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  • 1. Rsum de thorie et guide detravaux pratiques Arithmtique commercialeDocument labor par :MAHMOUD ACHRITFORMATEUR : ISTA CHEFCHAOUENANNEE SCOLAIRE : 2011-2012DIRECTION REGIONALE : NORD OUEST IIOFPPT/ DRIF 1

2. Rsum de thorie et guide detravaux pratiques Arithmtique commercialePRESENTATION DU MODULECe module prsente une prparation lacquisition dune formation de baseaussi bien pour les techniciens comptables que pour les agents en techniques devente.Dans ses deux filires, les stagiaires sont trs souvent appels faire des calculscommerciaux en matire de pourcentages, calcul des intrts, partageproportionnel, comptes courants etc.Le module arithmtique commerciale a pour but de faciliter aux stagiairesLassimilation de tous les autres modules.Il se divise en six parties : Une premire partie qui traite les rapports et proportions, les grandeursproportionnelles et le partage proportionnel. la deuxime partie rserve aux pourcentages et leurs diffrentesapplications en pratique commerciale, en comptabilit et en fiscalit. La troisime partie consacre la pratique des intrts simples et desdiffrentes mthodes de calcul. La quatrime partie qui tudie lescompte commercial. La cinquime partie destine lanalyse de lquivalence des effets La sixime partie qui aborde la tenue des comptes courants et dintrtspar la mthode hambourgeoise.OFPPT/ DRIF 2 3. Rsum de thorie et guide detravaux pratiques Arithmtique commercialeMODULE : ARITHMETIQUE COMMERCIALERESUME THEORIQUEOFPPT/ DRIF 3 4. Rsum de thorie et guide detravaux pratiques Arithmtique commercialeRAPPORTS ET PROPORTIONSGRANDEURS PROPORTIONNELLES PARTAGES PROPORTIONNELSI. RAPPORTS ET PROPORTIONSI.1. Rapport :Le rapport dune grandeur une autre grandeur est le quotient du nombre (a) qui mesure lapremire par le nombre (b) qui mesure la deuxime.ka =bEn gnral, un rapport se prsente sous forme de fraction et se compose de deux termes ;Le premier est le numrateur ou lantcdent, le second est le dnominateur ou le consquent.Exemples :54 = Le rapport de 54 9 est 6917 = Le rapport de 17 2 est 8.52I.2. Proportion :La proportion est lgalit forme de deux rapportsExemples :1565 =222811 =4cda =ba = cles nombres : -a et d sont appels : les extrmes ;Dans la proportion bd-b et c sont appels : les moyens.OFPPT/ DRIF 4 5. Rsum de thorie et guide detravaux pratiques Arithmtique commercialeI.2.1 Proprits des proportionsLorsquon dispose dune proportion, on peut effectuer diffrentes transformations.2.1.1. Dans toute proportion, le produit des extrmes est gal au produit des moyens. Soit :a =cbdRduisons les deux fractions au mme dnominateur commun (b x d) : axd=bxdcxbdxbChassons les dnominateurs. Il reste alors :a x d= c x bExemple := x = x4 27 9 121227108 10849 =2.1.2 Dans une proportion donne, on peut permuter les extrmes ente eux et les moyens entreeux.Soit la proportion a =cbdUtilisons la proprit vue au 2.1.1Elle nous permet dcrire a x d = b x c. Or, si on change la place des 4 termes, on obtient lemme rsultat.a = = b dxa = cxb.Cette dernire galit est identique la prcdente.adccdb2.1.3. Si deux rapports forment une proportion, on obtient un rapport gal aux deux premiersen prenant pour numrateur la somme des numrateurs et pour dnominateur la somme desdnominateurs.ca =Soit la proportion : bda c= =On peut crire kdba = =Do k a bkb+OFPPT/ DRIF 5 6. Rsum de thorie et guide detravaux pratiques Arithmtique commercialec = k c =dkd__ ______________a + c = b*k + d*ka + c= k*(b + d)k = a +cb +dCe qui nous permet dcrire finalement :a c= = +b dcdab2.1.4 On obtient aussi un rapport gal si on utilise la diffrence+a c= = -b dcd-a par le nombre relatif x et les deux termes duab2.1.5. Multiplions les deux termes du rapport bc par le nombre relatif y.rapport dcda =bax cy= = +bx dycydyaxbx+Exemple :Soit la proposition 6155 =2Multiplions respectivement les rapports par :X = 4Y = -5= -20 758 30x x= = -(5 4) (15 5)x x(2 4) (6 5)15652--552255 =-22-I.2.2.Suite de rapports gauxDisposant de plusieurs rapports gaux, on peut former une suite de ces rapports gaux.OFPPT/ DRIF 6 7. Rsum de thorie et guide deArithmtique commercialetravaux pratiques a = ; = k ; eSoit =k.fk cdbOn peut former une suite ayant la forme suivante :a = c=dbI.2.3.proprits des suites de rapports gauxElles ont les mmes proprits que les propositionsEt dune faon gnrale :ea = c=Soit la suite : bdfefa b c= = = + +b d fefcdab+ +Si on multiplie les termes de chaque rapport par un nombre relatif, on obtient :ezfza = , = et e=fcydycdaxbxbEt on peut crire sous la forme suivante :ax + cy +ezbx dy fze= = =fcdab+ +II GRANDEURS PROPORTINNELLESII.1. Grandeurs directement proportionnellesDeux grandeurs sont directement proportionnelles lorsque lune devenant un certain nombrede fois plus grande (ou plus petite), lautre devient le mme nombre de fois plus grande (ouplus petite), cest dire dans la mme proportion.OFPPT/ DRIF 7 8. Rsum de thorie et guide detravaux pratiques Arithmtique commerciale1.1 Exemple :Le nombre dheures de travail et le salaire de louvrier.Soit le tableau suivant :Salaire encaiss Nombre dheures de travail Rapport (taux horaire)18041845200921732419A176180196212236..B10.251804 =17610.251845 =18010.252009 =19610.252193 =21210.252419 =236KA =BOn constate que le rapport de chaque salaire la dure correspondante est constant (10.25)On peut dire, donc, que les salaires les masses horaires correspondantes sont deux grandeursdirectement proportionnelles.1.2. DfinitionDeux grandeurs qui varient simultanment sont directement proportionnelles quand lerapport des mesures correspondantes est constant.II.2. Grandeurs inversement proportionnellesDeux grandeurs sont inversement proportionnelles lorsque lune devenant un certain nombrede fois plus grande (ou plus petite) , lautre devient le mme nombre de fois plus petite ( ouplus grande ).Exemple :La vitesse dun vhicule et la dure du parcours.OFPPT/ DRIF 8 9. Rsum de thorie et guide detravaux pratiques Arithmtique commercialeIII PARTAGES POPORTIONNELSPartager une somme proportionnellement aux nombre a, b, c cest effectuer un partageproportionnel a, b, c.Selon que a, b, c appartiennent une seule grandeur ou plusieurs grandeurs ,le partage estsimple ou le partage est dit compos.III.1 Partages directement proportionnels1.1. Principe :Les parts forment avec les nombres donns une suite de rapports gaux.1.2. Rgle :Pour partager une somme en parties directement proportionnelles des nombresDonns : On divise cette somme par le total des nombres donns et on multiplie le quotientsuccessivement par chacun deux.Si le partage a lieu proportionnellement des fractions, on rduit celles-ci au mmednominateur et on effectue le partage proportionnellement aux numrateurs.Exemple :Partager une prime de fin danne de 22 478 DH proportionnellement aux annes deservice de 3 employs : 6ans, 12 ans et 14 ans6+12+14=326 Part du premier : x 22478 =4214.633212 x =Part du second : 22478 8429.253214 x =Part du troisime : 22478 9834.1232III.2 Partages Inversement Proportionnels2.1. Principe :Les parts forment avec les inverses des nombres donns une suite de rapports gaux.OFPPT/ DRIF 9 10. Rsum de thorie et guide detravaux pratiques Arithmtique commerciale2.2. Rgle :Pour partager une somme en parties inversement proportionnelles des nombre donns : On la partage en parties directement proportionnelles aux inverses de ces nombres .Exemple :Une gratification de 14 000 DH est partager entre les trois membres dune quipe enparties inversement proportionnelles au nombre dheures de travail ncessaires pourlexcution dune tche donne, ils ont effectu chacun et qui sont respectivement :63 H, 72 H et 80 H.Solution :Les parts sont directement proportionnelles :; 180; 172163En rduisant au mme dnominateur on aura :; 635040; 70504080504014000x 80 =La part du premier : 5258.2221314000x 70 =La part du deuxime : 4600.9421314000x 63 =La part du troisime : 4140.84213LES POURCENTAGESI. DfinitionOFPPT/ DRIF 10 11. Rsum de thorie et guide detravaux pratiques Arithmtique commercialeOn appelle pourcentage (ou tant pour cent) le rapport constant de deux grandeursproportionnelles quand la mesure de la seconde est 100.Cest donc un rapport dont le dnominateur est 100.Du point de vue mathmatique, on a deux cas distincts :- Soit le pourcentage sapplique une quantit connue, on lappelle alors pourcentagedirect ;- Soit le pourcentage sapplique une quantit inconnue, on lappelle, dans ce cas,pourcentage indirect.I.1. Pourcentage direct :Exemple :Un commerant achte un article au prix de 9 000 DH. Il dsire raliser un bnfice de 20%sur le prix dachat. Quel sera alors son bnfice ?Bnfice =9000x20100Cette expression peut aussi scrire sous la forme suivante :Bnfice =9000x 20 Bnfice =1800DH100Plus gnralement, une quantit reprsente par un pourcentage de x% applicable unequantit connue P, se calcule comme suit :P = x100I.2. Pourcentage indirect :ExempleUn commerant achte une marchandise 24 000 DH et dsire raliser un bnfice de 25%sur le prix de vente. Quel sera, dans ce cas, son bnfice ?Le bnfice (B)= 25 chaque fois que le PV = 100 et par voie de consquence, le prixDachat (PA) sera gal :PA=PV-B car le prix de vente= prix dachat +bnficePA=PV-B=100 25 = 75= 25B xPA75B = 25 x Bnfice =24000 800075Gnralisation :PA 100 - xOFPPT/ DRIF 11 12. Rsum de thorie et guide detravaux pratiques Arithmtique commerciale+B x do_________________PV 100II Application des pourcentages aux rductions sur le prixEn gnral, le commerant accorde ses clients une rduction de a% calcule sur le prix devente public appel aussi :- Prix de vente -catalogue (PVC)- Prix de vente brut (PVB)- Prix de vente marqu (PVM)xPAxB x-=100II.1. Calcul du PVC en fonction du PVLe point de dpart est le PVCLe point darrive est le PVExemple : un commerant qui accorde deux remises 10% et 8%.On commence par poser llment calculer (point de dpart) et on termine par llmentconnu (point darrive)xaPVC100100- -=100100= 100PVC x xPV90II.2. Calcul du PV en fonction du PVCPoint de dpart : PV calculerPoint darrive : P