Caractérisation intrinsèque de sources complexes de ...

Caracterisation intrinseque de sources complexes devibrations par la methode des mobilites

Application au cas d’un moteur Diesel

Lionel SANCHEZ

28 juin 2006

Table des matieres

1 Introduction - Positionnement du probleme 1

2 Sous-structuration du probleme vibratoire 112.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112.2 Les conditions d’application des methodes de sous-structuration. . . . . . . . . 112.3 Approche par impedance ou par mobilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Definition des types d’assemblage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Les types de sous-structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2 Les types de montages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.3 Les types de liaisons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Definition des termes constitutifs de la matrice de transfert. . . . . . . . . . . . 162.5.1 Le cas du recepteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162.5.2 Le cas de la source - notion de vitesses decouplees . . . . . . . . . . . . 192.5.3 Assemblage simple d’une sous-structure recepteur et d’une sous-

structure source. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.5.4 Le cas de plusieurs sources decorrelees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5.5 Le Probleme reduit aux efforts et vitesses de translation. . . . . . . . . . 24

2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3 Exemple de caracterisation des vitesses decouplees d’une source complexe 253.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253.2 Equations specifiques du probleme dans le cas d’une liaisonelastique pure. . . . 26

3.2.1 Equations generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Experimentation - Resultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

3.3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323.3.2 Description experimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.3 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373.3.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

4 Probleme inverse pour la caracterisation du chassis moteur et identification des vi-tesses decouplees du moteur 434.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434.2 Description du systeme : presentation du moteur au banc. . . . . . . . . . . . . 454.3 Rappel desequations dans le cas ou la source et le recepteur sont entierement

caracterises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

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4.4 Identification du chassis par une technique de« source fictive» . . . . . . . . . 484.4.1 Methodologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484.4.2 Les vitesses fictives couplees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4.3 Les mobilites du Groupe Moto-Propulseur. . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.4 Les vitesses fictives decouplees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4.5 Obtention des mobilites du chassis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4.6 Les efforts de couplage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.7 Les mobilites du recepteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5 Vitesses decouplees pour le moteur en fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . 664.6 Critiques de la methodologie employee dans le cas d’un chassis tres mobile . . . 704.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

5 Prevision des transferts vibratoiresa partir des vitesses decouplees d’un moteurthermique 775.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .775.2 Modelisation analytique du couplage du Groupe Moto-Propulseura un

«chassis» prenant en compte le couplage acoustique. . . . . . . . . . . . . . . 785.2.1 Mobilites d’une poutre en traction-compression. . . . . . . . . . . . . . 795.2.2 Mobilites d’une poutre en flexion coupleea une plaque bafflee . . . . . . 845.2.3 Assemblage des sous-structures avec le Groupe-Moto Propulseur. . . . 89

5.3 Le cas du lien rigide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .925.3.1 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .925.3.2 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

5.4 Le cas du lien souple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .995.4.1 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .995.4.2 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

6 Conclusion Generale 107

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Chapitre 1

Introduction - Positionnement du probleme

Le travail realise dans cette these de doctorat concerne la caracterisation de sources devibrations reelles telles qu’une cuve de lave-linge ou un moteur thermique d’automobile. Dansces deux exemples, la source lorsqu’elle fonctionne, sollicite un chassis recepteur, aux traversdes efforts de couplage aux points de liaison, induisant des vibrations dans le chassis et durayonnement acoustique par voie solidienne. Les efforts aux points de couplage dependent dela source et du recepteur et ne peuvent absolument pasetre un bon representant de la sourcede vibrations. Un indicateur intrinseque de la source, sa« signature vibratoire» est plutotconstituee par la determination des vitesses decouplees de la source active en ses points defixation en l’absence de son chassis.

Idealement, cette valeur representative de la source devraitetre obtenue en condition decouplage Libre-Libre. En effet, si la source est fixee a un recepteur, ses vibrations en serontaffectees et ne correspondront plusa ses vitesses decouplees. Dans ce cas, les valeurs obtenuesdependent des caracteristiques du recepteur et non plus uniquement de celles de la sourceadeterminer. Ainsi, toute la difficulte de la caracterisation de source de vibrations consisteaobtenir un indicateur reellement intrinsequea la source.

Mais definissons tout d’abord la notion de source. En vibration, il existe deux types desources. Tout d’abord, les sources dites acoustiques. Leurs vibrations vont se transmettre au mi-lieu exterieur fluide (air, eau etc.) et se propager dans celui-ci en fonction de ses caracteristiques.Il existe differentes techniques de caracterisation de sources acoustiques. L’intensimetrie etl’holographie (retro-propagation des ondes acoustiques) en sont deux exemples. Les sourcesconsiderees dans ce travail de these ne sont pas de cette nature. Ce sont des sources de vibrations.Dans ce cas, l’energie vibratoire est transmisea un milieu solide via des liaisons mecaniques. Ilconvient de n’oublier aucun chemin solidien sous peine de mal determiner la source de vibration.Il est ainsi necessaire de pouvoir clairement definir les limites de la source et ses points defixation au recepteur. Les casetudies ici rentrent typiquement dans cette categorie de sources.En effet, les bornes de la cuve d’un lave-linge et d’un Groupe Moto-Propulseur sont facilementidentifiables et les liaisons sont localisees sans ambiguite.

De nombreuses methodes existent pour l’etude du couplage mecanique d’une source et d’unrecepteur. La methode deselements finis par exemple conduita des codes de calcul generalistes

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permettant d’envisager des geometries quelconques. Cette resolution fine permet de realiser dessimulations numeriques, et de donner des solutions de l’etat vibratoire d’une structure. Malheu-reusement, le maillage qu’elle utilise est dimensionne par rapporta la longueur d’onde ; des quel’on cherchea monter en frequence, le nombre de variable croit tres rapidement et les operationsdeviennent tres couteuses en temps de calcul ce qui limite la methode au domaine des bassesfrequences. Pour les frequences pluselevees, l’analyseenergetique statistique (S.E.A.) qui aete initiee par Lyon et Maidanik [LM 62] permet d’etudier des structures tres complexes pourlesquelles des analyses deterministes seraient trop fines et trop lourdes pouretre exploitables.Pour cela, elle divise les structures en sous-structures dont l’energie vibratoire est moyennee surl’espace et la bande de frequence. Certaines hypotheses restrictives permettent alors d’etablirun systeme d’equations lineaires qui relient lesenergiesechangees et les puissances injecteesde chaque sous-structure. Ces hypotheses concernent le couplage faible entre leselements, lastationnarite et l’ergodicite de l’excitation et la forte densite modale des sous-structures [Lyo 75][Fah 85] et [HW 89] . La difficulte de cette methode vient de la determination des facteurs deperte par couplage qui caracterisent l’interaction entre leselements vibrants. Ce sont les quantitescaracterisant les taux d’echanges d’energie entre les sous-structures et sont independants desniveaux d’excitations de chaque sous-systemes. [CL 71] compare deux methodes d’obtentionde ces facteurs de perte, l’une par modification des frequences propres lors de l’introduction ducouplage et l’autre par le flux de puissancea travers leselements couples. Si pour des couplagesfaibles, les deux methodes fonctionnent bien, lorsque le couplage augmente, des problemesapparaissent. Nombreux sont les auteurs qui definissent alors un critere de couplage faible pourque la S.E.A. fonctionne. Cependant [Lan 90] indique que la presence de couplage faible ausens habituel ne garantit pas le bon fonctionnement de la S.E.A., sachant qu’il n’existe pasde definition reellement consensuelle du couplage faible [Fah 75]. En prenant le problemeal’envers, on determine ces facteurs de perte par couplage enetablissant le bilan de puissanceinjectee a la structure, connaissant les caracteristiques des sous-systemes. On parle alors deS.E.A. inverse [BH 80] et [CR 84]. Cette technique est delicatea mettre en œuvre d’une partcompte tenu du grand nombre de mesuresa effectuer, et surtout car le probleme inverse estmal conditionne et conduita de tres grandes incertitudes sur les facteurs de perte par couplage[Jac 95]. Une autre approche experimentale aete proposee par [CG 94]. Il s’agit d’utiliser lamesure des mobilites des systemes couples pour en deduire par calcul le coefficient de perte parcouplage. Cette methode testee avec succes dans le cas des plaques presente l’avantage d’unemesure directe sur les systemes vibrants couples.Mais finalement, ces differentes methodes ne caracterisent pas reellement la source. Ellesse contentent d’etudier et de recaler les resultats du couplage, prenant ainsi en compteles effets du recepteur. La methode des mobilites est un methode de sous-structuration fai-sant, elle, apparaıtre clairement dans sa formulation les caracteristiques intrinseques de la source.

A l’origine, la methode des mobilites on retrouve lesetudes menees sur les systemes decommunicationelectriques. De nombreux documents indiquent que les inventions du telegrapheelectromagnetique par Henry en 1830, du telephone par Bell en 1876 et du phonographepar Edison en 1878 introduirent de nouveaux types de problemesa resoudre aux scienti-fiques [Hun 82]. Sous la pression du developpement du telegraphe et du telephone, la theoriedes reseaux, ou circuits,electriques fut developpee. En 1892, Heaviside definit l’impedance

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electrique [Hea 92]. Ceci, en conjonction avec les theoremes de Kirchhoff, Thevenin et Nor-ton pose les bases d’une nouvelle methode d’etude des circuitselectriques utilisant les prin-cipes de superposition, de reciprocite et de compensation. L’avantage principaletant que l’uti-lisation d’equations differentielles n’etait plus necessaire pour l’etude des circuitselectriques[Gui 31, Gui 35, Gui 53].Webster fut le premiera realiser qu’iletait possible d’appliquer ce concepta l’etude des systemesmecaniques vibratoires en 1919 [Web 19]. Il definit l’impedance mecaniqueZ comme le rapportde la force appliquee F sur la vitesse resultanteV, soit la cause du mouvement sur son effetet non l’inverse, probablement pour rester coherent avec la definition de l’impedanceelectrique[CY 52]. Ainsi, pour resoudre leurs problemes, les scientifiques dessinaient le circuitelectriqueequivalent, le resolvaient en utilisant la theorie des circuits pour finalement convertir les resultatsen termes mecaniques.Mais une fois cette terminologie assimilee, les scientifiques commencerenta eneprouver leslimites. Notamment que l’analogie basee sur la definition de Webster conduisaita differentesincoherences :

– La force« traversant» un element est remplacee par une tension« aux bornes» del’ element et la vitesse« a ses bornes» est substituee par le courant le« traversant».

– Les elements mecaniques en serie sont representes par deselements en parallele etviceversa

– Les lois de Kirchhoff sont elles aussia reinterpreter :« la somme des courantsa un nœudest nulle» corresponda « la somme des differences des vitesses d’un circuit ferme estnulle » alors que« la somme des tensions d’une boucle est nulle» devient« la sommedes efforts en un point de liaison est nulle».

Ainsi, l’analogieelectrique-mecanique n’est pas si simple. Darrieus [Dar 29] fut le premieramentionner la possibilite de definir cette analogie differemment ou la forceetait remplacee parle courant plutot que par la tension. Cette nouvelle analogie, appelee« analogie inverse», n’aplus les limites precedemmentenoncees. Un nouveau terme nomme « Impedance Barre» futintroduit. Firestone esperait que, du fait des avantages apportes par cette nouvelle formulation ladefinition de l’Impedance d’origine definie par Webster disparaıtrait et serait remplacee par cellede l’Impedance Barre, devenue Impedance par abus de langage. Malheureusement il n’en fut rienet Firestone dut introduire un nouveau parametre appele « Mobilit e » [Fir 38] definie commele rapport complexe de la vitesse sur l’effort. Contrairement au concept de l’Impedance, cettevitesse n’est pas relative au sol, puisque les impedances sont obtenues en bloquant les autrespoints de couplage, mais est relative d’un pointa un autre de l’element car la sous-structure esten condition aux limites Libre-Libre. Ainsi, la mobilite de transfert (entre deux points differents)d’une structure depend de la difference de vitesse entre ses deux points de liaison.L’avantage de cette methode resulte dans le fait que les relations de vitesse et de force, donc lesmobilites, d’un pointa l’autre de l’element ne dependent pas des caracteristiques du reste dela structure. Un autre avantage important est que contrairementa la methode de l’Impedanceles problemes peuventetre formules directement avec des variables mecaniques : il n’est plusnecessaire d’ecrire le schemaelectriqueequivalent et de convertir les resultats.

C’est en 1958, lors d’un congres de l’American Society of Mechanical Engineers (ASME)que Crandall presenta un papier [Cra 58] concernant un assemblage mecanique et son approche

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par la methode des mobilites sans aucune referencea un circuitelectriqueequivalent.Cependant cette formulation restait relativement basique, ne prenant en compte ni leselementsayant plusieurs points de couplage ni des points de liaison avec plusieurs degres de liberte(vitesses lineaires et angulaires ainsi que force et moment). Une fois de plus le travail dejarealise dans le domaineelectrique fut utilise et le concept de quadripoles apparut. L’une despremieresetudes de systeme purement mecaniques par ces quadripoles fut presente par Molloy[Mol 57].Mais ce concept devint lui aussi insuffisant et les quadripoles furent remplaces par des« boıtesnoires» ayant plusieurs points de couplage et degres de liberte [Rub 64], [Rub 67] et [O’H 66].Ceselements furent definis par des relations matricielles par O’Hara dans ces termes :« a tensor(or a tensor component) which operationally describes the effects upon the resultant force (orseveral forces) of the application of a velocity or an array of velocities». Les termes diagonauxfurent nommesmobilites directes(le point d’application de l’effort et le point de mesure desvitesses sont identiques) et les termes extra-diagonaux lesmobilites de transfert.Cette approche permet l’analyse d’assemblages complexes par la simple connaissance desparametres de mobilites des differentselements qui le compose.

Dans le meme article publie dans« The Journal of the Acoustical Society of America»[O’H 66] O’Hara clarifie les differents aspects des approches par Mobilites, Impedances etPseudo-impedances discutes lors du« Shock and Vibration Committee of the Acoustical So-ciety of America». Il compare ces differentes approches sur le fond car chacune d’entre ellesreste valable mathematiquement. Tout d’abord, les memes hypotheses sont posees pour chaquemethode :

– les structures sontelastiques et lineaires de sortea pouvoir appliquer le principe de super-position

– les donnees sont exprimees en amplitudes et en phases– les efforts et vitesses sont sinusoıdauxa chaque frequence

Il definit ensuite les termes constituant chaque approche et les decrit ainsi :

– le concept des Mobilite somme les reponses vibratoires– le concept d’Impedance sommes les efforts de reponses

Dans la premiere methode, les donnees composant le tenseur des mobilites sont obtenuesen imposant un effort nul aux points de couplage (conditions aux limites Libre-Libre) alorsque celles du tenseur des impedances requierent des vitesses aux points de couplage nulles(conditions aux limites encastre). Ainsi, le tenseur des mobilites est l’inverse du tenseur desimpedances et reciproquement. Le tenseur des pseudo-impedances quanta lui correspondal’inversion scalaire (termea terme) deselements du tenseur des mobilites (et reciproquement).Aussi, il est toujours possible en ayant l’un de ces tenseurs d’obtenir les deux autres, aux erreursd’inversion et de mesure pres.Il illustre ensuite par un exemple simple les differences de ces methodes d’un point de vupurement applicatif. Il montre ainsi la flexibilite de la methode des mobilites pour laquellechaqueelement du tenseur est independant des autres. Il est alors aise d’ajouter ou supprimerdes points de couplage pour chaque structure. Inversement, une caracterisation en impedanced’un point necessite de bloquer en deplacement l’ensemble des autres points du tenseur. Chaqueelement de cette matrice depend alors des autres et ajouter ou supprimer un point d’une structure

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impose de redefinir l’ensemble des impedances des points de couplage. Il conclut enfin sur ladifficulte de bloquer en force et en moment lors d’une mesure d’impedance si plusieurs pointsde couplage sont tres proches.Cette methode des mobilites est donc particulierement bien adaptee aux sources complexesaetudier pour ce travail de these.

La plupart desetudes menees s’interessent en general a la transmission de puissance entreles differentselements couples (cf. [PW 81] par exemple). Mais le principal inconvenient decette approche est que la puissanceechangee entre differentes structures est dependante ducomportement de chacune d’entre elles. Ainsi, les resultats obtenus ne peuventetre transposesou reutilises dans les cas ou la source de vibration serait coupleea une structure differente. Plusrecemment, Mondotet al sont les premiersa definir la source de facon intrinseque ([MP 87]).Ils definissent la source comme unelement vibrant dont les efforts internes et les cheminsde transfert de ces efforts aux points de couplage ne sont pas connus. Ils s’interessent doncuniquement aux caracteristiques« externes» de cetelement. Dans cet article, ils introduisentle concept de« source descriptor» dont les caracteristiques ne dependent que des vitessesdecouplees et des mobilites de la source. Ils reformulent la Puissance Injectee presentee parCremeret al ([CHU 73]) en utilisant la definition des mobilites pour l’exprimer en fonction deces deux parametres et des mobilites du recepteur. Ils identifient ensuite quelques cas particulierspermettant de definir la source en termes de puissance independamment du recepteur. Toutd’abord, la puissance activeemise est maximale lorsque la mobilite de la source est la conjugueede celle du recepteur (et recipoquement). Ils definissent ainsi le« Maximum Available Power»qui represente le maximum de puissance (active) que la source peut transmettrea un recepteur.Un second cas de figure est le« Mirror Power». Dans ce cas, les mobilites du recepteur et de lasource sontegales. Cette« Puissance Mirroir» est toujours inferieure ouegale au« MaximumAvailable Power». Mais c’est le dernier cas qui est un majorant de la puissance d’une sourceet par consequent, celui generalement utilise : le« Caracteristic Power». Il correspond au casou l’effort au point de contact corresponda l’effort bloque et ou la vitesse couplee estegalea lavitesse decouplee. Les expressions de ces differentes puissances caracteristiques sont donneesdans un article de Moorhouse [Moo 01]. Petersson et Gibbs ([PG 93]) puis Fulford et Gibbsetendent cette formulationa des systemes multi-points et multi-structures ([FG 97], [FG 99a] et[FG 99b]). Mais cette caracterisation est conditionnee par un nombre de donnees necessairesimportant et des configurations specifiques de couplage source-recepteur.De nos jours la methode est encore tres utilisee. On cite par exemple, Piva et Arruda ([PA 04])qui utilisent differentes methodes d’obtention des mobilites de la source et utilisent les differentsconceptsevoques ci-dessus pour commenter leurs resultats. Ou encore l’etude du couplagevibro-acoustique par des facteurs de mobilites ou d’impedances realise par Kim et Brennan([KB 99]). Moorhouse introduitegalement une formulation adimensionnelle de la matrice desmobilites ([Moo 02]). Cela permet de comparer les effets des differentes composantes de cettematrice notamment les interactions entre les differents axes d’excitation et de reponse. Cetteetude analytique prends en compte les moments et les vitesses angulaires soit l’ensemble de lamatrice des mobilites. Dans un article precedent ([Moo 01]) il obtient cette matrice completepour un cas pratique de ventilateur industriel monte sur des supportselastiques. La« PuissanceCaracteristique» et la puissance acoustique obtenues sont du meme ordre.

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Mais la mesure des mobilites de moment est particulierement delicate. C’est un problemerecurent de la plupart des methodes necessitant la mesure de vibrations angulaires et l’appli-cation de moments. La mesure peutetre realisee a l’aide de plusieurs capteurs en translation,de vibrometres laser couples a un tetrahedre [TSIC 93] et[BSIT 94] ou de vibrometres lasera balayage [KMW 91] par exemple. Mais ce sont des procedes couteux, financierement, envoies d’acquisition, en temps de mesure et qui surtout necessitent l’espace et l’acces suffisantpour pouvoir effectuer les differentes manipulations. Les fabricants commencentegalementafabriquer des capteurs d’acceleration angulaires, tel le Kistler TAP 8832 teste par B. Bill et A.L. Wicks [BW 90].Ainsi, la mesure de mouvement en rotation devient de plus en plus aisee. La problematique prin-cipale devient alors l’application de couples purs. De nombreux chercheurs se sont penches surce probleme en utilisant generalement des systemes d’excitation lourds induisant des effets decharge important. C’est le cas du prototype de Smith par exemple [Smi 69]. Le bloc d’excitationutilise par D.J. Ewins et M.G. Sainsbury [Ver 81] permet, en le supposant rigide, de supprimermathematiquement les effets de sonenergie rotationnelle sur le moment genere. Ce blocd’excitation a ensuiteete repris pas D.J. Ewins et P.T. Gleeson [EG 75]. Ces derniers obtiennentdes resultats convenables mais montrentegalement que cette methode est tres sensible auxerreurs de mesure. Plus recemment, M.A. Sanderson a ameliore cette technique enetudiant deuxtypes de blocs d’excitation (en«T» et en«I») utilises avec un capteur d’acceleration angulaire[SF 95]. D’autres systemes plus« exotiques» ont egalementete developpes. Le prototype deB.A.T. Petersson [Pet 87] genere un moment par magnetostriction. Malheureusement, il induitegalement un effort de translation au point de contact. Enfin, une approche avec un systemed’excitateur acoustique aete realisee [PT 87]. Les effets de charge du systeme d’excitation sontalors negligeables mais d’autres inconvenients apparaissent : l’effort ne s’applique pas en unpoint precis et il devient difficile d’obtenir precisement le niveau du moment genere. De plus, cetype d’excitation ne peut s’appliquer que sur des structures tres legeres.Finalement, il n’existe pasa l’heure actuelle de technique ou de materiel permettant d’obtenirpar mesure les tenseurs complets des mobilites ou des impedances. Par consequent la plupartdesetudes menees ne prennent en compte que les efforts et les vibrations lineaires.Quoiqu’il en soit, pour les structuresetudiees dans ce travail de these, les moments sontnegligeables du fait des conditions d’assemblage des structures entre elles. Dans le premier cas,la liaison peutetre assimileesa une liaison rotule en cinematique (elle ne transmet donc aucunmoment) et dans le second cas, le Groupe Moto-Propulseur est suspendu par ses liaisons souplesce qui rends les moments negligeables devant les forces d’excitations lineaires.

Il ne faut pas perdre de vue non plus que les vibrations de structures sont sensibles a depetites variations de geometrie, de materiau mais aussi dans la localisation de la reponse et del’excitation. Ewinset al en font la preuve dans un article publie en 1981 [EG 81]. La mobilited’une structure aete mesuree par differentes personnes avec les moyens propres dont ellesdisposaient pour de telles mesures (marteau de choc, pot vibrant etc.). La meme structure,envoyee de laboratoire en laboratoire, a doncete mesuree en mobilites selon des techniquesdiff erentes et les resultats obtenus exploites et publies. Il en ressort que les dispersions obtenuespeuventetre tres importantes. Les moyens utilises ne sont pas remis en cause car des moyens

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diff erents conduisenta des dispersions identiques. Cela montre alors la sensibilite de la mesureaux placement des capteurs. De ce fait, le positionnement des capteurs et des points d’excitationsseront effectues avec un soin particulier et les resultats testes lorsque cela est possible.

Le concept de la mobilite ponctuelle aegalementete etendu aux couplages lineıque etsurfacique. Les travaux de S. Naji [Naj 93] sur une source reelle en sont un bon exemple maison peutegalement citer Norwoobet al qui definissent l’expression d’une mobilite de surfacecirculaire etetudient l’influence de cette surface sur la transmission de puissance [NWZ 97] ; ouencore Daiet al [DLWL 99] qui etendent cette formulation aux cas de contacts rectangulaireset menent uneetude parametrique du ratio largeur/longueur sur la puissance transmise par lasurface de contact.

Ainsi, dans la plupart des travaux realises, aussi bien les sources que les recepteurs sont desstructures simples, souvent academiques. L’objet de cetteetude est d’etudier et de caracteriserune source de vibration complexe. Cette complexite peutetre de deux types. En premier lieu,elle peutetre lieea la geometrie eta la cinematique des efforts internes. Ainsi, si l’effort interneest tournant, comme dans le cas d’une cuve de lave-linge ou d’un Groupe Moto-Propulseur, il estdifficile a localiser et par consequenta caracteriser. Ses chemins de transfert solidiens peuventetre multiples et complexes ajoutant encore une difficulte supplementaire.Il peut egalement y avoir plusieurs sources d’excitation decorelleesa l’interieur d’un seulestructure source. Et cela amene le second type de complexite d’une source : la complexitestatistique. Si plusieurs causes de vibrations independantes existent il devient necessaire deles caracteriser toutes. Dans le cas d’un moteur thermique de nombreux phenomenes internespeuventetre consideres comme des sources vibratoires. Durant les cinquante dernieres anneesnombre de travaux ontete realises afin de classifier ces differentes sources. Generalementdeux types de phenomenes sontetudies. Tout d’abord les excitations mecaniques engendreespar les mouvements de l’attelage mobile (ensemble pistons-bielles-vilebrequin-arbrea cames-soupapes). De leurs deplacements resultent des efforts d’inertie mais aussi des chocs entreles differentes parties (basculement de pistons, ratrapage de jeu de fonctionnels par exemple).Ensuite, on trouve les excitations dues aux gaz provoquees par la forte pression generee parles explosions du melange dans la chambre de combustion. Elles touchent donc principalementle haut moteur (culasse et haut des futs) (voir [GL 73]). Pour ses deux types de sources, leschemins de transfert vibratoires sont nombreux et difficilesa determiner [Lec 03].Des lors, la complexite de caracterisation d’une source complexe reelle de vibrationa partir deses efforts internes estenorme. Mais ils restent l’origine de la source et sont donc indispensablespour la definir. En conditions aux limite Libre-Libre l’effet de ces efforts internes se traduitpar une vitesse vibratoire aux points de liaison appelee vitesse decouplee. Et cette resultante,du fait des conditions aux limites, n’est entravee par aucun autre effort. Elle depend doncuniquement des caracteristiques de la source en terme d’effort et de mobilites. Elle representeune donnee intrinsequea la source et permet de la definir exactement. Ainsi, toutes les difficultesde localisation de l’origine des efforts internes et de leurs differents chemins solidiens sontsupprimees. C’est donc ce critere, plus simple, plus accessible et malgre tout representatif de lasource qui seraetudie ici.

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Se pose alors le probleme des liaisons entre la source et le recepteur. Une nouvelle fois,les travaux effectues traitent majoritairement de systemes parfaitement couples ou la liaisonreste academique. Mais des lors que la methode des mobilites est appliqueea des objets reels,les liaisons peuvent devenir problematiques. En effet les indutriels introduisent souvent deselements de liaisons filtrant, amortissant ou les deux simultanement. Et certains d’entre eux nepeuventetre caracterises en mobilites. C’est le cas pour notre premier objetetudie : la cuvedu lave-linge est suspendue au chassis par deux ressorts consideres purs dans le domaine defrequenceetudie. Comment dans ce cas mesurer la mobilite de cetelement en conditions auxlimites Libre-Libre puisqu’il n’est pas possible d’appliquer un effort qu’a une seule de sesextremites. Ce probleme est resolu en utilisant la raideur de cetelement qui reste relativementsimple malgres tout. Mais ca n’est pas le cas pour notre second systemeetudie : le GroupeMoto-Propulseur est lui fixe au chassis par l’intermediaire d’elements filtrant caoutchoutiquesappeles« silent-blocs». La reponse vibratoire de ceselements depend entre autre tres fortementde la charge statique qui leur est appliquee. Des lors, leur caracterisation dans les conditionsaux limites imposees par la methode des mobilites n’a plus de sens puisque leur comportementsera totalement different lorsque la masse du moteur leur sera appliquee. Ce type de materiauconcerne un milieu encore actuellement peu explore. D’une parta cause de la difficulte amodeliser ceselastomeres par les methodes dites classiques (elements finis par exemple) etd’autre part parce qu’il est tres delicat de les caracteriser simplement par la mesure car lamise en pratique d’un systeme pour obtenir la reponse en frequence d’un plot isolant sousune precontriante statique est tres delicate. Les methodes generalement employees utilisent laformulation des quadri-poles utilisee par Snowdown au debut des annees 1970 ([Sno 71]) pourcaracteriser differentselements de filtration. L’approche utilisee revienta identifier l’elastomerea un ressort et un amortisseur purs montes en parallele. Mais cette description est vite limitee,d’une part en frequence et d’autre part des que la base de l’isolant a une vitesse vibratoirenon-nulle. Cette derniere condition est verifiee dans le cas d’un moteur thermique au bancmais elle devient caduque lorsque l’on considere le Groupe Moto-Propulseur monte sur unchassis d’automobile relativement souple. De plus les techniques couramment utilisees ne sontpas satisfaisantes car elles ne liberent pas le silent-bloc du systeme de mesure. Autrementdit, les resultats obtenus pour la reponse en frequence de ceselements dependent du montageutilise. Dans un article publie dans le ”Journal of Sound and Vibration” Dickens et Norwood([DN 01]) en font la critique et presentent une methode permettant de s’affranchir de l’influencedu systeme de mesure. Contrairementa la methode de la« masse suspendue» qui ne permet pasde caracteriser les plots asymetriques (dont le comportement est differents lorsque l’on inverseleur point d’entree et de sortie) uni-directionnels, leur methode des« deux masses» permet d’yparvenir. Finalement, la caracterisation de cetelement introduit des difficultes de mise en œuvreimportantes. Le choix a doncete fait de l’integrer au chassis et de caracteriser ce dernier« insitu» par la methode des mobilites.

Le chassis d’un vehicule quanta lui est consitue d’elements de construction plus classiques.La methode desElements Finis est generalement employee dans ce cas pour les raisonsevoqueesprecedemment.

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Ayant tous ceselements, il devient alors possible, et c’est au final l’objectif recherche parles differents constructeurs, d’etudier la vibro-acoustiquea l’interieur du vehicule. En effet,la synthese peutetre effectuee a partir de la connaissance des vitesses decouplees du GroupeMoto-Propulseur et de ses mobilites. Connaissant les mobilites du chassis la methode desmobilites permet de determiner la reponse couplee du systeme maisegalement les effortsde couplage. Ces differentselements peuventetre utilises par toute sorte de methode mieuxadaptees pour differents calculs : calculs de rayonnement dans une cavite, methode desElementsFinis de Frontiere (communement appele B.E.M.). Puisque la puissance injectee est obtenuepar le produit des vitesses par des efforts les resultats obtenus peuventegalementetre employesdans la methode S.E.A. etc.

L’originalit e de ce travail de these reside dans le fait de caracteriser de maniere intrinsequedes assemblages industriels reels et complexes suivant les trois dimensions lineaires. Il presenteegalement une approche originale pour la caracterisation d’elementselastomeres« in situ »et montre la faisabilite de la synthese vibratoire en couplant la methode des mobilites a uneetude analytique incluant differentselements vibratoires et acoustiques. Ceci nous amenea lapresentation du plan du travail qui va suivre.

Le second chapitre definit les differentes notions de la methode des mobilites. Il presente lesconditions d’application de cette methode, les differents types de structures et d’assemblage. Ilintroduit egalement la notion d’indicateurs intrinseques tels que les vitesses decouplees.

Le troisieme chapitre est un exemple d’application de la methode des mobilitesa une sourcecomplexe. Il montre la difficulte de caracterisation de certains types de liaison et les limites dela methode.

Le quatrieme chapitre traite de l’obtention des mobilites d’un chassisa l’aide d’une sourcefictive. La methode employee est decrite et critiquee. Les resultats obtenus sont ensuite utilisespour determiner les vitesses decouplees d’un Groupe Moto-Propulseur pour differents regimesde fonctionnement. Des conclusions sont tirees sur cette caracterisation et l’interet qu’elle peutavoir dans ce cas.

Finalement, le cinquieme chapitre presente une maquette de la synthese vibro-acoustiquequi peut s’effectuer dans l’industrie automobile, lorsque l’on dispose des vitesses decoupleesd’un moteur et que l’on veut calculer l’impact de ce moteur sur le rayonnment acoustiquedans l’habitacle. Dans ce modele analytique, on prend en compte le chassis comme une poutrecoupleea un radiateur acoustique plan. Les silent-blocs sont introduits comme des poutres encaoutchouc. Les donnees de la source sont celles du moteur caracterisees au chapitre precedent.

Un dernier chapitre presente la conclusion generale de cetteetude.

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Chapitre 2

Sous-structuration du probleme vibratoire

2.1 Introduction

La plupart des constructions mecaniques reelles sont constituees d’organes, que l’on appel-lera sous-structures, couples entre eux par des liaisons.Il est d’un grand interet de prevoir le comportement dynamique de l’assemblagea partir de celuicaracterisique de chaque sous-structure. En effet, il est ainsi possible de repercuter les modifica-tions realisees sur une ou plusieurs sous-structures d’un point de vue global.De plus, sous-structurer permet ”a priori” de rendre moins complexe les constructionsmecaniques en les decomposant enelements simples. C’est aussi offrir une opportunite de ca-racteriser les sources de vibrations mecaniques en isolant une sous-structure hebergeant la causedes vibrations. Voyons maintenant quelles sont les conditions d’utilisation de cette approche.

2.2 Les conditions d’application des methodes de sous-structuration

Sous-structurer consistea partitionner un assemblage mecanique en differentselements quel’on pourra aisement rendre independants par un demontage adequat. Certaines conditions sontnecessaires pour que la sous-structuration soit possible.Il est indispensable que le comportement de chacune des sous-structures soit lineaire. C’est-a-dire que la reponse de la sous-structure reste proportionnelle aux sollicitations, dans les plagesd’utilisation de l’assemblage et de caracterisation des sous-structures. En effet, il est bienevidentque chaque sous-structure doit reagir de la meme facon lorsqu’elle est caracterisee et lorsqu’elleest assemblee. Si tel n’etait pas le cas, cela conduiraita un non-sens et l’ensemble des resultatscalcules sur la structure complete serait errone.Ensuite, les sous-structures sont couplees entre elles par des liaisons. Elles ne peuvent faire inter-agir que deux sous-structures entre elles. Chaque liaison est consideree comme un encastrement.C’est-a-dire qu’aux extremites de chaque liaison, les deplacements, vitesses ou accelerationsdoivent etre egaux dans le repere global. De plus, les efforts et les moments sontegalementegaux et opposes de part et d’autre de la liaison.Ainsi, certainselements ”traditionnels” d’assemblage, comme les ressorts ou les amortisseurs,ne peuventetre consideres comme des liaisons. La methode utilisee pour les prendre en compte

11

consistea les considerer comme des sous-structuresa part entiere, qu’il faudra alors caracteriserseparement. De cette facon, lors de l’assemblage, ces ”elements de liaison” seront couplees auxautres sous-structures dans les conditions definies par la sous-structuration.Remarque : Nous aurons par la suitea prendre en compte un type de liaison non lineaire qui neremplit pas les criteres ennonces ci-dessus : le silent-bloc assurant la liaison entre le moteur et lechassis. En effet son comportement depend de la charge statique qui lui est impose par le poidsdu moteur. La methode reste toutefois applicable en limitant la portee des resultats dans uneplage dynamique utile definie autour d’un point de fonctionnement de l’ensemble moteur couplea son chassis via les silent-blocs. Ce qui revienta faire une hypothese de petits mouvements,couramment rencontree dans le contexte vibro-acoustique.Nous allons maintenantetudier differentes methodes de sous-structuration en vibration.

2.3 Approche par impedance ou par mobilite

Il existe deux grandes methodes pour caracteriser le comportement vibratoire d’une struc-ture.La premiere definie l’effort comme une fonction du deplacement, de la vitesse ou del’acceleration : c’est l’approche par impedance.La seconde definie le deplacement, la vitesse ou l’acceleration comme une fonction de l’effort :c’est l’approche par mobilite.

Illustrons ces deux points de vue en prenant l’exemple d’une structure lineaire dont on veutcaracteriser les transferts vibratoires.

j

i

x

NommonsXi etFj respectivement le deplacement au point i et l’effort applique en j suivantl’axe x defini.Formellement, le probleme peut s’ecrire de deux facons :

– {F} = [Z]× {X} : approche par impedance– {X} = [H]× {F} : approche par mobiliteMathematiquement,[Z] est egal a [H]−1 et inversement. Ces deux approches sont

theoriquement identiques. Mais cetteequivalence s’arrete la car le point de vue pratique com-porte des differences fondamentales, par exemple dans la caracterisation des termes d’impedance(Z) et de mobilite [H]. L’impedance d’un systeme est caracterisee en blocage (deplacement im-pose sur un point de liaison et nul sur tous les autres points) alors que la mobilite est caracteriseeen condition libre (effort impose sur un point de liaison et nul sur tous les autres points). Ainsi,l’approche par impedance presente une limitation lors de la mesure de transferts vibratoires.En effet, si d’un point de vue statique il est aise de bloquer des sous-structures, en dyna-mique, cela devient bien plus delicat. Pour des structures relativements legeres (plaques mincespar exemple), il suffit d’ajouter des masses aux points que l’on souhaite bloquer ; mais pour

12

des structures plus imposantes, ces masses bloquantes deviennent trop importantes pouretreexperimentalement applicable, ou risquent de modifier le comportement de la structure.La caracterisation par mobilite reste plus simplea realiser, meme dans le cas de structures impo-santes. Il faut tout de meme pouvoir les suspendre en condition libre-libre, c’est-a-dire avec unefrequence de suspension tres inferieurea la gamme de frequence que l’on souhaiteetudier.Un second inconvenient a la caracterisation de structure par impedance existe. Si l’on sou-haite modifier le nombre de point qui caracterise la structure, alors l’ensemble des transfertsvibratoires sont influences. Ainsi, il est impossible d’ajouter ou meme d’enlever un point decaracterisation sans avoira re-caracteriser en impedance l’ensemble des points constituants lastructure [O’H 66].De ce point de vue, l’approche par mobilite est beaucoup plus souple : reduire le nombre de pointsde caracterisation de la structure revienta supprimer des lignes et colonnes correspondantes dansla matrice des transferts vibratoires. Augmenter ce nombre de points consistea accroıtre la taillede la matrice H sans avoira recalculer l’ensemble des ses termes mais seulement ceux addition-nels.La caracterisation de structures par l’approche des mobilites presente des avantages pratiques im-portants, sans apporter de difficulte theorique supplementaire. Cette methode a doncete retenuepour l’ensemble des travaux realises pour ce travail de these.

2.4 Definition des types d’assemblage

2.4.1 Les types de sous-structures

L’int eret des methodes de sous-structuration est qu’elles permettent de definir aisement dansles problemes pratiques la notion de source vibratoire. On definira deux grands types de sous-structures :

– les sourcesqui correspondent aux sous-structuresa l’origine des vibrations du systemecouple. Elles ont donc unetat vibratoire non-nul lorsqu’elles sont decouplees. Cesvibrations sont duesa un ou plusieurs efforts internes :

Point de liaison

Point de liaison

Source

Effort Interne

Effort Interne

Cette classe de sous-structure regroupe donc l’ensemble des actionneurs tels que verins com-presseurs moteurs etc. et par extension toute sous-structure composee d’un ou plusieurs de cesactionneurs.

– les recepteursqui sont inertes et ne produisent aucune vibration lorsqu’ils ne sont pascouples :

13

Récepteur

Point de liaison

Point de liaison

Ainsi, cette classe de sous-structure regroupe l’ensemble des assemblages communement ap-peles chassis, generalement compose d’ensembles de poutres et de plaques mecano-soudees.Cependant, une sous-structure de type recepteur peutegalement inclure des actionneurs, sousconditions que ceux-ci restent au repos durant toute la duree de l’etude.

La sous-structuration d’ensembles mecaniques ne se resume donc pas simplement au choix de lamethode mathematique utilisee pour la mise enequation du probleme. Elle faitegalement inter-venir pour une grande part la physique et la connaissance de l’ensemble traite afin de realiser undecoupage judicieux qui autorise les differentes manipulations necessaires aux mesures tout enreduisant les sources d’erreurs potentielles.Une delimitation des sous-structures differentes peut conduirea des types de montages differents.

2.4.2 Les types de montages

Les schemas synoptiques suivants representent la plupart des assemblages reels existant :

– les montagesen serie :le montage en serie se compose d’au moins deux sous-structures, sans limitation denombre. Chaque sous-structure ne peut avoir qu’une seule liaison avec une autre sous-structure. Le schema synoptique correspondant serait le suivant :

IV

III

III

Ce type de montage pourraitetre apparente a un ensemble : arbrea cames - poussoir -culbuteur - soupape par exemple.

– les montagesen parallele :le montage en parallele se compose de deux sous-structures reliees entre elles par au moinsdeux liaisons, sans limitation de nombre. Une representation schematique de ce montageserait la suivante :

14

III

Ce type de montage correspond assez biena un moteur thermique de vehicule avec sestrois ou quatre supports moteurs, monte sur un chassis.

– les montagesenetoile :le montage enetoile se compose d’au moins quatre sous-structures. L’une de ces sous-structure est reliee a chacune des autres sous-structures (sans limitation de nombre) parune liaison. Un schema de ce type de montage pourraitetre le suivant :

I

II

III

IV

Cette representation s’apparentea l’attelage mobile du type de moteur thermiques dits ”enetoile ” ou l’ensemble des pistons est lie par sa bielle au meme maneton du vilebrequin.Ces moteurs ontete utilises dans l’aviation (plus compacts et mieuxequilibres donc plusrapides).

Les types de montages ne sont pas limitatifs en termes de sources et de recepteurs. De plus,comme un ensemble mecanique peutetre compose de plusieurs sources et recepteurs, il peutinclure plusieurs types de montage simultanement.La sous-structuration fait donc intervenir des types de montage, des types de sous-structures maisegalement differents types de liaisons.

2.4.3 Les types de liaisons

Trois types de liaisons permettent de coupler ces sous-structures :

– les liaisons ponctuelles– les liaisons lineiques– les liaisons surfaciques

Les liaisons ponctuelles ontete etendues aux liaisons lineiques et surfaciques pour pouvoirprendre en compte les specificite physiques de certaines liaisons (voir [Naj 93]).

15

Dans la suite de cetteetude, les liaisons considerees sont de type ponctuel qui transmettentcouples et forces. D’un point de vue vibratoire la liaison est ponctuelle tant que la longueurd’onde reste grande devant la surface effective du point de liaison. C’est donc une definition quidepend de la frequence. Il est certain que plus la structure est raide en un point de liaison et pluselle peutetre consideree comme ponctuelle dans une large plage de frequence. Par exemple pourun bloc moteur couple a un silent bloc, la limite frequentielle pour laquelle la liaison ne pourraitplus etre consideree comme ponctuelle depend des modes de flexion de petite longueur d’ondedu bloc, generalement situes au dela de quelques kiloHertz.

2.5 Definition des termes constitutifs de la matrice de trans-fert

2.5.1 Le cas du recepteur

Les transferts vibratoires se definissent en general comme le rapport de deux quantites : lenumerateur contient des termes cinematiques, de rotation ou de translation (en deplacement,vitesse ou acceleration) ; le denominateur prent en compte un effort ou un moment. On parlede Mobilite quand le numerateur est constitue d’une vitesse et d’inertance s’il s’agit d’uneacceleration. Prenons la definition des transferts en mobilite.

On distingue deux types de mobilites :– Les mobilites directescorrespondent au cas ou le point d’excitation et le point d’ecoute

sont identiques,– Lesmobilites de transfertcorrespondent aux autres cas.Considerons le cas d’un recepteur ayant un point de liaison,etudie suivant une dimension :

Récepteur

Point de liaison

11

Puisqu’il n’y a qu’un seul pointetudie, onetudie le cas d’une mobilite directe. L’ensemble desefforts et des vitesses sont mesures suivant une seule direction et ne sont donc pas indices.Dans ce cas simple, la matrice de mobilite au point de liaison s’exprime ainsi :

[MV F MV M

MθF MθM

](2.1)

MV F corresponda la fonction de transfert entre la force appliquee selon l’axe et sa vitessede translation selon le meme axe .MV M correspond au rapport entre le moment applique autour de l’axe et sa vitesse de translationselon l’axe.

16

MθF correspond au rapport entre la force appliquee selon l’axe et sa vitesse angulaire autour del’axe.MθM correspond au rapport entre le moment applique autour de l’axe et sa vitesse angulaireautour de l’axe.

D’apres le principe de reciprocite, cette matrice est symetrique.Ainsi, dans le cas ou cette sous-structure serait couplee, on pourraitecrire au point de liaison :

{V

θ

}=

[MV F MV M

MθF MθM

]×

{F

M

}(2.2)

Ou V et θ seraient respectivement les vitesses lineaire et angulaire couplees. De meme,F etM sont la force et le moment generes par le couplage.

A trois dimensions, le probleme devient :

Récepteur

Point de liaison

2

1

3

Ici, la matrice de mobilite s’exprime ainsi :

[M ] =

[[MV F ] [MV M ]

[MθF ] [MθM ]

](2.3)

Cette matrice est symetrique par bloc de trois etegalement globalement symetrique pourrespecter le principe de reciprocite.Les Mij sont des matrices 3x3 puisque les efforts et les vitesses sont releves suivant les troisdirections :

[MV F ] =

MV 1F 1 MV 1F 2 MV 1F 3

MV 2F 1 MV 2F 2 MV 2F 3

MV 3F 1 MV 3F 2 MV 3F 3

(2.4)

MV iF j corresponda la fonction de transfert entre une force injectee suivant l’axe j et la vitessede translation mesuree suivant l’axe i.Cette notation s’appliquea chaqueelement de la matrice de mobilite 2.3.

Ecrivons la matrice de mobilite globale pour cette sous-structure comportant un point deliaisonetudie suivant trois dimensions :

17

[M ] =

MV 1F 1 MV 1F 2 MV 1F 3 MV 1M1 MV 1M2 MV 1M3



Mθ1F 1 Mθ1F 2 Mθ1F 3 Mθ1M1 Mθ1M2 Mθ1M3



(2.5)

Les mobilites presentees dans cette matrice sontegalement toutes des mobilites directes.Et, dans le cas ou cette sous-structure serait couplee, on pourraitecrire au point de liaison :

V 1

V 2

V 3

θ1

θ2

θ3

=







×

F 1

F 2

F 3

M1

M2

M3

(2.6)

Considerons maintenant le cas general du recepteur ayant n points de liaisons,etudies suivanttrois dimensions. Par soucis de lisibilite, les matrices completes ne sont pas representees, danslesequations suivantes, chaqueelementM ij est une matrice 6x6 telle qu’exprimee en2.5:

Récepteur

Point de liaison

2

1

3

Point de liaison

Point de liaison

La matrice de mobilite s’exprime alors ainsi :

M11 M12 · · · M1n

M21 M22 · · · M2n

......

.. ....

Mn1 · · · · · · Mnn

(2.7)

Tous les blocs diagonaux sont constitues de mobilites directes et les blocs extra-diagonauxde mobilites de transfert.Puisque les structuresetudiees sont par hypothese lineaires, cette matrice estegalementsymetrique par bloc, et globalement symetrique (propriete de reciprocite).Lorque l’on accedea ces matrices par la mesure, il est important de verifier cette propriete desymetrie qui est alors un indicateur soit de la qualite de la mesure effectuee soit de la limiteen frequence atteinte par la mesure elle-meme. En effet, il existe une limitation naturelle enfrequence puisque cette propriete est valable pointa point et qu’il devient difficile de respecter

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la notion de point au plan experimental, lie au pouvoir de resolution spatial des capteurs et del’excitation.Apres couplage, le probleme se reecrit :

V 1

V 2

...V n

=

M11 M12 · · · M1n

M21 M22 · · · M2n

......

. .....

Mn1 · · · · · · Mnn

×

F 1

F 2

...F n

(2.8)

Cetteequation montre bien l’importance de l’hypothese de linearite de structure. La vitessecouplee en un point estegalea la somme des produits ” mobilite× effort ” de l’ensemble despoints de couplage de la structureetudiee.L’avantage de definir ainsi le probleme apparait ici : ajouter un point de liaison revienta ajoutersa contribution (mobilite et effort) et l’integrer dans le systeme complet. Inversement, supprimerun point de liaison revienta soustraire sa contribution.Ce raisonnement ne tient pas si le probleme est defini a partir de la matrice des impedances(matrice inverse de celle des mobilite). De meme, il est possible d’avoir des points non-lies surune sous-structure. Il suffit simplement qu’ils soient caracterises en terme de mobilites (directeet de transfert) dans la matrice globale qui devient rectangulaire.

2.5.2 Le cas de la source - notion de vitesses decouplees

Comme nous l’avons vu au chapitre2.4.1, les sous-structures de type ”source” ont unetatvibratoire non-nul lorsqu’elles sont decouplees. Cetetat vibratoire est dua un ou plusieurseffort(s) dit(s) ”interne(s)” c’est-a-dire, inclus dans la sous-structure. Comme les efforts decouplage, ces efforts internes peuvent s’exercer en un point :

Effort Interne

1

3

2

La methode des mobilites s’applique de la meme facon que precedemment. Lesequations de lasous-structure decouplee sont :

V1

V2

V3

=

M11 M12 M13

M21 M22 M23

M31 M32 M33

×

0

F2

0

(2.9)

avecF2 qui represente l’effort interne.

19

En simplifiant, nous obtenons :

V1 = M12 × F2

V2 = M22 × F2

V3 = M32 × F2

(2.10)

Les vitesses obtenues sont nommees ”vitesses decouplees” ; celles-ci representent l’etat vibra-toire de la sous-structure avant couplage. Fait remarquable, elles ne sont constituees que determes appartenanta la sous-structure. Elles sont donc totalement independantes de tout systemeou action exterieurea la sous-structure. Elles caracterisent, au meme titre que la matrice des mo-bilit es et les efforts internes, la sous-structure source.Couplons la source aux deux points par exemple 1 et 3 :

V1

V2

V3

=

M11 M12 M13

M21 M22 M23

M31 M32 M33

×

F1

F2

F3

=

M11 M12 M13

M21 M22 M23

M31 M32 M33

×

0

F2

0

+

M11 M12 M13

M21 M22 M23

M31 M32 M33

×

F1

0

F3

=

V1

V2

V3

+

M11 M12 M13

M21 M22 M23

M31 M32 M33

×

F1

0

F3

=

V1

V2

V3

+

V1

V2

V3

(2.11)

Ainsi d’apres2.11le vecteur des vitesses couplees peut-etre defini comme la somme de deuxvecteurs : celui des vitesses decouplees provoque par l’effort interne et un vecteur qui resultedu produit des mobilites de la source par les efforts aux points de couplage.A l’inverse desvitesses decouplees, les vitesses couplees et les vitesses de couplage provoquees par les effortsde couplage, dependent non-seulement de la sous-structure maisegalement des efforts dus aucouplage, donc des autres sous-structures. Elles ne peuvent doncetre utilisees pour caracteriserla sous-structure de maniere intrinseque mais representent sonetat lors d’un couplage defini.L’int eret des vitesses decouplees est tres grand des lors que la source est constituee d’effortsinternes multiples, difficilement localisables, tournants et/ou dont les amplitudes et les phasessont difficilesa obtenir par mesure et par calcul.Dans ce cas la, les causes de l’etat vibratoire (les efforts) ne sont pas quantifiables, mais leurseffets (les vitesses decouplees) aux point de liaison le sont.Il est ainsi possible de caracteriser une sous-structure de type ”source” de maniere intrinsequeen utilisant ses vitesses decouplees.

Reprenons le cas de la sous-structure source precedente, mais cette fois, sans connaıtre laposition du point d’application de l’effort interne :

20

1

3

Effort Interne

?

Lesequations deviennent :

V1

V?

V3

=

M11 M1? M13

M?1 M?? M?3

M31 M3? M33

×

0

F?

0

(2.12)

Ainsi, il est impossible de caracteriser l’etat vibratoire decouple de la sous-structure source,meme en connaissant l’effort interne en niveau et en phase, puisqu’il manque une partie dela matrice de mobilite. Il est alors impossible d’etudier cette sous-structure couplee et parconsequent la structure complete.La seule solution est d’utiliser les vitesses decouplees en ne tenant plus compte ni de l’effortinterne ni de son point d’application.Les caracteristiques intrinseques de la sous-structure source sont alors :

{V1

V3

}et

[M11 M13

M31 M33

]

Et en couplant cette sous-structure :

{V1

V3

}=

{V1

V3

}+

[M11 M13

M31 M33

]×

{F1

F3

}(2.13)

Cetteequation corresponda 2.11. Il est ainsi montre que l’etude du systeme couple devientpossible. Ainsi, une sous-structure source est entierement caracterisee par la connaissance duvecteur des vitesses decouplees et de sa matrice des mobilites pour les points de couplage.

2.5.3 Assemblage simple d’une sous-structure recepteur et d’une sous-structure source

Representation synoptique d’un assemblage :

III

Effort interne

SOURCE RÉCEPTEUR

2 4

31

21

Prenons l’exemple d’une sous-structure recepteur et d’une sous-structure source couplees pardeux liaisons en parallele.Ecrivons lesequations de la methode des mobilites aux points de liaison pour chacune des sous-structures :

{V1

V2

}=

{V1

V2

}+

[S11 S12

S21 S22

]×

{F1

F2

}(2.14)

{V3

V4

}=

[R33 R34

R43 R44

]×

{F3

F4

}(2.15)

ou [S] et [R] sont les matrices des mobilites de la source et du recepteur respectivement.Si nous appliquons les hypotheses de la methode des mobilites aux points de liaison (cf.2.2),nous obtenons lesequations suivantes :

{V1

V2

}=

{V1

V2

}+

[S11 S12

S21 S22

]×

{F1

F2

}(2.16)

{V1

V2

}=

[R33 R34

R43 R44

]×

{ −F1

−F2

}(2.17)

En combinant ces deuxequations, il vient alors :

{V1

V2

}=

{V1

V2

}+

[S11 S12

S21 S22

]×

{F1

F2

}= −

[R33 R34

R43 R44

]×

{F1

F2

}(2.18)

et

{V1

V2

}= −

[S11 + R33 S12 + R34

S21 + R43 S22 + R44

]×

{F1

F2

}(2.19)

{V1

V2

}=

[S11 + R33 S12 + R34

S21 + R43 S22 + R44

]×

[R33 R34

R43 R44

]−1

×{

V1

V2

}(2.20)

{V1

V2

}=

[L11 L12

L21 L22

]×

{V1

V2

}(2.21)

Ainsi, modifier les caracteristiques de la sous-structure recepteur[R], aura pour consequencede faire varier la matrice[L], les efforts de couplage{F} et les vitesses couplees{V }. Lescaracteristiques de la sous-structure source sont, elles, conservees. La relation2.21reste valable ;nous pouvons alorsecrire :

{V1

V2

}=

[L′11 L′12

L′21 L′22

]×

{V ′

1

V ′2

}(2.22)

Les efforts de couplage modifies seraient alors obtenus par la relation suivante :

{F ′

1

F ′2

}= −

[R′

11 R′12

R′21 R′

22

]−1

×{

V ′1

V ′2

}(2.23)

22

2.5.4 Le cas de plusieurs sources decorrelees

Representation synoptique de la sous-structure source :

1?

?

Effort Interne 1

Effort Interne 2

2

Considerons le cas ou deux processus (efforts internes 1 et 2) partiellement ou totale-ment decorreles et non localises composent notre sous-structure source. Ces donnees non-deterministes, mais qui restent stationnaires, entrainent la necessite d’effectuer un moyennagetemporel des vitesses obtenues aux differents points de couplage. Celui-ci est realise lors de l’ac-quisition des fonctions fonctions d’autocorrelation et d’intercorrelation. Puisque nous travaillonsdans le domaine frequentiel, nous utilisons la Transformee de Fourrier de ces fonctions qui de-viennent alors les autospectres et interspectres des signaux aux points de couplage.Nous devons donc calculer la matrice interspectrale des vitesses decouplees. Celle-ci est donneepar la relation suivante : {

V1

V2

}.

{V1

V2

}H

(2.24)

Ou H est l’operateur Hermitien defini commeetant la transposee conjuguee de la variablealaquelle il s’applique :[V ]H = [V ]T∗.

La matrice interspectrale des vitesses decouplees s’exprime alors par :

[V V H ] =

[V1.V1

∗V1.V2

∗

V2.V1

∗V2.V2

∗

](2.25)

Ainsi, dans le cas de processus statisquement decorreles, l’equation2.21devient :{

V1

V2

}.

{V1

V2

}H

=

[L11 L12

L21 L22

]{V1

V2

}.

{V1

V2

}H

.

[L11 L12

L21 L22

]H

(2.26)

Nous montrons donc que la matrice insterspectrale des vitesses decouplees est reliee a lamatrice interspectrale des vitesses couplees par la matrice[L] :

[V V H ] = [L].[V V H ].[L]H (2.27)

Avec la matriceL = [[S] + [R]].[R]−1.

Nous avons montre que dans le cas d’une sous-structure source composee de multiples pro-cessus partiellement ou completement decorelles, le formalisme se prolonge en calculant desmatrices interspectrales et en mesurant la matrice interspectrale des vitesses en fonctionnement.Ces donnees sont indispensables car elles integrent, par definition, la notion de moyennage tem-porel.

23

2.5.5 Le Probleme reduit aux efforts et vitesses de translation

Nous l’avons vu, la matrice de mobilite complete en un point est une matrice6× 6 telle quecelle decrite dans l’equation2.5. En ne tenant compte que des contributions dues aux efforts, soiten negligeant les moments :

[M ] =

MV 1F 1 MV 1F 2 MV 1F 3

MV 2F 1 MV 2F 2 MV 2F 3

MV 3F 1 MV 3F 2 MV 3F 3

Mθ1F 1 Mθ1F 2 Mθ1F 3



(2.28)

Le probleme ainsi defini fait intervenir une matrice de mobilite rectangulaire. Si les mo-ments sont nuls mathematiquement parlant alors desequations sont redondantes. Il est pratiquede ne retenir que celles portant sur les vitesses de translation, mesurablesa partir de capteursd’acceleration de translation couramment utilises.Les capteurs d’acceleration angulaire sont quanta eux d’un usage moins courant. Le problemeest alors consistant si l’on ne retient que la matrice de mobilite suivante reliant seulement vitesseset efforts :

[M ] =

MV 1F 1 MV 1F 2 MV 1F 3

MV 2F 1 MV 2F 2 MV 2F 3

MV 3F 1 MV 3F 2 MV 3F 3

(2.29)

2.6 Conclusion

On vient de montrer le formalisme matriciel induit par les techniques de sous-structurationdans un probleme de vibrations.On a defini la notion de structure receptrice et de structure source. La source est caracterisee parun etat vibratoire non nul lorsqu’elle est decouplee de son environnement.Une ”signature” intrinsequea la source est obtenue gracea la notion de vecteur de vitessesdecouplees, effet des efforts internes, qui la plupart du temps pour les sources reelles, restent in-connus en amplitude et phase, en position et nombre, mais dont les effets sont bien determines parcette signature intrinseque. Pour que cette definition de la source reste valable, il faut neanmoinsque cette derniere demeure en moyenne stationnaire, ce qui revienta supposer l’existence d’unvecteur des vitesses decoupleeset d’une matrice des mobilites de Source en moyenne station-naires. Si tel n’est pas le cas (systeme dont le comportement temporel serait trop variable) ceformalisme tombe.

24

Chapitre 3

Exemple de caracterisation des vitessesdecouplees d’une source complexe

3.1 Introduction

Nous avons introduit la notion de vitesse decouplee dans le chapitre precedent.Ces vitesses representent une caracteristique intrinseque des sous-structures de type« source».C’est-a-dire que quelque soient les couplages avec ces sous-structures, ces vitesses decoupleesrestent les memes. Ce chapitre presente leur estimation dans le cas concret d’un lave-linge.Cet ensemble mecanique se compose de plusieurs sous-structures. La premiere composee d’unassemblage de toles et de poutres metalliques : le chassis. C’est une sous-structure de typerecepteur qui n’a donc aucun mouvement vibratoire en l’etat. Il supporte la seconde sous- struc-ture : la cuve. Celle-ci comprend le tambour, les masses d’equilibrage et le moteurelectrique.C’est donc une sous-structure de type source. Malgre sa simplicite apparente, cette source estrelativement complexe : le moteurelectrique transmet le mouvement de rotationa la cuve parl’intermediaire d’une courroie trapezoıdale. La cuve estequipee d’une masse representant le ba-lourd genere par le linge. La principale source de vibration est ainsi duea un effort tournant. Ceteffort interne n’est pas utilisable directement, car ses chemins de transferts ne sont pas tous loca-lises precisement. Ainsi, les vitesses decouplees sont le seul moyen de caracteriser cette source.Les points de couplage nous interessent plus particulierement car c’est par eux que l’energie vi-bratoire se transmet au chassis.Notre sous-structure source compte cinq zones de couplage avec la sous-structure recepteur.La premiere est la manchette en caoutchouc reliant la cuvea la face avant du lave-linge. Cetelement assure l’etancheite du systeme mais il peutegalement limiter le deplacement de la cuve.Il est donc une source de non-linearite de mouvement probable, incompatible avec les conditionsd’application de la methode des mobilites. Les deuxieme et troisieme points de liaison de lacuve sont connectesa des ressortsa boudin classiques. Ceux-ci sont fixes sur le chassis qui sup-porte ainsi le poids et les efforts generes par la source. Ces ressorts sontelastiques et respectentparfaitement l’hypothese de linearite.

25

FIG. 3.1 –Ressortselastiques reliant la cuve au chassis

Les deux derniers points sont liesa des amortisseurs. Ceux-ci serventa reduire le debattementde la cuve lorsqu’elle est en rotation. Ils sont fixes sur la partie inferieure du chassis etrepresentent un chemin de transfert d’energie. Cependant, enetudiant ceselements, ils s’avereque l’amortissement est realise par des frottements secs, source potentielle de non-linearite.Ainsi, apres suppression deselements non-conformesa l’application de la methode des mobi-lit es, notre structure se compose d’un chassis et d’une cuve relies entre eux par deux ressortselastiques, soit au total quatre sous-structures dont une seule source.

3.2 Equations specifiques du probleme dans le cas d’une liai-sonelastique pure

3.2.1 Equations generales

Representons schematiquement la sous-structure simplifiee :

Notons[S] la matrice de mobilite de la cuve,[R] celle du chassis et[RD] et [RG] les matricesde mobilites des ressorts de droite et de gauche respectivement.Du point de vue de la methode des mobilites, cette assemblage est represente par le schemasynoptique suivant :

26

Cuve

Ressort Gauche

Chassis

Ressort Droit

Cet assemblage conduit auxequations :– Pour la cuve :

{V1

V2

}=

{V1

V2

}+

[S11 S12

S21 S22

]×

{F1

F2

}(3.1)

– Pour le ressort gauche :

{V1

V3

}=

[RG11 RG13

RG31 RG33

]×

{ −F1

−F3

}(3.2)

– Pour le ressort droit :

{V2

V4

}=

[RD22 RD24

RD42 RD44

]×

{ −F2

−F4

}(3.3)

– Pour le chassis :

{V3

V4

}=

[R33 R34

R43 R44

]×

{F3

F4

}(3.4)

Pour determiner les vitesses decoupleesVi de la source, il est necessaire de connaıtre lesmatrices de mobilite de l’ensemble des sous-structures.Cela est malheureusement impossible pour les matrices de mobilite des ressorts[RG] et [RD].En effet, la mesure des mobilites s’effectue sur des systemes totalement decouples. Or, si nousconsiderons les ressorts comme purs (sans masse), alors il est impossible d’appliquer un effortsur une des extremites du ressort en condition libre-libre.Un ressort transmet les efforts ; c’est-a-dire que les efforts sontegaux de part et d’autre duressort. Il est donc impossible d’appliquer un efforta une extremite du ressort en laissant l’autreextremite libre. En conclusion, la mobilite d’une sous-structure purementelastique n’est pasphysiquement mesurable.

Ne pas pouvoir prendre en compte les structures purementelastiques dans un assemblageest une limitation forte de la methode des mobilites. Pour palier ce probleme, nous remplaconsles sous-structures purementelastiques par ce que nous nommons une ”liaisonelastique”. Unetelle liaison n’existe pas dans la methode des mobilites puisque pour deux points lies, leurs vi-tesses sontegales et leurs effortsegaux et opposes. Cela n’est pas le cas d’une ”liaisonelastique”.

27

Etudions ce type de liaison.Le schema suivant montre l’equivalence entre une sous-structure purementelastique et une ”liai-sonelastique” dans un assemblage simple :

Cuve

Chassis

Ressort pur

Cuve

Chassis

2 2

1 1

Une structureelastique pure transmet integralement et sans retard les efforts. Ainsi, les effortsF1 et F2 sont egaux et opposes. Pour l’instant, les conditions d’application de la methode desmobilites sont respectees. Il est maintenant necessaire de determiner la relation entre les vitessesaux extremites de la structureelastique.NotonsK la raideur du ressort. Nous pouvons alorsecrire :

F2 = K(X1 −X2) (3.5)

ou X1 etX2 sont les deplacements des points 1 et 2 exprimes dans le meme repere.Dans le cas d’un structure lineaire, il vient :Xi = Vi

j$ou $ est la pulsationetudiee.

Ainsi :

F2 =K

j$(V1 − V2) (3.6)

La relation liantV1 a V2 dans le cas d’une structureelastique pure correspond au ”saut devitesse” suivant :

V1 − V2 =j$

KF2 = −j$

KF1 (3.7)

Nous pouvons alors exprimer le systemeequivalent avec la liaisonelastique :

V1 = V1 + S1 × F1

V2 = R2 × (F2)

F1 = −F2 (3.8)

V2 = V1 − j$

KF2 (3.9)

Ou S1 etR2 sont respectivement les mobilites de la source et du recepteur au point de liaison.

Lesequations precedentes sont suffisantes pour traiter le cas des liaisons purementelastiquesdans la methode.

On note que siK tend vers l’infini alorsV2 devientegaleaV1, ce qui correspond au cas de laliaison ponctuelle en l’absence de ressort.

Par consequent, il est maintenant possible d’inclure des sous-structures purementelastiquesdans la methode des mobilites. Il suffit pour cela de simplement mesurer leurs raideurs et de les

28

remplacer par une liaison ”elastique” telle que definie precedemment.

Revenons au cas particulier du lave-linge.Le schemaequivalent de cette structure devient :

Ecrivons lesequations de la methode des mobilites aux points de liaison :

{V1

V2

}=

{V1

V2

}+

[S11 S12

S21 S22

]×

{F1

F2

}(3.10)

{V3

V4

}=

[R33 R34

R43 R44

]×

{F3

F4

}(3.11)

Les liaisons entre (1,3) et (2,4) sont definies commeelastiques pures. Nous faisons l’hy-pothese que ces deux liaisons ont une raideur identique notee K, les deux ressorts les composantayant les meme caracteristiques physiques. Les relations entre les differents points de couplagesont donc les suivantes :

{F1

F2

}= −

{F3

F4

}(3.12)

{V3

V4

}=

{V1 − j$

KF3

V2 − j$K

F4

}=

{V1

V2

}+

j$

K

{F1

F2

}(3.13)

En substituant dans3.11, il vient :{

V1

V2

}+

j$

K

{F1

F2

}= −

[R33 R34

R43 R44

]×

{F1

F2

}(3.14)

{F1

F2

}= −

([R33 R34

R43 R44

]+

j$

K×

[1 0

0 1

])−1

×{

V1

V2

}(3.15)

En utilisant3.10, nous pouvons alors exprimer les vitesses decoupleesVi en fonction desvitesses en fonctionnement coupleesVi.

{V1

V2

}=

{V1

V2

}+

[S11 S12

S21 S22

].

([R33 R34

R43 R44

]+

j$

K.

[1 0

0 1

])−1

.

{V1

V2

}(3.16)

Ainsi, pour obtenir une signature intrinseque de la sous-structure source (le tambour), nousavons besoin de la matrice de transfert des points de couplage de cette source et de celle de la

29

sous-structure recepteur (le chassis). De plus, comme les liaisons entre ces deux sous-structuressont elastiques, il estegalement necessaire de connaıtre leur raideur. Toutes ces donnees sontindependantes les unes des autres et sont constantes quelque soient les sollicitations dues aucouplage eta la source.Il est ensuite possible de caracteriser les vitesses decoupleesV au point de couplage du tamboursimplement par la mesure des vitesses coupleesa ces memes points. Cela signifie que pourtoute vitesse de rotation et pour tout niveau de sollicitation du au balourd, nous sommes capabled’obtenir le comportement vibratoire du tambour decouple.

Cette formulation necessite cependant une inversion de la matrice des mobilites du chassis.Generalement, cette matrice est obtenue par mesure. En cas de mauvais conditionnement, son in-version va induire des problemes, source d’erreur dans la determination des vitesses decouplees.Une formulation mieux adaptee aux methode hybrides, telle que la methode des mobilites, doitetre determinee afin de limiter au maximum l’amplification des erreurs de mesure, dont l’inver-sion est un exemple.Reprenons lesequations3.1, 3.4et3.6:

{Vs} ={

Vs

}+ [S]× {Fs} (3.17)

{Vr} = [R]× {Fr} (3.18)

{Fs} =K

j$({Vr} − {Vs}) (3.19)

{Fs} = −{Fr} (3.20)

En les combinant, nous obtenons :

{ {Vs

}

{0}

}=

[[I] + K

j$[S] − K

j$[S]

− Kj$

[R] [I] + Kj$

[R]

]×

{ {Vs}{Vr}

}(3.21)

Ou [I] est la matrice identite.

Les vitesses decouplees s’obtiennent alors par la relation suivante :

{Vs

}= {Vs}+

K

j$[S] {Vs} − K

j$[S] {Vr} (3.22)

Soit en detaillant cette relation :{

V1

V2

}=

{V1

V2

}+

K

j$[S]

{V1 − V3

V2 − V4

}(3.23)

Cette fois, la mesure des vitesses en fonctionnement du chassis est necessaire. Cependant,nous pouvons nous affranchir de la mesure de la matrice des mobilites du chassis et surtout,aucune inversion n’est requise pour l’obtention des vitesses decouplees.

30

Nous devonsa ce stade de la presentation desequations prendre en consideration l’orienta-tion des ressorts de liaison dans le repere global.

– Etudions le cas ou l’allongement du ressort ne s’exprime pas dans le repere global demesure :

x

x

y

yX

X

Puisque, par definition, la raideur transversale du ressort est nulle, l’effort genere par le ressorts’exerce suivant l’axe X.Ecrivons-le :

F = K × (X1 −X2) (3.24)

ou Xi represente l’allongement du ressort suivant X au point i et K la raideur longitudinale duressort.Projetons cet effort dans le repere global (x,y) :

Fx = F.cos(α) = K.(X1 −X2).cos(α)

Fy = F.sin(α) = K.(X1 −X2).sin(α) (3.25)

Ou α est l’angle defini par(︷︸︸︷x,X).

De meme, exprimons lesXi dans ce repere global :

xi = Xi.cos(α)

yi = Xi.sin(α) (3.26)

En remplacant dans3.25 nous obtenons finalement l’effortelastique exprime a partir desvitesses mesureesV1x, V2x, V1y etV2y :

Fx =K

jω.(V1x − V2x)

Fy =K

jω.(V1y − V2y) (3.27)

Expression ou les cosinus directeurs n’apparaissent plus explicitement puisque les capteursd’acceleration les prennent en compte directement.

Finalement, les vitesses decouplees dans ce cas particulier s’expriment dans le plan(Y.Z)

par le systeme suivant :

V Y1

V Z1

V Y2

V Z2

=

V Y1

V Z1

V Y2

V Z2

+K

j$

S11Y Y S11

Y Z S12Y Y S12

Y Z

S11ZY S11

ZZ S12ZY S12

ZZ

S21Y Y S21

Y Z S22Y Y S22

Y Z

S21ZY S21

ZZ S22ZY S22

ZZ

V Y1 − V Y

3

V Z1 − V Z

3

V Y2 − V Y

4

V Z2 − V Z

4

(3.28)

31

3.3 Experimentation - Resultats

3.3.1 Introduction

Nous allons calculer les vitesses vibratoires decouplees aux points de liaison de la cuvedesequilibree par un balourd lors d’un cycle d’essorage soit une vitesse de rotation de 540tours/min. On doit remarquer que la mesure directe de ces vitesses est impossible puisqu’il fau-drait suspendre la cuve en conditions aux limites Libre-Libre (soit une frequence de suspensioninferieurea 0.9Hz pour une masse superieurea 50 kg) et la faire fonctionner avec son balourdason regime maximum : les debattements obtenus seraientenormes.Il serait egalement possible de calculer les vitesses decoupleesa partir de la connaissance de lamasse et du rayon du balourd ajoute maisa la condition de connaıtre les chemins de transfertjusqu’aux points d’accroches des ressorts.Nous preferons donc le calcul des vitesses vibratoires decoupleesa partir des mesures desvitesses en fonctionnement (couplees) et des mobilites de la source comme l’indique la formu-lation3.28.

Dans la mesure ou les vitesses decouplees sont intrinsequesa la source, toute modificationsur le recepteur n’a aucune influence sur ces vitesses decouplees. Ainsi, en modifiant le recepteur(donc ses mobilites) on pourra tester la methode presentee, les vitesses decouplees calculeessuivant les deux configurations devantetre identiques. Deux chassis recepteurs seront considerespar la suite.

3.3.2 Description experimentale

Le systemeetudie peutetre schematise de la facon suivante :

Des capteurs tri-axes orientes selon les axes principaux X Y et Z sont places aux pointsd’accroches hauts et bas des deux liaisonselastiques. Des mesures sontegalement effectueessuivant les trois directions sur le recepteur et la source.

La direction X est acquise mais ne sera pasetudiee. Les efforts et les vitesses vibratoires nesont pas significatives dans cette direction. En effet, l’effort principal du au balourd s’exercepresque exclusivement dans le plan YZ.

Ainsi le schema synoptiqueequivalent du systemeetudie est :

32

FIG. 3.2 –Positionnement des capteurs tri-axes

Cuve

Chassis

1 2

3 4Liaisons élastiques

Les vitesses decouplees dependent uniquement de la sous-structure source. Autrement dit,qu’elle que soit la sous-structure receptrice, ces vitesses decouplees demeurent constantes.Pour en faire la demonstration, nous avons modifie la sous-structure receptrice (le chassis).Pour cela, nous avons ajoute une masse importante sur un angle du chassis afin de modifiersensiblement ses mobilites.

FIG. 3.3 –Modification du chassis recepteur

Cette masse importante aete ajoutee a l’angle du panneau arriere et du cote droit dulave-linge comme illustre sur les photos ci-dessus.

Les differences entre les mobilites du Chassis initial et du Chassis modifie sont representeesdans les graphiques suivants :

33

FIG. 3.4 –Mobilit e du chassis au point droit suivant l’axe vertical

FIG. 3.5 –Mobilit e du chassis au point droit suivant l’axe horizontal

34

FIG. 3.6 –Mobilit e du chassis au point gauche suivant l’axe vertical

FIG. 3.7 –Mobilit e du chassis au point gauche suivant l’axe horizontal

35

Ces differentes courbes montrent bien l’effet de la masse sur les mobilites :

– L’effet observe est plus important dans la direction 2 (verticale), soit dans la directiond’application de l’effort : courbe3.4par rapporta la courbe3.5,

– L’effet observe est plus significatif au niveau des points proches de la masse (ici RHD) :courbes3.4et3.5par rapports aux courbes3.6et3.7.

Les mesures des vitesses couplees ontete realisees sur deux gammes de frequence pour lesdeux sous-structures receptrices.La premiere, allant de 0a 63 Hz comporte la fondamentale ainsi que quelques harmoniques.Celles-ci sont de faible niveau vibratoire par rapporta la fondamentale. Leur mesure est ”ecrasee ” par le gain impose au capteur par la fondamentale.La seconde mesure, qui va de 12a 76 Hz ne contient pas la fondamentale (a 9Hz). Il est ainsipossible lors de la mesure d’augmenter le gain des capteurs et d’ameliorer par cet artifice lasensibilite de la mesure vis-a-vis des premieres harmoniques.De plus, la frequence de la fondamentale variant sensiblement autour des 9Hz, l’energie n’estpas concentree sur cette seule raie. Pour cette raison, les niveaux de la fondamentale et de sesharmoniques presentes ci-apres sont integres sur une bande de frequence de 5Hz. Cependant,l’ensemble des calculs est realise en bande fine pour preserver l’homogeneite des mesures desmatrices de mobilite et des vitesses couplees.Pour eviter les problemes de repetabilite dus au demontage/remontage, les vitesses en fonc-tionnement du chassis initial et du chassis modifie sont mesurees avant le decouplage des deuxsous-structures.Ce decouplage est necessaire pour l’acquisition de la matrice des mobilites de la cuve. Celle-cidoit s’effectuer avec des conditions aux limites Libre-Libre. Pour respecter ces conditions, lacuve aete suspenduea une frequence dix fois plus petite que la frequence d’excitation, soit unefrequence de suspension inferieurea 1Hz.

FIG. 3.8 –Mesure des mobilites de la Cuve en condition aux limites Libre-Libre

36

Le balourd, maintenu par pressiona l’interieur de la cuve, est conserve pour la mesure de lamatrice des mobilites afin de rester dans la meme configuration experimentale.

La raideur des ressorts est obtenue par une mesure d’allongement sous charge statique. Nousfaisons l’hypothese que cette raideur reste constante dans la gamme de frequenceetudiee.

3.3.3 Resultats

Toutes les donnees requises ontete obtenues. Nous resolvons le systeme d’equations (3.28)afin d’obtenir les vitesses decoupleesVi de la cuve.Nous comparons les resultats obtenus selon les deux configurations de test dans les tableauxsuivants ou les points HD, VD, HG et VG sont respectivement les points horizontal droit, verticaldroit, horizontal gauche et vertical gauche :

TAB . 3.1 –Niveaux en dB des vitesses decouplees calculees pour la configuration ”chassis ini-tial”

TAB . 3.2 –Niveaux en dB des vitesses decouplees calculees pour la configuration ”chassis mo-difie”

Les resultats obtenus pour la fondamentale ne seront pas indiques. En effet, les coherencesdes acquisitions des mobilites de la cuve sont tres faibles pour des frequences inferieuresa15Hz.

37

Exemples de mobilites de cuve :

Ceci s’explique par la difficulte a fournir uneenergie suffisante en tres basse frequencemalgres l’utilisation de capteurs sensibles et d’embouts de marteau de choc specifiques. Parcontre, au dela de 15Hz l’energie est suffisante et les mesures peuventetre considerees commecoherentes.Ainsi, meme si l’impact de ces incertitudes aete limite par une formulation adpatee nous avonschoisi de ne pas presenter les reultats obtenus pour la fondamentale.

L’analyse des tableaux precedents montre que l’ensemble des niveaux de vitesses obtenuessont relativements faibles par rapporta la fondamentale sur la plupart des harmoniques. Et parti-culierement la voie Horizontale Gauche (HG) dont le niveau est toujours tres nettement inferieura celui de la voie Horizontale Droite (HD). La machinea laver esta peu pres symetrique dansla repartition de ses masses ainsi que dans le positionnement de ses points de fixation. L’effortapplique par le balourd s’applique de faconequivalente suivant tous les axes du plan vertical(effort tournant). Les niveaux de ces deux points devraient doncetre sensiblement identiques.Apres verification, les coherences de l’ensemble des mesuresa ce point sont correctes. Cetecartde niveau ne peut donc s’expliquer que par un mauvais positionnement de l’accelerometre. Celui-ci est rendu delicat par la geometrie de la zone de contact : le ”crochet” du ressort prenant appuisur une corniere metallique.

38

Cela se traduit par une hyper-sensibilite au positionnement angulaire du capteur duea l’arrondi du ”crochet”. Il est ainsi probable que la voie Horizontale Gauche ne soit pasrepresentative de la realite.

Observons maintenant l’evolution des vitesses decouplees pour les deux configurations de

chassis. Le tableau suivant presente les resultats de :{

V InitialS

}/

{˜V ModifieS

}

TAB . 3.3 –Comparaison des niveaux en dB des vitesses decouplees calulees pour les deux confi-gurations de chassis

L’analyse par comparaison des vitesses decouplees obtenues, dans le domaine frequentielou la qualite de mesure est suffisante, nous permet de montrer que les vitesses decouplees obte-nues avant et apres la modification du chassis sont proches : de 0a 2.5dB sur les harmoniques2,3,5 et 8. Cependant, les autres harmoniques presentent desecarts tres importants (plus de 7 dB).

A ce stade, il reste difficile de conclure quanta l’invariance de ces vitesses decouplees no-tamment si l’on considere le fort decouplage opere par les ressorts de liaison.

39

En effet, reprenons l’equation3.28:

{V

}= {Vs}+

K

jω× [S]× {Vs − Vr} (3.29)

Les vitesses decouplees apparaissent comme la somme de deux termes. Le premier correspondaux vitesses couplees de la source et le seconda un ”saut de vitesses”, caracterise par ladiff erence entre les vitesses couplees de la source et les vitesses couplees du recepteur, ponderepar la raideur de la liaisonelastique et la matrice des mobilites de la source.

Comparons ces deux termes sur la gamme de frequenceetudiee :

18 27 36 45 54 63 72−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10Point Vertical Gauche

Saut de vitesseVitesse Couplee Cuve

FIG. 3.9 –Comparaison des termes constitutifs des Vitesses Decouplees

Cette courbe vient confirmer notre hypothese de decouplage important de la source vis-a-visdu recepteur. En effet, sur l’ensemble du spectre, la contribution du saut de vitesse reste inferieurede 20dB aux vitesses couplees de notre source. Il atteint ainsia peine leurs fonds de spectre. Ceterme de l’equation3.29est donc negligeable.Les vitesses decouplees sont donc sensiblementegales aux vitesses couplees de la source.

40

Etudions les vitesses couplees mesurees de la source :

TAB . 3.4 –Comparaison des niveaux en dB des vitesses couplees mesurees pour les deux confi-gurations de chassis

En comparant ces resultats de mesure aux vitesses decouplees calculees, nous remarquonsque les niveaux et lesecarts obtenus pour les deux configurations de chassis sont quasimentidentiques. Cela prouvea nouveau le role que jouent les ressorts dans cette plage de frequenceen decouplant fortement les vibrations de la source de son chassis. Ainsi, les modifications ap-portees au chassis n’ont que peu d’influence sur les vitesses couplees, et nous sommes dans laconfiguration ou en premiere approximation, les vitesses de source en fonctionnement s’appa-rentent aux vitesses decouplees.

3.3.4 Conclusion

Ce chapitre a montre la faisabilite de l’estimation des vitesses decouplees pour une sourcereelle du contexte industriel. Il apparaıt apres etude que les ressorts de liaison entrainent unfort decouplage, en basse frequence, des vibrations transmises entre la cuve et le chassis. Enconsequence, nous avons montre que pour ce cas d’application, le vecteur des vitesses decoupleess’apparentaita celui des vitesses de source en fonctionnement.Par contre, le lave-linge est un objet inadapte pour montrer l’invariance des vitesses decouplees,car les modifications apportees au recepteur sont filtrees par la faible raideur des ressorts. Ainsi,meme si les mobilites de chassis sont tres differentes, les vitesses couplees demeurent identiques.Et si les vitesses couplees sontegales pour une meme source, il devient impossible de prouverque les vitesses decouplees sont elles aussi invariantes.Inversement, si une modification substantielle du comportement du recepteur n’est pas repercuteesur les vitesses couplees cela signifie que les vitesses decouplees sonta peu pres egales auxvitesses couplees.Par consequent, le seul respect des hypotheses de la methode de mobilites n’est pas suffisant :le casetudie satisfaisait toutes les conditions d’application de cette methode et pourtant nousn’avons pu demontrer l’invariance des vitesses decouplees alors que la formulation theoriquele permet. Des objets apparamment simples, tels les ressortselastiques, peuvent se reveler enfait tres complexes d’un point de vue experimental. Cela souleve une difficulte recurente dans laplupart des methodes de calcul (elements finis par exemple) et de mesures : la problematique dela liaison.

41

Chapitre 4

Probleme inverse pour la caracterisationdu chassis moteur et identification desvitesses decouplees du moteur

4.1 Introduction

De nos jours, le domaine Vibro-Acoustique des moteurs thermiques represente un grand en-jeu pour les industriels. Leur demande est forte pour obtenir des outils pour controler et predirele bruit a l’interieur eta l’exterieur des vehicules. Si nous nous interessons particulierementau bruit interieur, de nombreux chemins de transferts et de nombreuses sources peuventetreconsideres. Heureusement, la contributiona ces bruits est due principalement, dans certainesconditions,a une seule source : le moteur. Les differents chemins de transferts correspondentaux chemins habituels : aeriens et solidiens. Ce dernier represente certainement le chemin le plusdeterministe puisque son parcours est facilement identifiable notamment aux points de couplageentre le chassis et le moteur via les silent-blocs. Ils peuventetre consideres ponctuels en bassefrequence et leur nombre varie generalement entre quatre et cinq. De plus, comme les moteurssont a priori faiblement couplesa leur chassis par des silent-blocs, le systeme source-recepteurest indentifie sans ambiguite avec d’un cote le Groupe Moto-Propulseur (compose du moteur etde la boıte de vitesses) et de l’autre le chassis, incluant les systemes amortissants (silent-blocs).Il est aujourd’hui possible de calculer le comportement vibratoire des differents chassis de faconfiable dans une large gamme frequencielle (typiquement jusqu’a 1000 Hz)a l’aide de la methodedesElements Finis, de plus en plus puissante. L’inconnue reste donc la source. En effet, la com-plexite d’un GMP ne permet pas de determiner avec suffisamment de precision son comporte-ment vibratoire en fonctionnement. De plus la richesse harmonique des motorisation Diesel estparticulierement penalisante pour le confort acoustique puisqu’elle s’etend sur une large gammede frequencea des niveaux importants.C’est la phase de combustion, la seule motrice du cycle quatre temps, qui genere une aug-mentation brutale de la pressiona l’interieure du cylindre et peut s’apparentera un choc cy-clique conduisanta un peigne de Diracs dans le domaine frequentiel. Les moteurs quatres tempsnecessitent deux tours de vilebrequin pour effectuer un cycle de complet. Chaque cycle ne com-portant qu’une seule phase de combustion par cylindre, le premier pic de pression se trouve a une

43

demi fois le regime moteur et est couramment appeleH0.5. Le moteuretudie a une conceptionaquatre cylindres ; cela induit qu’il comporte deux phases de combustion par tour de vilebrequin etle pic de pression visible sur les spectres est nommeH2. La fondamentale correspond au regimemoteur soit la vitesse de rotation du vilebrequin.On montre en figure4.1 un exemple de la richesse harmonique de l’excitation due au cycle decombustion d’un moteur Diesel pour differents regimes de fonctionnement.

FIG. 4.1 –Exemples d’excitationa l’interieur du cylindre #4

Sur le graphique de gauche, la fondamentale se trouvea 30Hz (soit un regime de 1800 ToursPar Minutes) et sur celui de droitea 68Hz environ (soit un regime de 4300 Tours Par Minutes).Les spectres des regimes correspondant sont presentes sous les sonagrammes.Un exemple de vitesse en fonctionnementa differents points de couplage entre le moteur et lessilent-blocs est donne dans les figures suivantes.

FIG. 4.2 – Exemple de vitesses couplees mesureesa differents points de couplage et suivantdiff erentes directions

44

Sur ces deux sonagrammes, l’harmonique 2 (H2) apparaıt tres clairement. Sur le graphiquede gauche, le curseur est placee sur celle-ci pour un regime de 3800 Tours Par Minutes. Lafrequence indiquee pour cette harmonique correspond biena deux fois le regime moteur, soitenviron 127Hz. De plus, bien que les points consideres soient loin de la chambre de combustionle peigne de Diracs reste tres clairement visible jusqu’a 2000Hz.La determination des vitesses decouplees d’un moteur thermique reste donc un enjeu impor-tant pour les constructeurs automobiles soucieux d’ameliorer le confort de leurs vehicules.Par consequent, l’interet l’obtention de la signature intrinseque d’un moteur thermique pourdiff erents regimes et differentes charges permettrait de prevoir les transferts vibratoires par voiesolidienne pour n’importe quel chassis.

4.2 Description du systeme : presentation du moteur au banc

Le systemeetudie est un Groupe Moto-Propulseur thermiqueequipe d’un moteur Turbo Die-sel a rampe commune d’une cylindree de 1,9 Litre produit en serie par la societe Renault sousl’appellation« 1.9DCi».

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500120

140

160

180

200

220

240

Régime (tr/mn)

Cou

ple

à pl

eine

cha

rge

(Nm

)

Couple maximum fourni par le moteur F9Q

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 450010

20

30

40

50

60

70

80

Régime (tr/mn)

Pui

ssan

ce à

ple

ine

char

ge (

kW)

Puissance maximale fournie par le moteur F9Q

FIG. 4.3 –Courbes de couple et de puissance maximale du Groupe Moto-Propulseuretudie

La boıte de vitesses aete videe de ses pignons car le frein permettant de faire travailler le mo-teur en charge n’est pas dimensionne pour supporter les couples generes par le moteur accoupleau reducteur qu’est la boıte de vitesses. Le frein est donc en prise directe avec le vilebrequin.A part cette modification, le moteur est en tout point identiquea un moteur de serie et n’a subiaucune alteration de nature geometrique ou mecanique que ce soit au niveau du bloc ou des sup-ports moteurs. Ceux-ci sont au nombre de trois : le premier cote boıte de vitesses, le second facedistribution et le troisieme face turbo-compresseur pour la biellette de reprise de couple.

45

FIG. 4.4 –Localisation des differents points de couplage

L’ensemble est supporte par un systeme d’arceaux et de fusees rigides. Un decouplagevibratoire est realise par les silent-blocs de serie que nous considererons comme faisant partiedu chassis.

FIG. 4.5 –Vue globale du systeme couple

Pour simplifier le probleme, nous avons decouple le moteur du frein, du fait de la trop grandecomplexite de la caracterisation d’une liaison tournante. Le moteur sera donc caracterise « avide» (sans couple de charge) sur une plage de regime allant de 900a 4500 Tours par minute entrois points de fixation.

46

4.3 Rappel desequations dans le cas ou la source et ler ecepteur sont entierement caracterises

Le systemeetudie est compose de deux sous-structures, l’une de type source (le GroupeMoto-Propulseur) et l’autre de type recepteur (le chassis). Ces deux sous-structures sontcouplees entre elles par trois liaisons. Ces liaisons sont considerees ponctuelles au vue de leursdimensions vis-a-vis de la taille du Groupe Moto-Propulseur.Les moments et les vitesses angulaires de liaison sont negliges.

Nous pouvons alorsecrire :

{V } ={

V s}

+ [S] ∗ {F}{V } = − [R] ∗ {F} (4.1)

Nous allons maintenant detailler l’ecriture de cesequations matricielles pour le systemeetudie : deux sous-structures couplees en trois points suivant trois directions.Ecrivons tout d’abord l’equation pour la sous-structure source en trois points :

V1

V2

V3

=

V1

V2

V3

+

S11 S12 S13

S21 S22 S23

S31 S32 S33

×

F1

F2

F3

(4.2)

L’ equation de la sous-structure recepteur correspondante est :

V1

V2

V3

= −

R11 R12 R13

R21 R22 R23

R31 R32 R33

×

F1

F2

F3

(4.3)

Ecrivons maintenant l’equation complete d’une sous-structure de type source, pour troispoints suivant trois directions x, y et z :

V x1

V y1

V z1

V x2

V y2

V z2

V x3

V y3

V z3

=

V x1

V y1

V z1

V x2

V y2

V z2

V x3

V y3

V z3

+

Sxx11 Sxy

11 Sxz11 Sxx

12 Sxy12 Sxz

12 Sxx13 Sxy

13 Sxz13

Syx11 Syy

11 Syz11 Syx

12 Syy12 Syz

12 Syx13 Syy

13 Syz13

Szx11 Szy

11 Szz11 Szx

12 Szy12 Szz

12 Szx13 Szy

13 Szz13

Sxx21 Sxy

21 Sxz21 Sxx

22 Sxy22 Sxz

22 Sxx23 Sxy

23 Sxz23

Syx21 Syy

21 Syz21 Syx

22 Syy22 Syz

22 Syx23 Syy

23 Syz23

Szx21 Szy

21 Szz21 Szx

22 Szy22 Szz

22 Szx23 Szy

23 Szz23

Sxx31 Sxy

31 Sxz31 Sxx

32 Sxy32 Sxz

32 Sxx33 Sxy

33 Sxz33

Syx31 Syy

31 Syz31 Syx

32 Syy32 Syz

32 Syx33 Syy

33 Syz33

Szx31 Szy

31 Szz31 Szx

32 Szy32 Szz

32 Szx33 Szy

33 Szz33

×

F x1

F y1

F z1

F x2

F y2

F z2

F x3

F y3

F z3

(4.4)

47

L’ equation de la sous-structure recepteur est alors :

V x1

V y1

V z1

V x2

V y2

V z2

V x3

V y3

V z3

= −

Rxx11 Rxy

11 Rxz11 Rxx

12 Rxy12 Rxz

12 Rxx13 Rxy

13 Rxz13

Ryx11 Ryy

11 Ryz11 Ryx

12 Ryy12 Ryz

12 Ryx13 Ryy

13 Ryz13

Rzx11 Rzy

11 Rzz11 Rzx

12 Rzy12 Rzz

12 Rzx13 Rzy

13 Rzz13

Rxx21 Rxy

21 Rxz21 Rxx

22 Rxy22 Rxz

22 Rxx23 Rxy

23 Rxz23

Ryx21 Ryy

21 Ryz21 Ryx

22 Ryy22 Ryz

22 Ryx23 Ryy

23 Ryz23

Rzx21 Rzy

21 Rzz21 Rzx

22 Rzy22 Rzz

22 Rzx23 Rzy

23 Rzz23

Rxx31 Rxy

31 Rxz31 Rxx

32 Rxy32 Rxz

32 Rxx33 Rxy

33 Rxz33

Ryx31 Ryy

31 Ryz31 Ryx

32 Ryy32 Ryz

32 Ryx33 Ryy

33 Ryz33

Rzx31 Rzy

31 Rzz31 Rzx

32 Rzy32 Rzz

32 Rzx33 Rzy

33 Rzz33

×

F x1

F y1

F z1

F x2

F y2

F z2

F x3

F y3

F z3

(4.5)

Gracea cesequations matricielles4.4 et 4.5, il est alors possible de determiner les vitessesdecouplees pour chaque mesure de vitesses couplees et d’obtenir ainsi la signature intrinsequedu moteur pour chaque regime et chargeetudie. Cela necessite cependant de connaıtre, parmesure ou par calcul, les mobilites de la source et du recepteur.Si la mesure de la matrice[S] du moteur ne pose pas de difficultes majeures, il en est tout autre-ment de celle du chassis qui, lorsque le moteur est decouple, conduit en l’absence de sa masseala modification de la raideur des plots caoutchoutiques qui ne sont plus compresses par le moteur.

Il nous faut donc caracteriser les mobilites du chassis, compose des arceaux et des plotselastomeres, le moteur en place.

4.4 Identification du chassis par une technique de« sourcefictive »

4.4.1 Methodologie

Reprenons le systeme d’equation4.1

Nous recherchons les mobilites de liaison du recepteur.Les efforts de couplages sont donc obtenusa l’aide de l’equation de la source, en inversant samatrice des mobilites.

{F} = [S]−1 ×{

V − V}

(4.6)

La matrice des mobilites est independante des efforts de couplage puisqu’elle est intrisequea la sous-structureetudiee.Ainsi, il ne reste plus qu’a inverser la matrice des efforts de couplage[F ] pour trouver la matricedes mobilites de liaison du recepteur.

[R] = − [V ]× [F ]−1 (4.7)

Considerons deux sous-structures liees par n points suivant p directions.

48

D’apres le cas que nous avons detaille, nous pouvonsecrire que les vecteurs de vitessescouplees et decouplees ainsi que le vecteurs des effort de couplage sont de dimension :

np x 1

Nous pouvonsegalementecrire que les matrices des mobilites de liaison sont de taille :

np x np

Ainsi, l’ equation matricielle est composee de np lignes et la matrice des mobilites contientnp × np = n2p2 termes inconnus. Il est donc necessaire d’avoirn2p2/np = np systemesd’equations lineairements independants.

Dans le cas du Groupe Moto-Propulseur, n et p sontegala 3 ; cela donne une taille vecteurde 9 et des matrices carrees de taille 9.Nous sommes en presence d’un systeme de 81 inconnues ayant 9equations.Il est donc necessaire d’avoir 81 / 9 = 9 systemes d’equations independants pour pouvoirdeterminer l’ensemble de nos inconnues.

Ainsi, pour le calcul de la matrice de mobilites du recepteur, nous obtenons le systeme ma-triciel suivant :

Rxx11 Rxy

11 Rxz11 Rxx

12 Rxy12 Rxz

12 Rxx13 Rxy

13 Rxz13

Ryx11 Ryy

11 Ryz11 Ryx

12 Ryy12 Ryz

12 Ryx13 Ryy

13 Ryz13

Rzx11 Rzy

11 Rzz11 Rzx

12 Rzy12 Rzz

12 Rzx13 Rzy

13 Rzz13

Rxx21 Rxy

21 Rxz21 Rxx

22 Rxy22 Rxz

22 Rxx23 Rxy

23 Rxz23

Ryx21 Ryy

21 Ryz21 Ryx

22 Ryy22 Ryz

22 Ryx23 Ryy

23 Ryz23

Rzx21 Rzy

21 Rzz21 Rzx

22 Rzy22 Rzz

22 Rzx23 Rzy

23 Rzz23

Rxx31 Rxy

31 Rxz31 Rxx

32 Rxy32 Rxz

32 Rxx33 Rxy

33 Rxz33

Ryx31 Ryy

31 Ryz31 Ryx

32 Ryy32 Ryz

32 Ryx33 Ryy

33 Ryz33

Rzx31 Rzy

31 Rzz31 Rzx

32 Rzy32 Rzz

32 Rzx33 Rzy

33 Rzz33

=

−

V x1 V x

1 V x1 V x

1 V x1 V x

1 V x1 V x

1 V x1

V y1 V y

1 V y1 V y

1 V y1 V y

1 V y1 V y

1 V y1

V z1 V z

1 V z1 V z

1 V z1 V z

1 V z1 V z

1 V z1

V x2 V x

2 V x2 V x

2 V x2 V x

2 V x2 V x

2 V x2

V y2 V y

2 V y2 V y

2 V y2 V y

2 V y2 V y

2 V y2

V z2 V z

2 V z2 V z

2 V z2 V z

2 V z2 V z

2 V z2

V x3 V x

3 V x3 V x

3 V x3 V x

3 V x3 V x

3 V x3

V y3 V y

3 V y3 V y

3 V y3 V y

3 V y3 V y

3 V y3

V z3 V z

3 V z3 V z

3 V z3 V z

3 V z3 V z

3 V z3

I II III IV V V I V II V III IX

×

49

F x1 F x

1 F x1 F x

1 F x1 F x

1 F x1 F x

1 F x1

F y1 F y

1 F y1 F y

1 F y1 F y

1 F y1 F y

1 F y1

F z1 F z

1 F z1 F z

1 F z1 F z

1 F z1 F z

1 F z1

F x2 F x

2 F x2 F x

2 F x2 F x

2 F x2 F x

2 F x2

F y2 F y

2 F y2 F y

2 F y2 F y

2 F y2 F y

2 F y2

F z2 F z

2 F z2 F z

2 F z2 F z

2 F z2 F z

2 F z2

F x3 F x

3 F x3 F x

3 F x3 F x

3 F x3 F x

3 F x3

F y3 F y

3 F y3 F y

3 F y3 F y

3 F y3 F y

3 F y3

F z3 F z

3 F z3 F z

3 F z3 F z

3 F z3 F z

3 F z3

I II III IV V V I V II V III IX

−1

(4.8)

Les donnees necessairesa la determination de la matrice des mobilites du recepteur (chassis)sont dans ce cas la matrice des mobilites de la source (Groupe Moto-Propulseur) ainsi que neufvecteurs de vitesses couplees et decouplees aux trois points et lineairement independants pour lecalcul des efforts de couplage.Or, les vitesses decouplees du Groupe Moto-Propulseur ne sont pas connues. Il nous faut alorsutiliser un systeme de source fictive qui nous permettrait de caracteriser le recepteur.En effet, la matrice des mobilites du recepteur est totalement independante de la source et dansnotre cas, seul l’ecrasement statique des supports moteurs est important. Ainsi, meme si leGroupe Moto-Propulseur esta l’arret, a partir du moment ou il est couple au chassis les silents-blocs de ce dernier auront un comportement identique quelque soit la source dynamique ap-pliquee. Le seul imperatif est que cette source soit connue et maıtrisee. Il faut en effet pouvoirreproduire la meme source d’excitation lorsque le moteur est couple, pour obtenir les vitessescouplees, et lorsque le moteur est decouplee, pour obtenir les vitesses decouplees.Rappelons l’equation d’origine des vitesses decouplees d’une sous-structure source :

{V

}= [S]×

{F

}(4.9)

Les vitesses decouplees sont donc une consequence des efforts internesa la source. En controlant« l’effort interne fictif » applique au moteura l’arret, il devient alors possible de maıtriser etdonc de reproduire cet effort dans n’importe quelle situation et ainsi obtenir les vitesses coupleescorrespondant exactement aux vitesses decouplees de la source.Maintenant que les bases theoriques ontete posees, la realisation pratique doitetre effectuee.

50

4.4.2 Les vitesses fictives couplees

Afin de controler « l’effort interne fictif » applique a la source, nous utiliserons un capteurd’effort qui nous permettra de normer les vitesses mesurees. La source fictive sera ainsi composeed’un pot vibrantequipe d’un capteur d’effort. Elle sera placeea differentes positions du GroupeMoto-Propulseur et suivant les trois axes principaux de ce dernier pour obtenir les neuf mesureslineairement independantes necessaires au calcul de la matrice de mobilite du chassis recepteur.

FIG. 4.6 –Excitation du Groupe Moto-Propulseur par la« source fictive»

La position des differents points d’excitation aete choisie afin de favoriser toura tour les troispoints de liaison et les trois directionsetudiees. Ces points d’application de« l’effort interne fictif» seront bienevidemment les memes lors de l’acquisistion des vitesses decouplees.

FIG. 4.7 –Exemples de localisation de points d’excitation du Groupe Moto-Propulseur par la«source fictive»

La gamme de frequencesetudiee va de 50Hza 2000Hz. La nature de l’excitation realiseeal’aide du pot vibrant varie tout au long de cette gamme. En basse frequence, un sinus glisse est

51

utilise pour fournir uneenergie suffisante pour mouvoir le Groupe Moto-Propulseur couple auchassis. Puis, sur le reste de la gamme, des bruits blancs sont utilises afin de solliciter l’ensembledes frequencesetudiees restantes.

FIG. 4.8 –Localisation des differents points de couplage

L’ensemble des mesures couplees fictives est alors effectuee. Il reste maintenanta faire lesdiff erentes mesures decouplees.

4.4.3 Les mobilites du Groupe Moto-Propulseur

Les conditions d’application de la methode des mobilites imposent que le calcul ou la mesuredes mobilites des differentes sous-structures soient realisees en conditions aux limites Libre-Libre. Afin de satisfaire cette condition, le Groupe Moto-Propulseur aete suspendua l’aide d’unpalan par des ressortselastiques.

FIG. 4.9 –Suspension du Groupe Moto-Propulseur en condition aux limites Libre-Libre

La frequence de suspension du moteur ainsi obtenue est inferieurea 5Hz soit dix fois moinsque la frequence la plus basseetudiee. Les conditions aux limites Libre-Libre sont alors res-pectees pour l’ensemble de la gamme de frequence.

52

FIG. 4.10 –Decouplage du Groupe Moto-Propulseur

Les mobilites sont mesureesa l’aide d’un marteau de chocequipe d’un capteur d’effort etde capteurs accelerometriques tri-axes places a l’interface des differents points de liaison. Lamasse ajoutee par ces capteurs est negligeable. Par consequent les mesures ne necessitent aucunecorrection et peuventetre exploitee directement.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequency (Hz)

Mob

ilitie

s ((

m/s

2 )/N

) (d

B)

SMO11xySMO11yx

FIG. 4.11 –Mobilit e directe du Groupe Moto-Propulseur au point de couplage #1

53

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

Frequency (Hz)

Mob

ilitie

s ((

m/s

2 )/N

) (d

B)

SMO13yySMO31yy

FIG. 4.12 –Mobilit e de transfert du Groupe Moto-Propulseur entre les points de couplage #1 et#3

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequency (Hz)

Mob

ilitie

s ((

m/s

2 )/N

) (d

B)

SMO12xzSMO21zx

FIG. 4.13 –Mobilit e de transfert du Groupe Moto-Propulseur entre les points de couplage #1 et#2

La figure (4.11) represente la mobilite directe du premier point de couplage, nomme SMO1pour Support Moteur 1, suivant les axes (x,y). Cette figure montre une bonne correspondancede la reciprocite de la matrice des mobilites obtenue jusqu’a 1400Hz environ. Cette verificationest une condition indispensablea satisfaire pour pouvoir appliquer la methode des mobilites .Eneffet, une matrice de mobilites est par definition symetrique. Si la reciprocite n’etait pas verifiee,cela impliquerait un probleme de mesure ou d’acquisition impliquant le rejet des donnees en-registrees. Son controle est donc un bon moyen de s’assurer que les donnees recueillies sontphysiquement coherentes.Ainsi, la figure (4.12) montre une bonne correspondance entre les mobilites de transfert des

54

points de couplage #1 et #3 suivant l’axe y et cela jusqu’a 1500Hz. Au dela, les valeurs obtenuessont sujettesa cautions.Enfin, la reciprocite entre les points #1 et #2 suivant les axes x et z est demontree par la figure(4.13) pour la meme gamme de frequence.La matrice de mobilite du Groupe Moto-Propulseur obtenue a doncete verifiee jusqu’a 1500Hz.La symetrie de la matrice de mobilite est une condition necessaire mais dans le cas d’un GroupeMoto-Propulseur thermique non-suffisante. En effet, lors du fonctionnement du moteur de nom-breuses pieces internes sont en mouvement : vilebrequin, piston, bielle, arbrea cames etc. Cetensemble de piece est appele attelage mobile. Ainsi, meme si la geometrie externe n’est pasmodifiee, la repartition des masses a change. Il est alors necessaire de verifier que cela n’a pasd’incidence sur la matrice des mobilites du Groupe Moto-Propulseur. Pour cela, une secondeserie de mesure aete effectuee apres avoir modifie la position de l’attelage mobile par une rota-tion du vilebrequin.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

Frequency (Hz)

Mob

ilitie

s ((

m/s

2 )/N

) (d

B)

SMO13zx First positionSMO13zx Second position

FIG. 4.14 –Sensibilite des mobilites en fonction de la position du vilebrequin

Cette figure illustre le peu d’influence de la position du vilebrequin, et par consequent del’attelage mobile, sur la matrice des mobilites du Groupe Moto-Propulseur. Si tel n’avait pasetele cas, cela nous aurait place dans le cas d’une source en moyenne instationnaire rendant notreformalisme inappliquable.Les dernieres donnees a acquerir pour pouvoir calculer la la matrice des mobilites du chassis« insitu» sont les vitesses fictives decouplees.

4.4.4 Les vitesses fictives decouplees

Tout comme les mobilites, les vitesses decouplees doiventetre obtenues en conditions auxlimites Libre-Libre. Le Groupe Moto-Propulseur est suspendu dans les memes conditions quelors de la mesure de ses mobilites. Une force d’excitation est appliquee aux meme points etsuivant les memes directions que lors de l’acquisition des vitesses fictives couplees (cf. section

55

4.4.2). Les vitesses fictives decouplees sontegalement normees par rapporta l’effort afin d’avoirles memes niveaux d’excitation que les vitesses fictives couplees.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

Frequency (Hz)

Vel

ociti

es (

m/s

2 ) (d

B)

SMO1Z

FIG. 4.15 –Exemple de vitesse fictive decouplee au point #1

Toutes les donnees necessaires sont maintenant reunies pour le calcul de la matrice de mobi-lit es du recepteur.

4.4.5 Obtention des mobilites du chassis

Reprenons le systeme d’equations de la methode des mobilites dans le cas de la ca-racterisation de la matrice des mobilites du recepteur :

[V ] =[V s

]+ [S] ∗ [F ] (4.10)

[V ] = − [R] ∗ [F ] (4.11)

ou [V ] et[V s

]sont respectivement les matrices de vitesses couplees et de vitesses decouplees,

correspondant aux neufs essais de sources fictives.Toutes les donnees sont en notre possession misa part la matrice des efforts de couplage[F ] etbien evidemment la matrice des mobilites du recepteur[R]. L’ equation4.10nous serta obtenir[F ], qui reinjecte dans4.11nous permet de calculer[R]. Soit :

[F ] = [S]−1 ∗([V ]−

[V s

])(4.12)

[R] = − [V ] ∗ [F ]−1 (4.13)

Et en remplacant[F ] par son expression dans4.11, ce systeme devient :

[F ] = [S]−1 ∗([V ]−

[V s

])(4.14)

[R] = − [V ] ∗([V ]−

[V s

])−1

∗ [S] (4.15)

56

Cette formulation permet de n’avoir qu’une seule inversion par inconnue. Nous limitons ainsil’effet de l’amplification des erreurs de mesures et de calcul duea l’inversion des differentesmatrices.L’ etude de l’assemblage peutegalement permettre de formuler des hypotheses simplificatricess’appuyant sur la physique deselements le constituant. Dans notre cas, le moteur Diesel estmonte sur un chassis constitue de troiselements metalliques distincts fixes sur un plot en betonmassique. Ce chassis correspond donca un type de montage dit« enetoile» :

beton

Plot

3

C

2

AB

1et plots elastomeresArceaux metalliques

Biellette metallique

FIG. 4.16 –Schema synoptique du recepteur

Ainsi, les mobilites de transfert de notre recepteurR12, R13, R23 et de leurs symetriquesrespectifs sont composes entre autre des mobilites de transfert du plot massiquePAB, PAC ouPBC ou de leurs symetriques respectifs.Or, en considerant ce plot commeetant une masse pure, nous pouvonsecrire :F = mγ ou m est

la masse du plot. Il vient alors :γ

F=

1

m. La mobilite d’une masse pure s’exprime donc par la

relation suivante :

P =V

F=

j

$ ∗m(4.16)

Par consequent, si la masse« m » du plot en beton tends vers l’infini, cela signifie que samobilite tends vers zero.Dans ce cas, les mobilites de transfert du recepteur sontegalement nulles puisque le plotmassique est l’element central de notre montage« enetoile». En effet, lorsque notre recepteurest en condition aux limites Libre-Libre pour la mesure de ses mobilites, quelque soit l’effortapplique au point1 et transmis au pointA par le premier arceau metallique, la vitesse enB etpar consequent en2 sera nulle. Nous avons ainsi :R12 ∗ F1 = V2 avec l’effort au point1 F1

non-nul et la vitesse au point2 V2 nulle donc la mobilite de transfert du recepteur du point1 versle point2 « R12 » est nulle.Nous demontrons ainsi aisement que toutes les mobilites de transfert de notre recepteur sontnulles dans le cas ou l’ element central du montage enetoile le constituant possede une mobilitenulle.

57

En tenant compte des caracteristiques physiques de notre montage, nous pouvons faire l’hy-pothese que la matrice des mobilites du recepteur est une matrice diagonale par bloc :

[R] =

Rxx11 Rxy

11 Rxz11 0 0 0 0 0 0

Ryx11 Ryy

11 Ryz11 0 0 0 0 0 0

Rzx11 Rzy

11 Rzz11 0 0 0 0 0 0

0 0 0 Rxx22 Rxy

22 Rxz22 0 0 0

0 0 0 Ryx22 Ryy

22 Ryz22 0 0 0

0 0 0 Rzx22 Rzy

22 Rzz22 0 0 0

0 0 0 0 0 0 Rxx33 Rxy

33 Rxz33

0 0 0 0 0 0 Ryx33 Ryy

33 Ryz33

0 0 0 0 0 0 Rzx33 Rzy

33 Rzz33

Ainsi, le nombre d’inconnues composant cette matrice passe de9 × 9 a 9 × 3 = 27. Nousavons cependant effectue l’ensemble des9 mesures en placant la source fictivea proximite destrois points de couplage et suivant les trois directions. Par consequent nous possedons plus dedonnees que necessaire. Il est alors possible de selectionner les meilleures d’entre elles.Une premiere approche consisteraita choisir, pour chaque pointa determiner, les mesures ayantete effectuees avec la source fictive la plus proche possible. Il semble en effet logique que plusl’effort genere par la source fictive est proche du point d’ecoute et plus les resultats seront debonne qualite. Dans ce cas, les matrices des efforts de couplage[F ] et des vitesses couplees[V ]

devientegalement diagonale par bloc pour le calcul de la matrice de mobilite du recepteur.Une autre approche, plus pragmatique, consistea selectionner mathematiquement et pour chaquefrequence le meilleur bloc de la matrice des efforts de couplage et le bloc de la matrice des vi-tesses couplees associe. Pour cela, nous testons le determinant de chacun de ses blocs3 × 3.La methodologie employee pour ce calcul est la suivante. Chacune des colonnes de la matricedes efforts de couplage[F ] correspond aux differentes excitations de chaque source fictive (voirequation4.8). Afin de pouvoiretre compares entre eux, ces vecteurs colonnes sont tous normesa1 et c’est le determinant des blocs3× 3 formes par ces vecteurs colonnes normes qui sera utilisecomme critere de selection. En effet, si le determinant est proche de 1, cela signifie que les ef-forts sont quasi-orthogonaux. Inversement, s’il est petit devant 1 cela indique que ces memeseffortssont lineairements dependants. En consequence, nous utilisons celui dont l’inverse dudeterminant est le plus faible. En outre, un seuil maximum est fixe pour ce critere et les cal-culs ne sont effectuees que pour les frequences respectants ce critere.Ainsi, nous nous assurons de l’orthogonalite des blocs de la matrice des efforts de couplage etpar consequent de leur independance lineaire, indispensablea l’obtention de resultats de bonnequalite.Bienevidemment, le calcul de la matrice des mobilites[R] est realisee avec la matrice des effortsde couplage non-normes[F ].

58

4.4.6 Les efforts de couplage

Les graphiques suivant montrent les efforts de couplage dusa la source fictive calcules apartir de l’equation4.12.

200 400 600 800 1000 1200 1400−80

−60

−40

−20

0

20

40

Frequences (Hz)

Effo

rt F

ictif

(dB

)

SMO33xxSMO33xySMO33xz

FIG. 4.17 –Source fictive placeea proximite du point #3 suivant l’axe x et reponse du point #3suivant les axes x, y et z

200 400 600 800 1000 1200 1400−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

Frequences (Hz)

Effo

rt F

ictif

(dB

)

SMO33yxSMO33yySMO33yz

FIG. 4.18 –Source fictive placeea proximite du point #3 suivant l’axe y et reponse du point #3suivant les axes x, y et z

59

200 400 600 800 1000 1200 1400−80

−60

−40

−20

0

20

40

Frequences (Hz)

Effo

rt F

ictif

(dB

)

SMO33zxSMO33zySMO33zz

FIG. 4.19 –Source fictive placeea proximite du point #3 suivant l’axe z et reponse du point #3suivant les axes x, y et z

Les trois graphiques precedents representent le bloc3 × 3 inferieur droit de la matrice desefforts de couplage[F ]. En effet, pour chacune des courbes, les trois points d’excitation sontproches du point de reponse presente et suivant des directions differentes. Nous remarquons quele fait que le point d’excitation soit proche et de meme orientation que le point de reponse nerend pas necessairement l’effort de couplagea ce point et suivant cette direction superieur auxefforts de couplage au meme point mais suivant les deux autres axes. Cette tendance se retrouvesur les autres blocs3× 3 de la matrice des efforts de couplage.C’est important car cela montre deux choses. La premiere, c’est qu’il existe un fort couplageentre les differentes directionsa chaque point de liaison. Ainsi, uneetude sur un Groupe Moto-Propulseur ne prenant pas en compte les matrices de mobilites, les vecteurs de vitesses et lesvecteurs d’efforts complets, c’est-a-dire suivant les trois directions, est insuffisante. Ses resultatsseraient« amputes» d’une partie importante de leur sens physique.La seconde, c’est que l’orthogonalite des efforts de couplage n’est pas necessairement assureepar la proximite ou la direction de l’excitation par rapport au point de reponse. Il convient doncde selectionner pour chaque frequence du spectreetudie quel est le meilleur bloc3 × 3 de lamatrice des efforts de couplage obtenue maisegalement de s’assurer que l’orthogonalite de cebloc d’efforts de couplage reste correcte. C’est ce qui aete fait en comparant les determinantsdes matrices des efforts de couplage normes suivant la methode indiquee dans le chapitre4.4.5.

60

Les resultats obtenus sont presentes ci-apres :

200 400 600 800 1000 1200 1400−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20Biellette Souple

Frequences (Hz)

Effo

rt F

ictif

Con

ditio

nnem

ent (

dB)


FIG. 4.20 –Source fictive placeea proximite du point #3 suivant l’axe x et reponse du point #3suivant les axes x, y et z

200 400 600 800 1000 1200 1400−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20Biellette Souple

Frequences (Hz)

Effo

rt F

ictif

Con

ditio

nnem

ent (

dB)


FIG. 4.21 –Source fictive placeea proximite du point #3 suivant l’axe y et reponse du point #3suivant les axes x, y et z

61

200 400 600 800 1000 1200 1400−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10Biellette Souple

Frequences (Hz)

Effo

rt F

ictif

Con

ditio

nnem

ent (

dB)


FIG. 4.22 –Source fictive placeea proximite du point #3 suivant l’axe z et reponse du point #3suivant les axes x, y et z

Sur ces courbes, le critere sur le determinant aete fixea 0,1. Les points conserves sont reperespar des croix. La plupart du spectre est couvert et les« zones d’ombre» sont relativementrestreintes. Le nombre de point est suffisant et relacher la tolerance sur notre critere risquerait defaire perdre en precision inutilement. Inversement, en reduisant cette limite, le nombre de pointdeviendrait insuffisant pouretre exploite.Maintenant que les efforts de couplage ontete calcules et controles nous pouvons determiner lesmobilites du recepteuretudie [R].

62

4.4.7 Les mobilites du recepteur

Les graphiques suivant representent les mobilites du chassis recepteur obtenues aux differentspoints de couplage :

200 400 600 800 1000 1200 1400−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0Biellette Souple

Frequences (Hz)

Mob

ilite

Rec

epte

ur C

ondi

tionn

emen

t (dB

)


FIG. 4.23 –Mobilit e #2 suivant l’axe x vers le point #2 suivant les axes x, y et z

200 400 600 800 1000 1200 1400−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10Biellette Souple

Frequences (Hz)

Mob

ilite

Rec

epte

ur C

ondi

tionn

emen

t (dB

)


FIG. 4.24 –Mobilit e #2 suivant l’axe y vers le point #2 suivant les axes x, y et z

63

200 400 600 800 1000 1200 1400−100

−80

−60

−40

−20

0

20Biellette Souple

Frequences (Hz)

Mob

ilite

Rec

epte

ur C

ondi

tionn

emen

t (dB

)


FIG. 4.25 –Mobilit e #2 suivant l’axe y vers le point #2 suivant les axes x, y et z

Afin de controler une nouvelle fois les resultats obtenus, la reciprocite est testee :

200 400 600 800 1000 1200 1400−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10Biellette Souple

Frequences (Hz)

Mob

ilite

Rec

epte

ur C

ondi

tionn

emen

t (dB

)

SMO11yzSMO11zy

FIG. 4.26 –Reciprocite de la matrice des mobilites au pont #1 suivant les axes y et z

64

200 400 600 800 1000 1200 1400−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10Biellette Souple

Frequences (Hz)

Mob

ilite

Rec

epte

ur C

ondi

tionn

emen

t (dB

)

SMO22yzSMO22zy

FIG. 4.27 –Reciprocite de la matrice des mobilites au pont #2 suivant les axes y et z

200 400 600 800 1000 1200 1400−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10Biellette Souple

Frequences (Hz)

Mob

ilite

Rec

epte

ur C

ondi

tionn

emen

t (dB

)

SMO33xzSMO33zx

FIG. 4.28 –Reciprocite de la matrice des mobilites au pont #1 suivant les axes x et z

Les figures4.26et4.27et4.28montrent le degre de reconstitution du principe de reciprocite.En comparant les symetriques de la matrice des mobilites du recepteur, nous pouvons seulementconclure qu’une tendance de la structure receptrice de notre Groupe Moto-Propulseur aete ca-racterisee. En effet, il subsiste des bandes de frequences ou les differences entre les symetriquesde la matrice des mobilites demeurent importantes mais conservent une forme analogue.

Il aurait ete possible de fixer cette condition de symetrie lors du calcul de la matrice mobilites du

65

recepteur et de reduire ainsia nouveau le nombre de sources fictives lineairement independantesnecessaires. Ou bien encore d’ameliorer la selection des donnees retenues pour le calcul. En effet,puisque moins d’essaisetaient necessaires, seules les valeurs les meilleures auraientete retenuesparmis celles deja choisie.Cependant, la verification de la symetrie de la matrice des mobilites du recepteur est un criterenecessaire mais pas suffisant pour le controle du sens physique des resultats obtenus. C’est pour-quoi cette simplification n’a pasete faite dans le cadre de cetteetude.

4.5 Vitesses decouplees pour le moteur en fonctionnement

Maintenant que les matrices de mobilites des sous-structures source et recepteur sontentierement caracterisees, il est possible d’appliquer l’equation4.1 du paragraphe4.3 afin dedeterminer les vitesses decouplees en fonctionnement de la source.Rappelons cesequations :

{F} = − [R]−1 ∗ {V }{V s

}= {V } − [S] ∗ {F} (4.17)

Ainsi, pour chaque mesure des vitesses couplees{V } du Groupe Moto-Propulseur corres-

pondanta differents regimes, les efforts de couplage{F} et les vitesses decouplees{

V s}

sont

calculees.Les graphiques ci-apres montrent quelques exemples de vitesses coupleesa differents regimes,sur differents points de couplage et suivant differentes directions :

200 400 600 800 1000 1200 1400−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequences (Hz)

Vite

sse

coup

lee

(m/s

2 )(dB

)

SMO2Y a 2400 RPM

FIG. 4.29 –Vitesse couplee en fonctionnement au point #2 suivant l’axe ya 2400 RPM

66

200 400 600 800 1000 1200 1400−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

Frequences (Hz)

Vite

sse

coup

lee

(m/s

2 )(dB

)

SMO3X a 4200 RPM

FIG. 4.30 –Vitesse couplee en fonctionnement au point #3 suivant l’axe xa 4200 RPM

Les courbes precedentes illustrent bien la richesse harmonique des moteursa autocombustionde type Diesel et des difficultes qu’ils engendrent lorsqu’il s’agit de les rendre silencieux.Cette richesse harmonique induitegalement d’autres problemes. La lecture des courbes est ren-due difficile par des pics de frequence tres proches et d’une dynamique en niveau importante.Ainsi, le fond de spectre n’a pas d’interet dans ces representations. C’est pourquoi chacune desharmoniques aete integree sur une largeur de bande correspondanta la fondamentale.

200 400 600 800 1000 1200 1400−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Frequences (Hz)

Vite

sse

coup

lee

(m/s

2 )(dB

)

SMO2Y a 2400 RPM

FIG. 4.31 –exemple de vitesse couplee en fonctionnement integree au point #2 suivant l’axe ya2400 RPM

67

200 400 600 800 1000 1200 1400−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Frequences (Hz)

Vite

sse

coup

lee

(m/s

2 )(dB

)

SMO3X a 4200 RPM

FIG. 4.32 –exemple de vitesse couplee en fonctionnement integree au point #3 suivant l’axe xa4200 RPM

Nous conservons de ce fait l’information importante,a savoir le niveau mesure, tout en faci-litant la lecture des courbes presentees.Les differentes operations mathematiques necessaires au calcul sont realisees avec ces donneesintegrees et par consequent les vitesses decouplees sont presentees sous cette forme. Les gra-phiques ci-apres montrent quelques exemples de vitesses decouplees obtenues pour differentsregimes, sur differents points de couplage et suivant differentes directions :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Fréquences (Hz)

Vite

sses

(dB

)

SMO1z a 1500 RPM

FIG. 4.33 –Vitesse decouplee en fonctionnement au point #1 suivant l’axe za 1500 RPM

68

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−40

−30

−20

−10

0

10

20

Fréquences (Hz)

Vite

sses

(dB

)

SMO2y a 2400 RPM

FIG. 4.34 –Vitesse decouplee en fonctionnement au point #2 suivant l’axe ya 2400 RPM

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Fréquences (Hz)

Vite

sses

(dB

)

SMO3x a 4200 RPM

FIG. 4.35 –Vitesse decouplee en fonctionnement au point #3 suivant l’axe xa 4200 RPM

Ces coubes, ainsi que la matrice des mobilites du Groupe Moto-Propulseur, sont les ca-racteristiques intrisequesa la source. Elles la represente independamment de toute influenceexterieure et permettent de prevoir, par calcul, le comportement de cette source coupleea n’im-porte quelle autre sous-structure caracterisee en mobilites.

69

Les acquisistions des vitesses couplees ontete realiseesa charge constante pour differentsregimes. Observons l’evolution de cette source en fonction du parametre de vitesse de rotationdu vilebrequin :

0 500 1000 1500−80

−60

−40

−20

0

20

40

Fréquences (Hz)

Vite

sses

(dB

)

1200 RPM2400 RPM3000 RPM4200 RPM

FIG. 4.36 –Vitesse decouplee en fonctionnement au point #2 suivant l’axe za differents regimes

Les niveaux des vitesses decouplees du Groupe Moto-Propulseur ne sont pas proportionnelsau regime moteur. Il est connu que l’attelage mobile (pistons, bielles, vilebrequin) genere desefforts aux paliers vilebrequin (donc sur le bloc moteur) proportionnels au carre du regime.On constate que les courbes de vitesses decouplees font apparaıtre toute une serie de frequencessituees bien au dela du carre de la vitesse de rotation, signe que la source est bien plus complexe.Au global, du certainement au fait que la source se deforme eta la presence des explosions dansle cylindre et de chocs periodiques entre l’attelage mobile, le bloc et le carter moteur, les effortsinternes sont large bande, conduisanta des vitesses decouplees tout aussi large bande.On constate finalement que la caracterisation du moteur par la connaissance des vitessesdecouplees doit se fairea tous les regimes stabilises. Cela implique aussi qu’une signature dumoteur pour differentes charges soit necessaire, travail qui n’a pasete realise dans cetteetude.

4.6 Critiques de la methodologie employee dans le cas d’unchassis tres mobile

Nous avons remarque precedemment que la qualite de reconstitution de la matrice desmobilites du chassis passait par la mesure d’efforts de couplage suffisamment lineairementindependant au regard des erreurs de mesure. Malheureusement dans le cas de la caracterisation

70

du chassis tres mobile qui nous interesse, la valeur du determinant des efforts de couplage restetrop faible en moyenne pour garantir le resultat de la matrice de mobilite du recepteur avec suf-fisamment de precision.Nous observons la grande mobilite du chassis sur les resultats suivants qui comparent les vitessescouplees et les vitesses decouplees (obtenues par calcul) pour le moteur en fonctionnement :

0 500 1000 1500−60

−50

−40

−30

−20

−10

0Vitesses du point SMO3y à 1500 RPM Biellette Souple

Fréquences (Hz)

Vite

sses

(dB

)

Vitesse CoupleeVitesse Decouplee

FIG. 4.37 –Vitesse couplee et decouplee en fonctionnement au point #3 suivant l’axe xa 2700RPM

0 500 1000 1500−40

−30

−20

−10

0

10

20Vitesses du point SMO3x à 2700 RPM Biellette Souple

Fréquences (Hz)

Vite

sses

(dB

)

Vitesse CoupleeVitesse Decouplee

FIG. 4.38 –Vitesse couplee et decouplee en fonctionnement au point #3 suivant l’axe xa 2700RPM

71

En effet, les vitesses couplees et les vitesses decouplees en fonctionnement sonta peu presegales et montrent que le pouvoir bloquant du chassis est faible. Cette constatation n’est pasdenuee de sens puisqu’effectivement la sous-structure recepteur, composee de tubes metalliqueset de tampons caoutchoutiques semble correspondrea cette description visa vis de la source bienplus rigide et massique. Ainsi, les mobilites du chassis devraientetre sensiblement superieuresaux mobilites du Groupe Moto-Propulseur. Verifions cela :

200 400 600 800 1000 1200 1400−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10Bielette Souple

Frequences (Hz)

Mob

ilite

s (d

B)

SMO11xx ChassisSMO11xx Moteur

FIG. 4.39 –Mobilit es directes du recepteur et de la source au point #1 suivant l’axe x

200 400 600 800 1000 1200 1400−100

−80

−60

−40

−20

0

20Bielette Souple

Frequences (Hz)

Mob

ilite

s (d

B)

SMO33zz ChassisSMO33zz Moteur

FIG. 4.40 –Mobilit es directes du recepteur et de la source au point #3 suivant l’axe z

Ces resultats ne correspondent pasa nos deductions. En effet, les mobilites de la source et durecepteur sonta peu pres de niveauequivalent sur l’ensemble de la gamme de frequenceetudiee.La matrice de mobilite du Groupe Moto-Propulseur aete obtenue par sonage en condition auxlimites Libre-Libre. Ces mesures ontete effectuees avec soin en controlant chaque coherence desmobilites mesurees. La symetrie de la matrice obtenue aete verifiee et l’influence de l’attelagemobile teste (voir chapitre4.4.3). La matrice des mobilites de la source ne peut par consequent

72

etre remise en cause.La matrice des mobilites du chassis quanta elle aete obtenue par calcula l’aide de differentesmesures effectueesa l’aide du jeu de sources fictives. Rappelons l’expression de la mobilite durecepteur obtenue par calcul :

[R] = [V ] ∗([V ]−

[V s

])−1

∗ [S] (4.18)

Pour que la matrice des mobilites de la source[S] soit du meme ordre que la matrice des mobilitesdu recepteur[R] cela signifie que :

[V ] ∗([V ]−

[V s

])= [I] (4.19)

soit : [V s

]= 2 ∗ [V ] (4.20)

Cela represente un petit differentiel de six decibels entre les vitesses couplees et decoupleesobtenues avec la source fictive :

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0SMO12xx

Fr�quences (Hz)

Vite

sses

(dB

)

Vitesse Decouplee FictiveVitesse Couplee Fictive Biellette Souple

FIG. 4.41 –Source fictive placeea proximite du point #1 suivant l’axe x et reponse du point #2suivant l’axe x

73

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0SMO11yy

Fr�quences (Hz)

Vite

sses

(dB

)


FIG. 4.42 –Source fictive placeea proximite du point #1 suivant l’axe y et reponse du point #1suivant l’axe y

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0SMO23zz

Fr�quences (Hz)

Vite

sses

(dB

)


FIG. 4.43 –Source fictive placeea proximite du point #2 suivant l’axe z et reponse du point #3suivant l’axe z

On constate donc qu’une des raisons principale dans l’echec de la methodologie proposeepour le calcul des mobilites du recepteur« in situ » est que celui-ci est bien trop mobile com-pare a la source. Le jeu de source fictive conduita des vitesses decouplees et couplees bien tropvoisines au regard des erreurs de mesures.L’ echec du deconfinement se traduit par l’obtention d’une matrice de mobilite du recepteur res-semblantetrangementa celle de la source pour sa tendance en frequence. On peut alors se poserla question d’un critere rendant la methodologie interessante.Il faudrait donc augmenter le differentiel entre les vitesses decouplees et couplees fictives pourpouvoir obtenir de maniere fiable la matrice des mobilites du recepteur.Ecrivons les vitesses

74

decouplees en fonction des vitesses couplees scalairement :

v = v + S ∗ f

v = −R ∗ f (4.21)

D’ou :

v = v ∗(

1 +S

R

)(4.22)

Ainsi, pour avoir des vitesses decouplees par exemple dix fois superieures aux vitesses couplees,il faut que la source soit neuf fois plus mobile que le recepteur. Cela implique que le GroupeMoto-Propulseur doitetre neuf fois plus souple que le chassis. Ou dit autrement, que le recepteursoit neuf fois moins mobile que la source. Puisque nous cherchonsa caracteriser la source,cela signifie qu’il faut renforcer le chassis et supprimer les silents-blocs pour monter le GroupeMoto-Propulseur directement sur les barres. Tout l’interet de la caracterisation du chassis parla methode des sources fictives disparaıt alors completement puisque le chassis ne serait plusconstitue que d’elements physiquement lineaires et facilesa mesurer. De plus, faire fonctionnerle moteur dans ces conditions proches de l’encastrement risque de conduirea une destruction deselements de couplage tels que la coiffe en aluminium. En effet, bloquer les points de couplagelors du fonctionnement du Groupe Moto-Propulseur va augmenter drastiquement les efforts decouplage et ces pieces ne sont pas dimensionnees pour encaisser de telles forces.Ceci nous conduita conclure : pour que la caracterisation d’un chassis soit possible par cettetechnique de source fictive, il faut que la source soit beaucoup plus mobile que le recepteur enses points de couplage afin d’obtenir un jeu de vitesses couplees et de vitesses decouplees suffi-samment different (de l’ordre de 10 decibels).

4.7 Conclusion

Nous venons de montrer que la raison essentielle de l’echec de la caracterisation du chassisest qu’il etait bien trop mobile par rapporta celui du moteur, et ceci dans toute la plage defrequence exploree entre 0 et 1500Hz.Le corollaire de cette affirmation est que le moteur represente une source de vitesse dans cetteplage de frequence pour ce type de chassis incluant les silent-blocs, et qu’en premiere approxima-tion les vitesses du moteur en fonctionnement peuvent representer raisonnablement les vitessesdecouplees.Une des facons de le demontrer c’est d’adopter la demarche utilise precedemment et de verifier sia l’arret les vitesses couplees et decouplees sont sensiblementegales pour la meme source fictiveappliquee. Inversement, la caracterisation du chassis devient raisonnable si les vitesses coupleeset decouplees obtenues different notablement, c’est-a-dire d’au moins 10 decibels.Ainsi, dans certaines plages de frequence, ou pour une configuration de chassis differente, cettemethodologie peut apporter des reponses pertinentes.Nous concluonsegalement que la caracterisation de tout chassis plus mobile ou comparablea lasource demeure pratiquement impossible euegard aux inevitables erreurs de mesures.

Finalement, pour caracteriser ce type de source il faut s’affranchir de la sous-structure receptriceen accedant directement aux efforts de couplage en fonctionnement grace a l’utilisation de

75

capteurs d’efforts tri-axes par exemple. Le calcul des vitesses decouplees se faisant grace al’ equation : {

V}

= {V } − [S] ∗ {F} (4.23)

En connaissant la matrice des mobilites du Groupe Moto-Propulseur il devient alors possible, enmesurant les vitesses couplees et les efforts de couplages, d’obtenir pour chaque point de fonc-tionnement en regime et en charge les vitesses decouplees de la source correspondantes.Cependant, en reprenant l’equation4.22, il est acceptable, en premiere approximation, d’es-timer que les vitesses decouplees sontegales aux vitesses couplees en fonctionnement pourun Groupe Moto-Propulseur. En effet, ce type de source est toujours monte sur un systemesouple, generalement des silents-blocs, dont la mobiliteR est superieurea celle du Groupe Moto-Propulseur. Ainsi, le rapportS

Rsera toujours inferieura un ce qui permet de simplifier l’equation

4.22 a : V ≈ V . Le Groupe Moto-Propulseur peut doncetre considere comme une source devitesse et nous utiliserons, en premiere approximation, les vitesses en fonctionnement coupleespour l’etude du couplage numerique de cette source realisee dans le prochain chapitre.

76

Chapitre 5

Prevision des transferts vibratoiresa partirdes vitesses decouplees d’un moteurthermique

5.1 Introduction

Dans les chapitres precedents, nous avons estime les vitesses decouplees de deux sourcesreelles : le tambour d’un lave-linge et un moteur d’automobile Diesel. Comme nous l’avons ex-plique, le jeu de donnees constitue par les mobilites de la source et par ses vitesses decoupleesrepresente sa signature intrinseque. Ce jeu de donnees permet aussi de prevoir le comportementvibratoire de n’importe quel assemblage avec cette source pour peu que la matrice des mobilitessoit connue.La matrice des mobilites du recepteur peutetre obtenue par mesure ou par calcul (ElementsFinis ou autre) autorisant le couplage. Il devient ainsi aise d’etudier l’impact d’une modifica-tion d’un chassis sur l’etat vibratoire du systeme couple. C’est bien la l’interet pratique de cettemethode qui permet d’utiliser des donnees issues de la mesure, lorsque l’objet ne se prete pasala modelisation (le Groupe Moto-Propulseur par exemple) et des donnees qui peuvent se calculernumeriquement, par exemple le chassis recepteur, ce qui en fait une methode hybride.Dans cette partie, le Groupe Moto-Propulseur caracterise en mobilites et en vitesses decoupleesest dorenavant assemble a un chassis. La fixation au chassis sera choisie soit infiniment rigide,soit souple et prendra alors en compte par une modelisation sommaire le comportement du silent-bloc. Le Rayonnement Acoustique s’effectuera au moyen d’une plaque appuyee et bafflee, lieerigidement au chassis.Cette modelisation n’a pas la pretention de prendre en consideration la complexite du transfertdes vibrations du moteura l’habitacle en situation reelle. Neanmoins, aucunelement de transfertn’est oublie, notamment la presence d’un lien souple entre le moteur et le chassis, qui joue unrole primordial quant aux solutions envisageables en aval du silent-bloc comme nous allons lemettre enevidence.En tous cas, cette« maquette» des transferts vibratoires du moteura l’habitacle nous semblejudicieuse et n’oublier aucun parametre sensible du chemin de transfert dit solidien.

77

5.2 Modelisation analytique du couplage du Groupe Moto-Propulseur a un«chassis» prenant en compte le couplageacoustique

Dans l’automobile, un chassis se compose de plotselastomeres realisant le couplage avec leGroupe Moto-Propulseur et d’un assemblage de poutres et de plaques metalliques mecanosoudes.Chacun de ceselements sera modelise simplement : le plot sera represente par une poutre sol-licit ee en traction-compression et le chassis par une poutre en flexion couplee rigidementa uneplaque bafflee. La plaque bafflee est l’element simple du Rayonnement Acoustique largementpublie dans la litterature (cf. [Lau 96] et [Les 88] par exemple). Pour cette raison, il est utiliseici pour chiffrer la conversion vibro-acoustique de l’energie. Un modele plus sophistique pren-drait en compte l’element de cavite correspondant au volume ferme d’un habitacle d’automobile[Les 88]. Ceci nous ameneraita complexifier nosequations sans plus apporter d’informationssensibles sur le mecanisme de transfert des vibrations du moteur. Le Rayonnement Acoustiques’effectuera donc dans un espace semi-infini. L’indicateur pertinent est alors la puissance acous-tique rayonnee par les vibrations de la plaque, elles-memes induites par celles du moteur.Schematiquement, l’assemblage peut se presenter de la facon suivante :

yz

x

��

��

��

��

��

��1

2 3

GMP

FIG. 5.1 –Schema synoptique de l’assemblage

Les differentes caracteristiques de ceselements seront modifiees et les variations en termede vitesse couplee, puissance injectee et puissance rayonnee serontetudiees. Maisecrivons toutd’abord lesequations gouvernant le probleme global.

78

5.2.1 Mobilites d’une poutre en traction-compression

Nous adoptons les hypotheses de poutre pour decrire le silent-bloc. Soit une poutre isotrope,de section constante sollicitee en traction-compression.

u(x,t)

1 2

0 l

FIG. 5.2 –Schema de la poutre en traction-compression

Nous nous placons dans une hypothese de petites deformations. Le deplacementu(x, t) estdecompose enu(x).ejωt et l’equation du mouvement s’exprime par :

d2u

dx2+ k2

b u = 0 ∀t (5.1)

ou k = ωc

avecc la celerite des ondes de Traction-Compression dans le milieuegalea c =√

Eb

ρb,

ω la pulsation en cours etEb, ρb respectivement le module d’Young et la masse volumique de lapoutre.C’est uneequation differentielle d’ordre 2 dont la solution est du type :

u = A.ejkx + B.e−jkx (5.2)

Les constantesA et B sont determinees grace aux conditions aux limites et aux conditions dechargement.Puisque nous voulons obtenir les mobilites de cette poutre les conditions aux limites sont definiesLibre-Libre.

Une mobiliteMij correspond au rapport de la vitesse au pointi sur l’effort enj. L’ elementetudiecomporte deux points de couplage ainsi sa matrice des mobilites se compose de quatreelements.

Appliquons tout d’abord une charge au point 1 (en x=0) :

u(x,t)

2

0 l

1

P

FIG. 5.3 –Application d’un effort au point 1

La contrainte en traction-compression s’exprime par :

σxx = Eb.∂u

∂x(5.3)

Ainsi, pour le chargement presente, nous avons :

79

– en x=0

Sb.σx=0 = −P soit Sb.Eb∂u(x = 0)

∂x= −P (5.4)

– en x=l

Sb.σx=l = 0 soit Sb.Eb∂u(x = l)

∂x= 0 (5.5)

ou Sb est la section de la poutre.

En injectant la solution dans5.4et5.5, on trouveA etB :

A =−P

j.Sb.Eb.kb

× e2jkl

1− e2jkl

B =−P

j.Sb.Eb.kb

× 1

1− e2jkl(5.6)

ou l est la longueur de la poutre.

Finalement, la mobilite M11 correspondant au rapport de la vitesse au point 1 par le charge-mentetudie est exprime par :

M11 =j.ω.u(x = 0)

P(5.7)

Et l’inertance par :

B11 =−ω2.u(x = 0)

P(5.8)

Tous calculs fait, nous obtenons :

B11 =ω2

Sb.Eb.kb.tan(kl)(5.9)

On se place ensuite au point 2 (x=l) et nous trouvonsB21 :

B21 =ω2

Sb.Eb.kb.sin(kl)(5.10)

Afin d’obtenir les deux autreselements de la matrice, nous appliquons un effort au point 2(en x=l) :

u(x,t)

2

0 l

1

P

FIG. 5.4 –Application d’un effort au point 2

80

Dans ce cas de chargement, nous avons :– en x=0

Sb.σx=0 = 0 soit Sb.Eb∂u(x = 0)

∂x= 0 (5.11)

– en x=l

Sb.σx=l = P soit Sb.Eb∂u(x = l)

∂x= P (5.12)

On trouveA etB en utilisant ces deuxequations dans5.2:

A = B = − P

2.Sb.Eb.kb.sin(kl)(5.13)

Finalement, de la meme facon que precedemment, nous obtenonsB12 etB22, les deuxelementsmanquant de notre matrice :

B12 =ω2

Sb.Eb.kb.sin(kl)(5.14)

B22 =ω2

Sb.Eb.kb.tan(kl)(5.15)

Ecrivons la matrice complete ainsi determinee :

[B] =ω2

Sb.Eb.kb.sin(kl).

[cos(kl) 1

1 cos(kl)

](5.16)

Cette matrice symetrique respecte bien l’hypothese de reciprocite. Et comme la barre estsymetrique il est logique que les deuxelements diagonaux soient eux aussiegaux.L’amortissement aete introduit en supposant que le module d’Young est complexe avecηb lefacteur de perte structural de la poutre :

E∗b = Eb(1 + .η) (5.17)

D’ou :

k∗b =

√E∗

b

ρb

(5.18)

Il devient facile de faire varier les differents parametres mecaniques, tels le module d’Young etla section, pour modifier le comportement vibratoire de cetelement et ainsi simuler differentesgeometries et differents types de materiaux. Les deux graphiques ci-apres montrent l’evolutionde la matrice d’inertance de la barre en traction-compression pour differents parametresmecaniques :

81

0 200 400 600 800 1000 1200 140045

46

47

48

49

50

51

52

53

54

Frequences (Hz)

Iner

tanc

e ((

m²/

s)/N

)(dB

)

0 200 400 600 800 1000 1200 140045

46

47

48

49

50

51

52

53

54

Frequences (Hz)

Iner

tanc

e ((

m²/

s)/N

)(dB

)

0 200 400 600 800 1000 1200 140045

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

Frequences (Hz)

Iner

tanc

e ((

m²/

s)/N

)(dB

)

0 200 400 600 800 1000 1200 140045

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

Frequences (Hz)

Iner

tanc

e ((

m²/

s)/N

)(dB

)

FIG. 5.5 –Representation des quatres termes de la matrice des inertances en module dans le casd’une structure rigide

La figure5.5corresponda une barre en acier (module d’Young de2.1× 1011Pa, amortisse-ment de3% et masse volumique de7800kg/m3) de section carree de2cm de cote et de longueur1mm. On retrouve que l’inertance est constante sur la gamme de frequence presentee car elle esttellement courte et rigide que la premiere frequence propre de l’onde de traction-compressionn’est pas atteinte. En fait, on se trouvea peu pres dans le cas d’un corps solide ou F = m.γ, soit

en terme d’inertanceB =γ

F=

1

m. Il est facile de verifier numeriquement cette hypothese.

82

0 500 1000 1500−40

−20

0

20

40

Frequences (Hz)

Iner

tanc

e ((

m²/

s)/N

)(dB

)

0 500 1000 1500−10

0

10

20

30

Frequences (Hz)

Iner

tanc

e ((

m²/

s)/N

)(dB

)

0 500 1000 1500−10

0

10

20

30

Frequences (Hz)

Iner

tanc

e ((

m²/

s)/N

)(dB

)

0 500 1000 1500−40

−20

0

20

40

Frequences (Hz)

Iner

tanc

e ((

m²/

s)/N

)(dB

)

FIG. 5.6 –Representation des quatres termes de la matrice des inertances en module dans le casd’une structure souple

La figure 5.6 quant a elle corresponda une barre en materiau amortissant dont les ca-racteristiques mecaniques s’approchent de celles d’unelastomere : module d’Young de107Pa,amortissement de10% et masse volumique de1500kg/m3. Elle a une section carree de10cm

de cote et une longueur de10cm. Les graphiques montrent clairement la symetrie entre leselements diagonaux et leselements extra-diagonaux. En outre on distingue nettement differentesfrequences de resonnance et d’anti-resonnance de la propagation de l’onde vibratoire dans labarre en traction-compression. on releve des differences d’amplification importantes entre cesdeux types de pics.

Les comportements de ces deux poutres sont tres differents. La premiere peutetre considereecomme une simple masse ajoutee au systeme puisqu’elle ne se deforme pas. On peut ainsi pen-ser que les vitesses, et par consequent les efforts de couplage, de chaque extremite de cette barreseront identiques quelque soit la structurea laquelle elle est couplee. Inversement, la secondebarre va elle influencer les transfert d’efforts et de vitesses puisqu’elle n’est plus simplement unemasse indeformable mais une structure avec ses frequences et ses deformees propres.

83

5.2.2 Mobilites d’une poutre en flexion coupleea une plaque bafflee

Le reste du chassis, en aval du silent-bloc, est constitue d’une poutre sur appuis simples, surlaquelle est couplee rigidement une plaque bafflee et appuyee sur ses bords.Le calcul des efforts de couplage, lors de l’assemblage des troiselements constitues par le moteur,le plot et le chassis, necessite de determiner la mobilite d’entree de ce dernier recepteur, au pointde couplage note2 sur le schema5.7.Soit une poutre homogene de section constante appuyee coupleea une plaque bafflee sur appui.

yz

x��

��

��

��

��

��

2 3

a

b

F

FIG. 5.7 –Representation des differentselements avant couplage

Sa mobilite d’entreeM22 corresponda la reponse au point2 lors de l’application d’un effortunitairea ce meme point. Cette reponse est donnee par l’equation du mouvement de la poutre enflexion soumise d’une parta cet effort unitaire et d’autre parta l’effort du au couplage avec laplaque bafflee au point3.

Sonequation du mouvement est la suivante :

ρf .Sf .∂2w(x, t)

∂t2+ Ef .If .

∂4w(x, t)

∂x4= F2.δ(x− x2) + Fcoup.δ(x− x3) (5.19)

ou w est le deplacement transversal (fleche) de la poutre,ρf sa masse volumique,Sf sa section,If son inertie de flexion etEf son module d’Young.L’effort au point2, F2, est fixe a l’unite et represente un effort exterieur, contrairementa l’effortde couplageFcoup qui depend de la reponse de la plaque bafflee.L’ equation du mouvement de la plaque sous charge acoustique est la suivante :

D.∇4u(x, y, t) + ρa.ha.∂2u(x, y, t)

∂t2= F ′

coup.δ(x− x3).δ(y − y3)− p(x, y, z = 0, t) (5.20)

ou u(x, y, t) est le deplacement transversal (fleche) de la plaque etD sa rigidite :

D =Ea.h

3a

12.(1− ν2a)

(5.21)

ρa, Ea et νa sont respectivement la densite, le module d’Young et le coefficient de Poisson dumateriau ;ha, a et b sont l’epaisseur, la largeur et la longueur de la plaque. Le produitρa.ha estappele« masse surfacique» et est notems.« p(x, y, z = 0, t) » est la pression parietale. Ce terme represente l’influence du fluide exterieursur la reponse de la plaque bafflee. Dans le cas d’un chassis automobile ce fluide est de l’air. Nousmontrerons par la suite que ce terme de pression a un effet negligeable sur les deformations dela structure aux frequencesetudiees.Par soucis de simplification, l’influence du fluide exterieur ne sera pas presente dans la resolutiondesequations suivantes. Cependant, ce terme de couplage fluide-structure s’integre facilement

84

dans la methode et peutetre pris en compte pour la resolution desequations de mobilites.Ainsi, l’ equation du mouvement de la plaque sur appuis« in-vaccum» est :

D.∇4u(x, y, t) + ms.∂2u(x, y, t)

∂t2= F ′

coup.δ(x− x3).δ(y − y3) (5.22)

Les efforts et les deplacements forces sont poses sinusoıdaux ; il vient donc :

F ′coup = F ′

coup.ejωt (5.23)

u(x, y, t) = u(x, y).ejωt (5.24)

et∂2u(x, y, t)

∂t2= −ω2.u(x, y).ejωt (5.25)

D’ou :D.∇4u(x, y)− ω2.ms.u(x, y) = F ′

coup.δ(x− x3).δ(y − y3) (5.26)

Le developpement en serie de modes de plaque donne :

u(x, y) =+∞∑n=1

+∞∑m=1

anm.φnm(x, y) (5.27)

anm correspond aux amplitudes modales etφnm(x, y) aux deformees modales au point(x, y).Pour une plaque sur appuis, les deformees modales s’expriment par :

φnm(x, y) = sin(nπ

a.x)× sin(

mπ

b.y) (5.28)

Les modes propres de plaque rectangulaire en flexion sur appuiφnm(x, y) verifient donc lesconditions aux limites de deplacement et de moment flechissant nuls aux bords de la plaque.

L’expression deu(x, y) est injectee dans l’equation5.26et on utilise la propriete d’orthogo-nalite pour trouver :

Mpq × (ω2pq − ω2)× apq = F ′

coup.φpq(x3, y3) (5.29)

avec pour un mode plaque :

Mpq =ms.Sa

4(5.30)

ωpq =

√D

ms

.k2pq (5.31)

kpq =

√(p.π

a)2 + (

q.π

b)2 (5.32)

ou Mpq est la masse modale generalisee,ωpq la pulsation propre d’un mode de plaque etkpq lenombre d’onde mecanique modal.Nous introduisons l’amortissement modal de la plaque en definissant les pulsations propres com-plexes :

ω2pq∗

= ω2pq ∗ (1 + .η) (5.33)

85

Il est maintenant possible d’exprimer l’inertanceIpl de la plaque en prenantF ′coup unitaire a

chaque pulsationω :

Ipl =−ω2.u(x3, y3)

1(5.34)

Ipl = −+∞∑p=1

+∞∑q=1

ω2

Mpq.(ω2pq∗ − ω2)

× φ2pq(x3, y3) (5.35)

Ipl(ω) represente l’inertance d’entree de la plaque appuyee sur ses bords.Ipl(ω) se calcule faci-lement dans le cas des plaques appuyees, en appliquant la relation5.35. Nous montrons dans legraphique suivant que nous pouvons integrer le couplage acoustique dans cette formulation maisque dans le cas du rayonnement acoustique en fluide leger, cette influence est negligeable sur leterme d’inertance5.35.

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

5

10

15

20

25

30Inertances de la poutre en flexion

Iner

tanc

es (

dB)

Fréquences (Hz)

Inertance de la poutre 1 avec couplage acoustiqueInertance de la poutre 1 sans couplage acoustique

FIG. 5.8 –Comparaison des inertances de poutres en flexion avec et sans couplage acoustique

Des lors queIpl(ω) est connuea partir de5.35 a toutes les frequences, on peut identifierl’inconnueFcoup(ω), qui reagit sur la poutre enecrivant l’egalite des deplacements et des efforts(au signe pres), au point de couplage3 :

Ipl(ω) =γ

F=−ω2.w(x3)

−Fcoup

(5.36)

ou w(x3) represente le deplacement de la poutre au point3. On en deduit l’effort de couplage :

Fcoup =ω2.w(x3)

Ipl(ω)(5.37)

L’ equation5.19peut alorsetre reprise et s’ecrit en s’affranchissant du temps :

Ef .If .d4w(x)

dx4− ω2.ρf .Sfw(x) = F 2.δ(x− x2) +

ω2.w(x3)

Ipl(ω).δ(x− x3) (5.38)

86

La solution pour la poutre comme pour la plaque se developpe sur la base des modes de poutresur appuis :

w(x) =+∞∑n=1

bn.φn(x)

φn(x) = sin(kn.x)

kn =n.π

lf(5.39)

ou bn represente une amplitude modale d’un mode de poutre sur appuis simples.

Ce qui donne :

Ef .If .

+∞∑n=1

bn.d4

dx4φn(x)−ω2.ρf .Sf .

+∞∑n=1

bn.φn(x) = F 2.δ(x−x2)+ω2.w(x3).δ(x− x3

Ipl(ω)) (5.40)

On projette cetteequation dans la base desφn(x) qui verifient :

Ef .If .

∫ l

0

φp(x)d4φn(x)

dx4dx = δpnk

4p.Ef .If .

lf2

= Kp.δpn (5.41)

ρf .Sf .

∫ l

0

φn(x).φp(x)dx = Mp.δpn = ρf .Sf .lf2

(5.42)

Kp = Mp.ω2p (5.43)

L’amortissement structural de la poutre en flexion est introduit par :

E∗f = Ef ∗ (1 + .ηf ) (5.44)

Une fois projete dans la base des modes propres de poutre et utilisees les proprietes d’ortho-gonalite, on obtient :

[Kp ∗ (1 + .ηf )− ω2.Mp

].bp = F 2.φp(x2) +

ω2.w(x3)

Ipl

.φp(x3) (5.45)

L’ equation5.45fait apparaıtre un couplage des modes de poutre entre eux, couplage cree par lapresence de l’effort de couplage dua la reaction de la plaque sur la poutre au point3. L’ equation5.45se met sous la forme suivante :

Mp(ω2p ∗ (1 + .ηf )− ω2)bp = F 2.φp(x2) +

ω2

Ipl

.

+∞∑n=1

bn.φn(x3).φp(x3) (5.46)

ou ωp est la pulsation propre d’un mode de poutre.

On peut alors definir un terme de couplage intermodal :

Znp(ω, x3) =ω2

Ipl

.φn(x3).φp(x3) (5.47)

87

et le systeme lineaire enbn prend la forme suivante :

Mp(ω2p ∗ (1 + .ηf )− ω2)bp −

+∞∑n=1

Znp.bn = F 2.φp(x2) (5.48)

La resolution du systeme lineaire tronqueaN termes permet de connaıtre les amplitudes modalesbn et de reconstituer l’inertance d’entree au point2.

M22 =−ω2

∑Nn=1 bn.φn(x2)

F 2

(5.49)

On donne en figure5.9 l’allure de M22 pour differentes poutres, compareesa l’inertancedu moteur. Les caracteristiques de la plaque couplee restent constantes de meme que celles despoutres en flexion,a l’exception des dimensions suivantes :

Poutre 1 Poutre 2 Poutre 3 Poutre 4Longueur (m) 5 3 3 3Hauteur (m) 0.005 0.01 0.1 0.5

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Frequences (Hz)

Iner

tanc

e ((

m²/

s)/N

)(dB

)

G.M.P.Poutre 1Poutre 2Poutre 3Poutre 4

FIG. 5.9 – Comparaison de differentes inertances de poutre par rapport au Groupe Moto-Propulseur

88

Les poutres obtenues sont numerotees par ordre decroissant d’inertance. Ainsi, lapoutre 1est plus mobile que lapoutre 2mais elles restent toutes deux bien plus mobiles que la source. Lapoutre 3a une inertance proche de celle du Groupe Moto-Propulseur alors que lapoutre 4estencore moins mobile. Nous pouvons ainsi observer le comportement du systeme couple pour lesdiff erents cas possibles de couplage source-recepteur : le recepteur est plus mobile,equivalentou moins mobile que la source.

Maintenant que l’ensemble deselements constituant notre structure est determine, nous pou-vons procedera l’assemblage.

5.2.3 Assemblage des sous-structures avec le Groupe-Moto Propulseur

Chaqueelement de notre assemblage aete caracterise separement en terme d’inertance, soitpar mesure pour le Groupe-Moto-Propulseur, soit par calculs analytiques, exacts pour la poutreen traction-compression, tronques pour la poutre en flexion coupleea la plaque appuyee bafflee.La source aete identifiee et ses vitesses decouplees ontete determinees dans le chapitre4.Nous utiliserons dans cette partie les donnees d’inertances decouplees au point nomme SMO2suivant l’axe vertical Z. Les courbes ci-apres rapellent leurs valeurs respectives concernant lemoteur :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5Accélération découplée de la source

Fréquences (Hz)

Acc

élér

atio

n dé

coup

lée

(dB

)

FIG. 5.10 –Acceleration decouplee verticale en SMO2

89

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20Inertances de la source

Fréquences (Hz)

FIG. 5.11 –Inertance verticale directe en SMO2

Le synoptique suivant presente notre systeme actuel :

yz

x

��

��

��

��

��

��1

2 3

GMP

FIG. 5.12 –Schema synoptique de l’assemblage analytique decouple

Il faut donc maintenant« relier» chaqueelement afin de determiner les vitesses couplees etles efforts de couplage. Pour celaecrivons lesequations des mobilites de ces sous-structures enne considerant que le degre de liberte selon l’axe~Z :

– Le Groupe Moto-Propulseur

{γ1

coup

}= {γsource}+ [Isource]×

{F 1

coup

}(5.50)

– La poutre en traction-compression

{γ1

coup

γ2coup

}=

[B11 B12

B21 B22

]×

{ −F 1coup

−F 2coup

}(5.51)

90

– La poutre en flexion coupleea la plaque appuyee bafflee

{γ2

coup

}= [M22]×

{F 2

coup

}(5.52)

Ce systeme d’equation est parfaitement dimensionne puisqu’il possede quatreequations pourautant d’inconnues (γ1

coup, γ2coup, F 1

coup et F 2coup). Le systeme matriciela resoudre est alors le

suivant :

Isource 0 −1 0

−B11 −B12 −1 0

−B21 −B22 0 −1

0 M22 0 −1

×

F 1coup

F 2coup

γ1coup

γ2coup

=

γsource

0

0

0

(5.53)

Il reste alorsa inverser la matrice4 × 4 afin de trouver les efforts de couplage ainsi que lesaccelerations couplees.

De ce fait, nous pouvons envisager uneetude parametrique mettant enevidence les variationsde differentes caracteristiques physiques deselements constituant notre assemblage, presentesdans les chapitres5.2.1et 5.2.2, influant sur leurs inertances respectives. Les donneesetudieessont les suivantes :

– L’acceleration quadratique moyenne de la poutre en flexion coupleea la plaque appuyeebafflee, obtenue gracea l’equation :

< γ2 >=ω4

4.|F 2

coup|2.N∑

n=1

|bn|2 (5.54)

Comme son nom l’indique, ce critere defini le niveau vibratoire moyen de l’ensemble dela poutre en flexion.

– La puissance injectee dans le chassis en2 est donnee par :

Pinj =1

2.Re

{Fcoup.

(γcoup

jω

)∗}(5.55)

Cela represente la puissance generee par la source qui est« absorbee» par la poutre enflexion au point de couplage avec la poutre en traction.

– La puissance rayonnee par la plaque appuyee-appuyee bafflee calculee comme suit[Les 88] :

PRay =

(ω2

2.∑nm

Rnm.|anm|2)× |Fcoup|2 (5.56)

avecanm les amplitudes des modes de plaque etRnm les parties reelles des impedances derayonnement d’un mode de plaque appuyee bafflee.

Cette puissance corresponda la portion de la puissance injectee dans la poutre en flexion quiest transmise au milieu exterieur par le rayonnement de la plaque bafflee. Cette donnee depend

91

notamment des caracteristiques de cette plaque et de la position du point de couplage avecla poutre en flexion. Puisque les caracteristiques de la plaque appuyee bafflee ne varient pas,les variations de la puissance rayonnee obtenue dependent donc exclusivement de l’effort decouplage de la poutre en flexion au point2 et des caracteristiques physiques de cette derniere.

Nous allons doncetudier l’influence de l’inertance de la poutre en flexion sur les differentscriteres detailles ci-dessus. Pour cela, nous presenterons tout d’abord les resultats obtenus avecune poutre en traction-compression rigide, telle que definie en figure5.5, puis avec une poutreen traction-compression souple, dont les caracteristiques sont donnees en figure5.6.Finalement, nous concluerons sur l’importance des differentselements.

5.3 Le cas du lien rigide

5.3.1 Resultats

Les parametres physiques deselements utilises pour les calculs des resultats presentes danscette partie sont les suivants :

– Poutres en flexion :

Poutre 1 Poutre 2 Poutre 3 Poutre 4Longueur (m) 5 3 3 3Hauteur (m) 0.005 0.01 0.1 0.5

– Poutre en traction-compression :

Module d’Young 2.1011

η 3%

ρ 7800Longueur x Largeur 0.02 x 0.02

Hauteur 0.001

Les autres dimensions et caracteristiques des differentes structures restent constantes pourl’ensemble des calculs effectues.Etudions tout d’abord l’effet de l’element rigide, la poutre en traction-compression. Pour cela,comparons les puissances aux deux extremites de cetelement :

92

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−95

−90

−85

−80

−75

−70

−65

−60

−55

−50

−45

Fréquences (Hz)

Pui

ssan

ces

inje

ctée

s (d

B)

Puissances aux extrémités de la poutre en traction

Puissance au point 1Puissance au point 2

FIG. 5.13 –Comparaison desenergies entrantes et sortantes de la poutre en traction-compression

Nous constatons que les puissances aux extremites de la poutre en traction-compressionsont exactement identiques. Cela signifie que l’influence sur le transfert d’energie de cette sous-structure est negligeable sur l’ensemble du spectreetudie.C’est le but recherche car ainsi, nous pouvons observer l’evolution des differents criteresenumeres precedemment comme si la sourceetait fixee directement et rigidementa la poutreen flexion coupleea une plaque appuyee bafflee. Rappelons les inertances de cette sous-structureen fonction de l’evolution des differents parametres :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Frequences (Hz)

Iner

tanc

e ((

m²/

s)/N

)(dB

)

G.M.P.Poutre 1Poutre 2Poutre 3Poutre 4

FIG. 5.14 – Comparaison des differentes inertances de poutre par rapport au Groupe Moto-Propulseur

93

Comparons les resultats obtenus pour les differentes poutres :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequences (Hz)

Vite

sses

cou

plee

s (d

B)

Vitesses couplees de la barre en flexion

Poutre 1Poutre 2Poutre 3Poutre 4

FIG. 5.15 –Accelerations couplees des differentes configurations

Comme nous pouvions le supposer, les poutres les plus mobiles ont des niveauxd’acceleration pluseleves que lapoutre 4. En effet, comme elles sont tres« souples» leureffet bloquant est tres faibles et les niveaux vibratoires obtenus pour lespoutre 1, 2 et 3 sont dumeme ordre que les accelerations decouplees de la source :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−60

−55

−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

Fréquences (Hz)

Acc

élér

atio

ns a

u po

int 2

(dB

)

Accélération couplée poutre 1Accélération couplée poutre 2Accélération couplée poutre 3Accélération découplée de la source

FIG. 5.16 –Comparaison des accelerations couples et decouplees au point2

Ainsi, le fait de rigidifier la poutre en flexion, donc reduire sa mobilite et son inertance, nereduit pas necessairement les accelerations couplees. En effet, l’inertance de lapoutre 3est enmoyenne 30 decibels inferieurea la poutre 1(cf. graphique5.14) mais l’effet sur les niveauxvibratoires couples obtenus reste negligeable. Par contre, lapoutre 4, dont l’inertance est en

94

moyenne 20 decibels en dessous de lapoutre 3reduit sur une large partie du spectre le niveau desaccelerations couplees obtenu. Nous en concluons que l’effet« bloquant» d’une sous-structurerecepteur ne depend pas uniquement de la« rigidite» de celui-ci. Il existe un autre critere plusimportant, que nous allons mettre enevidence.En observant plus attentivement le graphique5.15 nous remarquons que le niveau desaccelerations couplees pour lapoutre 4est du meme ordre ou superieura celui des autres poutres.C’est la cas vers 150Hz ou il est 15 decibels superieur et vers 1200Hz ou il est d’un niveauequivalent. En regardant la graphique5.14, nous constatons que ces frequences coıncident par-faitement avec les frequences auxquelles l’inertance de lapoutre 4devientegalea l’inertancedu Groupe Moto-Propulseur. Ainsi, la difference entre les niveaux d’inertance de la source etdu recepteur serait un critere preponderant sur l’influence du comportement des accelerationscouplees.Cette hypothese est confirmee en regardanta nouveau le graphique5.15. En effet, l’accelerationcouplee de lapoutre 3 est nettement au dessus des autres aux environs des 300Hz et cettefrequence correspond justea celle ou l’inertance de lapoutre 3et du Groupe Moto-Propulseur secroisent sur le graphe5.14. De meme, vers 500Hz, les inertances des poutrespoutre 1etpoutre 2et despoutre 3etpoutre 4sontegales. Autre fait remarquablea cette frequence, ces deux groupesd’inertances sonta peu presa une decade (20 decibels) environ de part et d’autre de l’inertancede la source. Or, sur le graphique5.15 les quatre poutresetudiees possedent le meme niveauvibratoire d’accelerations coupleesa cette frequence.

Ainsi, rigidifier un recepteur afin de reduire les niveaux vibratoires couples n’est pas toujoursefficace. Passer de lapoutre 1 a la poutre 2n’a quasiment aucune influence. Reduire encorel’inertance pour passera la poutre 3peut etre localement benefique maisegalement nefaste.Enfin, seule lapoutre 4attenue sur une large partie du spectreetudie le niveau des vibrationscouplees.En reprenant l’equation scalaire4.22cetetat de fait est confirme :

γ = γ ∗(

1 +S

R

)(5.57)

Pour que la difference entre les accelerations couplees et les accelerations decouplees soitsensible, il est necessaire que l’inertance du recepteur soit tres inferieurea l’inertance de lasource. Dans le cas ou l’inertance du recepteur serait tres superieurea celle de la source, rigidiferle recepteur n’est pas necessairement la bonne solution pour reduire les niveaux d’accelerationcouples,a moins de raidir suffisamment la sous-structure pour la rendre beaucoup moins mobileque la source.A partir de5.57, nous constatons aussi que l’acceleration decouplee n’est pas un majorant ab-solu de l’acceleration couplee. En effet, il est des situations ou les inertances de la source et durecepteur sont voisines en module mais opposees en phase. Nous en deduisons queγ peutetresensiblement superieurea γ. C’est ce que montre d’ailleurs la figure5.16, notamment le pic vers300Hz. Pour ces frequences, nous pouvons considerer qu’il corresponda une frequence proprede l’assemblage« moteur sur chassis». Neanmoins, pour ces frequences de resonance de l’as-semblage, l’acceleration couplee ne peut tendre vers l’infini, dans la mesure ou S = −R est unesituation impossible, car les effets dissipatifs ne peuvent que s’additionner et non se soustraire,contrairement aux effets d’inerties etelastiques.

95

Observons maintenant l’influence des modifications de poutres sur les efforts de couplage :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

Fréquences (Hz)

Effo

rts

de c

oupl

age

(dB

)

Efforts de couplage de la barre en flexion


FIG. 5.17 –Efforts de couplage des differentes configurations

Comme nous pouvions nous y attendre, le fait de rigidifier les poutres va augmenter lesefforts de couplage. En comparant les courbes obtenues pour lespoutres 1et 2 nous observonsque misa part entre 0 et 200Hz et entre 400 et 600Hz l’effort de couplage de lapoutre 2, la moinsmobile, est superieura celui de lapoutre 1. Si nous nous reportonsa nouveau au graphique desinertances5.14, ces zones ou l’effort de couplage estequivalent entre ces 2 poutres correspondaux zones ou leurs inertances sont tres proches. Cela paraıt logique puisque si deux recepteursont des inertances identiques, leurs efforts de couplage et leurs accelerations couplees serontegaux. Nous retrouvons ce comportement vers 400Hz entre lespoutres 2et3 par exemple. Maisdans l’ensemble, reduire l’inertance une nouvelle fois augmente encore davantage les effortsde couplage (poutre 2vs poutre 3). Ce qui est surprenant, c’est que rigidifier encore plus lerecepteur, pour passera la poutre 4, n’a pas reellement d’influence significative sur les effortsde couplage. Et meme dans certaines zones, comme aux alentours de 300Hz, l’effet obtenusera inverse : un recepteur moins mobile (poutre 4) generera moins d’efforts de couplage. Cecin’est pas paradoxal, si nous considerons que le pic mentionne corresponda une resonance del’ensemble« moteur-chassis». Ainsi l’effort de couplage n’est plus si important puisqu’il ycorrespond un effet de deblocage apporte par la resonance.Ainsi, meme si en assouplissant la sous-structure recepteur on souhaite reduire les efforts decouplage, il est indispensable de prendrea nouveau en compte l’inertance de la source. Car sinotre recepteur est beaucoup moins mobile que la source qui lui est associee, l’assouplir n’auraaucune influence sur les efforts de couplage,a moins de rendre son inertance tres nettementsuperieurea celle de sa source.

96

Nous avons vu que pour reduire les accelerations couplees, rigidifier le recepteur n’etaitpas toujours la solution et que pour reduire les efforts de couplage, l’assouplir n’etait pasnecessairement le bon choix. Nous allons donc nous interesser maintenant au produit de cesdeux termes donnant les puissances injectees :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

Fréquences (Hz)

Pui

ssan

ces

inje

ctée

s (d

B)

Puissances injectées dans la poutre en flexion


FIG. 5.18 –Puissance injectee au point2 des differentes configurations

Ici, c’est lapoutre 3qui, sur une large partie du spectreetudie,« absorbe» le plus d’energiede la source. Les deux extremes, lespoutres 1et 4 sont plutot celles qui presentent le niveaude puissance injectee le plus faible. En effet, ce sont celles qui ont, soit le niveau d’effort decouplage, soit le niveau de vitesse couplee le moinseleve.Nous pouvons ainsi conclure que le cas de couplage le plus defavorable se trouve lorsquel’inertance du recepteur est proche de celle de la source. Les courbes precedentes confirmentcette remarque. En effet, lorsque sur le graphique5.14l’inertance de lapoutre 4croise celle duGroupe Moto-Propulseur, vers 150Hz, la puissance injectee augmente brutalement et devienttres superieurea celle des autres poutres. Ce phenomene se retrouve avec lapoutre 3vers 300,800 et 1100Hz et avec lapoutre 2a 1150 et 1300Hz par exemple. Dans ces cas il y a adaptationd’impedance, entre la source et le recepteur. Et c’est la que le comportement vibratoire coupleest le plus mauvais : force de couplage et acceleration couplee sont alors maximales.

97

Les indiquateurs suivants, acceleration quadratique moyenne de poutre et puissance acous-tique, devraient confirmer cela :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquences (Hz)

Acc

élér

atio

ns q

uadr

atiq

ues

moy

enne

s (d

B)

Accélérations quadratiques moyennes de la poutre en flexion


FIG. 5.19 –Accelerations quadratiques moyennes des differentes configurations

Comme nous l’attendions, lorsqu’il y a adaptation d’impedance le niveau des accelerationsquadratiques moyennes de poutre augmente de facon importante : nous retrouvons les picsprecedemments cites vers 150, 300, 800 Hz etc. Comme sur le graphique5.15des accelerationsau point de couplage2 la poutre 4presente un niveau vibratoire bien plus faible que les troisautres poutresa peu pres du meme niveau. Cependant, bien qu’elle soit plus rigide que lapoutre1, la poutre 2a en general un niveau vibratoire global pluseleve. Cela confirme notre remarqueselon laquelle reduire l’inertance du recepteur afin de reduire son niveau vibratoire n’est pasnecessairement correct.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50

Frequences (Hz)

Pui

ssan

ces

acou

stiq

ue (

dB)

Puissances acoustique rayonnee


FIG. 5.20 –Niveaux globaux de puissance acoustique rayonnee des differentes configurations

Bien que leurs niveaux d’acceleration quadratique moyenne soient les pluselevees, lespoutres 1et 2 presentent les niveaux de puissance rayonnee les plus faibles. En fait, ces deux

98

poutres sont tellement souples qu’elles ne parviennenta injecter que peu de puissance dans laplaque bafflee. Celle-ci est alors peu sollicitee et ne genere par consequent que peu de rayon-nement acoustique. Ainsi, lapoutre 2va davantage transmettre d’energiea la plaque bafflee surappuis que lapoutre 1. Cela se traduit par une augmentation sensible du rayonnement acoustiqueemis par le radiateur visible sur le graphique precedent. Cela signifie que rigidifier le recepteurau mauvais endroit (ici les radiateurs acoustiques n’ont pasete modifies) peut nuire au confortacoustique du systeme couple dans certains cas. Inversement, si nous observons les resultatsobtenus pour lespoutres 3et 4, le fait d’assouplir le recepteur n’apporte pas toujours un gainsensible du niveau acoustique rayonne.

5.3.2 Conclusion

Dans le cas d’un couplage rigide entre la source et le recepteur, il est essentiel de tenir comptedes inertances de ces deuxelements afin d’assurer leur desadaptation en impedance. Il est ainsipossible d’ameliorer les niveaux de vibration couples ou d’effort de couplage.Ne pas le faire pourraıt conduirea des modifications structurales importantes n’ayant pas ou peud’effet sur le critere vise.

5.4 Le cas du lien souple

5.4.1 Resultats

Nous reprenons dans cette partie les quatre poutres en flexion de la partie5.3.Cependant nous inserons cette fois unelement mobile entre ces differentes poutres et notre

source. La poutre en traction-compression, qui modelise un silent-bloc, a maintenant les particu-larites suivantes :

Module d’Young 2.107

η 10%

ρ 1500Longueur x Largeur 0.1 x 0.1

Hauteur 0.1

Ses inertances sont donnees en figure5.6. Ces courbes presentent plusieurs pics, assez amor-tis, significatifs d’un comportement modal. Cetelement ne peut donc plusetre considere commeune simple masse ajoutee rigide mais doitetre pris en comptea part entiere dans l’assemblage.Son inertance moyenne est comparablea celle despoutres 1et 2 comme le montre le graphiquesuivant :

99

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

30Inertances de la poutre rigide en traction et de la poutre en flexion

Fréquences (Hz)

Iner

tanc

es (

dB)

Transfert 11Transfert 12Transfert 21Transfert 22Poutre 1Poutre 2

FIG. 5.21 –Comparaison des inertances de la poutre en traction et des poutre 1 et 2 en flexion

Mais regardons tout d’abord les puissances aux deux extremites de cette poutre en traction-compression :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−120

−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

Fréquences (Hz)

Pui

ssan

ces

inje

ctée

s (d

B)

Puissances aux extrémités de la poutre en traction

Puissance au point 1Puissance au point 2

FIG. 5.22 –Comparaison desenergies entrantes et sortantes de la poutre en traction-compression

Nous constatons qu’une partie de l’energie fournie par la source est« absorbee» par cetelement. Cela devrait reduire les niveaux des differents criteres vibratoiresetudies. Voyons cequ’il en est des accelerations couplees au point 2 :

100

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquences (Hz)

Acc

élér

atio

ns c

oupl

ées

(dB

)

Accélérations couplées de la barre en flexion


FIG. 5.23 –Accelerations couplees des differentes configurations

L’influence de cetelement souple est negligeable pour les deux premieres poutre (cf.5.15).Pour lapoutre 1, nous observons meme une legere amplification du niveau d’acceleration coupleentre 900 et 1100Hz. C’est le signe d’une adaptation d’impedance entre la poutre en traction-compression et lapoutre 1.Par contre, les niveaux vibratoires despoutres 3et 4 sont tres attenues, de l’ordre de 20 et 30decibels respectivement. Les allures des courbes obtenues sont assez proches de celles ou le lienest rigide (cf.5.15) mais elles ont un« offset» tres important vers le bas. Ainsi dans ce cas,l’ element souple va bien jouer son role filtrant en desadaptant la source du recepteur.En effet, si nous appelonsk la raideur de l’element souple, l’expression5.57de l’accelerationcoupleeγ en aval de cetelement devient :

γ = γ ∗(

1 +S

R− ω2

k.R

)(5.58)

Cette formule montre l’effet de la raideur de l’element souple, puisque si|−ω2

k.R| À |S

R| alors il

vient :

|−ω2

k| À |S| (5.59)

Donc, pour unelement suffisamment souple par rapporta l’inertance de la source, l’accelerationcouplee en aval de cetelement devient independante de celle de l’inertance de la source et devientproportionnellea l’inertance du chassis recepteur :

γ =γ

1− ω2

k.R

≈ γ ∗ k.R

−ω2(5.60)

Ainsi, en presence d’un lien souple entre le moteur et le chassis, nous constatons que le chassisrecepteur le moins mobile conduit aux accelerations couplees les plus faibles.

101

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquences (Hz)

Effo

rts

de c

oupl

age

(dB

)

Efforts de couplage de la barre en flexion


FIG. 5.24 –Efforts de couplage des differentes configurations

Les efforts de couplage sont eux aussi tres attenues (cf.5.17). Une nouvelle fois, ce sontles poutres les moins mobiles qui profitent le plus de la presence de la poutre en traction-compression souple : l’effort de couplage est reduit de 20 decibels en moyenne sur le spectreetudie.Les poutres 1et 2 sont elles tres peu influencees par cetelement avec meme quelques zonesd’amplification de l’effort de couplage, vers 100Hz par exemple.Ces observations confirment les remarques precedentes sur les accelerations couplees : l’elementsouple de liaison est mal adapte visa vis despoutres 1et2.

Les puissances injectees au point2 sont les suivantes :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−120

−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

Fréquences (Hz)

Pui

ssan

ces

inje

ctée

s (d

B)

Puissances injectées dans la poutre en flexion


FIG. 5.25 –Puissance injectee au point2 des differentes configurations

102

Ici le niveau global des puissances injectees pour les quatre poutres aenormement chutte :de 50a 100 decibels par rapporta l’assemblage avec le lien rigide (cf.5.18). La baisse la plussignificative se retrouvea nouveau sur lapoutre 4. Le niveau de lapoutre 3reste en generalinferieura celui despoutres 1et 2 et ne le depasse jamais. Il n’y a plus de relation directe entreles inertances de la source et des poutres et les puissances injectees.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquences (Hz)

Acc

élér

atio

ns q

uadr

atiq

ues

moy

enne

s (d

B)

Accélérations quadratiques moyennes de la poutre en flexion


FIG. 5.26 –Accelerations quadratiques moyennes des differentes configurations

Le niveau de l’indicateur ci-dessus a lui aussi beaucoup baisse si nous le comparons avecsonequivalent« lien rigide» (cf. 5.19). Comme pour les puissances injectees, c’est lapoutre 4qui profite le plus de la presence de l’element mobile dans l’asemblage. Par contre, les alluresdes courbes sont conservees mais les pics dusa l’adaptation d’impedance entre la source et lerecepteur lies rigidement sont resorbes (poutre 3aux envrons de 800Hz par exemple). Le role del’ element souple est une nouvelle fois mis enevidence et une nouvelle fois son apport est le plusinteressant dans le cas ou l’inertance de la poutre est la plus faible.

103

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−350

−300

−250

−200

−150

−100

Frequences (Hz)

Pui

ssan

ces

acou

stiq

ue (

dB)

Puissances acoustique rayonnee


FIG. 5.27 –Niveaux globaux de puissance acoustique rayonnee des differentes configurations

Quant a la puissance acoustique rayonnee, elle chuteegalement misa part aux environsdes 400Hz. Le pica 800Hz est toujours present mais tres attenue par rapport au montage avecle « lien rigide» (cf. 5.20). Autre fait remarquable, les puissances acoustiques rayonnees desquatre poutres restent tres proches sur l’ensemble du spectre presente, meme si les courbes despoutres 1et2 restent generalement en deca des deux autres.

Finalement, observons les inertances des differents chassis complets (element souple inclus)vis a vis de celle de la source :

0 200 400 600 800 1000 1200 1400−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

Fréquences (Hz)

Iner

tanc

es (

dB)

Inertances des récepteurs

Châssis sourceChâssis Récepteur 1Châssis Récepteur 2Châssis Récepteur 3Châssis Récepteur 4

FIG. 5.28 –Comparaison des differentes inertances de chassis complets par rapport au GroupeMoto-Propulseur

Nous remarquons tout d’abord que les structures composees des poutres les moins mobiles,c’est-a-dire despoutres 3et 4, coupleesa l’element souple se comportent quasiment comme s’il

104

n’y avait que l’element souple dans l’assemblage. Cela est touta fait logique, puisque l’inertanceglobaleIglobale de l’ensemble recepteur« poutre en flexion + poutre en traction-compression»s’exprime scalairement par la relation :

Iglobale = Bpoutre en traction−compression + Mpoutre en flexion (5.61)

Ainsi, si l’un deselements est beaucoup plus mobile que l’autre, il devient preponderant dans lecomportement de l’ensemble recepteur global.

5.4.2 Conclusion

Le gain apporte par l’ajout d’unelement tres mobile entre la source et le recepteur est signi-ficatif sur la totalite des indicateurs presentes. Surtout dans le cas ou ce dernier a une inertanceequivalente ou plus faible que la source. Il faut toutefois s’assurer qu’il n’y a pas d’adaptationd’impedance entre cetelement de liaison et la source ou le recepteur car cela risquerait d’ampli-fier les niveaux d’acceleration au point de liaison.

5.5 Conclusion

Il est primordial de comparer les inertances de la source et du recepteur lorsque l’on cherchea reduire les niveaux de vibration ou d’efforts couples. Et particulierement dans le cas d’as-semblages industriels ou la source est liee rigidement au recepteur. Le fait de rapprocher lesinertances de ces deuxelements, soit en rigidifiant soit en assouplissant l’un des deux, peutconduirea l’effet inverse de celui recherche ; ou pire de ne rien faire sur l’indiquateur vise maisen degrader un autre : une augmentation des efforts de couplage n’est pas necessairement« vi-sible» (niveaux d’acceleration restant constants).Dans ce cas, il est preferable d’inclure unelement intermediaire dont le role est de desadapterles inertances du recepteur et de la source. Il est donc important de bien choisir cette structure«filtrante» afin qu’elle soit desadaptee en inertance avec la source mais aussi avec le recepteur.

105

Chapitre 6

Conclusion Generale

La caracterisation des sources acoustiques s’effectue de maniere robuste par la mesure desa puissance. La caracterisation de sources vibratoires quanta elle est bien plus delicate etmalgre les efforts importants de ces dernieres annees aucune caracterisationa la fois physiqueet suffisamment simple n’est disponible actuellement. La difficulte principale reside dans le faitque la puissance vibratoire du systeme complet ne depend pas uniquement de la source maisegalement de son (ses) recepteur(s). Il est donc necessaire de pouvoir caracteriser l’assemblagecomplet et cela n’est possible que lorsque la source et son (ses) recepteur(s) sont tous deuxconnus. Un moyen d’y parvenir est de trouver des proprietes qui caracterisent independammentchacune des sous-structures (source et recepteur) et qui puissentetre combinees pour caracteriserla structure complete.

La methode des mobilites est certainement la methode la plus adaptee qui permet unecaracterisation complete et mathematiquement rigoureuse des sources de vibrations.

Le chapitre3 a presente une tentative de caracterisation de structure reelle comme unlave-linge. Les premieres difficultes sont rencontrees non pas dans la caracterisation desmobilites des differentes sous-structures mais dans les liens qui les unissent. Lesequations de lamethode des mobilites sont alors reprises et leselements de liaison problematiques sont integrespar leurs caracteristiques physiques. Les mesures et les calculs effectues par la suite mettent enexergue la difficulte d’appliquer des methodes mathematiquement robustesa des systemes reelset pose la problematique des liaisons. En effet, meme s’il est theoriquement possible de montrerl’invariance d’une source dans n’importe quelles conditions de couplage la pratique ne le permetpas toujours.Cette partie montreegalement que cette methode permet tout de meme de caracteriser desstructures reelles en fonctionnement.

Dans le chapitre4 nous appliquons cette demarchea un Groupe Moto-Propulseur Dieselet nous nous heurtons une nouvelle fois au probleme des liaisons. Celles-ci sont realisees dansun materiauelastomere dont les caracteristiques varient en fonction de la charge statique. Lesequations de la methode sont alors utilisees differemment pour caracteriser le recepteur« in situ» a l’aide d’une source de vibration fictive. Les donnees obtenues sont ensuite reutilisees pourcaracteriser la source reelle en fonctionnement.

107

Une premiere approximation des vitesses decouplees est donnee et une methode de validationde celles-ci detaillee.

Le chapitre5 a donne un exemple de calcul analytique d’un moteur Diesel couple a un chassisconnu. Ce calcul permet d’obtenir differents parametres interessants tels que les efforts de cou-plage, les vitesses couplees, les puissances injectees et la puissance rayonnee par le chassis.Meme si le modele presente reste academique, il demontre tout de meme la puissance et la flexi-bilit e de cette methode. Elle permet de faire desetudes parametriques rapides et peut aussi servirde point d’entree de calculs ulterieurs :

– La puissance injectee pour la methode S.E.A.– Les efforts de couplage dans un calculElements Finis– etc.

Ce chapitre demontreegalement l’importance primordiale de connaıtre la source (maisegalement ses recepteurs) de maniere intrinseque si l’on veut pouvoir l’utiliser pour faire descalculs de prevision vibratoire.

108

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