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Chapitre 3 : Annexe 1 : Les choix patrimoniaux en

univers incertain I) Les choix en univers incertain: L'aversion

au risque II) L'épargne de précaution: la prudence III) Choix de portefeuille et risque multiple:

la tempérance

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Introduction: la Méthodologie

• Les préférences: les notions d'aversion au

risque, de prudence, de tempérance

• Les modèles théoriques: modèle d'épargne,

théorie des choix de portefeuille

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• La mesure empirique des variables de risque

• Econométrie: test des prédictions des

modèles

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Prélude: Le paradoxe de St Petersbourg Ce paradoxe porte sur le calcul des probabilités et le

concept abstrait d'espérance mathématique. Il est dû à

Nicolas Bernoulli, dit Nicolas II dans la brillante dynastie

des Bernoulli, qui le présenta dans une lettre à un ami alors

qu'il était en poste à Saint-Petersbourg.

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• Deux joueurs A et B jouent à "pile" ou "face". A

commence et rejoue tant que "face" n'apparaît pas.

Suivant que "face" apparaît au 1er, 2ème, 3ème, 4ème ...,

n-ème coup, B devra donner 1 ducat, 2 ducats, 4 ducats,

8 ducats, ..., 2n-1 ducats à A. Quelle somme A devrait-il

verser à B (mise) pour que le jeu soit équitable ? A va-t-

il se risquer ?...

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Le problème se résout aisément en termes d'espérance

mathématique de gain: la probabilité de l'événement ["face"

n'apparaît qu'au n-ème coup] est :

(1/2)n-1*(1/2) = (1/2)n

L'espérance E de gain du joueur A est donc la somme : E=1*1/2 + 2*(1/2)2 + 4*(1/2)3 + 8*(1/2)4 +...+ 2n-1

*(1/2)n + ...

Tous les termes de la somme égalent 1/2. C'est dire

finalement que l'espérance de gain du joueur A est infinie!

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L'explication de ce paradoxe donnée par Bernoulli est que

les agents ont un utilité marginale décroissante pour la

richesse et évaluent une loterie par l'espérance de l'utilité

des différentes conséquences. Bernouilli a proposé comme

fonction d'utilité sur les conséquences Log (.) d'où:

€

U =12nLog2n−1 = Log4(≈1,39)

n=1

∞

∑

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I. Le modèle statique: Aversion au risque

(absolue ou relative), tolérance au risque

On suppose que les préférences des individus sont

représentées par une fonction d'utilité u(.) croissante et

concave qui ne dépend que du montant initial de richesse

W:

u(W) > 0 or < 0 ; u' > 0 ; u'' < 0

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W est connue avec certitude. Introduisons un risque ˜ y

"additif" de moyenne nulle:

E ˜ y =0

Exemple: une loterie avec y=a ou -a avec des probabilités de 1/2

• Comme l'utilité u est concave, l'individu qui maximise son

espérance d'utilité, Eu(.), préfère ne pas prendre de risque. Il

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préfère toujours prendre l'espérance de la loterie, E ˜ W , plutôt

que de participer au jeu. En d'autres termes, le

consommateur est averse au risque (Figure 1):

Eu(W + ˜ y ) < u(W)

Avec : E ˜ W = E(W + ˜ y )=1/2*(W+a)+1/2*(W-a)= W L'individu est indifférent entre payer la prime de risque, P, ou

participer au jeu:

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Eu(W + ˜ y )=u(E ˜ W - ∏)=u(W - ∏)=u(CE ˜ W )

Où CE ˜ W désigne l'équivalent certain du jeu. La prime de

risque définit le montant que l'individu est prêt à payer pour

éviter le risque.

De la même manière, on peut définir la prime de risque

compensatoire ∏*:

L'aversion au risque

Eu(W+ ˜ y ) Π

Π∗

u(.) : fonction d'utilité

u(W+a) )

u(W)

u(W-a)

W-a W-Π W W+Π∗ W+a

W: richesse initiale ; a: perte ou gain ; Π: prime de risque Π∗: prime de risque compensatoire

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Eu( ˜ W + ∏*) = Eu(W+ ˜ y + ∏*) = u(E ˜ W ) = u(W)

Figure 1

La prime de risque compensatoire ∏* est le montant minimum

qu'il faut donner à l'individu pour qu'il joue.

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Si le risque est petit (σy petit, proche de la moyenne),on

peut montrer (avec une approximation de Taylor) que la

prime de risque est au premier ordre ("risk aversion in the

small", Pratt, 1964):

∏(W, ˜ y ) =∏*(W, ˜ y ) = (-u''/u')σ2

y /2 = Aσ2y

/2

avec : A = -u''/ u' > 0

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A est l'aversion absolue pour le risque (Pratt, 1964). La

tolérance pour le risque est définie comme l'inverse de A:

τ=1/Α. Elle représente la propension de l'individu à

prendre des risques..

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Pour des "gros risques", on peut montrer qu'un individu

moins averse au risque (avec une fonction d'utilité u1)

qu'un autre individu (avec une fonction d'utilité u2) aura

besoin, toutes choses égales par ailleurs, une prime de

risque plus faible pour participer à la lotterie ("risk

aversion in the large", Pratt, 1964)):

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A1 < A2, ∀ W ⇒∏1 < ∏2, ∏*1 < ∏*2, ∀ W

Avec u2 une transformation concave ρ de u1:

u2=ρ(u1)

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Le théoreme de Arrow-Pratt: pour un individu avec une

aversion pour le risque décroissante (DARA), [A'(W) < 0],

la prime de risque décroît avec la richesse: ∏'(W) < 0.

On peut aussi définir l'aversion relative pour le risque :

γ (W ) = −Wu' 'u'

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Application :

Le modèle de choix de portefeuille à deux actifs: l'un

certain, l'autre risqué.

€

˜ R r : rendement de l'actif risqué E ˜ R r = R r (R r > R) σ ˜ R r

=σ (petit risque)

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€

• Montant investi en actif risqué :

M(W ) =(R r − R)σ 2A(W )

A(W) = aversion absolue pour le risque€

MaxEu( ˜ W )

utc. ˜ W = W [R +ω( ˜ R r − R)]

W : richesse initiale ω : part du patrimoine investie en actif risqué

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Le montant investi en actif risqué M(.) est proportionnel à

la tolérance vis-à-vis du risque de l'individu τ.

Pour des gros risque, on peut montrer qu'un agent moins

tolérant vis-à-vis du risque qu'un autre investira, toute

choses égales par ailleurs, un montant d'actif risqué

moindre (Arrow, 1965).

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τ1 < τ 2, ∀ W ⇔ A1 > A2 ⇔ M1(W) < M2(W)

M(W) est croissant avec le montant de la richesse si u(.) est

DARA.

La part du patrimoine investi en actif risqué est

proportionnelle à l'aversion relative pour le risque γ.