Chapitre 3 - Equation de Propagation et Energie Plan: 3-1 Equation d'onde 3-2 Corde tendue 3-3 Ondes sonores Tableau récapitulatif

3-1 Equation d’onde

La propagation d’ondes sans déformation ni atténuation implique l’existence d’une équation de propagation. Certaines ondes, comme les ondes sonores ou les ondes électro-magnétiques, obéissent ainsi à une loi très simple, l’équation d’onde encadrée plus loin, avec une célérité c constante. Plus généralement certaines ondes vont se propager avec une célérité qui dépend de la longueur d’onde, on parle alors de dispersion. Pour d’autres, la propagation s’accompagne d’une diminution d’amplitude due à un phénomène d’absorbtion par le milieu dans lequel elles se propagent. Appelons toujours u, la grandeur physique associée à l’onde ; cette grandeur dépend donc à la fois de l’espace et du temps. Dans le cas d’une onde plane se propageant dans la direction x, elle dépend de x et de t. C’est donc une fonction des deux variables x et t. Il y a propagation d’onde dans le milieu si u satisfait à l’équation différentielle suivante :

∂2u∂x2 =

1c2

∂2u∂t2

Cette équation s’appelle l’équation d’onde.

♦ Exercice 3-1.: Montrer que u(x,t ) = f (t − x / c)est solution de cette équation. Montrer que u(x,t ) = g(t + x / c)est aussi solution de cette équation. Montrer que u(x,t ) = f (t − x / c) + g(t + x / c) est aussi solution. Cette équation est linéaire, ce qui veut dire que la somme de deux solutions de

cette équation est aussi solution. On pourra donc additionner des ondes par exemple deux ondes se propageant dans des sens différents. Il est important de noter qu’il est nécessaire que la grandeur physique satisfasse cette équation pour qu’il puisse y avoir propagation d’onde sans déformation ni atténuation.

Cette équation dans tous les cas d’ondes citées précédemment découle d’un processus

physique. Il faut donc comprendre dans chacun des cas quel est le processus physique mis en jeu et quels sont les paramètres pertinents, notamment qui permettent de remonter à la célérité, grandeur qui apparaît naturellement dans l’équation.

Dans le cas d’une onde sinusoïdale (∂2u∂t2 = −ω2u ), cette équation entraîne :

∂2u∂t2 = −k 2u

Ondes 3-1

avec k 2 =ω2

c2

On retrouve ainsi le lien entre périodicité temporelle T =2πω

et périodicité spatiale

λ =2πk

= cT .

Cette relation entre k et ω s’appelle relation de dispersion.

3-2 Corde tendue

Pour qu’une corde vibre dans des fréquences audibles, il est nécessaire qu’elle soit tendue. Soit T la tension, c’est-à-dire la force exercée à l’extrémité de la corde, force qui sert à la tendre. Expérimentalement il est facile de voir que plus la tension T est grande plus la célérité est grande. La tension de la corde est un paramètre important, c’est pourquoi la tension d’une corde de guitare doit être ajustée quand on l’accorde. Quand on ouvre un piano, on constate que dans les graves, les cordes sont alourdies. C’est parce que la masse linéique µ (masse par unité de longueur) joue aussi un rôle important.

Commençons par une analyse dimensionnelle :

[T] = MLT −2 ; [µ] = ML−1 ; d’où Tµ

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ = L2T −2 = c[ ]2 .

Il est donc possible de construire une vitesse à partir du rapport entre la tension de la corde et sa masse linéique. Montrons donc maintenant qu’effectivement :

c =Tµ

♦ Exercice 3-2.: Estimer la vitesse de propagation de ce type d’onde sur une corde tendue en prenant des valeurs raisonnables pour T et µ. Réponse : T= 10N (masse de 1kg attachée au bout)

Masse linéique ? masse volumique ρ= 5 103 kg m-3, diamètre: 0,5 mm µ = ρπd 2 / 4 c≈100 ms-1. La fréquence fondamentale d’une corde de L=30 cm de long sera donc 168Hz (c/2L) si T=10N.

x x+δx

T

T

α(x)

α(x+δx)

Figure 3-1

Considérons un morceau de corde au repos de longueur δx , comprise entre x et x+δx.

Imaginons un déplacement u(x,t) de la corde par rapport à sa position d’équilibre. Il reste à

Ondes 3-2

faire le bilan des forces s’appliquant sur le morceau de corde et appliquer le principe

fondamental de la dynamique : µ∂2u∂t2 δx = δF , où δF est la force qui s’exerce sur le morceau

de corde dans la direction du déplacement, c’est-à-dire dans l’une des directions perpendiculaires à x. Les forces qui s’exercent sur ce morceau de corde proviennent des deux morceaux de corde de part et d’autre qui tirent sur lui avec la même intensité T mais dans des directions légèrement différentes. C’est donc à cause de la variation d’inclinaison de la corde qu’il va en résulter une force totale non nulle. On néglige de plus les effets de la gravité, c’est-à-dire que la masse linéique qui va intervenir est une masse inertielle et non gravitationnelle. On va supposer ensuite que la corde est peu déformée et donc que l’angle avec la position d’équilibre α est faible, ce qui va conduire à approximer la tangente de cet angle avec son sinus et sa valeur en radian.

[ ] xx

TxxxTF δ∂∂ααδαδ =−+= )()( ;

On en déduit donc

µ∂2u∂t2 == T

∂α∂x

Or pour des petits angles xu

∂∂α = car c’est la pente de la courbe u(x,t) en fonction de x

à chaque instant donné. On en déduit donc :

∂2u∂x2 =

µT

∂2u∂t2

Cette équation est bien une équation d’onde et l’expression de c est bien celle qui a été

annoncée plus haut. En terme d’énergie, il est facile de comprendre que, par unité de longueur, deux

termes vont contribuer : l’énergie cinétique et une énergie associée à la tension.

Energie cinétique : 2

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫ t

udxEC ∂∂µ .

L’autre terme est associé à la tension. En effet, si on provoque un ébranlement dans la

corde, on l’étire, sa longueur augmente et la tension travaille. Il suffit donc d’exprimer le travail de la tension égale au produit de la tension et de la variation de longueur. Considérons le même petit morceau de corde. Sa nouvelle longueur est :

xxux

xuxl δ

∂∂δ

∂∂δδ

22

211 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= .

D’où ET = dx 12∫ T

∂u∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

.

L’énergie totale de la corde à un instant t est donc :

22

21

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+ ∫∫ x

uTdxtudxEE TC ∂

∂∂∂µ .

Ondes 3-3

♦ Exercice 3-3.: Montrer que dans le cas d’une onde progressive l’énergie potentielle par unité de longueur égale en tout point et à chaque instant à l’énergie cinétique par unité de longueur.

Application au cas d’une onde plane sinusoïdale :

u(x,t ) = Acos ω t − kx + ϕ( )

∂u∂x

= kAsin ω t − kx + ϕ( )

∂u∂t

= −ωAsin ω t − kx + ϕ( )

E = dx A2 12 µω2 + 1

2 Tk 2( )∫ sin2 ω t − kx + ϕ( )

Or en utilisant l’équation d’onde , il est facile de montrer que k =ωc

et donc

µω2 = Tk 2 . L’énergie cinétique et l’énergie potentielle sont donc égales.

L’énergie totale vaut donc : E = dx A2∫ µω2 sin2 ω t − kx + ϕ( ). Pour une corde dont la longueur totale L est grande devant la longueur d’onde:

E ≈

12

µω2 A2 L

Transport d’énergie pour une onde progressive On peut reprendre cette vision énergétique mais en regardant l’évolution de cette

énergie le long de la corde dans le temps. En effet, l’ébranlement se propage et donc l’énergie associée aussi. Regardons toujours le même petit élément de corde δx qui présente un certain

profil de déplacement à un instant t. A l’instant t +δxc

, cet ébranlement s’est transféré sur

l’élément δx voisin. En terme d’ énergie, on peut dire que l’énergie 12

µ∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

+12

T∂u∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ δx a été transféré à l’élément voisin pendant

δxc

. Il y a donc une

puissance transférée (énergie par unité de temps) égale à :

P = c12

µ∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

+12

T∂u∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ = Energie par unité de longueur . célérité

♦ Exercice 3-4.: Préciser l’unité de P. Vérifier l’homogénéité de l’équation ci-dessus.

Cette puissance est aussi associée à un sens de propagation. Elle a une valeur algébrique. Elle est positive si l’onde se propage vers les x croissant mais négative si l’onde se propage vers les x décroissant.

Cas d’une onde sinusoïdale se propageant vers les x croissant :

u(x,t ) = Acos ω t − kx + ϕ( )

Ondes 3-4

P = cµω2 A2 sin2 ω t − kx + ϕ( ) .

Cas d’une onde sinusoïdale se propageant vers les x décroissant :

u(x,t ) = Acos ω t + kx + ϕ( )

P = −cµω2 A2 sin2 ω t + kx + ϕ( ).

3-3 Ondes sonores

Ces ondes se propagent aussi bien dans un gaz comme l’air que dans un solide ou un liquide. Mais il est nécessaire d’avoir un milieu matériel, le son ne se propage pas dans le vide. Contrairement à la corde tendue, ici la propagation se fait dans tout l’espace. On se limitera dans la suite à l’étude des ondes sonores planes, donc l’approche sera très semblable à celle des ondes sur la corde. On s’intéressera alors à la façon dont on peut se rapprocher de cette situation idéale.

Essayons d’abord de retrouver l’équation d’onde. Supposons que le son se propage dans la direction des x croissants. Considérons une tranche de matière d’épaisseur δx. Les molécules de cette tranche sont perpétuellement agitées, mais au repos leur vitesse moyenne est nulle car elles s’agitent de la même façon dans toutes les directions. Quand l’onde passe, elles ont alors toutes un même mouvement moyen dans la direction x, caractérisé par un

déplacement u(x,t) et une vitesse v(x,t) =∂u∂t

. Ce déplacement n’est pas constant en fonction

de x, il y a donc accumulation de molécules à certains endroits compensée à d’autres endroits. On observe ainsi une modulation de masse volumique δρ qui, en moyenne dans l’espace, est nulle ; cette modulation de masse volumique s’accompagne aussi d’une modulation de pression δP ou pression acoustique. Essayons de relier ces différentes grandeurs.

Le lien entre variation de pression et variation de masse volumique est caractéristique

du matériau et s’appelle compressibilité.

χ =1ρ

∂ρ∂P

= −1V

∂V∂P

,

V étant le volume du milieu considéré. On distingue une compressibilité à température constante ou sans échange de chaleur avec l’extérieur (adiabatique). C’est en général la seconde qu’il faut considérer, mais ces deux compressibilités diffèrent essentiellement pour les gaz et peu pour les phases condensées liquides ou solides. De plus nous allons supposer que les variations de pression et de masse volumique sont faibles par rapport aux valeurs de repos (P0, ρ0) ce qui permet d’en déduire :

δρ = ρ0χδP

♦ Exercice 3-5.: Quelle est la dimension de χ ? Que vaut la compressibilité isotherme pour un gaz parfait ?

Rappel : pour un gaz parfait : PV=nRT où n est le nombre de moles

Ondes 3-5

La compressibilité adiabatique est en fait égale à 1γP0

avec γ=5/3 pour un gaz

monoatomique et 7/5 pour un gaz diatomique dans les conditions usuelles. Estimer la compressibilité de l’air dans des conditions usuelles. Comparer avec la

valeur expérimentale : 0.7 10-5 Pa-1. Estimer la variation relative de masse volumique de l’air (supposé parfait) pour une

pression acoustique de 1Pa. Que vaut ρ0 pour l’air? (Rem : rechercher dans les tables les valeurs numériques que vous jugerez

nécessaires) Réponse : χ s’exprime en Pa-1. Pour un gaz parfait : PV = nRT où n est le nombre de moles.

ρ = Mn/ V = MP / RT , M étant la masse molaire. D’où δρρ

=δPP

à température constante et

donc χT =1P

.

En fait pour un gaz monoatomique : χS =35

1P

Pour un gaz diatomique : χS =57

1P

Compressibilité théorique de l’air : 0,71 10-5 Pa-1. (gaz diatomique à pression atmosphérique)

δρρ

=0,71 10-5 pour une surpression de 1Pa.

ρ0 ≈1,2 kgm-3 : 1 mole occupe 24l (1mole= 4/5 N2+1/5 O2, soit 28,8 g) Dans les milieux condensés comme les liquides ou les solides, la compressibilité est

plus faible : pour imposer la même variation relative de masse volumique que dans un gaz il faut appliquer une surpression beaucoup plus grande. Par exemple la compressibilité de l’eau est 0.5 10-9 Pa-1. Comparer la avec celle de l’air.

Dans les solides, on fait intervenir le module d’Young Y= χ-1, qui s’exprime donc en

Pa. Exercice: Complétez le tableau suivant et comparer avec la vitesse du son dans l’air.

Expliquer alors ce dessin vu dans les aventures de Lucky Luke où un indien se penche sur les rails pour savoir si la cavalerie approche.

Aluminium Cuivre Plomb Verre Laiton Y 6.9 1010 Pa 11 1010 Pa 1.6 1010 Pa 5.4 1010 Pa 10.5 1010 Pa ρ 2,7 103 kg m-3 8.9 103 kg m-3 11.34 103 kg m-3 2,3 103 kg m-3 8.6 103 kg m-3

c=Yρ

♦ Exercice 3-6.: Quelle est la variation relative de volume induite sur de l’eau par une surpression de 1 Pa ? par une dépression de 1Pa ?

Même question pour du verre.

Ondes 3-6

Réponse : surpression de 1 Pa : δρρ

= 0,5 10−9 (eau) δρρ

≈ 0,2 10−10 (verre)

dépression de 1 Pa : δρρ

= −0,5 10−9 (eau) δρρ

≈ −0,2 10−10 (verre).

Essayons maintenant de relier le déplacement des molécules et la variation de masse

volumique. Comme nous l’avons déjà vu, il y a variation de masse volumique si le déplacement des molécules n’est pas constant en fonction de x ; il est donc facile de comprendre que la variation de masse volumique est reliée au gradient du déplacement , c’est-

à-dire à ∂u∂x

. Utilisons les dimensions et le bon sens pour trouver la relation entre δρ et ∂u∂x

.

∂u∂x

est sans dimension, donc nous allons considérer δρρ0

qui est aussi sans dimension. De

plus, si le gradient est positif, les molécules s’écartent les unes des autres donc la masse volumique doit diminuer. Ceci conduit à la formule suivante établie à une constante multiplicative près :

δρρ0

= −∂u∂x

δρρ0

= −∂u∂x

= χδP

En fait l’équation générale de conservation de la masse est :

∂ρ∂t

+ div(ρr v ) = 0 ,

r v étant la vitesse moyenne des molécules. Posons ρ = ρ0 + δρ , Or Or

∂ρ∂t

=∂δρ∂t

;

r v =

∂r u

∂t,

r v

et ont la même direction x qui est celle dans la laquelle ils varient, donc r u

div

r v =

∂∂x

∂u∂t

=∂∂t

∂u∂x

. En se plaçant dans le cas de petites perturbations, à savoir δρ et u

sont petits, on ne peut garder que les termes du premier ordre en perturbation (développement limité) et donc :

∂δρ∂t

≈ −ρ0div r v ≈ -ρ0

∂∂t

∂u∂x

, d’où δρ ≈ -ρ0∂u∂x

,

qui correspond bien à la formule annoncée. Pour établir l’équation d’onde, il est nécessaire d’utiliser l’équation fondamentale de la

dynamique associant d’une part des effets inertiels (masse inertielle) et une force de rappel due à la compressibilité (ou plutôt l’incompressibilité) du milieu. Considérons donc un élément de volume du milieu :

ρ

dr v

dt= −

r ∇ P

Ce qui donne au premier ordre en perturbation (développement limité):

ρ0

∂r v

∂t= −

r ∇ δP ,

soit ρ0∂v∂t

= −∂δP∂x

en projetant sur l’axe x.

Ondes 3-7

Pour comprendre cette équation, il suffit de regarder une tranche de matière d’épaisseur δx et de section S : sa masse est donc ρSδx et sa vitesse v suivant x. Elle est

soumise à des forces de pression de part et d’autre : -P(x+dx)S+P(x)S=−∂P∂x

Sδx . L’équation

projetée correspond donc bien à l’équation fondamentale de la dynamique pour la tranche considérée. En combinant cette équation dynamique et les relations entre les variables, on en déduit:

ρ0∂v∂t

= ρ0∂2u∂t2 =

1χ

∂2u∂x2

χρ0∂2 u∂t2 =

∂2u∂x2

On obtient bien une équation d’onde, la célérité étant donnée par :

c =1ρ0χ

pour un fluide, c =Yρ0

pour un solide

♦ Exercice 3-7.: Vérifier l’homogénéité de cette formule.

Estimer la vitesse du son dans l’air, dans l’eau. Comparer. Compléter le tableau des vitesse du son dans différents matériaux solides

♦ Exercice 3-8.: Montrer que les autres variables δρ et δP obéissent à la même équation Notion d’impédance acoustique :

Cas d’une onde progressive se déplaçant vers les x croissant : u=f(t-x/c)

δP = −1χ

∂u∂x

=1

χc∂u∂t

= ρ0c∂u∂t

= ρ0c v

pour une onde progressive se déplaçant vers la gauche :

δP = −1χ

∂u∂x

= −1

χc∂u∂t

= −ρ0c∂u∂t

= −ρ0c v

On définit l’impédance acoustique comme le rapport : Z =δP

débit analogue à

l’impédance électrique (tension/courant). La surpression acoustique est équivalente à la

tension. Si S est la section de l’onde progressive, le débit est Q = S∂u∂t

Donc Z =ρ0cS

pour une onde progressive se propageant vers les x croissant.

Z = −ρ0cS

pour une onde progressive se propageant vers les x décroissant.

Comme pour la corde, on peut s’intéresser à l’aspect énergétique toujours dans le cas

d’une onde plane se propageant dans la direction x dans un milieu de section S dans le plan y,z. Il y a deux termes : un terme d’énergie cinétique et un terme d’énergie potentielle associé à la compressibilité. Conservons comme variable le déplacement u des molécules.

Ondes 3-8

EC = S dx 12∫ ρ0

∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

Par analogie avec les ondes transverses sur une corde :

EP = S dx 12∫

1χ

∂u∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

L’énergie totale est donc :E=S dx 12∫ ρ0

∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

+S dx 12∫

1χ

∂u∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

Pour une onde progressive, l’énergie cinétique est égale à chaque instant et en chaque point à l’ énergie potentielle. La puissance transportée par l’onde progressive dans le milieu (énergie par unité de temps qui traverse la section S) est de la même façon l’énergie par unité de longueur fois la célérité (attention au signe dépendant du sens de propagation)

P = cρ0

∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

S

Examinons cet aspect énergétique du point de vue de l’extérieur. Considérons l’expérience suivante où l’onde est émise au niveau d’un piston mobile (comme un haut-parleur) dans un tuyau de section S :

δρ

u

Figure 3-2 : Energie fournie par le piston ?

Considérons l’énergie fournie par le piston. Celui-ci impose une surpression δP(t) et la pression totale est P = PO + δP(O,t ). Il se déplace comme les molécules qui sont en O, son

déplacement est donc u et sa vitesse (O,t)t

tOutOu∂

∂ ),(),( =& . La puissance qu’il fournit au

moins du côté de l’onde émise est donc :

( ) ),(),( tOutOPPS O &δ+=(t)P Considérons la moyenne dans le temps de cette puissance :

),(),(),( tOutOPStOuPS O && δ+=P(t)

Le premier terme est nul mais pas le second qui correspond à la puissance transportée par l’onde :

),(),(),()( 2 tOucStOutOPSt && µδ ==P =débit .δP. On retrouve ainsi l’analogie électrique évoquée pour l’impédance acoustique.

La puissance transportée est le produit du débit et de la pression acoustique.

Ondes 3-9

Cas d’une onde sinusoïdale se déplaçant vers les x croissant :

Considérons le déplacement des molécules: u(x,t ) = Acos ω t − kx + ϕ( )

Soit u(x,t)= Re A expi ω t − kx +ϕ( )[ ]=Re ˆ u (x, t)[ ] La vitesse des molécules (à ne pas confondre avce la célérité de l'onde) est donnée par:

v(x,t) =∂u∂t

= −ωAsin ω t − kx + ϕ( )

En notation complexe: ˆ v (x, t) =∂ˆ u ∂t

= iω ˆ u

La surpression est donnée par:

δp = −1χ

∂u∂x

= −kAχ

sin ω t − kx +ϕ( )

d’où δ ˆ P =ikχ

ˆ u =1χc

ˆ v

( )ϕωρ∂∂ρδρ +−−=−= kxtAk

xu sin00

d’où δˆ ρ = ρ0ik ˆ u = ρ01c

ˆ v

Exercice: montrer que dans le cas d'une onde sinusoïdale se déplaçant vers les x décroissant:

uiu ˆ tˆ

=t)(x,v̂ ω∂∂

= δ ˆ P = −ikχ

ˆ u = −1χc

ˆ v δˆ ρ = − ρ0ik ˆ u = −ρ01c

ˆ v

ATTENTION : pour la puissance et l’énergie, ne pas utiliser la notation complexe.

( )ϕωωρ +−= kxtASc sinP 2220 .

En utilisant l’impédance complexe : ),( P 2 txQZ=

La puissance moyenne dans le temps émise par unité de surface s’appelle l’intensité

de l’onde ; elle s’exprime en Watt m-2.

SI

P=

En moyenne dans le temps :

22

021P ASc ωρ= d’où 22

021I Ac ωρ=

Lien entre densité d’énergie et flux d’énergie :

)121

21(

22

0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

xu

tue

∂∂

χ∂∂ρ Soit l’énergie par unité de volume e : . Quel lien peut-

on mettre en évidence entre cette densité d’énergie et le flux d’énergie que l’on peut écrire sous forme vectorielle pour indiquer la direction de propagation de l’onde

Ondes 3-10

( ) :r n nS

tuc rr

2

0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂ρP ? Si cette densité d’énergie varie dans le temps, c’est qu’il y a de

l’énergie transportée et réciproquement. Intéressons-nous donc à la variation dans le temps de la densité d’énergie dans un volume limitée par une section S et de largeur dx .

La variation d’énergie pendant le temps δt à l’intérieur du volume est donc :

(e(x,t + δt) − e(x,t))Sdx =∂e∂t

Sdxδt .

Si cette variation est positive, c’est qu’il sort moins d’énergie que ce qu’il en rentre : Ce qui sort pendant le temps δt : P(x+dx)δt Ce qui entre pendant le temps δt : (x)δt P

Donc : tdxx

ttxtdxxtSdxte δ

∂∂δδ

∂∂ P

PP −=−+−= )),(),((

x

dx

x x+dx

P(x+dx,t)P(x,t)

S

e(x,t)

Donc 0)/(=+

xS

te

∂∂

∂∂ P

Plus généralement : 0)/( =+ Sdivte

Pr

∂∂

Soit

∂e∂t

+ div(r φ e ) = 0

est la densité de flux d’énergie, c’est-à-dire le flux d’énergie par unité de surface.

r φ e

Vérifions que c’est bien le cas pour les ondes sonores progressives se propageant par

exemple vers les x croissant : 2

0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

tuc

S ∂∂ρP e = ρ0

∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=

2

01)(1)(

tu

tc

ctS

cxS

∂∂

∂∂ρ

∂

∂

∂

∂ PP

On a donc bien : 0)/(=+

xS

te

∂∂

∂∂ P

Quelques définitions associées à l’oreille humaine :

L’effet sur l’oreille des vibrations sonores dépend bien sûr de leur intensité mais aussi surtout de leur fréquence (ou hauteur). Seuls les sons dont la fréquence est comprise entre 20Hz et 20000Hz sont perçus. Ces limites dépendent des individus, la limite supérieure diminuant avec l’âge. Le maximum de sensibilité se situe à 4000Hz. A 1000 Hz le seuil d’audibilité correspond à une intensité de 10-12Wm-2 et une amplitude de déplacement de l’ordre de 10-11 m. Le seuil de douleur se situe autour de 1Wm-2. La dynamique de l’oreille couvre donc un large domaine d’intensité. Pour comparer l’intensité de deux sons, on utilise une échelle logarithmique : le décibel

Ondes 3-11

δ = 10 log10 I2

I1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

Pour caractériser un son de façon absolu, on le compare au seuil d’audibilité à la fréquence de 1000Hz :

IdB = 120 + 10 log(IWm -2 )

Seuil d’audibilité

En db

Seuil d’audibilité En Watt m-2

Seuil maximalEn db

Seuil maximal En Watt m-2

1000Hz 10-12Wm-2 120 4000Hz -7 115

♦ Exercice 3-9.: Estimer l’intensité émise par le haut-parleur de votre chaîne audio. En prenant une fréquence de 2kHz (Sons audibles : de 20Hz à 20kHz) et en se plaçant dans les conditions normales, estimer l’amplitude du déplacement des molécules et de la variation de pression. Quelle est la longueur d’onde associée ? Réponse : Prenons 60 dB , soit une intensité de 10-6 Wm-2 .

I =

12

cρ0ω2 A2 donne A≈0,55 10-8 m et donc

une variation de pression (Aωχc

) de 0,03 Pa. Longueur d’onde : c/ν=17cm.

♦ Exercice 3-10.: Pour chacun des seuils et chacune des fréquences du tableau précédent, estimer le déplacement des molécules et la surpression associée dans l’air dans des conditions normales. Même question mais dans l’eau. Réponse : A 1000Hz au seuil de douleur 1 Wm-2

Amplitude du déplacement dans l’air A= 2Icρω 2 = 1,1 10-5 m

Amplitude de la surpression dans l’air : 29 Pa Amplitude du déplacement dans l’eau 2 10-7 m

Amplitude de la surpression dans l’eau : 1760 Pa

On appelle dynamique d’une source d’ondes sonores la différence de niveau entre le son le plus intense et le son le plus faible que cette source est capable d’émettre. Pour une très bonne cassette audio, cette dynamique est au maximum de 70 dB, pour un CD audio, elle atteint 96 dB , ce qui reste inférieur à la sensibilité de l’oreille.

Ondes 3-12

TABLEAU RECAPITULATIF Corde vibrante

Onde sonore

Grandeurs physiques Déplacement transverse de la corde :

u(x,t) Vitesse des points de la corde : ∂u∂t

(x,t)

Surpression : δP Variation relative de masse

volumique : δρρ0

Déplacement longitudinal des molécules : u(x,t)

δρρ0

= χδP = −∂u∂x

Débit : Q = S∂u∂t

Vitesse de propagation c =

Tµ

c =1ρ0χ

(liquide ou gaz)

avec χ =1

γP pour un gaz

c =Yρ0

(solide)

Energie totale dx

12∫ µ

∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

+ dx 12∫ T

∂u∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

S dx 12∫ ρ0

∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

+S dx 12∫

1χ

∂u∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

Energie par unité de longueur dans la direction de propagation

e =12

µ∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

+12

T∂u∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

el =12

Sρ0∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

+12

Sχ

∂u∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

Energie par unité de volume

ev =

12

ρ0∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

+12

1χ

∂u∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

Puissance transportée t

uxuT

∂∂

∂∂

−=P PQtu

xuS δ

∂∂

∂∂

χ=−=P

Cas d’une onde progressive (x croissant)

P = cT∂u∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

= ce ScecexuSc l v

2

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

χP

=Sχc

∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

= ρ0cS∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

= Scχ δp( )2

Intensité : S

I P=

♦ Exercice 3-11.:

On considère une corde inextensible, sans raideur , de masse linéique µ, tendue entre les points A et B distants de L=0.95 m l’un de l’autre. Soit T la tension de la corde. On négligera les effets de la pesanteur. L’extrémité A de la corde coïncide avec l’origine O du système de référence, à savoir la corde au repos, prise comme axe Ox.

Ondes 3-13

x

T θ

uA B

Pour t<0, la corde est au repos. Pour t>0, on impose au point A le mouvement :

uA = asin ωt (avec a>0). Soit c la vitesse de propagation de l’onde harmonique ainsi générée. • Exprimer en fonction de T et de µ. • Calculer c dans le cas d’une corde en acier de diamètre 0.24 mm tendue par une masse de

1 kg. (masse volumique de l’acier :7.8 103 kg m-3). • A quelle date tB l’onde atteint-elle le point B ? • Dessiner la forme de la corde pour un temps t quelconque compris entre 0 et tB. Exprimer

le déplacement u(x,t) en un point quelconque de la corde là ou elle est déformée. • Que vaut la longueur d’onde de l’onde générée en fonction de ω et c ? pour les

applications numériques, on prendra comme fréquence du signal 440 Hz. Dessiner la forme de la corde pour t= tB.

• Quelle est la vitesse à l’instant t de l’élément de corde compris entre x et x+dx ? • Déduire l’énergie cinétique de cet élément de corde puis de l’ensemble de la corde à

l’instant tB. On s’intéresse maintenant à l’énergie totale fournie par le système qui maintient en

mouvement l’extrémité A. • Déduire la projection de la force appliquée à la corde le long de l’axe parallèle au

déplacement de la corde, c’est-à-dire suivant u, en fonction de T et θ supposé petit. Exprimer θ en fonction de a ,ω, t .

• Exprimer la vitesse de la corde au voisinage du point A à l’instant t. En déduire la puissance développée par la tension à l’instant t. Calculer l’énergie totale fournie par la corde pendant l’intervalle de temps de 0 à tB.

• Comparer l’énergie cinétique et l’énergie fournie. Sont-elles égales ? Pourquoi ? Si elles sont différentes, justifier la différence.

♦ Exercice 3-12.: Calculer la vitesse de propagation du son dans l’hydrogène, l’azote et

l’oxygène à 0°C. comparer aux résultats expérimentaux. On admettra que pour ces trois gaz γ=1.4. Comparer aux valeurs expérimentales qui sont respectivement :

1269.5 ms-1, 339.3 ms-1, 317.2 m s-1.

♦ Exercice 3-13.: Une onde ultrasonore de fréquence 40000Hz provoque dans l’eau des vibrations dont l’amplitude de déplacement est 60nm. Calculer l’amplitude de variation de la dilatation et de la surpression qui en résultent.

♦ Exercice 3-14.:

Une onde plane sonore progressive sinusoïdale de fréquence 435 Hz et d’amplitude vibratoire a=10-4m se propage vers le x négatifs dans une atmosphère d’hydrogène. * Calculer la vitesse de propagation de l’onde à 27°C en considérant l’hydrogène comme un gaz parfait diatomique.

Ondes 3-14

* Ecrire l’expression des grandeurs caractéristiques de l’onde (déplacement u, pression

vibratoire δP, dilatation δρρ0

). On prendra un déplacement nul et une vitesse positive à t=0 et

x=0. * Donner la représentation complexe de chacune de ces grandeurs. * Quel est le déphasage entre la surpression et le déplacement ? * Exprimer la puissance par unité de surface (intensité) associée à l’onde progressive. Calculer sa valeur moyenne dans le temps en un point donné. ♦ Exercice 3-15.: Intensité acoustique a) Deux ondes sonores ont des niveaux d’intensité qui diffèrent par i) 10dB ii) 20dB. Trouver

le rapport de leurs intensités et de leurs amplitudes de pression. b) Comment varie l’intensité d’une onde sonore si l’amplitude de pression est doublée ? De

combien doit varier l’amplitude de pression pour augmenter l’intensité d’un facteur 10 ? c) Exprimer la différence en décibels des niveaux d’intensité de deux sources si l’intensité de

l’une est le double de l’intensité de l’autre. Même question si l’amplitude de pression est le double de celle de l’autre.

d) Deux ondes sonores l’une dans l’air, l’autre dans l’eau ont la même intensité. Quel est le rapport de l’amplitude de pression de l’onde dans l’eau à celle de l’onde dans l’air. Quel serait le rapport de leurs intensités si leurs amplitudes de pression étaient égales ?

♦ Exercice 3-16.: Energie d’une onde acoustique • On considère une onde plane, homogène, se propageant selon l’axe Ox et dont

l’amplitude vibratoire est donnée par :

u(x,t ) = acos ω(t −xc

)⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

Calculer la vitesse de propagation de cette onde dans un milieu de masse volumique ρ=1.3 kg.m-3 et de compressibilité 0.7 10-5 Pa –1. S’agit-il d’un gaz, d’un liquide ou d’un solide ?

• Exprimer la vitesse vibratoire des molécules ? En déduire l’énergie cinétique par unité de volume associée à l’onde , ainsi que sa valeur moyenne dans le temps en prenant a=10-6

µ, ω=2π103 rads-1 . Même question avec la puissance par unité de surface transportée par l’onde.

• Exprimer l’intensité acoustique de l’onde, puis son niveau sonore en dB. Si la fréquence de l’onde est triplée, de combien varie le niveau sonore ?

Ondes 3-15