Autres exemples de modèles Guy Gauthier Juin 2010.

Autres exemples de modèles

Guy GauthierJuin 2010

Dynamique de la population

Si une population possède un potentiel biotique définit par r, alors la population N obéit à cette loi:

r est la fécondité maximale dont une espèce peut faire preuve en l’absence de facteurs limitant.

dNrN

dt


La solution de cette équation est:

Il n’y a pas de mortalité, seulement des naissances. Pas vraiment réaliste…

0rtN N e


Redéfinissons r:

b = taux de naissance;m = taux de mortalité.

Reste que le résultat est une exponentielle.

Modèle de Malthus (1798).

r b m

Facteur limitant

En présence d’un facteur limitant (ex.: ressources alimentaires), le taux de mortalité augmente et le taux de natalité diminue.

K = capacité limite du milieu.

Verhulst (1838).

Modèle de Verhulst

Équation de la courbe logistique:

1dN N

rNdt K

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

200

400

600

800

1000

1200

Temps

Po

pu

latio

n r=2

K=1000

Points d’équilibreN = 0N = K

Ajout de prédateurs

Modèle de Lotka-Volterra.

En l’absence d’interaction:

Croissance exponentielle des proies (N) et extinction des prédateurs (P).

1

dNr N

dt 2

dPr P

dt

Modèle de Lotka-Volterra

Si les proies interagissent avec les prédateurs:

1 1

dNr k P N

dt

2 2

dPr k N P

dt

Habileté des proies à échapper

aux prédateurs

Habileté des prédateurs à

attraper les proies


Points d’équilibres: Solution évidente, avec populations

égales à 0. Autre solution:

1

1eq

rP

k

2

2eq

rN

k


Exemples:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

500

1000

1500

2000

2500

3000

Temps

Po

pu

latio

ns

Proies

Prédateurs

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Temps

Po

pu

latio

ns

Proies

Prédateurs

r1 = 3;r2 = 5;k1 = 1/100;k2 = 1/100;


Comparaison avec ce qui est observé dans la nature.

Dans l’espace d’état

0 500 1000 1500 2000 25000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Population de proies

Po

pu

latio

n d

e p

réd

ate

urs

Point d’équilibre

Variantes du modèle de Lotka-Volterra

Introduction de la limite du milieu:

1 11dN N

r k P Ndt K

2 2

dPr k N P

dt

Points d’équilibre:1) N = P = 0; 2) N = r2/k2; P = (r1/k1)(1-r2/(Kk2))


Stabilisation des populations:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Temps

Po

pu

latio

ns

Proies

Prédateurs


Réponse fonctionnelle du prédateur:


Introduction du taux de prédation:

1 11dN N

r k P Ndt K

2

2

k NdPr P

dt g N


Effet de ce taux de prédation:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Temps

Po

pu

latio

ns

Proies

Prédateurs

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

100

200

300

400

500

600

700


Po

pu

latio

n d

e p

réd

ate

urs


Introduction d’une réponse fonctionnelle du coté des proies:

1

11

1k NPdN N

r Ndt K g N

2

21

k NdPr P

dt g N


Effet de cette fonction:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

200

400

600

800

1000

1200

Temps

Po

pu

latio

ns

Proies

Prédateurs

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

200

400

600

800

1000

1200


Po

pu

latio

n d

e p

réd

ate

urs

Équation de Lorentz

Soit le système suivant:

Modèle de convection atmosphérique.

1 2 1

2 1 2 1 3

83 3 1 23

( ) 10 ( ) ( )

( ) 28 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x t x t x t

x t x t x t x t x t

x t x t x t x t


Simulation:

010

2030

4050

-20

-10

0

10

20-30

-20

-10

0

10

20

30

x1

x2

x 3

Comportement chaotique

Simulation:

0 20 40 60 80 100 120-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Temps

So

rtie

s

x1

x2

x3

Deux conditions initiales proches

…mènent à deux évolutions très différentes après quelques moments

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Temps

So

rtie

x1

x1 original

x1 recalculé

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 305

10

15

20

25

30

35

40

45

Temps

So

rtie

x1

x1 original

x1 recalculé


Modèle météorologique. A cette époque, on envisageait

pouvoir faire des prévisions météorologiques à long terme.


Cette équation montre l’aspect chaotique de l’évolution de la météo. Donc, prévisions à long terme impossibles.

A court terme… Il suffit de regarder Météomédia et de

voir que les prévisions ne sont pas très justes…

Double pendule inversé

Position des masses


Énergie potentielle

Énergie cinétique


Lagrangien


Ainsi, pour le premier angle

D’où


Et, pour le deuxième angle

D’où


Simulation


Ce système est sujet aussi à un phénomène chaotique.

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