Systèmes mécaniques et électriques Guy Gauthier SYS-823 : Été 2014.

Systèmes mécaniques et électriques

Guy Gauthier

SYS-823 : Été 2014

ANALYSE DE SYSTÈMES MÉCANIQUES

2Modèles mécaniques et électriques

Système mécanique minimaliste

Système masse-ressort-amortisseur:


Ou frottement…

Système mécanique minimaliste

Diagramme des corps libres:


Système mécanique

Équation dynamique du système:

Transformée de Laplace:

2

2( ) ( ) 0v

d x dxf t M f Kx t

dt dt

2

( ) 1

( ) v

X s

F s Ms f s K


Méthode duLagrangien

Énergie cinétique:

Énergie potentielle:

21

2cE Mx

21

2pE Kx

Basée sur une analyse énergétique



Lagrangien:

A partir du Lagrangien, on calcule:

2 21 1

2 2c pL E E Mx Kx

d LMx

dt x

L

Kxx



Et, la différence de ces deux termes est égal aux forces externes:

Ce qui donne:

( ) v

d L Lf t f x

dt x x

( )vMx f x Kx f t


Énergie dissipée en raison du frottement

Passage aux équations d’état

Généralement, les positions et les vitesses sont les variables choisies comme variables d’état.

Cela est valable, que le système mécanique soit en translation ou en rotation.

Modèles mécaniques et électriques 9

Passage aux équations dans l’espace d’état

Posant:

On obtient:

1

2 1

x x

x x x

1 2

2 1 2

1

1( )v

x x

fKx x x f t

M M Mx x


Position

Vitesse

Schéma du modèle


Système mécanique à 2 degrés de liberté

Schéma:



Diagramme des corps libres: Masse 1:



Équation de la masse 1:

3

1 2

22 2 2 1 1

1 1 2 1

( )

0

v

v v

F s f sX K X M s X

f f sX K K X



Diagramme des corps libres: Masse 2:



Équation de la masse 2:

Donc:

3

2 3

21 2 1 2 2

2 2 3 2 0

v

v v

f sX K X M s X

f f sX K K X

2 3

3

22 2 3

1 22

v v

v

M s f f s K KX X

f s K



Équation de l’ensemble:

3

1 2

2 3 3

22

21 1 2

222 2 3 2

( )

( )v

v v

v v v

f s KX s

F s M s f f s K K

M s f f s K K f s K



Passage aux équations d’état:

1 2 3

3 2 3

1 1

1 2 1 1 2 1 12 2 1

3 3

4 42 2 2 2 3 2 2

1

22

3

4

0 1 0 0 0

1( )

0 0 0 1 0

0

0 0 1 0

v v v

v v v

z zK K M f f M K M f Mz z M

F sz z

z zK M f M K K M f f M

z

zy x

z

z



Cette fois-ci, utilisons la méthode du Lagrangien:


Sys. 2 DDL

Énergie cinétique dans le système:

Énergie potentielle dans le système:

2 21 1 2 2

1 1

2 2cE M x M x

22 21 1 2 1 2 3 2

1 1 1

2 2 2pE K x K x x K x


Sys. 2 DDL

Ce qui donne ce Langrangien:

2 2 21 1 2 2 1 1

2 22 1 2 3 2

1 1 1

2 2 21 1

2 2

c pL E E

M x M x K x

K x x K x


1 11

d LM x

dt x

2 22

d LM x

dt x

1 1 2 1 21

LK x K x x

x

2 1 2 3 22

LK x x K x

x

Sys. 2 DDL

Avec la variable x1, on calcule:

De même avec la variable x2:


1 31 1 2

1 1

( ) v v

d L Lf t f x f x x

dt x x

1 3

1 3

1 1 1 1 2 1 2 1 1 2

21 1 1 1 2 1 2 1 1 2

( )

( )

v v

v v

M x K x K x x f x f x x f t

M s X K X K X X f sX f s X X F s

Sys. 2 DDL

Avec la variable x1, on obtient finalement:

Ou:


2 32 2 1

2 2v v

d L Lf x f x x

dt x x

2 3

2 3

2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

22 2 2 2 1 3 2 2 2 1

0

0

v v

v v

M x K x x K x f x f x x

M s X K X X K X f sX f s X X

Sys. 2 DDL

Et, avec la variable x2, on obtient finalement:

Ou:


ANALYSE DE SYSTÈMES ÉLECTRIQUES


Circuit électrique

Circuit RLC:


Circuit électrique

Circuit RLC:


1( ) 0

div t L Ri idt

dt C

1( ) ( )V s Ls R I s

Cs


Circuit électrique

Or:

Ainsi:

1( ) ( ) ( )c cv t idt I s CsV s

C

2

( ) 1

( ) 1cV s

V s LCs RCs


Second circuit


Second circuit

Loi des mailles (Kirchoff):

De la 2e équation, on trouve:

1 1 1 2

2 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 0

1( ) ( ) ( ) ( ) 0

V s R I s Ls I s I s

Ls I s I s R I s I sCs

22

1 22

1( ) ( )

LCs R CsI s I s

LCs


Second circuit

Cette équation dans la première mène à:

D’où finalement:

2

2 21 2 1 2 1

( ) ( )LCs

I s V sR R LCs L R R C s R

21 2 1 2 1

( ) ( )C

LsV s V s

R R LCs L R R C s R


Troisième circuit électrique


Troisième circuit

Forme matricielle:

Ainsi:

1

2

3

2 2 (2 1) 1

(2 1) 9 1 4 0

1 01 4 4 1

s s I V

s s s I

Is s s

3 2

24 3 2

8 10 3 1

24 30 17 16 1

I s s s

V s s s s


Moteur électrique à CC

Schéma de principe:


Moteurélectrique

Équation électrique:


( )( ) ( ) ( ) 0b

di tv t Ri t L K t

dt

Force contre-électromotrice

( ) ( ) ( ) 0bV s R Ls I s K s


Moteur électrique

Équation mécanique:

A vide (TL = 0):

( )m t a LT K i t T T

( )( ) ( )t a a

d tK i t J B t

dt

( )( )a a a

d tT J B t

dt


Moteur électrique

Ainsi:


( )( ) ( )a a

t t

J Bd ti t t

K dt K

( ) ( )a a

t t

J BI s s s

K K


Fonction de transfert du moteur à CC

Combinons les équations mécaniques et électriques:

( ) ( ) ( ) 0a ab

t t

J BV s R Ls s s K s

K K


Fonction de transfert du moteur à CC

Ce qui mène à:

( ) 1

( )a a

bt t

s

V s J BR Ls s K

K K


Hypothèse simplificatrice

La valeur de l’inductance L est généralement négligeable:

( )

( )

t

a

a t b

a a

K

RJsB K KV s sJ RJ


Manipulateur à une articulation

Schéma du manipulateur:


Énergies

Énergie potentielle:

Énergie cinétique

2 2 222 2

1 1

2 2c m m l m m

IE I I I

n

1 cos

1 cos

p l

m

E Mgl

Mgl n


Lagrangien

Le voici:

Donc:

222

11 cos

2c p m m m

IL E E I Mgl n

n

22m m

m

Id LI

dt n

1sin m

m

LMgl

n n


Dynamique du manipulateur

Or:

Ce qui donne:

2l

m mm m

Bd L LB

dt n

22 2

sinl mm m m m

BI MglI B

n n n n


Robot cartésien à deux articulations

Schéma :



On défini le système de coordonnées généralisé q1 et q2.

La vitesse du centre de masse de l’articulation #1 est:

1

11

2

0 0

1 0

0 0cc v

qv J q

q



La vitesse du centre de masse de l’articulation #2 est:

2

12

2

0 1

1 0

0 0cc v

qv J q

q


Énergie cinétique

C’est:

Matrice d’inertie (ou des masses):

1 1 2 21 2

1

2 c c c c

T T Tv v v vK q m J J m J J q

1 2

2

0

0

m mM

m


Énergie potentielle

C’est:

Effet de la gravité sur le robot.

1 1 2 1 1 2 1V gm q gm q g m m q


Lagrangien

Le voici:

Et on calcule:

1 2 1

1

2TL q Mq g m m q

1 2 11

d Lm m q

dt q

1 2

1

Lm m g

q

2 22

d Lm q

dt q

2

0L

q


Modèle du système:

On l’obtient de:

Ce qui donne:

1 2 1 1 2 1

2 2 2

m m q m m g

m q

ii i

d L L

dt q q

Mq G


Équation bien connue en robotique

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