Bras manipulateur - correction Q1

( ), 4 / 2V Pur

par dérivation du vecteur position

( )2

, 4 / 2R

dCPV P

dt

=

uuurur

avec 0( )CP h t z=uuur r

et 2

00

( )( )

R

d h t zh t z

dt =

rr& car 0z

rest fixe dans 2R .

( ) 0, 4 / 2 ( ).V P h t z=ur r&

( ), 4 /1V Pur

par dérivation du vecteur position

( )1

, 4 /1R

d BPV P

dt

=

uuurur

or 2 0( )BP rx h t z= +uuur r r

1 2

2 2

R R

dx dx

dt dt =

r r

2 1 2 0 2 2( / )R R x z x yβ β+ Ω ∧ = ∧ =r r r rr& &

1

00

( )( )

R

d h t zh t z

dt =

rr& donc : ( ) 0 2, 4 /1 ( ). . .V P h t z r yβ= +

ur rr& &

( ), 4 / 0V Pur

par dérivation du vecteur position

( )0

, 4 / 0R

dOPV P

dt

=

uuurur

or 0 1 2 0( )OP az rx rx h t z= + + +uuur r rr r

0 1

1 1

R R

dx dx

dt dt =

r r

1 0 1 0 1 1( / )R R x z x yα α+ Ω ∧ = ∧ =r r r rr

& &

0 2

2 2

R R

dx dx

dt dt =

r r

( ) ( )2 0 2 0 2 2( / )R R x z x yα β α β+ Ω ∧ = + ∧ = +r r r rr& && &

0

00

( )( )

R

d h t zh t z

dt =

rr& donc : ( ) ( )0 1 2, 4 / 0 ( ). . . . .V P h t z r y r yα α β= + + +

ur r rr& && &

( ), 2 / 0V Cur

par dérivation du vecteur position

( )0

, 2 / 0R

dOCV C

dt

=

uuurur

or 0 1 2OC az rx rx= + +uuur r rr

0 1

1 1

R R

dx dx

dt dt =

r r

1 0 1 0 1 1( / )R R x z x yα α+ Ω ∧ = ∧ =r r r rr

& &

0 2

2 2

R R

dx dx

dt dt =

r r

( ) ( )2 0 2 0 2 2( / )R R x z x yα β α β+ Ω ∧ = + ∧ = +r r r rr& && &

donc : ( ) ( )1 2, 2 / 0 . . . .V C r y r yα α β= + +ur r r&& &

( ), 2 / 0V Cur

par composition des vitesses et changement de point

( ) ( ), 2 / 0 ,2 / 0 (2 / 0)V C V B CB= + ∧ Ωur ur uuur r

et 2 0 2(2 / 0) ( ) ( )CB rx z r yα β α β∧ Ω = − ∧ + = +uuur r r rr& && &

( ) ( ), 2 / 0 ,2 /1V B V B=ur ur

( ),1/ 0V B+ur

( ) ( ),1/ 0 ,1/ 0V B V A=ur ur

(1/ 0)BA+ ∧ Ωuuur r

et 1 0 1(1/ 0)BA rx z r yα α∧ Ω = − ∧ =uuur r r rr

& &

donc : ( ) ( )1 2, 2 / 0 . . . .V C r y r yα α β= + +ur r r&& &

0xr1xr2

xr

0yr

1yr

2yr

zr α

β

Q2

( ) ( ) ( )2 2

0

0

.( , 4 / 2 ), 4 / 2 .

R R

d h zd V PP h z

dt dt

Γ = = =

ur r&ur r&& car 0zr

est fixe dans 2R .

( ) ( )1

( , 4 /1 ), 4 /1

R

d V PP

dt

Γ =

urur

avec ( ) 0 2, 4 /1 ( ). . .V P h t z r yβ= +ur rr& &

et donc : ( ) 22

20 x..ry..rz.h1/4,Pr&r&&r&& β−β+=Γ

Q3

( )α−θ=λ=+

β+α=θ

θλ=θλ=

cos.r.2

r.2YX2

sin.Y

cos.X

r

r

D

EA Y(t)

X(t)θ

αβ

C

λ

Q4

θ+θ−θ=α

sincos

1cosArc ;

θ+θ=β

sincos

1cosArc2

Q5

θ (rad) 0 / 6π / 4π / 3π / 2π α (rad) 0 -0.22 0 0.29 1.57 α (deg) 0 -13° 0° 17° 90°

β (rad) 0 1.5 1.57 1.5 0

β (deg) 0° 86° 90° 86° 0°

D

EA

-13°

86°

( 0)C θ =

( )6

Cπθ =

( )4

Cπθ =

r

2r

2r