1

4. Discrétisation

Systèmelinéaire

stationnaire

DA

AD

DA

AD

DA

AD

x = Ax + Bu

y = Cx + Du

u1(t)

u2(t)

ur(t)

y1(t)

y2(t)

yp(t) yp(k)

y2(k)

y1(k)u1(k)

u2(k)

ur(k)

Comment prendre explicitement en compte les convertisseurs ?

Résoudre analytiquement

Avec un maintien de u entre k et k+1

x = Ax + Bu

Denis Gillet @ EPFL

Solution de l’équation d’état

x (t) = Ax (t) + Bu (t)

Solution générale = solution homogène + solution particulière

x (t) = Ax (t)

Cas scalaire Cas vectoriel

x (t) = ax (t)x (t0) = x0

x = eatc2 = ea(t�t0)x0

e� = 1 + � +12!

�2 +13!

�3 + . . .

Par analogie

x = a0 + a1 (t� t0) + a2 (t� t0)2 + a3 (t� t0)

3 + . . .

x = A0 + A1 (t� t0) + A2 (t� t0)2 + A3 (t� t0)

3 + . . .

x =�1 + a (t� t0) +

12!

a2 (t� t0)2 +

13!

a3 (t� t0)3 + . . .

⇥x0

2

Solution de l’équation d’état homogène

x (t) = Ax (t)

x = A0 + A1 (t� t0) + A2 (t� t0)2 + A3 (t� t0)

3 + . . .

x (t0) = x0

x = A1 + 2A2 (t� t0) + 3A3 (t� t0)2 + . . .

x (t0) = 2A2

x = 2A2 + 6A3 (t� t0) + . . .

x (t0) = A1

x (t0) = A0

x (t) = Ax (t)x (t0) = Ax (t0) = Ax0

x (t) = Ax (t)x (t0) = Ax (t0) = A2x0

x (t) =�I + A (t� t0) +

A2

2!(t� t0)

2 +A3

3!(t� t0)

3 + . . .

⇥

⇧ ⌅⇤ ⌃�eA(t�t0)

x0

3

Exponentielle de matrice

eA(t�t0) = I + A (t� t0) +A2

2!(t� t0)

2 +A3

3!(t� t0)

3 + . . . =⇥�

k=0

Ak

k!(t� t0)

k

x (t) = eA(t�t0)x0

x (t1) = eA(t1�t0)x (t0)x (t2) = eA(t2�t1)x (t1) = eA(t2�t1)eA(t1�t0)x (t0)t2 = t0x (t0) = eA(t0�t1)eA(t1�t0)x (t0)

I = eA(t0�t1)eA(t1�t0) = M�1M

�eA(t1�t0)

⇥�1 = eA(t0�t1) = e�A(t1�t0)

4

Solution particulière de l’équation d’état

x (t) = eA(t�t0)v (t)

x (t) = Ax (t) + Bu (t)

AeA(t�t0)v (t) + eA(t�t0)v (t)⇤ ⇥� ⌅x(t)

= A eA(t�t0)v (t)⇤ ⇥� ⌅x(t)

+Bu (t)

v (t) =�eA(t�t0)

⇥�1Bu (t) = e�A(t�t0)Bu (t)

v (t) =t�

t0

e�A(��t0)Bu (�) d�

x (t) = eA(t�t0)

t�

t0

e�A(��t0)Bu (�) d� =t�

t0

eA(t�t0)eA(t0��)Bu (�) d�

x (t) =t�

t0

eA(t��)Bu (�) d�

5

Solution complète de l’équation d’état

x (t) = Ax (t) + Bu (t)

réponse libre + réponse forcée (produit de convolution)

x (t) = eA(t�t0)x (t0) +t�

t0

eA(t��)Bu (�) d�

6

Discrétisation

x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Du (t)

y (kh) = Cx (kh) + Du (kh)

x (t) = eA(t�t0)x (t0) +t�

t0

eA(t��)Bu (�) d�

Convertisseurs AD

x (kh + h) = eAhx (kh) +kh+h�

kh

eA(kh+h��)Bu (�) d�

t = kh

Convertisseurs DA

u(�) = u(kh)kh � � < kh + h

x (kh + h) = eAhx (kh) +kh+h�

kh

eA(kh+h��)B u (�)⌅⇤⇥⇧u(kh)

d�

t0 = kht = kh + h

7

Discrétisation

y (kh) = Cx (kh) + Du (kh)

y (k) = Cx (k) + Du (k)

x (k + 1) =�eAh

⇥⌦ � ↵

⇥

x (k) +

⇤

⇧h⌥

0

eA�d�

⌅

⌃B

⌦ � ↵�

u (k)

x (kh + h) = eAhx (kh) +kh+h�

kh

eA(kh+h��)B u (�)⌅⇤⇥⇧u(kh)

d�

d� = �d⇥

x (kh + h) = eAhx (kh) +

�

⇤�0⇧

h

eA�Bd�

⇥

⌅u (kh)

� = kh + h� ⇥

8

Solution de l’équation d’état analogique,linéaire et stationnaire + Discrétisation

x (t) = Ax (t) + Bu (t)

y (t) = Cx (t) + Du (t)

y (k) = Cx (k) + Du (k)

x (t) = eA(t�t0)x (t0) +t�

t0

eA(t��)Bu (�) d�

x (k + 1) = ⇥⇤⇥�⌅eAh

x (k) + �⇤⇥�⌅"

hR

0eA�d�

#B

u (k)

9

Exponentielle de matrice: Série

� = eAh = I + Ah +A2

2!h2 + . . . +

Ai

i!hi + . . .

� =⇤ h

0eA�d�B =

�Ih +

A

2!h2 +

A2

3!h3 + . . . +

Ai

(i + 1)!hi+1 + . . .

⇥B

� = I +A

2!h +

A2

3!h2 + . . . +

Ai

(i + 1)!hi + . . .

� = I + Ah⇥

� = ⇥hB

� ⇥= I +Ah

2

�I +

Ah

3

�. . .

Ah

N � 1

�I +

Ah

N

⇥⇥⇥

10

Discrétisation de systèmes stationnaires

Modèle linéaire Modèle non linéaireModèle non linéaire

LinéarisationLinéarisation

Contre-réaction Tangente

Discrétisation exacte Discrétisation exacte Discrétisation exacte

˙x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Du (t)

x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)

x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Du (t)

x (t) = f [x (t) , u (t)]y (t) = g [x (t) , u (t)]

x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)

� = eAh � =h�

0

eA�d� B

11

4.1.8 Double intégrateur: Série

12

u(t) y(t)1

s2

y(t) = u(t)

x1(t) = y(t)x2(t) = y(t)

x1(t) = y(t) = x2(t)x2(t) = y(t) = u(t)

y(t) = x1(t)

x(t) =

0 10 0

�x(t) +

01

�u(t)

y(t) =⇥1 0

⇤x(t) + [0]u(t)

4.1.8 Double intégrateur: Série

x =

A⇧ �⌥ ⌃⇤0 10 0

⌅x +

B⇧ �⌥ ⌃⇤01

⌅u et y =

�1 0

⇥⌥ ⌃⇧ �

C

x

� = eAh = I + Ah +A2

2!h2 + . . . +

Ai

i!hi + . . .

� =�

1 00 1

⇥+

�0 10 0

⇥h +

�0 00 0

⇥h2

2=

�1 h0 1

⇥= eAh

� =⌦ h

0eA�d�B =

⌦ h

0

⌅1 �

0 1

⇧d�

⇥01

⇤=

⌃

� �|h0�2

2

���h

0

0 �|h0

⌥

⇥

01

⇤

=

⌅h h2

2

0 h

⇧ ⇥01

⇤=

⌅h2

2

h

⇧

x (k + 1) =⇤

1 h0 1

⌅x (k) +

⇧h2

2

h

⌃u (k) et y (k) =

�1 0

⇥x (k)

13

Solution de l’équation d’étatpar la transformée de Laplace

14

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

sX(s)� x(0) = AX(s) +BU(s)

(sI �A)X(s) = x(0) +BU(s)

X(s) = (sI �A)�1x(0) + (sI �A)�1

BU(s)

x(t) = e

Atx(0) +

R t0 e

A(t�⌧)Bu(⌧)d⌧

e

At = L

�1h(sI �A)�1

i

Algorithme de Leverrier (analogique)

H0 = I

a1 = �tr (AH0) H1 = AH0 + a1I

a2 = � 12 tr (AH1) H2 = AH1 + a2I

......

an�1 = � 1n�1 tr (AHn�2) Hn�1 = AHn�2 + an�1I

an = � 1n tr (AHn�1) Hn = AHn�1 + anI = 0

eAt = L�1�(sI �A)�1

⇥et � = eAh

(sI �A)�1 =adj (sI �A)det (sI �A)

=H0sn�1 + H1sn�2 + H2sn�3 + . . . + Hn�1

sn + a1sn�1 + a2sn�2 + . . . + an

15

Double intégrateur: Leverrier

x =

A⇧ �⌥ ⌃⇤0 10 0

⌅x +

B⇧ �⌥ ⌃⇤01

⌅u et y =

�1 0

⇥⌥ ⌃⇧ �

C

x

eAt = L�1�(sI �A)�1

⇥et � = eAh

(sI �A)�1 =H0s + H1

s2 + a1s + a2=

�1 00 1

⇥s +

�0 10 0

⇥

s2=

1s2

�s 10 s

⇥

eAt = L�1

⌅ 1/s 1�s2

0 1/s

⇧=

⇥1 t0 1

⇤donc eAh =

⇥1 h0 1

⇤

H0 = I =�

1 00 1

⇥, a1 = �tr (AH0) = �tr

�0 10 0

⇥= 0, H1 = AH0 + a1I =

�0 10 0

⇥

a2 = �12tr (AH1) = �1

2tr

�0 00 0

⇥= 0,H2 = AH1 + a2I =

�0 00 0

⇥(controle)

16

Théorème de Cayley-Hamilton

Soit A une matrice n x n:

Pour des valeurs propres de multiplicité mi

Les sont les valeurs propres de A, soit les solutions de:�i

Les coefficients sont solution de:�i

f (A) = p (A) = �0An�1 + �1A

n�2 + . . . + �n�1I

f (�i) = p (�i) i = 1, . . . , n

det (�I �A) = |�I �A| = 0

�������

f (1) (�i) = p(1) (�i)...

f (mi�1) (�i) = p(mi�1) (�i)17

4.1.12 Double intégrateur: Cayley-Hamilton

x =

A⇧ �⌥ ⌃⇤0 10 0

⌅x +

B⇧ �⌥ ⌃⇤01

⌅u et y =

�1 0

⇥⌥ ⌃⇧ �

C

x

|�I �A| =����

⇥� 00 �

⇤�

⇥0 10 0

⇤���� =����

⇥� �10 �

⇤���� = �2 = 0, �1 = �2 = 0

f (A) = eAh = �0A + �1I

����e�1h = �0⇥1 + �1

e�2h = �0⇥2 + �1

e�1h = �0⇥1 + �1 � 1 = �1

d

d⇥2e�2h =

d

d⇥2(�0⇥2 + �1) � he�2h = �0 � h = �0

eAh = h

�0 10 0

⇥+ 1

�1 00 1

⇥=

�1 h0 1

⇥

18

4.2 Solution de l’équation d’état discrète linéaire

19

x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)

x(k0 + 1) = ⇥x(k0) + �u(k0)

x(k0 + 2) = ⇥x(k0 + 1) + �u(k0 + 1)x(k0 + 2) = ⇥ [⇥x(k0) + �u(k0)] + �u(k0 + 1)x(k0 + 2) = ⇥2x(k0) + ⇥�u(k0) + �u(k0 + 1)

x(k0 + 3) = ⇥x(k0 + 2) + �u(k0 + 2)x(k0 + 3) = ⇥

�⇥2x(k0) + ⇥�u(k0) + �u(k0 + 1)

⇥+ �u(k0 + 2)

x(k0 + 3) = ⇥3x(k0) + ⇥2�u(k0) + ⇥�u(k0 + 1) + �u(k0 + 2)

x(k) = ⇥k�k0x(k0) +k�1�

i=k0

⇥k�i�1�u(i)

réponse libre + réponse forcée (produit de convolution)

Matrice de transfert discrète

20

x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)

CI nulles

zX(z)� ⇥X(z) = �U(z)Y (z) = CX(z) + DU(z)

(zI � ⇥)X(z) = �U(z)Y (z) = CX(z) + DU(z)

X(z) = (zI � ⇥)�1�U(z)Y (z) = C

�(zI � ⇥)�1�U(z)

⇥+ DU(z)

Y (z) =�C(zI � ⇥)�1� + D

⇥U(z) ⇥ H(z)U(z)

Modèle d’étatlinéaire discret

H(z)U(z) Y (z)u(k) y(k)

x(k)

Matrice de transfert discrète

21

H(z) =hC(zI � �)�1�+D

i

2

6664

Y1(z)Y2(z)

...Yp(z)

3

7775=

2

6664

H11(z) H12(z) · · · H1r(z)H21(z) H22(z) H2r(z)

.... . .

...Hp1(z) Hp2(z) · · · Hpr(z)

3

7775

2

6664

U1(z)U2(z)

...Ur(z)

3

7775

Y (z) = H(z)U(z)

Hij(z)Uj(z)

0

0Yi(z)

...

...

...

...

Algorithme de Leverrier (discret)

H (z) = C (zI � ⇥)�1 � + D

(zI � �)�1 =adj (zI � �)det (zI � �)

=H0zn�1 + H1zn�2 + H2zn�3 + . . . + Hn�1

zn + a1zn�1 + a2zn�2 + . . . + an

H0 = I

a1 = �tr (�H0) H1 = �H0 + a1I

a2 = � 12 tr (�H1) H2 = �H1 + a2I

......

an�1 = � 1n�1 tr (�Hn�2) Hn�1 = �Hn�2 + an�1I

an = � 1n tr (�Hn�1) Hn = �Hn�1 + anI = 0

22

4.2.4 Double intégrateur: Matrice de transfert

H (z) = C (zI � ⇥)�1 � + D� =�

1 h0 1

⇥

�����������������

a1 = �tr (�) = �2

H1 = � + a1I =⇥

1 h0 1

⇤� 2

⇥1 00 1

⇤=

⇥�1 h

0 �1

⇤

a2 = � 12 tr (�H1) = � 1

2 tr

⇥�1 0

0 �1

⇤= 1

H2 = �H1 + a2I =⇥�1 0

0 �1

⇤+

⇥1 00 1

⇤=

⇥0 00 0

⇤cqfd

H (z) =�

1 0⇥⌅

z � 1 h

0 z � 1

⇧ ⌅h2

⇤2

h

⇧1

(z � 1)2

H (z) =�

z � 1 h⇥ ⌅

h2⇤2

h

⇧1

(z � 1)2=

(z � 1) h2⇤2 + h2

(z � 1)2=

h2

2z + 1

(z � 1)2

(zI � �)�1 =adj (zI � �)det (zI � �)

=Iz + H1

z2 + a1z + a2=

1z2 � 2z + 1

�z � 1 h

0 z � 1

⇥

Stabilité

24

H (z) = C (zI � ⇥)�1 � + D

H(z) =Cadj(zI � ⇥)�

det(zI � ⇥)+ D =

H�(z)det(zI � ⇥)

H (z) =

⇤

⌥⇧H11 (z) . . . H1r (z)

......

Hp1 (z) · · · Hpr (z)

⌅

�⌃ = [Hij (z)] =�

H�ij (z)

det (zI � �)

⇥

Poles zi des Hij solution de: det (zI � �) = 0

Valeurs propres vi de � solution de: det (�I � �) = 0

zi = vi

Asymptotiquement stable si: |vi| < 1 pour i = 1, . . . , n

4.1.13 Exemple: Entraînement discret

�x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)

y (k) = Cx (k)D

AA

Dx =

⇤0 10 a

⌅x +

⇤0b

⌅u

y =�

1 0⇥x

u (k) y (k)y (t)u (t)

(zI � �)�1 =Iz + H1

z2 + a1z + a2=

1(z � eah) (z � 1)

⇤ �z � eah

⇥1a

�eah � 1

⇥

0 z � 1

⌅

H (z) = C (zI � ⇥)�1 � + D Inutile ! Les valeurs propres donnent la meme info

|�I � �| =

⇤�� 1 � 1

a

�eah � 1

⇥

0 �� eah

⌅= (�� 1)

��� eah

⇥= 0⇥

⇧�1 = z1 = 1�2 = z2 = eah

25

⇥ = eAh =

"1 1

a

�eah � 1

�

0 eah

#� =

b

a

"1a

�eah � 1

�� h

�eah � 1

�#

exemple: 4.1.13

Systèmes discrets linéaires et stationnaires

x (k) = ⇥k�k0x (k0)⌅ ⇤⇥ ⇧Reponse libre

+k�1�

l=k0

⇥k�l�1�u (l)

⌅ ⇤⇥ ⇧Reponse forcee

x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)

Matrice de transfert et stabilité

Solution

Y (z) =�C (zI � ⇥)�1 � + D

⇥U (z) = H (z) U(z)

H (z) =

⇤

⌥⇧H11 (z) . . . H1r (z)

......

Hp1 (z) · · · Hpr (z)

⌅

�⌃ = [Hij (z)] =�

H�ij (z)

det (zI � �)

⇥

Poles zi des Hij solution de: det (zI � �) = 0

Valeurs propres vi de � solution de: det (�I � �) = 0

zi = vi

Asymptotiquement stable si: |vi| < 1 pour i = 1, . . . , n26