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CALCUL DES FRQUENCES PROPRES DE TRANSMISSION UTILISANT LES QUATIONS INTGRALES ET LES DONNES

L'INFINI COMPUTATION OF TRANSMISSION EIGENVALUES USING

INTEGRAL EQUATIONS AND FAR FIELD DATA A. Cossonnire - CERFACS 42 avenue Gaspard Coriolis 31057 TOULOUSE Cedex 01

Tl. +33 (0)5 61 19 30 69

e-mail : cosso@cerfacs.fr F. Collino CERFACS

e-mail : collino@cerfacs.fr MB. Fares CERFACS

e-mail : fares@cerfacs.fr H. Haddar Ecole Polytechnique Route de Saclay 91928 PALAISEAU Cedex

e-mail : haddar@cmap.polytechnique.fr RESUME Considrons la diffraction d'une onde lectromagntique harmonique en temps par un milieu

anisotrope dans . Cette tude propose une mthode pour calculer les frquences propres de transmission qui utilise les quations intgrales et la mthode des lments finis. Le problme se ramne alors un problme aux valeurs propres pour un oprateur compact et plus prcisment consiste chercher s'il possde la valeur propre nulle. Un prconditionneur va ainsi tre utilis afin de dplacer l'accumulation des valeurs propres loin de zro. Enfin, les rsultats seront valids par comparaison aux valeurs trouves par les donnes l'infini.

We consider the scattering of time-harmonic electromagnetic waves by an anisotropic

medium in . We propose a method to compute transmission eigenvalues using integral equations and finite elements method. This leads to an eigenvalue problem for a compact operator. Since the problem consists in finding compact operators with 0 as an eigenvalue, we shall use a preconditioner in order to shift the accumulation point out of 0. To validate this method, we compare the results with values computed from far field data.

INTRODUCTION L'tude des frquences propres de transmission est directement lie l'tude du problme de transmission intrieur pour un milieu diffractant de frontire rgulire dfini par :

o est la normale extrieure . Bien que des rsultats thoriques sur l'existence des valeurs propres de transmission et le fait qu'elles forment un ensemble discret ont t prouvs dans beaucoup d'articles ([3], [4],

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[5]), trs peu se sont intresss au calcul des valeurs propres de transmission pour des gomtries quelconques ([2], [6]) et encore moins en lectromagntisme. Pour des gomtries sphriques, les solutions du problme de transmission intrieur peuvent tre exprimes analytiquement grce aux fonctions de Bessel et ramne le problme trouver les zros d'un dterminant. Cependant, pour des gomtries plus gnrales, le calcul est moins vident et deux mthodes sont proposes ici. La premire est base sur le code CESC dvelopp par le CERFACS qui combine quations intgrales et lments finis et consiste finalement rsoudre un problme aux valeurs propres. La seconde mthode utilise les mesures du champ lointain et la Linear Sampling Method. Enfin la concordance des rsultats fournis par les deux mthodes sera tablie.

RESULTATS THEORIQUES

Hypothses Considrons le problme de transmission intrieur pour un domaine qui peut contenir une cavit c'est dire un domaine tel que est gal la matrice identit dans o

est une matrice symtrique dont les coefficients sont des fonctions relles bornes. Supposons galement qu'il existe une constante telle que soit

soit

pour tout et presque partout dans .

Thormes principaux Un premier rsultat important concernant l'existence de valeurs propres de transmission est rappel ici et a t dmontr dans [7]. La dmonstration utilise une formulation du quatrime ordre du problme de transmission intrieur sur la nouvelle inconnue et utilise la

thorie de Fredholm analytique. Thorme : Il existe un ensemble infini discret de valeurs propres de transmission admettant l'infini comme seul point d'accumulation possible. De plus, le thorme suivant fournit un rsultat de monotonicit de la premire frquence de transmission par rapport la taille de la cavit. Ce rsultat sera utile dans les tests numriques afin de dterminer un intervalle de recherche de la premire valeur propre de transmission en comparant avec les valeurs obtenues pour des gomtries sphriques. Notons la premire valeur propre de transmission pour un domaine contenant

une cavit et avec un indice dans .

Thorme : Si alors .

PRESENTATION DES DEUX METHODES

Calcul des valeurs propres de transmission en utilisant le champ lointain La Linear Sampling Method est base sur la rsolution d'une quation de champ lointain mal pose en utilisant la rgularisation de Tikhonov. Cette mthode est habituellement utilise pour dterminer la forme d'un obstacle. Cependant, elle fournit galement un moyen

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de calculer les valeurs propres de transmission grce un rsultat prouv dans [8] pour les ondes acoustiques et qui est tendu aux quations de Maxwell dans la suite. En effet, lorsque est une valeur propre de transmission pour un point , la norme de la solution rgularise de l'quation du champ lointain ne peut tre borne quand le paramtre tend vers zro. Ainsi les valeurs propres de transmission peuvent tre localises au niveau des pics sur la courbe reprsentant la norme de la solution rgularise comme fonction de . On considre le problme de direct de diffraction :

Le champ lointain est suppos connu pour toutes les directions et tous les

points . Alors on peut dfinir l'oprateur de champ lointain :

par

pour .

La linear sampling method consiste rsoudre l'quation du champ lointain

)

o correspond au champ lointain dun diple lectrique de polarisation :

) .

L'oprateur approch correspondant aux mesures approches est not o

est la mesure du bruit. En particulier, est un oprateur compact. Pour tout et fixs, peut tre dtermin en minimisant la fonction de Tikhonov :

o quand est le paramtre de rgularisation. De plus satisfait

(1)

Dfinition : un rel est appel valeur propre pour dans s'il existe solution non triviale de

.

Le thorme suivant est galement valable pour .

Thorme : Supposons que est une valeur propre de transmission et que (1) est vrifie.

Supposons galement que n'est pas une valeur propre pour dans D0. Alors pour

presque tout , il existe tel que n'est pas borne quand

Le thorme prcdent implique en particulier que nest galement pas borne

quand Afin de calculer les valeurs propres de transmission, la mthode va alors tre la suivante : pour un point fix et pour un chantillon de point on calcule une

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approximation de la solution de l'quation du champ lointain et on trace la courbe

.

Mthode des quations intgrales Dans cette partie, va tre suppose de la forme o est la matrice identit. Les solutions et du problme de transmission intrieur peuvent tre exprimes l'aide

d'quations intgrales. Les conditions de bord satisfaites par ces solutions amnent alors rsoudre un systme de la forme

o

avec et

Les frquences propres de transmission sont les valeurs de k pour lesquels 0 est une valeur propre de et tel que le vecteur propre correspondant ne rayonne pas. La principale

difficult rside dans le fait que l'oprateur est compact. Ainsi ses valeurs propres

s'accumulent vers 0 et il est donc impossible de distinguer numriquement si l'oprateur possde effectivement la valeur propre nulle. L'ide pour contourner cette difficult est de dplacer l'accumulation l'aide d'un prconditionneur. Le problme devient alors un problme aux valeurs propres gnralis de la forme

o est une matrice inversible et telle que est (au moins formellement) de

type Fredholm afin d'avoir prsent l'accumulation des valeurs propres 1. Dans les tests numriques, le prconditionneur utilis est dfini par et correspond au problme de transmission intrieur suivant :

La coercivit de l'oprateur associ la formulation variationnelle correspondant au problme prcdent formul en un problme du quatrime ordre assure l'injectivit de loprateur . Le caractre Fredholm de peut tre prouv en utilisant les

dveloppements asymptotiques de la fonction de Green. La mthode consiste donc chercher les valeurs de pour lesquelles la plus petite valeur propre du problme discrtis est proche de zro.

Rsultats numriques Le code a t valid en premier lieu dans le cas d'une gomtrie sphrique tant donn que les valeurs propres de transmission avaient dj t calcules dans ce cas. La figure illustre les deux mthodes dans le cas d'une sphre de rayon 1 avec un indice de rfraction gal 4.

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Les cercles correspondent aux valeurs propres de transmission calcules analytiquement, la courbe

noire reprsente la norme de la solution rgularise de l'quation du champ lointain et la courbe bleue

reprsente l'inverse de la plus petite valeur propre du problme .

Un des avantages de ces mthodes est que le code CESC rsout les problmes pour l'lectromagntisme pour des gomtries aussi gnrales que possible. Les frquences de transmission peuvent donc tre calcules pour des rgions contenant des cavits pour toute sorte de gomtrie.

Rfrences bibliographiques [1] Bendali A., Fares M., Gay J., A Boundary Element Solution of the Leontovitch Problem, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 47, No. 10, 1999, pp.1597-1605

[2] Cakoni F., Cayorn M., Colton D., Transmission Eigenvalues and the Nondestructive Testing of Dielectrics, Inverse Problem, Vol. 24, 2008

[3] Cakoni F., Colton D., Haddar H., The Interior Transmission Problem for Regions with Cavities, SIAM J. Math. Analysis, Vol. 42, No.1, 2010, pp. 145-162

[4] Cakoni F., Gintides D., Haddar H., The Existence of an Infinite Discr