Étude numérique pour analyse paramétrique directe des systèmes

tournants en dynamiques non-linéaires

Présentée par : Lihan XIE

Directeur de thèse : R. DUFOUR (LaMCoS) Encadrant : S. BAGUET (LaMCoS) Encadrant CEA : B. PRABEL

Club Cast3M 2015

Thèse CEA Saclay (DEN/DM2S/SEMT/DYN)

1

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

Contexte industriel d’études des machines tournantes:

•Investissements financiers importants •Impact majeur sur la sûreté des installations...

En prenant en compte les non-linéarités dans les machines :

•Non-linéarités présentes: fissure, contact rotor-stator, paliers hydrodynamiques •Phénomènes complexes: saut d’amplitudes, cycle d’hystéresis, instabilités...

Bifurcation

•Changement de stabilité, mutation de régime •Étude paramétrique

INTRODUCTION

2

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

Objectif : Mise en oeuvre de techniques efficaces dans Cast3M pour étudier le

comportement non-linéaire des machines tournantes dans le cadre de la modélisation élément fini tri-dimensionnelle.

➢ Réponse forcée au balourd, en régime établi

➢ Méthodes de résolution : Méthode de la Balance Harmonique (HBM) [CAM89]

➢ Analyse de stabilité par la théorie de Floquet

➢ Détection et localisation des bifurcations dans le cadre de HBM

Objectif et Positionnement

3

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

I. Introduction et Objectif

II. Courbe de réponse par la HBM

III. Analyse de stabilité

IV. Bifurcation

V. Applications numériques

VI. Perspective

Plan de la présentation

4

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

Courbe de réponse

5

Décomposition en séries de Fourier : En fréquentiel :

- Méthode de la Balance Harmonique (HBM)

Rotor linéaire modélisé par des éléments 3D dans le repère mobile :

Effet de Coriolis Effet centrifuge

Équation de mouvement d’un rotor non-linéaire :

DFT :

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

Courbe de réponse

6

Décomposition en séries de Fourier : En fréquentiel :

- Méthode de la Balance Harmonique (HBM)

Rotor linéaire modélisé par des éléments 3D dans le repère mobile :

Effet de Coriolis Effet centrifuge

Équation de mouvement d’un rotor non-linéaire :

DFT :

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

Direction tangente

Pseudo-longueur d’arc

Solution initialement approchée

PREDICTION

CORRECTIONS

Test sur le résidu ||R||<ε7

Courbe de réponse - Technique de continuation par pseudo longueur d'arc

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

√ nous permet de suivre la courbe de réponse

8

Courbe de réponse - Technique de continuation par pseudo longueur d'arc

Direction tangente

Pseudo-longueur d’arc

Solution initialement approchée

PREDICTION

CORRECTIONS

Test sur le résidu ||R||<ε

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

X , ω solution initiale approchée pour ω = ω0AFT

(Alternating frequency-time)

Algorithme HBM + Continuation :

i=i+1

k=k+1

(x,x')

fnl

FNL

DFT

X

DFT

DFT -1

Calcul des termes non linéaires

Courbe de réponse - AFT (Alternating frequency-time)

9

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

STABILITY ANALYSIS

HBM : + Petite perturbation

Système quadratique des valeurs propres:

10

Im

ReStable Instable

Λ = 0 LP / BP

Λ = iµ Hopf secondaire (NS)

Λ = -iµ Hopf secondaire (NS)

Analyse de stabilité – Théorie de Floquet

Analyse de stabilité des solutions périodiques dans le domaine fréquentiel : Valeurs propres complexes Λ = Exposants de Floquet Stabilité et Bifurcations

Point limite (fold)

Bifurcation simplePeriodic

Quasi - periodic

Neimark-Sacker

Points singuliers

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 2611

Caractérisation des points singuliers :

Détection des bifurcations

- Points singuliers (LP ou BP)

Point limite

Bifurcation simple

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 2612

A. Griewank, G. Reddien The calculation of Hopf points by a direct method IMA J. Numer. Anal., 3 (1983), pp. 295–303

Détection des bifurcations

- Points singuliers (LP ou BP)

Point limite

Bifurcation simple

- Bifurcation de Neimark-Sacker (NS) — hopf simple

Caractérisation des points singuliers :

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

AFT - TFR

PREPARATION- HBM Dupliquer les matrices sur

les harmoniques

RESOLUTION PAR CONTINUATION Prédiction - Correction

ANALYSE STABILITE Exposants de Floquet

Réduction de Craig-Bampton

Réduction de Craig-Bampton

LIAISONS R-S en harmoniques

DONNEES MODELISATION

ROTOR et STATOR M, C, K , Kcl (Cgyro,

Ccori, Kcent…)

Définition du chargement non-linéaire fnl(t), dfnldx(x)

13

Organigramme d’un calcul sous Cast3M

RIGI, MASS, AMOR, KENT, CORI, BLOQ…

VIBR, IDLI, DEPI, REAC…

HBM

PJBA

CONTINU…

LIAIRS

PJBA

LIAIRS

RELA…

INDICATEURS de BIFURCATION

MONO

DIAG: nb de vp nég

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

Application numérique - Jeffcott avec Contact

• Simplifié à 2ddls • Modèle de contact par pénalité • Loi de frottement de Coulomb • Réponse au balourd

Jiang J., Determination of the global responses characteristics of a piecewise smooth dynamical system with contact, Nonlinear Dynamics, 2009, 57, 351-361

14

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 2615

Application numérique - Jeffcott avec Contact

µ = 0.05 µ = 0.11

µ = 0.2

- Réponse au balourd en variant le coefficient de frottement

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 2616

Contact annulaire

Solution périodiqueµ = 0.11

Application numérique - Jeffcott avec Contact- Validation temporelle

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 2617

µ = 0.11

Application numérique - Jeffcott avec Contact

Contact partiel avec du rebond

Solution quasi-périodique

- Validation temporelle

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

Application numérique

Stator fixe kcontact=10*kpalier

- Rotor à 3 disques avec contact rotor-stator

avec

l=1,3m

r_arbre=0,05m

r_disques = 0,12m, 0,2m,0,2m

kxx=kzz=6e7N/m cxx*czz=600N/M/s

18

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Exce

ntric

ity/c

lear

ance

Rotating speed (tr/min)

LinearStable periodic

Unstable periodicLimit point

µ=0.03

µ=0.2

Application numérique- Rotor à 3 disques avec contact rotor-stator en poutre (SEG2)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

Ecce

ntric

ity r

/ cle

aran

ce h

Rotating speed (tr/min)

LinearStable periodic

Unstable periodicLimit point

NS bifurcation

19

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

Application numérique- Rotor à 3 disques avec contact rotor-stator en 3D (CU20)

20

µ=0.1

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

● Modélisation 3D du rotor et stator, réduction de modèle

● Mise en œuvre de la Méthode de la Balance Harmonique, de l’analyse de stabilité au sein de CAST3M

● Etude du comportement des rotors appliqués à différents types de non-linéarité, analyse de la stabilité des solutions périodiques

● Détection de point limite où le changement de stabilité est indiqué, de bifurcation simple, et de bifurcation du régime périodique vers le régime quasi-périodique

Conclusion

21

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

| PAGE 30

CEA | 10 AVRIL 2012

● Etude paramétrique des bifurcations du système non-linéaire

Perspective

ω

λ

Q

R(Q,ω,λ=λ0)

(Q0,ω0,λ0)

Δs

(Q0+ΔQ,ω0+Δω,λ0+Δλ)

(Q1,ω1,λ1)

R(Q,ω,λ=λ1)

Gres(Q,ω,λ)

22

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

Limit points tracking (LP): λ : additional parameter

23

where

: path following

: normalization

: equilibrium

: characterization of limit points

with

Perspective

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 2624

Application numérique - Jeffcott avec Contact

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 2625

Application numérique - Jeffcott avec Contact

µ = 0.2

● Etude paramétrique des bifurcations du système non-linéaire ● Détermination les seuils de stabilité, et les frontières de changement de régime du

système en dynamique non-linéaire

Coe

ffici

ent d

e fro

ttem

ent

Fréquence d’excitation dimensionné

Club Cast3M 2015, 27/11/2015/ 26

[CAM 89] CAMERON T.M., GRIFFIN J.H. An Alternating Frequency/Time Domain Method

for Calculating the Steady-State Response of Nonlinear Dynamic Systems. Journal of Applied Mechanics, vol. 56, n°1, 1989, p. 149-154, ASME.

[PEL13] PELETAN L., BAGUET S.,TORKHANI M., JACQUET-RICHARDET G. A

Comparison of Stability Computational Methods for Periodic Solution of Nonlinear Problems

With Application to Rotordynamics. Nonlin. Dyn. 72, 671-682, 2013

[JIA 09] JIANG J., Determination of the global responses characteristics of a piecewise

smooth dynamical system with contact, Nonlinear Dynamics, 2009, 57, 351-361

[GRI 83] GRIEWANK A., REDDIEN G. The calculation of Hopf points by a direct method,

IMA J. Numer. Anal., 3 (1983), pp. 295–303

26

Référence

Direction de l’Energie Nucléaire Direction déléguée aux Activités Nucléaires de SaclayDépartement de Modélisation des Systèmes et StructuresServiceLaboratoire

Commissariat à l’énergie atomique et aux énergies alternatives Centre de Saclay | 91191 Gif-sur-Yvette Cedex T. +33 (0)1 XX XX XX XX | F. +33 (0)1 XX XX XX XX Etablissement public à caractère industriel et commercial |

RCS Paris B 775 685 019

CEA | 10 AVRIL 2012

MERCI DE VOTRE ATTENTION !

27