CHAPITRE 3 - .CHAPITRE 3 LA MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS APPLIQUEE AUX SOLS 3.1 Introduction 3.2

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  • Cours Mca Sol. ENIT M. Bouassida

    Janvier 2005 29

    CHAPITRE 3

    LA MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS APPLIQUEE AUX SOLS 3.1 Introduction 3.2 Notion de contrainte - Equations dquilibre 3.3 Rpartition des contraintes autour dun point 3.4 Cercle de Mohr 3.5 Notion de dformation 3.6 Relation contraintes-dformations 3.7 Applications pour le calcul des contraintes dans les sols 3.8 Calcul des contraintes dues aux surcharges dans les sols 3.9 Notions de rhologie des sols 3.1 Introduction

    On assimile les sols comme tant des massifs semi-infinis ou finis deux ou trois dimensions, en pratique on considre toujours (sauf cas contraire) les massifs deux dimensions. Ces massifs, assimils un milieu continu, peuvent tre soumis divers types de sollicitation (figure 1) : - les forces massiques :

    WE :eau d' coulementd' pousse W:pesanteur

    - les charges surfaciques :

    i

    i

    q : rparties P : sponctuelle

    Figure 1. Types de sollicitation appliqus sur un massif de sol

    L'tude du massif par la mcanique des sols consiste dterminer sa raction sous les sollicitations qui s'y exercent, et de vrifier si sa stabilit est assure ou non. A cet effet on s'intresse aux contraintes et aux dformations qui sont provoques dans le sol sous l'action des sollicitations extrieures comme l'indique le schma suivant :

    Sollicitations extrieures Contraintes Dformations

    P2P1

    EW

    W

    q1

    q2

  • Cours Mca Sol. ENIT M. Bouassida

    Janvier 2005 30

    On fait alors des hypothses sur le comportement du sol qui se traduisent par des relations contraintes-dformations, on en distingue deux cas : - lorsque les sollicitations sont faibles par rapport la rsistance du sol, les dformations sont faibles, elles sont donc proportionnelles aux forces appliques, on utilise dans ce cas la thorie d'lasticit linaire ; - lorsque les sollicitations sont trs importantes, elles engendrent des dformations jusqu' provoquer la rupture du sol, on applique dans ce cas la thorie de la plasticit. 3.2 Notion de contrainte - Equations d'quilibre 3.2.1 Notion de contrainte

    Pour un matriau, c'est une notion fictive analogue celle de la tension d'un fil. Un fil souple tendu et rectiligne est en quilibre sous l'action de deux forces extrieures gales appliques ses extrmits. En coupant ce fil par un plan (A) en deux parties (I) et (II), sur la surface de coupure S (trs petite assimile un point) la partie (II) exerce une force sur la partie (I). Cette force est par dfinition la tension du fil dont la direction est celle du fil (figure 2).

    Figure 2. Tension dans un fil

    De la mme manire, soit un solide quelconque la surface duquel s'exercent des forces. En coupant ce solide par un plan fictif (A), sur la surface de coupure S la partie (II) exerce des forces sur la partie (I). Soit un point M d'une portion de surface S entourant le point M sur S. Sur S la force exerce par la partie (II) est P dont la direction n'est pas connue priori (figure 3). On appelle contrainte au point M sur la facette S le vecteur:

    SPp

    =

    La contrainte est une fonction du point M considr et de la facette passant par ce point. La contrainte p se dcompose en une contrainte normale suivant la normale MN la facette, et en une contrainte de cisaillement suivant le plan de la facette.

    P

    P

    A

    (II)

    (I)

    M MS

    T

    P

    fil souple

  • Cours Mca Sol. ENIT M. Bouassida

    Janvier 2005 31

    Figure 3a. Contrainte dans un solide Figure 3b. Dcomposition dune contrainte

    Pour dterminer les contraintes qui s'exercent sur toutes les diffrentes facettes autour d'un point M, on montre qu'il suffit de connatre en ce point les six valeurs suivantes :

    , , , , , zyyzxzzxyxxyzyx === (1) c..d. les composantes des contraintes qui s'exercent sur les faces d'un cube centr au point M, et dont les artes sont parallles aux axes Ox, Oy et Oz (figure 4). Ces valeurs reprsentent les termes du tenseur de contrainte qui s'crit sous la forme :

    =

    zzzyzx

    yzyyyx

    xzxyxx

    ij est la composante applique sur la facette perpendiculaire laxe (i) paralllement laxe (j).

    Figure 4. Etat de contrainte autour d'un point

    Figure 5. Plan principal et contrainte principale

    (II)

    (I)A

    (I)

    SSN

    P

    M

    MS

    N

    P

    z

    y

    x

    zxzy

    yz

    yx

    xy

    xzO

    z

    yx

    M

    p = 1, 2 ou 3

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    Janvier 2005 32

    Sur une facette dont le vecteur normal unitaire a pour composantes (a, b, c), la contrainte p a pour composantes :

    xzxyxx .c .b.ap ++=

    yzyyxy c..b.ap ++=

    zzyzxz c..b.ap ++=

    En tout point il existe trois plans privilgis pour lesquels la contrainte est uniquement normale )0( = , ils sont appels plans principaux. Leurs directions normales sont les directions principales qui sont perpendiculaires deux deux (figure 5); et les contraintes correspondantes notes: 1 , 2 , 3 sont dites principales. 3.2.2 Les quations d'quilibre L'tat de contrainte caractris par les six quantits prcdemment introduites : x , y , z ,

    xy , yz , zx , est variable d'un point l'autre. Soit un milieu bidimensionnel o on considre un carr lmentaire, dont les cts sont parallles aux axes Ox et Oy, et ont pour dimensions dx et dy (figure 6). Sur chaque ct s'exercent des contraintes et des forces, calculons les pour le ct de milieu M1 de coordonnes )y,2

    dxx( + .

    Figure 6. Etat de contrainte dans un carr lmentaire

    Les contraintes qui s'exercent en M sont : x , y et xy , celles qui s'exercent en 1M sont :

    2dx

    xx

    x +=

    2dx

    xxy

    xy

    +=

    Ainsi la force s'exerant sur le ct de milieu 1M a pour composantes suivant Ox et Oy :

    dx

    dy

    y

    x

    M M1

    M2

    M4

    M3)

    2dx

    x( xx

    +

    )2

    dxx

    ( xyxy

    +

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    Janvier 2005 33

    +

    +

    dy 2dx

    x

    dy 2dx

    x )M(

    xyxy

    xx

    1

    De la mme faon, on dtermine les forces s'exerant sur les cts de milieux 2M , 3M , et

    4M , elles ont pour composantes :

    dx 2dy

    y

    dx 2dy

    y )M(

    yy

    xyxy

    2

    dy 2dx

    x

    dy 2dx

    x )M(

    xyxy

    xx

    3

    +

    +

    dx 2dy

    y

    dx 2dy

    y )M(

    yy

    xyxy

    4

    Sur la partie du solide dlimite par le carr peuvent aussi s'exercer des forces de volume (la pesanteur par exemple), on suppose que par unit de surface ces forces ont pour composantes en M : (X(x,y), Y(x,y)). Toutes les forces appliques l'lment de solide ont une rsultante nulle, on obtient suivant Ox :

    0Xdxdydy2dx

    xdx2dy

    ydx2dy

    ydy2dx

    xx

    xxy

    xyxy

    xyx

    x =+

    +

    +

    +

    +

    en divisant par (dxdy), on obtient :

    Xyxxyx =

    +

    (1)

    suivant Oy, on obtient de la mme manire l'quation :

    Yyxyxy =

    +

    (2)

    Les quations (1) et (2) rgissent l'quilibre d'un corps solide dans le cas bidimensionnel. Dans le cas du milieu trois dimensions, les quations d'quilibre s'crivent :

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    Janvier 2005 34

    Zzyx

    Yzyx

    Xzyx

    zyzxz

    yzyxy

    xzxyx

    =+

    +

    =

    +

    +

    =+

    +

    Si les forces de volume se rduisent uniquement la force de pesanteur en prenant l'axe vertical ascendant, on a donc : 0YX == , =Z 3.3 Rpartition des contraintes autour d'un point Convention de signe: Comme les sols rsistent trs peu la traction, cette rsistance est nglige. On convient alors de compter positivement les contraintes de compression en mcanique des sols (en mcanique des milieux continus on utilise la convention oppose: la traction est compte positive, la compression est compte ngative. Soit AA' une facette oriente autour d'un point M, elle est dfinie par la normale MN oriente

    vers l'intrieur du solide telle que (figure 7a) : 2)MX,MX( tn=

    .

    Figure 7. Dfinition d'une facette et convention de signe

    On travaille dans le plan )X,X( tn

    en compression 0> 0> si 0> 0

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    Janvier 2005 35

    Considrons un solide bidimensionnel soumis l'action de forces extrieures. La dtermination des efforts intrieurs en un point M du solide peut tre faite en isolant un prisme autour de M dlimit par (figure 8) : - Deux facettes principales :

    )D( 1p : la direction principale maximale o agit la contrainte principale maximale 1 ,

    )D( 3p : la direction principale minimale o agit la contrainte principale minimale 3 , avec : 31 >

    - Une facette AA' de longueur dS, oriente d'un