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Statistique II1e année bachelor, 2010-11

Chapitre 1L’échantillonnage 1 / 41

Chapitre 1 : L’ÉCHANTILLONNAGE

1.1 Introduction1.2 L’échantillonnage aléatoire1.3 Estimation ponctuelle1.4 Distributions d’échantillonnage1.5 Intervalles de probabilité



Définitions En général, l’inférence est définie comme une opération

mentale qui consiste à tirer une conclusion d’une série depropositions reconnues pour vraies. Ces conclusions sont tiréesà partir de règles de base.

L’inférence statistique est définie comme le processusd’utilisation des données d’un échantillon pour estimer ou testerdes hypothèses sur les caractéristiques numériques(« paramètres ») d’une population.

Une population (ou « population mère ») est définie commel’ensemble de tous les éléments d’intérêt dans une étudeparticulière.

Un échantillon est défini comme un sous-ensemble de lapopulation.



Pourquoi prendre un échantillon ? Le coût : recenser toute la population coûte trop cher et/ou

prend trop de temps→ Recensement de la population 2010 : recensement

traditionnel (questionnaire à tous les ménages, fait tous les10 ans depuis 1850) aurait coûté 200 millions ; proposition duConseil fédéral (échantillonnage + recensement fondé sur lesregistres coûte 124 millions [estimations faites en 2006])

→ Management : contrôle de qualité (gestion des opérations) ;audit (comptabilité) ; sondage clients (marketing) ; etc.

→ Économie : Étant donné l’impossibilité d’examiner chaqueêtre humain, toute étude empirique d’hypothèses généralesen sciences sociales doit être basée sur des échantillons,soit d’individus soit de groupes d’individus (ménages, firmes,industries, pays,...)



Un exemple fictif : Statville Commune Statville : 2500 habitants adultes (= population) Syndic s’intéresse à la distribution des revenus parmi ces

habitants et à la participation des habitants à la dernièreassemblée communale (ils étaient trop nombreux pour êtrecomptés)

Interroger tous les 2500 habitants serait trop cher Budget permet d’interroger un échantillon de 30 habitants Paramètres de la population (inconnus par le syndic !) :

o Revenu moyen (): 51800 francso Ecart-type du revenu (): 4000 francso Taux de participation à la dernière assemblée (p) : 60%

Que devrait faire le syndic ?



L’échantillonnage aléatoire simple Population de N éléments ; échantillon de n éléments Définition pour une population finie (N connu): tous les

éléments de la population ont la même probabilité de faire partiede l’échantillon→Probabilité qu’un élément de la population soit contenu dans

l’échantillon est n/N. Définition pour une population infinie (N inconnu): les éléments

de l’échantillon sont sélectionnés indépendamment de la mêmepopulation

Echantillonnage sans remise (chaque élément ne peut êtresélectionné qu’une fois) :o Nombre d’échantillons possibles = C = N!/(n!(N-n)!)o Probabilité qu’un échantillon particulier soit tiré = 1/Co Exemple Statville : C ≈ 2.75 * 1069



Comment obtenir un échantillon aléatoiresimple ? Critère : probabilité de sélection indépendante de toute

caractéristique des éléments de la population Population finie :

Tirage au sort Choix avec nombres aléatoires à partir d’une liste deséléments [Excel : =ALEA() génère des nombres aléatoiresentre 0 et 1]

Population infinie (processus continu dans le temps) :→Sélectionner selon une loi de Bernoulli [Excel :=SI(ALEA()>=P;″oui″;″non″) répond « oui » dans(1 P) pourcent de cas]

→ Trouver astuce (exemple contrôle douanier : examinerchaque voiture arrivant après une voiture orange)



Autres types d’échantillon Echantillon aléatoire stratifié

→ Critère : strates homogènes→ Difficulté de la pondération représentative des strates→ Statville : sélectionner aléatoirement des individus selon le

niveau d’éducation Échantillon aléatoire par grappes

o Critère : grappes composées de façon hétérogène et doncreprésentative

o Statville : sélectionner aléatoirement des ménages/quartiers

Échantillonnage subjectif→ Critère : échantillon qui semble représentatif→ Statville : syndic choisit 30 individus qui lui semblent

représentatifs de la population municipale→ Évidemment problématique (danger de biais de sélection) !



Bases

But : estimer la valeur d’un paramètre de la population(« estimation ponctuelle »)

Méthode : calculer la statistique d’échantillon correspondante→ « Méthode des moments » : prendre moment de

l’échantillon comme estimateur du moment de la population→ Statistiques d’échantillon : toute mesure de tendance

centrale, de dispersion, etc.



ExempleStatville (1)

Échantillon aléatoirede 30 individus

ind. revenu participation revenu participation1 49094.3 1 Somme 1554420 192 53263.9 1 Moyenne 51814 0.633 49643.5 1 Ecart type 3347.7 0.494 49894.9 15 47621.6 06 55924.0 17 49092.3 18 51404.4 19 50957.7 110 55109.7 111 45922.6 112 57268.4 013 55688.8 114 51564.7 015 56188.2 016 51766.0 117 52541.3 018 44980.0 119 51932.6 120 52973.0 121 45120.9 122 51753.0 123 54391.8 024 50164.2 025 52973.6 026 50241.3 027 52793.9 028 50979.4 129 55860.9 130 57309.1 0



Exemple Statville (2)

Revenu : moyenne de l’échantillon

155442051814 51800

30irevenu

xn

Revenu : écart type de l’échantillon2( - ) 325009260

3348 4000-1 29

irevenu xs

n

Participation : moyenne de l’échantillon19

0.63 0.6030

iparticipationp p

n

Les estimations ponctuelles ne correspondent pas exactementaux paramètres de la population que faire ?



Bases Idée de départ : répéter la sélection d’un échantillon multiples

fois et étudier comment se comportent les statistiques del’échantillon par rapport aux paramètres correspondants de lapopulation→ En moyenne, la statistique de l’échantillon a-t-elle tendance

à être proche du paramètre « vrai » correspondant, ou y a-t-il une divergence systématique (c.à.d. un « biais ») ?

Distribution d’échantillonnage = distribution de probabilité detoutes les valeurs possibles d’une statistique de l’échantillon→ Puisque la sélection d’échantillons suit un processus

aléatoire, les statistiques de l’échantillon sont elles-aussides variables aléatoires et suivent donc un distribution deprobabilité



Exemple Statville (1) Supposons (pour fixer les idées, pas parce-que ce serait réaliste

ou intelligent) que le syndic ait les moyens de répéterl’expérience initiale multiples fois, c.à.d. de resélectionner deséchantillons aléatoires de taille 30 parmi les habitants deStatville.

Pour chacun de ces échantillons, il calcule .et, psx

Ensuite il résume les valeurs de chacune de ces trois statistiquesd’échantillon p.ex. sous forme d’un histogramme approximation empirique de la distribution d’échantillonnage

Excel : un histogramme peut être dessiné via les menus Outils– Utilitaire d’analyse (installer via Macro complé-mentaire) – Histogramme (Représentation graphique)

voir aussi Utilitaire d’analyse – Génération denombres aléatoires et Échantillonnage



échantillonrevenu:moyenne ( )

revenu:écart type (s )

participation:moyenne ( )

1 51814 3347.7 0.632 52670 4239.1 0.703 51780 4433.4 0.674 51588 3985.3 0.53... ... ... ...

500 51752 3857.8 0.50

moyenne 51808 3995.4 0.61écart type ( ) 729.4 0.0896

x p

,x p


Valeurs de psx et, obtenues à partir de 500 échantillonsaléatoires simples de 30 habitants

,x ps s




Distribution de fréquence de x obtenue à partir des 500échantillons

revenu:moyenne

fréquencefréquencerelative

49500-49999 2 0.00450000-50499 16 0.03250500-50999 52 0.10451000-51499 101 0.20251500-51999 133 0.26652000-52499 110 0.22052500-52999 54 0.10853000-53499 26 0.05253500-53999 6 0.012Total 500 1



Exemple Statville (4) Histogramme de la

fréquence relativedes valeurs de xobtenues à partirdes 500échantillons

Approximationempirique de ladistributiond’échantillonnagede x ! 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

49500-49999

50000-50499

50500-50999

51000-51499

51500-51999

52000-52499

52500-52999

53000-53499

53500-53999

fréq

uenc

ere

lativ

e



L’espérance

La moyenne de la variable aléatoire x si le nombred’échantillons tend vers l’infini (« moyenne des moyennes »)correspond à l’espérance mathématique de x , E(x ).

Rappel : = moyenne de la population (le paramètre « vrai »)

On peut montrer que E(x ) = .

La moyenne d’un échantillon aléatoire est un estimateurnon-biaisé de la moyenne de la population.



L’erreur type Soit x l’écart type de la distribution d’échantillonnage de x ,

désormais dénommé « erreur type ».

On peut montrer que1x

N nNn

.

Pour une population infinie (N ), on a )(= nx .

1

N nN

= « facteur de correction pour une population finie »

Règle pratique : )( n est une approximation satisfaisante si lapopulation est finie et nN 0.05.

→ Statville : nN = 302500 = 0.012 0.994 11

N nN



La distribution d’échantillonnage touteentière (1)

Nous avons défini la moyenne et l’écart type de la distributiond’échantillonnage de la moyenne. Pouvons nous définir ladistribution d’échantillonnage toute entière ? Oui !

Résultat 1 : Si les données de la population suivent unedistribution normale, la distribution d’échantillonnage de x estnormale elle aussi, quelle que soit la taille de l’échantillon n.

o Cas plutôt rareo Inspecter histogrammeo On peut tester formellement l’hypothèse selon laquelle un

certain échantillon est tiré d’une population qui suit unedistribution normale (p.ex. test du Khi-deux, ch. 3.3.5)




Résultat 2 : Si les données de la population ne sont pasdistribuées selon une loi normale, on peut appliquer le théorèmecentrale limite :

Pour des échantillons aléatoires simples, la distributiond’échantillonnage de x peut être approchée par une distributionde probabilité normale, lorsque la taille de l’échantillon devientimportante.




Formellement, avec un échantillon aléatoire simple :

( , )xx N , (0,1)x

xz

N ,

où 2

0.51( , )

2x

x

xx

x f x e

N ,

et 20.51(0,1)

2zz f z e

N .

Règle pratique approximative : le théorème centrale limite peutêtre invoqué pour des échantillons de taille n 30.



Illustrationdu théorèmecentrale limite (1)



Illustration du théorème centrale limite (2)



Le cas de p Continuons à supposer qu’on ait un échantillon aléatoire simple. L’espérance mathématique de la variable aléatoire p (moyenne

dans l’échantillon de la mesure de proportion p) est donnée par :E(p ) = p p est un estimateur non-biaisé de p

L’erreur type de p est donné par :(1 )

1p

p p N nn N

;

et, pour une population infinie, par :(1 )

p

p pn

.

La distribution d’échantillonnage toute entière peut êtreapprochée par une distribution de probabilité normale lorsquenp 5 et (1 ) 5n p (règle pratique approximative ; basée sur laconvergenence de la loi binomiale avec la loi normale).



Exemple Statville :distribution d’échantillonnage de la moyenne



Exemple Statville :distribution d’échantillonnage d’une proportion



Exemple Statville :erreur type et taille de l’échantillon



Base Lorsqu’on a un échantillon, il est hautement improbable que les

statistiques de l’échantillon ( ,x p ) correspondent exactement auxparamètres de la population (, p)

Que peut-on dire sur la probabilité que la valeur d’une statistiqueparticulière soit « proche » du paramètre de la population, ou« proche » signifie un écart maximum de M ?

Les distributions d’échantillonnage contiennent la réponse ! Statville :

o Quelle est la probabilité que le revenu moyen del’échantillon, x , soit à 500 francs près du revenu moyen de lacommune, ? (M = 500)

o Quelle est la probabilité que la proportion des participants del’échantillon, p , soit à 5 points de pourcentage près de laproportion totale, p ? (M = 0.05)




Probabilité que le revenu moyen d’un échantillon de taille 30 soità 500 francs près du revenu moyen de la population ?

Rappel : (0,1)

x

xN

500x M

n 30 : x n 4000

30 730.3 (inconnu par le syndic !)

500 500( 500 500 30)

730.3 730.3P x n P Z P Z




Moyenne : M 500, n 30 ( 500 500 30) ( 0.68 0.68) 0.50P x n P Z

* voir la Table 1, p. 730, dumanuel de Anderson et al.,où F(z) P(0 < Z < z)

* *

500 730.3




Moyenne : M 500, n 100 ( 500 500 100) ( 1.25 1.25) 0.79P x n P Z


* *

500 400




Proportion : M 0.05, n 30 ( 0.05 0.05 30) ( 0.56 0.56) 0.42P p p p n Z


* *

0.05 0.089




Grand problème : le syndic ne connaît pas

Que faire pour juger de la fiabilité des estimations basées surson échantillon?

Attendre le chapitre prochain...

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