Les dielectriques(Cours IX et X)

Un dielectrique est un materiau qui peut porter un moment dipolaire electrique.

Dans un petit volume d3V centre en un point M du dielectrique (comme d’habitude,

ce volume est tres petit a l’echelle macroscopique, mais tres grand a l’echelle micro-

scopique ; en particulier, il contient un grand nombre d’atomes ou de molecules), le

moment dipolaire total (somme des moments dipolaires des constituants microsco-

piques presents dans le volume) est

d3!p = !P (M) d3V . (26)

Le champ de vecteurs !P , appele polarisation du dielectrique, represente donc le mo-

ment dipolaire par unite de volume.

Il existe deux grandes classes de dielectriques : les dielectriques polaires, dont les

molecules constitutives portent un moment dipolaire electrique microscopique non-

nul, et les autres, formes de molecules non-polaires.

1. Expliquer pourquoi, dans le cas d’un dielectrique polaire, la polarisation est

nulle malgre la presence des moments dipolaires microscopiques (en l’absence

de champ electrique exterieur) ? Que va-t-il se passer si l’on applique un champ

electrique non-nul ?

2. Dans le cas d’un dielectrique non-polaire, expliquer comment la polarisation

peut devenir non-nulle lorsque l’on applique un champ electrique.

Dans un dielectrique homogene et isotrope, lorsque le champ electrique n’est pas

trop intense, le vecteur polarisation est proportionnel au champ electrique,

!P (M) = "0#!E(M) . (27)

Le coe!cient # est appele la susceptibilite du dielectrique.

1. (*) Quelle est la dimension de # ?

2. (*) La loi lineaire (27) peut-elle etre valable lorsque le champ !E est tres in-

tense ? Tracer l’allure de la courbe representative de |!P | en fonction de | !E|,sans supposer | !E| faible. Justifier le fait qu’il existe une valeur maximale Pmax

pour |!P |. Que vaut cette valeur dans le cas d’un dielectrique polaire contenant

n molecules par unite de volume, sachant que la norme du moment dipolaire

porte par chaque molecule est p ? Calculer la valeur numerique de Pmax pour

l’eau a temperature ambiante.

30

3. Justifier le fait que, pour une substance donnee, la valeur de # est environ mille

fois plus elevee dans les phases liquide et solide que dans la phase gazeuse.

4. Expliquer pourquoi, dans le cas des dielectriques polaires, la susceptibilite est

une fonction decroissante de la temperature. Qu’en est-il dans les dielectriques

non-polaires ?

5. Comment est modifiee la loi (27), toujours dans l’approximation lineaire, dans

le cas ou le materiau n’est ni homogene ni isotrope ?

6. (*) Expliquer pourquoi un dielectrique plonge dans un champ electrique exte-

rieur est attire par les zones ou le champ est le plus intense (par exemple, un jet

d’eau sera attire par un corps charge, que cette charge soit positive ou negative).

Noter que la relation (27) suppose une reponse instantanee du milieu dielectrique

au champ electrique. Elle est donc valable dans le cas d’un champ statique, ou lorsque

la frequence de variation du champ electrique est negligeable par rapport aux fre-

quences caracteristiques des processus microscopiques mis en jeu (alignement des

dipoles microscopiques dans le cas des milieux polaires par exemple). Dans le cas

general, la susceptibilite est donc une fonction de la frequence du champ electrique $,

# = #($), mais cette dependance est negligeable jusqu’a des frequences de l’ordre de

108 ou 109 Hertz. Au-dela, les dipoles microscopiques n’ont plus forcement le temps

de s’aligner sur le champ electrique et la susceptibilite decroıt. Pour le mecanisme de

polarisation electronique, les frequences caracteristiques sont encore plus elevees, de

l’ordre de 1015 Hz.

Lorsque l’on plonge un dielectrique dans un champ exterieur !E0, il va se polariser.

Les dipoles !Pd3V vont donc eux-memes creer un champ electrique !Edip. qui va se

superposer au champ exterieur. Le champ electrique total, qui est celui qui intervient

dans la formule (27), vaut donc !E = !E0+ !Edip.. Il faut noter que !Edip. depend lui-meme

de !E, puisque les dipoles sont proportionnels a !E d’apres (27).

Le calcul du champ !E peut donc paraıtre complique en presence d’un dielectrique :

il faut tenir compte du champ cree par les dipoles dans le dielectrique, dipole qui

eux-memes dependent du champ que l’on veut calculer ! Cependant, dans le cas de

dielectriques homogenes et isotropes, on peut montrer en toute generalite le resultat

tres simple suivant :

Dans un dielectrique homogene et isotrope, on peut tenir compte de l’e!et des dipoles

dans le dielectrique simplement en remplacant dans les formules la permittivite du

vide "0 par la permittivite " du dielectrique, qui est donnee par la formule simple

" = "0(1 + #).

31

On definit generalement la permittivite relative du dielectrique par la formule

"r = 1 + # , (28)

et donc la permittivite vaut " = "0"r.

1. En appliquant directement ce principe, calculer le champ electrique qui regne

dans l’espace inter-armature d’un condensateur plan, lorsque l’on remplit cet

espace inter-armature d’un dielectrique de permittivite relative "r.

2. En deduire la capacite du condensateur plan par unite de surface.

3. De maniere generale, comment est modifiee la capacite d’un condensateur lorsque

l’on emplit l’espace inter-armature d’un dielectrique de permittivite relative "r ?

Nous ne chercherons pas a justifier en toute generalite la regle de la substitution

de "0 par "0"r en presence d’un dielectrique, mais nous pouvons comprendre ce qu’il

se passe au moins dans le cas simple du condensateur plan. On considere donc un

condensateur plan, dont les armatures, perpendiculaires a l’axe (Oz), sont separees

par une distance %. L’armature inferieure en z = !%/2 porte une densite surfacique

de charge &, et l’armature superieure en z = +%/2 porte donc la densite !&. On place

un dielectrique de permittivite relative "r dans l’espace inter-armature.

1. (*) Que vaut le champ electrique !E0 cree par les charges sur les armatures, dans

l’espace inter-armature ?

2. (*) Montrer, en utilisant les symetries du probleme, que la polarisation dans le

dielectrique est de la forme !P = P (z)!uz. On admettra qu’en realite, P (z) est

une constante P (on peut bien sur demontrer ce resultat, mais ceci necessiterait

de developper la theorie au-dela du raisonnable...).

3. (*) En analysant la structure des dipoles au voisinage du bord du dielectrique,

justifier le fait qu’il apparaıt une charge surfacique +P sur le bord superieur du

dielectrique (en z = +%/2) et une charge surfacique !P sur le bord inferieur

(en z = !%/2) (on ne demande pas une demonstration rigoureuse de ce resul-

tat, mais une justification physique ; une vraie preuve necessiterait la encore de

developper la theorie au-dela du raisonnable...). En deduire le champ electrique!Edip. cree par le dielectrique dans l’espace inter-armature.

4. (*) En deduire le champ electrique total !E = !E0 + !Edip. dans l’espace inter-

armature, ainsi que la capacite du condensateur. Les resultats sont-ils en accord

avec la regle generale enoncee precedemment ?

Enfin, une derniere question : remplir l’espace inter-armature d’un condensateur

avec un dielectrique a un avantage evident, qui est de multiplier la capacite par le

facteur "r. Mais il y a aussi un second avantage : lequel ?

32