Analyse numérique 1a

Universite catholique de Louvain

Analyse numrique 1a eApproximation, interpolation, intgration. eMATH2171 2005-2006

Alphonse Magnus, Institut de Mathmatique Pure et Applique, e e Universit Catholique de Louvain, e Chemin du Cyclotron,2, B-1348 Louvain-la-Neuve (Belgium) (0)(10)473157 , [email protected] , http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/

Je suis fatigu des chires e mais amoureux de leur monde truqu e John Maeda

MATH2171 2005-06 0 Table

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Table des mati`res. ePrface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ....................................................................................... 7 8

Analyse numrique et thorie de lapproximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 e e 1. Quest ce que lanalyse numrique? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 e 1.1. Analyse numrique et analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 e 1.2. Analyse numrique et calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 e 2. Thorie de lapproximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 e 2.1. Les trois niveaux dune thorie de lapproximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 e 3. Quelques approximations de fonctions utilises dans les calculatrices et les ordinateurs e 13 3.1. Calculatrices scientiques: le syst`me CORDIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 e 3.2. Approximations polynomiales et rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3. AGM, etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4. Approximations et nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.5. Approximations les plus simples: bien commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CHAPITRE 1. Thor`mes gnraux dexistence et dunicit de meilleure approximation. e e e e e 18 1. Distances et normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2. Exercices et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Exemples, exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6. Exercices, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7. Formes et applications linaires continues sur des espaces vectoriels norms de fonctions e e 20 2. Existence dune meilleure approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1. Thor`me dexistence de meilleure approximation dans un sous-espace de dimension nie e e 21 2.2. Contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Unicit de la meilleure approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 e 3.1. Dnition. Convexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 e e 3.2. Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3. Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e 3.4. Une condition susante dunicit. Thor`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e e e

MATH2171 2005-06 0 Table 3.5. Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Continuit du projecteur de meilleure approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.1. Thor`me de continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 4.2. Forte unicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5. Dualit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6. Exemples et exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. .............................................................................. 6.2. Moyenne et mdiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.3. Principaux sous-espaces de fonctions utiliss en approximation . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.4. Centre et rayon de Tchebyche dune partie P de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Largeurs de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Coapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 23 23 23 24 24 24 24 25 25 26 26 26

CHAPITRE 2. Approximation au sens de Tchebyche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1. Thor`me dquioscillation de Tchebyche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 e e e 1.1. Thor`me dquioscillation de Tchebyche (1853) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 e e e 1.2. Preuve de la condition ncessaire: p optimal dans Pn (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 e 1.3. Preuve de la condition susante (3) p optimal dans Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5. Thor`me dunicit de la meilleure approximation polynomiale au sens de Tchebyche e e e 29 2. Proprits de la meilleure approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ee 2.1. Symtrie. Thor`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 e e e 2.2. Thor`me (de La Valle Poussin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 e e e 2.3. Unicit forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 e 2.4. Signes alterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 e 2.5. Algorithme dchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 e 2.6. Meilleure approximation au sens sur un compact quelconque . . . . . . . . . . . . . 33 3. Polynmes de Tchebyche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 o 3.1. Meilleure approximation dun polynme de degr n dans Pn1 . . . . . . . . . . . . . . . . 34 o e 3.2. Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 e 3.3. Premi`res proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 e ee 3.4. Premiers chantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 e 3.5. Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.6. Relation de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 e 3.7. Polynme de moindre norme sur un intervalle, sous contrainte p(0) = 1 . . . . . . . . 39 o 3.8. Meilleure approximation dun polynme de degr n dans Pn2 . . . . . . . . . . . . . . . . 39 o e 3.9. Meilleure approximation de fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.10. Fonctions rationnelles de moindre et plus grande dviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 e 3.11. Proprits extrmales des polynmes de Tchebyche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ee e o 3.12. Autres proprits des Tn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ee 3.13. Equation direntielle linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 e e 3.14. Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.15. Polynmes de Tchebyche et probl`mes de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 o e 3.16. Coecients, drives et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 e e Tn (x) 3.17. Primitives itres de ee et formule de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1 x2

MATH2171 2005-06 0 Table

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3.18. Orthogonalit et base duale de PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 e 4. Bonne approximation; sries de polynmes de Tchebyche, relation avec sries de Fourier. e o e 53 4.1. Cascade de meilleures approximations et dveloppements dans la base des polynmes de Tcheb e o 53 4.2. Srie de Fourier dune fonction continue priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 e e 4.3. Sries de polynmes de Tchebyche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 e o 4.4. Vitesse de dcroissance des coecients et bornes de norme de fonction derreur 58 e 4.5. Thor`me de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 e e 4.6. Calcul des coecients de Tchebyche et autres algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.7. Algorithmes en reprsentation de Tchebyche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 e 5. Approximation par fonction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6. Lecture. Tchebyche et de La Valle Poussin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 e

CHAPITRE 3. Approximation en moyenne quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1. Produit scalaire, orthogonalit, espace prhilbertien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 e e 1.1. Produits scalaires sur Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.2. Espace prhilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 e 2. Meilleure approximation dans un espace prhilbertien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 e 2.1. Base dun espace de dimension nie, matrice de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.2. Meilleure approximation = projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.3. Mthode dorthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 e 2.4. Hauteurs, volumes et dterminants de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 e 2.5. Factorisation de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3. Polynmes orthogonaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 o 3.1. Construction dune base orthogonale de Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2. Relation de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 e 3.3. Quelques algorithmes utilisant la rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 e 3.4. Zros des polynmes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 e o 3.5. Zros de polynmes orthogonaux et valeurs propres de matrices tridiagonales symtriques e o e 91 3.6. Formules dintgration de Gauss. Premi`re approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 e e 3.7. Formule dintgration de Gauss et fractions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 e 3.8. Formule de Christoel-Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.9. Orthogonalit et oprateurs (formellement) hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 e e 3.10. Polynmes orthogonaux classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 o e 3.11. Orthogonalit et drives n`mes : formule de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 e e e 3.12. Usages et varits de polynmes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 ee o 3.13. Harmoniques sphriques et fonctions de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 e 3.14. Polynmes dHermite et mcanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 o e 3.15. Orthogonalit et quioscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 e e 3.16. Noyaux reproduisants, polynmes noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 o 4. Moindres carrs, rgression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 e e 5. Approximation en norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 1. 6. Sries de Fourier en analyse numrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 e e 6.1. Comportement des coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.2. Transforme de Fourier discr`te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 e e

MATH2171 2005-06 0 Table

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6.3. Tranforme de Fourier rapide (Fast Fourier Transform FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 e 6.4. Analyse en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7. Convergence, espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.1. Suites totales et maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.2. Thor`me. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 e e 7.3. Exemples de suites totales dans C [a, b] et L2 ([a, b], ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.4. Thor`me dapproximation de Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 e e 7.5. Thor`me de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 e e 7.6. Intervalles non borns, probl`me des moments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 e e 7.7. Arcs de Bzier en typographie informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 e CHAPITRE 4. Interpolation et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 1. Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 1.1. Interpolation polynomiale classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 1.2. Interpolation: cadre gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 e e 1.3. Interpolation polynomiale classique en formulation de Newton, dirences divises. e e 145 1.4. Extrapolation a la limite de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 ` 1.5. Formulation de Newton en gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 e e 1.6. Dirences divises et drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 e e e e 1.7. Reste de linterpolation polynomiale classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 1.8. Interpolation dHermite-Fejr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 e 2. Formules dintgration bases sur linterpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 e e 2.1. Reste de la formule de quadrature de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 2.2. Formules de quadratures de Gauss avec points imposs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 e 2.3. Points de Tchebyche: r`gle de Clenshaw-Curtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 e 2.4. R`gles adaptatives dintgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 e e 3. Reprsentation du reste: thor`me de Peano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 e e e 3.1. Thor`me (Peano) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 e e CHAPITRE 5. Dirences nies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 e 1. Les oprateurs du calcul aux dirences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 e e 2. Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 3. Drivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 e 4. Intgration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 e 4.1. Formules de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5. Noyaux de Peano de r`gles dintgration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 e e 5.1. Formule du trap`ze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 e 5.2. Formule de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.3. Noyaux de Peano de formules composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 e 5.4. La formule de Simpson avant Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6. Formule dEuler-Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.1. Identits des nombres et polynmes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 e o 6.2. Schma dintgration de Romberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 e e 6.3. Formule dEuler-Maclaurin en tant que formule sommatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 CHAPITRE 6. Rcapitulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 e

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CHAPITRE 7. Appendices: alphabets grec, cyrillique, petit dico, index. . . . . . . . . . . . . . 181 1. Alphabets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 2. Petit dico mathematical English franais mathmatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 c e Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

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Prface. eLanalyse numrique a longtemps t incorpore au cours danalyse gnrale, dont elle e ee e e e reprsentait le versant appliqu et constructif. e e Le fort dveloppement des moyens de calcul automatique a rendu ncessaire lapparition e e dun enseignement spcique. La discipline put se dvelopper sous limpulsion de mathmaticiens e e e aviss, tels P. Henrici [Hen] et E. Stiefel [Sti]. e Le prsent cours fut cre par Jean Meinguet, Professeur a lUniversit. On troue e ` e vera ici lessentiel de la partie approximation, interpolation, intgration de son enseignee ment. Dautres cours reprennent les th`mes de rsolution numriques des quations (y come e e e pris direntielles et fonctionnelles), dalg`bre linaire numrique (thorie des matrices) et e e e e e dalgorithmique numrique: e ECTS MATH 2171 Analyse numrique I a : e [22,5-30] 4 A. Magnus approximation, interpolation, intgration e MATH 2172 Analyse numrique Ib : e [22,5-30] 4 P. Van Dooren rsolution numrique des quations e e e MATH 2180 Analyse numrique II e [45-0] Q1+Q2 4.5 A. Magnus INMA 2380 Thorie des matrices e [30-22,5] Q2 5 P. Van Dooren MATH 2830 Sminaire danalyse numrique e e [30] Q1 2 Y. Genin, A. Magnus, P. Van Dooren INMA 2111 Analyse de complexit dalgorithmes e [30-15] Q2 4 V. Blondel, E. Huens (Bisannuel) INMA 2710 Algorithmique numrique e [30-15] Q1 4 P. Van Dooren Le Professeur Meinguet est galement a lorigine de lenseignement de la programmation e ` et de linformatique dans notre universit, mais cela est une autre histoire. . . e Les grands principes de la thorie de lapproximation sont dabord dduits de concepts e e danalyse fonctionnelle (chap. 1). Ces rsultats sont alors appliqus a des situations plus e e ` concr`tes: on examine en dtail lapproximation par des polynmes et par des polynmes e e o o trigonomtriques, selon la norme du maximum (chap. 2) et en moyenne quadratique (chap. 3). e Avec linterpolation (chap. 4) et le calcul aux dirences nies (chap. 5), on dispose des e outils permettant de traiter tous les probl`mes de lanalyse numrique classique, en particulier e e lintgration numrique. e e

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Quelques ouvrages frquemment cits ici (par une mention du type [xxx]), normalement disponibles en e e biblioth`ques de MATH, PHYS et BSE: e [Abr] M. Abramowitz, I.A. Stegun, ed., Handbook of Mathematical Functions, Nat. Bureau of Standards, Washington, 1964 = Dover, New York, 1965 etc. http://members.fortunecity.com/aands/, http://www.convertit.com/Go/ConvertIt/Reference/AMS55.ASP [Ach] N.I. Achieser, Theory of Approximation, F. Ungar, 1956 =Dover, 1992. [Atk] K. Atkinson, W. Han, Theoretical Numerical Analysis, A Functional Analysis Framework, Springer texts in Applied Mathematics 39, Springer 2001; Elementary Numerical Analysis, 3rd edition, John Wiley, 2003. Notes et programmes dans http://www.math.uiowa.edu/~atkinson/ [Che] E.W. Cheney, Introduction to Approximation Theory, McGraw-Hill, 1966. [CheK] E.W. Cheney, D. Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Brooks/Cole, 4th ed., 1999. [CheL] E.W. Cheney, W. Light, A Course in Approximation Theory, Brooks/Cole, 1999. [Chi] T.S. Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon & Breach, New York, 1978. [Clen] C.W. Clenshaw, Math. Tables 5 Chebyshev Series for Mathematical Functions, Nat. Physical Laboratory, London: Her Majestys Stationery Oce, 1962. [Dav] P.J. Davis, Interpolation and Approximation, Blaisdell, Waltham, 1963 = Dover, New York, 1975. e [DaR] P.J. Davis, Ph. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2`me dition, Academic Press, New e York, 1984. [deB] C. de Boor, Numerical Functional Analysis, notes du cours CS717 de lUniversit du Wisconsin e http://www.cs.wisc.edu/~deboor/717/notes.html [DeVLor] R.A. DeVore, G.G. Lorentz, Constructive Approximation, Springer, Berlin, 1993. [Erd] A. Erdlyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F.G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, 3 vol., Tables e of Integral Transforms, 2 vol., (The Bateman Manuscript Project), McGraw-Hill, New York, 1953-1955. [FoxP] L. Fox, I.B. Parker, Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis, Oxford U.P., 1968. [GasW] C. Gasquet, P. Witomski, Analyse de Fourier et applications. Filtrage, calcul numrique, ondelettes, e Masson, Paris, 1990. [Gau] W. Gautschi, Numerical Analysis. An Introduction, Birkhuser, 1997. a [Gau2] W. Gautschi, Orthogonal Polynomials: Computation and Approximation, Oxford U. Press, 2004. [Hai] E. Hairer, Introduction a lanalyse numrique, cours Universit de Gen`ve, 1993, cf Polycopis dans ` e e e e http://www.unige.ch/math/folks/hairer/ [Hammer] G. Hmmerlin, K.H. Homann, Numerische Mathematik, Springer-Verlag, 1989 = Numerical Matha ematics, Springer-Verlag, New York, 1991. [Ham] R.W. Hamming, Numerical Methods for Scientists and Engineers, 2nd ed., McGraw-Hill, New York, 1973 = Dover [Has] C. Hastings, Jr., Approximations for Digital Computers, Princeton U.P., 1955. [Hen] P. Henrici, Elements of Numerical Analysis, Wiley, New York, 1964. [Hen82] P. Henrici, Essentials of Numerical Analysis, Wiley, New York, 1982. [Kah] D. Kahaner, C. Moler, S. Nash, Numerical Methods and Software, Prentice-Hall, 1989. [Kun] J. Kuntzmann, Mthodes numriques, Hermann, Paris, 1969. e e [Lanc] C. Lanczos, Applied Analysis, Prentice Hall, Englewood Clis, 1956 = Dover [Mei] G. Meinardus, Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung, Springer, Berlin, 1964 = Approximation of Functions: Theory and Numerical Methods, Springer, 1967. [Mha] Mhaskar, Hrushikesh N.; Pai, Devidas V., Fundamentals of approximation theory, Alpha Science International, 2000. [Nat] I.P. Natanson, Constructive Theory of Functions, Moscou-Leningrad 1949 = Translation Series, U.S. Atomic Energy Commission AET-tr-4503. [Nurn] G. Nrnberger, Approximation by spline functions, Springer-Verlag. Berlin, 1989. u [Pas] S. Paszkowski, Polynmes et sries de Tchebichev, Report ANO 140, Univ. Lille1, Juillet 1984. o e [Pow] M.J.D. Powell, Approximation Theory and Methods, Cambridge U.P., Cambridge, 1981. [RalR] A. Ralston, P. Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1978. [Rap] J. Rappaz, M. Picasso, Introduction a lanalyse numrique, PPUR (Presses Polytechniques et Univer` e sitaires Romandes), Lausanne, 1998, http://dmawww.epfl.ch/rappaz.mosaic [Riv1] T.J. Rivlin, An Introduction to the Approximation of Functions, Blaisdell, Waltham, 1969 = Dover, New York, 1981. [Riv2] T.J. Rivlin, The Chebyshev Polynomials, From Approximation Theory to Algebra and Number Theory, e Wiley, New York, 2`me dition, 1990. e

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[Sti] E. Stiefel, Introduction a la mathmatique numrique, Dunod, Paris 1967 = Einfhrung in die numerische ` e e u Mathematik, Teubner, Suttgart, 1961 = An Introduction to Numerical Mathematics, Academic Press, New York 1963. [Sze] G. Szeg, Orthogonal Polynomials, 4th ed., Amer. Math. Soc. , Colloquium Publications, vol. 23, Provo idence, 1975. [Tche] P.L. Tchebychef, Oeuvres, publies par les soins de MM. A. Marko et N. Sonin, 2vol., Chelsea, New e York [dLVP] C.J. de La Valle Poussin, Leons sur lapproximation des fonctions dune variable relle, Gauthiere c e e Villars, Paris, 2`me dition, 1919 = Chelsea, New York, 1970. e [dLVP2] C.J. de La Valle Poussin, uvres, rassembles dans la biblioth`que MATH. e e e Priodiques. e http://www.ams.org/mathweb/mi-journals.html ACM1 Transactions on Mathematical Software, http://math.nist.gov/toms/, Advances in Computational Mathematics, Annals of Numerical Mathematics, Applied Numerical Mathematics, Approximation Theory and its Applications, Calcolo, Constructive Approximation, Electronic Transactions on Numerical Analysis http://etna.mcs.kent.edu/html/, Journal of Approximation Theory, Journal of Computational and Applied Mathematics http://www.elsevier.nl/locate/cam, Mathematics of Computation, Numerical Algorithms, Numerische Mathematik, SIAM2 Journal of Numerical Analysis. Ressources rseau. e Usenet FAQ Lille Conc ATNet news:sci.math.num-analysis FAQ: Numerical Analysis and Associated Fields Resource Guide, by Steve Sullivan (Mathcom, Inc.), voir Tech Info dans http://www.mathcom.com/ Ecole dingnieurs de Lille http://www.eudil.fr/ e Numerical Analysis at Concordia. http://indy.cs.concordia.ca/na/ Approximation Theory net. Contient des notes de cours (voir a Classroom notes) ` http://www.mi.uni-erlangen.de/at-net

Matlab, Java http://www.mathworks.com, http://www.mathtools.net

Matlab, Atkinson ftp://ftp.math.uiowa.edu/pub//atkinson/ENA Materials/GUI/ ,http://www.math.uiowa.edu/~at netlib tw Laval NumRec Netlib: tr`s nombreux programmes, http://www.netlib.org/ e FFTW: tranforme de Fourier rapide, http://www.fftw.org/ e Analyse numrique a luniv. Laval3 http://www.mat.ulaval.ca/anum/ e ` W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.A. Vetterling, B.P. Flannery, Numerical Recipes: programmes dans http://nr.harvard.edu/numerical-recipes/, texte dans http://cfatab.harvard.edu/nr/nronline.html, voir aussi http://math.jpl.nasa.gov/nr/ pour une critique sv`re et dautres informations. . . e e New Release of GNU Scientic Library. Version 1.6 of the GNU Scientic Library (GSL) is now available for download at: http://www.gnu.org/software/gsl/ GSL is a free numerical library written in C using modern coding conventions. It is distributed under the GNU General Public License. CodeCogs Date: Tue, 15 Mar 2005 Subject: CodeCogs, Open Source C/C++ Library This is to inform you about the website called Code Cogs, which is A New Open Source Scientic Library / Database in C++. The web site is free to use with all software being open source.1 2

GSL

ACM= Association for Computing Machinery. SIAM = Society for Industrial and Applied Mathematics. 3 Merci a C. Debi`ve pour cette information. ` e

MATH2171 2005-06 0 Bib The main homepage is at: http://www.codecogs.com

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CodeCogs is a new online scientic numerical repository of C/C++ code that has been created for scientists, engineers, mathematicians and nancial workers.

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Analyse numrique et thorie de lapproximation. e e1. Quest ce que lanalyse numrique? e Vaste programme. Gal de Gaulle1.1. Analyse numrique et analyse. e Les mathmaticiens du pass mlaient all`grement les constructions calculatoires aux vastes gnralisations. e e e e e e On pouvait passer du dessin de la coque dun navire ou du volume des tonneaux de bi`re aux considrations e e les plus philosophiques. On est aujourdhui plus disciplinaire, si pas plus disciplin, et on enferme la pense e e dans toutes sortes de sous-rgions. e Lanalyse tudie les nombres rels et les fonctions de variables relles. On consid`re, dailleurs a juste titre, e e e e ` que le progr`s en analyse consiste a tablir la vrit dune proposition en utilisant un minimum de moyens. e è e e Ceci conduit a liminer autant que possible toute construction dtaille, donc a viter toute reprsentation è e e è e explicite inutile. Ainsi, on prf`re parler en analyse de formes ou doprateurs, voire dendomorphismes, plutt ee e o que de matrices qui renvoient a des reprsentations dans des bases imposes. A un niveau plus fondamental, ` e e utiliser la reprsentation dcimale dun nombre rel serait une lourde faute de got. e e e u Lanalyse numrique est prcisment lie a cette ancienne partie de lanalyse qui dcrit ces constructions e e e e ` e qui ne sont plus essentielles a la comprhension de la thorie. On ne se contente pas dexhumer danciens ` e e secrets et de les rassembler dans de gros formulaires, ces constructions sont prsentes de faon aussi ordonne e e c e et systmatique que possible: Henrici [Hen] dnit lanalyse numrique comme la thorie des mthodes cone e e e e structives de lanalyse, Natanson intitule son ouvrage [Nat] Thorie constructive des fonctions, Trefethen4 dit e que lanalyse numrique est ltude des algorithmes de rsolution des probl`mes des mathmatiques continues. e e e e e Lanalyse numrique commente, illustre, concrtise5 et applique lanalyse. e e 1.2. Analyse numrique et calcul. e Tout projet scientique ou technique comporte une importante phase de calculs. Parlett 6 dcrit la tour e du calcul scientique (cf. gure de gauche) mise a la dis` Programmes dapplications 5 position de lutilisateur. Chaque niveau utilise des niveaux Grands logiciels orients e e e 4 infrieurs. Lanalyse numrique intervient surtout aux vers les applications niveaux 2 (bo tes noires: probl`mes banaliss) et 3, o` e e u Biblioth`ques de programmes e les probl`mes sont dailleurs explicitement formuls en tere e pour matrices, approximation, 3 mes mathmatiques. On ne soccupera donc pas beaue quadi, optimisation, etc. e coup ici des reprsentations en machine des rels, ni de e e Fonctions lmentaires: log(x), etc. 2 questions derreurs darrondi, qui ressortissent plutt de ee o Langages de programmation 1 lalgorithmique numrique. Quant aux niveaux suprieurs, e e Unit arithmtique + / e e e e 0 ils intressent spciquement des utilisateurs dun domaine Assembleur des sciences et techniques (niveau 4), et la mise au point dune application particuli`re. e L.N. Trefethen, The Denition of Numerical Analysis, SIAM News, November 1992 = Bulletin of the Institute of Mathematics and Applications, March/April 1993 = http://www.comlab.ox.ac.uk/oucl/users/nick.trefethen/defn.ps, copie dans trefethennuman.ps 5 Lanalyse numrique ne remplace pas lanalyse par un projet o` ne gureraient que des objets dment e u u construits (mathmatique intuitionniste), toutes les mthodes de lanalyse sont parfaitement valides en analyse e e numrique, o` on peut donc tr`s bien trouver des dmonstrations non constructives! e u e e 6 B. Parlett, Progress in numerical analysis, SIAM Review 20 (1978) 443-456.4

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G. Strang distingue7 distingue six tapes dans le traitement dun probl`me dicile: e e (1) Modlisation. Arriver au probl`me mathmatique traduisant le mieux le phnom`ne considr, e e e e e e e (2) Reprsentation. Choisir une famille de fonctions susceptibles de bien approcher la solution de 1., e et la base qui servira a cette reprsentation, ` e (3) Param`tres. Bien choisir les degrs, points de grille ou dinterpolation, qui assureront une erreur e e susamment faible, (4) Algorithme. Dcrire les tapes de calcul aboutissant a la solution numrique, e e ` e (5) Programmation. Tenir compte des moyens de calcul disponibles, (6) Visualisation. La rponse peut se limiter a quelques nombres, mais peut ncessiter une prsentation e ` e e sous forme de tables, graphes, etc. Lanalyse numrique est concerne par les points (2), (3), et (4) pour une certaine part (lalgorithmique e e numrique pour une autre part). e

2. Thorie de lapproximation. e Errare humanum est 2.1. Les trois niveaux dune thorie de lapproximation. eLa thorie de lapproximation e

est la plus aimable des sciences exactes. Le droit a lerreur y est autoris, et mme encourag. Un objet f ` e e e (nombre rel, fonction, oprateur, etc.) mathmatiquement dni mais inaccessible a des reprsentations e e e e ` e lmentaires, est approch par un objet plus simple p. Au premier niveau, il sagit de construire une approxiee e mation acceptable p, par exemple p = 0.3333 si f = 1/3. Jusque dans les annes 1950, on voyait dans les formulaires la srie de Renard, dite encore des nombres e e normaux, qui consiste en la suite des 10 puissances successives de 1.25 et qui donne tr`s approximativement e des constantes mathmatiques, physiques et technologiques remarquables: e 21/3 101/10 1.25 /2 1.6 2 cm/in 2.5 3.15 in/dm 4 2 5 6.3 8 g 2 10

Au deuxi`me niveau, on examine si une loi permet dexpliquer la forme de diverses approximations suce cessives 0.33, 0.333, etc. A ce niveau, on ne soccupe plus des approximations proprement dites. Au troisi`me e niveau, on caractrise des classes dobjets f a partir de dispositifs initialement destins a fournir des approxie ` e ` mations. Autre exemple moins trivial: soit f = 2, p est un nombre rationnel a/b avec 0 < b n, et la distance | 2 a/b| la plus petite possible. On a donc dni une meilleure approximation dans un ensemble, pour e une distance donne. On fait varier n et on note les nouvelles fractions qui apparaissent. En fait, il sut de e prendre m = entier le plus proche de n 2 et de conserver les fractions donnant une erreur plus petite que la plus petite erreur prcdente8: e e Cest plein, plein de force, et plein, plein de nombre l`-dedans. a Alfred Jarry9 0.4142135623730950488016887 0.0857864376269049511983113 0.0808802290397617154683554 0.0142135623730950488016887 0.0024531042935716178649779 0.0024488564907421076252181 0.0004204589248191867327232 0.0000721519126192369125970 0.0000721482316809073875473

2 1/1 2 3/2 2 4/3 2 7/5 2 17/12 2 24/17 2 41/29 2 99/70 2 140/997 8

= = = = = = = = =

http://www.ipam.ucla.edu/publications/inauguration/strang.html On dispose donc dj` dune approximation 1.4142135623730950488016887 . . . de 2. ea 9 dans Le surmle, a propos dun automate-boxeur de foire. a `

MATH2171 2005-06 0 Intro

13

Au premier niveau, on recueille donc ces approximations. Au deuxi`me niveau, on examine comment e dcrire les approximations retenues10. Au troisi`me niveau, on apprend quelque chose sur f = 2, par e e exemple que 2 ne peut tre le carr dun nombre rationnel (voir p. 15), mme si on conna des dmonstrations e e e t e non constructives beaucoup plus courtes11. y 0.04 Perseverare diabolicum

Autre exemple: Ponceleta cherche a approcher a2 + b2 par une ` expression plus simple a + b. Il trouve = 0.961 et = 0.398 assurant une erreur relative 4% si on a choisi a b: premier 1 niveau. Mais comment a-t-il obtenu ces valeurs? Pour tout couple x a + b + x (, ), on consid`re lerreur relative e 1= 1, a2 + b 2 1 + x2 et on dtermine pour quelles valeurs de x = b/a [0, 1] lerreur e relative a la plus grande valeur absolue. On constate quil faut examiner trois valeurs de x, et que la plus grande erreur relative est minimise quand les erreurs en ces trois valeurs de x e 0.04 ont une mme valeur absolue et des signes alterns, principe qui e e + x sera considrablement dvelopp par Tchebyche (tout le chap. 2): e e e La meilleure fonction derreur relative 1 deuxi`me niveau. e 1 + x2a Voir V.L. Goncharov, The theory of best approximations of functions, J. Approx. Theory 106 (2000) 2-57.

Dernier exemple, relatif a lanalyse proprement dite cette fois, qui sera tudi dans ce cours (p. 58 et n ` e e du chap. 3): des fonctions tr`s lisses, disons C m sur un intervalle compact, sont susceptibles dtre approches e e e par des polynmes de degr n avec une erreur se comportant comme une puissance ngative de n. Quelles o e e sont les fonctions pour lesquelles lerreur se comporte comme une puissance faiblement ngative de n? On e obtient des fonctions continues partout et drivables nulle part. . . , question danalyse pure (troisi`me niveau) e e fort bien claire par ce recours a lapproximation. e e `

Je vis dans lapproximatif et je men rapproche de plus en plus Julos Beaucarne 3. Quelques approximations de fonctions utilises dans les calculatrices et les e ordinateurs3.1. Calculatrices scientiques: le syst`me CORDIC. e Beaucoup de calculatrices scientiques et les premiers coprocesseurs mathmatiques ont comme oprations e e de base laddition, la soustraction et le dcalage (= multiplication ou division par 10). On accumule de telles e oprations pour multiplier et diviser (comme ` la main). On peut galement incorporer la racine carre a e a e e ` ce niveau. Pour lexponentielle et le logarithme, on dispose en mmoire les logarithmes k = ln(1 + 10k ) pour e susamment de valeurs de k. Calcul de y = ln x: on se ram`ne a 1 < x < 10, on part de y = 1, ensuite: e ` Le secret consiste a ne retenir dabord que le dernier lment des groupes de p conscutifs avec f p ` ee e de mme signe. Ce sous-ensemble dapproximations (rduites) {1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, . . .} prsente une e e e structure tout a fait intressante (fraction continue: cf. C. Brezinski, History of Continued Fractions and Pad ` e e Approximants, Springer, 1991), I. Niven, Irrational Numbers, AMS & Wiley 11 Les premi`res preuves de transcendance de e et taient aussi bases sur des constructions e e e dapproximations. Voir aussi p. 15.10

MATH2171 2005-06 0 Intro

14

pour k=0,1,2,... { x=x*(1+10^(-k)) ; tant que x 0, on part de y = 1, et pour k=0,1,2,... { x=x-lambda_k; tant que x>0 {y=y*(1+10^(-k)); x=x; x=x-lambda_k; } } Pour les fonctions trigonomtriques, hyperboliques et leurs inverses, on utilise intelligemment les formules e daddition de ces fonctions. Il sut de se munir dune table supplmentaire constitue des k = arctg (10k ). e e Cest le syst`me CORDIC ( COordinate Rotation DIgital Computer) ralis par Volder en 1959, mais on fait e e e remonter lide a Henry Briggs (1561-1631), lun des inventeurs des logarithmes! e ` Cf: J. Laporte, Le secret des algorithmes, LOrdinateur Individuel n 24, 1981, 89-92, C.W. Schelin, Calculator function approximation, Amer. Math. Monthly 90 (1983) 317-325, cordic.txt, http://devil.ece.utexas.edu/cordic.html 3.2. Approximations polynomiales et rationnelles. Les ordinateurs utilisent le plus souvent laddition, la soustraction, la multiplication, la division, et souvent aussi la racine carre de nombres ottants (mantisse fois baseexposant , presque toujours en binaire) comme e oprations lmentaires. Le but est alors dobtenir la prcision demande avec un minimum doprations, cest e ee e e e a dire dapprocher la fonction par un polynme ou une fonction rationnelle. Cet exercice nest pas tranger a ` o e ` ce quil y a de plus classique dans lanalyse, un dveloppement tronqu de Taylor servant souvent de point de e e dpart. e Ainsi, Hastings [Has, pp.132137 et 84] propose quelques approximations de arctg x, 1 x 1: (cf. aussi [Abr, p.81]) 0.995354 x 0.288679 x3 + 0.079331 x5 avec erreur 6.08 104 , 3 5 7 0.9992150 x 0.3211819 x + 0.1462766 x 0.0389929 x (8.14 105 ), 3 5 7 9 0.9998660 x 0.3302995 x + 0.1801410 x 0.0851330 x + 0.0208351 x (1.14 105 ) 3 5 7 9 11 0.99997726x 0.33262347x + 0.19354346x 0.11643287x + 0.05265332x 0.01172120x (1.66 106 ) 3 x x5 x7 qui ressemblent a des dveloppements tronqus de la srie de Taylor-Maclaurin arctg x = x ` e e e + + . 3 5 7 On verra comment construire de telles approximations. On devine quil faudra une dizaine de termes pour arriver a une ` erreur 108 (pour cette fonction, chaque fois que lon ajoute un terme, lerreur est a peu pr`s ` e divise par ( 2 + 1)2 , on verra cela aussi). e Dautres formules plus conomiques ont t imagines, par exemple, dapr`s VS FORTRAN Application e ee e e Programming: Library Reference, IBM Program Product SC26-3989, 1981 12, on se ram`ne dabord a 0 x e ` 3x1 1, puis a tg(/12) ` x tg(/12) = 2 3 par arctg x = + arctg si 1 x > tg(/12), 6 x+ 3 enn, lapproximation donnant arctg x dans tg(/12) x tg(/12) est x 0.60310579 0.05160454x2 + avec une erreur < 108 . Pour lexponentielle, le mme document propose e 2x 1 2x 0.034657359x2 + x + 9.9545948 x 1. 617.97227 x2 + 87.417497 x2 0.55913709 + 1.4087812

avec une erreur < 108 quand on sest ramen a 0 e`12

Grand merci a M. J.L. Marrion qui a fourni cette documentation. `

MATH2171 2005-06 0 Intro Des formules de mme type sont utilises pour sin, ln, etc. e e Cf. aussi J.F. Hart & al., Computer Approximations, Wiley, 1968. 3.3. AGM, etc.

15

Plus rcemment, on a imagin de nouvelles catgories dalgorithmes pour calculer des nombres remare e e quables en tr`s haute prcision (jusqu` des milliards de dcimales pour ). e e a e Lalgorithme AGM (Arithmetic-geometric mean) consiste, a partir de a0 et b0 , a ` ` calculer la suite de moyennes arithmtiques et gomtriques successives an+1 = (an + bn )/2 et bn+1 = an bn . On calcule e e e galement les cn+1 = (an bn )/2 sous la forme c0 = a2 b2 , cn+1 = c2 /(4an+1 ). Gauss avait dj` montr e ea e n 0 0 que les suites {an } et {bn } tendent tr`s rapidement (quadratiquement) vers une limite commune AGM(a0 , b0 ) e /2 d . Lusage de cet algorithme curieux est = lie a une intgrale elliptique: e ` e 2 AGM(a0 , b0 ) 0 a2 c2 sin2 0 0

longtemps rest conn au calcul dintgrales de ce type. Puis, R.P Brent (Fast multiple-precision evaluation e e e of elementary functions, J. ACM 23 (1976), 242-251) et E. Salamin (Computation of using arithmeticgeometric mean, Math. Comp. 30 (1976), 565-570) trouv`rent dautres applications, a commencer par une e ` formule rapide pour : 2( AGM(1, 1/ 2))2 = . 1 2 i c2 ii=0 1/2n1

De plus, [cn /(4an )] tend rapidement vers lexponentielle de AGM(a0 , b0 )/AGM(a0 , c0 ), ce qui donne un moyen de calcul rapide des exponentielles et logarithmes, etc. Cf. D.H. Bailey, Algorithm 719: Multiprecision translation and execution of FORTRAN programs, ACM Trans. Math. Soft. 19 (1993) 288-319; A FORTRAN 90- based multiprecision system, ibid. 21 (1995) 379-387. J.M. Borwein, P.B. Borwein, The arithmetic-geometric mean and fast computation of elementary functions, SIAM Rev. 26 (1984) 351-366, J.M. Borwein, P.B. Borwein, Pi and the AGM, Wiley, 1986, Center for Experimental and Constructive Mathematics, Simon Fraser Univ., http://www.cecm.sfu.ca/ R. Preston, The mountains of pi, The New Yorker, 2 mars 1992. 3.4. Approximations et nombres irrationnels.2 Les fractions 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, . . . apparaissant dans la note 10 de p. 13 sont yn /xn avec yn n = (1) . On peut trouver une innit de nombres entiers de plus en plus grands vriant cette galit: en e e e e 2 eet, si xn , yn conviennent, on constate que xn+1 = xn + yn et yn+1 = 2xn + yn donnent bien yn+1 2x2 = n+1 xn+1 2 (yn 2x2 ). On voit13 aussi que cela revient a appliquer la mthode de la puissance yn+1 = A [ xn ] a ` e yn ` n 1 1 ] et a obtenir des vecteurs de mieux en mieux aligns sur le vecteur propre [1, 2]T : la matrice A = [ 2 1 ` e yn+1 2 xn+1 = (1 2)(yn 2 xn ). Donc, xn et yn , yn 2 xn = 0 et |yn 2 xn | 0. On en dduit lirrationnalit de 2 selon la proposition: e e Si on trouve une innit dentiers xn et yn , avec xn , tels que = yn /xn et |xn yn | 0 quand e n , alors est irrationnel. (En eet, si = A/B avec A et B entiers, on aurait xn yn = (Axn Byn )/B = entier/B, donc exactementero ou de valeur absolue ee infrieurement par 1/|B|. z born e ) 2 Ici, |xn 2 yn | = |2x2 yn |/(xn 2 + yn ) = 1/(xn 2 + yn ) 0. n Des possibilits de montrer lirrationnalit de nombres remarquables sont donc lies a leurs facults e e e ` e dapproximation. 1 1 1 1 1 < e est irrationnel. Par exemple, 0 < e 1 1! 2! n! (n + 1)! 1 n+2

2x2 n

13

Remarque aimablement communique par Michel Coyette. e

MATH2171 2005-06 0 Intro

16

On appelle constante de Markov (ou de Lagrange) dun rel lexpression M () = 1/ lim inf x2 | y/x| , e applications en equadi et mcanique cleste . e e Les rduites successives e a 1 Y2 Y1 = , = X1 b 1 X2 a1 b1 + a2 b2 , Y3 = X3 a1 b1 + a2 etc. de la fraction continue = b1 + a1 a2 b2 + 14 x,yZ x

vrient Xn+1 = bn+1 Xn + an+1 Xn1 , Yn+1 e Yn (1)n a1 a2 . . . an+1 Yn+1 = . Si on trouve Zn tel que Xn Zn et Yn Zn sont entiers, et si la fraction Xn+1 Xn Xn Xn+1 continue converge, on peut parfois tirer une condition dirrationnalit de e |Zn Xn Zn Yn | Z n Xn k=n

a3 b2 + b3 = bn+1 Yn + an+1 Yn1 , et

(1)k a1 a2 . . . ak+1 Xk Xk+1

Quelques fractions continues remarquables de fonctions: tg x = 1 3 x x2

,2

ex = 1 + 1 2+ 3 2+

x x x x x 5 x 2+ 7 x x 2+

x

x2 5 7

permettent dtablir que tg x et ex sont irrationnels quand x est rationnel = 0. On en dduit que est e e irrationnel: sinon, tg serait irrationnel. . . Mais comment obtient-on de telles formules? Lagrange15: si y = f (x) vrie lquation de Riccati e e f (0) 2 , f1 vrie e xa(x)y = b(x)y + c(x)y + d(x), o` a, b, c Pm , et d Pm1 , alors, si f (x) = u 1 xf1 (x) une quation de mme type, avec les mmes degrs. En eet, on a xa(x)[xf 1 + f1 ] = b(x)f (0) + c(x)[1 e e e e xf1 (x)] + d(x)[1 xf1 (x)]2 /f (0), do` une quation de Riccati pour f1 avec le mme a(x), b1 (x) = xd(x)/f (0), u e e c1 (x) = c(x) 2d(x)/f (0) a(x), et d1 (x) = [b(x)f (0) + c(x) + d(x)/f (0)]/x (qui est bien un polynme si o fn (0) f est dveloppable en Taylor-Maclaurin). On it`re ensuite fn (x) = e e , n = 0, 1, . . . : bn+1 (x) = 1 xfn+1 (x) xdn (x)/fn (0), cn+1 (x) = cn (x)2dn (x)/fn (0)a(x), dn+1 (x) = [bn (x)fn (0)+cn (x)+dn (x)/fn (0)]/x, fn+1 (0) = dn+1 (0)/cn+1 (0). Evidemment, ca marche si fn (0) = 0, n = 0, 1, . . . tg x Pour la tangente, partir de f0 (x) = , alors, a(x) = 2, b0 (x) = x, c0 = 1, d0 = 1. On trouve pour x n > 0, bn (x) = (2n 1)x, cn = (2n + 1), dn = 1/(2n 1), fn (0) = 1/(4n2 1). K. Ben-Naoum & J. Mawhin, The periodic Dirichlet problem for some semilinear wave equations, J. Di. Eq. 96 (1992) 340354; A.K. Ben-Naoum, On the Dirichlet problem for the nonlinear wave equation in bounded domains with corner points, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 3 (1996) 345361; A.K. Ben-Naoum, Some results on the Markov number from the theory of Diophantine approximations, Rapports Sminaire Math. e UCL n 254 (1996). 15 A.N. Khovanskii, The Application of Continued Fractions and their Generalization to Problems in Approximation Theory, P. Noordho, Groningen, 1963.14

MATH2171 2005-06 0 Intro Enn, (2n 1)fn (x) =

17

1 . 2n + 1 x(2n + 1)fn+1 (x) ex 1 = tanh(x/2). Pour lexponentielle, on transforme a partir de x ` e +1 Ltablissement de crit`res dirrationnalit et de transcendance a partir dapproximations de fonctions est e e e ` une manifestation remarquable du troisi`me niveau de la thorie de lapproximation. e e 3 Dernier rsultat sensationnel trouv a ce jour: en 1979, R. Apry montrait que (3) = e e ` e est 1 n 3 3 2 3 3 3 irrationnel au moyen de n Xn (34n 51n +27n5)Xn1 +(n1) Xn2 = 0 et n Yn (34n 51n2 +27n 5)Yn1 + (n 1)3 Yn2 = 0, X0 = 1, X1 = 5, Y0 = 0, Y1 = 6. Une dmonstration fait appel aux polynmes de e o Legendre, cf. M. Prevost, A new proof of the irrationality of (2) and (3) using Pad approximants, J. Comp. e Appl. Math. 67 (1996) 219-235. Voir aussi de nombreuses publications dans http://www.cecm.sfu.ca/ 3.5. Approximations les plus simples: bien commencer. Martin Rebas, auteur du document Approximations of Natural Numbers, http://www.dtek.chalmers.se/~d3rebas/humor/irrational.html, (copi dans e approxnat.html), qui est aussi le prsident du club des gens-qui-ne-connaissent-que-deux-dcimales-de-pi, a e e jug bon daider le dbutant en fournissant des approximations des objets mathmatiques les plus simples qui e e e soient, les nombres entiers: 1 2 e 2, 3 e + + , 4 2 + , 5 2 2 + , 6 + e + e, e 1 1 + e 2 + + , 8 e 2 4 2 + , 9 e + + , 10 2 e + + . 7

MATH2171 2005-06 1 Thor. gnraux e e e

18

CHAPITRE 1Thor`mes gnraux dexistence et dunicit de meilleure e e e e e approximation.Pour un lment f dun ensemble X, il est question dexaminer si on peut trouver p ee V X le plus proche de f . 1. Distances et normes. 1.1. Rappelons quune distance sur un ensemble X est une fonction d dnie pour tout e couple dlments de X, avec ee (1) (2) (3) (4) (f, g) X X, d(f, g) 0 , (f = g) (d(f, g) = 0) , (f, g) X X, d(f, g) = d(g, f ) (symtrie), e (f, g, h) X X X, d(f, g) d(f, h) + d(h, g)

(ingalit triangulaire). e e

On appelle espace mtrique tout ensemble X muni dune distance. e1.2. Exercices et exemples. Exemples triviaux, grands cercles sur la sph`re, distance cordale sur la e sph`re, sur C identi a la sph`re de Riemann, godsiques sur une varit, demi-plan de Poincar, lire les e e` e e e ee e pages 65-68 de H. Poincar: La science et lhypoth`se 1, Flammarion, 1902 = Champs Flammarion, 1968. e e Distance padique sur Q. Distance de Hausdor D(A, B) = max sup inf d(a, b) , sup inf d(a, b) .aA bB bB aA 1

Distance de Mahalanabis dans R : d(x, y) = (x y) V covariance.

n

T

(x y)

1/2

, o` V est une matrice de varianceu

1.3. Remarques. Choquet (Cours danalyse II, topologie, Masson, 1969) dnit galement (pp.60-62) e e les carts et les jauges. e On est tr`s habitu maintenant a voir ces notions topologiques exprimes en termes dingalits non strictes e e ` e e e et . Il nen a pas toujours t ainsi: Laurent Schwartz est conscient dinnover en crivant 2 dans son Cours ee e danalyse (Hermann, 1967) a la page 17: ` Notons que nous rompons ici avec lusage antrieurement acquis en appelant infrieur ce quon appelait e e infrieur ou gal, et strictement infrieur ce quon appelait infrieur3. La raison dtre de ces changements, e e e e e pleinement justis par la suite, est que la notion la plus gnralement utilise est , et quil est bon quelle ait e e e e lappellation la plus courte. On devra toujours utiliser plutt que < , toutes les fois que cela sera possible; o quand on crira une ingalit stricte avec < , ce sera pour avertir le lecteur quil y a un point dlicat, et que e e e e lingalit large ne conviendrait pas. Par exemple, la continuit dune fonction relle dune variable relle e e e e e en un point a scrira ainsi: e quel que soit > 0, il existe > 0 tel que |x a| entra |f (x) f (a)| ne1

Voir http://cedric.cnam.fr/ABU/BIB/auteurs/poincareh.html Remarque aimablement communique par J. Meinguet. e 3 En anglais, et sont toujours less or equal et greater or equal (note de lA.)2


19

Nous avons mis le symbole dingalit large toutes les fois que ctait possible, et nous navons employ e e e e lingalit stricte > 0 que l` o` ctait absolument ncessaire a lnonc. e e a u e e ` e e

Sans transition, la suite PPDA 1.4. Normes. Une norme sur un espace vectoriel X (sur R ou C) doit vrier e (1) f X, f 0, (2) f = 0 f = 0, (3) f = || f , (4) f, g X, f + g f + g . Alors, f g est une distance valide.1.5. Exemples, exercices. Montrez que f g f g (dans tout triangle, tout ct est suprieur a la dirence des deux oe e ` e autres). Normes de Hlder sur Rm ou Cm : o x p = ( m |xk |p )1/p , 1 p ( x = maxk |xk |). Cf. [Dav] pp. 130133. 1 Normes de Hlder sur Lp (A): o ( f = suptA |f (t)|. f p = ( A |f (t)|p )1/p , 1 p Normes pondres: si wk > 0, k = 1, . . . , m, x w = y , avec yk = wk xk est encore une norme; si e e w(t) > 0 presque partout sur A, w(t)f (t) est encore une norme de f .

La norme est une fonction continue sur X: si limn fn = f , cest-`-dire si f fn 0 a quand n , on a fn f , puisque | f fn | = | fn +(f fn ) fn | f fn . f g La norme est mme une fonction lipschitzienne: e L = 1. f g Sur un espace de dimension nie V , la norme est une fonction continue des coordonnes e dans une base quelconque: soient {a1 , . . . , an } et {b1 , . . . , bm } les composantes de f et g dans V de base 1 , . . . , m }. Alors, k k f g = C maxk |ak bk |, 1 (ak bk )k 1 |ak bk | k k avec C = 1 k .Inversement, les composantes sont continues selon toute norme donne sur V de dimension nie: si e m m f = aj j et g = bj j , montrons que |ak bk | C f g , o` C ne dpend que de la base u e 1 1 m (n) {1 , . . . , m } de V . Sinon, on pourrait trouver une innit dlments fn = 0 de V avec fn = 1 aj j , et e ee(n)

|ak |/ fn . Divisons les composantes de chaque fn par la plus grande dentre elles: on a maintenant une suite {gn } de composantes bornes (par lunit), avec gn 0. Extrayons des suites convergentes de e e composantes, on obtient une suite {gni }i convergente, et on peut sarranger pour que lune des composantes de la limite soit gale a 1. Comme gn 0, on a une reprsentation de limn gni = le vecteur nul avec e ` e des composantes non nulles, ce qui est impossible si {k } est une base de V .

avec 0 < D C < . Si e ` est une norme donne, et si est une norme, utile aux calculs, construite a partir dune reprsentation dans une base, la base est dautant plus intressante que le rapport C/D e e

Tout ceci conrme la proposition bien connue dquivalence des normes sur un espace e vectoriel de dimension nie: si et sont deux normes valides sur V de dimension nie, f V, D f f C f ,


20

est petit (proche de lunit). En eet, pour estimer la proximit de deux lments de X en e e ee erreur relative f g / f en ne connaissant que la valeur des normes , on a D 1 = K C f g f g/

f / f

C =K D

(nombre de condition, ou conditionnement) (1)

Savoir que C/D < , cest de lanalyse; savoir estimer C/D, cest de lanalyse numrique. e Notation. On dsigne par Pn lensemble des polynmes de degr e o e n. Cest une espace vectoriel de dimension n + 1. N.B.: Lensemble des polynmes de degr exact n nest pas un espace vectoriel! o e1.6. Exercices, exemples. On prend = norme du maximum pour des fonctions continues sur [0, 1], 2 V = P1 , P2 ,. . . , o = maximum des |coecients| dans la base des monmes 1, x, x ,. . . Ce nest justement pas une tr`s bonne base quand le degr augmente: e e 1 max(|a|, |b|) max |ax + b| 2 max(|a|, |b|) , 0 x 1 2 1 max(|a|, |b|, |c|) max |ax2 + bx + c| 3 max(|a|, |b|, |c|) , 0 x 1 8 comment les choses voluent-elles avec le degr? (voir plus loin (point 3, p. 41). e e

On notera Br la boule {f X : f r} (ferme) de centre 0 et de rayon r, Br (c) la e boule {f X : f c r} de centre c X et de rayon r. Formes de la boule unit B1 de R2 : e1 2

6

6

6

-

-

-

1.7. Formes et applications linaires continues sur des espaces vectoriels norms e e de fonctions. 1.7.1. .Lexpression gnrique dune forme continue sur lespace C [a, b] des fonctions cone e tinues sur [a, b], norm par e , estb

: (f ) =a

f (x) (x) dx,

o` est une fonction intgrable sur [a, b]. On tablit dailleurs que la norme de cette forme u e e vautb b

= supf

f (x) (x) dx =1 a a

|(x)| dx =

1

.

MATH2171 2005-06 1 Thor. gnraux e e e Ce ne sont pas les seules expressions possibles: toute combinaison de valeurs ponctuellesM

21

: (f ) =k=1

k f (xk ),

(2)

o` les k et les xk sont xs, convient galement. On trouve alors (cest encore plus facile), u e eM

=k=1 b

|k | . f (x) d(x) au chap. 3, (53), p. 73.

Voir aussi les intgrales de Riemann-Stieltjes ea

1.7.2. . Une forme contenant des drives, comme e eb M

(f ) =a

f (x) (x) dx ,

ou (f ) =k=1

k f (xk ),

nest normalement pas borne dans un espace de fonctions norm par e e . On doit prendre une autre norme, par exemple f = f + f . 1.7.3. . Dans un espace X de dimension nie de fonctions continues, toute forme dnie e partout est continue et peut dailleurs sexprimer comme (2): si {b0 , . . . , bN } est une base de X, on peut crire, f X, f = N ci bi . Alors, on voit que e 0 N ne dpend que des (bi ): (f ) = 0 ci (bi ). e Eliminons les ci a partir de N + 1 valeurs de f en des points x0 , . . . , xN : f (xi ) = N cj bj (xi ), ` 0 do` u [0 , . . . , N ] = [(b0 ), . . . , (bN )][bj (xi )]1 , valable si la matrices des bj (xi ) est non singuli`re (unisolvance, voir plus loin, probl`me e e dinterpolation en gnral, 1.2, p. 141). e e 1.7.4. . Dans Lp , utiliser Hlder: ob

(f ) =a

f (x) (x) dx = q ,

si Lq , p1 + q 1 = 1. 2. Existence dune meilleure approximation. Pouvez-vous dire mieux? Coluche 2.1. Thor`me dexistence de meilleure approximation dans un sous-espace e e de dimension nie. Soit X un espace vectoriel norm sur R ou C et V un sous-espace e vectoriel de dimension nie de X. Alors, f X, il existe au moins un p V tel que f p = inf qV f q .


22

B

f

(f )

V

f p

0

Dmonstration: en eet, soit E = inf qV f q . e Comme q = 0 est dans V , on a E f . Il sut donc dexaminer f q sur la partie ferme e borne K = B f (f ) V de V de dimension nie. e La fonction continue f q atteint son inmum E en au moins un point q = p du compact K.

Sur la gure, on a not B f (f ) qui contient 0 sur sa fronti`re, et aussi BE (f ) (en trait plus gras) qui e e touche V en p. La dmonstration peut se faire en termes des composantes de q dans une base de V . La norme f q e appara alors comme une fonction continue de ces composantes relles ou complexes, que lon minimise donc t e sur une partie compacte K de Rm ou Cm , avec K = {a1 , . . . , am : m ak k K}. 1 Remarquons que K est enti`rement contenu dans la boule B2 f : si f q = q f e f , q = f + (q f ) f + qf 2 f . Le vecteur des composantes de q vrie donc a e 2 f /D. 2.2. Contre-exemple. Voici un exemple de non-existence quand on approche sur une partie de X qui nest pas un sous-espace vectoriel : on prend X = C [1, 1], la norme du maximum, f (t) = t, V = {ae bt + cedt }a,b,c,dR. On trouve E = 0: prendre q(t) = N (et/N et/N )/2 = N sinh(t/N ) = t + t3 /(6N 2 ) + , on a donc t q(t) aussi petit que lon veut, mais il nexiste pas de q V tel que q f = E = 0, f (t) = t nest pas une combinaison dexponentielles. Cf. aussi [Dav, p.153]. Autre exemple de supremum inaccessible: soit F une fonction positive strictement dcroissante sur [0, ). e Probl`me 1: maximiser la moyenne de F , 0 F (x) d(x) sur les mesures de probabilit . Le rsultat ne peut e e e dpasser F (0) et est videmment ralis avec la mesure ponctuelle 0 en 0. Probl`me 2: on se limite maintenant e e e e e aux mesures de moyenne m > 0. On peut encore sapprocher autant que lon veut de F (0): prendre les mesures (1)0 +m/ qui ont bien une moyenne x d(x) gale a m, et qui donnent F d = (1)F (0)+F (m/). e ` Le supremum est donc encore F (0). Mais il nest atteint que par 0 qui a une moyenne 0 = m. . .

2.3. Remarque. Si p est une meilleure approximation de f dans V et si q V , p + q est une meilleure approximation de f + q dans V . Ou encore: f p est llment de norme ee minimale de lespace ane f + V . En eet, soit E = f p . On a f + q (p + q) = f p = E. Sil y avait un lment ee r de V vriant f + q r < E, r q serait une meilleure approximation de f que p. e 3. Unicit de la meilleure approximation. e 3.1. Dnition. Convexit. Une partie P dun espace vectoriel X est convexe si f et e e g P = f + (1 )g P pour [0, 1] (combinaison convexe de f et g). Toute boule Br (f ) = {g X : g f r} dun espace mtrique X est convexe. Toute varit linaire e ee e de X est convexe. 3.2. Proposition. Dans les conditions du thor`me prcdent, lensemble des meilleures e e e e approximations de f dans V est une partie convexe de V . En eet, cet ensemble est BE (f ) V , lintersection de deux convexes est convexe. Parexemple, prendre la norme du maximum sur [1, 1], f (t) = t, V = {at2 + b}a,bR .


23

3.3. Dnition. Une norme est stricte si la boule unit est strictement convexe, cest-è e a dire si f 1, g 1, f + g = 2 f = g. Les normes 1 et ne sont pas strictes. Lanorme p est stricte si 1 < p < ([Dav, p.141]). On verra plus tard (chap. 3) quune norme drivant dun produit scalaire est toujours stricte: f + g e 2 2 f + 2(f, g) + g ne vaut 4 que si f = g = (f, g) = 1 f g 2 = f 2 2(f, g) + g 2 = 0.2

=

3.4. Une condition susante dunicit. Thor`me. Le probl`me pos au thor`me e e e e e e e 2.1 a une solution unique si la norme de X est stricte. En eet, toujours avec E := minqV f q , soit E > 0 (si E = 0, la seule meilleure approximation est f lui-mme). Supposons que p1 et p2 sont deux meilleures approximations e f p1 f p2 2f p1 p2 distinctes de f . On a = 1, = 1, donc < 2, ou encore E E E f (p1 + p2 )/2 < E: (p1 + p2 )/2 serait un lment de V meilleur que p1 ou p2 . ee Dans le cas des normes non strictes, des thor`mes dunicit pourront encore tre tablis, e e e e e on verra un cas au chapitre suivant.

3.5. Exercice. En plus de lexemple dans 3.2, voir ces deux exemples de non unicit e ([Pow, pp. 18-19]): X = C [1, 1] avec e 1 , f = la constante 1, V = {x}R ; le mme X, mais avec e , le mme f , V = {(1 + x)}R . 4. Continuit du projecteur de meilleure approximation. e Que la norme soit stricte ou non, si X et V sont tels que f X poss`de exactement une e meilleure approximation dans V , on peut dnir le projecteur P : e P f = meilleure approximation de f dans V.Par exemple, prendre X = C [1, 1], la norme du maximum, V = constantes, f (t) = t, g(t) = t 2 , on a P f = 0, P g = 1/2, P (f + g) = 7/8 = P f + P g. (Sur les constantes, P f = (max tA f (t) + mintA f (t))/2.)

Ce projecteur (P 2 = P ) est normalement une application non linaire X V . e On a quand mme P (f ) = P f pour tout scalaire . e

4.1. Thor`me de continuit. Dans les conditions du thor`me 2.1, si tout f de X e e e e e admet exactement une meilleure approximation P f dans V , lapplication P est continue sur X. En eet ([Che] pp. 2324), soit f X. Il faut montrer que, > 0, il existe un voisinage non vide {g : g f } enti`rement envoy par P dans la boule de centre P f et de rayon e e . Supposons quil nen est rien: il existe donc un > 0 tel que tous les voisinages de f ont des images par P contenant au moins un lment situ a distance > de P f . . . ee e` Il y a donc une suite {fn } convergeant vers f : fn n f dans X, et dont les images ne tendent pas vers P f : P fn P f > x > 0. e Comme fn f (continuit de la norme), toutes les normes fn sont bornes par un e e mme nombre M ; on a vu que P fn se trouve ncessairement dans la boule de centre fn et de e e rayon fn , donc dans B2 fn B2M . Tous les P fn et P f sont donc dans le compact B2M V de V (compact parce que V est de dimension nie). Nous pouvons donc considrer une suite e extraite convergente {P fni } des P fn , de limite h V , ncessairement distinct de P f , mais e

MATH2171 2005-06 1 Thor. gnraux e e e alors h f = lim P fnj fnjj j

24

lim P f fnj Pf f

puisque P fnj est meilleure que P f

impossible si h = P f , puisque P f est la seule meilleure approximation de f dans V .4.2. Forte unicit. On peut parfois quantier la distance entre f et un lment quelconque q de V par e ee une ingalit de la forme e e f q f Pf + Pf q , avec > 0 dpendant de f et V , mais pas de q. Cela revient a une condition de Lipschitz pour le projecteur e ` P: Pf Pg , f g

avec = 2/ ([Che] pp. 8082).

5. Dualit. e Si est une forme linaire = 0 continue sur X, de noyau contenant V , on a (f ) = (f q) pour q V , e en particulier avec la meilleure approximation p de f : |(f )| = |(f p)| E(f ), o` E(f ) := f p . On a donc la borne infrieure E(f ) |(f )|/ si (q) = 0, q V . u e On aura loccasion de concrtiser cette proprit au chapitre suivant ( 2.2 et 2.4). e ee Thor`me. Si X est un espace de Banach, V un sous-espace de dimension nie de X, e e E(f ) = max (f ).V =1

On applique le thor`me de Hahn-Banach ([DeVLor] p.61, [Mei] 1.3). e e Extension a la meilleure approximation sur une partie convexe de X: ` Thor`me de Fenchel. Si W est une partie convexe de lespace norm X, on a e e e E(f ) := inf Cf. [DeVLor] p.6162.qW

f q = sup

X 1

(f ) sup (q) .qW

6. Exemples et exercices. 6.1. (1) Prendre X = C [a, b], V = les constantes, et (a) : on obtient p = (max f + min f )/2. Remarquer que f q a un point critique non drivable en q = p. e (b) f q 2 est simplement un trinme du second degr en q. On obtient o e 2: 2 1 b p = (b a) f (x)dx. a (c) : supposer dabord f monotone p = f ((a + b)/2). 1 (3) Prendre X = {f C [0, 1] : f (0) = 0} et V = {q(x) = ax}aR . Comparer avec Taylor xf (0) pour quelques fonctions simples de V , par exemple sin x, etc.


25

(4) Syst`mes surdtermins dquations linaires. On ne peut (normalement) pas e e e e e rsoudre exactement N quations linaires a n inconnues si N > n. On choisit x R n e e e ` tel que b Ax soit minimum selon une norme de RN . Cela correspond a X = RN ` et V = espace sous-tendu par les colonnes de A. e 2 : moindres carrs Cf. G.A. Watson, Approximation Theory and Numerical Methods, Wiley, 1980, pour e et programmation linaire: [Sti] 2.7. 6.2. Moyenne et mdiane. e Reprendre les constantes, mais pour approcher une fonction discr`te, par exemple des cotes e dtudiants (exemple purement imaginaire4): e x 1 2 3 4 5 f (x) 18 17 16 14 2 Le bon sens sugg`re que lexamen a t bien russi, quil ny a quun cas malheureux a dplorer. e ee e ` e Pourtant, la meilleure constante selon la norme du maximum est (mini f (xi ) + maxi f (xi ))/2 = 10 sugg`re une assez mdiocre performance densemble: cette norme est trop e e sensible aux cas extrmes pour tre utile ici. e e Selon 2 , on obtient la moyenne 67/5 = 13.4, encore curieusement basse: tous les tudiants sauf un seraient au-dessus de la moyenne. . . e La vraie performance moyenne (au demeurant excellente) est videmment celle de ltudiant e e e class en (n/2)`me position (mdiane). Elle est obtenue en minimisant e en

f c

1

=i=1

|f (xi ) c| selon c, ce qui donne bien c = f (xn/2 ). (Plus prcisment: f (x(n+1)/2 ) e e

si n est impair; f (xn/2 ) ou f (x1+n/2 ) si n est pair: exemple de non unicit). e 6.3. Principaux sous-espaces de fonctions utiliss en approximation. e (1) Pn , polynmes de degr n. Base usuelle: {1, x, x2 , . . . , xn }. Dimension n + 1. On o e se proccupera beaucoup de dterminer des bases plus ecaces. . . e e (2) Tn , polynmes trigonomtriques de degr n. Bases les plus utilises: o e e e {{1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx}, {sin x, sin 2x, . . . , sin nx}}; {einx , ei(n1)x , . . . , eix , 1, eix , . . . , einx }. Dimension 2n + 1. k (3) Sn (), fonctions spline dnies sur [a, b] a partir dun dcoupage = {a = x1 < e ` e k x2 < < xN 1 < xN = b}. f Sn () si (a) f est de classe C k dans [a, b], et (b) la restriction de f a un sous-intervalle [xi , xi+1 ] est un polynme de degr n. ` o e k+1 k+1 n n n Une base: {1, x, . . . , x , (xx2 )+ , . . . , (xx2 )+ , (xx3 )+ , . . . , (xx3 )+ , . . . , . . . , (x xN 1 )k+1 , . . . , (x xN 1 )n }, o` F+ dsigne la fonction qui vaut zro quand F (x) 0, u e e + + et qui vaut F (x) quand F (x) 0. Dimension: n + 1 + (n k)(N 2). Base la plus lgante: B-splines, nulles sur le plus grand nombre possible de sousee intervalles.k

(4)

k En ,

combinaisons de polynmes et dexponentielles donnes: o ej=1

pj (x)ej x , pj Pn .

4dapr`s e

un exemple donn par J. Buijs, KULeuven. e

MATH2171 2005-06 1 Thor. gnraux e e e 6.4. Centre et rayon de Tchebyche dune partie P de X.

26

exemple5, tous les points du segment vertical (0, 1) (0, 1) sont des centres du segment horizontal (1, 0) (1, 0) de R2 muni de . Plus tonnant: o` est (sont) le(s) centre(s) du triangle de sommets A = e u (1, 1, 1), B = (1, 1, 1) et C = (1, 1, 1) de R3 muni de ? Le triangle est enti`rement contenu dans la boule de rayon 1 centre a lorigine (le cube de e e ` B la gure ci-contre). Tout autre centre prsum (c1 , c2 , c3 ) ne convient pas car au e e e moins une des dirences ci la i`me coordonne dun des points A, B, ou C a une e e e C valeur absolue > 1 (il y a toujours une de ces coordonnes qui vaut 1 et une qui vaut 1). La curiosit est donc que le centre nest pas dans P . On montre que e toute partie de X admet un centre dans son enveloppe convexe si et seulement si X est prhilbertien (voir ce mot en p. 74). Cf. Klee, Victor, Circumspheres and e A inner products. Math. Scand. 8 1960 363370. Garkavi, A. L. On the Cebyev center and convex hull of a set. s (Russian) Uspehi Mat. Nauk 19 1964 no. 6 (120), 139145. Holmes, Richard B. A course on optimization and best approximation. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 257. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972. viii+233 pp. 6.5. Largeurs de Kolmogorov. A un degr plus lev de maturit, la thorie de lapproximation se e e e e e pose le probl`me suivant: pour une norme donne, et une partie P donne de X, on consid`re tous les e e e e sous-espaces V de dimension m de X, et on value pour chaque V lerreur du plus mauvais f de P : e M (V ) = supf P minqV f q . On minimise alors M (V ) selon V . . . On ne sait donc pas a lavance quelle ` sera la nature des approximations. Exemple (A. Pinkus, n-Widths in Approximation Theory, Springer, 1985): X = {f : f C r [0, 2] avec f (0) = f (2), f (0) = f (2),. . . f (r1) (0) = f (r1) (2)} muni de la norme de L2 , P = {f : f X, f (r) 1}. On trouve V = T n1 , espace des polynmes trigonomtriques de degr n 1 = plus grand entier < m/2; o e e M (V ) minimum = 1/nr . Cest une faon de justier lintrt numrique des sries de Fourier. c e e e e Cf. aussi C.A. Micchelli, T.J. Rivlin, Editors: Optimal Estimation in Approximation Theory, Plenum Press, New York, 1977. 6.6. Coapproximation. Soit E un espace vectoriel norm, G un sous-espace de E et x E. Tout lment g 0 G vriant e ee e g G : g0 g x g est appel lment de meilleure coapproximation de x par des lments de G. eee ee Dans un prhilbertien, approximation et coapproximation sont quivalentes. e e Cf. Papini, Pier Luigi; Singer, Ivan: Best coapproximation in normed linear spaces. Monatsh. Math. 88, 27-44 (1979). Rao, Geetha S.; Swaminathan, M.: Best coapproximation and Schauder bases in Banach spaces. Acta Sci. Math. 54, No.3/4, 339-354 (1990). Rao, Geeta S.; Muthukumar, S.: Semi-continuity properties of the coapproximation operator. Math. Today 5, 37-48 (1987). Rao, Geetha S.; Chandrasekaran, K.R.: Characterizations of elements of best coapproximation in normed linear spaces. Pure Appl. Math. Sci. 26, 139-147 (1987). Rao, Geetha S.; Swaminathan, M.: On normal bases. Bull. Calcutta Math. Soc. 88, No.2, 107-112 (1996).

c X est un centre de Tchebyche de P si supxP cx est la plus petite possible, cette norme minimale est appele rayon de Tchebyche e de P . Cest donc le rayon de la plus petite boule contenant P . Par

5Exemples

et rfrences fournis par Michel Coyette. ee

MATH2171 2005-06 2 Tchebyche

27

CHAPITRE 2Approximation au sens de Tchebyche.1. Thor`me dquioscillation de Tchebyche. e e e Approximation au sens de Tchebyche signie simplement meilleure approximation util1 isant la norme du maximum e , ce qui na rien que de tr`s banal, semble-t-il . La contribution cruciale de P.L. Tchebyche (1821-1894) consista a dcrire de faon saisissante cette ` e c meilleure approximation. Voyons immdiatement le thor`me essentiel de Tchebyche: e e e

1.1. Thor`me dquioscillation de Tchebyche (1853). 2 e e e Soit X = C [a, b] lespace des fonctions continues relles sur lintervalle compact [a, b], V e lespace Pn des polynmes rels de degr n. Alors p est la meilleure approximation de f o e e dans Pn au sens de la norme du maximum si et seulement si on peut trouver n + 2 points distincts dans [a, b] a xn+1 < xn < xn1 < . . . < x1 < x0

b et de signes alterns: e (3)

o` f p prend des valeurs de mme valeur absolue E = f p u e f (xi ) p(xi ) = E(1)i ,

i = 0, 1, . . . , n + 1,

o` est le signe de f (x0 ) p(x0 ). Un tel ensemble de points est appel alternant . u eIl est en eet indispensable quil ne soit, en aucun endroit, susceptible de plus ou de moins. . . . Le point a partir duquel ` il est gal en tout sens tend galement vers ses limites. e e Parmnide e

On peut donc avoir plusieurs points, ou mme tout un intervalle, o` f p atteint un e u extrmum, ces points ne comptent que pour un point tant que f p natteint pas lextrmum e e oppos (voir gure qui reprsente un exemple de graphe de f p). e e 1On

dit aussi approximation minimax. Tr`s exactement, dans Thorie des mcanismes connus sous le nom de paralllogrammes, Mmoires e e e e e prsents a lAcadmie Impriale des sciences de St.-Ptersbourg par divers savants, VII, 1854, pp. 539568, Lu e e ` e e e le 28 janvier 1853, o` le thor`me dquioscillation est esquiss. Tchebyche reprend la question de mani`re u e e e e e beaucoup plus dtaille dans un article de 1859 (lu le 9 octobre 1857) Sur les questions de minima qui se e e e rattachent a la reprsentation approximative des fonctions [Tche]. Il a fallu attendre le 20`me si`cle et le ` e e dveloppement de la notion de compacit (Borel) pour arriver a la dmonstration compl`te [Che]. e e ` e e2

MATH2171 2005-06 2 Tchebyche (x) d6 z2 d5 x1 z1 d4 d3 d2 d1

28

E f (x) p(x)

a

x0 b -

E . . . u5 u4 u3 u2 u1 Les points on t numrots a partir de la droite, on verra plus loin que cest plus commode. ee e e ` 1.2. Preuve de la condition ncessaire: p optimal dans Pn (3). e 1.2.1. Deux premiers points. On a donc E = f p = maxa x b |f (x) p(x)|. La fonction continue |f p| atteint en au moins un point de [a, b] son maximum E. En fait, f p atteint sa valeur maximale Emax en au moins un point, et sa valeur minimale Emin en au moins un autre point. Par dnition de E, E = max(Emax , Emin ). e En fait, E = Emax = Emin : sil en tait autrement, par exemple si minx (f (x) p(x)) = e > E, soit := (E + )/2. Remarquons que = 0.Alors, p + serait meilleur que p: (E ) = = min(f (x) p(x) ) x

max(f (x) p(x) ) = E , x

on aurait donc f p = E < E. Mme raisonnement si on avait maxx (f (x) p(x)) < E. e On a donc dj` un alternant dau moins deux points. Prenons n > 0 puisquil ny a plus ea rien a dmontrer si n = 0. ` e 1.2.2. Dcoupage. Comme f p est continue sur le compact [a, b], elle y est uniformment e e continue: > 0, > 0 tel que dans tout intervalle de longueur dans [a, b], loscillation de f p est infrieure a . Prenons le correspondant a = E/2 et divisons [a, b] en s 1 e ` ` intervalles3 [us , us1 ], [us1 , us2 ],. . . , [u2 , u1 ] de longueurs , avec a = us < us1 < . . . u2 < u1 = b. Sur les intervalles [uk+1 , uk ] o` |f p| atteint son maximum E, |f p| ne peut prendre u des valeurs infrieures a E/2, de sorte que f p garde un signe constant sur ces intervalles-l` e ` a (il y en a au moins deux). Notons, a partir de la droite, d1 , d2 ,. . . , dN ces intervalles. Sur les ` autres intervalles (ferms) [ui+1 , ui ], la fonction continue |f p| natteint jamais la valeur E, e elle atteint donc une valeur maximale que nous notons E . On a E < E. Soit = +1 ou 1 le signe de f p sur d1 . Regroupons ces intervalles tant que f p y garde le mme signe: e d 1 , d 2 , . . . , d k1 signe = dk1 +1 , dk1 +2 , . . . dk2 signe = ........................................... dkm1 +1 , dkm1 +2 , . . . dkm signe = (1)m1 Dans le cas de la gure, on a = 1, k1 = 4, k2 = 5, k3 Montrons que m n + 2.3Ici,

6. . .

on suit [` peu pr`s] les notations de Natanson [Nat] pp. 26 et suivantes; voir aussi [Riv1, chap. 1, a e

1.2].


29

Supposons que m < n + 2. Comme la fonction continue f p a le signe sur tout lintervalle dk1 et le signe oppos sur tout lintervalle dk1 +1 , il y a au moins un intervalle [ur+1 , ur ] e entre dk1 +1 et dk1 . Soit z1 (ur+1 , ur ) (lintervalle ouvert!). On peut dailleurs prendre un point entre dk1 +1 et dk1 o` f p sannule. De mme, on choisit z2 entre dk2 +1 et dk2 , . . . , zm1 u e entre dkm1 +1 et dkm1 . 1.2.3. Construction dun polynme meilleur que p si m < n + 2. . On construit alors o Cest un polynme de degr m 1 < n + 1, donc un lment de V = Pn . Le polynme o e ee o ne sannule quaux zi , donc garde un signe constant sur chaque intervalle di . Le polynme o a prcisment le mme signe que f p sur chaque di : sur d1 ,. . . , dk1 , (x) et f (x) p(x) e e e ont tous deux le signe puisque x > z1 > z2 > : (x) > 0; sur dk1 +1 ,. . . , dk2 , (x) et f (x) p(x) ont tous deux le signe puisque z1 > x > z2 > : (x) < 0, etc. Montrons que lon peut trouver > 0 assez petit tel que p + soit meilleur que p: sur les di , f (x) p(x) (x) garde le signe de f (x) p(x) pourvu que |(x)| soit toujours plus petit que |f (x) p(x)| E/2, il sut donc de prendre 0 < < E/(2 ) .Le maximum de |f p | sur les di sera donc rduit a un nombre infrieur a E minxdi |(x)| < E. e ` e ` Enn, sur les intervalles [ui+1 , ui ] qui ne sont pas des di , on sait que |f (x) p(x)| ne dpasse e pas E < E, donc, avec < (E E )/ , le maximum de |f p | reste encore infrieur e a maxxdi |f p| + < E. ` Si m < n + 2, on peut donc construire une approximation meilleure que p dans Pn , ce qui est impossible: m n + 2. 1.3. Preuve de la condition susante (3) p optimal dans Pn . Montrons que, si on a pu construire p Pn tel que f p poss`de un alternant de n + 2 e points, p ne peut tre amlior: si q Pn tait meilleure approximation que p, on aurait e e e e f q < E = f p (on ne consid`re que le cas f Pn : E > 0). Examinons e ce qui se passe en x0 , x1 ,. . . , xn+1 : f (x0 ) p(x0 ) = E et |f (x0 ) q(x0 )| < E, donc, q(x0 ) p(x0 ) = f (x0 ) p(x0 ) (f (x0 ) q(x0 )) est non nul avec le signe . En x1 , q p a le signe , etc. Le polynme q p devrait donc sannuler en n + 1 points distincts sparant les o e n + 2 points xi , ce qui nest pas possible avec un polynme non nul de degr n. o e 1.4. Exemple. La fonction f (x) = sin 6x ne peut tre approche sur [0, 1] par un e e polynme meilleur que le polynme nul tant que le degr reste 4. o o e En eet, avec p(x) 0, f p prsente un alternant de 6 points en 1/12, 3/12, . . . , 11/12, de e sorte que 0 est optimal dans P0 ,. . . , P4 . 1.5. Thor`me dunicit de la meilleure approximation polynomiale au sens de e e e Tchebyche. La meilleure approximation polynomiale de degr n au sens de Tchebyche e dune fonction relle continue sur un compact [a, b] est unique. e Comme la norme de Tchebyche nest pas stricte, on ne peut appliquer un thor`me e e gnral, mais le raisonnement particulier suivant tablit la proposition: e e e Si p et q sont deux polynmes de meilleure approximation, il en est de mme de (p + q)/2 o e (combinaison convexe). Donc, par le thor`me dquioscillation, f (p + q)/2 poss`de un e e e e alternant de n + 2 points {x0 , x1 , . . . , xn+1 } (condition ncessaire). En un de ces points, soit e xk , on a f (xk ) (p(xk ) + q(xk ))/2 = k E, o` k = (1)k est le signe appropri, donc u e f (xk ) p(xk ) + f (xk ) q(xk ) = 2k E. Comme |f (xk ) p(xk )| et |f (xk ) q(xk )| sont tous (x) = (x z1 )(x z2 ) . . . (x zm1 ).


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deux E, cela nest possible que si f (xk ) p(xk ) = k E et f (xk ) q(xk ) = k E, donc q(xk ) = p(xk ) en n + 2 points distincts, le polynme q p devrait sannuler en ces n + 2 points, o impossible avec un polynme non nul de degr n. o e 2. Proprits de la meilleure approximation. e e 2.1. Symtrie. Thor`me. Si f est une fonction paire sur un intervalle de la forme e e e [a, a], cest-`-dire si x [a, a], f (x) = f (x), alors sa meilleure approximation p de degr a e n au sens de Tchebyche est galement une fonction paire. De mme, si f est une fonction e e impaire (f (x) = f (x)), p est une fonction impaire 4. En eet, soit f (x) = sf (x) avec s = 1 (fonction paire) ou s = 1 (fonction impaire). On a do` on conclut que s(x) est galement une meilleure approximation de f sur le mme u p e e intervalle [a, a], do` , par unicit, s(x) = p(x). u e p Si f est paire sur [a, a], la meilleure approximation de degr 2n prsente donc ncessairement e e e un alternant dau moins 2n + 3 points (puisque le mme p est galement optimal dans P2n+1 )! e e Par exemple, x2 + 1/8 est la meilleure approximation de degr 3 de |x| sur [1, 1]. Les e points extrmaux de la fonction derreur sont bien a nombre de 5: 0, 1/2 et 1. e 2.2. Thor`me (de La Valle Poussin). Soit f continue sur le compact [a, b] et p sa e e e meilleure approximation de degr n au sens de Tchebyche. Soit E = f p . e Alors, si on connat p Pn et des points a xn+1 < xn < . . . < x1 < x0 min |f (xi ) p(xi )| b o` f p prend des valeurs de signes alterns, on a u e0 i n+1

E = f (x) p(x)

= f (x) p(x)

= sf (x) s(x) p

= f (x) s(x) p

,

E.

e e En eet, si tous les |f (xi ) p(xi )| taient > E, chaque p(xi ) p(xi ) serait du mme signe que f (xi ) p(xi ), puisque p(xi ) p(xi ) = f (xi ) p(xi ) (f (xi ) p(xi )) et que f (xi ) p(xi ) nest pas assez grand (sa valeur absolue est E) pour renverser le signe de f (xi ) p(xi ). Le polynme p p Pn devrait donc prendre des signes alterns en n+2 points, donc changer o e de signe en n + 1 points intermdiaires, ce qui est impossible5. e Ce dernier thor`me permet dapprcier dans quelle mesure un polynme p Pn est e e e o e proche de p: si p est tel que les signes des f (xi ) p(xi ) soient alterns, on a lencadrement pour E min |f (xi ) p(xi )| E max |f (x) p(x)|,i a x b

puisque p nest (normalement) pas optimal et que le dernier terme nest autre que f p4Cas

.

Si les deux normes E = f p et f p sont proches, p et p sont galement proches, par forte unicit e e (Chap. 1, 4.2, p. 24, quon dmontrera dans un instant): p p e ( f p E)/.5Exercice.

particulier dun thor`me dinvariance, [Mei] pp. 25-26. e e Montrez cette variante: soit un polynme p Pn tel que f p a des signes alterns en n + 2 o e points a xn+1 < xn < . . . < x0 b, alors, pour tout polynme q Pn , on a, en au moins un des points xi , o |f (xi ) p(xi )| |f (xi ) q(xi )|. On en dduit videmment mini |f (xi ) p(xi )| e e f q . (J. Hendrickx, MAP 22, 2002-2003.) (En eet, sil nen tait pas ainsi, q p = f p (f q) prsenterait des signes alterns e e e en les n + 2 points xj ).


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2.3. Unicit forte. [Che] essayons dapprcier dans quelle mesure f p est plus grand que f p e e quand p = p. En chacun des n + 2 points de lalternant de f p, on a Q(xi ) , f (xi ) p(xi ) = f (xi ) p(xi ) + p(xi ) p(xi ) = (1)i E + p p (1)i o` Q est le polynme de norme unit ( p)/ p p Pn . Les n + 2 valeurs Q(xi )/((1)i ) ne peuvent tre u o e p e toutes 0, sinon Q aurait au moins n+1 zros. On montre que maxi (1)i Q(xi ) est une fonction strictement e positive, continue en les coecients de Q sur le compact B1 Pn , elle admet donc un minimum galement e strictement positif que lon note . En un xi o` (1)i Q(xi ) , on a donc |f (xi ) p(xi )| E + p p , do` f p u u E + pp .

Proprit de Haar, espaces de Haar. e e Les fonctions continues 1 , 2 ,. . . , m de A vers R ou C ont la proprit de Haar si e e (1) A contient au moins m points, m (2) toute combinaison linaire 1 ai i est, soit la fonction nulle sur A, soit a au plus m 1 zros e e distincts dans A. Lespace Hm sous-tendu par 1 , 2 ,. . . , m est alors appel espace de Haar ([DeVLor] pp.6773, [Mei] e 4.1). Exemples. (1) Pn , avec m = n + 1; (2) lespace des polynmes pondrs p(x) = w(x)q(x), q Pn sur un ensemble A o` w ne sannule pas; o e e u ceci permet de traiter des probl`mes de meilleure erreur relative avec w = 1/f si f ne sannule pas e sur A; (3) lespace Tn des polynmes trigonomtriques p() = a0 + n (ak cos(k)+bk sin(k)) sur A = [, ): o e 1 p() = ein q(ei ) avec q P2n , on a donc m = 2n + 1; m e (4) les combinaisons linaires relles dexponentielles relles f (x) = 1 ak ek x , sur un intervalle rel e e e A, avec 1 ,. . . , m distincts: la proprit est vraie pour m = 1, si elle est vraie pour m 1, f ee ne peut avoir m zros rels distincts, car il en serait de mme pour g: g(x) = e m x f (x), donc g e e e aurait encore m 1 zros rels distincts dans A (th. de Rolle), mais g est une combinaison de m 1 e e exponentielles. Soit 1 , 2 ,. . . , m une suite libre, donc une base de Hm . Si Hm est un espace de Haar, et si x1 , x2 ,. . . , xm sont des points distincts de A, le dterminant e 1 (x1 ) . . D(x1 , x2 , . . . , xm ) = . m (x1 ) . . .m

2.4. Signes alterns. A partir du

Analyse numérique 1a

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