AnalyseAnalyse

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Dominique Allainé

LaboratoireBiométrie et Biologie Evolutive

Objectif général du Objectif général du courscours

Apprendre à utiliser le langage mathématique pour résoudre des situations où interviennent des phénomènes biologiques

Apprendre les concepts de base et se familiariser avec les usages et les significations de ces concepts en fonction de la situation biologique

DéterminismeDéterminisme et et HasardHasard

Peut-on prédire l’évolution Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’un au court du temps d’un phénomène biologique ?phénomène biologique ?

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6

Temps

No

mb

re d

'org

anis

mes

Etude de fonctionEtude de fonctionModéliser le

phénomène par une fonction

Déterminer les propriétés de la fonction

Interpréter en termes biologiques

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6

Temps

No

mb

re d

'org

an

ism

es

Chapitre 1Chapitre 1

Fonctions - GénéralitésFonctions - Généralités

La température d’une souris (z) en laboratoire est approximativement

avec c constante

cz

La température d’un lézard (y) en fonction de la température de l'air à l'ombre (x) est

approximativement

y f x x

Application de dans qui à un point x de fait correspondre un point UNIQUE y = f(x) dans .

Fonctions polynômesFonctions polynômes Fonctions homographiquesFonctions homographiques Fonctions trigonométriquesFonctions trigonométriques La fonction logarithme népérien : La fonction logarithme népérien : lnln La fonction exponentielle : La fonction exponentielle : ee Fonctions puissancesFonctions puissances

Fonctions usuellesFonctions usuelles

PolynômesPolynômes

Polynôme Polynôme de degré 4de degré 4

Polynôme Polynôme de degré 3de degré 3

Trinôme Trinôme de degré 2de degré 2

Fonction Fonction linéairelinéaire

2f x ax bx c

f x ax b

3 2f x ax bx cx d

4 3 2f x ax bx cx dx e

2T aT b

Fonctions Fonctions trigonométriquestrigonométriques

cos sin f x a bx c dx

cosD t f t

La fonction logarithme La fonction logarithme népériennépérienMesurer la magnitude d’un tremblement de Mesurer la magnitude d’un tremblement de

terreterre

A: amplitude des oscillations,A: amplitude des oscillations, T: T: périodepériode

Japon 1906 Japon 1906 Chili 1960Chili 1960

M = ln(A/T)

A/T

La fonction exponentielleLa fonction exponentielle

btN ae

Croissance d’une population de Croissance d’une population de tourterellestourterelles

Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi l’Europe d’Est en Ouest et arrivent en Grande Bretagne :1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964

Fonctions puissancesFonctions puissances

mf x x m = 1.54

Fonction réciproque

1y f x x f y

yyfxy

DfDff

exfyx

DffDfx

ln)(

)(

)(

)(

1

R)(Df

f

Fonction composée

Plan d’étude d’une Plan d’étude d’une fonctionfonction

A.A. DDff

B.B. SymétrieSymétrie

C.C. Limites/continuitéLimites/continuité

D.D. AsymptotesAsymptotes

E.E. Sens de variation Sens de variation

F.F. Concavité/convexité Concavité/convexité

G.G. Tableau de variationTableau de variation

H.H. GrapheGraphe

f x

f x

A.A. Domaine de Domaine de définitiondéfinition

Df = Domaine de définition Ensemble de départ (ensemble des antécédents) = l’ensemble des x

f

f(Df ) = Ensemble d’arrivée (ou ensemble des images) = l’ensemble des y

2f x x

Fonction paire

3f x x

Fonction impaire

B.B. Symétrie : paire ou Symétrie : paire ou impaire ?impaire ?

Une fonction est continue en x0 si elle est continue à droite et à gauche en x0

C.C. Limite -Limite - Continuité Continuité

)()(lim00

xfxfxx

Théorème des valeurs Théorème des valeurs intermédiairesintermédiaires

Soit f continue sur [a;b]

0 , / 0f a f b c a b f c

C.C. Limite Limite - Continuité- Continuité

Si les valeurs successivement attribuées à une variable

s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette dernière est appelée la

limite de toutes les autres.

Cauchy, 1821

Opérations sur les limitesOpérations sur les limites

Formes indéterminées

00

0

D.D. Asymptotes Asymptotes

Si Si il y a une asymptote verticale passant par il y a une asymptote verticale passant par xx = = xx00

Si Si il y a une asymptote horizontale passant par il y a une asymptote horizontale passant par y y = = ll

Si Si il y a une asymptote oblique d’équation il y a une asymptote oblique d’équation y y = = axax++bb

0

( )limx x

f xa

x

lim ( )x

f x

0

lim ( )x x

f x

lim ( )x

f x l

lim ( )x

b f x ax

si

AsymptotesAsymptotes

Si la courbe de Si la courbe de ff s’approche infiniment s’approche infiniment près d’une droite, celle-ci s’appelle une près d’une droite, celle-ci s’appelle une asymptoteasymptote

Asymptote oblique

Asymptote verticale