Calcul des exposants critiques en champ moyen · Nous reviendrons sur ce calcul lors de l'étude du...
Transcript of Calcul des exposants critiques en champ moyen · Nous reviendrons sur ce calcul lors de l'étude du...
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Une réponse (très) partielle à la deuxième question :
Calcul des exposants critiques en champ moyen
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Manière heuristique d'introduire l'approximation de champ moyen :
on néglige les termes de fluctuations (Weiss, Curie, 1907) : le champ local vu par chaque spin est la somme des valeurs moyennes (aimantations) des spins voisins.
On définit
(modèle de spins indépendants)
Alors
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On peut maintenant calculer la valeur moyenne du spin i :
NB : 1. analogie avec un modèle d'électeurs 2. autres manières d'introduire l'approximation de champ moyen ?
ce qui donne une équation implicite pour l'aimantation :
Cas particulier : réseau hyper-cubique en dimension D
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Solution :
Résolution de l'équation implicite sur l'aimantation :
m1
02D β J m
Pente à l'origine
avec :
mS(T)
NB : il y a aussi la solution m → -m
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+1
Tc
T
mS(T)
-1
f
m0
f
m
Pour m petit, on peut écrire :
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Exercice : montrer que γ = 1, δ = 3 (facile à partir des définitions)
Valeur de α ?
TTc
Allure de la chaleur spécifique en dimension D = 3 C
V
Un peu subtil car la valeur moyenne de l'énergie est nulle à haute température (car m=0), donc la chaleur spécifique est nulle aussi.
Pour T → T
c , la chaleur spécifique tend vers J/2, donc il y a une discontinuité à T
c
On considère donc que α = 0 en champ moyen
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On va maintenant calculer les exposants ν et η associés à la fonction de corrélation spin-spin.Cela semble paradoxal car le champ moyen néglige les corrélations …Pour mieux comprendre cela, il faut s'interroger sur la
Validité du champ moyen :
Premier point de vue : le champ moyen est exact lorsque la dimension D → infini
Comment s'en rendre compte? Il faut d'abord faire attention à ce que l'énergie et l'entropiesoient du même ordre de grandeur lorsque la dimension D tends vers l'infini :
(ordre N)
(ordre N fois D = nombre de liens sur le réseau)
Donc le couplage J doit être d'ordre 1/D
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Couplage :
Champ effectif en i :
lorsque D → infini
Il n'y a plus de fluctuation et on peut remplacer chaque champ effectif par le champ moyen :
Exercice : démontrer la première égalité (identité de Callen)
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Donc les valeurs des exposants que nous avons calculées sont valides en dimension D → infini
Deuxième point de vue : le champ moyen est exact lorsque la dimension D ≥ 4
β
1/2
D4
?
Nous verrons plus tard pourquoi ….
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Calcul des fonctions de corrélation en champ moyen :
Point de départ : théorème fluctuation-dissipation qui relie la fonction de corrélation
à la fonction de réponse
Nous allons montrer que :
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Pour calculer la fonction de réponse en champ moyen, on part de l'équation implicitesur les aimantations :
où est la matrice d'adjacence sur le réseau. On obtient :
On peut maintenant prendre tous les champs nuls, donc toutes les aimantationsdeviennent égales à m. En notation matricielle,
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Donc G et ∆ ont les mêmes vecteurs propres et leurs valeurs propres sont reliées par
Comment diagonalise-t-on ∆ ?
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∆ est une matrice invariante par translation (matrice de Toeplitz) donc ses vecteurs propressont les ondes planes sur le réseau :
a
e1
e2
Ri
donc
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Quelles valeurs peuvent prendre les vecteurs ?
a
L sites
L sites
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On peut maintenant écrire l'expression de la fonction de corrélation :
Que vaut cette corrélation dans la limite L → infini d'abord, puis R = ||Ri -R
j || >> a ?
On remplace la somme discrète par une intégrale :
avec
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On obtient :
Nous allons examiner le comportement de l'intégrale pour R grand :
On développe :
terme isotrope
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Dans la phase paramagnétique (m=0) :
où :
On trouve :
se comporte comme (démonstration dans 4 minutes !)
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On en déduit les valeurs des exposants critiques :
Oui, mais les corrélations sont censées être nulles en champ moyen …
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Nous savons que l'approximation de champ moyen est exacte dans la limite de dimension D → infini :
iréseau hyper-cubique
de dimension D j k
Mais :
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Calcul de l'intégrale :
Vecteur de norme 1
On utilise :
donc
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Une formule très utile (à démontrer et à savoir par coeur) :
Ici :
Comment se comporte l'intégrale lorsque x → infini (c'est-à-dire R>>ξ) ?
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La contribution dominante à l'intégrale vient du voisinage du minimum de f (méthode de Laplace)
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où
On trouve le résultat annoncé :
NB : Il y a des corrections logarithmiques (proportionnelles à log x) Nous reviendrons sur ce calcul lors de l'étude du champ libre …
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Pourquoi le champ moyen est-il faux en dimension D plus petite que 4 ?
Argument physique, heuristique dû à GinzburgLe champ moyen néglige les fluctuations, voyons si cela est cohérent :
ξ
Domaine
Aimantation moyenne :
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Variance de l'aimantation :
~ 1 car u < ξ
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Fluctuations relatives :
Donc les fluctuations relatives sont négligeables proche de la température critique lorsque la dimension de l'espace est supérieure à 4 : l'hypothèse que les exposantsont les mêmes valeurs qu'en champ moyen est cohérente.
En dimension inférieure à 4, l'hypothèse que les exposants ont les mêmes valeurs qu'en champ moyen est incohérente. On refait le calcul avec les « bons » exposants :
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Fluctuations relatives :
On s'attend à ce que ces fluctuations relatives soient d'ordre 1 proche de latempérature critique. On en déduit que :
(en dimension D < 4)
On peut montrer d'autres relations entre exposants en dimension inférieure à 4 (cf. TD).On trouve finalement que tous les exposants s'expriment en fonction de deux d'entre eux, par exemple :
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Ces relations sont vraies en dimension inférieure à 4.En dimension égale à 4, elles sont vérifiées par les exposants de champ moyen.
Démontré précédemment !
Nous allons comprendre plus tard pourquoi il y a deux exposants indépendants !
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