CALCUL LITTERAL

4° Avon 2009Bernard Izard

Chapitre

09-LT

I - CONVENTION D’ECRITUREII – VALEUR NUMERIQUE D’UNE…Exp.

III- REDUIRE UNE SOMMEIV – SIMPLIFIER UN PRODUITV - LES PARENTHESESVI - NOTION DE FACTORISATION

I-CONVENTIONS D’ECRITURE

1 x a =a 0 x a = 0 -1 x a = -a-1 x (…..) =-(….)

On peut omettre le signe x devant une lettre ou une parenthèse.

a x b se note

2 x x se note

3x(…..) se note

(…..)x(…..)se note

On lit: 3 facteur de

ab

2x

3(…..)

(…..)(…..)

x + x = 2x

x x x = x²

On met les nombres chiffrés devant les lettres

On écrit 2x et non x2 3(…) et non (…)3

Expressions littérales: Si a, b et x représentent des nombres, traduire les

phrases suivantes par une expression littérale simplifiée:

La somme de a et bLa somme de x et 3Le double de aLe quadruple de aLa moitié de aL’inverse de al’opposé de aLe produit de a par bLe produit de x par 3Le quotient de a par bLa moitié de la somme de 3 et a

Le Produit de 3x par 2xLe produit de 6 par la somme de x et 3La somme de 6 et le produit de x par 3Les trois quarts de xLe triple du quart de xLe carré de la somme de 3 et xLa somme des carrés de 3 et xLe double de la somme de 3 et x

a + bx + 32a4a

a/2

1/a-aab3x

a/b

3+a 2

6x²

6(x + 3)6+3x

3x 4 3x

4

3² + x²

(3 + x)²

2(3 + x)

II-VALEUR NUMERIQUE D’ UNE EXPRESSION

A = 5x + 5 est une expression littéralSi on remplace x par 3, on va trouver la

valeur numérique de cette expression pour x = 3A = 5 x 3 + 5

A =15 + 5

A = 20Cette expression vaut 20 pour x = 3Si on remplace x par –2

A = 5x(-2) +5

A =-10+5

A = -5Cette expression vaut -5 pour x = -2

Ex1: Calculer pour x =1

A = 4 x – 4

B = 5x – 5(x-7)

A =4(1) – 4

A = 4 – 4

A = 0

C = 2 x² - 3 x + 1

B = 5(1) –5((1) – 7)

B = 5 –5(-6)

B =5 + 30

B =35

D = -32x² + x + 18

C = 2(1)² - 3(1) + 1

C = 2 – 3 + 1

C = 0

D = -32(1)² + 1 +18

D = -32 +19

D = -13

Ex2: Calculer pour x = -3

A = 4x – 4

B = 5x – 5(x-7)

C = 2x² - 3x + 1

D = -32x² + x + 18

A = 4(-3) – 4

A = -12 – 4

A = -16A = -16

B = 5(-3) – 5((-3)-7)

B = -15 – 5(-10)

B = -15 + 50

B = 35

C = 2(-3)² – 3(-3) +1

C =2x9 + 9 + 1

C = 18 + 10

C = 28

D = -32(-3)² +(-3) + 18

D = -32x9 – 3 + 18

D = -288 +15

D = - 273

III- REDUIRE UNE SOMME

Pour réduire une somme, on regroupe les termes de mêmes « mots mathématiques », puis on les ajoute ensemble.

Remarque : on ajoute les x avec les x, les x²avec les x² , les y avec les y et les nombres chiffrés seuls avec les nombres chiffrés seuls.

Ex1: A = x + 3x

A = 4x

Ex2: B = x + x² +3 + x + 2x² + 5

B = x + x + x² + 2x² + 3 + 5

B = 2 x + 3x² + 8

D = x² + 8 x - 7 - 13 x + 12 + 2 x² + 3 x

Ex4: Réduire l’expression suivante.

D = x² + 8 x - 7 - 13 x + 12 + 2 x² + 3 x

D = x² + 2 x² + 8 x - 13 x + 3 x - 7 + 12

D = 3 x² - 2 x + 5

Mais jamais les x avec les x², les a avec les b..

Ex3: C = x + x² On ne peut pas réduire

Ordonner une expressionOn range les termes suivant les puissances d’une lettre

A = x + 3x² – 3

A = -3 + x +3x²

Ordre croissant

A = x + 3x² - 3

A = 3x² + x - 3

Ordre décroissant

On a ordonné suivant les puissances de x

Ex: Ranger suivant les puissances décroissantes de x:

B = 5x – 5 + 7x³ - 8x²B = 7x³- 8x² + 5x - 5

Réduire et ordonner une expression

On Réduit en commençant par les puissances 3, puis 2, puis 1, puis 0, ou dans l’autre sens.

Ex: A=3x – 2x² +5 –3 – x +7x² +4x³

Les x³

4x³

Les x²

7x²

-2x²

5x²

Les x

3x

-x

2x

Les chiffres

5

-3

2

A = 4x³ + 5x² +2x + 2

Ex1: A = 3x x 5 x 2x

A =3x5x2 x x x x

A = 30 x x²

A = 30x²

IV-REDUIRE ou SIMPLIFIER UN PRODUIT

Pour réduire un produit, on multiplie les nombres chiffrés ensemble et les mêmes lettres ensemble

On utilise la règle du:

Signes

Chiffres

LettresEx2: B = -3 x 5 x x² x 7 x (-x)

Signes

Chiffres

Lettres

- par - = +

3x5x7 =105

x² x x = x³

B = 105 x³

Ex3 : Réduire les produits suivants.

A = 2 x x x 3 x x

A = 2 x x x 3 x x

A = 2 x 3 x x x x

A = 6 x x²

A = 6 x²

B = -7 x 3x

B = -7 x 3x

B = - 21x

C = -5 x x (-4)

C = (-4) x (-5 x)

C = 20 x

D = -9 x x 6 xy

D = -9 x x 6 xy

D = -54 x²y

V-LES PARENTHESES

On peut supprimer un couple de parenthèses précédé du signe +

A condition qu’il ne soit pas suivi d’un x ou :

A = 8 + (- 3 + x )

A = 8 + (- 3 + x )

A = 8 - 3 + x

A = 5 + x

1) Précédées d’un signe +

Ex:

Ex :

A = 8 - ( 4 - 3x )

A= 8 – (+4 - 3x)

A= 8 - 4 + 3x

2) Précédées d’un signe -

On peut supprimer un couple de

parenthèses précédé du signe - à condition de changer les signes de tous les termes qui étaient à l’intérieur.

A condition qu’il ne soit pas suivi d’un x ou :

A= 4 + 3x

Développer une expression littérale, c’est transformer un produit en une somme.

3) Précédées d’un signe x

k x ( a + b ) = k x a + k x b

k x ( a - b ) = k x a - k x b

C’est la formule de la distributivitéOn dit que l’on a distribué ou

développé.

k(a+b) = ka + kb

k(a-b) = ka - kb

Avec les conventions d’écriture on peut écrire:

(a + b) (b + c) =

(a + b) (b – c) =

(a – b) (b + c) =

(a – b) (b – c) =

ab + ac + b² + bc

La double distributivité

ab - ac + b² - bc

ab + ac - b² - bc

ab - ac - b²+ bc

Ex1: Développer l’expression:

(9 +2x)(7 –3x) = 9x7 – 9 x 3x +7 x 2x - 2x x 3x

‘’’’ ‘’’ = 63 - 27x + 14x – 6x²

‘’’’‘’’ = – 6x² - 13x + 63

Ex2 :

143 x 102 = 143 x ( 100 + 2 )

= 143 x 100 + 143 x 2

= 14 300 + 286

= 14 586

A = 3(- 6 x + 4)

A = 3 x(- 6 x + 4)

A = 3 x(- 6 x) + 3 x 4

A= -18 x + 12

B = 2x (x – y + 4)

B = 2x x (x – y + 4)

B = 2x x x + 2x x( - y ) + 2x x 4

B = 2 x² - 2 xy + 8 x

’’ ’’

’’ ’’

’’ ’’

Ex 3:

102 x 209 = ( 100 + 2 ) x ( 200 + 9 )

= 100 x 200 + 100 x 9 + 2 x 200 + 2 x 9

= 20 000 + 900 + 400 + 18

= 21 318

A = (2x + 3)(3x - 4)

A = (2x + 3)(3x - 4)

A = 2x x 3x + 2x x(- 4) + 3x3x + 3x(- 4)

A = 6 x ² - 8 x + 9 x – 12

A = 6 x ² + x – 12

’’ ’’

’’ ’’

’’ ’’

VI NOTION DE FACTORISATION

On utilise la formule de la distributivité dans l’autre sens

k x ( a + b ) = k x a + k x bDévelopper

Factoriser

k x a + k x b = k x ( a + b )On met k en facteur commun

Ex1: 5a + 5b = 5(a + b)

Ex2: 15a + 10b = 5x3a + 5x2b ‘’’’ ‘’’’ = 5(3a + 2b)

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FIN