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Analyse et optimisation multidisciplinaire d’une aile d’avion 2D – 1

Analyse et optimisation multidisciplinaire d’une aile d’avion 2D

Rajan Filomeno Coelho, Piotr Breitkopf, Catherine VayssadeLaboratoire de Mécanique Roberval, UTC – CNRS, UMR 6253

Université de Technologie de Compiè[email protected]

http://www.utc.fr/~rfilomen/esi50/

UTC, 30 septembre 2008ESI 50


Plan de la présentation

• Introduction à l’optimisation multidisciplinaire

• Définition du problème de l’aile d’avion idéalisée

• Analyse et optimisation multidisciplinaire– formulation– paramétrisation– modèle fluide, modèle structure– couplage fluide – structure

• Codes de simulation et environnements d’optimisation

• Synthèse


Introduction à l’optimisation multidisciplinaire (MDO)

• Contexte général : intérêt croissant des universités, centres de recherche et industrielspour l’optimisation multidisciplinaire (aéronautique, aérospatiale, automobile, …)

• Définition de l’optimisation multidisciplinaire ou MDO :“La MDO (Multidisciplinary Design and Optimization) est une méthodologied’optimisation pour la conception de systèmes et de sous-systèmes complexes exploitantde manière cohérente les interactions entre les différentes disciplines impliquées.”

(AIAA, Comité Technique sur la MDO, 1998)


Introduction à l’optimisation multidisciplinaire (MDO)

• Objectifs de la MDO : – trouver une solution optimale satisfaisant toutes les contraintes multidisciplinaires,

à un coût limité, et tout en permettant d’exploiter au maximum l’expertise acquisedans chacune des disciplines

– intégrer différentes disciplines (structure, fluide, acoustique, thermique, coût, product lifecycle management, etc.) dans un cadre commun

– améliorer la collaboration entre équipes et disciplines– utiliser efficacement et à bon escient les modèles haute fidélité (e.g. éléments finis)

• But de cet exemple: – définir un cas test qui servira de

démonstrateur (section 2D idéalisée d’une aile d’avion)

– comparaison de différentes méthodes d’analyse et d’optimisation sur ce cas test

ASH 25 EC


Définition du problème MDO de l’aile d’avion idéalisée

• Profil de l’aile :

[ http://epervier.sudluberon.free.fr ]



• But : définir un cas test afin de comparer différentes stratégies MDO

⇒ optimisation d’une aile d’avion 2D idéalisée faisant intervenir 2 disciplines (fluide et structure)

Vrelαinc

but : trouver xopt (où x = variables de conception)tel que :

xopt minimise F = masse de l’aile,avec comme limitations :

• coefficient de portance CL ≥ CL0

• coefficient de traînée CD ≤ CD0

• déplacement max. dmax ≤ dmax0

• contrainte max. σmax ≤ σmax0

• nuisance acoutique Nac ≤ Nac0

FORMULATION DU PROBLEME D’OPTIMISATIONSCHEMA DE L’AILE

Profil : Wortmann Airfoil FX 60.126



• Variables du problème d’optimisation : 7 paramètres

– géométrie du contour : modifiée par l’intermédiaire de splines (interpolantes) superposées au profil initial → {aspl} = {aspl

extrados , asplintrados , aspl

BF }

– épaisseurs de l’extrados et de l’intrados → hextrados et hintrados

– caractéristiques de l’écoulement → Vrel et αinc

profil initial

nouveau profil

splines = 0 (profil initial) splines pour nouveau profil

spline pour extrados

spline pour intrados

(0,5; asplintrados)

(0,5; asplextrados)

(1; asplBF)



• Fonction objectif et contraintes :

– min F = masse

– soumis à :

• dmax ≤ dmax0

• σmax ≤ σmax0

• CL ≥ CL0

• CD ≤ CD0

issus des résultats d’un calcul structure

issus des résultats d’un calcul fluide


• Calcul fluide : modélisation simplifiée de l’écoulement (formulation potentielle)

– hypothèses : écoulement 2D stationnaire, incompressible et non visqueux– formulation basée sur la définition d’une fonction de courant ψ telle que :

– pas de viscosité dans le modèle → la calcul de la portance donnerait CL = 0

→ pour estimer la portance, un écoulement dû à la circulation autour de l’aile estsuperposé à l’écoulement [1]

→ dosage entre les 2 écoulements : donné par la condition de Kutta-Joukoswki :“les lignes de courant de l’extrados et de l’intrados doivent être parallèles àl’axe médian au bord de fuite du profil”

( ) ( ) ]1[,0, extérieurcontourleetprofillesurCLavecSyxyx ∈∀=∆⇒ ψ

xsuivantvitessey

u =∂∂

=ψ

ysuivantvitessex

v =∂∂

−=ψ

Calcul fluide – hypothèses


+ =

Ligne de décollement

(1) (2) (1+2)

Axe normal

Axe tangent

Axe normal

Axe tangent

Axe normal

Axe tangent

[Lefrançois, 2005]

• Illustration de la condition de Kutta-Joukowski :

circKJhoriz VVVrrr

α+=→

BFcircn

BFhorizn

KJBFcircn

KJBFhorizn

VVVVavec

,

,,, 0 −

=⇒=+ αα

Calcul fluide – condition de Kutta-Joukowski


• Dernière étape : détermination des pressions par la relation de Bernoulli :

( )22 ),(2

),( yxVVpyxp rel −+= ∞ρ

pression “loin de l’aile ” (i.e. non perturbée par la présence de l’aile)

Calcul fluide – pressions


• Remarque sur le maillage : suite aux modifications de la géométrie, les coordonnéesdes noeuds du maillage initial sont recalculés par repositionnement élastique (→ la topologie est conservée)

configuration initiale

une configuration modifiée

Problématique du remaillage


• Coefficients aérodynamiques de portance (CL ) et de traînée (CD ) :

• La validation effectuée dans [Lefrançois, 2005] montre une bonne concordance des résultats avec l’expérience pour -7° ≤ αinc ≤ +10°

• Détail de la démarche : http://www.utc.fr/~mecagora/

LV

PCrel

L2

21 ρ

=

Γ−= relVP ρ

∫=Γprofil

dsnVrr

.

= portance

= circulation autour du profil

CD : estimation grossière obtenue en supposant CD proportionnel à la section perpendiculaire à l’angle d’incidence de l’écoulement

→ CD ≈ CE ≡ “coefficient d’encombrement” = section perpendiculaire àl’écoulement

Calcul fluide – validation


• Calcul structure : on suppose l’extrados et l’intrados de l’aile constitués de poutres(d’épaisseurs hextrados et hintrados) et reliés à 2 fixations par l’intermédiaire de barres(“ressorts”)

configuration initialeconfiguration déformée (déplacements × 5)

fixations

barres



• Le matériau est élastique linéaire, mais les éléments de poutres planes sont géométrique-ment non linéaires et prennent en compte les déformations de cisaillement transversal (« poutre de Timoshenko », version 1D de Reissner-Mindlin [Simo et al., 1986])

→ grands déplacements / petites déformations / grandes rotations→ 6 d.d.l. par élément (dépl. suivant x et y + rotation pour chaque nœud)→ résolution du système par Newton-Raphson standard

• En pratique :– le maillage structure est généré à partir du maillage fluide (i.e. les nœuds du profil

sont récupérés du maillage fluide)– les pressions appliquées sur la structure sont issues du calcul fluide et converties en

forces nodales sur les nœuds du profil

les disciplines fluide et structure sont couplées (la distribution de pressions et la géométrie [déformée] du profil sont interdépendantes)nécessité de recourir à une approche multidisciplinaire d’optimisation (MDO)



• Les différentes stratégies MDO se distinguent par la manière de décomposer le problème MDO, et notamment de gérer les variables de conception X et de couplage Xc entre disciplines (+ éventuellement d’état Xs) [Tedford et al., 2006]

• Les stratégies MDO peuvent se décomposer en 2 familles :

– dans les méthodes mono-niveau, l’optimisation des variables de conception est réalisée de manière globale

– dans les méthodes multi-niveaux, l’optimisation est réalisée sur plusieurs niveaux

séparation du problème en 1 système global et plusieurs sous-systèmes locaux (propres à chaque discipline)

avantage : l’optimisation peut (en partie) être effectuée de manière indépendantedans chaque discipline, ce qui permet d’exploiter les outils et l’expertise du domaine considéré (p.ex. accès aux sensibilités des fonctions, possibilité de parallélisme, etc.)

Stratégies MDO – Classification


Stratégies MDO – Focus sur l’analyse multidisciplinaire

Stratégie All-in-One (A-i-O) ou Multiple Discipline Feasible (MDF)

• Chaque appel aux fonctions objectif et contraintes nécessite une analyse multi-disciplinaire complète du système

• Le concept d’analyse multidisciplinaire (MDA – Multi-Disciplinary Analysis) permet d’introduire la notion d’interaction, de couplage entre les disciplines


• Pour une configuration donnée : les pressions sont calculées, puis appliquées sur la structure ; la géométrie déformée est ensuite réinjectée dans la partie fluide, qui est recalculée pour obtenir une nouvelle distribution de pressions, etc.

→ répétition du processus jusqu’à convergence vers un point fixe(en toute généralité, l’existence et l’unicité du point fixe ne sont pas garanties)

pressions p

déplacements u,v Structure

Fluide

MDA

{aspl}, αinc, Vrel, {h}

répétition du cycle jusqu’à convergence vers un point fixe

Analyse multidisciplinaire


• Les échanges d’information entre disciplines peuvent être volumineux

• Pour rappel, les nœuds des maillages fluide et structure coïncident (même topologie, mêmes coordonnées de nœuds)

→ le transfert des pressions et des déplacements peut être réalisée par une de ces deux approches :

• passage des champs complets

• passage de paramètres définissant des approximations de champs• approximation par courbes splines cubiques • approximation polynomiale• approximation par moindres carrés• approximation par moindres carrés mobiles

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

.

.

.

.

.

p

Fluide Structure

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

.

.

.

.

.

,

.

.

.

.

.

vu

Analyse multidisciplinaire


pexactes

psplines

point d’interpolation de spline

coordonnée relative sur l’aile

nspl points de splineschoisis pour chaque face (extrados ou intrados)

nspl = 12

Transfert du champ de pression

• Approximation par splines : illustration sur la distribution de pression


• Approximation par splines: détermination des points d’interpolation pour une courbe donnée (intrados ou extrados)

+ méthode générique - nécessite un nombre élevé de points d’interpolation avant d’obtenir une

approximation de bonne qualité→ d’autres approches sont mieux adaptées (notamment en 3D)

Algorithme :

1°/ au départ : répartition uniforme des points écart (uniforme) di

2°/ minimisation de l’erreur entre courbe exacte et spline (en variant di)

d1 d2 d3 d4

spline courbe à approcher

n1 n2

n3

n4

Transfert du champ de pression


• Résultats de l’optimisation MDF (= All-in-One) :

Stratégies MDO – Méthodes à 1 niveau

Evolution de l’objectif (masse) en fonction des itérations de l’algorithme d’optimisation→ convergence vers une solution respectant

toutes les contraintes en ∼ 70 MDA complètes

→ à chaque itération de l’optimiseur, la solution en cours respecte les contraintes de couplage (puisqu’elle résulte d’une MDA complète)

PASSAGE PAR CHAMPS EXACTS

Algorithme d’optimisation utilisé : SQP (Sequential Quadratic Programming) [Nocedal & Wright, 1999]


• Design de l’aile optimisée :• épaisseurs des poutres sur l’intrados et l’extrados : réduites de 5% par rapport au design initial

• modification du profil :

Stratégies MDO – Méthodes à 1 niveau

aile initiale

courbe enveloppe supérieure pour l’extrados

courbe enveloppe inférieure pour l’intrados

aile optimisée


Stratégies MDO – Cascade

Optimisation en cascade : les disciplines sont complètement découplées, et optimisées successivement, en fonction soit de critères disciplinaires, soit d’un critère global

ou min f = masse

Fluide

Optimiseurfluide

{aspl},αinc,Vrel

pressions,{a spl}opt, fluide

déplacements,{a spl}opt, structure

Structure

Optimiseurstructure

{aspl},{h}

LCffluideX

=max

soumis à : • coefficient de portance CL ? CL0

• coeff. d’encombrement CE ? CE0

• ? 0

avec Xfluide = Vrel, αinc et {aspl}

PROBLEME D’OPTIMISATION FLUIDE

massefstruct

X=min

soumis à : • déplacement max. d max ? dmax0

• contrainte max. σmax ? σmax0

ac ? Nac

avec Xstruct = {h} et {aspl}

PROBLEME D’OPTIMISATION STRUCTURE


Stratégies MDO – Cascade

CAS 1 : optimisation en fonction de critères disciplinaires (CL et la masse)

CAS 2 : optimisation en fonction d’un critère unique (la masse)

oscillations (fonctions objectifs ≠ pour fluide et structure)

contraintes violées

contraintes violées

run d’optimisation disciplinaire run d’optimisation disciplinaire

→ avantage : en milieu industriel, les optimisations peuvent être réalisées séparément dans les différentes équipes (avec l’expertise et les outils spécifiques à chaque domaine)

→ MAIS : le nombre de cycles successifs (optimisations fluide et structure) peut être très important, sans garantie de convergence vers une solution admissible

→ Remarque : en pratique, on peut tenir compte des autres disciplines à l’aide de modèles simplifiés ou de méta-modèles pour tenter de respecter toutes les contraintes


Stratégies MDO – Un mot sur les méthodes multi-niveaux

• Limitation des méthodes mono-niveaux : possibilités de parallélisme limitées, avec peu de bénéfice des expertises propres à chaque discipline

• Les méthodes multi-niveaux, par une décomposition du problème en système global et sous-systèmes, permettent de tirer meilleur profit de l’expérience des équipes d’ingénieurs d’un domaine spécifique, tout en favorisant le lancement de calculs en parallèle pour réduire le temps de calcul global

• Différentes approches ont été proposées dans la littérature :

• CO : Collaborative Optimization [Braun, 1996]

• CSSO : Concurrent SubSpace Optimization [Sobieszczanski-Sobieski et al., 1988]

• BLISS98 : Bi-Level Integrated System Synthesis [Sobieszczanski-Sobieski et al., 1998], utilisant les sensibilités des réponses en fonction de tous paramètres

• BLISS2000 : fait intervenir les contributions de chaque discipline à l’objectif global sous forme de poids (et non plus via un calcul de dérivées), ce qui augmente le nombre de paramètres mais facilite la parallélisation [Agte, 2000]


Codes de simulation numérique et environnements d’optimisation

• Dans le milieu industriel, quels outils seront utilisés ?

• Exemples de codes de simulations numériques (en calcul de structures) :• Abaqus

• ANSYS

• Code_Aster (EDF)

• NASTRAN

• Samcef

• Codes « maison » (Scilab, Matlab, C++, …)

• Environnements d’optimisation :• DAKOTA (Laboratoires Sandia)

• iSIGHT

• Optimus (Noesis)

• modeFRONTIER

• BOSS Quattro

• …


Exemple : démonstrateur SCILAB pour l’aile 2D

• Codes de simulation programmé en SCILAB (http://www.scilab.org) :

• calcul_fluide(X,déplacements) : calcul des vitesses, pressions, portance, traînée pour un profil donné X (avec une déformée définie par les déplacements calculés par le code structure)

• calcul_structure(X,pressions) : calcul des déplacements et des contraintes pour un profil donné X (avec comme chargement les pressions calculées dans le code fluide)

• mda(X) : analyse multidisciplinaire par point fixe (couplage entre le code élements finis fluide et le code éléments finis structure), pour un profil d’aile donné (défini par les variables de conception X)


DAKOTA : un environnement d’optimisation et d’études paramétriques

• Examinons un environnement d’optimisation de référence : DAKOTA

• DAKOTA est un code libre (OpenSource) développé par les laboratoires Sandia(http://www.cs.sandia.gov/DAKOTA/software.html)

• Fonctionnalités :

• optimisation (algorithmes à base de gradient, algorithmes génétiques, …)

• études paramétriques (plan d’expériences) : planification de simulations pour un ensemble de points de l’espace de conception

• surfaces de réponse, modèles substituts (surrogate models) : définition de modèles approchés (e.g. surfaces de réponse polynomiales, réseaux de neurones, krigeage, moindres carrés)

• analyse d’incertitudes : robustesse et fiabilité

• adapté aux plate-formes de calcul parallèle

• Paradigme : DAKOTA

SIMULATIONvariables

réponses


DAKOTA : un environnement d’optimisation et d’études paramétriques

• Principe de fonctionnement :

• DAKOTA pilote les tâches à effectuer, en appelant la simulation

• la simulation consiste en un code élements finis, un programme (C++, Matlab, Scilab) ou un script complexe combinant plusieurs tâches

• les échanges d’information entre DAKOTA et la simulation se font par l’intermédiaire de lecture et d’écriture de fichiers texte

DAKOTA

SIMULATION

fichier param.in

fichier response.out

fichier dakota.in


DAKOTA : illustration sur le cas de l’aile d’avion

• Ordonnancement des tâches :

DAKOTA

SIMULATION

fichier param.in

fichier response.out

fichier dakota.in

variables de conception définissant un profil d’aile

portance, traînée, déplacement maximum, contrainte max.

choix et paramètres de l’optimiseur, définition de l’optimisation, codes de simulation appelés

Code Scilab (analyse multidisciplinaire par point fixe, couplant codes EF fluide et structure)


Synthèse

• L’optimisation multidisciplinaire (MDO) vise à développer des techniques permettant d’optimiser un système impliquant plusieurs disciplines, en privilégiant la réduction du temps et du coût de développement ainsi que l’expertise et la collaboration entre équipes

• Synthèse des acquis :

l’élaboration du cas test MDO d’une aile d’avion 2D idéalisée faisant intervenir 2 disciplines (fluide et structure)

dans le cadre de ce cas test :l’analyse multidisciplinaire de l’aile d’avion idéalisée, incluant un calcul fluide basé sur la formulation potentielle, et un calcul structure non linéaire

le développement de techniques permettant l’échange d’informations entre disciplines (ici : basées sur l’approximation par courbes splines cubiques)

la formulation du problème MDO de l’aile pour différentes stratégies disponibles dans la littérature (All-in-One et en cascade)

l’analyse et la comparaison des résultats obtenus sur différentes stratégies MDO

aperçu de codes d’optimisation et de simulation numérique

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