Synthèse de la géométrie plane du collège

1 Théorèmes principaux de la géométrie planeConfiguration de Thalès : Deux droites sécantes en unpoint O et deux autres droites (AB) et (A′B′) coupant lespremières en des points A, B, A′ et B′ de façon que A, A′et O d’une part et B, B′ et O d’autre part soient alignés.

Théorème de ThalèsSi les droites (AB) et (A′B′) sont parallèles, alors on a :

OA′

OA= OB

′

OB= A

′B′

AB

RéciproqueIl suffit que l’une des trois égalités suivantes soit vraie :

OA′

OA= OB

′

OB

OA′

OA= A

′B′

AB

OB′

OB= A

′B′

AB

pour que, les droites (AB) et (A′B′) soient parallèles.

Cas particulier de Thalès : droites des milieux.Le segment joignant les milieux de deux côtés d’un tri-angle mesure la moitié du côté restant et est parallèle àcelui-ci.

RéciproqueUne droite passant par le milieu d’un côté d’un triangleparallèlement à un autre, coupe le côté restant en son mi-lieux.

Théorème de PythagorePour qu’un triangle ABC soit rectangle en A, il faut quel’égalité suivante soit vérifiée : BC2 = AB2 +AC2

RéciproqueIl suffit qu’on ait BC2 = AB2 +AC2 pour que le triangleABC soit rectangle en A.

2 Droites remarquables, triangles et quadrilatèresABC est un triangle.

2.1 Droites remarquablesMédiane issue de A : droite passant par A qui coupe lecôté opposé en son milieu.

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en unpoint appelé centre de gravité du triangle. Ce pointest situé au deux tiers de chaque médiane en partant dusommet correspondant.

Médiatrice du côté [AB] : droite coupant [AB] perpen-diculairement en son milieu.

Propriété de la médiatrice :elle est le lieu des points équidistants des extrémités du

segment.

Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en unpoint qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Bissectrice de l’angle A : droite partageant l’angle Aen deux angles égaux.

Propriété de la bissectriceelle est le lieu des points équidistants des côtés de l’angle.

Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes aucentre du cercle inscrit dans ce triangle (plus grandcercle qu’il est possible d’enfermer dans le triangle)

Hauteur issue de A : droite passant par A qui coupe leprolongement du côté opposé perpendiculairement.

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en unpoint appelé orthocentre du triangle.

Notes de logique : Une propriété qui peut se formuler selon la forme :« Si une certaine hypothèse, alors une certaine conclusion »

peut aussi être formulée de la manière suivante :– Il suffit qu’on ait une certaine hypothèse pour avoir une certaine conclusion– Pour qu’une certaine hypothèse soit vraie, il faut qu’une certaine conclusion le

soit.– La vérité de l’hypothèse implique la vérité de la conclusioni cela se note : hyp. =⇒ concl., on parle d’implication.

L’hypothèse est souvent qualifiée de condition suffi-sante et la conclusion de condition nécéssaire.Lorsqu’ une implication et sa réciproque

« hyp. =⇒ concl. » et « concl. =⇒ hyp. »sont toutes deux vraies, on dit qu’on a l’hypothèse siet seulement si on a la conclusion, ou encore qu’ellessont toutes deux équivalentes.Dans ce cas, on note : hyp. ⇐⇒ concl.

2.2 Triangles particuliers

ABC est rectangle en A ⇐⇒ l’angle Avaut 90 ⇐⇒ la médiane issue de A vautla moitié de BC ⇐⇒ le cercle de diamètre[BC] passe par A.ABC est isocèle en A ⇐⇒ A est équi-distant de B et C ⇐⇒ médiatrice, médiane,bissectrice et hauteurs relatives au sommet Aet au côté opposé coincident. ⇐⇒ la média-trice de [AB] est un axe de symétrie pour letriangle ABC.ABC est équilatéral ⇐⇒ les trois côtés ontmême longueur ⇐⇒ médiatrice, médiane,bissectrice et hauteurs relatives à chaque som-met et au côté opposé coincident.

2.3 Quadrilatères particuliers

ABCD est un parallèlogramme ⇐⇒ les côtés opposés sont pa-rallèles ⇐⇒ les côtés opposés ont même longeur ⇐⇒ les diagonalesse coupent en leur milieu ⇐⇒ le centre du quadrilère est un centrede symétrie pour celui-ci.ABCD est un rectangle ⇐⇒ ABCD est un parallèlogrammeayant un angle droit ⇐⇒ les diagonales se coupent en leur milieuxet sont de même longueurABCD est un losange ⇐⇒ ABCD est un parallèlogramme ayant2 côtés adjacents de même longueur ⇐⇒ les diagonales se coupent enleur milieux et sont perpendiculaires ⇐⇒ les 4 côtés sont de mêmelongueur.ABCD est un carré ⇐⇒ ABCD est un rectangle et un losange⇐⇒ les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieux etsont de même longueur ⇐⇒ les 4 côtés sont de même longueur etun angle est droit.

3 Angles3.1 Angles correspondantsConfiguration : deux droites parallèles et une sécante.

Dans cette configuration, on dit (par exemple) que :– 1 et 3 sont égaux comme angles opposés par le som-met

– 1 et 5 sont égaux comme angles alterne internes– 1 et 7 sont égaux comme angles alternes externes.

3.2 Angles dans un cercleConfiguration : Un cercle de centre O, deux angles dontles sommets sont sur le cercle (inscrits) et interceptant unmême arc. L’angle dont le sommet est le centre du cercle(angle au centre) et interceptant le même arc que les deuxautres.

Si les sommets des angles inscrits sont hors de l’arc com-mun, alors :– les angles inscrits ont même mesure– l’angle au centre mesure le double des angles inscrits.

3.3 Trigonométrie : angles dans un triangle rectangle.Sinus

sin(A) = côté opposéhypothénuse

Cosinus

cos(A) = côté adjacenthypothénuse

Tangente

tan(A) = côté opposécôté adjacent

A et B sont dits complémentaires. Les cosinus et sinus de l’un sont respectivement égaux aux sinus et cosinus del’autre (cos(A) = sin(B) et sin(A) = cos(B)). Enfin, on a l’importante relation : cos2(A) + sin2(B) = 1