique, sauf en ω=10 où le saut est brutal (zéros imaginaires purs).

Le résultat est donné à la Fig. 5.14

10-2

10-1

100

101

102

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20Asymptotic Bode Plot : amplitude

rad/s

dB

10-2

10-1

100

101

102

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0Asymptotic Bode Plot : phase

rad/s

rad

Fig. 5.14 Diagrammes de Bode du gain et de la phase de H(p)


5.4 Notion de puissance en régime sinusoïdal La puissance instantanée absorbée par un accès est donnée par :

( ) ( ) ( )p t u t i t= (5.19)

Si l'excitation est sinusoïdale, on peut écrire en régime :

( ) 2 cos( ) ( ) 2 cos ( )uu t U t i t I t iω α ω= + = α+

]

(5.20)

d'où :

[( ) 2 cos ( ).cos ( )

cos ( ) cos (2 )u i

u i u i

p t U I t tU I t

ω α ω αα α ω α

= + +

= − − + α+ (5.21)

En régime sinusoïdal, on s'intéresse plus à la puissance moyenne absolue qu'à la puissance instantanée ce qui conduit à :

cos ( )moy u ip U I α α= − (5.22)

5.4.1 Puissance moyenne absorbée par un dipôle Soit un dipôle d'impédance opérationnelle Z(p); en régime sinusoïdal, on a :

( ) ( ) ( ) ( ) exp( ) arg( ( )z z )Z j R jX Z j j avec Z jω ω ω ω α α= + = = ω (5.23)

La puissance moyenne absorbée par ce dipôle vaut donc : 2 2cos ( ) . cos . ( )moy u i zp U I I Z I Rα α α= − = = ω (5.24)

Par un raisonnement semblable sur l'admittance opérationnelle Y(p), on a :

( ) ( ) ( )Y G j Bω ω ω= + (5.25)

et : 2. ( )moyp U G ω= (5.26)

Notons que dans le cas d'un dipôle non dissipatif, on aura bien . 0moyp =

5.4.2 Adaptation en puissance Le problème de l’adaptation en puissance entre la source et la charge a déjà été abordé à la section 2.4.3. Nous pouvons maintenant le revoir dans le cas du régime cisoïdal.

Le schéma de la Fig. 5.15 représente une source de tension sinusoïdale associée à son impédance interne Zg qui débite sur une charge ZL. On recherche quel est la valeur de l'impédance ZL telle que la puissance moyenne absorbée soit maximale. On dit dans ce cas, qu'il y a adaptation entre la source et la charge.

Soient :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )g g

L L L

Zg R jX

Z R jX

ω ω ω

ω ω ω

= +

= + (5.27)

On a :


2. ( )moy Lp I R ω= (5.28)

Fig. 5.15 Source de tension sinusoïdale débitant sur une charge

2 2

2

2 2

( ) (

( ) ( )

( ) ( )

)g L g L g L

g L g L

Lmoy

g L L g

E EIZ Z R R j X X

EIR R X X

E RpR R X X

= =+ + + +

=+ + +

=+ + +

(5.29)

La puissance moyenne prend sa valeur maximale pour :

L g L gX X R=− =R (5.30)

C'est à dire : ZL=Zg*

Ce qui conduit à :

2

, 4moy Mg

EpR

= (5.31)

Exercices Exercice 5.1

Dans le réseau de la figure ci-dessous, on suppose que la source de tension est sinusoïdale de valeur de crête = 1V; on demande la tension de régime aux bornes de la résistance de 20kΩ pour les diverses valeurs de la fréquence de la source.


Exercice 5.2 Tracer le lieu complexe associé à l'impédance du bipôle de la figure ci-dessous

Exercice 5.3

On considère le circuit de la figure ci-dessous, soumis à une source sinusoïdale e t t( ) cos( )= 200 2 ω , avec ω = 2π 50 rad/s, et supposé en régime en t = 0.

Au moment où la tension aux bornes de la capacité atteint son maximum, son diélectrique perce, créant ainsi un court-circuit à ses bornes (symbolisé par un interrupteur).

t = t1

L=1 Henry, C= 20 µF, R=50 Ω

On demande de calculer l'évolution du courant dans l'inductance à partir de t1 et de la porter en graphique.

Solution t'=t-t1

i t e LR

mstransitoire

t

( ' ) .'

= − = =−

0 136 20τ τ avec

t'0 0.050.040.030.020.010

0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

i (t')R

i (t')T

i(t') Exercice 5.4

On suppose que le circuit ci-dessous est en régime sinusoïdal en t=t1-, au moment où on

ouvre l'interrupteur :


e t t t( ) cos( ) ( )= 220 0ω ε

ω π0 2 50= rad/s (tension du secteur)

R = 1 kΩ , C = 1 µF

On demande de donner l'évolution de la tension aux bornes de la capacité après t1 (= 1 s) et d'en visualiser l'allure.

Solution 1( )

1 1( ) 90 ( ) avec 2 0.002sect t

Cu t t e t t RCτ ε τ−

−> = − = =

t10.980.96

0

100

50

-50

-100 Exercice 5.5

Etudier la réponse en fréquence avec représentation du gain logarithmique du quadripôle de la figure ci-dessous.


Exercice 5.6 On demande de dessiner le diagramme de Bode du gain du quadripôle de la figure ci-dessous, en fonction du paramètre R (L et C étant fixés).

1

1'

R L

C

2

2' Solution

Si R < 2CR L C=

20 log Q (Q < 1)

20 log Q (Q > 1)

-40 dB/déc

log ω ω=ρ

Si R >= 2CR L C=

H (p)=ab/(p+a) (p+b)1 -40 dB/décade

-20 dB/décade

log|a| ωloglog|b|

Exercice 5.7 On demande de dessiner les diagrammes de Bode (asymptotique et réel) du gain et de la phase du quadripôle de la figure ci-dessous (en fonction de R1, C1, R2, C2).


R1

R2

C2

C1

Solution

1 1 2 2

1 1 2 2 2 1 1 1 2 2

1 1( )( )( ) 1 1 1 1² ( )

( )( ) avec et | | | | | | | |( )( )

p pR C R CH p

p pR C R C R C R C R C

p a p b ab cd a b c dp c p d

+ +=

+ + + +

+ += = +

+ +< +

100 101 102 103 104 105-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2


rad/s

dB

c a b d

10-1 100 101 102 103 104 105-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


rad/s

rad

c a b d

NB : Les valeurs des pulsations sur les graphiques ci-dessus sont purement indicatives.

Exercice 5.8


On demande d’afficher les diagrammes de Bode (asymptotique et réel) du gain et de la phase du quadripôle dont la fonction de transfert est donnée par :

25 ( ² 400)( )( ² 25)²

p pH pp p

+=

+ +

Solution

10-1 100 101 102 103-60

-40

-20

0

20

40

60


rad/s

dB

10-1 100 101 102 103-5

-4

-3

-2

-1

0

1


rad/s

rad


Exercice 5.9 Soit un circuit dont la réponse en fréquence est donnée ci-dessous.

10 0 10

1 10 2 10

3 10 4 10

5 -80

-60

-40

-20

0

20

40

60

freq (Hertz)

|H(f)

| (dB

)

On demande :

De trouver (en la justifiant) une position plausible pour les pôles et zéros de ce circuit dans le plan complexe.

D’en déduire l’expression complète d’une fonction de transfert plausible (en p) pour ce circuit.

Solution

-10000 -5000 0 5000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

Real part

Imag

inar

y pa

rt

x

x x

N(p)=(p²+ρz²)(p+ρz) avec ρz=2*pi*1000

D(p)= (p²+2 σp +ρp²)(p+ρp) avec ρp=2*pi*100 et σp=ρp /(2*10)

K=1/10

CHAPITRE 5 ANALYSE EN REGIME SINUSOIDAL · Fig. 5.1 Circuit RLC en régime sinusoïdal Si à la...

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