Calcul de TRI

8/13/2019 Calcul de TRI

1/8

153

4PRINCIPAUXCRITRESDESLECTIONDESPROJETS

Taux de Rendement Interne (TRI)


Principes fondamentaux

DfinitionIl sagit du taux dactualisation qui rend nulle la VAN de base (voir calculs pages 145et 146), ou par extension, la VANR. Dans le premier cas de la VAN de base, le TRIde base (conomique) est donc le taux de rendement actuariel apermettant dersoudre lquation suivante :

VAN0 = nt=0

( FLt

(1 + a)t) = 0FLt: flux totaux de liquidit prvisionnels en t(t= 0, , n) ;

n: horizon prvisionnel du projet ;

a: TRI de base du projet.

CalculPour trouver le TRI, il faut recourir soit la rsolution mathmatique2, soit linter-polation linaire.

Il est possible de synthtiser cette dernire mthode comme suit.

Soit un projet ncessitant un investissement immdiat de 1 000et offrant les fluxde liquidit suivants :

300en anne 1 ;

500en anne 2 ;

650en anne 3.

En actualisant les flux au dpart, par exemple 19 %, la VAN est :

VAN19% = - 1 000 + 300

(1,19)1 +

500(1,19)2

+ 650

(1,19)3 = - 9,10

2 Cette rsolution mathmatique est loin dtre un problme trivial, car il sagit de rsoudre une quation polynomiale de nime degr une inconnue. Toutefois, les calculatrices financires permettent gnralement dobtenir rapidement une solution en insrantsimplement lensemble de la srie de flux. Il en va de mme pour les logiciels incluant un tableur, comme Microsoft Excel.

stion Appliquee Dcision d'investissement 3e edition

cques Chrissos - Roland Gillet www.gestionappliquee.com Dareios & Pearson Education, 2012
http://www.gestionappliquee.com/


2/8

154

4 PRINCIPAUXCRITRESDESLECTIONDESPROJETS


Ce taux dactualisation choisi arbitrairement est trop lev puisque la VAN est ngative.Il convient alors de choisir un taux dactualisation plus faible, par exemple 18 %.La VAN obtenue est alors la suivante :

VAN18% = - 1 000 + 300

(1,18)1 +

500(1,18)2

+ 650

(1,18)3 = + 8,94

Cette fois, le taux dactualisation est trop faible puisque la VAN est positive. Pour serapprocher dune VAN nulle, il suffit de prendre un taux dactualisation suprieur 18 %de manire rduire la VAN de 8,94 puis de faire appel une simple rgle de trois.

Pour une variation du taux dactualisation de 1 % (19 - 18), la VAN a vari de 18,04(9,10 + 8,94). Dans le cas dune variation de 8,94, la variation du pourcentagesera donc :

1 % x 8,9418,04 = 0,495 %

Ainsi, linterpolation linaire obtenue pour le TRI est gale :

18 % + 0,495 % = 18,495 %

Plus prcise, la rsolution mathmatique aboutit un TRI gal 18,492 %. Lerreurrsultant de linterpolation linaire nest donc pas de grande ampleur et permet de

justifier le recours cette solution dans bien des cas.

Rgles de dcisionCes rgles, dans le cas du critre du TRI sont galement simples appliquer : on ne met en uvre que les projets prsentant un TRI suprieur ou gal au taux

de rendement exig par un investisseur rationnel pour ce type dinvestissement ; pour des projets de mme taille et mutuellement exclusifs, on retient celui qui

affiche le TRI le plus lev.

Diagnostic dutilisationLa dtermination du TRI ne rclame la connaissance que de la srie de flux

totaux de liquidits prvisionnels. Pour lutiliser comme critre de dcision, il esttoutefois ncessaire de disposer galement du taux de rendement exig par uninvestisseur rationnel afin de pouvoir le comparer au TRI.

Obtenu en annulant la VAN, le TRI ne sintresse en fait quau taux dactua-lisation permettant la seule rmunration des apporteurs de fonds, mais ne vise pas dterminer laccroissement total de richesse apport par le projet lentreprise.

Dun point de vue mathmatique, il convient en outre de souligner la possi-bilit dobserver certaines situations problmatiques partir du TRI. Parmi celles-ci,les exemples suivants illustrent respectivement les cas o une solution unique etcohrente lquation du TRI nexiste pas.




3/8

155



Limites de la rsolution mathmatique

Problme n 1Soit la srie de flux de liquidit suivante :

FL0 = - 50,FL1 = + 100 etFL2 = - 75.

Le TRI sobtient partir de lquation :

- 50 + 100

(1 + a)1

75(1 + a)2

= 0

tant donn les caractristiques de f lux de ce projet, il est impossible de trouver un

TRI significatif.La dtermination de la VAN ne pose, pour sa part, aucun problme particulier. Si onactualise ces flux 8 % par exemple, la VAN est alors de - 21,71.

Problme n 2Soit la srie de flux de liquidit suivante :

FL0 = - 40,FL1 = + 250 etFL2 = - 250.

Le TRI sobtient partir de lquation :- 40 +

250(1 + a)1

250

(1 + a)2 = 0

Avec a= 25 % et 400 % comme solutions possibles cette quation, il semble judi-cieux daccepter ce projet ! Toutefois, quelle valeur retenir pour le TRI : 25 % ou400 % ?

Observons par ailleurs quavec un taux dactualisation plus faible de 12 %, onobtient dj une VAN ngative de - 16,08.

Comme lillustre le schma page suivante, ce type dvolution de la VAN en fonction

du taux dactualisation est tout fait atypique avec une VAN dj ngative pour destaux dactualisation trs faibles, qui augmente ds le dpart avec laccroissement deces derniers.




4/8

156



Ces deux exemples montrent bien les limites oprationnelles de la rsolution math-matique de lquation du TRI. Il convient donc de manier ce critre avec prcaution.

Quand le critre du TRI contredit celui de la VAN ! partir de quelques exemples choisis, il est utile de mettre en exergue ds prsentles rsultats contradictoires auxquels peut parfois aboutir lapplication stricte descritres du TRI et de la VAN.

Soient trois projets A, B et C, raliss dans le mme secteur dactivit, financs exclu-sivement par fonds propres, dont les montants investis et les dures sont identiqueset dont les flux totaux de liquidit prvisionnels sont :

volution de la VAN du projet en fonction du taux dactualisation.

Annes Projet A Projet B Projet C

0 - 600 000 - 600 000 - 600 000

1 62 000 70 000 25 000

2 65 000 90 000 41 000

3 67 000 110 000 45 000

4 100 000 130 000 53 000

5 105 000 150 000 100 000

6 110 000 200 000 120 000

7 120 000 220 000 170 000

8 670 000 250 000 850 000

Flux totaux de liquidits prvisionnels des projets A, B, C.




5/8

157



Le calcul des TRI conduit aux rsultats suivants :

TRI (A) = 13,874 %,TRI (B) = 15,043 %etTRI (C) = 13,632 %.

Lapplication stricte de ce critre permet de classer les projets dans lordre de prf-rence dcroissant : B, A, C.

En estimant 7,00 % le taux de rendement exig par un investisseur rationnel dansce secteur, le calcul des VAN conduit aux valeurs suivantes :

VAN (A) = 258 536,VAN (B) = 255 723etVAN (C) = 288 177.

Lapplication stricte de ce critre aboutit maintenant classer les projets dans lordrede prfrence dcroissant : C, A, B.

Si le recours ces deux critres ne pose aucun problme pour le classement retenu

du projet A, il nen va pas de mme pour B et C. Il va donc falloir trouver une solution cette situation problmatique, dautant quelle nest pas insensible au taux derendement exig retenu au dpart de lanalyse.

En effet, avec un taux de rendement estim 11 %, les VAN auraient t les suivantes :

VAN (A) = 93 127,VAN (B) = 112 568etVAN (C) = 97 837,

et lordre de prfrence compltement modifi : B, C, A.

En fonction de diffrents taux dactualisation, le tableau page suivante permet desynthtiser la problmatique de classement issue de la VAN et du TRI pour les troisprojets envisags.

mesure que le taux dactualisation crot, lordre de classement des VAN des troisprojets se modifie lors du passage par diffrents paliers, dnomms points dindif-frence.

Par exemple, PI (A, B) reprsente le point dindiffrence entre A et B, cest--dire letaux dactualisation obtenu par interpolation linaire qui conduit une VANidentique pour les deux projets. Le passage par les taux dactualisation de lexemple(7 % et 11 %) et les TRI respectifs des trois projets sont galement signals.

Pour les trois projets, lordre de prfrence obtenu exclusivement partir du critrede la VAN peut tre rsum comme suit en fonction du taux dactualisation retenu :

si le taux est infrieur 7,4106 %, le classement est : C, A et B ;

si le taux est compris entre 7,4106 % et 9,5547 %, le classement est : C, B et A ;

si le taux est compris entre 9,5547 % et 11,9674 %, le classement est : B, C et A ;

si le taux est suprieur 11,9674 %, le classement est : B, A et C.

En revanche, pour les trois projets, lordre de prfrence issu du critre du TRI nestvidemment pas affect par lvolution du taux dactualisation retenu ; il est toujours :B, A et C.




6/8

158



Taux Valeurs Actuelles Nettesdactualisation Projet A Projet B Projet C

0,000 % 699 000 620 000 804 000

2,000 % 547 865 497 238 625 878

4,000 % 418 744 390 638 474 558

6,000 % 307 985 297 714 345 520

7,000 % 258 536 255 723 288 177

PI (A, B) = 7,4106 % 239 270 239 270 265 885

8,000 % 212 603 216 407 235 079

9,000 % 169 895 179 564 185 867

PI (B, C) = 9,5547 % 147 498 160 124 160 124

10,000 % 130 150 145 008 140 218

11,000 % 93 127 112 568 97 837

PI (A, C) = 11,9674 % 59 698 83 054 59 698

12,000 % 58 609 82 089 58 457

13,000 % 26 397 53 428 21 836

TRI (C) = 13,632 % 7 135 36 182 0,00

TRI (A) = 13,874 % 0,00 29 773 - 8 075

14,000 % - 3 688 26 455 - 12 247

15,000 % - 31 812 1 051 - 43 995

TRI (B) = 15,043 % - 32 971 0,00 - 45 301

16,000 % - 58 126 - 22 896 - 73 591

17,000 % - 82 766 - 45 486 - 101 201

Simulation de la VAN et du TRI rsultant des projets A, B, C.




7/8

159



Ce nest donc quau-del dun taux de rendement exig par linvestisseur rationnelde 11,9674 %, que les deux critres de slection de projets (TRI et VAN) conduisent la mme conclusion en matire de classement :

Simulation de la VAN et du TRI rsultant des projets A, B, C.

Les contradictions observes lors de lapplication du TRI et de la VAN pour dterminerlordre de prfrence entre les trois projets naissent de la logique retenue en matiredactualisation des flux totaux de liquidit intermdiaires, au TRI pour ce critre, autaux de rendement exig par un investisseur rationnel pour celui de la VAN.

En matire dacceptation de projets considrs isolment, il est indiffrent dutiliserlun ou lautre de ces critres : une VAN suprieure ou gale zro ou un TRI sup-rieur ou gal au taux de rendement exig par un investisseur rationnel.

Il en va tout autrement de lordre de prfrence entre plusieurs projets, o il appa-rat clairement que le rsultat peut diverger de lapplication dun critre lautre en

fonction du taux dactualisation retenu. Il convient alors de privilgier le critre dela VAN, reposant sur une actualisation des flux au taux effectif exiger sur lensemblede lhorizon conomique des projets, plutt que de recourir au critre du TRI pourlequel lactualisation des flux est mene au taux thorique qui annule la VAN, lequel,pour un projet rentable, est du mme coup suprieur au taux de rendement exigpar un investisseur rationnel.

Selon la rpartition des flux totaux de liquidit sur lhorizon conomique des projets,limportance de leur TRI conduit raliser une actualisation favorisant ou pnalisantcertains projets en matire de classement comparativement lactualisation retenuepour le calcul de leur VAN.




8/8

160

Cas Vlasquez

On peut prsent calculer le TRI de base des trois projets envisags partir des fluxtotaux de liquidit prvisionnels dtermins au chapitre 3, pour ensuite les compareraux taux de rendement exigs par un investisseur rationnel, estims au chapitre 2.

Proposition 1 : Gellfish S.A.S.

Le TRI de base (arrondi) est de 22,52 %, le rendement requis est de 8,38 % : le projetdoit tre entrepris.

Proposition 2 : clinique Robinier

Le TRI de base (arrondi) est de 9,92 %, le rendement requis est de 6,27 % : le projetpeut galement tre entrepris.

Proposition 3 : htel Goldensol (en)

Le TRI de base (arrondi) est de 16,30 %, le rendement requis est de 9,27 % : le projetpeut aussi tre mis en uvre.

Si M. Vlasquez retenait uniquement le TRI de base comme critre de slection desinvestissements, lordre de classement des projets serait, comme avec le critre dela VAN :

1.Gellfish S.A.S. ;

2.htel Goldensol ;3.clinique Robinier.

Dans ce cas, en matire dordre de prfrence, M. Vlasquez ne serait donc pas confrontau problme de contradiction possible entre le TRI et la VAN voqu ci-dessus.


Calcul de TRI

Documents

Transcript of Calcul de TRI