Somme des angles 2

18
Somme des angles 1 Calcul de l'angle manquant Dans chaque cas, calcule la mesure de l'angle inconnu. La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°. F = 180 – (14 + 61) F = 180 – 75 = 105° I = 180 – (71 + 23) I = 180 – 94 = 86° E = 180 – (30 + 75) E = 180 – 105 = 75° A = 180 – (13,5 + 45,5) A = 180 – 59 = 121° 2 Calcul de l'angle manquant (bis) Dans chaque cas, calcule la mesure de l'angle demandé. Le triangle PIC est isocèle en I, donc I = P =75° et C = 180 – (2 × 75) = 180 150 = 30°. Le triangle GPS est isocèle en G, donc P = S = 180 55 2 = 125 2 = 62,5 ° . Le triangle EAU est rectangle en A donc ses aigles aigus sont complémentaires et E = 90 37 = 53° . 3 Sans figure ! a. PIF est un triangle tel que IFP = 44° et FPI = 40°. Calcule la mesure de PIF . La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°. PIF = 180 – (44 + 40) = 180 – 84 = 96° b. COL est un triangle tel que CLO = 5,5° et LCO = 160,5°. Calcule la mesure de COL . COL = 180 – (5,5 + 160,5) = 180 – 166 = 14° CHAPITRE G2 - TRIANGLES E F U ? 61° 14° K S I 71° 23° ? E B C 30° 75° ? P 45,5° 13,5° L A ? ? P I 75° C P S 55° G ? U A E 37° ? 121

Transcript of Somme des angles 2

Page 1: Somme des angles 2

Somme des angles

1 Calcul de l'angle manquant

Dans chaque cas, calcule la mesure de l'angleinconnu.

La somme des mesures des angles d'un triangleest égale à 180°.

F = 180 – (14 + 61) F = 180 – 75 = 105°

I = 180 – (71 + 23)I = 180 – 94 = 86°

E = 180 – (30 + 75) E = 180 – 105 = 75°

A = 180 – (13,5 + 45,5)A = 180 – 59 = 121°

2 Calcul de l'angle manquant (bis)

Dans chaque cas, calcule la mesure de l'angledemandé.

Le triangle PIC est isocèle en I, donc I = P =75°et C = 180 – (2 × 75) = 180 – 150 = 30°.

Le triangle GPS est isocèle en G, donc

P = S = 180 −552

= 1252

= 62,5° .

Le triangle EAU est rectangle en A donc sesaigles aigus sont complémentaires etE = 90 – 37 = 53°.

3 Sans figure !

a. PIF est un triangle tel que IFP = 44° etFPI = 40°. Calcule la mesure de PIF .

La somme des mesures des angles d'un triangleest égale à 180°.PIF = 180 – (44 + 40) = 180 – 84 = 96°

b. COL est un triangle tel que CLO = 5,5° etLCO = 160,5°. Calcule la mesure deCOL .

COL = 180 – (5,5 + 160,5) = 180 – 166 = 14°

CHAPITRE G2 - TRIANGLES

E

F

U

?

61°14°

K

S

I

71°

23°

?

E

B

C

30°

75°?

P

45,5°

13,5°

L A?

?

P

I

75°

C

P

S

55°

G

?

U

A

E

37° ?

121

Page 2: Somme des angles 2

4 Sans figure ! (bis)

Dans chaque cas, fais un schéma à main levéepuis calcule l'angleOUI .

a. OUI est rectangle en I etIOU = 58°.

Un triangle rectangle a sesangles aigus complémentaires.OUI = 90 – 58 = 32°

b. OUI est isocèle en I etIOU = 58°.

IOU =OUI = 58°car un triangle isocèle a ses angles à la base de la même mesure.

c. OUI est isocèle en O etIOU = 58°.

OUI = 180 − 582

= 1222

= 61°

5 Erreurs ?

Les triangles représentés ci-dessous à mainlevée existent-ils ? Justifie chacune de tesréponses par un calcul.

UVW existe car 93 + 48 + 39 = 180°.

ABC n'existe pas car 54 + 32 = 86° ≠ 90°.

RST existe car car 38 + 71 + 71 = 180°.

OPQ n'existe pas car 46 + 46 = 92° ≠ 90°.

LMN n'existe pas car 37,54 + 85,56 + 57,2= 180,3°.

DEF existe car 71,5 + 69,4 + 39,1= 180°.

6 À toi de choisir !

60° 50° 10° 40°

90° 80° 60° 80°

50° 60° 50° 10°

Choisis trois nombres du tableau correspondantaux mesures d'angles d'un triangle :

a. quelconque ;

La seule solution est 40° ; 60° ; 80°.

b. équilatéral ;

La seule solution est 60° ; 60° ; 60°.

c. non constructible ;

Il suffit de choisir trois valeurs au hasard dont lasomme ne soit pas égale à 180°.

d. isocèle non équilatéral.

La seule solution est 50° ; 50° ; 80°.

TRIANGLES - CHAPITRE G2

U

V W

93°

48° 39° AC

B

54°32°

R

ST

71°

38° 46°

O

P Q

L M

N

37,54°85,56°

57,2°

D

E F

39,1°69,4°

71,5°

122

OU

I

58°

O

U

I

58°

O

U

I

58°

Page 3: Somme des angles 2

7 Nature du triangle

Dans chacun des cas suivants, quelle est lanature du triangle ABC ? Justifie.

a. BAC = 28° etABC = 124°.

ACB = 180 − (28 + 124 ) = 180 − 152 = 28°ABC est donc un triangle isocèle.

b. BAC = 37° etABC = 53°.

ACB = 180 − (37 + 53 ) = 180 − 90 = 90°ABC est donc un triangle rectangle en C.

c. ACB = 60° et BA = BC.

Comme BA = BC, ABC est isocèle en B.AinsiBAC =ACB = 60°.EtACB = 180 − (60 + 60 ) = 180 − 120 = 60° aussi.Donc ABC est un triangle équilatéral.

8 Avec un tableur

On connaît les mesures de deux angles d'untriangle et on cherche la mesure du troisième àl'aide d'un tableur.

A B C

1 Valeur du premier angle 57 °

2 Valeur du deuxième angle 72 °

3

4 Valeur du trois ième angle

5 (calcul sans parenthèses)

6

7 Valeur du trois ième angle

8 (calcul avec des parenthèses)

a. Quelles formules faut-il écrire dans lescellules B4 et B7 du tableur ?

Dans la cellule B4, il faut écrire :=180−B1−B2.

Dans la cellule B7, il faut écrire :=180−(B1B2).

b. Dans un triangle KLM, on suppose queLMK = 57° et queKLM = 72°.

Rédige puis effectue le calcul de la mesure del'angleMKL , de deux façons différentes.

MKL = 180° − 57° − 72° = 123° − 72° = 51°ouMKL = 180° − (57° 72°) = 180° − 129°= 51°

c. Vérifie tes réponses ainsi que celles desexercices 1 et 3 à l'aide de ta feuille decalcul.

9 Triangle isocèle et tableur

On connaît la mesure de l'angle principal d'untriangle isocèle et on cherche les mesures desdeux autres angles à l'aide d'un tableur.

A B C

1 Pour un triangle isocèle :

2 Valeur de l'angle principal 66 °

3

4 Valeur des deux autres angles

a. Quelle formule faut-il écrire dans la celluleB4 du tableur ?

=(180−B2)/2

b. Dans un triangle RST isocèle en S, on saitqueRST = 48°. Rédige puis effectue les calculsdes mesures des anglesSRT etSTR.

SRT =STR = (180° − 48°) ÷ 2 = 132° ÷ 2SRT =STR = 66°

c. Vérifie à l'aide de ta feuille de calcul.

10 En plusieurs fois

Calcule, en justifiant, la mesure de l'angleABCsachant que les points A, D et B sont alignés.

La somme des mesures des angles d'un trianglevaut 180°.Dans le triangle DCA, on obtient :DCA = 180° − (85° 35°) = 180° − 120°DCA = 60°.

D'après le codage,BCD =DCA = 60°.

Les points A, D et B sont alignés donc les anglesBDC etADC sont supplémentaires.BDC = 180° − 85° = 95°.

La somme des mesures des angles d'un trianglevaut 180°.Dans le triangle BCD, on obtient :DBC = 180° − (60° 95°) = 180° − 155°DBC = 25°.

Les anglesDBC etABC sont les mêmes donc finalementABC = 25°.

CHAPITRE G2 - TRIANGLES

A

85°35°

C

D

B

123

Page 4: Somme des angles 2

11 Calculs, démonstration, construction

a. Sur la figure ci-dessus, réalisée à main levée,les points E, D et F sont alignés. En utilisant lesindications portées sur la figure, calcule lesmesures des anglesECD, EDC, CDF etDCF .

Le triangle ECD est isocèle en D donc les anglesà la base,DEC etECD , sont égaux :ECD =DEC = 36°.

La somme des mesures des angles d'un trianglevaut 180°. Dans le triangle ECD, on obtient : EDC = 180° − (36° 36°) = 180° − 72°EDC = 108°.

Les points E, D et F sont alignés donc les anglesEDC etCDF sont supplémentaires :CDF = 180° − 108° = 72°.

Le triangle ECF est isocèle en C donc les anglesà la base,CEF etEFC , sont égaux :CEF =EFC = 36°.

La somme des mesures des angles d'un trianglevaut 180°. Dans le triangle DCF, on obtient : DCF = 180° − (72° 36°) = 180° − 108°DCF = 72°.

b. Que peut-on dire du triangle CDF ? Justifie.

Les anglesCDF etDCF sont égaux donc letriangle CDF est isocèle en F.

c. Construis la figure lorsque CD = 5 cm.

Échelle 1/2

12 Vrai ou faux ?

En observant la figure ci-dessous, qui n'est pasen vraie grandeur, Aline affirme que les pointsD, E et A sont alignés.

Qu'en penses-tu ?

La somme des mesures des angles d'un trianglevaut 180°. Dans le triangle DCE, on obtient :DEC = 180° − (65,42° 30,2°)DEC = 180° − 95,62° = 84,38°.

Le triangle BEC est équilatéral donc :CEB = 60°.

La somme des mesures des angles d'un trianglevaut 180°. Dans le triangle BEA, on obtient :BEA = 180° − (90° 54,38°)BEA = 180° − 144,38° = 35,62°.

Les anglesDEC ,CEB etBEA sont adjacentsdonc :DEA =DEC CEB BEADEA = 84,38° 60° 35,62°DEA = 180°.

Finalement, Aline a raison, les points D, E et Asont alignés car l'angleDEA est plat.

TRIANGLES - CHAPITRE G2

C

E F36°

D

124

DE

C

F

A

C

D E

65,42°

30,2

°

54,38°

B

Page 5: Somme des angles 2

13 Calcul sans justification

À partir des données de la figure, calcule (sans justifier) la mesure de l'angleOEF .

OEF = 32°.

14 Avec des lettres

Dans chaque cas, exprime en fonction de x lamesure de l'angle ZIP .

a.

ZIP = 180° − 37° − xZIP = 143°− x

b.

ZIP = 180° − 2x

Inégalité triangulaire

15 Constructible ?

Explique pourquoi il est impossible de construirede tels triangles.

Comparons la plus grande longueur et lasomme des longueurs des deux autres côtés.

Comme BC = 6,5 et AB + BC = 3,1 + 3,1 = 6,2,on a BC > AB + BC. L'inégalité triangulairen'étant pas vérifiée, il est donc impossible deconstruire le triangle ABC.

Comme GE + EF = 6,8 + 4,7 = 11,5 etGF = 11,5, on a GF = GE + EF. Il est doncimpossible de construire le triangle GFE tel qu'ilest suggéré sur la figure, les points G, E et Fétant en fait alignés.

CHAPITRE G2 - TRIANGLES

40°

B

A

C

D

E

O

F

63°

54°48°

43°

?

I

Z Px 37°

I

Z

P

x

125

3,1 cm

6,5 cm

A

B C

4,7 cm

6,8 cm

11,5 cm

E

F

G

Page 6: Somme des angles 2

16 Constructible ? (bis)

Dans chacun des cas suivants, indique, sans leconstruire, si les trois segments donnés peuventêtre les côtés d'un même triangle.

a. En effectuant des calculs.

Comme 18 + 15 = 33, on a 24 < 18 + 15. Il estdonc possible de construire un triangle avec cessegments.

b. En mesurant et en effectuant les calculsnécessaires.

Comme 60 > 27 + 30, il n'est pas possible deconstruire un triangle avec ces trois segments.

c. À l'aide du compas et d'une demi-droite àtracer sur ton cahier.

À l'aide du compas, on compare la somme deslongueurs des deux premiers segments à lalongueur du troisième.

Cette somme étant supérieure, il est doncpossible de construire un triangle avec ces troissegments.

17 À toi de choisir ! (bis)

8 cm 5 cm 12 cm 2 cm

10 cm 12 cm 15 cm 10 cm

9 cm 3 cm 5 cm 7 cm

Choisis trois nombres du tableau correspondantaux longueurs des côtés d'un triangle :

a. non constructible ;

5 cm, 12 cm, 3 cm5 + 3 = 8 < 12Le triangle n'est pas constructible.

b. Isocèle ;

5 cm, 5 cm, 8 cm5 + 5 = 10 > 8Le triangle est isocèle et constructible.

c. Quelconque ;

8 cm, 5 cm, 10 cm8 + 5 = 13 > 10Le triangle est constructible.

d. de périmètre 13 cm.

5 cm, 5 cm, 3 cm5 + 3 = 8 > 5Le triangle est isocèle et constructible

18 Comment est-ce possible ?

Les trois côtés d'un triangle YHU ont pourmesure un nombre entier d'unités de longueur.Dans chaque cas, indique les valeurs minimaleet maximale possibles pour YH lorsque :

a. UH = 6 et UY = 6 ;

UH + UY = 6 + 6 = 12 donc YH < 12 pour quele triangle soit constructible. YH peut prendretoutes les valeurs entières de 1 à 11.

b. UH = 12 et UY = 3.

Si YH < 12 alors il faut que YH + 3 > 12 doncYH > 9.Si YH ≥ 12 alors il faut que 3 + 12 = 15 > YH.YH peut prendre toutes les valeurs entières de10 à 14.

TRIANGLES - CHAPITRE G2

18 mm 15 mm24 mm

126

Page 7: Somme des angles 2

19 Cas particuliers

On considère trois points B, U et S.

a. On suppose que BU = 7, US = 16 et SB = 9.Les points B, U et S sont-ils alignés ? Si oui, dans quel ordre ?

BU + SB = 16 donc BU + SB = US.Les points B, U et S sont alignés et B ∈ [US].

b. À présent, on suppose que BU = 5, US = 13et SB = 7. Les points B, U et S sont-ils alignés ? Si non, quelle longueur dois-tu modifier pourque B appartienne au segment [US] ?

BU + SB = 5 + 7 = 12 < USLe triangle n'est pas constructible.Pour que les points soient alignés avec B ∈ [US],il faut que BU + SB = US.On peut prendre BU = 6 ou SB = 8 ou US = 12.

20 Quelle étourdie !

Marie a recopié l'exercice de mathématiques àfaire pour demain. En voici l'énoncé :

« ABCD est un quadrilatère tel que :AB = 3 cm ; BC = 5 cm ; AC = 7 cm ;

CD = 3 cm et BD = 1 cm. ».

Après plusieurs essais sans succès, Marieréalise qu'une des longueurs est fausse.Laquelle ? Modifie-la pour qu'il soit possible deplacer les quatre points.

Dans le triangle BCD, Le plus grand côté est BCet BD + DC = 1 cm + 3 cm = 4 cm < BC doncce triangle n'est pas constructible. Il fautmodifier BD en lui donnant une valeursupérieure à 2 cm, par exemple : 4 cm.

CHAPITRE G2 - TRIANGLES

A B

C

D

3

5

3

7

1

Page 8: Somme des angles 2

21 Réfléchir puis construire

Soit un segment [AB] mesurant 7 cm. Construissur la même figure, lorsque cela est possible,des points M, N, P, Q, R et S du même côté de(AB), vérifiant les conditions ci-dessous. Dansles cas où les points sont alignés, tu préciserasla position relative des trois points.

a. AM = 6 cm et BM = 4,5 cm.

b. AN = 4,8 cm et BN = 2,2 cm.

c. AP = 5 cm et BP = 12 cm.

d. AQ = 3,1 cm et BQ = 3 cm.

e. AR = 6,5 cm et BR = 2,4 cm.

f. AS = 11 cm et BS = 4 cm.

Échelle 1/2

AN + BN = 4,8 + 2,2 = 7 cm = AB, N ∈ [AB].

AP + AB = 5 + 7 = 12 cm = BP, A ∈ [PB].

AB + BS = 7 + 4 = 11 cm = AS, B ∈ [AS].

22 Connaissant le périmètre

Le périmètre d'un triangle est 18 cm.Ce triangle peut-il avoir un côté ...

a. de 7 cm ? Justifie.

La somme des deux autres côtés est :18 − 7 = 11. Or 11 > 7, c'est donc possible.

b. de 6,4 cm ? Justifie.

La somme des deux autres côtés est :18 − 6,4 = 11,6. Or 11,6 > 6,4, c'est possible.

c. de 10,5 cm ? Justifie.

La somme des deux autres côtés est :18 − 10,5 = 7,5. Or 7,5 < 10,5, ce n'est paspossible.

d. de 9 cm ? Justifie.

La somme des deux autres côtés est :18 − 9 = 9. Les points sont alignés.

Constructions

23 Faire un schéma

Dans chaque cas, replace les informations surune figure à main levée.

a. Le triangle SUR tel que :SU = 4,5 cm,USR = 60° etRUS = 40°.

b. Le triangle QTD tel que :QT = 1 dm, TD = 7 cm etQTD = 110°.

c. Le triangle MFV tel que : MF = 9 cm, FV = 12 cm et MV = 6 cm.

TRIANGLES - CHAPITRE G2

A B

M

NP

R

S

T

Q

D 110°

1 dm=

10 cm

7 cm

V

M

F

6 cm

12 cm

9 cm

S

R

U60° 40°

4,5 cm

Page 9: Somme des angles 2

24 Faire un schéma (bis)

Dans chaque cas, dessine une figure à mainlevée (code les longueurs et les angles).

a. Le triangle POLisocèle en P tel que :PO = 14 cm etLO = 5 cm.

b. Le triangle DYSisocèle en Y tel que :DS = 7,2 cm etDYS = 95°.

c. Le triangle GEHisocèle en G tel que :EG = 4,8 cm et GEH = 57,2°.

d. Le triangle MERéquilatéral tel que :ME = 5 cm.

e. Le triangle FACrectangle en C telque :CA = 6,5 cm etAFC = 50°.

f. Le triangle BUTrectangle isocèle en Utel que : BU = 3,8 cm.

25 Construire à partir d'un schéma

Reproduis, en vraie grandeur, les trianglessuivants.

CHAPITRE G2 - TRIANGLES

U

A

E

4,5

cm

5,5 cm

5 cm

CO

Q

5,8

cm

105°

20°

V

N

I

7 cm 6 cm

75°

S

Y

D

95°7,2 cm

G

E H

4,8 cm

57,2°

M

E R

5 cm

F

C A6,5 cm

50°

B

U T

3,8 cm

Q

OC

P

O L

14 cm

5 cmA

E

U

I

N

V

Page 10: Somme des angles 2

26 Un schéma pour une figure

Après avoir tracé une figure à main levée,construis en vraie grandeur les trianglessuivants.

a. Le triangle GHI tel que : GH = 8 cm, HI = 5 cm et GI = 6 cm.

b. Le triangle MNO tel que : MN = 4,5 cm, MO = 7 cm etNMO = 48°.

c. Le triangle DEF tel que :FDE = 45°, DE = 8 cm etFED = 28°.

d. Le triangle ABC tel que :AB = 4 cm, AC = 6,7 cm etBAC = 132°.

27 Reporter pour reproduire

Reproduis les triangles suivants en utilisantuniquement une règle non graduée et uncompas.

TRIANGLES - CHAPITRE G2

G

H

I

K

LM

B

C

D

H

I

G

5 cm

8 cm

6 cm

H

I

G

M

N

O 48°

4,5

cm

7 cm

D

F

E45° 28°

8 cm

M

N

O

D E

F

A

B

C

A

B

C

132°

4 cm

6,7 cm

Page 11: Somme des angles 2

28 Construire à partir d'un schéma (bis)

Reproduis en vraie grandeur les trianglessuivants.

29 Un schéma pour une figure (bis)

Trace une figure à main levée puis construis, envraie grandeur, les triangles suivants :

a. Le triangle VUZ isocèle en U tel que :VU = 6,5 cm et VZ = 4,5 cm.

b. Le triangle KGB équilatéral tel que :KG = 6 cm.

c. Le triangle CIA rectangle en C tel que :CIA = 37° et CI = 5,5 cm.

CHAPITRE G2 - TRIANGLES

L

U

I

7 cm

35°

MO

I

5 cm

8 cm

U

X

E

6 cm

58°

L

U

I

X U

E

U

V Z4,5 cm

U

VZ

K

G B

6 cm

G

K

B

I

C A

5,5

cm 37°

O

I

M

6,5

cm

I

C A

Page 12: Somme des angles 2

d. Le triangle RTL isocèle en T tel que :RT = 8 cm etTRL = 48°.

30 Calculer pour construire

Après avoir effectué les calculs nécessaires,trace chacun des triangles suivants en vraiegrandeur.

a. Le triangle EFG tel que :EF = 7,5 cm,EFG = 49° etEGF = 72°.

La somme des mesures des angles d'un trianglevaut 180° :FEG = 180° − (49° 72°) = 180° − 121°= 59°

b. Le triangle PLM équilatéral de périmètre15 cm.

Un triangle équilatéral a ses trois côtés demême longueur : 15 ÷ 3 = 5 cm. Les côtés dutriangle mesure 5 cm.

TRIANGLES - CHAPITRE G2

T

R

L

8 cm

L

T

R

E

7,5

cm

F G49° 72°

E

FG

48°

L

P

M

Page 13: Somme des angles 2

c. Le triangle RST isocèle en S de périmètre13 cm et tel que ST = 4 cm.

RST est isocèle en S donc SR = ST = 4 cm.

Le périmètre de RST vaut 13 cm : RT = 13 − 2 × 4 = 13 − 8 = 5 cm.

d. Le triangle AYB isocèle et rectangle en Y telque BA = 7 cm.

La somme des mesures des angles d'un trianglevaut 180° : YAB YBA = 180° − 90° = 90°.

Les angles à la base d'un triangle isocèle sontde même mesure :YAB =YBA = 90° ÷ 2 = 45°.

e. Le triangle OCI isocèle en I tel que :CO = 4,5 cm etCIO = 30°.

La somme des mesures des angles d'un trianglevaut 180° : COI ICO = 180° − 30° = 150°.

Les angles à la base d'un triangle isocèle sontde même mesure :COI = ICO = 150° ÷ 2 = 75°.

31 Construire puis décrire

a. Sur ton cahier, reproduis en vraie grandeurla figure suivante.

b. Écris le programme de construction.

Construis un triangle SRT isocèle en S tel queST = 7 cm etRST = 70°.Construis à l'extérieur de RST le triangleéquilatéral URT.Construis le triangle VST rectangle en S tel queVS = 7cm du même côté de [ST] que le triangleRST.

Cercle circonscrit

32 Longueurs égales

Sur la figure à main levée ci-dessus, F est lemilieu de [RA] et les points E, F, G et H sontalignés. Écris, en justifiant, toutes les égalitésde longueurs sur cette figure.

La droite (EF) coupe perpendiculairement lesegment [RA] en passant par son milieu F donc(EF) est la médiatrice du segment [RA].Or les points de la médiatrice d'un segmentsont équidistants des extrémités de cesegment, donc :FR = FA ; GR = GA ; HR = HA ; ER = EA.

CHAPITRE G2 - TRIANGLES

7 cm

70°

RV U

TS

A

RF

G

H

E

A

B

Y

C

O

I

R

S

T

Page 14: Somme des angles 2

33 Tracés de médiatrices d'un triangle

a. Construis un triangle CJR.

b. Trace en rouge la médiatrice de [JR] à l'aidedu compas.

c. Trace en noir la médiatrice de [CJ] avec larègle graduée et l'équerre.

d. Construis la médiatrice (d) de [CR] avecseulement une équerre non graduée. Expliqueta réponse.

Les trois médiatrices d'un triangle sontconcourantes au point O, le centre du cerclecirconscrit au triangle CJR.Pour tracer la médiatrice (d) avec une équerrenon graduée, il suffit de tracer la droiteperpendiculaire à (CR) passant par O.

e. Comment construire (d) avec uniquementune règle graduée ? Explique ta réponse.

Pour construire la médiatrice (d) avecuniquement une règle graduée, il suffit detracer la droite passant par O et le milieu dusegment [CR].

34 Médiatrice et équidistance

[AB] est une corde d'un cercle de centre O.

Démontre que la médiatrice du segment [AB]passe par le point O.

A et B sont deux points du cercle de centre O,ils sont donc équidistants du centre O.Or, si un point est équidistant des extrémitésd'un segment alors il est sur la médiatrice de cesegment.O est donc un point de la médiatrice de [AB].

35 Cercles circonscrits

a. LS = 8 cm,YLS = 65° etYSL = 45°.

TRIANGLES - CHAPITRE G2

C

J

R

(d)

O

O

A

B

L S

Y

O

Page 15: Somme des angles 2

b. LS = 4 cm, LY = 5 cm etYLS = 103°.

c. LYS est isocèle en L tel que LY = 8 cm etYS = 5,5 cm.

d. LYS est un triangle équilatéral de côté 6 cm.

CHAPITRE G2 - TRIANGLES

L S

Y

O

L

S

Y

L

Y

S

Page 16: Somme des angles 2

36 Sois malin !

a. Construis un triangle MEC tel que son cerclecirconscrit ait un rayon de 5 cm.

Il suffit de construire un cercle de 5 cm de rayonet d'y inscrire un triangle quelconque que l'onnomme MEC.

b. Construis un triangle RNB isocèle en B avecBN = 4 cm tel que son cercle circonscrit ait unrayon de 5 cm.

37 Avec TracenPoche

a. Construis un triangle NRV, puis construis lesmédiatrices et le cercle circonscrit à ce triangle.Tu nommeras O le centre de ce cercle.

b. À quelle condition le point O se trouve-t-il àl'intérieur du triangle ? À l'extérieur dutriangle ?

Le point O est à l'intérieur du triangle lorsquetous les angles du triangle sont aigus.Le point O est à l'extérieur du triangle lorsque letriangle possède un angle obtus.

c. Est-il possible que O appartienne à l'un descôtés du triangle ? Si oui, à quelle condition ?

Le point O est sur l'un des côtés lorsque letriangle est rectangle. Il est alors au milieu del'hypoténuse.

Droites remarquables

38 Vocabulaire

a. Construis un triangle BOA. Trace la droite (d1)perpendiculaire à [BO] et passant par A.

b. Trace la droite (d2) perpendiculaire ausegment [OA] et passant par son milieu.

c. Trace la droite (d3) qui coupe l'angleBOA endeux angles égaux.

d. Trace la droite (d4) qui passe par O et par lemilieu de [BA].

e. Reformule les questions précédentes enutilisant les mots : médiatrice, bissectrice,médiane et hauteur.

Construis un triangle BOA.Trace la hauteur (d1) relative à [OB] (ou issue deA).Trace la médiatrice (d2) de [OA].Trace la bissectrice (d3) de l'angleBOA .Trace la médiane (d4) relative à [AB] (ou issuede O).

TRIANGLES - CHAPITRE G2

BR

N

O

B

A

(d1)

(d2)

(d3) (d4)

Page 17: Somme des angles 2

39 Tracés à main levée et codages

a. Construis un triangle TOC à la règle.

b. À main levée, trace puis code :

• en bleu, la médiatrice de [TO] ;

• en noir, la médiane relative à [OC] ;

• en rouge, la hauteur issue de O.

40 Médiane (« relative à » ou « issue de »)

a. Avec TracenPoche, construis un triangle TEPpuis trace :

• la médiane issue de E ;

• la médiane relative au côté [EP] ;

• la médiane issue de P.

b. Observe la figure et déplace les points T, E etP. Que remarques-tu ?

Les trois médianes sont concourantes.

41 Identification

Dans chaque cas, décris précisément la droite(d) en utilisant les mots : médiatrice,bissectrice, médiane et hauteur.

a.

(d) est la médiatrice de [QC].

b.

(d) est la hauteur issue de T (ou relative à [AK]).

c.

(d) est la hauteur issue de T (ou relative à [NR]).

d.

(d) est la bissectrice de l'anglePSG

e.

(d) est la médiane issue de B (ou relative à [OD]).

f.

(d) est un axe de symétrie du triangle FEH, le triangle FEH est isocèle en E.

(d) est donc la médiatrice de [FH], la médiane ou la hauteur issue de E (ou relative à [FH]), la bissectrice de l'angleFEH .

CHAPITRE G2 - TRIANGLES

(d)

Q C

M

A

T

K

(d)

(d)

N

R

T

(d)

P

S

G

E

F H

(d)D

B

O

(d)

O

T

C

Page 18: Somme des angles 2

42 Prenons de la hauteur !

a. Construis un triangle DER ayant tous sesangles aigus, puis les hauteurs de ce triangle.

b. Construis un triangle NRV tel queNRV soit unangle obtus puis les hauteurs de ce triangle.

c. Construis un triangle GHT rectangle en T puisles hauteurs de ce triangle.

d. Observe les trois figures. Que remarques-tu ?

On appelle orthocentre le point de concours deshauteurs.L'orthocentre est à l'intérieur du trianglelorsqu'il n'y a pas d'angle obtus. L'orthocentre est à l'extérieur de la figurelorsque le triangle a un angle obtus.L'orthocentre est confondu avec le sommet del'angle droit lorsque le triangle est rectangle.

TRIANGLES - CHAPITRE G2

E

DR

H

N

RV

H

T

GH