ATMA 2006

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UN SIMULATEUR GÉOMÉTRIQUE DE NOUVELLE GÉNÉRATION POUR L’INDUSTRIE NAVALE ET

AÉRONAUTIQUE

Jean-François ROTGÉ, Jérémie FARRET Parallel Geometry Inc – Montréal (Canada)

SOMMAIRE

Cet article présente les principes d'un simulateur géométrique de nouvelle génération capable d'unifier la représentation et le traitement des données spatiales volumiques pour des applications temps réel. Le simulateur unifie en particulier les pipelines géométrique et graphique en substituant aux surfaces paramétriques et polygonales, les polynômes descriptifs de surfaces algébriques généralisées.

Cette approche permet d'envisager une interopérabilité des systèmes de CAD/CAM, SIG et AEC au travers d'un format universel de données 3D conçu pour le calcul à haute performance.

SUMMARY

This article defines principles for a new generation of geometric simulator, able to unify volumic data representation and processing for real time applications. The proposed simulator unifies in particular geometric and graphic pipelines, replacing parametric and polygonal surfaces with descriptive polynoms for generalized algebraic surfaces.

This approach virtually enables interoperability between CAD/CAM, GIS, and AEC systems, through an universal 3D data format, designed for high performance computing.

1. BASES THEORIQUES

Les simulateurs informatiques qui nous intéressent ici ont pour rôle essentiel de délivrer des résultats numériques et visuels permettant la compréhension comportementale d’objets géométriques dans des milieux physiques où la dynamique des fluides (eau et air) entre autres domaines conditionne fortement les options de design des objets dans l’espace tridimensionnel. Une fois l’objet (navire, avion, …) mathématiquement conçu et optimisé et dans certains cas fabriqué et déjà opérationnel, son intégration et son contrôle dans l’environnement réel nécessitent à leur tour le recours à la simulation pour prédire les interactions, particulièrement les collisions

avec les autres acteurs géométriques : les terrains, les structures architecturales, les paysages, l’eau, les nuages, les personnages, etc…

Véritable nerf de la guerre en ce qui concerne les performances et la précision des calculs, mais également la taille mémoire de l’information numérique à traiter, le choix des modèles mathématiques théoriques qui contrôlent la géométrie est donc primordial.

Ces modèles devraient idéalement favoriser le traitement informatique tout en respectant ou même en améliorant la pratique métier des concepteurs, ingénieurs, physiciens, architectes.

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Malheureusement un état de l’art actuel nous amène à constater une forte inadéquation et disparité théorique entre d’une part les différents modèles géométriques consacrés par l’industrie, mais d’autre part entre ces modèles et leur exploitation informatique dans un contexte de hautes performances.

Pour parvenir à répondre à ce véritable défi théorique et industriel, nous proposons l’architecture d’un simulateur géométrique de nouvelle génération basée sur un principe d’unification totale des données tridimensionnelles pour la conception des modèles géométriques mais également pour l’ensemble des traitements informatiques.

D’un point de vue technique, il s’agit d’inverser la tendance historique naturelle Métier-Mathématique-Informatique qui a vu les pratiques métier notamment issues du dessin technique être mathématisées par l’industrie pour être informatisées en dernier recours. Si cette approche a donné lieu à d’indéniables réussites technologiques, elle a aujourd’hui atteint ses limites théoriques, l’absence d’un format géométrique numérique universel et compact bloquant l’émergence du calcul géométrique à haute performance.

1.1. Le dessin et les techniques graphiques par opposition au raisonnement géométrique

Historiquement le recours systématique aux techniques graphiques, comme par exemple l’usage de la latte de bois dans le tracé des carènes, et leurs limitations inhérentes ont conditionné la pratique autant en architecture navale que pour la conception des formes en aéronautique.

Ce décalage entre le graphisme et la géométrie, c’est à dire entre la forme tracée ou visualisée par des moyens mécaniques et le formalisme mathématique algébrique sous-jacent explique encore maintenant la difficulté de faire cohabiter les habitudes ergonomiques du praticien avec un fonctionnement optimal des ressources informatiques qui lui sont confiées.

Celles-ci sont en effet tributaires de la traduction mathématique du savoir-faire métier en langage informatique machine. La question qui se pose est donc de savoir si cette

traduction doit être le résultat d’un bon compromis entre les habitudes du praticien et la machine ou alors d’un choix délibéré pour l’optimisation des calculs avec ses conséquences inévitables sur la pratique.

La différence entre graphisme et géométrie et ses incidences sur le choix des modèles mathématiques est implicitement établie dans la genèse du système UNISURF de Pierre Bézier dont l’un des soucis majeurs est de fournir à des non-mathématiciens une méthode mathématisable pour déterminer des courbes gauches.

En citant Bézier [1] …

"Un styliste conçoit un volume à partir de quelques courbes principales, lignes de carre, de ceinture et de bas de jupe, périmètre de pare-brise et de lunette arrière etc., et ce sont toutes des lignes gauches, excepté la trace sur le plan de symétrie"

On peut évidemment définir une courbe gauche à l'aide de deux projections planes, mais cela conduit à des complications, et il vaut mieux la déterminer directement. Pour cela, il suffit de généraliser la méthode qui consiste à projeter obliquement un quart de cercle, en utilisant à sa place une courbe gauche inscrite dans un cube-unité.’’ (Fig.1)

Fig.1 – Genèse d’une courbe de Bézier

… on comprend alors pourquoi la solution de description des courbes gauches directrices des surfaces est nécessairement visuelle, graphique et donc réductrice, amenant à la description paramétrique des surfaces contrôlés par de simples polygones et polyèdres, cette solution ayant été par ailleurs validée par la théorie des coniques dans le plan sur laquelle on reviendra un peu plus loin.

Paradoxalement, l’école de géométrie descriptive de Monge se faisait une idée

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radicalement opposée des capacités intellectuelles du praticien et utilisait la description générique des courbes gauches comme intersections de surfaces implicites.

Cette approche demandait bien évidemment une formation et une connaissance préalable de la géométrie dans l’espace mais avait l’immense avantage d’accéder à l’ensemble des méthodes d’investigation algébriques et graphiques.

Fig.2 – Construction implicite d’une courbe gauche

La figure (Fig.2) illustre la description et le contrôle d’une courbe gauche, intersection d’une sphère et d’un cylindre du second degré.

On visualise un cylindre du quatrième degré qui passe par la courbe et permet avec celui du second degré de déterminer les points appartenant à la courbe. Il n’y a aucune entrave aux modifications que l’utilisateur voudrait voir subir à la courbe au travers des modifications de ses surfaces génériques.

Une approche métier du design de surfaces implicites à partir de courbes gauches consiste à identifier et établir un vocabulaire de ces courbes et des surfaces génériques.

Le design se fait alors de manière interactive en bénéficiant de toute la puissance mathématique et de l’efficacité d’implémentation informatique.

1.2. Les courbes et les surfaces en question

Le choix du modèle mathématique de description des courbes et des surfaces est absolument essentiel dans la conception de l’architecture d’un simulateur informatique. En prenant la métaphore du moteur, il s’agit d’opter pour le carburant avec ses performances, son coût et ses limites. Un des problèmes actuels des architectures

conventionnelles est l’usage soit d’une double représentation mathématique alternée en fonction de la nature des calculs géométriques ou graphiques, soit d’une représentation unique, simplifiée et discrétisée permettant d’excellentes performances graphiques sur des flux de données restreints.

Dans le premier cas on doit composer avec des architectures hybrides à base essentiellement de surfaces paramétriques ou de subdivision pour la description de la géométrie, ces surfaces étant discrétisées par polygonisation pour alimenter les unités graphiques du simulateur.

Les figures (Fig.3, 4, 5) présentent trois types de polygonisation sur respectivement des modèles NURBS, à subdivision et à surface exponentielle.

Fig 3 – Polygonisation à base de Nurbs

Sur la première figure, le traitement visuel pour adoucir les polygones a été effectué. Le système de simulation doit gérer la double représentation NURBS, polygone.

Fig 4 – Polygonisation à base de surface de subdivision

Sur la seconde figure, les polygones ont été générés nativement par le modèle à subdivision, de manière procédurale avant l’adoucissement visuel.

Le niveau de subdivision et par conséquent la quantité de polygones modifie la géométrie de la carène et l’efficacité des traitements.

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Fig 5 – Polygonisation à base de surface exponentielle

Sur la troisième figure, un modèle de surface exponentielle, extension des courbes développées par Cyril Grandpierre [2], est visualisé par l’intermédiaire de polygones faute de méthode disponible pour un affichage efficace en précision exacte.

Dans le second cas d’architecture conventionnelle, le polygone règne en maître dans un cadre géométrique et graphique unifié mais considérablement appauvri. Dans ce contexte, si la stratégie purement polygonale est un retour manifeste à la renaissance italienne et à ses méthodes de représentation graphique, il est intéressant de mieux comprendre l’évolution industrielle du mariage surface paramétrique et polygones à partir d’un théorème de Pascal à l’origine des techniques de construction des coniques, les courbes du second degré.

Ces techniques sont basées sur des propriétés projectives simples, en relation avec des contraintes exprimées au travers de points de passage, de points de contact des tangentes etc.

Elles sont particulièrement intéressantes pour les raccordements entre arcs de coniques et ont été propagées par les nombreuses traductions du livre de géométrie projective de Luigi Cremona. Les ouvrages spécialisés de dessin technique ont intégré ces méthodes de manière systématique.

Elles ont par la suite fait l’objet de recherches applicatives dans le domaine du design d’avions (Fig.7), avec notamment les travaux de Liming dès les années 1940. Son ouvrage de référence plus tardif, Mathematics for Computer Graphics de 1979 contient des pages entières d’apprentissage aux techniques de constructions projectives destinées à l’aéronautique.

Un intérêt majeur des coniques qui sont les plus simples des courbes algébriques non linéaires est qu’elles acceptent des représentations paramétriques à partir de leur description implicite.

Le partage des tâches est alors assez simple : les calculs algébriques sont essentiellement articulés autour du formalisme implicite, les calculs, et les constructions graphiques autour du formalisme paramétrique.

Fig 6 – Méthodes de dessin

La construction d’un arc de conique dans un triangle de construction représentée sur la figure (Fig.6,) est sans contexte l’archétype de l’arc de courbe paramétrique contrôlé par un polygone de construction.

Indéniablement inspirées par les propriétés graphiques des coniques, les courbes et surfaces mathématiques destinées au design, ont eu essentiellement et ce dès l’origine à remplir certaines conditions esthétiques et ergonomiques et ont été représentées sous forme paramétrique.

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Fig 7 – Méthodologie à base de coniques, à l’origine du Mustang P51

L’aspect mathématique a été subordonné aux conditions géométriques locales permettant le lissage, les raccordements et bien évidemment l’interface entre le dessinateur et son modèle.

Dans ce sens, les techniques de construction des coniques et de leur raccordement utilisaient déjà ces principes dès le 19ième siècle.

Bornés par le polygone ou polyèdre de contrôle, l’arc de courbe ou le carreau de surface sont graphiquement maîtrisés en l’absence de toute connaissance et de tout contrôle de la courbe ou de la surface générique.

La figure (Fig.8) illustre cette approche.

A partir d’un simple arc de cubique paramétrique de Bézier dont l’implicitisation n’offre aucune difficulté [7], on met en évidence la forme générale de la courbe cubique implicite générique volontairement tronquée.

Indépendamment des critères esthétiques ou fonctionnels totalement inexploitables de la partie cachée de la courbe, celle-ci fait apparaître des singularités dont un point double, capital pour expliquer l’unicursalité de la courbe et pour la paramétriser en servant de pivot à une droite balayant le plan.

Fig 8 – Les parties cachées d’une courbe paramétrique

Cette politique de la gomme, cachez cette courbe ou surface implicite que je ne saurais voir, se traduit directement en politique de l’autruche car sous l’apparente simplicité de la représentation graphique paramétrique, subsiste la réelle complexité des calculs algébriques qui croissent avec le degré de la paramétrisation.

Un dessinateur manipulant de simples surfaces paramétriques bicubiques dans une logique de manipulation d’arcs de cubiques dans l’espace, génère des problèmes relatifs à une surface implicite du 18ième degré.

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Cette méconnaissance ou indifférence du designer vis à vis de la complexité algébrique des problèmes explique l’inadéquation de la représentation paramétrique pour un grand nombre de calculs liés à la simulation, qu’il s’agisse de systèmes de visualisation ou d’anti-collisions en précision exacte ou tout simplement de calculs où la représentation paramétrique est mathématiquement et techniquement inadaptée.

D’autre part, l’approche paramétrique est une vision essentiellement surfacique de l’espace et la création de modèles volumique nécessite de réaliser des raccordements par morceaux qui garantissent la fermeture des formes générées (B-Rep) ou alors d’utiliser des paramétrisations tridimensionnelles, ce qui dans les deux cas aboutit à des modèles incroyablement lourds, fortement instables au niveau topologique et numérique.

1.3. Un système universel de description et détermination des surfaces implicites

Unifier la géométrie et le graphisme est algorithmiquement possible au travers des polynômes implicites qui vont à la fois servir de descripteur universel des formes spatiales mais en même temps permettre de les visualiser. Dans cette approche on revient aux fondements de la géométrie descriptive sous sa forme analytique, c’est à dire l’utilisation des surfaces implicites et de leurs intersections avec d’autres surfaces ou avec des polyèdres.

En même temps, on élimine les deux grandes causes de l’abandon de la théorie de Monge au profit des systèmes paramétriques, c’est à dire le faible degré des surfaces et l’absence de système de détermination et de contrôle géométrique interactifs.

La théorie des surfaces implicites revisitée, complétée, améliorée et développée sur de nouvelles bases algorithmiques est l’instrument idéal de cette approche d’unification.

Le récent développement des Ψsurfaces [6], illustre parfaitement le principe de substitution des surfaces implicites algébriques aux autres méthodes de description des formes géométriques.

Les principes de base de cette théorie définie en géométrie projective sont les suivants.

Pour toute hypersurface de degré quelconque, il existe au moins un mécanisme géométrique, constitué de faisceaux de points appartenant à des faisceaux de droites appartenant à des faisceaux de plans qui permet de déterminer, contrôler la surface et la déformer de manière continue.

Le schéma combinatoire du nombre de points, droites et plans nécessaires est par ailleurs contenu dans le triangle de Pascal des coefficients binomiaux.

En effet, les coefficients de la colonne 2D représentent les nombres de coefficients des polynômes homogènes des courbes planes, 3 pour une droite, 6 pour une conique, 10 pour une cubique, 15 pour une quartique etc. …, alors que la colonne 3D contient les nombres de coefficients homogènes des surfaces algébriques dans l’espace, 4 pour un plan, 10 pour une surface quadrique, 20 pour une surface cubique et 35 pour une surface quartique.

Fig 9 – Triangle de Pascal des coefficients binomiaux

Les diagonales de gauche à droite indiquent les degrés, 0 pour la diagonale 1, 1, 1, 1,…, 1 pour la diagonale 1, 2, 3, 4, …, 2 pour la diagonale 1, 3, 6, 10, ….

En utilisant la propriété combinatoire du triangle de Pascal qui vérifie qu’un nombre d’une colonne est égal à la somme des nombres de sa colonne de gauche, en partant du nombre situé dans la rangée supérieure, on obtient par exemple en étudiant par exemple la surface quadrique du second degré le bilan suivant : 10 (4ième colonne, 6ième rangée) = 6 + 3 + 1 lui-même égal à 10= (3 + 2 + 1) + (2 +1) + 1.

En enlevant 1 systématiquement au premier nombre du bilan car le nombre de conditions géométriques pour déterminer une surface algébrique est inférieur d’une unité aux

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nombres de coefficients homogènes de son polynôme représentatif, nous obtenons le bilan final suivant 10 – 1 = (2 + 2 + 1) + (2 +1) + 1 dont l’interprétation géométrique est illustrée sur le tableau ci-dessous (Fig.10).

La quadrique est donc déterminée à partir de 3 sections planes, contenant respectivement 3 droites, 2 droites et 1 droite.

Le tableau indique la répartition des points.

Fig 10 –Schéma combinatoire pour la surface quadrique

Pour la surface quartique du quatrième degré, on obtient conformément à la figure (Fig.11) 34 points répartis sur 15 droites appartenant à 5 sections.

Fig 11 – Schéma combinatoire pour la surface quartique

Il est alors possible de regarder comment on détermine interactivement une courbe en commençant par celle du second degré, la conique.

La série des six figures (Fig.12 à 18), présente différentes méthodologies possibles qui illustrent le concept d’interface adaptative dont sont dotées les Ψsurfaces de manière générale.

Les possibilités d’interfaces pour designer une courbe reflètent en effet les types de conditions géométriques nécessaires à sa détermination comme par exemple le passage par un point donné, les conditions de tangence ou d’inflexion de la courbe en un point donné et ainsi de suite.

Fig 12 – Conique par cinq points

Dans le cas de la figure (Fig.12), la conique est assujettie à passer par cinq points.

Ces points sont répartis selon le schéma combinatoire du triangle de Pascal, c’est à dire 2 points sur la première droite, 2 points sur la seconde et 1 point sur la troisième.

Le triangle blanc est le repère local de la conique et selon les besoins deux ou un seul de ses sommets peuvent être envoyés à l’infini.

En particulier, l’envoi du sommet du faisceau, c’est à dire le point de concours des trois droites à l’infini à la verticale aura

pour conséquence de rendre les trois droites de la Ψconique parallèles et verticales.

La figure (Fig.13), est obtenue en confondant les points sur deux des droites. Dans ce cas, les deux droites deviennent des tangentes aux points dédoublés et l’on obtient la détermination d’une conique passant par deux points de contact avec ses deux tangentes associées et passant par un autre point.

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Fig 13 – Conique par un point et deux tangentes

La figure (Fig.14), introduit la notion de « point carré » associé au point rond initial obtenu par section de la droite support du « point rond » avec ses courbes polaires par rapport à la courbe. Dans le cas de la conique, la seule polaire d’un point par rapport à une conique est une droite, de telle sorte que chaque point rond a un seul point associé carré obtenu par polarité. Les points ronds et carrés se comportent comme des points de contrôle entre lesquels la courbe va passer. Lorsque les points ronds et carrés sont confondus, la courbe passe par le point en question. La possibilité de disjoindre les points ronds et carrés permet de travailler avec des points aux coordonnées homogènes exactes, exprimées en nombres entiers et d’obtenir ainsi des polynômes exacts dont la nature n’est pas altérée par des approximations numériques. Cette caractéristique est particulièrement mise à profit pour éviter d’avoir à saisir des points irrationnels sur la courbe qui vont également dénaturer le polynôme représentatif de la courbe.

Fig 14 –Conique par deux points de tangence et deux couples points ronds / points carrés

La conique de la figure (Fig.15) est déterminée par tous ses points ronds, disjoints des points carrés.

Fig 15 – Conique définie par cinq couples de points ronds / points carrés

La conique de la figure (Fig.16) est totalement contrôlée à distance, les droites du faisceau ne coupant même plus la courbe.

Fig 16 – Conique contrôlée à distance

La dernière figure (Fig.17) illustre la détermination d’une conique cercle. Le triangle blanc est utilisé comme repère euclidien avec l’envoi de deux de ses sommets à l’infini sur les axes X et Y. Le point rond et le point carré situés sur la droite bissectrice du premier quadrant, au milieu et au coin d’un carré ont des coordonnées entières alors que le point du cercle sur la bissectrice aurait des coordonnées irrationnelles multiples de racine carrée de 2, type de problème communément rencontré chez les NURBS.

Fig 17 – Conique cercle définie par un système de points en coordonnées entières

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La détermination d’une courbe du quatrième degré illustrée par les figures (Fig.18) et (Fig.19) s’effectue selon les mêmes principes en respectant son p

Fig 18 – Courbe quartique générale

Fig 19 – Courbe quartique disjointe

La puissance de la géométrie projective permet d’obtenir des déformations continues de la courbe sans aucun cas particulier. Un double cercle ou quatre droites seront obtenues par modification des points du mécanisme de contrôle.

Afin de simplifier l’interface, des mécanismes prédéfinis permettent d’obtenir des courbes remarquables obéissant à des contraintes géométriques de nature différente, comme par exemple des courbes à axes de symétrie.

La détermination des surfaces en trois dimensions est une extension de ces principes en répétant le mécanisme de contrôle des courbes dans plusieurs sections selon le schéma combinatoire du triangle de Pascal explicité visuellement. Les sections passent toutes par un même axe et peuvent être parallèles en particulier aux plans du trièdre de référence lorsque l’axe est rejeté à l’infini.

Les figures (Fig.20) et (Fig.21) illustrent la détermination d’un tore par plans parallèles horizontaux et par plans passant par l’axe de symétrie du tore.

La stratégie de modélisation comporte alors une première phase de détermination du type de surfaces nécessaires à la description

volumique de la carène, fuselage, voilure etc. Le degré des surfaces utilisées et leur nombre sont des composantes bien évidemment primordiales dans les performances futures du système de simulation et de l’intégralité de ses fonctionnalités.

Fig 20 – Détermination d’un tore par plans parallèles horizontaux

Fig 21 – Détermination d’un tore par plans passant par son axe de symétrie

Les figures (Fig.22) et (Fig.23) présentent deux stratégies différentes mais complémentaires de modélisation de la carène.

La première utilise les propriétés des Ψsurfaces dont les sections et les droites peuvent être positionnées parallèlement les unes aux autres, constituant ainsi une grille de points de contrôle en projection transversale pour déterminer les couples, en projection horizontale pour les lignes d’eau, mais également en projection longitudinale. Les sections diagonales passant par un même axe seront évidemment des cas particuliers de configuration des Ψsurfaces. Pour la modélisation de la surface par maître couple, nous aurons besoin d’une surface d’un degré égal au nombre de couples moins un. Une surface quartique permettra ainsi le contrôle de cinq maîtres couples avec un nombre de points

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de contrôle décroissant au fur et à mesure des sections.

Cette stratégie amènera bien évidemment à faire un choix entre la minimisation du degré des surfaces et l’augmentation de leur nombre. Le degré des surfaces, comme pour les surfaces paramétriques influera sur les conditions de tangence, aux raccordements des surfaces. Sur la figure (Fig.22), on recherche le degré minimal de la courbe réalisant le lissage a posteriori d’une ancienne carène tracée par lattes.

Fig 22 – Stratégie de modélisation par section / maître couple

La seconde stratégie consiste à étudier et associer des typologies de formes classiques en architecture navale et construction aéronautique à des surfaces appartenant à des familles prédéfinies de manière à converger vers la solution théoriquement idéale, c’est à dire l’utilisation d’une seule surface. Dans le cas où plusieurs surfaces sont requises pour la modélisation, la combinaison, le collage et la découpe de ces surfaces s’effectuent par le biais de l’Arithmétique des Formes [4,5]. Finalement, l’approche globale de modélisation ouvre la voie à un champ d’études majeur : l’étude des déformations projectives continues des surfaces algébriques et des éventuelles propriétés aérodynamiques et hydrodynamiques associées.

Dans ce cadre, afin d’assurer la jonction avec les divers modes de simulation de dynamique des fluides, la stratégie proposée passe par la génération fidèle de maquettes physiques et virtuelles.

Fig 23 – Stratégie de modélisation par typologie de forme classique

2. L’ARCHITECTURE DU SYSTEME LLG

Le système de simulation LLG consomme des cellules volumiques implicites en entrée, les organise dans une 3DMAP spatiale centralisée et les traite en temps réel, principalement pour la simulation visuelle, la planification de trajectoires et la détection de collision. Un certain nombre de convertisseurs géométriques assurent l'import et l'export de données graphiques conventionnelles comme les polygones, les pixels (textures), et les voxels. Les diagrammes de la figure (Fig.24) et de la figure (Fig.25) illustrent respectivement l’architecture du flux de données pour les composantes graphiques et géométriques du simulateur. Le principe fondamental d’unification des traitements du système LLG est bien articulé autour de la décomposition des scènes simulées en cellules volumiques constituées de polynômes implicites élémentaires.

Les cellules volumiques implicites sont obtenues en particulier à partir de l'expansion d'arbres volumiques décrits en Constructive Solid Geometry ou en Arithmétique des Formes.

Ces arbres volumiques qui décrivent les scènes de simulation et l'ensemble des objets volumiques modélisés sont ‘digérés’ de manière native par un puissant langage de script 3D à noyau Python, LLG-Python, permettant également de séquencer les tâches de traitement.