Analyse Mip TD1
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Université Mohamed 1er FST - Al Hoceima TD1: Logique et ensembles Feuille1 1ère année MIP - Analyse S1 - 2013/2014 Prof. Nafie Jamal . . Quantificateurs: ∀ ; ∃ Exercice 1 f étant une fonction de R dans R. Exprimer à l’aide des quantificateurs les phrases suivantes puis donner leur négation. 1. f est une fonction nulle. 2. f a au moins un point fixe. 3. f n’est pas la fonction nulle. 4. f atteint toutes les valeurs de N 5. f est périodique. 6. f est décroissante sur R. 7. f est bornée sur R. Exercice 2 Soient les 4 assertions suivantes : p : ∃x ∈ R ∀y ∈ R x + y> 0 q : ∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y> 0 r : ∀x ∈ R ∀y ∈ R x + y> 0 s : ∃x ∈ R ∀y ∈ R y 2 >x 1. Les assertions p, q, r, s sont-elles vraies ou fausses ? 2. Donner leur négation. . . Opérations logiques Exercice 3 Tautologies Montrer que les assertions suivantes sont des tautologies. Préciser l’intérêt de chacune. (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) (1) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) (2) [(p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)] ⇒ (p ⇔ r) (3) p ⇔ [¬p ⇒ (q ∧¬q)] (4) [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇔ [(p ∨ q) ⇒ r] (5) Exercice 4 On note p, q, r et s des propositions données. 1. Vérifier que: p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 2. Trouver une proposition équivalente à: (p ∧ q) ∨ (r ∧ s) 3. Application: résoudre dans R 2 le système: { (x - 1)(y - 2) = 0 (x - 3)(y - 4) = 0 Exercice 5 NAND On définit le connecteur logique noté Nand par: Nand(p, q) ⇔ ¬(p ∧ q). 1. Écrire la table de vérité de Nand 2. Exprimer p en fonction de Nand 3. Exprimer ”et” en fonction de Nand 4. Exprimer ”ou” en fonction de Nand 5. Exprimer ⇒ en fonction de Nand . . Types de raisonnement Exercice 6 Absurde Montrer par l’absurde: 1. Si n ∈ N est un multiple de 10, n est aussi un multiple de 2. 2. Si ∀ε> 0; a ≤ ε alors a ≤ 0 3. √ 3+ √ 2 n’est pas un rationnel. 4. L’équation 2x 7 - 4x 4 +2x +3=0 n’a pas de solution entière. Exercice 7 Contraposée 1. Soit A, B ∈ R. Montrer que: (∀ε> 0; A<B + ε ⇒ A 6 B). 2. Montrer que: (x ̸= y) ⇒ (x + 1)(y - 1) ̸=(x - 1)(y + 1) Exercice 8 Contre exemple Montrer que les propositions suivantes sont fausses. 1. ∀n ∈ N ;2 n +3 n est un nombre premier. 2. (∀x ∈ R)(∃y ∈ R); y 2 + xy +1=0 Exercice 9 Disjonction des cas 1. Établir que ∀(a, b) ∈ R 2 on a: max(a, b)= 1 2 ( a + b+ | a - b | ) min(a, b)= 1 2 ( a + b- | a - b | ) 2. montrer que si a est un réel non nul tel que | x - a |<| a | alors x et a sont deux réels de même signe. Exercice 10 Récurrence Montrer par récurrence: 1. Pour tout réel q ̸=1, 1+ q + q 2 + ··· + q n = 1 - q n+1 1 - q 2. ∀n ∈ N * , 1 3 +2 3 + ··· + n 3 = n 2 (n + 1) 2 2 3. ∀n ∈ N * , 9 divise 10 n - 1 4. ∀x ∈ R, ∀n ∈ N , | sin(nx) |6 n | sin x | Exercice 11 On rappelle que si E est un ensemble fini, alors le nombre de ses éléments s’appelle le cardinal de E et on le note card(E)=| E |. Montrer que si card(E)= n, alors card(P(E)) = 2 n
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Université Mohamed 1erFST - Al Hoceima
TD1: Logique et ensemblesFeuille1
1ère année MIP - AnalyseS1 - 2013/2014
Prof. Nafie Jamal
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Quantificateurs: ∀ ; ∃Exercice 1f étant une fonction de R dans R. Exprimer àl’aide des quantificateurs les phrases suivantespuis donner leur négation.
1. f est une fonction nulle.2. f a au moins un point fixe.3. f n’est pas la fonction nulle.4. f atteint toutes les valeurs de N5. f est périodique.6. f est décroissante sur R.7. f est bornée sur R.
Exercice 2Soient les 4 assertions suivantes :
p : ∃x ∈ R ∀y ∈ R x+ y > 0
q : ∀x ∈ R ∃y ∈ R x+ y > 0
r : ∀x ∈ R ∀y ∈ R x+ y > 0
s : ∃x ∈ R ∀y ∈ R y2 > x
1. Les assertions p, q, r, s sont-elles vraies oufausses ?
2. Donner leur négation.
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Opérations logiquesExercice 3 TautologiesMontrer que les assertions suivantes sont destautologies. Préciser l’intérêt de chacune.
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) (1)[(p ⇒ q)∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) (2)[(p ⇔ q)∧ (q ⇔ r)] ⇒ (p ⇔ r) (3)
p ⇔ [¬p ⇒ (q∧ ¬q)] (4)[(p ⇒ r)∧ (q ⇒ r)] ⇔ [(p∨ q) ⇒ r] (5)
Exercice 4On note p, q, r et s des propositions données.
1. Vérifier que: p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)
2. Trouver une proposition équivalente à:(p∧ q)∨ (r∧ s)
3. Application: résoudre dans R2 le système:{(x− 1)(y− 2) = 0(x− 3)(y− 4) = 0
Exercice 5 NANDOn définit le connecteur logique noté Nandpar: Nand(p, q) ⇔ ¬(p∧ q).
1. Écrire la table de vérité de Nand
2. Exprimer p en fonction de Nand
3. Exprimer ”et” en fonction de Nand
4. Exprimer ”ou” en fonction de Nand
5. Exprimer ⇒ en fonction de Nand
..
Types de raisonnementExercice 6 AbsurdeMontrer par l’absurde:
1. Si n ∈ N est un multiple de 10, n est aussiun multiple de 2.
2. Si ∀ε > 0 ; a ≤ ε alors a ≤ 0
3.√3 +
√2 n’est pas un rationnel.
4. L’équation 2x7 − 4x4 + 2x+ 3 = 0 n’a pasde solution entière.
Exercice 7 Contraposée
1. Soit A,B ∈ R. Montrer que:(∀ε > 0 ; A < B+ ε ⇒ A 6 B).
2. Montrer que:(x ̸= y) ⇒ (x+ 1)(y− 1) ̸= (x− 1)(y+ 1)
Exercice 8 Contre exempleMontrer que les propositions suivantes sontfausses.
1. ∀n ∈ N ; 2n + 3n est un nombre premier.
2. (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) ; y2 + xy+ 1 = 0
Exercice 9 Disjonction des cas1. Établir que ∀(a, b) ∈ R2 on a:
max(a, b) =1
2
(a+ b+ | a− b |
)min(a, b) =
1
2
(a+ b− | a− b |
)2. montrer que si a est un réel non nul tel que
| x − a |<| a | alors x et a sont deux réelsde même signe.
Exercice 10 RécurrenceMontrer par récurrence:
1. Pour tout réel q ̸= 1,1 + q+ q2 + · · ·+ qn =
1− qn+1
1− q
2. ∀n ∈ N∗ , 13 +23 + · · ·+n3 =n2(n+ 1)2
2
3. ∀n ∈ N∗ , 9 divise 10n − 1
4. ∀x ∈ R, ∀n ∈ N , | sin(nx) |6 n | sin x |
Exercice 11On rappelle que si E est un ensemble fini, alorsle nombre de ses éléments s’appelle le cardinalde E et on le note card(E) =| E |. Montrer quesi card(E) = n, alors card(P(E)) = 2n
