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1 M. ALBERNI Lycée ND de Bon Secours

Chapitre 4 terminale spé math

Vecteurs dans l’espace, Droites et plans

1 – Vecteurs de l’espace : La notion de vecteur du plan se généralise dans l’espace.

1) Caractérisation : a) On donne deux points de l’espace A et B, distincts.

Le vecteur non nul u AB

a trois caractéristiques :

- Sa direction : c’est la droite (AB), qui porte le vecteur.

- Son sens : celui de A vers B. - Sa norme ou longueur : c’est la longueur AB.

On écrit : u AB

= AB.

b) Vecteurs égaux : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et même norme.

En pratique : AB CD

si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

Remarque sur l’égalité : Ceci nous prouve qu’un vecteur est indépendant du point d’origine choisi mais dépend complètement des trois caractéristiques données dans le a). On peut donc représenter plusieurs vecteurs égaux par un représentant.

c) Quelques propriétés :

Etant donné un point O de l’espace, pour tout vecteur u

de l’espace, il existe un unique point M de l’espace tel que u OM

.

Pour tout point M de l’espace, le vecteur MM

est le vecteur nul noté 0

. (origine et extrémité confondues)

Tout vecteur non nul u

admet un vecteur opposé noté u

qui a même direction et même norme que u

, mais de sens contraire.

Le vecteur nul est son propre opposé.

d) Translation : Étant donnée un vecteur u

, la translation de vecteur u

est la transformation du plan qui, à un point A donné,

associé l’unique point A’ tel que AA u

.


2) Opérations sur les vecteurs : a) Addition de vecteurs : Comme dans le plan, il y a deux méthodes pour additionner des vecteurs. Relation de Chasles : (on ajoute les vecteurs bout à bout dans un plan)

Soit u et v

deux vecteurs quelconques. On peut trouver trois points A, B et C dans un même plan tels que AB u et BC v

.

La somme des vecteurs u et v

est le vecteur, noté u v

, défini par u v AC

. On a donc AB BC AC

.

Règle du parallélogramme : (Les vecteurs ont la même origine)

Soit u et v

deux vecteurs quelconques. On peut trouver un parallélogramme ABCD tel que AB u et AD v

. Le vecteurs

u v

est le vecteur diagonal qui part de A et arrive en C. On a AC AB AD

.

Méthode : Comment additionner des vecteurs sur une figure avec la relation de Chasles ?

A partir d’un point origine, on place le premier vecteur. A l’extrémité de celui-ci, on place le deuxième vecteur. Le vecteur

somme a pour origine, l’origine du premier vecteur et pour extrémité, l’extrémité du second vecteur. Méthode : Comment additionner des vecteurs sur une figure avec la règle du parallélogramme ?

A partir d’un point origine, on place le premier vecteur et aussi le deuxième vecteur. On construit alors un parallélogramme en

pointillés. Le vecteur somme est le vecteur diagonal du parallélogramme, partant de l’origine.

b) Différence de deux vecteurs : La différence de deux vecteurs se trouve en ajoutant au premier l’opposé du deuxième :

u v u ( v)

.

c) Multiplication par un réel :

Soit u

un vecteur de l’espace et k un réel quelconque. On appelle produit du vecteur u

par le réel k le vecteur, noté k u

, défini

par :

- Si u

= 0

ou si k = 0 alors k u

= 0

.

- Si u 0

et k > 0, alors k u

et u

sont de même direction, de même sens et ku k u

.

- Si u 0

et k < 0, alors k u

et u

sont même direction, de sens opposés et ku k u

.

d) Règles de calcul : Pour tout vecteurs de l’espace u

, v

et w

et pour tout réels a et b

u v v u

(commutativité) (u v) w u (v w)

(associativité)

u 0 u

u u 0

a(u v) au av

(distributivité) (a b)u au bu

a(bu) (ab)u

au 0 équivaut à a 0 ou u 0

1 u u

( 1) u u


Méthode : Comment utiliser la relation de Chasles dans un calcul vectoriel ? Méthode 1 : Simplification de sommes vectorielles.

On regroupe les vecteurs par deux, de façon à ce que le point extrémité du premier corresponde au point origine du deuxième. Alors on peut simplifier la somme en un seul vecteur dont le point origine est celui du premier et le point extrémité celui du

deuxième. Attention, si un vecteur est multiplié par un réel k, le deuxième vecteur doit aussi être multiplié par k pour pouvoir simplifier la somme. Le vecteur final est bien sûr multiplié par k.

Application : Simplifier la somme 2AB CD 2BE 3DE 2EA

.

Démonstration :

2AB CD 2BE 3DE 2EA 2AB 2BE CD DE 2DE 2EA 2AE CE 2DA 2DA 2AE CE 2DE CE

.

Méthode 2 : Création de nouveaux vecteurs. Lorsque nous avons un vecteur à disposition, on peut en créer deux en passant par un point intermédiaire, qui sera le point

extrémité du premier vecteur et le point origine du deuxième vecteur. Si le vecteur de départ est multiplié par un coefficient k, ce coefficient se distribue aux deux vecteurs créés.

Application : Montrer que AB DC AC DB

.

Démonstration : Intercalons le point C dans le premier vecteur et le point B dans le deuxième vecteur.

AB DC AC CB DB BC AC CB DB CB AC DB

.

3) Colinéarité :

a) Définition : On dit que u

et v

sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que u kv

ou tel que v ku

.

(Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction) b) Application :

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB

et AC

sont colinéaires.

Deux droites (AB) et (MN) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB

et MN

sont colinéaires.

Méthode : Comment montrer un alignement ou du parallélisme avec du calcul vectoriel ?

Pour différentier les cas alignement et parallélisme, on choisit les vecteurs avec un point commun pour l’alignement.

On peut utiliser directement la relation de Chasles pour trouver une relation de la forme u kv

. Si cela semble peu évident, on

peut aussi utiliser la relation de Chasles pour décomposer u

et v

à l’aide des mêmes vecteurs intermédiaires (en utilisant les

relations vectorielles données par l’énoncé) et ainsi trouver la relation u kv

. On conclut alors à la colinéarité de u

et v

. Cela

nous donne du parallélisme de droite et la présence d’un point commun aux deux vecteurs nous permet de conclure à l’alignement.

Application : A, B et C sont trois sommets d’un cube. On considère les

points P et T tels que 1

AP AB2

et BT 3AC 2AB

.

Montrer que les points C, T et P sont alignés.

Démonstration : Considérons les vecteurs CT

et CP

. Comme il semble compliqué de trouver directement une relation entre les

deux, décomposons chacun en fonction des mêmes vecteurs. Pour cela utilisons les côtés ou les diagonales du cube ainsi que

les égalités vectorielles fournies par l’énoncé.

L’énoncé relie B et T donc, utilisons B : CT CB BT CA AB 3AC 2AB AC 3AC AB AB 2AC

.

L’énoncé relie A et P donc, utilisons A : 1 1

CP CA AP AC AB AB AC2 2

.

Nous remarquons que CT 2CP

. Les vecteurs CT

et CP

sont colinéaires. Le point C est commun donc les points C, T et P

sont alignés.


4) Combinaison linéaire de trois vecteurs :

a) Définition : On considère trois vecteurs u, v et w

.

On dit que u

est combinaison linéaire des vecteurs v et w

si et seulement si il existe deux réels k et k tels que u kv k w

.

Lorsqu’une telle égalité est impossible, on dit que u, v et w

sont linéairement indépendants.

Remarque : La disposition des vecteurs dans cette égalité peut changer car u

est combinaison linéaire des vecteurs v et w

si et

seulement si v

est combinaison linéaire des vecteurs u et w

si et seulement si w

est combinaison linéaire des vecteurs v et u

.

La définition reste encore valable avec quatre, cinq, six, etc ….vecteurs.

b) Propriété : Les vecteurs u, v et w

sont linéairement indépendants si et seulement si au bv cw 0

implique a = b = c = 0.

Méthode : Comment représenter une combinaison linéaire de vecteurs donnés ?

A partir d’un point d’application, on représente chacun des vecteurs au bout des précédents en respectant les trois

caractéristiques et en tenant compte des coefficients multiplicatifs éventuels. Application : Reprenons l’application précédente. A, B et C sont trois sommets d’un cube. On considère les points P et T tels

que 1

AP AB2

et BT 3AC 2AB

. Représenter le point T.

Démonstration :

Méthode : Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs à partir d’une figure ?

On décompose le vecteur à l’aide de la relation de Chasles pour obtenir une

combinaison linéaire formée par les vecteurs demandés. On peut bien-sûr passer provisoirement par l’utilisation de vecteurs égaux à ceux demandés. Application : Soit ABCDEFGH un cube. On considère le point I centre de la face

EFGH, le point J milieu de [BC] et K centre de la face CDHG.

A l’aide des vecteurs AB, AD et AE

, déterminer les vecteurs AI, AJ et AK

.


Démonstration : 1 1

AI AB AD AE2 2

. En effet, AI AE EI

. I est le milieu de [EG] donc 1

EI EG2

et selon la règle du

parallélogramme, EG EF EH

. En reconstituant, 1 1 1AI AE EF EH EF EH AE2 2 2

. Or EF AB

et EH AD

donc1 1

AI AB AD AE2 2

.

1AJ AB AD

2

. En effet, AJ AB BJ

. J est le milieu de [BC] donc

1BJ BC

2

. De plus, BC AD

donc

1AJ AB AD

2

.

1 1AK AB AD AE

2 2

. En effet, AK AD DK

. K est le milieu de [DG] donc

1DK DG

2

et selon la règle du

parallélogramme, DG DC DH

. En reconstituant, 1 1 1AK AD DC DH DC AD DH2 2 2

. Or DC AB

et

DH AE

donc1 1

AK AB AD AE2 2

.

2 – Droite dans l’espace : 1) Définition vectorielle d’une droite : Soit d une droite, A un point de d.

On appelle vecteur directeur d’une droite, tout vecteur u

non nul de même direction que la droite d. (Il dirige la droite)

Un point M appartient à la droite d passant par A et de vecteur directeur u

si et seulement si il existe un réel t tel que AM tu

(Une droite est l’ensemble des points de l’espace formant des vecteurs colinéaires à un vecteur directeur donné, à partir d’un

point donné). 2) Géométrie :

a) Par deux points A et B distincts de l’espace passe une droite et une seule : la droite (AB) de vecteur directeur AB

(par

exemple).

b) Deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

c) Par un point de l’espace, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée. On peut choisir que leurs vecteurs directeurs soient égaux.

d) Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Les trois vecteurs directeurs sont donc colinéaires. 3 – Plans dans l’espace :

1) Définition vectorielle d’un plan :

a) Définition 1 : On appelle direction d’un plan l’ensemble des vecteurs formés à partir des points appartenant au plan. b) Définition 2 : Deux vecteurs non nuls non colinéaires appartenant à la direction d’un plan permettent de construire tous les

autres vecteurs de ce plan par combinaison linéaire. On dit qu’ils engendrent la direction et on appelle ces vecteurs des vecteurs directeurs du plan.

c) Caractérisation : Soient p un plan, A un point de p et u

et v

deux vecteurs non colinéaires de p .

Un point M appartient au plan p passant par A et de vecteurs directeurs u

et v

si et seulement si il existe deux réels k et k’ tels

que AM ku k v

.

(Un plan est l’ensemble des vecteurs de l’espace en combinaison linéaire avec deux vecteurs directeurs donnés et formés à partir d’un point donné)


2) Vecteurs coplanaires :

a) Définition : Trois vecteurs u

, v

et w

de l’espace sont coplanaires si on peut trouver des représentants de u

, v

et w

dans un

même plan, c’est-à-dire s’il existe des points A, B, C et D appartenant à un même plan tels que u AB

, v AC

et w AD

Remarque : Le résultat porte sur trois vecteurs car deux vecteurs non colinéaires sont toujours coplanaires. Les représentants des vecteurs ne sont pas obligatoirement attachés à un même point dans le plan commun mais c’est un

principe qu’on essaiera d’appliquer pour avoir des certitudes sur le caractère coplanaire ou pour montrer que des points sont coplanaires. Sur une figure, des vecteurs peuvent sembler ne pas être physiquement dans un même plan et pourtant être coplanaires. La

définition nous dit qu’il faut trouver des représentants de chaque vecteur dans un plan commun. A la différence, des points coplanaires doivent appartenir vraiment au plan.

b) Caractérisation : Soient u

, v

et w

des vecteurs de l’espace tels que u

et v

ne soient pas colinéaires.

Les vecteurs u

, v

et w

sont coplanaires si et seulement si, ils sont liés par une combinaison linéaire si et seulement si il existe

deux réels k et k’ tels que : w ku k v

.

Les vecteurs u

, v

et w

ne sont pas coplanaires si et seulement si, ils sont linéairement indépendants si et seulement si

au bv cw 0

implique a = b = c = 0.

Remarque : Comme nous le savons déjà, la disposition des vecteurs peut changer. En pratique, on essaye si possible de choisir la plus évidente.

Méthode : Comment montrer que des vecteurs sont coplanaires à partir d’une figure ?

On détermine un plan commun dans lequel on essaye de trouver des vecteurs représentants, égaux aux vecteurs étudiés. Si on y arrive les vecteurs sont coplanaires. Si un point formant un vecteur représentant n’est pas dans ce plan commun alors les

vecteurs ne sont pas coplanaires. Application : On considère un pavé droit ABCDEFGH représenté ci-contre. On

note I et J les milieux respectifs des côtés [GH] et [FG]. Montrer que les vecteurs

IJ, FD et DH

sont coplanaires et montrer que les vecteurs IG, FD et DH

ne le sont

pas.


Démonstration : On se place dans le plan (DBFH). Les vecteurs FD et DH

sont des vecteurs de ce plan par définition. Ensuite,

selon le théorème de la droite des milieux, 1

IJ HF2

. HF

étant un vecteur de (DBFH) alors IJ

aussi. Donc IJ, FD et DH

sont

coplanaires.

Toujours placés dans (DBHF), on sait déjà que FD et DH

sont des vecteurs de ce plan . Ensuite IG HI

. H est un point de

(DBHF) mais I n’y appartient pas donc HI

n’est pas un vecteur de (DBHF). Donc HI, FD et DH

ne sont pas coplanaires d’où

IG, FD et DH

non plus.

Méthode : Comment montrer que des vecteurs sont coplanaires avec du calcul vectoriel ? Comment montrer que quatre points sont coplanaires ?

Pour deux vecteurs, il suffit de montrer que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

Pour trois vecteurs, il faut trouver une relation de combinaison linéaire à coefficients non tous nuls entre les trois vecteurs. La relation de Chasles et les égalités de vecteurs sont primordiales. Si la relation ne saute pas aux yeux, il peut être judicieux d’exprimer chacun des vecteurs en fonction des mêmes vecteurs à définir. Ensuite, il est possible que nous ayons à résoudre un

système d’équations. Pour montrer que quatre points sont coplanaires, il est judicieux de former les vecteurs à partir du même d’origine. Dans ce

cas, si les vecteurs formés sont coplanaires alors les quatre points seront coplanaires sinon, ils ne le seront pas.

Application : On considère une pyramide ABCDE de sommet E dont la base est le parallélogramme ABCD. Soit u AB

,

v 2AD DE

et w AC AE

. Démontrer que les vecteurs u, v et w

sont coplanaires.

Démonstration : Exprimons les vecteurs u, v et w

en fonction de AB, AD et AE

.

u AB

.

v 2AD DE 2AD DA AE 2AD AD AE AD AE

. (Règle de Chasles)

w AC AE AD AB AE

. (Règle du parallélogramme).

Nous remarquons que w AD AB AE u v

. Il existe une combinaison linéaires à coefficient non tous nuls entre

u, v et w

donc u, v et w

sont coplanaires.

3) Géométrie :

a) Trois points A, B et C distincts non alignés définissent un unique plan. C’est, par exemple, le plan passant par A et de

vecteurs directeurs AB

et AC

.

b) Lorsqu’un plan contient deux points distincts A et B alors il contient toute la droite (AB). c) Une droite d et un point A n’appartenant pas à la droite d définissent un plan et un seul.

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d) Si deux vecteurs directeurs d’un plan p sont colinéaires à deux vecteurs directeurs d’un plan

e) Si deux plans sont parallèles a un même troisième alors ces deux plans sont parallèles entre eux. Dans ce cas, on peut chodeux vecteurs directeurs communs aux trois plans.

f) Tous les résultats de la géométrie plane s’appliquent dans

4 – Intersections dans l’espace 1) Droite-Droite :

a) Point de vue géométrique : Dans l’espace, deux droites

Remarques : Deux droites sécantes ou deux droites parallèles permettent de définir un

b) Point de vue vectoriel : Soit d la droite de vecteur directeur

Méthode : Comment étudier le positionnement relatif entre deux droites

On teste le parallélisme de d et d’.

Si u

et u

sont colinéaires alors les droites sont parallèles ou confondus.

On prend un point A de la droite d Si A appartient à d’ alors Si A n’appartient pas à d

Si u

et u

ne sont pas colinéaires alors les droites sont sécantes ou non coplanaires.

La différence se fera en mettant en valeur l’existence d’un point commun entre les deux droites

avec certitude que les droites ne sont pas dans le même plan

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sont colinéaires à deux vecteurs directeurs d’un plan Q

e) Si deux plans sont parallèles a un même troisième alors ces deux plans sont parallèles entre eux. Dans ce cas, on peut chodeux vecteurs directeurs communs aux trois plans.

f) Tous les résultats de la géométrie plane s’appliquent dans chaque plan de l’espace.

:

: Dans l’espace, deux droites d et d’ peuvent être :

: Deux droites sécantes ou deux droites parallèles permettent de définir un plan et un seul.

la droite de vecteur directeur u

et d’ la droite de vecteur directeur

: Comment étudier le positionnement relatif entre deux droites ?

sont colinéaires alors les droites sont parallèles ou confondus.

d et on teste son appartenance à d’. alors les droites sont confondues.

d’ alors les droites sont strictement parallèles.

ne sont pas colinéaires alors les droites sont sécantes ou non coplanaires.

se fera en mettant en valeur l’existence d’un point commun entre les deux droites

avec certitude que les droites ne sont pas dans le même plan.

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Q alors p et Q sont parallèles.

e) Si deux plans sont parallèles a un même troisième alors ces deux plans sont parallèles entre eux. Dans ce cas, on peut choisir

plan et un seul.

la droite de vecteur directeur u

.

se fera en mettant en valeur l’existence d’un point commun entre les deux droites ou bien en montrant

M. ALBERNI

Application : On considère un cube ABCDEFGH. Les points I, J et L sont les milieux respect

O et K sont deux points tels que1

IO IJ2

et

1) (IO) et (DK). 2) (BJ) et (EF).

Démonstration :

1) 1 1 1 1 2 1

IO IJ HG DC DK DK2 2 2 2 3 3

(DK) sont strictement parallèles ou confondues. Le point I de (IO) n’appartient pas à (DK) donc les droites sont stri

parallèles.

2) Les vecteurs directeurs BJ et EF

ne sont pas colinéaires. Donc les droites (BJ) et (EF) sont sécantes ou non coplanaires. Or

les trois points F, J et B sont dans le plan (BCGF) et le point E n’appartient pas au plan

sont pas coplanaires donc les droites (BJ) et (EF) ne sont pas coplanaires.

3) Les vecteurs directeurs JL et BC

ne sont pas colinéaires donc les droites (JL) et (BC) sont sécantes ou non coplanaires.

les points J, L, B et C appartiennent au plan (BCGF) donc les droites (JL) et (BC) sont coplanaires, non parallèles alors ellsont sécantes.

2) Plan-Plan :

a) Point de vue géométrique : Dans l’espace, deux plans

b) Point de vue vectoriel : Soit p un plan et

Méthode : Comment étudier le positionnement relatif entre deux plans On teste le parallélisme de p et p’. Cela peut être justifié par la construction de la figure.

Si existe deux vecteurs directeurs du plan plans sont parallèles.

On prend un point A du plan p et on teste son appartenance à Si A appartient à p’ alors les plans sont c

Si A n’appartient pas à p’

S’il est impossible de montrer que la propriété du droite intersection en déterminant deux points communs

Remarque : Nous verrons une méthode différen


On considère un cube ABCDEFGH. Les points I, J et L sont les milieux respectifs des arêtes [EH], [FG] et [GC].

IO IJ

et3

DK DC2

. Étudier les positions relatives des couples de droites suivants.

2) (BJ) et (EF). 3) (JL) et (BC).

1 1 1 1 2 1IO IJ HG DC DK DK

2 2 2 2 3 3

. Les vecteurs directeurs IO et DK

sont colinéaires donc les droites (IO) et

(DK) sont strictement parallèles ou confondues. Le point I de (IO) n’appartient pas à (DK) donc les droites sont stri


les trois points F, J et B sont dans le plan (BCGF) et le point E n’appartient pas au plan (BCGF). Donc les points F, J, B et E ne

sont pas coplanaires donc les droites (BJ) et (EF) ne sont pas coplanaires.

ne sont pas colinéaires donc les droites (JL) et (BC) sont sécantes ou non coplanaires.

les points J, L, B et C appartiennent au plan (BCGF) donc les droites (JL) et (BC) sont coplanaires, non parallèles alors ell

: Dans l’espace, deux plans p et p’ peuvent être :

un plan et p’ un plan.

: Comment étudier le positionnement relatif entre deux plans ?

Cela peut être justifié par la construction de la figure.

plan p colinéaires à deux vecteurs directeurs du plan p’

et on teste son appartenance à p’. alors les plans sont confondus.

’ alors les plans sont strictement parallèles.

que la propriété du 3 – 3) d) est vraie alors les plans sont sécants et nodroite intersection en déterminant deux points communs aux deux plans. La droite passe par ces deux points.

différente (et plus efficace) dans les prochains chapitres.

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ifs des arêtes [EH], [FG] et [GC].

. Étudier les positions relatives des couples de droites suivants.

sont colinéaires donc les droites (IO) et

(DK) sont strictement parallèles ou confondues. Le point I de (IO) n’appartient pas à (DK) donc les droites sont strictement


BCGF). Donc les points F, J, B et E ne

ne sont pas colinéaires donc les droites (JL) et (BC) sont sécantes ou non coplanaires. Or

les points J, L, B et C appartiennent au plan (BCGF) donc les droites (JL) et (BC) sont coplanaires, non parallèles alors elles

(propriété 3 – 3) d) alors les

sécants et nous devons identifier la aux deux plans. La droite passe par ces deux points.

M. ALBERNI

Application : ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [Dans chacun des cas suivants, déterminer l’intersection des deux plans. Justifier.

1) (AIE) et (BIG) 2) (ADI) et (BJC).

Démonstration : 1) Par construction du cube, (AIE) et (BIG) ne sont pas parallèles.

aux deux plans. Le plan (AEI) est aussi le plan (ABFE) donc B est commun aux deux plans. La droite intersection est donc (IB).

2) Les points A, D, I, B, J et C sont sur la même face donc (ADI) et (BJC) sont confondus.

3) EH

et EF

sont deux vecteurs non colinéaires de (

colinéaires de (BJC) (donc ils sont directeurs de (BJC))

colinéaires). Donc les plans (HEF) et (BJC) sont parallèles ou confondus. Par construction du cube, les deux plans soparallèles.

3) Droite-Plan :

a) Point de vue géométrique : Dans l’espace,

b) Point de vue vectoriel : Soit p un plan de vecteurs directeurs

Méthode : Comment étudier le positionnement relatif entre

On teste le parallélisme de p et d.

1er cas :

Si on connait un vecteur de p qui est colinéaire à

On prend un point A de la droite d

Si A appartient à p alors la droite est incluse dans le plan. Si A n’appartient pas à p

Si on ne connait pas un tel vecteur, on ne peut rien conclure et il faut passer au deuxième cas.

2e cas :

Si les vecteurs u

, v et w

sont coplanaires alors

On prend un point A de la droite d

Si A appartient à p alors la droite est incluse dans le plan. Si A n’appartient pas à p

Si les vecteurs u

, v et w

ne sont pas coplanaires (

Il s’agit alors de trouver le point commun au plan et à la droite.

Remarque : Nous verrons une méthode différente da


ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [ CD]. des cas suivants, déterminer l’intersection des deux plans. Justifier.

2) (ADI) et (BJC). 3) (HEF) et (BJC).

1) Par construction du cube, (AIE) et (BIG) ne sont pas parallèles. Donc les plans sont sécants selon une

aux deux plans. Le plan (AEI) est aussi le plan (ABFE) donc B est commun aux deux plans. La droite intersection est donc

Les points A, D, I, B, J et C sont sur la même face donc (ADI) et (BJC) sont confondus.

non colinéaires de (HEF) (donc ils sont directeurs de (HEF)) et BC

(donc ils sont directeurs de (BJC)). Or EH BC

(donc ils sont colinéaires) et

colinéaires). Donc les plans (HEF) et (BJC) sont parallèles ou confondus. Par construction du cube, les deux plans so

: Dans l’espace, pour un plan p et une droite d :

de vecteurs directeurs v et w

et d une droite de vecteur directeur

: Comment étudier le positionnement relatif entre un plan et une droite ?

qui est colinéaire à u

alors le plan et la droite sont parallèles.

d et on teste son appartenance à p.

alors la droite est incluse dans le plan. alors le plan et la droite sont strictement parallèles.

ait pas un tel vecteur, on ne peut rien conclure et il faut passer au deuxième cas.

sont coplanaires alors le plan et la droite sont parallèles.

d et on teste son appartenance à p.

alors la droite est incluse dans le plan. alors le plan et la droite sont strictement parallèles.

ne sont pas coplanaires (ils sont alors linéairement indépendants) alors le plan et la droite sont sécants.

Il s’agit alors de trouver le point commun au plan et à la droite.

: Nous verrons une méthode différente dans les prochains chapitres.

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Donc les plans sont sécants selon une droite. I est commun

aux deux plans. Le plan (AEI) est aussi le plan (ABFE) donc B est commun aux deux plans. La droite intersection est donc

BC

et JC

sont deux vecteurs non

(donc ils sont colinéaires) et EF 2JC

(donc ils sont

colinéaires). Donc les plans (HEF) et (BJC) sont parallèles ou confondus. Par construction du cube, les deux plans sont

de vecteur directeur u

.

linéairement indépendants) alors le plan et la droite sont sécants.


Application : ABCDEFGH est un cube. M est le milieu de [CD] ; N est le centre de la face ABCD ; P est le milieu de [GH] ; Q est le centre de la face BCGF. Dans chacun des cas suivants, déterminer l’intersection entre le plan et la droite. Justifier.

1) (AEGC) et (FB). 2) (ACE) et (GN). 3) (PQ) et (ABC).

Démonstration :

1) FB

vecteur directeur de (FB) est colinéaire à GC

(car égaux) qui est un vecteur de (AEGC). Donc (FB) et (AEGC) sont

parallèles. Comme F et B ne sont pas des points de (AEGC) alors (FB) est strictement parallèle à (AEGC).

2) GN

vecteur directeur de (GN) est coplanaire avec AE

et AC

qui sont des vecteurs directeurs de (ACE). Donc (GN) et

(ACE) sont parallèles. Comme N ACE alors la droite (GN) est incluse dans (ACE).

3) AB EF

et BC FG

donc AB

et BC

sont des vecteurs directeurs de (EFGH). P EFGH et Q EFGH donc (PQ) n’est pas parallèle à (EFGH) et donc non plus à (ABC). Alors (PQ) est sécante avec (ABC). (PQ) coupe (ABC) en un point K situé

sur (AB). 5 – Base et repère de l’espace : 1) Base :

a) Définition : On appelle base d’un plan tout couple i , j

formé de vecteurs du plan non colinéaires.

On appelle base de l’espace tout triplet i , j, k

formé de vecteurs non coplanaires.

Remarque : les vecteurs i , j et k

sont non nuls et non colinéaires deux à deux.

Méthode : Comment montrer que deux vecteurs forment une base d’un plan ? Comment montrer que trois vecteurs forment une base de l’espace ? Pour montrer que deux vecteurs forment une base d’un plan, il faut montrer que ces vecteurs sont des vecteurs du plan et qu’ils ne sont pas colinéaires. Pour montrer que trois vecteurs forment une base de l’espace, il faut montrer que ces vecteurs ne sont pas coplanaires. Application : ABCDEFGH est un parallélépipède et O est le centre du parallélogramme EFGH. 1) Donner deux vecteurs qui forment une base du plan (ABC).

2) a) Justifier que AC,OH

est une base du plan (ABC).

b) Compléter AC,OH

pour former une base de l’espace.

3) GO, FB,CE

est-elle une base de l’espace ? Justifier.


Démonstration :

1) Prenons deux vecteurs non colinéaires de (ABC) . AB,AD

est une base de (ABC).

2) a) BD

et AC

sont des vecteurs non colinéaires de (ABC). 2OH BD

donc OH

et AC

sont des vecteurs non colinéaires de

(ABC). Donc AC,OH

est une base de (ABC).

b) Il faut ajouter un vecteur u

tels que u, OH

et AC

soient non coplanaires. A ABC et E ABC donc AE

n’est pas un

vecteur de (ABC). Donc AE, OH

et AC

ne sont pas coplanaires. En conclusion, AC,OH,AE

est une base de l’espace.

3) On se place dans le plan (GEAC). GFBC est un parallélogramme donc FB GC

. Par définition, GO

et CE

sont des

vecteurs de (GEAC). Les vecteurs GO, FB

et CE

sont donc coplanaires et GO, FB,CE

n’est pas une base de l’espace.

b) Propriété et définition : Soit i , j, k

une base de l’espace.

Pour tout vecteur u

de l’espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que u xi yj zk

.

(x ; y ; z) sont les coordonnées de u

dans la base i , j, k

. On écrit

x

u y

z

.

Méthode : Comment décomposer un vecteur dans une base ? Il faut écrire ce vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. La relation de Chasles et les égalités de vecteurs sont primordiales. Application : On considère un tétraèdre ABCD. Soit I le milieu de [DC] et J le milieu de [BD].

1) Justifier que les vecteurs u AB

, v AC

et w AD

forment une base de l’espace.

2) Exprimer les vecteurs suivants en fonction de u, v et w

, puis en déduire leurs coordonnées dans la base u, v, w

.

a) AJ

b) BI

c) BD

.

Démonstration : 1) Par définition d’un tétraèdre, le point A n’appartient pas au plan (BCD) donc les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires

donc les vecteurs u AB

, v AC

et w AD

ne sont pas coplanaires et dans ce cas, u, v, w

forme une base de l’espace.

2) a) 1 1 1 1 1 1AJ AB BJ u BD u BA AD u u w u w2 2 2 2 2 2

. Les coordonnées de AJ

sont

12

12

AJ 0

.

b) 1 1 1 1 1 1BI BC CI BA AC CD AB AC CA AD AB AC AC AD u v w2 2 2 2 2 2

.

Les coordonnées de BI

sont 12

12

1

BI

.

c) BD BA AD AB AD u w

. Les coordonnées de BD

sont

1

BD 0

1

.


2) Repère :

a) Définition : Un repère de l’espace est un quadruplet O; i, j, k

où O est un point de l’espace (appelé origine du repère) et

i , j, k

est une base de l’espace.

b) Propriété et définition : Soit O; i, j, k

un repère de l’espace. Pour tout point M, il existe un unique triplet de réels

(x ; y ; z) de réels tels que OM xi yj zk

.

(x ; y ; z) sont les coordonnées de M, x est l’abscisse de M, y est l’ordonnée de M et z est la cote de M. On écrit M (x ; y ; z)

Remarque : Par convention, pour ne pas les confondre, on écrit les coordonnées des points en ligne et les coordonnées des

vecteurs en colonne mais ce n’est pas une erreur d’écrire tout en ligne.

c) Calcul analytique : L’espace est rapporté au repère O; i, j, k

.

i) Soit

x

u y

z

et

x

v y

z

alors

x x

u v y y

z z

et

kx

ku ky

kz

pour tout k réel ;

ii) u

= 0

si et seulement si x = 0, y = 0 et z = 0.

iii) u v

si et seulement si x = x’, y = y’ et z = z’.

iv) Soit A (xA ; yA ; zA) et B (xB ; yB ; zB) deux points et I leur milieu alors B A

B A

B A

x x

AB y y

z z

et I A B A B A B

x x y y z z; ;

2 2 2

.

Remarque : Toutes les définitions et propriétés vues dans ce chapitre pourront être abordées du point de vue des coordonnées.

Méthode : Comment déterminer les coordonnées d’un point à partir d’une relation vectorielle ? On calcule les coordonnées des vecteurs de la relation avec la formule du cours. Lorsqu’un point a des coordonnées inconnues,

on pose x, y et z ce qui nous amènera à résoudre des équations.

Application : L’espace est muni d’un repère O; i, j, k

On donne les points A 2;4;3 , B 0;1;5 et C 5; 3;3 . On appelle G le centre de gravité du triangle ABC défini par l’égalité

vectorielle GA GB GC 0

. Déterminer les coordonnées du point G dans le repère O; i, j, k

.

Démonstration : Soit G(x ; y ; z). Alors

2 x

GA 4 y

3 z

;

x

GB 1 y

5 z

et

5 x

GC 3 y

3 z

.

73

23

113

2 x x 5 x 0 7 3x 0 x

GA GB GC 0 4 y 1 y 3 y 0 2 3y 0 y

3 z 5 z 3 z 0 11 3z 0 z

. Les coordonnées de G sont

7 2 11G ; ;

3 3 3

.


Méthode : Comment montrer que des vecteurs sont colinéaires ou pas avec des coordonnées ? Comment montrer que trois points définissent un plan ?

On calcule les coordonnées des vecteurs. S’il existe un coefficient évident qui multiplie les trois coordonnées du premier vecteur pour obtenir les trois coordonnées du

deuxième vecteur alors les vecteurs sont colinéaires. Si deux coordonnées du premier vecteur se multiplient par deux coefficients différents évidents pour obtenir les deux coordonnées correspondantes du deuxième vecteur, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Si les coefficients n’apparaissent pas de manière évidente, on peut aussi diviser les coordonnées d’un vecteur par les coordonnées correspondantes de l’autre vecteur. Cela permet, en cas d’égalité des rapports, de conclure à la colinéarité. Si au

moins deux coefficients différents apparaissent alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Pour montrer que trois points définissent un plan, il suffit de former deux vecteurs qui ont le même point origine et de montrer qu’ils ne sont pas colinéaires.

Application :

1) On donne les points A 1;2;1 , B 2; 1;3 et C 3; 4;5 . Démontrer que les points A, B et C sont alignés.

2) On donne A 2;3; 2 , B 1;3;1 et C 1;1;0 . Démontrer que A, B et C définissent un plan. Démonstration :

1) Calculons

2

2

2

1 2

AB 3 6 AC

2 4

. Nous obtenons AC 2AB

donc les vecteurs AB

et AC

sont colinéaires. Comme A est

un point commun alors les points A, B et C sont alignés.

2) Calculons

13

0

1 3

AB 0 2 AC

3 2

. Les vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont alignés. Donc ils

définissent un plan. Le plan (ABC).

Méthode : Comment montrer que trois vecteurs ou quatre points sont coplanaires avec des coordonnées ?

On calcule les coordonnées des trois vecteurs. Si l’énoncé nous demande de calculer les coordonnées d’une combinaison linéaire donnée et qu’on obtienne des coordonnées

nulles, on peut conclure que les vecteurs sont coplanaires.

Sinon, on forme une relation de la forme w ku k v

avec k et k’ deux réels à déterminer. On passe aux coordonnées. Cela

nous donne un système de trois équations à deux inconnues. (Astuce pratique : Si un de vecteurs a une coordonnée nulle, il

vaut mieux placer ce vecteur dans la combinaison linéaire ; le système sera plus simple à résoudre.) On résout le système. Pour cela, on fait une première résolution avec deux équations du système que l’on choisie. Et en cas de

solution, on vérifie la cohérence du système en utilisant la ligne qui était mise de côté. Si le système est cohérent, les vecteurs sont coplanaires. Par contre, s’il est incohérent, les vecteurs ne sont pas coplanaires. Pour déterminer si quatre points sont coplanaires, il suffit de reprendre la méthode décrite ci-dessus avec des vecteurs formés à

partir du même point d’appui.

Application :

1) Dans l’espace muni d’un repère O; i, j, k

, on considère les vecteurs

1

u 2

3

,

1

v 2

3

et

3

w 2

3

.

a) Calculer les coordonnées du vecteur 2u v w

.

b) Que peut-on en déduire ?


Démonstration :

a)

2 1 3

2u v w 4 2 2

6 3 3

d’où

0

2u v w 0

0

. Alors 2u v w 0

.

b) 2u v w 0 v 2u w

. Les vecteurs u, v et w

sont coplanaires ou bien u; v; w


2) Dans la base i , j, k

, on donne les vecteurs u i j 2k

, v i j 2k

et w 3i j 2k

.

a) Déterminer deux réels a et b tels que w au bv

.

b) Que peut-on en déduire ?

Démonstration :

a) w au bv 3i j 2k a i j 2k b i j 2k 3i j 2k ai aj 2ak bi bj 2bk

3 a b

3i j 2k a b i a b j 2a 2b k 1 a b

2 2a 2b

. Avec la ligne 1 et 2,

3 a b

1 a b

2 2a

. Alors a = 1. Avec la

ligne 1, 3 a b b 3 a 3 1 2 . Vérifions la cohérence avec la ligne 3 : 2a 2b 2 1 2 2 2 . Ok.

Le système est cohérent donc w u 2v

.

b) w u 2v

donc les vecteurs u, v et w

sont coplanaires ou bien u; v; w


3) On donne les points A 1;2;1 ; B 1; 2;3 , C 2;2;5 et D 1;0;0 . a) Démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

b) Que peut-on dire de D,DA, DB,DC

?

Démonstration :

a)

0

DA 2

1

;

2

DB 2

3

et

1

DC 2

5

. Vérifions qu’il n’existe pas de réels k et k’ tels que DB kDA k DC

.

2 0 k

DB kDA k DC 2 2k 2k

3 k 5k

.

Avec la ligne 1, k 2 . Avec la ligne 2, 2 2k 2k 2 2k 4 2 2k k 1 .

Vérifions avec la ligne 3 : k 5k 1 5 2 1 10 9 3 . Le système n’est pas cohérent donc il n’existe pas de réels k

et k’ tels que DB kDA k DC

. Ces vecteurs ne sont pas coplanaires et comme ils ont le point D en commun, les points A, B,

C et D ne sont pas coplanaires.

b) Comme les vecteurs qui le composent ne sont pas coplanaires alors D,DA, DB,DC

est un repère de l’espace.

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