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T. G. C. Mcanique Caractristiques gomtriques des sections page 1

CHAPITRE 8 : CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES SECTIONS

INTRODUCTION : replaons - nous dans le programme de mcanique

I CALCUL DE LA POSITION DU CENTRE DE GRAVITE

II QUE DEFINIT - ON PAR CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES SECTIONS?

III MOMENT QUADRATIQUE (OU MOMENT DINERTIE) DUNE SECTION.

3-1) DEFINITION 3-2) THEOREME DE HUYGENS 3-3) MODULE DINERTIE

IV MOMENT STATIQUE DUNE SECTION.

V CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES PROFILES METALLIQUES


INTRODUCTION : replaons - nous dans le programme de mcanique

Nous avons dj vu quau niveau de la conception dun ouvrage lon devait respecter certains critres, qui peuvent tre parfois contradictoires au dpart :

la scurit

lconomie

larchitecture

une construction doit tre rsistante et se dformer le moins

possible

une construction doit coter le moins cher

possible

une construction doit respecter les

dimensions donnes par les architectes

R.D.M.

la nature et la rpartition des efforts lintrieur de la matire en fonction du chargement : N, V et Mf

rsistance que doivent possder les matriaux de la structure pour assurer stabilit de celle - ci

les dformations engendres par lapplication des forces

doivent tre infrieures aux dformations limites

dimensionnement des pices constituant la structure

CHAP 5 : hypothses de la R.D.M.

CHAP 7 : logiciel R.D.M.

CHAP 6 : trac de N, V et Mf

CHAP 9

E.L.U. E.L.S.

CHAP 11 CHAP 10

CHAP 8 : caractristiques gomtriques

des sections


Pour calculer les caractristiques gomtriques des sections, nous devons savoir calculer la position de leur centre de gravit.

I CALCUL DE LA POSITION DU CENTRE DE GRAVITE 1. Sections simples

ELEMENT AIRE XG YG

Rectangle

Triangle

Cercle

2. Sections composes

DEFINITION DE G, centre de gravit de la section compos : cest le barycentre des CdG des lments qui composent la section, affects des aires de ces lments. CALCUL DE G suivant cette DEFINITION : XG = (A1 x XG1 + A2 x XG2 +A3 x XG3 )/ (A1 + A2 + A3 ) = 145 mm YG = = 211,2 mm

Dterminer la position de G en mm.


CALCUL DE G avec un tableau :

ELEMENT AIRE Ai XGi XGi x Ai YGi YGi x Ai

1

2

3

XG =

YG =

CONCLUSION DE CET EXERCICE : METHODE POUR LE CALCUL DE G

o PHASE 1 = dcomposition de la section (mthode additive ou soustractive)

o PHASE 2 = recherche dun axe de symtrie (le centre de gravit est sur cet axe)

o PHASE 3 = calcul en tableau

Si lnonc ne prcise pas dunit pour les calculs, on choisira le cm.


ELEMENT AIRE Ai XGi XGi x Ai YGi YGi x Ai

1

2

3

XG =

YG =

METHODE SOUSTRACTIVE :

Dterminer la position de G en mm.


3. Exercices faire la maison

3.1) Dterminez les coordonnes du CdG



Z

Y


II QUE DEFINIT - ON PAR CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES SECTIONS ?

Faisons une premire exprience : Sollicitons par un chargement rparti une poutre de section rectangulaire pose sur deux appuis : section de 10 cm x 80 cm soit une surface de 800 cm.

Il existe deux faons de positionner cette poutre vis vis du chargement :

Intuitivement, on peut ressentir facilement que la poutre rsistera moins et se dformera plus dans le CAS N2 que dans le CAS N1.

Faisons une deuxime exprience : Sollicitons par un chargement rparti une poutre de section rectangulaire pose sur deux appuis : section de 20 cm x 40 cm soit une mme surface de 800 cm.

Nous retrouvons les deux positions de la poutre vis vis du chargement :

Intuitivement, on peut ressentir facilement que la poutre rsistera moins et se dformera plus dans le CAS N4 que dans le CAS N3. On peut aussi ressentir que la poutre rsistera moins et se dformera plus dans le CAS N3 que dans le CA S N1.

Bilan sur les 2 expriences : bien que la quantit de matire soit identique pour ces 4 cas on voit bien que la rigidit de la poutre dpend de la rpartition de la matire vis vis du chargement. Ainsi, nous venons de mettre en vidence de nouvelles caractristiques gomtriques qui tiennent compte de cette rpartition de matire : - le moment dinertie ;

- le moment statique.

CAS N1 : poutre pose chant vis vis du chargement

CAS N2 : poutre pose plat vis vis du chargement

CAS N3 : poutre pose chant vis vis du chargement

CAS N4 : poutre pose plat vis vis du chargement


III MOMENT DINERTIE (OU MOMENT QUADRATIQUE) :

3-1) DEFINITION :

Un moment dinertie est une grandeur gomtrique qui caractrise la rpartition de la masse matire dans une section par rapport un axe. Le moment dinertie caractrise ainsi son aptitude rsister au flchissement (ou sa rigidit) vis vis du chargement.

Mathmatiquement le moment dinertie dun corps se calcule en faisant lintgrale du produit de chaque lment de masse de ce corps par le carr ( quadratique en latin signifie relatif au carr) de la distance de cet lment un axe fixe (axe dinertie).

En considrant une section rectangulaire b h :

le moment dinertie par rapport laxe x de cette section = y . ds

avec :

ds , la section dun lment de matire : ds = b . dy

y , le carr de la distance de cet lment laxe x

somme des ds sur une valeur de y variant de + h/2 h/2 par rapport laxe x

do y . ds = y . b . dy = b y . dy = b y3/ 3 = b (h3 / 24) ( h3 / 24) = b.h3 12

Le moment dinertie est une grandeur toujours positive et se calcule toujours par rapport un axe.

Moments dinertie, calculs par rapport aux axes qui passent par le centre de gravit, pour un rectangle :

SYMBOLE DU MOMENT QUADRATIQUE : IIII UNITE DU MOMENT QUADRATIQUE : m4

Moment Moment Moment Moment ququququadratique par adratique par adratique par adratique par rapport aux axes rapport aux axes rapport aux axes rapport aux axes

x ou Gxx ou Gxx ou Gxx ou Gx

Moment Moment Moment Moment quadratique par quadratique par quadratique par quadratique par rapport aux axes rapport aux axes rapport aux axes rapport aux axes

y ou Gyy ou Gyy ou Gyy ou Gy

SECTION RECTANGULAIRE IIIIxxxx ou Iou Iou Iou IGxGxGxGx IIIIyyyy ou Iou Iou Iou IGyGyGyGy

y

x

h

b

G b h3 12

h b3 12

+h/2

- h/2

+h/2

- h/2

+h/2

- h/2 +h/2

- h/2 +h/2

- h/2 [

] +h/2

- h/2 [

]

y

x

h/2

b

G h/2

dy y


Pour mmoire, voici les moments dinertie pour un triangle et un cercle :

IIIIxxxx ou Iou Iou Iou IGxGxGxGx IIIIyyyy ou Iou Iou Iou IGyGyGyGy

APPLICATIONS :

Calculez les moments quadratiques des sections rectangulaires des 4 CAS vus prcdemment :

Daprs les rsultats trouvs, concluez : que constatez - vous?

Plus la valeur du moment quadratique de la section est forte , plus la poutre est rigide (plus elle rsiste au flchissement vis vis du chargement). 3-2) MOMENT QUADRATIQUE CALCULE PAR RAPPORT A UN AXE QUELCONQUE :

THEOREME DE HUYGENS.

x x

IIIIxxxx = I= I= I= IGx Gx Gx Gx ==== 0,1 x 0,83 = 4,26.10-3 m4 12

CAS N1 : CAS N2 :

CAS N3 : CAS N4 :




b h3 36

h b3 36

y

x

h

b

G

r4

4

y

x

D G

TRIANGLE

CERCLE

x x


On connat gnralement les moments quadratiques dune section calculs par rapport aux axes passant par le centre de gravit : Ix et Iy . On peut aisment calculer le moment quadratique de cette mme section par rapport un axe quelconque. Pour cela il suffit de lui ajouter ce quon appelle le transport de HUYGENS.

Plus on sloigne de laxe Gx, plus IIII est grand !

Application :

Exprimez le moment quadratique par rapport laxe de cette section rectangulaire en fonction de b et de h.

3-3) MODULE DINERTIE

En mcanique de Gnie Civil, pour le dimensionnement des pices, on utilise souvent une autre caractristique gomtrique directement issue du moment dinertie (ou moment quadratique), cest le module dinertie.

IIII = IIIIxxxx + transport de HUYGENS

IIII = IIIIxxxx + [d A]

Avec - d = distance entre les deux axes

- A = surface de la section

y

x

h

b

G

d

IIII = b b b b h3 + [ h (b h)] = b h3 12 2 3

y

x

h

b

G

d = b/2

IIII = h h h h b3 + [ b (b h)] = h b3 12 2 3

Module dinertie = = = = IIIIx x x x ou Iou Iou Iou Ixxxx Vx Vx

Avec Vx = distance du c. d. g. la fibre suprieure Vx = distance du c. d. g. la fibre infrieure

x

y

G

Vx

V x

Fibre infrieure

Fibre suprieure


IV MOMENT STATIQUE :

Un moment statique est une grandeur gomtrique qui caractrise la position du centre de gravit. En effet, au centre de Gravit on a Ms/Gx= 0 et Ms/Gy= 0.

Mathmatiquement le moment statique se calcule en faisant lintgrale du produit de chaque lment de matire par la distance de cet lment un axe autre que celui qui passe par son centre de gravit.

En considrant une section rectangulaire b h :

le moment statique par rapport laxe de cette section = y . ds

avec :

ds , la section dun lment de matire : ds = b . dy

y , la distance de cet lment laxe variant de 0 h

somme des ds sur une valeur de y variant de 0 h par rapport laxe

do y . ds = y . b . dy = b y . dy = b y2/ 2 = b (h2 / 2) = b.h2 = b.h h 2 2

Le moment statique, par rapport un axe quelconque dune section de surface A, est le produit de la surface A par la distance de son centre de gravit cet axe quelconque (qui ne passe pas par le centre de gravit de la section).

SYMBOLE DU MOMENT STATIQUE : Ms UNITE DU MOMENT STATIQUE : m3

Moment statique Moment statique Moment statique Moment statique par rapport par rapport par rapport par rapport

laxe laxe laxe laxe x

MomMomMomMoment statique ent statique ent statique ent statique par rapport par rapport par rapport par rapport

laxe ylaxe ylaxe ylaxe y

SECTION RECTANGULAIRE Ms/x Ms/y

Remarque : le moment statique dune section par rapport un axe qui passe par son centre de gravit est nul.

h

0 y

y

x

h

b

G

dy

h

0

h

0

h

0 h

0 [

] h 0

[

]

y

x

h

b

G (b h) h

2

b/2

h/2 (b h) b 2


V - MOMENT QUADRATIQUE, MODULE DINERTIE ET MOMENT STATIQUE DES PROFILES METALLIQUES :

Pour les profils mtalliques, il existe un catalogue catalogue OTUA qui donne toutes les caractristiques gomtriques des sections : moment quadratique, module dinertie et moment statique. Vous navez donc rien calculer, par contre vous devez savoir lire les tableaux de donnes.

Exemple avec un profil HEM 100 : extrait du catalogue OTUA

axes : nouvelle norme

b

h

b

h y y

z

z y

y

x x

Caractristiques gomtriques de calcul I

x I x / v x i x Ms/x I y I y / v y i y Ms/y Moment

dinertie Module dinertie

Moment statique

Moment dinertie

Module dinertie

Moment statique

I y W el.y i y W pl.y A vz I z W el.z i z W pl.z A vy

cm4 cm3 cm cm3 cm2 cm4 cm3 cm cm3 cm2

HE 100 M 1142,6 190,4 4,63 235,8 18,0 398,6 75,2 2,74 116,3 45,3

axes : ancienne norme

Ancienne Norme

Nouvelle Norme

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