Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait lectronique E 1 160 1E 1 160 6 - 1990Bruit de fond : mthodes de calcul dans les composants lectroniquespar Michel SAVELLIAgrg de lUniversit, Docteur s SciencesProfesseur lUniversit des Sciences et Techniques du Languedocet Jean-Pierre NOUGIERAncien lve de lcole Normale Suprieure de CachanDocteur s SciencesProfesseur lUniversit des Sciences et Techniques du Languedocetarticleseprsentecommeunesuitelogiquedeceluiconsacrlacaractrisationdescomposantsetdescircuits,danslequelsontexposslesconceptsdebasedesfonctionsalatoires,ladescriptiondesdiffrentescomposantes fondamentales du bruit de fond, lapproche de la caractrisation1. Mthode de Langevin.............................................................................. E 1 160 - 21.1 Principe......................................................................................................... 21.2 Applications ................................................................................................. 32. Sources locales du bruit de fond ........................................................ 52.1 Origine des uctuations de courant........................................................... 52.2 Composante de la source due aux uctuationsdes vitesses des porteurs............................................................................ 62.3 Composante de la source due aux uctuations de la densit volumiquedes porteurs ................................................................................................. 73. Mthode du champ dimpdance ........................................................ 73.1 Prsentation intuitive du problme............................................................ 73.2 Introduction du champ dimpdance......................................................... 83.3 Champ dimpdance et calcul du bruit de fond........................................ 93.4 Calcul du champ dimpdance et exemples de calcul de bruit ............... 94. Problmes poss par les composants submicroniques ................ 134.1 Comportement inhabituel de paramtres macroscopiques .................... 134.2 Effets de dynamique non stationnaire....................................................... 134.3 Corrlations spatiales des sources de bruit .............................................. 144.4 Changement de nature du bruit ................................................................. 164.5 Effets de discrtisation................................................................................ 164.6 Orientations.................................................................................................. 165. AnnexeI :problmedesuctuationsdecourantinduitesparles porteurs de charges dans un matriau conducteur ................ 175.1 Situation gnrale du problme................................................................. 175.2 Calcul de la variance de I (t ) ....................................................................... 176. Annexe II : rsolution dune quation diffrentielledu premier ordre ...................................................................................... 177. Annexe III : fonction de Green dun oprateur linaire ................ 188. Annexe IV : fonction de Dirac.............................................................. 18Rfrences bibliographiques ......................................................................... 18CBRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES________________________________________________________________Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite.E 1 160 2 Techniques de lIngnieur, trait lectroniquedubruitdefonddanslecadredelathoriedescircuits,avecdesexemplesempruntsauxcomposantspassifsetactifslespluscourantsetenndesnotions prcises concernant la mtrologie du bruit de fond.Ledveloppementtoujoursplusrapidedenouveauxcomposantsfabriqusavec de nouveaux matriaux, joint la conception assiste par ordinateur (CAO)de plus en plus utilise par les centres de recherche, rend ncessaire de formerlesscientiquesdestechniquesdedescriptionplusnesquipermettentdetenter de caractriser le bruit de fond lectronique des composants, durant ltapede sa conception. Cest ce que nous nous sommes efforcs de faire en exposant,pour lingnieur, les mthodes de calcul du bruit de fond dans les composantslectroniques.Dans la premire partie, nous dveloppons la mthode originale de Langevin,que nous illustrons par quelques exemples classiques.Dansladeuximepartieestdcritle conceptdesourceslocalesdebruitdefond,duessoitauxuctuationsdesvitessesdesporteursdecharge,soitauxuctuations de la densit des porteurs. Cette notion permet, lors de la conceptiondun composant, de faire intervenir les sources de bruit en chaque point et doncderaliserunedescriptionphysiquemicroscopiquedesuctuationsdanslecomposant.Latroisimepartieestrelativeladescriptiondunemthodepuissante,lamthodeduchampdimpdance,pourcalculerlebruitdefondqueprsenteun composant, si sont connues les sources locales de bruit de fond quil contient.Puissontclairementdveloppesdeuxapplications,luneutilisantlechamplectrique local et concernant le bruit de la diode injection en rgime de simplechargedespace,etlautreutilisantlepotentiellocalet concernantlebruitducanal dun transistor effet de champ.Dans la dernire partie sont rassembls, pour sensibiliser le lecteur aux aspectsmodernes et futuristes, des problmes poss par les nouvelles technologies sub-microniques aux concepteurs chargs de prvoir les performances de ces futurscomposants et aussi bien entendu le bruit de fond quils devraient prsenter.1. Mthode de Langevin1.1 PrincipeLamthodequenousallonsdvelopperici,miseenuvreoriginellement par Langevin, sapplique aux systmes linaires uneou plusieurs variables et, dans le cas de petites uctuations autourdunpointstabledefonctionnement,auxsystmesnonlinaires.1.1.1 Cas dun systme linaire une seule variableSoientdoncxS(t )lavariablelectriqueinstantanetotalelaquelleonsintresse,XSsavaleurmoyennexs(t )lavariablecentredexS(t ).SoitYSlaconditionauxlimitesdusystmeS,reprsentantlasourcecontinueapplique(sansuctuation)etsoitennn (t )lasourceinternedebruit,gnratricedesuctuationsdanslesystme S. Si est loprateur linaire caractrisantS, lquationquigrelesystmeestlasuivante :(1)dontlavaleurmoyennescrit :(2)et,pardiffrence,onobtientlquationauxvariablescentres :(3)oueninversant :(4)Si lon dsigne par L ( ) et G() le gain complexe du ltre linaire et celui du ltre linaire inverse (gure 1), on rappelle que :(5)(6)tantlafrquencemathmatique,cequimontrequeL ()etG()sontaussilesvaleurspropresdesoprateurscorrespondantauxfonctionspropresexp(2jt). Ce qui a t expos dans larticle Bruit de fond et Mesures[E 1 150] propos du ltrage linaire du bruit, nous permet dcriredirectement,partirdesrelations (3),(4),(5)et(6),lesquationsliantlesdensitsspectralesdesvariablescentresxs(t )etn(t ),lafrquencef :(7)(8) xSt ( ) [ ] YSn t ( ) + = XS[ ] YS= xst ( ) [ ] n t ( ) =xst ( ) 1n t ( ) [ ] = 1 exp 2jt ( ) [ ] L ( ) exp 2jt ( ) =1exp 2jt ( ) [ ] G ( ) exp 2jt ( ) = et 1Snf ( ) L f ( )2Sxsf ( ) =Sxsf ( ) G f ( )2Snf ( ) =_______________________________________________________________BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUESToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait lectronique E 1 160 3Bienentendu,ona :|L (f )|2 |G(f )|2 = 1 (9)Gnralement,onfaitdeshypothsessurladensitspectraleSn(f )delasourceinternedebruitet,connaissantlegainL(f )deloprateur, on dduit au moyen des relations (8) et (9) la densitspectrale. Dans certains cas, on procde inversement, et onutiliselarelation (7)pourdduireladensitspectraleSn(f ),connaissantcelledeetlegaincomplexeL(f ).1.1.2 Cas dun systme linaire multivariableSilondsigneparlesvecteursrcomposantesreprsentantlesrvariableslectriques(totales,moyennesetcentres)auxquellesonsintresse,parlesrsourcescontinuesappliques(sansuctuation)etparlesrsourcesdebruitinternesquecomprendaumaximumlesystmemultivariableS,onaura,dunemanireidentique,lquationdesvariablescentres :(10)(11) sont ici des oprateurs matriciels r colonnes et r ligneset soient les coefcients des matrices. Onaura, dune manire identique ce qui a t fait au paragraphe 1.1.1 :(12)(13)Commedanslecasuneseulevariable,laconnaissancedescoefcientsdesmatricesetdesdensitsspectrales des vecteurs permet de dduire les densitsspectralesdesintercomposantesdelautrevecteur.1.1.3 Cas des systmes non linairesDans le cas dun systme non linaire une seule variable, et endsignant par loprateur non linaire, la relation (1) est remplacepar :[xS(t )] = YS + n(t ) (14)avec,bienentendu,commedansleparagraphe 1.1.1 :xS(t ) = XS + xs(t ) (15)On dveloppe, autour du point de polarisation continue, dans lecasdepetitssignaux,telsque :(16)etonadonc : lordre 0 : [XS] = YS(17)(18)o est un oprateur linaire par construction, autour du point defonctionnementchoisi.Lalinarisationduproblmepermetderamenerlarsolutioncelleavanceauparagraphe 1.1.1.On procde dune manire identique pour les systmes plusieursvariables.1.2 ApplicationsDansceparagraphe,nousallonsdonnerquelquesexemplesdesystmes une seule variable et un exemple plusieurs variables.1.2.1 Calcul du courant de bruit thermiquedun ensemble srie inductance-rsistanceConsidronsuncircuitcomprenantuneinductanceLetunersistanceRetcherchonsladensitspectraleducourantdebruiti (t)danscecircuit,sachantquelasourceinternedebruitestunesourcedetensiondebruitv (t ),dueaubruitthermiquedelarsistanceR(gure 2).Ona :(19)Legaincomplexedultrelinairevaut :L () = R + 2jL = Z() (20)avecZ()impdancedudiple.Lhypothsedubruitthermiquenouspermetdcrire :Sv(f ) = 4kRT = 4kTRe[Z] (21)avec k constante de Boltzmann, T temprature thermodynamique ;etilvientdonc,partirde (8),(9),(19)et (21) :(22)endsignantparYladmittance[YZ = 1]ducircuit :(23)Figure 1 Correspondance par ltres linairesSxsf ( )Sxsf ( )xSt ( ),XS etxst ( )YSn t ( ) xst ( ) n t ( ) =xst ( ) 1 n t ( ) = ou 1 ijet k1 et 1Sni, jf ( )k 1 =rik 1 =r*jSxk,f ( ) =Sxk,f ( )i 1 =rki1j 1 =rj1*Sni, jf ( ) = et 1Sxk, ou Sni,jxs ounxst ( ) XS l ordre 1: xst ( ) [ ] n t ( ) = i t ( ) [ ] Lddt-------- R + i t ( ) v t ( ) = =Sif ( )Svf ( )Z f ( )2--------------------- 4kT Re Y [ ] = =Y f ( )R 2jfL R242f2L2+--------------------------------------- = BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. E 1 160 4 Techniques de lIngnieur, trait lectronique 1.2.2 talement dun paquet dlectrons agitsdun mouvement brownien 1.2.2.1 Densit spectrale de vitesse Si lon se reporte larticle [E 1 100] consacr aux uctuations duesaubruitthermiquedagitationdevitessedunlectron,pourlesdomainesdefrquencesinfrieures10 GHz,ladensitspectralede la composante de vitesse thermique suivant laxe de mesure ducourantvaut : (24) avec m n masse de llectron, r temps de relaxation.ComptetenudelexpressiondelarelationdEinstein,valablefaiblechamplectrique,quilielamobilit n etlecoefcientdediffusion D n (cf.article[E 1 100] Physiquedesdispositifslectro-niques dansleprsenttrait) : (25) avec q charge de llectron,etdelexpressiondelamobilit n : (26) larelation (24)scrit : S v ( f ) = S v (0) = 4 D n (27) On reconnat ainsi le caractre microscopique de la corrlation desvitesses ; de plus, cette relation peut tre utilise comme dnitionducoefcientdediffusion. 1.2.2.2 Densit spectrale du dplacement Intressons-nous au dplacement, x ( t ) linstant t par rapport sonorigine( x = 0en t = 0),dellectron,danscematriauconducteur, soumis lagitation thermique. La relation du systmeest : (28) Legaincomplexedultresecalculeaisment : (29) detellesortequenutilisantlarelation (7)ilvient : (30)quidevient,comptetenudelarelation (27) :(31)1.2.2.3 talement quadratique moyen du paquet Si lon injecte t = 0 en x = 0 un paquet dlectrons que lon faitdriverparunchamplectriqueappliqu,lepaquetvastalerautour de sa position moyenne avec un cart type x quil est aisdecalculerpartirdelarelation (31) :(32)Lersultatdececalculestdonc :(33)Ltalementestproportionnellaracinecarredutempst.1.2.3 Exemple dun systme linaris :bruit de gnration-recombinaisonConsidronsunrservoircomportantnS(t )lectronsetsupposonsquunuxdegSlectronsestinjectdanslerservoirtandisquunuxderSlectronsquittelerservoir.Cesdeuxuxdentreetdesortie(gure 3)sontgnralementdsignssouslappellationdeprocessusdegnration-recombinaisonetsontfonctiondelapopulationdurservoirnS(t ).1.2.3.1 Liaison entre les densits spectralesEnrgimepermanent(GS = RS),ilvientpourlquationauxvariablescentres :(34)b(t )estlasourceinternedubruit.Figure 2 Circuit L, R srieSvf ( ) Sv0 ( ) 4kTrmn---------- = =Dnn----------kTq--------- =nqrmn---------- = v t ( ) [ ] 0tv u ( ) du x t ( ) = =Figure 3 Reprsentation schmatiquedun processus de gnration-recombinaisonL ( )0texp 2ju ( ) duexp 2jt ( )----------------------------------------------------1 exp 2 jt ( ) 2 j ------------------------------------------------- = = exp jt ( ) sin t j ------------------------------------------------------- =Sxf ( ) t2ft sinft--------------------2Svf ( ) =Sxf ( ) 4Dnt2ft sinft--------------------2=x20Sxf ( ) df 2Dnt = =x2Dnt =dnst ( )dt--------------------- gsnst ( ) [ ] rsnst ( ) [ ] + b t ( ) = _______________________________________________________________BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait lectronique E 1 160 5 Nousdevonslinarisercesystmeenexprimant g s et r s enfonctiondeleursdrivesparrapport n s ,autourdupointdefonctionnementstable : (35) ilvient (36) soit,enintroduisantladuredevie ,telleque : (37) lexpressiondelquationdebase : (38) Legain L ( )dultrevaut : (39) etparsuite : (40) 1.2.3.2 Hypothse dune source interne corrlation microscopique Si la densit spectrale de la source interne b(t ) est indpendantedelafrquence,enintgrantde0Iinnilesdeuxmembresdelarelation (40),onobtient :(41)relationquipermetdexprimerlarelation (40)souslaforme :(42)quimontrequeladensitspectraleestdterminesilavariancedesuctuationsdens(t )estconnue.Celle-ciestdonnesionrsoutlquationmatresse,lieladescriptionmicroscopiquedusystme.1.2.3.3 Hypothse de ux de gnration et de recombinaison corrlation microscopiqueSi lon suppose que les deux ux rs(t ) et gs(t ) sont corrlationmicroscopiqueetsoitlenombremoyendeparticulesquipassepar unit de temps dans chaque sens (RS = GS = ), on peut crire :(43)lesinstantstjettk,dedensit,tantlesinstantsdedpartdeslectronsdurservoiretdarrivecemmerservoir.Larelation (43) permet de calculer directement la densit spectrale deb(t ) :Sb(f ) = 4 (44)etlesrelations (41)et (42)setransformenten :(45)(46)2. Sources localesdu bruit de fond2.1 Origine des uctuations de courantLebruitdefondapparaissantauxbornesextrieuresduncomposantasonoriginesoitlintrieurmmeduvolumeducomposant, soit linterface de ce volume avec son environnement(couches de passivation, lectrodes, etc.). Il est donc judicieux, pourfaciliterlamodlisationdubruit,dednirdessourceslocalesdebruit.Danslaralit,lecourantlectriqueestvhiculparleslectronslibres ;aussi,pourtenircompteducaractremicro-scopiquedelacorrlationdeceslectronsentreeux,lessourceslocales,endeuxpointdistinctssontdcorrles.2.1.1 Expression des uctuations de courantdans un volume lmentaireDansunvolumelmentaireformantunparalllpipderectangle centr sur, on fait passer un courant i (t ) entre deuxfacesopposesdaireAdistantesde.Soitn(t ) le nombre alatoire dlectrons prsents dans et soit vi(t )lavitessemesuresuivantlaxeducourantdunechargeqdlocalisedans,ona :(47)Ltude du courant total et de la variance de i (t ) [cf. Annexe I ( 5)]conduitauxrsultatssuivants :(48)(49) tant les variances des grandeurs alatoires n(t ) et vi(t )devaleursmoyennesNetV.Ladcompositionharmoniquedestrois variancesconduit une quation quivalenteentrelesdensitsspectralesSi,SnetSvdestroisvariablescentres :(50)2.1.2 Intervention de la densit volumiquedes porteurs de charges et sources localesSi on utilise, comme paramtre, la densit instantane volumiquelocaledeporteursdechargesj(t ),devaleurmoyennedanslacelluleunitairetelleque :(51)ilvient,causedelindpendancedesvaleursi(t )entreelles :(52)(53)S(f )tantladensitspectralede (t ),devaleurmoyenne.gsgsnst ( ) =rsrsnst ( ) = etddt--------- r sg s ( ) + nst ( ) b t ( ) =1r sgs---------------------- = nst ( ) [ ]ddt--------1----- + nst ( ) b t ( ) = =L ( )1----- 2j + =Snsf ( ) Sbf ( )11----- 2jf +2--------------------------------- =ns2Sb4----- =Snsf ( )4ns21 42f22+----------------------------------- =Snsf ( )ns2b t ( ) t tj ( )tj t tk ( )tk =ns2 =Snsf ( )421 42f22+----------------------------------- =retr rx Ax = ( )i t ( )q----------- Avit ( )i 1 =n t ( )qx--------- vit ( )i 1 =n t ( )= =Iqx--------- NV =i2 q2x2------------- V2n2Nv2 + =n2 et v2i2, n2 et v2Sif ( )q2x2------------- V2Snf ( ) NSvf ( ) + =i de n t ( ) jt ( ) jj =N =Snf ( ) Sf ( )j=BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES________________________________________________________________Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite.E 1 160 6 Techniques de lIngnieur, trait lectroniqueLarelation (50)prendalorslaforme :(54)quelonpeutrassembleren :(55)Lafonctiontelleque :(56)estappelesourcelocaledecourantdebruit.Lepremiertermecontientlacomposantedelasourcedueauxuctuationsdeladensit des porteurs, le second terme reprsente la composante dueauxuctuationsdelavitesse.PuisquelquationauxdimensionsdeSi(f )estA2 Hz1,ilestvidentquecelledesexprimeenA2 Hz1 m1.Dans les relations (53), (54) et (56), le volume unit nestprsentquepourlquationauxdimensionsdecesrelationssoitcorrecte.2.2 Composante de la sourcedue aux uctuations des vitessesdes porteursDans ce paragraphe, on supposera que la densit volumique desporteursneuctuepas.2.2.1 Source lquilibre thermodynamiqueLecalculdeladensitspectraleducourantduelagitationthermique a t fait dans ce cas dans larticle Bruit de fond et Mesures[E 1 150] ;ontrouve :Si(f ) = 4 k G0T (57)G0 tant la conductance mesure entre les deux faces dairesAdistantesdex.Silonfaitintervenirlamobilitn,laconductivitnetlecoefcientdediffusionDndeslectrons,ona :(58)n = qn(59)qDn = k Tn(formule dEinstein) (60)et,parconsquent,ilvient :(61)Cest lexpression de la source locale de bruit thermique, dsignequelquefois,causedeladernireexpressiondelarelation (61),sourcedebruitdediffusion.2.2.2 Source en rgime de porteurs chaudsSi le champ lectrique est lev (suprieur 103 V/cm par exempledans le silicium), il faut modier la prsentation prcdente sur deuxpoints.I Toutdabord,lebilannergtiqueralissousleschocslectrons-phonons lquilibre thermodynamique est dplac enrgime dlectrons chauds et lensemble des lectrons libres voientleur nergie et donc leur vitesse dagitation thermique augmenter ;dsignons par Tn la nouvelle temprature des lectrons qui, danslhypothse o la distribution est toujours maxwellienne, vaut :(62)Danstouslescas,lebruitthermiquescriradonc :Si(f ) = 4 k GTn(63)oGestlaconductivitlafrquencefenrgimedlectronschauds. Cette relation justie lappellation de temprature de bruitpourTn.I De plus, alors qu faible champ lectrique la densit de courantlectrique j est proportionnelle au champ lectrique, le facteur deproportionnalit tant la conductivit lectrique, au contraire, fortchamp lectrique la variation devient sous-linaire et la conductancescrit :(64)letermenestautrequelaconductivitdiffrentielle,cest--dire, pour les frquences sufsamment basses (infrieures 100 GHz),lapente,aupointdefonctionnement,delacourbe.Parlasuite,lasourcelocaleprendlaforme :(65)Si lon conserve, en rgime de porteurs chauds, la mme dnitionducoefcientdediffusiondonnerelation (27),onaaussi[relation (61)] :(66)I RemarquesG La comparaison des deux relations (65) et (66) permet dobtenirunerelationquisesubstituelquationdEinsteinpourlesfortschamps lectriques :(67)G Enlabsencedechargedespace,ladensitdeslectronsestconstante, de sorte que :j = qVetV tant la valeur moyenne temporelle de la moyenne algbrique desvitessesinstantanesmesuressuivantlaxeducourantdeslectronsprsentsdanslevolume.Parsuite,larelation (67)devient :(68)G La prsentation qui a t faite dans ce paragraphe suppose uneisotropiecomplte.Enfait,celle-ciestdtruiteparlechamplectrique. Si lon sintresse la direction , la relation (65) devient :(69)Sif ( ) q2Ax----------- V2Sf ( ) jSvf ( ) + { } =Sif ( ) K f, r ( )Ax---------- =K f, r ( )K f, r ( ) q2V2Sf ( ) jSvf ( ) + { } =K f, r ( )j1 = ( )G0nAx---------- =K f, r ( ) 4kTn4kTqn4Dnq2 = = =12----- mnv2 32----- kTn=Gj---------Ax---------- =j---------jj ( ) =K f, r ( ) 4kTn j---------=K f, r ( ) 4Dn ( )q2 ( ) =qDn ( ) kTnj---------q ( )-------------------- =j---------qV--------- =qDn ( ) kTnV--------- =Kf, r ( ) 4kTn,f, r ( )j,--------------=_______________________________________________________________BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUESToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait lectronique E 1 160 7Aussi, la mesure de la temprature de bruit et de la conductivitdiffrentiellesuivantunedirectionpermetdobtenirexpri-mentalementlasourcedebruitdoriginethermique.G Danslesdomainesdechamplectriqueojdcrotaveclechamp, cest--dire o la drive est ngative, on peut sedemandercequedevientlanotiondesourcedebruit,quiparessence doit tre positive. La relation (65) nous indique que pour cefaire lnergie kTn doit tre ngative, ce qui devrait indiquer que lesystme reoit de lnergie de llectron au lieu de lui en fournir. Larelation (66)nousindiquequelecoefcientdediffusionDnestpositif, ce qui est satisfaisant en regard de la relation de dnition(27). Ces remarques, valables si le systme est stable, cessent davoirun sens en cas dinstabilit.2.3 Composante de la sourcedue aux uctuations de la densit volumique des porteurs2.3.1 Expression de base du bruitde gnration-recombinaisonDans ce paragraphe, on nglige les uctuations des vitesses, onpeutcriresimplement[relation (56)] :(70)LexpressionducourantcontinuIdanslevolumescrit[relations (48)et (52)] :(71)Lasourceprenddonclaforme :(72)etenfaisantintervenirladensitdecourantj :(73)Sionprendcommevariablelenombren(t )deporteurs,devaleurmoyenneN,onalidentit :(74)Aussi, en utilisant, suivant les hypothses choisies, les expressionsdeS(f )donnesparlesrelations (42)ou(46),danslecasdunprocessus de gnration-recombinaison, la source est-ellecompltementdnieparlesrelations (73)et(74).Danslesexemplesquisuivent,onncrirapaslevolumeunitquiestgal1.2.3.2 Source interne corrlation microscopiqueEnsereportantauparagraphe 1.2.3.2,onobtient :(75)tantlcarttypede.2.3.3 Flux de gnration et recombinaison corrlation microscopiqueEnsereportantauparagraphe 1.2.3.3onobtient :(76)tantlenombremoyendeparticulesquipasseparunitdetemps,danschaquesens,parunitdevolume.2.3.4 Hypothse supplmentairede lindpendance des porteursDans ce cas, les uctuations relatives des porteurs sont inverse-mentproportionnellessoit :(77)tantlaconstantedeproportionnalitayantlammequationauxdimensionsque.Onendduit,partirde (75) :(78)2.3.5 Source de bruit en 1/f2.3.5.1 Distribution en volume de la sourceOn remplace dans la relation (78) la quantit 4 / (1 + 2 2) parH/ foHestleparamtredeHooge,cequidonne :(79)2.3.5.2 Localisation de la sourcesur une surface quipotentielleDanscecas,onremplacedanslarelation (79)leparamtredeHoogeHpar (x x0),x0tantlabscissedelocalisationdelasurfacesoit :(80) tant un paramtre caractrisant lintensit de ce bruit de surface.3. Mthode du champ dimpdance3.1 Prsentation intuitive du problmeToute la philosophie qui sous-tend la modlisation du bruit dansles composants, par la mthode du champ dimpdance, est inclusedans la gure 4, qui montre un composant, polaris en continu entreleslectrodesMetN,parcouruparuncourantcontinudeau(oudlectronsdansunvraicomposant).Lepcheur,assisenM,regarde le bouchon en N, qui sautille la surface de leau causedes uctuations du courant, dues aux cailloux jets en S. Ces caillouxreprsententunesourcelocaledebruit,etlemouvementdubouchon reprsente le potentiel uctuant entre les lectrodes M etN, superpos la polarisation continue. On voit tout de suite quej---------K f, r ( ) q2V2Sf ( ) j=Iqx--------- NV AqV = =K f, r ( )IA---------------2Sf ( ) j=K f, r ( )j------2Sf ( )j=Sf ( )2----------------- jSnf ( )N2--------------------- =K f, r ( )K f, r ( )421 22+---------------------------j------2=K f, r ( )421 22+---------------------------j------2=22---------------- =K f, r ( )41 22+---------------------------j2------- =K f, r ( )Hf---------j2------- =K f,x ( )f-----j2------- x x0 ( ) =BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES________________________________________________________________Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite.E 1 160 8 Techniques de lIngnieur, trait lectroniqueleslectrodesMetNentrelesquellesontudielebruitpeuventtre ou non confondues avec les lectrodes M et N de polarisationdu composant. M sera pris comme potentiel de rfrence pour lesuctuations(masseencourantalternatif).Ilestvident,daprslagure 4,quelebruitmesurentreM et NdpenddunepartdelasourcelocaledubruitenS,dautre part de la manire dont les uctuations, cres en S par lasourcedebruit,sepropagentenN :lafonctiondetransfertentrelasourcelocaleetleslectrodesdemesureestappelechampdimpdance.Lebruittotal,mesurentreleslectrodesMetN,estlasommedesuctuationsproduitespartouteslessourcesdebruitlocalisesauxdiffrentspointsducomposant.3.2 Introduction du champ dimpdance3.2.1 GnralitsLamthodeduchampdimpdanceatintroduitepourlapremire fois par Shockley, Copeland et Jones, dans le cas du bruitde diffusion de composants unidimensionnels. Elle a par la suite ttendue au bruit de gnration-recombinaisonGR, puis au cas tri-dimensionnel,danslaformulationditedutransfertdimpdances,quiatensuitegnralisedunemanireindpendantedelavariablelectriqueutilise(champoupotentiel).Les extensions tridimensionnelles ntant pas encore utilises, etposant par ailleurs des problmes fondamentaux, il sera donn iciuneformulationunidimensionnellesimple,maisunpeuplusgnralequecelledonneinitialementparShockleyetal.3.2.2 Injection et extraction dun courant sinusodal dune tranche x, x dxConsidronsuncomposantpolarisencontinuentreleslectrodesMetN.LeslectrodesdemesuresontMetN :onymesurelesuctuationsautourdupointdepolarisation,lafrquence f. On a trac sur la gure 5c une ligne de courant alternatif, la frquence f, entre M et N, ainsi que quelques quipotentiellesenalternatif.Lescircuitsdepolarisationetdemesuredoiventvidemment,commetoujours,tresoigneusementdcoupls.Notons enn que les lectrodes M et N peuvent tre, soit distinctesdeslectrodesdepolarisationMetN,commeindiqusurlagure 5c,soitconfonduesavecMetN.Soitxlabscissecurvilignedunpointdelalignedecourantdelongueur(gure 5).Lasurfacequipotentiellepassantparxestaupotentielexpjtavec = 2f,lorsquellectrodeMest,parrapportN,aupotentielexpjt.On considre trois tats dquilibre. Dans chacun, reprsentela valeur complexe dun courant, la frquence f, sufsamment petitpourtreenrgimelinaireautourdupointdepolarisation.I 1er tat (gure 5a) : est inject entre M et lquipotentielle,suppose mtallise, passant par le point x. Le systme est alors unquadriple,dontlentreestsitueentrelespointsMetx,etlasortie entre les lectrodes M et N. Il apparat alors en sortie, entreMetN,unetensionalternativedevaleurcomplexe,proportionnelle :(81)o Z(x, f ) est homogne une impdance.I 2e tat (gure 5b) : le mme courant est retir, entre M etlquipotentielle x dx. Il apparat alors, entre M et N, une tension, proportionnelle :(82)I 3etat(gure 5c) :estinjectlquipotentiellepassantparxetretirparlquipotentiellepassantparx dx :cettatestmanifestementlasuperpositiondesdeuxtatsprcdents.Latension entre M et N vaut donc :(83)soit : (84)Le gradient de Z(x, f ) par rapport x, not Z(x, f ), est le champdimpdance.V x ( )V ( )I x ( )I x ( )V+I x ( )V+I x ( ) Z x,f ( ) = Figure 4 Analogie hydrauliquede la mesure du bruit dun composantFigure 5 Injection et extraction dun courant sinusodaldune tranche x, x dx de la ligne de courantI x ( )VI x ( )VI x ( ) Z x dx,f ( ) = I x ( )V x ( ) V+V+ I x ( ) Z x,f ( ) Z x dx,f ( ) [ ] = = V x ( ) I x ( ) Z x,f ( ) dx = _______________________________________________________________BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait lectronique E 1 160 9 3.2.3 Interprtation physiquedu champ dimpdance Lasignicationphysiquedelquation (84)estsimple :lecomposant,encequiconcernele petit signalalternatif,estunquadriple linaire dontlentre,constitueparlesdeuxquipotentielles passant par les points x et x d x , est attaque parungnrateurdecourantalternatifdevaleurcomplexelafrquence f .LasortieestconstitueparleslectrodesMetN.Ilapparat entre M et N une tension, proportionnelle ,lafonctiondetransferttantuneimpdancediffrentielleproportionnelled x ,soit Z ( x , f ) d x .Latensiontotale,entreMetN,estlasommedestensionsdetypeduestouslescourantsexistantsdanstouteslestranchesd x .Onadonc : (85) 3.3 Champ dimpdanceet calcul du bruit de fond Pour ce faire, lensemble des courant exp j t est remplacpar des gnrateurs de courant alatoire i x ( t ), reprsentant le bruitde fond intrinsque ayant son origine dans chaque tranche x , x + d x .Si lon admet, ce qui est le cas quasi gnral, la non-corrlation dessources de bruit situes en deux positions x et x diffrentes, il estais, partir des relations (84) et (85), de dduire, dans le cas ala-toire, les densits spectrales des tensions v x ( t ) et v ( t ) apparaissantentreMetNrespectivement,danslecasoestseulepriseencomptelasource i x ( t )danslatranche x , x + d x etdanslecasdelatotalitdessourcestypes i x ( t )lelongducomposant,soit : (86)(87) etdonc,enfaisantintervenirlasourcelocaledecourantdebruitintroduiterelation (55) : (88) A ( x )reprsentantlairedelquipotentielleen x .La relation (88), donne initialement par Schockley, permet doncden dduire la puissance de bruit aux bornes M, N si lon connatlensembledessourceslocalesdebruitetlechampdimpdance. 3.4 Calcul du champ dimpdanceet exemples de calcul de bruit 3.4.1 Gnralits Les quations de transport donnent en rgime permanent unedimension (gure 6 ) le lien entre le courant continu I et soit le champlocal, soit le potentiel local V ( x ). En particulier, elles xent lepoint de polarisation I S , VS. La mthode des petits signaux permetdelinarisercetteliaisonentre souslunedesformes :(89)ou (90)3.4.2 Cas o se rsolvent explicitementen fonction de 3.4.2.1 Expressions gnralesIlestaisderemarquerlidentitquilexisteentrelexpressiondelimpdanceZxquiexisteentre0etx,soit :(91)et lexpression de la quantitZ(x, f ) calcules si on injecte enx lecourant :(92)Eneffet,sontmanifestementgauxetdonconpeutcrire :(93)etparconsquent :(94)Sisexprimeexplicitementenfonctionde,lechampdimpdanceestdni.3.4.2.2 ApplicationsCas dun barreau semiconducteur de longueur et de rsistance :etLa relation (88) permet de calculer le bruit aux bornes du barreaudonnparlesdiffrentessourcesK(f,x ).I x ( )V x ( )I x ( )VV x ( )V 0I x ( ) Z x,f ( ) dx = I x ( )Svxf ( ) Sixf ( ) Z x,f ( ) dx 2=Svf ( ) 0Z x,f ( ) 2Sixf ( ) dx [ ] dx =K f, r ( )Svf ( ) 0A x ( ) Z x,f ( ) 2K f, x ( ) dx = x ( )Figure 6 Reprsentation unidimensionnelledun composant deux extrmitsI x,f ( ) et soit x, f ( ), soit V x, f ( ) Le x,f ( ) I x,f ( ) =^ LvV x,f ( ) I x,f ( ) =^ et VIZxV x, f ( )I x, f ( )----------------------- =I x,f ( )V+Z x,f ( ) I x,f ( ) = V x,f ( ) et V+ Z x,f ( )V x, f ( )I x, f ( )----------------------- =Z x, f ( ) x , f ( ) I x , f ( )--------------------- =V ou IRZxRxxS----- = =ZxS-----R-------- = = BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. E 1 160 10 Techniques de lIngnieur, trait lectronique 3.4.3 Utilisation du champ lectrique local 3.4.3.1 Expressions gnrales Lasolutiondelquation (89)estdelaforme : (95) LadmonstrationenestdonnelAnnexeII ( 6),danslecasparticulier frquemment rencontr o est un oprateur diffrentieldu premier ordre. La dmonstration gnraleest donne lAnnexe III ( 7) : elle repose sur le fait que z e ( x , x , f )est la fonction de Green G ( x , x ) de loprateur linaire. La signi-cation physique de lquation (95) est simple : elle exprime que touteperturbation de courant produite dans la tranche d x induiten x uneperturbationduchamp,proportionnelle,lefacteurdeproportionnalitdpendantde x ,de x etdelanatureducomposant,etvalantdonc z e ( x , x , f ) :Laperturbationtotaleduchampen x ,soit,estlasommedesperturbationsproduitesen x partouslescourantssitusauxdiffrentspointsducomposant.Enintgrantlquation (95),ilvient : (96) Lacomparaisondesquations (96)et (85)montreque : (97) 3.4.3.2 Exemple : diode injectionen simple charge despace 3.4.3.2.1Calcul du champ dimpdance ConsidronsunediodeP + P P + ,olesporteursdedensitvolumique p dansladiodeproviennentdeceuxinjectsunelectrode. Le matriau semiconducteur de permittivit possde unedensitdaccepteursioniss N A danslargionP. I Les quations de transport sont : (98)(99) o la vitesse de drive peut ne pas tre proportionnelle, A est la surface de la diode. Llimination de p entre ces deuxquations donne : (100) Lepointdepolarisationestobtenuenannulantlesdrivespartiellesparrapportautemps : I S = qp S SA (101)(102)cest--dire :(103)Lorsquelaloidevariationestconnue,lintgrationdelquation (103)donneleproldechamp :(104)Lunedesquations (101)ou (102)donnealorspS.Tirantdxdelquation (103),ilvient :(105)I Pour obtenir le rgime dynamique et le champ dimpdance, onpose :etCesvaleurs,portesdanslquation (100),donnentpourlestermesdordreun :(106)Cette quation est identique lquation (161) de lAnnexe II ( 6)of (x )estremplaceparetg(x )par,avec :a (x) = AS(x)et (107)LafonctiondeGreenG(x, x )delquation (168)delAnnexeII( 6)estdsigneiciparze(x, x , f ),lintgraledelquation(168)peutsecalculeranalytiquement :onutilisepourceladunepartlquation (103),dautrepartlefaitqueSestfonctiondexparlintermdiaireduchamp,donc :Onobtientalors :(108)Lintgraledelquation (168)secalculealorsaisment,enprenantcommevariable,pourdonner :(109)Enportantcetterelationdanslquation (97),ilvient :(110)3.4.3.2.2Calcul du bruit de diffusionAndedterminerladensitspectraledetensiondebruit,SV,ilfautconnatrelessourceslocalesdebruit.Danslecasdubruitdediffusion,lesquations (61)et (99)donnentici :(111)Cetterelation,portedanslquation (88),donne :(112) x, f ( ) x, f ( ) 0zex, x , f ( ) I x , f ( ) dx = L^ L a x ( )ddx--------- b x ( )+ =^L^ I x ( )d x ( )I x ( ) dxd x ( ) zex, x ( ) I x ( ) dx = x ( )V 0 x,f ( ) dx 0dx I x,f ( )0dx zex,x,f ( ) = = Z x,f ( ) 0zex,x,f ( ) dx =I qpA A t ( ) + =x q ( ) p NA ( ) q ( )p = ( ) =I A x ( ) A t ( ) + =dSdx q ( ) pS=ISASdSdx ( ) =S ( )Sx ( )x ISA 0SS ( ) dS=VS0xSdx AIS( ) 0 SSS ( ) dS= =I ISI exp jt ( ) + = S exp jt ( ) + =ASddx ( ) A dSdx ( ) jA + [ ] I = + x ( )I x ( )b x ( ) AdSdx------------- jA + =SdSdx dSdS( ) dSdx ( ) =b u ( )a u ( )----------------1S--------dSdS-------------dSdu-------------jS-------- +1S--------dSdS-------------dSdu-------------jAIS----------------dSdu------------- + = =Szex, x ,f ( )H x x ( )ASx ( )----------------------------- expjAIS---------------- Sx ( ) Sx ( ) [ ] =Z x ,f ( ) 1jA---------------- expjAIS---------------- Sx ( ) S ( ) [ ]1 =K x, f ( ) 4 q2pSx ( ) D Sx ( ) [ ] 4 qD S( )dSdx------------- = =Svf ( )16q2A----------------- 0S ( )dSD S( ) sin2A S ( ) [ ]2IS---------------------------------------------- =_______________________________________________________________BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUESToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait lectronique E 1 160 11enbassefrquence,f 0,onobtient :(113)CetexemplemontrequelaconnaissancedesvariationsdeetdeDavecpermetdobtenirlergimestationnaire,lergimedynamique,ainsiquelebruitdediffusion.Enparticulier,lacontribution, au bruit total de diffusion, du bruit de diffusion produitdans la tranche dx labscisse x, o rgne un champ prsvaut :onestdoncenmesuredechiffrerlacontributionaubruittotalapporteparchaquetranche.3.4.4 Utilisation du potentiel local3.4.4.1 Expressions gnralesComme on la vu prcdemment, la solution de lquation (90) estdelaforme :(114)cequidonne,en :(115)Lacomparaisondesquations (115)et (85)montrealorsque :(116)3.4.4.2 Exemple : bruit du canal dun transistor effet de champ (FET)3.4.4.2.1quations et rgime permanentConsidrons un FET (Field Effect Transistor ) canal N [FET jonc-tion,MES-FET(MetalSemiconductorFET)ouMOS-FET(MetalOxideSemiconductorFET)].PourdesvaleursdonnesVGetdestensionsgrilleetdrain,parrapportlasource,lasection A(x ) du canal, la distance x de la source, est une fonctiondu potentiel local V(x ) sous la grille, A pouvant tre constant danslesrgionsdaccssourceetdrain(celanestpastoujoursvrai,cause par exemple de lextension de la charge despace de la jonctioncanal-substrat, etc.) mais variant en tout tat de cause sous la grille.En supposant que les surfaces quipotentielles ont un rayon de cour-buregranddevantlasectionducanal,uneapproximationuni-dimensionnelleestacceptable.Celarevientdirequelpaisseurdu canal est faible compare sa longueur, ce qui est toujours ralisenpratique.OnpeutdonccrireA(x ) = A[V(x )],cequiinciteprendreV(x )commevariablelectriquefondamentale.Enngligeantlescourantsdediffusionetdedplacement,lesquationsdetransportscrivent :I = qnA (117)(118)Lquation (118) est lquation de Poisson, intgre sur le volumedune tranche du canal, comprise entre les surfaces quipotentiellesV (x )etV (x + dx )(ondsigneiciparcanaltoutelazoneactivecomprise entre la source et le drain). La charge despace dans le canaltantfaible,elleseranglige.Onaalorsn ND,etlesquations (117)et (118)deviennent :(119)(120)En prenant, la loi de variation de avecpourrasapprocherpar :(121)Cetterelationsimplevanouspermettredemenerlescalculsanalytiquement ;deplus,elleestenassezbonaccordaveclexprience ( 20 % prs) dans le silicium. Lquation (121), portedans (119)donne :(122)Cela donne le point de polarisation et les quantits associes IS,,VS(x ).3.4.4.2.2Rgime dynamiqueOnpose :Ces relations, portes dans lquation (122), donnent au premierordre :(123)(124)(125)Onvoitquelquation (123)esticiaussidelammeformequelquation (161) de lAnnexe II ( 6), o f (x ) et g(x ) sont remplacspar. La comparaison des quations (167), (168) et (114)montreque :(126)En tenant compte de, les relations (124) et (125)donnent :do :ouencore,entenantcomptedelquation (122) :(127)Svf 0 = ( )4qAIS2----------------- 0S ( )D S( ) SS ( ) [ ]2dS=SS dSD S( ) SS ( ) [ ]2dS0S ( )D S( ) SS ( ) [ ]2dS------------------------------------------------------------------------------------------V x ( ) 0zx, x ,f ( ) I x ( )dx = x =V V ( ) 0z, x ,f ( ) I x ( )dx = = Z x , f ( ) z, x ,f ( ) =VDV ( ) =d A ( )dx qA NDn ( ) =I qND x ( ) [ ] A V x ( ) [ ] = x ( ) A V x ( ) [ ] 0 ( ) A 0 ( ) 0, 0, et I0 0 1 c( ) [ ] =I 1 c( ) [ ] q ND0A V ( ) =Sx ( )I ISI exp jt ( ) + = S exp jt ( ) + =V VSV exp jt ( ) + = dVdx =a x ( ) dVdx b x ( )V x ( ) I x ( ) = a x ( ) qND0A VS( ) ISc( ) [ ] 1 Sc( ) [ ] =b x ( ) qND0SdAdV ( )S 1 Sc( ) [ ] =V x ( ) et I x ( ) zx, x , f ( )H x x ( )a x ( )--------------------------- exp x x b u ( ) a u ( )---------------- du =SdVSdx =x xb u ( )a u ( )---------------- du x xqND0qND0A VS( )ISc-------- ------------------------------------------------------------dVSdu-------------dAdVS------------- du =lnqND0A VS( )ISc-------- x x=zx, x ,f ( ) H x x ( ) 1Sx ( )c-------------------- qND0A VSx ( ) [ ]ISc-------- =zx, x ,f ( ) S x ( ) IS------------------- 1 S x ( ) c-------------------- H x x ( ) = BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. E 1 160 12 Techniques de lIngnieur, trait lectronique l quat i on( 116) donneal orsi mmdi at ement l echampdimpdance : (128) Lesquations (91)et(92)permettentdavoirlimpdance Z ,parsimpleintgrationde (128) : (129) 3.4.4.2.3Calcul du bruit La tension de bruit est donne par (88), et le courant de bruit ducanalpar S I = S V / Z 2 ,soit : (130) 3.4.4.2.4tude de quelques cas particuliersde bruit du canal dans les FET I Bruit de diffusion : on remplace K ( x ) par son expression fonctionde la temprature de bruit local T n ( x ) en utilisant lquation (65),avec daprs lquation (121) : (131) Lquation (130)devientalors : (132) On voit que la contribution, au courant de bruit du drain, apporteparlatranchedpaisseurd x en x ,estproportionnelle T n ( x ) A ( x ) d x . Cela montre que, dans les conditions habituelles,toutes les tranches du FET apportent des contributions comparablesau bruit total, puisque les tranches o est lev, et donc o T n ( x )estlev,sontcelleso A ( x )estpetit. I Bruit GR dans les FET : on remplace, dans (130), K ( x ) par la valeurdonne par la relation (78) dans laquelle on a fait ( x ) = n ( x ), soit : (133) et nous supposons que les constantes et ne dpendent pas de x ,cequiestvraitempratureambiante.Entenantcomptedesquations (119), (120) et (122), on obtient, tous calculs faits : (134) Rappelonsquenestpasseulementlalongueurdelagrille,cestlalongueurtotaleentresourceetdrain.estlatensionentresourceetdrain.Larelation (134)montreque,danslesFETlongs,lebruit GR estproportionnellapuissancecontinuedissipedansletransistor. I Bruit de volume en 1/ f dans les FET (79) : on lobtient partir dubruit GR , en remplaant, dans lquation (133), 4 (1 + 2 2 ) 1 par H/f, ce qui donne :(135)Cette quation montre que, l encore, dans les FET longs, le bruitde volume en 1/f est proportionnel la puissance continue dissipeaupointdepolarisation.I Bruit de contact en 1/f dans les FET : dans le bruit de volume, lessources de bruit sont rparties dans tout le volume, ou au moins lelongduntubedecourant(tatsdesurfacedunMOS,tatsdinterface substrat canal dun MES-FET). Dans les bruits de contact,on envisage le cas o les sources de bruit sont localises sur unesurface quipotentielle (contact mtal-semiconducteur la source etau drain, transistors N N+, etc.). On peut alors crire (80) :(136)avec fonction de Dirac [cf. Annexe IV ( 8)], x0position de la surface quipotentielle o sont localisesles sources de bruit.Onobtientalors :(137)Cetterelationmontreque,contrairementaubruiten1/fdevolume,lebruiten1/fdecontactnestpasproportionnellapuissancecontinue,mais.Soncomportementestdonc totalement diffrent du prcdent en rgime de saturation dutransistor : dans ce cas, le bruit en 1/f d au contact reste constant,alorsqueceluienvolumeestproportionnellatensiondrain.Uneprocduresimilairepeuttreappliquepourcalculerlecourantdebruitinduitdanslagrilleparlesuctuationsdanslecanal,ainsiquelacorrlationentrelescourantsdebruitdegrilleetdedrain.Delaconnaissancedescourantsdebruitdedrainetdegrille,etdeleurcorrlation,onpeutalorsdduire,partirduschma quivalent du transistor, son facteur de bruit, qui est en faitlagrandeurintressantepourlingnieur.3.4.5 Simulation numrique directeIlestmalheureusementimpossible,engnral,decalculerlechampdimpdance,etdonclebruit,enconduisantlescalculsanalytiques aussi loin quil a t fait dans les exemples prcdents.Parconsquent,unetechniquenumriqueestncessaire.UnemthodeatappliqueauMES-FETGaAs,auMES-FETdoublegrilleGaAs,etauHEMT-FET(HighElectronMobilityTransistor ). Cette mthode dcoule de lquation (85) : si on supposequedanslatranchex,etestnulpartoutailleurs,lquation (85)donne :Lamthodeestdonclasuivante : crirelesquationsdetransport ; leslinariser,pourobtenirunerelationentrelagrandeurlectriquelocale[champoupotentiel],etlecourantlocal ; discrtiserlalongueurducomposant ; poseraupointxj,et0ailleurs,etcalculerladiffrencedepotentielauxlectrodes.LechampdimpdanceZ(xj)vaut ; calculerlebruitenutilisantlquation (88).Z x ,f ( ) S ( ) IS------------------ 1 S x ( ) c-------------------- =Z S ( ) IS------------------ V S ( ) c------------------ + =SIf ( )121 VS ( ) c ( ) + [ ]2--------------------------------------------------------------- =0A x ( ) K x ( ) 1Sx ( )c-------------------- 2dx djSdSqND0 1 Sc( )2 [ ] = =SIdiff4KB0qND21 VS ( ) c ( ) + [ ]2--------------------------------------------------------------- 0Tnx ( ) A x ( ) dx =SK x ( )j2x ( )n x ( )-------------------4 x ( ) x ( )1 22x ( ) + [ ]------------------------------------------ =SI GR ( )4q021 VS ( ) c ( ) + [ ]2----------------------------------------------------------------1 22+ ( )------------------------------- ISVS ( ) =VS ( )c!VS ( ) [ ]ISVS ( )SI 1 f vol ( )Hq021 VS ( ) c ( ) + [ ]2---------------------------------------------------------------1f---- ISVS ( ) =ISVS ( )K x ,f ( ) j2x ( )n x ( )------------------1f---- x x0 ( ) =SI 1 f contact ( )NDA x0( ) 21 VS ( ) c ( ) + [ ]2--------------------------------------------------------------------------------------------IS2f-------- =ISVS ( ) IS2I x ( ) 1 =V Z x, f ( ) x = x ( )V x ( )I x ( )I xj( ) 1 =VjZj Vjxj= _______________________________________________________________BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait lectronique E 1 160 13 Le formalisme est le suivant, dans le cas o on choisit commevariablelectrique :aprsavoirdiscrtislalongueurducomposant,lquation (89)scrit,enchaquepoint x i ,puisqueloprateurestlinaire :soit (138) Cesystmelinaireestrsolu,cequidonne :avec Z = A 1 cest--dire (139) Onvoitquecettequationesttoutfaitdelaforme (95).Lquation (95),discrtise,donnedailleurs : (140)Lacomparaisondirectedesquations (139)et(140)montrequelafonctiondeGreenest :ze(xk, xj, f ) = Zkj/xj(141)De la mme manire, la discrtisation de lquation (97) donne :cequi,parcomparaisonavec (141),donne :(142)AinsiladterminationdelamatriceZ,inversedeA,donnedirectement le champ dimpdance Zj en chaque point, et donc lebruit.CettemthodeatappliqueauxdiodesP+PP+.Une procdure tout fait analogue peut tre dveloppe dans lecasolepotentiellocalestlavariablelectriquechoisie.4. Problmes posspar les composants submicroniquesLecomportementenbruitdescomposantssubmicroniquesestdiffrent de celui des composants plus longs, essentiellement pourdeuxraisons : tout dabord, certains paramtresmacroscopiques, sans effetdanslescomposantslongs,prennentuneimportanceinattendue ; surtout, de nouveaux phnomnes interviennent, qui ne sontengnralpasprisenconsidrationdanslescomposantslongs.4.1 Comportement inhabituelde paramtres macroscopiquesConsidrons, par exemple, le courant de bruit de drain dun FET,dans le cas du bruit GR, donn par lquation (134). Dans le silicium, 300 K, de sorte que, en rgime de saturation, avecunetensiondedrain,deuxcaslimitespeuventtreexamins.I Danslescomposantslongs,parexempleunFETjonction,delongueurentresourceetdrain,,donc, et lquation (134) montre, ainsi quil a t signal,queSI (GR)estproportionnellapuissancecontinueaupoint de polarisation, cest--dire crot linairement avec la tensiondrain, en rgime de saturation.I DansunFETsubmi croni que, parexempl e,, et lquation (134) montre que SI(GR)est proportionnel , cest--dire dcrot lorsque la tensiondrain crot, en rgime de saturation. Par consquent, des composantscourts ont un comportement totalement diffrent des composantslongs.4.2 Effets de dynamique non stationnaireLes quations de transport ne sont plus valables dans le cas descomposantssubmicroniques.Lorsquelalongueurdevientaussipetitequequelqueslibresparcoursmoyens,chaqueporteursubittrs peu de collisions en voyageant dune lectrode lautre, et parconsquentilnyapasdergimestationnaire,ilnyapasgalitentrelavitessemoyennedunporteur(moyennetemporelle)etlavitesse de drive (moyenne un instant donn, sur lensemble desporteurs),ilnyapasergodicit,contrairementcequisepassedanslescomposantslongs,ochaqueporteursubitungrandnombredecollisions.Dans ces conditions, aux quations de transport classiques il fautajouterlesquationsdynamiques,quidcrivent,avecunebonneapproximation, le transport non stationnaire, tel que survitesses, ousous-vitesses,etc.,etquidonnentdesrsultatsenaccordraisonnable avec les solutions exactes de lquation de Boltzmann,dansunegrandevaritdesituations(tempratures,matriaux,conditionsinitiales,etc.).Cesquationssontdelaforme :(143)(144)o et sont la vitesse de drive et lnergie moyenne, p( ) et ( )les temps de relaxation de la quantit de mouvement et de lnergie,suppossdpendreseulementdelnergiemoyennelinstantconsidr. Ils peuvent tre, par consquent, dtermins en rgimest at i onnai r el ammener gi e, par t i r descour bes (lindice sc dsigne le rgime stationnaire danslematriausemiconducteurenvolume),obtenuesenrsolvantlquation de Boltzmann stationnaire dans le champ lectrique uni-forme.Defaonplusprcise,engalant0lesdrivesparrapportautempsdesquations (143)et (144),onobtient :etL^aijjIi=j A I = Z I = kZkjIjj= kzexk, xj,f ( ) Ij xjj= Zj zexk,xj,f ( ) xkk =Zj Zkjxkxjk =c10kVcm VS ( ) 5V = 20m c 20V VS ( )c1ISVS ( ) 0,5m c 0,5V et VS ( )c!1ISVS ( )d m ( )dt q, ( ) m ( )p ( ) =ddt q 0 ( ) ( ) =scsc( ) et scsc( )scp ( ) m, qsc( ) = ( ) 0 ( ) qscsc( ) = BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. E 1 160 14 Techniques de lIngnieur, trait lectronique ce qui, transport dans les quations (143) et (144), permet dcrirenalement,lelongduchamplectrique : (145)(146) ouninstantdonn t ,onsupposeconnueslavitessededrive = ( t )etlnergiemoyenne = ( t ).Lescourbesstationnairesdonnentlechampetlavitesse sc correspondantlnergie sc = ( t ).Cesvaleurs,portesdanslesquations (145)et(146),permettent de calculer d( m )/d t et d /d t , et par consquent ( t + t )et ( t + t ).Unelgremodicationintervientlorsquelontudieltatstationnairelelongduncomposant :danslesquationsprcdentes, un dplacement x est associ un incrment de temps t = x / .Encequiconcernelebruit,onconsidreaussiquildpenddelnergie locale. Ainsi, par exemple, la source de bruit de diffusionscrit : K ( x ) = 4 q 2 n(x ) D[ (x )] (147)Ces effets non stationnaires ont t pris en compte pour modliserdesdispositifscourts,et,enparticulier,diverstypesdeFET.Parexemple, Carnez et al. [1] ont montr que le fait de tenir compte deseffetsnonstationnairespouvaitdonnerlieuuneimportantediminutiondufacteurdebruitdeMES-FETGaAsgrillecourte(gure 7).Toutefois,unemodlisationclassiqueenrgimestationnairedeporteurs chauds, effectue sur un TEG-FET GaAs/GaAIAs, en utilisantla mthode dcrite dans lexemple du paragraphe 3.4.4.2, sans tenircomptedeffetsnonstationnaires,permetdarriverdesrsultatsen bon accord avec lexprience. De la mme manire, un bon accordatobtenusurunediodeN+NN+GaAsenutilisantlamthodedcrite au paragraphe 3.4.3.2 sans tenir compte non plus deffets nonstationnaires.Cependant,trspeudexpriencesontteffectuessurdescomposants submicroniques, et il est en tout tat de cause toujourstrsdifciledeconnatredemaniresufsammentprciselesdonnestechnologiquesetphysiquesduntelcomposant.Bienvidemment,danslescomposantscourtsaussiapparaissentdeseffetsparasites,teldubruiten1/fauxinterfaces.4.3 Corrlations spatialesdes sources de bruitOn a suppos, dans tout ce qui prcde, que les sources de bruitendeuxpointsvoisinstaientdcorrles.Ilatrcemmentdmontr que cela ntait pas vrai, sur des distances de lordre dequelques libres parcours moyens. En effet, la source de bruit est latransformedeFourierdelafonctiondecorrlationdeladensitde courant, cest--dire des vitesses des porteurs. Sur des distancespluscourtesqueladistanceentredeuxcollisions,lavitessedunporteur est inchange (si le champ est nul), donc les vitesses en cespointssontstrictementcorrles.4.3.1 Calcul de la fonction de corrlationde la densit de courantIlfauttenircomptedeshypothsessuivantes : deuxporteursdiffrentssontdcorrls ; les mcanismes de collision sont isotropes (interactions aveclesphononsacoustiques,optiquesnonpolaires,intervalles) ;onpeutcrirequelaprobabilitpourquilyaitcorrlation,entrelavitesse du porteur numro i situ au point linstant t,etsavitesseaupointlinstantt + ,vaut : 1 avec la probabilit p1p2, 0 avec la probabilit (1 p1p2),avec :p1probabilitpourqueleporteurnumroinaitsubiaucunecollision dans lintervalle de temps ;p2 probabilit pour que, dans lintervalle de temps , le porteurse soit dplac de d3r prs.Soitltatduporteurlinstantt.Enrgimeohmique,cest--direchampnul,sontatlinstantt + uestinchangsilnyapaseucollisionentretett + u :Si est la probabilit de transition par unit de temps entrelestats,laprobabilitpourque,pendantlintervalledetempsdu,leporteurdansltatsubisseunecollision,scrit :Onaalors :(148)(149)Le lecteur se reportera lAnnexe IV ( 8) relative la fonction deDirac.,d m ( )dt q scscsc = ( ) [ ] { } =ddt q scsc = ( )scsc = ( ) [ ] =scsc( ) scsc( )scsc( ) =scFigure 7 Variation, en fonction du courant drain,du facteur de bruit minimal Fmin dun MES-FET GaAs (daprs [1])vi r ,t rvi r ,t + r renr kku ( )k=P k , k ketk kdu k --------------- P k , k d3k =p1exp k ---------------=p2d3r r r v k =_______________________________________________________________BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUESToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait lectronique E 1 160 15On obtient alors, pour la fonction de corrlation dela densit de courant entre les instants t ett +, auxpoi nt s( et sont l espr oj ect i onssurlesdirectionset) :(150)avec fonction de distribution lquilibre thermodynamique : pour un semiconducteur non dgnravec E nergie relative ltat k, kB= 1,38 1023 J/ K, constante de Boltzman.4.3.2 Calcul de la densit spectraledes uctuations de courantLetermedesourcedebruitsobtientenprenantlatransformedeFourierdelquation (150) :(151)Lorsque = = x(congurationdeprojectionsparallles),,lesquations (150)et(151)donnentSj //(R, f ),quipeuttrecalculnumriquementpourunsemiconducteurdonn.Lagure 8montreSj //(R, f )dansSi-Plquilibrethermodynamique,enfonctiondeladistanceR,diffrentesfrquences.Lebruitdediffusionestblancau-dessousde 1011 Hz. Il est clair, sur la gure 8, que Sj est nul en R = 0, ce quiest tout fait contraire lhypothse habituelle. Cela est d ce quelacorrlationelle-mmeestnulleen.Eneffet,considronsunporteurenlinstantt,savitessevautestnonnul,linstantt + leporteurnestplusen,seulpeutsetrouverenlinstantt + unporteurj i,dontlavitesseestparhypothsedcorrlede ;si, alors (sil ny a pas eu collision entretemps), et l encore, donc la fonction decorrlation Cj(R = 0, ) vaut 0, ainsi que sa transforme de FourierSj(R = 0, f ). La gure 8 nous montre enn que Sj(R, f ) est maximalpourR 10 nm,cest--direpourunedistancedelordredulibreparcours moyen, et que Sj(R, f ) stend sur quelques libres parcoursmoyens.Soitladuredulibreparcoursmoyen,etltattelque :othestlavitessedagitationthermique.Pour,ona :etpour. Parconsquent, dansl escomposantslongs,telsque,onpeutcrire :desortequelesquations (150)et (151)deviennent :(152)olescrochetsreprsententlamoyennesurlafonctiondedistribution.Celaestlexpressionhabituelleducoefcientdediffusion,pourlesinteractionsisotropes.Enrgimedeporteurschauds,doncenprsencedunchamplectriqueintense,onobtiendraitdesexpressionssemblablesauxquations (150)et (151).Nous avons vu, dans ce paragraphe, que les sources de bruit dediffusiontaientcorrlessurquelqueslibresparcoursmoyens :celadevraittreprisencomptedanslescomposantssub-microniques.Deplus,lacorrlationentredeuxpointsdpenddeleur distance, et donc la corrlation entre deux tranches dpend descouplesdepointsconsidrs.Enconsquence,ilsemblequelemodleunidimensionnelsoitendfaut.Ce qui vient dtre dit concerne les semiconducteurs non polaires(GeetSi).DanslescompossIII-VetII-IV,lescollisionspr-dominantes se font sur les phonons optiques polaires : ce processus,Cj r ,r , j r ,t et j r ,t +retr j r ,t et j r ,t +Cj r ,r , =q2nf0 k exp k --------------- r r v d3kf0 k d3k-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------f0 k f0 k Aexp EkB ( ) =Sj r , r ,f 4 0Cj r , r , cos 2f ( ) d =r r R R,0,0 { } = =r r R 0 = =rvi r ,t ; sivi r ,t r rvjvivi r , t 0 = vi r , t + 0 =vi r , t vi r , t + 0 =kththv kth =k ! kthf0 k 0 Figure 8 Variation, en fonction de la distance R , du terme de source de bruit longitudinal S j // ( R , f ), diverses frquences f , dans Si-P, mettant en vidence les corrlations spatiales des sources de bruit de diffusion (daprs [2] )! ; exp k 0 r r !th r r v r r Sj r , r , f K r , f r r K r , f 4q2nDf ( ) =Df ( ) k 1 22 k + = BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. E 1 160 16 Techniques de lIngnieur, trait lectronique commelesinteractionssurlesimpurets,nestpasisotrope.Parconsquent,ltataprscollisionestdirigprfrentiellementdans la direction de ltat incident. Il sensuit quune collision nedcorrle pas totalement les vitesses. On peut donc sattendre ceque la distance sur laquelle une corrlation existe soit encore plusgrandequedanslessemiconducteursnonpolaires. 4.4 Changement de nature du bruit Considrons un composant avec du bruit de diffusion. En fait, lebruit de grenaille aussi est prsent, superpos au bruit de diffusion.Dans un composant long (longueur bien plus grande que quelqueslibres parcours moyens), chaque porteur subit de nombreux chocsenvoyageantdunelectrodelautre,etlebruitdediffusionestlargementprdominant :.Aucontraire,danslescomposantsdelongueurapprochantlelibreparcoursmoyen,chaque porteur voyage dune lectrode lautre presque sans subirde collision, donc le bruit de diffusion disparat, et seul le bruit degrenaillesubsiste.Cettediminutiondubruitdediffusion,dueauxcourtes distances responsables des effets non stationnaires, est miseen vidence sur la gure 7 par la diminution du facteur de bruit duFET,parrapportlavaleurobtenueenutilisantlesquations classiques de transport stationnaire. Des tentatives ont t faites, cesderniresannes,pourmettreenvidencedetelseffetsdansdesdiples. Elles ont toutes chou car, dans ces composants, les effetsparasites, tels la rsistance de contact, le bruit en 1/ f , etc., masquentune possible variation due un transport balistique dans la rgionactive.DesFET,oudautrescomposants,ounelectrodejouelerledesonde,seraientprobablementmieuxadaptsmettreenvidencedetelseffets. 4.5 Effets de discrtisation Lorsquelesdimensionsdeviennenttrspetites,leschmadebandes classique nest plus valable. Il apparat des niveaux dnergiediscrets. Cela se produit, par exemple, dans les couches pitaxies,les super-rseaux, les couches dinversion, etc. Un certain nombredeconsquencesendcoulent. I Si les niveaux dnergie doivent tre considrs individuellement,et non statistiquement, le comportement dpend de la structure nedes niveaux. Cela a t mis en vidence en tudiant un modle uni-dimensionnel de membrane poreuse. Les ions sont supposs sauterdun puits de potentiel un puits adjacent, et le spectre de bruitdpend alors fortement de la distribution et des valeurs des nergiesdes puits. I Dans les couches minces o les niveaux dnergie sont discrets,lesprobabilitsdetransitionparunitdetempsdiffrentdesmatriaux en volume et les coefcients de transport sont modisen consquence. Une rcente simulation de Monte-Carlo, faite surdespuitsquantiquesGaAs/GaAIAs,amontrquelecoefcientdediffusion dpendait fortement de lpaisseur des couches. I Dans les structures petites, la densit de porteurs doit tre leve,et parconsquent i l f aut t eni rcompt edesi nt eract i onsporteur-porteur, ainsi que de la dgnrescence. De plus, le modlecorpusculaire des porteurs doit tre remis en question, puisque leurlongueur donde = 2 / k , avec k 10 9 m 1 , est de lordre de 6 nm, cequi nest plus du tout ngligeable devant lpaisseur des couches. I Finalement, la caractristique lectrique dun composant, commeon la vu en particulier en ce qui concerne le bruit, est une certainemoyenne de valeurs de paramtres de transport sur tout le dispositif.Par consquent, un petit dfaut noy dans un composant de grandesdimensionsapporteuneperturbationlocalise,qui,unefoismoyenne sur lensemble du composant, peut avoir un effet globalngligeable. Par contre, le mme dfaut, dans un composant sub-micronique,occupelaplusgrandepartieducomposant,etparconsquent la perturbation quil produit affecte le comportement ducomposant tout entier. Les composants submicroniques sont bienplus sensibles aux dfauts que les composants longs : cela ne peutpas tre prdit ou modlis facilement. 4.6 Orientations Cesderniresannes,depuissantesmthodesonttdveloppespourmodliserlebruitdecomposants,orientesprincipalement autour de la mthode du champ dimpdance. Grce une approche numrique, il est maintenant possible de modliserlebruitdunegrandevaritdecomposantsunidimensionnelsenrgime de conduction unipolaire. Ces mthodes peuvent sappliqueraussiauxmcanismesdeconductionambipolaire.Lextensiondecesmthodes,desstructuresbi-outri-dimensionnelles,soulvedesproblmes,denatureaumoinstechnologique (temps de calcul, occupation de place mmoire, etc.),etprobablementmmedenaturefondamentale.Lesmthodesdcritesicipeuventtre(etontt)appliquesdes composants submicroniques, en incluant les effets non station-naires, telle la survitesse. Cependant, dans de telles structures, ungrand nombre de problmes ne sont pas rsolus. La plupart de cesproblmesfondamentaux(principalementceuxlisauxeffetsdediscrtisation), joints aux incertitudes considrables sur les valeursdesparamtrestechnologiquesetlectriquesdescouches(concentration de dopages, dfauts, inhomognits, etc.), ne per-mettent mme pas, bien souvent, de modliser les caractristiquesdupremierordre,tellesquelesprolsdechampslectriques,deconcentrationdeporteurs,lescaractristiques I - V etlespetitssignaux, les frquences de coupure, etc. Or, il importe de garder lesprit qu il est totalement illusoire de prtendre modliser le bruittant quon nest pas capable de modliser avec une bonne prcisionles caractristiques du premier ordre . On conoit alors que, dans cesconditions, la modlisation du bruit de composants submicroniquessoitunchampdinvestigationstrsouvert.Inversement, ltude exprimentale du bruit de composants sub-microniquesestpossible,etpeutapporterdesinformationsaussibiensurdesaspectstechnologiquesquesurdesparamtresphysiquesresponsablesdubruitobserv.k kSIdiff!SIgrenailleD ( ) _______________________________________________________________BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait lectronique E 1 160 17 5. Annexe I : problmedes uctuations de courant induites par les porteursde chargesdans un matriau conducteur 5.1 Situation gnrale du problme Soit N ( t )lenombrealatoiredesporteursdechargesprsentsdanslevolume V duconducteur,soit v i ( t )lavitessesuivantlaxedemesureducourantdunecharge q dlocalisedans V .Lacontributiondecettechargelintensitducourantsera : (153) endsignantparlalongueurduconducteuret S sasection.Lecouranttotalseradelaforme : (154) 5.2 Calcul de la variance de I ( t ) Ilestaisdevoirque,entrelafonctioncaractristiquede I conditionnelle N et la fonction caractristique de v , on a, comptetenudelimpdancedesvientreelles :(155)etparconsquent :Nota : on rappelle que la fonction caractristique X(u) dune variable alatoire X deparamtre u est dnie par :X(u) = < exp(juX) >le crochet < > dsignant la moyenne dans la loi de probabilit de la variable alatoire X.OnvoitdoncquelafonctioncaractristiquedeIestlielafonctioncaractristiquedeNpar :(156)Sionpose :(157)ilvient :(158)Ondduitimmdiatementque : lavaleurmoyenne< I >vaut :(159) lavariancevaut :soit :(160)Lavarianceducourantcomprenddeuxtermeslislunauxuctuationsdevitesse,lautreauxuctuationsdunombredeporteursdecharges.6. Annexe II : rsolutiondune quation diffrentielledu premier ordreSoitrsoudrelquation :(161)oa (x ),b(x )etg(x )sontdesfonctionsconnues,etf (x )estlasolutioncherche.Lquation (161)estdelaforme :(162)avec (163)Pourrsoudre (161),onrsoutdabordlquationsanssecondmembre,dontlasolutionest :(164)et lon applique la mthode de la variation de la constante C = C(x ) :endrivant (164)etenportantlersultatobtenudans (161),onobtientdC/dx,quonintgreetquidonne,pour (164) :(165)oCestuneconstantedintgrationarbitraire.Danslecasquinousintresse,estlapetitevariation en x autour du courant de polarisation au point x , et f (x )est la variation rsultante en x [f (x ) dsignera soit, soit].Il est donc ncessaire physiquement que f (x ) sannule si g(x ) 0.CelaimpliquequeC = 0,cequidonnealorspour (165) :(166)Iit ( )qV----- Svit ( )q----- vit ( ) = =I t ( )q----- vit ( )1N t ( )=IuN ( )v uq-----N=Iu ( ) IuN ( ) v uq-----N = =exp jjN lnv uq ----- =Iu ( ) N jlnv uq -----=Xu ( ) j Xu ( ) lnuX j2---- u2X2 + + = =Iu ( ) N v uq-----=I I u-----------u 0 = N w ( )w-------------------------- v uq ----- u------------------------------u 0, w 0 = == =q ----- Nv =I2j 2 I u2---------------u 0 =j 2 N w ( )w2----------------------------- v uq ----- u------------------------------2 = = N w ( ) w -------------------------- 2 v uq ----- u 2 --------------------------------- + u 0, w 0 = =I2 q22---------N2v 2v2N + =a x ( )df x ( )dx------------------ b x ( ) f x ( ) + g x ( ) =Lf x ( ) g x ( ) =^L a x ( )ddx--------- b x ( ) + =^f x ( ) C exp0xb u ( ) a u ( )---------------- du =f x ( ) C 0xg x ( )a x ( )------------------ exp0x b u ( )a u ( )---------------- du dx + =exp0xb u ( ) a u ( )---------------- dug x ( ) I x ( ) =E x ( )V x ( )f x ( ) 0xg x ( )a x ( )------------------ exp x xb u ( ) a u ( )---------------- du dx = BRUIT DE FOND : MTHODES DE CALCUL DANS LES COMPOSANTS LECTRONIQUES________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. E 1 160 18 Techniques de lIngnieur, trait lectronique Cettequationpeutscrire : (167) conditiondeposer : (168) o H ( x x )estlafonctionchelondeHeaviside,dniepar : (169) G ( x , x )estappele fonctiondeGreen deloprateur. 7. Annexe III : fonctionde Green dun oprateur linaire Soitrsoudre,danslintervalle,lquation : (170) oestunoprateurlinaire,et g ( x )unefonctionconnue.On dnit la fonction de Green G ( x , x ) de loprateur linaire commelasolutiondelquation : (171) o ( x , x ) est la fonction de Dirac (cf. Annexe IV ( 8)). Supposonsquon sache rsoudre lquation (171), cest--dire supposons connu G ( x , x ).Enmultipliant (171)par g ( x )etenintgrantsur x de0,ilvient :,tantlinaire,commuteaveclintgrale.Deplus,causedelquation (174),ona : (172) lacomparaisondesquations (170)et (172)montreque : (173) Ainsi, lorsque G ( x , x ) est connu, une simple quadrature permetdetrouverlasolution f ( x ),quelquesoitlesecondmembre g ( x ). 8. Annexe IV : fonctionde Dirac La fonction de Dirac ( x x 0 ) est dnie par la proprit suivante :tantdonnunefonctionquelconque f ( x ),ona : (174)Enprenantf (x) = 1,etpour[a, b]unintervalleinnimentpetit,onvoitque (x x0)seprsentecommeunpicenx0,delargeurnulle,dehauteurinnie,daireunit.I Limites simples tendant vers la fonction de DiracG Soit (x0) un crneau centr sur x0, de largeur et de hauteur1/ :lim 0 (x0) = (x x0) (175)G SoitunefonctiondeGaussnormalise,centreenx0,dcart-type :(176)f x ( ) 0G x, x ( ) g x ( ) dx =G x, x ( )H x x ( )a x ( )---------------------------- expx xb u ( ) a u ( )---------------- du =H x x ( )1si xx 0si xx =L^0, [ ]Lf x ( ) g x ( ) =^L^L^LG x, x ( ) x x ( ) =^0LG x, x ( ) g x ( ) dx 0g x ( ) x x ( ) dx =^L^L0G x, x ( ) g x ( ) dx g x ( ) =^f x ( ) 0G x, x ( ) g x ( ) dx =abf x ( ) x x0 ( )dx = 0si x0a, b [ ] f x0( ) si x0a, b [ ] lim 0 1 2------------------ expx x 0 ( ) 2 22------------------------- x x0 ( ) =Rfrences bibliographiques [1] CARNEZ et al. Noise modeling in submicro-meter-gate.FETs IEETrans.ED 28N07,784-789, juil. 1981. [2] NOUGIER(J.-P.)etal. NoiseinPhysicalSystems and 1/f Noise. p. 15 Ed. Savelli (M.),Lecoy, Nougi er ( J. - P. ) Nor t hHol l andAmsterdam (1983).