1

Un champ prend une valeur différente en chaque point

une infinité de degrés de liberté

calcul en tout point

impossible de façon purement numérique.

Solution : décrire le champ par une fonction analytique comportant un nombre fini de paramètres.

Exemple : T = Aex où A et sont des nombres.

Chapitre 6 : Méthodes de calcul de champs

2

Forme des solutions du modèle champ

Sauf pour des problèmes très simples (voir cours de physique de bac), on ne peut trouver une solution exacte couvrant tout le domaine de calcul.

Le plus souvent, on subdivise le domaine de calcul en sous-domaines et on donne sur chacun séparément une expression du champ.

Sur chaque sous-domaine, une solution peut être exacte (vérifiant toutes les équations) ou approchée (ne satisfaisant une ou plusieurs équations que de façon approchée)

De même, les conditions de raccordement aux frontières des sous-domaines peuvent être satisfaites de façon exacte ou de façon approchée.

Attention : on parle ici de solutions « exactes » par rapport au modèle, pas par rapport à la « réalité ».

3

Solutions analytiques exactes- champs uniformes

- champs à une dimension

- autres champs à haute symétrie (cylindrique, sphérique …)

- superposition ( dipôle), juxtaposition, méthode des images

- calcul par séparation des coordonnées (ex. entrefer épais)

- calcul par transformation conforme (ex. coeff. de Carter)

- expression trouvée de façon heuristique (souvent variation

autour d ’une expression trouvée par une autre méthode)

Il existe des catalogues de solutions (moins connus que par le passé … par manque de temps ?

… par aversion pour « les maths » ? )

Une utilisation que nous avons déjà rencontrée des solutions exactes est la détermination de paramètres de type « circuit ».

4

Champ uniforme Exemple le plus simple : calcul simplifié du champ dans un élément en forme de prisme (entrefer, colonne magnétique, dent…).

On suppose le potentiel magnétique constant sur chaque base du prisme et les surfaces latérales imperméables au champ (pas d’effets de bord).

dlH2

1

g

H

doncdSB S

B

La relation constitutive (du point de vue circuit magnétique) se déduit de celle du matériau

)S

(HgHg

soit, dans le cas linéaireS

g1

5

Exemple de calcul simple

appliqué à un électroaimant de levage

in

aentrefers

22

11 S

BetS

B

6

Connaissant le champ, on peut calculer l’inductance

On peut aussi calculer la force en intégrant dans les entrefers la seule composante pertinente du tenseur de Maxwell, soit

22

20

12

10

SB2

1SB

2

1dSFf

aentrefers

22 n

ni

L

7

Améliorations

- Prise en compte de la réluctance du noyau de fer ( tronçons rectilignes par formules rappelées en CM3)

- Prise en compte des réluctances de coin et de T (voir CM3)

- Prise en compte de la saturation (indispensable si l’optimisation conduit à des valeurs de champ pour lesquelles la valeur choisie pour n’est plus réaliste, ce qui est probable car elle cherche à réduire la quantité de fer du noyau)

-Prise en compte des effets de bord dans les entrefers

- Prise en compte du champ de fuite à travers le bobinage, qui vient augmenter la saturation d’une partie du noyau et augmenter l’inductance du bobinage.

- …….

8

Cas des surfaces encochées

On remplace l’ensemble dents-encoche par un volume plein, mais en ajoutant une réluctance de surface R0 .

9

Calcul du champ associé aux aimants montés en surface

0x

Bdiv

B

On suppose la magnétisation orientée selon Ox

Alors, B est dirigé dans la direction 0x

Donc B est uniforme !

Pour ce qui est de l’équation en H, on a en l’absence de courant rot H = 0 qui est satisfaite pour tout champ limité à Hx(x) .

10

Nous allons calculer le champ en fonction de la force magnétomotrice

Dans les aimants, Ha est uniforme puisque B l’est. Il en est de même dans l’entrefer proprement dit où

He = B / 0 .

On obtient donc

H.dlfs

fr

g) (e B

e H0

aa

11

jointe à la relation constitutive des aimants R(Ba , Ha ) = 0

fournit la valeur de B , et donc de He et Ha .

g) (e B

e H0

aa

)

12

En particulier, pour les aimants terres-rares, on a une relation linéaire

B = Br + a Ha

Donc

0a

a

0a

a

a

ar

geegee

eB

B

)ge(B

eBB

0a

a

r

Grâce à la linéarité, on peut distinguer un champ « dû » à l’aimant et un champ « dû » à la force magnétomotrice.

13

Application à l’entrefer d’une machine rotative.

Considérons les deux couronnes comme infiniment perméables.

Dire que la perméabilité des corps ferromagnétiques est infinie revient à dire que dans ces corps H = 0 . On a donc, entre n’importe quel point du fer rotorique et n’importe quel point du fer statorique, la même intégrale

Si les pôles sont symétriques, on doit avoir :

H.dlfs

fr

0fs

fr

H.dl

14

Il reste à décomposer le champ en série de Fourier et à garder seulement la fondamentale si on veut faire le calcul « au  premier harmonique ».

Si l’épaisseur totale de l’entrefer, soit g = e + ea , est petite par rapport à la largeur des aimants, on peut calculer le champ B de la même façon qu’aux transparents précédents. Il s’agit cette fois d’une solution approchée !

...cosB)(B e1e On trouve facilement

p1 B)2/sin(4

B

La méthode convient mal au calcul des harmoniques car leur « longueur d’onde » devient vite petite par rapport à g = e + ea . Bc d’ouvrages ignorent ce fait… !

15

Le champ d’entrefer calculé ci-dessus pour une machine rotative ne vérifie exactement aucun des deux volets d’équations de Maxwell !

On peut l’améliorer un peu de façon à avoir div B = 0 : il suffit de considérer que Br ne dépend pas de r , donc que

mais on garde le problème que rot H ≠ 0

Pour obtenir une solution exacte, il faut considérer le calcul du champ comme un problème 2D

r

1B r

16

Champ à une dimensionExemple : champ magnétique dans une encoche rectangulaire

zeab

nN

Supposons une densité de conducteurs uniforme. On a

Le potentiel vecteur n’a qu’une composante, Az .

Nous supposons que Az = A0 sur la ligne de séparation y=0 tracée entre l’entrefer et l’encoche. A0 est le potentiel vecteur associé au champ d’entrefer. Nous supposons encore que les dents et la couronne ont une perméabilité magnétique infinie (H = 0 ).

17

Sachant que, en y=b, Hx = 0 par la continuité de la composante tangentielle de H, on obtient

H

JHrot

ab

niiNJH zz

xy

Essayons une solution où le champ

est horizontal ( seule la composante Hx est différente de 0 ).

L’équation

se réduit alors à

)yb(ab

niHx )yb(

ab

niB 0

x

18

)yb(ab

niB 0

x

BArot

Pour calculer le flux du bobinage, cherchons le potentiel vecteur. Il obéit à l’équation

soit )yb(ab

niBA x

zy

Tenant compte de la condition Az = A0 en y = 0 , on obtient

)y2

1by(

ab

niAA 2

0z

19

Le premier terme correspond au flux principal, et le second au flux de fuite à travers l’encoche. Ce dernier correspond à une inductance de fuite

)y2

1by(

ab

niAA 2

0z

dy)]y2

1by(

ab

niA[

ab

nLadxdydzAN 2

0zz

Il est maintenant facile de calculer le flux du bobinage correspondant à la traversée de cette encoche.

ia

b

3

nLLnA

0

b|)y

6

1by

2

1(i

ab

nLLnA

2

032

2

2

0

où L est la longueur de l’encoche. On obtient

Cas des encoches de forme quelconque : pouvez-vous vous inspirer de la solution précédente pour trouver une solution approchée ?

2fuite n

a3

LbL (à commenter)

20

Autres champs à haute symétrie

LrBsoit

LB rr

ˆ

LrHH rr

1

ˆ

a

b

Lln

1

Exemple : champ dans un secteur cylindrique (flux radial)

Si le champ ne dépend pas de la coordonnée azimutale , il est purement radial.

L étant la hauteur du secteur, a son rayon intérieur, b son rayon extérieur et son ouverture angulaire, on a

Donc, pour un matériau doux linéaire

a

b

LdrH ln

Exemple d’utilisation : partie d’un électroaimant +/- cylindrique.

21

LrBsoit

LB rr

22

ˆ

LrHH rr

2

1ˆ a

b

Lln

2

1

Cas particulier : champ homopolaire dans un entrefer cylindrique ou anneau complet.

Ce champ ne dépend pas de la coordonnée azimutale ; il est purement radial.

L étant la longueur de l’entrefer, a son rayon intérieur, b son rayon extérieur, on a, en remplaçant par 2 :

Donc, pour un matériau doux linéaire (le vide ?)

Le champ B ci-dessus ne dérive pas d’un potentiel vecteur unique (sauf si on introduit artificiellement une coupure dans le domaine). Par contre, le champ H dérive d’un potentiel scalaire magnétique (force magnétomotrice).

22

Calcul par décomposition spectraleNous avons dit plus haut que, pour une machine hétéropolaire, le calcul du champ d’entrefer fait en supposant le champ radial suppose que l’entrefer est petit (par rapport aux distances de variation du champ).

Même si l’hypothèse est correcte pour la fondamentale, ce n’est plus le cas pour les harmoniques.

On est donc souvent conduit à faire un calcul de champ à deux dimensions (radiale + azimuthale, dans le cas d’un entrefer cylindrique).

La façon classique d’y parvenir est d’effectuer une décomposition spectrale selon la coordonnée par rapport à laquelle le champ est périodique.

23

Structure de base

Le cas le plus fréquent en électrotechnique est celui d’un domaine en forme de manchon (domaine cylindrique compris entre un rayon intérieur a et un rayon extérieur b). C’est notamment le cas de l’entrefer des machines cylindriques.

Par séparation des variables, on peut écrire le champ sous la forme exacte suivante (nous n’écrivons qu’un terme de la série)

prBrAprBrAAA ppppzz cos)""(sin)''(ˆ

prpBrpAprpBrpAB ppppr sin)""(cos)''(

prBprpAprpBrpAB pppp cos)""(sin)''( 1111

prpBrpAprpBrpAB ppppr sin)""(cos)''( 1111ˆ

prBprpAprpBrpAB pppp cos)""(sin)''( 1111ˆ

Soit, en référentiel orthonormé

On a en effet alors

24

Il faut déterminer les 4 coefficients A’, A" , B’, B par les conditions aux limites.

La somme de termes de cette forme est la solution générale d’un domaine sans source de champ (c’est le cas de l’entrefer des machines). Pour le montrer, il suffit de décomposer le champ en série de Fourier selon .

Si p est le nombre de paires de pôles, l’expression ci-dessus représente la fondamentale du champ. On peut écrire les harmoniques en remplaçant p par p .

Donc

ou

prpBrpAprpBrpAH ppppr sin)""(

1cos)''(

1 1111ˆ

prBprpAprpBrpAH pppp cos)""(

1sin)''(

1 1111ˆ

prpBrpAprpBrpAH ppppr sin)""(

1cos)''(

1 1111

prBprpAprpBrpAH pppp cos)""(

1sin)''(

1

qui a bien un rotationnel nul.

25

Nous allons décomposer le problème en considérant séparément les deux termes des sommes ci-dessus (donc un champ d’axe direct et un champ d’axe en quadrature). Nous nous limitons au premier terme dans les calculs ci-dessous (champ d’axe direct ).

Par un changement de paramètre, nous allons écrire les expressions sous la forme d’un circuit magnétique équivalent. Pour cela, nous considérons, pour chaque valeur du rayon r, l’amplitude fmmr de la force magnétomotrice

dHrdH ˆ

soit)''(

1 ppr rBrAfmm

Nous définissons aussi un flux par pôle, Lm étant la longueur magnétique du domaine

mpp

r LrBrA )''(2

26

)sin(ˆ pfmmr

pH r

Ces grandeurs sont aisément reliées aux champs

et)cos(

2ˆ

p

Lr

pB

m

rr

Les équations précédentes permettent d’écrire une relation entre les flux et les fmm en r = a et r = b.

mbfab

mbafa

Lfmmfmm

Lfmmfmm

])([

])[(

27

où

p

p

p

p

p

p

p

p

f

p

p

p

p

ba

ab

ba

ab

ba

ab

22

22

sont la perméance principale et la perméance de fuite du domaine (par unité de longueur).

Les équations peuvent se mettre sous la forme d’un circuit

28

Cas de l’entrefer

Ce modèle s’applique à l’entrefer proprement dit (avec = 0). On peut inclure à l’entrefer des domaines adjacents ayant le même (frette).

Couronnes et domaine extérieur

On peut aussi l’appliquer, séparément, à d’autres parties à symétrie cylindrique mais avec un différent de 0 , ce qui est le cas des couronnes si on suppose le matériau magnétique linéaire.

Le domaine situé au-delà des couronnes peut aussi être modélisé de la même façon, en faisant tendre a vers l’infini ou b vers 0 selon le cas, ce qui permet de tenir compte du champ à l’extérieur de la machine.

29

Aimants montés en surface

Un cas particulier important est celui des aimants montés en surface. Les aimants terre-rare ayant une perméabilité proche de celle du vide, on peut les incorporer à l’entrefer pour calculer les champs dont les aimants ne sont pas la source.

On peut faire mieux si les aimants sont jointifs (au moins approximativement) en considérant qu’ils forment un domaine à perméabilité magnétique uniforme (en pratique proche de 1.05 0 ). L’entrefer et les aimants sont alors représentés par un double circuit en .

30

Calcul en présence de sources de champ dans le domaine de calcul

Si l’entrefer (au sens large, c’est-à-dire tout le domaine de calcul dans lequel on effectue une décomposition spectrale) contient des conducteurs parcourus par un courant ou des aimants, on peut recommencer le calcul de champ en en tenant compte.

Si on s’intéresse uniquement aux flux et aux fmm aux frontières des différentes parties, on peut garder le modèle précédent en le complétant par des sources de flux ou de fmm (ci-contre exemple de prise en compte de l’aimantation)

Attention : le lien entre les grandeurs de ce circuit et les champs n’est plus le même dans la région qui contient les sources !

31

Calcul du champ dû aux aimants

La magnétisation des aimants est une source de champ.

Si on calcule la magnétisation par rapport au vide, on doit considérer que la zone des aimants a une perméabilité 0 , mais la magnétisation n’est pas rigoureusement constante.

Si on considère comme précédemment une perméabilité différente de celle du vide, il faut définir l’aimantation en conséquence ! L’avantage est qu’elle est alors constante dans le cas des aimants terre-rare.

Un cas « simple » est celui des aimants à magnétisation parallèle à leur axe et dont la géométrie est décrite ci-contre. En effet, le modèle gaussien permet alors de remplacer la magnétisation par une charge magnétique de surface située uniquement au niveau des rayons intérieur et extérieur des aimants.

32

Considérons le rayon c = r4 et l’ouverture = 4 (le calcul est similaire en c = r3 et = 3 mais avec un signe opposé).

La densité de charge magnétique équivalente n’est pas constante. Elle vaut

coscos MJm

Il s’agit d’une source de flux magnétique.

33

coscos MJm

Décomposons cette densité en série de Fourier. En supposant qu’il y a p paires de pôles, on obtient

)cos(1

)1sin(

1

)1sin(2

pJp

p

p

ppm

En intégrant chaque terme sur sa demi-période, on obtient des flux équivalents

mm Jp

p

p

pcL

1

)1sin(

1

)1sin(4)1(/ 2/)1(

34

Attention ! Le champ H calculé dans le modèle gaussien est partout exact, mais le champ B calculé à l’intérieur de l’aimant dans ce modèle ne l’est pas. Si nécessaire, on peut obtenir le B réel à partir de H et de la relation constitutive de l’aimant.

On obtient pour l’entrefer et les aimants le circuit équivalent ci-contre.

Si les aimants sont fixés directement sur la couronne rotorique, et si on néglige la réluctance de celle-ci, fmma est nulle et on n’a besoin de la source de flux inférieure pour calculer le flux circulant dans cette couronne.

35

Cas d’une couronne encochée

On peut aussi prendre en compte la réluctance de surface du type « Carter », ainsi qu’une perméance de fuite correspondant à l’encochage, sous la forme d’un circuit en .

Si nécessaire, détails sur le site du cours.

Autres expressions spectrales du champ d’entrefer

On trouvera dans le syllabus quelques références relatives à des géométries ou des méthodes non traitées ici.

36

Champ dû aux enroulements situés dans des encoches

Pour trouver le champ « dû » au bobinage placé dans des encoches, une simplification possible est de considérer que

• Le bobinage est concentré à la surface de l’entrefer, au niveau de l’ouverture des encoches.

• La zone des dents, des encoches et de la couronne est remplacée par une zone de perméabilité magnétique infinie

Alors, la condition aux limites du champ correspond à une densité de courant de surface sinusoïdale. C’est logique car, si on ne considère qu’une composante de la série de Fourier du champ, on ne doit considérer que la composante correspondante de la densité de conducteurs !

Pour trouver les coefficients dans l’expression du champ, on va donc passer par une décomposition en série de Fourier de la densité de conducteurs !

37

Pour rappel,

J = Na ia

Pour le calcul des champ, on peut décomposer directement J en série, mais il est plus utile de décomposer les Na en série car le résultat peut être réutilisé pour le calcul des flux !

38

Coefficients de filtrageOn a souvent à faire la somme de m sinusoïdes de même amplitude A mais décalées chacune d’un angle par rapport à la précédente.

On peut représenter ce problème sous forme de phaseurs :

En prenant le « centre du faisceau » comme origine, on a

])2

1mi([jeReA])

2

1mi([cosA

m

1i

m

1i

où est la coordonnée t ou ou….

39

La somme est une série géométrique. Pour l’effectuer, multiplions et divisons par la différence entre la racine carrée de la raison et son inverse

21

je21

je

])12m

i([je])2m

i([je

ReA])2

1mi(cos[A

m

1i

m

1im

1i

]j

e

21

sin

2m

sin[ReA

21

je21

je

]2m

[je]2m

[je

ReA])2

1mi(cos[A

m

1i

])2

1mi([jeReA])

2

1mi([cosA

m

1i

m

1i

40

cosKmA]j

e

21

sin

2m

sin[ReA])

2

1mi(cos[A filtrage

m

1i

21

sin

2sin

m

m

K filtrage

avec

Interprétation : on somme les sinusoïdes sans tenir compte de leur déphasage, et on applique un facteur correctif au résultat.

Vérification : si m = 1, on retrouve bien l’amplitude de la seule sinusoïde présente.

41

21

sin

2sin

m

m

K filtrage

Dans le cas des machines électriques, on doit souvent faire la somme de grandeurs périodiques.

Dans une machine à entrefer cylindrique, on a des grandeurs de période 2 / p décalées d’un angle géométrique . Si on les décompose ces grandeurs en série de Fourier, on peut appliquer un facteur de filtrage pour chaque harmonique. Soit le rang de l’harmonique considéré, on a

ep Le décalage angulaire est proportionnel à l’ordre de l’harmonique

42

e

e

filtrage

m

m

K

21

sin

2sin

On obtient

En général, la fondamentale est moins atténuée que les harmoniques, d’où le nom de coefficient de filtrage.

La formule ci-dessus convient aussi bien pour traiter le cas d’aimants décalés que de bobines décalées. Dans le cas particulier d’un bobinage triphasé, s’il y a m faisceaux identiques par phase et par pôle, on aura

me 3

soit

mm

K filtrage

6sin

6sin

Identique au livre de référence sachant que seuls les impairs sont à considérer dans ce cas

43

Considérons maintenant le cas où une grandeur est répartie uniformément sur un angle e . On peut trouver le coefficient de filtrage en passant à la limite m avec (m-1) e = e . On obtient

2

2sin

2sin

21sin

lime

e

e

e

mfiltrage

mm

mm

K

Remarque 1 : dans le calcul du champ d’aimant fait précédemment, on ne pouvait appliquer cette formule puisque la densité de charge magnétique n’était pas constante.

Remarque 2 : on est parfois amené à multiplier plusieurs coefficients de filtrage (pouvez-vous en donner un exemple ?).

44

Les coefficients de filtrage du bobinage sont aussi utilisable pour calculer le flux de celui-ci une fois le champ connu, car on a

dVN.A

45

Exemple de décomposition en série

Si on a n spires par phase, donc n/p conducteurs actifs par phase et par pôle.

Si ces n/p conducteurs sont concentrés sur une ligne sans dimension, on a en prenant comme origine l’axe de l’enroulement (cas de la surface extérieure de l’entrefer) :

...])p2

()p2

([p

nN zs

où les fonctions ( ) sont des deltas de Dirac.

Par décomposition en série, on obtient

)psin(NN simpair

zs avec

1)1(

R

n2Ns

où R est le rayon au bord de l’entrefer

46

On peut corriger la valeur des Ns par deux coefficients de filtrage

• Pour tenir compte de la répartition des conducteurs entre plusieurs encoches

• éventuellement pour tenir compte de la largeur de l’ouverture d’encoche

47

Calcul de l’inductance d’un bobinage

Rappel

iLrparticulieen

iiM

12

21

12

Attention ! Lors du calcul du flux dû à un bobinage, les coefficients de filtrage interviennent deux fois : une fois pour calculer le champ associé au bobinage, et une fois pour calculer le flux que ce champ produit dans le bobinage.

On s’attend donc à trouver le carré des coefficients de filtrage dans l’expression des inductances.

48

Comparaison avec l’expression de l’inductance principale donnée dans « le livre » pour m = 1 (donc sans coefficient de filtrage)

Le calcul approché du champ (champ radial) fournit

)psin(2

1)1(

R

n2N

impairzs

i)pcos(2

1)1(

'gp

n2B 0

impair

r

Identique à l’expression du livre si p = 1

i)psin(2

1)1(

'gp

nR2A

220z

Par ailleurs, compte tenu de ce qui précède,

Donc

Donc

dRLi)p(sin'gp

n4dRLNA z

2222

2

0impair

zzz

49

Ri'gp

Ln4dRi)p(sin

'gp

Ln4222z

2

0impair

2222

z2

0impair

]18

['g2p

LRn1

'gp

LRn4L

2impair

22z

2

02impair

2z

2

0

On retrouve l’expression du livre car le crochet vaut 1.

C’est un détour par rapport au calcul du livre, mais la méthode permet de faire le calcul pour un enroulement distribué (m > 1) , ce qui serait très difficile à faire autrement.

Mais, si on utilise le calcul analytique exact, la série ne converge pas. C’est normal car les conducteurs concentrés ont une inductance infinie !

50

Le calcul approché de l’inductance est donc suspect.

En ce qui concerne le calcul exact, on peut bricoler arrêtant la série lorsque la longueur d’onde des harmoniques devient petite par rapport à la largeur des encoches.

L’utilisation des coefficients de filtrage avec la méthode spectrale exacte permet de résoudre ce paradoxe de façon bien plus élégante : il suffit en effet d’introduire un coefficient de filtrage prenant en compte la largeur non nulle des encoches pour que la série redevienne convergente même dans le cas du calcul exact !

Attention : le calcul de l’inductance de fuite dans les encoches n’est pas inclus dans les expressions ci-dessus. Il est à faire séparément !

51

Prise en compte des couronnes et des dents

Ayant considéré que les noyaux magnétiques ont une perméabilité infinie pour le calcul du champ « dû » aux conducteurs, on est amené à considérer la force magnétomotrice qui apparaît à cause de la réluctance des dents et de la couronne comme une source de champ supplémentaire : le calcul se fait alors par itérations.

Dans le calcul de la correction, l’usage des coefficients de filtrage peut aussi être utile. Ces coefficients servent donc pour tous les types de source de champ (aimants, courants, reluctance des pièces magnétiques…)

52

Calcul de champ par transformation conforme

Certains problèmes peuvent être étudiés par transformation conforme. Ce n’est possible que les matériaux linéaires, isotropes et homogènes.

On peut dresser un catalogue de telles solutions (trouvées dans la littérature ou développées personnellement).

Les expressions des réluctances de surface correspondant à l’encochage (Carter…) sont obtenues de cette façon.

Autres exemples utiles déjà rencontrés : la réluctance de coin, l’épanouissement de flux au bord d’un entrefer, le calcul de la force en tenant compte de l’épanouissement de flux.

53

Calcul de la force d’attraction entre deux surfaces magnétiques parallèles en tenant compte de l’effet de bord

g

ptgarc

p

2

pg

Pour une force magnétomotrice imposée entre les deux pôles, la force se calcule comme s’il n’y avait pas d’effet de bord, mais en allongeant BC d’une longueur

Attention ! Ces formules ne peuvent pas être utilisée pour calculer le flux ou la réluctance d’entrefer !

Si p tend vers l’infini, on a

g2 Pouvez-vous le montrer ?

54

Méthode de contrôle des erreurs dues au modèle de calcul

55

Solutions analytiques approchées sophistiquées

Une solution peut vérifier une équation d ’évolution

- au sens fort (c ’est-à-dire exactement)

- au sens faible (produit scalaire nul avec des fonctions de test vérifiant l ’équation duale)

- fonctionnellement (comme solution d ’un problème variationnel mais avec contraintes supplémentaires)

Si une solution vérifie au sens fort toutes les équations d ’évolution, le ligurien fournit une estimation de sa précision.

La densité de Ligurien est définie par

= Wm(B) + Wcm(H) – B.H

symétrie restaurée entre B et H

56

La densité de Ligurien est toujours positive, donc aussi son intégrale (le ligurien). Le ligurien est nul ssi la solution est exacte !

Méthode rationnelle :

• On définit une expression approchée de B en fonction d’un nombre limité de paramètres à déterminer.

• On procède de même pour H.

• Puis on cherche la valeur des paramètres qui minimise le ligurien.

57

Aspects « numériques » du calcul

58

Introduction

Il existe des logiciels de calcul de champ d’usage général, capables de traiter une grande variété de structures.

Certains profitent de la physique particulière à l’électromagnétisme.

D’autres ont une méthode de solution plus générale (ce qui leur permet d’utiliser un seul solveur même si multiphysique)

59

ComparaisonProgramme maison• Bien adapté à un problème• Pas de prix d’achat

• Source disponible• Fournit les grandeurs désirées

et leur définition est connue• Possibilités d’extension et

adaptation• Calcul rapide permettant

l’optimisation

• Moins d’erreurs de discrétisation (moins aléatoires) car il peut profiter de solutions analytiques

Programme d’usage général• Peut traiter de nombreux problèmes• Pas de temps d’écriture et mise au

point (seulement apprentissage)

• Certification de qualité possible• Moins d’erreurs géométriques

• Facilités graphiques

60

Si on veut réaliser un logiciel capable de calculer le champ dans une grande variété de structures, on est amené

- Subdiviser finement le domaine de calcul

- Utiliser sur chaque élément une expression approchée standard du champ, le plus souvent un polynôme.

C’est le principe du calcul par éléments finis.

Il existe d’autres méthodes générales, mais elles sont moins utilisées.

61

2D ou 3D ?Le nombre d’éléments à considérer est beaucoup plus grand lors d’un calcul 3D, ce qui augmente le temps de calcul et nuit à la précision du calcul numérique, sans compter le temps d’introduction des données beaucoup plus long.

Il est donc conseillé d’effectuer le calcul en 2D chaque fois que c’est possible, quitte à effectuer une correction pour tenir compte des effets de bord (calcul en dimension 2 ½ ).

Deux cas importants (attention : les équations 2D ne sont pas les mêmes)

• symétrie de translation dans la direction perpendiculaire au plan de calcul

• symétrie de rotation autour d’un axe situé dans le demi plan de calcul.

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En 3 D

Nœuds

Arêtes

Faces

Eléments

L’élément le plus simple est le tétraèdre.

Maillage

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En 2 DNœudsArêtes = FacesEléments

L’élément le plus simple est le triangle. C’est la forme utilisée en électrotechnique car elle permet de mailler des domaines de forme compliquée (maillage non structuré)

Il existe des relations entre les nombres de nœuds, d’arêtes et d’éléments. Voir le site Internet si intéressés. Ces relations viennent de la théorie des graphes. Le problème est lié à la caractéristique d’Euler-Poincaré en géométrie différentielle.

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La géométrie des arêtes est facile à programmer

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La géométrie des triangles est facile à programmer

Le déterminant

est égal au double de l’aire.

On utilise souvent les coordonnées affines

Note :

2S = = 1 + 2 + 3

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Profiter des symétries pour réduire la taille du problème !

Introduction de la géométrie

Conseil : placer l’origine des coordonnées sur l’axe de symétrie.

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Eléments en B ou AOn s’intéresse au cas où le champ B vérifie exactement les équations de Maxwell.

Le cas le plus simple est celui où le champ B est uniforme sur chaque élément (éléments de Whitney). Inconvénient : il faut subdiviser plus finement pour une précision donnée, et les graphes sont moins élégants.

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Eléments de faces

Les variables indépendantes sont les flux à travers les faces : satisfaire les conditions aux limites est facile.

Problème : il faut imposer sur chaque élément une contrainte 1 + 2 + 3 = 0

Chaque flux influence deux triangles : chaque élément fini est donc formé de deux triangles.

La contribution d’un flux au champ est simplement

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Eléments de nodaux

A deux dimensions, le potentiel vecteur n’a qu’une composante. Si on prend comme variables indépendantes les valeurs de ce potentiel aux nœuds, il n’y a pas de contraintes à ajouter.

Chaque potentiel influence le champ dans tous les triangles qui ont ce nœud comme sommet : l’élément fini est donc un polygone. Sur chaque triangle, le potentiel A est un polynôme d’ordre 1.

Le lien entre un des potentiels et le champ est du type

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Eléments finis en HEléments d’arête

Les variables indépendantes sont les circulations du champ H sur les côtés. Chaque circulation influence le champ dans deux triangles. L’élément fini est donc formé de deux triangles.

L’influence d’une des variables sur le champ est décrite ci-dessous (formules sur le site Internet si intéressés)

Il y a une contrainte : la somme des trois circulations correspond au courant qui traverse le triangle !

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Mise en équationsAvec les logiciels commerciaux, seul un volet des équations d’évolution est satisfait exactement, ainsi que les relations constitutives.

Le calcul est fait en supposant ces relations linéaires.

Les équations sont obtenues par un principe variationnel, mais ce principe n’est pas utilisé dans le calcul numérique. On a un grand système d’équations linéaires que l’on résout par itération.

Dans le cas non linéaire, on procède par itérations successives en résolvant un problème linéaire à chaque pas.

Pour tester la précision, on doit refaire tout le calcul en affinant le maillage et on vérifie que les champs ou une grandeur énergétique (pas nécessairement définie en accord avec la physique) changent peu.

Il y a donc trois itérations imbriquées l’une dans l’autre.

On pourrait arriver à un meilleur contrôle de la précision en utilisant les deux volets d’équations d’évolution et le ligurien.