LE VOLUME DES SOLIDES DÉCOMPOSABLES:'' UN RECOURS À GÉOGÉBRA 5.0 EN TANT QUE SUPPORT TECHNOLOGIQUE.''

Benoit GWEM LINGOMPierre-Michel Junord LAURÉUS

I. INTRO

DUCTION

• I.1.-OBJECTIF GÉNÉRAL • I.2.- OBJECTIFS SPÉCIFIQUES•

IISUPPORTS THÉORIQUES

IVCONCLUSIO

N

III. DÉVELO

PPEMENT

• III.1.- ÉNONCÉ DE LA TÂCHE DE COMPÉTENCE 1

• III.2.- ACTIVITÉS DE

MOBILISATION DES CONNAISSANCES

ANTÉRIEURES• III.3.- RÉSOLUTION DE

LA TÂCHE DE COMPÉTENCE 1

INTRODUCTION

I.1.-OBJECTIF GÉNÉRAL

I.2.-OBJECTIFS

SPÉCIFIQUES

• OBJECTIF GÉNÉRAL

I.1.-

Proposer des étapes et des activités cohérentes pour résoudre des exercices de géométrie dans une classe régulière ou enrichie de 4ième secondaire en utilisant Géogébra 5.0 en tant que support technologique.

1• Composer une tâche de compétence

1 comme un exemple d’exercice pour résoudre des problèmes se rapportant aux volumes de solides décomposables

2• Réaliser des figures géométriques

en 2D et en 3D tout en faisant référence aux connaissances antérieures des élèves;

3• Montrer aux élèves que les

raisonnements mathématiques servant à faire les constructions géométriques en papier-crayon sont toujours valides avec Géogébra5.0

4• Utiliser les principales

fonctionnalités de Géogébra 5.0 pour réaliser les figures géométriques en 3D;

5 •Montrer l’efficacité et la rapidité de Géogébra 5.0 en ayant recours aux curseurs pour résoudre des équations et pour modifier à volonté et avec souplesse les dimensions et la forme d’une figure géométrique

I.2.- • OBJECTIFS SPÉCIFIQUES

SUPPORTS THÉORIQ

UES

LE MODÈLE TPC

•Ce modèle conçoit la technologie, le contenu disciplinaire et la pédagogie comme un tout cohérent et interdépendant dans le cadre d’une éducation moderne capable d’optimiser l’expérience de l’apprentissage.

LE COGNITIVISME

•selon une telle conception de l’enseignement, la prise en compte des connaissances antérieures des élèves est une condition sine qua non à l’apprentissage.

LE CONSTRUCTIVI

SME•En conformité avec le constructivisme, les élèves seront accompagnés pour réaliser les constructions géométriques (en 2D et en 3D) que ce soit avec le papier-crayon ou avec Géogébra 5.0Technol

ogie (T)

Pédagogie (P)

Contenu disciplinaire (C)

II • SUPPORTS THÉORIQUES

Cette intersection est

l’équilibre souhaitée dans le

modèle TPC

DÉVELOPPEMENT

III.1.- ÉNONCÉ DE LA

TÂCHE DE COMPÉTENCE 1

III.2.- ACTIVITÉS DE MOBILISATION DES

CONNAISSANCES

ANTÉRIEURES

III.3.- RÉSOLUTION

DE LA TÂCHE DE

COMPÉTENCE 1

• Quel ajustement peut être fait sur la longueur du segment [BP] du solide décomposable ci-dessus de manière à ce que son volume soit de 60 cm3 ?

• Utiliser Géogébra 5.0 pour construire le solide décomposable.

Indication 1

• Le solide décomposable a un trou cylindrique dont les centres sont les milieux M1 et M2 des faces rectangulaires BPVS et CQUT.

Indication 2

• Le diamètre du cercle de centre M1 est exprimé en cm, mais il est donné par la relation :

• Diamètre=0.12*BS* BP

Indication 3

• Il faut prendre BC=1.8 cm, la hauteur de la pyramide à base pentagonale doit être égale à 2 cm, BS=3.8 cm, la hauteur de la pyramide à base rectangulaire doit être égale à 1.4cm

Indication 4

•la mesure du segment [BP] est acceptable si elle est inférieure à 5 cm.

Indication 5

III.1.-OBJECTIF SPÉCIFIQ

UE 1

• ÉNONCÉ DE LA TACHE DE COMPÉTENCE 1

III.2.- OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 2 & 3

• ACTIVITÉS DE MOBILISATION DES CONNAISSANCES ANTÉRIEURES.

ACTIVITÉ 1 : Exploration sommaire du solide décomposable

À ce stade, l’enseignant peut donner aux élèves la liste des figures géométriques ci-dessous et leur demander d’identifier celles qu’ils reconnaissent et qui apparaissent dans le solide décomposable.Losange Vra

iFaux

Rectangle Vrai

Faux

Triangle Vrai Faux

Pentagone Vrai

Faux

Hexagone Vrai

Faux

Cercle Vrai Faux

Pyramide à base pentagonale

Vrai

Faux

Prisme à base pentagonale

Vrai

Faux

Pyramide à base hexagonale

Vrai Faux

Prisme à base rectangulaire

Vrai

Faux

Cylindre Vrai

Faux

Cône Vrai Faux

III.2.- OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 2 & 3

• ACTIVITÉS DE MOBILISATION DES CONNAISSANCES ANTÉRIEURES.

ACTIVITÉS 2 & 3: Reproduction des figures géométriques identifiées à l’activité 1 sur papier-crayon

• Exemple: Le Rectangle• Définition (du rectangle) : C’est un quadrilatère qui a 4

angles droits. • Un élève qui part de cette définition va donc construire les

4 angles droits

III.2.-OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 2 & 3

• ACTIVITÉS DE MOBILISATION DES CONNAISSANCES ANTÉRIEURES.

ACTIVITÉS 2 & 3: Reproduction des figures géométriques identifiées à l’activité 1 sur papier-crayon

• Exemple: Le rectangle• Construction du 1er angle droit par l’élève sur

papier crayon pour construire le rectangle ABEF (construction possible également avec Géogébra 5.0)

III.2.- OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 2 & 3

• ACTIVITÉS DE MOBILISATION DES CONNAISSANCES ANTÉRIEURES.ACTIVITÉS 2 & 3: Reproduction des figures

géométriques identifiées à l’activité 1 sur papier-crayon

• Exemple: Le rectangle• Construction du 2ième angle droit par l’élève sur papier crayon pour

construire le rectangle ABEF (construction possible également avec Géogébra 5.0)

III.2.- OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 2 & 3

• ACTIVITÉS DE MOBILISATION DES CONNAISSANCES ANTÉRIEURES.

ACTIVITÉS 2 & 3: Reproduction des figures géométriques identifiées à l’activité 1 sur papier-crayon

• Exemple: Le rectangle• Construction du 3ième angle droit par l’élève sur papier crayon pour

construire le rectangle ABEF (construction possible également avec Géogébra 5.0)

III.2.- OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 2 & 3

• ACTIVITÉS DE MOBILISATION DES CONNAISSANCES ANTÉRIEURES.

ACTIVITÉS 2 & 3: Reproduction des figures géométriques identifiées à l’activité 1 sur papier-crayon

• Exemple: Le rectangle• Construction du 4ème angle droit par l’élève sur

papier crayon pour construire le rectangle ABEF. Cette construction n’était cependant pas nécessaire (construction possible également avec Géogébra 5.0)

III.2.- OBJECTIF

SSPÉCIFIQ

UES 4

• ACTIVITÉS DE MOBILISATION DES CONNAISSANCES ANTÉRIEURES.

ACTIVITÉS 4: Rappel sur les formules des figures identifiées à l’activité 1

• Les élèves doivent être capable de trouver les formules (aires et volumes) des différentes figures géométriques identifiées à l’activité 1.

III.2.-PLANIFICATION

• ACTIVITÉS DE MOBILISATION DES CONNAISSANCES ANTÉRIEURES.Les activités sont

prévues de se réaliser en 2 séances de cours de 75 minutes chacune

• La 1ère sera consacrée à faire les activités 1 à 3

• La 2ième sera consacrée à faire l’activité 4.

III.3.-OBJECTIFS SPÉCIFIQUES

4 & 5

• RÉSOLUTION DE LA TACHE DE COMPÉTENCE 1

1. Construction du solide décomposable en ayant recours à Géogébra 5.0

• Construction d’un pentagone• Un curseur nommé ''co'' a été créé pour faire varier à volonté la mesure

d’un des côtés du pentagone• Un autre curseur nommé ''n'' a été créé pour construire un polygone dont le

nombre de côtés peut être modifié à volonté

III.3.-OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 4 & 5

• RÉSOLUTION DE LA TACHE DE COMPÉTENCE 11. Construction du solide

décomposable en ayant recours à Géogébra 5.0

• Construction du prisme à base pentagonale• un curseur nommé ''hpa'' a été créé (dans l’affichage 2D)

pour varier à volonté la hauteur du prisme à base pentagonale

• La commande ''prisme [poly1, hpa ]'‘ a été utilisée . ‘’poly 1’’ est le nom que Géogébra 5.0 a donné au pentagone de base du prisme.

III.3.-OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 4 & 5

• RÉSOLUTION DE LA TACHE DE COMPÉTENCE 1

1. Construction du solide décomposable en ayant recours à Géogébra 5.0

• Construction de la pyramide placée au dessus du pentagone

• un curseur nommé ''hpb'' a été créé (dans l’affichage 2D) pour varier à volonté la hauteur de la pyramide à base pentagonale;

• La commande ‘'pyramide [face OPQXZ, hpb]'‘ a été utilisée . ‘’faceOPQXZ’’ est le nom que Géogébra 5.0 a donné au pentagone de la face supérieure du prisme à base pentagonale.

III.3.-OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 4 & 5

• RÉSOLUTION DE LA TACHE DE COMPÉTENCE 11. Construction du solide décomposable

en ayant recours à Géogébra 5.0

• Construction du prisme à base rectangulaire juxtaposé au prisme a base pentagonale

• un curseur nommé '‘long'' a été créé (dans l’affichage 2D) pour varier à volonté la mesure du segment [BS]=[CT];

• La commande ''prisme[face BCQP, long ]'' a été utilisée. ‘’faceBCQP’’ est le nom que Géogébra 5.0 a donné à la face commune des prismes à base pentagonale et rectangulaire.

III.3.-OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 4 & 5

• RÉSOLUTION DE LA TACHE DE COMPÉTENCE 11. Construction du solide

décomposable en ayant recours à Géogébra 5.0• Construction de la pyramide à base rectangulaire

juxtaposée au prisme a base rectangulaire• un curseur nommé '‘hpc'' a été créé (dans l’affichage 2D)

pour varier à volonté la hauteur de la pyramide à base rectangulaire;

• La commande ''pyramide [face STUV, hpc ]'' a été utilisée. ‘’faceSTUV’’ est le nom que Géogébra 5.0 a donné à la face commune du prisme à base rectangulaire et de la pyramide à base rectangulaire.

III.3.-OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 4 & 5

• RÉSOLUTION DE LA TACHE DE COMPÉTENCE 1

1. Construction du solide décomposable en ayant recours à Géogébra 5.0

• Construction du trou cylindrique se trouvant a l’intérieur du prisme à base rectangulaire

• La commande cylindre[point, point, rayon] a été utilisée. En particulier, nous avons utilisé la commande '‘cylindre[M1, M2, 0.06*long*hpa]'' .

III.3.-OBJECTIFS SPÉCIFIQUES 4 & 5

• RÉSOLUTION DE LA TACHE DE COMPÉTENCE 1Étape 1:Écriture de

l’expression du volume total de la figure décomposable (cliquer

ici⇒ )

Étape 2: Calcul de chaque composante du volume total

(cliquer ici⇒  )

Étape 3: Remplacer les valeurs dans l’expression du

volume total écrite à l’étape 1 (cliquer ici ⇒ )

Étape 4: Résoudre l’équation obtenue à l’étape 3 (cliquer ici ⇒ )

Microsoft Equation 3.0

Microsoft Equation 3.0

Microsoft Equation 3.0

Microsoft Equation 3.0

2. AJUSTEMENTS POUR TROUVER UN VOLUME DE 60 CM3

Résolution algébrique pour trouver hpa (sans utiliser Géogébra 5.0)

III.3.- OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 4 & 5

• RÉSOLUTION DE LA TACHE DE COMPÉTENCE 1

2. Ajustements pour trouver un volume de 60 cm3

Module du calcul formel sans recours aux curseurs

• Solutions[60=-0.2938*x^2+13.26*x+3.72]

• Cette écriture génère la solution 4.75 cm, mais elle n’offre pas beaucoup de flexibilité.

Module du calcul formel avec recours aux curseurs

• Solutions[60=(n*t*x*co)/2+((n*t*hpb*co)/6)+ (x*long*co) –(3.14*(0.06*x*long)^2*co)+(x*hpc*co/3)]

• Cette écriture génère la solution 4.75 cm et elle offre plus de flexibilité en permettant de traiter plusieurs scénarios très facilement.

Résolution algébrique pour trouver ''hpa'' (avec Géogébra 5.0) à partir du module du calcul formel.

III.3.- OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 4 & 5

• RÉSOLUTION DE LA TACHE DE COMPÉTENCE 1

2. Ajustements pour trouver un volume de 60 cm3

• Résolution graphique pour trouver ''hpa'' (avec Géogébra 5.0)

• les abscisses des points A1 et B1 sont les solutions possibles pour hpa. Toutefois, la valeur de l’abscisse du point B1 sera rejetée en vertu des données de la tâche de compétence 1.

III.3.- OBJECTIF

S SPÉCIFIQUES 4 & 5

• RÉSOLUTION DE LA TACHE DE COMPÉTENCE 1

2. Ajustements pour trouver un volume de 60 cm3

• Résolution directe à partir de la figure décomposable• Pour obtenir un volume de 60 cm3 à partir d’un ajustement sur ''hpa'', il faut modifier

le curseur de façon à atteindre cet objectif. L’élève peut voir que toute modification du curseur (''hpa'') vers une valeur inférieure à 3.3 cm fait diminuer le volume total et en augmentant ''hpa'' entre 4.7cm et 4.8 cm, il obtient le volume de 60cm3.

CONCLUSION

Flexibilité des curseurs•Les curseurs peuvent permettre non seulement de modifier facilement les dimensions du solide décomposable, mais encore elle peuvent permettre de transformer ce dernier en d’autres formes de solides décomposables pour explorer, au besoin, d’autres objectifs de résolution.

Concrétisation des concepts

abstraits•La technologie a l’avantage à partir de son approche qui peut être non seulement algébrique, mais encore visuelle, graphique et dynamique (avec l’aide des curseurs) de rendre des concepts abstraits assez concrets pour l’élève.

Développement d’idées abstraites par la manipulation du

concret

•L’approche visuelle et dynamique de la technologie peut aussi permettre à l’élève d’explorer des frontières (inimaginables sans elle) jusqu’au point où celui-ci peut arriver lui-même à émettre des propositions abstraites viables.

IV.-CONCLUSION

• IMPORTANCE DU RECOURS À GÉOGÉBRA 5.0

BIBLIOGRAPHIECentre de Technologie dans l’apprentissage, Pourquoi un enseignant devrait-il utiliser des outils TICE dans sa classe de mathématiques : http://education.ti.com/sites/FRANCE/downloads/Research-Library-Resources/Researchnote8.pdf

MELS (2005), Cadre théorique, curriculum de la formation générale de base: http://www.mels.gouv.qc.ca/sections/formationbase/pdf/cadre_theorique.pdf

Mishra, P. , Koehler, M.J. (2006). Technological Pedagogical Content Knowledge. A New Framework for Teacher Knowledge. Teacher College Record 108(6), 1017-1054

Un programme de formation pour le XXIe siècle : Programme de formation de l’école Québécoise, Enseignement secondaire, deuxième cycle : http://www1.mels.gouv.qc.ca/sections/programmeFormation/secondaire2/medias/1-pfeq_chap1.pdf

MERCI !!!