COURS DE MATHÉMATIQUES CLASSE DE TERMINALE · COURS DE MATHS - TERMINALE S CHAPITRE 4....

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Lycée Edgar QUINET 63, rue des Martyrs 75 009 PARIS Manuel scolaire : math x - Editions Didier C OURS DE M ATHÉMATIQUES C LASSE DE T ERMINALE S Emmanuel DUPUY [email protected] PARIS Année 2017-2018

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Lycée Edgar QUINET

63, rue des Martyrs75 009 PARIS

Manuel scolaire : math′x - Editions Didier

COURS DE MATHÉMATIQUES

CLASSE DE TERMINALE S

Emmanuel DUPUY

[email protected]

PARIS

Année 2017-2018

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COURS DE MATHS - TERMINALE S

Sommaire

CHAPITRE 1. Raisonnement par récurrence

§ 1. Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7a. Suite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7b. Suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7c. Suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8d. Sommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

§ 2. Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9a. Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9b. Démontrer une égalité par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9c. Démontrer une inégalité par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

CHAPITRE 2. Dérivation et continuité

§ 1. Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11a. Fonction dérivable en un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11b. Tangente à une courbe en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12c. Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13d. Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13e. Dérivées et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

§ 2. Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14a. Fonction monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14b. Signe de la dérivée et monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14c. Extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

§ 3. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15a. Fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15b. Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

CHAPITRE 3. Fonction exponentielle

§ 1. Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18a. Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18b. Positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18c. Relation fonctionnelle caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19d. Le nombre e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19e. La notation ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

§ 2. Étude de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20a. Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20b. Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20c. Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

§ 3. Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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COURS DE MATHS - TERMINALE S

CHAPITRE 4. Suites numériques

§ 1. Comportement global d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22a. Suite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22b. Suite majorée, minorée, bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

§ 2. Comportement asymptotique d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23a. Suite convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23b. Suite admettant pour limite +∞ ou −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24c. Suite divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

§ 3. Limites et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24a. Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24b. Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25c. Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

§ 4. Classiques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26a. Limite par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26b. Théorème des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26c. Suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27d. Suite monotone bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27e. Suite définie par une relation de récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

CHAPITRE 5. Fonctions cosinus et sinus

§ 1. Cosinus et sinus d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29§ 2. Fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

a. Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30b. Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30c. Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30d. Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31e. Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

§ 3. Fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31a. Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31b. Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32c. Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32d. Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32e. Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

CHAPITRE 6. Nombres complexes

§ 1. Nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34a. Forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34b. Plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34c. Nombres complexes égaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35d. Module et argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35e. Opposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36f. Conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

§ 2. Calcul dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37a. Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37b. Produit par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37c. Différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38d. Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38e. Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39f. Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39g. Propriétés de la conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Lycée Edgar QUINET 3/92 Emmanuel DUPUY

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COURS DE MATHS - TERMINALE S

§ 3. Formes exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40a. Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40b. Propriétés du module et de l’argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40c. Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

§ 4. Équations du second degré à coefficients réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42§ 5. Nombres complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

a. Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42b. Angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

CHAPITRE 7. Limites de fonctions

§ 1. Limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44a. Limite finie en +∞ ou −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44b. Limite infinie en +∞ ou −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44c. Asymptote oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45d. Limite infinie en un réel a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46e. Limite à gauche, limite à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46f. Limite finie en un réel a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

§ 2. Limites et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47a. Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47b. Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48c. Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

§ 3. Limites par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49a. Théorème des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49b. Limite par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49c. Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49d. Limite par composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

CHAPITRE 8. Probabilités, conditionnement, indépendance

§ 1. Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51a. Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51b. Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51c. Probabilité d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52d. Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52e. Espérance, variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

§ 2. Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53a. Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53b. Partition d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54c. Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54d. Arbre de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

§ 3. Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56a. Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56b. Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56c. Expériences aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

CHAPITRE 9. Fonction logarithme népérien

§ 1. Fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58a. Fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58b. Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

§ 2. Etude de la fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60a. Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60b. Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60c. Limites aux bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61d. Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61e. Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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CHAPITRE 10. Intégration

§ 1. Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63a. Intégrale d’une fonction continue et positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63b. Intégrale d’une fonction continue et négative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64c. Intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

§ 2. Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64a. Primitive d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64b. Ensemble des primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65c. Primitive vérifiant une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65d. Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66e. Tableaux de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66f. Intégrale et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67g. Théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

§ 3. Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68a. Intégrale nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68b. Intégrale opposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68c. Linéarité de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68d. Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69e. Positivité de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69f. Comparaison d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69g. Valeur moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

CHAPITRE 11. Droites, plans et vecteurs de l’espace

§ 1. Droites et plans de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71a. Positions relatives de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71b. Positions relatives d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71c. Positions relatives de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72d. Propriétés d’incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72e. Caractérisation du parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72f. Théorème du toit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

§ 2. Vecteurs de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73a. Vecteur de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73b. Vecteurs coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73c. Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 3. Caractérisations vectorielles d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74a. Caractérisation vectorielle d’une droite de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74b. Caractérisation vectorielle d’un plan de l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 4. Repères de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75a. Repère de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75b. Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

§ 5. Représentations paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75a. Représentation paramétrique d’une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75b. Représentation paramétrique d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

CHAPITRE 12. Lois de probabilité

§ 1. Lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77a. Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77b. Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

§ 2. Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78a. Loi de probabilité à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78b. Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78c. Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79d. Durée de vie sans vieillissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

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§ 3. Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80a. Loi normale N (0 ; 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80b. Loi normale N (µ ; σ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81c. Détermination de uα tel que : p(−uα É X É uα) = 1−α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82d. Intervalles à « 1, 2 ou 3 sigmas » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83e. Théorème de Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

CHAPITRE 13. Produit scalaire dans l’espace

§ 1. Orthogonalité dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84a. Droites orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84b. Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84c. Droite orthogonale à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84d. Propriété d’incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

§ 2. Produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85a. Norme d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85b. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85c. Nullité du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86d. Expression analytique du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86e. Bilinéarité du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86f. Projeté orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86g. Théorème du cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87h. Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

§ 3. Produit scalaire dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87a. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87b. Expressions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87c. Orthogonalité dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

§ 4. Plan : vecteur normal et équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88a. Vecteur normal à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88b. Équation cartésienne d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

CHAPITRE 14. Fluctuation d’échantillonnage et estimation

§ 1. Fluctuation d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90a. Intervalle de fluctuation au seuil de 95% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90b. Intervalle de fluctuation asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91c. Prise de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

§ 2. Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 1. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

CHAPITRE

1Raisonnement par récurrence

§ 1. Suites numériques

a. Suite numérique

DÉFINITION

Une suite numérique est une fonction (un ) définie sur l’ensemble N des entiers naturels àvaleurs dans l’ensemble R des réels, qui à n ∈N associe un ∈R.

On note :

(un ) :N→R

n 7→ un

EXEMPLE

• Suite définie explicitement :Pour tout n ∈N, on pose : un = 2n+1.

• Suite définie par une relation de récurrence :

Pour tout n ∈N, on pose :

v0 = 1vn+1 =

pvn +6

.

• Suite définie par sommation :

Pour tout n ∈N, on pose : Sn = 02 +12 + ...+n2 =n∑

k=0k2.

b. Suite arithmétique

DÉFINITION

Soit r un réel.

Une suite (un) est une suite arithmétique de raison r lorsque, pour tout n ∈N :

un+1 = un + r

EXEMPLE

• Nombres impairsLa suite des nombres impairs est une suite arithmétique de premier terme 1 et deraison 2.

PROPRIÉTÉ

Si (un ) est une suite arithmétique de raison r , alors, pour tout n ∈N :

un = u0 +n× r

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 1. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

PREUVE Par récurrence...

EXEMPLE

• Nombres impairsPour tout n ∈N, on a : un = u0 +n× r = 1+n×2 = 2n+1.

c. Suite géométrique

DÉFINITION

Soit q un réel non nul.

Une suite (un) est une suite géométrique de raison q lorsque, pour tout n ∈N :

un+1 = q ×un

EXEMPLE

• Puissances de 2La suite des puissances de 2 est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison2.

PROPRIÉTÉ

Si (un ) est une suite géométrique de raison q 6= 0, alors, pour tout n ∈N :

un = qn ×u0

PREUVE Par récurrence...

EXEMPLE

• Puissances de 2Pour tout n ∈N, on a : un = qn ×u0 = 2n ×1= 2n .

d. Sommation

PROPRIÉTÉ

Pour tout n ∈N et pour tout réel non nul q 6= 1 :

• 1+2+ ...+n =n× (n+1)

2.

• 1+q + ...+qn =1−qn+1

1−q.

PREUVE

• On ajoute la somme « écrite à l’endroit » et la somme « écrite à l’envers ».

On pose : Sn = 1+ ...+n.

On a : Sn +Sn = (1+ ...+n)+ (n+ ...+1) = n× (n+1).

D’où : Sn =n× (n+1)

2. ä

• On enlève la somme « multipliée par q » à la somme.

On pose : Tn = 1+q + ...+qn .

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 1. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

On a : Tn −qTn = (1+q + ...+qn )− (q +q2 + ...+qn+1) = 1−qn+1.

D’où : Tn =1−qn+1

1−q. ä

§ 2. Raisonnement par récurrence

a. Raisonnement par récurrence

MÉTHODE

Pour montrer par un raisonnement par récurrence qu’une propriété P (n) est vraie pourtout entier n Ê n0 :

• Initialisation :On montre que la propriété P (n0) est vraie.

• Hérédité :On suppose que la propriété P (n) est vraie pour une valeur arbitraire de n Ê n0.On montre que la propriété P (n+1) est vraie.

• Conclusion :La propriété P (n) est vraie pour tout entier n Ê n0.

b. Démontrer une égalité par récurrence

EXERCICE

• Démontrer que la propriété P (n) suivante est vraie pour tout n ∈N :

02 +12 + ...+n2 =n(n+1)(2n+1)

6

RÉSOLUTION

Initialisation :

D’une part : 02 = 0.

D’autre part :0× (0+1)× (2×0+1)

6= 0.

Par conséquent, la propriété P (0) est vraie.

Hérédité :On suppose que la propriété P (n) est vraie pour une valeur arbitraire de n.

C’est à dire : 02 +12 + ...+n2 =n(n+1)(2n+1)

6.

On veut montrer que la propriété P (n+1) est vraie.

C’est à dire : 02 +12 + ...+ (n+1)2 =(n+1)(n+2)(2n+3)

6.

02 +12 + ...+ (n+1)2 = 02 +12 + ...+n2 + (n+1)2

=n(n+1)(2n+1)

6+ (n+1)2 par hypothèse de récurrence

=n(n+1)(2n+1)+6(n+1)2

6=

(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]

6

=(n+1)(2n2 +7n+6)

6=

(n+1)(n+2)(2n+3)

6Ainsi, la propriété P (n+1) est vraie.

Conclusion :

La propriété P (n) est vraie pour tout entier n Ê 0.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 1. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

c. Démontrer une inégalité par récurrence

EXERCICE

• Soit x Ê 0 un réel.

Démontrer que la propriété P (n) suivante est vraie pour tout n ∈N :

(1+ x)n Ê 1+nx

Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Bernoulli.

RÉSOLUTION En classe...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 2. DÉRIVATION ET CONTINUITÉ

CHAPITRE

2Dérivation et continuité

§ 1. Dérivation

a. Fonction dérivable en un réel

DÉFINITION

On considère une fonction f définie sur un intervalle I.Soient a ∈ I et h 6= 0 tel que a +h ∈ I.

• On dit que f est dérivable en a lorsque le réelf (a +h)− f (a)

h, appelé le taux de varia-

tions de f entre a et a +h, admet une limite finie lorsque h tend vers 0.

a a +h

f (a)

f (a +h)

C f

bA

bM

b

On note alors :

f ′(a) = limh→0

f (a +h)− f (a)

h

• Le réel f ′(a) s’appelle le nombre dérivé de f en a.

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2.

On prend par exemple a = 1 et on considère h 6= 0.

f (1+h)− f (1)

h=

(1+h)2 −12

h=

2h+h2

h= 2+h et lim

h→0(2+h) = 2

Par conséquent, la fonction f est dérivable en 1 et f ′(1) = 2.

CONTRE-EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) =p

x.

On considère h 6= 0.

f (0+h)− f (0)

h=

p0+h −

p0

h=

ph

h=

1p

het lim

h→0

1p

h=+∞

Par conséquent, la fonction f n’est pas dérivable en 0.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 2. DÉRIVATION ET CONTINUITÉ

REMARQUE

Dans la pratique et pour calculer une dérivée, on utilisera les dérivées des fonctions usuelleset de leurs opérations vues dans ce chapitre plutôt que la DÉFINITION précédente.

b. Tangente à une courbe en un point

DÉFINITION

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a ∈ I. On note C f la courbede f dans un repère.

Soit A le point de C f de coordonnées(

a ; f (a))

.

La tangente à la courbe C f au point A est la droite passant par A et de coefficient directeurf ′(a).

REMARQUE

Dans les conditions précédentes, la tangente (T ) à la courbe C f au point A est la droitelimite des droites (AM) lorsque h tend vers 0.

C f

(T )

bA

b

M1

b

M2

b

M3

PROPRIÉTÉ

Dans les conditions de la DÉFINITION, une équation de la tangente (T ) à la courbe C f aupoint A est donnée par :

(T ) : y = f ′(a)(x −a)+ f (a)

PREUVE

Par définition de la tangente (T ) à la courbe C f au point A, on a :

(T ) : y = f ′(a)× x +b avec b ∈R

Comme A(

a ; f (a))

∈ (T ), on a par équivalences successives :

f (a)= f ′(a)×a +b ⇔ b = f (a)− f ′(a)×a

D’où (T ) : y = f ′(a)× x + f (a)− f ′(a)×a.

D’où (T ) : y = f ′(a)(x −a)+ f (a). ä

EXEMPLE

• f (x) = x2 et a = 1.

On a (T ) : y = f ′(1)(x −1)+ f (1).

Or : f (1) = 12 = 1 et f ′(1) = 2.

D’où (T ) : y = 2(x −1)+1.

D’où (T ) : y = 2x −1.

(T)C f

b

A

b

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 2. DÉRIVATION ET CONTINUITÉ

c. Fonction dérivée

DÉFINITION

On considère une fonction f dérivable pour tout réel x ∈ I.

• On dit que f est dérivable sur I.

• La fonction f ′ définie sur I par l’expression f ′(x) s’appelle la fonction dérivée de f .

d. Dérivées des fonctions usuelles

PROPRIÉTÉ

On considère deux réels a et b et n ∈Z− 0 ; 1.

Expression f (x) Expression f ′(x) Commentaire

ax +b a sur R

xn nxn−1 sur R si n > 0 et sur R− 0 sinon

1

x−

1

x2sur R− 0

px

1

2p

xsur ]0 ; +∞[

PREUVE Admise...

Il faut « mettre la main à la pâte » en étudiant limh→0

f (x +h)− f (x)

h.

On ne le fera pas...

e. Dérivées et opérations

PROPRIÉTÉ

On considère deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I, λ une constante réelle,et n ∈Z− 0 ; 1.

Fonction f Dérivée f ′ Commentaire

λu λu′ sur I

u+ v u′+ v ′ sur I

uv u′v +uv ′ sur I

un nu′un−1 sur J⊂ I tel que u(x) 6= 0 lorsque n < 0

1

v−

v ′

v2sur J⊂ I tel que v(x) 6= 0

u

v

u′v −uv ′

v2sur J⊂ I tel que v(x) 6= 0

pu

u′

2p

usur J⊂ I tel que u(x) > 0

PREUVE Admise...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 2. DÉRIVATION ET CONTINUITÉ

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = (2x +1)p

x.

La fonction f est de la forme uv avec u et v définies par u(x) = 2x +1 et v(x) =p

x.Les fonctions u et v sont dérivables sur ]0 ; +∞[ donc la fonction f est dérivable sur]0 ; +∞[.

Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[, on a : f ′(x) = 2×p

x + (2x +1)×1

2p

x=

4x

2p

x+

2x +1

2p

x=

6x +1

2p

x.

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = (−3x +2)5.

La fonction f est de la forme un avec u définie par u(x) =−3x +2 et n = 5.La fonction u est dérivable sur R donc la fonction f est dérivable sur R.

Pour tout x ∈R, on a : f ′(x) = 5× (−3)× (−3x +2)4 =−15(−3x +2)4 .

§ 2. Sens de variations

a. Fonction monotone

DÉFINITION

On considère une fonction f définie sur un intervalle I.

• La fonction f est croissante sur I lorsquepour tous réels a et b de I :

a É b ⇒ f (a) É f (b)

C f

a b

f (a)

f (b)

• La fonction f est décroissante sur I

lorsque pour tous réels a et b de I :

a É b ⇒ f (a) Ê f (b)

C f

a b

f (a)

f (b)

REMARQUE

Dans la pratique et pour montrer qu’une fonction est monotone, on utilisera le THÉORÈME

qui suit plutôt que cette DÉFINITION.

b. Signe de la dérivée et monotonie

THÉORÈME

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si, pour tout x ∈ I, f ′(x) Ê 0, et f ′(x) = 0 seulement en des points isolés, alors f est stric-tement croissante sur I.

• Si, pour tout x ∈ I, f ′(x) = 0, alors f est constante sur I.

• Si, pour tout x ∈ I, f ′(x) É 0, et f ′(x) = 0 seulement en des points isolés, alors f est stric-tement décroissante sur I.

PREUVE Admise...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 2. DÉRIVATION ET CONTINUITÉ

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x3.

La fonction f est dérivable sur R.Pour tout x ∈R, on a : f ′(x) = 3x2.Pour tout x ∈R, f ′(x) Ê 0 et f ′(x) = 0 seulement lorsque x = 0.D’après le THÉORÈME, la fonction f est strictement croissante sur R.

c. Extremum local

PROPRIÉTÉ

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ]a ; b[ de R.Si f ′ s’annule et change de signe en c ∈ ]a ; b[, alors f admet un extremum local en c.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x3 −2x2 +2.

La fonction f est dérivable sur R.

Pour tout x ∈R, on a : f ′(x) = 3x2 −4x = x(3x −4).

x

f ′(x)

−∞ 0 43 +∞

+ 0 − 0 +

La fonction f ′ s’annule et change de signe en 0 et en4

3donc, d’après la PROPRIÉTÉ, la

fonction f admet un extremum local en 0 et un extremum local en4

3.

§ 3. Continuité

a. Fonction continue

DÉFINITION

On considère une fonction f définie sur un intervalle I et un réel a ∈ I.

• La fonction f est continue en a lorsque :

limx→a

f (x) = f (a)

• La fonction f est continue sur I lorsque f

est continue pour tout a ∈ I.

Intuitivement, une fonction f est conti-nue sur I lorsque la courbe de f se traced’un trait continu, c’est à dire sans lever lecrayon.

C f

a x

f (a)

f (x)

REMARQUE

Dans la pratique et pour montrer qu’une fonction est continue, on utilisera la PROPRIÉTÉ

qui suit plutôt que cette DÉFINITION.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 2. DÉRIVATION ET CONTINUITÉ

PROPRIÉTÉ

• Les fonctions usuelles ainsi que les fonctions construites à partir de ces fonctions parune des 4 opérations ou par composition, sont continues sur chaque intervalle de leurensemble de définition.

• Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R−

1

3

par f (x) =4x2 +1

3x −1.

La fonction f est une fonction rationnelle définie sur R−

1

3

donc f est continue sur

chacun des intervalles

]

−∞ ;1

3

[

et

]

1

3; +∞

[

.

CONTRE-EXEMPLE

• Soit E la fonction partie entière définie sur R par E(x) = n où n est l’unique entierrelatif tel que :

n É x < n+1

1

2

3

−1

−2

1 2 3 4−1−2

La fonction E est discontinue pour tout réel a ∈Z.

En effet, on prend par exemple a = 2.

D’une part : limx→2+

E(x) = 2. D’autre part : limx→2−

E(x) = 1.

Comme limx→2

E(x) 6= E(2), alors la fonction partie entière n’est pas continue en 2.

b. Théorème des valeurs intermédiaires

PROPRIÉTÉ (TVI)

On considère une fonction f continue surun intervalle I et deux réels a ∈ I et b ∈ I.

Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b),il existe au moins un réel c compris entre a

et b tel que f (c) = k.

On devine que le réel k est une valeur inter-

médiaire entre les réels f (a) et f (b).

C f

a c1 c2 c3 b

f (a)

k

f (b)

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 2. DÉRIVATION ET CONTINUITÉ

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 − x −2.

La fonction f est une fonction polynôme donc f est continue sur R.

On a : f (1) =−2 et f (2) = 0.

Puisque −1 est compris entre f (1) et f (2), alors, d’après le théorème des valeurs inter-médiaires, il existe au moins un réel c compris entre 1 et 2 tel que f (c) =−1.

COROLLAIRE

On considère une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b].

Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k admet une unique solutionα dans l’intervalle [a ; b].

a α b

k

f (a)

f (b)

C f

PREUVE Admise...

REMARQUE

Lorsque k = 0, on peut remplacer la condition « k compris entre f (a) et f (b) » par « f (a) etf (b) sont de signes contraires » ou « f (a)× f (b) < 0 ».

EXERCICE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x3 + x −3.

1. Dénombrer les solutions de l’équation f (x) = 0.

2. Donner un encadrement d’amplitude 10−2 de la (ou des) solution(s) trouvée(s).

RÉSOLUTION En classe...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 3. FONCTION EXPONENTIELLE

CHAPITRE

3Fonction exponentielle

§ 1. Fonction exponentielle

a. Fonction exponentielle

THÉORÈME

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que :

• f ′(x) = f (x) sur R.

• f (0) = 1.

PREUVE Admise...

DÉFINITION

La fonction du THÉORÈME s’appelle la fonction exponentielle, notée provisoirement exp.Ainsi :

• exp′(x) = exp(x) pour tout x ∈R.

• exp(0) = 1.

PROPRIÉTÉ

Pour tout x ∈R, on a :

• exp(x) 6= 0.

• exp(−x) =1

exp(x).

PREUVE

Soit g la fonction définie sur R par : g (x) = exp(x)×exp(−x).

La fonction g est dérivable sur R et, pour tout x ∈R :

g ′(x) = exp(x)×exp(−x)+exp(x)× (− exp(−x)) = 0

La fonction g est donc constante sur R. Or : g (0)= 1.

Par conséquent et pour tout x ∈R : exp(x)×exp(−x) = 1.

Par conséquent et pour tout x ∈R : exp(−x) =1

exp(x). ä

b. Positivité

PROPRIÉTÉ

Pour tout x ∈R, on a :

• exp(x) > 0.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 3. FONCTION EXPONENTIELLE

PREUVE

S’il existait x ∈ R tel que exp(x) < 0, puisque exp(0) > 0 et puisque la fonctionexponentielle est continue, alors, d’après le théorème des valeurs intermédiaires,il existerait α compris entre 0 et x tel que exp(α) = 0.

C’est absurde puisque la fonction exponentielle ne s’annule jamais. ä

c. Relation fonctionnelle caractéristique

THÉORÈME

Pour tous réels x et y , on a :

• exp(x + y) = exp(x)×exp(y).

PREUVE

Soient x, y ∈R et soit g la fonction définie sur R par : g (x) = exp(x + y)×exp(−x).

La fonction g est dérivable sur R et, pour tout x ∈R :

g ′(x) = exp(x + y)×exp(−x)+exp(x + y)× (− exp(−x)) = 0

La fonction g est donc constante sur R.

Or : g (0)= exp(y).

Par conséquent et pour tous réels x et y : exp(x + y)×exp(−x) = exp(y).

Par conséquent et pour tous réels x et y : exp(x + y) = exp(x)×exp(y). ä

COROLLAIRE

Pour tous réels x et y , et pour tout n ∈Z, on a :

• exp(x − y) =exp(x)

exp(y).

• exp(nx) = exp(x)n .

PREUVE Admise...

d. Le nombre e

NOTATION

On note e = exp(1) ≃ 2,718.

REMARQUE

Pour tout n ∈Z, on a :

• en = exp(n).

e. La notation ex

NOTATION

Pour tout x ∈R, on note :

• ex = exp(x).

REMARQUE

La notation ex = exp(x) prolonge à tout réel x l’égalité pour les entiers en = exp(n).

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 3. FONCTION EXPONENTIELLE

En outre, elle produit des formules analogues à celles sur les puissances vues au Collège.

§ 2. Étude de la fonction exponentielle

a. Dérivée

PROPRIÉTÉ

La fonction exponentielle est dérivable sur R et pour tout x ∈R, on a :

• exp′(x) = exp(x).

PREUVE Sans surprise...

COROLLAIRE

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

La fonction f définie sur I par f (x) = eu(x) est dérivable sur I et, pour tout x ∈ I, on a :

• f ′(x) = u′(x)eu(x).

PREUVE Admise...

EXERCICE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e−x2

2 .

Calculer f ′(x).

RÉSOLUTION

Le nombre f (x) est de la forme eu(x) avec u(x) =−x2

2.

La fonction u est dérivable sur R et pour tout x ∈R, on a : u′(x) =−x.

La fonction f est dérivable sur R et pour tout x ∈R, on a : f ′(x) =−x e−x2

2 .

b. Sens de variations

PROPRIÉTÉ

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Autrement dit et pour tous réels a et b :

• a = b ⇔ ea = eb .

• a < b ⇔ ea < eb .

PREUVE Issue de la stricte positivité de la fonction exponentielle...

c. Représentation graphique

PROPRIÉTÉ

La représentation graphique de la fonction exponentielle est une courbe exponentielle

croissante qui passe par le point A de coordonnées (0 ; 1).

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 3. FONCTION EXPONENTIELLE

REMARQUE

• Soit (T ) la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point A(0 ; 1).

On a (T ) : y = exp′(0)× (x −0)+exp(0).

D’où (T ) : y = x +1.

1

2

3

4

−1

1 2 3 4−1−2−3

(T )Cexp

b

A

PROPRIÉTÉ

• limx→0

ex −1

x= 1.

PREUVE

On a : limx→0

ex −1

x= lim

x→0

e0+x −e0

x= exp′(0) = 1. ä

§ 3. Résolution d’équations

MÉTHODE

• Pour résoudre une équation du type eu(x) = ev(x) :

On utilise l’équivalence eu(x) = ev(x) ⇔u(x) = v(x).

• Pour résoudre une équation du type eu(x) = k :

Lorsque k > 0, on utilise l’équivalence : eu(x) = k ⇔ u(x) = ln k, sinon l’équation n’a pasde solution.

• Pour résoudre une équation du type a e2x +b ex +c = 0 :

On pose X = ex , on résout aX 2 +bX +c = 0, et on résout ex = X1 et ex = X2.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 4. SUITES NUMÉRIQUES

CHAPITRE

4Suites numériques

§ 1. Comportement global d’une suite

a. Suite monotone

DÉFINITION

• Une suite (un) est croissante lorsque, pour tout n ∈N :

un+1 Ê un

• Une suite (un) est décroissante lorsque, pour tout n ∈N :

un+1 É un

MÉTHODE

Pour étudier les variations d’une suite (un ), on utilise l’une des méthodes suivantes :

1. On étudie le signe de la différence un+1 −un .

Si, pour tout n ∈N, un+1 −un Ê 0, alors (un) est croissante.

Si, pour tout n ∈N, un+1 −un É 0, alors (un) est décroissante.

2. Lorsque un = f (n), on étudie le sens de variations de f sur [0 ; +∞[.

Si f est croissante sur [0 ; +∞[, alors (un ) est croissante.

Si f est décroissante sur [0 ; +∞[, alors (un ) est décroissante.

3. Lorsque, pour tout n ∈N, un > 0, on étudie le quotientun+1

un.

Si, pour tout n ∈N,un+1

unÊ 1, alors (un ) est croissante.

Si, pour tout n ∈N,un+1

unÉ 1, alors (un ) est décroissante.

4. Le raisonnement par récurrence.

EXEMPLE

• Soit (un ) la suite définie par un =2n

n+1.

Pour tout n ∈N, on a : un > 0.

Pour tout n ∈N, on a :un+1

un=

2n+1

n+2×

n+1

2n=

2n+2

n+1> 1.

Par conséquent, la suite (un ) est strictement croissante.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 4. SUITES NUMÉRIQUES

b. Suite majorée, minorée, bornée

DÉFINITION

• Une suite (un) est minorée lorsqu’il existe un réel m, indépendant de n, tel que, pourtout n ∈N :

un Ê m

On dit que m est un minorant de la suite (un).

• Une suite (un ) est majorée lorsqu’il existe un réel M , indépendant de n, tel que, pourtout n ∈N :

un É M

On dit que M est un majorant de la suite (un).

• Une suite (un) est bornée lorsqu’elle est à la fois minorée et majorée.

EXEMPLE

• Soit (un ) la suite définie par un = (−1)n .

Pour tout n ∈N, on a : −1 É un É 1.

Par conséquent, la suite (un ) est bornée.

CONTRE-EXEMPLE

• Soit (un ) la suite définie par un =p

n.

Pour tout réel M , il existe un entier n tel que un Ê M .

Il suffit de prendre n Ê M2. Par conséquent, la suite (un) n’est pas majorée.

§ 2. Comportement asymptotique d’une suite

a. Suite convergente

DÉFINITION

Une suite (un) converge vers un réel l et on note :

limn→+∞

un = l ou lim (un) = l

lorsque tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’uncertain rang p.

EXEMPLE

• Soit (un ) la suite définie pour tout entier n > 0 par un =1

n.

Soit r > 0. L’intervalle ouvert ]−r ; r [ contient le réel 0.

Il existe p ∈N tel que1

p< r . Il suffit que p >

1

r.

Pour tout entier n Ê p, on a : un É up < r .

L’intervalle ouvert ]−r ; r [ contient tous les termes de la suite (un ) à partir du rang p

donc (un ) converge vers 0.

REMARQUE

Dans la pratique et pour montrer qu’une suite converge vers un réel, on utilisera les limitesde référence énoncées dans la suite de ce chapitre plutôt que cette DÉFINITION.

Lycée Edgar QUINET 23/92 Emmanuel DUPUY

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 4. SUITES NUMÉRIQUES

b. Suite admettant pour limite +∞ ou −∞

DÉFINITION

• Une suite (un ) tend vers +∞ lorsque tout intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes dela suite à partir d’un certain rang p.

• Une suite (un ) tend vers −∞ lorsque tout intervalle ]−∞ ; A[ contient tous les termes dela suite à partir d’un certain rang p.

EXEMPLE

• Soit (un ) la suite définie pour tout n ∈N par un = n2.

Soit A un réel positif arbitrairement grand.

Il existe p ∈N tel que p2 > A. Il suffit que p >p

A.

Pour tout entier n Ê p, on a : un Ê up > A.

L’intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes de la suite (un ) à partir du rang p donclim (un ) =+∞.

PROPRIÉTÉ

Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit (un ) une suite arithmétique de raison r > 0.

Pour tout n ∈N, on a un = u0 +n× r .

La suite (un ) est croissante car r > 0.

Pour tout A ∈R, il existe n ∈N tel que n > A. Il suffit que n >A−u0

r.

Autrement dit, la suite (un) est non majorée.

La suite (un ) est croissante et non majorée donc, lim (un )=+∞.

c. Suite divergente

DÉFINITION

Une suite diverge lorsqu’elle ne converge pas et lorsqu’elle ne tend pas vers +∞ ou −∞.

EXEMPLE

• Soit (un ) la suite définie pour tout n ∈N par un = (−2)n .

§ 3. Limites et opérations

a. Limite d’une somme

PROPRIÉTÉ

Soient l et l ′ deux réels et (un ) et (vn) deux suites.

Le tableau suivant indique lim (un + vn) selon lim (un ) et lim (vn).

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 4. SUITES NUMÉRIQUES

❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳

lim (un )lim (vn)

l ′ +∞ −∞

l l + l ′ +∞ −∞+∞ +∞ +∞ FI

−∞ −∞ FI −∞

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit (un ) la suite définie pour tout n > 0 par un = 2n+1

n.

On a : limn→+∞

2n =+∞ et limn→+∞

1

n= 0.

Donc, par limite d’une somme : limn→+∞

un =+∞.

b. Limite d’un produit

PROPRIÉTÉ

Soient l et l ′ deux réels non nuls et (un ) et (vn) deux suites.

Le tableau suivant indique lim (un × vn) selon lim (un ) et lim (vn).

❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳

lim (un )lim (vn)

l ′ 0 +∞ −∞

l l × l ′ 0 ±∞ ±∞0 0 0 FI FI

+∞ ±∞ FI +∞ −∞−∞ ±∞ FI −∞ +∞

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit (un ) la suite définie pour tout n > 0 par un = 2n−100p

n.

On a : limn→+∞

2n =+∞ et limn→+∞

100p

n =+∞.

Donc, par limite d’une différence : limn→+∞

un = FI.

En fait, pour tout n ∈N, on a : un = 2p

n(p

n−50).

On a : limn→+∞

2p

n =+∞ et limn→+∞

pn−50 =+∞.

Donc, par limite d’un produit : limn→+∞

un =+∞.

• Soit (un ) la suite définie pour tout n > 0 par un =1

n(n2 +n).

On a : limn→+∞

1

n= 0 et lim

n→+∞(n2 +n) =+∞.

Donc, par limite d’un produit : limn→+∞

un = FI.

On lève la forme indéterminée car, pour tout n > 0,1

n(n2 +n) = n+1.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 4. SUITES NUMÉRIQUES

c. Limite d’un quotient

PROPRIÉTÉ

Soient l et l ′ deux réels non nuls et (un ) et (vn) deux suites.

Le tableau suivant indique limun

vnselon lim (un) et lim (vn).

❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳

lim (un)lim (vn)

l ′ 0 +∞ −∞

ll

l ′±∞ * 0 0

0 0 FI 0 0

+∞ ±∞ ±∞ * FI FI

−∞ ±∞ ±∞ * FI FI

* Lorsque vn garde un signe constant.

PREUVE Admise...

§ 4. Classiques sur les limites

a. Limite par comparaison

PROPRIÉTÉ

Soient (un) et (vn) deux suites.

Si, pour n suffisamment grand, un Ê vn , et lim (vn) =+∞, alors lim (un ) =+∞.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit (un ) la suite définie sur N par un = n−2 sin n.

Pour tout n ∈N, on a : sin n É 1 ⇔−2 sin n Ê−2⇔ un Ê n−2.

On a : limn→+∞

(n−2) =+∞ donc, par minoration, lim (un ) =+∞.

b. Théorème des gendarmes

THÉORÈME

Soient (un), (vn) et (wn) trois suites.

Si, pour n suffisamment grand, vn É un É wn , et lim (vn) = lim (wn) = l , alors lim (un ) = l .

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit (un ) la suite définie pour tout entier n > 0 par un =1

nsin n.

Pour tout n > 0, on a : −1É sinn É 1 ⇔−1

nÉ un ⇔

1

n.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 4. SUITES NUMÉRIQUES

On a : limn→+∞

−1

n= lim

n→+∞1

n= 0 donc, d’après le théorème des gendarmes, lim (un ) = 0.

c. Suite géométrique

PROPRIÉTÉ

Soit (un ) une suite géométrique de raison q .

• Si q > 1, alors lim (un ) =+∞ lorsque u0 > 0 et lim (un ) =−∞ lorsque u0 < 0.

• Si q = 1, alors (un ) est convergente et lim (un ) = u0.

• Si −1 < q < 1, alors (un) est convergente et lim (un )= 0.

• Si q É−1, alors (un) est divergente.

PREUVE Admise...

EXERCICE

• Calculer la limite de la suite Sn =n∑

i=0xn où x est un réel tel que −1 < x < 1.

RÉSOLUTION

On a : Sn =1− xn+1

1− xet lim

n→+∞xn+1 = 0.

Par conséquent : limn→+∞

Sn =1

1− x.

d. Suite monotone bornée

PROPRIÉTÉ

Toute suite croissante et majorée est convergente.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit (un ) la suite définie par :

u0 = 0 ; u1 = 0,1 ; u2 = 0,12 ; · · · ; u10 = 0,123 456 789 10 ; · · ·

Pour tout n ∈ N, on a par exemple un < 0,2. En outre, la suite (un ) est strictementcroissante.

Par conséquent, la suite (un ) est convergente.

e. Suite définie par une relation de récurrence

PROPRIÉTÉ

On considère une suite (un ) définie par son premier terme u0 et par un+1 = f (un ) où f estune fonction continue.

Si (un ) converge vers un réel l , alors f (l) = l .

PREUVE Admise...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 4. SUITES NUMÉRIQUES

EXEMPLE

• Soit (un ) la suite définie par u0 = 0 et par un+1 =1

2un +4.

Si (un ) converge vers un réel l , alors1

2l +4 = l .

Or :1

2l +4 = l ⇔ l = 8.

Par conséquent, (un ) ne peut converger que vers 8.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 5. FONCTIONS COSINUS ET SINUS

CHAPITRE

5Fonctions cosinus et sinus

§ 1. Cosinus et sinus d’un nombre réel

REMARQUE

On considère un repère orthonormal direct (O ; ~u, ~v).

On note I et J les points de coordonnées (1 ; 0) et (0 ; 1) et on considère le cercle trigono-

métrique C de centre O et de rayon 1.

A tout réel x correspond un unique point M sur le cercle trigonométrique tel que la mesure

de l’arc intercepté par l’angle orienté (−→u ;−−→OM) soit égale à x.

x

cos x

sin xC

b

ObI

bJ

b

b

M

DÉFINITION

Avec les notations précédentes :

• Le cosinus du réel x, noté cos x, est l’abscisse du point M dans le repère orthonormal.

La fonction cosinus est la fonction f définie sur R par :

f (x) = cos x

• Le sinus du réel x, noté sin x, est l’ordonnée du point M dans le repère orthonormal.

La fonction sinus est la fonction g définie sur R par :

g (x)= sin x

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 5. FONCTIONS COSINUS ET SINUS

§ 2. Fonction cosinus

a. Dérivabilité

PROPRIÉTÉ

La fonction cosinus est dérivable sur R et, pour tout x ∈R, on a :

• (cos x)′ =−sin x.

PREUVE Admise...

COROLLAIRE

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

La fonction f définie sur I par f (x) = cos (u(x)) est dérivable sur I et, pour tout x ∈ I, on a :

• f ′(x) =−u′(x) sin (u(x)).

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = cos (2x +π).

La fonction f est dérivable sur R et, pour tout x ∈R, on a : f ′(x) =−2 sin (2x +π).

b. Périodicité

PROPRIÉTÉ

La fonction cosinus est périodique de période 2π.

Autrement dit, pour tout x ∈R, on a :

• cos (x +2π) = cos x.

PREUVE Sur le cercle trigonométrique, on retombe sur nos pattes à chaque tour...

REMARQUE

Pour étudier la fonction cosinus, il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π, parexemple sur l’intervalle [0 ; 2π].

c. Parité

PROPRIÉTÉ

La fonction cosinus est paire.

Autrement dit, pour tout x ∈R, on a −x ∈R et :

• cos (−x) = cos x.

PREUVE Par la symétrie d’axe (Ox), les abscisses sont égales...

REMARQUE

Pour étudier la fonction cosinus, il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude π, parexemple sur l’intervalle [0 ; π].

Lycée Edgar QUINET 30/92 Emmanuel DUPUY

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 5. FONCTIONS COSINUS ET SINUS

d. Sens de variations

PROPRIÉTÉ

La fonction cosinus est décroissante sur l’intervalle [0 ; π].

PREUVE

x

−sin x

cos x

0 π

11

−1−1

e. Représentation graphique

PROPRIÉTÉ

La représentation graphique de la fonction cosinus est une sinusoïde.

1

−1

−3π

2−π −

π

2

π

2 π3π

2

PREUVE Admise...

§ 3. Fonction sinus

a. Dérivabilité

PROPRIÉTÉ

La fonction sinus est dérivable sur R et, pour tout x ∈R, on a :

• (sin x)′ = cos x.

PREUVE Admise...

COROLLAIRE

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

La fonction f définie sur I par f (x) = sin (u(x)) est dérivable sur I et, pour tout x ∈ I, on a :

• f ′(x) = u′(x) cos (u(x)).

PREUVE Admise...

Lycée Edgar QUINET 31/92 Emmanuel DUPUY

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 5. FONCTIONS COSINUS ET SINUS

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = sin (x2 −1).

La fonction f est dérivable sur R et, pour tout x ∈R, on a : f ′(x) = 2x cos (x2 −1).

b. Périodicité

PROPRIÉTÉ

La fonction sinus est périodique de période 2π.

Autrement dit, pour tout x ∈R, on a :

• sin (x +2π) = sin x.

PREUVE Sur le cercle trigonométrique, on retombe sur nos pattes à chaque tour...

REMARQUE

Pour étudier la fonction sinus, il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π, parexemple sur l’intervalle [0 ; 2π].

c. Parité

PROPRIÉTÉ

La fonction sinus est impaire.

Autrement dit, pour tout x ∈R, on a −x ∈R et :

• sin (−x) =−sin x.

PREUVE Par la symétrie d’axe (Ox), les ordonnées s’opposent...

REMARQUE

Pour étudier la fonction sinus, il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude π, parexemple sur l’intervalle [0 ; π].

d. Sens de variations

PROPRIÉTÉ

La fonction sinus est croissante sur l’intervalle[

0 ;π

2

]

et décroissante sur l’intervalle[π

2; π

]

.

PREUVE

x

cos x

sin x

0 π2 π

+ 0 −

00

11

00

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 5. FONCTIONS COSINUS ET SINUS

e. Représentation graphique

PROPRIÉTÉ

La représentation graphique de la fonction sinus est une sinusoïde.

1

−1

−3π

2−π −

π

2

π

2 π3π

2

PREUVE Admise...

Lycée Edgar QUINET 33/92 Emmanuel DUPUY

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 6. NOMBRES COMPLEXES

CHAPITRE

6Nombres complexes

§ 1. Nombres complexes

a. Forme algébrique

DÉFINITION

Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O ; ~u, ~v).

On considère un point M du plan de coordonnées(

x ; y)

.

• L’affixe du point M ou du vecteur−−→OM est le nombre complexe z = x+iy où i est un nombre

imaginaire tel que :i2 =−1

• La forme x + iy est la forme algébrique de z.

• Le réel x est la partie réelle de z, notée Re (z).

• Le réel y est la partie imaginaire de z, notée Im (z).

• On note C l’ensemble des nombres complexes.

b. Plan complexe

DÉFINITION

• Le plan muni du repère (O ; ~u, ~v) est appelé le plan complexe.

• La droite (O ; ~u) est appelée l’axe réel.

Cet axe est l’ensemble des points M d’affixe z = x +0i = x, avec x ∈R.

Le nombre complexe x est dit réel.

• La droite (O ; ~v) est appelée l’axe imaginaire.

Cet axe est l’ensemble des points M d’affixe z = 0+ iy = iy , avec y ∈R.

Le nombre complexe iy est dit imaginaire pur.

EXEMPLE

b A(3)

b B(2i)

b

C(−2− i)

b D(2+3i)

b I(1)

b J(i)

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 6. NOMBRES COMPLEXES

c. Nombres complexes égaux

PROPRIÉTÉ

Deux nombres complexes z = x + iy et z ′ = x′+ iy ′ sont égaux, et on note z = z ′, lorsque :• x = x′ et y = y ′.

PREUVE Dans le plan complexe...

d. Module et argument

DÉFINITION

On note(

ρ ; θ)

les coordonnées polaires dans le repère (O ; ~u) d’un point M de coordon-nées cartésiennes

(

x ; y)

, distinct de O, d’affixe z = x + iy .

• Le module de z, noté |z|, est le réel positif défini par :

|z| = ρ = OM

• Un argument de z, noté arg z, est un réel défini par :

arg z = θ = (−→u ;−−→OM) (mod 2π)

ρ

x

y

θb

b

O

M

~u

~v

PROPRIÉTÉ

Avec les notations précédentes.

• |z| =√

x2 + y2.

• x = ρcosθ⇔ cosθ =x

ρ.

• y = ρ sinθ⇔ sinθ =y

ρ.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• z1 =−1+ ip

3.

On a : |z1| =√

(−1)2 +p

32 = 2.

On a : cos (arg z1) =−1

2et sin (arg z1) =

p3

2. D’où : arg z1 =

3(mod 2π).

• |z2| = 3 et arg z2 =π

4.

On a : x2 = 3cosπ

4=

3p

2

2et y2 = 3sin

π

4=

3p

2

2.

D’où : z2 =3p

2

2+ i

3p

2

2.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 6. NOMBRES COMPLEXES

32

π4

2π3

bz1

bz2

b

e. Opposé

DÉFINITION

L’opposé du nombre complexe z = x + iy est le nombre complexe noté −z défini par :• −z =−x − iy .

REMARQUE

• Les points M1 et M2 d’affixes z et −z sont symétriques par rapport à O.

• |−z| = |z|.• arg (−z)= arg z +π (mod 2π).

ρ

ρ

θπ

bM1

b

O

b

M2

f. Conjugué

DÉFINITION

Le conjugué du nombre complexe z = x + iy est le nombre complexe noté z défini par :• z = x − iy .

REMARQUE

• Les points M1 et M2 d’affixes z et z sont symétriques par rapport à l’axe (O ; ~u).

•∣

∣z∣

∣= |z|.• arg (z) =−arg z (mod 2π).

ρ

ρ

θ−θ

bM1

b

O

b

M2

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 6. NOMBRES COMPLEXES

PROPRIÉTÉ

Pour tout z ∈C, on a :

• z = z.

• z réel ⇔ z = z.

• z imaginaire pur ⇔ z =−z.

PREUVE Deux derniers points...

On pose z = x + iy .

• On a : z = z ⇔ x − iy = x + iy ⇔ 2iy = 0 ⇔ y = 0 ⇔ z = x.C’est à dire z réel. ä

• On a : z =−z ⇔ x − iy =−x − iy ⇔ 2x = 0⇔ x = 0⇔ z = iy .C’est à dire z imaginaire pur. ä

§ 2. Calcul dans C

a. Somme

DÉFINITION

Soient z = x + iy et z ′ = x′+ iy ′ deux nombres complexes.

La somme de z et de z ′, notée z + z ′, est définie par :

• z + z ′ = x + x′+ i(y + y ′).

REMARQUE

Si M1 et M2 sont les points d’affixes z et z ′, alors z + z ′ est l’affixe du point S défini par :−→OS =

−−−→OM1 +

−−−→OM2 car S a pour coordonnées

(

x + x′ ; y + y ′). Autrement dit :• z−−−→

OM1+−−−→OM2

= z−−−→OM1

+ z−−−→OM2

.

M1 (z)

M2 (z ′)S (z + z ′)

bO b

b

b

PROPRIÉTÉ

Pour tout z ∈C, on a :

• z +z = 2 Re (z).

PREUVE Par la forme algébrique...

b. Produit par un réel

DÉFINITION

Soient z = x + iy un nombre complexe et k ∈R.

Le produit de z par k, noté kz, est défini par :

• kz = kx + ik y .

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 6. NOMBRES COMPLEXES

REMARQUE

Si M est le point d’affixe z, alors kz est l’affixe du point P défini par :−→OP = k

−−→OM car P a

pour coordonnées(

kx ; k y)

. Autrement dit :• z

k−−→OM

= k z−−→OM

.

c. Différence

DÉFINITION

Soient z et z ′ deux nombres complexes.

La différence entre z et z ′, notée z − z ′, est définie par :

• z − z ′ = z + (−z ′).

PROPRIÉTÉ

Pour n’importe quels points A et B du plan, on a :

• zB − zA = z−→AB

.

• |zB − zA| = AB.

• arg (zB − zA) = (−→u ;−→AB).

PREUVE

On a : zB − zA = z−→OB

− z−→OA

= z−→OB−−→OA

= z−→AB

. ä

Soit D le point du plan tel que−−→OD =−→

AB.

On a : zD = z−−→OD

= z−→AB

= zB − zA.

D’où : |zB − zA| = |zD| = OD = AB. äEt : arg (zB − zA) = arg (zD) = (−→u ;

−−→OD) = (−→u ;

−→AB). ä

A (zA)

B (zB)

ρ

b

b

b

O

b D

b

θ

PROPRIÉTÉ

Pour tout z ∈C, on a :

• z −z = 2 i Im (z).

PREUVE Par la forme algébrique...

d. Produit

DÉFINITION

Soient z = x + iy et z ′ = x′+ iy ′ deux nombres complexes.

Le produit de z par z ′, notée z × z ′, est défini par :

• z × z ′ = (xx′− y y ′)+ i (x y ′+ x′y).

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 6. NOMBRES COMPLEXES

EXEMPLE

• z = 3+4i et z ′ = 7−2i.

On a : z × z ′ = (3+4i)× (7−2i) = 21−6i+28i+8 = 29+22i.

REMARQUE

Dans la pratique, plutôt que d’utiliser la formule de la DÉFINITION, on développe commedans l’EXEMPLE sans perdre de vue que i2 =−1.

PROPRIÉTÉ

Pour tout z ∈C, on a :

• z z = |z|2.

PREUVE Par la forme algébrique à l’aide de la 3ème égalité remarquable...

e. Inverse

PROPRIÉTÉ

Tout nombre complexe non nul z admet un nombre complexe inverse, noté1

z, défini par :

•1

z=

x

x2 + y2− i

y

x2 + y2.

PREUVE

On a : z z = |z|2 ⇔ z ×z

|z|2= 1 et

z

|z|2=

x

x2 + y2− i

y

x2 + y2. ä

EXEMPLE

• z = 1+2i.

On a :1

z=

1

1+2i=

1−2i

(1+2i)(1−2i)=

1−2i

5.

REMARQUE

Dans la pratique, plutôt que d’utiliser la formule de la DÉFINITION, on multiplie commedans l’EXEMPLE le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

f. Quotient

DÉFINITION

Soient z et z ′ deux nombres complexes tels que z ′ 6= 0.

Le quotient de z par z ′, notéez

z ′ , est défini par :

•z

z ′ = z ×1

z ′ .

EXEMPLE

• z = 1− i et z ′ = 1+ i.

On a :z

z ′ =1− i

1+ i=

(1− i)(1− i)

(1+ i)(1− i)=

1−2i−1

2=−i.

Lycée Edgar QUINET 39/92 Emmanuel DUPUY

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 6. NOMBRES COMPLEXES

REMARQUE

Dans la pratique, plutôt que d’utiliser la DÉFINITION, on multiplie comme dans l’EXEMPLE

le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

g. Propriétés de la conjugaison

PROPRIÉTÉ

Pour tous nombres complexes z et z ′, on a :

• z + z’= z+z’.

• z - z’= z−z’.

• zz’= z z’.

•(

1

z ′

)

=1

z’(z ′ 6= 0).

•( z

z ′

)

=z

z’(z ′ 6= 0).

PREUVE Admise...

§ 3. Formes exponentielles

a. Forme trigonométrique

REMARQUE

• Soit z = x + iy un nombre complexe non nul de module ρ et d’argument θ.On a : z = ρcosθ+ i ρ sinθ = ρ (cosθ+ isinθ).

• Inversement.Si z = ρ (cosθ+ isinθ) avec ρ > 0, alors : |z| = ρ et arg z = θ (mod 2π).

DÉFINITION

La forme ρ (cosθ+ isinθ) est une forme trigonométrique de z.

EXEMPLE

• z = 1− i.

On a : ρ =√

12 + (−1)2 =p

2.

D’où : z =p

2

(

1p

2−

ip

2

)

=p

2

(p2

2+ i

−p

2

2

)

=p

2(

cos(

−π

4

)

+ isin(

−π

4

))

.

REMARQUE D’importance...

Une forme trigonométrique de z = −ρ (cosθ+ isinθ) est z = ρ (cos (θ+π)+ isin (θ+π))lorsque ρ < 0 .

b. Propriétés du module et de l’argument

PROPRIÉTÉ

Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′, on a :

•∣

∣zz ′∣∣= |z|

∣z ′∣∣ et arg (zz ′) = arg z +arg z ′ (mod 2π).

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 6. NOMBRES COMPLEXES

•∣

z

z ′

∣=|z||z ′|

et arg( z

z ′

)

= arg z −arg z ′ (mod 2π).

•∣

1

z ′

=1

|z ′|et arg

(

1

z ′

)

=−arg z ′ (mod 2π).

PREUVE Du premier point...

On pose : ρ = |z|, ρ′ =∣

∣z ′∣∣, θ = arg z et θ′ = arg z ′. On a :

zz ′ = ρ (cosθ+ isinθ)×ρ′ (cosθ′+ isinθ′)

= ρρ′ (cosθcosθ′− sinθ sinθ′+ i (cosθ sinθ′+ sinθcosθ′))

= ρρ′ (cos(θ+θ′)+ isin(θ+θ′))

Puisque ρρ′ > 0, alors :∣

∣zz ′∣∣= ρρ′ = |z|

∣z ′∣∣ et arg (zz ′) = arg z +arg z ′ (mod 2π).

ä

REMARQUE

• Il n’y a aucune propriété semblable sur le module∣

∣z + z ′∣∣ ou sur l’argument arg (z + z ′).

• On privilégiera la forme algébrique pour les sommes ou les différences et la forme trigo-nométrique pour les produits ou les quotients.

• Si M1 et M2 sont les points d’affixes z et z ′, alors zz ′ est l’affixe du point P défini par :

OP = OM1 ×OM2 et (−→u ;−→OP) = (−→u ;

−−−→OM1)+ (−→u ;

−−−→OM2).

M1(

ρ ; θ)

M2(

ρ′ ; θ′)

P(

ρρ′ ; θ+θ′)

b

b

b

b

O

EXERCICE

• Calculer z =(

1+ ip

3)5

.

RÉSOLUTION

On pose ω= 1+ ip

3.

On cherche : z =ω5.

c. Forme exponentielle

NOTATION

Pour tout réel θ, on pose :• eiθ = cosθ+ isinθ.Pour tout nombre complexe non nul z de module ρ et d’argument θ, on a donc : z = ρeiθ.

DÉFINITION

La forme ρeiθ est une forme exponentielle de z.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 6. NOMBRES COMPLEXES

PROPRIÉTÉ

Pour tous nombres complexes non nuls z = ρeiθ et z ′ = ρ′ eiθ′ , on a :

• zz ′ = ρρ′ ei(θ+θ′).

•1

z ′ =1

ρ′ e−iθ′ .

•z

z ′ =ρ

ρ′ ei(θ−θ′).

• zn = ρn eniθ (n ∈Z).

• z = ρe−iθ.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• eiπ =−1.

• ei π3 =1

2+ i

p3

2.

• 1+ i =p

2ei π4 .

• (1− i)8 =(p

2e−i π4)8

=(p

2)8

e−8i π4 = 16×e−2iπ = 16×1 = 16.

§ 4. Équations du second degré à coefficients réels

PROPRIÉTÉ

On considère trois réels a, b et c avec a 6= 0, et le réel ∆= b2 −4ac.

L’équation az2 +bz +c = 0 admet deux solutions dans C :

• z1 =−b −δ

2aet z2 =

−b +δ

2aoù δ est un nombre complexe tel que δ2 =∆.

EXERCICE

• Résoudre dans C l’équation z2 + z +1 = 0.

RÉSOLUTION

On a : ∆= b2 −4ac = 12 −4×1×1 =−3.

On pose : δ= ip

3.

De sorte que : δ2 =∆.

Les deux solutions de l’équation sont : z1 =−1− i

p3

2et z2 =

−1+ ip

3

2.

§ 5. Nombres complexes et géométrie

a. Distance

PROPRIÉTÉ

Pour n’importe quels points A, B, C et D du plan, A et B distincts, on a :

•∣

zD − zC

zB − zA

=CD

AB.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 6. NOMBRES COMPLEXES

PREUVE

On a :

zD − zC

zB − zA

=|zD − zC||zB − zA|

=CD

AB. ä

EXERCICE

• Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que : |z −1| = |z − i|.

RÉSOLUTION

Soient A et B les points d’affixes respectives 1 et i.

On a : |z −1| = |z − i|⇔ |z − zA| = |z − zB|⇔ MA= MB.

L’ensemble cherché est la médiatrice du segment [AB].

b. Angle orienté

PROPRIÉTÉ

Pour n’importe quels points A, B, C et D du plan, A et B distincts, on a :

• arg

(

zD − zC

zB − zA

)

= (−→AB ;

−→CD).

PREUVE

On a : arg

(

zD − zC

zB − zA

)

= arg (zD−zC)−arg (zB−zA) = (−→u ;−→CD)−(−→u ;

−→AB) = (

−→AB ;

−→CD).

ä

MÉTHODE Souvent utilisée dans des questions de Bac...

• Trois points A, B et C deux à deux distincts sont alignés, si, et seulement si,zC − zA

zB − zAest

réel.

• Deux vecteurs−→AB et

−→CD sont orthogonaux, si, et seulement si,

zD − zC

zB − zAest imaginaire

pur.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 7. LIMITES DE FONCTIONS

CHAPITRE

7Limites de fonctions

§ 1. Limites de fonctions

a. Limite finie en +∞ ou −∞

DÉFINITION

On considère une fonction f définie sur un intervalle [a ; +∞[. On note C f sa courbe.• On dit que f (x) tend vers un réel l lorsque x tend vers +∞ et on note :

limx→+∞

f (x) = l

lorsque tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f (x), pourvuque x soit assez grand.

• Dans ces conditions, la droite d’équation y = l est appelée asymptote horizontale à lacourbe C f en +∞.

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 1+1

x2 +1.

On conçoit que limx→+∞

f (x) = 1.

La droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞.

1

2

1 2 3 4−1

C f

REMARQUE

On définit de la même manière limx→−∞

f (x) = l .

Dans ces conditions, la droite d’équation y = l est appelée asymptote horizontale à lacourbe C f en −∞.

b. Limite infinie en +∞ ou −∞

DÉFINITION

On considère une fonction f définie sur un intervalle [a ; +∞[. On note C f sa courbe.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 7. LIMITES DE FONCTIONS

On dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ et on note :

limx→+∞

f (x) =+∞

lorsque tout intervalle ouvert de la forme ]A ; +∞[ contient toutes les valeurs de f (x),pourvu que x soit assez grand.

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = xp

x.

On conçoit que limx→+∞

f (x) =+∞.

1

2

3

4

5

6

−11 2 3 4 5 6−1

C f

A

REMARQUE

On définit de la même manière limx→−∞

f (x) =+∞, limx→+∞

f (x) =−∞ et limx→−∞

f (x) =−∞.

c. Asymptote oblique

DÉFINITION

On considère une fonction f définie sur un intervalle [a ; +∞[. On note C f sa courbe.Soient m et p deux réels avec m 6= 0.

La droite d’équation y = mx + p est appelée asymptote oblique à la courbe C f en +∞lorsque :

limx→+∞

[ f (x)− (mx +p)]= 0

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) =1

2x +1+

1

x2 +1.

On conçoit que limx→+∞

[

f (x)−(

1

2x +1

)]

= 0.

La droite d’équation y =1

2x +1 est asymptote oblique à la courbe de f en +∞.

1

2

3

4

1 2 3 4

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 7. LIMITES DE FONCTIONS

REMARQUE

On définit de la même manière une asymptote oblique à une courbe en −∞.

d. Limite infinie en un réel a

DÉFINITION

On considère une fonction f définie sur un voisinage d’un réel a. On note C f sa courbe.

• On dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers a et on note :

limx→a

f (x) =+∞

lorsque tout intervalle ouvert de la forme ]A ; +∞[ contient toutes les valeurs de f (x),pourvu que x soit assez proche de a.

• Dans ces conditions, la droite d’équation x = a est appelée asymptote verticale à lacourbe C f .

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur ]−∞ ; 1[∪ ]1 ; +∞[ par f (x) =1

(x −1)2.

On conçoit que limx→1

f (x) =+∞.

La droite d’équation x = 1 est asymptote verticale à la courbe de f .

1

2

3

4

5

6

−1

1 2 3 4 5−1−2

REMARQUE

On définit de la même manière limx→a

f (x) =−∞.

Dans ces conditions, la droite d’équation x = a est appelée asymptote verticale à la courbeC f .

e. Limite à gauche, limite à droite

REMARQUE

Soit f la fonction inverse définie sur ]−∞ ; 0[∪ ]0 ; +∞[ par f (x) =1

x.

Au voisinage de 0, f possède des valeurs positives de plus en plus grandes ou des valeursnégatives de plus en plus petites donc f (x) n’a pas de limite lorsque x tend vers 0.

Mais la restriction de f à ]−∞ ; 0[ tend vers −∞ lorsque x tend vers 0.

De même la restriction de f à ]0 ; +∞[ tend vers +∞ lorsque x tend vers 0. On note :

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 7. LIMITES DE FONCTIONS

• limx→0−

f (x) =−∞, appelée la limite à gauche de f (x) en 0.

• limx→0+

f (x) =+∞, appelée la limite à droite de f (x) en 0.

f. Limite finie en un réel a

DÉFINITION

On considère une fonction f définie sur un voisinage d’un réel a.

On dit que f (x) tend vers un réel l lorsque x tend vers a et on note :

limx→a

f (x) = l

lorsque tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f (x), pourvu quex soit assez proche de a.

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur ]−∞ ; 1[∪ ]1 ; +∞[ par f (x) =x2 + x −2

x −1.

Pour tout x 6= 1, on a : f (x) =x2 + x −2

x −1=

(x +2)(x −1)

x −1= x +2.

De sorte que : limx→1

f (x) = 3.

REMARQUE

• Si f est continue en a, alors limx→a

f (x) = f (a).

• On définit de la même manière la notion de limite à gauche limx→a− f (x) = l , et la notion

de limite à droite limx→a+

f (x) = l .

§ 2. Limites et opérations

Dans tout ce paragraphe, la lettre a désigne un réel ou un infini.

a. Limite d’une somme

PROPRIÉTÉ

Soient l et l ′ deux réels et f et g deux fonctions.

Le tableau suivant indique limx→a

( f (x)+ g (x)) selon limx→a

f (x) et limx→a

g (x).

❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳

lim f (x)lim g (x)

l ′ +∞ −∞

l l + l ′ +∞ −∞+∞ +∞ +∞ FI

−∞ −∞ FI −∞

PREUVE Admise...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 7. LIMITES DE FONCTIONS

b. Limite d’un produit

PROPRIÉTÉ

Soient l et l ′ deux réels non nuls et f et g deux fonctions.

Le tableau suivant indique limx→a

( f (x)× g (x)) selon limx→a

f (x) et limx→a

g (x).

❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳

lim f (x)lim g (x)

l ′ 0 +∞ −∞

l l × l ′ 0 ±∞ ±∞0 0 0 FI FI

+∞ ±∞ FI +∞ −∞−∞ ±∞ FI −∞ +∞

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) =−x3 + x2 +4.

Pour tout x 6= 0, on a : f (x) =−x3(

1−1

x−

4

x3

)

.

On a : limx→+∞

(−x3) =−∞ et limx→+∞

(

1−1

x−

4

x3

)

= 1.

Donc, par limite d’un produit : limx→+∞

f (x) =−∞.

c. Limite d’un quotient

PROPRIÉTÉ

Soient l et l ′ deux réels non nuls et f et g deux fonctions.

Le tableau suivant indique limx→a

f (x)

g (x)selon lim

x→af (x) et lim

x→ag (x).

❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳

lim f (x)lim g (x)

l ′ 0 +∞ −∞

ll

l ′±∞ * 0 0

0 0 FI 0 0

+∞ ±∞ ±∞ * FI FI

−∞ ±∞ ±∞ * FI FI

* Lorsque g (x) garde un signe constant.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur ]−∞ ; 0[∪ ]0 ; +∞[ par f (x) =2− x

x2.

Pour tout x 6= 0, on a : x2 > 0.

On a : limx→0

(2−x) = 2 et limx→0

x2 = 0 et x2 garde au voisinage de 0 un signe constant positif.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 7. LIMITES DE FONCTIONS

Donc, par limite d’un quotient : limx→0

f (x) =+∞.

§ 3. Limites par comparaison

a. Théorème des gendarmes

THÉORÈME

Soient f , g et h trois fonctions définies sur un voisinage de a, un réel ou un infini, et soit l

un réel ou un infini.

Si, pour x assez proche de a, g (x)É f (x) É h(x), et limx→a

g (x) = limx→a

h(x) = l , alors :

limx→a

f (x) = l

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur ]−∞ ; 0[∪ ]0 ; +∞[ par f (x) = x sin1

x.

Pour tout x 6= 0 et par équivalences successives : −1 É sin1

xÉ 1 ⇔−x É x sin

1

xÉ x.

Pour tout x 6= 0, on a : g (x)É f (x) É h(x) en posant g (x) =−x et h(x) = x.

On a : limx→0

g (x) = limx→0

h(x) = 0.

Donc, par le théorème des gendarmes : limx→0

f (x) = 0.

b. Limite par comparaison

PROPRIÉTÉ

Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage de a, un réel ou un infini.

Si, pour x assez proche de a, f (x) Ê g (x), et limx→a

g (x) =+∞, alors : limx→a

f (x) =+∞.

PREUVE Admise...

c. Croissances comparées

THÉORÈME L’exponentielle met une tôle aux puissances...

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

• limx→+∞

ex

xn=+∞.

• limx→−∞

ex xn = 0.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = (1+ x)e−x .

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 7. LIMITES DE FONCTIONS

On pose X =−x.

On a : limx→+∞

(1+ x)e−x = limX→−∞

(1−X )eX = limX→−∞

eX − limX→−∞

X eX = 0.

d. Limite par composition

PROPRIÉTÉ

Les lettres a, b et l désignent un réel ou un infini.

Si limx→a

u(x) = b et limy→b

g (y) = l , alors : limx→a

g (u(x))= l .

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) =p

x2 +1.

On a : f = g (u) avec u(x) = x2 +1 et g (y)=py .

On a : limx→+∞

u(x) =+∞ et limy→+∞

g (y) =+∞.

Donc, par composition : limx→+∞

f (x) =+∞.

COROLLAIRE

Les lettres a et l désignent un réel ou un infini.

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et (un ) une suite de réels à valeurs dans I.

Si limn→+∞

un = a et limx→a

f (x) = l , alors : limn→+∞

f (un) = l .

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit (vn) la suite définie pour tout n > 0 par vn = n sin1

n.

Pour tout n > 0, on a : vn =11n

× sin1

n.

Par conséquent : vn = f (un ) avec un =1

net f (x) =

sin x

x.

On a : limn→+∞

un = 0 et limx→0

f (x) = 1.

Donc, par composition : limx→+∞

vn = 1.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 8. PROBABILITÉS, CONDITIONNEMENT, INDÉPENDANCE

CHAPITRE

8Probabilités, conditionnement, indépen-dance

§ 1. Loi de probabilité

a. Loi de probabilité

DÉFINITION

• Le résultat d’une expérience aléatoire est appelé une issue, ou un événement élémentaire.

• L’ensemble des issues, noté Ω, est appelé l’univers.

• Lorsque Ω est fini, on définit sur Ω = e1 ; ... ; er une loi de probabilité en se donnantune suite de nombres (p1 ; ... ; pr ) vérifiant :

Pour tout 1 É i É r : pi Ê 0 etr

i=1pi = 1

• On dit que la loi est une loi équirépartie sur Ω lorsque p1 = ... = pr =1

r.

EXEMPLE

• On tire une boule au hasard dans une urne contenant 4 boules bleues, 2 boulesjaunes et 1 boule verte et on note la couleur de la boule tirée.

On définit sur Ω= b ; j ; v la loi de probabilité ci-dessous :

Issue ei b j v

Probabilité pi4

7

2

7

1

7

b. Événements

DÉFINITION

On considère un univers Ω.

• On appelle événement toute partie A de Ω.

• L’événement contraire de A, noté A, est la partie de Ω composée des issues qui ne sontpas dans A.

• L’ensemble Ω est l’événement certain.

• L’ensemble vide ; est l’événement impossible.

• L’événement intersection de A et de B, noté A ∩ B, est la partie de Ω constituée des issuesqui sont à la fois dans A et dans B.

• L’événement réunion de A et de B, noté A ∪ B, est la partie de Ω constituée des issues quisont dans l’un des deux événements A ou B.

• Deux événements A et B sont des événements incompatibles lorsque A ∩ B = ;.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 8. PROBABILITÉS, CONDITIONNEMENT, INDÉPENDANCE

c. Probabilité d’un événement

DÉFINITION

On considère une loi de probabilité sur un univers Ω= e1 ; ... ; er et un événement A.

La probabilité de l’événement A, notée p(A), est la somme des probabilités des issues de A.

EXEMPLE

Dans l’EXEMPLE précédent, l’événement A : « la boule tirée est une couleur primaire »est l’événement A = b ; j .

On a : p(A)= p(b)+p( j )=4

7+

2

7=

6

7.

PROPRIÉTÉ

Dans le cas d’une loi équirépartie sur Ω, on a :

• p(A) =nombre d’issues de A

nombre d’issues de Ω=

cas favorables

cas possibles.

PREUVE Admise...

PROPRIÉTÉ

Pour n’importe quels événements A et B, on a :

• p(;)= 0 et p(Ω) = 1.

• 0 É p(A) É 1.

• p(A) = 1−p(A).

• Si A ⊆ B, alors p(A) É p(B). (⊆ signifie « est inclus dans »)

• p(A∪B) = p(A)+p(B)−p(A∩B).

PREUVE Admise...

d. Variable aléatoire

DÉFINITION

Soit Ω = e1 ; ... ; er l’ensemble fini des issues d’une expérience aléatoire sur lequel onconsidère une loi de probabilité.

• Une variable aléatoire sur Ω est une fonction X définie sur Ω et à valeurs dans R.

On note X (Ω) = x1 ; ... ; xn les valeurs prises par X . On schématise par :

X : Ω→ X (Ω)

e j 7→ xi

• On définit une loi de probabilité discrète sur X (Ω), avec les probabilités (p1 ; ... ; pn) enposant, pour tout entier 1É i É n :

pi = p(X = xi ) = p(e j ∈Ω tels que X (e j ) = xi )

EXEMPLE « Jeu de cartes »

Un joueur tire une carte au hasard d’un jeu de 32 cartes et gagne 6 € lorsque la cartetirée est une figure, perd 5 € lorsque la carte tirée est un nombre pair, perd 4 € lorsquela carte tirée est un nombre impair.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 8. PROBABILITÉS, CONDITIONNEMENT, INDÉPENDANCE

La loi de probabilité sur l’ensemble des gains X (Ω) = +6 ; −5 ; −4 est définie par :

Valeur xi +6 −5 −4

Probabilité pi = p(X = xi )3

8

1

4

3

8

Il y a 12 figures dans un jeu de 32 cartes, VALET, DAME et ROI dans chaque couleur PIQUE,

CŒUR, CARREAU et TRÈFLE, donc p(X =+6) =12

32=

3

8.

Il y a 8 nombres pairs, 8 et 10 dans chaque couleur, donc p(X =−5) =8

32=

1

4.

Il y a 12 nombres impairs, 7, 9 et AS dans chaque couleur, donc p(X =−4) =12

32=

3

8.

e. Espérance, variance et écart-type

DÉFINITION

On considère une loi de probabilité discrète sur une variable aléatoire X telle que X (Ω) =x1 ; ... ; xn avec les probabilités p1 ; ... ; pn .

• L’espérance de la variable aléatoire X , notée E (X ), est définie par :

E (X ) = p1x1 + ...+pn xn =n∑

i=1pi xi

• La variance de la variable aléatoire X , notée V (X ), est définie par l’une des formules :

V (X ) = p1(x1 −E (X ))2 + ...+pn (xn −E (X ))2 =n∑

i=1pi (xi −E (X ))2

V (X ) = p1x21 + ...+pn x2

n −E (X )2 =n∑

i=1pi x2

i −E (X )2

• L’écart-type de la variable aléatoire X , noté σ(X ), est défini par :

σ(X ) =√

V (X )

EXEMPLE « Jeu de cartes »

On a : E (X ) = p1x1 +p2x2 +p3x3 =3

8× (+6)+

1

4× (−5)+

3

8× (−4) =−0,5.

On a : V (X ) = p1x21 +p2x2

2 +p3x23 −E (X )2 =

3

8× (+6)2 +

1

4× (−5)2 +

3

8× (−4)2 − (−0,5)2.

Soit : V (X ) = 25,5.

On a : σ(X ) =√

V (X ) =√

25,5 ≃ 5,05.

§ 2. Conditionnement

a. Probabilité conditionnelle

DÉFINITION

On considère une loi de probabilité sur un univers Ω, et un événement A tel que p(A) 6= 0.

• Pour tout événement B, la probabilité de B sachant A, notée pA(B), est définie par :

pA(B) =p(A∩B)

p(A)

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 8. PROBABILITÉS, CONDITIONNEMENT, INDÉPENDANCE

• L’application de Ω dans R, qui à tout événement B associe le réel pA(B), définit une loide probabilité sur Ω, appelée la loi de probabilité conditionnelle sachant A.

COROLLAIRE

Dans les conditions précédentes, on a :

• p(A∩B) = p(A)×pA(B).

PREUVE Immédiate...

EXEMPLE

• On tire successivement et sans remise deux boules d’une urne contenant 5 boulesrouges et 2 boules bleues. Quelle est la probabilité de tirer 2 boules rouges ?

On note les événements A : « la 1ère boule est rouge » et B : « la 2ème boule est rouge ».

On cherche p(A∩B).

On a : p(A∩B) = p(A)×pA(B) =5

4

6=

20

42=

10

21.

b. Partition d’un événement

DÉFINITION

On considère une loi de probabilité sur un univers Ω, un événement B, et une suite d’évé-nements (A1 ; · · · ; Ak ) de Ω.

On dit que A1 ; · · · ; Ak forme une partition de B lorsque :

• Pour tous entiers 1 É i < j É k : Ai ∩A j =;.

• A1 ∪ ·· · ∪ Ak = B.

Ω

B

A1

Ak· · ·

PROPRIÉTÉ

Si A1 ; · · · ; Ak forme une partition de B, alors :

• p(B)= p(A1)+·· ·+p(Ak )=k∑

i=1p(Ai ).

PREUVE Admise...

c. Formule des probabilités totales

THÉORÈME FPT

On considère une loi de probabilité sur un univers Ω, un événement B, et une partitionA1 ; · · · ; Ak de Ω. On a :

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 8. PROBABILITÉS, CONDITIONNEMENT, INDÉPENDANCE

• p(B)= p(A1 ∩B)+·· ·+p(Ak ∩B) = p(A1)×pA1 (B)+·· ·+p(Ak )×pAk(B).

PREUVE Admise...

EXERCICE

On considère les trois urnes U, V et W schématisées ci-dessous.

On choisit une urne au hasard puis on tire une boule au hasard dans cette urne.

On note U l’événement : « l’urne choisie est l’urne U » etc...

On note B l’événement : « la boule tirée est bleue ».

Calculer p(B).

U V W

RÉSOLUTION

Les événements U, V, et W forment une partition de Ω. D’après la formule desprobabilités totales, on a :

p(B) = p(U∩B)+p(V∩B)+p(W∩B)

p(B) = p(U)×pU(B)+p(V)×pV(B)+p(W)×pW(B) =1

3

7+

1

2

5+

1

3

4=

221

420p(B) ≃ 0,53

d. Arbre de probabilités

MÉTHODE

Un arbre de probabilités schématise le déroulement d’une expérience aléatoire.

Il est constitué :

• de nœuds, sur lesquels sont indiqués des événements.

• de branches, auxquelles sont affectées des probabilités.

• de chemins que l’on assimile à des intersections d’événements.

EXEMPLE « Urnes U, V et W »

Ω

U

1/3

R4/7

B3/7

V1/3

R3/5

B2/5

W

1/3R1/4

B3/4

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• La probabilité d’une intersection d’événements correspondant à un chemin est égaleau produit des probabilités affectées à chaque branche de ce chemin.

Par exemple, par le chemin du haut : p(U∩R) = p(U)×pU(R) =1

4

7=

4

21.

• La somme des probabilités affectées aux branches d’un même nœud est égale à 1.

Par exemple, depuis le nœud W : pW(R)+pW(B) =1

4+

3

4= 1.

• La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des cheminsconduisant à l’événement. C’est la formule des probabilités totales.

Par exemple : p(R) =1

4

7+

1

3

5+

1

1

4=

199

420.

§ 3. Indépendance

a. Événements indépendants

DÉFINITION

On considère une loi de probabilité sur un univers Ω et deux événements A et B.

On dit que A et B sont des événements indépendants lorsque :

• p(A∩B) = p(A)×p(B).

REMARQUE

Si p(A) 6= 0, alors : p(A∩B) = p(A)×pA(B).

Par conséquent, si A et B sont indépendants, alors p(B) = pA(B).

Ainsi, dire que A et B sont indépendants signifie intuitivement que la probabilité que Bsoit réalisé est la même que A soit réalisé ou non.

EXEMPLE

• On lance un dé cubique non pipé numéroté de 1 à 6 et on note le numéro obtenu.

Soit A l’événement : « le chiffre obtenu est un multiple de 3 ».Soit B l’événement : « le chiffre obtenu est supérieur ou égal à 4 ».

On a : A= 3 ; 6, B= 4 ; 5 ; 6 et A∩B = 6.

On a : p(A)=1

3, p(B) =

1

2et p(A∩B) =

1

6.

On constate que : p(A∩B) = p(A)×p(B).

Par conséquent, les événements A et B sont indépendants.

b. Variables aléatoires indépendantes

DÉFINITION

On considère deux variables aléatoires X et Y sur un même univers Ω telles que :

X (Ω) = x1 ; ... ; xn

Y (Ω) = y1 ; ... ; ym

On dit que X etY sont des variables aléatoires indépendantes lorsque :

• Pour tout entier 1 É i É n et pour tout entier 1 É j É m, les événements « X = xi » et« Y = y j » sont indépendants.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 8. PROBABILITÉS, CONDITIONNEMENT, INDÉPENDANCE

c. Expériences aléatoires indépendantes

DÉFINITION

On dit que deux expériences aléatoires successives sont des expériences aléatoires indé-

pendantes lorsque le résultat de l’une des expériences ne dépend pas du résultat de l’autreexpérience.

PRINCIPE Multiplicatif

Dans le cas où les expériences aléatoires successives sont indépendantes, on admettraque la probabilité d’une liste de résultats pour la méga expérience est égale au produit desprobabilités de chaque résultat pour chaque expérience.

EXERCICE

• On lance n fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois la face PILE ?

RÉSOLUTION

On note A l’événement : « on obtient au moins une fois la face PILE ».

On cherche p(A).

On calcule p(A) d’après le principe multiplicatif qui précède :

On a : p(A) =1

2×·· ·×

1

2=

1

2n.

D’où : p(A) = 1−p(A) = 1−1

2n.

A propos de cet exercice, on pourra remarquer que : limn→+∞

p(A)= 1.

Exercice à méditer...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 9. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

CHAPITRE

9Fonction logarithme népérien

§ 1. Fonction logarithme népérien

a. Fonction logarithme népérien

REMARQUE

D’après le TVI, pour tout réel x > 0, l’équation ey = x d’inconnue y admet une uniquesolution notée ln x.

Cexp

y = ln x

ey = x b

b

b

DÉFINITION

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0 ; +∞[, qui à toutréel x strictement positif, associe le réel ln x, appelé le logarithme népérien de x.

EXEMPLE

• e0 = 1 donc ln 1 = 0.

• e1 = e donc ln e= 1.

PROPRIÉTÉ

• Pour tout réel x > 0, on a : eln x = x.

• Pour tout réel y , on a : ln (ey ) = y .

• Pour tout réel x > 0 et pour tout réel y , on a : ey = x ⇔ y = ln x.

PREUVE Admise...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 9. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

EXERCICE

Résoudre les équations :

• e3x−1 = 4.

• ln (3x −1) = 4.

• (ln x)2 −3ln x +2 = 0.

RÉSOLUTION

• Pour tout réel x, on a par équivalences successives :

e3x−1 = 4⇔ 3x −1 = ln 4⇔ x =1+ ln 4

3

La solution de l’équation e3x−1 = 4 est le réel1+ ln 4

3.

• L’équation ln (3x −1) = 4 n’a de sens que lorsque 3x −1 > 0 ⇔ x >1

3.

Pour tout réel x, on a par équivalences successives :

ln (3x −1) = 4⇔ 3x −1 = e4 ⇔ x =1+e4

3

La solution de l’équation ln (3x −1) = 4 est le réel1+e4

3.

• On pose : X = ln x ⇔ x = eX et on résout d’abord : X 2 −3X +2 = 0.

On a : X 2 −3X +2 = 0 ⇔ X = 1 ou X = 2.

On a : X = 1 ⇔ x = e1 = e et X = 2⇔ x = e2.

Les solutions de l’équation (ln x)2 −3ln x +2 = 0 sont les réels e et e2.

b. Propriétés algébriques

PROPRIÉTÉ

Pour tous réels a etb strictement positifs et pour tout entier relatif n :

• ln (ab)= ln a + ln b.

• ln

(

1

b

)

=− ln b.

• ln( a

b

)

= ln a − lnb.

• ln (an) = n ln a.

• lnp

a =1

2ln a.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• On a : A = ln3

4+ ln (23) = ln 3− ln 4+3ln 2 = ln 3− ln (22)+3ln 2 = ln 3−2ln 2+3ln 2.

D’où : A = ln 3+ ln 2.

• On a : B= 4ln 25−2lnp

5 = 4ln (52)−2×1

2ln 5= 4×2ln 5− ln 5 = 7ln 5.

EXERCICE

• Résoudre l’équation : ln (2x −1)+ ln (x +5) = ln (8x +5).

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RÉSOLUTION

L’équation n’a de sens que si :

2x −1 > 0x +5 > 0

8x +5 > 0⇔ x >

1

2⇔ x ∈

]

1

2; +∞

[

.

On a :

ln (2x −1)+ ln (x +5) = ln (8x +5) ⇔ ln [(2x −1)(x +5)] = ln (8x +5)

⇔ (2x −1)(x +5) = 8x +5 ⇔ 2x2 + x −10 = 0 ⇔··· ⇔ x =−2,5 ou x = 2

Puisque −2,5 ∉]

1

2; +∞

[

, alors la solution de l’équation est le réel 2.

§ 2. Etude de la fonction logarithme népérien

a. Dérivée

PROPRIÉTÉ

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout x > 0, on a :

• ln′(x) =1

x.

PREUVE Admise...

COROLLAIRE

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.

La fonction f définie sur I par f (x) = ln (u(x)) est dérivable sur I et, pour tout x ∈ I, on a :

• f ′(x) =u′(x)

u(x).

PREUVE Admise...

EXERCICE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ln (x2 +1).

Calculer f ′(x).

RÉSOLUTION

Le nombre f (x) est de la forme ln (u(x)) avec u(x) = x2 +1.

La fonction u est dérivable et strictement positive sur R et pour tout x ∈ R, on a :u′(x) = 2x.

La fonction f est dérivable sur R et pour tout x ∈R, on a : f ′(x) =2x

x2 +1.

b. Sens de variations

PROPRIÉTÉ

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

Autrement dit et pour tous réels a et b strictement positifs :

• a = b ⇔ ln a = lnb.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 9. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

• a < b ⇔ ln a < lnb.

PREUVE Immédiate...

EXERCICE

• Trouver les valeurs entières de n telles que :

(

1+2

100

)n

> 2.

RÉSOLUTION

On a :

(

1+2

100

)n

> 2 ⇔ ln (1,02n) > ln 2⇔ n ln 1,02 > ln 2 ⇔n >ln2

ln 1,02.

Or : 35 <ln2

ln 1,02< 36.

Donc, les valeurs cherchées sont les entiers n Ê 36.

Cet exercice montre que si une population augmente régulièrement de 2% par an,alors la population aura au moins doublé à partir de la 36ème année.

c. Limites aux bornes

PROPRIÉTÉ

• limx→+∞

ln x =+∞.

• limx→0

ln x =−∞.

PREUVE Admise...

d. Représentation graphique

PROPRIÉTÉ

La courbe de la fonction logarithme népérien est une courbe logarithmique passant par lepoint A de coordonnées (1 ; 0).

REMARQUE

• Soit (T ) la tangente à la courbe de la fonction logarithme népérien au point A(1 ; 0).

On a (T ) : y = ln′(1)× (x −1)+ ln 1.

D’où (T ) : y = x −1.

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7−1−2

Cln

(T )

bA

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 9. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

PROPRIÉTÉ

• limx→1

ln x

x −1= 1.

PREUVE

On a : limx→1

ln x

x −1= lim

x→1

ln x − ln 1

x −1= lim

h→0

ln (1+h)− ln 1

h= ln′(1) = 1. ä

e. Croissances comparées

THÉORÈME Le logarithme népérien est tout petit devant les puissances...

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

• limx→+∞

ln x

xn= 0.

• limx→0

xn ln x = 0.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) =x

x3 +1ln x.

On a : f (x) =x

x3

(

1+1

x3

) ln x =1

1+1

x3

×ln x

x2.

On a : limx→+∞

1

1+1

x3

= 1 et, par croissances comparées : limx→+∞

ln x

x2= 0.

Donc, par limite d’un produit : limx→+∞

f (x) = 0.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 10. INTÉGRATION

CHAPITRE

10Intégration

§ 1. Intégrales

a. Intégrale d’une fonction continue et positive

DÉFINITION

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. On note C f la courbe def dans un repère orthogonal

(

O ;~ı, ~)

.

Une unité d’aire étant définie par les vecteurs de base~ı et~ du repère, on appelle intégrale

de a à b de la fonction f l’aire du domaine délimité par C f , par l’axe des abscisses, et parles droites d’équations x = a et x = b.

C f

~

a b

1b

NOTATION

On note∫b

af (x) dx l’intégrale de a à b de la fonction f .

EXEMPLE

• Pour tout réel k Ê 0, on a :∫b

ak dx = k(b −a)

(aire d’un rectangle de hauteur k)

~

a b

k

b

• On a :∫1

0x2 dx =

1

3

~

0 1b

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 10. INTÉGRATION

b. Intégrale d’une fonction continue et négative

DÉFINITION

Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a ; b]. On note C f la courbe def dans un repère orthogonal

(

O ;~ı, ~)

.

On définit l’intégrale de a à b de la fonction f par :∫b

af (x) dx =−A, où A est l’aire du

domaine délimité par C f , par l’axe des abscisses, et par les droites d’équations x = a etx = b.

C f

~

a bb

c. Intégrale d’une fonction continue

DÉFINITION

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]. On note C f la courbe de f dans unrepère orthogonal

(

O ;~ı, ~)

.

On définit l’intégrale de a à b de la fonction f par :∫b

af (x) dx = A1 − A2, où A1 et A2 sont

les aires respectives des domaines situés au-dessus et en dessous de l’axe des abscisses etdélimités par C f , par l’axe des abscisses, et par les droites d’équations x = a et x = b.

C f

~

a bb

§ 2. Primitives

a. Primitive d’une fonction

DÉFINITION

On considère une fonction f définie sur un intervalle I.

Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que, pour tout x ∈ I :

F ′(x) = f (x)

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 10. INTÉGRATION

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 6x +2.

Les fonctions F , G et H définies sur R par F (x) = 3x2 +2x+5, G(x) = 3x2 +2x−2017 etH(x) = 3x2 +2x sont des primitives de la fonction f sur R.

b. Ensemble des primitives d’une fonction

PROPRIÉTÉ

Si une fonction f admet une primitive F sur un intervalle I, alors :

• Pour tout réel k, la fonction G définie par G(x) = F (x)+k est une primitive de f sur I.

• Toute primitive H de f sur I est définie par H(x) = F (x)+k, où k est un réel.

PREUVE Admise...

EXERCICE

• Trouver l’ensemble des primitives de la fonction f définie sur R par f (x) = 2x −1.

RÉSOLUTION

Soit F la fonction définie sur R par F (x) = x2 − x.

La fonction F est dérivable sur R et, pour tout x ∈R, F ′(x) = 2x −1 = f (x).

Donc F est une primitive de f sur R.

L’ensemble des primitives de f est l’ensemble des fonctions G définies sur R parG(x) = x2 − x +k où k est une constante réelle.

REMARQUE

Les courbes des primitives de f s’obtiennent depuis la courbe d’une primitive F par lestranslations de vecteur k~ .

C f

CF

CG

CH

c. Primitive vérifiant une condition initiale

PROPRIÉTÉ

Si une fonction f admet une primitive sur un intervalle I, alors, pour tout x0 ∈ I et pourtout y0 ∈R, il existe une unique primitive F de f sur I telle que F (x0) = y0.

PREUVE Admise...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 10. INTÉGRATION

EXERCICE

• Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x −1.

Trouver la primitive F de f sur R qui s’annule en 3.

RÉSOLUTION

Pour tout x ∈R, on a : F (x) = x2 − x +k.

On a par équivalences successives :

F (3) = 0 ⇔ 32 −3+k = 0 ⇔ k =−6

Par conséquent, F est la fonction définie sur R par F (x) = x2 − x −6.

d. Existence

PROPRIÉTÉ

Si une fonction f est continue sur I, alors f admet une primitive sur I.

PREUVE Admise...

e. Tableaux de primitives

PROPRIÉTÉ

Soient a ∈R et n ∈Z− −1 ; 0.

Les primitives sont données sans la constante additive.

Expression f (x) Expression F (x) Commentaire

a ax sur R

xn xn+1

n+1sur R si n > 0 et sur ]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ sinon

1

x2−

1

xsur ]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[

1

xln |x| sur ]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[

1p

x2p

x sur ]0 ; +∞[

ex ex sur R

cos x sin x sur R

sin x −cos x sur R

PREUVE Par lecture inverse du tableau de dérivées des fonctions usuelles...

PROPRIÉTÉ

On considère deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I, λ une constante réelle,et n ∈Z− −1 ; 0.

Les primitives sont données sans la constante additive.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 10. INTÉGRATION

Fonction f Primitive F Commentaire

λu′ λu sur I

u′+ v ′ u+ v sur I

u′un un+1

n+1sur J⊂ I tel que u(x) 6= 0 lorsque n < 0

u′

u2−

1

usur J⊂ I tel que u(x) 6= 0

u′

uln |u| sur J⊂ I tel que u(x) 6= 0

u′p

u2p

u sur J⊂ I tel que u(x) > 0

u′ eu eu sur I

u′ cos (u) sin (u) sur I

u′ sin (u) −cos (u) sur I

PREUVE Admise...

EXERCICE

• Trouver les primitives F de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) =−5

x2.

• Trouver une primitive G de la fonction g définie sur R par g (x)= 4x3 +5x2 −2x +9.

• Trouver une primitive H de la fonction h définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) =−2x

(x2 +1)2.

RÉSOLUTION

• La fonction f est de la forme λu′ avec λ=−5 et u′(x) =1

x2.

Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[, on a : F (x) =−5×(

−1

x

)

+k =5

x+k, k ∈R.

• La fonction g est une fonction polynôme de la forme u′+ v ′+·· · .

Pour tout x ∈R, on a : G(x) = 4×x4

4+5×

x3

3−2×

x2

2+9x = x4 +

5

3x3 − x2 +9x.

• La fonction h est de la forme λ×u′

u2avec λ=−1 et u(x) = x2 +1.

Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[, on a : H(x) =−1×(

−1

x2 +1

)

=1

x2 +1.

f. Intégrale et primitive

THÉORÈME

Soient f une fonction continue sur un intervalle I et a ∈ I.

La fonction F définie sur I par F (x) =∫x

af (t) dt est l’unique primitive de f sur I qui s’an-

nule en a.

PREUVE Admise...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 10. INTÉGRATION

g. Théorème fondamental du calcul intégral

THÉORÈME

Soient f une fonction continue sur un intervalle I et deux réels a et b de I. On a :

•∫b

af (x) dx = F (b)−F (a)= [F (x)]b

a où F est une primitive quelconque de f sur I.

PREUVE Admise...

EXERCICE

• Calculer I =∫2

1e2x dx.

RÉSOLUTION

Soit F une primitive de la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 2] par f (x) = e2x .

On a, pour tout x ∈ [1 ; 2] : F (x)=1

2e2x .

D’où : I =∫2

1e2x dx =

[

1

2e2x

]2

1=

1

2e4−

1

2e2 =

1

2e2(e2−1).

§ 3. Propriétés de l’intégrale

a. Intégrale nulle

PROPRIÉTÉ

On considère une fonction f continue sur un intervalle I et un réel a ∈ I. On a :

•∫a

af (x) dx = 0.

PREUVE Immédiate...

b. Intégrale opposée

DÉFINITION

On considère une fonction f continue sur un intervalle I et deux réels a et b de I. On pose :

•∫a

bf (x) dx =−

∫b

af (x) dx.

c. Linéarité de l’intégrale

PROPRIÉTÉ

On considère deux fonctions f et g continues sur un intervalle I, deux réels a et b de I etun réel λ. On a :

•∫b

a( f (x)+ g (x)) dx =

∫b

af (x) dx +

∫b

ag (x) dx.

•∫b

aλ f (x) dx =λ

∫b

af (x) dx.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 10. INTÉGRATION

PREUVE A l’aide des tableaux de primitives...

EXEMPLE

• On a : I =∫3

0(2ex −3x) dx = 2

∫3

0ex dx −3

∫3

0x dx = 2

[

ex]3

0 −3

[

x2

2

]3

0= 2e3−2−

27

2.

D’où : I = 2e3−31

2.

d. Relation de Chasles

PROPRIÉTÉ

On considère une fonction f continue sur un intervalle I et trois réels a, b et c de I. On a :

•∫c

af (x) dx +

∫b

cf (x) dx =

∫b

af (x) dx.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• On considère la fonction f définie sur R par :

f (x) = x2 si x < 0f (0) = 0f (x) = x3 si x > 0

.

On a : I =∫2

−2f (x) dx =

∫0

−2x2 dx +

∫2

0x3 dx =

[

x3

3

]0

−2+

[

x4

4

]2

0=

8

3+4.

D’où : I =20

3.

e. Positivité de l’intégrale

PROPRIÉTÉ

On considère une fonction f continue sur un intervalle I et deux réels a et b de I tels quea É b.

• Si f Ê 0, alors∫b

af (x) dx Ê 0.

• Si f É 0, alors∫b

af (x) dx É 0.

PREUVE Par définition de l’intégrale...

f. Comparaison d’intégrales

PROPRIÉTÉ

On considère deux fonctions f et g continues sur un intervalle I et deux réels a et b de I

tels que a É b.

• Si f É g , alors∫b

af (x) dx É

∫b

ag (x) dx.

PREUVE Par linéarité de l’intégrale...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 10. INTÉGRATION

g. Valeur moyenne

DÉFINITION

On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b].

La valeur moyenne de f sur l’intervalle [a ; b] est définie par :

m =1

b −a

∫b

af (x) dx

C f

m

a bb

REMARQUE

Cette définition exprime que l’aire sous la courbe de la fonction f entre a et b est égale àl’aire d’un rectangle de hauteur m et de largeur b −a.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 11. DROITES, PL ANS ET VECTEURS DE L’ESPACE

CHAPITRE

11Droites, plans et vecteurs de l’espace

§ 1. Droites et plans de l’espace

a. Positions relatives de deux droites

DÉFINITION

• Deux droites de l’espace sont soit non coplanaires, soit coplanaires.

• Deux droites coplanaires sont soit sécantes en un point, soit parallèles.

• Deux droites parallèles sont soit disjointes, soit confondues.

EXEMPLE

• Soient ABCDEFGH un cube de l’espace et I le centre du carré ABCD.

Les droites (AB) et (EG) sont non copla-naires.Les droites (AB) et (IC) sont coplanaires etsont sécantes en A.Les droites (AB) et (CD) sont parallèles etdisjointes.Les droites (AC) et (IC) sont parallèles etconfondues. b

Ab

B

bC

bD

bE

b

F

b

GbH

bI

b. Positions relatives d’une droite et d’un plan

DÉFINITION

• Une droite et un plan de l’espace sont soit sécants en un point, soit parallèles.

• Une droite parallèle à un plan est soit disjointe au plan, soit contenue dans le plan.

EXEMPLE

• Soit ABCDEFGH un cube de l’espace.

La droite (EC) et le plan (ABD) sont sé-cants en C.La droite (EG) est parallèle au plan (ABD)et disjointe au plan (ABD).La droite (AB) est parallèle au plan (ABD)et contenue dans le plan (ABD). b

Ab

B

bC

bD

bE

b

F

b

GbH

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 11. DROITES, PL ANS ET VECTEURS DE L’ESPACE

c. Positions relatives de deux plans

DÉFINITION

• Deux plans de l’espace sont soit sécants selon une droite, soit parallèles.

• Deux plans parallèles sont soit disjoints, soit confondus.

EXEMPLE

• Soit ABCDEFGH un cube de l’espace.

Les plans (ABD) et (ABH) sont sécants se-lon la droite (AB).Les plans (ABD) et (EFH) sont parallèleset disjoints.Les plans (ABD) et (ABC) sont parallèleset confondus. b

Ab

B

bC

bD

bE

b

F

b

Gb

H

d. Propriétés d’incidence

PROPRIÉTÉ

• Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles.

• Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles.

• Si deux plans sont parallèles, alors tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre et les droitesd’intersection sont parallèles.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit ABCDEFGH un cube de l’espace.

Les plans (ABD) et (EFH) sont parallèles.Le plan (ABH) est sécant au plan (ABD)selon la droite (AB).Donc il est sécant au plan (EFH) selon ladroite (GH) et les droites (AB) et (GH) sontparallèles. b

Ab

B

bC

bD

bE

b

F

b

Gb

H

e. Caractérisation du parallélisme

PROPRIÉTÉ

• Une droite est parallèle à un plan si, et seulement si, elle est parallèle à une droite de ceplan.

• Deux plans sont parallèles si, et seulement si, deux droites sécantes de l’un sont paral-lèles à deux droite sécantes de l’autre.

PREUVE Admise...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 11. DROITES, PL ANS ET VECTEURS DE L’ESPACE

f. Théorème du toit

PROPRIÉTÉ

Si deux plans sont sécants et si une droite d’un des plans est parallèle à une droite del’autre plan, alors la droite d’intersection est parallèle aux deux droites.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

• Soit ABCDEFGH un cube de l’espace.

Les plans (ABH) et (EFH) sont sécants.La droite (AB) du plan (ABH) est parallèleà la droite (EF) du plan (EFH).Donc la droite d’intersection (HG) desplans (ABH) et (EFH) est parallèle auxdroites (AB) et (EF). b

Ab

B

bC

bD

bE

b

F

b

GbH

§ 2. Vecteurs de l’espace

a. Vecteur de l’espace

REMARQUE

La notion de vecteur vue dans le plan s’étend à l’espace.

En particulier, deux vecteurs−→AB et

−→CD sont égaux lorsque ABDC est un parallélogramme.

b. Vecteurs coplanaires

DÉFINITION

Des vecteurs de l’espace sont coplanaires lorsqu’il est possible de trouver des représen-tants de même origine tels que l’origine commune et les extrémités soient coplanaires.

EXEMPLE

• Soit ABCDEFGH un cube de l’espace.

Les vecteurs−→AB et

−→EG sont coplanaires

car−→EG =−→

AC et−→AB et

−→AC appartiennent au

plan (ABC).

Les vecteurs−→AB,

−→AC et

−→AE ne sont pas co-

planaires car le point E n’appartient pasau plan (ABC).

b

Ab

B

bC

bD

bE

b

F

b

GbH

PROPRIÉTÉ

Deux vecteurs quelconques sont toujours coplanaires.

PREUVE Admise...

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c. Opérations sur les vecteurs

REMARQUE

Comme deux vecteurs sont toujours coplanaires, toutes les opérations et les notions surles vecteurs vues dans le plan s’étendent à l’espace :

• l’addition ou la soustraction, le produit par un réel ;

• la relation de Chasles, la règle du parallélogramme ;

• la colinéarité ;

• les propriétés de linéarité.

§ 3. Caractérisations vectorielles d’une droite et d’un plan

a. Caractérisation vectorielle d’une droite de l’espace

PROPRIÉTÉ

Soient A et B deux points distincts de l’espace.

Pour qu’un point M appartienne à la droite (AB), il faut et il suffit qu’il existe un réel t telque :

• −−→AM = t

−→AB.

PREUVE Admise...

b. Caractérisation vectorielle d’un plan de l’espace

PROPRIÉTÉ

Soient A, B et C trois points non alignés de l’espace.

Pour qu’un point M appartienne au plan (ABC), il faut et il suffit qu’il existe deux réels x ety tels que :

• −−→AM = x

−→AB+ y

−→AC.

bA

bB

bC

b

M

bK

bH

PREUVE Admise...

COROLLAIRE

On considère deux vecteurs ~u et ~v non colinéaires et un vecteur ~w .

Pour que les trois vecteurs ~u, ~v et ~w soient coplanaires, il faut et il suffit qu’il existe deuxréels x et y tel que :

• ~w = x~u + y~v .

PREUVE Admise...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 11. DROITES, PL ANS ET VECTEURS DE L’ESPACE

§ 4. Repères de l’espace

a. Repère de l’espace

PROPRIÉTÉ

Soient A, B, C et D quatre points non coplanaires de l’espace.

Pour tout point M de l’espace, il existe un triplet de réels unique(

x ; y ; z)

tel que :

•−−→AM = x

−→AB+ y

−→AC+ z

−→AD.

bA

bB

bC

bDb M

b P

bK

bH

bN

PREUVE Admise...

DÉFINITION

• Le point A et les trois vecteurs non coplanaires~ı = −→AB, ~ = −→

AC et ~k = −→AD forment un

repère de l’espace, noté(

A ;~ı, ~ , ~k)

.

• Le triplet(

x ; y ; z)

forme les coordonnées du point M dans le repère.

• Le triplet(

x ; y ; z)

forme également les coordonnées du vecteur ~u =−−→AM dans le repère,

notées

x

y

z

.

b. Règles de calcul

REMARQUE

Toutes les règles de calcul vues dans le plan s’étendent à l’espace :

• les coordonnées de la somme de deux vecteurs, du produit d’un vecteur par un réel,d’un vecteur défini par deux points, du milieu d’un segment ;

• le critère de colinéarité.

§ 5. Représentations paramétriques

a. Représentation paramétrique d’une droite

REMARQUE

On considère un point A de coordonnées(

xA ; yA ; zA)

et un vecteur ~u

α

β

γ

.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 11. DROITES, PL ANS ET VECTEURS DE L’ESPACE

La droite (d) passant par A et dirigée par ~u est l’ensemble des points M de coordonnées(

x ; y ; z)

tels que−−→AM = t~u, avec t ∈R.

Autrement dit, on a l’équivalence : M ∈ (d) ⇔

x − xA = tα

y − yA = tβ

z − zA = tγ

, t ∈R.

DÉFINITION

Le système (S) :

x − xA = tα

y − yA = tβ

z − zA = tγ

, t ∈R, est une représentation paramétrique de la droite (d)

passant par le point A de coordonnées(

xA ; yA ; zA)

et dirigé par le vecteur ~u

α

β

γ

.

EXEMPLE

• Représentation paramétrique de la droite (d) passant par A(1 ; 2 ; 3) et B(3 ; 5 ; 7).

La droite (AB) passe par A et est dirigée par le vecteur−→AB

234

donc, on obtient :

(S) :

x = 1+2t

y = 2+3t

z = 3+4t

, t ∈R

b. Représentation paramétrique d’un plan

REMARQUE

On considère un point A de coordonnées(

xA ; yA ; zA)

et deux vecteurs ~u

α

β

γ

et ~v

α′

β′

γ′

non colinéaires.Le plan (P ) passant par A et généré par ~u et ~v est l’ensemble des points M de coordonnées(

x ; y ; z)

tels que−−→AM = t~u+ t ′~v , avec t ∈R, t ′ ∈R.

Autrement dit, on a l’équivalence : M ∈ (P ) ⇔

x − xA = tα+ t ′α′

y − yA = tβ+ t ′β′

z − zA = tγ+ t ′γ′t ∈R, t ′ ∈R.

DÉFINITION

Le système (S) :

x − xA = tα+ t ′α′

y − yA = tβ+ t ′β′

z − zA = tγ+ t ′γ′, t ∈ R, t ′ ∈ R, est une représentation paramétrique

du plan (P ) passant par le point A de coordonnées(

xA ; yA ; zA)

et dirigé par les vecteurs

~u

α

β

γ

et ~v

α′

β′

γ′

.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 12. LOIS DE PROBABILITÉ

CHAPITRE

12Lois de probabilité

§ 1. Lois discrètes

a. Loi de Bernoulli

DÉFINITION

• Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que 2 issues possibles :

Une issue S, appelée succès, de probabilité p.

Une issue S, appelée échec, de probabilité q = 1−p.

• La loi de Bernoulli de paramètre p est la loi de probabilité discrète de la variable aléatoireX à valeurs dans 0 ; 1 en ayant associé la valeur 1 à l’issue S et la valeur 0 à l’issue S.

Valeur xi 0 1Probabilité pi = p(X = xi ) 1−p p

REMARQUE

On a :

• E (X ) = p ×1+q ×0 = p.

• V (X ) = p ×12 +q ×02 −p2 = p −p2 = p(1−p)= pq .

b. Loi binomiale

DÉFINITION

• Un schéma de Bernoulli est une expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois et demanière indépendante une même épreuve de Bernoulli d’issues contraires S et E de pro-babilités p et q .Les issues sont donc des « mots » de n lettres, chaque lettre étant S ou E.

• La loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p), est la loi de probabilité discrètede la variable aléatoire X à valeurs dans 0 ; 1 ; · · · ; n en ayant associé les valeurs0 ; 1 ; · · · ; n au nombre d’apparition de la lettre S dans les « mots » obtenus par le schémade Bernoulli.

PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p).

• Pour tout entier k ∈ [0 ; n], on a : p(X = k) =(

n

k

)

pk qn−k , où

(

n

k

)

est le nombre de « mots »

de n lettres contenant k fois la lettre S.

• E (X ) = np.

• V (X ) = npq .

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 12. LOIS DE PROBABILITÉ

PREUVE Admise...

EXERCICE

• Combien de fois faut-il jeter une pièce de monnaie parfaitement équilibrée pourobtenir au moins une fois la face PILE avec une probabilité supérieure à 0,99 ?

RÉSOLUTION

La variable aléatoire X : « nombre d’obtention de la face PILE » lorsqu’on jette n

fois la pièce suit la loi binomiale B

(

n ;1

2

)

.

On cherche la plus petite valeur de n telle que p(X Ê 1) > 0,99.

On a : p(X Ê 1) = 1−p(X = 0) = 1−(

n

0

)

×(

1

2

)0

×(

1

2

)n

= 1−(

1

2

)n

.

Par équivalences successives :

1−(

1

2

)n

> 0,99 ⇔(

1

2

)n

< 0,01 ⇔ ln

(

1

2

)n

< ln 0,01 ⇔ n ln

(

1

2

)

< ln 0,01 ⇔n >ln 0,01

ln 0,5

Or : 6,64 <ln0,01

ln 0,5< 6,65.

Il faut jeter la pièce au moins 7 fois.

§ 2. Lois continues

a. Loi de probabilité à densité

DÉFINITION

On considère un intervalle [a ; b].

• Une fonction f est une fonction de densité lorsque la fonction f est définie, continue,positive sur l’intervalle [a ; b], et vérifie :

∫b

af (t) dt = 1

• On dit alors qu’une variable aléatoire X à valeur dans l’intervalle [a ; b] suit une loi de

probabilité à densité lorsque, pour tout intervalle [c ; d] ⊆ [a ; b], on a :

p(c É X É d) =∫d

cf (t) dt

• L’espérance de X est définie par : E (X ) =∫b

at × f (t) dt .

b. Loi uniforme

REMARQUE

On considère un intervalle [a ; b] et la fonction f définie sur [a ; b] par f (t)=1

b −a.

La fonction f est continue, positive sur [a ; b] et on a :

∫b

a

1

b −adt =

1

b −a[t ]b

a =b −a

b −a= 1

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 12. LOIS DE PROBABILITÉ

Par conséquent, la fonction f est une fonction de densité sur [a ; b].

DÉFINITION

On considère un intervalle [a ; b].

Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [a ; b], notée U ([a ; b]), lorsque :

• Pour tout intervalle [c ; d] ⊆ [a ; b] : p(c É X É d) =∫d

c

1

b −adt =

d −c

b −a.

a c d b

1

b −a

REMARQUE

Pour tout réel k ∈ [a ; b], on a : p(X = k) = 0.

PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme U ([a ; b]).

• E (X ) =a +b

2.

PREUVE

On a : E (X ) =∫b

a

t

b −adt =

1

b −a

[

t 2

2

]b

a

=b2 −a2

2(b −a)=

a +b

2. ä

c. Loi exponentielle

REMARQUE

On considère un réel strictement positif λ et la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[par f (t) =λe−λt .

La fonction f est continue, positive sur [0 ; +∞[ et, pour tout x ∈ [0 ; +∞[, on a :

∫x

0λe−λt dt =

[

−e−λt]x

0= 1−e−λx et lim

x→+∞(1−e−λx) = 1

Par conséquent, la fonction f est une fonction de densité sur [0 ; +∞[.

DÉFINITION

Soit λ un réel strictement positif.

Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ, notée E (λ), lorsque :

• Pour tout intervalle [a ; b]⊂ [0 ; +∞[ : p(a É X É b) =∫b

aλe−λt dt =

[

−e−λt]b

a.

a b

λ

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 12. LOIS DE PROBABILITÉ

REMARQUE

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle E (λ).

• Pour tout réel k Ê 0, on a : p(X Ê k) = limx→+∞

∫x

kλe−λt dt = lim

x→+∞

[

−e−λt]x

k= e−λk .

• Pour tout réel k Ê 0, on a : p(X É k) = p(X < k).

PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle E (λ).

• E (X ) =1

λ.

PREUVE

On vérifie que la fonction F définie par F (t) =−(

t +1

λ

)

e−λt est une primitive de

la fonction f définie par f (t)= λt e−λt sur [0 ; +∞[.

On a : E (X ) = limx→+∞

∫x

0t ×λe−λt dt = lim

x→+∞[F (t)]x

0 = limx→+∞

[

−(

x +1

λ

)

e−λx

]

+1

λ.

Par croissances comparées, limx→+∞

[

−(

x +1

λ

)

e−λx

]

= 0, donc : E (X ) =1

λ. ä

d. Durée de vie sans vieillissement

PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle E (λ).

Pour tous réels positifs t et h, on a :• pXÊt (X Ê t +h) = p(X Ê h).

PREUVE

On a : pXÊt (X Ê t +h) =p(X Ê t ∩X Ê t +h)

p(X Ê t)=

p(X Ê t +h)

p(X Ê t)=

e−λ(t+h)

e−λt= e−λh .

Autrement dit : pXÊt (X Ê t +h) = p(X Ê h). ä

REMARQUE

La propriété de durée de vie sans vieillissement signifie que la durée de vie sur une périodede longueur h ne dépend pas du début t de la période.

§ 3. Lois normales

a. Loi normale N (0 ; 1)

PROPRIÉTÉ

On considère la fonction f définie sur R par : f (t)=1

p2π

e−t22 .

• La fonction f est une fonction de densitésur R.

• La représentation graphique de f est unecourbe en cloche, symétrique par rapportà l’axe des ordonnées.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 12. LOIS DE PROBABILITÉ

PREUVE Admise...

DÉFINITION

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notée N (0 ; 1), lorsque :

• Pour tout intervalle [a ; b] de R : p(a É X É b) =∫b

a

1p

2πe−

t22 dt .

a b

REMARQUE

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).

• p(X É 0) = p(X Ê 0) =1

2.

• Pour tout réel k positif : p(X É−k) = p(X Ê k) = 1−p(X É k).

• Pour tout réel k positif : p(−k É X É k) = 1−2p(X Ê k) = 2p(X É k)−1.

−k k

PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).

• E (X ) = 0.

• V (X ) = 1.

PREUVE Celle du premier point est au programme...

EXEMPLE

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).

• On a : p(−2É X É 2) ≃ 0,954.A la calculatrice : normalFRép(-2, 2, 0, 1).

• On a : p(X É 2) ≃ 0,977.A la calculatrice : normalFRép(-10∧9, 2, 0, 1).

On peut aussi utiliser : p(X É 2) = p(X É 0)+p(0 É X É 2) ≃ 0,5+0,477 ≃ 0,977.A la calculatrice : 0.5 + normalFRép(0, 2, 0, 1).

• On a : p(X É u) = 0,7 ⇔ u ≃ 0,524.A la calculatrice : FracNormale(0.7, 0, 1).

b. Loi normale N (µ ; σ2)

DÉFINITION

Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ ; σ2) lorsque la variable aléatoire Z =X −µ

σsuit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 12. LOIS DE PROBABILITÉ

µ

PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N (µ ; σ2).

• E (X ) =µ.

• V (X ) =σ2.

PREUVE Admise...

c. Détermination de uα tel que : p(−uα É X É uα) = 1−α

PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N (0 ; 1).

Pour tout réel α∈ ]0 ; 1[, il existe un unique réel strictement positif uα tel que :

• p(−uα É X É uα) = 1−α.

1−α

−uα uα

PREUVE

Soit G la fonction définie sur [0 ; +∞[ par G(x) = p(−x É X É x).

On a : G(x) = 2p(0 É X É x) = 2F (x) où F est la primitive sur R de la fonction dedensité f et qui s’annule en 0.

La fonction G est continue et strictement croissante sur [0 ; +∞[.

De plus, G(0) = 0 et limx→+∞

G(x) = 1.

Lorsque α∈ ]0 ; 1[, on a : 1−α ∈ ]0 ; 1[.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un uniqueréel strictement positif uα tel que G(uα)= 1−α.

Autrement dit : p(−uα É X É uα) = 1−α. ä

EXEMPLE A connaître...

• u0,05 ≃ 1,96.

• u0,01 ≃ 2,58.

En effet, par équivalences successives :

p(−u0,05 É X É u0,05) = 1−0,05 ⇔ 1−2×p(X Ê u0,05) = 0,95

⇔ 1−2× (1−p(X É u0,05))= 0,95

⇔ p(X É u0,05) = 0,975 ⇔ u0,05 ≃ 1,96

Par un raisonnement analogue, on obtient le second résultat.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 12. LOIS DE PROBABILITÉ

d. Intervalles à « 1, 2 ou 3 sigmas »

PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N (µ ; σ2).

• p(µ−σÉ X ɵ+σ) ≃ 0,683.

• p(µ−2σÉ X É µ+2σ) ≃ 0,954.

• p(µ−3σÉ X É µ+3σ) ≃ 0,997.

PREUVE Du premier point...

On a : p(µ−σÉ X ɵ+σ) = p(−σÉ X −µÉσ) = p

(

−1 ÉX −µ

σÉ 1

)

≃ 0,683. ä

e. Théorème de Moivre-Laplace

THÉORÈME

Soit n un entier naturel non nul et p ∈ ]0 ; 1[.

Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p).

Soit Zn =Xn −E (Xn)

σ(Xn)la variable centre réduite associée à Xn .

Pour tous réels a et b tels que a < b, on a :

limn→+∞

p(a É Zn É b) =∫b

a

1p

2πe−

t22 dt

Autrement dit :

• limn→+∞

p(a É Zn É b)= p(a É Z É b) où Z suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).

E (Xn) = np = 15

σ(Xn) =√

np(1−p)≃ 2,74

p(−1,75 É Zn É 2.15) = p(10,21 É Xn É 20,89) ≃ 0,943∫2,15

−1,75

1p

2πe−

t22 dt ≃ 0,944

b

b

b

b

n = 30

p = 0,5

a =−1,75

b = 2,15

PREUVE Admise...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 13. PRODUIT SCAL AIRE DANS L’ESPACE

CHAPITRE

13Produit scalaire dans l’espace

§ 1. Orthogonalité dans l’espace

a. Droites orthogonales

DÉFINITION

Deux droites sont orthogonales lorsqu’elles sont respectivement parallèles à deux droitesperpendiculaires d’un plan.

EXEMPLE

• Soit ABCDEFGH un cube de l’espace.

Les droites (AE) et (FH) sont orthogonalescar :(AE) est parallèle à (DH).(FH) est parallèle à (FH).Les droites (DH) et (FH) sont perpendicu-laires dans le plan (DFH). b

Ab

B

bC

bD

bE

b

F

b

GbH

b. Vecteurs orthogonaux

DÉFINITION

Deux vecteurs non nuls ~u et~v de l’espace sont orthogonaux lorsqu’ils sont respectivementdes vecteurs directeurs de deux droites orthogonales.

EXEMPLE

Dans l’exemple précédent, les vecteurs−→AE et

−→HF sont orthogonaux car ils dirigent res-

pectivement les droites orthogonales (AE) et (HF).

CONVENTION

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à n’importe quel vecteur.

c. Droite orthogonale à un plan

DÉFINITION

Une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à deux droites sécantesde ce plan.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 13. PRODUIT SCAL AIRE DANS L’ESPACE

EXEMPLE

• Soit ABCDEFGH un cube de l’espace.

La droite (AE) est orthogonale au plan(ABC) car elle est orthogonale aux deuxdroites sécantes (AB) et (AC) du plan(ABC).

b

Ab

B

bC

bD

bE

b

F

b

GbH

d. Propriété d’incidence

PROPRIÉTÉ

Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à n’importe quelle droitede ce plan.

PREUVE Admise...

EXEMPLE

Dans l’exemple précédent, la droite (AE) est orthogonale à la droite (CD).

§ 2. Produit scalaire dans le plan

a. Norme d’un vecteur

DÉFINITION

La norme d’un vecteur ~u, notée ‖~u‖, est la distance AB, où A et B sont deux points du plan

tels que−→AB=~u.

b. Produit scalaire

DÉFINITION

Soient ~u et ~v deux vecteurs du plan.

Le produit scalaire de ~u et ~v , noté ~u . ~v , estle réel défini par :

• ~u . ~v =1

2

(

‖~u‖2 +‖~v‖2 −‖~u −~v‖2)

.

~u

~v

~u −~v

REMARQUE

Pour n’importe quels vecteurs du plan ~u et ~v :

• Si ~u ou ~v est nul, alors : ~u . ~v = 0.

• ~v . ~u =~u . ~v.

• ~u . ~u =~u2 = ‖~u‖2.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 13. PRODUIT SCAL AIRE DANS L’ESPACE

c. Nullité du produit scalaire

PROPRIÉTÉ

Pour que ~u . ~v = 0, il faut et il suffit que ~u et ~v soient orthogonaux.

PREUVE Le théorème de Pythagore est d’un grand secours...

MÉTHODE

Pour montrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires, on peut montrer que−→AB . −→CD = 0.

d. Expression analytique du produit scalaire

PROPRIÉTÉ

Soient ~u

(

x

y

)

et ~v

(

x′

y ′

)

deux vecteurs du plan muni d’un repère orthonormal. On a :

• ~u . ~v = xx′+ y y ′.

PREUVE On traduit la définition du produit scalaire dans le repère...

e. Bilinéarité du produit scalaire

PROPRIÉTÉ

Pour n’importe quels vecteurs du plan ~u, ~v et ~w et pour n’importe quel réel k, on a :

• (k~u) . ~v = k(~u . ~v) =~u . (k~v).

• ~u . (~v + ~w ) =~u . ~v +~u . ~w .

• (~u+~v) . ~w =~u . ~w +~v . ~w .

PREUVE On utilise les expressions analytiques des produits scalaires...

f. Projeté orthogonal

PROPRIÉTÉ

Soient ~u un vecteur non nul, ~v un vecteur du plan, et ~v ′ le projeté orthogonal de ~v sur ~u,comme indiqué sur la figure. On a :

• ~u . ~v =~u . ~v ′.

~u

~v

~v ′

PREUVE On décompose le vecteur ~v à l’aide de la relation de Chasles...

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 13. PRODUIT SCAL AIRE DANS L’ESPACE

g. Théorème du cosinus

PROPRIÉTÉ

Soient ~u et ~v deux vecteurs non nuls du plan. On a :

• ~u . ~v = ‖~u‖×‖~v‖×cos (~u ; ~v).

PREUVE Admise...

REMARQUE

Lorsque ~u et ~v sont colinéaires :

• ~u . ~v = ‖~u‖×‖~v‖ pour ~u et ~v de même sens.

• ~u . ~v =−‖~u‖×‖~v‖ pour ~u et ~v de sens contraires.

h. Règles de calculs

PROPRIÉTÉ

Pour n’importe quels vecteurs ~u et ~v , on a :

• ‖~u +~v‖2 = ‖~u‖2 +‖~v‖2 +2×~u . ~v .

• ‖~u −~v‖2 = ‖~u‖2 +‖~v‖2 −2×~u . ~v .

• ‖~u‖2 −‖~v‖2 = (~u +~v) . (~u−~v).

PREUVE On utilise les propriétés de bilinéarité...

§ 3. Produit scalaire dans l’espace

a. Produit scalaire

DÉFINITION

Soient ~u et ~v deux vecteurs de l’espace. Il existe trois points A, B et C tels que : ~u = −→AB et

~v =−→AC.

Le produit scalaire de ~u et ~v , noté ~u . ~v , est le produit scalaire de−→AB et

−→AC dans un plan

contenant les trois points A, B et C.

b. Expressions du produit scalaire

PROPRIÉTÉ

Pour n’importe quels vecteurs ~u et ~v de l’espace , on a :

• ~u . ~v =1

2

(

‖~u‖2 +‖~v‖2 −‖~u −~v‖2)

.

• ~u . ~v = xx′+ y y ′+ zz ′ lorsque ~u

x

y

z

et ~v

x′

y ′

z ′

dans un repère orthonormal de l’espace.

• ~u . ~v = ‖~u‖×‖~v‖×cos (~u ; ~v).

PREUVE Admise...

REMARQUE

Toutes les règles de calcul énoncées dans le plan restent valables dans l’espace.

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c. Orthogonalité dans l’espace

REMARQUE

De façon analogue à la situation plane :

• Pour que deux vecteurs ~u et ~v soient orthogonaux, il faut et il suffit que ~u . ~v = 0.

PROPRIÉTÉ

• Pour que deux droites de l’espace (d) et (d ′) de vecteurs directeurs ~u et ~v soient ortho-gonales, il faut et il suffit que l’on ait : ~u . ~v = 0.

• Pour qu’une droite (d) de l’espace de vecteur directeur ~u et un plan (P ) soient ortho-gonaux, il faut et il suffit que, pour tout couple (~v ; ~w) de vecteurs de (P ), on ait :~u . ~v =~u . ~w = 0.

PREUVE Admise...

§ 4. Plan : vecteur normal et équation cartésienne

a. Vecteur normal à un plan

DÉFINITION

On considère un plan (P ).

Un vecteur non nul ~n est un vecteur normal au plan (P ) lorsque ~n est un vecteur directeurd’une droite orthogonale à (P ).

~n

(P )

REMARQUE

D’après ce qui précède, un vecteur ~n est normal à un plan (P ) si, et seulement si, il estorthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (P ).

~n

(P )

Un vecteur normal au plan (P ) est orthogonal à n’importe quel vecteur de ce plan.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 13. PRODUIT SCAL AIRE DANS L’ESPACE

PROPRIÉTÉ

Soient A un point de l’espace et ~n un vecteur non nul.

L’ensemble des points M de l’espace tels que−−→AM . ~n = 0 est le plan (P ) passant par A et de

vecteur normal ~n.

~n

(P )

b

Ab

M

PREUVE Admise...

b. Équation cartésienne d’un plan

PROPRIÉTÉ

On considère un repère orthonormal.

• Tout plan (P ) a pour équation cartésienne une équation de la forme ax+by+cz+d = 0,où a, b et c sont des réels non tous nuls.

• Réciproquement, une équation de la forme ax +by + cz +d = 0, où a, b et c sont des

réels non tous nuls, est celle d’un plan (P ) de vecteur normal ~n

a

b

c

.

PREUVE Admise...

EXERCICE

Déterminer une équation cartésienne du plan (P ) passant par le point A de coordon-

nées (4 ; 0 ; 1) et de vecteur normal ~n

3−12

.

RÉSOLUTION

On a : M(

x ; y ; z)

∈ (P ) ⇔−−→AM . ~n = 0. Or :

−−→AM

x −4y

z −1

et ~n

3−12

.

Donc : M ∈ (P ) ⇔ 3(x −4)− y +2(z −1) = 0 ⇔ 3x − y +2z −14 = 0.

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 14. FLUCTUATION D’ÉCHANTILLONNAGE ET ESTIMATION

CHAPITRE

14Fluctuation d’échantillonnage et estima-tion

§ 1. Fluctuation d’échantillonnage

a. Intervalle de fluctuation au seuil de 95%

CADRE

• On dispose d’une urne contenant des boules blanches et des boules noires.

On sait que la proportion de boules blanches est p = 0,4.

On tire successivement et avec remise n = 50 boules.

On note X50 le nombre de boules blanches tirées et F50 =X50

50la fréquence de boules

blanches dans l’échantillon.

On veut estimer F50 au seuil s = 95%, c’est à dire au risque α= 5%.

La variable aléatoire X50 suit la loi binomiale B(50 ; 0,4).

PROPRIÉTÉ

Il existe deux entiers a et b tels que :

• p(Xn < a) É 0,025.

• p(a É Xn É b)Ê 0,95.

• p(Xn > b) É 0,025.

Dans ces conditions et en considérant l’in-

tervalle In =[

a

n;

b

n

]

: p(Fn ∈ In ) Ê 0,95. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

a b

PREUVE Admise...

DÉFINITION

L’intervalle

[

a

n;

b

n

]

de la PROPRIÉTÉ s’appelle l’intervalle de fluctuation au seuil s de 95%

de la variable aléatoire Fn .

MÉTHODE

A la calculatrice et à l’aide de binomFRép, on cherche les plus petits entiers a et b tels que :p(Xn É a) > 0,025 et p(Xn É b) Ê 0,975.

On a :

• a = 13 car : binomFRép(50, 0.4, 12) ≃ 0,013 et binomFRép (50, 0.4, 13) ≃ 0,028.

• b = 27 car : binomFRép(50, 0.4, 26) ≃ 0,969 et binomFRép (50, 0.4, 27) ≃ 0,983.

L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est

[

13

50;

27

50

]

= [0,26 ; 0,54].

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 14. FLUCTUATION D’ÉCHANTILLONNAGE ET ESTIMATION

b. Intervalle de fluctuation asymptotique

PROPRIÉTÉ

On considère un réel α ∈ ]0 ; 1[.

On considère l’unique réel strictement positif uα tel que p(−uα É Z É uα) = 1−α, où Z

suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1).

On considère une variable aléatoire Xn selon la loi B(n ; p) et on note Fn =Xn

nla fré-

quence associée.

On note In l’intervalle

[

p −uα

p(1−p)p

n; p +uα

p(1−p)p

n

]

.

On a : limn→+∞

p(Fn ∈ In ) = 1−α.

REMARQUE

La preuve de cette PROPRIÉTÉ est largement soulignée dans les programmes.

PREUVE

Avec les notations de la propriété, on note Zn =Xn −E (Xn)

σ(Xn)la variable centrée

réduite associée à Xn .

D’après le théorème de Moivre-Laplace, on a :

limn→+∞

p(−uα É Zn É uα) = p(−uα É Z É uα) = 1−α

Or, et par équivalences successives :

−uα É Zn É uα ⇔−uα ÉXn −E (Xn)

σ(Xn)É uα

⇔E (Xn)−uασ(Xn) É Xn É E (Xn)+uασ(Xn )

⇔E (Xn)−uασ(Xn)

nÉ Fn É

E (Xn)+uασ(Xn )

n

⇔E (Xn)

n−uα

σ(Xn)

nÉ Fn É

E (Xn)

n+uα

σ(Xn )

n

⇔ p −uα

p(1−p)p

nÉ Fn É p +uα

p(1−p)p

n

car E (Xn) = np et σ(Xn) =√

np(1−p)

Ainsi : limn→+∞

p(Fn ∈ In ) = 1−α. ä

DÉFINITION

L’intervalle

[

p −uα

p(1−p)p

n; p +uα

p(1−p)p

n

]

de la PROPRIÉTÉ s’appelle l’intervalle

de fluctuation asymptotique au seuil 1−α de la variable aléatoire Fn .

EXEMPLE

• On prend : p = 0,4, n = 50 et α= 0,05.

On sait que u0,05 ≃ 1,96.

On a : I50 =[

0,4−1,96

0,4(1−0,4)p

50; 0,4+1,96

0,4(1−0,4)p

50

]

= [0,264 ; 0,536].

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COURS DE MATHS - TERMINALE S CH. 14. FLUCTUATION D’ÉCHANTILLONNAGE ET ESTIMATION

c. Prise de décision

CADRE

• On dispose d’une urne contenant des boules blanches et des boules noires.

On suppose que la proportion de boules blanches est p et on veut valider ou invalidercette supposition.

On tire successivement et avec remise n boules.

On note Xn le nombre de boules blanches tirées et Fn =Xn

nla fréquence de boules blanches

dans l’échantillon.

PROPRIÉTÉ

Soit In l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.

• Si Fn ∈ In , alors on accepte la supposition faite sur la proportion p.

• Si Fn ∉ In , alors on rejette la supposition faite sur la proportion p.

PREUVE Admise...

§ 2. Intervalle de confiance

CADRE

• On dispose d’une urne contenant des boules blanches et des boules noires.

On ne connaît pas la proportion p de boules blanches et on veut estimer p.

On tire successivement et avec remise n boules.

On note Xn le nombre de boules blanches tirées et f =Xn

nla fréquence de boules blanches

dans l’échantillon.

PROPRIÉTÉ

Si n Ê 30, n f Ê 5 et n(1− f ) Ê 5, alors p ∈ Jn =[

f −1p

n; f +

1p

n

]

avec une probabilité

supérieure ou égale à 0,95.

PREUVE Admise...

DÉFINITION

L’intervalle

[

f −1p

n; f +

1p

n

]

de la PROPRIÉTÉ s’appelle l’intervalle de confiance de la

proportion p au seuil de confiance de 95%.

Lycée Edgar QUINET 92/92 Emmanuel DUPUY