CHAPITRE 3 Multiplication, Division et

Problèmes

Objectifs:- Savoir multiplier des nombres mentalement,à la main et avec la calculatrice, dans des situations simples techniquement.

-Savoir multiplier un décimal par 10 ; 100 ; 1000 ou par 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

- Connaître le vocabulaire : f acteur, dividende, diviseur, quotient, reste.

- Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier d’un ou deux chiff res. - Savoir utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9.

- Savoir diviser un décimal par 10 ; 100 ; 1000

- Savoir donner une valeur approchée d’un nombre.

Le symbole ÷ a été introduit en 1698 par l’allemand Gottfried Willhelm Leibniz, un des plus grands génies qui aient existé.

A la f ois philosophe, théologien, mathématicien, physicien, historien, Leibniz cultive et perfectionne presque toutes les branches des connaissances humaines.

I. La multiplication

Remarque :

844,7 x 3,68 =  3108,496

les facteurs le produit

facteur vient du latin « factor » = celui qui est fait.

1) Vocabulaire

2) Méthode pour le calcul posé

Exemple : Poser et effectuer 844,7 x 3,68

8 4 4,7

x 3,6 8

On va effectuer la multiplication sansse préoccuper desvirgules pour l’instant. 6 5 7 35 36 7

. 2 48 26 25 0 . . 1 24 13 12 5

3 1 0 8 4 9 6

3 chiffres après la virgule en tout dans les deux facteurs de la multiplication…

… donc 3 chiffres après la virgule dans le produit.

,

3) Quelques astuces pour le calcul mental

Multiplier par 4 (c’est  x 2 puis  x 2)

41 x 4 =

x 2 82x 2

164

Multiplier par 0,5 (c’est ÷ 2)

32 x 0,5 =

÷ 2

16

Multiplier par 5 (c’est x 10 puis  ÷2)

66 x 5 =

x 10660 ÷ 2

330

Multiplier par 10, 100, 1000,…

Lorsqu'on multiplie un nombre par 10 ;100 ; 1 000… il « grandit » de 1 ; 2 ; 3 rangs.

32 x 1 000 = 32 000

6,3 x 100 = 630

21,21 x 10 = 212,1

12 x 500 = 12 x 5 x 100 = 6 000

Multiplier par 0,1; 0,01; 0,001 …

Lorsqu'on multiplie un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001…

il « réduit » de 1 ; 2 ; 3 rangs.

312 x 0,001 = 0,312 63 x 0,01 = 0,63

1,2 x 0,001 = 0,0012 21,23 x 0,1 = 2,123

Grouper astucieusement les facteurs Pour le calcul d’un produit, l’ordre des facteurs n’a pas d’importance.

2,5 x 6,68 x 4 = 2,5 x 6,68 x 4

= 2,5 x 4 x 6,68= 10 x 6,68= 66,8

II. Divisibilité

Exemple : 56 = 8 x 7

On dit que 7 et 8 sont des diviseurs de 56.

Remarque :

56 est divisible par 7 et par 8.

56 est un multiple de 7 et de 8.

56 est dans la table de 7 et de 8.

1) Définition

On dit aussi

2) Critères de divisibilité

Un nombre entier est divisible :

- par 2, s’il est pair ( il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8),

- par 3, si la somme de ses chiffres est dans la table de 3,

exemples : 26 48 10 024

exemple : 532 587 (car 5 + 3 + 2 + 5 + 8 + 7 = 30 et 30 est dans la table de 3)

- par 4, si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est dans la table de 4,

exemples : 5 148 632 10 024

- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5,

- par 9, si la somme de ses chiffres est dans la table de 9.

exemples : 855 1 250

exemple : 73 854 (car 7 + 3 + 8 + 5 + 4 = 27 et 27 est dans la table de 9)

Remarque : … un nombre divisible par 9 est donc f orcément divisible par 3.

III. Division1) La division euclidienne

On veut eff ectuer la division euclidienne de 731 par 34

7 3 1 3 4Le dividende

Le diviseur

Méthode: Dans 73, combien de f ois 34 ? 2 f ois !

2

2 x 34 = 68

- 6 8

73 – 68 = 5 (inf érieur au diviseur)

0 5

On abaisse le 1

1

Dans 51, combien de f ois 34 ? 1 f ois !

1

1 x 34 = 34

- 3 4

51 – 34 = 17 (inf érieur au diviseur)

1 7

Le quotient

Le reste

Remarque : Le reste est toujours inf érieur au diviseur.

731 = 34 x 21 + 17

DIVIDENDE = DIVISEUR X QUOTIENT + RESTEs

I I . Division posée1) La division euclidienne

On veut eff ectuer la division euclidienne de 731 par 34

7 3 1 3 4Le dividende

Le diviseur

Méthode: Dans 73, combien de f ois 34 ? 2 f ois !

2

2 x 34 = 68

- 6 8

73 – 68 = 5 (inférieur au diviseur)

0 5

On abaisse le 1

1

Dans 51, combien de f ois 34 ? 1 f ois !

1

1 x 34 = 34

- 3 4

51 – 34 = 17 (inférieur au diviseur)

1 7

Le quotient

Le reste

…et de manière générale :

Calculatrice : pour effectuer la division euclidienne avec la

machine, on utilise la touche R

2) La division décimale On distingue 2 types de divisions décimales :

- celles dont le quotient est fini ( la division « s’arrête », on obtient un reste nul )

- et celles dont le quotient est infini (la division « ne s’arrête jamais », on n’obtient jamais un reste nul)

Exemples de divisions à quotient fini

3 2 , 1 2 4 - 3 2

0 0 - 0

1 -1 2

0

Lorsqu’on franchit la virgule au dividende, on la franchit également au quotient.

1 8 , 0 3

2

4 5 8

5

- 4 8 0 5

2 - 1 6

4 - 4 0

0

Ici, on est obligé d’ajouter des zéros inutiles au dividende pour finir la division.

, 0 0 0

, 0

- 4 0 6

2

5

0

0

Calculatrice : pour effectuer des divisions avec

la machine, on utilise la touche

Exemple de division à quotient infini

2 3 11

2 - 2 2 1

, 0 0 0

0 ,

- 0 1 0

- 9 91

- 01 0

Ici, on va « retomber» àà chaque fois sur le reste 10…

le quotient sera donc 2,090909090909…

0 09

0

0

1 0

1 0

9 0 9 0…

le quotient est infini

3) Calcul mental: diviser par 10, 100, 1000,…

Lorsqu’on divise un nombre par 10 ; 100 ; 1000…

il « réduit » de 1 ; 2 ; 3 …. rangs.

exemples : 312 ÷ 1000 = 0,312

21,1 ÷ 10 = 2,11

6,3 ÷ 100 = 0,063

0,12 ÷ 100 = 0,0012