1

Chapitre 2.Choix individuels et diversification des risques

Objectifs du chapitre

- Définir l’attitude face au risque, notamment le fait de ne pas l’ « aimer ».

- Montrer en quoi l’attitude face au risque affecte les décisions des agents.

- Présenter l’un des principaux principes de diversification des risques : le principe de mutualisation.

Montrer les limites

1

Montrer les limites.

Apport de la finance de marché.

2

La valeur qu’un individu accorde à une situation, un projet, une action

2.1 Choix individuels en univers risqué et utilité attendue

q p jdépend du niveau de risque qu’elle ou il contient et également de la manière dont il est affecté par ce risque.

Nécessité de comprendre comment il évalue le risque.

Un agent qui évalue négativement le risque donnera moins de valeur à un projet risqué qu’une personne neutre vis-à-vis du risque ou qui le considère comme un bienfait.

2

Sera prêt à payer pour se débarrasser du risque.

3

2.1.1 Quand l’agent maximise l’utilité attendue de ses actions

- XVIe siècle : Pascal propose d’évaluer une loterie (situation risquée) àXVIe siècle : Pascal propose d évaluer une loterie (situation risquée) à l’aide de son espérance (moyenne).

Critique : paradoxe de Saint Petersbourg

Le jeu de Saint-Petersbourg

Soit le jeu suivant : une pièce équilibrée est lancée jusqu’à l’obtention del’événement “Face”. Si “Face” sort au kième jet le joueur gagne 2k

Euros. La probabilité de cet événement est (1/2) k :

k

3

1

1( ) 2 1 1 1 ...2

kk

kV J

∞

=∑ ⎛ ⎞= = + + + = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

4

Paradoxe : les agents payent très peu pour participer au jeu alors que l’espérance mathématique est infinie.

La solution de D. Bernoulli

D. Bernoulli, 1738 : le joueur ne maximise pas l’espérance mathématique du gain, mais l’espérance du logarithme du gain du jeu :

422)2(2)(1

LogLogLogJVk

kk === ∑∞

=

−

Correspond à ce que les agents étaient prêts à payer pour le jeu de Saint Petersbourg

4

à payer pour le jeu de Saint Petersbourg

5

Généralisation : fonction u(.) à la place de log avec u’(.) > 0 et u’’(.) ≤ 0.

Solution proposée par Bernoulli mais axiomatisée par J. Von Neumann et O. Morgenstern en 1947.

3 axiomes qui mènent au critère de l’utilité espérée.

Hypothèses pour l’axiomatisation

Soit X = {x1, ..., xn} un ens. de conséquences monétaires dans ℜ,

Action a = (p1, ..., pn) : vecteur de probabilités sur X, 0 ≤ pi ≤ 1,

5

: relation de préférence sur A ; version stricte ; ~ indifférence.∼

6

a b signifie que l’agent préfère a à b ou qu’il est indifférent entre détenir l’une ou l’autre des deux loteries

a b signifie que l’agent préfère a à b au sens strict

b i ifi l’ t t i diffé t t dét i b

∼

a ~ b signifie que l’agent est indifférent entre détenir a ou b.

6

7

1. Axiome de préordre

est un préordre sur A

i) ( lét d ) P t t A∼i) (complétude) Pour tout a1 , a2 ∈ A,

soit on a a1 a2 soit on a a2 a1 , ou on a les deux.

L’agent est toujours capable de classer deux loteries.

ii) (transitivité) Si a1 a2 et a2 a3 alors a1 a3

∼

∼ ∼

∼

∼

2. Axiome de continuité

Si a1 a2 a3 alors il existe λ ∈ [0,1] tel que : a2 ~ λ a1 + (1 - λ) a3

Il est toujours possible de construire une combinaison de deux loteries∼∼

7

générant la même satisfaction qu’une loterie intermédiaire (en termes depréférences)

8

3. Axiome d’indépendance

Pour tout a1 , a2 ∈ A : a1 a2 ssi α a1 + (1 - α) a3 α a2 + (1 - α) a3 ,

quel que soit a3 ∈ A et pour tout α ∈ [0,1].∼∼

Théorème : (Von Neumann & Morgenstern)

Supposons que A1, A2 et A3 soient satisfaits. Alors il existe une fonctiond’utilité u(.) définie sur X à une transformation strictement affine croissante

que que so a3 e pou ou α [0, ]

près, et une fonction V(.) définie sur A, telles que :

1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x X x X

a a V a p x u x p x u x V a∈ ∈∑ ∑⇔ = ≥ =∼

8

Cette axiomatisation a été critiquée, notamment à cause de l’axiome d’indépendance (A3)

9

Interprétation et représentation de la fonction d’utilité de VNM

ou∑= xuxpaV )()()( ( ) ( ) ( )V a u x f x dx= ∫ou∑∈

=Xx

xuxpaV )()()( ( ) ( ) ( )X

V a u x f x dx= ∫

V(.) : fonction sur les actions, ordinale, définie à une transformation

strictement croissante près

u(.) : fonction sur les conséquences, cardinale, définie à une transformation

linéaire croissante près

9

10

u

1.5.2 L’espace des conséquences : l’utilité de la richesse

Au2

Bu3

u[E(a)]u(ECa) = E[u(a)]a

x2

x3

1/2

1/2

x2 x3E(a)ECa

x

10

Aversion au risque

ECa < E[a] si u(.) concave

11

2.1.2 L’aversion au risque

Plusieurs définitions sont possibles, certaines en référence à l’UE, d’autres non.

M i li l’UE l défi i i i j

Définition 1

Equivalent certain d’une action a : montant certain qui laisse l’agent indifférent

Mais un lien entre l’UE et la définition existe toujours.

entre obtenir ce montant ou recevoir le montant aléatoire correspondant à l’action a. On a donc :

1( ( )) ( )

na i i

iu w EC w pu w x

=+ = +∑

11

Si un agent a de l’aversion pour le risque, alors : ECa ≤ E[a]Si un agent est attiré par le risque, alors : ECa ≥ E[a]Si un agent est neutre au risque, alors : ECa = E[a]

12

- On a les équivalences suivantes

Aversion au risque u est concave dans la richesse (u”(x) ≤ 0 pour tout x

Implications quant à la forme de la fonction d’utilité

dans X)

Attirance pour le risque u est convexe (u”(x) ≥ 0 pour tout x dans X)

Neutralité au risque u est linéaire (u”(x) = 0 pour tout x dans X)

Défi iti 2Définition 2

On appelle prime de risque absolue pour l’action a, la différence entrel’équivalent certain de la loterie et son espérance. On note, pour tout niveaude richesse initiale w > 0 :

12

πA(a) = E[a] - ECa

13

La Prime de risque est le montant maximum que l’agent est disposé àpayer pour avoir le montant E[a] avec certitude plutôt que de prendre lerisque correspondant à l’action a.

Cette prime est positive (négative)pour un agent riscophobe(riscophile).

En résumé

EC Prime de risque Utilité « Courbure »

Aversion EC(a) < E[a] π > 0 Eu[a] < u(E[a]) u''(x) < 0

Neutralité EC(a) = E[a] π = 0 Eu[a] = u(E[a]) u''(x) = 0

Attirance EC(a) > E[a] π < 0 Eu[a] > u(E[a]) u''(x) > 0

13

Attirance EC(a) > E[a] π < 0 Eu[a] > u(E[a]) u (x) > 0

14

Les mesures de l’aversion au risque

A quelle condition peut-on affirmer qu’un agent a une

plus forte aversion au risque qu’un autre?plus forte aversion au risque qu un autre?

14

15

a) L’indicateur d’aversion absolue au risque

Indicateur ''( )( )'( )A

u wr w = −

L’attitude face au risque est exprimée par la courbure de l’utilité

d’Arrow-Pratt( )

'( )A u w

Il est invariant par rapport à une transformation affine de u(.)

C’est un indicateur local d’aversion au risque car il varie avec le

i d i h d l’ t

dans le paradigme UE

niveau de richesse de l’agent.

Définition

i) Si drA/dw > 0, l’aversion absolue au risque est croissante avec la richesse

ii) Si drA/dw = 0 , l’aversion absolue au risque est constante avec la richesse

15

iii) Si drA/dw < 0, l’aversion absolue au risque est décroissante avec la richesse

Hypothèse la plus plausible

16

b) L’indicateur d’aversion relative au risque

Il s’applique aux risques multiplicatifs (tandis que le coefficient d’aversion absolue concerne les risques additifs) : (1 )w x+q ) (1 )w x+

Indice d’aversion relative au risque

''( )( )'( )R

wu wr wu w

= −

Exemple: montant investi: taux de rendement

aléatoire

wx

Définition

i) Si , l’aversion relative au risque est croissante avec la richesse

ii) Si , l’aversion relative au risque est constante avec la richesse

iii) Si , l’aversion relative au risque est décroissante avec la richesse

( ) / 0Rdr w dw >

( ) / 0Rdr w dw =

( ) / 0Rdr w dw <

16

Hypothèse la plus plausible car le niveau de risque supporté augmente ici avec la richesse du fait de son caractère multiplicatif.

17

Le théorème d’Arrow-Pratt

Soit ui la fonction d’utilité de l’agent i (i = 1,2). Les trois définitionssuivantes sont équivalentes :suivantes sont équivalentes :

1 2( ) ( )A Ar w r w≥i) L’agent 1 est plus riscophobe que l’agent 2 si, pour tout niveau derichesse w, on a (au sens strict si l’inégalité est stricte)

1 2( ; ) ( ; )A Aw a w aπ π≥ii) L’agent 1 est plus riscophobe que l’agent 2 si, pour toute action a etpour tout niveau de richesse w, on a (au sens strict sil’inégalité est stricte)

iii) L’ t 1 t ( t i t t) l i h b l’ t 2 ’il i t

17

( )1 2( ) ( )u w f u w=iii) L’agent 1 est (strictement) plus riscophobe que l’agent 2 s’il existe unefonction (strictement) concave telle que(.)f

18

2.1.3 Quel critère de choix quand on passe du risque à l’incertain ?

- Supposons que les conséquences d’une décision d’un agent dépendent à- Supposons que les conséquences d une décision d un agent dépendent àla fois de l’action qu’il a choisie et de la réalisation d’un événement dont lecontrôle lui échappe, et dont il ignore la probabilité

L’UE de VNM ne peut plus s’appliquer car l’ensemble des probabilitésn’est plus parfaitement connu : risque => incertitude (Knight 1921).

Sur la base de quel critère l’agent doit-il prendre ses décisions dans cecas ?

18

Plusieurs autres critères existent sans que l’un soit meilleur que l’autre

19

Le critère “MaxMin”

Ou critère de Wald

1) Conséquence la plus défavorable pour chaque a : V(a) = Mini a(si).

2) La solution a* est celle qui maximise le gain minimum : a* argmax (Min a(si)).

Critique : excès de pessimisme (ex. si choix entre a = (0, 106, 0) et a * = (10-6, 10-6, 10-6) .

Le critère “Pessimisme/optimisme”

Ou critère d’Hurwicz

soit m(a) = Mini a(si) et M(a) = Maxi a(si).

La solution a* est celle qui maximise V(a) = γm(a) + (1 γ)M(a)

19

La solution a est celle qui maximise V(a) = γm(a) + (1- γ)M(a)

γ : indice de pessimisme/optimisme

Critique : ce critère accorde de la valeur uniquement aux extrêmes

20

Le critère de la « Raison insuffisante »

Ou critère de Laplace

Max V(a) = [a(s1) + ..+ a(si) + ..+ a(sn)]/n ; tous les états sont équiprobables

Critique : sensibilité extrême à la finesse de la description retenue pour l’ensemble des états (ex. pour S = {s1 , s2 , s3} et S’ = {s’2 , s3} avec s’2 = s1 ∪ s2)

Le critère “MinMax Regret”

Ou critère de Savage

1) M(si) = Maxa∈A a(si)

2) Regret d’avoir choisi a si si se réalise : Ri(a) = M(si) - a(si).

20

) g i i( ) ( i) ( i)

3) Mina∈A Maxi Ri(a)

21

s1 s2 s3 s4

a1 5 4 3 1

a2 2 5 2 3

V(.)

2

3

s1 s2 s3 s4

a1 0 1 1 2

a2 3 0 2 0 2

a3 1 2 4 2

Maxa∈A a(si) 5 5 4 3

42

a3 4 3 0 1

Exemple d’application du critère “MinMax regret”

Solution : a1

Critique : ce critère ne respecte pas l’hypothèse d’indépendance par t lt ti ti t ( i j t d (0 0 0 6)

21

rapport aux alternatives non pertinentes (ex. si rajout de a4 = (0,0,0,6), solution = a2)

22

2.2 La mutualisation des risques

- Principe d’assurance le plus vieux.

1400 av. J-C : fonds d’indemnisation des tailleurs de pierre

Moyen-Age : artisans.

Aujourd’hui : mutuelles des étudiants, des enseignants, des agriculteurs, des professions de santé, captives dans le secteur du nucléaire, FIPOL pour les marées noires, …

Idée : mettre des risques similaires dans un même panier et redistribuer le risque agrégé permet de faire baisser le risque individuel final.

22

23

2.2.1 Le cas des risques indépendants

• Considérons deux agents A et B qui supportent chacun un risque de perdre 2 500 Euros avec une probabilité égale à 0 2perdre 2 500 Euros avec une probabilité égale à 0,2.

HYP : le fait que A perde est indépendant du fait que B perde (les deux risques sont indépendants).

Si chacun garde son risque individuel

coût attendu (ou espéré) pour chacun : 2500*0,2 = 500 Euros.

écart-type : [0,8*(0-500)2 +0,2*(2 500-500)2]1/2 = 1 000 Euros

S’ils rassemblent leurs deux risques et prennent en charge chacun la

23

moitié du risque agrégé : X = (0, 2500, 5000 ; 0.64, 0.32, 0.04)

Coût attendu pour chacun : 500 Euros (inchangé)

écart-type du risque de chacun : 707 Euros

24

Conséquences de la mutualisationLe coût attendu pour chacun n’a pas changé, MAIS la variance de leur risque individuel final a diminué.

La distribution de probabilités a changé : elle est moins étalée (moins de poids sur les extrémités et plus de poids autour de la moyenne).

• Exemple avec plus de deux personnes

- L’addition d’un 3ème risque (indépendant) fera encore baisser la variance sans changer le coût attendu.

La distribution sera encore moins étalée : les probabilités des

24

La distribution sera encore moins étalée : les probabilités des événements extrêmes continuent à diminuer.

25

Illustration graphique pour un ensemble de N agents (N grand)

HYP : pertes individuelles possibles entre 0 et 100 000 Euros.

Coût individuel attendu : 20 000 Euros.

Fonction de densité (probabilités)

25

Pertes d’un agent20 000

26

- Lorsque le nombre d’agents tend vers l’infini, la variance individuelle tend vers zéroLoi des grands nombres.

1Pr 0lim

Ni

iN

xob

Nμ ε=

→∞

⎛ ⎞∑⎜ ⎟

⎜ ⎟− > =⎜ ⎟⎜ ⎟

N→∞⎜ ⎟⎝ ⎠

-Lorsque le nombre d’agents tend vers l’infini, la distribution des risques individuels tend vers une distribution normale.

26

Théorème central limite.

27

2.2.2 Le cas des risques corrélés

- Les risques des agents A et B sont positivement corrélés si, lorsque l’agentA (ou B) subit une perte les chances que l’agent B (ou A) en subisse égalementA (ou B) subit une perte, les chances que l agent B (ou A) en subisse égalementune augmentent.

Les probabilités des états de la nature concernant l’agent A ne sont pasindépendantes des probabilités de l’agent B (et vice versa).

La corrélation est parfaite si, lorsque l’agent A subit une perte, l’agent B enp , q g p , gsubit une avec certitude (probabilité conditionnelle = 1).

Deux risques sont corrélés négativement si, lorsque l’un prend une valeur à la hausse les chances que l’autre prenne une valeur à la baisse

27

à la hausse, les chances que l autre prenne une valeur à la baisse augmentent par rapport à la probabilité non conditionnelle.

28

Risques de catastrophes naturelles : les risques des agents d’une même

Exemples

zone géographique sont corrélés positivement entre eux (tremblements deterre, inondations, ouragans, …)

Risque d’épidémie

Risque d’inflation

….

Lorsque les risques sont (imparfaitement) corrélés entre eux, la mutualisationest toujours possible mais elle moins efficace.

La variance des risques individuels diminue moins

28

La variance des risques individuels diminue moins.

29

Exemple précédent à deux agentsSi les risques de A et B sont positivement corrélés, la probabilité que tous les deux souffrent d’une perte individuelle de 2 500 Euros est plus élevéeles deux souffrent d une perte individuelle de 2 500 Euros est plus élevée que 0.04.

La probabilité qu’aucun des deux agents ne souffrent d’une perte est également plus élevée.

Plus de poids sur les événements extrêmes qu’avant :

=> distribution individuelle finale plus étalée

Cas limite : si les risques sont parfaitement corrélés, aucune réduction de

29

Cas limite : si les risques sont parfaitement corrélés, aucune réduction derisque n’est possible par la mutualisation.

Quel que soit l’événement qui se réalise pour un agent, il se réalise aussi pour l’autre (systématiquement).

30

Fonction de densité (probabilités)( )

Pertes d’un agent

30

31

2.3 Diversification par les marchés financiers

Lorsque les risques sont « trop » grands pour un assureur classique (parce queLorsque les risques sont « trop » grands pour un assureur classique (parce que corrélés positivement) :

Recherche de couvertures sur les marchés financiers.

Idée : marchés intégrés mondialementPossibilité de répartir les risques sur une très grande population.Possibilité de construire des dérivés financiers adaptés aux risques que l’on

souhaite couvrir (actifs sur mesure).

Explication à partir de deux exemples

Une entreprise cherche à couvrir le risque d’augmentation du prix du

31

pétrole, matière première qui entre dans son processus de production.

Un agriculteur cherche à se couvrir contre le risque de sécheresse.

32

2.3.1 La couverture d’un risque-prix par l’achat d’une option

- Considérons une entreprise (nom : OIL) qui subit une baisse de ses profits lorsque le prix du pétrole augmente (HYP. : relation linéaire)

A donc à gérer des profits qui varient aléatoirement autour d’une moyenne.

Ne peut pas transférer tout le surcoût sur les prix de vente proposés aux consommateurs.

Profits de l’entreprise

1,25 M°

1,00 M°

Profits de l entreprise OIL sur 6 mois

Diagramme d’exposition

3264$ 65$

0,75 M°

66$

Prix possibles du pétrole ($/baril)

33

Réduire le risque revient à aplanir la droite d’exposition.

Supposons que la société ne veuille pas subir les hausses du prix du pétroleau delà de 65 dollars par baril sur les 6 prochains mois.p p

Possible en trouvant un autre agent (ici société OPT) prêt à la compenseren cas de prix supérieur à 65 dollars moyennant le paiement d’une prime aumoment de la vente d’un tel contrat (prix du contrat)

- Si prix du pétrole dans 6 mois > 65 dollars,

OPT paie à OIL (prix t+6 mois – 65)*250 000 $

CONTRAT signé à la date t entre OIL et OPT

33

- Si prix du pétrole dans 6 mois ≤ 65 dollars,

OPT ne paie rien.

- Prix du contrat payé par OIL à OPT à la date t : 100 000 $ (HYP.)

34

1,15 M°

0,90 M°

Profits nets de l’entreprise OIL

64$ 65$

Prix possibles du pétrole ($/baril)

66$

100 000

Profits de la société OPT

Prix possibles du pétrole ($/baril)66$

34

64$ 65$pét o e ($/ba )

35

• Ce contrat = une OPTION D’ACHAT (call) achetée par OIL et vendue par OPT.

Le détenteur d’une option d’achat a le droit (mais pas l’obligation) d’acheter le titre support à un prix prédéterminé au moment de la signature du contrat

Ici, actif support = prix du pétrolePrix déterminé en t, auquel il est acheté en t+6 mois si la compagnie

OIL exerce son option = 65 dollars (prix d’exercice, strike price)

• Le détenteur d’une option d’achat voit ses pertes limitées (ici à 250 000 dollars si le prix du pétrole au moment de la signature du contrat est à 64 dollars)

• Le vendeur d’une option d’achat voit ses gains limités au prix de vente de

35

Le vendeur d une option d achat voit ses gains limités au prix de vente de l’option (ici 100 000), mais ses pertes peuvent être illimitées

En général, les vendeurs sur un marché sont des acheteurs sur un autre marché (opérations de couverture).

36

Les options de vente seront plutôt utilisées par une compagnie qui cherche àse prémunir du risque de chute du prix du pétrole (ex. compagnies pétrolières).

2.3.2 La couverture du risque climatique supporté par les agriculteurs

Aux Etats-Unis, existence d’un marché de gré à gré sur lequel s’échangentdes produits dérivés basés sur les variations climatiques.

Concernent les secteurs énergétiques, du tourisme et del’agroalimentaire ainsi que la couverture de catastrophes naturelles.

I di i t t

36

Indices existants

HDD (Heating Degree Day) : nb de degrés inférieurs à une temp. de référence.

CDD : Cooling Degree Day : nb de degré supérieurs à une temp. de référence

37

GDD (Growing Degree Day)Représente un surplus mensuel de chaleur, sur une zone géographique, calculé par rapport à l’apport minimum nécessaire au développement physiologique de la plantephysiologique de la plante.

Couverture possible pour un agriculteur qui cherche à assurer sonrisque de rendement agricole

Plusieurs possibilités sur le marché financier du GDD.p

1. Achat d’un swap de GDD (contrat d’échange) sur la base de l’indice GDD (côté à 100 par hyp dans notre exemple).

37

L’agriculteur négocie la valeur du point sur le marché en fonction de son besoin en assurance.

Par exemple : 1 point = 1000 Euros

38

Contrat passé entre l’agriculteur et le vendeur du swapp g p

- Si année mauvaise avec un GDD < 100,l’agriculteur reçoit (100 – GDD observé)*1000

- Si bonne année, avec un GDD ≥ 100,l’agriculteur verse au vendeur du swap (GDD observé – 100)*1000g p ( )

L’agriculteur équilibre ses pertes (gains) sur le marché physique par des gains (pertes) sur le marché financier grâce au swap de GDD

38

des gains (pertes) sur le marché financier grâce au swap de GDD

39

2. Achat d’un put de GDD

Par exemple l’agriculteur achète une option de vente (put) de GDD à unePar exemple, l agriculteur achète une option de vente (put) de GDD à une société de produits dérivés climatiquesHyp. Valeur d’exercice : GDD = 100 points

Prix d’achat de l’option de vente : 1 500 Euros.

Contrat passé entre l’agriculteur et le vendeur du put

- Prix du point GDD : 1 000 Euros (hyp.)

- Si GDD > 100 points, l’option ne prend pas de valeur intrinsèque

Si GDD < 100 à la date de maturité de l’option l’agriculteur exerce son

39

- Si GDD < 100 à la date de maturité de l option, l agriculteur exerce son option et touche (100 – GDD observé)* 1 000

40

Conclusions

A partir d’indices climatiques existants il est possible de construire plusieursA partir d indices climatiques existants, il est possible de construire plusieurs types de produits dérivés qui permettent de gérer des risques liés au climat.

L’ ffi ité d t l t t dé d d l b él ti t lL’efficacité de tels contrats dépend de la bonne corrélation entre la cause climatique et l’effet agronomique.

Pour que le système reste simple, il faut qu’il y ait indépendance entre les différents indices climatiques et consensus sur la manière d’évaluer les gains et les pertes.

40