Cours 8 Regime Sinusoidal Etabli. Reponse Sinusoidal Serie et transformee de fourier Signal:...

Cours 8

Regime Sinusoidal Etabli

Reponse Sinusoidal

• Serie et transformee de fourier

• Signal: amplitude vs. frequence (a la place de amplitude vs. temps)

w

AA

t

Reponse Sinusoidal

• Reponse d’un systeme peut aussi etre amplitude vs. frequence

• On a déjà vu des exemples:

1. 1061. 1071. 1081. 1091. 10101. 1011

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1. 107 1. 108 1. 109 1. 10101. 1011

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Reponse Sinusoidal

• Si entrée est 1x106, gain est 1

• Si entrée est 1x109, gain est autour de 0.5

• …

1. 1061. 1071. 1081. 1091. 10101. 1011

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Conventions

• Gain: V/V, A/A, etc. echelle lineaire

• Gain decibels (dB) echelle logarithmique• Quand ca va de tres bas a tres haut

• Originalement pour gain de puissance

IN

OUTDB P

PLOGGAIN 1010

Conventions

• Sachant que P=VI=V2/R

• Meme chose pour gain de courant

2

2

1010IN

OUTDB

V

VLOGGAIN

IN

OUTDB V

VLOGGAIN 1020

IN

OUTDB I

ILOGGAIN 1020

Conventions

• Dans le filtre passe bas on voit que le gain baisse diminue avec la frequence

• DEFINITION: • Frequence de coupure: Frequence ou le gain a

-3dB du maximum (autre nom: frequence -3dB)

IN

OUT

P

PLOG10103

5.0

IN

OUT

P

P

IN

OUT

V

VLOG10203

707.05.0

IN

OUT

V

V

1. 107 1. 108 1. 109 1. 10101. 1011

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Conventions

1. 1061. 1071. 1081. 1091. 10101. 1011

0.2

0.4

0.6

0.8

1Frequence de coupure

Gain maximal

Conventions

• Definition:• Bande passante: plage de frequences ou le gain

est plus que -3dB

1. 1061. 1071. 1081. 1091. 10101. 1011

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Bande passante

1. 108 5. 1081. 109 5. 1091. 1010 5. 10101. 1011

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Bande passante

Cas Concret: filtre passe bas

• Prenons par exemple un filtre passe bas:

• Son gain maximal est 1 (w=0)R

C

sCR11

CRjw11

Cas Concret: filtre passe bas

• Dans ce cas PARTICULIER, w-3dB est la meme que la bande passante.

2321

1

2

1

CRGAIN

dB

MAX

w

123 CRdBw

CRdB

13 w

1. 1061. 1071. 1081. 1091. 10101. 1011

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3dB

w-3dB

2321

1

2

1

CRdB

w

Exemple de calcul

• On va trouver les caracteristiques de ce circuit:

R

C L

LCRssLR

sL2

LjLCRR

Lj

www

2

Exemple de calcul

• La frequence -3dB c’est quand le gain devient :

• On multiplie par le denominateur

• Equation en w du 4e ordre:

22222 2)( LLLCRR www

0)2( 22222224 RLLCRRCL ww

222 )(2

1

LLCRR

L

ww

w

2

1

Exemple de calcul

• Pour equation de 2e ordre, solution est:

• On peut substituer x=w2 et faire semblant que c’est 2e ordre:

a

acbb

2

42

0)2( 2222222 RLLCRxRCLx

Exemple de calcul

• Coefficients de l’equation quadratique:

• Ca se simplifie

222

222222222

2

422

RCL

RRCLLLCRLLCR

222

2322

2

)41(2

RCL

CRLLLCRx

Exemple de calcul

• Sachant que x=w2, wdevient:

• Ca peut s’exprimer comme:

222

2322

2

)41(2

RCL

CRLLLCR w

LCR

CRLLL

2

4 2LCR

CRLLL

2

4 2

Exemple de calcul

• Avec C=10-12, L=10-9 et R=100

2 1010

4 1010

6 1010

8 1010

1 1011

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1013 107.2 xdB w 10

23 107.3 xdB w

101323 101xnteBandePassa dBdB ww

BandePassante

Exemple de calcul

• On voit ici 3 differentes valeurs de R.

• Changer R => changer bande passante

• Autre terme: Facteur de Qualite (Q)

2 1010 4 1010 6 1010 8 1010 1 1011

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Facteur de Qualite

• DefinitiondB

RQ3

ww

2 10104 10106 10108 10101 1011

0.2

0.4

0.6

0.8

1Rw

dB3w

Facteur de Qualite

• La frequence de resonance:

• La bande passante:

LCNR

1ww

CRLCR

CRLLL

LCR

CRLLLdB

1

2

4

2

4 22

3

w

Facteur de Qualite

• Avec la frequence naturelle et la bande passante, on trouve Q:

• On substitue avec les valeurs:

L

CR

CR

LCCR

LCQ 1

11

1

1010

10Q

Facteur de Qualite

• Regardons la forme classique:

• On voit que

• On sait aussi que

• On peut deduire que:

22 2 NN ss ww 21

1

sCR

s

LC

s

CR

CRNdB

123 ww

LCN

1w

ww

ww

2

1

23

N

N

dB

NQ

Exemple

• Exemple (seul)• Trouvez le wn, le et le Q de ce circuit

C=10-12 L=10-9

R=100

Exemple

• On ecrit la fonction de transfert

• On le re-ecrit sous la forme classique

• Deja on voit que:

L

R

CLL

Rss

s12

sCsLR

R

112 sCRCLs

sCR

1010101

xLCn w

Exemple

• On regarde le coefficient de s:

• Le coefficient d’amortissement devient:

• Le facteur de qualite est:

L

Rn w2

1000

150

2

L

CR

100

10001

2

1

C

L

RQ

Naturelle vs. Resonance

• Frequence naturelle et frequence de resonance: terme parfois interchangeable

• Un systeme peut avoit frequence naturelle sans avoir de resonance

• Resonance: quand une frequence reagit plus que les autres

Naturelle vs. Resonance

1. 108 1. 109 1. 1010 1. 1011 1. 10120.01

0.02

0.05

0.1

0.2

0.5

1

Pas de resonance

Frequence de resonance

• Les 3 courbes ont la meme frequence naturelle

Resonance: pourquoi?

• On a parle de circuits resonants

• On a parle de facteur de qualite

• Ca peut sonner abstrait

• Exemple d’applications: transmetteur radio

Application: Radio AM

• On aimerait envoyer la musique par radio

• On comence par amplifier le signal

• Ensuite on l’envoie dans une antenne

• Ondes electromagnetiques se propagent et vont a l’autre antenne

• De l’autre bord, on amplifie et on entend la musique

+-

+-


• PROBLEME: Pour bien propager, il faut grosse antenne

• Basse frequence: longue antenne (musique= “basse frequence”)

• Haute frequence: petite antenne

• Comment faire?


• Modulation: si notre signal est ce sinus

• On enverrait une onde rapide avec amplitude qui SUIT la forme de l’autre


• Avec haute frequence, ca transmet par l’antenne

• L’autre bord le recoit, l’amplifie et on l’entend.

• La resonance la dedans?

+-

+-

HauteVitesse


• Radio AM: Entre 540KHz et 1600KHz

• C-a-d, “haute vitesse” est 540-1600KHz

• Il y a plusieurs stations radio qui utilisent plusieurs de ces frequences

• Si on veut entendre qu’un seul poste, il selectionner UNE SEULE FREQUENCE et ignorer les autres


• Quel circuit connait-on qui prend une seule frequence et enleve les autres?

• Circuit LC

• Prend seulement les frequences TRES PROCHES de

LC

1


• Facteur de qualite: la “selectivite”

• Ex: Station radio A module a 600KHz et station B a 610KHz. Est-ce notre circuit serait capable d’amplifier seulement 600KHz? (est-ce que son Q est assez eleve?)


• Voici un exemple:• On envoie onde sinus de 3KHz• On module avec sinus de ~60KHz

+-

+-

HauteVitesse

60KHzOn ajuste cette frequence.~ 60KHz

3KHz

• Signal de 3KHz module avec haute vitesse


• Recepteur utilise LC de 60KHz

• On change la frequence de modulation

• Droite: on s’approche de la frequence LC


• Gauche: quand frequence LC = frequence modulation

• Droite: on depasse la frequence LC


• Resultats (tentative):• Oscilloscope: signal recu et amplifie• Speaker: son recu et amplifie

Diagramme de Bode

• Figure gain vs. frequence

• Echelle logarithmique

• Approximation asymptotique

1. 109 1. 1010 1. 1011 1. 1012 1. 1013

0.001

0.01

0.1

1

Diagramme de Bode

• On va prendre un exemple banal pour expliquer le raisonnement: filtre RC

• En regime sinusoidal etabli:

sCRsT

1

1)(

CRjjT

ww

1

1)(

Diagramme de Bode

• Son gain:

• En decibels:

• Sa phase:

221

1

CRGain

w

221

120

CRLogGain

dBw

CRPhase w1tan0

Diagramme de Bode

• Rappelons-nous de quelques proprietes:

• On peut re-ecrire l’equation du gain:

)()( bLogaLogbaLog )()( bLogaLogb

aLog

221200 CRLog w

221

120

CRLogGain

dBw

Diagramme de Bode

• Forme plus conviviale:

• 2 cas extremes:• Quand w << 1/RC• Quand w >> 1/RC

2

2

11200

CR

Logw

001200 2 Log

wwwLog

CRLogLog

CR

Log 201

202001

200

2

Diagramme de Bode

• On rejoin les courbes ou w=1/RC

• A ce point, le gain

Log

Log

w <<1/RC

w >>1/RC

w =1/RCdBLogGain

dB3

11

120

Diagramme de Bode

• Conclusions de l’experience precedente• Chaque pole cause une baisse de -20dB par

LOG10w

• LOG10w augmente de 1 quand w augmente de 10

• DONC, le gain baisse de -20dB quand la frequence augmente de 10 fois.

• On appelle ca une decade• COMMENCE au pole (valeur absolu) w=CR

s

CR

CRsCRsT

1

11

1

1)(

Diagramme de Bode

• On pourrait aussi faire le meme exercice avec les zeros:

• Il y aura une augmentation de +20dB/decade• Le gain commencera a la frequence du zero

Log

Log

Zero

Diagramme de Bode: amplitude

• On peut resumer:• Chaque pole reel cause -20dB/decade• Chaque zero reel cause +20dB/decade• Echelle logarithmique: c’est une droite• Le changement se produit AU pole/zero

• Rappel: Decade=10X.

Diagramme de Bode: amplitude

• Recette magique:• Re-arranger la fonction de transfert• Trouver gain a une frequence donnee (0 ou autre)• Identifier les poles et les zeros• Tracer les axes en base logarithmique• Tracer les lignes

0

-20

-40

-60

-80

107106 108 109 10111010

Gain (dB)

Frequence (rad/s)

Exemple

• Il faut connaitre les poles et les zeros

• Il faut connaitre la fonction de transfert

R=1000W

C=1x10-12F

sRC

RCsCR 1

11

1

1

RCPole

1

Exemple

• Gain a 0rad/s:

• Substituons avec les valeurs: 910

1

Pole

11

11

0

w

wjRC

RC

Gain DCPole

Exemple

• On trace le diagramme au complet

109

0dB-20dB/decade

1010

-20dB

1011

-40dB

Pole/Zero a l’Origine

• Les choses se compliquent pour fonctions avec poles et zeros a l’origine (s=0)

• Gain est soit 0 ou infini a 0

• On ne peut pas dessiner frequence 0 puisque log100 ne se dessine pas.


• Imaginons qu’on avait une fonction de transfert:

• Frequence 0: descend de -20dB/decade

• Frequence 10: la pente changerait ENCORE de -20dB/decade (devient -40)

• Ca commence a quelle valeur?

sssT

10

3)(


• On change la forme de l’equation:

• Quand frequence=3/10, amplitude dans parenthese est a peu pres 1

• Gain TOTAL est a peu pres 1

• Si sous cette forme, coefficient de 1/s est frequence ou gain=1

101

1

10

3)(

sssT


• Notre diagramme de Bode commencerait a w=3/10 dans ce cas-ci

3/10

0dB

10

0.1 0.5 1 5 10

0.01

0.1

1 Pente plus raide

3/10


• Pour le cas du zero, situation semblable

• Si fonction de transfert etait

• La frequence avec gain unitaire serait 5 (et non 1/5!)

• Approximation fonctionne mieux quand poles/zeros valeurs elevees

101

1

5)(

s

ssT

Exemple

• Exemple (seul):

• Reformatter l’equation

• Trouver gain a une frequence donnee

• Identifier pole/zero

• Tracer lignes

10)400(

)(

s

sssT

Exemple

• Fonction de transfert:

• Gain de 1 se trouve a la frequence

• Zeros: 0 et -400

• Poles: -10

1

10

1400

40/1)(

s

s

ssT

Exemple

• Diagrammes de Bode (Amplitude)

0dB

10 4001/40

0.01 0.1 1 10 100 1000

1

10

100

1000

Diagramme de Bode: phase

• On sait comment tracer le gain

• Il faudrait aussi considerer la phase

• La phase est donnee par:

Re

Imtan 1


• Si on considere un pole/zero comme

• La phase serait:

• Quand w << A, phase =0

• Quand w >> A, phase =90

• Quand wA, phase=

As Aj w

A

w1tan

451tan 1


• On sait que le dephasage est

• Donc, pour zero:• w >> A, dephasage est 90

• Et pour pole:• w >> A, dephasage est -90

Denom

Denom

Num

Num

Re

Imtan

Re

Imtan 11


• Dephasage d’un zero

• Dephasage d’un poleLog

0

45

90

AA/10 10A

Log

0

-45

-90

AA/10 10A

As

As 1


• Recette magique:• Trouver dephasage a basse frequence• Tracer l’axe de frequence en base logarithmique• Identifier les poles/zeros• Pour chaque pole/zero:

– Idenfier (frequence * 10)– Identifier (frequence / 10)

• Commencer dephasage de 45/decade a freq/10• Arreter dephasage a freq*10


• Zeros: 0, 400• Points importants: 40, 400, 4000• Pour 0: Freq*10=Freq/10=0

• Poles: 10• Points importants: 1, 10, 100

Log101 10040 4000400

-45 degres/decade

45 degres/decade


• Dephasage a basse frequence est TYPIQUEMENT 0 (quand w->0)

• Quand pole/zero a l’origine:

• Zero: dephasage 90 degres PARTOUT• Pole: dephasage -90 degres PARTOUT

Aj w1

Aj w

wj01

0wj


1 5 10 50 100 500 1000

20

30

40

50

60

70

80

90

Log101 10040 4000400

45

90

0


• Exemple (seul):

• Dephasage a basse frequence

• Pole/Zero

• Frequence/10 et Frequence*10

• Tracer lignes

200

)5()(

ss

ssT


• Zero: +45 degres/decade

• Pole: -45 degres/decade

• Commence 1 decade AVANT pole/zero

• Finit 1 decade APRES pole/zero

50.5 5020 2000200

50.5 5020 2000200

-90


• Decompose en 2 morceaux (precision du graphique)

10 50 100 500 1000 500010000

80

60

40

20

0

0.01 0.1 1 10

80

60

40

20

0

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