Chapitre 4 - CALCUL MATRICIEL 4.1 Généralités sur les matrices

Définition 1

Une matrice de taille m x n est un tableau de nombres formé de m lignes et n colonnes. Une telle matrice s'écrit sous la forme :

Les nombres , avec et , sont appelés les coefficients de la matrice.

est le coefficient placé à la ième ligne et la jème colonne.

Exemple

est une matrice de taille 2 x 3.

Application 1 : une situation à une matrice La presse en France se décompose en la presse quotidienne nationale (PQN), la presse quotidienne régionale (PQR) et la presse quotidienne urbaine et gratuite (PQG). En 2005-2006, le nombre de lecteurs en milieux, était 8 032 pour la PQN, 17 998 pour la PQR, 3 125 pour la PQG. Le nombre de lecteurs réguliers, en milliers, était pour la PQN, 17 928 pour la PQR et 2 929 pour la PQG. Représenter la situation par une matrice et préciser sa forme. Application 2 : interpréter les coefficients d’une matrice La matrice ci-contre représente les longueurs des sauts, en mètres, de 4 concurrents nommés A, B, C et D s’affrontant au triple saut lors de leurs trois essais dans une compétition. 1. Quelle est la longueur du saut réalisé au 2e essai par C ? 2. Quel est le concurrent ayant réalisé le meilleur saut ? A quel essai. 3. Quelle information donne le plus grand coefficient figurant dans une colonne ? dans une ligne ? Application 3 : utiliser l’écriture générale d’une matrice La matrice est telle que , pour et . Préciser la taille de cette matrice puis l’écrire avec tous ses coefficients.

Définition 2 Une matrice de taille n x n est appelée une matrice carrée d’ordre n.

1

Exemple

est une matrice carrée de taille 2.

Définition 3

Dans une matrice carrée d’ordre n, les coefficients forment la diagonale principale de la matrice.

Définition 4 La matrice unité d’ordre n, notée , est la matrice carrée d’ordre n contenant uniquement des 1 sur sa diagonale principale et 0 ailleurs Exemple

est une matrice identité d’ordre 2.

Définition 5

La matrice nulle d’ordre n, notée , est la matrice carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont nuls. Exemple

est une matrice nulle d’ordre 2.

Définition 6

Une matrice de taille n x 1 est appelée une matrice colonne. Une matrice de taille 1 x n est appelée une matrice ligne. Exemple Les coordonnées d'un vecteur du plan est une matrice colonne de dimension 2 x 1.

Propriété 1 Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles sont la même taille et ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions.

2

4.2 Opérations sur les matrices 4.2.1) Somme de matrices

Définition 7 Soit A et B deux matrices de même taille. La somme de A et B est la matrice, notée A + B, dont les coefficients sont obtenus en additionnant deux à deux des coefficients qui ont la même position dans A et B. Exemple

et alors

Remarque : Cette définition montre qu'il n'est possible d'additionner que des matrices de même taille.

Propriété 2 Soit A, B et C trois matrices carrées de même taille. a) Commutativité : A + B = B + A b) Associativité : (A + B) + C = A + (B + C)

4.2.2) Produit d'une matrice par un réel

Définition 8 Soit A une matrice et k un nombre réel. La produit de A par le réel k est la matrice, notée kA, dont les coefficients sont obtenus en multipliant tous les coefficients de A par k. Exemple

alors

Propriété 3

Soit A et B deux matrices carrées de même taille et deux réels k et k'. a) (k + k')A = kA + k'A b) k(A + B) = kA + kB c) (kk')A = k(k'A) d) (kA)B = A(kB) = k(A x B)

3

Application 4 : ajouter des matrices et multiplier des matrices par un réel

On considère les matrices et .

Calculer 5A + 3B à la main. Vérifier en effectuant le calcul avec une calculatrice. 4.2.3) Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne

Définition 9 Soit A une matrice ligne et B une matrice colonne telles que :

et

Le produit de la matrice ligne A par la matrice colonne B est la matrice, notée A x B et égale à : Exemple

et alors

Donc 4.2.4) Produit de deux matrices Le produit AB de deux matrices n’existe que si le nombre de colonne de A est égal au nombre de ligne de B.

Définition 10 Si A une matrice de taille et B une matrice de taille , le produit ou AB est la matrice de taille dont le coefficient situé à la ligne i et la colonne j est « le produit de la i et la colonne j de B (au sens de la définition précédente) », pour et . 4

Exemple

et alors :

et

ATTENTION : Certaines propriétés très usuelles de la multiplication des nombres (réels ou complexes) ne s’étendent pas à la multiplication des matrices. La multiplication de matrices n'est pas commutative : en général Si AB = AC on ne peut pas « simplifier » et en déduire que B = C Application 5 : disposition pratique pour calculer le produit de deux matrices

Soit et .

1. Peut-on calculer le produit AB ? Si oui, si oui calculer ce produit. 2. Peut-on calculer le produit BA ? Si oui, si oui calculer ce produit.

Propriété 4 Soit A, B et C trois matrices carrées de même taille et un réel k. a) Associativité : (A x B) x C = A x (B x C) = A x B x C b) Distributivité : A x (B + C) = A x B + A x C et (A + B) x C = A x C + B x C c) (kA)B = A(kB) = k(A x B) d) Soit In la matrice unité d’ordre n, alors

Application 6 : utiliser les propriétés de calcul sur les matrices

Soit M la matrice .

Montrer que M = P + I où I est la matrice unité d’ordre 3, et P est une matrice carrée d’ordre 3 telle P2 = O (matrice nulle d’ordre 3). En déduire M2. Application 7 : calculer avec des matrices On considère les matrices :

et .

a. Déterminer deux réels a et b tels que :

5

b. Vérifier que , en déduire que c. Déterminer une matrice B telle que : . 4.2.5) Puissance d'une matrice carrée

Définition 11 Soit A une matrice carrée et n un entier naturel. Le carré de A est la matrice, noté A2, égale à A x A. Le cube de A est la matrice, noté A3, égale à A x A x A. Plus généralement, la puissance n-ième de A est la matrice, notée An, égale au produit de n facteurs A. Exemple

Soit une matrice diagonale.

Alors

En effet, on constate après calcul que tous les coefficients qui ne se trouvent pas sur la diagonale s'annulent et que sur la diagonale, les coefficients de A2 sont égaux aux carrées des coefficients de A. On peut généraliser cette règle à une puissance quelconque.

Ainsi par exemple, .

Propriété 5

Soit A et B deux matrices d’ordre p. Soit m et n deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1. On a . ATTENTION A cause de la non-commutativité du produit des matrices, en général :

et Application 8 : effectuer des calculs matriciels et déterminer la puissance n-ième d’une matrice.

Soit .

1. On pose . Ecrire la matrice B, puis calculer . 2. Montrer que pour tout entier naturel n :

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. 3. En déduire l’expression de en fonction de l’entier naturel n. Méthode : Utiliser la calculatrice pour effectuer des calculs matriciels

On veut calculer le carré de la matrice

Avec une TI : Entrer dans le mode "Matrice" (MATRIX) puis "EDIT". Saisir la taille de la matrice puis ses coefficients.

Quittez (QUIT) puis entrer à nouveau dans le mode "Matrice" et sélectionner la matrice A et compléter la formule pour élever A au carré.

Avec une CASIO: Entrer dans le menu "RUN.MAT" puis choisir "MAT" (Touche F1). Choisir une matrice et saisir sa taille dans la fenêtre qui s'ouvre.

Saisir ensuite les coefficients de la matrice.

Quitter le mode d'édition (QUIT) et taper sur la touche "Mat" puis saisir le calcul.

On obtient le résultat :

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ATTENTION A cause de la non-commutativité du produit des matrices, en général :

et

4.2.6) Puissances d’une matrice et cas particuliers a. Matrices diagonales

Définition 12 Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients qui ne sont pars situés sur sa diagonale principale sont nuls. Exemple

est une matrice diagonale d’ordre 3.

Propriété 6

Soit D une matrice diagonale. Pour tout entier naturel n non nul, est la matrice diagonale obtenue en élevant à la puissance n les coefficients de D. Application 9 : calculer des puissances de matrices diagonales

Soit , calculer D3.

b. Matrices triangulaires supérieurs (ou inférieures).

Définition 13 Une matrice carrée est dite : triangulaire supérieure (ou inférieure) si tous ses éléments situés en dessous (au dessus) de sa diagonales sont nuls. strictement triangulaire si elle est triangulaire avec des coefficients diagonaux nuls.

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Exemples

, , ,

La matrice A est triangulaire supérieure. La matrice B est strictement triangulaire supérieure. La matrice C est triangulaire inférieure. La matrice D est strictement triangulaire inférieure. Application 10 : calculer des produits et des puissances des matrices par blocs

Soit , , , et

On admet que l’on peut calculer les produits « par blocs ». 1. Calculer AB et BC.

2. Montrer que .

3. Puis que pour tout entier naturel n non nul, , où .

En déduire une écriture de Mn en fonction de n. Application 11 : utiliser une décomposition particulière pour calcul de puissances d’une matrice

Soit B la matrice carrée d’ordre 2 suivante : .

1. Calculer B2 et B3. 2. a. Démontrer que où C est une matrice carrée d’ordre 2 que l’on déterminera. b. Calculer C2. Démontre que pour tout entier n, avec , on a . c. Démontrer que les matrices et C commutent. Utiliser la formule du binôme de Newton ou une démonstration par récurrence pour établir que pour établir que, pour tout entier n,

d. Donner une expression explicite de pour tout entier naturel n. 4.3 Matrice inverse 4.3.1) Matrice inverse d'une matrice carrée

Définition 14 Une matrice carrée A de taille n est une matrice inversible lorsqu’il existe une matrice B telle que A x B = B x A = In. La matrice B, notée A-1 est appelée la matrice inverse de A. 9

Exemple

Soit et

Les matrices A et B sont donc inverses l'une de l'autre. Remarque Toutes les matrices ne sont pas inversibles.

Propriété 7

La matrice est inversible si, et seulement si, .

Le réel est appelé le déterminant de la matrice A et noté

Si , alors

Démonstration

Soit .

Alors .

Si , on a soit donc A est inversible.

Si , alors donc A n'est pas inversible. Car si A était inversible

d'inverse la matrice C, on aurait et

Et donc . Ce qui est impossible.

Application 12 : Calculer l'inverse d'une matrice carrée de taille 2

Calculer l'inverse de la matrice .

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On peut vérifier le résultat à l'aide de la calculatrice : Il est possible de faire une saisie en ligne sans passer par le menu "Matrice".

On obtient l'affichage suivant et le résultat :

Propriété 8 Soit (S) un système dont une écriture matricielle est AX = B, où A une matrice carrée inversible de taille n et X et B deux matrices carrées ou colonnes de taille n. Alors ce système est appelé système de Cramer. De plus : A x X = B, si et seulement si, X = A-1 x B Démonstration A x M = N A-1 x (A x M) = A-1 x N Comme A-1 x (A x M) = (A-1 x A) x M = In x M = M, on a : M = A-1 x N Application 13: Résoudre une équation matricielle

Déterminer la matrice colonne X vérifiant avec et .

4.4 Ecriture matriciel d'un système linéaire Exemple

On considère le système (S) suivant :

On pose : , et .

On a alors :

Ainsi, le système peut s'écrire

Propriété 9 Soit A une matrice carrée inversible de taille n et B une matrice colonne à n lignes. Alors le système linéaire d'écriture matricielle admet une unique solution donnée par la matrice colonne .

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Démonstration

alors . Remarque : Dans le contexte de la propriété précédente, si A n'est pas inversible alors le système correspondant possède une infinité de solutions ou aucune solution. Application 14 : Résoudre un système à l'aide des matrices

Résoudre à l’aide du calcul matriciel le système (S) suivant : .

Application 15 : inverser une matrice de forme 2 × 2 Dans le plan munir d’un repère, on considère les vecteurs , et .

Déterminer en fonction de a et b les réels x et y tels que . Application 16 : écrire un système linéaire sous forme matricielle et le résoudre Une usine fabrique trois sortes d’articles a, b et c utilisant des quantités de matières premières indiquées dans le tableau ci-dessous.

article a article b article c métal (en kg) 3 2,4 2 peinture (en kg) 0,4 0,2 0,2 plastique (en kg) 0,4 0,5 0,8

Sachant que 8 784 kg de métal, 973,6 kg de peinture et 2 174,8 kg de plastique ont été utilisés, on veut déterminer les nombres x le nombre d’articles a, y le nombre d’articles b et z le nombre d’articles c produits. 1. Ecrire un système dont x, y et z sont les solutions puis le donner sous forme matricielle AX = Y, où A est une matrice carrée et X et Y sont des matrices colonnes. 2. On admet que la matrice A est inversible. A l’aide d’une calculatrice résoudre le système. 4.5. Diagonalisation d’une matrice

Définition 15 Une matrice carrée A est dite diagonalisable s’il existe une matrice carrée P inversible et une matrice carrée D diagonale telle que Remarque Si , on obtient de façon très simple.

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Application 17 : utiliser une décomposition particulière pour calcul de puissances d’une matrice

Soit la matrice , la matrice et la matrice

1. Démontrer que l’on a AP = PD. 2. Démontrer que P est inversible et calculer . 3. En déduire que 4. En déduire les coefficients de la matrice , pour tout entier naturel n.

Propriété 10 Cas des matrices carrées d’ordre 2. Une matrice carrée d’ordre 2 est diagonalisable si, et seulement si, il existe deux réels et (non nécessairement distincts) et deux matrices colonnes à coefficients réels non proportionnelles V et W telles que AV = V et AW = W. Si A est diagonalisable : Les réels et sont appelés les valeurs propres de la matrice A. Les matrices colonnes V et W sont appelés les vecteurs propres associés aux valeurs propres

et .

La matrice carrée P = [V W] est inversible et telle que

Remarque Les matrices carrées d’ordre 2 ne sont pas toutes diagonalisables.

Prenons et posons . Alors s’écrit :

avec

Si et inversible,

Et donc V, qui est nulle, est proportionnelle à toute matrice W de format 2 × 1. Ce qui est impossible. Pour que A soit diagonalisable, il faut donc que B ne soit pas inversible, donc que son déterminant soit nul, d’où . Application 18 : diagonaliser une matrice carrée

Soit

1. Démontrer que A est diagonalisable. 2. Diagonaliser la matrice A. 3. Calculer , pour tout entier naturel n non nul.

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