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ATTRACTION «Space Mountain»

CI1 : Analyse globale et performances d’un systèmeCI1 : Analyse globale et performances d’un système

ATTRACTION «SPACE MOUNTAIN» TD

Edition 1 - 28/10/2017

Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 1/12

CHAÎNE D’INFORMATION

ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER

CHAÎNE D’ENERGIE

ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE

ACTI

ON

mailto:[email protected]


Cette attraction se présente sous la forme d’un chapiteau renfermant une montagne russe à grande vitesse. Les passagers peuvent faire l’expérience d’un voyage évoquant l’histoire du roman de JULES VERNES « de la terre à la lune », grâce à de somptueux décors spatiaux. Les voitures sont sonorisées en synchronisation avec le circuit qui comporte trois renversements complets.

Le système de lancement, évoquant un canon, est en fait une catapulte à propulsion

électrique de type porte-avions. Un pousseur vient en contact avec le train afin de le propulser. La motorisation de ce dispositif fait l’objet de ce TD.

A - ANALYSERA - ANALYSERA - ANALYSER

A3 : Analyse fonctionnelle, structurelle, comportementale

Identifier la structure d'un système asservi : chaîne directe, capteur, commande (fonction différences, correction)A3 : Analyse fonctionnelle, structurelle,

comportementale Identifier et positionner les perturbationsA3 : Analyse fonctionnelle, structurelle, comportementale

Différencier régulation et asservissement

A4 : Caractériser les écarts Quantifier des écarts entre des valeurs attendues et des valeurs obtenues par simulation

A5 : Apprécier la pertinence et la validité des résultats Prévoir l’ordre de grandeur et l’évolution de la simulation

B - MODELISERB - MODELISERB - MODELISER

B2 : Proposer un modèle de connaissance et de comportement

Etablir le schéma bloc du système


Déterminer les fonctions de transfert à partir d’équations physiques (modèle de connaissance)Déterminer les fonctions de transfert en boucle ouverte et boucle fermée


Identifier les paramètres caractéristiques d’un modèle du premier ou du second ordre à partir de sa réponse indicielle

C - RESOUDREC - RESOUDREC - RESOUDRE

C2 : Procéder à la mise en oeuvre d’une démarche de résolution analytique

Prévoir les réponses temporelles des systèmes linéaires du premier et second ordreC2 : Procéder à la mise en oeuvre d’une

démarche de résolution analytique Prévoir les performances de rapidité et de précision d’un SLCI



Présentation Edition 1 - 28/10/2017




SommaireA. ___________________________________________________________Mise en situation! 4

A.1.Cahier des charges 4

A.2.Schéma du propulseur 5

B. ___________________________________Etude de l'asservissement de la motorisation! 6

B.1.Etude préliminaire 6

B.2.Schéma fonctionnel d’un moteur 6

B.3.Motorisation de la catapulte 7

B.4.Performances de la commande en boucle ouverte 9

B.5.Commande asservie du pousseur 10

C. _______________________________________________________Documents réponse! 11

C.1.DR1 : Schéma bloc d’un moteur 11

C.2.DR2 : Schéma bloc de la motorisation du tambour 11

D. _________________________________________________________________Annexes! 12

D.1.Annexe 1 : Temps de réponse réduit 12



Sommaire Edition 1 - 28/10/2017




A. Mise en situationL’objectif de ce TD est de quantifier les performances du système afin de conclure sur le respect du cahier des

charges. Il faudra pour cela au préalable modéliser le comportement du système de motorisation de la catapulte

A.1. Cahier des charges Le cahier des charges de la catapulte étudiée fait apparaître

les critères suivants :

Fonction Critères Niveau

Propulser en toute

sécurité un train de

passagers vers le point d'entrée de la montagne

russe

Durée du cycle 30 s maxiPropulser en

toute sécurité un

train de passagers

vers le point d'entrée de la montagne

russe

Fréquence de lancement 1 toutes les 36sPropulser en

toute sécurité un

train de passagers

vers le point d'entrée de la montagne

russe

Masse propulsée 7500 kg

Propulser en toute



russe

Inclinaison de la voie 34°

Propulser en toute



russeVitesse de propulsion 14 m/s maxi

Propulser en toute



russeAccélération 8 m.s-2 mini



Mise en situation Edition 1 - 28/10/2017




A.2. Schéma du propulseur

Le canon catapulte est schématisé ci-dessous :

Le rapport de transmission entre les vitesses et les accélérations est donné :

Vpousseur

ωmoteur

=γ pousseur

ω pousseur' = 0.5 m



Mise en situation Edition 1 - 28/10/2017




B. Etude de l'asservissement de la motorisation

B.1. Etude préliminaire

Les équations d’un moteur à courant continu sont rappelées ci-dessous :

u(t) = ri(t)+ L di(t)dt

+ e(t) (Comportement électrique)

Jeqdωm (t)dt

= Cm (t)−Cr (t) (Comportement mécanique)

Cm (t) = Kti(t) et e(t) = Keωm (t) (Conversion électro-mécanique)

avec! u(t) :! tension aux bornes du moteur (V) - Entrée du système

! e(t) :! force contre-électromotrice (V)! i(t) :! intensité traversant le moteur (A)

! ωm (t) :! vitesse de rotation du moteur (rad.s-1) - Sortie du système

! Cm (t) :! couple moteur (Nm)

! Cr (t) :! couple résistant (Nm) - Perturbation du système

! Jeq :! inertie de l’arbre moteur (kg.m2)

! R :! résistance de l’induit du moteur (Ω )! L :! inductance de l’induit du moteur (H)! Ke :! constante de fcém (V/(rad/s))

! Kt :! constante de couple du moteur (Nm.A-1)

B.2. Schéma fonctionnel d’un moteur

Question 1

Transcrire les équations du modèle de connaissance dans le domaine symbolique, par transformation de Laplace. Rappeler les hypothèses nécessaires

Question 2

Compléter le schéma-bloc sur le document-réponse DR1

Question 3

Nous supposons dans un premier temps nulle la perturbation Cr (p)

Etablir alors la fonction de transfert H1(p) =Ωm (p)U(p)

en la mettant sous forme canonique



Etude de l’asservissement de la motorisation Edition 1 - 28/10/2017




Question 4

En supposant maintenant nulle l’entrée U(p) , établir la fonction de transfert G1(p) =Ωm (p)Cr (p)

Question 5

En déduire l’expression de Ωm (p) en fonction de U(p) , Cr (p) , H1(p) et G1(p)

B.3. Motorisation de la catapulte

Le tambour de la catapulte est entraîné par l’association de 2 moteurs montés en tandem :

Les moteurs M1 et M2 sont des moteurs à courant continu à excitation séparée, pour lesquels on utilisera la modélisation classique proposée plus haut.

La vitesse est relevée par une génératrice tachymétrique.

On notera :

u1 et u2 les tensions respectives aux bornes des moteurs M1 et M2

i1 et i2 les courants respectifs

Cm1 et Cm2 les couples moteur

e1 et e2 les fcém

Ke1 et Ke2 les constantes de fcém

Kt1 et Kt2 les constantes de couple

R1 et R2 les résistances d’induit

L1 et L2 les inductances

Jeq l’inertie équivalente de l’ensemble ramenée à l’arbre moteur

Les valeurs numériques de ces variables sont :

R1 = R2 = 0.03Ω ; L1 = L2 = 0.72 mH ; U1max =U2max = 700V ; Jeq = 3600 kg.m2

Ke1 = Ke2 = 22V / rad.s−1( ) ; Kt1 = Kt2 = 22 Nm.A

−1 ; Cr = 22200 Nm







L’arbre de transmission est modélisé comme suit :

Question 6

Par analogie avec la partie précédente, compléter le schéma bloc du document réponse DR2

Question 7

Montrer que la fonction de transfert peut s’écrire sous la forme :

Ω(p) = H1(p).U1(p)+ H2 (p).U2 (p)− H 3(p).Cr (p)

avec H1(p) =Kt1 R2 + L2p( )

D(p) ; H2 (p) =

Kt2 R1 + L1p( )D(p)

; H 3(p) =R1 + L1p( ) R2 + L2p( )

D(p)

et D(p) = Jeq R1 + L1p( ) R2 + L2p( ) p + Ke1Kt1 R2 + L2p( ) + Ke2Kt2 R1 + L1p( )

Nous supposerons dans toute la suite que les 2 moteurs sont identiques et commandés par la même tension commune U.

Question 8

Montrer que la fonction de transfert se simplifie

Question 9

En comparant cette fonction de transfert à la fonction établie à la question 3 (moteur simple sans perturbation), montrer que le montage en tandem des deux moteurs est équivalent à un seul moteur dont on précisera les paramètres Ke.eq , Kt .eq , Req , Leq

Question 10

Tracer le schéma bloc correspondant à ce moteur équivalentQuestion 11

Mettre la fonction de transfert sous la forme suivante, et donner les expressions littérales et numériques des différents paramètres :

Ω(p) = H2 (p)U −G2 (p)Cr =KU

1+ 2mω 0

p + 1ω 0

2 p2U −

KCR1+Tp( )

1+ 2mω 0

p + 1ω 0

2 p2CR

Question 12

Donner l’allure de la courbe, et définir la nature du régime en prenant Cr = 0







B.4. Performances de la commande en boucle ouverte

Le système est soumis à un échelon de tension de valeur maximale

Question 13

Déterminer l’expression de vitesse de rotation limite théorique ω∞ , et effectuer l’application numérique

Conclure quant au respect du cahier des charges, dans les deux cas suivants :

1. en négligeant le couple de frottement CR

2. en modélisant le couple de frottement par un échelon CR(t) = 22200 Nm

Question 14

En exploitant l’annexe 1, déterminer le temps de réponse à 5% tR

L’accélération angulaire moyenne peut être calculée simplement en exploitant graphiquement le graphe des vitesses :

L’accélération moyenne peut être déterminée en calculant le coefficient directeur de la droite passant par l’origine et par le point tR ,ω∞( )

Question 15

En déduire la valeur de l’accélération angulaire moyenne afin d’atteindre la vitesse maximale.

Conclure quant au respect du cahier des charges

tR

0,95ω∞

ω∞

Pente = accélération angulaire moyenne







B.5. Commande asservie du pousseur

Le moteur équivalent est maintenant asservi en vitesse, à retour unitaire. Le réglage de l’asservissement est effectué à l’aide d’un correcteur C(p)

L’étude de ces correcteurs sera abordée dans un prochain cours, mais les questions suivantes peuvent être résolues et introduisent la notion de correction.

Question 16

Compléter le schéma fonctionnel ci-dessous, en faisant apparaître les fonctions H2 (p) et G2 (p) :

Question 17

Etablir la relation de transfert en boucle fermée Ω = f ΩC ,CR( ) en fonction de H2 (p) et G2 (p)

Question 18

On envisage dans premier temps de contrôler la tension par un correcteur proportionnel de gain Ki :

C(p) = Ki

Etablir l’expression de la précision pour un échelon d’amplitude ΩC0 en entrée, dans les 2 cas suivants :

1. en négligeant le couple résistant CR

2. en modélisant le couple résistant par un échelon d’amplitude CR0

Conclure sur la précision et la résistance aux perturbations

Question 19

On souhaite assurer la précision du système, et la mise en place d’un correcteur à action proportionnelle et

intégrale C(p) =Ki 1+Ti p( )

Ti p est envisagé.

Reprendre la question précédente dans les deux même cas, et conclure sur la précision du système.







C. Documents réponse

C.1. DR1 : Schéma bloc d’un moteur

Ωm

C.2. DR2 : Schéma bloc de la motorisation du tambour



Documents réponse Edition 1 - 28/10/2017


Ωm



D. Annexes

D.1. Annexe 1 : Temps de réponse réduit



Annexes Edition 1 - 28/10/2017




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