Angles, longueurs, aires, volumes

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Angles, longueurs, aires, volumes

Échauffez-vous !

57

1 Cochez la case correspondant à la réponse exacte.

a) L’angle ABC% est l’un des trois angles du triangle ABC. Vrai Faux

b) L’angle CBD% est l’un des trois angles du triangle ABC. Vrai Faux

2 Reliez chaque objet à sa représentation.Cercle Angle aigu Angle obtus Disque

• • • •

• • • •

3 Cochez la case correspondant à la réponse exacte.

a) La valeur décimale arrondie à 0,000 1 près du nombre r est : 3,14 3,141 6 3,142b) Pour convertir des cm en m, on divise par 100. Vrai Fauxc) Pour convertir des m2 en cm2, on divise par 10 000. Vrai Fauxd) Pour convertir des mm3 en cm3, on multiplie par 100. Vrai Fauxe) Pour convertir des m3 en L, on multiplie par 1000. Vrai Faux

4 Reliez chaque objet à son périmètre.

Triangle de côtés 4 cm, 5 cm et 6 cm • • 12 cmCarré de côté 3 cm • • 10 cmRectangle de côtés 2 cm et 3 cm • • 15 cm

A

B

C

D

Vocabulaire

Angle aiguAngle de mesure comprise entre 0° et 90°.

Angle obtusAngle de mesure comprise entre 90° et 180°.

Cercle de centre O, de rayon rEnsemble des points M du plan tels que OM = r.

Disque de centre O, de rayon rEnsemble des points M du plan tels que OM # r.

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49

Deux égalités indispensables

58

1. Faire le lien entre les trois angles d’un triangle

Dans un triangle, la somme des angles, en degrés, est égale à 180° :

QA + QB + QC = 180°.

Activité 1

Cochez la case correspondant à la bonne réponse et justifi ez par un calcul.

1. Lorsque deux des angles d’un triangle mesurent 80°, le troisième mesure 20°. Vrai Faux, car 2 80 20 180# c c c+ = .

2. Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°. Vrai Faux, car 3 60 180# c c= .

3. Dans un triangle, les trois angles sont forcément aigus. Vrai Faux, car, par exemple, on peut avoir un angle de 100°,

un angle de 30° et un angle de 50° .

4. Dans un triangle isocèle, l’un des trois angles peut être obtus. Vrai Faux, car, par exemple, on peut avoir un angle de 120°

et deux angles de 30° .

2. Faire le lien entre le rayon et la longueur d’un cercle

La longueur , et le rayon r d’un cercle sont liés par l’égalité , r2= r .

, et r doivent être exprimés dans la même unité.

Activité 2

Un élève trace trois cercles, de rayons 2 cm, 3 cm et 4 cm.Il pose sur chaque cercle un bout de fi l souple, qu’il mesure ensuite pour obtenir une valeur approchée de sa longueur.

1. Il trouve 12,6 cm, 18,8 cm et 25,2 cm.

Calculez : 3,15 3,13 3,15,

;,

;,

2 212 6

2 318 8

2 425 2

# # #.= = .

2. a) Cochez la case correspondant à la bonne réponse.Si l’élève avait fait des mesures exactes, à quel nombre aurait été égal chaque quotient ? 2 3,14 4 r

b) Indiquez pourquoi, dans ce cas, la suite des longueurs des cercles est proportionnelle à celle de leurs rayons, en précisant le coefficient de proportionnalité :

Chaque longueur , est égale à 2rr, donc r

2= r et le coeffi cient de propor-

tionnalité est 2r.

A

CB

r

,

,

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50 CHAPITRE 4 • ANGLES, LONGUEURS, AIRES, VOLUMES 59

3. Comment calculer l’un des angles d’un triangle, connaissant les deux autres ?

1. Calculez l’angle HCA% .

2. Calculez l’angle ACB% .

Solution 1. On se place dans le triangle HCA.

Étape 1 On écrit l’égalité CAH CHAHCA ∞180+ + =% % %

.

Étape 2 On remplace les angles connus CAH% et CHA%

par leurs valeurs :

50 90HCA ∞180c c+ + =% .

Étape 3 On en déduit 180 90HCA ∞50c c= - -% , c’est-à-dire 40HCA c=

% .

2. On calcule 180 130CAB ∞50c c= - =% . Dans le triangle CAB :

Étape 1 On écrit l’égalité ACB CAB CBA 180c+ + =% % %

.

Étape 2 On remplace les angles connus CAB%

et CBA%

par leurs valeurs :

130 32 180ACB c c c+ + =% .

Étape 3 On en déduit 180 130 32ACB c c c= - -% , c’est-à-dire 18ACB c=

% .

4. Comment calculer le rayon d’un cercle, connaissant sa longueur ?

Méthode 2

Étape 1 Écrire l’égalité , r2= r et en déduire l’égalité r 2=r

.

Étape 2 Dans cette dernière égalité, remplacer , par sa valeur connue.

Étape 3 Effectuer le calcul du rayon r.

,

Calculez le rayon d’un cercle de longueur 1 m.Donnez sa valeur décimale arrondie à 0,001 m près.

Solution

Étape 1 On écrit l’égalité , r2, = r . On en déduit que 2

r = r, .

Étape 2 On remplace , par sa valeur connue : 21r =r

.

Étape 3 La calculatrice indique 21 0,159 1f=r

, donc, à 0,001 m

près, le cercle a pour rayon 0,159 m.

Méthode 1

Étape 1 Écrire que la somme des angles du triangle est égale à 180°.

Étape 2 Dans cette égalité, remplacer les deux angles connus par leurs valeurs.

Étape 3 En déduire l’angle inconnu.

A

CB

+ QBQA + QC = 180°

A50° 32°

B

C

H

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Aires : triangle, carré, rectangle, disque

1. Comparer des aires de fi gures connues

Aire d’un triangle

Aireb h

2#=

h

b

Aire d’un carré

Aire c 2= c

Aire d’un rectangle

Aire L #= , L

, Aire d’un disque

Aire r 2#= r

r

Pour chaque cas, toutes les dimensions doivent être exprimées dans la même unité.

Activité

Les trois fi gures suivantes ont le même périmètre : 6 cm.

Carré de côté 1,5 cm

Triangle équilatéral de côté 2 cm, de hauteur 3 cm

Disque de rayon 3

r cm

1. Cochez la case correspondant à votre réponse.

À première vue, quelle fi gure semble avoir l’aire la plus petite ? Carré (par exemple) Triangle Disque

la plus grande ? Carré Triangle Disque (par exemple)

2. a) Complétez.

Aire du carré : 1,5 2,252= cm2.

Aire du triangle : 2

2 3 1,73# . cm2 (arrondie à 0,01 cm2 près).

Aire du disque : 2,863

2

# .r rb l cm2 (arrondie à 0,01 cm2 près).

b) Cochez la case correspondant à la bonne réponse.Les aires trouvées en 2. a) confi rment-elles les réponses données à la question 1. ? Oui Non

3. On effectue une réduction de chacune des fi gures, en divisant par 2 les longueurs.

a) Cochez la case correspondant à la bonne réponse.L’aire d’une fi gure réduite est égale à l’aire de la fi gure de départ, divisée par : 2 3 4 b) Pour les carrés, justifi ez la réponse précédente avec un calcul.

Aire du carré réduit : ,

,,

21 5

0 562 54

2 252

= =c m .

c) Cochez la case correspondant à la bonne réponse.Si on réalisait un agrandissement de chacune des fi gures, en multipliant par 2 les longueurs, l’aire d’une fi gure agrandie serait égale à celle de la fi gure de départ, multipliée par : 2 3 4

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2. Comment calculer l’aire d’une surface en utilisant l’aire de fi gures connues ?

Un atelier de mécanique fabrique des plaques métalliques rectangulaires percées de quatre trous carrés de côté 5 mm et d’un trou circulaire de diamètre 16 mm.Chaque plaque a pour longueur 7 cm et pour largeur 3 cm.Calculez l’aire, en cm2, de la surface métallique. Donnez sa valeur arrondie à 0,01 cm2 près.

Solution

Étape 1 La plaque percée est obtenue à partir d’un rectangle, auquel on a enlevé quatre carrés identiques et un disque.On sait calculer les aires de toutes ces fi gures.

Étape 2 L’unité dans laquelle est demandée l’aire de la plaque percée est le cm2. Avant d’effectuer le calcul, on doit donc convertir en cm les dimensions données dans l’énoncé pour les trous carrés et le trou circulaire. On obtient :

Aire du rectangle de départ : 7 3 21# = cm2.

Aire d’un carré : 0,5 0,252= cm2. Aire des quatre carrés : 0,25 14 # = cm2.

Aire du disque : 2

1,6 2,012

# .r c m cm2.

Étape 3 Aire de la surface métallique : 21 1 0,8 17,992# .- - r cm2.

3. Comment calculer le rayon d’un disque, connaissant son aire ?

Calculez le rayon d’un disque d’aire 9 cm2. Donnez sa valeur arrondie à 0,01 cm près.

Solution

Étape 1 On écrit l’égalité Aire r 2= r . On en déduit que Airer 2 = r .

Étape 2 On remplace l’aire par sa valeur connue : 9r 2 = r .

Étape 3 La calculatrice indique 9 1,692f=r , donc, à 0,01 cm près, le disque

a pour rayon 1,69 cm.

Méthode 3

Étape 1 Décomposer la surface en fi gures dont on sait calculer les aires.

Étape 2 Calculer, avec la même unité, chacune des aires de ces fi gures.

Étape 3 En déduire l’aire cherchée.

Méthode 4

Étape 1 Écrire l’égalité Aire du disque r 2= r et en déduire l’égalité Aire du disquer 2 =

r.

Étape 2 Remplacer dans le quotient l’aire du disque par sa valeur connue.

Étape 3 Calculer la racine carrée du quotient.


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5362

Volumes : cube, parallélépipède rectangle

1. Comparer des volumes de solides connus

Volume d’un cube

Volume a 3=a

Volume d’un parallélépipède

rectangle

Volume a b c# #= a

b

c

Pour chaque cas, toutes les dimensions doivent être exprimées dans la même unité.

Activité

On lit sur un catalogue d’ameublement et de décoration :

Boîte de rangement L55 P35# , H27 cm.

Boîte pliable 37 37# , H37 cm.

1. Cochez la case correspondant à votre réponse.

a) À première vue, laquelle des deux boîtes semble avoir le volume le plus grand ? Boîte de rangement (par exemple) Boîte pliable

b) Laquelle des deux est un cube ? Boîte de rangement Boîte pliable

2. a) Complétez.

Volume de la boîte de rangement : 55 35 27 51 975# # = cm3.

Volume de la boîte pliable : 37 50 6533= cm3.

b) Cochez la case correspondant à la bonne réponse.

Les volumes trouvés à la question 2. a) confi rment-ils la réponse donnée à la question 1. a) ? Oui Non

3. On réalise une réduction de chacune des deux boîtes, en divisant par 2 les longueurs.

a) Cochez la case correspondant à la bonne réponse.Le volume d’une boîte réduite est égal à celui de la boîte de départ, divisé par : 2 4 8

b) Pour la boîte de rangement, justifi ez la réponse précédente avec un calcul.

Volume de la boîte réduite : 2

552

352

27 6 496,8758

51 975# # = = cm3.

c) Cochez la case correspondant à la bonne réponse.Si on réalisait un agrandissement de chacune des deux boîtes, en multipliant par 2 les longueurs, le volume d’une boîte agrandie serait égal à celui de la boîte de départ, multiplié par : 2 4 8

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2. Comment calculer une dimension d’un parallélépipède rectangle, connaissant les deux autres et son volume ?

Une cuve à fi oul a la forme d’un parallélépipède rectangle. Elle contient 5 400 L. Quelle est la profondeur de la cuve ?

Solution

Étape 1 La fi gure est fournie.Étape 2 Aire du rectangle supérieur, en m2 : 2,5 1,8 4,5# = .Étape 3 Le volume est exprimé en L et l’aire calculée est exprimée en m2.1 000 L correspondent à 1 m3, donc 5 400 L correspondent à 5,4 m3.

Étape 4 Profondeur de la cuve, en m : 4,55,4 1,2= .

3. Comment, à l’aide de la calculatrice, obtenir la longueur de l’arête d’un cube, connaissant son volume ?

Un cube a un volume de 4 096 cm3. Quelle est la longueur, en cm, de son arête ?

Solution

Étape 1 On entre 4 096.

Étape 2 On tape ^ _ 1 ' 3 i .Étape 3 On obtient la longueur, en cm, de l’arête : 16 cm.

Un cube a un volume de 1 200 cm3. Quelle est la longueur, en cm, de son arête ?Donnez sa valeur décimale arrondie à 0,1 cm près.

Solution

Étape 1 On entre 1 200.

Étape 2 On tape ^ _ 1 ' 3 i .Étape 3 On obtient la valeur décimale, arrondie à 0,1 cm près, de la longueur de l’arête : 10,6 cm.

Méthode 5

Étape 1 Si elle n’est pas fournie, faire une fi gure à main levée du parallélépipède rectangle et y porter les mesures connues.

Étape 2 Calculer l’aire du rectangle dont on connaît les dimensions.

Étape 3 Convertir le volume dans l’unité cohérente avec celle de l’aire calculée.

Étape 4 Diviser le volume par l’aire calculée.

2,5 m

1,8 m

Méthode 6

Étape 1 Entrer la valeur du volume.

Étape 2 Taper ^ _ 1 ' 3 i pour TI ou Casio.

Étape 3 Appuyer sur la touche ENTRÉE pour TI ou EXE pour Casio pour obtenir la longueur de l’arête.


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5565

1 QC = 180° - QA - QB = 130° .

2 Le triangle ABC est rectangle en A, donc QA = 90° .

QC = 180° - QA - QB = 72° .

3 Le triangle ABC est rectangle en B, donc QB = 90° .

QA = 180° - QB - QC = 61° .

4 ABC ABD 180c+ =% %

, donc

ABD 180 110 70c c c= - =%

.

Le triangle ABD est isocèle en A, donc ABD BDA 70c= =% %

.

BAD ABD BDA 180c+ + =% % %

d’où

BDA 180 70 70 40c c c c= - - =%

.

5 Soit , la longueur du cercle.

, , , m2 1 5 9 4# .= r .


, , , m2 0 75 4 7# .= r .


, cm2 100 628# .= r .


, , , cm2 0 7 4 40# .= r .

9 Soit r le rayon du cercle.

,r m22

0 32.=r

.


,r cm2

34054 11.=

r.


,r mm217

2 7.=r

.

12 5,7 m2 = 57 000 cm2 ; 8 mm2 = 0,08 cm2 ;

200 mm2 = 2 cm2 ; 0,234 dm2 = 23,4 cm2.

13 11 cm2 = 0,0011 m2 ; 9,4 dam2 = 940 m2 ;

0,35 hm2 = 3 500 m2 ; 0,15 dm2 = 0,001 5 m2.

14 L’aire de la fi gure est égale à la somme de l’aire du demi-

disque et de l’aire du triangle qui forment la fi gure, soit

,, cm

20 5

22 1

1 392

2# # .+r

.

15 L’aire de la feuille est 21 # 29,7 cm2, soit

623,7 cm2.

L’aire du carré est 52 cm2, soit 25 cm2.

L’aire du triangle rectangle est cm2

3 7 2# , soit

10,5 cm2.

L’aire du disque est r # 2,52 cm2, soit approximativement

19,63 cm2.

L’aire du reste de la feuille est égale à

, ,21 29 7 52

3 72 52 2# # #- - - r cm2,

soit approximativement 568,57 cm2.

16 1. Le disque de rayon 1,2 cm a pour aire r # 1,22 cm2,

soit approximativement 4,52 cm2.

Le disque de rayon 2,4 cm a pour aire r # 2,42 cm2, soit

approximativement 18,10 cm2.

2. a) Non.

b) Le rayon du second disque est le double du premier, donc

la première aire doit être multipliée par 22, c’est-à-dire

par 4.

17 1. , ,,A cm

24 3 5 6

12 04 2#= = .

2. a) Il faut multiplier l’aire A par 42, c’est-à-dire par 16,

pour obtenir l’aire du triangle agrandi.

b) L’aire du triangle agrandi est égale à 16 # 12,04 cm2,

soit 192,64 cm2.

18 1. A = 12 # 16,2 = 194,4 cm2.

2. a) Il faut diviser l’aire A par 32, c’est-à-dire par 9, pour

obtenir l’aire du rectangle réduit.

b) L’aire du rectangle réduit est égale à ,

9194 4

cm2, soit

21,6 cm2.

19 Soit r le rayon, en cm, cherché.

L’aire du disque, en cm2, est égale à rr2.

Donc raire 32 = =r r

et ,r cm3

0 98.=r

.

20 Soit , la largeur, en mm, cherchée.

L’aire du rectangle, en mm2, est égale à 52,.

D’où , mm52

1 82035= = .

21 Soit b la base, en cm, cherchée.

L’aire du triangle, en cm2, est égale à b

26

, soit 3b. D’où

b cm3

279= = .

22 1 m3 = 1 000 L, donc on peut remplir 1 000 bouteilles

de 1 L avec 1 m3 d’eau.

23 3,4 m3 = 3 400 000 cm3 ;

0,789 dm3 = 789 cm3 ; 2 L = 2 000 cm3 ;

17 mm3 = 0,017 cm3.

24 1 dm3 = 0,001 m3; 1 500 cL = 0,015 m3;

80,7 mm3 = 0,000 000 080 7 m3;

45 L = 0,045 m3.

25 1,53 m3 = 1 530 L ; 12,3 cm3 = 0,012 3 L ;

25,7 dm3 = 25,7 L ; 2 mm3 = 0,000 002 L.

26 485 mm3 = 0,048 5 cL ;

0,03 m3 = 3 000 cL ; 5 cm3 = 0,5 cL ;

1,4 dm3 = 140 cL.

27 1. Le volume du cube de côté 5 cm est 53 cm3, soit

125 cm3.

Le volume du cube de côté 15 cm est 153 cm3, soit

3 375 cm3.

2. a) Non.

b) Le côté du second cube est le triple du premier, donc le pre-

mier volume doit être multiplié par 33, c’est-à-dire par 27.

28 1. V = 7 # 8 # 4 = 224 m3.

2. a) Le volume V doit être multiplié par 23, soit par 8, pour

obtenir le volume du parallélépipède rectangle agrandi.

b) Le volume du parallélépipède rectangle agrandi est égal à

8 # 224 m3, soit 1 792 m3.

29 1. V = 12 # 32 # 25 = 9 600 cm3.

2. a) Le volume V doit être divisé par 23, soit par 8, pour

obtenir le volume du parallélépipède rectangle réduit.

b) Le volume du parallélépipède rectangle réduit est égal à

89 600

cm3, soit 1 200 cm3 ou 1,2 L.

30 On convertit en cm : 1 m = 100 cm et

0,4 m3 = 400 000 cm3.

Soit p la profondeur, en cm, du coff re.

Le volume du coff re, en cm3, est égal à 100 # 80 # p.

D’où, p8 000

400 00050= = cm.

31 Soit a la longueur, en cm, de l’arête du cube.

Le volume du cube, en cm3, est égal à a3.

D’où a3 = 343. Ainsi, a = 7 cm.

32 On convertit en cm3 :

2 m3 = 2 000 000 cm3.

Soit a la longueur, en cm, de l’arête du cube.

Le volume du cube, en cm3, est égal à a3.

D’où a3 = 2 000 000. Ainsi, a . 125,99 cm.

33 1. On décompose le trapèze ABCD en un triangle rectan-

gle AED de hauteur 2 cm et de base 1 cm et un carré EBCD

de côté 2 cm.A E B

CD

2. L’aire du trapèze ABCD est égale à la somme des aires du

triangle AED et du carré EBCD.

L’aire, en cm2, du trapèze ABCD est donc égale à

21 2

2 2# #+ , soit 5 cm2.

34 On convertit en m : 215 cm = 2,15 m ;

90 cm = 0,9 m ; 140 cm = 1,4 m ;

115 cm = 1,15 m ; 100 cm = 1 m et 80 cm = 0,8 m.

La superfi cie à repeindre est égale, en m2, à

, , , ,6 102

2 102 15 0 9 2 2 15 1 4# # # # #+ - -

,,

2 1 15 12

0 82

# # #- - r c m , soit approximativement

59 m2.

35 1. a) Soit , la largeur, L la longueur, h la hauteur, en m, et

S1

la superfi cie du bureau, en m2.

S1

= , # L = 9,1 m2.

b) Soit V1

le volume du bureau.

V1

= , # L # h = S1

# h = 22,75 m3.

2. a) Soit S2

la superfi cie, en m2, du nouveau bureau et V2

son volume, en m3.

, , , ,V V 2 6 22 75 2 6 25 352 1= + = + = m3.

,Sh

V10 14

22= = m2.

b) Soit L l la longueur, en m, du nouveau bureau.

S2

= Ll # , = Ll # 2,6 donc ,,

,L2 6

10 143 90= =l m.

36 On convertit : 60 L = 60 000 cm3.

Le volume du bac de trempage est égal à 80 # 50 # 25 cm3,

soit 100 000 cm3.

Le volume occupé par les 50 pièces est égal à 50 # 360 cm3,

soit 18 000 cm3.

Le volume occupé par le liquide et les 50 pièces est égal à

60 000 + 18 000 cm3, soit 78 000 cm3.© N

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5767

Le volume restant entre la surface du liquide et le haut du bac

est égal à 100 000 - 78 000 cm3, soit 22 000 cm3.

Soit h la hauteur, en cm, qui reste entre la surface du liquide

et le haut du bac.

Le volume, en cm3, restant entre la surface du liquide et le

haut du bac est égal à 80 # 50 # h.

D’où ,h80 5022 000

5 5#

= = cm.

37 a) ,r215

2 39.=r

cm.

b) L’aire de la partie orange est égale à la diff érence de l’aire

du carré et de l’aire du disque.

L’aire de la partie orange est r r22 2- r^ h cm2, soit environ

4,9 cm2.

38 1. a) Pour obtenir le volume de la grande boîte, il faut

multiplier le volume de la boîte par 1,53, soit par 3,375.

Pour obtenir le volume de la petite boîte, il faut diviser le

volume de la boîte par 3,375.

b) Le volume de la grande boîte est égal à 3,375 # 3 375 cm3,

soit 11 390,625 cm3.

Le volume de la petite boîte est égal à ,3 375

3 375 cm3, soit

1 000 cm3.

2. Soit a la longueur, en cm, des arêtes de la petite boîte.

a3 = 1 000, d’où a = 10 cm.

Soit b la longueur, en cm, des arêtes de la grande boîte.

b3 = 11 390,625, d’où b = 22,5 cm.

39 Le volume d’une pièce en acier est égal à la diff érence du

volume du cube de longueur d’arête 300 mm et du volume du

parallélépipède rectangle à base carrée de côté 200 mm.

Le volume d’une pièce en acier est égal à

3003 - 200 # 200 # 300 mm3, soit 15 000 000 mm3

ou encore 15 dm3.

La masse d’une pièce est égale à 8 # 15 kg, soit 120 kg.

Le quotient 120500

étant approximativement égal à 4,2 , le

nombre de pièces pouvant être transportées est égal à 4.

40 1. a) Sa largeur , , en cm, est égale à ,118 9

10 000, arrondie

à 84,1 cm.

b) La longueur d’une feuille de format A1 est égale à la lar-

geur d’une feuille de format A0, soit 84,1 cm.

2. a) L’aire d’une feuille A1 est la moitié de l’aire d’une feuille

A0, donc on divise par 2 l’aire d’une feuille A0 pour obtenir

celle d’une feuille A1.

b) L’aire étant divisée par 2, la longueur et la largeur d’une

feuille A0 sont divisées par 2 pour obtenir la longueur et

la largeur d’une feuille A1.

La longueur, en cm, d’une feuille A1 est ,

2

118 9, arrondie

à 84,1 cm.

La largeur, en cm, d’une feuille A1 est ,

2

84 1, arrondie

à 59,4 cm.

c) On vérifi e que les longueurs sont les mêmes.

3. a) On divise l’aire d’une feuille par 2 pour obtenir celle de

la suivante.

b) L’aire étant divisée par 2, la longueur et la largeur d’une

feuille sont divisées par 2 pour obtenir la longueur et la

largeur de la feuille suivante.

c) Pour obtenir longueur et largeur d’une feuille A4, il faut

diviser 4 fois par 2 la longueur et la largeur d’une feuille

A0.

Ce qui revient à diviser par 24

_ i , soit 4.

La longueur, en cm, d’une feuille A4 est donc 29,7 et la lar-

geur, en cm, est 21, après avoir arrondi.

58 CHAPITRE 4 • ANGLES, LONGUEURS, AIRES, VOLUMES

COMMEÀ L’ÉCRAN

58 CHAPITRE 4 • ANGLES, LONGUEURS, AIRES, VOLUMES

Longueurs, angles et aires

L’extrait d’écran ci-contre a été obtenu avec le logiciel GeoGebra.L’unité de longueur est le cm.

1. a) À quoi correspondent chacune des lettres a, b, c, d et r qui apparais-sent sur la fi gure à droite et sur le côté gauche de l’écran ?

a, b, c sont les longueurs des côtés

du triangle ABC. d est la hauteur

du triangle ABC et r le rayon du

cercle.

b) Avec les données fi gurant sur l’écran, justifi ez pourquoi le triangle ABC est isocèle.

c = b = 2, donc le triangle ABC est isocèle.

2. Dans la zone « Saisie », on a entré les formules permettant d’obtenir sur le côté gauche de l’écran les aires du disque et du triangle de la fi gure à droite.

a) En utilisant des lettres de l’écran, complétez chacune des égalités suivantes par la formule qui a été entrée :

AireDisque 1,1 2#=r ;

AireTriangle 2

2,4 1,6#= .

b) Dans quelle unité les deux aires précédentes sont-elles affi chées ?

L'unité de longueur est le cm, donc l'unité d'aire est le cm2.

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- L

a ph

otoc

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ÉvaluationNom

Prénom

Classe

Date

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Exercice 1 4 points

Le cercle � de centre O a pour rayon 1,5 cm.

1. Calculer la longueur, à 0,1 cm près, du cercle �.Elle est égale à 2r # 1,5 cm, soit approximativement

9,4 cm.

2. Calculer l’aire, à 0,01 cm2 près, du disque délimité par �.Elle est égale à r # 1,52 cm2, soit approximativement

7,07 cm2.

3. Calculer l’aire du triangle MNP.

L'aire du triangle MNP est égale à ,

23 1 5#

cm2, soit 2,25 cm2.

4. Calculer l’aire, à 0,01 cm2 près, de la partie colorée.L'aire de la partie colorée est égale à r # 1,52 - 2 # 2,25 cm2, soit approxi-

mativement 2,57 cm2.

Exercice 2 4 points

1. Calculer l’angle ADC% et l’angle BDA% , en degrés.

.

ADC DAC DCA180

180 40 30 110

c

c c c c

= - -

= - - =

% % %

BDA ADC180 180 110 70c c c c= - = - =% %

.

2. Calculer l’angle ABD% , en degrés.

BAD 90 40 50c c c= - =%

;

ABD BAD BDA180 180 50 70 60c c c c c= - - = - - =% % %

.

Exercice 3 3 points

Un récupérateur d’eau a la forme d’un parallélépipède rectangle. Ses dimensions sont portées sur la fi gure.

1. Calculer son volume en m3, puis en L.Son volume est égal à 1,2 # 0,9 # 1,8 m3, soit

1,944 m3 ou 1 944 L.

2. À quelle hauteur, au cm près, se trouve l’eau dans le récupérateur lorsqu’il contient 1 m3 d’eau ?Le volume d'eau est de 1 m3, donc la hauteur est égale à

, ,1 2 0 91

# m,

soit approximativement 0,93 m.

M

N

Q

�

PO

A

B

D

40° 30° C

180 cm

120 cm

90 cm

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CHAPITRE 4 • ANGLES, LONGUEURS, AIRES, VOLUMES60

Problème 9 points

L’unité de longueur est le cm, l’unité d’aire est le cm2, l’unité de volume est le cm3.La fi gure représente deux bidons en plastique, de forme parallélépipédique, avec ouverture circulaire.

50 cm

30 cm

20 cm

A B

CD

H

E

G

F

1. Les dimensions du grand bidon sont données sur la fi gure et l’ouverture a un diamètre de 10 cm.

a) Calculer le volume de ce bidon. Combien de litres contient-il ?

Le grand bidon a un volume égal à 30 # 20 # 50 cm3, soit 30 000 cm3.

Il contient 30 L puisque 1 L correspond à 1 000 cm3.

b) Calculer les aires des faces ABCD, ABFE et BCGF.

L'aire de la face ABCD est égale à 30 # 20 cm2, soit 600 cm2.

L'aire de la face ABFE est égale à 30 # 50 cm2, soit 1 500 cm2.

L'aire de la face BCGF est égale à 20 # 50 cm2, soit 1 000 cm2.

c) Calculer l’aire de l’ouverture circulaire, arrondie au cm2 près.

L'aire de l'ouverture circulaire est 2

102

#r b l cm2, soit approximativement

79 cm2.

d) Calculer l’aire de la surface de plastique, arrondie au cm2 près, qui constitue ce bidon.

L'aire de la surface plastique est égale à

600 1 500 1 0002

102

#+ + - r b l cm2, soit approximativement

3 021 cm2.

2. Le petit bidon est une réduction du grand bidon, obtenue en divisant les longueurs par 2. Utiliser certains résultats de la question 1. pour répondre aux questions suivantes.

a) Calculer le volume de ce bidon. Combien de litres contient-il ?

Le volume du petit bidon est égal au volume du grand bidon divisé par 23, c'est-

à-dire 8, soit 3 750 cm3. Il contient 3,750 L.

b) Calculer l’aire de la surface de plastique qui constitue ce bidon.

Elle est égale à l'aire de la surface du grand bidon divisée par 22, c'est-à-dire 4,

soit 755,25 cm2.

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Angles, longueurs, aires, volumes

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