Analyse Et Modelisation Du Comportement Differe Du Beton

ANALYSE ET MODELISATION DU COMPORTEMENT DIFFERE DU BETON

APPLICATION AUX POUTRES MIXTES, PREFLECHIES ET PRECONTRAINTES

Volume 1

Stéphanie STAQUET

Thèse effectuée sous la direction du Professeur Bernard ESPION

et présentée en vue de l’obtention du titre de DOCTEUR EN SCIENCES APPLIQUEES

Année académique 2003-2004

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté des Sciences Appliquées

Service Génie Civil

soutenue le 1er septembre 2004 à 16h30 en vue de l’obtention du grade académique de Docteur en Sciences Appliquées spécialité Génie Civil devant le Jury composé de : Directeur de la thèse : Prof. Dr Ir Bernard Espion Université Libre de Bruxelles Membres du Jury : Prof. Dr Ir Philippe Bouillard Université Libre de Bruxelles Prof. Dr Ir Geert De Schutter Universiteit Gent Prof. Dr Ir Luc Taerwe Universiteit Gent Dr François Toutlemonde Laboratoire Central des Ponts et Chaussées, Paris Prof. Dr Ir Jean-Claude Verbrugge Université Libre de Bruxelles Prof. Dr Ir Jan Wastiels Vrije Universiteit Brussel

à Vincent, à mes parents, à mes beaux-parents

Remerciements

Ce travail a été dirigé par Monsieur le Professeur Bernard Espion, Directeur du Service de Génie Civil à l’Université Libre de Bruxelles. Qu’il me soit permis ici d’exprimer mes plus vives reconnaissances à Monsieur Espion qui a mis tout en oeuvre pour que ce mémoire de thèse aboutisse tant au niveau rédactionnel qu’au niveau expérimental et numérique et surtout pour les trois qualités essentielles pour un chercheur qu’il a pu m’inculquer durant ces quatre années de travail : le rejet de l’approximatif, la nécessité du couplage entre la modélisation et l’expérimentation et le sens critique mais constructif vis-à-vis des résultats scientifiques obtenus. Que Monsieur le Professeur Henri Detandt, Maître de conférences à l’Université Libre de Bruxelles et Directeur du Département Ouvrages d’art de TUC RAIL s.a ., trouve ici l’expression de ma profonde gratitude pour avoir permis au tout début de cette recherche l’instrumentation d’un des ponts-bacs faisant partie des travaux d’infrastructure à Bruxelles-Midi et de m’avoir communiqué son enthousiasme vis-à-vis de l’avancement de mes travaux de recherche. Je voudrais lui dire combien sa présence et sa collaboration m’ont été vraiment bénéfiques. Mes remerciements vont également à Monsieur Guy Rigot, Administrateur-Directeur chez Ronveaux s.a., pour son support à cette recherche et le personnel qu’il a accepté de mettre à contribution ainsi que les éprouvettes de béton qu’il nous a fournis gracieusement. Je voudrais aussi remercier nommément Monsieur Stéphane Wirgot, Chef du Laboratoire Physico-Mécanique du CRIC, pour le personnel et le matériel qu’il a accepté de mettre à contribution, notamment pour réaliser les quelques centaines de rectification d’éprouvettes de béton. J’adresse mes vifs remerciements à Monsieur Geert De Schutter, Professeur à l’Université de Gand, pour sa collaboration à la réalisation des mesures de dégagement de chaleur du béton ainsi que son enthousiasme et ses conseils vis-à-vis de cette recherche. Je voudrais remercier également Monsieur Pierre Humbert, Responsable du développement de CESAR-LCPC au Laboratoire Central des Ponts et Chaussées à Paris, pour l’enthousiasme qu’il a manifesté vis-à-vis de mon projet de développement dans le logiciel CESAR-LCPC ainsi que pour ses conseils lors du développement dans le module DTNL. Je souhaiterais remercier nommément Monsieur Jean-Louis Tailhan, Chargé de Recherches à la Division BCC du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées à Paris, pour l’accueil très chaleureux qu’il m’a procuré lors de mon séjour au LCPC ainsi que pour l’encadrement très efficace qu’il m’a donné pour la réalisation des développements dans CESAR-LCPC. Que Monsieur Christian Jadoul, Chargé d’exercices à l’Université Libre de Bruxelles et Ingénieur chez TUC RAIL s.a. trouve ici mes plus vives reconnaissances pour le support et les explications qu’il m’a procurés.

Je tiens à remercier particulièrement Monsieur Lucien Dormal, Responsable du Laboratoire Béton chez Ronveaux s.a., qui a toujours manifesté de l’intérêt pour ce travail. Son aide et sa collaboration m’ont été précieuses. Que Madame Katy Saadé, assistante au Service de Génie Civil et au Service des Milieux Continus de l’Université Libre de Bruxelles, trouve ici l’expression de ma sincère reconnaissance pour ses multiples encouragements et ses conseils pertinents pour la modélisation des structures hyperstatiques. Je n’oublierai pas Monsieur Olivier Germain, assistant au Service de Génie Civil de l’Université Libre de Bruxelles pour sa contribution à la réalisation de l’instrumentation du pont-bac et des essais au laboratoire. J’adresse mes vifs remerciements aux techniciens du laboratoire du Service de Génie Civil, Monsieur Bernard Triest, Monsieur Gilles VanHooren et Monsieur Olivier Leclercq pour leur important support à la réalisation des essais, leurs encouragements et l’enthousiasme qu’ils ont manifesté tout au long de cette recherche ainsi qu’à l’équipe technique du CRIC sans qui la partie expérimentale n’aurait pas pu être menée à bon terme. Mes remerciements vont aussi au Fonds National de la Recherche Scientifique et au Fonds de la Recherche dans l’Industrie et l’Agriculture qui ont financé une partie de cette recherche. Je remercie chaleureusement ma famille et mon amie Valérie pour leur soutien permanent.

Résumé L’objectif de cette thèse est de prédire le comportement à long terme de structure mixte type pont-bac composée de poutres préfléchies, précontraintes et construites par phases. A l’heure actuelle, ils sont dimensionnés à l’état limite de service par une méthode traditionnelle pseudo-élastique avec un coefficient d’équivalence acier-béton variable. Il est envisagé d’étendre ce type de construction à la réalisation de viaducs hyperstatiques permettant de franchir de plus grandes portées en établissant une continuité entre deux travées au droit de leur support commun. Il est connu que ce type de construction induit une importante redistribution des efforts internes dans la structure. Il est donc indispensable d’évaluer très finement l’influence des effets différés du béton sur ce type de construction. Deux programmes généraux d’analyse de section basés sur la méthode du module effectif ajusté et la méthode pas-à-pas ont tout d’abord été développés. Ces méthodes appliquent le principe de superposition. Des limitations propres à ces méthodes ont été relevées pour des historiques où le béton subit plusieurs déchargements significatifs par rapport à son état de contrainte initial juste après le transfert de la précontrainte. Ces méthodes ont aussi l’inconvénient de supposer une humidité relative constante. Enfin, pour pouvoir être mis en précontrainte le plus tôt possible, les ponts-bacs sont chauffés. Les caractéristiques de retrait et de fluage s’écartent de celles déterminées en laboratoire sur des éprouvettes conservées à 20°C. Pour lever les limitations des méthodes classiques et évaluer plus finement l’état de contrainte et de déformation à long terme dans ce type de structure, plusieurs étapes ont été effectuées :

- Analyse de l’influence d’un traitement thermique appliqué dans les mêmes conditions que celles effectuées chez le préfabricant ainsi que du niveau de contrainte appliqué sur les déformations différées du béton.

- Analyse de l’influence de l’application de déchargements à des âges divers sur les éprouvettes de béton permettant de mettre en évidence le fait que la méthode dite aux deux fonctions avec la fonction de recouvrance proposée par Yue et Taerwe reproduit la plupart des résultats expérimentaux de manière très satisfaisante.

- Développement d’un programme d’analyse en section suivant la méthode pas-à-pas étendu à la méthode aux deux fonctions afin de mieux tenir compte de la recouvrance, ce qui a permis d’optimiser les phases de préfabrication des ponts-bacs en changeant l’instant de mise en précontrainte. Les simulations ont montré que si le béton du pont-bac est chauffé, la mise en précontrainte peut s’effectuer à 20 heures d’âge du béton.

- Développement d’un programme d’analyse de structure au moyen d’éléments finis de type poutre et dont l’algorithme de résolution applique la méthode aux deux fonctions, ce qui a permis d’optimiser les phases de construction de viaducs hyperstatiques constitués par la jonction de deux ponts-bacs.

- Proposition d’une modélisation fondée sur la compréhension des phénomènes physico-chimiques à l’origine des effets différés et couplée à une étude locale de l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau permettant de tenir compte des changements de conditions aux limites en terme d’échange de chaleur et d’humidité qui ont lieu au cours de l’histoire des ponts-bacs dans l’évaluation de leur comportement à long terme. Pour chaque composante des déformations différées (le retrait thermique, le retrait endogène, le retrait et le fluage de dessiccation, le fluage fondamental), une modélisation a été proposée.

- Développement d’un programme d’analyse de section basé sur une approche incrémentale avec l’algorithme récursif et exponentiel proposé par Bažant et dans lequel les composantes des effets différés ont été intégrées suivant la modélisation proposée.

Les résultats sont encourageants car ils ont permis de reproduire de manière beaucoup plus réaliste les évolutions des déformations mesurées dans le pont-bac instrumenté à Bruxelles.

Abstract The aim of this thesis is to assess the time-dependent behavior of a new kind of composite railway bridge deck composed by two precambered and prestressed beams. The method used until now to design these bridge decks is a simple classical computation method with a variable modular ratio. They have been placed only with simply supported spans up to 26 m. It is now considered to apply this construction method for the building of continuous bridges (with larger spans) by connecting simply supported decks on their supports. It is known that this kind of construction will induce an additional and strong time-dependent redistribution of internal forces within the structure. It was felt that an in-depth understanding of the influence of the concrete time-dependent effects in this kind of composite structures is needed before proceeding with the design of statically indeterminate bridges. Two cross-section analysis programs applying the principle of superposition were developed: the first used the age adjusted effective modulus method and the second the step-by-step method. However, it is known that the delayed behavior of concrete does not fully comply with the principle of superposition. It appears that after a period of compression creep, creep recovery is significantly less than predicted by the superposition principle. In the construction phases of this bridge deck, the concrete fibers belonging to the bottom side of prestressed beams undergo a stress/strain history of significant unloading when the permanent loads are applied step-by-step. Moreover, these methods assume that the relative humidity remains constant. Finally, a lot of bridge decks are heated in order to transfer the prestressing as soon as possible. To evaluate more finely the time-dependent effects of concrete in such composite (and rather complex) structures with variable loading history, several steps have been carried out:

- Analysis of the influence of the heat treatment applied in the workshop and the level of applied stress on the creep and the shrinkage of the concrete.

- Analysis of the recovery phenomenon of the concrete resulting in the selection of the two-function method with the recovery function proposed by Yue and Taerwe.

- Development of a cross-section analysis program applying the two-function method to take into account more finely the recovery phenomenon, what resulted in a optimization of the phases of construction of the bridge decks by decreasing the minimum age of concrete before prestressing from 40 hours to 20 hours.

- Development of a structural analysis program with beam finite elements and applying the two-function method, what has resulted in an optimization of the phases of construction of continuous bridges composed by the junction of two bridge decks.

- Proposition of a modelling based on the understanding of the physico-chemical phenomenona which are at the origin of the delayed effects and coupled to a local analysis of the evolution of the degree of hydration and the internal relative humidity in order to take into account the changes of the boundaries conditions in terms of heat and moisture exchanges occurring along the construction history of the bridge decks in the evaluation of their long-term behavior. For each component of the delayed strains (the thermal strain, the autogenous shrinkage, the desiccation shrinkage, the desiccation creep, the basic creep), a modelling has been proposed.

- Development of a cross-section analysis program based on the numerically stable algorithm with increasing time steps for integral-type aging creep proposed by Bažant and including the different components of the delayed effects according to the proposed modelling.

The results seem to be very promising since it was possible to reproduce in a more realistic way the evolutions of the measured strains of the composite railway bridge deck instrumented in June 2000 and situated near Brussels South Station.

Analyse et modélisation du comportement différé du béton Application aux poutres mixtes préfléchies et précontraintes

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ANALYSE ET MODELISATION

DU COMPORTEMENT DIFFERE DU BETON


Table des matières. A. Application des méthodes basées sur le principe de superposition .................8

1. Moteur de la recherche. ....................................................................................8

2. Introduction.......................................................................................................9

3. Historique des poutres mixtes préfléchies......................................................10 3.1. La poutre Préflex ................................................................................................. 10 3.2. La poutre Flexstress............................................................................................. 16 3.3. Le pont-bac ........................................................................................................... 18

3.3.1. Extension et agrandissement de la gare de Bruxelles-Midi ............................................19 3.3.2. Entrée de la ligne à grande vitesse à Bruxelles-Midi......................................................20

4. Description des ponts-bacs préfabriqués........................................................24 4.1. Phases de construction des ponts-bacs ............................................................... 24 4.2. Avantages du pont-bac par comparaison avec d’autres structures................. 25

4.2.1. Influence des poutrelles métalliques et influence de l’épaisseur de la dalle...................26 4.2.2. Comparaison entre un pont-bac et un tablier avec des poutres métalliques enrobées ....29

4.3. Conclusion ............................................................................................................ 30

5. Description physique des déformations du béton ..........................................31 5.1. Introduction.......................................................................................................... 31 5.2. Déformations du béton ........................................................................................ 31 5.3. Déformation instantanée et module d’élasticité ................................................ 31 5.4. Retrait ................................................................................................................... 32

5.4.1. Introduction ....................................................................................................................32 5.4.2. Retrait plastique..............................................................................................................32 5.4.3. Retrait chimique .............................................................................................................33 5.4.4. Retrait thermique ............................................................................................................33 5.4.5. Retrait hydrique ..............................................................................................................33 5.4.6. Retrait de carbonatation..................................................................................................34 5.4.7. Conclusion......................................................................................................................34

5.5. Fluage .................................................................................................................... 34 5.5.1. Introduction ....................................................................................................................34 5.5.2. Fluage fondamental ........................................................................................................34 5.5.3. Fluage de dessiccation ....................................................................................................34 5.5.4. Paramètres affectant le fluage.........................................................................................35 5.5.5. Conclusion......................................................................................................................35


2

5.6. Relaxation ............................................................................................................. 36 5.6.1. Introduction ....................................................................................................................36 5.6.2. Relaxation du béton........................................................................................................36 5.6.3. Relaxation des aciers ......................................................................................................36 5.6.4. Conclusion......................................................................................................................36

6. Les équations de base du retrait, du fluage et de la relaxation.....................37 6.1. Introduction.......................................................................................................... 37 6.2. Relations fondamentales...................................................................................... 37

6.2.1. Analyse du fluage:réponse ε sous une sollicitation σ.....................................................37 6.2.2. Analyse de la relaxation: réponse σ sous une sollicitation ε ..........................................38 6.2.3. La relaxation des aciers de précontrainte........................................................................38

6.3. Introduction du principe de superposition ........................................................ 39 6.3.1. Méthode du module effectif ...........................................................................................39 6.3.2. Méthode du module effectif ajusté .................................................................................40

7. Les modèles de prédiction ...............................................................................42 7.1. Introduction.......................................................................................................... 42 7.2. Retrait et fluage.................................................................................................... 42 7.3. Coefficient de vieillissement ................................................................................ 43

7.3.1. Selon Koprna ..................................................................................................................43 7.3.2. Selon Chiorino................................................................................................................43 7.3.3. Selon Trevino .................................................................................................................43

7.4. Pertes de précontrainte........................................................................................ 44 7.4.1. Pertes élastiques instantanées au transfert de la précontrainte........................................44 7.4.2. Relaxation intrinsèque des torons selon Ghali, Favre et Trevino ...................................44 7.4.3. Contrainte dans les torons au moment du transfert de la précontrainte ..........................45 7.4.4. Relaxation réduite des torons selon Ghali, Favre et Trevino..........................................45

8. Analyse de la section suivant la méthode du module effectif ajusté .............47 8.1. Hypothèses de base et convention de signe ........................................................ 47 8.2. Effets initiaux ....................................................................................................... 48

8.2.1. Statique de la section ......................................................................................................48 8.3. Effets différés........................................................................................................ 52

8.3.1. Statique de la section ......................................................................................................52 9. Organisation du programme de calcul suivant la méthode du module effectif

ajusté (AEMM)................................................................................................60 9.1. Organigramme du programme........................................................................... 60

10. Analyse de la section suivant la méthode dite du pas-à-pas..........................65 10.1. Hypothèses de base et convention de signe ........................................................ 65 10.2. Effets initiaux ....................................................................................................... 66

10.2.1. Statique de la section .................................................................................................66 10.3. Effets différés........................................................................................................ 70

10.3.1. Statique de la section .................................................................................................70 11. Organisation du programme de calcul suivant la méthode dite pas-à-pas...77

11.1. Organigramme du programme........................................................................... 77


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12. Description de la campagne d’essai menée au laboratoire ...........................80 12.1. Introduction.......................................................................................................... 80 12.2. Description des essais........................................................................................... 80

13. Comparaison des mesures effectuées au laboratoire avec les valeurs prédites par les modèles codifiés...................................................................................84

13.1. Introduction.......................................................................................................... 84 13.2. Présentation des résultats relatifs à la résistance à la compression................. 84 13.3. Valeurs des paramètres utilisés dans les modèles ............................................. 85 13.4. Présentation des résultats relatifs au retrait...................................................... 86

13.4.1. Retrait endogène ........................................................................................................86 13.4.2. Retrait total ................................................................................................................88

13.5. Présentation des résultats relatifs au fluage ...................................................... 96 13.5.1. Fluage fondamental....................................................................................................96 13.5.2. Fluage total ..............................................................................................................104

13.6. Conclusions......................................................................................................... 111

14. Description de l’instrumentation réalisée sur un pont-bac.........................112 14.1. Introduction........................................................................................................ 112 14.2. Description de l’implantation des instruments de mesure ............................. 112 14.3. Planning des mesures effectuées sur le tablier................................................. 114 14.4. Comparaison des mesures effectuées sur le tablier......................................... 114 14.5. Conclusions......................................................................................................... 116

15. Comparaison des mesures prises sur un tablier avec les valeurs calculées par les méthodes EMM, AEMM et pas-à-pas ..............................................117

15.1. Introduction........................................................................................................ 117 15.2. Description des événements............................................................................... 117 15.3. Valeurs des paramètres des trois méthodes de calcul ..................................... 118

15.3.1. Valeurs pour la méthode EMM................................................................................118 15.3.2. Valeurs pour les méthodes AEMM et pas-à-pas......................................................119

15.4. Comparaison des mesures avec les valeurs calculées...................................... 121 15.4.1. Conclusions..............................................................................................................129

16. Analyse statistique de la variabilité de la contreflèche au transfert de la précontrainte et à long terme........................................................................130

16.1. Abstract............................................................................................................... 130 16.2. Computation models .......................................................................................... 131 16.3. Description of the sample .................................................................................. 132

16.3.1. Bridge decks geometry, construction and loading ...................................................132 16.3.2. Concrete strength .....................................................................................................132 16.3.3. Other variables.........................................................................................................134

16.4. Analysis of the camber just after the transfer of prestressing ....................... 137 16.4.1. Scope .......................................................................................................................137 16.4.2. Application of the modular ratio method.................................................................137


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16.4.3. Application of the step-by-step method...................................................................141 16.5. Analysis of the camber at long-term................................................................. 145

16.5.1. Scope .......................................................................................................................145 16.5.2. Application of the modular ratio method.................................................................145 16.5.3. Application of the step-by-step method...................................................................146

16.6. Conclusions......................................................................................................... 148 16.7. Appendix............................................................................................................. 149

16.7.1. Figure A.16.25 Common characteristics of the groups of decks. ............................149 16.7.2. Figure A.16.26 Individual characteristics of each bridge deck................................150

17. Conclusions de la 1ère partie .........................................................................152

B. Extension des méthodes basées sur le principe de superposition................156

1. Introduction...................................................................................................156

2. Influence de l’application d’un traitement thermique sur les effets différés du béton .........................................................................................................157

2.1. Introduction........................................................................................................ 157 2.2. Propriétés du béton............................................................................................ 160

3. Influence de l’application d’un niveau de contrainte variant entre 50 et 70% sur les effets différés du béton ......................................................................167

3.1. Introduction........................................................................................................ 167 3.2. Propriétés du béton............................................................................................ 167

3.2.1. Influence du niveau de contrainte appliquée et de l’âge au chargement sur des éprouvettes non chauffées...........................................................................................................169 3.2.2. Influence du niveau de contrainte appliquée et de l’âge au chargement sur des éprouvettes chauffées..................................................................................................................174

4. Influence de l’application d’un déchargement précoce ou tardif sur les effets différés du béton..................................................................................176

4.1. Introduction........................................................................................................ 176 4.2. Modélisation de la recouvrance de fluage........................................................ 178 4.3. Comparaison des déformations résiduelles prédites avec les résultats d’essais sur éprouvettes ................................................................................................................ 180 4.4. Comparaison des déformations différées mesurées et prédites pour des éprouvettes de taille différente ....................................................................................... 187 4.5. Conclusions sur la modélisation des déformations différées des éprouvettes193

5. Analyse de la section suivant la méthode dite aux deux fonctions .............194 5.1. Introduction........................................................................................................ 194 5.2. Effets instantanés ............................................................................................... 194 5.3. Effets différés...................................................................................................... 194 5.4. Comparaison des mesures prises sur un tablier avec les valeurs calculées par la méthode pas-à-pas et la méthode aux deux fonctions .............................................. 196 5.5. Analyse de la variabilité des résultats à l’échelle du pont-bac en fonction de la résistance moyenne à la compression du béton ............................................................ 201


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6. Optimisation des phases de préfabrication des ponts-bacs isostatiques .....204 6.1. Introduction........................................................................................................ 204 6.2. Résultats obtenus en terme d’évolution des contraintes dans le béton ......... 205

7. Extension du programme de calcul suivant la méthode aux deux fonctions au cas hyperstatique......................................................................................209

7.1. Introduction........................................................................................................ 209 7.2. Modélisation par éléments finis de type poutre............................................... 210 7.3. Effets instantanés ............................................................................................... 219 7.4. Effets différés...................................................................................................... 220 7.5. Description topologique de la structure ........................................................... 225

8. Optimisation des phases de construction de viaducs hyperstatiques constitués de ponts-bacs................................................................................227

8.1. Introduction........................................................................................................ 227 8.2. Comparaison des valeurs calculées par le programme d’analyse de section et par celui d’analyse de structure..................................................................................... 227 8.3. Séquence 1: situation de base............................................................................ 229 8.4. Séquence 2: application d’efforts sur site avant le durcissement du béton de 2ème phase de la jonction ................................................................................................. 232 8.5. Séquence 3 :coulage du béton de 2ème phase sur site sur 6m de part et d’autre de la jonction.................................................................................................................... 235 8.6. Séquence 4 : optimum pour un liaisonnement effectué au jeune âge ............ 238 8.7. Séquence 5: optimum pour un liaisonnement effectué à un âge tardif ......... 240 8.8. Synthèse des résultats obtenus pour les 5 séquences....................................... 242

9. Conclusions de la 2ème partie ........................................................................244

C. Vers une modélisation basée sur l’évolution du degré d'hydratation et de l'humidité relative .........................................................................................246

1. Introduction...................................................................................................246

2. Modélisation du séchage naturel du béton ..................................................247 2.1. Introduction........................................................................................................ 247 2.2. Mécanismes du séchage ..................................................................................... 247 2.3. Modélisation envisagée du séchage................................................................... 248

3. Modélisation du degré d’hydratation et de la teneur en eau dans CESAR-LCPC .............................................................................................................250

3.1. Enjeu de la modélisation du béton au jeune âge ............................................. 250 3.2. Modélisation du degré d’hydratation : module TEXO .................................. 250 3.3. Modélisation de la teneur en eau : module HEXO.......................................... 252 3.4. Chaînage des modules TEXO-HEXO .............................................................. 254

3.4.1. Situation existante avant chaînage TEXO-HEXO........................................................254


6

3.4.2. Situation avec chaînage TEXO-HEXO pour la prise en compte de l’eau consommée par l’hydratation du ciment ...............................................................................................................254

4. Modélisation des déformations différées sur base du degré d’hydratation et de la teneur en eau ........................................................................................259

4.1. Introduction........................................................................................................ 259 4.2. Retrait thermique............................................................................................... 259 4.3. Retrait endogène ................................................................................................ 260 4.4. Retrait de dessiccation ....................................................................................... 262 4.5. Fluage fondamental............................................................................................ 271 4.6. Fluage de dessiccation........................................................................................ 278

4.6.1. Fluage de dessiccation structural ..................................................................................279 4.6.2. Fluage de dessiccation intrinsèque ...............................................................................279

5. Modélisation des déformations différées du béton des ponts-bacs .............282 5.1. Introduction........................................................................................................ 282 5.2. Détermination de la courbe QAB du béton pour le module TEXO .............. 282 5.3. Détermination des constantes propres au BHP pour le module HEXO ....... 283

5.3.1. Quantité d’eau potentiellement consommable par l’hydratation ..................................283 5.3.2. Constantes du modèle de diffusion...............................................................................284

5.4. Résultats sur éprouvettes de laboratoire.......................................................... 286 5.4.1. Calcul de l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau ............................286 5.4.2. Retrait endogène...........................................................................................................296 5.4.3. Retrait de dessiccation ..................................................................................................297 5.4.4. Fluage fondamental ......................................................................................................299 5.4.5. Fluage total ...................................................................................................................303

6. Calcul du comportement à long terme de structure basé sur le degré d’hydratation et la teneur en eau..................................................................305

6.1. Algorithme de résolution numérique ............................................................... 305 6.1.1. Effets initiaux ...............................................................................................................305 6.1.2. Effets différés ...............................................................................................................307

6.2. Organisation du programme de calcul............................................................. 321

7. Modélisation du comportement du pont-bac instrumenté à partir du degré d’hydratation et de la teneur en eau.............................................................324

7.1. Introduction........................................................................................................ 324 7.2. Description des événements............................................................................... 324 7.3. Description du phasage de construction .......................................................... 325

7.3.1. Echanges de chaleur .....................................................................................................325 7.3.2. Echanges d’humidité ....................................................................................................327

7.4. Comparaison des mesures et des résultats fournis par la modélisation basée sur l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau .................................... 397

7.4.1. Introduction ..................................................................................................................397 7.4.2. Comparaisons entre les déformations mesurées et calculées au niveau des capteurs du pont-bac instrumenté...................................................................................................................398 7.4.3. Contraintes calculées au niveau de la peau inférieure et de la peau supérieure de la dalle du pont-bac instrumenté..............................................................................................................409 7.4.4. Evolution des contraintes dans le pont-bac instrumenté (graphiques Matlab) .............414


7

8. Conclusions de la 3ème partie ........................................................................434

D. Conclusion générale......................................................................................435

E. Bibliographie générale..................................................................................438

F. Annexe générale............................................................................................456

1. Les modèles codifiés de retrait et de fluage..................................................456 1.1. Modèle CEB 90 (version 93).............................................................................. 456

1.1.1. Notations et unités ........................................................................................................456 1.1.2. Calcul du retrait ............................................................................................................456 1.1.3. Calcul de la fonction de fluage .....................................................................................457

1.2. Modèle CEB 90 (version 99).............................................................................. 458 1.2.1. Notations et unités ........................................................................................................458 1.2.2. Calcul du retrait ............................................................................................................459 1.2.3. Calcul de la fonction de fluage .....................................................................................460

1.3. Modèle ACI 209.................................................................................................. 461 1.3.1. Notations et unités ........................................................................................................461 1.3.2. Calcul du retrait ............................................................................................................461 1.3.3. Calcul du fluage............................................................................................................462

1.4. Modèle B3 .......................................................................................................... 463 1.4.1. Notations et unités ........................................................................................................463 1.4.2. Calcul du retrait ............................................................................................................464 1.4.3. Calcul du fluage............................................................................................................465

1.5. Modèle B3S ......................................................................................................... 466 1.5.1. Notations et unités ........................................................................................................466 1.5.2. Calcul du retrait ............................................................................................................467 1.5.3. Calcul du fluage............................................................................................................467

1.6. Modèle GZ ......................................................................................................... 468 1.6.1. Notations et unités ........................................................................................................468 1.6.2. Calcul du retrait ............................................................................................................468 1.6.3. Calcul du fluage............................................................................................................469

1.7. Modèle AFREM ................................................................................................. 469 1.7.1. Notations et unités ........................................................................................................469 1.7.2. Calcul du retrait ............................................................................................................470 1.7.3. Calcul du fluage............................................................................................................471

2. Courbe de dégagement de chaleur du béton ................................................472

3. Evolution des contraintes dans le pont-bac instrumenté (graphes Excel)..474

4. Notations........................................................................................................482 4.1. Majuscules latines .............................................................................................. 482 4.2. Minuscules latines .............................................................................................. 484 4.3. Minuscules grecques .......................................................................................... 485 4.4. Majuscules grecques .......................................................................................... 486


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AA.. AApppplliiccaattiioonn ddeess mméétthhooddeess bbaassééeess ssuurr llee pprriinncciippee ddee ssuuppeerrppoossiittiioonn

1. Moteur de la recherche.

Près de 400 ponts–bacs ont été construits en Belgique depuis une dizaine

d’années. Il s’agit d’un nouveau type de tablier de pont qui a été développé suivant un système breveté. Le pont-bac constitue la dernière étape significative dans l’histoire des poutres mixtes préfléchies. C’est une structure mixte composée de poutres préfléchies, précontraintes et construites par phases. La moitié d’entre eux ont été utilisés dans le cadre des travaux d’aménagement de la gare de Bruxelles-Midi pour la construction de viaducs pour les nouvelles lignes à grande vitesse et les autres ont servi au renouvellement de ponts bi voies triangulés métalliques en mauvais état à pose directe sur l’ensemble du réseau ferroviaire belge (Tilleur, Melreux, Kinkempois,…). A l’heure actuelle, les ponts-bacs sont dimensionnés à l’état limite de service par une méthode traditionnelle pseudo élastique avec coefficient d’équivalence m acier béton variable. Cette méthode est analogue à la méthode du module effectif où le module du béton est remplacé par un module réduit variable en fonction du temps. Jusqu’à présent, seules des travées isostatiques ont été mises en place avec une portée maximale de 26 mètres. Leur comportement semble conforme aux attentes.

Actuellement, on envisage d’étendre ce type de construction à la réalisation de viaducs hyperstatiques permettant ainsi de franchir de plus grandes portées (40 mètres) en établissant une continuité entre deux travées au droit de leur support commun. Il est bien connu que ce type de construction induit une importante redistribution dans le temps des efforts internes dans la structure. Il s’est donc avéré indispensable de comprendre en profondeur l’influence des effets différés sur ce type de construction composite avant de se lancer dans le dimensionnement de viaducs hyperstatiques.


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2. Introduction. Cette recherche a tout d’abord eu pour objet de fournir des données

expérimentales à l’échelle de la structure au travers de l’instrumentation d’un pont-bac permettant ainsi de suivre l’évolution réelle des déformations au cours du temps. A l’échelle du matériau béton , une campagne d’essais de caractérisation du retrait et du fluage a été lancée en parallèle au laboratoire sur des éprouvettes confectionnées avec le béton qui a été mis en œuvre lors de la fabrication du tablier instrumenté. Une fois cette phase expérimentale mise en route, est venue naturellement la phase de modélisation numérique.

En premier lieu, sur base de sept modèles existants de prédiction du retrait et du

fluage du béton, des programmes de calcul ont été développés permettant d’évaluer les déformations de retrait et de fluage au cours du temps pour à peu près n’importe quel type de béton ordinaire et de béton haute performance (compte tenu du fait que les limitations d’application des modèles sont variables d’un modèle à un autre). Les résultats fournis par ces modèles ont été comparés avec les mesures de retrait et de fluage effectuées au laboratoire. A l’issue de cette comparaison, deux modèles reproduisant de manière tout à fait satisfaisante les résultats expérimentaux ont été mis en évidence.

En second lieu, deux programmes généraux d’analyse de section mixte acier béton

ou de béton armé, préfléchie ou non, précontrainte ou non et/ou construite par phases ont été développés. Un de ces programmes applique la méthode dite du « module effectif ajusté » tandis que l’autre applique la méthode dite « pas-à-pas ». Ces méthodes admettent les hypothèses de la viscoélasticité linéaire, la compatibilité des déformations acier béton et l’équilibre des forces. Elles permettent de prendre en compte les effets différés pour chaque intervalle de temps entre deux événements de sollicitations que subit la structure. Les caractéristiques de retrait et de fluage utilisés dans ces programmes proviennent des résultats fournis par les sept programmes de prédiction basés sur les modèles existants. Les résultats, en terme de déformations, obtenus par ces méthodes ont été comparés avec les mesures de déformations effectuées sur le tablier instrumenté. Cette comparaison a permis de mettre en évidence les avantages mais également les inconvénients en terme de limitations de l’applicabilité de cette méthode de prédiction du comportement à long terme à certains historiques particuliers de structures.

La présente première partie de cette thèse est constituée tout d’abord par une

description de ce type de structure particulière. Ensuite, les modèles de prédiction du retrait et du fluage du béton suivis par la description de la méthode du module effectif ajusté et de la méthode pas-à-pas seront présentés. La campagne d’essai au laboratoire sera alors décrite et les mesures effectuées sont comparées aux résultats fournis par les modèles de prédiction. Ensuite, sera explicitée l’instrumentation qui a été réalisée sur un des tabliers mis en place aux abords de la Gare du Midi. Les mesures de déformations du tablier seront comparées aux résultats fournis par le programme de calcul. Finalement, une analyse statistique de la variabilité de la flèche mesurée à long terme sur 36 tabliers sera effectuée par comparaison avec les simulations numériques.


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3. Historique des poutres mixtes préfléchies

Un nouveau type de tablier de pont-rail a été développé depuis quelques années en Belgique pour remplacer d’anciens ponts ferroviaires métalliques de moyenne portée et pour la construction de viaducs pour les lignes à grande vitesse. La conception originale de ce tablier préfabriqué, préfléchi et précontraint, dénommé pont-bac, s’est inspirée de l’expérience belge dans ce domaine. Il s’agit d’une part de la poutre Préflex et d’autre part de la poutre Flexstress. Ce tablier constitue la dernière étape significative dans l’histoire des poutres mixtes préfléchies. Il s’agit précisément d’une structure mixte, préfléchie, précontrainte et construite par phases. Ce type de poutre préfléchie mixte acier béton présente de nombreuses différences aussi bien par rapport à la poutre Préflex que par rapport à la poutre Flextress. Avant d’entamer la description des caractéristiques du pont-bac, il est utile de resituer rapidement le contexte historique dans lequel ce type de poutre a été conçu.

3.1. La poutre Préflex

La première poutre mixte préfléchie appelée poutre « Préflex » a été inventée par

l’ingénieur A.Lipski. Celui-ci a établi les bases de calcul de ce type de structure en collaboration avec le professeur L.Baes [Baes, 1957].La première réalisation en Belgique date de 1951. La poutre Préflex a trouvé un large champ d’applications, tant dans les constructions relevant du Génie Civil que dans les bâtiments. Les réalisations les plus connues à Bruxelles (parce qu’associées à des bâtiments-phares) sont la Tour du Midi avec 144 poutres Préflex de 40 mètres [Novgorodsky, 1966] et le Complexe administratif Berlaymont avec 319 poutres Préflex [Verkeyn, 1978]. Une excellente étude bibliographique consacrée au système des poutres Préflex [Hever & al., 2002] a été publiée récemment par l’équipe de Recherche et Développement de Arcelor dans le cadre du Projet national français MIKTI de recherche et de développement de ponts mixtes acier-béton. Cette étude contient une liste des références bibliographiques sur le système Préflex, la liste des brevets, la liste des ouvrages réalisés en France ainsi que la liste des ponts-rails en Belgique. Le principe de fabrication de cette poutre illustré à la figure A.3.1. est le suivant: a) mise en place sur ses appuis d’extrémités d’un profilé en acier muni d’une contreflèche de laminoir de 294mm pour une portée de 33,4m; b) application des charges de préflexion de 189 tonnes chacune à la poutrelle (pour une portée de 33,4m) au ¼ et aux ¾ de la portée; c) coulage d’un béton de haute qualité dit de 1ère phase au niveau de la semelle inférieure du profilé et maintien des charges de préflexion à la poutrelle; d) 7 jours après le coulage du béton, déblocage de la préflexion: le profilé remonte avec une contreflèche plus faible que celle de départ et le béton est mis en compression; e) transport sur site de la poutre dans cet état et coulage du béton dit de 2ème phase sur site.


11

Les bétons de 1ère et de 2ème phases vont considérablement augmenter la raideur de l’ensemble. De plus, la précompression de la semelle inférieure avant la mise en service permet d’introduire un béton utile dans la partie tendue de la poutre et de satisfaire les critères de non fissuration du béton. En 1957, Baes et Lipski ont publié une étude concernant la prise en compte des effets différés (retrait et fluage du béton) dans les poutres Préflex. Cette étude, fondée sur les connaissances de l’époque en matière de modélisation du retrait et du fluage du béton, doit être considérée actuellement comme obsolète. En effet, elle conduit à des résultats erronés en ce qui concerne le calcul de l’état de contraintes à moyen et long terme. Toutefois, cela n’a pas empêché le succès technique de la poutre Préflex. Ce procédé, tout indiqué en cas de nécessité de grande portée libre et de faible hauteur utile, a connu un succès indéniable en Belgique, d’autant plus qu’il procure une résistance au feu excellente. Avec le recul d’une expérience de cinquante ans, le comportement des poutres Préflex jusqu’à présent est d’ailleurs tout à fait satisfaisant.

a

b

c

d

e

Figure A.3.1. Phases de construction de la poutre Préflex. A ce propos, dans le cadre du programme national français de recherches MIKTI, “Ponts et passerelles mixtes de demain”, le Service Génie Civil de l’ULB en partenariat avec la VUB (Staquet & al., 2003d), a réalisé en mai 2003 la mise en charge d’un tablier de pont ferroviaire constitué de poutres de type “Préflex” simplement appuyées. A la suggestion du partenaire TUCRAIL, le choix de l’ouvrage à étudier s’est porté sur un pont-rail de 32,9 m de portée entre appuis situé sur la ligne 161 Bruxelles-Namur du réseau ferré belge au km 5,974. Le pont est situé dans le quartier “européen” de Bruxelles. Il surplombe la chaussée d’Etterbeek à la sortie de la gare de Bruxelles-Schuman.


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Figure A.3.2. Pont ferroviaire étudié.

Figure A.3.3. Poutre étudiée.

Ce pont-rail, qui est assez remarquable par sa portée, a été construit fin 1976. Les plans complets sont disponibles auprès de la SNCB (Société Nationale des Chemins de Fer Belges) sous la référence B.7.23. Ce pont est constitué de 4 tabliers indépendants. Chaque tablier supporte une voie et est lui-même constitué de 3 poutres “Préflex”. La poutre instrumentée est la poutre médiane du tablier n°II situé du côté ouest du quai.

Figure A.3.4. Coupe transversale dans le tablier.


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Figure A.3.5. Coupe transversale dans le tablier (plan de coffrage). Au moment de la mise en charge, le pont était âgé de 26 ans, ce qui laisse supposer que la redistribution de contraintes entre le béton et l’acier des poutrelles préfléchies sous l’effet des déformations différées du béton est pratiquement stabilisée. Le tablier a été chargé progressivement au moyen d’un convoi constitué de deux locomotives électriques lourdes. La sollicitation la plus défavorable obtenue durant l’essai correspond à 44% du schéma de charge de l’ UIC. Durant la mise en charge, on a particulièrement ausculté une zone d’environ 4 m de long située au centre du tablier. On ainsi mesuré les pentes dans cinq sections distantes de 1 m, les variations de longueur de 16 bases de mesures extensométriques de 250 mm de longueur situées près de la face inférieure de la poutre, et la flèche à mi-portée. On a également procédé à une mesure de l’émission acoustique. L’apparition d’une fissure ou l’ouverture d’une fissure est un phénomène discret qui pourrait passer inaperçu dans un comportement “moyen” (certainement dans les mesures de la flèche). C’est pourquoi, il est essentiel d’examiner soigneusement tout ce qui relève du comportement différentiel entre deux sections voisines. Cependant, ni l’examen des différences de pentes entre deux section voisines ni l’observation de l’hétérogénéité de la distribution des mesures de déformation du béton à la fibre inférieure du tablier le long de la zone instrumentée ne permet de supposer une quelconque apparition de fissure ou l’ouverture d’une fissure préexistante sous l’effet du chargement. On ajoutera au surplus que la zone instrumentée a fait l’objet d’un examen visuel rapproché (à distance de lecture du comparateur de l’extensomètre) à chaque palier du chargement et que cet examen n’a révélé aucune fissuration. Toutes les mesures indiquent que le comportement du tablier sous l’effet du convoi est élastique (linéaire), que le hourdis inférieur de béton n’était pas fissuré avant de débuter la mise en charge et ne s’est pas fissuré en cours d’essai et qu’il a donc pleinement participé à la raideur (élastique) de la poutre.


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Par ailleurs, on doit noter une très bonne correspondance entre les mesures réalisées et les calculs effectués en supposant un comportement élastique linéaire non fissuré de la structure en ce qui concerne les flèches, les pentes et les déformations. Ces observations sont en bonne correspondance avec les résultats d’un calcul de l’état de contrainte dans le tablier qui prend en compte les redistributions de contrainte entre le béton et l’acier des poutrelles qui se produisent au cours du temps dans les poutres “Préflex”. Il n’est évidemment pas possible d’accéder à l’état de contrainte réel (ou total) dans le hourdis de la poutre sous la combinaison de charge “actions permanentes et convoi”. Le modèle de calcul utilisé, qui introduit des hypothèses sur la redistribution des contraintes entre la poutrelle et le béton dans le hourdis inférieur sous l’effet des déformations différées du béton, conduit à une contrainte (totale) de traction dans le béton à la fibre inférieure de 3,1 N/mm2 sous cette combinaison d’actions. Cette valeur n’excède probablement pas la valeur locale de la résistance à la traction du béton.

Figure A.3.6. Coupe dans une des poutres PREFLEX.


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Si l’on accorde quelque crédit au modèle d’évaluation du comportement différé, que l’on peut par ailleurs estimer un peu pessimiste, il est normal qu’aucune fissuration n’ait été observée durant l’essai. On rappellera que le convoi d’essai est le plus lourd qu’il ait été possible de constituer. Pour charger de façon plus défavorable, il eût été nécessaire de constituer un convoi de wagons chargés destinés au transport de la fonte liquide et de le faire circuler à vitesse normale sur l’ouvrage pour obtenir l’effet dynamique.


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3.2. La poutre Flexstress

L’étape suivante dans l’histoire de la poutre mixte préfléchie est l’introduction de la précontrainte par les Etablissements Ronveaux s.a et la production d’un nouveau type de poutre mixte, préfléchie et précontrainte cette fois appelée poutre «Flextress». A l’occasion de la construction du pont à poutres préfabriquées en béton sur le barrage de Lixhe sur la Meuse en 1986, des poutres Flextress de 47m de portée et reliées entre elles par une dalle ont été disposées pour constituer le tablier [De Keyser et al., 1990]. A cette occasion, une poutre Flextress a été abondamment instrumentée et a fait l’objet d’une étude approfondie quant à son comportement différé. Une synthèse remarquable des résultats de cette étude a été publiée en 1990. A l’aide d’une modélisation numérique du comportement différé de la poutre suivant une approche pas-à-pas, les auteurs de cette étude parviennent à reproduire assez correctement l’évolution des flèches et des contraintes dans l’acier mesurées dans la poutre de Lixhe. Ils montrent clairement les limites et les incohérences de la méthode de calcul traditionnelle pseudo élastique avec le coefficient d’équivalence m variable des modules d’élasticité acier béton.

Figure A.3.7. Poutre Flexstress SNCB, L = 50,2 m (source Ronveaux, octobre 2003). La Flexstress comprend toutes les techniques de pointe souvent appliquées individuellement à ses deux «parents» que sont le béton et la poutrelle. En effet, le béton peut être armé, précontraint par pré-tension ou post-tension et la poutrelle précontrainte ou préfléchie. Elle est la synthèse de toutes ces techniques qu’elle réunit pour obtenir un maximum d’efficacité.


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180

60

4013

50

80

140

80

260

8 torons T 15 sursemelle inférieure

Gaines pour cables de postcontrainte

860

38 torons T15 adhérents

Figure A.3.8. Coupe type d’une poutre Flexstress.

La poutre Flexstress comporte une poutrelle métallique précintrée en acier S355 qui est élastifiée pour la rendre libre de contraintes résiduelles. Les poutrelles sont soumises par paire et horizontalement à une flexion accompagnée d’une compression. Pendant cette opération, la contrainte de traction atteint 85 % de la limite élastique. Ensuite, les poutrelles sont disposées sur le banc de préfabrication verticalement où elles subissent l’effet de leur masse propre. Des torons de précontrainte agissant sur le talon inférieur de la poutrelle sont alors ajoutés. Cette opération appelée turbo-préflexion permet d’augmenter la capacité de préflexion de la poutrelle. La préflexion est réalisée par abaissement individuel des poutrelles sous deux charges situées à 0,4 et 0,6 L. L’entièreté de la poutrelle est ensuite bétonnée. Lorsque la résistance du béton est suffisante, a lieu tout d’abord le déblocage de la préflexion ayant pour effet de soulever la poutre en béton et mobiliser son poids propre et ensuite le transfert de la précontrainte par coupage des torons. Pour permettre d’appliquer un maximum de précontrainte au relâchement des torons et même artificiellement plus que le maximum, une anti-précontrainte provisoire est placée sur le dessus de la poutre. Elle aidera à répondre aux grands porte-à-faux de transport et sera retirée et récupérée dès la pose des prédalles. Enfin, après coulage et durcissement de la dalle, la précontrainte par post-tension éventuelle est réalisée.


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La Flexstress n’est pas seulement la coexistence des deux techniques connues et existantes. Elle est aussi l’apport de particularités innovantes et très avantageuses par rapport aux deux procédés de base que sont la précontrainte et la préflexion: la précontrainte sur le talon inférieur de la poutrelle baptisée turbo-préflexion, l’anti-précontrainte compensatoire provisoire sur le béton et l’enrobage total de la poutre durant la préfabrication.

3.3. Le pont-bac

Le contexte dans lequel les ponts-bacs ont été conçus est lié aux travaux d’extension et d’agrandissement de la gare de Bruxelles-Midi au début des années 90. En effet, l’entrée de la ligne à grande vitesse dans la gare de Bruxelles-Midi a impliqué la construction d’un terminal spécifique et d’une liaison directe entre la ligne à grande vitesse et le nouveau terminal. Donc, plus de 3 km de viaducs avec simple voie devaient être construits dans un environnement urbain. Un nouveau type de tablier nommé pont-bac a été imaginé pour défier ce challenge. La gare de Bruxelles-Midi est la plus importante gare ferroviaire en Belgique. C’est pour cette raison qu’elle a été choisie comme terminus pour l’Eurostar venant de Londres et comme station principale intermédiaire pour le Thalys venant de Paris vers Amsterdam ou entre Paris et Cologne. Avant les travaux, il y avait 22 voies à quais dans la gare de Bruxelles-Midi. Quatre d’entre elles n’avaient pas de liaison avec la gare de Bruxelles Nord. Après la rénovation de la gare, six voies à quais sont utilisées par le TGV et quatre de ces six voies ont un lien direct avec la gare de Bruxelles-Nord. La partie Ouest de la gare a été choisie pour l’emplacement des quais du TGV. Comme les trains venant de la frontière française arrivent du côté Est de la gare, il était nécessaire d’établir une liaison directe entre la nouvelle ligne TGV et le nouveau terminal spécifique pour les TGV. Pour éviter le croisement des voies au même niveau et pour améliorer le réseau domestique existant, plusieurs viaducs ont dû être construits. Plusieurs contraintes ont dû être prises en compte:

- une épaisseur de construction minimale (distance entre le niveau le plus bas du ballast et le niveau le plus bas du tablier) pour réduire la déclivité des voies de croisement et disposer d’assez d’espace libre en dessous des voies pour le hall d’entrée de la gare;

- le trafic ferroviaire sur les voies existantes qui doivent être traversées par le nouveau viaduc ne peut pas être interrompu pendant une longue période;

- la perturbation pendant la construction réduite au minimum; - le niveau de bruit causé par le passage des trains sur les nouveaux viaducs

réduit au maximum dans un environnement urbain.


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Pour répondre à ces critères, une solution innovante a été utilisée. Des tabliers préfabriqués mixtes en U dits ponts-bacs ont été réalisés sur base de l’expérience dérivée du réseau existant. Depuis 1988, les Chemins de Fer belges ont introduit ce nouveau concept pour remplacer de vieux ponts métalliques. Ils ont été préfabriqués en usine pour réduire le temps de construction sur chantier [Couchard et Detandt, 2000].

3.3.1. Extension et agrandissement de la gare de Bruxelles-Midi La gare de Bruxelles-Midi a été construite entre 1945 et 1950. Du côté ouest, les voies et les quais étaient supportés par des viaducs métalliques disposés à 6 m au-dessus du hall principal pour les passagers situé au niveau de la rue. Comme l’espace sous les voies était disponible pour les passagers, cette partie de la gare a été choisie pour établir un terminal spécifique pour le TGV. Les voies 1 et 2 utilisées par l’Eurostar (Figure A.3.9.) ont dû être isolées pour des raisons de sécurité. Donc, la structure supportant les voies 1,2 et 3 a dû être enlevée. De plus, les quais ont dû être agrandis du côté Nord.

Figure A.3.9. Section des voies et des quais de la gare de Bruxelles-Midi. La combinaison de tabliers en U à simple voie et de deux poutres précontraintes reliées par une dalle en béton (Figure A.3.10.) est très intéressante pour conserver l’espace maximum disponible pour les équipements et les passagers. Des appuis appropriés ont été réalisés sous les traverses de la voie et sous les nouveaux tabliers pour réduire le niveau de bruit dû au passage des trains sur les tabliers.

Figure A.3.10. Coupe dans les tabliers supportant les voies et les quais pour l’Eurostar vers Londres.

London Paris Köln Amsterdam

1+2 3+4+5+6

London Paris Köln Amsterdam

1+2 3+4+5+6


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Le projet inclut la construction de 58 tabliers de portée comprise entre 18 et 23m. Ils sont transportés par train depuis l’usine de préfabrication vers la gare. Pour monter les tabliers, une installation de poussage (Figure A.3.11.) a été réalisée qui consiste en un pont-roulant de 51m de long supporté par trois portiques. Deux chariots équipés de vérins peuvent faire passer les tabliers disposés sur les wagons jusqu’à leur position finale. La préfabrication et le montage ont permis de diminuer considérablement la durée de la construction sur chantier.

Figure A.3.11. Montage des ponts-bacs à la gare de Bruxelles-Midi.

Comme les voies à l’entrée de Bruxelles-Midi sont très fréquentées, une interruption du trafic est seulement autorisée pendant quelques heures la nuit. Le transport des éléments préfabriqués par train a permis d’éviter des nuisances du trafic routier en ville.

3.3.2. Entrée de la ligne à grande vitesse à Bruxelles-Midi Huit viaducs à simple voie ont été construits dans les environs de la gare de Bruxelles-Midi. Les piles consistent en des colonnes circulaires coulées sur chantier qui supportent un chevêtre préfabriqué. La superstructure consiste en des ponts-bacs à simple voie avec une hauteur de 1,3 m et une portée maximale de 26 m (Figures A.3.12 et A.3.13).

2665.6

398

298

5050

Figure A.3.12. Vue en plan d’un pont-bac de 26,65m de portée.


21

136

à l'a

ppui

15

15 351%

398

25

Figure A.3.13. Coupe transversale d’un pont-bac à mi-portée (L=26,65m).

Les tabliers sont préfabriqués en usine et transportés en train jusqu’au chantier où ils sont placés sur leurs supports par des grues (Figures A.3.14 et A.3.15).

Figures A.3.14 et A.3.15. Pose par grues des ponts-bacs aux abords de la gare de Bruxelles-Midi.


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Figure A.3.16. Coupe d’un viaduc. Figure A.3.17. Vue d’un viaduc à simple voie (151 m). Le fonctionnement du pont est tout-à-fait évident: les structures portent les voies et les passerelles sont en encorbellement. Les supports caténaires sont clairement isolés (Figures A.3.16 et A.3.17 ). Dans le cas de la double voie, l’infrastructure et la superstructure sont indépendantes et chaque tablier a sa propre passerelle. Dans le cas d’une simple voie, une passerelle est construite pour des raisons de sécurité de chaque côté des tabliers. Dans le cas des voies avec un très petit rayon de courbure, des viaducs indépendants à simple voie conviennent parfaitement. Tous ces viaducs portent des voies ballastées avec des rails UIC 60 placés sur des traverses en béton. Comme les tabliers sont simplement supportés par les piles et les voies maintenues latéralement, des rails continus soudés ont pu être mis en œuvre sans dispositif de dilatation du rail. Ce choix est intéressant au point de vue du confort, de la sécurité, du bruit et de l’entretien. Des mesures de l’accélération verticale dans les TGV ont été faites lors du passage d’un convoi sur le premier viaduc terminé à la vitesse maximale autorisée de 90 km/h. La valeur obtenue est inférieure à celle correspondant à un « très bon niveau de confort » donné par les Eurocodes. La construction des huit viaducs prendra dix ans du fait des phases consécutives qui ne peuvent être réalisées simultanément. Le projet sera terminé en 2005. Plus de 150 tabliers sont nécessaires pour établir les différentes liaisons [Couchard et Detandt, 2000].


23

Ce tablier constitue la dernière étape significative dans l’histoire des poutres mixtes préfléchies. Il s’agit précisément d’une structure mixte, préfléchie, précontrainte et construite par phases. Ce type de poutre préfléchie mixte acier béton présente de nombreuses différences aussi bien par rapport à la poutre Préflex que par rapport à la poutre Flextress. Les plus marquantes du point de vue de l’influence des effets différés sur le comportement à long terme de ce type de structure sont le fait que les poutres des ponts-bacs incluent plus de quantité de béton par rapport à celle de l’acier que les poutres Préflex ou Flextress, et que ce béton est coulé en plusieurs phases. L’hétérogénéité viscoélastique des ponts-bacs est donc assez différente de celle des poutres Préflex ou Flextress. Cela veut dire également que le comportement à long terme des ponts-bacs sera vraisemblablement plus influencé par les déformations différées du béton que ne l’était celui des poutres Préflex ou Flextress.


24

4. Description des ponts-bacs préfabriqués

4.1. Phases de construction des ponts-bacs

Ces structures mixtes acier-béton en forme d’auge ont une largeur de 4m. Deux poutres en acier laminées ou reconstituées soudées sont cintrées à la fabrication pour leur donner une contreflèche initiale (Figure A.4.2,a). Ces profilés sont munis également de butées en acier S355 généralement situées au niveau de la semelle supérieure. Les poutres sont ensuite placées dans un dispositif spécial à l’usine de préfabrication. Les semelles supérieures sont maintenues pour éviter un déversement latéral. La première étape est la phase d’élastification des poutrelles (nota: atteindre le comportement élastique par élimination des contraintes résiduelles). Pour éliminer les contraintes résiduelles, deux charges ponctuelles sont appliquées au ¼ et aux ¾ de la portée des poutres et sont enlevées et réappliquées plusieurs fois jusqu’à ce que la contreflèche ne change plus. Alors, la construction commence par l’application de deux charges ponctuelles sur chaque poutre au ¼ et aux ¾ de la portée pour annuler la contreflèche des poutres (Figures A.4.1 et A.4.2,a). Le niveau de contrainte dans les poutres en acier durant la phase de préflexion est limité à 80% de la limite élastique. Ces deux poutres feront partie des poutres maîtresses du tablier et seront noyées dans les âmes de la section.

Figure A.4.1. Phase de ferraillage en usine.


25

a

b

c

d

e

Figure A.4.2. Etapes de construction d’un pont-bac.

Ensuite, la dalle est construite: des armatures à adhérence améliorée en acier BE 500S (S500) (transversalement et longitudinalement) et des torons adhérents (longitudinalement) sont disposés dans l’espace qui sera rempli par le béton de 1ère phase (épaisseur de la dalle: 0,25m). Aucune protection anti-corrosion n’est appliquée sur l’acier puisqu’il sera enrobé de béton. La dalle est bétonnée quelques heures après la préflexion des poutrelles (Figure A.4.2,c). Les tabliers sont, le cas échéant, chauffés à 45°C durant le premier jour après le bétonnage. A 2 jours (pour ceux qui sont chauffés) ou à 3 jours (pour les autres), c’est-à-dire quand le béton de la dalle a atteint la résistance requise (45MPa sur cube 15X15), la dalle est précontrainte par relâchement des efforts de préflexion agissant sur les poutres et par transfert des efforts de précontrainte des torons (Figure A.4.2,d). Le jour suivant, les âmes et les parties supérieures des poutres sont enrobées par un béton de 2ème phase pour compléter le tablier (Figure A.4.2,e). La composition du béton de 1ère phase et celle du béton de 2ème phase sont strictement identiques. Il s’agit d’un béton haute performance de classe C50/60. La résistance moyenne à la compression à 28 jours sur cylindres 15/30 et sur cubes 15X15 vaut respectivement 64MPa et 78MPa.

4.2. Avantages du pont-bac par comparaison avec d’autres structures

Certains critères ont été pris en compte pour la conception de ces tabliers tels que minimiser l’épaisseur de la construction (distance entre le niveau le plus bas du ballast et du tablier soit l’épaisseur de la dalle) et augmenter les portées. Des comparaisons avec des structures sans poutrelles ou précontraintes sont données ci-après à titre d’exemple pour démontrer les avantages que procure ce procédé [Detandt].


26

4.2.1. Influence des poutrelles métalliques et influence de

l’épaisseur de la dalle Dans la conception de ces tabliers, les poutres préfléchies jouent un rôle important car elles ont une influence significative sur la capacité portante de la structure. Trois types de tabliers utilisant un béton C40/50 ont été choisis pour illustrer l’influence bénéfique des poutrelles métalliques. Le type A est un pont-bac (en béton précontraint) mais sans poutrelles avec une hauteur de 1,25m, 4m de large et une épaisseur de dalle de 0,25m. Le type B est un pont-bac avec les mêmes dimensions que le type A mais avec deux poutres préfléchies (S355) pesant chacune 3500 N/m. Le type C est le même que le type B mais avec des poutrelles pesant chacune 7000 N/m [Detandt, Tucrail s.a.].

Figure A.4.3. Evolution de l’effort de précontrainte requis pour 3 types de tabliers en fonction de la portée.

Dans les figures A.4.3 et A.4.5, la force de précontrainte requise est calculée pour vérifier les critères de l’état limite ultime (suivant l’Eurocode) et d’état limite de service tel qu’aucune décompression du béton ne se produise sous le chargement UIC 71. Dans les figures A.4.3, 4, 5 et 6, les tabliers sont soumis à leur poids propre, au ballast et à un chargement UIC. En utilisant un tablier de type A, une portée maximale de 14m peut être atteinte tandis qu’une portée de 28m est possible avec un tablier de type C avec des poutres préfléchies et de la précontrainte simultanément.

Effort de précontrainte (10³ kN)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5 10 15 20 25 30

Portée (m)

A

C B


27

La figure A.4.4 montre que pour un rapport portée/flèche donné, une plus longue portée peut être atteinte avec les types C ou B plutôt qu’avec le type A: la raideur du tablier est considérablement influencée par l’ajout de poutres métalliques. Dans les figures A.4.4 et A.4.6, les lignes en gras 1S, 2S et 4S représentent les plus petits rapports acceptables portée/flèche suivant la fiche UIC 776-3 pour des trains de vitesse comprise entre 120km/h et 200km/h (critère de flèche). Les symboles 1S, 2S et 4S représentent une structure avec 1,2 et 4 portées respectivement.

Figure A.4.4. Evolution du rapport portée/flèche pour 3 types de tabliers en fonction de la portée.

Figure A.4.5. Evolution de la force de précontrainte requise en fonction de la portée

pour 2 tabliers qui diffèrent par l’épaisseur de la dalle.

(Portée / flèche )

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 20 25 30 35

Portée (m)

A B

C

4 S

2 S 1S

Effort de précontrainte (10³ kN)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5 10 15 20 25 30

Portée (m)

ED


28

La figure A.4.5 montre l’influence de l’épaisseur de la dalle. Les types D et E sont similaires au type C mais avec un béton C50/60. Ils diffèrent par l’épaisseur de la dalle: 0,25m pour le type E et 0,30 m pour le type D. Le graphique montre que l’augmentation de l’épaisseur de la dalle n’a pas une influence significative sur la portée maximale. C’est la raison pour laquelle une épaisseur de 0,25m a été choisie. La figure A.4.6 montre que l’épaisseur de la dalle a une influence négligeable sur la raideur du tablier. Même en prenant en compte le critère de flèche, de très longues portées peuvent être atteintes en utilisant ce type de structure avec une très faible épaisseur de construction.

Figure A.4.6. Evolution du rapport portée/flèche en fonction de la portée pour 2 tabliers qui diffèrent par l’épaisseur de la dalle.

(Portée / flèche )

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 20 25 30 35

Portée (m)

4 S

2 S

1 S

ED


29

4.2.2. Comparaison entre un pont-bac et un tablier avec des poutres métalliques enrobées

Figure A.4.7. Comparaison entre un tablier préfléchi et précontraint (F) et des poutres enrobées(G).

La comparaison de quelques caractéristiques est donnée à la figure A.4.7 pour un tablier type pont-bac (F) et pour un tablier mixte similaire avec des poutres métalliques simplement enrobées de béton (G). Le tablier (F) correspond au type B qui a été détaillé au point 4.2.1. Le tablier (G) inclut huit profilés HEB 900 parallèles (S 355) qui sont complètement enrobés avec du béton C40/50. La largeur totale des deux tabliers est de 4m. Chaque tablier a une portée de 20m et est soumis à son poids propre, ballast et chargement UIC. Les calculs prennent en compte les états limites ultimes et en particulier pour le tablier (F), le béton doit rester complètement comprimé sous le chargement UIC 71. La figure A.4.7 montre que pour la même portée, largeur et chargement, le poids propre, l’épaisseur de la construction et la quantité requise d’acier et de béton du tablier (F) sont considérablement plus faibles que ce qui est nécessaire pour le tablier (G) [Detandt].

117

2514,3

7,40,85

226

98

47,3

1,3 0

71,5

41

0

50

100

150

200

250

Poids propre (t) H (cm) Poids poutres en acier (t)

Poids armaturespassives(t)

Poids torons (t) Béton (m³)

FG (HEB 900)


30

La figure A.4.8 ci-dessous résume les caractéristiques principales de ces tabliers mixtes préfléchis et précontraints dits ponts-bacs.

Portée (m) de 18 à 26 m Poids total d’une travée type de 26m (t) 167t Prix sortie usine, étanchéité comprise (€) : - portée type de 20m - portée type de 26m

75000 €/pièce 130000 €/pièce

Tonnage de béton (t/m) 4,9 t/m Tonnage d’acier de précontrainte (t/m) 0,0425 t/m Tonnage d’acier des poutrelles (t/m) 0,715 t/m Tonnage d’acier des armatures passives (t/m) 0,37 t/m Figure A.4.8. Récapitulatif des caractéristiques des ponts-bacs.

4.3. Conclusion

La précontrainte du béton de 1ère phase intervient à un âge jeune (2 ou 3 jours) et à des niveaux de contrainte élevés (environ 0,5 fc) sur du béton à haute résistance (fc,cube = 45 MPa à la précontrainte). Le caractère mixte et hétérogène du point de vue viscoélastique de la construction, qui associe l’acier à haute limite élastique (S355) des profilés, l’acier (1860 MPa) des torons et un bétonnage en deux phases doit également être souligné. Tout ceci est théoriquement source d’une importante redistribution différée des contraintes entre l’acier et le béton qui réduit la précontrainte de la dalle. Comme le comportement en service de ce type d’ouvrages ainsi que la résistance à la fatigue sont de toute première importance, le dimensionnement doit garantir l’absence de fissuration préjudiciable dans la dalle.


31

5. Description physique des déformations du béton

5.1. Introduction

Avant d’entrer dans le détail des modèles de prédiction des déformations du béton, il est indispensable de voir d’un point de vue physique quelles en sont les composantes et les origines. Seront donc successivement passées en revue: la déformation élastique instantanée, le retrait, le fluage et la relaxation du béton.

5.2. Déformations du béton La déformation axiale totale ε à l’instant t d’une fibre d’un élément de type

poutre en béton soumis à une contrainte constante en to est exprimée sous la forme: ε(t) = εo(to) + εϕ(t, to) + εcs(t,ts) (A.5.1) avec εo = déformation instantanée εϕ = déformation de fluage εcs = déformation de retrait ts = âge du début du retrait L’âge du béton à partir duquel commence le retrait coïncide avec le début des réactions d’hydratation primaire du ciment. Cette expression n’est valable que dans l’hypothèse où l’élément en question reste à température constante. L’augmentation de la déformation de fluage εϕ et de la déformation de retrait εcs s’effectue à une vitesse décroissante au cours du temps. L’application de la contrainte en to provoque un saut en to à la déformation totale qui se traduit par la déformation instantanée εo. [Favre, 1997; Le Roy, 1996]

La connaissance précise de chacune de ces composantes est donc nécessaire pour évaluer la déformation totale à long terme ε(t) d’un élément de béton. Celle-ci va évidemment dépendre de l’histoire des contraintes appliquées à l’élément de béton et des propriétés mécaniques et rhéologiques du béton.

5.3. Déformation instantanée et module d’élasticité

La déformation instantanée εo ne dépend pas seulement de la contrainte σo

appliquée en to mais également de l’âge du béton au moment du chargement et dans une moindre mesure, de la vitesse à laquelle la contrainte est appliquée. Pour des niveaux de contrainte inférieurs à la moitié de la résistance caractéristique à la compression du béton, on considère que la déformation instantanée εo est entièrement élastique.


32

Comme c’est le cas pour bon nombre de structures, la déformation instantanée

εo s’exprime sous la forme:

)()(

oc

ooo tE

tσε = (A.5.2)

avec Ec(to) = module d’élasticité du béton au moment du chargement.

Le béton étant un matériau vieillissant, le module d’élasticité augmente au cours du temps. Son évolution au cours du temps est liée à l’augmentation de la résistance à la compression du béton avec le temps. Généralement, dans les normes et les modèles, le module d’élasticité au temps t s’exprime par une relation de la forme [Trevino, 1988]: Ec(t) = f(fcm(t)) = ζ(t).Ecm28 (A.5.3) Avec fcm(t) = résistance moyenne à la compression du béton au temps t ζ(t) = fonction d’évolution du module d’élasticité au cours du temps Ecm28 = valeur moyenne du module d’élasticité à 28 jours

5.4. Retrait

5.4.1. Introduction

Le retrait d’une éprouvette en béton se traduit par la diminution du volume de celle-ci au cours du temps. La détermination de l’origine du retrait est en réalité assez complexe. Actuellement, cinq phénomènes peuvent être mis en évidence. Chacun d’entre eux peut avoir des conséquences plus ou moins néfastes pour la structure. Une analyse fine de leurs effets est indispensable pour des structures sensibles aux effets différés (centrales nucléaires, réservoirs de stockage, ouvrages d’art,…). Examinons ces phénomènes à l’origine du retrait du béton.

5.4.2. Retrait plastique

Juste après la mise en place du béton dans le moule ou le coffrage, l’eau présente à la surface libre du béton frais peut s’évaporer. Le retrait qui en résulte est le retrait dit plastique ou capillaire ou encore avant prise. En conséquence, pour éviter une fissuration de la surface, il est primordial d’assurer une protection contre l’évaporation au moyen des produits de cure et en recouvrant ensuite la surface de béton par un film étanche.


33

5.4.3. Retrait chimique

Le retrait chimique a été mis en évidence par Le Chatelier. Ce type de retrait

est appelé également retrait intrinsèque. Il n’a qu’un intérêt mineur dans le domaine du calcul de structures.

5.4.4. Retrait thermique

Il est lié au fait que les réactions d’hydratation primaire du ciment sont

exothermiques. Pendant la prise, le béton est soumis tout d’abord à une élévation de la température puis celle-ci diminue progressivement par dissipation de la chaleur au travers des moules ou des coffrages. Ce refroidissement provoque une contraction du matériau c’est-à-dire le retrait thermique. Etant donné le gradient thermique créé entre le cœur du béton et sa surface, cette contraction peut donner lieu à de la fissuration en surface, sans parler de fissures pouvant résulter de l’entrave au libre retrait. Après décoffrage, la température continue à décroître pour finalement s’aligner avec la température ambiante. Ce type de retrait débute donc avec la fin de la prise du béton. Selon le dosage et la nature du ciment, il peut atteindre 400 voire 500 µm/m au cœur des éléments en béton.

5.4.5. Retrait hydrique

5.4.5.1. Retrait endogène

Il s’agit du retrait qui a lieu en l’absence totale de tout échange d’humidité

avec l’extérieur. On parle aussi de retrait d’auto-dessiccation ou retrait d’hydratation. Lors des réactions d’hydratation du ciment, une partie de l’eau contenue dans le béton est consommée. Pour des bétons ayant un rapport eau/ciment inférieur à 0.4, il peut atteindre 300 voire 500 µm/m (dans le cas par exemple des BUHP avec un très faible rapport eau/ciment). Bien que cette valeur reste modérée, sommée aux autres composantes de retrait, elle n’est plus négligeable. Il atteint dès les premiers jours 60 voire 90% de la valeur obtenue à 28 jours. Son évolution étant très rapide au jeune âge, ce qui nécessite des essais à très jeune âge pour pouvoir le quantifier expérimentalement.

5.4.5.2. Retrait de dessiccation

En présence d’un gradient hydrique entre le béton et le milieu extérieur,

apparaît du retrait dit de séchage. L’eau contenue dans le béton diffuse très lentement vers les faces exposées au séchage. Ce processus peut prendre plusieurs années avant d’avoir épuisé toute l’eau libre contenue dans le béton. Il peut varier de 0.2 à 0.6 0/00.


34

5.4.6. Retrait de carbonatation

Les réactions d’hydratation primaire du ciment produisent de la chaux

hydratée Ca(OH)2 appelée aussi portlandite. Au contact avec le gaz carbonique CO2 contenu dans le milieu ambiant, la portlandite va former du carbonate de calcium CaCO3. Ce type de retrait progresse au cours du temps depuis la surface du béton vers le cœur du béton [Favre, 1997].

5.4.7. Conclusion Au très jeune âge du béton, le retrait thermique et le retrait endogène sont

prépondérants car ils se développent très rapidement pendant les premiers jours. Pour les limiter, il est possible d’adapter les compositions de béton utilisées et de choisir le type de coffrage adéquat. En ce qui concerne le retrait de dessiccation, il se développe très lentement. Il est donc plus difficile de le limiter en pratique, excepté bien entendu la possibilité de diminuer la quantité d’eau prévue dans la formulation de béton. Quelques modèles américains et européens proposent des expressions empiriques calibrées sur un grand nombre d’essais pour évaluer dans le temps le retrait de dessiccation. Quelques tentatives existent également pour évaluer le retrait endogène.

5.5. Fluage

5.5.1. Introduction

Le fluage d’un élément en béton soumis à une contrainte appliquée se traduit

par l’augmentation graduelle dans le temps de sa déformation. On parle de fluage pur si la contrainte appliquée est maintenue constante dans le temps. Tout comme pour le retrait, on distingue plusieurs types de fluage. Examinons les différences qui existent entre eux.

5.5.2. Fluage fondamental

Il s’agit du fluage qui se produit lorsqu’il n’y a aucun échange d’humidité entre l’élément en béton soumis à une contrainte appliquée et le milieu ambiant.

5.5.3. Fluage de dessiccation

Il s’agit du fluage additionnel qui se produit en plus du fluage fondamental lorsque l’élément en béton soumis à une contrainte appliquée est exposé à des conditions de séchage. La somme du fluage fondamental et du fluage de dessiccation donne le fluage total. C’est cette valeur totale de fluage qui est utilisée généralement dans les calculs de structure.


35

5.5.4. Paramètres affectant le fluage

Pour modéliser le phénomène de fluage, les chercheurs ont tout d’abord mis

en évidence les différents paramètres qui affectent le fluage et la cinétique de son développement.[Favre, 1997; Guénot-Delahaie, 1997]

5.5.4.1. L’âge du béton au moment de la mise en charge

Plus l’âge du béton - ou plutôt le degré d’hydratation du ciment - est avancé

au moment de la première mise en charge, plus le fluage diminue. C’est bien entendu lié aussi à la résistance du béton et à la vitesse de durcissement du ciment. Mais, même pour des âges très avancés, le fluage ne disparaît jamais totalement.

5.5.4.2. Le type de granulats

Plus le diamètre maximum des granulats est élevé et/ou plus les granulats sont

durs, plus le fluage sera réduit.

5.5.4.3. Les conditions ambiantes

En ce qui concerne l’humidité relative ambiante, plus celle-ci sera faible, plus

le fluage sera important et ce d’autant plus si les dimensions de l’élément diminuent. Les variations de température comprises entre 0 et 25°C ont une influence négligeable sur le fluage.

5.5.4.4. Le niveau de contrainte appliqué

Pour des niveaux de contrainte inférieurs à environ la moitié de la résistance à

la compression du béton, le fluage est proportionnel à la contrainte appliquée. Il est dit linéaire. Au delà, il devient non linéaire et augmente à une vitesse plus rapide.

5.5.5. Conclusion Les expressions empiriques pour évaluer le fluage proposées par les modèles

et les normes tiennent compte de l’âge du béton au moment du chargement et des conditions ambiantes. Par contre, en ce qui concerne le niveau de contrainte appliqué, seul le modèle européen (CEB90-93 et 99) distingue le fluage linéaire du fluage non linéaire. De même, en ce qui concerne le type de granulat, seul le modèle européen (CEB90-99) en tient compte.


36

5.6. Relaxation

5.6.1. Introduction

La relaxation d’un élément en béton ou des câbles de précontrainte se traduit

par la diminution graduelle des contraintes dans le temps dans l’élément ou dans les câbles soumis à des déformations imposées. On parle de relaxation intrinsèque si la déformation imposée est maintenue constante dans le temps.

5.6.2. Relaxation du béton

Tout comme pour le fluage, plus l’âge du béton au moment de la déformation imposée est avancé, plus la relaxation sera faible. En effet, le béton étant un matériau vieillissant, son module d’élasticité augmente avec le temps.

5.6.3. Relaxation des aciers

Par opposition au béton, l’acier est considéré comme un matériau non

vieillissant (Es = constante). Sa relaxation intrinsèque ne dépendra que de l’intervalle de temps écoulé depuis la mise en tension des câbles.

Les aciers de construction métallique et les armatures passives présentent des valeurs de fluage et de relaxation nulles en service. Ils ne présentent donc pas d’effets différés.

En ce qui concerne l’acier de précontrainte, son comportement est non linéaire et dépendant des sollicitations initiales. La diminution de tension dans un câble de précontrainte pourra donc être exprimée comme une fonction de l’intervalle de temps écoulé depuis la mise en tension du câble et de la sollicitation initiale appliquée au câble. Cependant, dans un élément en béton précontraint, la relaxation intrinsèque du câble est atténuée par le fluage et le retrait du béton. Pour en tenir compte, on considérera une perte de tension réduite dans le calcul des pertes dans les torons par relaxation [Favre, 1997; Koprna, 1986; Trevino, 1988].

5.6.4. Conclusion

En ce qui concerne la relaxation du béton, on dispose de très peu de données

expérimentales du fait de la difficulté de mise en œuvre d’un tel essai. Ceci explique pourquoi les expressions proposées pour la relaxation du béton dépendent à chaque fois du fluage du béton, qui est plus facile à déterminer en laboratoire que la relaxation.

En ce qui concerne l’acier de précontrainte, les expressions proposées par les modèles ont été calibrées à partir d’un grand nombre d’essais. Actuellement, ce sont des câbles à faible relaxation qui sont le plus souvent utilisés en précontrainte. Ce qui veut dire que la perte de tension à long terme dans les câbles dépassera rarement 20% de la tension initiale.


37

6. Les équations de base du retrait, du fluage et de la relaxation

6.1. Introduction Une fois les mécanismes physiques explicités, il faut établir les équations de

base pour chacun de ces phénomènes caractérisant les effets différés du béton. Partant de ces équations, deux méthodes d’analyse de section seront présentées: la méthode du module effectif (EMM) et la méthode du module effectif ajusté (AEMM).

6.2. Relations fondamentales

6.2.1. Analyse du fluage:réponse ε sous une sollicitation σ

La réponse en déformation ε(t) à une sollicitation σi introduite instantanément

au temps ti et qui reste constante jusqu’au temps t = t est donnée par

(A.6.1) avec εi(ti) = déformation instantanée en ti suite à la sollicitation σi

Plus l’âge du béton au moment du chargement ti augmente, plus la déformation εi(ti) diminue puisque le module d’élasticité augmente avec le temps [Espion, 1998].

où J(t,ti) = fonction de fluage qui représente la déformation au temps t par suite d’une sollicitation σi(ti) = 1 La fonction de fluage est une fonction monotone croissante mais la vitesse du fluage est une fonction décroissante.

où εL= déformation libre représentant l’augmentation de la déformation au cours du temps par suite du fluage

où ϕ = coefficient de fluage

),().()),(1.()()(

))(

1).(()(),()( iiiiic

ii

ii

LiiLiiscs ttJttt

tEt

tttttt σϕ

σεε

εεεεε =+=+=+=−

(A.6.4)),(

),(ii

Li tt

ttεε

ϕ =

(A.6.3)),().,( iiiL tttt εϕε =

)A.6.2()(

),()(),(

ii

scsi t

tttttJ

σεε −

=


38

Pour un béton donné, le coefficient de fluage ne dépend pas seulement du temps t et de l’âge du béton au moment du chargement ti mais également des conditions ambiantes, de la vitesse de durcissement, du niveau de contraintes appliquées…[Trevino, 1988]

6.2.2. Analyse de la relaxation: réponse σ sous une sollicitation

ε

La réponse en contrainte σ(t) à une sollicitation εi introduite instantanément au temps ti et qui reste constante jusqu’au temps t = t est donnée par:

avec σi(ti) = contrainte instantanée en ti suite à la sollicitation εi R(t, ti) = fonction de relaxation qui donne l’évolution de la contrainte dans un élément soumis à une déformation imposée unitaire r(t, ti) = coefficient de relaxation ∆σr = diminution de la contrainte au cours du temps par suite de la relaxation (valeur négative) [Espion, 1998]

6.2.3. La relaxation des aciers de précontrainte

La diminution des contraintes dans les aciers de précontrainte peut être

exprimée sous la forme générale suivante :

avec ∆σ∞

r = valeur à long terme de la relaxation qui dépend de la tension appliquée initialement dans le câble en t0 et du type de câble. ζr(t-t0) = fonction exprimant la cinétique de la relaxation. ∆σr(t) = perte intrinsèque de tension au temps t dans le câble.

Dans le cas des structures en béton précontraint, le retrait et le fluage du béton ont pour effet de diminuer la perte intrinsèque de tension dans le câble. Par conséquent, une perte de tension réduite ∆σr sera utilisée dans les calculs. Elle s’exprime sous la forme générale suivante:

Dans le cas d’un câble de précontrainte, la déformation libre εL peut donc s’exprimer par l’équation suivante:

)A.6.6(),()).,()(()1).(()).,()(()(

)(A.6.5))(

1).(()).,()(()()(

isicsiiicsicsii

ii

ricsicsiirii

ttRtttrtEttttt

tEttttt

εεεεσ

σσ

εεσσσ

−=+−=

∆+−=∆+=

)A.6.7()(.)( 0ttt rrr −∆=∆ ∞ ςσσ

)A.6.8()(.)( 0ttt rrr −∆=∆ ∞ ςσσ


39

[Ghali, 1994]

6.3. Introduction du principe de superposition Dans le cadre des méthodes exposées ici, on admet que le béton est un

matériau viscoélastique linéaire. Cette hypothèse étant admise, le principe de superposition est applicable. Pour une histoire de contrainte σ quelconque, on peut donc écrire [Espion, 1998] que

où τ = variable indépendante telle que ti ≤ τ ≤ t ti = âge du béton où moment du chargement La réponse ε est donnée par l’équation suivante:

Pour une sollicitation σ = σ0 + ∆σ où ∆σ varie graduellement , la réponse ε peut s’écrire sous la forme suivante:

La résolution de cette équation n’est pas du tout aisée. En effet, il s’agit d’une équation intégrale. Pour déterminer la solution, il faut utiliser soit une méthode numérique soit une méthode algébrique approchée. Cette dernière a l’avantage de mettre en évidence rapidement les éléments importants du comportement dans le temps. C’est la raison pour laquelle une des méthodes algébriques approchées sera analysée en détail dans ce mémoire. Les méthodes algébriques approchées remplacent l’évaluation de l’intégrale contenue dans l’équation ci-dessus par une expression plus facilement calculable.

6.3.1. Méthode du module effectif Cette méthode est connue également sous le nom EMM: effective modulus method. Elle remplace l’intégrale

par [σ(t)-σi(ti)].J(t,ti).

(A.6.10)),().()),(),(( ττσετε tJdtttd scs =−

)A.6.11()().,(),(),( ∫=−t

tscsi

i

dtJtttt τστεε

)A.6.9(p

rL E

σε

∆=

)A.6.12(.)().,(),(.),( τττστσεεε dtJttJtt

t

tiiii

i

∫ ∂∂

+=∆+=

A.6.13)(.)().,( τττστ dtJ

t

ti

∫ ∂∂


40

L’expression de la déformation devient

où

E*= module réduit nommé module effectif

Le problème se ramène donc à un problème purement élastique avec un module réduit E*.Toutefois, la solution exacte n’est fournie que dans le cas où la contrainte σ est constante, c’est-à-dire le cas du fluage pur. En pratique, c’est rarement le cas car on a plutôt affaire à des combinaisons de fluage et de relaxation. Ainsi, pour l’analyse de structures mixtes, du retrait empêché ou d’une structure construite par phases successives, cette méthode n’est pas la plus adaptée et ne sera donc pas envisagée dans le cadre de ce travail. Cependant, elle est encore largement utilisée actuellement dans les bureaux d’étude en raison de sa simplicité.

6.3.2. Méthode du module effectif ajusté

Cette méthode est connue également sous le nom AEMM: age adjusted effective modulus method. Elle remplace l’intégrale

par [σ(t)-σi(ti)].[(1+χ(t,ti).ϕ(t,ti))/Ec(ti)] (A.6.17) L’expression de la déformation devient

En écrivant l’équation précédente en terme de déformations, on obtient :

avec εi(ti)=σi(ti)/Ec(ti), la déformation initiale (A.6.21) et

)A.6.14()(

),(1).(

),()(),().(),(),(

ic

i

iiscsi tE

ttt

ttEtttJttttt

ϕσσσεε

+===− ∗

)A.6.15(),(1

)(

i

ic

tttE

Eϕ+

=∗

)A.6.16(.)().,( τττστ dtJ

t

ti

∫ ∂∂

)A.6.18()(

),().,(1)).()((),(.),(),(

ic

iiiiiiscsi tE

ttttttttJtttt

ϕχσσσεε

+−+=−

)A.6.19())()((

),(),( ∗∗∗∗⋅∗∗

∆+=

−+=−

EEEtt

Etttt iiii

scsiσσσσσ

εε

A.6.20)()(),( ∗∗∗∗ ++=∆+=

∆++= εεεεεσεεε LiiLiii E

ttt


41

∆ε=εL+(∆σ/E**), l’augmentation graduelle de la déformation (A.6.22) Dans le cas du béton, εL=εi(ti).ϕ(t,ti)+εcs(t,ts) (A.6.23) où εi(ti).ϕ(t,ti) est la déformation libre due au fluage εcs(t,ts) est la déformation de retrait Pour les câbles de précontrainte, εL= ∆σr / Ep (A.6.24) où Ep = module d’élasticité du câble ∆σr = relaxation réduite dans le câble ε**= déformation due aux augmentations graduelles des contraintes provoquées par diverses entraves

E** = module réduit nommé module effectif ajusté χ(t,ti) = coefficient de vieillissement du béton compris entre 0,5 et 1. Ce coefficient de vieillissement tient compte de l’âge du béton en réduisant la valeur du coefficient de fluage ϕ(t,ti).En effet, si une contrainte ∆σ est appliquée graduellement durant un intervalle de temps (ti,t), le fluage va se produire sur un béton plus vieux que celui correspondant à la mise en charge de σi appliquée en ti et maintenue constante pendant l’intervalle (ti,t).Cette méthode prend donc en compte l’âge du béton par l’intermédiaire du coefficient χ et permet ainsi de résoudre de manière simple beaucoup de problèmes liés au comportement différé du béton. De plus, Bažant a montré que la méthode AEMM fournit, dans le cadre des hypothèses de la viscoélasticité linéaire, la solution exacte de tout problème qui est combinaison linéaire de fluage pur et de relaxation pure [Bažant, 1982]. C’est la raison pour laquelle cette méthode a été étudiée en détail dans ce travail.

)A.6.25(),().,(1 ii

c

ttttE

Eϕχ+

=∗∗


42

7. Les modèles de prédiction 7.1. Introduction Sept modèles de prédiction du retrait et du fluage du béton seront tout d’abord

présentés: les trois modèles européens CEB 90 (version 93) [CEB-FIP, 1993], CEB 90 (version 99) [CEB-FIP, 1999], Afrem [Le Roy, 1996] et les quatre modèles américains B3 [Bažant, 1995a], B3S [Bažant, 1995d], GZ [Gardner,1999] et ACI 209 [ACI Committee 209, 1992]. Le modèle ACI 209 est de loin le plus ancien de ces modèles mais il est toujours utilisé actuellement aux Etats-Unis. Etant donné le nombre de versions différentes publiées pour certains modèles, les expressions mathématiques de chacun d’entre eux seront retranscrites en détail. La comparaison de ces formules n’est pas l’objet précis de ce travail mais il existe des références en la matière [Espion, 1996]. Ensuite, l’évaluation du coefficient de vieillissement du béton selon trois auteurs différents, Koprna, Chiorino et Trevino sera présentée. Enfin, pour ce qui concerne le calcul des pertes de précontrainte, la méthode proposée par Ghali, Favre et Trevino pour l’évaluation de la relaxation intrinsèque et la relaxation réduite des torons sera détaillée.

7.2. Retrait et fluage

Avant d’entrer dans le détail des calculs de prédiction proposés dans les modèles tel que présenté à l’annexe générale F.1., il est utile de définir leurs domaines de validité respectifs. Il faut souligner que l’absence de limite n’implique pas qu’il n’en n’existe pas. La figure A.7.1 synthétise les limites établies pour un ensemble de paramètres. Paramètre CEB 90 Afrem B3 B3S GZ ACI209 fcm (MPa) [12,80] (93)

[12,120] (99) [40,80] [17,70] [17,70] [20,150]

Contrainte maximale MPa

0.6 fcm 0.7 fck 0.4 fcm 0.4 fcm

HR (%) [40,100] [40,100] [40,100] Rapport massique eau/ciment

[0.35,0.85] [0.35,0.85] ≤ 0.6

Rapport massique Granulat/ciment

[2.5,13.5] [2.5,13.5]

Contenu en ciment (kg/m3)

[160,720] [160,720]

Température (C)

[5,30] [15,30]

Age au chargement to (jours)

≥2

Durée de la cure (jours)

≥1 ≥1

Figure A.7.1. Domaines de validité annoncés des sept modèles de prédiction étudiés.


43

7.3. Coefficient de vieillissement Le coefficient de vieillissement χ est un coefficient minorateur du coefficient

de fluage ϕ. Dans le cas d’un accroissement progressif des contraintes dans une section au cours d’un intervalle, le fluage observé est plus faible que celui observé dans le cas où l’accroissement de contraintes en question est appliqué totalement au début de l’intervalle de temps. Plusieurs propositions d’estimation de χ existent. Elles dépendent du coefficient de fluage et de l’âge du béton au moment de la mise en charge.

7.3.1. Selon Koprna

χ(t,ti) = coefficient de vieillissement ϕ(t,ti) = coefficient de fluage ti = âge du béton au moment de la mise en charge [Trevino, 1988]

7.3.2. Selon Chiorino

χ(t,ti) = coefficient de vieillissement ti = âge du béton au moment de la mise en charge [Chiorino M.A., 1993]

7.3.3. Selon Trevino

χ(t,ti) = coefficient de vieillissement ti = âge du béton au moment de la mise en charge [Trevino, 1988]

)A.7.1(),(

11

1),( ),(i

tti ttett

i ϕχ ϕ −

−= −

)A.7.2(1

),(21

21

i

ii

t

ttt

+=χ

)A.7.3(1

),(31

31

i

ii

t

ttt

+=χ


44

7.4. Pertes de précontrainte Pour le calcul des pertes par relaxation des aciers de précontrainte dans les

différents programmes d’analyse de ce travail, nous avons choisi d’utiliser la méthode proposée par Ghali, Favre et Trevino explicitée dans [Ghali A., Favre R., 1986] et [Ghali A., Trevino J., 1985]. D’autres méthodes de calcul existent dans la littérature comme par exemple celle du code français BPEL détaillée dans [BPEL, 1991]. Aussi, nous aurions pu opter pour une tout autre méthode. Nous montrerons dans le chapitre 5 de la partie B qu’une variabilité au niveau des pertes par relaxation des aciers de précontrainte affectent très peu les résultats finaux en terme de déformations et de contraintes dans le pont-bac qui a fait l’objet d’une instrumentation. Il ne s’agit donc pas d’une donnée déterminante pour la précision des prédictions.

7.4.1. Pertes élastiques instantanées au transfert de la

précontrainte

Dans le cadre de ce travail, seule la précontrainte par pretension est envisagée. On suppose que l’effort de précontrainte est appliqué par tous les câbles simultanément. La perte élastique instantanée dans les câbles au moment du transfert peut être obtenue par l’analyse à court terme développée dans le chapitre suivant où est exprimée la compatibilité des raccourcissements des torons et du béton au niveau du centre de gravité des torons. L’incrément de contrainte obtenu par cette analyse est égal à la perte élastique instantanée dans les torons.

7.4.2. Relaxation intrinsèque des torons selon Ghali, Favre et Trevino

Considérons des torons tendus en to et dont la longueur reste constante au

cours d’un intervalle (τ-to). La relaxation intrinsèque de ces torons ∆σpr dépend de la période (τ-to) pendant laquelle ceux-ci sont tendus, de la qualité de l’acier et de la contrainte initiale σpo appliquée en to dans les torons. Pour 0≤(τ-to) ≤1000 heures, (soient 41 jours)

)A.7.4())110

ln(.161.()( +

−∆=−∆ ∞

opropr

tt

τστσ

Pour 1000<(τ-to) ≤500000 heures, (soient 20800 jours)

)A.7.5()500000

.()( 2,0opropr

tt

−∆=−∆ ∞

τστσ

Pour (τ-to) >500000 heures,

)A.7.6()( ∞∆=−∆ propr t στσ


45

Dans ces expressions, la relaxation intrinsèque ∆σpr∞ en t = ∞ dépend de la qualité de l’acier et de la contrainte initiale σpo appliquée en to dans les torons. On évalue tout d’abord le rapport λ entre la contrainte initiale σpo appliquée en to et la résistance caractéristique à la traction des torons fptk :

A.7.7)(ptk

po

fσ

λ =

si λ < 0,4 alors ∆σpr∞ = 0 sinon

A.7.8)()4,0.(. 2−−=∆ ∞ λησσ popr

où η= coefficient qui dépend de la qualité de l’acier η= 1,5 pour un acier à haute relaxation intrinsèque η= 0,66 pour un acier à faible relaxation [Ghali, 1985; Ghali, 1986; Ghali, 2002]

7.4.3. Contrainte dans les torons au moment du transfert de la précontrainte

Au moment du transfert de la précontrainte, chaque lit de torons a déjà subi la

perte intrinsèque ∆σprk(ttens-tprec) pendant l’intervalle de temps (ttens,tprec) où ttens est l’instant à partir duquel les torons sont mis en tension et tprec, l’instant où la précontrainte est transférée.

Soit Po, la tension initiale appliquée dans le kième lit de torons dont la section est Apk. L’effort Pk après le transfert de la précontrainte est Pk= Po+∆σprk(ttens-tprec).Apk (A.7.9)

où ∆σprk(ttens-tprec) est une valeur négative.

7.4.4. Relaxation réduite des torons selon Ghali, Favre et Trevino

Dans une structure en béton, la relaxation des aciers de précontrainte étant

plus petite que la relaxation intrinsèque, les auteurs de cette méthode ont introduit le coefficient minorateur χr. On multiplie la relaxation intrinsèque par ce coefficient pour obtenir une relaxation réduite ∆σpr qui est utilisée dans les calculs de perte de précontrainte. ∆σpr = χr. ∆σpr (A.7.10) avec 0<χr<1 Ce coefficient χr peut être évalué par l’expression suivante:


46

))..3,57,6exp(( Ω+−= λχ r (A.7.11)

où

)A.7.13(),(),(

A.7.12)(

po

oprop

ptk

po

tt

f

σ

τστσ

σλ

∆−∆=Ω

=

∆σp(τ,to) = perte totale de contrainte dans les torons au cours de l’intervalle (τ,to) ∆σpr(τ,to) = perte intrinsèque dans les torons au cours de l’intervalle (τ,to) σpo = contrainte appliquée dans les torons immédiatement après le transfert Etant donné que ∆σp(τ,to) n’est pas connu a priori, on en effectue une première estimation en prenant χr égal à 0,7. Ensuite, on itère pour actualiser la valeur de χr. L’expérience montre qu’en général, une seule itération suffit. [Ghali, 1985; Ghali, 1986; Ghali, 2002]


47

8. Analyse de la section suivant la méthode du module

effectif ajusté 8.1. Hypothèses de base et convention de signe Toute section étudiée sera supposée non fissurée et symétrique par rapport au

plan de flexion. L’analyse de la section se scindera en deux parties distinctes: effets initiaux et effets différés. Supposons que la section est sollicitée en un temps to par un moment externe appliqué Mi et un effort normal appliqué Ni. L’application du principe de superposition émis par Mc Henry nous permettra d’analyser toute histoire de sollicitation pour t>ti c’est-à-dire non seulement des efforts du type moment externe Mi et effort normal Ni appliqués en t mais également des accroissements d’efforts ∆M et ∆N appliqués progressivement à la section au cours d’un intervalle de temps. Le principe de superposition se base sur l’hypothèse que la déformation produite par un incrément de contrainte appliqué en tout instant t n’est pas influencée par toute contrainte appliquée en (t-∆t) ou en (t+∆t). Ainsi, la courbe du fluage produite par une histoire de contraintes croissantes est supposée égale à la somme des courbes de fluage produites par chaque incrément de contrainte appliqué indépendamment. Toutefois, pour une histoire de contraintes décroissantes, ce principe sous-estime la partie irréversible du fluage. Cet aspect sera analysé en détail dans la 2ème partie de cette thèse. A ce stade-ci, on se limite à la forme traditionnelle de cette méthode car dans beaucoup de cas, elle donne une précision satisfaisante. Pour établir cette analyse tenant compte des effets différés, trois principes de base seront mis en application:

- l’équilibre des forces; - la compatibilité des déformations; - les lois de comportement des matériaux.

L’hypothèse de Bernoulli sera supposée satisfaite c’est-à-dire que les sections planes resteront planes après n’importe quel type de sollicitation instantanée ou graduelle.

La direction des coordonnées est fixée de la manière suivante: l’axe x normal

à la surface de la section, l’axe y sur l’axe de symétrie dirigé vers le bas et l’axe z perpendiculaire au plan x-y avec la direction telle que la règle de la main droite est vérifiée. La fibre de référence choisie pour le calcul des propriétés géométriques de la section (moment statique et moment d’inertie) et des déformations sera la fibre supérieure de la section à tout instant t. Un moment de flexion M sera considéré comme positif s’il tend les fibres inférieures et comprime les fibres supérieures. Un effort normal centré sera positif s’il comprime la section. Pour les réponses aux sollicitations, c’est-à-dire pour les déformations et les contraintes, une déformation positive correspond à un raccourcissement (compression) et une courbure positive correspond à une élongation de la fibre inférieure plus grande que celle de la fibre supérieure.


48

8.2. Effets initiaux

8.2.1. Statique de la section

Dans le cas le plus général, les sections ne sont pas homogènes mais plutôt

formées par couches avec des caractéristiques rhéologiques différentes. L’analyse à court terme de la section est alors effectuée sur une aire transformée. Le béton (en général de première phase si il y en a plusieurs) est considéré comme étant le matériau de référence et l’aire des autres matériaux (armatures, torons de précontrainte, bétons d’autres phases,…) est transformée en une aire équivalente de béton via le coefficient d’équivalence α:

où Emat = module d’élasticité du matériau (armatures, torons de précontrainte, bétons d’autres phases,…); Ec = module d’élasticité du béton. Dans le cas d’une section de béton armé par exemple, l’aire A de la section transformée est:

où Es = module d’élasticité des armatures; As = section des armatures; Atot = aire totale de la section. La section transformée est donc considérée comme ayant un module d’élasticité Ec et ses propriétés géométriques sont équivalentes à celles de la section réelle.

En général, les propriétés géométriques de la section transformée (moment statique et moment d’inertie) sont exprimées par rapport au centre de gravité de la section. Cependant, le béton étant un matériau vieillissant, son module d’élasticité va varier au cours du temps et donc l’aire de la section transformée aussi. La position du centre de gravité de la section transformée ne sera pas constante au cours du temps. Il est donc judicieux de choisir l’axe de référence de la section au niveau de la fibre supérieure de la section en tout instant t. Les déformations relatives, les courbures et les contraintes seront exprimées ainsi par rapport à un axe qui ne varie pas au cours du temps.

Soit une section sollicitée par un moment de flexion Mi et un effort normal Ni appliqué à une distance d par rapport à la fibre supérieure. La déformation qui en résulte en tout point de la section situé à une distance y par rapport à la fibre supérieure est:

)A.8.1(c

mat

EE

=α

)A.8.2().1)/(( scstot AEEA −+


49

où εi = déformation instantanée à une distance y de la fibre supérieure; εoi = déformation instantanée au niveau de la fibre supérieure; κi = courbure instantanée. Si on suppose que le béton a un comportement élastique linéaire sous un chargement instantané, la contrainte qui en résulte à une distance y par rapport à la fibre supérieure est:

où Ec = module d’élasticité du béton Pour une section de béton armé soumise en flexion simple par un moment Ms appliqué:

Pour une section de béton précontraint soumise en flexion composée par un effort Pi à une distance d de la fibre supérieure et à un moment Ms appliqué:

Dans le cas général, les relations entre les efforts Ni, Mi et les déformations εoi, κi peuvent être établies aisément à l’aide des conditions d’équivalence:

A= aire de la section transformée B= moment statique de la section transformée par rapport à la fibre supérieure de la section

I=moment d’inertie de la section transformée par rapport à la fibre supérieure de la section

)A.8.3().( ioii yκεε −=

)A.8.4()).(.(. ioicici yEE κεεσ −==

)A.8.6()A.8.5(0

si

i

MMN

=

=

)A.8.8().()A.8.7(

dPMMPN

isi

ii

−=

=

A.8.9)(.......... BEAEdAyEdAEdAEdAN icoicicoicicii κεκεεσ −=−=== ∫∫∫∫

A.8.10)(.......... 2 IEBEdAyEdAyEdAyM icoicicoicii κεκεσ +−=+−=−= ∫∫∫


50

En réarrangeant les expressions de Ni et Mi, on en tire les expressions de la déformation de la fibre supérieure de la section et de la courbure en fonction de l’effort axial Ni appliqué et du moment de flexion Mi exprimé par rapport à la fibre supérieure de la section:

Considérons maintenant le cas le plus général qui puisse exister, c’est-à-dire

une section mixte acier-béton, précontrainte et construite par phases successives. Exprimons les différentes équations intervenant à chaque étape de calcul dans le cas d’une analyse à court terme pour un événement survenant au temps ti. Un événement au temps ti pour la section considérée correspond à l’application d’un effort Ni et/ou Mi au temps ti à la section. Le béton de première phase est considéré comme étant le béton de référence. En ce qui concerne les propriétés géométriques de la section, elles peuvent s’exprimer sous la forme:

A.8.13)(....11 11 11 1

ssc

ssp

kpk

c

pks

ksk

c

skn

jcj

c

cj AEE

AEE

AEE

AEE

A +++= ∑∑∑===

A.8.14)(........11 11 11 1

ssssc

ssp

kpkpk

c

pks

ksksk

c

skn

jcjcj

c

cj dAEE

dAEE

dAEE

dAEE

B +++= ∑∑∑===

)..(....))..(( 2

11

2

11

2

11

2

1ssssssg

c

ssp

kpkpk

c

pks

ksksk

c

skn

jcjcjcgj

c

cj dAIEE

dAEE

dAEE

dAIEE

I +++++= ∑∑∑===

(A.8.15) où A= aire de la section transformée B= moment statique de la section transformée par rapport à la fibre supérieure de la section I=moment d’inertie de la section transformée par rapport à la fibre supérieure de la section Acj= aire nette du béton de la jème phase (avec n = nombre de phases de béton) Ask= aire du kième lit d’armatures passives (avec s= nombre de lits d’armatures) Apk= aire du kième lit de torons (avec p= nombre de lits de torons) Ass= aire totale des poutrelles en acier dcj= distance entre le centre de gravité du béton net de la jème phase et la fibre supérieure de la section dsk=distance entre le kième lit d’armatures et la fibre supérieure de la section

)A.8.12()..(

..

)A.8.11()..(

..

2

2

BIAENBMABIAENIMB

c

iii

c

iioi

−+

=

−+

=

κ

ε


51

dpk=distance entre le kième lit de torons et la fibre supérieure de la section dss=distance entre le centre de gravité des poutrelles en acier et la fibre supérieure de la section Icgj=moment d’inertie du béton net de la jème phase par rapport à son centre de gravité Issg=moment d’inertie des poutrelles en acier par rapport à leur centre de gravité Ecj= module d’élasticité du béton de la jème phase au temps ti Esk= module d’élasticité du kième lit d’armatures passives Epk= module d’élasticité du kième lit de torons Ess= module d’élasticité des poutrelles en acier Supposons qu’il y ait p lits de torons situés à une distance dp par rapport à la fibre supérieure et appliquant un effort de précontrainte P à la section. Soient Ns, un effort normal extérieur appliqué à la section à une distance dns par rapport à la fibre supérieure et Ms, un moment de flexion extérieur appliqué à la section. Nous pouvons dès lors exprimer l’ effort total Ni et le moment de flexion total Mi qui sollicitent la section par les expressions suivantes:

où Pk = effort dans le kème lit de torons La déformation au niveau de la fibre supérieure et la courbure de la section considérée se calculent de la même manière que précédemment:

La déformation en tout point de la section situé à une distance y par rapport à la fibre supérieure est:

où εi = déformation instantanée à une distance y de la fibre supérieure; εoi = déformation instantanée au niveau de la fibre supérieure; κi = courbure instantanée. Supposons qu’il y ait n phases de béton différentes. La contrainte dans le béton j à une distance y par rapport à la fibre supérieure est:

)A.8.17(..

)A.8.16(

1

1

pk

p

kknsssi

p

kksi

dPdNMM

PNN

∑∑

=

=

−−=

+=

)A.8.19()..(

..

)A.8.18()..(

..

21

21

BIAENBMABIAENIMB

c

iii

c

iioi

−+

=

−+

=

κ

ε

A.8.20)().( ioii yκεε −=

)A.8.21()).(.(. ioicjicjibétonj yEE κεεσ −==


52

où Ecj = module d’élasticité du béton j La contrainte dans la poutrelle en acier à une distance y par rapport à la fibre supérieure est:

où Ess = module d’élasticité de l’acier de la poutrelle La contrainte dans le lit d’armatures k à une distance dsk par rapport à la fibre supérieure est:

où Esk = module d’élasticité du lits d’armatures k La contrainte dans le lit de torons k à une distance dpk par rapport à la fibre supérieure est:

où Epk = module d’élasticité du lit de torons k [Ghali, 2002; Gilbert, 1988; Koprna, 1986; Trevino, 1988]

8.3. Effets différés 8.3.1. Statique de la section

En ce qui concerne l’évaluation des effets différés, il existe différentes

approches du problème. La procédure appliquée dans le cadre de ce mémoire est celle qui est proposée et conseillée par R.I.Gilbert dans [Gilbert, 1988] et par Koprna dans [Koprna, 1986]. En effet, ces auteurs estiment que cette méthode est facilement programmable et est particulièrement efficace pour l’analyse de sections de formes irrégulières et/ou contenant plusieurs lits d’armatures et de torons.

L’équation de base exprimant la déformation ε en fonction du temps d’une

fibre d’une section composite soumise à un effort Ni et à un moment Mi au temps ti est:

avec εi(ti) = déformation instantanée au temps ti et ∆ε = la variation de déformation due aux effets différés au cours de l’intervalle de temps (t,ti).

A.8.22)()).(.(. ioississsispoutre yEE κεεσ −==

)A.8.23()).(.(. iskoiskisksik dEE κεεσ −==

)A.8.24()/()).(.()/(. pkkioipkpkkipkpik APyEAPE −−=−= κεεσ

)A.8.25()()()( **Ettt Liiii

σεεεεε ∆++=∆+=

A.8.26)(**ELσεε ∆

+=∆


53

La méthode de calcul de la composante instantanée vient d’être explicitée ci-avant dans la partie qui concerne l’analyse à court terme. Le problème à résoudre consiste donc à calculer la variation de déformation ∆ε due aux effets différés au cours de l’intervalle de temps (t,ti). La première partie de cette variation est constituée par la déformation libre due aux effets différés, εL. Elle est évaluée de la manière suivante: εL= ϕ.εi(ti)+εsh pour le fluage et le retrait du béton et (A.8.27) εL= ∆σr / Ep c’est-à-dire la relaxation des câbles de précontrainte. (A.8.28) La seconde partie de l’accroissement de déformation résulte de la variation graduelle des contraintes due aux diverses entraves ∆σ/E**. En ce qui concerne les déformations libres, pour que celles-ci puissent se développer durant un intervalle de temps (t,ti), il faut libérer les éléments de la section ayant des propriétés viscoélastiques différentes. La section devient ainsi dissociée. Au cours de l’intervalle (t,ti), le béton va subir du fluage et du retrait tandis que les câbles de précontrainte, de la relaxation. Il en résulte une incompatibilité des déformations dans la section dissociée au temps t. La figure A.8.1 illustre le cas d’une section en béton armé. Suite à l’application des efforts Ni et Mi en ti, la distribution de déformations s’établit suivant le plan de déformation initial εo. Au cours de l’intervalle (t,ti), on suppose que la section est dissociée et la distribution de déformations libres consécutives au fluage et au retrait du béton s’établit suivant le plan de déformation εL.

Figure A.8.1. Section dissociée, plan de déformation libre εL. La compatibilité des déformations peut être rétablie par rapport à n’importe quel plan. Rétablissons-la par rapport au plan de déformation initiale εo défini en ti. Il faut donc annuler les déformations libres qui sont susceptibles de se produire durant l’intervalle (t,ti). Pour les annuler, on applique un effort -∆N et un moment -∆M à la section dissociée. Comme ces efforts évoluent graduellement durant l’intervalle de temps, ils sont rapportés au module d’élasticité ajusté E** pour la partie en béton. La figure A.8.2 illustre le rétablissement de la compatibilité des déformations par rapport au plan de déformation initiale εo.

plan

Ni Mi

y0

Lε

plan ε


54

Figure A.8.2. Rétablissement de la compatibilité par rapport au plan de déformation initial εo.

En ce qui concerne le fluage du béton, si on suppose que celui-ci peut se développer librement durant l’intervalle (t-ti), la déformation de la fibre supérieure de la section dissociée ( fibre de référence) aura pour valeur ϕ(t,ti).εoi et la courbure, ϕ(t,ti).κoi. Les expressions des efforts -∆N et -∆M nécessaires pour empêcher le développement de ces déformations de fluage sont analogues à celles établies lors de l’analyse à court terme pour les efforts Ni et Mi. Leurs expressions pour le béton de la jème phase sont:

Acj= aire nette du béton de la jème phase (avec n = nombre de phases de béton) Bcj=moment statique du béton net de la jème phase par rapport à la fibre supérieure de la section Icj=moment d’inertie du béton net de la jème phase par rapport à la fibre supérieure de la section εoi = déformation instantanée au niveau de la fibre supérieure; κi = courbure instantanée. Ej

** = module effectif ajusté du béton de la jème phase

Ecj = module d’élasticité du béton de la jème phase χj(t,ti)= coefficient de vieillissement du béton de la jème phase ϕj(t,ti)= coefficient de fluage du béton de la jème phase

)A.8.30()..).(,(.

)A.8.29()..).(,(.

,

,

icjoicjijjfluagej

icjoicjijjfluagej

IBttEM

BAttEN

κεϕ

κεϕ

+−−=∆−

−−=∆−

∗∗

∗∗

)A.8.31()),().,(1(

),(ijij

cjij tttt

EttE

ϕχ+=∗∗

N M

y0

L

ε

plan

plan

−∆ −∆

ε


55

Si on suppose que le retrait est uniforme sur toute la hauteur de la section dissociée et qu’il est totalement libre de se développer durant l’intervalle (t-ti), la déformation de la fibre supérieure de la section dissociée aura pour valeur (εsh(t,ts)-εsh(ti,ts)) et la courbure sera nulle. Les expressions des efforts -∆N et -∆M nécessaires pour empêcher le développement de ces déformations de retrait sont analogues à celles établies lors de l’analyse à court terme pour les efforts Ni et Mi. Leurs expressions pour le béton de la jème phase sont:

où εshj = (εshj(t,tsj)-εshj(ti,tsj)) tsj= temps à partir duquel commence le séchage du béton de la jème phase εshj(t,tsj)= déformation de retrait au temps t du béton de la jème phase

Dans ces expressions, remarquons que la déformation de retrait est particularisée à chaque phase de béton ce qui implique un rayon de séchage différent pour chaque phase de béton lors du calcul de εshj et un retrait uniforme au niveau de chaque phase elle-même. Pour rendre le problème appliquable au cas d’une section en I coulée en une seule phase par exemple, il faudrait différencier le rayon de séchage des semelles de celui de l’âme. Pour les structures de type pont-bac qui nous occupe dans ce travail, une différenciation du rayon de séchage au niveau de chaque phase de béton est suffisante.

Si on considère la relaxation des torons, les efforts nécessaires pour empêcher le libre développement de la relaxation sont:

où ∆σprk(t,ti) = relaxation réduite dans le kième lit de torons Apk= aire du kième lit de torons (avec p= nombre de lits de torons)

En regroupant tous les termes et en considérant les différentes phases de béton et les différents lits de torons, les efforts totaux -∆N et -∆M nécessaires à appliquer pour empêcher le libre développement du fluage, du retrait et de la relaxation dans la section dissociée sont:

)A.8.33(..)..(

)A.8.32(..

,

,

shjcjjshjcjjretraitj

shjcjjretraitj

BEBEM

AEN

εε

ε∗∗∗∗

∗∗

=−−=∆−

−=∆−

)A.8.35()).,(.(

A.8.34)()),(.(

,

,

pkiprkpkrelaxationk

iprkpkrelaxationk

dttAM

ttAN

σ

σ

∆−−=∆−

∆−=∆−

(A.8.37)

)).,(.().)..).(,(.(

A.8.36)(

)),(.().)..).(,(.(

11

11

pkiprk

p

kpkcjshjicjoicjij

n

jj

iprk

p

kpkcjshjicjoicjij

n

jj

dttABIBttEM

ttAABAttEN

σεκεϕ

σεκεϕ

∆−−−+−−=∆−

∆−++−−=∆−

∑∑

∑∑

==

∗∗

==

∗∗


56

L’introduction de ces efforts totaux -∆N et -∆M à la section dissociée permet de rétablir la compatibilité des déformations. Toutefois, ils vont modifier les efforts internes et rompre l’équilibre. Pour restaurer l’équilibre, ces efforts -∆N et -∆M doivent donc être éliminés par l’application des efforts opposés ∆N et ∆M à la section non dissociée (pour maintenir la compatibilité) et ajustée (pour tenir compte de l’évolution graduelle de ces efforts). La figure A.8.3 illustre le rétablissement de l’équilibre des forces sur la section non dissociée et ajustée. Suite à l’application des efforts ∆N et ∆M, la distribution de déformations s’établit à l’équilibre suivant le plan ε.

Figure A.8.3. Rétablissement de l’équilibre des forces (-∆N éliminé par ∆N; -∆M éliminé par ∆M) sur la section non dissociée et ajustée. Considérons le cas général d’une section mixte acier-béton, précontrainte et construite par phases successives. Suite à l’application des efforts ∆N et ∆M sur la section non dissociée et ajustée aura lieu une variation des déformations. Au niveau de la fibre supérieure de la section (fibre de référence), la variation de déformation sera ∆ε0 et la variation de courbure (identique pour toute la hauteur de la section) sera ∆κ. Les expressions de ∆ε0 et ∆κ sont analogues à celles établies pour l’analyse à court terme. Pour tenir compte du fait que les efforts ∆N et ∆M sont appliqués graduellement, le module effectif ajusté E** est utilisé pour le calcul des coefficients de rigidité de la section transformée et non dissociée.

)A.8.38()..(

..2

10 ∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗

−∆+∆

=∆BIAE

NIMBε

)A.8.39()..(

..2

1∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗

−∆+∆

=∆BIAE

NBMAκ

plan

plan

plan

N M

y0

L

ε

ε

∆∆

ε


57

Le béton de première phase étant considéré comme le béton de référence, les différents termes caractérisant les propriétés géométriques de la section non dissociée et ajustée sont rapportés au module effectif ajusté E1

**. En ce qui concerne les propriétés géométriques de la section transformée, non dissociée et ajustée, leurs expressions sont:

)A.8.40(....11 11 11 1

ssss

p

kpk

pks

ksk

skn

jcj

j AEE

AEE

AEE

AEE

A ∗∗=

∗∗=

∗∗=

∗∗

∗∗∗∗ +++= ∑∑∑

)A.8.41(........11 11 11 1

ssssss

p

kpkpk

pks

ksksk

skn

jcjcj

j dAEE

dAEE

dAEE

dAEE

B ∗∗=

∗∗=

∗∗=

∗∗

∗∗∗∗ +++= ∑∑∑

)..(....))..(( 2

11

2

11

2

11

2

1ssssssg

ssp

kpkpk

pks

ksksk

skn

jcjcjcgj

j dAIEE

dAEE

dAEE

dAIEE

I +++++= ∗∗=

∗∗=

∗∗=

∗∗

∗∗∗∗ ∑∑∑

(A.8.42)

A** = aire de la section transformée et ajustée B** = moment statique de la section transformée et ajustée par rapport à la fibre supérieure de la section I** = moment d’inertie de la section transformée et ajustée par rapport à la fibre supérieure de la section Ej

** = module effectif ajusté du béton de la jème phase Ecj = module d’élasticité du béton de la jème phase χj(t,ti)= coefficient de vieillissement du béton de la jème phase ϕj(t,ti)= coefficient de fluage du béton de la jème phase Esk= module d’élasticité du kième lit d’armatures passives Epk= module d’élasticité du kième lit de torons Ess= module d’élasticité des poutrelles en acier Acj= aire nette du béton de la jème phase (avec n = nombre de phases de béton) Ask= aire du kième lit d’armatures passives (avec s= nombre de lits d’armatures) Apk= aire du kième lit de torons (avec p= nombre de lits de torons) Ass= aire totale des poutrelles en acier dcj= distance entre le centre de gravité du béton net de la jème phase et la fibre supérieure de la section dsk=distance entre le kième lit d’armatures et la fibre supérieure de la section dpk=distance entre le kième lit de torons et la fibre supérieure de la section dss=distance entre le centre de gravité des poutrelles en acier et la fibre supérieure de la section Icgj=moment d’inertie du béton net de la jème phase par rapport à son centre de gravité Issg=moment d’inertie des poutrelles en acier par rapport à leur centre de gravité

)A.8.43()),().,(1(

),(ijij

cjij tttt

EttE

ϕχ+=∗∗


58

Pour le béton de la jème phase, l’incrément de contrainte ∆σbj qui se produit durant un intervalle de temps (t,ti) est dû d’une part à l’application des efforts -∆Nj,fluage, -∆Nj,retrait et -∆Mj,fluage, -∆Mj,retrait agissant sur la section dissociée pour rétablir la compatibilité des déformations et d’autre part, à l’application des efforts ∆N et ∆M agissant sur la section transformée, non dissociée et ajustée pour rétablir l’équilibre. Pour le béton de la phase j, ces incréments de contrainte valent:

(A.8.46) L’incrément de contrainte total pour le béton de la phase j durant l’intervalle (t,ti) vaut la somme des deux incréments. Etant donné que ces incréments de contraintes sont appliqués graduellement à la section, c’est le module effectif ajusté qui est utilisé dans ces équations. Pour le kième lit de torons, l’incrément de contrainte ∆σpk qui se produit est dû d’une part à l’application des efforts -∆Nk,relaxation et -∆Mk,relaxation agissant sur la section dissociée pour rétablir la compatibilité des déformations et d’autre part, à l’application des efforts ∆N et ∆M agissant sur la section transformée, non dissociée et ajustée pour rétablir l’équilibre. Etant donné que l’on considère que le module d’élasticité de l’acier des torons est constant au cours du temps, c’est la valeur Epk qui est utilisée pour calculer l’incrément de contrainte. Pour le kième lit de torons, l’incrément de contrainte vaut:

Dans le kième lit d’armatures, l’incrément de contrainte qui se produit est uniquement dû à l’application des efforts ∆N et ∆M agissant sur la section transformée, non dissociée et ajustée pour rétablir l’équilibre (puisque l’acier des armatures ne présente pas de déformation libre). Le module d’élasticité de l’acier des armatures étant constant au cours du temps, c’est la valeur Esk qui est utilisée pour calculer l’incrément de contrainte. Il vaut:

)).()).).(,(.((

)A.8.45()..(

)A.8.44()).).(,(.(

,,

,

,

κεεκεϕσσσ

κεσ

εκεϕσ

∆−∆−+−−=∆+∆=∆

∆−∆=∆

+−−=∆

∗∗

∗∗

∗∗

yyttE

yE

yttE

oshjioiijjéquilibrebjitécompatibilbjbj

ojéquilibrebj

shjioiijjitécompatibilbj

)A.8.48()..( κεσ ∆−∆=∆ skosksk dE

)A.8.47(),()..( iprkpkopkpk ttdE σκεσ ∆−∆−∆=∆


59

Dans la poutrelle en acier, l’incrément de contrainte qui se produit est dû uniquement à l’application des efforts ∆N et ∆M agissant sur la section transformée, non dissociée et ajustée pour rétablir l’équilibre (puisque l’acier des poutrelles ne présente pas de déformation libre). Le module d’élasticité de l’acier des poutrelles étant constant au cours du temps, c’est la valeur Ess qui est utilisée pour calculer l’incrément de contrainte. Il vaut:

)A.8.49()..( κεσ ∆−∆=∆ yE ossss


60

9. Organisation du programme de calcul suivant la

méthode du module effectif ajusté (AEMM)

9.1. Organigramme du programme

L’objectif visé par ce programme de calcul est d’évaluer l’évolution des déformations et des contraintes qui se produisent dans une section composite acier -béton construite par phases successives ou non, préfléchie ou non, précontrainte par pretensioning (le cas le plus fréquent actuellement) ou non en fonction du temps. Ces déformations et ces contraintes proviennent d’une part, de l’application de sollicitations extérieures à la section en des instants précis ti et d’autre part, des effets différés du béton et des câbles de précontrainte durant des intervalles de temps (ti+1, ti) entre les événements de sollicitations. Les équations relatives aux effets différés sont basées sur la méthode du module effectif ajusté décrite précédemment.

Ce programme d’analyse de section est applicable au cas le plus général de section composite c’est-à-dire à une section mixte acier-béton avec ou sans poutrelle en acier, construite ou non par phases avec un maximum de 5 phases de bétons différents, renforcée ou non par différents lits de torons et d’armatures.

Toutes les caractéristiques géométriques de la section sont exprimées par rapport à la fibre supérieure de la section. Dans le cas d’une construction par phases de béton successives (superposées les unes sur les autres), l’axe de référence subit une translation à chaque fois que l’on ajoute un élément de béton. En effet, comme la géométrie de la section change au moment où on coule l’élément de béton supplémentaire, la position de la fibre supérieure est translatée. Toutefois, à l’instant ti où on coule l’élément de béton, le matériau commence seulement à prendre et sa rigidité est négligeable. On ne peut donc pas le considérer comme participant à la section résistante en ti. En fait, il constitue uniquement une charge supplémentaire sur la section en cet instant et l’axe de référence ne sera translaté qu’à l’événement suivant en ti+1. En ce qui concerne l’intervalle de temps (ti ,ti+1) durant lequel se produit du fluage, du retrait et de la relaxation, si celui-ci est plus grand que le temps nécessaire (noté tres-tcoulage par la suite) au béton coulé en ti (noté ultérieurement tcoulage) pour atteindre une résistance suffisante et participer à la section résistante , le béton coulé en ti sera considéré comme totalement participant à la section résistante durant tout l’intervalle (ti ,ti+1). Dans ce cas, l’axe de référence est translaté pour tous les calculs effectués pour l’intervalle (ti ,ti+1). En pratique, ce cas de figure sera toujours vérifié.

Les dimensions et les propriétés géométriques de la section sont introduites dans le calcul par le biais d’un ensemble de petits éléments de forme élémentaire rectangulaire ou triangulaire. Ces éléments peuvent être ajoutés ou soustraits afin de pouvoir modéliser des sections de forme polygonale tout à fait quelconque. En ce qui concerne les moments d’inertie des armatures et des torons par rapport à leur centre de gravité, ils seront négligés.


61

Etant donné que l’évolution de la géométrie de la section est connue a priori ainsi que les charges et les instants ti où elles sont appliquées à la section , une partie des calculs peut être sous-traité dans des routines et les résultats peuvent être stockés une fois pour toutes dans des matrices qui seront utilisées dans le programme principal. Cette première phase du calcul est résumée sur la figure A.9.1.

Figure A.9.1. Première phase de calcul

Introduction de la géométrie de la section

Introduction des instants ti des différents événements

Calcul des coefficients de fluage ϕ et des modules d’élasticité Ec des bétons suivant les modèles :

CEB90-93, CEB90-99, GZ, B3, B3S, ACI 209, AFREM

Calcul des déformations de retrait εsh suivant les modèles: CEB90-93, CEB90-99, GZ, B3, B3S, ACI 209, AFREM

Calcul des coefficients de vieillissement χ suivant: Koprna, Chiorino ou Trevino.

Calcul des modules d’élasticité ajustés E** des bétons

Calcul des aires (Acj,Ask,Apk,Ass), des moments statiques (Bcj,Bsk,Bpk,Bss),

des moments d’inertie (Icj,Isk,Ipk,Iss) des éléments de la section

Calcul des aires transformées A, des moments statiques transformés B,

des moments d’inertie transformés I de la section

Calcul des aires ajustées A**, des moments statiques ajustés B**, des moments d’inertie ajustés I** de la section

Calcul des pertes intrinsèques dans les torons ∆σpr aux différents intervalles


62

En ce qui concerne le programme principal, il traite d’une part les événements survenant en des temps ti pendant lesquels a lieu une modification des conditions d’appui ou l’application de charges à la structure et d’autre part les intervalles de temps (ti,ti+1) pendant lesquels se produit du fluage, du retrait et de la relaxation. Les différentes étapes du calcul sont résumées sur la figure A.9.2.

Figure A.9.2. Enchaînement des calculs

Evénement ti

Calcul de la déformation εi et de la courbure κi

Calcul des contraintes σ dans les bétons, les armatures, les torons et les poutrelles en acier

Calcul des accroissements ∆σ dans les bétons, les armatures, les poutrelles en acier et les torons

Calcul du coefficient minorateur χr pour les pertes de tension dans les torons

Calcul des efforts Ni et Mi

Intervalle de temps (ti+1,ti)

Calcul des efforts ∆N et ∆M

Calcul des accroissements ∆εo et ∆κ

Calcul de Ωk pour chaque lit de torons

Nouvelle estimation des pertes de tension dans les torons ∆σpr


63

Dans le cadre de ce travail, un seul pas de temps est considéré entre les événements. Pour les calculs effectués par exemple dans l’intervalle (ti,ti+1),la contribution des déformations apparaissant au cours des intervalles précédents est prise en compte de la manière suivante: on considère que l’accroissement de déformation s’est produit totalement au début de l’intervalle et on tient compte du fait qu’en réalité, il apparaît progressivement au cours de l’intervalle en utilisant le coefficient minorateur de vieillissement χ. Le premier événement considéré correspond au coulage du béton de première phase au temps t1.Durant l’intervalle (t1,t2), se produira un accroissement de déformation dû uniquement au retrait du béton de première phase puisque les déformations sont nulles initialement et que les torons ne seront coupés qu’au plus tôt qu’en t2. Les torons ne seront pris en compte qu’au moment du transfert de la précontrainte. Seules les expressions généralisées utilisées dans le programme pour les différentes étapes de calcul dans les intervalles de temps (ti+1,ti) sont détaillées ci-après. En effet, les formules relatives à l’analyse à court terme sont généralisables de manière tout à fait évidente à partir des expressions explicitées dans le chapitre 8.

Pour les accroissements de contrainte dans les différentes phases de béton, les expressions sont:

( )

[ ]

[ ]( )

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

)A.9.2()).,(.(

).),(),(

)...(),(),(

))...(),(),(

).,(().(,(),(

)A.9.1()),(.(

).),(),(

...),(),(

))...(),(),(

).,(().(,(,

11

1

11

),1(),1(111

1 1111

11

1

11

),1(),1(111

1 1111

pkii

p

kprkpk

cjcoulageretcoulageishjcoulageretcoulageishj

i

tl

lcj

locjcoulagelcoulageijcoulagelcoulageij

lljcj

llojcjcoulagelcoulageijcoulagelcoulageij

n

j

i

tlcoulagelcoulageljcoulageicoulageijii

p

kiiprkpk

cjcoulageretcoulageishjcoulageretcoulageishj

i

tl

lcj

locjcoulagelcoulageijcoulagelcoulageij

lljcj

llojcjcoulagelcoulageijcoulagelcoulageij

n

j

i

tlcoulagelcoulageljcoulageicoulageijii

dttA

Btttttttt

IBtttttttt

IBtttttttt

ttttttttEttM

ttA

Atttttttt

BAtttttttt

BAtttttttt

ttttttttEttN

coulage

coulage

coulage

coulage

+=

+

+=+

−−−−+

= +=−+

∗∗+

=+

+

+=+

−−−−+

= +=−+

∗∗+

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

∆−−

−−−−−

−∆+∆−−−−−−

+∆+∆−−−−−−

−−−−−=∆−

∆−+

−−−−−

+∆−∆−−−−−

+∆−∆−−−−−

−−−−−=∆−

σ

εε

κεϕϕ

κεϕϕ

χ

σ

εε

κεϕϕ

κεϕϕ

χ


64

[ ][ ]

[ ] )).(),(),(

)..(),(),(

))..(),(),(

).,(().(,(

),1(),1(1

11

),1(),1(111

111

),1(

iij

iiocoulageretcoulageishjcoulageretcoulageishj

i

tl

lj

locoulagelcoulageijcoulagelcoulageij

lljj

llojcoulagelcoulageijcoulagelcoulageij

i

tlcoulagelcoulageljcoulageicoulageij

iibj

ytttttttt

ytttttttt

ytttttttt

ttttttttE

coulage

coulage

+++

+=+

−−−−+

+=−+

∗∗+

∆−∆−−−−−−

+∆−∆−−−−−

+∆−∆−−−−−

−−−−−=∆

∑

∑

κεεε

κεϕϕ

κεϕϕ

χσ

(A.9.3) où

)A.9.5().()(

)A.9.4().(

1

sup),1(

1

),1(sup),1(

1

),1(inf

),1(sup),1(

∑+

=

−

−

−−

−

−−−

+∆+∆

=∆

∆−∆=∆

i

lrrj

llj

lcj

llbjll

oj

jlcj

llbj

llbjll

j

ntranslatioytE

htE

κσ

ε

σσκ

)A.9.6().()1,(

)1,(∑+

+=

+=∆ii

llrr

llo

lo ntranslatioκεε

Dans ces expressions, la translation est due au changement éventuel de

géométrie de la structure qui a pour conséquence que la position de la fibre supérieure de la section est modifiée. Les déformations doivent donc être actualisées en conséquence puisqu’elles sont toujours exprimées par rapport à la fibre supérieure de la section. En ce qui concerne l’incrément de déformation au cours d’un intervalle, il est pris en compte dans un intervalle ultérieur en considérant l’incrément de contrainte qui a eu lieu au cours de l’intervalle considéré que l’on divise par le module d’élasticité du début de l’intervalle. On ramène ainsi en quelque sorte l’incrément de déformation à une déformation qui se serait produite au début de l’intervalle. Etant donné que ce n’est pas la réalité, on multiplie cette déformation par le coefficient de vieillissement pour tenir compte du fait que cela se produit progressivement sur un béton globalement plus vieux que celui dont le module est pris égal au module évalué au début de l’intervalle.


65

10. Analyse de la section suivant la méthode dite

du pas-à-pas 10.1. Hypothèses de base et convention de signe Tout comme précédemment, toute section étudiée sera supposée non fissurée

et symétrique par rapport au plan de flexion. L’analyse de la section comprend deux parties distinctes: effets initiaux dus à des chargements extérieurs et effets différés dus au retrait, fluage et à la relaxation. Supposons que la section est sollicitée en un temps ti par un moment externe appliqué Mi et un effort normal appliqué Ni. L’application du principe de superposition émis par Mc Henry nous permettra d’analyser toute histoire de sollicitation pour t>ti c’est-à-dire non seulement des efforts du type moment externe Mi et effort normal Ni appliqués en ti mais également les accroissements d’efforts dus au retrait, fluage et à la relaxation qui seront calculés à chaque pas de temps jusqu’à l’instant t. La méthode dite du pas-à-pas, tout comme la méthode du module effectif ajusté, applique le principe de superposition qui permet d’écrire que la courbe du fluage produite par une histoire de contraintes croissantes est égale à la somme des courbes de fluage produites par chaque incrément de contrainte appliqué indépendamment. L’analyse de section met trois principes de base en application:

- l’équilibre des forces; - la compatibilité des déformations; - les lois de comportement des matériaux.

L’hypothèse de Bernoulli sera supposée satisfaite c’est-à-dire que les sections planes resteront planes après n’importe quel type de sollicitation.

La direction des coordonnées est fixée de la manière suivante: l’axe x normal

à la surface de la section, l’axe y sur l’axe de symétrie dirigé vers le haut et l’axe z perpendiculaire au plan x-y avec la direction telle que la règle de la main droite est vérifiée. La fibre de référence choisie pour le calcul des propriétés géométriques de la section (moment statique et moment d’inertie) et des déformations sera la fibre inférieure de la section à tout instant t. N’importe quelle autre fibre aurait pu être choisie. Toutefois, ce choix apparaît judicieux quand on traite des structures construites en plusieurs phases. Si la fibre de référence n’est pas fixe au cours de l’histoire de la construction, cela implique d’introduire une ou plusieurs translations de l’axe de référence, ce qui alourdit inutilement ce type de calcul. Les déformations relatives, les courbures et les contraintes seront donc exprimées à chaque pas par rapport à un axe qui ne varie pas au cours du temps. Un moment de flexion M sera considéré comme positif s’il tend les fibres inférieures et comprime les fibres supérieures. Un effort normal centré sera positif s’il comprime la section. Pour les réponses aux sollicitations, c’est-à-dire pour les déformations et les contraintes, une déformation positive correspond à un raccourcissement (compression) et une courbure positive correspond à une élongation de la fibre inférieure plus grande que celle de la fibre supérieure.


66

10.2. Effets initiaux

10.2.1. Statique de la section

L’analyse de la section est effectuée sur une aire transformée. Le béton de

première phase est choisi comme étant le matériau de référence et l’aire des autres matériaux (armatures, torons de précontrainte, bétons d’autres phases,…) est transformée en une aire équivalente de béton via le coefficient d’équivalence α:

où Emat = module d’élasticité du matériau (armatures, torons de précontrainte, bétons d’autres phases,…) ; Ec1 = module d’élasticité du béton de première phase. La section transformée est donc considérée comme ayant un module d’élasticité Ec1 et ses propriétés géométriques sont équivalentes à celles de la section réelle.

Soit une section sollicitée par un moment de flexion Mi et un effort normal Ni appliqué à une distance d par rapport à la fibre inférieure. L’axe y est supposé orienté positivement de bas en haut. La déformation qui en résulte en tout point de la section situé à une distance y par rapport à la fibre inférieure est:

où εi = déformation instantanée à une distance y de la fibre inférieure; εoi = déformation instantanée au niveau de la fibre inférieure; κi = courbure instantanée. Si on suppose que le béton a un comportement élastique linéaire sous un chargement instantané, la contrainte qui en résulte à une distance y par rapport à la fibre inférieure est:

où Ec1 = module d’élasticité du béton Pour une section de béton précontraint soumise en flexion composée à un effort Pi à une distance d de la fibre inférieure et à un moment Msi appliqué:

A.10.1)(1c

mat

EE

=α

A.10.2)().( ioii yκεε +=

)A.10.3()).(.(. 11 ioicici yEE κεεσ +==

)A.10.5().()A.10.4(

dPMMPN

isii

ii

+=

=


67

Dans le cas général, les relations entre les efforts Ni, Mi et les déformations εoi, κi peuvent être établies aisément à l’aide des conditions d’équivalence:

A= aire de la section transformée B= moment statique de la section transformée par rapport à la fibre inférieure de la section

I=moment d’inertie de la section transformée par rapport à la fibre inférieure de la section En réarrangeant les expressions de Ni et Mi, on en tire les expressions de la déformation de la fibre inférieure de la section et de la courbure en fonction de l’effort axial Ni appliqué et du moment de flexion Mi exprimé par rapport à la fibre inférieure de la section:

Ainsi, à chaque temps ti où sont appliqués un effort Ni et/ou un moment Mi à

la section, les incréments instantanés de déformation et de courbure peuvent être calculés par une expression du type:

Dans le cas général d’une section de béton précontraint avec armatures passives et poutrelle métallique, les propriétés géométriques de la section peuvent s’exprimer sous la forme:

)A.10.6(.......... 11111 BEAEdAyEdAEdAEdAN icoicicoicicii κεκεεσ +=+=== ∫∫∫∫

)A.10.7(.......... 112

11 IEBEdAyEdAyEdAyM icoicicoicii κεκεσ +=+== ∫∫∫

A.10.9)()..(

..

)A.10.8()..(

..

21

21

BIAENBMABIAEMBNI

c

iii

c

iioi

−−

=

−−

=

κ

ε

( ) )A.10.10(....1

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

i

i

c

oi

MN

ABBI

BIAEκε

)A.10.12(........1111

ssA c

ssp

A c

ps

A c

sc

A c

cj dAyEE

dAyEE

dAyEE

dAyEE

Bsspsc

∫∫∫∫ +++=

A.10.11)(....1111

ssA c

ssp

A c

ps

A c

sc

A c

cj dAEE

dAEE

dAEE

dAEE

Asspsc

∫∫∫∫ +++=

)A.10.13(........ 2

1

2

1

2

1

2

1ss

A c

ssp

A c

ps

A c

sc

A c

cj dAyEE

dAyEE

dAyEE

dAyEE

Isspsc

∫∫∫∫ +++=


68

)A.10.14(....11 11 11 1

ssc

ssp

kpk

c

pks

ksk

c

skn

jcj

c

cj AEE

AEE

AEE

AEE

A +++= ∑∑∑===

)A.10.15(........11 11 11 1

ssssc

ssp

kpkpk

c

pks

ksksk

c

skn

jcjcj

c

cj dAEE

dAEE

dAEE

dAEE

B +++= ∑∑∑===

)..(....))..(( 2

11

2

11

2

11

2

1ssssssg

c

ssp

kpkpk

c

pks

ksksk

c

skn

jcjcjcgj

c

cj dAIEE

dAEE

dAEE

dAIEE

I +++++= ∑∑∑===

(A.10.16)

où A= aire de la section transformée B= moment statique de la section transformée par rapport à la fibre inférieure I=moment d’inertie de la section transformée par rapport à la fibre inférieure Acj= aire nette du béton de la jème phase (avec n = nombre de phases de béton) Ask= aire du kième lit d’armatures passives (avec s= nombre de lits d’armatures) Apk= aire du kième lit de torons (avec p= nombre de lits de torons) Ass= aire totale des poutrelles en acier dcj= distance entre le centre de gravité du béton net de la jème phase et la fibre inférieure de la section dsk=distance entre le kième lit d’armatures et la fibre inférieure de la section dpk=distance entre le kième lit de torons et la fibre inférieure de la section dss=distance entre le centre de gravité des poutrelles en acier et la fibre inférieure de la section Icgj=moment d’inertie du béton net de la jème phase par rapport à son centre de gravité Issg=moment d’inertie des poutrelles en acier par rapport à leur centre de gravité Ecj= module d’élasticité du béton de la jème phase au temps ti Esk= module d’élasticité du kième lit d’armatures passives Epk= module d’élasticité du kième lit de torons Ess= module d’élasticité des poutrelles en acier Envisageons le cas général de sollicitations extérieures. Soient p lits de torons situés à une distance dp par rapport à la fibre inférieure et Pk, l’effort de précontrainte appliqué dans le kième lit au temps ti. Soient Nsi, un effort normal extérieur appliqué à la section à une distance dns par rapport à la fibre inférieure et Msi, un moment de flexion extérieur appliqué à la section au temps ti. L’effort total Nei et le moment de flexion total Mei qui sollicitent la section au temps ti sont donnés par les expressions suivantes:

Après résolution de l’équation d’équilibre, on peut calculer la contrainte dans le béton j à une distance y par rapport à la fibre inférieure.

)A.10.18(..

)A.10.17(

1

1

pk

p

kknssisii

p

kksii

dPdNMM

PNN

∑∑

=

=

++=

+=


69

où Ecj = module d’élasticité du béton j La contrainte dans la poutrelle en acier à une distance y par rapport à la fibre inférieure est:

où Ess = module d’élasticité de l’acier de la poutrelle La contrainte dans le lit d’armatures k à une distance dsk par rapport à la fibre inférieure est:

où Esk = module d’élasticité du lits d’armatures k La contrainte dans le lit de torons k à une distance dpk par rapport à la fibre inférieure est:

où Epk = module d’élasticité du lit de torons k

)19.0A.1()).(.(. ioicjicjibétonj yEE κεεσ +==

)20.A.10()).(.(. ioississsispoutre yEE κεεσ +==

)21.10A.()).(.(. iskoiskisksik dEE κεεσ +==

)A.10.22()/()).(.()/(. pkkioipkpkkipkpik APyEAPE −+=−= κεεσ


70

10.3. Effets différés

10.3.1. Statique de la section En ce qui concerne les effets différés dans une approche du type pas à pas,

l’axe du temps est discrétisé entre chaque événement de charge et/ou couple extérieurs appliqués à l’instant ti. Etant donné le comportement asymptotique des phénomènes de retrait et de fluage, les pas de temps ∆tp sont choisis de telle sorte qu’ils soient égaux dans une échelle logarithmique. Chaque événement de charge extérieure constitue une nouvelle origine pour la série de pas de temps.

où ∆tp= tp-tp-1 et n varie de 4 à10 suivant le degré de précision souhaité. Etant donné la rapidité avec laquelle se développe le fluage juste après l’application d’une charge, le premier pas de temps est fixé à 0,1 jour. Le problème consiste à évaluer numériquement l’intégrale héréditaire du principe de superposition. Il existe deux approches du problème: par la règle du rectangle ou celle du trapèze. Voyons tout d’abord l’expression de la règle du rectangle. Il s’agit d’évaluer numériquement l’équation suivante:

où ε(t) = déformation totale εs(t) = déformation de retrait J(t,ti) = fonction de fluage donnée par

où ϕ(t,ti) = coefficient de fluage Soit une discrétisation du temps en p pas. En appliquant le principe de superposition des forces, on peut écrire que:

)23.10.A(101

1

n

ip

ip

tttt

=−

−

−

)24.0A.1()().,()()(0∫=−t

iis tdttJtt σεε

)26.10A.().,().,().,()()(1

11∑∑−

==

∆+∆=∆=−p

kpppkkpk

p

kkppsp ttJttJttJtt σσσεε

)27.10.A().,()()(1

1111 ∑

−

=−−− ∆=−

p

kkkppsp ttJtt σεε

)25.10A.(),(1

),(ci

ii E

ttttJ

ϕ+=


71

En soustrayant ces deux équations, on obtient:

En explicitant l’incrément de contrainte, on obtient:

(A.10.32)

Si on applique la règle du trapèze, on peut écrire les expressions suivantes:

[ ] [ ] [ ])28.10A.(

.),(),().,()()()()(1

1111 ∑

−

=−−− ∆−+∆=−−−

p

kkkpkpppppsppsp ttJttJttJtttt σσεεεε

)29.10.A()( pp

pp E

t εσ

ε ∆+∆

=∆

)33.10A.())(.( pppp tE εεσ ∆−∆=∆

[ ] )34.10.A(2

.),(),()()(1

1∑=

−

∆+=−

p

k

kkpkppsp ttJttJtt

σεε

[ ] [ ](A.10.35)

2.),(),(

2.),(),()()( 1

1

11

ppppp

p

k

kkpkppsp ttJttJttJttJtt

σσεε

∆++

∆+=− −

−

=−∑

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆−−+−−=∆ ∑

−

=−−−

1

1111 .),(),()()()()(.

),(1 p

kkkpkppspspp

ppp ttJttJtttt

ttJσεεεεσ

[ ] [ ] )30.0A.1(.),(),()()(1

111 k

p

kkpkppspsp ttJttJtt σεεε ∆−+−=∆ ∑

−

=−−

)31.10A.(),(

1)()()( 1pp

pppp ttJEetttt =−=∆ −εεε


72

En effectuant les mêmes opérations que celles effectuées pour la règle du rectangle, on peut écrire l’expression de l’incrément de contrainte au pas p:

(A.10.36)

(A.10.37)

Ces équations exprimant l’incrément de contrainte au pas p sont analogues à

celle qui a été établie dans la méthode du module effectif ajusté. Le raisonnement qui a été explicité précédemment pour la méthode du module effectif ajusté est appliqué de la même manière pour la méthode pas-à-pas.

En regroupant tous les termes et en considérant les différentes phases de béton

et les différents lits de torons, les efforts totaux -Nip et -Mip nécessaires à appliquer pour empêcher le libre développement du fluage, du retrait et de la relaxation au pas p dans la section sont:

(A.10.41)

(A.10.42)

Dans ces expressions, la somme des intégrales des contraintes au pas p-1 sur l’ensemble des matériaux de la section est nulle. Les efforts totaux -Nip et -Mip s’expriment alors par:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ∆

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+−+−−

+=∆ ∑

−

= −−−

−−−

−

1

1 111

111

1 2.

),(),(),(),(

)()()()(.),(),(

2 p

k

k

kpkp

kpkppspspp

ppppp ttJttJ

ttJttJtttt

ttJttJσ

εεεεσ

)40.A.10())(.( pppp tE εεσ ∆−∆=∆

[ ] [ ]2

.),(),(),(),()()(1

111111

kp

kkpkpkpkppspsp ttJttJttJttJtt

σεεε

∆−−++−=∆ ∑

−

=−−−−−

)39.A.10(),(),(

2

(A.10.38))()()(

1

1

−

−

+=

−=∆

ppppp

ppp

ttJttJE

ttt εεε

∫∫∫∫ −−−−− +∆+∆−++∆−=−sspsc A

sspss

Ap

pp

pp

pp

As

ps

Ac

ppc

pcip dAdAdAdAEN .).(.)..( 11111 σσσσσεσ

∫∫∫∫ −−−−− +∆+∆−++∆−=−sspsc A

sspss

Ap

pp

pp

pp

As

psc

p

A

pc

pcip dAydAydAydAyEM ...).(...)..( 11111 σσσσσεσ


73

Les efforts internes -Nip et -Mip vont donc évoluer à chaque pas de temps. L’introduction de ces efforts totaux -Nip et -Mip à la section dissociée permet de rétablir la compatibilité des déformations. Toutefois, ils vont modifier les efforts internes et rompre l’équilibre. Pour restaurer l’équilibre, ces efforts -Nip et -Mip doivent donc être éliminés par l’application des efforts opposés Nip et Mip à la section non dissociée (pour maintenir la compatibilité). Dans l’équation d’équilibre, on applique alors les efforts Nip et Mip.

Considérons le cas général d’ une section mixte acier-béton, précontrainte et construite par phases successives. Suite à l’application des efforts Nip et Mip sur la section non dissociée aura lieu une variation des déformations. Au niveau de la fibre inférieure de la section (fibre de référence), la variation de déformation sera ∆ε0

p et la variation de courbure (identique pour toute la hauteur de la section) sera ∆κp. Les expressions de ∆ε0

pet ∆κp sont analogues à celles établies pour l’analyse à court terme.

A chaque pas de temps, on résout le système suivant:

Le béton de première phase étant considéré comme le béton de référence, les différents termes caractérisant les propriétés géométriques de la section sont rapportés au module Ec1. En ce qui concerne les propriétés géométriques, les expressions sont:

)47.0A.1()..(

..2

1 BIAE

MBNIp

c

ipippo

−

−=∆ε

)48.10.A()..(

..2

1 BIAE

NBMAp

c

ipipp

−

−=∆κ

)49.10A.(..)..(

12

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∆∆

ip

ip

pc

p

po

MN

ABBI

BIAEκε

)43.10A.().()..( 1∫∫ −∆+∆−+∆−=−pc A

ppp

pp

Ac

ppcip dAdAEN σσε

)44.10.A(.).(.)..( 1∫∫ −∆+∆−+∆−=−pc A

ppp

ppc

p

A

pcip dAydAyEM σσε

)45.10A.().()..( ∫∫ ∆+∆=pc A

pppr

Ac

ppcip dAdAEN σε

)46.10.A(.).(.)..( ∫∫ ∆+∆=pc A

pppr

Ac

ppcip dAydAyEM σε


74

)50.10.A(....11 11 11 1

ssc

ssp

kpk

c

pks

ksk

c

skn

jcj

c

cj AEE

AEE

AEE

AEE

A +++= ∑∑∑===

)51.10.A(........11 11 11 1

ssssc

ssp

kpkpk

c

pks

ksksk

c

skn

jcjcj

c

cj dAEE

dAEE

dAEE

dAEE

B +++= ∑∑∑===

)..(....))..(( 2

11

2

11

2

11

2

1ssssssg

c

ssp

kpkpk

c

pks

ksksk

c

skn

jcjcjcgj

c

cj dAIEE

dAEE

dAEE

dAIEE

I +++++= ∑∑∑===

(A.10.52)

Bo A = aire de la section au pas p B = moment statique par rapport à la fibre inférieure de la section au pas p I = moment d’inertie par rapport à la fibre inférieure de la section au pas p Ecj

p = module du béton de la jème phase au pas p Ecj = module d’élasticité du béton de la jème phase au temps tp

ϕj(tp,tp-1)= coefficient de fluage du béton de la jème phase Esk= module d’élasticité du kième lit d’armatures passives Epk= module d’élasticité du kième lit de torons Ess= module d’élasticité des poutrelles en acier Acj= aire nette du béton de la jème phase (avec n = nombre de phases de béton) Ask= aire du kième lit d’armatures passives (avec s = nombre de lits d’armatures) Apk= aire du kième lit de torons (avec p = nombre de lits de torons) Ass= aire totale des poutrelles en acier dcj= distance entre le centre de gravité du béton net de la jème phase et la fibre inférieure de la section dsk=distance entre le kième lit d’armatures et la fibre inférieure de la section dpk=distance entre le kième lit de torons et la fibre inférieure de la section dss=distance entre le centre de gravité des poutrelles en acier et la fibre inférieure de la section Icgj= moment d’inertie du béton net de la jème phase par rapport à son centre de gravité Issg= moment d’inertie des poutrelles en acier par rapport à leur centre de gravité

)53.10A.()),(),((

2

1−+=

ppjppj

pcj ttJttJ

E

)54.10A.()(

),(1),(

1

11

−

−−

+=

pcj

ppjppj tE

ttttJ

ϕ


75

Dans l’expression des efforts internes Nip et Mip au pas p,

l’intégrale portant sur les torons peut être remplacée aisément par une somme sur chaque lit de torons (k étant le nombre total de lit de torons) de la manière suivante:

Par contre, l’intégration portant sur les différentes phases de béton doit se résoudre par une intégration numérique sur les éléments de béton de la section. La méthode de Boole-Villarceau (ordre 5) a été implémentée dans le programme de calcul de manière à avoir un degré de précision élevé dans l’évaluation des contraintes. Pour le calcul des contraintes dans les différentes phases de béton, l’expression de l’incrément de contrainte explicité précédemment est:

Pour le béton de la jème phase, l’incrément de contrainte ∆σcj qui se produit durant un intervalle de temps (tp-1,tp) est:

Pour le kième lit de torons, l’incrément de contrainte ∆σpk qui se produit durant un intervalle de temps (tp-1,tp) est:

Dans le kième lit d’armatures, l’incrément de contrainte qui se produit durant un intervalle de temps (tp-1,tp) est:

)61.10.(A)..( p

skp

oskpsk dE κεσ ∆+∆=∆

)60.10.A()..( pprk

ppk

popk

ppk dE σκεσ ∆−∆+∆=∆

)55.10A.().()..( ∫∫ ∆+∆=pc A

pppr

Ac

ppcip dAdAEN σε

)56.0A.1(.).(.)..( ∫∫ ∆+∆=pc A

pppr

Ac

ppcip dAydAyEM σε

)57.10.A(...).( pkpprk

kpk

Ap

ppr dAdAy

p

σσ ∆=∆ ∑∫

)58.10.A())(.( pppp tE εεσ ∆−∆=∆

)59.10A.()..( pcj

ppo

pcj

pcj yE εκεσ ∆−∆+∆=∆


76

Dans la poutrelle en acier, l’incrément de contrainte qui se produit durant un intervalle de temps (tp-1,tp) est:

)62.10.A()..( pposs

pss yE κεσ ∆+∆=∆


77

11. Organisation du programme de calcul suivant

la méthode dite pas-à-pas

11.1. Organigramme du programme

L’objectif visé par ce programme de calcul est d’évaluer l’évolution des déformations et des contraintes qui se produisent dans une section composite acier -béton construite par phases successives ou non, préfléchie ou non, précontrainte ou non en fonction du temps. Ces déformations et ces contraintes proviennent d’une part, de l’application de sollicitations extérieures à la section en des instants donnés et d’autre part, des effets différés du béton et des câbles de précontrainte durant des intervalles de temps (tp-1, tp) entre les événements de sollicitations. Les équations relatives aux effets différés sont basées sur la méthode dite pas-à-pas décrite précédemment.

Ce programme d’analyse de section est applicable au cas le plus général de section composite c’est-à-dire à une section mixte acier béton avec ou sans poutrelle en acier, construite ou non par phases avec un maximum de 5 phases de bétons différents, renforcée ou non par différents lits de torons et d’armatures.

Toutes les caractéristiques géométriques de la section sont exprimées par rapport à la fibre inférieure de la section. Dans le cas d’une construction par phases de béton successives, cet axe de référence reste inchangé. A l’instant tp où on coule l’élément de béton, le matériau commence seulement à prendre et sa rigidité est négligeable. On ne peut donc pas le considérer comme participant à la section résistante en tp. En fait, il constitue uniquement une charge supplémentaire sur la section en cet instant. En ce qui concerne l’intervalle de temps (tp ,tp+1) durant lequel se produit du fluage, du retrait et de la relaxation, si celui-ci est plus grand que le temps nécessaire (noté tres-tcoulage) au béton coulé en tp (noté tcoulage) pour atteindre une résistance suffisante et participer à la section résistante , le béton coulé en tp sera considéré comme totalement participant à la section résistante durant tout l’intervalle (tp ,tp+1).

Les dimensions et les propriétés géométriques de la section sont introduites dans le calcul par le biais d’un ensemble de petits éléments de forme élémentaire rectangulaire ou triangulaire. Ces éléments peuvent être ajoutés ou soustraits afin de pouvoir modéliser des sections de forme polygonale tout à fait quelconque. En ce qui concerne les moments d’inertie des armatures et des torons par rapport à leur centre de gravité, ils seront négligés.

Etant donné que l’évolution de la géométrie de la section est connue a priori ainsi que les charges et les instants où elles sont appliquées à la section , une partie des calculs peut être sous-traitée dans des routines et les résultats peuvent être stockés une fois pour toutes dans des matrices qui seront utilisées dans le programme principal.


78

Cette première phase du calcul est résumée sur la fugure A.11.1.

Figure A.11.1. Première phase de calcul


Introduction des instants des différents événements

Calcul des coefficients de fluage ϕ et des modules d’élasticité Ec des bétons suivant les modèles: CEB90-93, CEB90-99,

GZ, B3, B3S, ACI 209, AFREM

Calcul des déformations de retrait εsh suivant les modèles: CEB90-93, CEB90-99, GZ, B3, B3S, ACI 209,AFREM

Calcul des modules d’élasticité réduits E des bétons

Calcul des aires (Acj,Ask,Apk,Ass), des moments statiques (Bcj,Bsk,Bpk,Bss),

des moments d’inertie (Icj,Isk,Ipk,Iss) des éléments de la section

Calcul des aires transformées A, des moments statiques transformés B,

des moments d’inertie transformés I de la section

Calcul des aires réduites, des moments statiques réduits, des moments d’inertie réduits de la section

Calcul des pertes intrinsèques dans les torons ∆σpr à chaque pas de temps


79

En ce qui concerne le programme principal, il traite d’une part les événements survenant en des temps ti pendant lesquels a lieu une modification des conditions d’appui ou l’application de charges à la structure et d’autre part les intervalles de temps (tp,tp+1) pendant lesquels se produit du fluage, du retrait et de la relaxation. Les différentes étapes du calcul sont résumées sur la figure A.11.2.

Figure A.11.2. Enchaînement des calculs

Evénement ti

Calcul de la déformation εi et de la courbure κi

Calcul des contraintes σ dans les bétons, les armatures, les torons et les poutrelles en acier

Calcul des accroissements ∆σ dans les bétons, les armatures, les poutrelles en acier et les torons

Calcul du coefficient minorateur χr pour les pertes de tension dans les torons

Calcul des efforts Ni et Mi

Intervalle de temps (tp+1,tp)

Calcul des efforts Nip et Mip

Calcul des accroissements ∆εo et ∆κ

Calcul de Ωk pour chaque lit de torons

Nouvelle estimation des pertes de tension dans les torons ∆σpr

Calcul des pε∆ pour chaque phase de béton


80

12. Description de la campagne d’essai menée au laboratoire

12.1. Introduction Au laboratoire, un important programme de caractérisation des propriétés des

bétons mis en œuvre lors de la fabrication du pont-bac instrumenté a été mis sur pied. Des essais de mesure de la résistance à la compression des bétons à différents âges ainsi que des mesures de retrait et de fluage ont été réalisés.

12.2. Description des essais En particulier, les essais de retrait et de fluage des bétons de 1ère et de 2ème phases ont été effectués conformément aux recommandations proposées par le comité RILEM TC 107 [RILEM, 1998]. Plus précisément, ce comité recommande d’utiliser des cylindres ayant un élancement égal ou supérieur à 4 de manière à pouvoir mesurer les déformations sur une base égale ou supérieure à un diamètre et centrée par rapport aux extrémités du cylindre. Les éprouvettes ont été fabriquées dans des moules cylindriques en carton de 15cm de diamètre et de 60 cm de hauteur. La face intérieure de ces moules est recouverte de plastique empêchant ainsi le transfert d’humidité à travers le moule. Immédiatement après démoulage, les éprouvettes destinées au retrait endogène et au fluage propre sont équipées d’une protection complète contre la dessiccation au moyen d’au moins deux feuilles d’aluminium collées avec de la résine époxy [Toutlemonde F., Le Maou F., 1999]. Les essais de retrait endogène et de fluage propre ont lieu dans une salle climatisée à 20°C. Les éprouvettes destinées au retrait de dessiccation et au fluage de dessiccation sont conservées en chambre humide jusqu’à la date des essais. Les essais de retrait de dessiccation et de fluage de dessiccation ont lieu dans une chambre climatisée à 20°C et 53% d’humidité relative. Une partie des éprouvettes subit ainsi un séchage conventionnel ( 53 % d’humidité relative, 20°C) tandis que les autres éprouvettes sont scellées (20°C). En ce qui concerne les essais de fluage, les deux faces extrêmes des éprouvettes ont été rectifiées à l’aide d’un «capping» en plâtre. En effet, il est primordial d’assurer une coïncidence la plus parfaite possible entre l’axe du cylindre et la direction d’application de la charge. Le dispositif utilisé pour appliquer et maintenir la charge au cours du temps est un accumulateur oléopneumatique. Ce système est équipé d’un vérin plat placé en-dessous du ou des cylindres mis en charge. L’huile contenue dans le vérin est maintenue en pression par une réserve d’azote. Les mesures de variation de longueur sont effectuées à l'aide d’un déformètre mécanique DEMEC (constante = 0,64 E-05) de 250 mm de longueur de base de mesure. Quatre bases de mesure sont matérialisées sur l'éprouvette.


81

Figure A.12.1. Bases de mesures.

Figure A.12.2. Mise en charge avec un vérin plat.


82

Les bétons de 1ère et de 2ème phases sont nominalement identiques (classe C50/60). Ce sont des bétons hautes performances dont le rapport eau/ciment vaut 0,347.Ce rapport est sensiblement plus que faible que celui qui aurait été utilisé pour fabriquer du béton ordinaire. La composition de ces bétons est la suivante:

- Sable de Meuse (0/5): 715 kg/m³ - Agrégats calcaires (7/14): 1140 kg/m³ - Ciment Portland (CEM I 52.5 R LA, ASTM III et classe 3 CEB-MC90): 380

kg/m³ - Eau: 132 litres/m³ - Adjuvant réducteur d’eau (Visco 4): 7 kg/m³

Il s’agit d’une composition assez classique de béton utilisant un ciment haute résistance à prise rapide. Ce ciment appartient donc à la classe 3 définie dans l’Eurocode. En ce qui concerne la détermination de son type ASTM, il faut tout d’abord établir la composition potentielle du ciment. Connaissant la composition chimique du ciment, il est possible, à l’aide de la figure A.12.3, de calculer les pourcentages des deux phases aluminates C4AF et C3A et des deux phases silicates C3S et C2S du ciment.

Figure A.12.3. Facteurs de pondération permettant d’établir la composition potentielle du ciment à partir de sa composition chimique suivant Bogue, la norme ASTM et le CRIC (Centre de Recherches de l’Industrie Cimentière en Belgique). La composition chimique du ciment est détaillée dans la figure A.12.4. Les dernières lignes de ce tableau donnent les pourcentages calculés des différentes phases selon Bogue et selon ASTM. L’analyse de ces pourcentages permet de placer ce ciment dans la catégorie type III ASTM.

Bogue ASTM CRIC Fe2O3 Al2O3 SiO2 CaO SO3 CaO libre CO2 C4AF +3.0432 C3A -1.6920 +2.6500 C3S -1.4298 -6.7179 -7.6000 +4.0714 -2.8518 -4.0714 -5.1880 C2S +1.0786 +5.0679 +8.6000 -3.0714 +2.1514 +3.0714 +3.9138 CaSO4 +1.7004 CaCO3 +2.2742


83

Ciment CEM I 52,5 R LA (CBR) Constituants % (moyenne sur l’année 2000)

SiO2 20,20 Al2O3 4,89 Fe2O3 3,45 CaO 65,18 Na2O 0,21 K2O 0,23

Eq.Na 0,36 MgO 0,79 SO3 3,25

Composition potentielle Selon Bogue (%) Selon ASTM (%) C4AF 10,500 10,500 C3A 7,121 7,121 C3S 74,070 64,802 C2S 2,029 9,021

Figure A.12.4. Analyse chimique et composition potentielle du ciment des ponts-bacs. Les différents essais réalisés sont résumés sur la figure A.12.5. Le début des mesures coïncide avec l’âge du béton t0 au moment du chargement pour les essais de fluage et avec l’âge du béton ts à partir duquel commence le séchage pour les essais de retrait de dessiccation.

Age du béton au début des mesures (jours) Béton de 1ère phase Béton de 2ème phase

Retrait endogène 4 2 4 2 7 7 28 28

Retrait de dessiccation

181 Béton de 1ère phase Béton de 2ème phase

to (jours)

σ (MPa)

σ/fc,to (%)

to (jours) σ (MPa)

σ/fc,to (%)

4 15,8 32,7 2 20,32 52,3 7 25,4 51,5 7 25,5 44,4 28 28,37 44 28 28,1 44,4

Fluage fondamental

181 28 37 4 15,8 32,7 2 20,32 52,3 7 25,4 51,5 7 25,5 44,4 28 28,37 44 28 28,1 44,4

Fluage de dessiccation

181 28 37 Figure A.12.5. Synthèse des essais de retrait et de fluage réalisés. σ représente le niveau de contrainte appliqué aux éprouvettes tandis que fc,to représente la résistance à la compression obtenue sur des cylindres 15/30 à l’âge du béton au moment du chargement.


84

13. Comparaison des mesures effectuées au laboratoire avec les valeurs prédites par les modèles codifiés

13.1. Introduction Les résultats relatifs à la résistance à la compression des bétons de 1ère et de

2ème phases seront tout d’abord présentés en comparaison avec les valeurs prédites par l’Eurocode. Ensuite, de manière systématique, les résultats des mesures de retrait et de fluage seront comparées pour chaque béton et pour chaque âge, d’une part, avec quatre modèles américains (ACI 209, GZ, B3 et B3S) et d’autre part, avec trois modèles européens (AFREM, CEB 90 (version 93) et CEB 90 (version 99)) de prédiction du retrait et du fluage du béton.

13.2. Présentation des résultats relatifs à la résistance à la compression

Les résistances à la compression indiquées dans la figure A.13.1 sont pour la

plupart les moyennes obtenues sur trois cylindres 15/30 dont les faces extrêmes ont été rectifiées. Les valeurs obtenues au laboratoire sont comparées d’une part avec les valeurs obtenues chez Ronveaux sur des cubes 15X15 et d’autre part avec les valeurs prédites par l’Eurocode en prenant comme référence la résistance moyenne à 28 jours. Les résistances sur cubes ont été ramenées à des résistances sur cylindres en les multipliant par 0,8 (valeur qui est la plus proche des résultats expérimentaux). Age (jours) fc,ULB (MPa) fc,Ronveaux

(MPa) fc,EC2 (MPa)

3 - 39 42 4 48,3 - 46 7 49,3 53 52 28 64,5 60 64

Béton de 1ère phase

181 76 - 73 2 38,5 - 37 7 57,4 54,4 52

Béton de 2ème phase

28 63,3 64,5 64 Figure A.13.1. Valeurs des résistances à la compression sur cylindre des bétons de 1ère et de 2ème phase. Dans les simulations avec les modèles de prédiction qui vont suivre, la résistance moyenne à la compression à 28 jours qui est utilisée est de 64 MPa, ce qui correspond à la valeur expérimentale moyenne obtenue au laboratoire à l’ULB sur des cylindres 15/30 confectionnés avec du béton prélevé de la centrale chez le préfabricant lors de la fabrication du pont-bac qui a fait l’objet de l’instrumentation.


85

13.3. Valeurs des paramètres utilisés dans les modèles Les valeurs paramètres utilisées dans les modèles de prédiction du retrait et du

fluage sont données dans la figure A.13.2. Celles-ci sont identiques pour les 2 bétons. Dénomination du paramètre Valeur utilisée dans les modèles Type de ciment CEM I 52,5 R LA Type ASTM du ciment III Type Eurocode du ciment 3 Contenu en eau (kg/m³) 132 Contenu en ciment (kg/m³) 380 Contenu en granulats (kg/m³) 1855 Contenu en fumée de silice (kg/m³) 0 fcm (MPa) 64 Diamètre du cylindre (cm) 15 Température de la cure (°C) 20 Type de cure Normale, humide Age à la fin de la cure (jours) ts Age au chargement (jours) t0 Humidité relative (%) 53% (éprouvettes exposées au séchage) ;

% variable (éprouvettes scellées). Masse volumique (kg/m³) 2374 Epaisseur effective (mm) 75 Rapport volume/surface (mm) 37,5 Rapport eau/ciment 0,347 Figure A.13.2. Valeurs des paramètres utilisés dans les modèles.

En ce qui concerne les éprouvettes scellées, les pourcentages qui ont été utilisés correspondent pour chaque modèle au pourcentage limite au-delà duquel le modèle prédit du gonflement excepté pour le modèle AFREM et les modèles B3,B3S et CEB90 dans sa version de 99. En effet, le modèle AFREM propose des expressions explicites tant pour le retrait endogène que le fluage fondamental. Les modèles B3 et B3S proposent des expressions explicites uniquement pour le fluage fondamental. Le modèle CEB90 dans sa version de 99 propose une expression explicite uniquement pour le retrait endogène. Selon l’avis du Professeur Müller, principal auteur de ce modèle, il est conseillé d’utiliser une humidité relative de 100% pour le fluage fondamental des éprouvettes scellées. La figure A.13.3 résume les valeurs utilisées.

Modèle Retrait endogène Fluage fondamental CEB90(93) ecs 98,999 J 98,999 CEB90(99) ecas - J 100 ACI209 Es 100 J 100 B3 esh 98,4544 q1+C0 - B3S esh 98,4544 q1+C0 - GZ esh 95,9466 J 95,9466 AFREM ere - 1/Eélas+Jfp - Figure A.13.3. Valeurs des humidités relatives utilisées dans les modèles.


86

13.4. Présentation des résultats relatifs au retrait 13.4.1. Retrait endogène

Figure A.13.4. Déformations mesurées et prédites par les modèles américains du retrait endogène du béton de 1ère phase.

Figure A.13.5. Déformations mesurées et prédites par les modèles européens du retrait endogène du béton de 1ère phase.

-0,00001

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-4) (jours)

Retrait endogène (m/m)

ACI 209B3

B3SGZ

mesures

-0,00001

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-4) (jours)


CEB 90 (99)mesuresAFREMCEB 90 (93)


87

Figure A.13.6. Déformations mesurées et prédites par les modèles européens du retrait endogène du béton de 2ème phase.

Dans tous les graphiques illustrant le retrait endogène et le retrait total de ce chapitre, les déformations sont exprimées en m/m. En ce qui concerne le retrait endogène, ce sont les modèles CEB90 dans sa version de 1999 et le modèle AFREM qui reproduisent bien la tendance de l’évolution des déformations mesurées. En effet, ce sont les seuls modèles actuellement qui proposent une expression explicite pour le retrait d’éprouvettes scellées.

-0,00001

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,00009

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) (jours)


mesures

CEB 90 V99

AFREM

CEB 90 V93


88

13.4.2. Retrait total

Figure A.13.7. Déformations mesurées et prédites par les modèles américains du retrait total du béton de 1ère phase où ts = 4 jours.

Figure A.13.8. Déformations mesurées et prédites par les modèles européens du retrait total du béton de 1ère phase où ts = 4 jours.

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-4) (jours)

Retrait total (m/m)

ACI 209GZ

mesuresB3

B3S

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-4) (jours)

Retrait total (m/m)

CEB 90 V99 mesuresCEB 90 V93AFREM


89



0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-7) (jours)

Retrait total (m/m)

ACI 209GZ

mesuresB3

B3S

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-7) (jours)

Retrait total (m/m)

mesuresCEB 90 V99CEB 90 V93AFREM


90



0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) (jours)

Retrait total (m/m)

ACI 209GZ

mesuresB3

B3S

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) (jours)

Retrait total (m/m)

CEB 90 (99)

mesures

CEB 90 (93)

AFREM


91



0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-181) (jours)

Retrait total (m/m)

GZACI 209

mesuresB3

B3S

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-181) (jours)

Retrait total (m/m)

CEB 90 V99 mesuresCEB 90 V93AFREM


92

Figure A.13.15. Déformations mesurées et prédites par les modèles américains du retrait total du béton de 2ème phase où ts = 2 jours.

Figure A.13.16. Déformations mesurées et prédites par les modèles européens du retrait total du béton de 2ème phase où ts = 2 jours.

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) (jours)

Retrait total (m/m)

ACI 209GZ

mesuresB3

B3S

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) (jours)

Retrait total (m/m)

mesures

CEB 90V99 CEB 90V93AFREM


93



0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-7) (jours)

Retrait total (m/m)

ACI 209GZ

mesuresB3

B3S

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-7) (jours)

Retrait total (m/m)

CEB 90 V99mesures

CEB 90 V93AFREM


94



0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) (jours)

Retrait total (m/m)

ACI 209GZ

mesuresB3

B3S

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) (jours)

Retrait total (m/m)

CEB 90 V99mesuresCEB 90 V93AFREM


95

En ce qui concerne le retrait total, les mesures montrent que l’âge à partir duquel le béton est exposé au séchage a une influence significative sur les déformations. Si on trace un bilan des modèles qui représentent bien l’évolution des déformations de retrait total pour les deux bétons mis en œuvre, on obtient la figure A.13.21.

Béton de 1ère phase

ts (jours) Modèles américains Modèles européens 4 GZ CEB90 (99) 7 GZ CEB90 (99) 28 - CEB90 (99) 181 B3 CEB90 (99)

CEB90 (93) Béton de 2ème phase

2 - CEB90 (99) 7 - CEB90 (99) 28 B3 CEB90 (93)

Figure A.13.21. Synthèse des modèles reproduisant bien les déformations mesurées pour le retrait total.

Aux jeunes âges, le modèle CEB90 (99) semble bien reproduire les valeurs

expérimentales et ce tant avec le béton de 1ère phase que le béton de 2ème phase.


96

13.5. Présentation des résultats relatifs au fluage

13.5.1. Fluage fondamental

Figure A.13.22. Fonction de fluage obtenue à partir des mesures et prédite par les modèles américains du fluage fondamental du béton de 1ère phase où t0 = 4 jours.

Figure A.13.23. Fonction de fluage obtenue à partir des mesures et prédite par les modèles européens du fluage fondamental du béton de 1ère phase où t0 = 4 jours.

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-4) (jours)

J fondamental (MPa-1)

B3SB3ACI 209GZmesures

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-4) (jours)


CEB90 V99

mesuresCEB90 V93

AFREM


97



0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-7) (jours)


B3SmesuresB3ACI 209GZ

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-7) (jours)


mesures

CEB 90 V99 AFREM

CEB 90 V93


98



0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) (jours)


GZmesuresB3SACI 209B3

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) (jours)


mesures

CEB 90 (99)AFREM

CEB 90 (93)


99


0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-181) (jours)


CEB 90 V99

mesuresAFREM

CEB 90 V93


0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-181) (jours)


GZmesuresACI 209B3SB3


100

Figure A.13.30. Fonction de fluage obtenue à partir des mesures et prédite par les modèles américains du fluage fondamental du béton de 2ème phase où t0 = 2 jours.

Figure A.13.31. Fonction de fluage obtenue à partir des mesures et prédite par les modèles européens du fluage fondamental du béton de 2ème phase où t0 = 2 jours.

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) (jours)



0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) (jours)


CEB 90 V99

mesuresAFREM

CEB 90 V93


101



0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-7) (jours)


B3SB3mesuresGZACI 209

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-7) (jours)


CEB 90 V99

mesuresAFREM

CEB 90 V93


102



0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) (jours)


mesuresGZB3SACI 209B3

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) (jours)


CEB 90 V99

mesuresAFREM

CEB 90 V93


103

En ce qui concerne les essais de fluage fondamental, les valeurs prédites par les différents modèles pour la déformation instantanée sont assez dispersées. Quelques modèles reproduisent de manière satisfaisante les valeurs mesurées. D’autres modèles reproduisent bien la tendance de l’évolution de la fonction de fluage mais prédisent une valeur instantanée assez éloignée des résultats expérimentaux. Dans la figure A.13.36, sont mentionnés d’une part, les modèles qui reproduisent de manière satisfaisante la fonction de fluage et d’autre part, ceux qui reproduisent uniquement la tendance de l’évolution de celle-ci.

Béton de 1ère phase Modèles américains Modèles européens

to (jours) Valeurs Tendance Valeurs Tendance 4 - - Afrem

CEB90 (93) CEB90 (99)

7 B3 - CEB90 (99) - 28 - B3 CEB90 (99) CEB90 (93) 181 - - - CEB90 (99)

CEB90 (93) Béton de 2ème phase

Modèles américains Modèles européens to (jours) Valeurs Tendance Valeurs Tendance

2 - B3 - - 7 - - CEB90 (99) CEB90 (93) 28 - B3 CEB90 (99) CEB90 (93)

Figure A.13.36. Synthèse des modèles qui reproduisent bien les mesures pour le fluage fondamental.

On observe tout d’abord que dans la plupart des cas, les valeurs et les tendances sont bien reproduites par les modèles CEB90 (93), CEB90 (99) et B3.A très jeune âge (2 jours), l’évolution de la fonction de fluage semble mieux représentée par le modèle américain B3 que par les modèles européens CEB90 (93) et CEB90 (99).


104

13.5.2. Fluage total

Figure A.13.37. Fonction de fluage total obtenue à partir des mesures et prédite par les modèles américains du fluage total du béton de 1ère phase où t0 = 4 jours.

Figure A.13.38. Fonction de fluage total obtenue à partir des mesures et prédite par les modèles européens du fluage total du béton de 1ère phase où t0 = 4 jours.

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-4) (jours)

J total (MPa-1)


0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-4) (jours)

J total (MPa-1)

CEB 90 V99

CEB 90 V93mesures

AFREM


105



0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-7) (jours)

J total (MPa-1)

B3SB3mesuresACI 209GZ

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-7) (jours)

J total (MPa-1)

CEB 90 V99

mesuresCEB 90 V93

AFREM


106



0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) (jours)

J total (MPa-1)

mesuresB3SGZACI 209B3

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) (jours)

J total (MPa-1)

CEB 90 (99)

mesuresCEB 90 (93)

AFREM


107



0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,00009

0,0001

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-181) (jours)

J total (MPa-1)

CEB 90 V99mesuresCEB 90 V93AFREM

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,00009

0,0001

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-181) (jours)

J total (MPa-1)

GZB3SmesuresACI209B3


108

Figure A.13.45. Fonction de fluage total obtenue à partir des mesures et prédite par les modèles américains du fluage total du béton de 2ème phase où t0 = 2 jours.

Figure A.13.46. Fonction de fluage total obtenue à partir des mesures et prédite par les modèles européens du fluage total du béton de 2ème phase où t0 = 2 jours.

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,00018

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) (jours)

J total (MPa-1)


0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,00018

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) (jours)

J total (MPa-1)

CEB 90 V99

CEB 90 V93mesures

AFREM


109



0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-7) (jours)

J total (MPa-1)


0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-7) (jours)

J total (MPa-1)

CEB 90 V99CEB 90 V93mesuresAFREM


110



0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) (jours)

J total (MPa-1)

B3SmesuresGZACI 209B3

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) (jours)

J total (MPa-1)

CEB 90 V99

mesuresCEB 90 V93

AFREM


111

Dans la figure A.13.51, tout comme ce qui a été fait pour le fluage fondamental, sont mentionnés d’une part, les modèles qui reproduisent de manière satisfaisante la fonction de fluage et d’autre part, ceux qui reproduisent uniquement la tendance de l’évolution de celle-ci.

Béton de 1ère phase Modèles américains Modèles européens

to (jours) Valeurs Tendance Valeurs Tendance 4 - - Afrem

CEB90 (99) CEB90 (93)

7 B3 - CEB90 (93) Afrem CEB90 (99)

28 B3S - CEB90 (99) CEB90 (93) 181 B3S - CEB90 (93) CEB90 (99)

Béton de 2ème phase Modèles américains Modèles européens

to (jours) Valeurs Tendance Valeurs Tendance 2 - B3 - CEB90 (99)

CEB90 (93) 7 GZ

ACI 209 - - CEB90 (93)

CEB90 (99) 28 B3S - CEB90 (93) CEB90 (99)

Figure A.13.51. Synthèse des modèles qui reproduisent bien les mesures pour le fluage total.

On observe tout d’abord que dans la plupart des cas, les valeurs et les tendances sont bien reproduites par les modèles CEB90 (93), CEB90 (99) et B3 ou B3S.A très jeune âge (2 jours), seule la tendance de l’évolution de la fonction de fluage est représentée de manière satisfaisante par le modèle américain B3 et les modèles européens CEB90 (93) et CEB90 (99). En ce qui concerne le modèle CEB90 (99), il surestime légèrement la fonction de fluage total dans la plupart des cas.

13.6. Conclusions

L’analyse systématique qui vient d’être détaillée montre que les modèles qui

reproduisent le mieux dans le plus grand nombre de cas les déformations mesurées sont les modèles européens CEB90 (93) et CEB90 (99).La seule exception concerne le retrait endogène où ce sont les modèles qui proposent une expression explicite pour le calculer qui se rapprochent le plus des déformations réelles, c’est-à-dire le modèle Afrem et le modèle CEB90 (99). Pour le calcul du tablier avec la méthode AEMM et la méthode pas-à-pas, ce seront donc les modèles européens CEB90 (93) et CEB90 (99) qui seront utilisés.


112

14. Description de l’instrumentation réalisée sur

un pont-bac

14.1. Introduction Un tablier du type pont-bac et constituant une travée isostatique de 26 m de

portée faisant partie d’un viaduc construit et en service depuis 2001 à l’entrée de la gare de Bruxelles-Midi a été instrumenté au tiers et à mi-portée en juin 2000. L’implantation des instruments de mesure sera d’abord présentée. Le planning des mesures effectuées en parallèle avec l’historique des événements que le tablier a subi sera ensuite détaillé. Enfin, quelques résultats de mesures seront commentés.

Figure A.14.1. Vue du tablier instrumenté . 14.2. Description de l’implantation des instruments de

mesure Des jauges de déformation résistives ont été collées sur le plat de renfort de

chaque profilé reconstitué soudé ainsi que sur chaque côté de leur semelle inférieure. Des extensomètres à corde vibrante (« témoins sonores ») destinés à être noyés dans le béton ont été disposés à 5 cm au-dessus de la fibre inférieure de la section et à 8 cm en-dessous de la fibre supérieure de la section. La figure A.14.2 illustre la position des 6 jauges et des 6 témoins sonores disposés respectivement au tiers et à mi-portée.


113

Figure A.14.2. Implantation des jauges et des extensomètres à corde vibrante au tiers (en rouge) et à mi-portée (en noir) sur le tablier instrumenté.

Figure A.14.3. Vue d’une jauge et d’un extensomètre au niveau de la semelle inférieure de la poutrelle.

TS6 TS1

TS5 TS3TS4 TS2

J3 J9

J2 J1 J8 J7

3.98 m

1.36

m

Vibrating wire extensometer

Strain gage

(6)

(4)(10) (8)

(7)

(10)(11)(5)(11)

(12)(12)

(9)

(12)(12)

Jauge

Extensomètre à corde vibrante

Témoin sonore Jauge


114

14.3. Planning des mesures effectuées sur le tablier Les mesures ont été poursuivies depuis la construction du tablier en juin 2000.

Le viaduc a été mis en service en Juin 2001. Le tablier a été préfabriqué aux Etablissements Ronveaux et ensuite transporté à Bruxelles à Petite Ile par voie de chemin de fer. Sa position définitive se situe au-dessus de la rue du Charroi. La référence des mesures des jauges (t = 0) a été prise le jour précédent la préflexion des poutrelles. La première mesure des extensomètres à corde vibrante a été prise juste avant le coulage respectif des bétons de 1ère et de 2ème phases.

En ce qui concerne les poutrelles, on a l’historique de construction suivante: - les poutrelles sont mises en préflexion (effort de 490 kN appliqué au quart et

aux trois-quarts de la poutrelle sur chacune des poutrelles); - les poutrelles sont déchargées de l’effort de préflexion 5 minutes plus tard

(c’est l’opération d’élastification des poutrelles); - les poutrelles sont à nouveau mises en préflexion jusqu’au moment du

relâchement en t=2,6 jours. En ce qui concerne le béton, on a l’historique de construction suivante:

- bétonnage de la dalle entre 6 et 9 heures après la préflexion des poutrelles; - relâchement de la préflexion et transfert de la précontrainte au béton de 1ère

phase à t = 2,6 jours; - bétonnage de 2ème phase à t = 4 jours; - le tablier est ensuite conservé sur des appuis provisoires (avec des porte-à-

faux de chaque côté de respectivement 3,75m et 2,95m) sur l’aire de stockage de l’usine de préfabrication, puis transporté par rail (sur bogies) quelques jours après sa construction;

- le tablier est disposé sur des appuis temporaires (avec des porte-à-faux de chaque côté de respectivement 5,5m et 5,6m) entre t = 10 jours et t = 45 jours;

- le tablier est placé sur ses appuis définitifs à l’âge t = 45 jours; - le tablier est chargé par une première partie du ballast jusqu’au niveau

inférieur des traverses à l’âge t= 272 jours; - le tablier est chargé par la deuxième partie du ballast ainsi que par les

traverses et les rails à l’âge t= 306 jours;

14.4. Comparaison des mesures effectuées sur le tablier Pour quatre événements significatifs dans l’histoire de la construction du

tablier, les mesures effectuées au niveau des semelles supérieures et inférieures des poutrelles ainsi qu’à 50 mm au-dessus de la fibre inférieure de la section dans le béton de 1ère phase sont indiquées dans les figures A.14.4, 5 et 6. Dans l’ensemble, on peut observer une bonne correspondance entre les déformations fournies par les jauges ainsi qu’entre celles fournies par les témoins sonores. On peut noter deux exceptions: la jauge J4 qui dévie au cours du temps par rapport aux jauges J5, J10 et J11 et la jauge J7 qui dévie au cours du temps par rapport aux jauges J1, J2 et J8.


115

Acier (fibre supérieure) Tiers de la portée Moitié de la portée

Jauge 6 TS 12 Jauge 12 Jauge 3 TS 6 TS 1 Après préflexion -553 - -561 -553 - -

Après précontrainte -172 - -177 -184 - - Sur appuis

provisoires sur site 59 63 19 16 -62 27

Sur appuis définitifs -186 -209 -174 -225 -217 -189 Figure A.14.4. Mesures de déformation obtenues au niveau supérieur de la semelle supérieure des poutrelles (10-6).

Acier (fibre inférieure) Tiers de la portée Moitié de la portée

J 4 J 5 J 10 J 11 J 1 J 2 J 7 J 8 Après préflexion 646 626 620 657 659 612 675 705

Avant précontrainte

587 522 489 539 530 490 485 587

Après précontrainte

99 48 21 49 19 2 -6 71

Sur appuis provisoires sur site

-129 -233 -226 -283 -291 -347 -59 -286

Sur appuis définitifs

40 -110 -149 -233 -211 -268 20 -236

Figure A.14.5. Mesures de déformation obtenues au niveau supérieur de la semelle inférieure des poutrelles (10-6).

Béton de 1ère phase (fibre inférieure) Tiers de la portée Moitié de la portée

TS8 TS9 TS10 TS11 TS2 TS3 TS4 TS5 Après préflexion - - - - - - - -

Après précontrainte -627 -662 -697 -642 -661 -692 -701 -643 Sur appuis

provisoires sur site _ -1012 -1056 -1048 -1084 -1069 -1074 -1054

Sur appuis définitifs -927 -915 -961 -939 -970 -966 -976 -951 Figure A.14.6. Mesures de déformation obtenues dans le béton de 1ère phase à 50 mm au-dessus de la fibre inférieure de la section (10-6).


116

14.5. Conclusions L’objectif de l’instrumentation d’un pont-bac était d’analyser le comportement

structural d’un nouveau type de tablier composite et de fournir une base de données expérimentales permettant de calibrer par la suite des modèles numériques. Ceci a impliqué une préparation soigneuse du programme d’instrumentation avec le préfabriquant (Ronveaux) et le bureau d’étude (Tucrail). Dans cette optique, une campagne assez traditionnelle de mesure de déformations a été mise en place. Par mesure de sécurité, l’information devait être dédoublée de manière systématique en instrumentant deux sections du tablier et sur les deux côtés de celui-ci. Douze extensomètres à corde vibrante ont été utilisés pour enregistrer les déformations du béton. Un d’entre eux a été détruit durant la construction du tablier. Les autres extensomètres donnent des résultats tout-à-fait cohérents plus de trois ans après la construction du pont-bac. Par contre, il est connu que les jauges résistives ne donnent pas toujours sur site des résultats cohérents. Dans le cas présent, les jauges résistives ont été utilisées dans des conditions très favorables. Grâce à la collaboration du préfabricant, le temps de travail sur les poutrelles métalliques n’a pas été limité. Ainsi, les jauges ont été collées et protégées avec beaucoup de soin. Avec ces précautions, on peut estimer que trois jauges résistives sur quatre donnent toujours des résultats cohérents après plus de trois ans.

En conclusion, cette instrumentation constitue un succès grâce aux points suivants :

- les objectifs de la campagne ont été clairement définis; - le choix des instruments de mesure s’est effectué en conséquence; - la totale coopération de chaque participant au projet (approbation des objectifs

et temps impartis réalistes permettant de réaliser le travail dans de bonnes conditions;

- en parallèle à cette campagne in situ, des essais de laboratoire ont été programmés, ce qui constitue un complément indispensable à l’interprétation des données.


117

15. Comparaison des mesures prises sur un tablier avec les valeurs calculées par les méthodes EMM, AEMM et pas-à-pas

15.1. Introduction

A l’heure actuelle, les ponts-bacs sont dimensionnés par une méthode

traditionnelle pseudo élastique avec coefficient d’équivalence m acier béton variable. Cette méthode est analogue à la méthode du module effectif (EMM) où le module du béton est remplacé par un module réduit variable en fonction du temps. Jusqu’à présent, ce type de construction – relativement récent – s’est comporté en service de façon satisfaisante. Quelques dispersions au niveau des contreflèches ont été observées. Une analyse statistique approfondie a été réalisée pour en déterminer les paramètres. Cette analyse est détaillée au chapitre 16. Une étude approfondie de l’effet des déformations différées du béton sur le comportement en service de ce type de construction s’avère indispensable pour évaluer plus finement les déformations à long terme. Les sollicitations que la structure a subies à chaque événement de son histoire de construction seront tout d’abord présentées. Ensuite, les résultats obtenus avec les méthodes EMM, AEMM et pas-à-pas seront comparés aux mesures effectuées au moyen d’une série de graphiques illustrant les déformations dans l’acier et dans les deux bétons ainsi que les contraintes dans les deux bétons.

15.2. Description des événements L’événement pris comme zéro pour l’échelle des temps correspond au coulage

du béton de 1ère phase.

Evénement Description Temps (jour) ttens Mise en tension des torons -0,87 t1 Coulage du béton de 1ère phase 0 t2 Relâchement de la préflexion et

Transfert de la précontrainte 2,6

t3 Coulage du béton de 2ème phase 3,8 t4 Stockage dans l’usine 5,7 t5 Stockage à Petite Ile 10,75 t6 Mise sur appuis définitifs 44,75 t7 Placement des garde-corps 130 t8 Placement de la 1ère partie du ballast 272 t9 Placement de la 2ème partie du ballast 306 Figure A.15.1. Evénements de l’histoire de construction du tablier. Le stockage dans l’usine correspond à une modification des appuis. Le tablier

n’est plus appuyé sur ses extrémités mais a des porte-à-faux de respectivement 3,75 et 2,95 mètres. Le stockage à Petite Ile a introduit des porte-à-faux plus importants que les précédents avec des longueurs de respectivement 5,5 et 5,6 mètres.


118

Les sollicitations correspondants aux événements cités précédemment pour la mi-portée du tablier sont données dans la figure A.15.2.

Evénement Description Efforts et moments ttens Effort de mise en tension 1414 MPat1 Coulage de la 1ère phase -

Effort de précontrainte 11484 kNMoment de préflexion -6382,7 kNm

t2

Moment dû au poids de la dalle 2085,8 kNmt3 Moment dû au poids des membrures 2180,2 kNmt4 Moment dû au changement d’appuis -2023,2 kNmt5 Moment dû au changement d’appuis -1442,4 kNmt6 Moment dû au changement définitif d’appuis 3465,6 kNmt7 Moment dû aux garde-corps 248,9 kNmt8 Moment dû à la 1ère partie du ballast 2793,4 kNmt9 Moment dû à la 2ème partie du ballast 1015,8 kNm

Figure A.15.2. Sollicitations appliquées au tablier pour chaque événement.

15.3. Valeurs des paramètres des trois méthodes de calcul 15.3.1. Valeurs pour la méthode EMM

Le tablier qui a été instrumenté –comme tous ceux qui l’ont précédé

d’ailleurs– a été dimensionné en service par le bureau d’études Tucrail s.a, en se basant sur une méthode de calcul pseudo élastique analogue à la méthode EMM avec module d’élasticité variable pour le béton. Les coefficients d’équivalence des modules acier béton ont été déterminés suivant une formule empirique donnée dans la Norme Belge NBN5 (1987) : - 5,59 après transfert de la précontrainte (valeur instantanée); - 9,05 après transfert de la précontrainte (valeur à long terme); - 9,05 pour des actions permanentes (valeur à long terme); - 4,97 pour des actions variables (valeur à court terme). Les déformations et les contraintes ont été calculées pour les situations suivantes:

(1) juste après préflexion des poutrelles, (2) juste après transfert de la précontrainte, (3) après transfert de la précontrainte à long terme, (4) lorsque le tablier est disposé sur appuis provisoires à Petite Ile, (5) lorsque le tablier repose sur ses appuis définitifs à long terme, (6) lorsque le tablier est chargé par le ballast, les traverses et les rails.


119

15.3.2. Valeurs pour les méthodes AEMM et pas-à-pas Les propriétés mécaniques des matériaux qui ont été utilisées sont les suivantes: Module d’élasticité des armatures 210000 MPaModule d’élasticité des torons 210000 MPaModule d’élasticité des poutrelles 210000 MPaRésistance caractéristique des torons à la traction 1840 MPaContrainte de traction appliquée aux torons en ttens 1414 MPaFigure A.15.3. Propriétés mécaniques des aciers utilisés. Dans la plupart des essais de retrait et de fluage présentés au chapitre 13, c’est le modèle CEB-MC90 dans ses versions 93 et 99 qui représente le mieux les déformations différées de ce béton particulier (C50/60). Dans les simulations numériques du comportement du pont-bac, le retrait, le module d’élasticité et le coefficient de fluage du béton sont évalués par le modèle CEB-MC90. Les caractéristiques des bétons qui ont été utilisées dans ce modèle sont les suivantes:

- l’humidité relative vaut 70%; - l’épaisseur effective de la 1ère phase vaut 235 mm; - l’épaisseur effective de la 2ème phase vaut 335 mm; - la résistance à la compression à 28 jours vaut 64 MPa; - le ciment est de type 3; - les granulats sont de type 2 c’est-à-dire que αE=1 (quartzite).

Pour calculer l’épaisseur effective, la formule suivante (CEB90) a été appliquée:

uA

h c.2= (A.15.1)

où h= épaisseur effective (mm); Ac= aire du béton (mm2); u=périmètre de la section de béton en contact avec l’air (mm). Pour chacune des versions (version 93 ou version 99) du modèle CEB90, l’âge considéré à partir duquel commence le retrait de dessiccation ts et où on considère qu’il a une résistance suffisante pour faire partie intégrante de la section résistante, est de 1 jour après le coulage, tant pour le béton de 1ère que de 2ème phase. En ce qui concerne le coefficient de vieillissement χ qui est utilisé dans la méthode du module effectif ajusté, son évaluation a été effectuée selon l’expression donnée par Koprna (χ dépend du coefficient de fluage) ou par l’expression donnée par Chiorino (χ dépend de l’âge au chargement). La géométrie qui a été introduite dans le programme de calcul est représentée sur la figure A.15.4 ci-après. Les sections des armatures et des torons indiquées valent pour toute la section. L’épaisseur de l’âme des poutrelles vaut 15mm.

s2

8

3

1

2

1

lits d' armatures A

lits d' armatures A

lits d' armatures A

lit d' armatures A

s

s

s

p

= 1963 mm

= 3845 mm

= 8120 mm

= 4524 mm

2

2

2

2

2lit d' armatures A

1 lit d' armatures A = 3927 mm= 452 mm

s

Ecomtem

Text Box

120

Ecomtem

Text Box

Figure A.15.4


121

15.4. Comparaison des mesures avec les valeurs calculées

Dans les graphiques ci-dessous, Ji représente la mesure donnée par la ième jauge et TSi, la mesure donnée par le ième témoin sonore. Les déformations sont représentées avec des valeurs positives quand la fibre subit une élongation tandis que les contraintes sont considérées positives en traction. La position des extensomètres a été précisée à la figure A.14.2 au chapitre 14. Dans un souci de clarté des figures, seules les simulations effectuées avec la version 93 du modèle CEB-MC90 et avec le coefficient de vieillissement suivant Chiorino sont rapportées ci-après. En effet, les résultats obtenus avec l’utilisation du coefficient de vieillissement suivant Koprna ou suivant Chiorino sont extrêmement proches.

Figure A.15.5. Déformations de l’acier au niveau supérieur de la semelle supérieure des poutrelles à mi-portée.

Dans le cas des semelles supérieures des poutrelles (Figures A.15.5 et A.15.6), notons une assez bonne correspondance entre les valeurs mesurées et les valeurs calculées par la méthode AEMM et la méthode pas-à-pas et ceci, aussi bien après la pose de l’ouvrage sur ses appuis définitifs qu’après la pose du ballast. Remarquons que pour ces événements précis, la méthode EMM (NBN5) surestime les déformations. Celle-ci ne tient compte du vieillissement du béton qu’au travers d’un module d’élasticité réduit variable au cours du temps.


122

Figure A.15.6. Déformations de l’acier au niveau supérieur de la semelle supérieure des poutrelles au 1/3 de la portée.

Figure A.15.7. Déformations du béton de 2ème phase à 80 mm de la fibre supérieure de la section à mi-portée.

Sur les figures A.15.6 et A.15.7 sont représentées les déformations dans le béton

de 2ème phase pour une fibre située à 40 mm au-dessus de la semelle supérieure de la poutrelle, soit à 80 mm en-dessous de la fibre supérieure de la section. L’évolution des déformations dans l’acier au niveau de cette semelle suit bien la tendance de celle du béton de 2ème phase. L’évolution des déformations dans le béton de 2ème phase est


123

mieux représentée par la méthode pas-à-pas que par la méthode AEMM, et en particulier, les valeurs après pose sur les appuis définitifs et après la pose du ballast.

Figure A.15.8. Déformations du béton de 2ème phase à 80 mm de la fibre supérieure de la section au 1/3 de la portée.

Figure A.15.9. Contraintes dans le béton de 2ème phase à 80 mm de la fibre supérieure de la section à mi-portée.


124

Figure A.15.10. Contraintes dans le béton de 2ème phase à 80 mm de la fibre supérieure de la section au 1/3 de la portée.

En ce qui concerne les valeurs prédites des contraintes (Figures A.15.9 et 10) par les méthode pas-à-pas et AEMM, de très faibles différences apparaissent entre ces deux méthodes. Remarquons par ailleurs que le béton de 2ème phase est soumis à des contraintes de traction assez importantes quand il est placé sur les appuis provisoires à Petite Ile.

Figure A.15.11. Déformations de l’acier au niveau supérieur de la semelle inférieure des poutrelles au 1/3 de la portée.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0,1 1 10 100 1000

Temps (jour)

Contrainte (MPa)

pas-à-pas AEMM


125

Figure A.15.12. Déformations de l’acier au niveau supérieur de la semelle inférieure des poutrelles à mi-portée.

Un très bon accord est obtenu entre les déformations mesurées et calculées

dans l’acier au niveau de la semelle inférieure juste après la préflexion des poutrelles métalliques, ce qui est heureux étant donné qu’au moment de la préflexion, on a un comportement élastique (Figures A.15.11 et 12). En ce qui concerne l’intervalle de temps entre le coulage du béton de 1ère phase et le transfert de la précontrainte, les mesures dans l’acier montrent que la semelle est comprimée pendant cette période. En effet, à ce moment, le béton est âgé de 2,6 jours et il subit du retrait qui est entravé par la présence des poutrelles, ce qui engendre ainsi des contraintes de compression dans l’acier. Les déformations prédites par la méthode AEMM et par la méthode pas-à-pas pour cet intervalle reproduisent assez bien les valeurs mesurées. En effet, ces méthodes tiennent compte explicitement de cet effet. En ce qui concerne la méthode EMM, celle-ci ne tient pas compte de ce phénomène de retrait du béton.


126

Figure A.15.13. Déformations dans le béton de 1ère phase à 50 mm au-dessus de la fibre inférieure de la section au 1/3 de la portée.

Figure A.15.14. Déformations dans le béton de 1ère phase à 50 mm au-dessus de la fibre inférieure de la section à mi-portée.


127

Les graphiques précédents (A.15.11, 12, 13 et 14) appellent quelques commentaires. Tout d’abord, on remarque que l’évolution des déformations aussi bien dans l’acier au niveau supérieur de la semelle inférieure des poutrelles que dans le béton de 1ère phase est mieux représentée par la méthode pas-à-pas que par la méthode AEMM. La méthode pas-à-pas évalue mieux la redistribution des efforts entre l’acier et le béton au cours du temps que la méthode AEMM. Après la pose du tablier sur ses appuis définitifs, les mesures montrent qu’à ce niveau, les déformations différées semblent se stabiliser alors que pour toutes les méthodes de calcul présentées, les déformations continuent à augmenter significativement.

La surestimation des déformations pour t>45 jours avec la méthode AEMM et

la méthode pas-à-pas est en partie explicable. En effet, bien que ces méthodes ont l’avantage de tenir compte assez finement des effets différés au moyen notamment de l’introduction du coefficient de fluage du béton et de sa déformation de retrait au cours du temps, elles présentent l’inconvénient de supposer une humidité relative constante (et par conséquent une épaisseur effective constante aussi) au cours de l’histoire de la construction de l’ouvrage. Or, il est clair que les ponts-bacs ne se trouvent pas dans les mêmes conditions de séchage avant et après la pose de ces derniers sur leurs appuis définitifs. En effet, en plus de la couche imperméable appliquée sur la face exposée aux intempéries de la dalle pendant la période de stockage à Petite Ile, l’ensemble des surfaces de la dalle et des membrures est complètement recouvert par un revêtement imperméable pendant la période qui suit la pose sur les appuis définitifs. Le retrait et le fluage des parties proches du revêtement sont donc plus proches d’un retrait endogène et d’un fluage fondamental que d’un retrait total (retrait endogène + retrait de dessiccation) et d’un fluage total (fluage fondamental + fluage de dessiccation) comme les calcule le modèle utilisé. Les résultats expérimentaux obtenus au laboratoire ainsi que les modèles de prédiction du retrait et du fluage ont montré que les déformations de retrait endogène et de fluage fondamental sont sensiblement plus faibles que celles de retrait total et de fluage total. Pour des histoires de construction comportant plusieurs phases de protection des surfaces par des revêtements imperméables, il est donc nécessaire d’utiliser une approche différente du problème. Il faut non seulement tenir compte des conditions aux frontières au niveau du séchage mais également des phénomènes de diffusion de l’eau au travers de la section au cours du temps. Ce type d’approche n’est réalisable qu’au travers une modélisation par éléments finis. Ceci constitue la troisième partie de ce travail.


128

Figure A.15.15. Contraintes dans le béton de 1ère phase à 50 mm au-dessus de la fibre inférieure de la section au 1/3 de la portée.

Figure A.15.16. Contraintes dans le béton de 1ère phase à 50 mm au-dessus de la fibre inférieure de la section à mi-portée.

-25

-20

-15

-10

-5

00,1 1 10 100 1000

Temps (jour)Contrainte (MPa)

pas-à-pas AEMM NBN5

-25

-20

-15

-10

-5

00,1 1 10 100 1000

Temps (jour)Contrainte (MPa)

pas-à-pas AEMM NBN5


129

En ce qui concerne les valeurs des contraintes (Figures A.15.15 et 16)

calculées juste après préflexion et transfert de la précontrainte ainsi que celles calculées quand le tablier se trouve sur des appuis provisoires à Petite Ile, la correspondance entre les valeurs obtenues avec la méthode EMM et celles obtenues avec la méthode AEMM est satisfaisante. De plus, aucune traction n’apparaît à long terme ni avec les méthodes AEMM et pas-à-pas, ni avec la simple méthode de calcul (EMM) utilisée jusqu’à présent pour le dimensionnement de ces tabliers.

15.4.1. Conclusions

En ce qui concerne le tablier, nous avons vu que les valeurs des déformations

calculées selon une méthode classique pseudo élastique (NBN5) s’éloignent assez fort des déformations mesurées sur l’ouvrage, en particulier à partir de quelques mois après sa construction. Par contre, les valeurs obtenues avec la méthode du module effectif ajusté et particulièrement avec la méthode pas-à-pas reproduisent les mesures d’une manière nettement plus satisfaisante. La méthode pas-à-pas évalue mieux la redistribution de contrainte entre l’acier et le béton au cours du temps que la méthode AEMM. Cependant, ces méthodes comportent certaines limitations. A côté des hypothèses habituelles de ces méthodes concernant l’évaluation numérique de l’équation intégrale héréditaire du principe de superposition, nous aimerions en souligner une d’entre elle. L’hypothèse de comportement sectionnel moyen vis-à-vis de la dessiccation implique que l’humidité relative est constante alors que le tablier connaît une histoire au point de vue de son imperméabilisation. Il est donc nécessaire d’évaluer plus finement l’influence des effets différés du béton dans ce type de structure composite relativement complexe du point de vue viscoélastique. La troisième partie de ce travail au niveau de la modélisation numérique consiste à tenir compte de l’évolution du séchage au cours du temps.


130

16. Analyse statistique de la variabilité de la

contreflèche au transfert de la précontrainte et à long terme

Ce chapitre reprend des parties de l’article intitulé : ‘Analysis of the variability of deflection of a prestressed composite bridge deck’ by Stéphanie Staquet, Henri Detandt and Bernard Espion qui a été soumis pour publication dans ‘International Journal of Steel and Composite Structures’ [Staquet et al., 2004d].

16.1. Abstract Nearly 400 composite railway bridge decks of a new kind belonging to the trough type with U-shaped cross section have been constructed in Belgium over the last fifteen years. The construction of these bridge decks is rather complex with the preflexion of precambered steel girders, the prestressing of a concrete slab and the addition of a 2nd phase concrete. Until now, they have been designed with a classical computation method using a pseudo-elastic analysis with modular ratios. Globally, they perform according to the expectations but variability has been observed between the measured and the computed camber of these bridge decks just after the transfer of prestressing and also at long-term. A statistical analysis of the variability of the relative difference between the measured camber and the computed camber is made for a sample of 36 bridge decks using no less than 10 variables. The most significant variables to explain this variability at prestressing are the ratio between the maximum tensile stress reached in the steel girders during the preflexion and the yield strength and the type of steel girder. For the same sample, the long-term camber under permanent loading is computed by two methods and compared with measurements taken one or two years after the construction. The camber computed by the step-by-step method shows a better agreement with the measured camber than the camber computed by the classical method. The purpose of the paper is to report on the statistical analysis which was used to determine the most significant parameters to consider in the modeling in order to improve the prediction of the behaviour of these composite railway bridge decks.


131

16.2. Computation models Prestressing is transferred at an early age (40 hours or 62 hours) and at high stress levels (around 0.5 fc, cube) on high strength concrete (concrete should have reached fc,

cube = 45MPa at the age of transfer). The composite character of the construction, with the association of the steel of the girders (S355), the steel of the prestressing tendons (grade 1840 MPa) and the two-phases concreting should also be noted. Nearly 400 of these bridge decks have now been constructed since ten years and seem to perform according to expectations. They have all been designed by TUCRAIL, the engineering office for the high speed railway lines in Belgium. The design model used for service-load limit state verifications is a simple classical computation method where the time-dependent effects of concrete are taken into account within the framework of a pseudo-elastic analysis with variable modular ratios. The modular ratios (m = steel modulus of elasticity/concrete modulus of elasticity) are computed according to an empirical formula given in the Belgian Standard NBN5 (NBN5, 1987): - m = 5.59 after transfer of the prestressing force from the tendons whatever the curing process (instantaneous value); - m = 9.05 for permanent loads (long-term value); - m = 4.97 for variable loads (instantaneous value). It should be noted that with this method, shrinkage effects are not explicitly taken into account. Moreover, the tension loss by relaxation in the tendons at long-term is not computed but supposed to be 15%. In the first part of this research, we had the opportunity to monitor during three years the time-dependent evolution of the concrete and steel strains of a 26 m instrumented bridge deck of this kind belonging to a multi-span viaduct constructed in June 2000 at the entrance of Brussels South Station [Staquet, 2001c, Staquet, 2002 f]. We have shown that:

- the modular ratio method gives a rather poor prediction of the concrete and steel strains of the instrumented bridge deck;

- the evolution of the creep and shrinkage of the concrete casted in the instrumented bridge deck, assessed through a large series of laboratory tests, is well reproduced by the prediction model from the CEB-FIP Code 1990 in its version published in 1993 and 1999 [CEB-FIP, 1999];

- a far better – although not perfect – agreement with the measured strains is obtained by applying the step-by-step method of time-dependent analysis; this method, which is detailed e.g. in the book by Ghali and Favre [Ghali, 2002], takes explicitly into account the creep and the shrinkage of the concrete, and the relaxation of the prestressing steel.

It may therefore be supposed that the variability of camber that has been qualitatively observed may be partly linked to the application of the simple design model that uses only modular ratios. We had then the opportunity to analyse statistically the camber at the transfer of prestressing and at long-term of a series of 36 bridge decks belonging to the same viaduct and all produced by the same precast yard.


132

The purpose of the present paper is to report in detail on this statistical analysis carried out in order to extract the pertinent parameters that can improve the accuracy of the predictions provided by each method. The deflections of the bridge decks have been computed by the classical modular ratio method [NBN5, 1987], and also by the step-by-step method. They are compared here with deflections observed in situ at prestressing and at long-term. Note that camber means an upwards permanent deflection.

16.3. Description of the sample

16.3.1. Bridge decks geometry, construction and loading Besides the geometry of the cross section, a full description of the 36 bridge decks may be found in Appendix. Seven different types of decks, differing by their span or by their steel girders, have been identified (Figure A.16.25). Then, each bridge deck differs from the others by its individual early history of construction and concrete strength (Figure A.16.26).

16.3.2. Concrete strength The mix design of the concrete (1st and 2nd phases) is nominally identical for all the decks. The composition is as follows: -Sand (from Maas River, 0/5): 715 kg/m³ -Aggregates (crushed limestone, 7/14): 1140 kg/m³ -Portland cement (CEM I 52.5 R LA, ASTM III and class 3 CEB-MC90): 380 kg/m³ -Total water: 137 liters/m³ -Water reducing admixture (Visco 4): 7 kg/m³. Figure A.16.26 gives for each bridge deck the history of its curing, the age of concrete at prestressing (C or ta1), the concrete strength at prestressing (A) and at 28 days (B). Concrete strength was measured on cubic specimens with 150 mm sides. The histogram given in Figure A.16.1 shows the distribution of the ages (in hours) of the concrete from the slab (1st phase concrete) when the preflexion of the steel girders is released and the prestressing force from the tendons transferred. As mentioned previously, two peaks are visible: the first peak occurs at 40 hours for the bridge decks heated at 45C during the first day after mixing and the second one at 62 hours corresponds mainly to non-heated bridge decks. The minimal, mean and maximal values for the age of concrete at prestressing are: 30, 60 and 126 hours.


133

Figure A.16.1 Histogram of the distribution of the ages of the 1st phase concrete at prestressing.

Figure A.16.2 Average compressive strength Figure A.16.3 Average compressive strength of the 1st phase concrete at prestressing (MPa). of the 1st phase concrete at 28 days (MPa)

The histogram given in Figure A.16.2 shows the variation of the average cube compressive strength of the 1st phase concrete at prestressing. Figure A.16.3 shows the variation of the average cube compressive strength of the concrete at 28 days. The minimal, mean and maximal values of the compressive strength at prestressing and at 28 days are [46, 55.8, 74.5 MPa] and [67.5, 78.3, 88 MPa] respectively. The standard deviation of the compressive strength at prestressing is 7 MPa and at 28 days, 5 MPa. In order to understand exactly the influence of heat curing on the compressive strength of the 1st phase concrete at prestressing and at 28 days, an analysis of variance was made which consists in a test on the equality of the mean values for both groups: without heat curing and with heat curing. The compressive strength at 28 days is found slightly linked to the application of heat curing with a P-value equal to 0.055. The P-value is the probability that there is no difference between the mean values.

Number of bridge decks

Age at prestressing (in hours)0 15 30 45 60 75 90 105 120

0

5

10

15

135 150


134

Usually, a difference between the mean values can be considered as significant when P-value < 0.05. However, for the compressive strength at prestressing, no difference was found between heated or non-heated first phase concrete (P-value equal to 0.828). For the next statistical analysis, the data were divided in two groups: the first group for non-heated concretes and the second group for heated concretes. The box plot given by Figure A.16.4 shows the average compressive strength of the 1st phase concrete at prestressing for both groups. The mean values and the standard deviation for the non-heated and heated concretes at prestressing are [56.2, 6.4 MPa] and [55.7, 7.4 MPa] respectively. However, the box plot given by Figure A.16.5 shows that the distribution of the average compressive strength of the 1st phase concrete at 28 days depends on the curing method: curing at 20°C or heat curing at 45C. The minimal, mean and maximal values of the average compressive strength of the first phase concrete at 28 days without and with heat curing are respectively [75, 80.5, 88 MPa] and [67.5, 77, 87 MPa]. The standard deviations without and with heat curing are 3.7 and 5.3 MPa. The scatter of the results at 28 days is thus larger for concrete with heat curing than for concrete without heat curing.

Figure A.16.4 Compressive strength Figure A.16.5 Compressive strength of the concrete at prestressing (MPa). of the concrete at 28 days (MPa).

16.3.3. Other variables Another variable parameter linked to the concrete and suspected to have an influence on the camber at prestressing is the ratio between the stress in the concrete slab at the bottom fiber at mid-span and the compressive strength of the 1st phase concrete at prestressing. This variable is also given in Figure A.16.26 (column F). A statistical analysis was made for all the data. The minimal, mean and maximal values of the ratio (in %) found for the sample are [23.5, 39.5, 50.2%] and the standard deviation is 6.4%. For a part of these bridge decks, this ratio reaches rather high values, especially if we remember that the concrete compressive strength is measured on cubes. In fact, for this ratio, all the data can be divided in two sets according to the type of the steel girder: hot-rolled (groups 1 to 5 from Figure A.16.25) or welded (groups 6 and 7 from Figure A.16.25). The box plot given by Figure A.16.6 shows that the mean value of


135

this ratio is higher for bridge decks with welded steel girders (44.7%) than the mean value for bridge decks with hot-rolled steel girders (37.5%).

Figure A.16.6 Ratio between the stress in the concrete at the bottom fiber at mid-span and the compressive strength at prestressing (in %). Three others continuous variables suspected to be significant have been selected and reported in Figure A.16.26. The first one is the ratio between the maximum tensile stress in the steel girders at the preflexion and the yield strength (column D in Figure A.16.26). The minimal, mean and maximal values are [41.1, 67.1, 74%]. But all the data can be divided again in two sets according to the type of the steel girder (Figure A.16.7). The minimal, mean and maximal values of this ratio for the group of welded steel girders and for the group of hot-rolled steel girders are respectively [41.1, 50.6, 69.5%] and [71.2, 72, 74%]. The standard deviations for the group of welded steel girders and for the group of hot-rolled steel girders are 14 and 0.8 %. This ratio depends thus strongly on the type of steel girders.

Figure A.16.7 Ratio between the maximal tensile stress in the steel girders at preflexion and the yield strength (in %).

Max σc/fc at prestressing (in %)

Welded Hot-rolled20

30

40

50


136

The second continuous variable is the ratio between the maximum compressive stress in the steel girders at the preflexion and the yield strength. The minimal, mean and maximal values in percentage were [32.9, 53.4, 74 %]. If the data are once again divided in two groups according to the type of the steel girders (Figure A.16.8), the minimal, mean and maximal values are respectively [32.9, 40.2, 54.9 %] and [53.2, 57.2, 74 %]. This ratio is also strongly dependent on the type of the steel girders.

Figure A.16.8 Ratio between the maximal compressive stress in the steel girders at preflexion and the yield strength (in %). The third continuous variable, given by column E in Figure A.16.26, is the ratio between the external bending moment due to prestressing and the sum of the external bending moment due to preflexion and prestressing. The minimal, mean and maximal values of this ratio in percentage are [55.9, 71.7, 79%] and the standard deviation is equal to 6.2 %.


137

16.4. Analysis of the camber just after the transfer of prestressing

16.4.1. Scope

For this sample of 36 bridge decks with simply supported spans ranging from 18.9 m to 26 m, the cambers measured at mid-span just after the transfer of the prestressing (da) and the cambers predicted by the classical design method according to NBN5 (d1) and by the step-by-step method (d2) have been computed and are given in Figure A.16.26. Computed deflections are obtained by numerical integration of the curvature evaluated in selected cross sections situated along the span. Since the time-dependent effects are not significant at this stage, a very good agreement between measurements and computations should theoretically be obtained. This is not the case, neither with the NBN5 method nor with the step-by-step method. A statistical analysis of the variability of the relative difference between measured and computed camber at prestressing cleared the problem (Staquet, 2002 h).

16.4.2. Application of the modular ratio method Let X1 be the relative difference between the camber measured at prestressing (da in Figure A.16.26) and the corresponding camber computed by the NBN5 method (d1 in Figure A.16.26).

)1.6A.1(11da

ddaX −=

The histogram shown in Figure A.16.9 shows the distribution of the statistical variable X1. The minimum, mean, maximum and standard deviation values of the distribution are respectively [-5.69, 3.20, 11.19, 4.80%].

Figure A.16.9 Distribution of the statistical variable X1.


138

In order to explain the variability of the relative difference (X1) between measured and computed camber by the NBN5 method just after prestressing, a statistical analysis of the sample was made by using the following continuous or discrete variables: - A: the bottom slab concrete strength at the age of prestressing transfer; - presence or absence of heat curing (discrete variable H); - B: the bottom slab concrete strength at 28 days; - C: the age of concrete at the transfer of prestressing (discrete variable T); - the type of steel girder (hot-rolled or welded); - presence or absence of strengthening plates on the upper flange of the steel girders (discrete variable R); - D: ratio maximum tensile stress in the steel girders at the preflexion / yield strength; - E: ratio bending moment due to prestressing / (bending moment due to preflexion + bending moment due to prestressing); - F: ratio maximum compressive stress in the first phase concrete/ concrete strength at the transfer of prestressing. An analysis of the principal components was made for the continuous variables A, B, C, D, E and F in order to detect in the correlation matrix the pertinent variables to consider in the linear regression models. Figure A.16.10 shows the results of the correlation matrix. The most significant variables are D, B and C. Figure A.16.10 Results of the correlation matrix between the variables A, B, C, D, E, F and X1. A B C D E F X1 0.07 - 0.255 0.218 0.47 - 0.09 - 0.166

Figure A.16.11 Representation of the continuous variables A, B, C, D, E, F and X1.

E

F

X

A C

B

2nd factorial axis

1

D

-1 -0.5 0 1-1

-0.5

0

0.5

1

0.51st factorial axis


139

Figure A.16.11 that shows the correlation between the continuous variables confirms it. Variable X1 is strongly correlated to variable D. The continuous variables B, C, D and one discrete variable, namely the type of the steel girders (T), were considered in a linear regression model in order to explain the variability of the camber at prestressing. The P-value is the probability that the variable is not significant in order to explain the variability of X1. Usually, the P-value can be considered as significant when P-value < 0.05. Figures A.16.12 and 13 show the results for two simulations. Figure A.16.12 Results of the linear regression model with the variables B, C, D and X1.

X1 B C D P-value 0.058 0.077 0.002

Figure A.16.13 Results of the linear regression model with the variables B, C, the type of girder and X1.

X1 B C Type of steel girder P-value 0.033 0.068 0.005

The ratio between maximum tensile stress in the steel girders at the preflexion phase and the yield strength (variable D) and the type of steel girders (variable T) are the most significant variables to explain the variability of X1. If the steel girder is hot-rolled and if the ratio tensile stress/yield strength is high, then the difference between the measured and computed cambers just after prestressing is high too. For a maximum tensile stress higher than 70% of the yield strength, the yield strength can be exceeded locally due to the presence of residual stresses. Furthermore, the hot-rolled steel girders are bent just after rolling. They contain more internal stresses than the welded steel girders. So, the influence of the construction process of steel girders on the camber is significant due to its influence during the elastification phase. The box plot given in Figure A.16.14 shows the variability of the camber at prestressing in function of the type of the steel girders. The mean values of the variable X1 for the bridge decks with hot-rolled steel girders and with welded steel girders are respectively 5.57% and – 0.35%.

Figure A.16.14 Box plot of (X1) in function of the type of steel girders.


140

Figure A.16.15 shows the variability of the camber in function of the ratio maximum tensile stress/yield strength. The results of the previous statistical analysis are confirmed. In consequence of these results, the loss of camber by elastification must be taken into account according to these two variables in the design process of such composite structures.

Figure A.16.15 Box plot of (X1) in function of the [tensile stress in the steel girder / yield strength] ratio in %. The box plot given in Figure A.16.16 confirms these conclusions. The measured permanent loss of camber in the steel girders after the elastification phase (column G in Figure A.16.26) is higher for hot-rolled girders (mean value: 9.68%) than for welded steel girders (mean value: 5.21%).

Figure A.16.16 Measured loss of camber in the hot-rolled and welded steel girders after elastification.

Hot-rolled Welded

Permanent loss of camber in the steel girder after elastification phase (in%)

20

15

10

5

0


141

We concluded that these two variables should be explicitly introduced in the computation of the camber when using the NBN5 method to design such composite structures. It is not surprising that the age of concrete at prestressing and the heat curing have no influence on the variability of X1. Actually, the NBN5 method uses the same modulus of elasticity – or more precisely the same value m = 5.59 for the modular ratio- for the 1st phase concrete at prestressing in all situations, whether bridge decks are heated or not, prestressed at 40 or at 62 hours. The specifications required only a minimal concrete strength (fc,cube = 45 MPa) at the transfer of prestressing. In our case, we may surmise that the maturity at 40 hours of the heated concretes was equivalent to the maturity at 62 hours of the non-heated concretes since no difference was found for the compressive strength at prestressing between heated and non-heated concretes.

16.4.3. Application of the step-by-step method Let now X2 be the difference between the camber measured at prestressing (da in Figure A.16.26) and the corresponding camber computed by the step-by-step method (d2 in Figure A.16.26).

)2.6A.1(22da

ddaX −=

The histogram shown in Figure A.16.17 shows the distribution of the statistical variable X2. The minimum, mean, maximum and standard deviation values of the distribution are now respectively [-20.98, -8.59, 1.92, 6.18%].


142

Figure A.16.17 Distribution of the statistical variable X2. In order to explain this variability, a statistical analysis was made using the following continuous or discrete variables:

- B: the concrete strength at 28 days; - C: the age of concrete at the transfer of the prestressing; - G: measured loss of camber in the hot-rolled and welded steel girders after

elastification; - H: heat curing; - T: the type of steel girders (hot-rolled or welded).

An analysis of the principal components was made for the continuous variables (B), (C) and (G) in order to detect in the correlation matrix the pertinent variables to be entered in the linear regression model. Figure A.16.18 shows the results.

Figure A.16.18 Results of the correlation matrix. B C G X2 0.0099 0.589 -0.13

The most significant variable is C. Figure A.16.19 depicting the correlation between the continuous variables confirms it. The variable X2 is strongly correlated with the variable C.


143

Figure A.16.19 Representation of the continuous variables B, C, G and X2.

The continuous variable C and the discrete variables H and T were considered in a linear regression model in order to explain the variability of X2. The P-value is the probability that the variable is not significant in order to explain the variability of X2 and is considered as significant when less than 0.05. Figure A.16.20 gives the results.

Figure A.16.20 Results of the linear regression with C, H, T and X2. X2 C H T P-value 0.0268 0.0290 0.0146

When using the step-by-step method for computing the camber, the type of steel girders T, the age of concrete at the transfer of prestressing C and the heat curing H can be all considered as significant variables to explain the variability of the camber at prestressing. It is not surprising that the type of steel girders is significant, since it has already been detected in the previous statistical analysis for the NBN5 method. The box plot given in Figure A.16.21 shows the variability of X2 in function of the heat curing. The mean values of the variable X2 for the bridge decks without heat curing and with heat curing are respectively –3.98% and –10.75%.


144

Figure A.16.21 Box plot of X2 with or without heat curing.

Figure A.16.22 Box plot of X2 for prestressing after or before 2days. The box plot given in Figure A.16.22 shows the variability of X2 in function of the age of concrete at prestressing. The mean values of the variable X2 for the bridge decks prestressed after 2 days or before 2 days are respectively –3.98% and –11.17%. The step-by-step method takes explicitly into account the value of the modulus of elasticity of concrete at prestressing. This modulus is evaluated by means of the CEB-MC90 (1993) and consequently, it depends on the age of the concrete and the curing temperature by means of an equivalent time. The heated bridge decks are submitted to a temperature of 45C during the first day after the casting of the slab. To improve the accuracy of the computed cambers by the step-by-step method at prestressing, it is necessary to reconsider more finely the evolution of the temperature in the concrete of such composite structures during the first days. The equivalent time used in the computations does not seem to provide a correct estimation of the actual maturity of the concrete in case of heat curing of the bridge decks.


145

16.5. Analysis of the camber at long-term

16.5.1. Scope The long-term cambers at mid-span of the 36 bridge decks have been computed under permanent loading conditions. They are now compared with long-term cambers measured between 1 and 2 years according to the available data (Staquet, 2003b). In addition to the self-weight, the bridge decks are submitted to the following permanent loads uniformly distributed:

- equipment: 2950 N/m applied at 130 days; - first part of the ballast: 33060N/m applied at 272 days;

-second part of the ballast: 12020N/m applied at 306 days.

16.5.2. Application of the modular ratio method X3 is the relative difference between the long-term measured camber (db in Figure A.16.26) and the long-term camber computed by the NBN5 design method (d3 in Figure A.16.26).

)3.16.A(33db

ddbX −=

The histogram given in Figure A.16.23 shows the statistical distribution of the variable X3. The minimum, mean, maximum and standard deviation values of the distribution are respectively [-67.68, -41.55, -16.66, 11.62%].


146

Figure A.16.23 Distribution of the statistical variable X3.

Clearly, this computation method does not provide a good estimation of the long-term camber. The NBN5 method simply uses a variable modular ratio to take into account the time-dependent effects. At long-term, creep and shrinkage of concrete have a significant effect on the camber. It is necessary to evaluate more finely the time-dependent effects of concrete and specially the stress redistribution between concrete and steel to improve the accuracy of the predictions at long-term. For that purpose, the step-by-step method was used in the framework of this research.

16.5.3. Application of the step-by-step method X4 is now the relative difference between the long-term measured camber (db in Figure A.16.26) and the long-term camber computed by the step-by-step method (d4 in Figure A.16.26).

)4.16.A(44db

ddbX −=

The CEB-model code in its version 1993 is used for the computation of the creep and the shrinkage effects of the concrete (fc,28 = 64 MPa). The external relative humidity is set to 70% for each computation step. The histogram given in Figure A.16.24 shows the statistical distribution of the variable X4. The minimum, mean, maximum and standard deviation values of the distribution are now respectively [-15.86, -2.99, -10.81, 5.09%].


147

Figure A.16.24 Distribution of the statistical variable X4. A statistical analysis has confirmed that the type of girders, the age at prestressing and the type of curing, all variables that had a strong influence at prestressing (X2) have no significant influence on the variability of X4. In fact, at long-term, creep and shrinkage of concrete are the parameters that affect the most significantly the value of the camber. It is necessary to choose the prediction model for creep and shrinkage that best represents the behaviour of the actual concrete. In these simulations, the selected model has been validated by comparison with test results made in the laboratory. Moreover, the actual history of loading (taking into account temporary support conditions before placement of the bridge decks on their final supports) has been taken into account very accurately in the step-by-step method. At long-term, the step-by-step method provides a rather good agreement between the predicted values and the measurements.


148

16.6. Conclusions An attempt has been made to explain the observed variability of the differences between measured and computed cambers of a new kind of composite bridge deck. The construction of this kind of bridge deck is rather complex with preflexion of precambered steel girders, prestressing of a concrete slab and two-phases concreting. No less than ten variables, including the concrete compressive strength, the influence of heat curing, the type of steel girder (hot rolled or welded) and the age of concrete at prestressing were selected and handled in a statistical analysis of the variability of the camber computed by two different methods for a sample of 36 bridge decks. The camber just after prestressing was first considered. It was found that neither the variability of the concrete compressive strength (above the minimum required by the specifications) at prestressing, nor the variability of the concrete compressive strength at 28 days can explain the variability of the camber. For the classical modular ratio design method, the parameters that have the strongest influence on the variability are the ratio between the maximum tensile stress in the girders at the preflexion and the tensile stress and also the type of steel girders. All this is linked to the fact that the internal stresses in the girders before the beginning of the elastification phase are higher in hot rolled steel girders than in welded steel girders. Actually, the measured permanent loss of camber in the steel girders just after the elastification phase is higher for hot-rolled girders than for the welded steel girders. For the step-by-step computation method, the type of steel girders and the variables linked to the correct estimation of the modulus of elasticity at prestressing (through the influence of the variables heat curing and age of concrete at the transfer of prestressing) are the parameters that affect significantly the variability. The modulus of elasticity was estimated here by the model from the CEB-FIP Model Code. In order to improve the accuracy of prediction of the camber at prestressing, the computation method should take into account more accurately the evolution of the actual concrete strength in the bridge decks for the heated ones and also the influence of type of steel girders on the loss of initial precamber of the steel girders just after the elastification phase. For the same sample of bridge decks, long-term cambers have been computed by both methods and compared with measurements in situ. The values of the camber computed by the step-by-step method have been found statistically in far better agreement with the observations than the values computed by the design method using modular ratios. The pseudo-elastic analysis with modular ratios yielded at long-term systematically lower camber values than observed. The accuracy of prediction of the long-term behaviour by the step-by-step method could be improved by taking into account more accurately the influence of heat curing on the time-dependent properties of concrete like its modulus of elasticity and strength, its creep and its shrinkage.


149

16.7. Appendix 16.7.1. Figure A.16.25 Common characteristics of the groups

of decks.

N L (m)

T R As (cm²)

Is (cm4)

v' (cm)

v (cm)

P1 (N)

P2 (N)

C1 (N/m)

C2 (N/m)

1 21.5 HEA 1000

YES 411 697451 40 62 16632000 560500 25347 23040

2 21.9 HEA 1000

YES 411 697451 40 62 17028000 551900 25361 23040

3 21 HEB 1000

NO 400 644700 50 50 14256000 616500 25176 23215

4 18.9 HEA 1000

NO 347 553800 49.5 49.5 10692000 603000 25128 23393

5 20 HEB 1000

NO 400 644700 50 50 11880000 649800 25088 23215

6 26 Welded YES 650 1110634 48 54 22968000 490600 25043 23645 7 24.5 Welded YES 614 1300188 44 63 16236000 782300 24865 22513

Note: As and Is are given for one girder only Notations N: group number L: span (m) T: type of steel girder (hot-rolled or welded) R: reinforcement of the upper flanges of the steel girders (yes or no) As: cross section of the girder (cm²) Is: second moment area of the girder (cm4) v’: distance from the centroïd of the girder to its top fibre (cm) v: distance from the centroïd of the girder to its bottom fibre (cm) P1: total prestressing force applied on the deck (N) P2: value of each load applied at ¼ and ¾ of the span during the preflexion phase (N) C1: loading corresponding to the weight of the 1st phase concrete at mid-span (N/m) C2: loading corresponding to the weight of the 2nd phase concrete at mid-span (N/m)


150

16.7.2. Figure A.16.26 Individual characteristics of each bridge deck.

N A H B C D E F G ta 1

(d) da d1 d2 ta 2

(d) tb (d)

db d3 d4

1 57.5 no 78 63 0.72 0.73 37.4 7.4 2.63 65 57.8 64.8 4 517 67 48 71.9 1 54.5 yes 75.5 40.5 0.71 0.73 39.3 6.5 1.69 60 57.8 66.2 3 513 72 48 73.9 1 59.5 yes 81.2 40 0.71 0.73 35.4 6.1 1.67 55 57.8 65.6 3 373 65 48 67 1 62 no 88 62.5 0.72 0.73 35.2 6.5 2.60 61 57.8 63.7 4 370 62 48 67.3 2 56 yes 85.5 40.5 0.72 0.74 39.3 5.9 1.69 62 59.5 67.3 3 450 68 48.2 68.4 2 65 no 76.5 126 0.72 0.74 34.4 9.8 5.27 62 59.5 63.2 6 442 61 48.2 66.8 2 48.5 no 78.5 62.5 0.72 0.74 44.9 9.3 2.60 67 59.5 65.7 4 412 70 48.2 71.3 2 53.5 yes 74.5 40 0.72 0.74 40.5 11.2 1.67 65 59.5 68.6 3 408 72 48.2 71.1 2 53.5 no 80 62.5 0.72 0.74 40.8 6.0 2.60 65 59.5 65.5 4 405 67 48.2 69.9 2 57 no 78.8 86.5 0.72 0.74 38.7 8.0 3.60 62 59.5 64.3 5 391 67 48.2 67.6 2 47.5 yes 76 40 0.72 0.74 45.7 10.0 1.67 65 59.5 67.4 3 387 68 48.2 67.3 2 53.5 yes 76 54 0.72 0.74 41.0 6.0 2.25 65 59.5 66.9 2.5 368 67 48.2 69 2 74.5 yes 82 102 0.72 0.74 30.2 6.5 4.25 65 59.5 64.2 4.5 365 66 48.9 65.7 2 46 yes 69.5 69.5 0.72 0.74 47.6 9.1 2.90 65 59.5 67.4 5 510 71 48.9 71.6 2 54.5 yes 73 40 0.72 0.74 39.7 8.0 1.67 60 59.5 69 2 506 72 48.2 71.9 2 62.5 yes 78.5 62 0.72 0.74 35.4 9.1 2.58 65 59.5 66.6 4 503 68 48.9 69.2 2 46 yes 67.5 40 0.72 0.74 46.6 8.5 1.67 63 59.5 69.8 3 499 72 48.2 73.8 2 47 yes 73.5 40 0.72 0.74 46.0 8.7 1.67 62 59.5 68.9 3 492 68 48.2 72.1 2 49.5 yes 75 40 0.72 0.74 43.8 10.2 1.67 62 59.5 68.7 3 485 71 48.2 71.4 2 60.5 yes 76 63 0.72 0.74 36.5 10.0 2.63 65 59.5 68.6 4 478 68 48.2 71.4 2 55 yes 81.5 62.5 0.72 0.74 40.4 4.7 2.60 63 59.5 66.1 4 475 67 48.9 68.4 2 49.5 yes 84.5 40 0.72 0.74 44.4 10.8 1.67 60 59.5 67.5 3 471 66 48.2 70 2 65 yes 81 62.5 0.72 0.74 34.1 7.1 2.60 57 59.5 66.1 4 468 64 48.9 67.6 2 66 yes 85.5 30 0.72 0.74 33.1 9.2 1.25 60 59.5 69.3 2 464 69 48.2 69.6 3 63 yes 87 62.5 0.73 0.68 34.5 15.6 2.60 67 66.2 73.4 4 461 63 54 71.3 4 50 yes 79.5 54 0.74 0.64 36.5 18.6 2.25 50 51.1 57.1 3 445 57 43.1 56.1 5 51 yes 79.5 40 0.73 0.64 38.1 14.5 1.67 57 59 67.6 3 436 62 49.5 66.6 6 68 no 86 86.5 0.41 0.79 34.8 3.2 3.60 69 68.7 71.7 5 433 82 48.9 73.1 6 49 yes 79 40 0.41 0.79 47.1 5.8 1.67 65 68.7 77.6 3 429 80 48.9 75.3 6 56 no 79.5 62.5 0.41 0.79 41.2 3.6 2.60 70 68.7 74.5 5 426 75 48.9 78.4 6 55.5 yes 72.5 40 0.41 0.79 41.1 5.0 1.67 65 68.7 78.6 3 422 76 48.9 77.4 6 46 yes 84 40.5 0.41 0.79 49.1 5.7 1.69 68 68.7 76.7 3 380 76 48.9 74 6 50.5 no 75 62.5 0.41 0.79 45.3 4.8 2.60 71 68.7 75.1 4 377 81 48.9 79.5 7 51.5 no 79 62.5 0.70 0.63 50.1 5.9 2.60 80 80.6 89.2 4 419 86 64.5 94.1 7 55 yes 70 40 0.70 0.63 46.4 5.1 1.67 85 80.6 93.4 3 415 88 64.5 94.3 7 55.5 no 82 62.5 0.70 0.63 46.7 7.6 2.60 80 80.6 87.2 4 384 78 64.5 90.4

Notations N: group number A: bottom slab concrete strength at the age of prestressing transfer (MPa) H: heat curing (yes or no) B: bottom slab concrete strength at 28 days (MPa) C: age of concrete at the transfer of prestressing (hour) D: ratio maximum tensile stress in the steel girders at the preflexion / yield strength E: ratio bending moment due to prestressing / (bending moment due to preflexion +

bending moment due to prestressing) F: ratio maximum compressive stress in the 1st phase concrete/ 1st phase concrete

strength at the transfer of prestressing (%) G: measured loss of camber after the elastification phase (%)


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ta1: age of concrete at the transfer of prestressing (day) to compute the short-term deflection

ta2: age of the 1st phase concrete (slab) at the casting of the 2nd phase concrete (webs) (day)

da: measured short-term camber (mm) d1: short-term camber computed by the NBN5 method (mm) d2: short-term camber computed by the step-by-step method (mm) tb: age of concrete (day) to compute the long-term camber db: measured long-term camber (mm) d3: long-term camber computed by the NBN5 method (mm) d4: long-term camber computed by the step-by-step method (mm)


152

17. Conclusions de la 1ère partie

Dans le cadre des travaux d’aménagement de la gare de Bruxelles-Midi pour

les lignes à grande vitesse, plus de 3km de viaducs ont dû être construits. Plusieurs critères spécifiques tels qu’une épaisseur de construction minimale pour les tabliers et une perturbation minimale pendant la construction ont dû être pris en compte dans le cadre de ce projet. La solution innovante qui a été utilisée est un tablier mixte acier béton dit pont-bac, entièrement préfabriqué, en forme d’auge, préfléchi, précontraint et en pose isostatique. Par comparaison avec une section géométriquement équivalente mais qui ne contient pas de poutrelles préfléchies, de plus longues portées (jusque 28m) peuvent être atteintes avec la combinaison simultanée d’efforts de précontrainte et de la préflexion.

Plus de 400 ponts–bacs ont été construits en Belgique depuis une dizaine

d’années et semblent se comporter conformément aux attentes. Cependant, juste après le transfert de la précontrainte, une variabilité entre la flèche mesurée et la flèche calculée suivant la méthode classique de dimensionnement a été observée. Nous avons vu que ni la variabilité de la résistance à la compression du béton de 1ère phase à la précontrainte ni celle de la résistance à 28 jours n’ont une influence sur la variabilité de la flèche à la précontrainte. En fait, les variables les plus significatives qui expliquent la variabilité de la flèche à la précontrainte sont le rapport contrainte maximale de traction / limite d’élasticité dans les poutrelles à la préflexion et le type de poutrelles. Les données expérimentales relatives à la perte permanente de contreflèche dans les poutrelles après la phase d’élastification ont en effet montré que cette perte est plus grande pour les profilés laminés que pour les profilés reconstitués soudés. Pour augmenter la précision de la flèche calculée à la précontrainte, la méthode de calcul doit tenir compte du type de poutre.


153

La phase de modélisation numérique s’est tout d’abord mise en place à l’échelle du matériau béton. Sur base de sept modèles existants de prédiction du retrait et du fluage du béton (quatre modèles américains (ACI 209, GZ, B3 et B3S) et trois européens (AFREM, CEB 90 (versions 93 et 99)), des programmes de calcul ont été développés permettant d’évaluer les déformations de retrait et de fluage au cours du temps pour à peu près n’importe quel type de béton ordinaire et de béton haute performance (compte tenu des limitations d’application de chaque modèle). La campagne d’essais menée au laboratoire a permis de caractériser les effets différés des bétons de 1ère et 2ème phases utilisés dans les ponts-bacs tant au niveau de leurs composantes endogènes (retrait endogène et fluage fondamental), qu’au niveau de leurs composantes exogènes (dessiccation). La comparaison des mesures avec les résultats prédits par les modèles a mis en évidence une correspondance satisfaisante entre l’évolution des valeurs expérimentales et la tendance prédite par les deux modèles CEB 90 (versions 93 et 99). En ce qui concerne le retrait endogène, la tendance est bien reproduite par le modèle CEB90 dans sa version de 1999. De même, pour un âge au chargement égal à 28 jours, l’évolution des déformations de fluage est bien reproduite par le modèle CEB90 dans sa version de 1999. Pour des chargements effectués à des âges jeunes (2, 4 et 7 jours) ou tardifs (6 mois), ce modèle surestime les déformations de fluage alors que le modèle CEB 90 dans sa version de 1993 les sous-estime. Ces observations ont motivé l’étape suivante de la campagne d’essais de retrait et de fluage. En effet, cette structure particulière est précontrainte généralement à deux jours d’âge du béton de première phase (pour les tabliers traités thermiquement pendant un jour après le coulage) ou trois jours (pour les autres) et à un niveau de contrainte de plus de 50% de la résistance en compression du béton sur cylindre au moment du transfert de la précontrainte. Actuellement, on dispose de très peu de données et d’informations dans la littérature concernant le comportement différé des bétons à haute résistance, sollicités au très jeune âge à des niveaux de contrainte élevés. En préfabrication, cette situation se rencontre fréquemment. En effet, les impératifs de rentabilité des installations incitent vivement à appliquer la précontrainte le plus tôt possible et à des niveaux de contrainte les plus élevés possibles. En effet, il n’est pas du tout aisé d’obtenir expérimentalement un nombre important de courbes complètes de retrait et de fluage pour l’ensemble de ces bétons étant donné la durée importante des essais (de l’ordre de 3 ans pour des éprouvettes de 15 cm de diamètre). De plus, l’effet du traitement thermique initial sur le comportement des bétons à hautes performances (BHP) est encore mal connu. Une étude systématique pour différents niveaux de contrainte et pour plusieurs âges jeunes a été jugée indispensable pour caractériser le comportement différé de ce type de béton et calibrer un modèle de prédiction du fluage. Celle-ci est présentée dans la deuxième partie de ce travail.


154

Au niveau de la structure, nous avons vu que les déformations du pont-bac instrumenté calculées par la méthode traditionnelle pseudo élastique avec un coefficient d’équivalence m des modules d’élasticité acier/béton variable s’éloignent assez fort des déformations mesurées une fois l’ouvrage placé sur ses appuis définitifs. Il s’agissait donc de mettre en place des outils de calcul permettant de prédire beaucoup plus finement le comportement à long terme de ce type de structure. En premier lieu, deux programmes généraux d’analyse de section mixte acier béton ou de béton armé, préfléchie ou non, précontrainte ou non et/ou construite par phases ont été développés. Le premier programme applique la méthode dite du module effectif ajusté (AEMM) tandis que le second applique la méthode dite pas-à-pas. Ces méthodes admettent les hypothèses de la viscoélasticité linéaire et les équations expriment la compatibilité des déformations et l’équilibre des forces. Ces méthodes permettent de prendre en compte les effets différés pour chaque intervalle de temps entre deux événements de sollicitations que subit la structure. Les caractéristiques de retrait et de fluage utilisés dans ce programme proviennent des résultats fournis par les sept programmes de prédiction basés sur les modèles existants. Les résultats, en terme de déformations, obtenus par cette méthode ont été comparés avec les mesures de déformations effectuées sur le tablier instrumenté. A long terme, la méthode pas-à-pas évalue mieux la redistribution des efforts entre l’acier et le béton que la méthode du module effectif ajusté. Cependant, cette comparaison a permis de mettre en évidence certaines limitations inhérentes à ces méthodes de prédiction notamment pour des historiques particuliers où la structure subit plusieurs déchargements significatifs par rapport à son état de contrainte initial juste après le transfert de la précontrainte. L’hypothèse de linéarité par rapport au niveau de contrainte ne correspond pas aux conditions de construction de ce type de structure. En effet, il est à présent admis que l’application du principe de superposition conduit à des prédictions inexactes à long terme, entre autres, quand des décompressions successives de la dalle (qui était initialement fortement comprimée après le transfert de la précontrainte) ont lieu au cours de l’histoire de la construction (ce qui correspond par exemple au placement des différentes couches de ballast et des équipements,…). Une meilleure modélisation du « retour de fluage » (creep recovery) que par le principe de superposition s’avère indispensable pour traiter ce type de structure. Cet aspect sera présenté dans la deuxième partie de ce travail. Par ailleurs, bien que toutes ces méthodes ont l’avantage de tenir compte assez finement des effets différés au moyen notamment de l’introduction du coefficient de fluage du béton et de sa déformation de retrait au cours du temps, elles présentent l’inconvénient de supposer une humidité relative constante (et par conséquent une épaisseur effective constante aussi) au cours de l’histoire de la construction de l’ouvrage. Elles font l’hypothèse d’un comportement sectionnel moyen vis-à-vis de la dessiccation qui intervient explicitement tant au niveau de la définition du coefficient de fluage que de la déformation de retrait. Or, il est clair que le pont-bac instrumenté ne se trouve pas dans les mêmes conditions de séchage avant et après la pose de ce dernier sur ses appuis définitifs. En effet, en plus de la couche imperméable appliquée sur la face exposée aux intempéries de la dalle pendant la période de stockage à Bruxelles-Midi, l’ensemble des surfaces de la dalle et des membrures est complètement recouvert par un revêtement imperméable pendant la période qui suit la pose sur les appuis définitifs. Il va donc y avoir une redistribution de l’humidité locale au cours du temps dans le béton, ce qui n’est absolument pas pris en compte par les méthodes qui ont été


155

abordées jusqu’à présent dans ce travail. Les limitations inhérentes à ces méthodes peuvent être levées en adoptant une modélisation numérique plus fine qui recourt à des lois de comportement intrinsèques pour le comportement différé du béton couplée à une étude locale de la dessiccation en fonction du temps. Dans une telle approche, on ne fait donc plus l’hypothèse d’un comportement sectionnel moyen vis-à-vis de la dessiccation. Pour des histoires de construction avec plusieurs phases d’imperméabilisation des surfaces de béton, il est nécessaire d’utiliser une modélisation qui tient compte de l’évolution de l’humidité locale en fonction du temps en chaque point de la structure pour évaluer les composantes de retrait et de fluage. Cette modélisation constitue la dernière partie abordée dans cette thèse.


156

BB.. EExxtteennssiioonn ddeess mméétthhooddeess bbaassééeess ssuurr llee pprriinncciippee ddee ssuuppeerrppoossiittiioonn 1. Introduction. Dans la première partie de ce travail, le principe de superposition de la

viscoélasticité linéaire a été appliqué sous sa forme classique dans laquelle la déformation de fluage du béton dépend linéairement de la contrainte appliquée. Cependant, on peut relever au moins trois aspects dans l’historique de construction de structures telles que les ponts-bacs qui ne vérifient pas complètement les hypothèses du principe de superposition. Premièrement, pour pouvoir être décoffrés et mis en précontrainte le plus tôt possible, les ponts-bacs sont chauffés quasi systématiquement pendant une journée après le coulage du béton. Les caractéristiques de retrait et de fluage s’écartent donc de celles déterminées en laboratoire sur des éprouvettes conservées dans une chambre à 20°C depuis le moment du coulage jusqu’à la fin de la période d’essais. Deuxièmement, ces structures sont précontraintes à très jeune âge et à un niveau de contrainte très élevé : pas moins de 50% de la résistance sur cube du béton au moment du transfert de la précontrainte. L’hypothèse de linéarité n’est donc certainement plus vérifiée. Troisièmement, au fur et à mesure de l’application des charges permanentes sur des poutres précontraintes et suite aux effets du retrait et du fluage, les fibres inférieures de béton de la section qui sont initialement fortement comprimées, vont subir un déchargement partiel progressif au cours du temps. Or, il est actuellement reconnu que la recouvrance du béton est significativement plus petite que celle prédite par le principe de superposition.

Pour pouvoir quantifier l’influence de ces trois aspects et les modéliser, une

dizaine de séries d’essais de retrait et de fluage a été entreprise totalisant pas moins de 72 éprouvettes de retrait et de fluage. Nous nous proposons d’illustrer ci-après successivement les résultats expérimentaux relatifs à :

1) l’application d’un traitement thermique sur les éprouvettes dans les mêmes conditions que celles effectuées chez le préfabricant;

2) l’application d’un niveau de contrainte variant entre 30 et 70% de la résistance du béton au moment du chargement ;

3) l’application de déchargement à des âges divers sur des éprouvettes qui ont été chauffées ou non, chargées aussi bien à très jeune âge qu’à un âge tardif.

Après avoir validé les différents modèles sur les éprouvettes de laboratoire, ceux-

ci seront intégrés à l’analyse structurale suivant la méthode dite du pas-à-pas décrite dans la première partie. Cet outil de calcul permettra d’optimiser les phases de construction des ponts-bacs isostatiques. La méthode de calcul sera ensuite complètement adaptée pour pouvoir modéliser un viaduc hyperstatique. Plus concrètement, il s’agit de la situation où deux ponts-bacs seraient joints sur chantier pour rendre la structure continue. Cet outil de calcul apte à gérer un phasage de construction relativement complexe (plusieurs phases de béton, précontraintes multiples, âge quelconque des travées, géométries diverses sur une même travée, …) permettra d’optimiser également les étapes de construction d’un viaduc hyperstatique à deux travées.


157

2. Influence de l’application d’un traitement thermique sur les effets différés du béton 2.1. Introduction

Quand on traite du problème de l’effet d’un traitement thermique sur les caractéristiques de retrait et plus particulièrement de fluage du béton, il faut distinguer deux catégories d’essais :

1) l’éprouvette de béton subit une cure à une température supérieure à 20°C préalablement à sa mise en charge ;

2) l’éprouvette de béton subit une cure à une température supérieure à 20°C avant et pendant sa mise en charge.

Quelques études expérimentales sont rapportées dans la littérature pour le premier cas. Parmi celles-ci, citons les travaux récents de Persson [Persson, 1998] et Munoz [Munoz, 1994]. Celles-ci se font nettement plus rares dans le deuxième cas étant donné la difficulté expérimentale pour leurs réalisations. Parmi les travaux récents, citons ceux de Bengougam [Bengougam, 2001] effectués dans le cadre du suivi des barrages suisses de Luzzone et de Mauvoisin. Dans le cadre des structures qui nous intéressent dans ce mémoire, il nous est apparu certainement intéressant de mettre en route des campagnes d’essais de fluage suivant la première catégorie pour tenir compte de la maturité réelle du béton au moment de la mise en précontrainte. Au transfert de la précontrainte (à 2,6 jours pour le pont-bac instrumenté), la dalle est déjà bien refroidie et le fluage à court terme (les 24 premières heures après la mise en charge) s’effectue donc à une température proche de la température ambiante. Le béton de 2ème phase n’est en effet coulé au plus tôt qu’un jour plus tard après la mise en précontrainte. A ce stade-ci, nous ne disposons pas de données expérimentales pour illustrer cette idée. Toutefois, les simulations numériques des dégagements de chaleur qui ont lieu dans le pont-bac instrumenté (exposées dans la troisième partie de ce document dans le cadre de l’application du programme de calcul par éléments finis CESAR-LCPC) confirment notre propos. Par contre, dans le cas de structures uniquement précontraintes, il est habituel chez le préfabricant de couler l’entièreté de la section en une seule fois avant la mise en précontrainte. La masse entrant en jeu cette fois est beaucoup plus importante et au moment de la mise en précontrainte (généralement à 24 heures d’âge voire le plus souvent à 20 heures d’âge du béton), la structure est loin d’être refroidie. Pour fixer les idées, une instrumentation à l’aide de thermocouples a été réalisée sur une structure type pont-bac – mais sans poutrelles - de 20 mètres de portée (septembre 2002) pour la ligne ferroviaire n°12 à Anvers, précontrainte à 1 jour et coulée en une fois (voir Figure B.2.1). La figure B.2.2 illustre l’évolution des températures dans la structure au cours du temps. On peut remarquer qu’à un jour d’âge, les températures régnant dans le béton sont loin d’être négligeables et qu’il faut pas moins de trois jours pour revenir à des températures proches de 20°C. Par ailleurs, quelques sauts de température apparaissent par endroits dans cette figure pour les thermocouples 1 et 2 et pour la température extérieure. Nous pensons que ces sauts de température sont uniquement dus à des aléas ponctuels d’enregistrement des données et ne traduisent aucune augmentation de température réelle, ni interne, ni externe.


158

Figure B.2.1 Position des thermocouples dans un pont précontraint à un jour

Température (°C)

05

101520253035404550556065

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

temps (jour)

T2T1T3T4t° extérieure

Figure B.2.2 Evolution des températures du béton à partir du coulage dans un pont-bac coulé en une seule phase et précontraint à un jour. Ceci nous a amenés à mettre au point au laboratoire un dispositif d’essais permettant d’effectuer des essais de fluage à des températures supérieures à la température ambiante. Le principe est décrit sur la figure B.2.3.

0.24m

0.70m

0.08m

Thermocouple

1.50

m

T1

T2

T3T41.99 m

.


159

Figure B.2.3 Schéma de principe d’un essai avec tapis chauffant L’éprouvette est d’abord emballée par deux couches d’aluminium collées avec de la résine époxyde . Ensuite, un tapis chauffant (constitué par une résistance) et une sonde de température PT100 sont fixés dans la partie médiane de l’éprouvette. L’évolution de la température est commandée par un régulateur de température type PID qui travaille en boucle fermée avec la sonde PT100 suivant le programme introduit au préalable. Par exemple, l’historique de température qui se produit en cœur de la structure après transfert de la précontrainte pourrait être reproduit avec ce système. Une feuille d’aluminium ainsi qu’une couche de matière isolante (laine minérale) entoure finalement l’éprouvette. Jusqu’à présent, nous ne sommes pas allés beaucoup plus loin que la validation du montage par quelques essais de mises en charge. En effet, une campagne d’essais complète permettant de vérifier la répétitivité des essais et une interprétation suffisamment avancée représenterait certainement plusieurs mois de travail. Par ailleurs, cela nous éloigne du type de structure dont fait l’objet ce mémoire. Néanmoins, ceci nous semble constituer un champ d’investigation futur très prometteur en vue de modéliser le comportement de structures en béton relativement massives (comme les grandes poutres de pont) précontraintes au très jeune âge à des niveaux de contrainte élevés. En effet, il subsiste toujours des questions assez fondamentales dans ce domaine. Plus la température de conservation des éprouvettes pendant les essais est élevée, plus la déformation de fluage sera accélérée et amplifiée. Par ailleurs, dans le cas d’essais au jeune âge, la réaction d’hydratation (qui est thermo activée) est aussi accélérée, ce qui tend à augmenter le degré d’hydratation et à diminuer ainsi la déformation de fluage. L’importance relative de ces deux effets n’est pas encore bien connue.

éprouvettede béton

base de mesure

double feuille d'aluminium feuille d'aluminium

réchauffeur siliconeadhésif

laine minérale

réchauffeur siliconeadhésif

80 mm

200

mm

320

mm

60 m

m60

mm

175.

3 m

m

collée à l'époxy


160

2.2. Propriétés du béton La composition du béton mis en oeuvre dans les séries d’essais décrites dans cette deuxième partie diffère très légèrement (essentiellement par les quantités de sable, d’agrégats, de ciment et d’adjuvant) de celle mentionnée dans la première partie de ce travail et qui avait été utilisée pour la fabrication du pont-bac instrumenté. Les caractéristiques mécaniques sont d’ailleurs équivalentes à celles obtenues précédemment. La composition est la suivante :

- Sable de Meuse (0/5): 680 kg/m³ - Agrégats calcaires (7/14): 1200 kg/m³ - Ciment Portland (CEM I 52.5RLA, ASTM III et classe 3 CEB-MC90): 400

kg/m³ - Eau: 132 litres/m³ - Adjuvant réducteur d’eau (Visco 4): 8 litres/m³.

La plupart des essais de retrait et de fluage rapportés dans cette deuxième partie ont été réalisés sur des éprouvettes cylindriques de diamètre 80 mm et de hauteur 320 mm de manière à permettre la rectification à l’outil diamanté des deux faces des éprouvettes. Ce diamètre est supérieur au diamètre minimum (5*14= 70 mm) recommandé par le comité RILEM TC107 compte tenu de la dimensions des granulats. Cette mesure s’est avérée indispensable pour réaliser des essais de fluage à très jeune âge et surtout à des niveaux de contraintes atteignant 70% de la résistance du béton au moment du chargement. De plus, étant donné l’élancement très important des éprouvettes (4), il n’était plus possible de mettre en charge deux éprouvettes superposées l’une sur l’autre dans un même poste de fluage. Malgré le grand soin apporté par les opérateurs, l’expérience nous a montré que pour des diamètres aussi petits, une très légère excentricité entraîne inévitablement une rupture précoce des éprouvettes pour de tels niveaux de contrainte. Vu le nombre de paramètres que nous nous sommes proposés de faire varier dans ce travail, la construction d’une vingtaine de postes de fluage supplémentaires est devenue incontournable compte tenu de la durée que prend ce type d’essais (au minimum plusieurs mois pour l’enregistrement des mesures et un mois de préparation pour mettre en route une série d’essais). Grâce au travail de toute l’équipe technique, la construction de ces postes de fluage a pu être réalisée en moins d’une année. Un poste de fluage représentatif du système pour lequel nous avons opté est illustré à la Figure B.2.4. Un des critères que nous nous sommes fixés dès le début était de pouvoir moduler la position de la coiffe supérieure pour permettre aussi bien la mise en charge d’une seule éprouvette de 320mm de hauteur que de deux éprouvettes de 600mm de hauteur. Toutes les éprouvettes ont été confectionnées chez le préfabricant et non pas au laboratoire. Les éprouvettes destinées au traitement thermique ont été placées sur la structure chauffée à l’aide de canons à chaleur et recouverte d’une bâche isolante. Les autres éprouvettes ont été conservées dans la chambre climatisée à 20°C du préfabriquant jusqu’au moment du rapatriement en notre laboratoire. L’évolution de la température au sein des éprouvettes a été systématiquement mesurée à l’aide de thermocouples dès l’instant du coulage.


161

Figure B.2.4 Poste de fluage avec positionnent variable de la coiffe supérieure

Les différents essais réalisés dans le cadre de l’analyse de l’influence du traitement thermique sont résumés sur le figure B.2.5. Le début des mesures coïncide avec l’âge du béton t0 au moment du chargement pour les essais de fluage et avec l’âge du béton ts à partir duquel commence le séchage pour les essais de retrait de dessiccation.

Age du béton au début des mesures (jours) Béton non chauffé Béton chauffé

Retrait endogène 1 1 1 1 Retrait de

dessiccation 2 2 Béton non chauffé Béton chauffé

to (jours)

σ/fc,to (%)

to (jours)

σ/fc,to (%)

1 50 - - 1 50 60 - Fluage fondamental 2 50 60 70 2 50 60 70 1 50 60 70 1 50 60 - Fluage total 2 50 60 70 2 50 60 70

Figure B.2.5 Synthèse des essais de retrait et de fluage réalisés. σ représente le niveau de contrainte appliqué aux éprouvettes tandis que fc,to représente la résistance à la compression obtenue sur des cylindres 8/16 à l’âge du béton au moment du chargement.


162

Résistance moyenne à la compression sur cylindres (MPa) Gâchée 1 Gâchée 2 Age du béton

(jour) Non chauffé Chauffé 1 30 39 2 41,6 42,5 3 46,7 45,7 7 51,8 51,8 14 57,7 53 28 61,7 56

Figure B.2.6 Valeurs expérimentales de la résistance moyenne à la compression pour les gâchées 1 et 2 La figure B.2.6 montre, entre autres, que les valeurs de résistance moyenne à la compression à 28 jours des éprouvettes chauffées sont inférieures à celles des éprouvettes non chauffées. Que ce soit naturellement (due à la chaleur d’hydratation du ciment) ou artificiellement (étuvage), il est bien connu que le traitement thermique à des températures supérieures à 20°C provoque à moyen et long terme, une légère chute de résistance du béton durci. Dans la littérature, ceci est généralement attribué à deux causes, l’une physique, l’autre chimique. D’un point de vue physique, étant donné que l’air et l’eau présentent des coefficients de dilatation thermique beaucoup plus élevés que les autres constituants, la porosité et la microfissuration ont tendance à augmenter dès le plus jeune âge. D’un point de vue chimique, une élévation importante de température dans un béton frais provoque une diminution du degré d’hydratation final et modifie la structure et la texture des hydrates. Les valeurs des paramètres utilisés dans le modèle CEB-MC90 (dans sa version 99) pour la prédiction du retrait et du fluage sont données dans la figure B.2.7. Dénomination du paramètre Valeur utilisée dans le modèle CEB-MC90

(version 99) Type de ciment CEM I 52,5 R LA Type Eurocode du ciment 3 Contenu en eau (kg/m³) 132 Contenu en ciment (kg/m³) 400 fcm (MPa) suivant la gâchée étudiée Diamètre du cylindre (cm) 8 Température de la cure (°C) 20 ou suivant le traitement thermique appliqué Age au chargement (jours) t0 Humidité relative (%) 53 % (éprouvettes exposées au séchage) ;

100 % variable (éprouvettes scellées). Epaisseur effective (mm) 40 Type de granulat 2 Figure B.2.7 Valeurs des paramètres utilisés dans les modèles.


163

Dans le cas de traitement thermique, le modèle CEB-MC90 propose d’utiliser la notion de temps équivalent pour décrire le degré de maturation atteint par un béton. Le temps équivalent t0t d’un durcissement quelconque est égal à la durée du durcissement à 20°C permettant d’obtenir la même résistance mécanique. Il est calculé à partir de la loi d’Arrhenius appliquée à l’évolution des réactions d’hydratation.

( ) )1.2.B(.)(273

12931.exp

00 dt

tREtt

t

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=θ

avec E : énergie d’activation du ciment (kJ/mol) ; R : constante des gaz parfaits (8.314 kJ/mol K) ; θ(t) : température du béton à l’instant considéré (°C). Le code modèle propose d’utiliser une valeur constante pour le rapport E/R qui est de 4000K. L’expression précédente peut alors être remplacée par :

)2.B.2(273

400065.13exp.0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−∆=i

i Tttt

avec ∆ti: ième intervalle de temps; Ti: valeur de la température supposée constante pendant l’intervalle de temps ∆ti (°C). Par ailleurs, suivant ce que le code modèle propose, une distinction est à appliquer en fonction du type de ciment utilisé dans le calcul du temps équivalent. Après le calcul de t0t, il faut en fait calculer t0eff qui représente le temps équivalent effectif à utiliser dans les calculs ultérieurs pour l’estimation de la résistance à la compression, module, retrait et fluage. Dans le cas de ciment à prise rapide, t0eff est significativement plus élevé que t0t. Cela influence donc directement la vitesse de développement de la fonction de fluage.

)3.2B.(12

9. 2.10

00

α

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=

ttttt eff

avec α = -1 pour du ciment à prise lente; 0 pour du ciment à prise normale; 1 pour du ciment à prise rapide.


164

Pour les courbes de retrait et de fluage calculées suivant le code modèle et figurant dans les graphiques qui suivent, l’évolution de la température d’après l’enregistrement effectué dans les éprouvettes chauffées a été découpée en 9 intervalles de temps. Ceux-ci sont indiqués à la figure B.2.8.

Intervalle de temps (heure) Température (°C) 2.5 19 1 28

0.75 46 6 62 3 54 3 33 1 28 1 25

5.75 22 Figure B.2.8 Température pour chaque intervalle ∆ti dans les éprouvettes chauffées La figure B.2.9 montre l’évolution du retrait des éprouvettes chauffées (C) et des éprouvettes conservées à 20°C (NC). Le traitement thermique appliqué durant le premier jour après le coulage a bien entendu pour effet d’accélérer l’hydratation du ciment et le développement du retrait endogène. Etant donné que le début des mesures correspond à un jour après le coulage, une partie importante du développement du retrait endogène de l’éprouvette chauffée n’apparaît pas dans la courbe enregistrée. Après quelques jours, la variation du retrait endogène semble similaire pour les deux éprouvettes (C et NC). Les courbes de retrait total montrent que l’évolution des déformations de retrait dépend de l’âge du béton au moment de l’exposition au séchage et de la cure appliquée au béton.

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-ts) (jour)retrait (µs)

béton chauffé, endogène, t=1béton non chauffé, endogène, t=1béton chauffé, total, ts=2béton chauffé, total, ts=1béton non chauffé, total, ts=2béton non chauffé, total, ts=1

Figure B.2.9 Mesures de retrait des éprouvettes chauffées et des éprouvettes non chauffées


165

La figure B.2.10 illustre le développement de la fonction de fluage des éprouvettes chauffées et non chauffées mises en charges à un jour sous une contrainte égale à 50% de la résistance du béton à 1 jour. On remarque que, quelle que soit la durée du chargement, les valeurs des fonctions de fluage fondamental et total sont plus petites pour les éprouvettes chauffées que les éprouvettes non chauffées.

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-1) (jour)

J(t,1) (1/MPa)

50%, NC, J total50%, C, J total50%, NC, J fondamental50%, C, J fondamental

Figure B.2.10 Fonctions de fluage du béton chauffé (C) et du béton non chauffé (NC) chargés à 1j A nouveau, pour des éprouvettes mises en charge à un jour, la figure B.2.11 montre la comparaison entre les fonctions de fluage total expérimentales et les fonctions de fluage total prédites par le modèle CEB-MC90 dans sa version 99 pour un niveau de contrainte égal à 50%. Les valeurs mesurées et les valeurs prédites sont en relativement bon accord pour les deux types d’éprouvettes.


166

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-1) (jour)

Total J (1/MPa)

NC, 50%, measurementsNC, 50%, CEB90 V99C, 50%, measurementsC, 50%, CEB90 V99

Figure B.2.11 Comparaison entre les fonctions de fluage total expérimentales et prédites par le code modèle CEB (99) pour le béton chauffé (C) et non chauffé (NC) chargé à 1j à 50% Dans le modèle CEB-MC90, les déformations de fluage peuvent être exprimées en fonction d’un temps équivalent à 20°C sous chargement pour prendre en compte explicitement la maturité réelle du béton. Pour ce béton haute performance, l’influence de la température avant la mise en charge peut être exprimée par la loi d’Arrhenius sous sa forme classique décrite dans le code.


167

3. Influence de l’application d’un niveau de contrainte

variant entre 50 et 70% sur les effets différés du béton 3.1. Introduction

L’analyse du comportement différé de béton à haute performance soumis à un chargement très élevé au très jeune âge n’a fait l’objet jusqu’à présent que d’un nombre très restreint de campagnes d’essais rapportées dans la littérature. En effet, vu les performances mécaniques du béton que l’on peut atteindre actuellement à 1 jour dans les structures précontraintes, le rapport entre la contrainte appliquée et la résistance à la compression du béton au moment du transfert ne dépasse généralement pas 40%. Dans le cas des ponts-bacs, on a vu que ce rapport atteint voire dépasse 50% de la résistance à la compression obtenue sur cylindre au moment de la précontrainte. Une étude systématique de l’influence du pourcentage appliqué s’est donc avérée indispensable pour progresser dans la prédiction du comportement à long terme de ce type de structure.

3.2. Propriétés du béton La composition du béton relative aux essais de ce chapitre est identique à celle présentée au chapitre précédent. Les essais de fluage rapportés dans ce chapitre ont été réalisés sur des éprouvettes cylindriques de diamètre 80 mm et de hauteur 320 mm de manière à assurer une rectification la plus parfaite possible des deux faces des éprouvettes. Cette mesure s’est avérée indispensable pour réaliser des essais de fluage à des niveaux de contraintes atteignant 70% de la résistance du béton au moment du chargement. Tout comme précédemment, toutes les éprouvettes ont été confectionnées chez le préfabricant et non pas au laboratoire. Les différents essais réalisés dans le cadre de l’analyse de l’influence du niveau de contrainte appliqué sont résumés à la figure B.3.1. Le début des mesures coïncide avec l’âge du béton t0 au moment du chargement pour les essais de fluage et avec l’âge du béton ts à partir duquel commence le séchage pour les essais de retrait de dessiccation. ts et t0 (h) Béton non chauffé Béton chauffé Retrait endogène 24 24

24 24 30 30 36 36

Retrait de dessiccation

48 48 24 50 60 70 24 50 60 70 Fluage fondamental 48 50 60 70 48 50 60 70 24 50 60 70 24 50 60 - 30 50 - 70 36 50 - 70

Fluage total

48 50 60 70 48 50 60 70 Figure B.3.1 Synthèse des essais de retrait et de fluage réalisés pour σ/fc,to = 50 à 70%


168

σ représente le niveau de contrainte appliqué aux éprouvettes tandis que fc,to représente la résistance à la compression obtenue sur des cylindres 8/16 à l’âge du béton au moment du chargement.

Résistance moyenne à la compression sur cylindre (MPa) Gâchée 1 Gâchée 2 Gâchée 3 Gâchée 4 Gâchée 5 Age

du béton Non chauffé Chauffé Non chauffé Chauffé Non chauffé 24 h 30 39 32 48,8 32 30 h - - - 48,7 36 36 h - - - 49,2 38,4 48 h 41,6 42,5 49,7 49 44,9 3 j 46,7 45,7 51,9 52,5 - 7 j 51,8 51,8 57,3 57,2 58,4 14 j 57,7 53 61,9 60,5 62,1 28 j 61,7 56 72,6 61,3 67,5

Figure B.3.2 Valeurs expérimentales de la résistance moyenne à la compression pour les gâchées 1 à 5 Figure B.3.3 Histogramme de l’évolution de la résistance moyenne en compression pour les gâchées 4 (HC) et 5 (NHC)

49 49 49 49

61,3

32 36 38,445

67,5

0

10

20

30

40

50

60

70fc (MPa)

NHCHC

24h 30h 36h 48h 28d


169

3.2.1. Influence du niveau de contrainte appliquée et de l’âge au chargement sur des éprouvettes non chauffées

Les essais de fluage ont d’abord été réalisés sur des éprouvettes non chauffées (gâchée 1) chargées à 2 jours d’âge sous des niveaux de contrainte variant de 50 à 70% de la résistance à la compression du béton à 2 jours. Les résultats expérimentaux en condition scellée pour le fluage fondamental et en condition d’exposition au séchage à 53% HR pour le fluage total sont représentés sur la figure B.3.4. Pour cet âge du béton au moment du chargement, les fonctions de fluage fondamental et total semblent être indépendantes du niveau de chargement appliqué jusqu’à un pourcentage de 70. Le principe de proportionnalité de la déformation de fluage par rapport à la contrainte appliquée serait donc vérifié.

J total NC (1/MPa)

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-2) (jour)

J total, 70%J total, 60%J total, 50%J fondamental, 70%J fondamental, 60%J fondamental, 50%

Figure B.3.4 Fonctions de fluage du béton non chauffé chargé à 2 jours sous divers niveau de contrainte (de 50 à 70% de la résistance en compression du béton à 2 jours) La deuxième étape a été de diminuer l’âge du béton au moment du chargement pour vérifier si cette proportionnalité est indépendante de l’âge du béton. Une série d’essais a été effectuée à 24 heures d’âge du béton à des pourcentages variant de 50 à 70% en condition scellée et en condition d’exposition au séchage. Quand l’âge du béton au chargement diminue, des déviations significatives par rapport au principe de proportionnalité sont observées sur la figure B.3.5 quand le pourcentage atteint 70% aussi bien pour la fonction de fluage fondamental que pour la fonction de fluage total.


170

Total J NC (1/MPa)

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-1) (jour)

J Total, 70%J Total, 60%J Total, 50%J Fondamental, 70%J Fondamental, 60%J Fondamental, 50%

Figure B.3.5 Fonctions de fluage du béton non chauffé (NC) chargé à 1 jour sous divers niveaux de contrainte, de 50 à 70 % de la résistance en compression à 1 jour

NC, [J (70%) - J (50%) ] (1/MPa)

0

0,000005

0,00001

0,000015

0,00002

0,000025

0,00003

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-1) (jour)

J Total J Fondamental

Figure B.3.6 Différence entre les fonctions de fluage correspondant à 70 % et à 50 % du béton non chauffé chargé à 1j En vue d’éclaircir la manière dont évolue cette non linéarité au cours du temps, le graphique B.3.6 représente l’évolution de la différence entre la fonction de fluage correspondant à 70 % et la fonction de fluage correspondant à 50% dans le cas des éprouvettes scellées et des éprouvettes exposées au séchage. Pour les éprouvettes scellées, la non linéarité de la fonction de fluage fondamental, correspondant à 70% en niveau de contrainte par rapport à la résistance du matériau, semble se stabiliser au bout d’une dizaine de jours.


171

Cette période correspond au moment où le processus d’hydratation du ciment ralentit fortement. Cette période correspond également à la partie de la courbe de fluage que plusieurs chercheurs [Guénot-Delahaie, 1997 ; Ulm & Acker, 1998] attribuent à la phase du fluage « à court terme » qui se développe entre le moment du chargement et une dizaine de jours après le chargement. La phase du fluage « à long terme » se développant après une dizaine de jours suivant le chargement, a une cinétique beaucoup plus lente que la phase du fluage « à court terme ». Dans le cas des éprouvettes exposées au séchage, la non linéarité semble continuer à augmenter après une dizaine de jours. Cette poursuite de l’augmentation de la non linéarité est certainement liée au processus de séchage des éprouvettes qui affectent leurs propriétés mécaniques dont en particulier, leur module d’élasticité. A ce propos, dans [Baroughel-Bouny, 1994], l’auteur commente le fait que le module d’Young mesuré sur une éprouvette de béton en cours de séchage est plus faible que celui qui est mesuré sur une éprouvette saturée en humidité. En effet, cela peut s’expliquer par la génération de contraintes internes et par la formation de microfissures dues aux gradients hydriques dans l’éprouvette en cours de séchage. Plus sèche est l’ambiance à laquelle on soumet le béton, plus ses caractéristiques mécaniques diminuent car les gradients sont plus prononcés. Au vu des résultats de ces séries d’essais, il semblerait que la non linéarité soit clairement liée à la maturité du béton au moment du chargement et à son évolution au cours du temps. Dans le même ordre d’idées, l’étude bibliographique sur le sujet a mis en évidence une importante campagne d’essais de retrait endogène et de fluage fondamental réalisée il y a quelques années au Laboratoire Magnel à Gand sur trois types de bétons (un avec du ciment Portland, les deux autres avec du ciment de haut fourneau). Pour une gamme d’âges au chargement variant entre 12h et 14 jours et des pourcentages de niveau de contrainte de 20 et 40%, De Schutter et Taerwe ont suggéré [De Schutter G., Taerwe L., 2000] que la non linéarité qui apparaît au niveau des déformations de fluage fondamental pour les âges au chargement très jeunes peut être corrélée avec celle qui existe entre les déformations instantanées correspondantes. Les auteurs montrent par ailleurs la dépendance de ces différents termes avec l’évolution du degré d’hydratation. Ainsi, pour les bétons qui ont été testés dans cette série d’essais et pour des pourcentages de 20 et 40%, les auteurs aboutissent à un modèle où la déformation de fluage fondamental dépend non seulement du degré d’hydratation au moment du chargement mais également de son évolution au cours du temps. Cette étude constitue certainement une piste de réflexion très intéressante pour modéliser l’évolution de la non linéarité qui apparaît également dans nos essais pour des pourcentages de 50 et 70%. En complément à cette série d’essais, une troisième série d’essais de fluage total sur des éprouvettes non chauffées (gâchée 5) a été réalisée pour caractériser l’évolution de la non linéarité suivant l’âge du béton au moment du chargement en faisant varier celui-ci entre 24 heures et 48 heures par pas de 6 heures soient 30 et 36 heures. Dans cette série, toutes les éprouvettes sont exposées au séchage (53% HR) à partir de l’âge au chargement. Les niveaux de contrainte qui ont été appliquées sont égaux à 50 et à 70% de la résistance en compression du béton au moment du chargement. Ici aussi, l’évolution de la différence entre la fonction de fluage correspondant à 70 % et la fonction de fluage correspondant à 50% pour les éprouvettes exposées au séchage a été calculée et est représentée sur la figure B.3.7.


172

Total J NC (1/MPa)

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-t0) (jour)

t0=30h, 70%t0=24h, 70%t0=36h, 70%t0=48h, 70%t0=48h, 50%t0=36h, 50%t0=30h, 50%t0=24h, 50%

Figure B.3.7 Fonctions de fluage expérimentales du béton non chauffé chargé entre 24 et 48 h à des niveaux de contraintes variant entre 50 et 70 % de la résistance en compression

NC, [J(70%) - J(50%)] (1/MPa)

0

0,000005

0,00001

0,000015

0,00002

0,000025

0,00003

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-t0) (jour)

t0=24ht0=30ht0=36 h

Figure B.3.8 Différence entre les fonctions de fluage correspondant à 70 % et à 50 % du béton non chauffé chargé à 24, 30 et 36h


173

A nouveau, deux types de comportement sont clairement identifiés : avant et après une dizaine de jours suivant l’instant de la mise en charge. Avant environ 10 jours, la pente des droites représentées dans la figure B.3.8 est directement liée à l’âge du béton au moment du chargement. Cette période, comme dit plus haut, correspond à une période où l’évolution du degré d’hydratation est le plus rapide. Après 10 jours environ, la non linéarité continue à augmenter pour les éprouvettes chargées à 24 et 30 heures tandis qu’elle semble se stabiliser pour celle chargée à 36 heures. Pour l’éprouvette chargée à 48 heures, il n’existe pratiquement plus de non linéarité entre les fonctions de fluage obtenues pour des niveaux de contrainte de 70 et 50%. En conclusion de ces essais, il apparaît clairement que pour progresser dans l’interprétation et la modélisation de la non linéarité qui apparaît dans nos essais, il est nécessaire d’évaluer l’évolution du degré d’hydratation ainsi que l’évolution de la teneur en eau locale dans les éprouvettes au cours du temps. Nous verrons dans la troisième partie de ce travail le cadre de modélisation que nous avons développé et implémenté dans le logiciel de calcul par éléments finis CESAR-LCPC pour évaluer en particulier l’évolution de la teneur en eau locale suite aux processus combinés de séchage et de consommation d’eau par la réaction d’hydratation. L’étape suivante, qui fera l’objet de travaux ultérieurs, consistera à établir l’existence d’une corrélation éventuelle avec la non linéarité des déformations instantanées (pour les éprouvettes scellées) et avec l’évolution de la teneur en eau locale (pour les éprouvettes exposées au séchage).


174

3.2.2. Influence du niveau de contrainte appliquée et de l’âge au chargement sur des éprouvettes chauffées

La même procédure a été appliquée pour les éprouvettes chauffées. Une première série d’éprouvettes (Gâchée 2) a été exposée au séchage et mises en charge à 2 jours d’âge sous des niveaux de contrainte de 50, 60 et 70%. Le graphique B.3.9 montre que pour cette maturité du béton au moment du chargement, le principe de proportionnalité entre la déformation de fluage et la contrainte appliquée semble être vérifié jusqu’à 70% de fc.

J total C (1/MPa)

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-2) (jour)

Total J, 70%Total J, 60%Total J, 50%

Figure B.3.9 Fonctions de fluage total du béton chauffé chargé à 2 jours sous des niveaux de contrainte de 50, 60 et 70% de la résistance à la compression du béton chauffé à 2 jours Ensuite, dans une autre série, l’âge au chargement des éprouvettes chauffées a aussi été ramené à 1 jour (Gâchée 4). Grâce au traitement thermique appliqué à ces éprouvettes, la maturité du béton est considérablement augmentée. Comme on peut le constater sur la figure B.3.10, les effets non linéaires liés au pourcentage de contrainte appliquée et à l’âge du béton au moment du chargement sont ainsi fortement réduits par comparaison avec les éprouvettes non chauffées (figure B.3.5).


175

J (1/MPa)

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-1) (jour)

J total, C, 60%J total, C, 50%J fondamental, C, 70%J fondamental, C, 60%J fondamental, C, 50%

Figure B.3.10 Fonctions de fluage du béton chauffé chargé à 1 jour sous des niveaux de contrainte de 50, 60 et 70% de la résistance à la compression à 1 jour du béton chauffé En rassemblant tous ces premiers résultats expérimentaux, il semblerait que lorsque le niveau de contrainte appliqué atteint 70%, le principe de proportionnalité de la déformation de fluage à la contrainte appliquée n’est plus vérifié pour les éprouvettes non chauffées chargées à 24, 30 et 36 heures mais l’est toujours pour celles chargées à 48 heures. Cet effet semble être fortement lié à la maturité du béton et à son évolution. En effet, les éprouvettes qui ont été chauffées et mises en charge à 24 heures ne présentent pratiquement plus d’écart par rapport au principe de proportionnalité entre la déformation de fluage et une contrainte appliquée atteignant 70% de fc. En terme de maturité, ces éprouvettes présentent les mêmes résistances mécaniques à 24 heures que celles des éprouvettes non chauffées à 48 heures. Elles ont donc une maturité pratiquement équivalente. Ces constatations expérimentales sont en accord avec les résultats expérimentaux de fluage sur BHP et BTHP présentés dans [Toutlemonde, Fouré & de Larrard, 2003]. En effet, dans ces diverses campagnes d’essais de fluage effectuées en France dans le cadre du projet national BHP2000, la non linéarité du fluage est clairement observée pour du béton ayant une faible maturité c’est-à-dire lorsque la résistance à la compression au moment du chargement est inférieure à 60% de la résistance à la compression du béton à 28 jours. Pour le béton de cette étude, cette limite de résistance vaut 38 MPa, ce qui correspond à un béton non chauffé de 36 heures. Par ailleurs, lorsque le chargement a lieu à une maturité suffisante, on a vu à la figure B.2.11. que les prévisions du modèle CEB-MC90 sont satisfaisantes pour ce béton de préfabrication. En deçà du seuil de maturité correspondant à un rapport fcj/fc28 de 0,6 au moment du chargement, la validité des prévisions du fluage par le modèle CEB-MC90 n’est plus assurée pour des rapports résistance/contrainte dépassant 50%. Dans ces situations, une quantification spécifique s’avère donc nécessaire.


176

4. Influence de l’application d’un déchargement précoce ou tardif sur les effets différés du béton

4.1. Introduction En cas de déchargement, il est actuellement admis que la recouvrance de fluage du béton n’est que partielle, laissant apparaître une déformation résiduelle. Elle dépend essentiellement de la durée du créneau de contrainte qui a précédé le déchargement. La figure B.4.1 illustre l’importance relative des différentes composantes de la fonction de fluage après chargement et après déchargement total de l’éprouvette.

Fonction de fluage J (1/MPa)

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-28) en jour

J total expérimental, 50%, t1 = 55j

Figure B.4.1 Illustration de la fonction de fluage total d’une éprouvette chargée à 28 jours et déchargée à 55 jours

Partie élastique

Fluage

Fluage irréversible

Recouvrance

Retour élastique


177

Par ailleurs, dans le cas de l’application du principe de superposition de la viscoélasticité linéaire, un déchargement partiel est considéré comme une charge négative qui induit une déformation de fluage égale et opposée à celle qui aurait été causée par une charge positive de même amplitude appliquée au même moment. Or, après une certaine période de chargement en compression, il apparaît expérimentalement que la recouvrance de fluage du béton est significativement plus petite que celle prédite par le principe de superposition. Si l’on considère l’évolution de la sollicitation de la dalle (béton de 1ère phase) des ponts-bacs, il apparaît que celle-ci subit, après la mise en précontrainte au jeune âge, quelques déchargements importants : pertes graduelles de précontrainte dues au retrait différé, à la redistribution des contraintes entre le béton et l’acier des poutrelles et à la relaxation des torons, mais aussi mise en place des équipements et différentes couches de ballast qui constituent une charge permanente significative. Il nous est apparu donc comme essentiel d’en tenir compte pour progresser dans la modélisation du comportement à long terme des ponts-bacs. Après avoir passé en revue la littérature qui traite de la modélisation de cet aspect, deux manières de traiter le problème ont attiré notre attention :

- au moyen de la déformation de retour de fluage proposée dans les annexes du [BPEL, 1991] dont l’expression dépend de la durée de chargement, de l’âge au chargement, de l’âge au déchargement, de l’humidité relative extérieure et de l’épaisseur effective ;

- à l’aide de la fonction de recouvrance proposée par [Yue & Taerwe, 1993] dont l’expression dépend de la durée de chargement, de l’âge au chargement et de l’âge au déchargement.

Nous avons choisi d’implémenter la deuxième approche dans le programme d’analyse de structure pour les deux raisons suivantes :

- la prise en compte de cette fonction de recouvrance s’intègre de manière tout à fait évidente dans la logique des programmes qui ont été écrits sur base de la méthode pas-à-pas (ce qui n’est pas du tout le cas de la première approche);

- les paramètres de cette fonction ont été calibrés sur des bétons confectionnés au Laboratoire Magnel de l’Université de Gand dont les constituants ont été prélevés en Belgique et pour lesquels le modèle CEB-MC90 a semblé reproduire de manière relativement satisfaisante les propriétés (ce qui se rapproche de ce que nous avons déjà obtenu pour le béton utilisé dans les ponts-bacs).


178

4.2. Modélisation de la recouvrance de fluage

Avant de présenter la mise en équation, nous allons rappeler brièvement ci-après le principe de la modélisation proposée par [Yue & Taerwe, 1993] auquel les auteurs ont donné le nom de « méthode des deux fonctions ».

Contrainte

Age du béton

Figure B.4.2 Illustration d’un historique de contrainte simplifié Dans cette approche, le comportement non linéaire causé par le déchargement est divisé en deux parties : une fonction de fluage classique pour le chargement et la partie résiduelle du chargement (dans le cas d’un déchargement partiel) et une fonction de recouvrance de fluage pour le déchargement partiel ou total. Ainsi, pour l’historique de contrainte simplifié présenté à la Figure B.4.2, Yue et Taerwe ont montré que la déformation totale (déformation de retrait exclue) s’exprime de la manière suivante : pour t0 ≤ t < t1

)B.4.1(),(.),( 000 ttJtt σε = avec J(t, t0): fonction de fluage; σ0: contrainte initiale appliquée en t0. pour t ≥ t1

[ ] )2B.4.(),,(.),(),(.),(.),( 10101010100 tttttJttJttJtt rΦ∆−−+= σσσε

σ1

σ0 ∆σ1

t0 t1


179

ce qui équivaut à dire que

[ ] )3.4B.(),,(.),(),(.),(.),( 1010101000 tttttJttJttJtt rΦ∆−−∆−= σσσε

avec J(t, t0): fonction de fluage; σ0: contrainte initiale appliquée en t0. ∆σ1: variation de contrainte appliquée en t1 ; Φr(t, t0, t1): fonction de recouvrance de fluage. Si on généralise l’historique de contrainte à plusieurs incréments se produisant à des instants ti, l’équation peut s’écrire sous la forme

)4.B.4()().,,()().,(),(.),(1 1

0000 ∑ ∑ ∆Φ+∆+=n n

iirii tttttttJttJtt σσσε

avec J(t, t0), J(t, ti) : fonctions de fluage; σ0: contrainte initiale appliquée en t0. ∆σ(ti): variation de contrainte appliquée en ti ; Φr(t, t0, ti): fonction de recouvrance de fluage.

avec [ ])(05.01.0exp1 00 ttt i −+−−=α (B.4.7) et E(ti): module d’élasticité du béton à ti; E28: module d’élasticité du béton à 28 jours. Remarquons d’emblée l’analogie manifeste entre l’expression de la fonction de recouvrance de fluage et la fonction de fluage telle que proposée dans le code modèle CEB-MC90. En effet, elles s’expriment sous la forme :

)9.4.B()(

1),,(et (B.4.8))(

1),(281

10280

0 EtEttt

EtEttJ r

rϕϕ

+=Φ+=

avec φ, le coefficient de fluage et φr, ce que nous pourrions appeler le coefficient de recouvrance de fluage. Nous verrons au chapitre suivant comment nous avons intégré cette méthode dite aux deux fonctions dans une analyse type pas-à-pas pour le comportement structural.

24.0

21

280 300

.35.0.1)(

1),,( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

+=Φαα i

i

iir tt

ttEtE

ttt

0),,( 0 =Φ ir ttt

pour ∆σ(ti)<0 (déchargement) (B.4.5)

pour ∆σ(ti)>0 (chargement) (B.4.6)


180

Par ailleurs, les données expérimentales rapportées dans [Yue & Taerwe,1993] ont montré que la recouvrance de fluage diminue avec l’augmentation de l’âge au chargement et de la durée du chargement. De plus, dans le cas de chargement au jeune âge ou pour de courtes périodes de chargement, le développement de la recouvrance de fluage est plus rapide que celui qui existerait dans les situations inverses. La valeur finale ainsi que la vitesse de développement du coefficient de recouvrance de fluage φr dépend de toute l’histoire de chargement: âge au chargement, âge au déchargement et durée du chargement.

4.3. Comparaison des déformations résiduelles prédites avec les résultats d’essais sur éprouvettes

L’objet de cette partie est de déterminer si l’expression de la fonction de recouvrance de fluage telle qu’elle a été proposée par Yue et Taerwe est valide pour le béton typique des ponts-bacs que nous analysons dans ce travail. A cette fin, plusieurs séries d’éprouvettes ont été mises en charge à des âges divers (1 jour, 30 heures, 36 heures, 2 jours, 28 jours) sous des niveaux de contrainte égaux à 50% et 60% de fc,j (où j est l’âge du béton au moment du chargement) et ensuite complètement déchargées à des âges divers pour avoir des durées de chargement assez différentes (28 jours, 55 jours, 140 jours, 210 jours, 338 jours) et ce, en parallèle à des essais de retrait sur des éprouvettes provenant des mêmes gâchées. Une partie des éprouvettes a été chauffée durant une journée après le coulage dans le même environnement que les ponts-bacs chauffés. La composition du béton ainsi que la taille des éprouvettes est identique à ce qui a déjà été mentionné dans les deux chapitres précédents. Dans les graphiques qui vont suivre, nous allons comparer les valeurs expérimentales avec les valeurs prédites d’une part par l’application du principe de superposition et d’autre part par la méthode des deux fonctions. Le code modèle CEB-MC90 dans sa version 99 a été utilisé pour la fonction de fluage tandis dans la méthode aux deux fonctions, c’est l’expression proposée par Yue et Taerwe qui est appliquée pour la fonction de recouvrance de fluage. La résistance moyenne à la compression fc a été mesurée sur des cylindres de diamètre 8cm et de hauteur 16cm.

Résistance moyenne à la compression sur cylindre (MPa)

Age du béton (jour)

Gâchée 1 Gâchée 6 Gâchée 7

Non chauffé Non chauffé Chauffé 1 d 30 32 49 2 d 41.6 50 50 28 d 61.7 69 61

Figure B.4.3 Valeurs expérimentales de la résistance moyenne à la compression pour les gâchées 1, 6 et 7.


181

Dans les graphiques B.4.4 et B.4.5, sont représentées les fonctions de fluage total et fondamental d’éprouvettes non chauffées chargées à 28 jours sous un niveau de contrainte égal à 50% de fc,28 et ensuite complètement déchargées à 55 jours. Les valeurs expérimentales sont comparées aux valeurs prédites par le code modèle CEB-MC (1999) par application du principe de superposition et par la fonction de recouvrance de fluage par application de la méthode aux deux fonctions. Dans le cas de l’application de niveau de contrainte supérieur à 40%, le code modèle CEB-MC90 propose de majorer le coefficient de fluage en le multipliant par le paramètre k dont l’expression est donnée ci-après :

)10.(B.44.0.exp0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

cmtfk σασ

avec fcmt0: résistance moyenne à la compression du béton au moment du chargement (MPa); σ: contrainte appliquée au chargement (MPa); et ασ = 0,5 pour des éprouvettes scellées ασ = 1,5 pour des éprouvettes exposées au séchage. Pour toutes les éprouvettes chargées à un niveau de contrainte supérieur à 40% (en pratique 50 et 60 % pour les graphiques de ce chapitre), nous avons pris en compte le paramètre k dans toutes les simulations des fonctions de fluage J qui figurent dans les graphiques comparatifs entre les valeurs mesurées et les valeurs prédites. Pour les graphiques B.4.4 et B.4.5, que ce soit le fondamental ou le total, la différence entre les mesures et les valeurs prédites après déchargement est significative quand le principe de superposition est appliqué alors que l’évolution des valeurs expérimentales semble être bien reproduite avec la méthode aux deux fonctions.


182


0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,00009

0,0001

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) en jour

J total calculé, 50%, t1 = 55j, avec fonction de recouvranceJ total expérimental, 50%, t1 = 55jJ total calculé, 50%, t1 = 55j, principe de superposition

Figure B.4.4 Fonctions de fluage total des éprouvettes non chauffées chargées à 28 jours et déchargées à 55 jours (gâchée 6).


0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,00009

0,0001

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-28) en jour

Fonction de fluage fondamental mesurée J, 50%, t1 = 55jJ fondamental calculé, 50%, t1 = 55j, avec fonction de recouvranceJ fondamental calculé, 50%, t1 = 55j, principe de superposition

Figure B.4.5 Fonctions de fluage fondamental des éprouvettes non chauffées chargées à 28 jours et déchargées à 55 jours (gâchée 6). Dans le cas des éprouvettes chauffées avant la mise en charge, nous avons vu au chapitre 2 que le code modèle CEB-MC propose d’utiliser un temps équivalent t0t pour décrire le degré de maturation atteint par ces éprouvettes. L’âge du béton au moment de la mise en charge devient t0t au lieu de t0. C’est ce que nous appellerons ‘modèle 1’ par la suite dans les graphiques de ce chapitre et du chapitre 6. Pour rappel, l’expression de t0t est :


183

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−∆=i

i Tttt

273400065.13exp.0 (B.4.11)

avec ∆ti: ième intervalle de temps où la température est supposée constante ; Ti: valeur de la température durant ∆ti (°C). Par ailleurs, on a vu également que suivant le type de ciment, le code modèle CEB-MC propose d’utiliser un temps équivalent effectif t0eff qui se calcule à partir de la valeur t0t précédemment calculée en remplacement de t0 pour l’âge du béton au moment de sa mise en charge. C’est ce qui sera noté ‘modèle 2’ par la suite dans les graphiques de ce chapitre et ceux du chapitre 6. L’expression de t0eff est:

α

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+= 1

29. 2.1

000 ttttt eff (B.4.12)

avec α = -1 pour du ciment à prise lente; 0 pour du ciment à prise normale; 1 pour du ciment à prise rapide. Pour les ciments à prise rapide, suite à un traitement thermique, l’utilisation du modèle 2 implique une augmentation significative du temps équivalent t0eff. Il était donc nécessaire de s’assurer du modèle le plus adéquat à utiliser pour le béton qui fait l’objet de notre analyse. C’est ce qui a motivé la mise en place de simulations utilisant d’une part, le modèle 1 et d’autre part, le modèle 2. La figure B.4.6 représente les paliers de température qui ont été considérés dans les simulations qui suivent pour les éprouvettes chauffées.

62

54

22

19

33

2528

62

46

28

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

temps (jour)

Température (C)

cure thermique

Figure B.4.6 Paliers de température considérés dans la modélisation à partir des enregistrements effectués sur éprouvettes chauffées


184

Fonction de fluage total J (1/MPa)

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) en jour

avec recouvrance, modèle 1principe de superposition, modèle 1J expérimentalavec recouvrance, modèle 2principe de superposition, modèle 2

Figure B.4.7 Fonctions de fluage total des éprouvettes chauffées chargées à 2 jours (50%) et déchargées à 55 jours (gâchée 7). Dans la figure B.4.7, la comparaison entre les valeurs expérimentales et les valeurs prédites confirment la nécessité d’utiliser le modèle 2 dans les simulations pour ce type de béton. Après déchargement, une très bonne concordance est obtenue entre les valeurs mesurées et les valeurs prédites par la méthode aux deux fonctions.


0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,00009

0,0001

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-1) en jour

J, 60%, avec recouvranceJ, 60%, principe de superpositionJ expérimental, 60%J expérimental, 50%J, 50%, avec recouvranceJ, 50%, principe de superposition

Figure B.4.8 Fonctions de fluage total des éprouvettes chauffées chargées à 1 jour et déchargées à 28 jours (gâchée 7).


185

La figure B.4.8 montre qu’il n’existe pas de différence entre les fonctions de fluage provenant des mesures expérimentales d’éprouvettes chauffées chargées à un jour à des niveaux de contrainte de 50% et 60%. Nous avions vu effectivement au chapitre 2 que jusque 70%, le pourcentage de contrainte appliquée n’influence que très faiblement la fonction de fluage des éprouvettes chauffées et chargées à un jour.


0,00000

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,00010

0,00012

0,00014

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-1) en jour

avec recouvrance, modèle 1principe de superposition, modèle 1J expérimentalavec recouvrance, modèle 2principe de superposition, modèle 2

Figure B.4.9 Fonctions de fluage total des éprouvettes chauffées chargées à 1 jour (50 %) et déchargées à 210 jours (gâchée 7).

Fonction de fluage fondamental J (1/MPa)

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-1) en jour

J expérimentalJ calculé, avec recouvranceJ calculé, principe de superposition

Figure B.4.10 Fonctions de fluage fondamental des éprouvettes chauffées chargées à 1 jour (50 %) et déchargées à 210 jours (gâchée 7).


186

Dans la figure B.4.9, l’utilisation du modèle 2 est à nouveau confirmée pour des éprouvettes chauffées et chargées à un jour. Les figures B.4.9 et B.4.10 illustrent les fonctions de fluage total et fondamental d’éprouvettes chauffées chargées à un jour et déchargées complètement à 210 jours. Après déchargement, les valeurs prédites par l’application du principe de superposition dévient à nouveau largement des valeurs expérimentales.


0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) en jour

J expérimental, 60%J calculé, 60%, avec recouvranceJ calculé, 60%, principe de superposition

Figure B.4.11 Fonctions de fluage total des éprouvettes non chauffées chargées à 2 jours et déchargées à 140 jours (gâchée 1).


0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,00016

0,00018

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-1) en jour

J expérimentalJ calculé, avec recouvranceJ calculé, principe de superposition

Figure B.4.12 Fonctions de fluage total des éprouvettes non chauffées chargées à 1 jour (50%) et déchargées à 338 jours (gâchée 1).


187

Dans le cas de la figure B.4.11, il s’agit d’une éprouvette non chauffée, chargée à l’âge de 2 jours à un niveau de contrainte égal à 60 % et déchargée complètement à l’âge de 140 jours. La figure B.4.12 illustre les fonctions de fluage d’une éprouvette non chauffée et chargée à un jour sous un niveau de contrainte égal à 50% et déchargée à 338 jours. L’utilisation du paramètre k multiplicateur du coefficient de fluage tel que défini dans le code modèle CEB-MC90 dans les simulations de la fonction de fluage semble reproduire de manière assez satisfaisante les valeurs expérimentales lorsque l’âge du béton au moment du chargement est au moins de deux jours pour des éprouvettes non chauffées. Cette bonne concordance est loin de couvrir toutes les situations. En effet, nous avons vu au chapitre précédent que la non linéarité que nous avons observée expérimentalement entre des niveaux de contrainte égaux à 70 et 50% pour des âges au chargement variant entre un jour et deux jours est très dépendante de l’âge du béton au moment du chargement. Cet aspect est totalement absent dans l’expression du paramètre k. Pour étendre le domaine de validité du paramètre k proposé par le code modèle CEB-MC90, il s’avère donc indispensable d’y introduire une dépendance à l’âge du béton ou au degré d’hydratation de celui-ci. Cette recherche mérite et constituera certainement l’objet de travaux futurs.

4.4. Comparaison des déformations différées mesurées et prédites pour des éprouvettes de taille différente

Jusqu’à présent, dans cette deuxième partie, nous avons illustré nos propos avec des éprouvettes de diamètre 8 cm et de hauteur 32 cm dont la composition est très proche de celle du pont-bac instrumenté. Dans la première partie de ce travail, nous avons présenté d’autres résultats d’essais de retrait et de fluage qui ont été effectués sur des éprouvettes de diamètre 15 cm et de hauteur 60 cm dont le béton a été prélevé parmi les gâchées mises en œuvre chez le préfabricant lors de la fabrication du pont-bac instrumenté. Etant donné l’effet d’échelle non négligeable existant entre ces deux types d’éprouvettes, nous nous sommes demandés si, pour des éprouvettes qui proviendraient exactement de la même gâchée, le code modèle CEB-MC90 rendait correctement compte de cet effet dans l’estimation du retrait et de la fonction de fluage d’éprouvettes exposées au séchage. Nous avons donc effectué une série d’essais supplémentaire sur des éprouvettes exposées au séchage et mises en charge à un jour à des niveaux de contrainte égaux à 30 et 50% de fc,1. La résistance moyenne à la compression fc a été mesurée sur des cylindres de diamètre 8cm et de hauteur 16cm pour les petites éprouvettes et de 15cm de diamètre et de hauteur 30cm pour les grandes éprouvettes.

Gâchée 8 Age du béton

(jour) Petite éprouvette Grande éprouvette 1 d 32 28,4 2 d 42,7 34,2 14 d 59,5 52 28 d 64,2 58,1

Figure B.4.13 Valeurs de la résistance moyenne à la compression pour la gâchée 8.


188

Dans les graphiques qui suivent, toutes les valeurs expérimentales sont comparées aux valeurs prédites par le modèle CEB-MC90 dans sa version 93 et 99 pour le retrait et la fonction de fluage et par le modèle de Yue et Taerwe pour la fonction de recouvrance de fluage.

Retrait total (petite éprouvette) en µs

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

00,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-1) (d)

CEB 90 V93mesuresCEB 90 V99

Figure B.4.13 Retrait total de la petite éprouvette exposée au séchage à un jour

Retrait total (grande éprouvette) en µs

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

00,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-1) (d)

CEB 90 V93CEB 90 V99mesures

Figure B.4.14 Retrait total de la grande éprouvette exposée au séchage à un jour


189

J total (petite éprouvette, 30%) en MPa-1

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-1) (d)

CEB99 tot 30%mesuresCEB93 tot 30%

Figure B.4.15 Fonction de fluage total de la petite éprouvette chargée à un jour à un niveau de contrainte égal à 30% de fc,1 et totalement déchargée à 22 jours

J total (grande éprouvette, 30%) en MPa-1

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-1) (d)

mesuresCEB93 tot 30%CEB99 tot 30%

Figure B.4.16 Fonction de fluage total de la grande éprouvette chargée à un jour à un niveau de contrainte égal à 30% de fc,1


190

J total (petite éprouvette, 50%) en MPa-1

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-1) (d)


Figure B.4.17 Fonction de fluage total de la petite éprouvette chargée à un jour à un niveau de contrainte égal à 50% de fc,1 et totalement déchargée à 22 jours

J total (grande éprouvette, 50%) en MPa-1

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,00014

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

(t-1) (d)


Figure B.4.18 Fonction de fluage total de la grande éprouvette chargée à un jour à un niveau de contrainte égal à 50% de fc,1


191

Après examen des figures B.4.13 à B.4.18, on constate expérimentalement que pour une certaine durée donnée (t-ts) ou (t-t0) où ts est l’âge du béton au moment de l’exposition au séchage et t0 est l’âge du béton au moment du chargement :

- la déformation de retrait total de la petite éprouvette est plus grande que celle de la grande éprouvette ;

- la fonction de fluage total de la petite éprouvette chargée à 30 ou à 50% est

également plus grande que celle de la grande éprouvette. C’est tout-à-fait ce à quoi nous nous attendions étant donné que l’épaisseur effective pour le séchage n’est que de 40mm pour la petite éprouvette alors qu’elle vaut 75mm pour la grande éprouvette, ce qui cause une différence dans les cinétiques de séchage respectives de chacune des éprouvettes. Dans le code modèle CEB-MC90 dans sa version 99 par exemple, nous constatons dans les équations ci-dessous exprimant la déformation de retrait de dessiccation que l’épaisseur effective du béton intervient explicitement dans le paramètre βds(t-ts) qui décrit le développement du retrait au cours du temps.

t: âge du béton (jours) fcm: résistance moyenne du béton à 28 jours (MPa) h: épaisseur effective de la pièce (mm) RH: humidité relative (%) εcds: déformation de retrait de dessiccation pendant la période (t-ts) εsdso(fcm): facteur tenant compte de la résistance du béton sur le retrait de dessiccation βds(t-ts): coefficient décrivant le développement du retrait avec le temps βRH : coefficient tenant compte de l’humidité relative sur le retrait de dessiccation De même, si on examine dans les équations ci-après comment l’épaisseur effective intervient dans le calcul du coefficient de fluage, on constate que celle-ci est prise également en compte dans le paramètre βc(t-to) qui décrit l’évolution de la déformation de fluage après le chargement ainsi que dans le paramètre φRH qui détermine l’amplitude de la déformation de fluage ultime.

)B.4.15(100

)14.4B.(

.350

)(

)13B.4.()().().(),(5,0

1

21

mmh

ttt

hh

ttt

tt

ttRHftt

o

s

o

s

sds

sdsRHcmcdsoscds

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

=−

−=

β

ββεε


192

φo:coefficient de fluage ultime φRH: facteur tenant compte de l’humidité relative sur le fluage ultime φ(t-to):coefficient de fluage au temps t βc(t-to): coefficient décrivant le fluage après le chargement β(fcm): coefficient tenant compte de la résistance du béton sur le fluage ultime βH: coefficient tenant compte de l’humidité relative et de l’épaisseur effective sur le fluage β(to): coefficient tenant compte de l’âge au chargement sur le coefficient de fluage ultime Au vu de ces résultats, nous en concluons que pour le béton qui est analysé dans ce travail, l’effet d’échelle qui existe au niveau des déformations de retrait de dessiccation et de fluage de dessiccation et qui est pris en compte explicitement dans le code modèle CEB-MC90 dans sa version 99 semble être en bonne concordance avec les valeurs expérimentales mesurées.

( )

)18B.4.()( avec 1500. .250.2,11..150

)17.4B.()(et avec ...1,0

11

)16B.4.(.)().(.),(.)t(t,

333

18

2121

3

0

0

3,0

1

1o

cmoo

H

cmRH

oH

o

ocmRHoco

ffRHRH

hh

ff

hh

RHRH

ttt

ttt

tftt

=<+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−

==

αααβ

ααααφ

βββφβφφ


193

4.5. Conclusions sur la modélisation des déformations différées des éprouvettes

Pour conclure ces comparaisons multiples entre valeurs expérimentales et valeurs prédites, nous retenons les points suivants:

- pour définir l’âge du béton au moment du chargement dans le calcul de la fonction de fluage des éprouvettes chauffées selon la version 99 du modèle CEB-MC90, l’utilisation d’un temps équivalent effectif t0eff tel que défini par le code modèle CEB-MC90 (correspondant au modèle 2) semble appropriée pour le béton qui est analysé dans ce travail ;

- l’application de la méthode aux deux fonctions avec la fonction de

recouvrance de fluage telle que proposée par Yue & Taerwe (1993) semble reproduire la plupart des résultats expérimentaux de manière très satisfaisante pour les différents âges au chargement et durées de chargement testés. Il ne semble pas qu’il soit nécessaire de particulariser l’expression de la fonction de recouvrance de fluage pour les éprouvettes chauffées ou pour des niveaux de contrainte appliqués de 50 et 60%. Cette méthode sera donc utilisée telle que proposée dans [Yue & Taerwe, 1992] pour l’analyse structurale du comportement des ponts-bacs ;

- le paramètre k multiplicateur du coefficient de fluage dans le cas de

pourcentages de contrainte compris entre 40 et 60% tel que défini dans le code modèle CEB-MC90 ne convient pas pour ce type de béton qui appartient à la catégorie des BHP. En effet, la prise en compte de ce paramètre dans la fonction de fluage ne permet pas de représenter l’ensemble du comportement différé observé (notamment pour les chargements au jeune âge) car aucune dépendance au degré d’hydratation n’apparaît dans son expression. Ce paramètre ne sera donc pas considéré dans l’analyse structurale qui est présentée au chapitre suivant ;

- l’effet d’échelle du béton des ponts-bacs qui, comme nous l’avons vu, a une

influence sur la déformation de retrait de dessiccation et sur la déformation de fluage de dessiccation semble être bien reproduit par le code modèle CEB-MC90 dans sa version 99. Compte tenu des différences entre les valeurs des épaisseurs effectives à l’échelle de la structure (235mm pour la dalle et 335mm pour la membrure), il était nécessaire de s’assurer que le modèle utilisé rendait correctement compte de cet effet.


194

5. Analyse de la section suivant la méthode dite aux deux

fonctions

5.1. Introduction L’objet de la première partie de ce chapitre est de présenter l’implémentation de la fonction de recouvrance de fluage qui a été présentée au chapitre 4 dans une analyse structurale suivant la méthode dite aux deux fonctions. Dans une seconde partie, les déformations obtenues par cette méthode seront comparées aux valeurs prédites par l’application classique du principe de superposition et aux mesures qui ont été effectuées dans la dalle et dans les membrures du pont-bac instrumenté.

5.2. Effets instantanés L’analyse de la section suite à l’application de charges à des événements ti est identique à ce qui a été présenté dans la première partie pour la méthode pas-à-pas.

5.3. Effets différés L’axe du temps est discrétisé entre chaque événement de charge de la même manière que celle utilisée dans la méthode pas-à-pas. Soit ti un événement de charge extérieure qui constitue une nouvelle origine pour la série de pas de temps de la manière suivante :

41

1

10=−

−

− ip

ip

tttt

(B.5.1 )

où 1−−=∆ ppp ttt (B.5.2 ) La règle du trapèze est appliquée aussi bien pour la fonction de fluage que pour la fonction de recouvrance de fluage tel que cela a déjà été présenté pour l’application du principe de superposition au chapitre 10 de la première partie.

[ ] [ ][ ] )3(B.5.

2.),(),(),(),(

2.),(),(),(),()()(

1

1111

1

111111

kp

tkprkprkprkpr

kp

kpkpkpkppspsp

rec

tttttttt

ttJttJttJttJttσ

σεεε

κ

κ∆

Φ−Φ−Φ+Φ+

∆−−++−=∆

∑∑

−

=−−−−

−

=−−−−−

avec kkp

kp

kkpr tt

ttEtE

ttα.300

.1)(

1),(28 +−

−+=Φ (B.5.4)

et [ ])).(05,0.(1,0exp1 preckpreck ttt −+−−=α (B.5.5)


195

où εs(t) est la déformation de retrait à l’instant tp ; Фr(tp,tk) est la fonction de recouvrance de fluage ; tprec est l’instant correspondant à l’application de la précontrainte ; trec est l’instant du premier déchargement appliqué après la précontrainte ; E(tk) est le module d’élasticité du béton à l’instant tk ; E28 est le module d’élasticité du béton à 28 jours. Dans cette expression, [ ] 0),(),(),(),( 1111 ≠Φ−Φ−Φ+Φ −−−− kprkprkprkpr tttttttt pour ∆σk < 0 (traction)

(B.5.6) et [ ] 0),(),(),(),( 1111 =Φ−Φ−Φ+Φ −−−− kprkprkprkpr tttttttt pour ∆σk > 0 (compression)

(B.5.7)

où J(tp,tk) = fonction de fluage ϕ(tp,tk) = coefficient de fluage L’incrément de contrainte se produisant sur le pas de temps p s’écrit de la même manière que l’expression exposée dans la méthode pas-à-pas.

avec

L’introduction des efforts internes Nip et Mip appliqués à la section non dissociée afin de rétablir l’équilibre s’exprime comme pour la méthode pas-à-pas par :

La suite du raisonnement est tout-à-fait analogue à ce qui a été présenté dans la première partie pour la méthode pas-à-pas.

)9B.5.())(.( pppp tE εεσ ∆−∆=∆

)(B.5.8)(

),(1),(

k

kpkp tE

ttttJ

ϕ+=

)B.5.11(),(),(

2

)10B.5.()()()(

1

1

−

−

+=

−=∆

ppppp

ppp

ttJttJE

ttt εεε

)12.5B.().()..( ∫∫ ∆+∆=pc A

pppr

Ac

ppcip dAdAEN σε

)13.5.B(.).(.)..( ∫∫ ∆+∆=pc A

pppr

Ac

ppcip dAydAyEM σε


196

5.4. Comparaison des mesures prises sur un tablier avec les valeurs calculées par la méthode pas-à-pas et la méthode aux deux fonctions

Dans la première partie, nous avons présenté l’instrumentation qui a été réalisée en juin 2000 au tiers et à mi-portée d’un pont-bac de 26 m de portée situé rue du Charroi près de Bruxelles-Midi. La position des jauges et des extensomètres à corde vibrante est rappelée sur la figure B.5.1. Pour chaque section, deux extensomètres à corde vibrante (TS) ont été placés à 8 cm de la fibre supérieure et quatre autres à 5 cm de la fibre inférieure de la section. Quatre jauges (J) ont été collées sur les semelles inférieures des poutrelles et deux autres, sur les semelles supérieures. Dans les graphiques qui vont suivre dans ce chapitre, l’instant (t=0) correspond à la mise en préflexion des poutrelles (soit 0,48 jour avant le coulage du béton de 1ère phase et 4,28 jours avant le coulage du béton de 2ème phase. Une déformation positive correspond à une extension. L’humidité relative externe a été fixée à la valeur constante moyenne de 70% dans tous les calculs. Pour les calculs, l’événement pris comme zéro pour l’échelle des temps correspond au coulage du béton de 1ère phase. L’histoire de chargement ultérieur est la suivante : application de la précontrainte en t = 2,6 jours; coulage du béton de 2ème phase en t = 3,8 jours ; stockage dans l’usine de préfabrication (changement de position des appuis) en t = 5,7 jours ; stockage à Petite-Ile (changement de position des appuis) en t = 10,75 jours ; mise en place sur les appuis définitifs en t = 45 jours ; disposition des équipements du tablier en t = 130 jours et finalement placement du ballast en t = 270 jours et t = 305 jours avant la mise en service du viaduc un mois plus tard. Figure B.5.1 Position des jauges (J) et des extensomètres à corde vibrante (TS) dans le tablier instrumenté Dans les figures B.5.2 à B.5.5, nous comparons les déformations mesurées à mi-portée du tablier au niveau des semelles inférieures et supérieures des poutrelles, dans le béton de 1ère phase (à 5cm du bord inférieur de la dalle) et dans le béton de 2ème phase (à 8 cm du bord supérieur de la membrure) avec les valeurs prédites par la méthode pas-à-pas (application du principe de superposition) et par la méthode aux deux fonctions (avec fonction de recouvrance).

TS6 TS1

TS5 TS3TS4 TS2

J3 J9

J2 J1 J8 J7

3.98 m

1.36

m

Vibrating wire extensometer

Strain gage

(6)

(4)(10) (8)

(7)

(10)(11)(5)(11)

(12)(12)

(9)

(12)(12) Témoin sonore Jauge


197

Pour la méthode aux deux fonctions, le modèle proposé par Yue et Taerwe a été intégré à l’analyse structurale des effets différés suivant une approche pas-à-pas suivant les équations qui ont été présentées au paragraphe précédent. Dans le cas des deux méthodes présentées dans les figures B.5.2 à B.5.9, c’est le modèle CEB-MC90 dans sa version 99 qui a été utilisé pour évaluer à chaque pas de temps la fonction de fluage des deux phases de béton.

Figure B.5.2 Déformations mesurées et calculées dans les poutrelles au niveau des semelles inférieures à mi-portée

Figure B.5.3 Déformations mesurées et calculées dans les poutrelles au niveau des semelles supérieures à mi-portée


198

Figure B.5.4 Déformations mesurées et calculées à 50 mm de la fibre inférieure de la dalle à mi-portée

Figure B.5.5 Déformations mesurées et calculées à 80 mm de la fibre supérieure de la membrure à mi-portée Dans la première partie, nous avons montré que l’application d’une méthode simplifiée faisant l’usage de coefficients d’équivalence acier-béton (suivant la NBN5) conduit à des valeurs calculées qui, à long terme, s’éloignent fortement des valeurs mesurées.


199

L’application d’une méthode type pas-à-pas pour évaluer le principe de superposition de la viscoélasticité linéaire a conduit à des résultats en nettement meilleur accord avec les valeurs mesurées. Les graphiques B.5.2 à B.5.5 montrent que la correspondance entre les mesures et les valeurs calculées est encore meilleure avec l’application de la méthode aux deux fonctions qui tient compte explicitement du phénomène de recouvrance du béton.

-150

-100

-50

0

50

100

150

0,1 1 10 100 1000 10000

Temps (j)Contrainte (MPa)

avec fonction de recouvranceprincipe de superposition

Figure B.5.6 Contraintes calculées dans les poutrelles au niveau de la semelle inférieure à mi-portée

-120

-100

-80

-60

-40

-20

00,1 1 10 100 1000 10000

Temps (j)Contrainte (MPa)

principe de superpositionavec fonction de recouvrance

Figure B.5.7 Contraintes calculées dans les poutrelles au niveau de la semelle supérieure à mi-portée


200

La figure B.5.6 montre l’évolution correspondante des contraintes calculées dans l’acier suivant les deux méthodes au niveau des semelles inférieures des poutrelles. A ce niveau, l’acier est en traction juste après application des efforts de préflexion. Par contre, après l’enlèvement de ces efforts et le transfert de la précontrainte, l’état de contrainte revient pratiquement à zéro. Ensuite, à ce niveau-là, l’acier se comprime de plus en plus au cours du temps suite aux effets différés du béton. La figure B.5.7 montre également que l’acier des semelles supérieures des poutrelles se comprime aussi au cours du temps suite aux effets différés du béton.

-24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0,1 1 10 100 1000 10000

Temps (j)

Contrainte (MPa) principe de superpositionavec fonction de recouvranceNBN5

Figure B.5.8 Contraintes calculées à 50mm de la fibre inférieure du béton à mi-portée

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0,1 1 10 100 1000 10000

Temps (j)

Contrainte (MPa)

principe de superpositionavec fonction de recouvrance

Figure B.5.9 Contraintes calculées à 80mm de la fibre supérieure du béton à mi-portée


201

Le graphique B.5.8 illustre l’évolution des contraintes dans la dalle. A long terme, aucune traction n’apparaît ni avec la méthode calcul simplifiée (NBN5) ni avec les deux méthodes utilisées dans cette recherche à savoir, la méthode pas-à-pas et la méthode aux deux fonctions. De plus, les pertes de précontrainte sont réduites dans le cadre de l’analyse tenant compte de la fonction de recouvrance de fluage par rapport à l’analyse fondée sur le principe de superposition. A 10000 jours, il subsiste encore 11,7 MPa avec la méthode calcul simplifiée (NBN5), 1,2 MPa en utilisant le principe de superposition et 2,7 MPa avec la méthode aux deux fonctions. La graphique B.5.9 illustre l’évolution des contraintes dans le béton de 2ème phase. Nous mettons en garde le lecteur vis-à-vis de l’interprétation des contraintes de traction élevées qui semblent se produire entre t = 10,75 jours et t = 45 jours. En effet, cela correspond à une période de stockage sur des appuis provisoires à Petite Ile qui est tout-à-fait spécifique au pont-bac qui a été instrumenté. Ce n’est certainement pas représentatif de l’état de contrainte du béton de 2ème phase des ponts-bacs d’une manière générale. Par ailleurs, suite à l’avancement de cette recherche, le bureau d’étude Tucrail en charge des projets ferroviaires incluant des ponts-bacs impose depuis lors dans les cahiers de charge de conserver la pose des ponts-bacs sur leurs appuis extrêmes pendant toutes les périodes de stockage provisoires qui précèdent la pose définitive sur les appuis d’extrémités.

5.5. Analyse de la variabilité des résultats à l’échelle du pont-bac en fonction de la résistance moyenne à la compression du béton

Au chapitre 3 de cette partie, la figure B.3.2 montre que la résistance moyenne à la compression à 28 jours du béton confectionné dans l’usine de préfabrication varie de manière assez significative d’une gâchée à l’autre. Cette variabilité intrinsèque au matériau béton est inévitable malgré les précautions très soignées qui sont prises au niveau de la pesée des différents composants. Nous nous sommes proposés de simuler le comportement du béton de la dalle du pont-bac qui a été instrumenté en terme d’évolution des déformations et des contraintes au cours du temps avec successivement les trois valeurs suivantes de résistance moyenne à la compression à 28 jours comme donnée dans le modèle CEB-MC90 version 99 d’évaluation du retrait et du coefficient de fluage :

- 61 MPa, ce qui correspond à la valeur moyenne minimale obtenue pour l’ensemble des gâchées effectuées avec le béton du préfabricant ;

- 64 MPa, ce qui correspond à la valeur moyenne obtenue sur des éprouvettes prélevées de la gâchée qui a servi à produire le tablier qui a été instrumenté ;

- 73 MPa, ce qui correspond à la valeur moyenne maximale obtenue pour l’ensemble des gâchées effectuées avec le béton du préfabricant.

Les figures B.5.10 et B.5.12 illustrent l’application du principe de superposition tandis que les figures B.5.11 et B.5.13 montrent l’application de la méthode aux deux fonctions.


202

-1300-1200-1100-1000

-900-800-700-600-500-400-300-200-100

0

0,1 1 10 100 1000 10000Temps (j)

Déformation (µm/m) TS2

TS3TS4TS5principe de superposition - 73MPaprincipe de superposition - 64MPaprincipe de superposition - 61MPa

Figure B.5.10 Déformations mesurées et calculées à 50 mm de la fibre inférieure de la dalle à mi-portée suivant le principe de superposition

-1300-1200-1100-1000

-900-800-700-600-500-400-300-200-100

0

0,1 1 10 100 1000 10000

Temps (j)

Déformation (µm/m)

TS2TS3TS4TS5avec fonction de recouvrance - 73MPaavec fonction de recouvrance - 64MPaavec fonction de recouvrance - 61MPa

Figure B.5.11 Déformations mesurées et calculées à 50 mm de la fibre inférieure de la dalle à mi-portée suivant la méthode aux deux fonctions Il est assez clair sur les deux graphiques B.5.10 et B.5.11 que la variabilité des prédictions obtenues en terme de déformations dans la dalle avec les trois valeurs de résistance à la compression du béton est du même ordre de grandeur que celle qui existe entre les mesures fournies par les extensomètres à corde vibrante.


203

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0,1 1 10 100 1000

Temps (j)

Contrainte (MPa) principe de superposition - 61MPaprincipe de superposition - 64MPaprincipe de superposition - 73MPa

Figure B.5.12 Contraintes calculées à 50mm de la fibre inférieure du béton à mi-portée suivant le principe de superposition

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0,1 1 10 100 1000

Temps (j)

Contrainte (MPa)avec fonction de recouvrance - 61MPaavec fonction de recouvrance - 64MPaavec fonction de recouvrance - 73MPa

Figure B.5.13 Contraintes calculées à 50mm de la fibre inférieure du béton à mi-portée suivant la méthode aux deux fonctions Au niveau des contraintes, aussi bien avec le principe de superposition qu’avec la méthode aux deux fonctions, la varabilité maximale des prédictions obtenues à 1000 jours en fonction de la résistance à la compression du béton est de l’ordre de 0,8 MPa, alors que la différence obtenue entre les deux méthodes de calcul est de 1,5 MPa, pour une résistance donnée du béton, ce qui représente pratiquement le double.


204

6. Optimisation des phases de préfabrication des ponts-bacs isostatiques

6.1. Introduction

La comparaison qui a été exposée au chapitre précédent entre les mesures effectuées sur le tablier instrumenté et les valeurs prédites a montré qu’à ce stade-ci, la meilleure correspondance ‘mesures-valeurs de calcul’ est obtenue avec la méthode aux deux fonctions qui inclut une fonction de recouvrance de fluage. Nous nous proposons donc d’utiliser cette méthode pour optimiser les phases de préfabrication des ponts-bacs en changeant l’instant du relâchement des efforts de préflexion et du transfert de la précontrainte et l’instant de coulage de la 2ème phase de béton par rapport à ce qui a été effectué jusqu’à présent chez le préfabricant. Par ailleurs, nous avons vu au chapitre 2 que dans le modèle CEB-MC90, les déformations de fluage peuvent être exprimées en fonction d’un temps équivalent à 20°C sous chargement pour prendre en compte explicitement la maturité réelle du béton. Les mesures expérimentales ont montré que pour le béton haute performance typique des ponts-bacs actuels, l’influence de la température avant la mise en charge peut être exprimée par la loi d’Arrhenius sous sa forme classique décrite dans le code. De plus, le modèle 2 (suivant le dénomination donnée au chapitre 4) basé sur un temps équivalent effectif t0eff semble plus adapté à reproduire les valeurs expérimentales de déformation de fluage de ce béton quand il est chauffé avant la mise en charge que le modèle 1 basé sur un temps équivalent t0t. Dans une optique d’optimisation du temps pour le préfabricant, il semble évident qu’il faille envisager d’office un traitement thermique appliqué à la dalle après le coulage du béton de 1ère phase de manière à appliquer la précontrainte le plus tôt possible. Dans ces circonstances où on chauffe le béton, nos différentes séries d’essais de fluage présentées aux chapitres 2,3 et 4 ont montré que la fonction de fluage reste identique pour des niveaux de contrainte compris entre 50 et 70% pour des éprouvettes chauffées ayant au moins un jour d’âge. Dans ces circonstances, il nous apparaît donc comme superflu d’incorporer dans l’analyse structurale du comportement à long terme une fonction qui serait dépendante du niveau de contrainte appliquée. Pour ce BHP, la non linéarité de la fonction de fluage n’a en fait été observée que dans le cas d’éprouvettes non chauffées et chargées au jeune âge, ce qui ne correspond pas aux conditions du béton des ponts-bacs chauffés que nous envisageons ici.


205

6.2. Résultats obtenus en terme d’évolution des contraintes dans le béton

Dans les figures qui suivent, plusieurs historiques de chargement fictif ont été choisis pour simuler le développement des contraintes dans le béton dans ces différentes situations. Les événements seraient les suivants :

- relâchement des efforts de préflexion et transfert de la précontrainte en t1 ; - coulage du béton de 2ème phase en t2 ; - mise en place des équipements en t = 130 jours ; - placement de la 1ère partie du ballast en t = 270 jours ; - placement de la 2ème partie du ballast en t = 305 jours.

Le figure B.6.1 précise les différentes valeurs de t1 et de t2 ainsi que le type de cure qui serait appliquée au tablier après le coulage du béton de 1ère phase.

Type de cure appliquée

Chauffé Chauffé

Chauffé

Chauffé

Non chauffé

t1 (d) 0,833 1 1,5 2 2,6 t2 (d) 1 1,1 1,6 2,1 3,8

Figure B.6.1 Age du béton de 1ère phase au moment de la précontrainte (t1) et au moment du coulage du béton de 2ème phase (t2)

Avant de passer en revue l’évolution des contraintes dans les deux phases de béton pour les différentes valeurs de t1 et de t2, il nous a semblé utile d’illustrer la différence en terme de résultats obtenus à long terme suivant que l’on opte pour le modèle 1 ou le modèle 2 pour la prise en compte du chauffage du béton avant le transfert de la précontrainte. C’est ce qui est représenté sur la figure B.6.2 au niveau de la fibre inférieure de la dalle à mi-portée pour t1 = 1 jour et t2 = 1,1 jour en parallèle avec la situation du pont-bac non chauffé qui a été instrumenté soit t1 = 2,6 jours et t2 = 3,8 jours. Dans cette figure, c’est la méthode aux deux fonctions qui a été utilisée pour générer les calculs. L’évolution de température qui a été utilisée dans ces simulations fictives est la même que celle qui a été présentée aux chapitres 2 et 4. Les évolutions obtenues tout d’abord pour le pont-bac non chauffé précontraint à 2,6 jours et ensuite pour un pont-bac chauffé précontraint à 1 jour en utilisant le modèle 1 semblent être très proches. En revanche, comme nous l’avions déjà remarqué dans les chapitres 2 et 4, l’utilisation du modèle 2 a pour conséquence que la maturité résultante du béton après chauffage est significativement plus élevée qu’avec le modèle 1. On constate d’ailleurs sur cette figure que les pertes de précontrainte à long terme dans le béton de la dalle sont sensiblement plus faibles avec le modèle 2 qu’avec le modèle 1 ou encore qu’avec la variante non chauffée et précontrainte à 2,6 jours.


206

-24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0,1 1 10 100 1000 10000

Temps (j)

Contrainte (MPa)

Chauffé, tp = 1 j, modèle 1Non-chauffé, tp = 2.6 jChauffé, tp = 1 j, modèle 2

Figure B.6.2 Contraintes calculées avec la méthode aux deux fonctions au niveau de la fibre inférieure de la dalle à mi-portée La figure B.6.3 montre les résultats obtenus pour les différentes simulations quand la méthode pas-à-pas basée sur principe de superposition est appliquée tandis que pour la figure B.6.4, il s’agit des résultats obtenus avec la méthode aux deux fonctions. Sur cette figure, on constate qu’il subsiste encore à long terme 4 MPa en compression sous charges permanentes au niveau de la fibre inférieure de la dalle quand le tablier est chauffé et précontraint à 20 heures d’âge du béton (0,833d) alors qu’il n’en subsiste plus que 2,7 MPa pour le tablier non chauffé qui a été instrumenté. Ces résultats ont été pris en compte par le bureau d’étude Tucrail qui a ainsi pu revoir les prescriptions en matière de phasage de préfabrication qui figurent dans les cahiers des charges pour ce type de tablier. En pratique, grâce à cette modification, le préfabricant gagne actuellement un jour de production par tablier, ce qui permet d’obtenir un taux de rotation plus élevé des installations et représente un gain certainement très appréciable sur le coût global de la main d’œuvre. Les figures B.6.5 et B.6.6 illustrent les contraintes correspondantes à mi-portée dans le béton de 2ème phase au niveau de la fibre supérieure de la section en appliquant la méthode pas-à-pas d’une part et la méthode aux deux fonctions d’autre part. Pour cette fibre, la différence entre les résultats obtenus avec ces deux méthodes n’est pas très grande. Avant le placement des couches de ballast, on dépasse pratiquement la valeur de 3 MPa en traction à cette fibre du fait du développement significatif du retrait et du fluage du béton pendant les premières semaines après la fabrication du tablier. Juste après le placement du ballast, le béton de 2ème phase est recomprimé complètement.


207

-24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0,1 1 10 100 1000 10000

Temps (j)

Contrainte (MPa)

Non-chauffé, tp = 2.6 jChauffé, tp = 0.833 jChauffé, tp = 1 jChauffé, tp = 1.5 jChauffé, tp = 2 j

Figure B.6.3 Contraintes calculées suivant la méthode pas-à-pas au niveau de la fibre inférieure de la dalle à mi-portée

-24

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0,1 1 10 100 1000 10000

Temps (jour)

Contrainte (MPa)


Figure B.6.4 Contraintes calculées avec la méthode aux deux fonctions au niveau de la fibre inférieure de la dalle à mi-portée


208

-3-2,5

-2-1,5

-1-0,5

00,5

11,5

22,5

33,5

4

0,1 1 10 100 1000 10000

Temps (j)

Contrainte (MPa)


Figure B.6.5 Contraintes calculées suivant la méthode pas-à-pas au niveau de la fibre supérieure de la membrure à mi-portée

-3-2,5

-2-1,5

-1-0,5

00,5

11,5

22,5

33,5

4

0,1 1 10 100 1000 10000

Temps (j)

Contrainte (MPa)


Figure B.6.6 Contraintes calculées avec la méthode aux deux fonctions au niveau de la fibre supérieure de la membrure à mi-portée


209

7. Extension du programme de calcul suivant la méthode aux deux fonctions au cas hyperstatique

7.1. Introduction L’objet de ce chapitre est de présenter les équations qui ont servi à établir un

programme général d’analyse de structure permettant d’optimiser les phases de construction de viaducs hyperstatiques constitués de ponts-bacs. L’évaluation très fine du comportement à long terme de ce type de structure est une nécessité compte tenu des redistributions importantes d’efforts qui s’effectuent entre l’acier et le béton au cours du temps dues aux effets différés de ce dernier. La prédiction du comportement sous charge de service constitue véritablement l’objet de ce travail. Le programme que nous nous proposons de construire : - doit permettre de tenir compte de la non symétrie de la structure d’un point de vue viscoélastique, c’est-à-dire que l’âge des travées est quelconque ; - doit permettre de tenir compte de géométries différentes dans une même travée lorsque, par exemple, le bétonnage de deuxième phase d’une travée est divisé en plusieurs sections coulées à des instants complètement différents ; - doit être applicable à des sections purement précontraintes tout comme à des sections mixtes préfléchies et précontraintes ; - doit être applicable à deux structures isostatiques juxtaposées qui sont liaisonnées à un moment quelconque pour rendre la structure continue ; - doit permettre de tenir compte des propriétés viscoélastiques différentes pour chaque phase de béton et pour chaque section ; - ne doit pas être particularisé au pont-bac mais apte à évaluer le comportement de n’importe quelle poutre mixte ou non, en béton précontraint ou non, préfléchie ou non, avec plusieurs phases de béton ou non.


210

7.2. Modélisation par éléments finis de type poutre

Suivant l’approche des éléments finis de type déplacement, la structure est divisée en un certain nombre d’éléments de type poutre connectés entre eux par des nœuds où la valeur du champ de déplacements sera calculée.

L’élément de poutre le plus classique tel que représenté à la Figure B.7.1 est

caractérisé par six degrés de libertés : quatre pour le champ de déplacement transversal et deux pour le champ de déplacement longitudinal. Soit ui, la composante cartésienne de l’incrément de déplacement dans la direction i d’un point de coordonnées (x,y). La théorie des éléments finis de type déplacement suppose que ui est une fonction de l’incrément des déplacements nodaux qk choisis comme inconnues.

kk

iki qu .

6

1∑=

Ν= (B.7.1)

avec u1 = u (B.7.2) et u2 = v (B.7.3) Dans cette analyse, l’hypothèse de Navier Bernoulli généralisée relative à la planéité des sections après déformation doit être vérifiée, ce qui signifie que

)4.(B.7),(.)0,(),( 0 dxyxdvyyxuyxu −==

Le champ de déplacement transversal v peut être construit comme un polynôme du 3ème degré en x et le champ de déplacement longitudinal u0(x,y=0) comme un polynôme du 1er degré en x.

Figure B.7.1. Elément de poutre à 6 d.d.l.

L

y

xq5

q4

q6

q1

q2

q3


211

C’est cohérent avec un chargement concentré aux nœuds de l’élément en supposant que l’axe x coïncide en tout point avec le centre de gravité des sections. Dans le cas d’une construction avec plusieurs phases de bétonnage, la ligne des centroïdes se déplace à travers la section au cours du temps. L’axe x local de référence ne correspondra donc plus en toutes sections avec le centre de gravité des sections. Dans [Espion, 1986], on montre qu’alors la différence de degré entre le polynôme en u et celui en v ne doit être égale qu’à 1 et pas à 2. Pour spécifier un champ de déplacement v du second degré quelle que soit la position de l’axe x par rapport à celle du centre de gravité de la section, il faut introduire un 3ème degré de liberté longitudinal q7. Par ailleurs, dès que l’évaluation fine du champ de déplacements en tout point interne de l’élément est nécessaire, pour quelque raison que ce soit, il est nécessaire d’adapter un élément de poutre à 9 d.d.l. tel que celui qui est représenté à la Figure B.7.2 et qui est caractérisé par quatre d.d.l. longitudinaux et cinq d.d.l. transversaux [Espion, 1986]. C’est cet élément qui a été implémenté dans le programme, de manière à permettre la prise en compte future dans la modélisation de certaines non linéarités qui n’ont pas été abordées dans le cadre de ce travail.

Figure B.7.2 Elément de poutre à 9 d.d.l. [Espion, 1986] Le champ de déplacement transversal v est caractérisé par un polynôme complet du 4ème degré en x, tandis que le champ de déplacement longitudinal, par un polynôme complet du 3ème degré. Soient 3

32

210 xxxu αααα +++= (B.7.5) et 4

43

32

210 xxxxv βββββ ++++= (B.7.6) des fonctions polynomiales des inconnues qi:

y

xq5

q4

q6

q1

q2

q3

L/3 L/6 L/3L/6

q8

q7 q9


212

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

ΝΝΝΝΝΝΝΝΝ

ΝΝΝΝΝΝΝΝΝ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

29

28

27

26

25

24

23

22

21

19

18

17

16

15

14

13

12

11

vu

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

9

8

2

1

.

.

qq

qq

(B.7.7)

dans lesquelles 1

iΝ et 2iΝ sont les fonctions de forme qui interpolent le champ de

déplacement en fonction des inconnues iq . Dans notre problème actuel, on ne considère que la partie linéaire du tenseur des déformations. Par ailleurs, pour l’analyse de poutres chargées dans leur plan, on peut supposer classiquement et en 1ère approximation que le champ de contraintes et de déformations est purement uniaxial. La loi de comportement incrémentale se réduit en tout point à :

1111 .εσ tt

t E= (B.7.8)

dans laquelle dxduuttt === 1,111εε (B.7.9)

ce qui conduit à qt

tt =Β=ε (B.7.10) avec [ ]1

1,91

1,81

1,71

1,61

1,51

1,41

1,31

1,21

1,1 ΝΝΝΝΝΝΝΝΝ=Β ttttttttttt (B.7.11)

Pour l’élément de poutre à 9 d.d.l., les fonctions de forme ainsi que leur dérivée sont données par les expressions suivantes :

³³

29

²²9

21111

1 Lx

Lx

LxN −+−= (B.7.12)

412

³32³

²54²

22L

yxL

yxLxyN +−= (B.7.13)

yL

yxL

yxLxyN −+−=

³³8

²²1581

3 (B.7.14)

³³

29

²²

291

4 Lx

Lx

LxN +−= (B.7.15)

415

³32³

²42²

10L

yxL

yxLxyN +−= (B.7.16)


213

³³8

²²921

6 Lyx

Lyx

LxyN −+−= (B.7.17)

³³

227

²²

24591

7 Lx

Lx

LxN +−= (B.7.18)

418

³64³

²96²

32L

yxL

yxLxyN −+−= (B.7.19)

³³

227

²²18

291

9 Lx

Lx

LxN −+−= (B.7.20)

et les dérivées,

³²

227

²18

2111

1,1 Lx

Lx

LN −+−= (B.7.21)

41

1,2²96

³108

²22

Lyx

Lxy

LyN +−= (B.7.22)

³²24

²3081

1,3 Lyx

Lxy

LyN +−= (B.7.23)

³²

227

²911

1,4 Lx

Lx

LN +−= (B.7.24)

41

1,5²96

³84

²10

Lyx

Lxy

LyN +−= (B.7.25)

³²24

²1821

1,6 Lyx

Lxy

LyN −+−= (B.7.26)

³²

281

²4591

1,7 Lx

Lx

LN +−= (B.7.27)

41

1,8²192

³192

²32

Lyx

Lxy

LyN −+−= (B.7.28)

³²

281

²36

291

1,9 Lx

Lx

LN −+−= (B.7.29)


214

L’application du principe des travaux virtuels conduit à exprimer la matrice de rigidité du système par le biais de l’équation suivante : qdVqdV t

ttt

tV

Tt

tTt

V....... ΒΕΒ=Ε∫ ∫δεεδ (B.7.30)

où dVt

ttTt

tv

t ΒΕΒ∫=Κ (B.7.31)

est la matrice de rigidité élémentaire dans laquelle chaque terme est évalué par :

dVtijtit

Vij

t ΕΝΝ∫=Κ 1,1

1, (B.7.32)

De même, les forces nodales élémentaires énergétiquement équivalentes aux contraintes internes s’expriment par le biais de l’équation suivante : dVqdV tTt

tV

TtTt

Vσδσεδ Β∫=∫ (B.7.33)

où dVF tTt

tv

t σΒ=∫ (B.7.34)

est le vecteur des forces énergétiquement équivalentes aux contraintes internes dans lequel chaque terme est évalué par : dVF t

itv

it

111

1, σΝ=∫ (B.7.35)

Soit Pt , le vecteur des forces nodales énergétiquement équivalentes aux charges appliquées sur le système. Quelle que soit la variation arbitraire cinématiquement admissible de δq, le système d’équations d’équilibre s’écrit compte tenu de ce qui a été défini précédemment :

FPq tttt −=Κ (B.7.36) Explicitons maintenant en détail chaque terme de cette équation en fonction du problème qui nous concerne.


215

En analyse matériellement linéaire, il est possible de donner une expression analytique aux termes de la matrice de rigidité Kt . Dans le chapitre 10 présentant l’analyse de la section suivant la méthode dite du pas-à-pas, les expressions de l’aire A, du moment statique B et du moment d’inertie I de la section par rapport à la fibre inférieure qui est choisie comme fibre de référence ont été explicitées en détail. Dans [Espion, 1986] l’auteur montre que l’on peut remplacer le système

FPq tttt −=Κ avec une matrice de rigidité [9X9] par un système condensé [6X6] et une série d’équations d’élimination. En effet, les degrés de liberté 7q , 8q et

9q ne sont pas connectés à ceux d’autres éléments, ce sont des degrés de liberté internes. Etant isolés, ces degrés de liberté internes peuvent êtres soustraits à l’assemblage en les éliminant préalablement au niveau de la relation force-déplacement de l’élément par une opération purement algébrique appelée condensation. Leurs expressions sont données ci-après :

6532417 32

.34

32

.34

31

32 q

Aq

LAq

Aq

LAqqq Β

−Β

+Β

−Β

−+= (B.7.37)

Lqqqq

q .82

63528

−++

= (B.7.38)

6532419 .32

.34

32

.34

32

31 q

Aq

LAq

Aq

LAqqq Β

−Β

+Β

−Β

−+= (B.7.39)

De même, le vecteur à 9 composantes des forces énergétiquement équivalentes aux contraintes internes peut être ramené à un vecteur à 6 composantes par une opération de condensation. Son expression est donnée ci-après :

9711 31

32' FFFF ++= (B.7.40)

98

722 .34

2.34' F

LAF

FLA

FF Β−+

Β−= (B.7.41)

89733 832

32' FLF

AF

AFF +

Β−

Β−= (B.7.42)

9744 32

31' FFFF ++= (B.7.43)

98

755 .34

2.34' F

LAF

FLA

FF Β++

Β+= (B.7.44)

98766 32

832' F

AFLF

AFF Β

−−Β

−= (B.7.45)


216

L’expression de la matrice de rigidité condensée [6X6] est donnée par :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

−−

−−−

−−

−−

−−−

−−−

−−−

−−

−−

Ε=

ABIA

LABIA

LLB

ABIA

LABIA

LLB

ABIA

LABIA

LABIA

LABIA

L

LB

LA

LB

LA

ABIA

LABIA

LLB

ABIA

LABIA

LLB

ABIA

LABIA

LABIA

LABIA

L

LB

LA

LB

LA

K c

²341²²

6²321²²

6

²²

6²³

120²²

6²³

120

00

²321²²

6²341²²

6

²²

6²³

120²²

6²³

120

00

1

(B.7.46)

Le vecteur des forces nodales énergétiquement équivalentes aux charges appliquées sur l’élément se décompose en trois parties : les forces et les couples concentrés appliquées aux nœuds de l’élément, les charges réparties transversalement (p) sur l’élément et les efforts de précontraintes appliqués à l’élément. Les expressions utilisées pour ces trois parties sont rappelées ci-après. Le détail des calculs de celles-ci sont présentés dans [Espion, 1986] et [Espion & Collard, 1990].


217

Soit un élément de poutre de longueur L, les axes locaux sont définis tels que représentés à la figure B.7.3.

Figure B.7.3 Elément de poutre soumis à une charge répartie constante en travée et à des forces et couples appliqués aux nœuds. Le vecteur des forces nodales énergétiquement équivalentes à une charge répartie p sur un élément est :

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−12

2

012

2

0

2

2

Lp

Lp

Lp

Lp

et le vecteur des forces nodales énergétiquement équivalentes aux efforts et couples appliqués aux nœuds est :

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

2

2

2

1

1

1

CFyFxCFyFx

L

y

x1 2

pFx1 Fx2

Fy2Fy1

C1 C2


218

Pour les efforts de précontrainte, on suppose que la structure est précontrainte par un nombre discret de câbles en acier. Chaque câble a une section donnée constante sur toute la longueur de l’élément. Le poids propre de la structure et la précontrainte sont appliqués au même instant. Le câble est modélisé par une succession de segments d’acier, chacun de ceux-ci étant supposé droit au travers de l’élément de structure auquel il correspond et soumis à une force de tension constante. Au sein de l’élément lui-même, le câble est ainsi remplacé par un segment droit d’excentricité constante e par rapport à l’axe x local qui est supposé ici confondu avec la fibre inférieure de la section.

Figure B.7.4 Forces énergétiquement équivalentes dues à la précontrainte appliquée à l’élément Les forces qu’induisent les câbles vont être remplacées par des forces énergétiquement équivalentes appliquées aux nœuds des éléments (Figure B.7.4). A ce stade-ci du programme, nous nous sommes limités aux cas des structures précontraintes par prétension, en supposant la continuité du champ des déformations entre câble et béton après transfert de la précontrainte. Cette hypothèse, classique dans le cas d’une précontrainte adhérente, semble efficace compte tenu de la bonne concordance obtenue entre les mesures effectuées sur le pont-bac instrumenté et les valeurs calculées par la méthode pas-à-pas. En axes locaux, le vecteur des forces nodales énergétiquement équivalentes à la précontrainte P appliquée à l’élément est :

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

eP

PeP

P

.0

.0

L

y

xP -P

P. e

-Pe e


219

Ces forces de précontrainte sont donc traitées, du point de vue numérique, exactement comme les forces externes. Tout comme dans la méthode AEMM et la méthode pas-à-pas présentées précédemment, la valeur de P au moment du transfert de la précontrainte n’est pas égale à l’effort initial de tension dans les câbles. P est diminué de la valeur de la relaxation intrinsèque des aciers de précontraintes qui se produit entre la mise en tension initiale des torons et le relachement de ceux-ci au moment de la mise en précontrainte et dont le calcul a été présenté au chapitre 7 de la 1ère partie. 7.3. Effets instantanés

A chaque élément de charge appliquée sur la structure à l’instant p, on va résoudre l’équation d’équilibre [ ] ppp PQK =∆.. (B.7.47) dans laquelle [ ]pK est la matrice de rigidité globale obtenue par assemblage PQ∆ est le vecteur des inconnues, l’incrément de déplacement à l’instant p en chacun des nœuds de la structure pP est le vecteur des forces énergétiquement équivalentes aux forces appliquées à la structure et qui est obtenue par assemblage. Ce système ne peut être résolu que par l’introduction des conditions aux limites qui est réalisée par pénalisation suivant la méthode du grand nombre choisi, ici égal à 1030. Pour chaque degré de liberté qui est bloqué, on ajoute 1030 au terme diagonal correspondant dans la matrice de rigidité globale. La résolution du système global est effectuée suivant l’algorithme de Choleski. Après résolution, on obtient les 6 déplacements nodaux de chaque élément à l’instant p. Le calcul de ppp qetqq 987 , ∆∆∆

de chaque élément est effectué suivant les équations présentées précédemment. On peut alors calculer l’incrément de déformation à l’instant p dans n’importe quel point de la structure sous l’effet des charges appliquées en p :

[ ] pp qyxyx ∆Β=∆ .),(),(ε (B.7.48)


220

[ ]

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∆

∆

∆

∆

∆

ΝΝΝΝΝ=∆

p

p

p

p

p

p

q

q

q

q

q

9

4

3

2

1

11,9

11,4

11,3

11,2

11,1

.

.

......ε (B.7.49)

Le calcul des contraintes en n’importe quel point de la structure découle directement de celui des déformations. Dans le béton de phase j,

),(.),( yxyx ppcj

pcj εσ ∆Ε=∆ (B.7.50)

et dans l’acier,

),(.),( yxyx pss

pss εσ ∆Ε=∆ pour la poutrelle (B.7.51)

),(.),( yxyx p

sps εσ κκ ∆Ε=∆ pour le kième lit d’armatures (B.7.52)

),(.),( yxyx p

ppp εσ κκ ∆Ε=∆ pour le kième lit de torons. (B.7.53)

7.4. Effets différés

L’axe du temps est discrétisé entre chaque événement de charge de la même manière que celle utilisée dans la méthode pas-à-pas. Soit ti, un événement de charge extérieure qui constitue une nouvelle origine pour la série de pas de temps de la manière suivante :

41

1

10=−

−

− ip

ip

tttt

(B.7.54)

où 1−−=∆ ppp ttt (B.7.55) La règle du trapèze est appliquée aussi bien pour le fluage que pour la recouvrance tel que cela a été présenté pour le programme d’analyse en section.


221

[ ] [ ][ ] )6B.7.5(

2.),(),(),(),(

2.),(),(),(),()()(

1

1111

1

111111

kp

tkprkprkprkpr

kp

kpkpkpkppspsp

rec

tttttttt

ttJttJttJttJttσ

σεεε

κ

κ∆

Φ−Φ−Φ+Φ+

∆−−++−=∆

∑∑

−

=−−−−

−

=−=−−−

où [ ] 0),(),(),(),( 1111 =Φ−Φ−Φ+Φ −−−− kprkprkprkpr tttttttt (B.7.57) quand ∆σk>0 soit en compression. L’évaluation de l’incrément de contrainte dans la phase j de béton est évalué suivant le même raisonnement que celui décrit dans la méthode pas-à-pas.

).( ppp

cjp

cj εεσ ∆−∆Ε=∆ (B.7.58) A chaque pas de temps, il s’agit de résoudre le système suivant : [ ] p

ipp FQK −=∆ (B.7.59)

dans lequel [ ]pK est la matrice de rigidité réduite globale obtenue par assemblage ; pQ∆ est le vecteur des inconnues c’est-à-dire

l’incrément de déplacement entre tp-1 et tp en chacun des nœuds de la structure ; - p

iF est le vecteur des forces énergétiquement équivalentes aux contraintes internes obtenu par condensation et assemblage. Dans [ ]pK , les termes p

cjΕ , A, B et I sont remplacés par pcjΕ , A , B et I tels qu’ils ont

déjà été définis dans la méthode pas-à-pas. Le module réduit s’exprime par

),(),(2

1−+=Ε

ppjppj

pcj ttJttJ

(B.7.60)

avec la fonction de fluage ).(

),(1),(

1

11

−

−− Ε

+=

pcj

ppjppj t

ttttJ

ϕ (B.7.61)

dans laquelle sont définis le coefficient de fluage ),( 1−ppj ttϕ et le module d’élasticité de la jème phase de béton en tp-1.


222

Suivant le même raisonnement que celui qui avait été établi pour définir N ip et M ip ont peut écrire que ( )

dVNEdVNEdVNE

dVNdVNEF

ipA

pcip

A

pcip

A

pc

iA

pp

ppip

A

pc

pi

ssps

pc

... 11,

11,

11,

11,

111,

εεε

σσε

∆−∆−∆−

∆+∆−+∆=−

∫∫∫

∫∫ −

(B.7.62)

Dans cette équation, le premier terme représente la contribution des effets différés des éléments de béton, le deuxième, la contribution de la relaxation dans les torons et les trois derniers, la contribution des effets différés des éléments de béton au niveau des armatures, des torons et de la poutrelle métallique qui doivent être soustraits pour tenir compte de leur présence dans la section. La résolution de cette équation s’effectue par intégration numérique. Chaque rectangle de la section est divisé en 4 suivant y avec 3 points de calcul par division. Suivant l’axe longitudinal de l’élément, 3 points de calcul sont également utilisés suivant la méthode Simpson. Soient

2),(),(),(),( 1111

,−−−− −−+

= kpjkpjkpjkpjkj

ttJttJttJttJJ (B.7.63)

2

1++= ii

ixxc (B.7.64)

2

1++= ii

iyyd (B.7.65)

l est la largeur du rectangle élémentaire de la phase j de béton et la fonction de recouvrance rΦ = rJ Le premier terme devient :

∑=

∑−

=∫ ∆+∑

=∫−−=∆∫

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ n

j

p

restkcA

dVyxiNkcjkjJp

cjEn

j cAdVyxiNptsjptsj

pcjEdViNp

cApcE

1

1),(1

1,.,.1

),(11,.)1()(.1

1, σεεε

∑ ∫−

==

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡∆+

111,1,1

1

),(..p

tk A

ikckrj

pc

rec c

dVyxNJE σ

∑= ⎢

⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+−

−n

j

divnbre

iy

ix

iN

id

ix

iN

iy

ix

iN

iy

iyLl

pt

sjpt

sjpcj

E

1)

1,(1

1,6

1,1

1,3

2),(1

1,6

1)

1(

6

1..)

1()(. εε


223

( ) ( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−++

divnbreiiii iyciNdciNiyciNiyiy 1,1

1,61,1

1,32,1

1,61)1(

32

( ) ( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡∑ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++−++

divnbrei iyixiNdixiNiyixiNiyiy 1,1

11,6

1,111,3

2,111,6

1)1(61

( ) ( )( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆+∆+∆−+

⎢⎢⎢

⎣

⎡+ ++

=

−

=∑ ∑

divnbre

iiiikcjiii

kcjii

kcji

n

j

p

tkkj

pcj yxiNyxdixiNdxiyixiNyxyiyLlJE

res

),(11,),(

61,1

1,,32),(1

1,),(61)1(

61.. 11

1

1

, σσσ

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+∆+∆+∆−++ +divnbre

iiikcjiiii

kcjiii

kcj iyciNycdciNdciyciNyciyiy 1,1

1,,61,1

1,,32,1

1,,61)1(

32

1σσσ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡∑ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++∆++∆++∆−++ ++++

divnbreii

kcjiii

kcjii

kcj iyixiNyxdixiNdxiyixiNyxiyiy 1,1

11,),(

61,1

11,),(

32,1

11,),(

61)1(

61

1111 σσσ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∆+∆+∆−+ +++

−

==∑

divnbre

iiiikcjiiii

kcjiiii

kcjii

p

tkkrj

pc yxiNyxdxiNdxyxiNyxyyLlJE

rec

111

1

,1 ,11,),(

61,1

1,),(32,1

1,),(61)(

61... σσσ

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∆+∆+∆−++ +

divnbreiii

kcjiiii

kcjiii

kcj iyciNycdciNdciyciNyciyiy 1,1

1,,61,1

1,,32,1

1,,61)1(

32

1σσσ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡∑ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++∆++∆++∆−++ ++++

divnbreii

kcjiii

kcjii

kcj iyixiNyxdixiNdxiyixiNyxiyiy 1,1

11,),(

61,1

11,),(

32,1

11,),(

61)1(

61

1111 σσσ

(B.7.66) Le deuxième terme devient :

dVNiA

pp

pp

p

11,

1∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+∆− −σσ

( )( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++∆−∆−= +=

−∑ ),(61),(

32),(

61.),(),( 1

11,

11,

11,

11 pkiipkiipkii

toronslitsnbre

ktenspptenspppkrk yxNycNyxNttttLA

rkrkσσχ

(B.7.67) Le troisième terme devient :

[ ] ( )∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−−=∆∫

n

jyixiNyiciNskyixiNLAptsjptsj

pcjEdVNE skskskip

A

pc

s1

),1(11,6

1,11,3

2),(11,6

1..)1()(.11, εεε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑= ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∆+∆+∆+ +

−

=∑

n

jskyixiNyxyciNycyixiNyxLAJp

cjE skikcjskiski

kcjskski

kcjsk

p

tkkj

res1

,111,),(

61,1

1,),(32,1

1,),(61.... 1

1

, σσσ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+∆+∆+∆+ +

−

==∑ skyixiNyxyciNycyixiNyxLAJE ski

kcjskiski

kcjskski

kcjsk

p

tkkrj

pc

rec

,111,),(

61,1

1,),(32,1

1,),(61

1

1

,1 σσσ

(B.7.68)


224

Le quatrième terme devient :

[ ] ( )∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+++−−=∆∫n

jyixiNyiciNpkyixiNLAptsjptsj

pcjEdVNE pkpkpkip

A

pc

p1

),1(11,6

1,11,3

2),(11,6

1..)1()(.11, εεε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑= ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∆+∆+∆+ +

−

=∑

n

jpkyixiNyxyciNycyixiNyxLAJp

cjE pkikcjpkipki

kcjpkpki

kcjpk

p

tkkj

res1

,111,),(

61,1

1,),(32,1

1,),(61.... 1

1

, σσσ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+∆+∆+∆+ +

−

==∑ pkyixiNyxyciNycyixiNyxLAJE pki

kcjpkipki

kcjpkpki

kcjpk

p

tkkrj

pc

rec

,111,),(

61,1

1,),(32,1

1,),(61

1

1

,1 σσσ

(B.7.69) Le cinquième terme est analogue au premier terme mais l’intégration est effectué dans ce cas sur les rectangles de la poutrelle métallique. Dans ces expressions krjJ ,= = 0 quand k

cjσ∆ > 0 soit en compression. Dans le présent programme, la recouvrance est prise en compte uniquement pour la phase 1 de béton qui correspond à la phase qui est fortement précontrainte dans les ponts-bacs et qui subit donc des déchargements significatifs au cours du temps. Après résolution du système suivant l’algorithme de Choleski, l’incrément des déplacements nodaux pq7∆ , pq8∆ et pq9∆ sur le pas de temps pt∆ sont calculés. On peut alors exprimer l’incrément de déformation sur le pas de temps pt∆ par

[ ] pp qyxyx ∆Β=∆ ),(),(ε ) (B.7.70) Les contraintes en n’importe quel point de la structure s’expriment par

)(),( ppp

cjp

cj yx εεσ ∆−∆Ε=∆ dans la jème phase de béton (B.7.71)

),(.),( yxyx pss

pss εσ ∆Ε=∆ dans la poutrelle en acier (B.7.72)

),(.),( yxyx p

sps εσ κκ ∆Ε=∆ dans le kième lit d’armatures (B.7.73)

)(),(),( 1−∆−∆−∆Ε=∆ p

ppp

ppk

pp yxyx σσεσ κ dans le kième lit de torons

(B.7.74)


225

7.5. Description topologique de la structure Jusqu’à présent, les ponts-bacs ont été mis en œuvre de manière isostatique. Une perspective d’extension de l’utilisation de ce type de structure consiste à en joindre deux sur chantier à un moment quelconque de leur histoire respective. Afin de traiter numériquement de manière propre cette évolution de la structure au cours du temps, la solution de relation maître-esclave entre les degrés de liberté de la jonction des 2 tabliers a été retenue. Le phasage de construction est modélisé de la manière suivante (voir Figure B.7.5): on part d’une structure composée de 3 parties distinctes (la travée 1, la jonction, la travée 2) coulées à des instants t1, t2, t3 différents. Une numérotation adéquate des nœuds et une construction appropriée de la matrice de rigidité (voir Figure B.7.6) permet de considérer directement l’ensemble de la structure dès le premier pas de temps dans la résolution du système.

Figure B.7.5 Illustration du phasage de construction

Figure B.7.6 Illustration de la construction de la matrice de rigidité

K1 K2

K3 K4

K5 K61 2 3

4 5 6

7 8 9

K6

K5

K4

K3

K2

K1

27 x 27


226

On définit une relation maître-esclave entre les nœuds 3 et 4 et les nœuds 7 et 6. Après liaisonnement des 3 parties (voir Figure B.7.7), on élimine les degrés de liberté dépendants, à savoir ceux correspondant aux nœuds 4 et 6 dans l’exemple ci-dessus, ce qui conduit en définitive à un système de taille réduite (voir Figure B.7.8).

Figure B.7.7 Illustration du phasage de construction

Figure B.7.8 Illustration de la construction de la matrice de rigidité Ce paragraphe clôture la description théorique de la modélisation qui a été envisagée pour répondre au « cahier des charges » auquel nous nous sommes proposés de satisfaire. Dans le prochain chapitre, quelques cas concrets de construction seront détaillés pour illustrer les possibilités spécifiques au programme qui a été développé en tant qu’outil d’aide au dimensionnement et à l’optimisation de ce type de viaduc hyperstatique.

K1 K2 K3 K4 K5 K6

1 2 3 5 7 8 9

K2

K1

K4

K3

K6

K521 x 21


227

8. Optimisation des phases de construction de viaducs hyperstatiques constitués de ponts-bacs 8.1. Introduction Sur base de l’historique et de la géométrie du tablier instrumenté, nous nous proposons de simuler dans ce chapitre plusieurs séquences de liaisonnement de deux ponts-bacs afin d’explorer les possibilités du programme que nous avons développé et surtout de déterminer les paramètres les plus significatifs et/ou les plus intéressants dans le cadre de l’optimisation du comportement à long terme d’un viaduc hyperstatique. Les paramètres qui ont été analysés dans ce travail sont :

- âge du béton au moment du liaisonnement des tabliers ; - efforts à appliquer (et à enlever) sur site avant (et après) le durcissement du

béton de 2ème phase au niveau de la jonction des tabliers ; - longueur relative à couler en béton de 2ème phase sur site ; - application d’un traitement thermique au béton de la dalle au moment de la

préfabrication des tabliers ; - utilisation d’un mortier ultra-performant et sans retrait comme première phase

pour la partie jointive entre les tabliers. 8.2. Comparaison des valeurs calculées par le programme d’analyse de section et par celui d’analyse de structure En premier lieu, en guise d’illustration de la bonne concordance des résultats entre les deux programmes (analyse de la section suivant la méthode pas-à-pas et analyse de la structure par des éléments de type poutre suivant la méthode pas-à-pas), nous nous sommes proposés de simuler le comportement à long terme du pont-bac instrumenté dans sa situation isostatique réelle. L’historique de chargement est détaillé au point 15.2 de la première partie. Précisons que les efforts de préflexion de 981200 N sont appliqués en x = 6,5m et x = 19,5 m tel que c’est indiqué sur la figure B.8.1.

Figure B.8.1 Efforts de préflexion appliqués au tablier instrumenté

6.5 m 13 m 6.5 m

981200 N 981200 N


228

La précontrainte par torons adhérents est introduite de manière progressive dans le tablier. La figure B.8.2 montre les subdivisions en terme de nombre de torons actifs le long de l’axe longitudinal du tablier.

Figure B.8.2 Description du nombre de torons actifs (T15)

le long de l’axe longitudinal du tablier En terme d’efforts, cela correspond aux valeurs indiquées sur le schéma B.8.3 pour les trois parties distinctes.

Figure B.8.3 Représentation schématique des efforts de précontrainte

Le tablier de 26 m de portée est divisé en 24 éléments de longueur comprise entre 1 m et 1,5 m. Les propriétés mécaniques des matériaux utilisées dans cette simulation sont détaillées dans le chapitre 15 de la première partie. Le modèle CEB-MC90 dans sa version 99 a été utilisé pour évaluer la fonction de fluage et la déformation de retrait à chaque pas de temps. Les résultats fournis par chacun des programmes en terme de contrainte dans le béton de première phase au niveau inférieur de la dalle sont représentés dans le graphique B.8.4. A titre comparatif, à 306 jours, sous l’effet des charges permanentes, il subsiste en compression à la fibre inférieure 6,01 MPa avec l’analyse « section » et 5,69 MPa avec l’analyse « structure ». Il y a au plus 5% d’écart entre les deux méthodes de calcul, ce qui est tout-à-fait acceptable compte tenu des différences existantes entre ces deux méthodes au niveau du nombre de points de calcul.

38 T 58 T 38 T

58 T 38 T 19 T38 T19 T

2.25 m2.25 m 3.25 m 15 m 3.25 m

0.1m0.15m

3762 kN 3762 kN

7524 kN

7524 kN

7524 kN

7524 kN

11484 kN

11484 kN 11484 kN

11484 kN


229

Contrainte (MPa)

-25

-20

-15

-10

-5

00,1 1 10 100 1000temps (jour)

"programme section"

"programme structure"

Figure B.8.4 Contraintes calculées par les deux programmes « section » et « structure » au niveau de la fibre inférieure de la dalle à mi-portée 8.3. Séquence 1: situation de base La séquence 1 dite situation de base qui est présentée sur la figure B.8.5 correspond à l’enchaînement des étapes suivantes : - Etape I : deux tabliers préfabriqués de portée identique (26m) sont disposés sur des appuis situés à leurs extrémités. Sur une des extrémités de chaque tablier, la poutrelle en acier dépasse de 0,25m par rapport à la dalle (béton de 1ère phase) et de 1,25m par rapport à la membrure (béton de 2ème phase) ; - Etape II : le raboutage des extrémités des poutrelles en acier est effectué préalablement au coulage du mortier sur une longueur de 0,5m permettant d’établir la jonction des bétons de 1ère phase de chaque tablier ; - Etape III : le liaisonnement entre les deux tabliers est pleinement considéré après durcissement du mortier assurant la continuité entre les dalles ; - Etape IV : l’étape finale consiste à couler le béton de 2ème phase sur une longueur de 2,5m pour terminer l’opération de jonction. D’une manière générale, dans la suite de ce chapitre, tous les graphiques ont été représentés avec la convention de signe suivante : compression positive et traction négative.


230

Figure B.8.5 Illustration du phasage suivant la séquence 1

Pour les séquences 1,2 et 3, les caractéristiques mécaniques des matériaux qui ont été utilisées sont les suivantes : Module d’élasticité des armatures 210000 MPaModule d’élasticité des torons 210000 MPaModule d’élasticité des poutrelles 210000 MPaRésistance caractéristique des torons à la traction 1840 MPaContrainte de traction appliquée aux torons en ttens 1414 MPaFigure B.8.6 Propriétés mécaniques des aciers utilisés. Pour les caractéristiques de retrait et de fluage des bétons, c’est le modèle CEB-MC90 dans sa version 99 qui a été utilisé avec les valeurs particulières suivantes :

- l’humidité relative vaut 70%; - l’épaisseur effective de la 1ère phase vaut 235 mm; - l’épaisseur effective de la 2ème phase vaut 335 mm; - la résistance à la compression à 28 jours vaut 64 MPa excepté pour le

béton de 1ère phase de la jonction où la résistance à 28 jours vaut 100MPa; - le ciment est de type 3; - les granulats sont de type 2 c’est-à-dire que αE=1 (quartzite).

De plus, le calcul a été effectué suivant la méthode classique « pas-à-pas ». Aucun traitement thermique n’a été considéré pour les bétons.

I

II

III

IV


231

L’historique des événements pour la séquence 1 est décrit dans le figure B.8.7 : Travées Temps (d) Jonction

Mise en tension des torons -0,87 Coulage du béton de 1ère phase 0 Relâchement de la préflexion et

transfert de la précontrainte 2,6

Coulage du béton de 2ème phase 3,8 7 Coulage du béton de 1ère phase 9 Liaisonnement

10 Coulage du béton de 2ème phase Placement des garde-corps 100 Placement des garde-corps

Placement du ballast (part1) 200 Placement du ballast (part1) Placement du ballast (part2) 300 Placement du ballast (part2)

Fin du calcul 10000 Fin du calcul Figure B.8.7 Evénements de l’histoire de construction du viaduc suivant la séquence 1

Description Efforts et charges réparties Effort de mise en tension 1414 MPa Efforts de précontrainte 3762kN, 7524kN et 11484 kN

Efforts de préflexion 981200N Charge répartie de la dalle 24,68N/mm

Charge répartie des membrures 25,8N/mm Charge répartie des garde-corps 2,94N/mm

Charge répartie de la 1ère partie du ballast 33N/mm Charge répartie de la 2ème partie du ballast 12N/mm

Figure B.8.8 Sollicitations appliquées au tablier à la séquence 1

Fibre inférieure de la dalle

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 3,25 6,5 9,75 13 16,25 19,5 22,75 26

abscisse (m)

Contrainte (MPa) t=2.6t=3.8t=9t=10t=12t=300t=10000

Figure B.8.9 Contrainte dans le béton de 1ère phase au niveau de la fibre inférieure de la dalle pour la séquence 1


232

Membrure supérieure

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 3,25 6,5 9,75 13 16,25 19,5 22,75 26

abscisse (m)

Contrainte (MPa) t=7t=9t=10t=12t=300t=10000

Figure B.8.10 Contrainte dans le béton de 2ème phase au niveau de la fibre supérieure de la membrure pour la séquence 1 8.4. Séquence 2: application d’efforts sur site avant le durcissement du béton de 2ème phase de la jonction La séquence 2 qui est présentée sur la figure B.8.11 inclut deux étapes supplémentaires par rapport à la séquence 1. Celles-ci visent à précontraindre le béton de 2ème phase au niveau de la jonction par l’usage d’efforts F appliqués sur site avant coulage du béton de 2ème phase et relâchés après durcissement de celui-ci. En effet, cette opération semble inévitable sous peine d’avoir de la fissuration dans le béton de 2ème phase situé à la jonction étant donné l’importance des moments négatifs qui existent au niveau de l’appui central. Les étapes deviennent ainsi pour cette séquence : - Etape I : deux tabliers préfabriqués de portée identique (26m) sont disposés sur des appuis situés à leurs extrémités. Sur une des extrémités de chaque tablier, la poutrelle en acier dépasse de 0,25m par rapport à la dalle (béton de 1ère phase) et de 1,25m par rapport à la membrure (béton de 2ème phase) ; - Etape II : le raboutage des extrémités des poutrelles en acier est effectué préalablement au coulage du mortier sur une longueur de 0,5m permettant d’établir la jonction des bétons de 1ère phase de chaque tablier ; - Etape III : le liaisonnement entre les deux tabliers est pleinement considéré après durcissement du mortier assurant la continuité entre les dalles ; - Etape IV : deux efforts F sont appliqués au ¼ et aux ¾ de la portée de chaque travée; - Etape V : le coulage du béton de 2ème phase est effectué sur une longueur de 2,5m pour terminer l’opération de jonction ; - Etape VI : l’étape finale consiste à enlever les efforts F appliqués à l’étape IV après durcissement du béton de 2ème phase situé au niveau de la jonction.


233


Description Efforts et moments Effort de mise en tension 1414 MPaEfforts de précontrainte 3762kN, 7524kN et 11484 kN

Efforts de préflexion 981200NCharge répartie de la dalle 24,68N/mm

Charge répartie des membrures 25,8N/mmEfforts F appliqués sur site 245300N

Charge répartie des garde-corps 2,94N/mmCharge répartie de la 1ère partie du ballast 33N/mmCharge répartie de la 2ème partie du ballast 12N/mm

Figure B.8.12 Sollicitations appliquées au tablier à la séquence 2

I

II

III

IV

V

VI


234

L’historique des événements pour la séquence 2 est décrit dans le figure B.8.13: Travées Temps (d) Jonction

Mise en tension des torons -0,87 Coulage du béton de 1ère phase 0 Relâchement de la préflexion et



Application des efforts F 10 Coulage du béton de 2ème phaseEnlèvement des efforts F 12

Placement des garde-corps 100 Placement des garde-corps Placement du ballast (part1) 200 Placement du ballast (part1) Placement du ballast (part2) 300 Placement du ballast (part2)

Fin du calcul 10000 Fin du calcul Figure B.8.13 Evénements de l’histoire du viaduc suivant la séquence 2


-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 3,25 6,5 9,75 13 16,25 19,5 22,75 26

abscisse (m)




235


-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 3,25 6,5 9,75 13 16,25 19,5 22,75 26

abscisse (m)

Contrainte (MPa)

t=7t=9t=10t=12t=300t=10000

Figure B.8.15 Contrainte dans le béton de 2ème phase au niveau de la fibre supérieure de la membrure pour la séquence 2 8.5. Séquence 3 :coulage du béton de 2ème phase sur site sur 6m de part et d’autre de la jonction La séquence 3 qui est présentée sur la figure B.8.16 comporte les mêmes étapes que la séquence 2 à la différence près que la longueur du béton de 2ème phase à couler au niveau de la jonction passe de 2,5m à 12,5m. Cela permet de précontraindre le béton de 2ème phase sur la majeure partie de la portée où se développent des moments négatifs significatifs. Les étapes pour la séquence 3 sont : - Etape I : deux tabliers préfabriqués de portée identique (26m) sont disposés sur des appuis situés à leurs extrémités. Sur une des extrémités de chaque tablier, la poutrelle en acier dépasse de 0,25m par rapport à la dalle (béton de 1ère phase) et de 6,25m par rapport à la membrure (béton de 2ème phase) ; - Etape II : le raboutage des extrémités des poutrelles en acier est effectué préalablement au coulage du mortier sur une longueur de 0,5m permettant d’établir la jonction des bétons de 1ère phase de chaque tablier ; - Etape III : le liaisonnement entre les deux tabliers est pleinement considéré après durcissement du mortier assurant la continuité entre les dalles ; - Etape IV : deux efforts F sont appliqués au ¼ et aux ¾ de la portée de chaque travée; - Etape V : le coulage du béton de 2ème phase est effectué sur une longueur de 12,5m pour terminer l’opération de jonction ; - Etape VI : l’étape finale consiste à enlever les efforts F appliqués à l’étape IV après durcissement du béton de 2ème phase situé au niveau de la jonction.


236


I

II

III

IV

V

VI


237


-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 3,25 6,5 9,75 13 16,25 19,5 22,75 26

abscisse (m)




-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 3,25 6,5 9,75 13 16,25 19,5 22,75 26

abscisse (m)

Contrainte (MPa)

t=7t=9t=10t=12t=300t=10000

Figure B.8.18 Contrainte dans le béton de 2ème phase au niveau de la fibre supérieure de la membrure pour la séquence 3


238

8.6. Séquence 4 : optimum pour un liaisonnement effectué au jeune âge La séquence 4 comporte les mêmes étapes que la séquence 3 à la différence près que des traitements thermiques sont appliqués aux bétons, la méthode calcul a été modifiée et les caractéristiques de retrait du béton de la jonction ont changé. Le calcul a été effectué suivant la méthode aux deux fonctions pour tenir compte de la recouvrance de fluage des bétons. Pour les caractéristiques de retrait et de fluage des bétons, c’est toujours le modèle CEB-MC90 dans sa version 99 qui a été utilisé mais elles sont particularisées suivant le béton concerné : Béton de 1ère phase des travées :

- un traitement thermique appliqué pendant un jour après le coulage tel que celui décrit dans le chapitre 2 a été considéré ;

- la résistance à la compression à 28 jours vaut 64 MPa; Béton de 2ème phase des travées et de la jonction:

- pas de traitement thermique ; - la résistance à la compression à 28 jours vaut 64 MPa;

Béton de 1ère phase de la jonction :

- un traitement thermique à 60°C appliqué pendant un jour après le coulage a été considéré ;

- la résistance à la compression à 28 jours vaut 100MPa ; - le retrait est considéré comme nul (mortier sans retrait).


-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 3,25 6,5 9,75 13 16,25 19,5 22,75 26

abscisse (m)




239


-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 3,25 6,5 9,75 13 16,25 19,5 22,75 26

abscisse (m)



-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 3,25 6,5 9,75 13 16,25 19,5 22,75 26

abscisse (m)

Flèche (mm)t=2.6t=3.8t=9t=10t=12t=300t=10000

Figure B.8.21 Evolution de la déformée correspondant à la séquence 4


240

8.7. Séquence 5: optimum pour un liaisonnement effectué à un âge tardif La séquence 5 comporte les mêmes étapes que la séquence 4 à la différence près que le liaisonnement a lieu à un âge tardif des bétons suivant l’historique décrit ci-après. Le calcul a été effectué suivant la méthode aux deux fonctions pour tenir compte de la recouvrance de fluage des bétons. Pour les caractéristiques de retrait et de fluage des bétons, elles sont les mêmes que celles qui ont déjà été définies pour la séquence 4. L’historique des événements pour la séquence 5 est décrit dans le figure B.8.22

Travées Temps (d) Jonction Mise en tension des torons -0,87

Coulage du béton de 1ère phase 0 Relâchement de la préflexion et



Application des efforts F 123 Coulage du béton de 2ème phaseEnlèvement des efforts F 125

Placement des garde-corps 150 Placement des garde-corps Placement du ballast (part1) 200 Placement du ballast (part1) Placement du ballast (part2) 300 Placement du ballast (part2)

Fin du calcul 10000 Fin du calcul Figure B.8.22 Evénements de l’histoire de construction du viaduc pour la séquence 5


-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 3,25 6,5 9,75 13 16,25 19,5 22,75 26

abscisse (m)




241


-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 3,25 6,5 9,75 13 16,25 19,5 22,75 26

abscisse (m)



-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 3,25 6,5 9,75 13 16,25 19,5 22,75 26

abscisse (m)

Flèche (mm)t=2.6t=3.8t=122t=123t=125t=300t=10000

Figure B.8.25 Evolution de la déformée correspondant à la séquence 5


242

8.8. Synthèse des résultats obtenus pour les 5 séquences

Pour quantifier les effets bénéfiques de telle ou telle option que nous avons définie pour chacune des séquences, la figure B.8.26 résume les valeurs obtenues en terme de contrainte à la fibre inférieure de la dalle et à la fibre supérieure de la membrure en x = 0m (appui d’extrémité), en x = 13m (travée 1) et en x = 26,25m (milieu de la jonction) et ce pour 3 pas de temps : t1 = 12 jours (après enlèvement des efforts F sur site) et en t2 = 1000 et en t3 = 10000 jours (pour évaluer l’influence des effets différés sur les redistributions de contrainte).

Contrainte (MPa) à la fibre

inférieure de la dalle Contrainte (MPa) à la fibre supérieure de la membrure

x=0 m x=13 m x=26,25m x=0 m x=13 m x=26,25mt1 2,15 16,45 -1,22 -0,68 -0,76 -0,08 t2 -0,58 3,79 -3,79 -3,98 0,65 -4,94

S1

t3 -1,47 1,68 -7,26 -6,24 -1,44 -3,48 t1 2,15 16,43 -0,71 -0,68 -0,80 2,5 t2 -0,58 3,83 -2,6 -3,98 0,57 -3,86

S2

t3 -1,47 1,73 -7,21 -6,24 -1,54 -1,70 t1 2,15 16,55 -0,54 -0,68 -0,67 2,42 t2 -0,58 3,84 -3,45 -3,98 0,70 -3,46

S3

t3 -1,47 1,75 -7,35 -6,24 -1,44 -1,2 t1 2,24 17,26 0,13 -0,68 -0,6 2,68 t2 -0,42 6 -2,39 -3,97 -0,34 3,56

S4

t3 -1,31 3,78 -5,40 -6,23 -2,14 9,18 t1 0,96 13 0,57 -2,26 -3,23 2,5 t2 -0,42 7,18 -0,92 -3,96 -1,92 2,27

S5

t3 -1,30 4,83 -3,71 -6,22 -3,47 7,90 Figure B.8.26 Récapitulatif des contraintes en 3 sections pour 3 pas de temps

D’une manière générale, on constate que entre 1000 et 10000 jours, le béton de 1ère phase se décomprime au cours du temps en x = 0, 13 et 26,25m. Pour le béton de 2ème phase, il se décomprime en x = 0 et x = 13m mais il se comprime en x = 26,25m. En effet, dans le cas de ces structures mixtes précontraintes en situation hyperstatique, comme la rotation angulaire est bloquée à l’appui central, suite aux redistributionx des efforts, le moment devient de plus en plus positif sur l’appui central (en effet, on a vu que sous l’effet du retrait et du fluage, le tablier a tendance à se relever et non à s’abaisser!), ce qui explique l’augmentation de la compression dans le béton de 2ème phase dans la zone de l’appui central. Le passage de la séquence 1 à la séquence 5 améliore progressivement l’état de contrainte des phases de béton situées en particulier dans la zone qui englobe la jonction entre les deux tabliers. Pour la séquence 2, l’application des efforts F a un effet assez bénéfique sur l’état de contrainte du béton de 2ème phase situé à la jonction. Par contre dans la séquence 3, l’option de couler une partie du béton de 2ème phase sur une longueur de 6 m au lieu de 1 m de part et d’autre de la jonction n’a pas un effet


243

très marquant. En revanche dans la séquence 4, l’application d’un traitement thermique aux bétons de 1ère phase et l’utilisation d’un mortier sans retrait pour la dalle de la jonction a un effet très bénéfique pour toutes les phases de béton autour de la zone centrale. Pour la dernière séquence, le liaisonnement à un âge tardif est particulièrement bénéfique pour l’état de contrainte dans le béton de 1ère phase situé en travée. En conclusion de la recherche des paramètres optimaux dans ces simulations, nous retenons dans l’ordre des priorités les points les plus marquants suivants :

- application d’un traitement thermique aux bétons de 1ère phase ; - application d’efforts F sur site avant le coulage du béton de 2ème phase de

la jonction et enlèvement de ceux-ci après durcissement du béton de 2ème phase ;

- utilisation d’un mortier sans retrait ; - liaisonnement tardif des travées ; - coulage du béton de 2ème phase sur chantier pour la partie correspondante à

la zone de moments négatifs. Dans ce chapitre, nous avons illustré la jonction entre deux tabliers isostatiques de 26m de portée. Il est évident que l’intérêt majeur de ce type de structure hyperstatique réside en fait en la possibilité d’augmenter la portée de chaque travée tout en conservant un même élancement et en respectant l’état limite de service. Une étude paramétrique supplémentaire s’avère nécessaire pour optimiser les portées. Cette étude paramétrique très intéressante, tant pour le bureau d’étude que pour le préfabricant, fera certainement l’objet de futurs travaux.


244

9. Conclusions de la 2ème partie A l’échelle du matériau béton, les campagnes d’essais de retrait et de fluage qui ont été présentées dans cette partie nous ont apporté les éléments de réponse nécessaires à l’optimisation des phases de construction des ponts-bacs. De plus, elles ont permis d’ouvrir des perspectives de recherches futures sur le comportement différé du béton. En premier lieu, l’influence de l’application d’un traitement thermique dans les mêmes conditions que celles effectuées chez le préfabricant sur les déformations différées du béton a été analysé. Tout d’abord, la comparaison entre les mesures expérimentales et les valeurs prédites des déformations de fluage a montré que pour le béton haute performance typique des ponts-bacs actuels, l’influence de la température avant la mise en charge peut être exprimée par la loi d’Arrhenius sous sa forme classique décrite dans le code modèle CEB-MC90. Ainsi, l’approche qui consiste à évaluer la maturité du béton sur base d’un temps équivalent effectif t0eff semble bien adaptée à reproduire les valeurs expérimentales de déformation de fluage de ce béton quand il est chauffé avant la mise en charge. En parallèle à ces essais, nous avons mis en évidence l’intérêt que présenteraient des essais de fluage où l’éprouvette de béton subit une cure à une température supérieure à 20°C avant et pendant sa mise en charge, notamment pour des structures qui seraient coulées en une seule fois et précontraintes au très jeune âge. De plus, nos différentes séries d’essais de fluage ont montré que la fonction de fluage reste identique pour des niveaux de contrainte compris entre 50 et 70% de la résistance pour des éprouvettes chauffées ayant au moins un jour d’âge. Pour ce BHP, la non linéarité de la fonction de fluage n’a en fait été observée que dans le cas d’éprouvettes non chauffées (scellées ou exposées au séchage) chargées au jeune âge à des niveaux de contrainte de 70% de la résistance, ce qui ne correspond pas aux conditions du béton des ponts-bacs qui, pour la plupart, sont chauffés. Cette non linéarité semble être fortement liée à l’avancement de la réaction d’hydratation et à l’évolution de l’humidité interne relative au cours du temps. Ces données expérimentales très intéressantes mériteraient certainement, comme étape suivante, leur modélisation et leur prise en compte dans l’analyse. En deuxième lieu, nous avons analysé l’influence de l’application de déchargement à des âges divers sur des éprouvettes chauffées ou non et chargées aussi bien à très jeune âge qu’à un âge tardif sur les déformations différées du béton. L’application de la méthode aux deux fonctions avec la fonction de recouvrance de fluage telle que proposée par Yue et Taerwe (1993) semble reproduire la plupart des résultats expérimentaux de manière très satisfaisante pour les différents âges au chargement et durées de chargement testés.


245

A l’échelle de la structure, nous avons fourni des éléments de réponses précis aux questions posées par le bureau d’étude Tucrail s.a. et le préfabricant Ronveaux s.a. sur le comportement différé des ponts-bacs. Tout d’abord, nous avons étendu le programme d’analyse en section suivant la méthode pas-à-pas, qui a été développé dans la première partie de ce travail, à la méthode aux deux fonctions afin de mieux tenir compte de la recouvrance dans les simulations du comportement à long terme des ponts-bacs. La comparaison entre les mesures effectuées sur le tablier instrumenté et les valeurs prédites par la méthode pas-à-pas et par la méthode aux deux fonctions a montré qu’à ce stade-ci, la meilleure correspondance entre elles est obtenue avec la méthode aux deux fonctions. Ensuite, nous avons utilisé cette méthode pour optimiser les phases de préfabrication des ponts-bacs en changeant l’instant du relâchement des efforts de préflexion et du transfert de la précontrainte. Les simulations ont conduit à montrer qu’à partir du moment où le pont-bac est chauffé, la mise en précontrainte peut s’effectuer à 20 heures d’âge du béton, ce qui constitue une journée de production gagnée pour le préfabricant par rapport à la situation antérieure à cette recherche. L’étape suivante a consisté à développer un programme général d’analyse de structure dont la discrétisation est basée sur des éléments de poutre à 9 degrés de liberté et dont l’algorithme de résolution applique la méthode aux deux fonctions suivant une approche type pas-à-pas. L’objectif majeur de ce programme consiste à optimiser les phases de construction de viaducs hyperstatiques constitués par la jonction de deux ponts-bacs. Ce programme n’est pas particularisé au pont-bac mais est apte à évaluer le comportement de n’importe quelle poutre mixte ou non, en béton précontraint ou non, préfléchie ou non, avec plusieurs phases de béton ou non. De plus, il permet de tenir compte de propriétés viscoélastiques différentes pour chaque phase de béton et pour chaque section de géométrie différente. Compte tenu des phases de construction relativement complexes qui ont été considérées dans le programme ainsi que des modèles qui y ont été introduits (fonction de recouvrance, traitement thermique, …), il constitue certainement un développement unique en son genre. Sur base de multiples simulations traitant de la jonction de deux tabliers isostatiques pour aboutir à un viaduc hyperstatique, les paramètres les plus pertinents pour optimiser l’état de contrainte à long terme dans les différentes phases de béton ont été identifiés et classés par ordre d’importance relative. Un outil fiable d’optimisation de viaducs hyperstatiques constitués par des ponts-bacs est aujourd’hui à notre disposition, ce qui devrait permettre, à l’avenir, d’augmenter les portées de ce type de structure.

ANALYSE ET MODELISATION DU COMPORTEMENT DIFFERE DU BETON


Volume 2

Stéphanie STAQUET

Thèse effectuée sous la direction du Professeur Bernard ESPION

et présentée en vue de l’obtention du titre de DOCTEUR EN SCIENCES APPLIQUEES

Année académique 2003-2004

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté des Sciences Appliquées

Service Génie Civil


246

CC.. VVeerrss uunnee mmooddéélliissaattiioonn bbaassééee ssuurr ll’’éévvoolluuttiioonn dduu ddeeggrréé dd''hhyyddrraattaattiioonn eett ddee ll''hhuummiiddiittéé rreellaattiivvee

1. Introduction

Classiquement en laboratoire, les déformations différées du béton sont mesurées dans une chambre climatisée où la température et l’hygrométrie sont maintenues constantes. Dans les ouvrages réels, le béton est le plus souvent soumis à des variations climatiques importantes. Celles-ci peuvent avoir des conséquences majeures sur les ouvrages de génie civil comme les ponts-bacs par exemple. Ainsi, il n’est pas rare de mesurer des variations de flèche sur des ouvrages à priori semblables que l’on ne sait pas toujours systématiquement imputer à une cause physico-chimique bien précise. De plus, pour le concepteur de projets, il est primordial de pouvoir prendre en compte de façon réaliste les phénomènes différés dans les conditions réelles de fonctionnement de l’ouvrage à savoir les différentes phases d’imperméabilisation d’une partie ou de la totalité des faces exposées de la structure au séchage, les variations sévères de conditions climatiques, les variations d’épaisseur des éléments de béton, ...Tout ceci a motivé la mise en place d’une modélisation des déformations différées du béton basée sur une approche locale de l’évolution de la teneur en eau et du degré d’hydratation dans la structure. Les différentes composantes du modèle sont largement inspirées de travaux antérieurs, à savoir ceux de Bažant Z.P.& Chern J.C. (1985), Granger L. (1996), Guénot-Delahaie I.(1997), Benboudjema F. (2003). En ce qui concerne le séchage, à notre connaissance, ce type de modélisation mettant en jeu chacune des composantes des déformations différées du béton a uniquement été appliqué à des bétons dits « vieux » et pour des ouvrages sans phasage de coulage ou de construction. L’originalité de notre démarche réside essentiellement en la prise en compte de l’eau consommée par l’hydratation du ciment dans la prédiction de l’évolution de la teneur en eau dans le béton. Cet apport a permis de modéliser par une approche locale de la teneur en eau, les déformations différées de structures décoffrées très tôt comme les éléments préfabriqués en béton précontraint et en particulier les ponts-bacs. En conséquence, la prise en compte du phasage tant au niveau du coulage du béton que des modifications des conditions aux limites à savoir les diverses couches d’imperméabilisation des surfaces constitue certainement un pas supplémentaire (par comparaison aux méthodes de calcul traditionnelles qui ne considèrent qu’un comportement sectionnel moyen) pour approcher de manière un peu plus réaliste les redistributions de contraintes qui se développent au cours du temps dans ce type de structure soumise à des historiques complexes et variés au niveau de sa construction et de son environnement.


247

2. Modélisation du séchage naturel du béton

2.1. Introduction Au moment de leur fabrication, les bétons ordinaires et les BHP de rapport eau/ciment supérieur à 0,3 contiennent plus d’eau qu’il n’en faut pour assurer la réaction d’hydratation du ciment. Cette réaction ne nécessite que 20 à 30% de la masse de ciment en eau alors que les bétons ordinaires contiennent pratiquement une quantité double en eau pour un rapport eau/ciment de 0,45 par exemple. Dès le moment du décoffrage voire parfois même plus tôt (face non protégée,...), le béton est en déséquilibre hygrométrique avec le milieu extérieur compte tenu du fait qu’un surplus d’eau est contenu dans ses pores. Le séchage naturel du béton est un mécanisme extrêmement lent mais qui a des conséquences importantes sur le comportement physique et mécanique du béton. Dans le cadre de ce travail, nous nous sommes focalisés sur les déformations différées (retrait et fluage de dessiccation) qui en découlent. Néanmoins, un autre aspect concerne la durabilité qui inclut la fissuration superficielle et la pénétration d’agents agressifs. En effet, le processus de séchage induit une fissuration de peau du béton [Acker, 1988]. Selon [Bažant et al., 1986], ces fissures n’affectent la migration de l’eau que si leurs ouvertures dépassent quelques dixièmes de millimètres. Or, selon [Bisschop & van Mier, 2002], l’ouverture typique des fissures induites par la dessiccation qui ont été observées au microscope électronique à balayage est comprise entre 0,25µm et 50µm. La fissuration induite par le séchage seul ne modifie donc pas sensiblement le transport de l’eau dans les bétons. Aussi, la fissuration ne sera pas prise en compte dans la modélisation du séchage. On verra par la suite que les effets mécaniques résultant du séchage peuvent être considérés comme résultant de champs de déformation imposés. Ils se traitent alors comme en thermo élasticité. La différence essentielle réside dans le fait que, en service, le régime thermique courant d’un ouvrage d’art est de type cyclique alors que son état hygrométrique relève du régime transitoire compte tenu de la cinétique du phénomène de séchage. Les effets du séchage, à long terme, sont en fait peu sensibles aux variations cycliques courtes. D’après [Acker & Ulm, 2001], ils dépendraient plutôt de l’humidité relative moyenne de la période la plus sèche de l’année. Par ailleurs, dans [Bažant & Xi, 1993], on montre qu’une variation cyclique journalière de l’humidité relative n’a d’influence que sur une épaisseur d’au plus 5cm.

2.2. Mécanismes du séchage Tout matériau poreux comme le béton est au moins constitué de trois phases : la matrice cimentaire solide contenant les pores, le liquide (l’eau) et la phase gazeuse (mélange d’air et de vapeur d’eau) [Mensi et al., 1988]. Bien que le principal mécanisme du séchage soit le gradient d’humidité relative lié à la phase vapeur, il est lié également à la phase liquide étant donné que l’équilibre thermodynamique entre les phases doit être conservé. Dans les conditions normales de température et de pression, on distingue [Xi et al, 1994] :


248

- La diffusion moléculaire (dans les pores de dimensions 50nm – 10µm, c’est-à-dire les pores capillaires)

Pour une humidité relative élevée, les processus de condensation et d’évaporation constituent le moteur du processus de diffusion. Lorsque l’humidité relative est faible dans les pores, seule une couche d’eau est adsorbée à la surface.

- La diffusion de Knudsen (dans les micropores, c’est-à-dire les pores de dimension inférieure à 50nm)

Les dimensions de ces pores sont plus faibles que le libre parcours moyen des molécules d’eau. Les chocs entre les molécules et contre les parois des pores constituent la principale source de résistance à la diffusion des molécules d’eau.

- La diffusion surfacique (dans les micropores)

Ce processus de transport est gouverné par les sauts des molécules d’eau entre les sites d’adsorption. Ce processus a surtout lieu pour une humidité relative faible lorsque l’eau présente est essentiellement adsorbée.

2.3. Modélisation envisagée du séchage De nombreux mécanismes interviennent donc à l’échelle de la macroporosité et de la microporosité de la matrice cimentaire. D’après [Baroughel-Bouny, 1994 ; Baroghel-Bouny, Mainguy, Lassabatère, Coussy, 1999], on peut identifier quatre modes de transport couplés : - Le transport de l’eau liquide, dont le mécanisme moteur est le gradient de pression (fonction de la perméabilité du réseau poreux) et qui peut être décrit à l’aide de la loi de Darcy. - Le transport de l’humidité sous phase vapeur dont le mécanisme moteur est le gradient de concentration (fonction de la diffusivité de la vapeur d’eau) et qui peut être décrit par la première loi de Fick. - Le transport de l’air sec dont le mécanisme moteur est le gradient de pression et qui peut être décrit à l’aide de la loi de Darcy. - Le transport convectif de l’eau sous phase vapeur qui est entraînée par la migration de l’air sec. La modélisation macroscopique du séchage du béton pour laquelle nous avons opté dans le cadre de ce travail est du type « approche d’Ingénieur ». Les paramètres du modèle doivent être en nombre restreint et facilement mesurables expérimentalement. En fait, supposons que l’on admet les hypothèses suivantes [Coussy et al., 2001] :

- L’espace poreux est indéformable - La température est constante et ne change pas au cours du séchage


249

- Le transport de la vapeur d’eau est de type diffusif uniquement La quantité de vapeur d’eau transportée lors du mouvement convectif du mélange gazeux est négligeable par rapport à celle induite lors du transport diffusif. - La pression du mélange dans le béton (air sec + vapeur d’eau) est constante et

égale à la pression atmosphérique La viscosité dynamique de l’air sec étant très faible, les variations possibles de pression se dissipent rapidement à l’échelle de temps du phénomène de séchage.

Dans le cadre de ces hypothèses, les différentes lois physiques décrivant le séchage peuvent être ramenées à une seule équation de diffusion transitoire non linéaire, similaire à la deuxième loi de Fick. Elle peut être écrite en fonction de la teneur en eau C [Granger, 1996] ou de l’humidité relative h [Xi et al, 1994] :

[ ] [ ])).((.ou (C.2.1))).(( gradhhDdivth

hCgradCCDdiv

tC

=∂∂

∂∂

=∂∂ (C.2.2)

avec C, la teneur en eau libre; D(C), le coefficient de diffusion ; voir [Bažant et al., 1972], [Mensi et al., 1988], [Xi et al., 1994] ∂C/∂h, la pente de la courbe de l’isotherme de désorption. D’après [Coussy et al., 2001], la dernière hypothèse est discutable car les simulations numériques montrent que la surpression du mélange gazeux atteint 20 à 70% de la pression atmosphérique. Toutefois, nous ne nous intéressons pas réellement aux mécanismes de diffusion dans ce travail mais aux effets de la teneur en eau sur le comportement différé du béton. Nous n’avons donc pas entrepris la modélisation de ces différents modes de transport couplés. Comme outil de départ pour la modélisation, nous avons choisi d’utiliser le module expert HEXO de CESAR-LCPC développé par Granger lors de sa thèse [Granger, 1996]. Cette modélisation simplifiée s’est avérée suffisante pour prédire les gradients de teneur en eau [Xi et al., 1994 ; Granger, 1996] et la détermination expérimentale des paramètres du modèle est assez aisée.


250

3. Modélisation du degré d’hydratation et de la teneur en eau dans CESAR-LCPC

3.1. Enjeu de la modélisation du béton au jeune âge

On sait depuis longtemps que la réaction d’hydratation du ciment est une réaction très exothermique. Dans les structures massives, les élévations de température qui accompagnent le durcissement du béton peuvent atteindre 50°C [De Schutter, 1996a] et figure B.2.2. En outre, l’hydratation du ciment est une réaction thermo activée ce qui implique que la vitesse de cette réaction chimique croît avec la température. Par ailleurs, le béton est un matériau vieillissant ce qui signifie que ses propriétés mécaniques (module d’élasticité, résistance) [De Schutter & Taerwe, 1996b] voire certaines de ces composantes de déformations différées comme le développement du fluage fondamental au jeune âge [De Schutter & Taerwe, 2000] évoluent en fonction de l’avancement de la réaction d’hydratation du ciment. De plus, la consommation de l’eau dans la réaction d’hydratation conduit au développement d’un retrait chimique. Tout ceci nous a amené à considérer le degré d’hydratation comme un des paramètres fondamentaux pour modéliser le comportement du béton. Nous verrons un peu plus loin dans ce chapitre comment nous en avons tenu compte dans la modélisation du séchage du béton et dans le chapitre suivant, dans la modélisation du comportement différé du béton.

3.2. Modélisation du degré d’hydratation : module TEXO Pour déterminer le champ de température qui se développe dans une pièce de béton en cours de durcissement, le module TEXO résout l’équation de diffusion de la chaleur avec un terme source représentant l’exothermie de la réaction d’hydratation. De nombreux facteurs influent sur la chaleur dégagée par l’hydratation du ciment. Celle-ci dépend de la composition chimique du ciment en ce sens qu’elle est égale à la somme des chaleurs d’hydratation de ses composants pris purs (C3S, C2S, C3A et C4AF). Elle dépend également de la température à laquelle l’hydratation a lieu, de la surface spécifique du ciment, du rapport eau/ciment et de la présence d’éventuels ajouts cimentaires (cendres volantes, laitier de haut fourneau, fumée de silice). En ce qui concerne la vitesse de dégagement de la chaleur d’hydratation, il est à présent admis qu’elle ne dépend que de deux variables d’état à savoir la température et le temps. Conformément à la loi d’Arrhenius, lorsqu’une réaction chimique est thermo activée, on peut exprimer la vitesse d’avancement de la réaction ∂A/∂t en fonction de l’avancement de la réaction A et de la température T de la manière suivante :

).

exp().(TR

EAf

tA a−=∂∂ (C.3.1)

avec Ea , l’énergie d’activation de la réaction; Ea/R, la constante d’Arrhenius.


251

En admettant donc qu’il est possible de paramétrer l’avancement de la réaction A par la quantité de chaleur dégagée Q ou par le degré d’hydratation ξ, par un simple changement de variable dans l’équation précédente, on obtient alors l’équation suivante :

).

exp().(TR

EA

ta−=

∂∂ ξξ (C.3.2)

avec A(ξ), l’affinité normalisée déterminée à partir de la courbe de dégagement de chaleur (courbe QAB) du béton. L’hydratation du ciment est constituée de plusieurs réactions chimiques simultanées, qui n’évoluent pas de la même façon. D’un point de vue pratique dans TEXO, on ne distingue pas les degrés d’hydratation entre silicates et aluminates par exemple mais on considère un coefficient global. Ainsi, le degré d’hydratation peut être déterminé à partir de la quantité de chaleur dégagée :

∞

=Q

tQ )(ξ (C.3.3)

avec Q(t), la quantité de chaleur dégagée jusqu’à l’instant t Q∞, la quantité totale de chaleur potentiellement dégageable. En fait, il existe plusieurs techniques expérimentales pour déterminer la courbe de dégagement de chaleur (courbe QAB) pendant l’hydratation dont notamment:

- la calorimétrie isotherme

On mesure le flux de chaleur sur un échantillon de pâte s’hydratant à température constante. La chaleur totale dégagée est calculée par intégration temporelle de ce flux.

- la calorimétrie adiabatique Il est nécessaire de disposer d’un équipement expérimental permettant de maintenir des conditions parfaitement adiabatiques. Tout échange de chaleur étant empêché vers le milieu extérieur, la température est maintenue, par asservissement, égale à la température au coeur de l’éprouvette. La quantité de chaleur dégagée est déductible de l’élévation de température par simple multiplication par la capacité thermique du béton. Le calcul du champ de température et du champ de degré d’hydratation effectué dans le module TEXO de CESAR-LCPC par une discrétisation spatiale selon la méthode des éléments finis et d’une discrétisation temporelle selon un schéma du type Cranck-Nicholson [CESAR-LCPC, 1992] résout d’une manière simultanée d’une part la loi cinétique macroscopique d’hydratation explicitée ci-avant et d’autre part l’équation de la chaleur :


252

[ ]t

lgradTKdivtTc

∂∂

+=∂∂ ξ.).(. (C.3.4)

avec c, la capacité calorifique volumique; K, le coefficient de conductivité thermique isotrope; T, la température; ξ, le degré d’hydratation; l, la chaleur d’hydratation par unité de degré d’hydratation. La capacité calorifique volumique est fonction de la composition du béton. Néanmoins, pour les bétons les plus courants, la valeur habituellement utilisée dans le module TEXO est 2,4 J/cm³.°C. La conductivité thermique varie en fonction du ferraillage de la pièce de béton. Les valeurs courantes admises vont de 60 J/h.cm.°C pour les pièces peu ferraillées à 110 J/h.cm.°C pour les pièces très ferraillées. Les conditions aux limites imposées sur le contour sont de deux types :

- flux imposé associé à une condition d’échange linéaire (prise en compte des pertes de chaleur à travers les coffrages, une surface libre,...) q . n = λ. (Ts - Text) (C.3.5) avec q, le vecteur flux de dégagement de chaleur à travers la surface orientée par la normale n à la frontière de l’élément de volume de structure Ts, la température de surface Text, la température du milieu ambiant qui est imposée au contour λ, le coefficient qui modélise globalement le processus d’échange avec le milieu extérieur en caractérisant le taux d’isolation du béton en fonction du type de coffrage choisi et des données climatiques (surface ventilée ou abritée).

- température imposée prise en compte par pénalisation (histoires de température connues en un nombre donné de noeuds du maillage comme par exemple l’effet de tube de refroidissement) Ts = Text (C.3.6) avec Ts, la température de surface Text, la température du milieu ambiant.

3.3. Modélisation de la teneur en eau : module HEXO

La modélisation de la diffusion de l’humidité dans le béton liée à un processus de séchage telle qu’elle est implantée dans le module DTNL de CESAR-LCPC avec le modèle « HEXO » résout dans l’élément de volume l’équation de diffusion de l’humidité suivante:

[ ])).(( gradCCDdivtC=

∂∂ (C.3.7)


253

avec C, la teneur en eau libre. Les conditions aux limites sont du type :

- flux imposé associé à une condition d’échange non linéaire (faces exposées au séchage,…) w . n = λ. (Cs - Ceq) (C.3.8) avec w, le vecteur flux de teneur en eau à travers la surface orientée par la normale n à la frontière de l’élément de volume de structure Cs, la teneur en eau de surface Ceq, la teneur en eau équivalente à l’humidité hext (soit à l’équilibre hydrique) qui est imposée sur le contour λ, le coefficient d’échange qui modélise le processus d’échange avec le milieu extérieur en caractérisant le taux d’imperméabilisation du béton en fonction du type de revêtement et des données climatiques (atmosphère calme ou ventilée).

Dans ce module, c’est le modèle de Mensi et Acker [Mensi et al., 1988] qui a été implémenté. La non linéarité de la diffusion vient d’une part du coefficient de diffusion D(C) et d’autre part du coefficient d’échange λ(C) : D(C) = A. eB.C (C.3.9) où A et B sont des constantes propres au béton [Granger, 1996 ; Mensi et al., 1988] C, la teneur en eau libre;

)).2(.()(

1.)( 1002

100eq

eq

ext CCCCCh

C −−−−

= βλ (C.3.10)

avec hext, humidité relative imposée à la surface, C100, teneur en eau libre à la saturation (h=100%) , Ceq, teneur en eau équivalente à l’humidité hext soit à l’équilibre hydrique, β.(1- hext)/( Ceq- C100)2, coefficient d’échange. Les teneurs en eau C100 et Ceq doivent en principe être déterminées à partir d’une courbe de sorption isotherme du béton pour h=100% et h= hext. L’isotherme de sorption du béton permet d’obtenir par pesée la courbe de la perte en masse dans le béton en fonction de l’humidité relative imposée du milieu ambiant. On verra plus loin qu’il est possible de déterminer les Ceq correspondant à différentes humidités hext simplement à partir de l’évolution de la perte en masse d’une éprouvette au cours du temps dans des conditions imposées d’humidité relative.


254

3.4. Chaînage des modules TEXO-HEXO

3.4.1. Situation existante avant chaînage TEXO-HEXO Pour rappel, au paragraphe précédent, on a vu que la modélisation du séchage implémentée dans HEXO résout dans l’élément de volume l’équation de diffusion de l’humidité suivante:

[ ])).(( gradCCDdivtC=

∂∂ (C.3.11)

avec C, la teneur en eau libre; D(C), le coefficient de diffusion isotrope. On a vu également que le calcul du champ de température et du champ de degré d’hydratation implémenté dans TEXO résout d’une manière simultanée d’une part la loi cinétique macroscopique d’hydratation et d’autre part l’équation de la chaleur

[ ]t

lgradTKdivtTc

∂∂

+=∂∂ ξ.).(. (C.3.12)

avec c, la capacité calorifique volumique; K, le coefficient de conductivité isotrope; T, la température; ξ, le degré d’hydratation; l, la chaleur d’hydratation par unité de degré d’hydratation.

3.4.2. Situation avec chaînage TEXO-HEXO pour la prise en compte de l’eau consommée par l’hydratation du ciment

3.4.2.1. Description théorique

Le coefficient de diffusion D(C) décrit plus haut dépend ainsi uniquement de la teneur en eau et pas du degré d’hydratation. Dans l’équation de diffusion de l’humidité, on suppose que l’hydratation est suffisamment avancée et que la vitesse d’avancement de la réaction d’hydratation est très faible pour négliger dans le bilan de masse la quantité d’eau consommée par l’hydratation du ciment au cours du temps. Dans une première étape, le couplage entre l’humidité locale et le degré d’hydratation ne sera pas pris en compte étant donné que cela concerne une zone très limitée de la structure. Pour la modélisation du séchage de béton décoffré très tôt, la modification de l’équation de diffusion de l’humidité peux s’effectuer de la manière suivante en écrivant la conservation de la masse de matière c’est-à-dire:


255

la variation de la masse d’humidité dans le volume Ω vaut la somme de la masse d’humidité sortant à travers la surface S par le phénomène de séchage et de la masse d’humidité entrant dans l’hydratation du ciment pour le volume Ω:

∫∫ ∫∫∫∫∫∫ΩΩ

Ω+−=Ω∂∂

−S

dtdPdtdSngradCCDdtdtC ....).).((.. (C.3.13)

En utilisant le théorème d’Ostrogradski, sous forme locale, l’équation de transport est:

[ ] PgradCCDdivtC

+−=∂∂

− )).(( (C.3.14)

ou encore

[ ] PgradCCDdivtC

−=∂∂ )).(( (C.3.15)

et en explicitant le terme P

[ ]t

ckgradCCDdivtC

∂∂

−=∂∂ ξξ ...)).(( max0 (C.3.16)

avec co, la quantité de ciment initiale du mélange prévue dans la formulation de béton (en général kg/m³ mais à adapter suivant les unités choisies dans le modèle) ; k, la quantité d’eau consommée par unité de ciment hydraté (constante propre au type de ciment) ; ξmax, le degré d’hydratation maximal atteint par le BHP compte tenu du rapport E/C. Cette quantité d’eau consommée par unité de ciment hydraté k peut être calculée à partir de l’expression suivante où la composition potentielle selon BOGUE du ciment anhydre est prise en compte:

∑=

=4

1.

iii mpk (C.3.17)

où pi est la masse d’eau nécessaire à l’hydratation complète de chaque composant anhydre du ciment (C2S, C3S, C3A et C4AF) par unité de masse du composant anhydre

pi (CZERNIN) C2S C3S C3A C4AF 0.24 0.21 0.40 0.37

et mi est le pourcentage en masse du composant anhydre (C2S, C3S, C3A et C4AF) par rapport à la masse du ciment.


256

Le calcul de k par cette méthode suppose que l’on ait atteint effectivement une hydratation complète dans le béton. Inutile de préciser que cela n’est jamais le cas. Même dans les bétons ordinaires, après plusieurs dizaines d’années, il subsiste toujours des particules de ciment non hydratées. En effet, au fur et à mesure que la réaction d’hydratation avance, le transport de l’eau vers les particules de ciment non hydratées devient de plus en plus difficile car il est gêné par les hydrates C-S-H qui se forment et qui deviennent de plus en plus denses. Plus le rapport eau/ciment du béton va diminuer, plus ce phénomène va s’accentuer par un effet de manque d’eau à proximité des particules de ciment non encore hydratées. Dans [Oh & Cha, 2003], les auteurs suggèrent d’utiliser la formule de Mill pour évaluer le degré d’avancement maximal de la réaction d’hydratation que les bétons hautes performances peuvent atteindre compte tenu de leur rapport eau/ciment. Le degré d’avancement maximal de la réaction d’hydratation ξmax est donné par :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

CE

CE

194,0

.031,1maxξ (C.3.18)

Dans la modélisation envisagée ici et qui a été implémentée dans CESAR-LCPC, le produit k. co. ξmax est donc considéré comme la quantité d’eau maximale qui est consommée par l’hydratation du ciment et qui correspond à la valeur de ξ = 1 dans le calcul des dégagements de chaleur, de l’évolution de la température et du degré d’hydratation fourni par le module TEXO. Dans le cadre des bétons envisagés en préfabrication, cette adaptation s’est avérée indispensable pour évaluer de manière un peu plus réaliste l’évolution de la teneur en eau pour ce type de matériau.

3.4.2.2. Intégration dans CESAR-LCPC du chaînage TEXO/HEXO

3.4.2.2.1. 1ère étape: calcul du terme dξ/dt

Dans l’équation adaptée de diffusion de l’humidité, le terme dξ/dt est déjà calculé dans le module TEXO à partir des données de l’essai QAB. Il est donc superflu de le recalculer tel que c’est programmé dans le module TEXO mais en première approximation il peut être évalué par différences finies à partir des valeurs de ξ fournies comme résultat du calcul TEXO à chaque nœud et à chaque pas de temps de la manière suivante:

)1()1()1()1()(

−−+−−+

=∂∂

ntntnnn

tξξξ (C.3.19)

excepté pour le premier pas où le terme dξ/dt est considéré comme nul et pour le dernier pas où le terme dξ/dt est calculé de la manière suivante:


257

)1()()1()()(

−−−−

=∂∂

ntntnnn

tξξξ (C.3.20)

Dans le cas de calculs multiples avec reprise, il faut donc veiller à choisir un intervalle de temps petit pour le dernier pas de temps compte tenu de la manière dont la dérivée est évaluée. Cette remarque est valable aussi pour le premier pas de temps.

3.4.2.2.2. 2ème étape: incorporation du terme dξ/dt dans le bilan de masse

Il s’agit d’introduire la variation de la masse d’humidité consommée par l’hydratation du ciment dans l’équation de transport d’humidité adaptée, ce qui revient à calculer le vecteur nodal suivant

dydxNt

f ii ...∫Ω

Ω

∂∂

=ξ (C.3.21)

et à le soustraire au second membre du système d’équations différentielles qui est résolu dans le module de diffusion transitoire non linéaire DTNL de CESAR-LCPC (voir page 33 du manuel théorique CESAR-LCPC, module DTNL pour l’explication détaillée des différents termes de l’équation suivante et de l’algorithme de résolution):

( ) ( ) )(.)()(.)(.11

tUkkfftftUkktUCj

n

njijijiiijijijj

n

jij

thhh ∑∑

+=

ΓΩΓΓΩΓΩ•

=

Ω +−++−=++ Φ (C.3.22)


258

3.4.2.2.3. 3ème étape: extension du chaînage TEXO/HEXO au cas de phasage de bétons

Cette extension est réalisée à l’image de ce qui a été développé dans le module TEXO. Le principe est détaillé ci-après. La structure est entièrement maillée dès le début. Sa géométrie est donc scindée en plusieurs zones géométriques correspondant chacune aux différentes phases de coulage. Chaque zone est maillée indépendamment des zones voisines. Les interfaces entre ces zones sont donc constituées de bords doubles. Des éléments spéciaux dits SP1T (1T pour une seule inconnue nodale) sont utilisés pour permettre la continuité des teneurs en eau au niveau des interfaces. On effectue alors un chaînage TEXO / HEXO pour chaque phase de béton avec reprise des résultats du calcul précédent entre deux phases consécutives. Les zones géométriques correspondant au béton non encore coulé lors de la phase considérée sont déclarées inactives. Cela signifie que, sur les plans thermique et hydrique, les paramètres correspondants du matériau conservent leurs valeurs initiales. Sur le plan numérique, les termes de rigidité élémentaire des éléments spéciaux sont nuls tant que les zones sont déclarées comme inactives. Ensuite, dès que le coulage d’une phase supplémentaire de béton a lieu, la zone correspondante est déclarée comme active et les termes de rigidité élémentaire des éléments spéciaux prennent une valeur très élevée. Enfin, les décoffrages successifs des parties coulées se traduisent par une modification des conditions d’échanges thermiques et/ou hydriques. Au niveau du module de calcul DTNL de CESAR-LCPC, le mot clé INA permet de déclarer les groupes inactifs dans une phase à l’image de ce qui a été implanté dans le module TEXO. La continuité des teneurs en eau à l’interface entre deux zones géométriques consécutives, représentant le béton déjà coulé et celui qui vient de l’être, est assurée par utilisation d’éléments de type SP1T. Ces éléments agissent par pénalisation pour assurer la continuité des teneurs en imposant une relation du type :

0=− ∆+∆+ ttj

tti CC λλ (C.3.23)

i et j désignant deux nœuds en vis-à-vis sur l’interface entre deux zones consécutives ; λ représentant un facteur de pénalisation (voir le manuel d’utilisation de CESAR pour le choix de λ (éléments spéciaux « SP1T »). Compte tenu du fait que l’algorithme (implicite) de DTNL calcule l’incrément de teneur en eau à chaque itération pour un pas de temps donné, la relation ci-dessus concernant les teneurs en eau à l’instant tt ∆+ est remplacée par :

(C.3.25) )( itérations autres lespour 0(C.3.24) itération première la à

,,

,1,1

kCCCCCC

ttjk

ttik

tj

ti

ttj

tti

=∆−∆−=∆−∆

∆+∆+

∆+∆+

λλλλλλ

Pour plus de détails concernant cette implémentation et la constitution des jeux de données, la référence [Staquet & Tailhan 2004] contient la notice relative au chaînage TEXO-DTNL (HEXO).


259

4. Modélisation des déformations différées sur base du degré d’hydratation et de la teneur en eau

4.1. Introduction

Dans ce chapitre, nous allons passer en revue les différentes déformations différées qui apparaissent dans le béton au cours de son histoire à savoir le retrait thermique εth, le retrait endogène εsre, le retrait de dessiccation εsrd, le fluage fondamental εsff et le fluage de dessiccation εsfd . Ainsi la déformation totale εtot à l’instant t pourra s’écrire de la manière suivante :

εtot = εth +εsre + εsrd + εsff + εsfd (C.4.1)

Cette approche classique qui consiste à découper la déformation globale en une somme de composantes découplées est certainement très critiquable. En effet, il existe indiscutablement un couplage entre l’hydratation et le séchage [Oh & Chah, 2003], entre le séchage et le fluage fondamental [Guénot-Delahaie, 1997] et entre l’hydratation et l’état de contrainte [Tamtsia & Beaudoin, 2000] pour citer quelques exemples concrets de couplage. A l’heure actuelle, une modélisation prenant en compte toutes les interactions entre les différentes composantes de déformations différées n’existe pas encore. Elle nécessiterait une expérimentation lourde et très coûteuse en temps. Tel n’est pas l’objectif des développements envisagés ici. Par ailleurs, les phénomènes physico-chimiques à l’origine des déformations différées sont encore loin de faire l’unanimité dans la communauté scientifique [Tamtsia & Beaudoin, 2000]. Nous verrons que certains couplages ne concernent qu’une zone très limitée de la structure et n’affectent que très faiblement le comportement d’ensemble du problème étudié. Notre objectif dans ce travail consiste essentiellement à vérifier le bénéfice éventuel d’une modélisation basée sur une approche locale de l’humidité dans la prédiction des déformations d’une structure ayant un historique de construction assez complexe. Pour ce faire, pour chacune des composantes différées, nous avons dû privilégier telle théorie plutôt que telle autre. Les deux critères essentiels dans notre choix ont été bien entendu tout d’abord le fondement scientifique du modèle et deuxièmement la certitude de pouvoir déterminer tous les paramètres du modèle par des essais expérimentaux au laboratoire.

4.2. Retrait thermique Dans le cas du retrait thermique, ce n’est pas l’eau mais la température qui est le moteur des déformations. En effet, on a vu que la réaction d’hydratation entre le ciment et l’eau s’accompagne généralement d’un fort dégagement de chaleur qui passe par un pic environ une douzaine d’heures après le gâchage, ce qui correspond classiquement au début de la prise. Ensuite, une période de refroidissement très lent s’effectue sur plusieurs jours, ce qui induit un retrait thermique.


260

D’après [Laplante, 1992], la valeur du coefficient de dilatation thermique est très élevée au tout jeune âge (lorsque le béton est à l’état frais, en l’absence de toute rigidité) mais elle se stabilise très vite vers une constante comprise entre 7.10-6 et 13.10-6/°C. La valeur communément admise pour les bétons courants (avec gros granulats) est de 10.10-6/°C. La déformation de retrait thermique va s’exprimer de la manière suivante :

( )),,(.),,( 0 tyxTTtyxth −= αε (C.4.2)

avec T0, la température initiale dans le béton juste après le gâchage ; T(x,y,t), la température au point de coordonnées (x,y) et à l’instant t ; α, le coefficient de proportionnalité nommé coefficient de contraction thermique.

4.3. Retrait endogène

Il s’agit du retrait qui a lieu en l’absence totale de tout échange d’humidité et qui est lié à la consommation interne d’eau lors de l’hydratation du ciment c’est-à-dire l’autodessiccation. La réaction d’hydratation présente en effet un bilan volumique négatif. Le volume molaire des hydrates est inférieur d’environ 8 à 12% à la somme des volumes molaires des constituants de départ à savoir l’eau et le ciment. Engendré par l’avancement de la réaction d’hydratation, le retrait endogène en suit l’évolution. Il effectue généralement 90% de sa valeur finale potentielle au cours des quatre premières semaines. Selon des travaux récents [Parrott & al, 1990, De Schutter, 1996 a, Guénot-Delahaie, 1997], la relation entre le degré d’hydratation et le retrait endogène est quasi linéaire dans le domaine des bétons courants. Classiquement, on exprime donc le retrait endogène εsre par la relation suivante que nous appellerons par la suite modèle 1:

),,(.),,( tyxtyxsre ξβε = (C.4.3)

avec β, la valeur finale du retrait endogène ; ξ, le degré d’hydratation. Quelques auteurs ont proposé des expressions permettant de calculer la valeur de β à partir des caractéristiques mécaniques du béton. Ainsi, par exemple, dans [Le Roy, 1996b], l’auteur propose l’expression suivante qui dépend de la résistance à 28 jours fc,28 (en MPa) du béton: β = 1,4. (2.fc,28 – 40). 10-6 (C.4.4) Pour des raisons d’optimisation du programme de calcul de structure, nous avons examiné si une alternative à cette équation pouvait être satisfaisante. Celle-ci est basée sur la dérivée du degré d’hydratation (ce que nous appellerons modèle 2) plutôt que sur le degré d’hydratation lui-même.


261

En effet, cette donnée se trouve dans le même fichier que celui qui contient toutes les valeurs de teneur en eau calculées avec CESAR-LCPC. L’expression de l’incrément de déformation de retrait endogène entre t et t+∆t est calculé alors par :

ttt

sre ttttyx

∆+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∆+∆ξβξβε ..),,( (C.4.5)

avec β, la valeur finale du retrait endogène ; ξ, le degré d’hydratation. Nous montrerons dans le prochain chapitre que cette alternative est tout-à-fait raisonnable compte tenu des comparaisons que nous avons faites entre ces prédictions numériques et nos mesures expérimentales. Toutefois, nous voulons attirer l’attention sur le fait que l’expression classique basée sur l’évolution du degré d’hydratation lui-même a été systématiquement validée expérimentalement par des essais effectués sur des éprouvettes protégées de la dessiccation. Or, les déformations de retrait endogène mesurées sur une éprouvette en condition scellée et sur une éprouvette exposée au séchage ne sont pas identiques. En effet, dans le cas de l’éprouvette qui sèche, l’humidité interne relative diminue très rapidement dans la zone de peau. L’avancement de la réaction d’hydratation dépend bien entendu de la température mais également de l’humidité interne relative. Selon [Xi & al., 1994], on estime que l’hydratation ralentit très fortement voire s’arrête pour des valeurs d’humidité relative inférieures à 75% environ. Cependant, on a vu que le retrait endogène se développe très rapidement. Par conséquent, sur cette période, le séchage n’affecte qu’une très fine zone en peau. On peut donc admettre, en première approximation, que cette modélisation reste valide étant donné l’échelle de temps considérée pour ces mécanismes. Il est évident que tant que le béton est à l’état fluide, les déformations d’origine thermique ou chimique comme le retrait endogène ne vont générer aucune contrainte dans le matériau. Selon [Ulm, 1999a], en l’absence de données expérimentales précises sur le début de prise du béton, il est admis de considérer soit 0,05 pour les bétons ordinaires soit 0,1 pour les bétons hautes performances comme valeur du seuil de percolation du béton, c’est-à-dire, le seuil du degré d’hydratation à partir duquel le matériau peut supporter des contraintes [Acker, 1988]. C’est ce qui a été implémenté dans le programme : en-dessous de cette valeur seuil du degré d’hydratation, les déformations d’origine thermique ou chimique ne génèrent aucune contrainte dans la structure.


262

4.4. Retrait de dessiccation Il s’agit du retrait lié à la perte en masse du béton causé par le processus de séchage du matériau du fait du déséquilibre hygrométrique avec le milieu environnant. A l’heure actuelle, les avis sont partagés au sein de la communauté scientifique sur l’origine à l’échelle microstructurale de cette déformation de retrait de dessiccation. Néanmoins, sur base d’observations expérimentales, certains auteurs [Wittmann, 1982 ; Alvaredo & Wittmann, 1993 ; Bažant & Xi, 1994 ; van Zijl, 1999] ont suggéré de relier linéairement la déformation de retrait de dessiccation à la variation d’humidité relative. D’autres auteurs [Thelandersson et al., 1988 ; Granger 1996 ; Benboudjema et al., 2001b] ont exprimé le retrait de dessiccation comme une fonction linéaire de la variation de la teneur en eau dans le béton. En fait, ces deux approches sont tout-à-fait similaires. En effet, selon [Philajavaara 1974 ; Baroughel-Bouny et al., 1999], la courbe de l’isotherme de désorption exprimant la perte de masse de l’éprouvette en fonction de l’humidité relative imposée à l’éprouvette est quasi-linéaire pour des valeurs de l’humidité relative comprises entre 50 et 100%. C’est ce qui est illustré sur la figure C.4.1. Autrement dit, cela revient à supposer que dans la gamme d’humidité relative la plus courante existant dans nos pays, à savoir entre 50 et 100%, on peut admettre que le retrait de dessiccation d’un élément de volume est proportionnel à sa perte en masse.

Teneur en eau (%)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Humidité (%)

Figure C.4.1 Isotherme de désorption sur un béton ordinaire (Eau/Ciment = 0,5 et Granulat/Ciment = 3) selon [Pihlajavaara S.E. (1974)]


263

Toutefois, ce type de modélisation a été récemment remis en question par certains auteurs [Obeid et al., 2002 ; Benboudjema et al., 2003 ; Acker, 2003] notamment sur base d’essais sur des éprouvettes de très petites dimensions pour s’affranchir de l’effet dit structural dû à l’apparition d’une fissuration de peau. On reviendra à cet effet un peu plus loin. En effet, l’analyse fine de ces résultats expérimentaux de déformation de retrait montrent que lorsque l’éprouvette est réhumidifiée, le retrait de dessiccation a un caractère partiellement irréversible, ce que ce type de modèle ne permet pas d’expliquer. Par ailleurs, dans le cas où le séchage est rapide, la déformation de retrait ne serait pas rigoureusement proportionnelle à la variation d’humidité relative mais il s’agirait plutôt d’une relation bilinéaire [Day et al., 1984 ; Baroughel-Bouny, 1999 ; Obeid et al., 2002] avec une constante de proportionnalité k dépendant de la gamme d’humidité relative concernée. La frontière entre ces deux gammes varient d’un auteur à l’autre vu la dispersion des conditions d’essais et des formulations envisagées. Néanmoins, étant donné que les conditions environnementales moyennes qui ont été considérées dans la modélisation du séchage sont supposées constantes pour toute l’histoire de la structure, c’est cette approche simplifiée que nous avons choisi d’adopter dans le cadre de ce travail. Ainsi, la relation locale entre le retrait de dessiccation et la teneur en eau peut s’exprimer de la manière suivante :

( )),,(.),,( tyxCCktyx inisrd −=ε (C.4.6)

avec Cini, la teneur en eau initiale dans le béton juste avant l’exposition au séchage ; C(x,y,t), la teneur en eau au point de coordonnées (x,y) et à l’instant t ; k, le coefficient de proportionnalité nommé coefficient de contraction hydrique. Si on exprime le retrait global de la section d’une éprouvette, il suffit d’intégrer l’expression précédente sur une section droite dans la zone centrale de l’éprouvette, là où l’hypothèse des sections planes de Navier Bernoulli est vérifiée. Dans [Torrenti, 1996 ; Granger, 1996], on montre qu’étant donné que la distribution de contrainte sur la section est auto équilibrée, on obtient après calculs (en supposant une hauteur unitaire pour l’éprouvette):

)C.4.8(.

C.4.7)(....)(

ρ

ρε

SPPPK

PPk

SPktsrd

=

∆=

∆=

∆=

avec S, la section de l’éprouvette ; ρ, la masse volumique du béton ; P, la masse totale initiale de l’éprouvette ; ∆P, la perte en masse de l’éprouvette. On verra un peu plus loin qu’il est très aisé expérimentalement de déterminer la valeur de K [Granger, 1996]. Cette constante correspond en effet à la pente dans la zone linéaire de la courbe retrait de dessiccation en fonction de la perte en masse.


264

Le fort gradient de déformation imposé dans l’éprouvette et qui est proportionnel à la variation de teneur en eau entraîne une fissuration de peau très fine par déformation empêchée. C’est ce qui est communément appelé l’effet structural. Il en résulte des contraintes de traction en surface et des contraintes de compression en cœur. En effet, la zone située en peau a tendance à vouloir se contracter plus que le cœur. Ces contraintes sont auto équilibrées mais non uniformes sur une section [Wittmann, 1982 ; Bažant, 1982]. Les contraintes de traction dépassent généralement ce qu’il est convenu d’appeler la résistance en traction du béton. Quelques auteurs ont illustré ce dépassement très courant au moyen d’un calcul élastique [Granger, 1996 ; Meftah et al., 2000]. Quelques décades logarithmiques plus tard dans l’échelle du temps, la peau ne subit plus de variation de teneur en eau puisqu’elle a déjà atteint sa teneur en eau quasi minimale depuis longtemps alors que le cœur subit des variations de teneur en eau qui sont maintenant significatives. A ce stade, le cœur a tendance à vouloir se contracter nettement plus que la peau (voir Figure C.4.2). En terme d’incrément de contrainte, on se situe exactement dans la situation inverse de celle qui existait au début de l’exposition au séchage : des incréments de compression en peau et des incréments de traction en cœur.


265

Ceq

Cini

∆σ

+ +_

∆ε

Début du séchage

Ceq

Cini

∆σ

+_

∆ε

Fin du séchage

_

Figure C.4.2 Evolution de la teneur en eau et des incréments de déformation et de contrainte se produisant dans un élément en béton au début et à la fin de l’exposition au séchage (avec traction positive et compression négative) Quand on examine l’allure des courbes d’évolution de la déformation de retrait en fonction de la perte en masse de l’éprouvette, deux voire trois zones suivant le temps écoulé depuis l’exposition au séchage peuvent être identifiées :

- la zone dormante Une perte en masse est mesurée alors qu’aucun retrait apparent ne semble mesurable. D’après [Granger, 1996], durant cette période, se produit une fissuration en surface de l’éprouvette qui masquerait le retrait de l’éprouvette.

- la zone linéaire Le retrait mesuré semble bel et bien proportionnel à la perte en masse dans cette zone, la fissuration n’évoluant plus pendant cette période.


266

- la zone asymptotique

La perte en masse évolue toujours mais le retrait mesuré tend vers une valeur asymptotique. Cela correspond à la phase où des incréments de contrainte en compression apparaissent en peau, ce qui a pour effet de refermer partiellement les fissures et donc d’atténuer le retrait apparent mesuré. Ces trois zones sont illustrées sur la Figure C.4.3 qui rapportent des mesures effectuées sur un cylindre (diamètre 15 cm, hauteur 60 cm) en béton exposé au séchage (HR = 53%) à un jour d’âge. Il s’agit d’un BHP industriel classique (produit en usine de préfabrication en Belgique) avec du ciment Portland et une résistance à 28 jours sur cylindre de 54 MPa. Pour plus de détails concernant les caractéristiques de ce béton, voir [Staquet & Espion, 2002].

Retrait de dessiccation (m/m)

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Perte relative en masse (%)

CEM I / 54 MPa

Figure C.4.3 Evolution du retrait de dessiccation en fonction de la perte en masse d’une éprouvette en BHP exposée au séchage à un jour Durant la zone dormante, il se produit une fissuration de surface due au fait que la peau du béton est en traction. Si toute la section de l’éprouvette ne participe pas pour former la déformation de retrait de dessiccation, la déformation mesurée ne fournit pas toute la déformation à laquelle on pourrait s’attendre. Si la structure est précontrainte, on va mobiliser plus de retrait de dessiccation puisqu’une partie de la fissuration de peau sera empêchée. D’après [Granger, 1996], la différence entre la déformation de retrait de dessiccation d’une structure chargée et celle d’une structure non chargée est le fluage de dessiccation dit « structural ». La modélisation que nous avons adoptée correspond partiellement à l’idéalisation de la courbe de retrait de dessiccation en fonction de la perte en masse telle que suggérée par [Granger, 1996] et qui est représentée sur la figure C.4.5.

Zone dormante

Zone linéaire


267

Retrait de dessiccation (µm/m)

Perte relative en masse (%)

Figure C.4.5 Courbe idéalisée de retrait de dessiccation en fonction de la perte en masse Dans cette modélisation, il n’y a qu’une constante K à déterminer sur base de données expérimentales et une valeur seuil (∆P/P)0 de la perte en masse. Selon [Granger, 1996], on considère que la déformation réelle correspond à la courbe de retrait de dessiccation idéalisée quand la structure n’est pas chargée et qu’elle correspond à la somme de la courbe du retrait de dessiccation idéalisée εsrd et de celle du fluage de dessiccation structural εsfds quand la structure est chargée. Si on exprime ces concepts sous forme d’équations en supposant que le béton est précontraint en t = 0 pour se mettre dans le cas d’une structure chargée, on obtient : pour (∆P/P) < (∆P/P)0, le retrait de dessiccation 0),,( =tyxsrdε (C.4.9)

le fluage de dessiccation structural ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∆

=15

),,(,1).(.),,( tyxMintPPKtyxsfds

σε (C.4.10)

avec ),,( tyxσ en MPa pour (∆P/P) > (∆P/P)0, le retrait de dessiccation ( )),,(),,(.),,( 00 tyxCtyxCktyxsrd −=ε (C.4.11) avec C0, la teneur en eau correspondant au temps t0 pour lequel (∆P/P) = (∆P/P)0

le fluage de dessiccation structural ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆=

15),,(

,1..),,( 0

0

tyxMin

PPKtyxsfds

σε

(C.4.12)

avec ),,( tyxσ en MPa

Retrait de dessiccation idéalisé + Fluage de dessiccation structural (structure chargée)

Retrait de dessiccation idéalisé (structure non chargée)

(∆P/P)0 0

K


268

D’après [Sicard, 1992], une contrainte de 15 MPa permet de refermer toutes les fissures se produisant pour (∆P/P) < (∆P/P)0. Par conséquent, le fluage de dessiccation structural mobilisé serait proportionnel à la contrainte réellement appliquée à concurrence de 15 MPa. Dans le cas du béton précontraint, c’est la modélisation que nous avons adoptée de manière à ne pas devoir modéliser explicitement la fissuration du béton dans cette première approche. Dans le cas d’une structure non chargée (σ = 0), le fluage de dessiccation structural est nul et Granger suggère alors de modéliser le retrait de dessiccation par la courbe idéalisée présentée ci-avant. Cela nous semble être une hypothèse trop sévère pour notre étude qui s’intéresse aux déformations du béton dès le plus jeune âge de celui-ci. Pour les structures courantes relativement massives, cela impliquerait que le retrait de dessiccation serait considéré comme nul sur une partie significative de l’histoire de l’ouvrage. En effet, pour des épaisseurs de béton de l’ordre de 50 cm, la valeur seuil de (∆P/P)0 correspond couramment à un âge de la structure de 1000 jours. Par cette approche, on sous-estimerait la part liée à la dessiccation dans l’estimation du retrait global de la structure au jeune âge. Pour notre application, nous avons préféré évaluer le retrait de dessiccation dès l’instant de l’exposition au séchage et pour toute l’histoire de la structure par l’expression suivante qui a déjà été présentée auparavant :

( )),,(.),,( tyxCCktyx inisrd −=ε (C.4.13) avec Cini, la teneur en eau initiale dans le béton juste avant l’exposition au séchage ; C(x,y,t), la teneur en eau au point de coordonnées (x,y) et à l’instant t ; k, le coefficient de proportionnalité nommé coefficient de contraction hydrique. Cependant, la modélisation telle que nous l’avons adaptée dans CESAR-LCPC prend en compte non seulement la perte en eau par séchage mais aussi la consommation d’eau par la réaction d’hydratation. On ne peut donc pas utiliser tels quels les résultats de teneur en eau en sortie du calcul pour évaluer le retrait de dessiccation εsrd. Nous avons donc procédé par un premier calcul avec les conditions aux limites réelles en terme de séchage, ce qui nous fournit une teneur que l’on appellera par la suite C1 qui contient la part liée au séchage et celle liée à l’hydratation. Un second calcul est effectué en condition scellée sur toutes les faces de la structure, ce qui nous fournit une teneur dite C2 qui ne contient que la part liée à l’hydratation. Le retrait strictement dû au séchage est alors évalué par :

( )),,(),,(.),,( 12 tyxCtyxCktyxsrd −=ε (C.4.14) avec C1(x,y,t), la teneur en eau en (x,y) et à l’instant t due au séchage et à l’hydratation; C2(x,y,t), la teneur en eau en (x,y) et à l’instant t due uniquement à l’hydratation; k, le coefficient de contraction hydrique. Ce raisonnement a été appliqué pour chaque composante des déformations différées faisant intervenir la teneur en eau ou la perte en masse et qui est supposée liée uniquement à la dessiccation.


269

Le graphique C.4.6 illustre l’évolution du retrait de dessiccation d’une éprouvette de béton du pont-bac exposée au séchage à deux jours en comparaison de la courbe obtenue en utilisant l’équation précédente pour le calcul de εsrd basé sur un calcul de l’évolution des teneurs C1 et C2 fournies par CESAR-LCPC. Pour des teneurs en eau exprimée en litre par m³, la constante k a été fixée à 0,00002. La correspondance entre les évolutions est tout-à-fait satisfaisante. Le détail des calculs est explicité au chapitre suivant dans lequel la calibration des différentes constantes du modèle est présentée.


0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0009

10 100 1000 10000 100000 1000000

temps (heure)

modèle 'C2-C1'mesures

Figure C.4.6 Evolution du retrait de dessiccation d’une éprouvette en béton du pont-bac exposée au séchage (HR 53%) à 48 heures

Suivant le type de liant utilisé (fumée de silice, ciment au laitier de haut fourneau,…) ainsi que l’âge du béton au moment de l’exposition au séchage, la déformation de retrait mesurée peut varier significativement. Toutefois, dans une série d’essais qui a été menée au laboratoire [Staquet & Espion, 2002], on a pu observer que pour des éprouvettes exposées au séchage à un jour, le retrait de dessiccation de deux formulations de béton apparemment très différentes (l’un contenant du ciment au laitier de haut fourneau CEMIII (B1) et l’autre du ciment Portland CEMI (B2)) peut en fait être très similaire. La résistance à la compression sur cylindre de ces bétons est du même ordre de grandeur, 60 MPa pour B1 et 54 MPa pour B2. Une fois la déformation de retrait endogène éliminée des mesures de retrait total, le graphique C.4.7 montre que les évolutions du retrait de dessiccation sont très proches.

Une étude statistique serait certainement très utile pour évaluer la variabilité de l’évolution du retrait de dessiccation en fonction du type de ciment, de l’âge d’exposition au séchage, du type d’ajout cimentaire,…. En effet, il existe beaucoup de données comparatives de résultats de mesure du retrait total mais peu d’entre elles séparent correctement la partie endogène de la partie strictement due à la dessiccation. Cela permettrait d’évaluer la robustesse du modèle pour une certaine gamme de bétons, à savoir les bétons industriels actuels issus de l’industrie de la préfabrication.


270

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

perte relative en masse (%)

retrait (µm/m)

retrait total B1retrait total B2retrait de dessiccation B1retrait de dessiccation B2

Figure C.4.7 Evolution du retrait en fonction de la perte en masse pour un BHP (B1) avec du ciment au laitier de haut fourneau et un BHP (B2) avec du ciment Portland exposés au séchage (HR 53%) à un jour A l’échelle de la structure, on a vu que le séchage du béton est un phénomène extrêmement lent. La constante de temps des phénomènes de diffusion étant t/R² avec R, le rayon moyen de la pièce, le retrait de dessiccation présente un effet d’échelle très accentué qui découle directement de l’effet d’échelle sur le séchage du béton. Plus la taille de l’éprouvette est importante, plus la valeur asymptotique de la déformation de retrait de dessiccation mesurée est faible. D’après [Benboudjema, 2003], la fissuration de surface étant d’autant plus importante que l’éprouvette est de grande taille, la déformation mesurée de retrait apparent d’une grande éprouvette sera moindre. En fait, on peut le comprendre par le raisonnement simple suivant. Considérons deux éprouvettes homothétiques de volumes respectifs V1 et V2 = r³V1 et de section S1 et S2 = r² S1. Compte tenu de l’effet d’échelle, on peut écrire les expressions suivantes pour la teneur en eau C et par conséquent aussi pour la déformation de retrait εrd:

)C.4.16(),(),(

)C.4.15(),(),(

212

212

rt

rxtx

rt

rxCtxC

VrdVrd

VV

εε =

=

Ainsi, le retrait mais aussi l’apparition des contraintes sont différés suivant un rapport de r². Par contre, par ce raisonnement, la valeur seuil de (∆P/P)0 pour la perte en masse est indépendante de la taille de l’éprouvette. Dans l’éprouvette de volume r³V1, la fissuration apparaîtra à un âge r² fois plus grand mais elle sera r fois plus profonde.


271

4.5. Fluage fondamental Conventionnellement, la déformation de fluage fondamental est la déformation mesurée sur une éprouvette chargée et en condition scellée à laquelle on soustrait la déformation de retrait endogène et la déformation élastique instantanée. Dans ces conditions typiques de laboratoire, la température est supposée constante et l’état d’humidité uniforme à l’intérieur de l’éprouvette. Avant d’aller plus loin dans la description de la modélisation, soulignons d’emblée que bien que des progrès certains aient été réalisés pour tenter de comprendre les mécanismes du fluage du béton, c’est encore un sujet à controverse [Tamtsia & Beaudoin, 2000]. Il est vrai que les mécanismes de fluage se produisant à différentes échelles dans la pâte cimentaire sont loin d’être facilement accessibles par les moyens traditionnels d’investigation des laboratoires. De plus, le développement de la déformation différée est très lent, s’échelonnant sur plusieurs années voire dizaines d’années et vu l’importance du matériel immobilisé dans un essai de fluage, il n’est pas du tout aisé d’effectuer un grand nombre d’essais permettant une analyse statistique de la variabilité des résultats expérimentaux obtenus. Aussi, il est certain que de la recherche fondamentale reste encore à faire dont une bonne part relève du domaine des physico chimistes. Néanmoins, il semble que l’on puisse dégager quelques caractéristiques essentielles de la déformation de fluage qui ont été vérifiées expérimentalement par bon nombre de chercheurs. Ainsi, beaucoup d’auteurs dont notamment [Bažant 1982, Guénot-Delahaie 1997, De Schutter & Taerwe 2000], ont mis en évidence la très forte dépendance du fluage fondamental à l’âge du béton au moment du chargement. Cette très forte dépendance a conduit certains chercheurs [Guénot-Delahaie 1997, De Schutter & Taerwe 2000] à proposer une modélisation du fluage fondamental basée sur l’évolution du degré d’hydratation du béton pour expliquer le comportement différé du béton chargé au jeune âge. Cette dépendance se poursuit d’ailleurs bien après le ralentissement significatif de la réaction d’hydratation qui se produit, classiquement pour des bétons avec ciment Portland, à partir de 28 jours. Pour des âges au chargement tardifs, un deuxième phénomène s’avère nécessaire pour expliquer le vieillissement de la déformation de fluage. En fait, non seulement le degré d’hydratation mais également la teneur en eau du béton semble jouer un rôle fondamental dans le mécanisme du fluage fondamental du béton. Ainsi, dans [Acker, 1988], l’auteur montre que le fluage fondamental d’un béton séché à 105°C est quasiment nul (voir figure C.4.8). Dans la gamme des bétons à ultra hautes performances, ceux-ci ne développent pratiquement plus de fluage (voir figure C.4.9) une fois qu’ils sont traités thermiquement du fait de la quasi non-existence d’eau libre dans le matériau à ce stade-là [Cheyrezy & Behloul, 2001]. Par ailleurs, le fluage d’une éprouvette préalablement séchée à une hygrométrie h constante dans le volume de celle-ci est quasiment proportionnel à h [Bažant 1973, Bažant 1976]. Le fluage fondamental est compris entre une valeur nulle dans le cas d’un béton sec et une valeur maximale dans le cas d’un béton saturé en eau quand h = 1 (voir figure C.4.8).


272

Déformation (m/m)

00,00020,00040,00060,0008

0,0010,00120,00140,00160,0018

0,0020,00220,00240,0026

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) en jour

fluage fondamental (HR=100%, prédiction)fluage fondamental (HR=100%, mesures)fluage fondamental (HR=53%, prédiction)fluage fondamental (HR = 0%, prédiction)

Figure C.4.8 Illustration de la dépendance du fluage fondamental avec le taux d’humidité relative initial de l’éprouvette dans le cas d’une petite éprouvette chargée à 2 jours avec à σ = 0,5 fc,2 Figure C.4.9 Influence de la cure sur le fluage fondamental des BPR200 avec E/C=0,23 d’après [Loukili, 1996]


273

Par conséquent, toutes ces observations vont nous amener à considérer que le fluage fondamental d’une structure qui sèche va dépendre de la valeur locale de teneur en eau dans le béton et ne peut se définir que par le biais d’une loi de comportement permettant de prendre en compte simultanément des historiques variables de contraintes et d’humidités relatives. Pour des historiques de contraintes variables, on a vu dans la première partie que le principe de superposition de Boltzmann est utilisé. Pour une sollicitation σ = σ0 + ∆σ où ∆σ varie graduellement , la réponse ε peut s’écrire sous la forme suivante:

La résolution de cette équation n’est pas du tout aisée car il s’agit d’une équation intégrale qui fait intervenir toute l’histoire antérieure d’application des contraintes. D’après [Bažant 1982 ; Espion, 1986], pour transformer une équation intégrale héréditaire en une équation différentielle, il est nécessaire d’utiliser des fonctions particulières de fluage dites dégénérées par rapport à celles qui décriraient réellement le comportement du matériau. L’avantage important de cette approche pour la fonction de fluage J est qu’il n’est pas nécessaire de stocker en mémoire toute l’histoire de contrainte puisque le problème se résout alors de façon incrémentale sur base de l’information connue au pas précédent. Dans le domaine linéaire, le comportement de tout béton peut être modélisé soit par une chaîne d’éléments Kelvin (figure C.4.11) mis en série dont les propriétés rhéologiques varient dans le temps, soit par une chaîne d’éléments Maxwell (figure C.4.10) dont les propriétés rhéologiques varient aussi dans le temps [Bažant 1982 ; Espion, 1986].

σ

σ

C1 C2 C8

η1 η2 η8

Figure C.4.10 Représentation d’une chaîne d’éléments Maxwell

)C.4.17(.)().,(),(.),( τττστσεεε dtJttJtt

t

tiiii

i

∫ ∂∂

+=∆+=


274

Figure C.4.11 Représentation d’une chaîne d’éléments Kelvin D’après Bažant [Bažant, 1974], dans le cas de l’utilisation de chaînes d’éléments Kelvin, on peut développer en série de Dirichlet toute fonction de fluage sous la forme :

)1.()(

1),( /)(

1

µτ

µ µ

ittN

ii e

tCttJ −−

=

−= ∑ (C.4.18)

avec N, le nombre d’éléments de la chaîne ; ti [d], l’âge du béton au moment du chargement ; Cµ [MPa], la rigidité élémentaire du µème élément Kelvin ; τµ [d], le temps de retard qui équivaut à Cµ/ηµ avec ηµ, la viscosité élémentaire du µème élément Kelvin.

C1

C2

η1

η2

σ

σ

C8 η8


275

La substitution de cette fonction de fluage dégénérée dans l’équation intégrale conduit à une formulation différentielle équivalente au principe de superposition pour laquelle Bažant a proposé un algorithme numérique de résolution stable et convergent dit récursif (il est explicite) et exponentiel (augmentation du pas de temps de telle façon que celui-ci apparaisse constant dans une échelle logarithmique). La dernière difficulté réside en fait en la détermination des Cµ et des τµ de la fonction de fluage dégénérée par identification selon la méthode des moindres carrés avec des données expérimentales. D’après Bažant, l’identification des temps de retard sur base de données expérimentales conduit à un problème instable et à une solution non unique. Il est nécessaire de se donner à priori les temps de retard. Le choix de la valeur minimale τ1 et de la valeur maximale τN dépend essentiellement des données expérimentales dont on dispose pour les durées de chargement. En effet, pour des temps situés en dehors de la gamme expérimentale connue, les valeurs de la fonction de fluage fournies par la chaîne d’éléments Kelvin n’auront plus aucune signification physique. Dans le cas où on déciderait d’effectuer l’identification sur base d’un modèle codifié et non sur des données expérimentales, on pourrait balayer toute la gamme des temps sans restriction particulière. Etant donné que la plupart des essais couvrent une durée de chargement de tout au plus trois ans, il subsiste toujours aujourd’hui un débat au sein de la communauté scientifique sur le comportement à l’infini du fluage fondamental. Certains considèrent que la déformation est bornée, d’autres pas. Dans la modélisation qui est envisagée ici, nous avons pris l’option de restreindre la fonction de fluage à la dernière valeur expérimentale mesurée au laboratoire soit 1000 jours. Selon Bažant, un choix satisfaisant procurant un temps de retard par décade logarithmique est :

11.10 ττ µ

µ−= (C.4.19)

avec µ = (1, ..., N-1) τ1 = 0,0002 jour (par exemple). Ensuite, la détermination des Cµ correspondant à un âge au chargement ti donné s’effectue par une procédure d’identification par les moindres carrés avec une condition de non négativité imposée aux inconnues (‘non negative least square’ dans [Lawson, 1974] ; nnls dans [MATLAB]) afin de garantir le caractère strictement monotone de la fonction de fluage. Pour tenir compte du vieillissement du béton, les propriétés rhéologiques de la chaîne doivent varier en fonction de l’âge du béton. Par exemple, dans le cas de chargement au jeune âge, De Schutter et Taerwe (1999) ont montré que cette variation peut s’effectuer sur base de l’évolution du degré d’hydratation du béton. Sinon, la totalité du spectre de retard peut s’obtenir en procédant à une identification par la même procédure que celle explicitée précédemment pour un certain nombre d’âges de chargement relativement bien répartis sur une échelle logarithmique. A défaut de disposer d’un nombre d’essais expérimentaux suffisants à des âges différents, on peut utiliser la loi de vieillissement proposée dans le code modèle CEB que l’on applique à chacun des termes de la série obtenus sur base de la fonction de fluage du béton chargé à l’âge de 28 jours.


276

Pour µ = 1,

5,05,0

2811

2812,0exp.)(

1)(

1−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ii ttCtC (C.4.20)

Pour µ = 2,...., N

2,0

2,0

28 )(1,0281,0.

)(1

)(1

ii ttCtC ++

=µµ

(C.4.21)

avec ti, l’âge du béton au moment du chargement. Tout ceci nous permet de modéliser des historiques de contraintes variables. Pour tenir compte d’historiques d’hygrométries variables dans la modélisation du fluage fondamental, deux types d’approche sont évoqués dans la littérature [Granger, 1996]. Dans les équations constitutives du modèle, le temps réel t est remplacé par un temps équivalent teq qui est défini par une fonction f qui dépend de t et de l’humidité interne relative h de la manière suivante :

dtthfdteq )).((= (C.4.22) Une seconde approche consiste à multiplier la fonction de fluage fondamental J par une fonction isotrope g qui dépend de l’humidité interne relative h de la manière suivante :

)().(),( tJhghtJ = (C.4.23) Cette dernière approche implique que l’amplitude de la fonction de fluage est proportionnelle à la fonction g(h) choisie, ce qui semble être confirmé par les essais expérimentaux publiés dans la littérature[Acker 1988, Bažant 1973, Bažant 1976]. Par conséquent, nous avons opté pour cette approche avec une fonction g définie comme suit étant donné la proportionnalité entre la déformation de fluage fondamental et l’humidité interne relative qui a été constatée expérimentalement :

10)( ≤≤= havechhg (C.4.24) Nous verrons plus en détail au chapitre suivant comment à partir des données de perte en masse d’éprouvettes exposées au séchage, il est possible de déterminer le paramètre θ pour calculer l’humidité interne relative h au temps ti:

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= ),,(2),,(1.01,01),,( ityxCityxCityxh

θ (C.4.25)

avec θ, la pente de l’isotherme sorption désorption ;


277

C1, la teneur en eau avec prise en compte de l’hydratation et du séchage ; C2, la teneur en eau avec prise en compte uniquement de l’hydratation. En définitive, les termes Cµ de la chaîne sont déterminés de la manière suivante : pour µ = 1,

5,05,0

2811

2812,0exp.)(

1)(

1−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ii ttCtC (C.4.26)

pour µ = 2,...., N

),,(.)(1,0

281,0.)(

1)(

12,0

2,0

28i

ii

tyxhttCtC +

+=

µµ

(C.4.27)

avec ti, l’âge du béton au moment du chargement.


278

4.6. Fluage de dessiccation Quant on parle de fluage de dessiccation, on pense instantanément au paradoxe de l’effet Pickett, du nom du scientifique qui a mis en évidence expérimentalement ce comportement en 1942. Ce paradoxe provient en fait de la constatation expérimentale que nous avons soulignée au paragraphe précédent à savoir que la déformation de fluage fondamental est proportionnelle à l’humidité interne relative du béton. En conséquence, on serait tenté de dire que la déformation de fluage d’une éprouvette exposée au séchage à 50% (et qui voit donc son humidité interne relative passer progressivement de 100% à 50%) est encadrée par la déformation de fluage fondamental d’une éprouvette en condition scellée (soit à 100%) et par la déformation de fluage fondamental d’une éprouvette préséchée à 50%. En réalité, la déformation de fluage de l’éprouvette en train de sécher est bien supérieure à la déformation de fluage fondamental. C’est ce que la figure C.4.12 illustre. Dans une éprouvette qui sèche, ce surplus de déformation de fluage par rapport à la déformation de fluage fondamental représente la déformation de fluage dit de dessiccation et est donc clairement lié au séchage sous contrainte.

Déformation (m/m)

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) en jour

fluage total (HR=53%, mesures)fluage fondamental (HR=100%, prédiction)fluage fondamental (HR=100%, mesures)fluage fondamental (HR=53%, prédiction)

Figure C.4.12 Illustration de l’effet Pickett pour des petites éprouvettes chargées à 2 jours à σ = 0,5 fc,2 Deux grandes familles de causes sont proposées dans la littérature pour expliquer le fluage de dessiccation :

- la part structurale du fluage de dessiccation liée à la fissuration induite par le retrait de dessiccation ;

- la part intrinsèque du fluage de dessiccation lié au couplage entre la

contrainte, le fluage fondamental et la dessiccation.


279

4.6.1. Fluage de dessiccation structural Nous avons déjà exposé la modélisation que nous avons choisie pour cette composante de fluage lors de la description du retrait de dessiccation. Le fluage de dessiccation structural est lié au fait que le retrait mesuré sur une éprouvette de béton en train de sécher est inférieur au retrait potentiel du matériau étant donné l’apparition très rapide d’une fissuration en peau. Quand l’éprouvette est chargée, le seuil de fissuration est dépassé et une partie supplémentaire de retrait peut alors être mobilisée, ce qui constitue précisément la composante de fluage de dessiccation structural. Cette approche nous a permis de ne pas modéliser explicitement la fissuration du béton au moyen par exemple d’un paramètre d’endommagement (qui réduirait le module du béton) ou d’un comportement adoucissant pour le béton. Si nous avions opté pour un comportement viscoélastique couplé avec la fissuration, la part structurale du fluage aurait été directement reproduite dès lors qu’un modèle de fissuration est intégré dans la modélisation. Nous verrons au chapitre suivant que la déformation de fluage de dessiccation structural ne représente qu’une faible part de la déformation de fluage total. Dans cette première approche, il ne nous a pas semblé souhaitable de nous orienter vers un modèle très sophistiqué à partir du moment où cet aspect ne constitue pas le problème majeur de la modélisation du comportement à long terme de structures précontraintes.

4.6.2. Fluage de dessiccation intrinsèque Comme son nom l’indique, ce fluage est lié au comportement intrinsèque du béton. Des essais sont rapportés dans la littérature [Day R.L., Cuffaro P., Illston J.M., 1984] sur des éprouvettes de très petites dimensions en pâte de ciment (de l’ordre du mm d’épaisseur pour s’affranchir de la fissuration) qui montrent que celles-ci sont sujettes à un fluage de dessiccation important. Ainsi, dans le cas d’une éprouvette qui sèche, le fluage de dessiccation structural ne permet pas à lui seul d’expliquer le surplus de la déformation de fluage qui existe par rapport à la déformation de fluage fondamental. Quelques tentatives d’explication de ce mécanisme de fluage ont été suggérées dans la littérature. Nous ne prétendons pas les rapporter toutes ci-après mais seulement les plus connues et/ou les plus récentes :

- le modèle de Bažant « stress-induced shrinkage », le retrait induit par les contraintes [Bažant & Chern, 1985].

Dans le béton, Bažant distingue deux processus de diffusion de l’humidité. Tout d’abord, les macropores sont le siège d’une diffusion macroscopique (proportionnelle au cube du diamètre du pore selon la loi de Poiseuille) qui traduit le séchage. Un second processus de diffusion a lieu dans les micropores et serait la cause du fluage de dessiccation intrinsèque par un mécanisme d’arrachement de particules de matière solide du gel des C-S-H qui se recristalliseraient dans des micropores voisins (principe de la « solidifation theory »), [Bažant Z.P. & Prasannan S.,1989]. Sous l’effet d’une charge, le gel des C-S-H serait fragilisé et se viderait de son eau interstitielle.


280

- le modèle de Brooks , le fluage induit par la concentration des contraintes sur le gel des C-S-H [Brooks J.J., 2001].

Quand le béton est chargé, Brooks considère que les contraintes macroscopiques sont redistribuées entre le squelette solide et l’eau des pores. La perte en eau se produisant lors du séchage provoque une augmentation de l’amplitude des contraintes reprises par le squelette solide, ce qui induirait un surplus de déformation de fluage correspondant à la déformation de fluage de dessiccation intrinsèque.

- le modèle de Kovler , le fluage induit par la variation du rayon de courbure des ménisques [Kovler K., 2001].

Sous chargement en compression, le béton subit une diminution de volume. D’après Kovler, cela induirait une diminution du rayon de courbure des ménisques dans les pores capillaires et par conséquent, une augmentation de la pression capillaire se traduisant par l’apparition de la déformation de fluage de dessiccation intrinsèque.

- le modèle de Acker [Acker P., 2003]. Le retrait de dessiccation et le fluage de dessiccation intrinsèque seraient en fait de même nature et donc potentiellement fort couplés car ils sont liés tous les deux à la nature visqueuse du gel des C-S-H. Cependant, le paradoxe de Pickett ne peut pas s’expliquer par le caractère asymptotique du comportement des C-S-H qui conduirait à réduire la déformation dans les configurations les plus sollicitées. Pour expliquer ce phénomène se produisant quand on superpose de la compression uniaxiale et de la dessiccation radiale, Acker propose de revenir à l’analyse des deux champs de contrainte. Le champ de contrainte dû aux tensions capillaires (créé par la diminution d’humidité interne relative) serait macroscopiquement isotrope. A l’inverse, les champs de contrainte d’origine mécanique (compression) seraient déviatoriques, ce qui se traduit par des cisaillements au niveau des inclusions dans le matériau. Pour comprendre ce paradoxe, il faudrait considérer le mécanisme des chaînes de force étendu aux milieux granulaires à matrice visqueuse, qui s’apparente à celle de la rhéologie des empilements granulaires secs. Ce couplage mis en évidence expérimentalement par Acker [Acker, 2003] est encore loin à l’heure présente de pouvoir être traité numériquement dans les calculs de structures car il faut remonter aux mécanismes élémentaires. Néanmoins, il est manifeste qu’il y a eu ces dernières années des progrès significatifs dans le domaine grâce notamment aux nouvelles techniques expérimentales de nanoindentation permettant de mesurer les trois caractéristiques majeures (élastique, plastique et visqueuse) des constituants élémentaires des matériaux cimentaires (C-S-H, C3S, C2S, C3A,…) [Acker, 2001].


281

A ce stade-ci, nous nous sommes proposés de modéliser le fluage de dessiccation intrinsèque en faisant entrer un terme en ∆h dans les équations tel que cela a été suggéré par Bažant [Bažant & Chern, 1985] suivant l’approche dite du « retrait induit par les contraintes ». Cette appellation du retrait induit par les contraintes provient en fait de l’observation faite par Ali et Kesler [Ali I., Kesler C. E., 1964] qui ont constaté expérimentalement que la déformation de fluage de dessiccation est proportionnelle à la déformation de retrait de dessiccation. Pour modéliser la déformation de fluage de dessiccation, Bažant se base sur une chaîne de Kelvin dans laquelle il relie la viscosité η de la chaîne à la variation de l’humidité relative [Bažant & Chern, 1985] :

•

= h.1 λη

(C.4.28)

avec λ, un paramètre constant propre à la formulation de béton. Par conséquent, l’incrément de déformation de fluage de dessiccation intrinsèque ∆εsfdi s’exprime par :

hsfdi ∆=∆ ..σλε (C.4.29) avec h∆ , la valeur absolue de la variation d’humidité relative et σ, la contrainte appliquée. Cette expression revient à dire que l’on adopte une relation linéaire entre la déformation de fluage de dessiccation intrinsèque et la variation d’humidité relative comme cela a été appliqué aussi pour le retrait de dessiccation. De plus, une réhumidification va entraîner une déformation additionnelle de fluage, de sens opposé au gonflement conformément aux résultats expérimentaux obtenus dans [Gamble B.R., Parrott L.J., 1978] et [Day R.L., Cuffaro P., Illston J.M., 1984].


282

5. Modélisation des déformations différées du béton des ponts-bacs

5.1. Introduction

Dans ce chapitre, nous allons détailler la manière dont nous avons déterminé toutes les constantes et tous les paramètres caractéristiques du béton des ponts-bacs et dont la connaissance est bien évidemment nécessaire avant de pouvoir entamer les calculs au niveau de la structure. Cette démarche sous-entend que l’étude d’une nouvelle structure constituée d’un béton ayant une formulation tout-à-fait différente de celle qui a été analysée implique d’office une nouvelle détermination de ces constantes et de ces paramètres.

5.2. Détermination de la courbe QAB du béton pour le module TEXO

Une des données essentielles à introduire dans le module TEXO en vue d’obtenir une modélisation aussi réaliste que possible de l’évolution du degré d’hydratation du béton mis en oeuvre est la courbe de dégagement de chaleur du béton déterminée idéalement en condition adiabatique. Celle-ci a été déterminée au Laboratoire Magnel de l’Université de Gand par le Professeur Geert De Schutter à l’aide du montage qu’il a développé pour mesurer l’évolution de la température d’un échantillon de béton d’une trentaine de litres au cours de sa prise en condition adiabatique.

Température du béton (°C)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 12 24 36 48 60 72 84 96 108

temps (heure)

Figure C.5.1 Courbe d’évolution de la température du béton lors d’un essai d’enregistrement du dégagement de chaleur du béton au cours de son durcissement en condition adiabatique (t=0 correspond à 5 minutes après le gâchage)


283

Les matières premières utilisées pour la confection du béton proviennent directement du préfabricant et le béton a été mis en oeuvre en laboratoire de manière à démarrer l’enregistrement des mesures dès le plus jeune âge (soit quelques minutes après le malaxage). L’évolution de la température enregistrée dans le béton au cours du temps est représentée sur la figure C.5.1. Les valeurs numériques utilisées dans la modélisation sont données en annexe.

5.3. Détermination des constantes propres au BHP pour le module HEXO

5.3.1. Quantité d’eau potentiellement consommable par l’hydratation

Au préalable, une série de constantes propres au béton mis en oeuvre chez le préfabricant doit être déterminée avant de pouvoir commencer la modélisation par éléments finis du séchage dans le module de calcul de l’évolution de la teneur en eau HEXO. En premier lieu, compte tenu des données relatives à la formulation de ce béton, on peut d’ores et déjà dire que : co, la quantité de ciment initiale du mélange vaut 400 kg/m³ ; k, la quantité d’eau consommée par unité de ciment hydraté vaut 0,227752 compte tenu du ciment qui est utilisé;

227752,05,10.37,0121,7.40,00705,74.21,002934,2.24,0.4

1=+++== ∑

=iii mpk

(C.5.1) où pi est la masse d’eau nécessaire à l’hydratation complète de chaque composant anhydre du ciment par unité de masse du composant anhydre

pi (CZERNIN) C2S C3S C3A C4AF 0,24 0,21 0,40 0,37

et mi est le pourcentage en masse du composant anhydre par rapport à la masse du ciment. ξmax, le degré d’hydratation maximal atteint par le BHP compte tenu du rapport E/C qui est de 0,344 vaut

( )( ) 6592,0

344,0194,0344,0.031,1

max =+

=ξ (C.5.2)

Dans la modélisation envisagée ici et qui a été implémentée dans CESAR-LCPC, le produit k. co. ξmax est donc considéré comme la quantité d’eau maximale qui est consommée par la réaction d’hydratation et vaut 60 kg/m³ pour le béton considéré.


284

5.3.2. Constantes du modèle de diffusion Il s’agit de calibrer les constantes A et B du modèle général de diffusion d’humidité proposé par Mensi et Acker [Mensi & al., 1988] pour le béton de notre étude. On a vu que le coefficient de diffusion D s’exprime par : D(C) = A. eB.C (C.5.3) où A et B sont les constantes propres au béton ; C, la teneur en eau libre. Mensi et Acker ont constaté que la valeur de la constante B pour la plupart des bétons courants qu’ils ont testés en laboratoire est de l’ordre de 0,05. Ceux-ci suggèrent alors de fixer B à 0,05 dans le cadre d’une modélisation. Par contre, la constante A nécessite d’être véritablement calibrée par la méthodologie suivante :

- connaissant l’évolution au cours du temps de la perte en masse expérimentale d’une éprouvette exposée au séchage avec une humidité relative connue et constante (dans le cas des essais de laboratoire, HR = 53%), on extrapole la courbe de perte en masse relative jusque t1/2 = 100 jours ce qui correspond à 30 ans (10000 jours);

- on peut alors déterminer la valeur de Ceq qui est la teneur en eau équivalente à l’humidité hext qui est imposée à la surface extérieure de l’éprouvette (soit à l’équilibre hydrique, que l’on suppose ici correspondre à une durée écoulée depuis l’exposition au séchage de 30 ans) par la relation :

0300 PCC

PP eqini

ans

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆ (C.5.4)

avec P0, la masse initiale avant exposition au séchage (connue); Cini, la teneur en eau initiale avant exposition au séchage (connue) ; (∆P/P0)30ans, valeur expérimentale extrapolée (connue) ; Ceq, l’inconnue ;

- on modélise tout d’abord la géométrie de l’éprouvette cylindrique par éléments finis et on génère ensuite par calcul l’évolution de la perte en masse au cours du temps (donnée en sortie fournie par le module DTNL (HEXO) de CESAR-LCPC) pour une valeur de A choisie arbitrairement ;

- on compare alors les résultats obtenus en terme de perte de masse avec les valeurs expérimentales qui sont à notre disposition ;

- on change la valeur de A et on réitère le processus jusqu’au moment où la concordance entre les valeurs calculées et les valeurs mesurées est satisfaisante.

Nous avons ainsi réalisé des simulations successives de la perte en masse d’une petite éprouvette (diamètre 8 cm, hauteur 32 cm) (figure C.5.3) et d’une grande éprouvette cylindrique (diamètre 15 cm, hauteur 60 cm) (figure C.5.2) avec le module HEXO. Aussi bien dans le cas de la petite éprouvette que de la grande éprouvette, la valeur de A qui convient le mieux semble être 1.0E-12, ce qui est tout-à-fait conforme aux ordres de grandeur obtenus pour d’autres bétons par Granger [Granger, 1996].


285

En ce qui concerne la valeur du coefficient d’échange λ(C), on a opté pour la valeur de 6.0E-9 qui est suggérée par les auteurs du modèle de diffusion dans le domaine du béton durci.

Perte en masse (%)

00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

22,22,4

0,1 1 10 100

Eprouvette (d=15cm)Modèle de Mensi et Acker

Figure C.5.2 Calibration des constantes du modèle de diffusion sur la perte en masse d’une grande éprouvette exposée au séchage à un jour

Perte en masse (%)

00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

22,22,42,62,8

0,1 1 10 100

Eprouvette (diamètre 8cm)

Modèle de Mensi et Acker

Figure C.5.3 Calibration des constantes du modèle de diffusion sur la perte en masse d’une petite éprouvette exposée au séchage à deux jours

( )1−t en d1/2

( )2−t en d1/2


286

5.4. Résultats sur éprouvettes de laboratoire

5.4.1. Calcul de l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau

Nous avons maintenant à notre disposition tous les paramètres nécessaires pour lancer les calculs dans les modules TEXO et DTNL (HEXO) de CESAR-LCPC, ce qui va permettre ensuite de générer les différentes composantes des déformations différées à partir d’une intégration numérique du degré d’hydratation et de la teneur en eau sur la section de l’éprouvette cylindrique. Par comparaison avec des données expérimentales de retrait et de fluage que nous avons obtenues au laboratoire, les différents paramètres β (pour le retrait endogène), K et (∆P/P)0 (pour le retrait de dessiccation et le fluage de dessiccation structural), Cµ (pour le fluage fondamental) et λ (pour le fluage de dessiccation intrinsèque) ont pu être ainsi identifiés. Dans une première étape, la section d’une petite éprouvette a été discrétisée avec des éléments triangulaires dont la plus petite taille vaut 1mm. Sur le contour, un groupe d’ éléments d’échange a été défini. Le maillage est représenté à la Figure C.5.4. Cette éprouvette est supposée être dans un moule en PVC pendant 2 jours après le coulage. Elle est ensuite exposée au séchage avec une humidité relative extérieure égale à 53% (ce qui représente les conditions de notre chambre climatisée). Pour les calculs dans TEXO, les paramètres suivants ont été fixés :

- capacité calorifique du béton C = 2400 kJ/m³/K ; - conductivité du béton Kxx = Kyy = 6 kJ/h/m/K (pièce non ferraillée) ; - coefficient d’échange λ : 11,16 kJ/h/m²/K (moule en PVC) ;

21,60 kJ/h/m²/K (surface libre en atmosphère ventilée). L’évolution de la température et du degré d’hydratation sont représentés dans les figures C.5.5 à 8. Sur la figure C.5.8, on constate qu’on atteint la valeur quasi maximale (0,995) du degré d’hydratation après seulement 348 heures soient un peu plus de 14 jours alors qu’il est bien connu que les propriétés mécaniques évoluent encore pour des âges du béton supérieurs à 14 jours mais, il est vrai, de manière beaucoup plus lente que pendant les 14 premiers jours. Ceci est lié directement à la technique de mesure de la courbe de dégagement de chaleur QAB. En effet, après quelques jours d’enregistrement, la température se stabilise rapidement. Même si, en réalité, elle continue à augmenter au cours du temps (condition adiabatique), cela a lieu à une vitesse tellement lente que la précision des équipements est inférieure aux variations de température à mesurer. En conséquence, dans ce type d’esais, on arrête généralement les enregistrements de température au bout d’une semaine. Le graphique C.5.9 illustre l’évolution de la teneur en eau dans l’éprouvette pendant les 48 premières heures, ce qui correspond à la consommation d’eau par la réaction d’hydratation. Les graphiques C.5.10 et 11 illustrent l’évolution de la teneur en eau quand l’éprouvette est exposée au séchage. On remarque que, pour les premiers pas de temps, la zone située en peau chute très rapidement à la valeur fixée sur le contour Ceq qui vaut 23 (pour HR =53%). Par contre, pour les derniers pas de temps, c’est surtout dans la zone centrale que la teneur en eau diminue (puisque la peau a déjà séché). Le graphique C.5.12 illustre la diminution de teneur en eau due uniquement à la consommation d’eau par l’hydratation jusqu’à un degré d’hydratation de 0,995.

CESAR-LCPC : MAX2D Version 3.4.x 30/ 4/2004 19:15:32

X1 = -.0389 X2 = .0389 Y1 = -.0389 Y2 = .0389-.04 -.02 0. .02 .04

-.04

-.02

0.

.02

.04

Ecomtem

Text Box

Figure C.5.4

Ecomtem

Text Box

287

CESAR-LCPC : PEG2D Version 3.4.x

/ /

.01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 0. .078Coupe AB

22.5

25.

27.5

30.

20.

31.5Temperature

Temperaturesuivant une coupe adifferents temps

Temps 0.Temps 8.Temps 16.Temps 24.Temps 32.Temps 40.Temps 48.

A

B

ULBModule : TEXOEtude : cyl1bCalcul : texo1

Evolution de la temperaturedans le cylindre

COURBES DE VARIATION

SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS

X : Abscisse curviligne

Y : Temperature

Ecomtem

Text Box

Figure C.5.5

Ecomtem

Text Box

288


/ /

.01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 0. .078Coupe AB

20.25

20.5

20.75

21.

20.

21.1Temperature


Temps 48.Temps 68.Temps 88.Temps 108.Temps 128.Temps 168.Temps 228.Temps 348.

A

B


Evolution de la temperaturedans le cylindre


SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Temperature

Ecomtem

Text Box

Figure C.5.6

Ecomtem

Text Box

289


/ /

.01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 0. .078Coupe AB

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

0.

.84Degre d hydratation

Degre d hydratationsuivant une coupe adifferents temps

Temps 0.Temps 8.Temps 16.Temps 24.Temps 32.Temps 40.Temps 48.

A

B


Evolution du degre d’hydratationdans le cylindre


SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Degre d hydratation

Ecomtem

Text Box

Figure C.5.7

Ecomtem

Text Box

290


/ /

.01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 0. .078Coupe AB

.85

.875

.9

.925

.95

.975

.83




A

B


Evolution du degre d’hydratationdans le cylindre


SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS



Ecomtem

Text Box

Figure C.5.8

Ecomtem

Text Box

291


/ /

.01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 0. .078Coupe AB

90.

100.

110.

120.

86.

138.Teneur eau

Teneur eausuivant une coupe adifferents temps

Temps 0.Temps 8.Temps 10.Temps 12.Temps 14.Temps 16.Temps 18.Temps 24.Temps 36.Temps 48.

A

B

ULBModule : DTNLEtude : cyl1bCalcul : hexo1

Evolution de la teneur en eaudans le cylindre


SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.5.9

Ecomtem

Text Box

292


/ /

.01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 0. .078Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

80.

22.

88.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.5.10

Ecomtem

Text Box

293


/ /

.01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 0. .078Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

22.

78.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.5.11

Ecomtem

Text Box

294


/ /

.01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 0. .078Coupe AB

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

77.8

87.8Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.5.12

Ecomtem

Text Box

295


296

5.4.2. Retrait endogène

On a vu que le retrait endogène εsre s’exprimait sous la forme (modèle 1) par:

),,(.),,( tyxtyxsre ξβε = (C.5.5)

avec β, la valeur finale du retrait endogène ; ξ, le degré d’hydratation ; ou suivant le modèle 2, par:

ttt

sre ttttyx

∆+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∆+∆ξβξβε ..),,( (C.5.6)

Nous avons généré les valeurs de calcul de ces deux modèles pour les comparer aux mesures expérimentales effectuées sur une petite éprouvette à partir de un jour d’âge. Les figures C.5.13 et C.5.14 illustrent les résultats obtenus. Nous constatons comme annoncé précédemment qu’il y a peu de différence entre les deux modèles. Par conséquent, le modèle 2 sera utilisé pour simuler les déformations de retrait endogène du pont-bac. La constante (β/k.c0.ξmax) qui a été calibrée dans ces calculs pour le béton analysé vaut 0,0000012.

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

10 100 1000 10000

(t-24) (heure)

retrait endogène (µs)

modèle 2 (dérivée du degré d'hydratation)modèle 1 (degré d'hydratation)mesures

Figure C.5.13 Comparaison des mesures de retrait endogène avec les deux modèles dépendant du degré d’hydratation (en échelle logarithmique)


297

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

(t-24) (heure)

retrait endogène (µs)

modèle 2 (dérivée du degré d'hydratation)modèle 1 (degré d'hydratation)mesures

Figure C.5.14 Comparaison des mesures de retrait endogène avec les deux modèles dépendant du degré d’hydratation (en échelle linéaire)

5.4.3. Retrait de dessiccation La figure C.5.15 représente l’évolution du retrait de dessiccation en fonction de la perte en poids d’une petite éprouvette exposée au séchage à deux jours.

retrait de dessiccation (m/m)

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0009

0,001

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

perte relative en masse (%)

somme du retrait et du fluagefluage de dessiccation structuralmesuresretrait de dessiccation

Figure C.5.15 Comparaison des mesures de retrait de dessiccation d’une éprouvette exposée au séchage à deux jours d’âge avec le modèle


298

Comme cela a été expliqué précédemment, ce graphique va nous permettre de déterminer la valeur seuil de la perte en masse (∆P/P)0 ainsi que la constante K qui correspond à la pente de la droite du retrait de dessiccation idéalisé. Pour cette éprouvette, (∆P/P)0 a été fixé à 0,8% (ce qui correspond à 62 jours après le début d’exposition au séchage). Après examen des différentes courbes expérimentales à notre disposition exprimant l’évolution du retrait de dessiccation en fonction de la perte en masse, nous avons constaté que ce seuil n’est pas unique pour le béton analysé. Toutefois, il semble ne varier qu’entre les bornes 0,5 et 0,8%. Dans les simulations du comportement du pont-bac, nous ferons une étude de sensibilité des résultats vis-à-vis d’une variation de ce seuil (∆P/P)0 entre 0,5 et 0,8%. Par ailleurs, sur ce graphique, on peut déterminer la pente de la droite K qui vaut 0,050. On obtient alors par calcul la valeur de k = K/ρ (avec ρ, la masse volumique du béton), soit 0,00002. La figure C.5.16 illustre l’évolution du retrait de dessiccation en fonction du temps pour une petite éprouvette exposée au séchage à deux jours.


0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0009

10 100 1000 10000 100000 1000000

temps (heure)

modèle 'C2-C1'mesures

Figure C.5.16 Evolution du retrait de dessiccation d’une petite éprouvette exposée au séchage à deux jours (HR = 53%) On avait vu que le retrait strictement dû au séchage est évalué par :

( )),,(),,(.),,( 12 tyxCtyxCktyxsrd −=ε (C.5.7) avec C1(x,y,t), la teneur en eau en (x,y) et à l’instant t due au séchage et à l’hydratation; C2(x,y,t), la teneur en eau en (x,y) et à l’instant t due uniquement à l’hydratation; k, le coefficient de contraction hydrique déterminé par k = K/ρ. Pour la valeur de k déterminée précédemment, la correspondance entre les valeurs de calcul et les valeurs mesurées est tout à fait satisfaisante.


299

5.4.4. Fluage fondamental Dans cette partie, il s’agit tout d’abord de déterminer par la méthode des moindres carrés (avec une condition de non négativité sur les inconnues) les constantes Cµ de la chaîne de Kelvin qui sont représentatives de la fonction de fluage fondamental du béton mis en charge à 28 jours. Dans une deuxième étape, nous vérifierons la bonne concordance entre les résultats obtenus pour d’autres âges au chargement en utilisant la fonction de vieillissement du CEB et les mesures effectuées sur de grandes éprouvettes qui sont à notre disposition. Dans notre base de données, la série d’essais effectuée sur des éprouvettes de diamètre 15cm et de hauteur 60 cm et qui a été présentée dans la première partie nous semble un bon choix de départ car :

- toutes les éprouvettes proviennent de la même gâchée et ont été mise en œuvre lors de la fabrication du pont-bac instrumenté;

- les mesures enregistrées couvrent une période de trois ans (ce qui correspond à la période maximale jugée fiable compte tenu des pertes d’étanchéité qui surviennent au cours du temps pour des éprouvettes scellées avec une double couche d’aluminium [Toutlemonde F., Le Maou F., 1999] ;

- nous disposons d’une palette d’âges au chargement qui s’étend sur une large gamme de l’axe des temps.

Ensuite, nous détaillerons le calcul de la fonction f(h) multiplicative de la fonction de fluage fondamental pour une éprouvette en train de sécher. Dans une dernière étape, nous vérifierons la bonne concordance du modèle obtenu avec les mesures effectuées sur une petite éprouvette chargée au jeune âge. Pour la grande éprouvette chargée à 28 jours, il s’agit d’identifier les 8 Cµ qui vérifie l’équation suivante pour chaque instant t correspondant à la prise d’une mesure :

)28,(1.10

288

1==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−−

=∑ ttJe

C

t

ϖτ

µ µ

(C.5.8)

Nous obtenons les valeurs indiquées dans la figure C.5.17. τµ [jour] Cµ [MPa] 0,0002 36710,72 0,002 970873,78 0,02 561797,75 0,2 636942,67 2 195694,71 20 108108,10 200 112612,61 2000 38744,67 Figure C.5.17 Valeurs des Cµ pour t0 = 28 jours La figure C.5.18 illustre les résultats obtenus pour les grandes éprouvettes chargées à 2, 7, 28 et 181 jours. La correspondance est satisfaisante dans l’ensemble sauf pour l’âge au chargement tardif où la fonction de vieillissement semble un peu trop sévère. Dans notre cas, c’est surtout pour des chargements au jeune âge qu’il importe d’avoir une bonne correspondance.


300

0

0,00002

0,00004

0,00006

0,00008

0,0001

0,00012

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-t0) en jours

J (1/MPa)

Kelvin 2Jmesures 2 JKelvin 7 Jmesures 7 J mesure 28JKelvin 28 JKelvin 181 Jmesures 181 J

Figure C.5.18 Comparaison des fonctions de fluage fondamental expérimentales de grandes éprouvettes avec les valeurs obtenues par une chaîne de Kelvin Nous avons vu précédemment que l’humidité relative h et la teneur en eau C sont reliées par la courbe d’isotherme de sorption désorption qui est quasi linéaire pour des humidités relatives supérieures à 50%. Par conséquent, les valeurs de Ceq correspondant à des humidités relatives différentes de 50% (nos conditions de laboratoire) peuvent être obtenues par une simple linéarisation de la courbe de désorption. Par exemple, pour une grande éprouvette exposée au séchage à un jour, l’extrapolation de la perte relative en masse à 30 ans montre qu’on atteint 2,1%. Connaissant la quantité d’eau potentiellement évaporable dans l’éprouvette (137,6 – 60 = 77,6), on obtient Ceq = 27 l/m³. Il suffit alors d’écrire l’équation de la droite :

Cette écriture suppose que l’on ait atteint l’hydratation complète du béton. Dans une situation intermédiaire, l’écriture de ces expressions pour différentes valeurs de HR (en%) permettent d’aboutir rapidement aux expressions générales suivantes :

)C.5.10(022,1

6,24)(

)C.5.9(6,24.022,1)(

+=

−=

HRCHR

HRHRC

eq

eq


301

( )

( ) ( ) )(C.5.12.022,101,01

022,16,776,24

.01,0

)C.5.11(022,1

6,776,24

2121

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

−−+=

−−+=

CCCC

h

CCHR

avec C1(x,y,t), la teneur en eau en (x,y) et à l’instant t due au séchage et à l’hydratation; C2(x,y,t), la teneur en eau en (x,y) et à l’instant t due uniquement à l’hydratation ; θ = 1,022 représente la pente de l’isotherme de désorption. Nous avons appliqué cette méthodologie à une petite éprouvette exposée au séchage à deux jours pour laquelle nous obtenons une valeur de θ = 1,297. En effet, au début de ce chapitre, l’extrapolation de la perte en masse à 30 ans de cette éprouvette conduisait à une perte relative de 2,8%. Nous avons retenu cette valeur pour la simulation de la fonction de fluage de cette petite éprouvette. Par contre, pour le pont-bac, la valeur de θ obtenue sur la grande éprouvette nous semble plus représentative. Sur la figure C.5.19, nous constatons la très bonne concordance entre les mesures de déformation de fluage fondamental d’une petite éprouvette chargée à deux jours sous un niveau de contrainte égal à 50% de fc,2 et les valeurs simulées avec la chaîne de Kelvin. A titre d’illustration, nous avons ajouté dans cette figure, les déformations de fluage obtenues par la chaîne et multipliées par la fonction f(h) exposée ci-dessus. Nous constatons qu’à 10000 jours, les déformations de fluage fondamental qui existeraient dans une éprouvette en train de sécher (HR = 50%) et chargées à deux jours sont significativement plus petites que celles qui se développent dans l’éprouvette entièrement scellée.


302

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) (jour)

déformation (m/m)

retrait endogène + fluage fondamentalmesuresfluage fondamentalfluage fondamental*hretrait endogène

Figure C.5.19 Comparaison des déformations de fluage fondamental mesurées sur une éprouvette chargée à deux jours d’âge avec le modèle des chaînes de Kelvin


303

5.4.5. Fluage total

La dernière étape consite à évaluer la déformation de fluage de dessiccation intrinsèque. Compte tenu de l’expression de h que nous avons détaillée au paragraphe précédent, l’expression générale présentée au chapitre 4

hsfdi ∆=∆ ..σλε (C.5.13) avec λ, un paramètre constant propre à la formulation de béton ; h∆ , la valeur absolue de la variation d’humidité relative ; et σ, la contrainte appliquée peut s’écrire

11

1212

1 .01,0. −−− +−−=∆ ppppppsfdi CCCC

θσλε (C.5.14)

La figure C.5.20 illustre d’une part la déformation de fluage total d’une petite éprouvette chargée à deux jours à un niveau de contrainte égal à 50% de fc,2 et d’autre part, les différentes composantes du modèle qui ont été sommées, à savoir le retrait endogène, le retrait de dessiccation, le fluage de dessiccation structural, le fluage fondamental et le fluage de dessiccation intrinsèque, ce qui a permis de calibrer le paramètre λ à la valeur de 0,0001.


304

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

0,004

0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

(t-2) en jour

Déformation (m/m)retrait endogène + fluage fondamental*h + retrait de séchage + fluage de dessiccationstructural + fluage de dessiccation intrinsèque

retrait endogène + fluage fondamental*h + retrait de séchage + fluage de dessiccationstructural

retrait endogène + fluage fondamental*h + fluage de dessiccation structural

retrait endogène + fluage fondamental

retrait endogène + fluage fondamental*h

retrait endogène

mesures

Figure C.5.20 Comparaison des déformations mesurées de fluage total et cumulées selon le modèle pour une éprouvette chargée à 2 jour


305

6. Calcul du comportement à long terme de structure

basé sur le degré d’hydratation et la teneur en eau

6.1. Algorithme de résolution numérique 6.1.1. Effets initiaux

A l’image de ce qui a été présenté dans les 1ère et 2ème parties de ce travail pour

les méthodes basées sur le principe de superposition, l’analyse des contraintes dans la section est effectuée sur une aire transformée. Le béton de 1ère phase est choisi comme matériau de référence. L’aire des autres matériaux est transformée en une aire équivalente de béton via le coefficient d’équivalence α:

où Emat = module d’élasticité du matériau ; Ec1 = module d’élasticité du béton de première phase.

Soit une section sollicitée par un moment de flexion Mi et un effort normal Ni appliqué à une distance d par rapport à la fibre inférieure. L’axe y est supposé orienté positivement de bas en haut. La déformation instantanée εi en tout point de la section situé à une distance y par rapport à la fibre inférieure est:

où εoi = déformation instantanée au niveau de la fibre inférieure; κi = courbure instantanée. Si on suppose que le béton a un comportement élastique linéaire sous un chargement instantané, la contrainte σi à une distance y par rapport à la fibre inférieure est :

Nous avons vu en détail au chapitre 10 de la 1ère partie que les relations entre les efforts Ni, Mi et les déformations εoi, κi peuvent être établies aisément à l’aide des conditions d’équivalence. Les expressions de la déformation de la fibre inférieure de la section et de la courbure en fonction de l’effort axial Ni appliqué et du moment de flexion Mi exprimé par rapport à la fibre inférieure de la section sont:

C.6.1)(1c

mat

EE

=α

)C.6.2().( ioii yκεε +=

C.6.3)()).(.(. 11 ioicici yEE κεεσ +==

)C.6.5()..(

..

)C.6.4()..(

..

21

21

BIAENBMABIAEMBNI

c

iii

c

iioi

−−

=

−−

=

κ

ε


306

A= aire de la section transformée B= moment statique de la section transformée par rapport à la fibre inférieure de la section I = moment d’inertie de la section transformée par rapport à la fibre inférieure de la section

Ainsi, à chaque instant ti où sont appliqués un effort Ni et/ou un moment Mi à

la section, les incréments instantanés de déformation et de courbure peuvent être calculés par une expression du type:

On a vu également que les propriétés géométriques de la section peuvent s’exprimer sous la forme:

)(C.6.7....11 11 11 1

ssc

ssp

kpk

c

pks

ksk

c

skn

jcj

c

cj AEE

AEE

AEE

AEE

A +++= ∑∑∑===

)C.6.8(........11 11 11 1

ssssc

ssp

kpkpk

c

pks

ksksk

c

skn

jcjcj

c

cj dAEE

dAEE

dAEE

dAEE

B +++= ∑∑∑===

)..(....))..(( 2

11

2

11

2

11

2

1ssssssg

c

ssp

kpkpk

c

pks

ksksk

c

skn

jcjcjcgj

c

cj dAIEE

dAEE

dAEE

dAIEE

I +++++= ∑∑∑===

(C.6.9) où A= aire de la section transformée B= moment statique de la section transformée par rapport à la fibre inférieure I=moment d’inertie de la section transformée par rapport à la fibre inférieure Acj= aire nette du béton de la jème phase (avec n = nombre de phases de béton) Ask= aire du kième lit d’armatures passives (avec s= nombre de lits d’armatures) Apk= aire du kième lit de torons (avec p= nombre de lits de torons) Ass= aire totale des poutrelles en acier dcj= distance entre le centre de gravité du béton net de la jème phase et la fibre inférieure de la section dsk=distance entre le kième lit d’armatures et la fibre inférieure de la section dpk=distance entre le kième lit de torons et la fibre inférieure de la section dss=distance entre le centre de gravité des poutrelles en acier et la fibre inférieure de la section Icgj=moment d’inertie du béton net de la jème phase par rapport à son centre de gravité Issg=moment d’inertie des poutrelles en acier par rapport à leur centre de gravité Ecj= module d’élasticité du béton de la jème phase au temps ti Esk= module d’élasticité du kième lit d’armatures passives Epk= module d’élasticité du kième lit de torons Ess= module d’élasticité des poutrelles en acier

( ) )C.6.6(....1

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

i

i

c

oi

MN

ABBI

BIAEκε


307

Envisageons le cas général de sollicitations extérieures. Soient p lits de torons situés à une distance dp par rapport à la fibre inférieure et Pk, l’effort de précontrainte appliqué dans le kième lit au temps ti. Soient Nsi, un effort normal extérieur appliqué à la section à une distance dns par rapport à la fibre inférieure et Msi, un moment de flexion extérieur appliqué à la section au temps ti. L’effort total Ni et le moment de flexion total Mi qui sollicitent la section au temps ti sont donnés par les expressions suivantes:

Après résolution du système, on peut calculer la contrainte dans la jème phase de béton à une distance y par rapport à la fibre inférieure :

où Ecj = module d’élasticité de la jème phase de béton. La contrainte dans le kième lit de torons à une distance dpk par rapport à la fibre inférieure est:

où Epk = module d’élasticité du kième lit de torons.

6.1.2. Effets différés

Dans une approche incrémentale, l’axe du temps doit être discrétisé entre chaque événement de charge extérieure appliquée à l’instant ti. A l’image de ce qui a été fait pour les méthodes de calcul précédentes, les pas de temps ∆tp sont choisis de telle sorte qu’ils soient égaux dans une échelle logarithmique. Chaque événement de charge extérieure constitue une nouvelle origine pour la série de pas de temps.

où ∆tp= tp-tp-1 (C.6.14) n = 4 (ce qui donne une précision tout-à-fait satisfaisante). (C.6.15) Etant donné la rapidité avec laquelle se développe le fluage juste après l’application d’une charge, le premier pas de temps est fixé à 0,1 jour.

(C.6.11))).(.(. ioicjicjibétonj yEE κεεσ +==

C.6.12)()/()).(.()/(. pkkioipkpkkipkpik APyEAPE −+=−= κεεσ

)(C.6.13101

1

n

ip

ip

tttt

=−

−

−

)C.6.10(..

C.6.9)(

1

1

pk

p

kknssisii

p

kksii

dPdNMM

PNN

∑∑

=

=

++=

+=


308

On a vu que par l’utilisation de chaînes d’éléments Kelvin, on peut développer en série de Dirichlet toute fonction de fluage sous la forme :

)1.()(

1),( /)(

1

µτ

µ µ

ittN

ii e

tCttJ −−

=

−= ∑ (C.6.16)

avec N, le nombre d’éléments de la chaîne ; ti [d], l’âge du béton au moment du chargement ; Cµ [MPa], la rigidité élémentaire du µème élément Kelvin ; τµ [d], le temps de retard qui équivaut à Cµ/ηµ avec ηµ, la viscosité élémentaire du µème élément Kelvin. On a vu également que les τµ sont choisis à priori suivant l’expression suivante :

1.10 −= µµ ττ avec 8,...,2=µ (C.6.17) avec la restriction que τmax doit être du même ordre de grandeur que le temps maximal utilisé dans la simulation (1000 jours dans notre simulation sachant que pour µ=8, τ = 2000 jours). τ1 doit être d’un ordre de grandeur bien inférieur à celui du plus petit intervalle de temps à utiliser dans la simulation (2 heures soit 0,0833 jour dans notre simulation, ce qui correspond aux pas de temps choisis dans CESAR pour l’élévation de température au jeune âge). Nous l’avons fixé à :

0002,01 =τ jour (C.6.18) La substitution du noyau dégénéré J(t,ti) dans l’équation intégrale

réduit le problème à résoudre à l’équation suivante :

)()(1

ttN

∑=

=µ

µεε (C.6.20)

dans laquelle les εµ sont des variables internes ou cachées. On cherche alors à évaluer au temps tp la valeur de ε(tp) et de σ(tp) connaissant ε(tp-1), σ(tp-1) et εµ(tp-1). Sur le pas de temps ∆tp, on fait l’hypothèse que : Cµ ≈ constante = ½ .[Cµ (tp) + Cµ (tp-1)] (C.6.21) Les variables changent uniquement de valeur aux temps discrets t0,..., tp-1, tp. Bažant montre que les εµ peuvent se calculer de la manière suivante dans [Bažant , 1973 ; Bažant, 1974]:

)C.6.19(.)().,()(0

τττστε dtJt

t

∫ ∂∂

=


309

( ) p

pp

t

pp

tCtCpe

p

σλεεµµ

µτ

µµµ ∆

++=

−

∆−

− .)()(

2.1

1 (C.6.22)

avec

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

∆=

∆−

µτµµ

τλ

pt

p

et

p 1.)( pour 8,...,1=µ ; (C.6.23)

1−−=∆ ppp σσσ ; (C.6.24) Nous avons déterminé :

pour µ = 1,

5,05,0

2811

2812,0exp.)(

1)(

1−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

coulagepp tttCtC(C.6.25)

pour µ = 2,....,N ),,(.)(1,0

281,0.)(

1)(

12,0

2,0

28p

coulagepp

tyxhtttCtC −+

+=

µµ

(C.6.26)

où tcoulage, le temps correspondant au coulage de la phase de béton considérée,

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= ),,(),,(.01,01),,( 21 ppp tyxCtyxCtyxh

θ (C.6.27)

avec θ, la pente de l’isotherme de désorption ; C1, la teneur en eau avec prise en compte de l’hydratation et du séchage ; C2, la teneur en eau avec prise en compte uniquement de l’hydratation. Dans [Bažant , 1973 ], l’auteur attire l’attention sur le fait que λµ(p) tend vers 1 quand

0→∆

µτpt

et λµ(p) tend vers 0 quand ∞→∆

µτpt

ce qui implique les quelques

précautions à prendre au niveau numérique qui sont détaillées ci-après. Notons µp le pième µ compris entre 3 et 8 tel que

1+<∆≤

pp pt µµ ττ alors

( )∑∑= −= −−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

− 8

12 1111''

2)()(

)(1

2)()(

1

2)()(

11 1

p

p

ppppppp

c tCtCp

tCtCtCtCE µµ µµ

µµ

µ µµ

λ (C.6.28)

sauf si 0≅∆

µτpt

alors λµ = 1 quand µ>µp+1 et donc

( )∑∑

+−

= −= −−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

11

2)()(

)(1

2)()(

1

2)()(

1112 1111

''

p

p

p

ppppppp

c tCtCp

tCtCtCtCE

µ

µµ µµ

µµ

µ µµ

λ (C.6.29)


310

( ) ( )118

'' ,,.1 −−

=

∆−

∑ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=∆ pp

tpc tyxe

p

p

µµµ

τ εε µ (C.6.30)

On a vu à l’équation (C.6.22) que

( ) 1

21

21 .)()(

21.1

−

−−

∆−

−− ∆+

−+=−

p

pp

t

pp

tCtCpe

p

σλεεµµ

µτ

µµµ , ce qui permet d’évaluer

(∆ε״ )p pour p ≥ 2 par l’expression suivante :

( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∆

+−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=∆ −

−−

∆−

−

=

∆− −

∑ 1

21

28

'' .)()(

21.11

pc

pp

t

p

tpc tCtC

peep

p

p

σλεεµµ

µτ

µµµ

τ µµ (C.6.31)

et de calculer l’incrément de contrainte sur le pas ∆tp par :

( ) ( )[ ]pcs

pc

ppc

pc E εεεσ ∆−∆−∆=∆ '''' (C.6.32)

avec ( )p

c''ε∆ l’incrément de déformation de fluage fondamental

et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p

csfdspcsfdi

pcsrd

pcsre

pcth

pcs εεεεεε ∆+∆+∆+∆+∆=∆ (C.6.33)

( )pcthε∆ l’incrément de déformation de retrait thermique ;

( )pcsreε∆ l’incrément de déformation de retrait endogène ;

( )pcsrdε∆ l’incrément de déformation de retrait de dessiccation ;

( )pcsfdiε∆ l’incrément de déformation de fluage de dessiccation intrinsèque ;

( )pcsfdsε∆ l’incrément de déformation de fluage de dessiccation structural.

On retrouve la forme incrémentale pseudo-algébrique que nous avions utilisée lors de l’application du principe de superposition suivant la règle du trapèze dans les deux premières parties de ce travail. Le calcul de l’accroissement de contrainte ∆σp dans le béton se ramène à la recherche d’une solution pseudo-élastique ∆ε avec déformations initiales (∆ε״ )p + (∆εs)p. Ensuite, les variables cachées peuvent être actualisées avant de passer au pas de temps suivant par l’équation (C.6.22) déjà mentionnée plus haut :

p

t

pp

pCpCpe

p

σλεεµµ

µτ

µµµ ∆

−++=

∆−

− .)1()(

2)(.1 (C.6.22)

Compte tenu des précisions qui ont été données au chapitre 5 sur les différentes composantes de déformations différées, seules les expressions mathématiques de celles-ci sont détaillées ci-après.


311

L’incrément de déformation de retrait thermique est évalué localement par : ( ) ( )1. −−−=∆ ppp

cth TTαε (C.6.34) avec α, une constante ; T

p, la température calculée dans le module TEXO au temps tp et

au point de coordonnées (x,y). L’incrément de déformation de retrait endogène est évalué localement par :

( ) ( )max0

122

...

ξβε

ckCC pp

pcsre

−−−=∆ (C.6.35)

avec β, une constante ; C2

p, la teneur en eau calculée en l’absence de séchage dans le module DTNL

(HEXO) au temps tp et au point de coordonnées (x,y) ; co, la quantité de ciment initiale du mélange prévue dans la formulation de béton; k, la quantité d’eau consommée par unité de ciment hydraté (constante propre au type de ciment) ; ξmax, le degré d’hydratation maximal atteint par le BHP fonction du rapport E/C. Pour l’incrément de déformation de retrait de dessiccation ainsi que l’incrément de déformation de fluage de dessiccation structural, une distinction existe suivant qu’il s’agit de la phase 1 de béton (dalle précontrainte) ou de la phase 2 de béton (membrure non précontrainte). Pour la phase 1

1) si precp

PP

PP

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

avec p

PP⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆ la perte en masse de la dalle au temps tp et

prec

PP⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆ la perte en masse de la dalle au transfert de la précontrainte

alors si on tient compte des phases de réhumidification ( ) ( )1

11

212−− +−−=∆ ppppp

csrd CCCCκε (C.6.36)

( ) 0=∆ pcsfdsε (C.6.37)

si on ne tient pas compte des phases de réhumidification ( ) ( )1

11

212−− +−−=∆ ppppp

csrd CCCCκε si ( )11

1212

−− +−− pppp CCCC >0 (C.6.38)

( ) 0=∆ pcsrdε si ( )1

11

212−− +−− pppp CCCC <0 (C.6.39)

( ) 0=∆ pcsfdsε (C.6.40)


312

avec κ, une constante ; C1

p, la teneur en eau calculée en présence du séchage dans le module DTNL

(HEXO) au temps tp et au point de coordonnées (x,y) ; C2


(HEXO) au temps tp et au point de coordonnées (x,y) ;

2) si 0⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

PP

PP

PP pprec

avec 0⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

PP le seuil de perte en masse dans la dalle

alors ( ) 0=∆ p

csrdε (C.6.41)

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−∆−

∆−=∆1

.1.01,0.p

PPp

PPp

cFKpcsfds σε (C.6.42)

où K = ρ.κ, une constante et avec si ( ) 00 11 =→≤ −− p

cp

c F σσ (C.6.43) où 1−p

cσ est la contrainte dans le béton au temps tp-1

si ( )15

1501

11−

−− =→≤<p

cpc

pc F

σσσ (C.6.44)

si ( ) 115 11 =→> −− pc

pc F σσ (C.6.45)

3) si 0⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

PP

PP p

alors si on tient compte des phases de réhumidification ( ) ( )1

11

212−− +−−=∆ ppppp


( ) 0=∆ pcsfdsε (C.6.47)

si on ne tient pas compte des phases de réhumidification ( ) ( )1

11

212−− +−−=∆ ppppp


1212

−− +−− pppp CCCC >0 (C.6.48)

( ) 0=∆ pcsrdε si ( )1

11

212−− +−− pppp CCCC <0 (C.6.49)

( ) 0=∆ pcsfdsε (C.6.50)

Pour la phase 2 Si on tient compte des phases de réhumidification ( ) ( )1

11

212−− +−−=∆ ppppp


( ) 0=∆ pcsfdsε (C.6.52)


313

Si on ne tient pas compte des phases de réhumidification ( ) ( )1

11

212−− +−−=∆ ppppp


1212

−− +−− pppp CCCC >0 (C.6.53)

( ) 0=∆ pcsrdε si ( )1

11

212−− +−− pppp CCCC <0 (C.6.54)

( ) 0=∆ pcsfdsε (C.6.55)

avec κ, une constante ; C1

p, la teneur en eau calculée en présence du séchage dans le module DTNL

(HEXO) au temps tp et au point de coordonnées (x,y) ; C2


(HEXO) au temps tp et au point de coordonnées (x,y) ; L’incrément de déformation de fluage de dessiccation intrinsèque est évalué localement par : Si 01 ≥−p

cσ ( ) 11.. −− −=∆ pppc

pcsfdi hhσλε ce qui se traduit par (C.6.56)

( ) 11

1212

1 .01,0. −−− +−−=∆ pppppc

pcsfdi CCCC

θσλε (C.6.57)

Si 01 <−p

cσ ( ) 0=∆ pcsfdiε (C.6.58)

où λ et θ sont des constantes ; 1−p

cσ la contrainte dans le béton au temps tp-1 considérée en compression si >0. A l’image de ce qui a été fait dans le programme pas-à-pas (le raisonnement est tout à fait identique), suite à la présence des effets différés dans le béton et de la relaxation dans les torons, il faut calculer les efforts Nip et Mip à appliquer à la section pour restaurer l’équilibre. Les expressions générales des efforts Nip et Mip sont :

( ) ( ) pA

ppr

pprc

pcs

A

pcip dAdAEN

pc

∫∫ −∆−∆+∆+∆= 1'''' σσεε (C.6.59)

( ) ( ) p

A

ppr

pprc

pcs

A

pcip dAydAyEM

pc

∫∫ −∆−∆+∆+∆= 1'''' σσεε (C.6.60)

Suite à l’application de ces efforts sur la section non dissociée aura lieu une variation des déformations. Au niveau de la fibre inférieure de la section (choisie comme fibre de référence), la variation de déformation sera ∆ε0

p et la variation de courbure (identique pour toute la hauteur de la section) sera ∆κp. Les expressions de ∆ε0

pet ∆κp sont analogues à celles qui avaient été établies dans la première partie pour la méthode pas-à-pas.


314

A chaque pas de temps, on résout le système suivant:

( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∆

∆

ip

ip

cp

p

M

NABBI

BIAE''''''''

''''''''0

1

1κ

ε (C.6.61)

avec ppp y κεε ∆+∆=∆ 0 (C.6.62) Le béton de 1ère phase étant considéré comme le béton de référence, les différents termes caractérisant les propriétés géométriques de la section sont rapportés au module E״c1. En ce qui concerne les propriétés géométriques, les expressions sont:

ssc

ssp

kpk

c

pks

ksk

c

skn

jcj

c

cj AEE

AEE

AEE

AEE

A .... ''11

''11

''11

''1

'''' +++= ∑∑∑

===

(C.6.63)

ssssc

ssp

kpkpk

c

pks

ksksk

c

skn

jcjcj

c

cj dAEE

dAEE

dAEE

dAEE

B ........ ''11

''11

''11

''1

'''' +++= ∑∑∑

===

(C.6.64)

)..(....))..(( 2''11

2''11

2''11

2''1

''''

ssssssgc

ssp

kpkpk

c

pks

ksksk

c

skn

jcjcjcgj

c

cj dAIEE

dAEE

dAEE

dAIEE

I +++++= ∑∑∑===

(C.6.65) avec A״ = aire de la section au pas p B״ = moment statique par rapport à la fibre inférieure de la section au pas p I ״ = moment d’inertie par rapport à la fibre inférieure de la section au pas p E״cj

= module différé du béton de la jème phase au pas p Esk= module d’élasticité du kième lit d’armatures passives Epk= module d’élasticité du kième lit de torons Ess= module d’élasticité des poutrelles en acier Acj= aire nette du béton de la jème phase (avec n = nombre de phases de béton) Ask = aire du kième lit d’armatures passives (avec s = nombre de lits d’armatures) Apk = aire du kième lit de torons (avec p = nombre de lits de torons) Ass = aire totale des poutrelles en acier dcj = distance entre le centre de gravité du béton net de la jème phase et la fibre inférieure de la section dsk = distance entre le kième lit d’armatures et la fibre inférieure de la section dpk = distance entre le kième lit de torons et la fibre inférieure de la section dss = distance entre le centre de gravité des poutrelles en acier et la fibre inférieure de la section Icgj = moment d’inertie du béton net de la jème phase par rapport à son centre de gravité Issg = moment d’inertie des poutrelles en acier par rapport à leur centre de gravité


315

et si nous notons µp le pième µ compris entre 3 et 8 tel que1+

<∆≤pp pt µµ ττ alors

( )

∑∑= −= −−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

− 8

12 1111''

2)()(

)(1

2)()(

1

2)()(

11 1

p

p

ppppppcj tCtCp

tCtCtCtCE µµ µµ

µµ

µ µµ

λ(C.6.66)

sauf si 0≅∆

µτpt

alors λµ = 1 quand µ>µp+1 et donc

( )∑∑

+−

= −= −−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

11

2)()(

)(1

2)()(

1

2)()(

1112 1111

''

p

p

p

ppppppcj tCtCp

tCtCtCtCE

µ

µµ µµ

µµ

µ µµ

λ(C.6.67)

avec pour µ = 1,

5,05,0

2811

2812,0exp.)(

1)(

1−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

coulagepp tttCtC (C.6.68)

pour µ = 2,....,N 2,0

2,0

28 )(1,0281,0.

)(1

)(1

coulagepp tttCtC −++

=µµ

(C.6.69)

où tcoulage, le temps correspondant au coulage de la phase j de béton considérée. Pour le béton de la jème phase, l’incrément de contrainte ∆σcj qui se produit durant un intervalle de temps (tp-1,tp) est:

( ) ( )[ ]pcs

pc

pppcj

pcj yE εεκεσ ∆−∆−∆+∆=∆ ''

0'' . (C.6.70)

Pour le kième lit de torons, l’incrément de contrainte ∆σpk qui se produit durant un intervalle de temps (tp-1,tp) est:

Dans l’expression des efforts internes Nip et Mip au pas p,

( ) ( ) pA

ppr

pprc

p

csA

pcip dAdAEN

pc

∫∫ −∆−∆+∆+∆= 1'''' σσεε (C.6.72)

( ) ( ) pA

ppr

pprc

p

csA

pcip dAydAyEM

pc

∫∫ −∆−∆+∆+∆= 1'''' σσεε (C.6.73)

l’intégrale portant sur les torons peut être remplacée aisément par une somme sur chaque lit de torons (k étant le nombre total de lit de torons) de la manière suivante:

(C.6.71))()..( 1−∆−∆−∆+∆=∆ ppr

ppr

ppk

popk

ppk dE σσκεσ


316

( ) ( )11 .. −− ∆−∆=∆−∆ ∑∫ ppr

pprr

toronslit

pkpA

ppr

ppr kkk

p

AdA σσχσσ (C.6.74)

( ) ( )11 .. −− ∆−∆=∆−∆ ∑∫ p

prpprrp

toronslit

pkpA

ppr

ppr kkkk

p

dAdAy σσχσσ (C.6.75)

Par contre, l’intégration portant sur les différentes phases de béton doit se résoudre par une intégration numérique sur les éléments de béton de la section. La méthode de Simpson (ordre 3) a été implémentée dans le programme de calcul. Compte tenu de la manière dont la structure a été discrétisée, l’application de cette méthode s’est avérée tout à fait suffisante pour obtenir un degré de précision élevé dans l’évaluation des contraintes. Par raison de symétrie, seule la moitié de la structure a été modélisée. Celle-ci est divisée en éléments rectangulaires dont la densité la plus élevée se situe dans les zones proches des faces exposées au séchage et là où cela s’avère nécessaire pour assurer la continuité entre les éléments. Cette discrétisation est nettement plus grossière que celle qui a été générée dans CESAR-LCPC pour évaluer localement la teneur en eau et le degré d’hydratation (dont les graphiques seront présentés au chapitre suivant). Un petit programme de tri permet d’identifier les numéros des nœuds du maillage CESAR qui correspondent aux coordonnées des nœuds sommets des éléments rectangulaires définis dans le maillage du programme que nous avons développé. C’est l’ensemble des nœuds sommets des éléments rectangulaires qui interviennent par la suite dans le calcul des efforts internes Nip et Mip. La figure C.6.1 illustre la grille utilisée pour le calcul des déformations et des contraintes. Nous attirons l’attention du lecteur sur le point suivant : le dessin illustre le principe mais ne prétend pas reproduire fidèlement la géométrie qui a été utilisée compte tenu des déformations que subissent les dessins de ce type lors de passages multiples depuis Matlab vers les outils Windows et finalement leur incorporation dans un document Word.

Figure C.6.1 Discrétisation de la moitié de la structure par des éléments rectangulaires


317

L’intégrale portant sur le béton peut être éclatée en plusieurs termes dont les expressions de chacun d’entre eux sont explicitées ci-après.

( ) c

ps

A

pcc

p

A

pcc

p

csA

pc dAEdAEdAE

ccc

εεεε ∆+∆=∆+∆ ∫∫∫ '''''''''' (C.6.76)

Soient

),(1

)2,,()1,,(

2)1(.),(

''1

),(2

),(''

),( iyixpbéton

ptiyixCptiyixC

piyix

pbétonE

pt

eiyixp

iyixp

bétonEiyixf béton−

∆

−+−

−+

−∆−

−= σ

µµµλ

µτε µ

(C.6.77)

21++

= iii

xxc (C.6.78)

21++

= iii

yyd (C.6.79)

cp

A

pc dAE

c

'''' ε∆∫

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++−

+∑ ∑

=∑ −+

∆−

−=ydiv

nbre

iy

ixf

id

ixf

iy

ixf

iy

iy

béton

xdivnbre

ixix

pt

e )1

,(6

1),(

3

2),(

6

1)

1(

6

1)

8

1 1(1µ

µτ

∑ ++++ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ydiv

nbre

iyicfidicfiyicf )1,(6

1),(

3

2),(

6

1

3

2

⎥⎥⎥

⎦

⎤∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

++

+−

++

ydivnbre

iy

ixf

id

ixf

iy

ixf

iy

iy )

1,

1(

6

1),

1(

3

2),

1(

6

1)

1(

6

1 (C.6.80)

cps

A

pc dAE

c

ε∆∫ ''

( ) ( ) ( ) ( ) cpcsfds

A

pcc

pcsfdi

A

pcc

pcsrd

A

pcc

pcsre

A

pcc

pcth

A

pc dAEdAEdAEdAEdAE

ccccc

εεεεε ∆+∆+∆+∆+∆= ∫∫∫∫∫ ''''''''" .)(

(C.6.81)

Posons ),(),(),( 122 iip

iip

ii yxCyxCyxg −−= (C.6.82) Posons ),(),(),(),(),( 1

11

212 iip

iip

iip

iip

ii yxCyxCyxCyxCyxl −− +−−= (C.6.83) Posons

[ ]),(),(),(),(01,0.),(),( 11

1212

1ii

yxCyxCyxCyxCyxyxm ip

iip

ip

iip

iip

bétoncii

−−− +−−=θ

σ

(C.6.84)


318

( ) cpcsre

A

pc dAE

c

ε∆∫ ''

⎢⎢⎢

⎣

⎡∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++−

+∑∑= −+

ydivnbre

iy

ixg

iy

ixp

bétonE

id

ixg

id

ixp

bétonE

iy

ixg

iy

ixp

bétonE

iy

iy

xdivnbre

xxbéton

ii )1

,()1

,(''6

1),(),(''

3

2),(),(''

6

1)

1(

6

1)( 1β

∑ ++++−++ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ydiv

nbre

iyicgiyicp

bétonEdcgdcp

bétonEycgycp

bétonEiyiy iiiiiiii )1,()1,(''

6

1),(),(

''

3

2),(),(

''

6

1)1(

3

2

⎥⎥

⎦

⎤

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∑ ++++−++ ++++++

ydivnbre

iyxgiyxp

bétonEdxgdxp

bétonEyxgyxp

bétonEiyiy iiiiiiiiii )1,()1,(''

6

1),(),(

''

3

2),(),(

''

6

1)1(

6

1111111

(C.6.85)

( ) cpcsrd

A

pc dAE

c

ε∆∫ ''

⎢⎢⎢

⎣

⎡∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++−

+∑∑= −+

ydivnbre

iy

ixl

iy

ixp

bétonE

id

ixl

id

ixp

bétonE

iy

ixl

iy

ixp

bétonE

iy

iy

xdivnbre

xxbéton

ii )1

,()1

,(''6

1),(),(''

3

2),(),(''

6

1)

1(

6

1)( 1κ

∑ ++++−++ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ydiv

nbre

iyicliyicp

bétonEdcldcp

bétonEyclycp


6

1),(),(

''

3

2),(),(

''

6

1)1(

3

2

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⎦

⎤

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∑ ++++−++ ++++++

ydivnbre

iyxliyxp

bétonEdxldxp

bétonEyxlyxp


6

1),(),(

''

3

2),(),(

''

6

1)1(

6

1111111

(C.6.86)

( ) cpcsfdi

A

pc dAE

c

ε∆∫ ''

⎢⎢⎢

⎣

⎡∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++−

+∑∑= −+

ydivnbre

iy

ixm

iy

ixp

bétonE

id

ixm

id

ixp

bétonE

iy

ixm

iy

ixp

bétonE

iy

iy

xdivnbre

xxbéton

ii )1

,()1

,(''6

1),(),(''

3

2),(),(''

6

1)

1(

6

1)( 1λ

∑ ++++−++ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ydiv

nbre

iyicmiyicp

bétonEdcmdcp

bétonEycmycp


6

1),(),(

''

3

2),(),(

''

6

1)1(

3

2

⎥⎥

⎦

⎤

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∑ ++++−++ ++++++

ydivnbre

iyxmiyxp

bétonEdxmdxp

bétonEyxmyxp


6

1),(),(

''

3

2),(),(

''

6

1)1(

6

1111111

(C.6.87)


319

( ) c

pcsfds

A

pc dAE

c

ε∆∫ ''

⎢⎢⎢

⎣

⎡∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

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++∆+∆−

+∑∑= −+

ydivnbre

iy

ixp

sfdsiy

ixp

bétonE

id

ixp

sfdsid

ixp

bétonE

iy

ixp

sfdsiy

ixp

bétonE

iy

iy

xdivnbre

xxbéton

ii )1

,()1

,(''6

1),(),(''

3

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6

1)

1(

6

1)( 1 εεε

∑ +∆++∆+∆−++ ⎥⎦⎤

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pbétonEyc

psfdsyc

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''

6

1),(),(

''

3

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''

6

1)1(

3

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⎥⎥

⎦

⎤

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∑ +∆++∆+∆−++ ++++++

ydivnbre

iyxpsfdsiyx

pbétonEdx

psfdsdx

pbétonEyx

psfdsyx

pbétonEiyiy iiiiiiiiii )1,()1,(

''

6

1),(),(

''

3

2),(),(

''

6

1)1(

6

1111111 εεε

(C.6.88)

cp

A

pc dAyE

c

'''' ε∆∫

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++−

+∑ ∑

=∑ −+

∆−

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nbre

iy

iy

ixf

id

id

ixf

iy

iy

ixf

iy

iy

béton

xdivnbre

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pt

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)1

,(6

1),(

3

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6

1)

1(

6

1)

8

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∑ ++++ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

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1),(

3

2),(

6

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3

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⎦

⎤∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++

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+−

++

ydivnbre

iy

iy

ixf

id

id

ixf

iy

iy

ixf

iy

iy

1)

1,

1(

6

1),

1(

3

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6

1)

1(

6

1

(C.6.89)

( ) cpcsre

A

pc dAyE

c

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⎢⎢⎢

⎣

⎡∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++++−

+∑∑= −+

ydivnbre

iy

iy

ixg

iy

ixp

bétonE

id

id

ixg

id

ixp

bétonE

iy

iy

ixg

iy

ixp

bétonE

iy

iy

xdivnbre

xxbéton

ii 1)

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1,(''

6

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3

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6

1)

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∑ ++++−++ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

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6

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⎦

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⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∑ ++++−++ +++++++

ydivnbre

yiyxgiyxp

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bétonEyyxgyxp

bétonEiyiy iiiiiiiiiiiii 1111111 )1,()1,(''

6

1),(),(

''

3

2),(),(

''

6

1)1(

6

1

(C.6.90)


320

( ) cpcsrd

A

pc dAyE

c

ε∆∫ ''

⎢⎢⎢

⎣

⎡∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++++−

+∑∑= −+

ydivnbre

iy

iy

ixl

iy

ixp

bétonE

id

id

ixl

id

ixp

bétonE

iy

iy

ixl

iy

ixp

bétonE

iy

iy

xdivnbre

xxbéton

ii 1)

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6

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∑ ++++−++ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

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⎦

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⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∑ ++++−++ +++++++

ydivnbre

yiyxliyxp

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3

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6

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6

1

(C.6.91)

( ) cpcsfdi

A

pc dAyE

c

ε∆∫ ''

⎢⎢⎢

⎣

⎡∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++++−

+∑∑= −+

ydivnbre

iy

iy

ixm

iy

ixp

bétonE

id

id

ixm

id

ixp

bétonE

iy

iy

ixm

iy

ixp

bétonE

iy

iy

xdivnbre

xxbéton

ii 1)

1,()

1,(''

6

1),(),(''

3

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6

1)

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6

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∑ ++++−++ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+

ydivnbre

yiyicmiyicp

bétonEddcmdcp

bétonEyycmycp


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6

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⎥⎥

⎦

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⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∑ ++++−++ +++++++

ydivnbre

yiyxmiyxp

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bétonEyyxmyxp


6

1),(),(

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3

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6

1)1(

6

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(C.6.92) ( ) c

pcsfds

A

pc dAyE

c

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⎢⎢⎢

⎣

⎡∑

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++∆

++∆+∆−

+∑∑= −+

ydivnbre

iy

iy

ixp

sfdsiy

ixp

bétonE

id

id

ixp

sfdsid

ixp

bétonE

iy

iy

ixp

sfdsiy

ixp

bétonE

iy

iy

xdivnbre

xxbéton

ii 1)

1,()

1,(''

6

1),(),(''

3

2),(),(''

6

1)

1(

6

1)( 1 εεε

∑ +∆++∆+∆−++ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+

ydivnbre

yiyicpsfdsiyic

pbétonEddc

psfdsdc

pbétonEyyc

psfdsyc

pbétonEiyiy iiiiiiiiiii 1)1,()1,(

''

6

1),(),(

''

3

2),(),(

''

6

1)1(

3

2εεε

⎥⎥

⎦

⎤

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∑ +∆++∆+∆−++ +++++++

ydivnbre

yiyxpsfdsiyx

pbétonEddx

psfdsdx

pbétonEyyx

psfdsyx

pbétonEiyiy iiiiiiiiiiiii 1111111 )1,()1,(

''

6

1),(),(

''

3

2),(),(

''

6

1)1(

6

1εεε

(C.6.93)


321

6.2. Organisation du programme de calcul

L’objectif visé par ce programme de calcul est d’évaluer l’évolution des déformations et des contraintes qui se produisent dans une section composite acier -béton construite par phases successives, préfléchie et précontrainte en fonction du temps. Ces déformations et ces contraintes proviennent d’une part, de l’application de sollicitations extérieures à la section en des instants connus à priori et d’autre part, des effets différés du béton et des câbles de précontrainte durant des intervalles de temps (tp-1, tp) entre les événements de sollicitations.

Ce programme d’analyse de section est applicable au cas le plus général de

section composite c’est-à-dire à une section mixte acier-béton avec ou sans poutrelle en acier, construite ou non par phases, éventuellement renforcée par différents lits de torons et d’armatures. Au lieu d’implémenter toute la modélisation directement dans CESAR, nous avons préféré développer ce programme annexe. Ceci présente l’avantage de pouvoir changer très rapidement toutes les composantes du modèle et d’effectuer en un temps raisonnable des études de sensibilité. L’inconvénient réside au fait qu’une opération d’identification de numéros de nœuds générés par CESAR est nécessaire avant de reprendre les résultats calculés dans TEXO et DTNL (HEXO). Toutefois, une implémentation future dans CESAR est certainement à prévoir.

Toutes les caractéristiques géométriques de la section sont exprimées par

rapport à la fibre inférieure de la section. Dans le cas d’une construction par phases de béton successives, cet axe de référence reste inchangé. A l’instant tp où on coule l’élément de béton, le matériau commence seulement à prendre et sa rigidité est négligeable. On ne peut donc pas le considérer comme participant à la section résistante en tp. En fait, il constitue uniquement une charge supplémentaire sur la section en cet instant. Pour l’intervalle de temps (tp ,tp+1) durant lequel se produit du fluage, du retrait et de la relaxation, si celui-ci est plus grand que le temps nécessaire au béton coulé en tp pour atteindre une résistance suffisante et participer à la section résistante, le béton coulé en tp sera considéré comme totalement participant à la section résistante durant tout l’intervalle (tp ,tp+1).

Etant donné que l’évolution de la géométrie de la section est connue a priori ainsi que les charges et les instants où elles sont appliquées à la section , une partie des calculs peut être sous-traitée dans des routines et les résultats peuvent être stockés une fois pour toutes dans des matrices qui seront utilisées dans le programme principal. Les étapes de calcul sont résumées ci-après.


322


Introduction des événements et lecture des pas de temps de CESAR

Calcul des aires, des moments statiques et des inerties

Calcul des pertes intrinsèques des torons

Calcul des efforts et moments externes

Calcul des variations de déformation ∆ε pour chaque événement

Lecture des données de CESAR : Teneurs en eau C1 et C2, températures, pertes en masse

Calcul des variables τµ, Cµ, E״

Calcul des surfaces, moments statiques et inerties ajustés

Calcul des incréments ∆εsre, ∆εsrd, ∆εth pour chaque pas


323

Calcul des incréments ∆εsfds, ∆εsfdi, ∆ε״ sur le pas

Calcul des efforts et moments internes Nip, Mip sur le pas

Calcul des variations de déformation ∆ε sur le pas

Calcul des contraintes ∆σ sur le pas

Actualisation des variables cachées εµ sur le pas


324

7. Modélisation du comportement du pont-bac instrumenté à partir du degré d’hydratation et de la teneur en eau 7.1. Introduction

Dans ce chapitre, nous allons présenter comment évoluent le degré d’hydratation et la teneur en eau locale sur base de simulations effectuées dans CESAR-LCPC dans les différentes phases de béton du pont-bac instrumenté. Ensuite, nous allons comparer les déformations mesurées sur le pont-bac avec les résultats obtenus par la méthode pas-à-pas, la méthode aux deux fonctions et la modélisation effectuée sur base de l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau qui a été explicitée aux chapitres précédents. Nous terminerons en commentant les évolutions obtenues en terme d’évolution des contraintes dans l’ouvrage.

7.2. Description des événements La figure C.7.1 rappelle les événements considérés dans le calcul pour le pont-bac instrumenté et la figure C.7.2, les efforts et moments extérieurs appliqués qui correspondent à un demi-tablier.

Evénement Description Temps (jour)

t1 Coulage du béton de 1ère phase 0 t2 Relâchement de la préflexion et


t3 Coulage du béton de 2ème phase 3,8 t4 Stockage dans l’usine 5,7 t5 Stockage à Petite Ile 10,75 t6 Mise sur appuis définitifs 44,75 t7 Placement des garde-corps 130 t8 Placement de la 1ère partie du ballast 272 t9 Placement de la 2ème partie du ballast 306 Figure C.7.1 Evénements de l’histoire de construction du tablier

Evénement Description Efforts et moments

Effort de précontrainte 5742 kNMoment de préflexion -3191,35 kNm

t2

Moment dû à la masse de la dalle 1042,9 kNmt3 Moment dû aux masses des membrures 1090,1 kNmt4 Moment dû au changement d’appuis -1011,6 kNmt5 Moment dû au changement d’appuis -721,2 kNmt6 Moment dû au changement définitif d’appuis 1732,8 kNmt7 Moment dû aux garde-corps 124,45 kNmt8 Moment dû à la 1ère partie du ballast 1396,7 kNmt9 Moment dû à la 2ème partie du ballast 507,9 kNm

Figure C.7.2 Sollicitations appliquées au demi-tablier pour chaque événement


325

7.3. Description du phasage de construction Avant de présenter les résultats des calculs effectués avec les modules TEXO et HEXO de CESAR-LCPC, nous synthétisons dans les figures ci-après l’historique des changements des conditions aux limites en terme d’échange de chaleur et d’humidité.

7.3.1. Echanges de chaleur PHASE 1

Figure C.7.3 Phase 1 entre t = 0 et t = 62,4h (2,6d)

PHASE 2

Figure C.7.4 Phase 2 entre t = 62,4h (2,6d) et t = 91,2h (3,8d)

surface libre

coffrage métallique

éléments spéciaux

matériau inactif

surface libre


matériau inactif


326

PHASE 3

Figure C.7.5 Phase 3 entre t = 91,2h (3,8d) et t = 115,2h (4,8d) PHASE 4

Figure C.7.6 Phase 4 entre t = 115,2h (4,8d) et t = 250h (10,41d) Dans le module TEXO, les paramètres suivants ont été fixés :

- capacité calorifique du béton = 2400 kJ/m³/K ; de l’acier = 3500 kJ/m³/K ; - conductivité du béton Kxx = Kyy = 11 kJ/h/m/K (pièce très ferraillée) ; de l’acier Kxx = Kyy = 150 kJ/h/m/K - coefficient d’échange λ = 19,62 kJ/h/m²/K (coffrage métallique) ;

21,60 kJ/h/m²/K (surface libre ventilée).

surface libre

coffrage métallique


matériau inactif

surface libre


matériau inactif


327

7.3.2. Echanges d’humidité PHASE 1 Figure C.7.7 Phase 1 entre t = 0h et t = 62,4h (2,6d) PHASE 2 Figure C.7.8 Phase 2 entre t = 62,4h (2,6d) et t = 91,2h (3,8d)

matériau inactif

face étanche

séchage

matériau inactif

séchage


328

PHASE 3 Figure C.7.9 Phase 3 entre t = 91,2h (3,8d) et t = 115,2h (4,8d) PHASE 4 Figure C.7.10 Phase 4 entre t = 115,2h (4,8d) et t = 250h (10,41d, ce qui correspond à la fin de la prise en compte de l’évolution du degré d’hydratation)


matériau inactif

face étanche

séchage


matériau inactif

séchage


329

PHASE 5 Figure C.7.11 Phase 5 entre t = 250h (10,41d) et t = 1080h (45d) PHASE 6 Figure C.7.12 Phase 6 entre t = 1080h (45d) et t = 24000h (1000d) Dans le module HEXO, les paramètres suivants ont été fixés : Ceq = 27 (pour HRext = 50%) en litre/m³; 47 (pour HRext = 70%) en litre/m³; Cini = 137,6 litres/m³ Le coefficient d’échange λ= 0 pour une face étanche ; 6.E-09 pour une surface exposée en atmosphère ventilée.


matériau inactif

face étanche

séchage


matériau inactif

séchage


330

Conformément à ce qui a été observé sur place lors de la préfabrication, on constate à la figure C.7.7. que la face supérieure de la dalle est en contact direct avec l’air ambiant dès le moment du coulage. Aucune cure ou toute autre protection vis-à-vis de la dessiccation n’a été appliquée durant la période qui a suivi le coulage. Nous avons maintenant à notre disposition tous les paramètres nécessaires pour lancer les calculs dans les modules TEXO et DTNL (HEXO) de CESAR. Dans une première étape, la section d’un demi-tablier a été discrétisée avec des éléments triangulaires pour un nombre total de nœuds égal à 43957. Sur les contours, des groupes d’éléments d’échange ont été définis tels que cela a été illustré dans les figures C.7.3 à C.7.12. Plusieurs calculs ont été effectués avec reprise pour simuler toutes les étapes où ont lieu des changements des conditions aux limites en terme d’échange de chaleur et d’humidité. Le maillage est représenté à la Figure C.7.13.


331

Nous allons passer en revue les évolutions de la température, du degré d’hydratation et de la teneur en eau, successivement dans la dalle, dans la membrure et à l’interface entre la dalle et la membrure. L’évolution de la température dans la dalle est représentée dans les figures C.7.14 à C.7.19, où les temps sont indiqués en heures. Après 16 heures, on constate à la figure C.7.15 qu’on atteint quasiment 51°C au coeur de la dalle. L’évolution du degré d’hydratation dans la dalle est représentée dans les figures C.7.20 à C.7.25. Sur la figure C.7.20, le degré d’hydratation est proche de 0,1 pour le pas de temps qui correspond à 8 heures après le coulage du béton. Nous avons donc fixé à 8 heures le seuil à partir duquel le matériau est apte à générer des contraintes dans le calcul du comportement du tablier en terme de déformation et contrainte. Comme le montre la figure C.7.21, le degré d’hydratation évolue très vite durant les deux premiers jours qui suivent le coulage. En t = 62,4 heures, il vaut déjà 0,96. Les figures C.7.22 à C.7.25 montrent qu’une très faible différence existe entre le degré d’hydratation au coeur de la dalle et celui en peau. Après 250 heures, le degré d’hydratation vaut de manière uniforme dans la dalle 0,991. L’évolution de la teneur en eau dans la dalle est donnée aux figures C.7.26 à C.7.32 (pour Ceq = 47 l/m³ soit HRext = 70% ce qui correspond à une combinaison d’hydratation et de séchage), de C.7.33 à C.7.39 (pour Ceq=27 l/m³ soit HRext = 50%) et de C.7.40 à C.7.45 (en l’absence d’échange hydrique soit uniquement de l’hydratation). Dans le graphique C.7.26, la teneur en eau de la zone située près de la face supérieure de la dalle diminue très rapidement dès les premiers pas de temps après l’exposition au séchage, le premier pas correspondant à 8 heures après le coulage. Avant 8 heures, nous ne considérons pas que la face supérieure de la dalle sèche car le modèle de diffusion n’est pas valide pour un matériau qui est encore mou. Sur le graphique C.7.27, la face inférieure de la dalle commence à être exposée au séchage. Sur le graphique C.7.31, en t = 250 heures, la teneur en eau au coeur de la dalle est d’environ 85 l/m³. On remarque également sur ce graphique qu’entre t = 250 heures et t = 1080 heures, la teneur en eau au centre ne change pas. Les variations n’affectent qu’une épaisseur d’au plus 5 cm. Le graphique C.7.32 nous semble particulièrement intéressant car il correspond à la période où la face supérieure de la dalle est imperméabilisée à partir de t = 1080 heures. On constate ainsi que suite à la condition d’échange nul d’humidité entre la dalle et l’extérieur qui est imposée sur la face supérieure de la dalle à partir de t = 1080 heures, des redistributions importantes de teneur en eau ont lieu dans la zone proche de la face supérieure de la dalle. Au cours du temps, la teneur en eau en peau tend à réaugmenter progressivement alors qu’elle diminue dans la zone voisine. Les figures C.7.33 à C.7.39 illustrent l’évolution de la teneur en eau dans la dalle pour un HR extérieur de 50%. Dans cette séquence, les gradients hydriques sont bien entendu accentués. Toutefois, à la figure C.7.38, on constate que les variations de teneur en eau n’affectent qu’une épaisseur d’au plus 5 cm entre t = 250 h et t = 1080 h. Les graphiques C.7.40 à C.7.45 représentent l’évolution de la teneur en eau due uniquement à la consommation d’eau par l’hydratation du ciment. Nous avions vu au graphique C.7.21 que le degré d’hydratation évolue très vite durant les deux premiers jours. On constate sur la figure C.7.42 qu’à partir de t = 62,4 heures, la teneur en eau n’évolue plus beaucoup.


332

Les figures C.7.46 à C.7.48 présentent l’évolution de la température dans la membrure à partir de l’instant du coulage du béton de deuxième phase soit en t = 91,2 heures. A la figure C.7.47, on observe que l’on atteint (comme cela avait été le cas aussi dans la dalle) une température d’environ 51°C au coeur de la membrure 15 heures après le coulage du béton. Par ailleurs, les éléments spéciaux qui ont été introduits dans le maillage à l’interface acier béton permettent d’assurer la continuité au niveau de la température entre le béton et la poutrelle en acier, ce qui ne sera évidemment pas le cas pour le degré d’hydratation qui est présenté aux figures C.7.49 à C.7.51. L’évolution de la teneur en eau dans la membrure est donnée aux figures C.7.52 à C.7.57 (pour Ceq=47 l/m³ soit HRext=70% ce qui correspond à une combinaison d’hydratation et de séchage), de C.7.58 à C.7.63 (pour Ceq=27 l/m³ soit HRext = 50%) et de C.7.64 à C.7.66 (en l’absence d’échange hydrique soit uniquement de l’hydratation). La figure C.7.56 montre la poursuite du séchage qui a lieu sur la face gauche de la membrure alors qu’à la figure C.7.57, des redistributions de teneur en eau ont lieu dans la partie droite de la membrure suite à l’imperméabilisation en t = 1080 heures de la face droite. Sur le graphique C.7.66, en t = 250 heures, la teneur en eau dans la membrure est d’environ 86 l/m³. Enfin, la zone d’interface entre les deux phases de béton et qui est illustrée aux figures C.7.67 à C.7.71 (pour HRext=70%) et aux figures C.7.72 à C.7.76 (pour HRext=50%) mérite quelques commentaires. Ainsi, pour HRext=70%, en t = 91,2 heures, la teneur en eau dans le béton de deuxième phase est de 137,6 l/m³ alors qu’elle n’est plus que de 47 l/m³ en peau du béton de première phase (puisque cette face a été exposée au séchage entre t = 8 heures et t = 91,2 heures). Des éléments spéciaux ont été introduits dans le maillage pour assurer la continuité des teneurs en eau à cet interface. Au cours du temps, il va donc y avoir progressivement un transfert d’eau depuis le béton de deuxième phase vers le béton de première phase. Le graphique C.7.70 est particulièrement explicite à propos de ce transfert. Sur la figure C.7.71, après 10000 heures, les teneurs en eau sont redevenues pratiquement égales dans cette zone d’interface (la coupe AB concerne 10cm soit 0,1m sur l’abscisse du graphique CESAR-LCPC).

CESAR-LCPC : MAX2D Version 3.4.x 30/ 4/2004 19:18:23

X1 = 0. X2 = 1.99 Y1 = 0. Y2 = 1.290. .5 1. 1.5 2.

-.5

0.

.5

1.

1.5

2.

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.13

Ecomtem

Text Box

333


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

25.

25.5

26.

26.5

27.

27.5

28.

24.9

29.Temperature


Temps 0.Temps 2.Temps 4.Temps 6.Temps 8.

A

B

ULBModule : TEXOEtude : bon0Calcul : tep1

Evolution de la temperaturedans la dalle


SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Temperature

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.14

Ecomtem

Text Box

334


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

30.

35.

40.

45.

27.

51.Temperature


Temps 8.Temps 12.Temps 16.Temps 20.Temps 27.Temps 31.6Temps 43.Temps 62.4

A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Temperature

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.15

Ecomtem

Text Box

335


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

26.

26.5

27.

27.5

25.7

28.2Temperature


Temps 62.4Temps 72.Temps 77.5Temps 91.2

A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Temperature

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.16

Ecomtem

Text Box

336


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

24.5

24.75

25.

25.25

25.5

24.3

25.85Temperature


Temps 91.2Temps 95.Temps 98.8

A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Temperature

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.17

Ecomtem

Text Box

337


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

24.1

24.2

24.3

24.4

24.5

24.6

24.7

24.8

24.08

24.92Temperature


Temps 98.8Temps 106.4Temps 115.2

A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Temperature

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.18

Ecomtem

Text Box

338


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

20.

21.

22.

23.

20.

25.Temperature


Temps 115.2Temps 121.2Temps 136.8Temps 141.6Temps 152.Temps 184.7Temps 250.

A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Temperature

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.19

Ecomtem

Text Box

339


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

0.




A

B


Evolution du degre d’hydratationdans la dalle


SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS



Ecomtem

Text Box

Figure C.7.20

Ecomtem

Text Box

340


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.08




A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS



Ecomtem

Text Box

Figure C.7.21

Ecomtem

Text Box

341


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

.945

.95

.955

.96

.941




A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS



Ecomtem

Text Box

Figure C.7.22

Ecomtem

Text Box

342


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

.961

.962

.963

.964

.965

.9608



Temps 91.2Temps 93.6Temps 95.Temps 98.8

A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS



Ecomtem

Text Box

Figure C.7.23

Ecomtem

Text Box

343


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

.964

.965

.966

.967

.968

.969

.97

.971

.9634




A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS



Ecomtem

Text Box

Figure C.7.24

Ecomtem

Text Box

344


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

.97

.975

.98

.985

.969




A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS



Ecomtem

Text Box

Figure C.7.25

Ecomtem

Text Box

345


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

50.

60.

70.

80.

90.

100.

110.

120.

46.

132.Teneur eau



A

B

ULBModule : DTNLEtude : bon0Calcul : hut2

Evolution de la teneur en eaudans la dalle


SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.26

Ecomtem

Text Box

346


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

50.

60.

70.

46.

88.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.27

Ecomtem

Text Box

347


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

50.

55.

60.

65.

70.

75.

80.

47.

87.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.28

Ecomtem

Text Box

348


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

50.

55.

60.

65.

70.

75.

80.

47.

87.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.29

Ecomtem

Text Box

349


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

50.

55.

60.

65.

70.

75.

80.

47.

87.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.30

Ecomtem

Text Box

350


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

50.

55.

60.

65.

70.

75.

80.

47.

86.Teneur eau


Temps 250.Temps 270.Temps 288.2Temps 333.9Temps 448.6Temps 736.8Temps 1080.

A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.31

Ecomtem

Text Box

Ecomtem

Text Box

351


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

50.

55.

60.

65.

70.

75.

80.

47.

86.Teneur eau


Temps 1080.Temps 1455.Temps 2981.Temps 5027.4Temps 7292.4Temps 9749.4Temps 14938.4Temps 19377.4Temps 24005.4

A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.32

Ecomtem

Text Box

352


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

50.

75.

100.

125.

25.

135.Teneur eau



A

B

ULBModule : DTNLEtude : bon0Calcul : sech2



SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.33

Ecomtem

Text Box

353


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

80.

26.

88.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.34

Ecomtem

Text Box

354


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

80.

26.

88.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.35

Ecomtem

Text Box

355


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

80.

26.

88.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.36

Ecomtem

Text Box

356


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

80.

26.

88.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.37

Ecomtem

Text Box

357


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

26.

86.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.38

Ecomtem

Text Box

358


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

26.

86.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.39

Ecomtem

Text Box

359


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

132.

133.

134.

135.

136.

131.6

137.8Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.40

Ecomtem

Text Box

360


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

90.

100.

110.

120.

86.

132.Teneur eau



A

B

ULBModule : DTNLEtude : bon0Calcul : cof2



SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.41

Ecomtem

Text Box

361


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

80.

26.

88.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.42

Ecomtem

Text Box

362


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

80.

26.

88.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.43

Ecomtem

Text Box

363


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

80.

26.

88.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.44

Ecomtem

Text Box

364


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .25Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

80.

26.

88.Teneur eau



A

B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.45

Ecomtem

Text Box

365


/ /

.1 .2 .3 .4 0. .5Coupe AB

25.

25.5

26.

26.5

27.

24.9

27.6Temperature



A B


Evolution de la temperaturedans la membrure


SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Temperature

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.46

Ecomtem

Text Box

366


/ /

.1 .2 .3 .4 0. .5Coupe AB

30.

35.

40.

45.

26.

51.Temperature



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Temperature

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.47

Ecomtem

Text Box

367


/ /

.1 .2 .3 .4 0. .5Coupe AB

20.

25.

30.

35.

40.

20.

48.Temperature



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Temperature

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.48

Ecomtem

Text Box

368


/ /

.1 .2 .3 .4 0. .5Coupe AB

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

0.




A B


Evolution du degre d’hydratationdans la membrure


SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS



Ecomtem

Text Box

Figure C.7.49

Ecomtem

Text Box

369


/ /

.1 .2 .3 .4 0. .5Coupe AB

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

0.



Temps 98.8Temps 100.8Temps 103.2Temps 106.4Temps 115.2

A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS



Ecomtem

Text Box

Figure C.7.50

Ecomtem

Text Box

370


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

.85

.875

.9

.925

.95

.975

.825




A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS



Ecomtem

Text Box

Figure C.7.51

Ecomtem

Text Box

371


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

50.

60.

70.

80.

46.

96.Teneur eau



A B


Evolution de la teneur en eaudans la membrure


SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.52

Ecomtem

Text Box

372


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

50.

60.

70.

80.

46.

96.Teneur eau



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.53

Ecomtem

Text Box

373


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

50.

55.

60.

65.

70.

75.

80.

47.

87.Teneur eau



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.54

Ecomtem

Text Box

374


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

50.

55.

60.

65.

70.

75.

80.

47.

87.Teneur eau



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.55

Ecomtem

Text Box

375


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

50.

55.

60.

65.

70.

75.

80.

47.

87.Teneur eau



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.56

Ecomtem

Text Box

376


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

50.

55.

60.

65.

70.

75.

80.

47.

87.Teneur eau



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.57

Ecomtem

Text Box

377


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

80.

26.

96.Teneur eau



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.58

Ecomtem

Text Box

378


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

80.

26.

96.Teneur eau



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.59

Ecomtem

Text Box

379


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

26.

88.Teneur eau



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.60

Ecomtem

Text Box

380


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

26.

88.Teneur eau



A B


Evolution de la teneur en eaudans le membrure


SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.61

Ecomtem

Text Box

381


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

26.

88.Teneur eau



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.62

Ecomtem

Text Box

382


/ /

.05 .1 .15 .2 0. .23Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

26.

88.Teneur eau



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.63

Ecomtem

Text Box

383


/ /

.1 .2 .3 .4 0. .5Coupe AB

134.

135.

136.

137.

133.2

137.8Teneur eau


Temps 91.2Temps 93.6Temps 94.2Temps 95.Temps 96.Temps 97.2Temps 98.3Temps 98.8

A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.64

Ecomtem

Text Box

384


/ /

.1 .2 .3 .4 0. .5Coupe AB

100.

110.

120.

130.

94.

138.Teneur eau


Temps 98.8Temps 100.8Temps 103.2Temps 106.4Temps 110.2Temps 115.2

A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.65

Ecomtem

Text Box

385


/ /

.1 .2 .3 .4 0. .5Coupe AB

30.

40.

50.

60.

70.

80.

26.

96.Teneur eau



A B




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.66

Ecomtem

Text Box

386


/ /

.025 .05 .075 0. .105Coupe AB

50.

60.

70.

80.

90.

100.

110.

120.

130.

46.

138.Teneur eau



AB


Evolution de la teneur en eaua l’interface dalle/membrure


SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.67

Ecomtem

Text Box

387


/ /

.025 .05 .075 0. .105Coupe AB

70.

80.

90.

100.

110.

120.

68.

134.Teneur eau



AB




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.68

Ecomtem

Text Box

388


/ /

.025 .05 .075 0. .105Coupe AB

80.

82.5

85.

87.5

90.

92.5

95.

78.

97.Teneur eau



AB




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.69

Ecomtem

Text Box

389


/ /

.025 .05 .075 0. .105Coupe AB

80.

81.

82.

83.

84.

85.

79.

86.Teneur eau



AB




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.70

Ecomtem

Text Box

390


/ /

.025 .05 .075 0. .105Coupe AB

82.

82.5

83.

83.5

84.

84.5

85.

81.6

85.6Teneur eau



AB




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.71

Ecomtem

Text Box

391


/ /

.025 .05 .075 0. .105Coupe AB

50.

75.

100.

125.

25.

140.Teneur eau



AB




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.72

Ecomtem

Text Box

392


/ /

.025 .05 .075 0. .105Coupe AB

70.

80.

90.

100.

110.

120.

66.

134.Teneur eau



AB




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.73

Ecomtem

Text Box

393


/ /

.025 .05 .075 0. .105Coupe AB

77.5

80.

82.5

85.

87.5

90.

92.5

76.5

97.Teneur eau



AB




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.74

Ecomtem

Text Box

394


/ /

.025 .05 .075 0. .105Coupe AB

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

77.8

86.Teneur eau



AB




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.75

Ecomtem

Text Box

395


/ /

.025 .05 .075 0. .105Coupe AB

81.

82.

83.

84.

81.

85.6Teneur eau



AB




SUIVANT UNE COUPE

A DIFFERENTS TEMPS


Y : Teneur eau

Ecomtem

Text Box

Figure C.7.76

Ecomtem

Text Box

396


397

7.4. Comparaison des mesures et des résultats fournis par la modélisation basée sur l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau

7.4.1. Introduction

Nous avons maintenant à notre disposition tous les fichiers nécessaires pour lancer les calculs de prédiction du comportement à long terme d’un demi pont-bac avec le programme que nous avons développé c’est-à-dire:

- le degré d’hydratation en tout (x,y,t) ; - la température en tout (x,y,t) ; - la teneur en eau C1 en tout (x,y,t) pour Ceq = 47 litres/m³ (HRext = 70%) ; - la teneur en eau C1 en tout (x,y,t) pour Ceq = 27 litres/m³ (HRext = 50%) ; - la teneur en eau C2 en tout (x,y,t) en l’absence d’échange hydrique ; - la perte en masse pour chaque phase de béton en tout t pour Ceq = 47 litres/m³ ; - la perte en masse pour chaque phase de béton en tout t pour Ceq = 27 litres/m³.

Dans toutes les simulations précédentes (AEMM, pas-à-pas, méthode aux deux fonctions), nous avions fixé dans les calculs du pont-bac l’humidité relative extérieure moyenne à 70%, ce qui constitue une moyenne annuelle. D’après [Acker & Ulm, 2001], les effets du séchage dépendraient plutôt de l’humidité relative moyenne de la période la plus sèche de l’année. Pour le type de modélisation qui est envisagé ici, il nous a donc semblé intéressant de simuler aussi le comportement du pont avec HRext = 50% en complément des simulations effectuées avec HRext = 70%. Par ailleurs, nous avons évoqué au chapitre 5 que le seuil de la perte en masse relative à partir duquel une déformation est mesurable varie entre 0,5% et 0,8% pour les différentes éprouvettes que nous avons mesurées. Comme on va le voir un peu plus loin, le choix de ce seuil est un paramètre assez déterminant en particulier pour les résultats obtenus dans la dalle. La figure C.7.77 synthétise les âges des phases de béton qui correspondent à des pertes en masse de 0,5% et 0,8% et ce pour des humidités relatives extérieures de 70% et 50%.

DALLE MEMBRURE Age (jour) 0,5% 0,8% 0,5% 0,8% HRext = 50% 42 170 209 1000 HRext = 70% 95 356 308 >1000 Figure C.7.77 Age des phases de béton correspondant à des pertes en masse de 0,5 et 0,8% et des humidités relatives extérieures de 50 et 70% Enfin, nous avons évoqué, aux chapitres 4 et 6, l’irréversibilité partielle propre à la déformation de retrait de dessiccation εsrd en cas de réhumidification du béton. Nous avons vu au paragraphe précédent les multiples augmentations locales de la teneur en eau que subit l’ouvrage au cours de son histoire.


398

Il nous a semblé intéressant de montrer l’influence sur les résultats obtenus, en terme d’évolution des déformations du pont-bac au cours du temps, d’une prise en compte complète et totale des variations locales de teneur en eau (soit le modèle appelé par la suite « avec humidification ») dans le calcul de εsrd ou d’une prise en compte uniquement des diminutions locales de teneur en eau ( soit « sans humidification »). En conséquence, nous avons sélectionné les paramètres suivants qui nous sont apparus les plus intéressants pour effectuer une étude de sensibilité des résultats obtenus vis-à-vis d’une variation de ces paramètres:

- l’humidité relative extérieure : 50% ou 70% ; - le seuil de perte en masse relative (∆P/P)0 : 0,5% ou 0,8% ; - humidification : avec ou sans.

7.4.2. Comparaisons entre les déformations mesurées et calculées au niveau des capteurs du pont-bac instrumenté

Dans les graphiques C.7.78 à C.7.85, sont comparées les déformations mesurées dans la dalle à 50mm de la fibre inférieure avec les simulations obtenues par la méthode pas-à-pas (principe de superposition), la méthode aux deux fonctions (avec fonction de recouvrance) et la modélisation basée sur l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau pour les combinaisons de paramètres évoqués plus haut. En observant le premier graphique, une première différence marquante apparaît entre les trois modélisations présentées pour la période située entre le coulage de la dalle et la mise en précontrainte. Dans les simulations basées sur une analyse qui considère un comportement sectionnel moyen, l’évolution de la température dans le béton au jeune âge qui est due notamment au dégagement de chaleur suite à l’avancement de la réaction d’hydratation n’était pas prise en compte. Par contre, dans le cas de la troisième modélisation où ce terme est pris explicitement en compte, une période de gonflement apparaît (qui peut être mise en corrélation directe avec les graphiques d’évolution de la température dans la dalle C.7.14 à C.7.19) suivie par une période de raccourcissement des fibres lorsque la dalle se refroidit. Comparons ensuite par exemple les figures C.7.78 (HR = 50%, (∆P/P)0 = 0,5%, avec humidification) et C.7.79 (HR = 50%, (∆P/P)0 = 0,8%, avec humidification). On a vu à la figure C.7.77 que dans la dalle, pour HR = 50%, une perte en masse relative de 0,5% correspond à 42 jours d’âge du béton et de 0,8% à 170 jours. Compte tenu de la modélisation que nous avons envisagée, cela signifie que le terme lié au retrait de dessiccation intervient beaucoup plus tard dans le calcul quand (∆P/P)0 = 0,8%. Sur la figure C.7.78, la pente entre t=44,75 jours et t=170 jours est plus faible que la pente correspondante à la figure C.7.79. Si on reprend la figure C.7.39 (pour HR=50%), on remarque que la teneur en eau à 50mm du bord inférieur de la dalle n’évolue pas beaucoup entre t=1080 heures et t=2981 heures, c’est ce que traduit la figure C.7.78 en terme de déformation. Quand (∆P/P)0 = 0,8%, le calcul est effectué avec une variable globale sur la phase de béton entre t=44,75 jours et t=170 jours, ce qui explique l’évolution de la déformation illustrée à la figure C.7.79.


399

Figure C.7.78 Déformation dans la dalle à 50mm du bord inférieur de la section avec HR=50%, (∆P/P)0 =0,5% et avec humidification

Figure C.7.79 Déformation dans la dalle à 50mm du bord inférieur de la section avec HR = 50%, (∆P/P)0 =0,8% et avec humidification

-1300-1200-1100-1000

-900-800-700-600-500-400-300-200-100

0100

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)

Déformation (µs) NBN5TS5TS3TS2TS4avec teneur en eauavec fonction de recouvranceprincipe de superposition

-1300-1200-1100-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-100

0100

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)



400

Figure C.7.80 Déformation dans la dalle à 50mm du bord inférieur de la section avec HR = 50%, (∆P/P)0 =0,5% et sans humidification


-1300-1200-1100-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-100

0100

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)


-1300-1200-1100-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-100

0100

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)



401

En comparant les figures C.7.78 (HR = 50%, (∆P/P)0 = 0,5%, avec humidification) et C.7.80 (HR = 50%, (∆P/P)0 = 0,5%, sans humidification), l’influence sur les résultats est très faible. On se trouve en effet du côté de la face qui continue à sécher au cours du temps. La même remarque peut être faite pour la figure C.7.79 (HR = 50%, (∆P/P)0 = 0,8%, avec humidification) et la figure C.7.81 (HR = 50%, (∆P/P)0 = 0,8%, sans humidification). Les figures C.7.82 à C.7.85 illustrent les mêmes variations des paramètres mais cette fois pour HR = 70%. A la figure C.7.82, on constate d’emblée qu’avec un pourcentage d’humidité relative extérieure de 70, les résultats du calcul sont en moins bonne concordance avec les mesures pour la période située entre le transfert de la précontrainte et t = 45 jours qu’avec un pourcentage d’humidité relative extérieure de 50. Comme cela avait été suggéré dans [Acker & Ulm, 2001], les effets du séchage dépendraient plutôt de l’humidité relative moyenne de la période la plus sèche de l’année. Si on compare les figures C.7.82 à C.7.85 entre elles, on retrouve les mêmes remarques concernant l’influence du choix de (∆P/P)0 et de l’humidification que nous avions formulées pour les figures C.7.78 à C.7.81. Examinons maintenant l’évolution des déformations dans la membrure à 80mm du bord supérieur de la section au travers des figures C.7.86 à C.7.93. Tout comme cela a été évoqué précédemment, l’évolution de la température est prise en compte explicitement dans la modélisation dont il est question dans cette partie. Cela se traduit sur les graphiques C.7.86 à C.7.93 par les dents de scie qui apparaissent au niveau des déformations après le coulage du béton de 2ème phase en t = 3,8 jours et qui sont dus au développement d’un gonflement (retrait) thermique (période d’échauffement suivie par une période de refroidissement progressif, ce qui est illustré aux figures C.7.46 à C.7.48) et au développement du retrait endogène. Par ailleurs, si on compare les résultats des simulations avec et sans humidification, ce paramètre semble avoir un effet très faible. Néanmoins, dans la variante « sans humidification », on constate que la pente correspondant à la période t>300 jours est un peu plus élevée que la pente correspondante dans la variante « avec humidification ». Les résultats qui sont illustrés aux figures C.7.90 à C.7.93 (pour HR = 70%) sont très proches des résultats illustrés aux figures C.7.86 à C.7.89 (pour HR = 50%). On se trouve en effet à 80mm du bord extérieur supérieur et pour t<1000 jours, l’influence d’une variation des conditions imposées en peau (50 ou 70%) est assez faible à une telle profondeur. Ce n’est que lorsque le séchage aura suffisamment progressé à l’intérieur du matériau que la différence entre HR = 50% et HR = 70% sera chiffrable en terme de teneur en eau locale. Les figures C.7.94 et C.7.95 illustrent l’évolution des contraintes calculées suivant les trois modélisations envisagées respectivement dans la dalle à 50mm du bord inférieur de la section et dans la membrure à 80mm du bord supérieur de la section et ce, pour (HR = 50%, (∆P/P)0 = 0,5%, avec humidification) qui est la variante pour laquelle les déformations mesurées sont le mieux représentées par les déformations calculées.


402



-1300-1200-1100-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-100

0100

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)

Déformation (µs) NBN5avec teneur en eauTS5TS3TS2TS4avec fonction de recouvranceprincipe de superposition

-1300-1200-1100-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-100

0100

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)



403



-1300-1200-1100-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-100

0100

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)


-1300-1200-1100-1000

-900-800-700-600-500-400-300-200-100

0100

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)

Déformation (µs) NBN5teneur en eauTS5TS3TS2TS4avec fonction de recouvranceprincipe de superposition


404

Figure C.7.86 Déformation dans la membrure à 80mm du bord supérieur de la section avec HR = 50%, (∆P/P)0 = 0,5% et avec humidification


-300

-200

-100

0

100

200

300

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)

Déformation (µs) TS1principe de superpositionavec fonction de recouvranceTS6avec teneur en eau

-300

-200

-100

0

100

200

300

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)

Déformation (µs)

TS1principe de superpositionavec fonction de recouvranceTS6avec teneur en eau


405

Figure C.7.88 Déformation dans la membrure à 80mm du bord supérieur de la section avec HR = 50%, (∆P/P)0 = 0,5% et sans humidification


-300

-200

-100

0

100

200

300

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)


-300

-200

-100

0

100

200

300

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)



406



-300

-200

-100

0

100

200

300

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)


-300

-200

-100

0

100

200

300

0.1 1 10 100 1000 10000

Temps (d)



407



-300

-200

-100

0

100

200

300

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)


-300

-200

-100

0

100

200

300

0.1 1 10 100 1000 10000Temps (d)



408

Figure C.7.94 Contrainte dans la dalle à 50mm du bord inférieur de la section avec HR = 50%, (∆P/P)0 = 0,5% et avec humidification

Figure C.7.95 Contrainte dans la membrure à 80mm du bord supérieur de la section avec HR = 50%, (∆P/P)0 = 0,5% et avec humidification

-24-22-20-18-16-14-12-10-8-6-4-202

0.1 1 10 100 1000Temps (d)

Contrainte (MPa) principe de superpositionavec fonction de recouvranceNBN5avec teneur en eau

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 10 100 1000

Temps (d)

Contrainte (MPa)

avec teneur en eauprincipe de superpositionavec fonction de recouvrance


409

7.4.3. Contraintes calculées au niveau de la peau inférieure et de la peau supérieure de la dalle du pont-bac instrumenté

Les figures C.7.96 à C.7.103 illustrent les contraintes qui se développent au cours du temps au niveau de la peau supérieure (y = 250mm) et de la peau inférieure (y = 0) de la dalle pour les différentes combinaisons de paramètres évoqués plus haut. Dans cette série de graphiques, on remarque que suite au séchage de la face supérieure de la dalle entre le moment du coulage du béton de première phase et le transfert de la précontrainte ainsi qu’au refoidissement progressif du béton, des contraintes de traction se développent progressivement et atteignent plus de 4MPa à la peau supérieure de la dalle avant le transfert de la précontrainte, ce qui signifie très probablement que la dalle est fissurée en surface. Par ailleurs, dans chacune de ces simulations, les pentes obtenues pour t>45 jours (instant où a lieu l’imperméabilisation de la face supérieure de la dalle) traduisent très clairement les évolutions de la teneur en eau locale au niveau de la peau inférieure (qui continue à sécher au cours du temps) et de la peau supérieure (dont la teneur en eau réaugmente significativement après l’imperméabilisation). Suivant la valeur fixée pour (∆P/P)0, les effets en terme de contrainte sont plus ou moins importants compte tenu du fait que le retrait de dessiccation (donnée locale) par opposition au fluage de dessiccation structural (donnée globale pour la phase) intervient dans le calcul pour des pas de temps plus ou moins avancés. Pour la peau supérieure en particulier, on note une nette différence dans les résultats suivant que l’on considère l’humidification ou non. D’une manière générale, à 1000 jours, on atteint à la peau inférieure des contraintes de traction qui sont excessivement élevées (de l’ordre de 15MPa) et qui n’ont en fait plus beaucoup de sens physique. C’est évidemment lié à la non prise en compte de manière explicite et locale de la fissuration dans la modélisation qui a été envisagée dans ce travail. Les figures C.7.104 à C.7.155 qui ont été générées avec Matlab (à partir des résultats fournis par le programme en Fortran), montrent que cela ne concerne qu’une épaisseur très faible. C’est la raison pour laquelle nous avons opté dans une première étape pour la modélisation qui est proposée dans cette partie. Toutefois, pour pallier à ces inconvénients, nous pourrions introduire dans une étape future un paramètre d’endommagement qui interviendrait sur le module du béton ou encore au moyen d’un comportement adoucissant.


410

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0,1 1 10 100 1000

Temps (d)

Contrainte (MPa) Fibre sup dalleFibre inf dalle

Figure C.7.96 Contraintes dans la dalle en peau inférieure et en peau supérieure avec HR = 50%, (∆P/P)0 =0,5% et avec humidification

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0,1 1 10 100 1000

Temps (d)


Figure C.7.97 Contraintes dans la dalle en peau inférieure et en peau supérieure avec HR = 50%, (∆P/P)0 =0,5% et sans humidification


411

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0,1 1 10 100 1000

Temps (d)



-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0,1 1 10 100 1000

Temps (d)




412

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0,1 1 10 100 1000

Temps (d)



-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0,1 1 10 100 1000

Temps (d)

Contrainte (MPa) Fibre sup dallefibre inf dalle



413

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0,1 1 10 100 1000

Temps (d)



-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0,1 1 10 100 1000

Temps (d)




414

7.4.4. Evolution des contraintes dans le pont-bac instrumenté (graphiques Matlab)

7.4.4.1. HR = 70%, (∆P/P)0 = 0,5% et avec humidification

Figure C.7.104 Contraintes dans la dalle en t = 2,25 jours



Figure C.7.107 Contraintes dans la dalle en t = 45 jours


415





416

Figure C.7.111 Contraintes dans la membrure en t = 5,59 jours



417

Figure C.7.113 Contraintes dans la membrure en t = 45 jours



418




419

7.4.4.2. HR = 70%, (∆P/P)0 = 0,5 % et sans humidification






420





421




422




423




424

7.4.4.3. HR = 70%, (∆P/P)0 = 0,8 % et avec humidification






425





426




427




428




429

7.4.4.4. HR = 70%, (∆P/P)0 = 0,8 % et sans humidification






430





431




432




433




434

8. Conclusions de la 3ème partie

Une modélisation fondée sur la compréhension des phénomènes physico-chimiques qui sont à l’origine des déformations différées et qui recourt ainsi à des lois de comportement intrinsèques pour le comportement différé du béton couplée à une étude locale de l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau a été proposée. Ce type d’approche s’est révélée indispensable pour tenir compte finement des changements multiples des conditions aux limites en terme d’échange de chaleur et d’humidité qui ont lieu au cours de l’histoire de construction des ponts-bacs dans l’évaluation du comportement à long terme de ceux-ci. Dans une première étape, la prise en compte de la consommation d’eau liée à l’avancement de la réaction d’hydratation a été introduite dans le module Expert HEXO du logiciel de calcul par éléments finis CESAR-LCPC pour le calcul de l’évolution de la teneur en eau dans le béton suite aux processus d’hydratation et de séchage. A l’échelle du matériau béton, pour chaque composante des déformations différées à savoir le retrait thermique, le retrait endogène, le retrait de dessiccation, le fluage fondamental et le fluage de dessiccation, une modélisation a été proposée. Tous les paramètres du modèle ont été calibrés sur des résultats de mesures de la perte en masse relative, du retrait et du fluage d’éprouvettes testées au laboratoire et confectionnées chez le préfabricant avec le béton typique des ponts-bacs. Une étude statistique ultérieure serait particulièrement utile pour évaluer la variabilité de ces paramètres en fonction de la taille de l’éprouvette testée, l’âge du béton au début des mesures, le type de cure et la formulation du béton. A l’échelle de la structure, un programme général d’analyse en deux dimensions (section transversale) du comportement à long terme d’une structure type pont-bac et basé sur une approche incrémentale avec l’algorithme récursif et exponentiel proposé par Bažant a été développé. Les différentes composantes de la modélisation des effets différés basées sur le degré d’hydratation et la teneur en eau locale ont été intégrées dans ce programme d’analyse. De ce point de vue, il constitue certainement un outil de prédiction original. Ensuite, l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau due aux processus de séchage et d’hydratation dans le pont-bac instrumenté a été simulée. L’effet des phases de construction telles que l’imperméabilisation de certaines faces du pont-bac sur la teneur en eau locale a pu être quantifié. A partir de ces résultats, nous avons comparé les déformations mesurées sur le pont-bac avec les valeurs prédites par la modélisation basée sur l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau. Les résultats semblent très encourageants car ils ont permis, dans une certaine mesure, de reproduire de manière beaucoup plus réaliste les évolutions des déformations mesurées dans le béton du pont-bac instrumenté et notamment, les évolutions relatives à la période qui suit l’imperméabilisation des faces intérieures de l’ouvrage. Une étude de sensibilité des résultats vis-à-vis de la variation des paramètres relatifs à l’humidité relative extérieure, le seuil de perte en masse relative et l’humidification a permis d’identifier les paramètres les plus influents et les plus pertinents dans l’évaluation du comportement à long terme des ponts-bacs.


435

DD.. CCoonncclluussiioonn ggéénnéérraallee Ce travail de thèse fournit des éléments de réponse précis aux questions posées initialement par le bureau d’étude Tucrail et par le préfabricant Ronveaux sur l’évaluation du comportement à long terme des actuels ponts-bacs isostatiques et également des viaducs hyperstatiques constitués par la jonction de deux ponts-bacs. Premièrement, les phases de construction des ponts-bacs isostatiques ont pu être optimisées, ce qui a permis de réduire à moins d’une journée le temps d’attente entre le coulage de la dalle et sa mise en précontrainte par le relâchement de la préflexion et le transfert des efforts de précontrainte par les torons. Deuxièmement, les paramètres les plus pertinents pour optimiser la construction des viaducs hyperstatiques ont pu être identifiés et classés par ordre d’importance relative. Ce que nous considérons comme notre apport personnel dans ce travail de thèse, peut être synthétisé par les points principaux suivants :

- douze campagnes d’essais de retrait et de fluage ont été réalisées sur le béton typique des ponts-bacs totalisant pas moins d’une centaine d’éprouvettes mises en charge au laboratoire. Plusieurs paramètres spécifiques aux conditions de préfabrication de ces tabliers ont été étudiés dans le détail de manière à déterminer leur influence sur les déformations différées du béton. Ces paramètres sont principalement le traitement thermique appliqué au béton préalablement à sa mise en charge, le niveau de contrainte appliqué (pour des rapports entre la contrainte appliquée et la résistance du béton au moment du chargement variant entre 30 et 70 % et pour des âges du béton au moment du chargement variant entre 1 et 2 jours), le déchargement total appliqué à des âges divers sur des éprouvettes chauffées ou non et chargées aussi bien à très jeune âge qu’à un âge tardif et la taille des éprouvettes ;

- plusieurs programmes d’analyse de section et un programme d’analyse de

structure permettant de prédire le comportement à long terme de structures mixtes préfléchies précontraintes et construites par phases totalisant pas moins de 30000 lignes de code Fortran ont été développés. Les programmes d’analyse de section appliquent respectivement dans l’ordre chronologique de leur développement la méthode du module effectif ajusté et la méthode pas-à-pas qui mettent en application le principe de superposition de la viscoélasticité linéaire, la méthode aux deux fonctions qui permet de tenir compte de la recouvrance du béton et la modélisation que nous avons proposée dans le cadre de cette thèse pour chacune des composantes différées du béton et qui est basée sur l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau suite à l’avancement de l’hydratation et du séchage de la structure. Pour ce faire, la prise en compte de la consommation d’eau suite à l’avancement de la réaction d’hydratation a été intégrée au module Expert HEXO du logiciel de calcul par la méthode des éléments finis CESAR-LCPC. Le programme d’analyse de structure applique la méthode aux deux fonctions et permet de considérer des phasages de construction assez complexes tels que la jonction de deux ponts-bacs à un moment quelconque de leur histoire, plusieurs géométries par travée avec des propriétés viscoélastiques différentes.


436

Au-delà des résultats très encourageants que nous avons obtenus au niveau de la bonne concordance entre les mesures des déformations du béton qui ont été effectuées sur le tablier instrumenté et les valeurs de calcul obtenues d’une part par la méthode aux deux fonctions et d’autre part dans le cadre de la modélisation basée sur l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau, il convient de préciser les perspectives immédiates en terme de recherches futures qui en découlent directement et qui permettront de mieux appréhender le comportement différé du béton tant à l’échelle du matériau qu’à l’échelle de la structure. Au niveau de la modélisation :

- la prise en compte de manière explicite et locale de la fissuration au moyen d’un paramètre d’endommagement ou encore au moyen d’un comportement adoucissant dans le programme d’analyse en section basé sur l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau permettrait d’évaluer de manière plus réaliste l’état de contrainte en particulier au niveau de la peau de la structure qui est exposée au séchage ;

- la fissuration induite par le séchage peut être à l’origine de la dégradation des

propriétés mécaniques du béton. Dans le cas de structures en béton exposées au séchage au très jeune âge, l’effet de la fissuration induite par le séchage s’accompagne des effets d’inhibition de l’hydratation en particulier lorsque l’humidité relative descend en dessous de 75%. Par conséquent, dans l’optique d’obtenir une modélisation plus fine au niveau de l’évaluation de l’avancement du degré d’hydratation, il faudrait envisager un couplage au lieu d’un chaînage (comme nous l’avons développé dans le cadre de cette thèse) entre le module TEXO de CESAR-LCPC dédié au calcul de l’évolution de la température et du degré d’hydratation et le module HEXO de CESAR-LCPC dédié au calcul de l’évolution de la teneur en eau suite au processus de séchage et d’hydratation du béton. Ceci nous semble une perspective vraiment intéressante au niveau d’une part de la prédiction du temps minimal d’attente avant le décoffrage de structures en béton sous peine de provoquer des dégradations suite au séchage qui risquent d’affecter la durabilité de l’ouvrage et d’autre part, de la définition du type de cure à appliquer au béton après le coulage pour éviter ces désagréments ;

- à partir de la non linéarité que nous avons observée de la fonction de fluage

tant en fondamental qu’en total, d’éprouvettes non chauffées et chargées entre 1 et 2 jours à des niveaux de contrainte de 50 et 70%, la mise au point d’une modélisation de cette non linéarité qui serait basée sur l’évolution du degré d’hydratation et de la teneur en eau locale constitue certainement une piste de réflexion permettant de mieux comprendre le comportement différé du béton chargé au très jeune âge à des niveaux de contrainte très élevés ;

- la modélisation qui a été proposée pour chaque composante des déformations

différées du béton pourraît être étendue à d’autres gammes de bétons incluant des bétons à plus hautes performances avec fumée de silice, ce qui permettrait d’étendre le champ d’application des ponts-bacs.


437

Au niveau de l’expérimentation

- des séries d’essais de retrait effectués sous une humidité extérieure variable (mais néanmoins contrôlée) permettraient de mieux appréhender les mécanismes de réhumidication et d’évaluer de manière plus fine la part irréversible de la déformation de retrait ;

- des séries d’essais de fluage fondamental où l’éprouvette en béton est chauffée

préalablement au chargement et pendant le chargement permettraient de simuler le comportement de structures relativement massives en béton qui sont précontraintes à très jeune âge, ce qui correspond à une période où la température est encore très élevée dans la structure. Au niveau de la structure, une instrumentation d’un pont-bac chauffé qui serait précontraint à un jour fournirait une base de données certainement très intéressante ;

- une instrumentation d’un ouvrage au moyen de capteurs d’humidité relative

(sondes capacitives noyées dans le béton par exemple) permettrait de valider le modèle de diffusion de l’humidité dans le béton pour des historiques variables de température extérieure et d’humidité relative extérieure qui correspondent à la réalité de la vie de l’ouvrage ;

- une analyse approfondie sur le plan technologique s’avère indispensable pour

mettre au point le noeud de jonction entre deux ponts-bacs rendus continus.


438

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196. Ulm F.-J. (1999a), Couplages thermochémomécaniques dans les bétons, un premier bilan, Série Ouvrages d’art OA31, LCPC, 105 pages.

197. Ulm F.-J., Le Maou F., Boulay C. (1999b), Creep and shrinkage

coupling: new review of some evidence, Revue Française de Génie Civil, 3, p.21-37.

198. Van Zijl G. (1999), Computational modeling of masonry creep and

shrinkage, PhD thesis, Université de Delft, Pays-Bas, 170 p.

199. Verkeyn A., Dobruszkes A. (1978), Le centre administratif Berlaymont, Annales des Travaux Publics de Belgique, 1-2, p.136-139.

200. Ward M.A., Neville A.M., Singh S.P. (1969), Creep of air entrained

concrete, Magazine of Concrete Research, 21, n°69, p.205-210.

201. Wirtanen L., Penttala V. (2000), Influence of temperature and relative humidity on the drying of concrete, Concrete Science and Engineering, 2, p.39-47.

202. Wittmann F.H., Roelfstra P. (1980), Total deformation of loaded

drying creep, Cement and Concrete Research, 10, p.601-610.

203. Wittmann F.H. (1982), Creep and shrinkage mechanisms, dans: ‘Creep and shrinkage in concrete structures’, édité par Bažant Z.P. et Wittmann F.H., Wiley, Londres, p.129-161.

204. Xi Y., Bažant Z.P., Molina L., Jennings H.M. (1994), Moisture

diffusion in cementitious materials: moisture capacity and diffusivity, Advanced Cement Based Materials, 1, p.258-266.


455

205. Yuan Y., Wan Z.L. (2002), Prediction of cracking within early-age concrete due to thermal, drying and creep behaviour, Cement and Concrete Research, 32, p.1053-1059.

206. Yue L. (1992), Creep recovery of plain concrete under uniaxial

compression, Thesis, Universiteit Gent, Laboratorium Magnel voor Gewapend Beton, 198pp.

207. Yue L.L., Taerwe L. (1992), Creep recovery of plain concrete and its

mathematical modelling, Magazine of Concrete Research, 44 (161), p.281-290.

208. Yue L.L., Taerwe L. (1993), Two-function method for the prediction

of concrete creep under decreasing stress, Materials and Structures, 26, p.268-273.


456

FF.. AAnnnneexxee ggéénnéérraallee 1. Les modèles codifiés de retrait et de fluage

1.1. Modèle CEB 90 (version 93)

1.1.1. Notations et unités t: âge du béton (jours) to: âge du béton au moment du chargement (jours) ts: âge du béton au début du retrait (jours) fck: résistance caractéristique du béton à 28 jours (MPa) fcm: résistance moyenne du béton à 28 jours (MPa) Ec:module d’élasticité à 28 jours (MPa) Ec(to): module d’élasticité au chargement (MPa) Ac:section transversale de la pièce (mm2) u: périmètre de la pièce en contact avec l’atmosphère (mm) ho:épaisseur effective de la pièce (mm) RH:humidité relative (%) εcs(t-ts): déformation de retrait pendant la période (t-ts) εcso: déformation de retrait ultime εs(fcm):facteur tenant compte de la résistance du béton sur le retrait ultime βs(t-ts): coefficient décrivant le développement du retrait avec le temps βRH et βARH: coefficients tenant compte de l’humidité relative sur le retrait ultime βsc: coefficient tenant compte du type de ciment sur le retrait ultime φo:coefficient de fluage ultime φRH: facteur tenant compte de l’humidité relative sur le fluage ultime φ(t-to):coefficient de fluage au temps t βc(t-to): coefficient décrivant le fluage après le chargement β(fcm): coefficient tenant compte de la résistance du béton sur le fluage ultime βh: coefficient tenant compte de l’humidité relative et de l’épaisseur effective sur le fluage β(to): coefficient tenant compte de l’âge au chargement sur le coefficient de fluage ultime J(t-to):fonction de fluage au temps t (MPa-1) [CEB-FIP, 1993]

1.1.2. Calcul du retrait

avec βsc = 4 pour un ciment à durcissement lent 5 pour un ciment à durcissement normal à rapide 8 pour un ciment à haute résistance

[ ] 610.)90.(160)(

8−−+=

+=

cmsccms

ckcm

ff

ff

βε


457

1.1.3. Calcul de la fonction de fluage

Avec S= 0,38 pour un ciment à durcissement lent 0,25 pour un ciment à durcissement normal à rapide 0,20 pour un ciment à haute résistance

[ ]5,000

3/1

)/28(1.(.5,0exp.)(

.10000

tSEtE

fE

cc

cmc

−=

=

[ ]

cc

c

hc

h

Ett

tEttJ

tttttt

tttt

hHR

)()(

1)(

)(.)(

)(

1500250.).012,0(1.5,1

0

00

000

3,0

0

00

018

−+=−

−=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−=−

≤++=

φβφφβ

β

β

)(.)(.035,0

)(

).(99% HR si 0,25

99%HR40% si .55,1)100/(1

0

5,0

20

0

3ARH

sscsscs

s

sss

RHcmscs

ARHRH

tttthtt

tttt

f

HR

−=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−

=−

=≥+

<≤−=−=

βεε

β

βεε

βββ

)().(..1,0

)100/(11

1,01)(

8,16)(

00

3/10

2,00

0

5,0

tfh

HRt

t

ff

cmRH

RH

cmcm

ββφφ

φ

β

β

=

−+=

+=

=


458

1.2. Modèle CEB 90 (version 99) 1.2.1. Notations et unités

t: âge du béton (jours) to: âge du béton au moment du chargement (jours) ts: âge du béton au début du retrait (jours) fck: résistance caractéristique du béton à 28 jours (MPa) fcm: résistance moyenne du béton à 28 jours (MPa) Eci:module d’élasticité à 28 jours (MPa) Ec(to): module d’élasticité au chargement (MPa) αE:coefficient tenant compte du type de granulats sur le module d’élasticité Ac:section transversale de la pièce (mm2) u: périmètre de la pièce en contact avec l’atmosphère (mm) h:épaisseur effective de la pièce (mm) RH :humidité relative (%) εcs(t-ts): déformation de retrait pendant la période (t-ts) εcas(t): déformation de retrait endogène au temps t εcds(t-ts): déformation de retrait de dessiccation pendant la période (t-ts) εcaso(fcm): facteur tenant compte de la résistance du béton sur le retrait endogène εsdso(fcm):facteur tenant compte de la résistance du béton sur le retrait de dessiccation βas(t): coefficient décrivant le développement du retrait endogène avec le temps βds(t-ts): coefficient décrivant le développement du retrait de dessiccation avec le temps βRH et βs1: coefficients tenant compte de l’humidité relative sur le retrait de dessiccation βsc: coefficient tenant compte du type de ciment sur le retrait de dessiccation αas,αds1,αds2 : coefficients tenant compte du type de ciment sur le retrait φo:coefficient de fluage ultime φRH: facteur tenant compte de l’humidité relative sur le fluage ultime φ(t-to):coefficient de fluage au temps t βc(t-to): coefficient décrivant le fluage après le chargement β(fcm): coefficient tenant compte de la résistance du béton sur le fluage ultime βh: coefficient tenant compte de l’humidité relative et de l’épaisseur effective sur le fluage β(to): coefficient tenant compte de l’âge au chargement sur le coefficient de fluage ultime α1,α2,α3 : coefficients tenant compte de la résistance du béton sur le coefficient de fluage J(t-to):fonction de fluage au temps t (MPa-1) [CEB-FIP, 1999]


459


( )

mmh

ttt

hh

ttt

tt

RHf

f

RHoRHRH

ff

f

ttRHftt

ttt

t

MPafff

ff

f

ttRHftfttttt

o

s

o

s

sds

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cm

cmos

ds

cmo

cmdsdscmcdso

sdsRHcmcdsoscds

as

cmo

cmo

cm

cmo

cm

ascmcaso

sdsRHcmcdsoascmcasoscdscasscs

100

.350

)(

100

.5,3

99.RHpour 0,25

99.RH40pour 1.55,1)(

52,5ou 42,5Rciment un pour 0,12 42,5ou R 32,5ciment un pour 0,11

32,5ciment un pour 0,1352,5ou R 42,5ciment un pour 6 42,5ou R 32,5ciment un pour 4

32,5ciment un pour 3

10..exp..110220)(

)().().(),(

.2,0exp1)(

jour 152,5ou R 42,5ciment un pour 600 42,5ou R 32,5ciment un pour 700

32,5ciment un pour 80010

10.6

.)(

)().().()().(),()(),(

5,0

1

21

1,0

1

s1

s1

3

RH

ds2

1

621

5,0

1as

1

6

5,2

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

=−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

>

<<⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

=

==

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−=

−+=+=

−

−

β

β

β

ββ

α

α

ααε

ββεε

β

α

αε

ββεβεεεε


460

1.2.3. Calcul de la fonction de fluage

[ ]

( )

5,0

333

18

2,0

1

2,0

2

7,0

121

3

0

0

3,0

1

1o

1

5,0

1

5,0c

4co

33,0

5,3 avec 1500. .250.2,11..150

1,0

1)(

3,5)(

5,3et 5,3 avec ...1,0

11

.)().(.),(.)t(t,

52,5ou 42,5Rciment un pour 0,20 42,5ou 32,5Rciment un pour 0,25

32,5ciment un pour 38,0sjour 1

281.exp)(

)()(

).()(Egrèsdu pour 0,7 calcairedu pour 0,9 quartzdu pour 1

compact calcairedu ou basaltedu pour 2,1

10.15,2E avec ..

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=<+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−

==

==

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

=

=

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cmo

cmooH

o

o

cmo

cmcm

cmo

cm

cmo

cmRH

oH

o

ocmRHoco

cc

ccE

cioEo

E

cmo

cmcoEci

ffRH

RHhh

tt

t

ff

f

ff

ff

hh

RHRH

ttt

ttt

tftt

t

tt

st

tt

Ett

MPaff

EE

αααβ

β

β

ααααφ

βββφβφφ

β

ββ

β

α

α


461

1.3. Modèle ACI 209 1.3.1. Notations et unités

t:âge du béton (jours) to :âge du béton au chargement (jours) ts:âge du béton au début du retrait (jours) Ecmto:module d’élasticité du béton au chargement (MPa) f’c(28):résistance du béton à 28 jours (MPa) γc:masse spécifique du béton (kg/m3) KSH:facteur tenant compte de l’effet de l’humidité relative sur le retrait KSS:facteur tenant compte de l’effet des dimensions de la pièce sur le retrait KCP:facteur tenant compte de l’effet de la durée de la cure sur le retrait KCS:facteur tenant compte de l’effet des dimensions de la pièce sur le fluage KCH:facteur tenant compte de l’effet de l’humidité relative sur le fluage KCA:facteur tenant compte de l’effet de l’âge au chargement sur le fluage εshu:déformation de retrait ultime εs(t):déformation de retrait au temps t Ccu:coefficient de fluage ultime Cc(t):coefficient de fluage au temps t V/S:rapport du volume à la surface en contact avec l’atmosphère (mm) H:humidité relative (%) J(t,to):valeur de la fonction de fluage au temps t (MPa-1) [ACI 209 R-92, 1992]


[ ]

90 tsi 0,75 28 tsi 0,86 14 tsi 0,93 7 tsi 1 3 tsi 1,1

1 tsi 1,2 10.780

vapeurscures lespour H 0,03.-3 55 humides cures lespour H.3,003et 35 b alors 100% H 80% si vapeurscures lespour .H 0,01 - 1,4 55 humides cures lespour .H01,04,1et 35 b alors 80% H 40% si

)/.(00472,0exp.2,1

....)(

s

s

s

s

s

s

6

=====

===

−==≤≤

−==≤≤−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−=

−

cp

shu

SH

SH

SS

shucpSHSSs

ss

K

K

KSVK

KKKbtt

ttt

ε

εε


462

1.3.3. Calcul du fluage

[ ][ ]

00

5,0'0

2/30

0

0'28

'0

094,00

118,00

6,00

6,00

)(1),(

..043,0

vapeurscures lespour 0,98 c 0,7 b humides cures lespour 0,92 cet 2,3 b : II typeASTM ciments lespour

vapeurscures lespour 0,95 c 1 b humides cures lespour 0,85 cet 4 b : I typeASTM ciments lespour

..

vapeurcure si . 1,13

humide cure si .25,135,2

.0067,027,1)/.(0213,0exp.13,11).3/2(

....10)(

)()(

cmt

ctccmt

cct

CA

CH

cs

CHCACS

EtCcttJ

fE

tcbt

ff

t

tKCcu

HKSVK

CcuKKKtt

tttCc

+=

=

====

====

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

=

=−=

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−=

−

−

γ


463

1.4. Modèle B3

1.4.1. Notations et unités t:âge du béton (jours) t’ :âge du béton au chargement (jours) to:âge du béton au début du retrait (jours) J(t,t’):fonction de fluage au temps t (10-6/psi) Co(t,t’):fonction de fluage propre (10-6/psi) Cd(t,t’,to):fonction de fluage de dessiccation(10-6/psi) εsh (t,to):déformation de retrait au temps t (10-6) εsh∞:déformation de retrait ultime (10-6) h:humidité relative (décimal) S(t):fonction décrivant l’évolution du retrait avec le temps τsh:temps mis pour atteindre la moitié du retrait (jours) D=2.V/S:épaisseur effective de la section transversale (in) a:contenu en granulats du béton (lb/ft3) c:contenu en ciment du béton (lb/ft3) w :contenu en eau du béton (lb/ft3) kh:facteur tenant compte de l’effet de l’humidité relative sur le retrait ks :facteur tenant compte de la forme de la section transversale E28:module d’élasticité (psi) f’c:résistance moyenne à 28 jours (psi) q1:déformation instantanée spécifique q2:fluage viscoélastique dû au vieillissement q3:fluage viscoélastique indépendant du vieillissement q4:fluage irréversible [Bažant Z.P., 1995a]


464


)(..)(

tanh)(

..8,190

cubeun pour 1,55 sphère unepour 1,3

carrée base à infini prismeun pour 1,25 circulaire base à infini cylindreun pour 1,15

infinie dalle unepour 1 )..(

1 si 0,2- 98,0 si 1

cure lapendant scellés bétons lespour 1,2 1 h siou normale cures lespour 1

vapeurscures lespour 75,0α III typede ASTM 1,1 II typede ASTM 0,85 I typede ASTM ciments lespour 1α avec

10).270..26.(.

5,0

0

)25,.0(')08,0(0

2

3

2

1

6)28,0('1,221

tSkt

tttS

ftK

KDKKhhhk

fw

hshsh

sh

ct

S

Stsh

h

csh

∞

−−

−−

∞

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

=

==

=≤−=

==

=+=

εετ

τ

ααε


465


[ ]

[ ]

[ ]

[ ]),',()',()',(

tpour t' .),',(

)(..10.57,7)'().1(1)'(

'tanh)'(

)().1(1)()'/ln(.)'(1ln.)',(.)',(

)/.(14,0

.)/.(29,0

..1,451

)',()'(

1).'()',(

*21,1.086,0)'(

8.7,11,0et 5,0 avec

)'(1ln.)',(

10.6,0

.57000

001

o5,0))'(.8())(.8(

50

)6,0()1('55

5,0

0

4320

)7,0(4

24

3

)9,0('5,02

))'(/1()'(

19/4'9/2'

12,0'

)('28

6

1

5,0'28

tttCttCqttJeeqtttC

ABSfqtShtH

tttS

tShtHttqttqttQqttC

caq

qcwq

fcq

ttZtQ

tQttQ

tttQ

tr(t')nm

tttttZ

Eq

fE

d

tHtHd

shc

sh

n

c

trtrf

f

f

nm

c

++=>−=

=

−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−−=+−++=

=

=

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+=

+=

==−+=

=

=

−−

−∞

−

−

−

−

−

−

ε

τ


466

1.5. Modèle B3S 1.5.1. Notations et unités

t:âge du béton (jours) t’:âge du béton au chargement (jours) to:âge du béton au début du retrait (jours) J(t,t’):fonction de fluage au temps t (10-6/MPa) Co(t,t’):partie de la fonction de fluage correspondant au fluage propre (10-6/MPa) Cd(t,t’,to):partie de la fonction de fluage correspondant au fluage de dessiccation (10-6 /MPa) εsh(t,to):déformation de retrait au temps t (10-6) εsh∞:déformation de retrait ultime (10-6) h:humidité relative (décimal) S(t):fonction décrivant l’évolution du retrait avec le temps τsh:temps mis pour atteindre la moitié du retrait (jours) D=2.V/S:épaisseur effective de la section transversale (cm) w:contenu en eau du béton (kg/m3)

⎯fc:résistance moyenne à 28 jours f’c:résistance spécifique à 28 jours q1,q0,q5:paramètres empiriques donnés par les formules basées sur la résistance du béton kh:facteur tenant compte de l’effet de l’humidité relative sur le retrait [Bažant Z.P., 1995d]


467



)(..)(

tanh)(

.9,41 si 0,2-

98,0 si 1cure lapendant scellés bétons lespour 1,2 1 h siou normales cures lespour 1

vapeurscures lespour 75,0α III typede ASTM 1,1 II typede ASTM 0,85 I typede ASTM ciments lespour 1α avec

10).270..019,0.(.

8

5,0

0

2

3

2

1

6)28,0(1.221

'

tSkt

tttS

Dhhhk

fw

ff

hshsh

sh

sh

h

csh

cc

∞

−−

∞

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

=

=≤−=

==

=

+=

+=

εετ

τ

ααε

[ ]

[ ]),',()',()',(

.),',(

.6000)'().1(1)'(

'tanh)'(

)().1(1)(3,0et 100,0 ;1,0;5,0 Avec

)').(.(1ln.)',(

.2408

10.6,0

.4734

001

5,0))'(.3())(.3(50

15

5,0

0

'00

5,00

28

6

1

5,028

tttCttCqttJeeqtttC

fqtShtH

tttS

tShtHnm

tttqttC

fq

Eq

fE

d

tHtHd

c

sh

nmc

c

++=−=

=

−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−−=====

−++=

=

=

=

−−

−

−

−

−

τ

ψααψ


468

1.6. Modèle GZ 1.6.1. Notations et unités

t:âge du béton (jours) to:âge du béton au chargement (jours) tc:âge du béton au début du retrait (jours) Ecmto:module d’élasticité au chargement (MPa) Ecm28:module d’élasticité moyen à 28 jours fck28: résistance caractéristique du béton à 28 jours fcm28:résistance moyenne à 28 jours (MPa) fcmt:résistance moyenne au temps t (MPa) fcmto:résistance moyenne au chargement (MPa) fcmtc:résistance moyenne au début du retrait (MPa) h:humidité relative (décimal) K:facteur tenant compte de l’effet du type de ciment sur le retrait β(h):terme de correction tenant compte de l’effet de l’humidité relative sur le retrait β(t):terme de correction tenant compte de l’effet du temps sur le retrait V/S:rapport volume sur surface en contact avec l’extérieur (mm) J(t-to):valeur de la fonction de fluage au temps t (MPa-1) εsh:déformation de retrait εshu:déformation de retrait ultime [Gardner N.J., 1999]


)().(.

)/.(015,0.

18,17)ln(27,7

)(

.18,11)(1,33 K : III type 0,7 K : II type 1,0 K : I typeASTM bétons lesPour

10.)/25.()/.(.900

..

0,92 bet 1,0 a : III type 0,72 bet 3,4a : II type 0,77 bet 2,8 a : I typeASTM bétons lesPour

..

8

2

4

65,028

5,028

75,0

75,0

28

75,0

75,0

28

2828

thSVtt

ttttt

hh

fffK

tbat

ff

tbat

ff

ff

shush

c

cc

cmcmtccmshu

c

ccmcmtc

cmcmt

ckcm

ββεε

β

β

ε

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

−=

===

=

+=

======

+=

+=

−


469


1.7. Modèle AFREM 1.7.1. Notations et unités

t:âge du béton (jours) t1:âge du béton au chargement (jours) t0:âge du béton au début du retrait (jours) fck28:résistance caractéristique à 28 jours (MPa) fc28:résistance moyenne à 28 jours (MPa) fc(t):résistance moyenne au temps t (MPa) ρh:humidité relative (%) rm=Ac/u:rayon moyen de la section de l’élément (cm) εre(t):déformation de retrait endogène apparue depuis la prise εrd(t):déformation de retrait de dessiccation apparue depuis le début du séchage εfp(t):déformation de fluage propre apparue depuis le début du chargement εfd(t):déformation de fluage de dessiccation apparue depuis le début du chargement σ:contrainte appliquée (MPa) Ei28:module d’élasticité à 28 jours (MPa) [Le Roy R., 1996]

)1.( totale

1)(

.43003500

)/.(05,0)..086,11.(25.35,1.).().(

t tsi )20000(

)(1

t tsi 1)(18,17

)ln(27,7)(

00

5,000

20

025,0

0

5,0

0

28

c0

0,5

0

c0

0

creepcoefE

nDéformatio

EcreepcoefttJ

fE

SVtttt

hff

fttcreepcoef

ttt

t

ttt

cmtosh

cmt

cmtcmt

cmtcmt

cmc

csh

csh

c

++=

+=−

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=

==

−+=

σε

φφ

εε

φ

φ


470

Pour le calcul de l’évolution de la résistance à la compression et du module d’élasticité, les formules ci-après proviennent de [Eurocode 2, 1991] tandis que les calculs relatifs au retrait et au fluage à proprement parler sont issus du modèle AFREM.


[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

)()()(.4,8

.10.75).046,0exp(.72).()(

: silice de fumée avec bétons.4,8

.10.75).046,0exp(.72).()(

:silice de fumée sans bétons57MPa si 0,21. -30

MPa57f MPa 40 si 18)(10.)96/exp(.1,18,2).20()(

:jours 28 pour t

10).2,0)(

.2,2).(20()( alors 1,0/)( si

0)( alors 1,0/)( si :jours 28 pour t

résistance hauteciment un pour 0,2 rapide prise àou normalciment un pour 0,25

lente prise àciment un pour 0,38 s Avec))/28(1.(exp.)(

8

20

062828

20

062828

2828

c2828

628re

6

282828

28

25,028

2828

tttrtt

ttffKt

rtttt

ffKt

fffK

tft

ftf

ftftf

tftf

tsftf

ff

rerdretrait

mhccrd

mhccrd

cc

c

c

c

ccrecc

recc

cc

ckc

εεε

ρε

ρε

ε

ε

ε

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−

−+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−

−+−=

≥=≤≤=

−−−=

≥

−−=≥

=<<

=−=

+=

−

−

−

−


471


[ ]

[ ]

[ ]

σε

σεεε

εεσε

σε

εεσε

σε

)()(

)()()()(

résistance haute àciment un pour 0,20 normalciment un pour ,250

lente prise àciment un pour 0,38 s Avec))/28(1.(.5,0exp.)(

)()(..1000)(

)(.8,2exp.37,0)(

)(..)(6,3)(

silice de fumée avec bétons

)()(..1000.2,3)(

)(.1,3exp.4,0)(

)(..4,1)(

:silice defumée sans bétons

1fluage

5,01281

128

28

15,01

5,01

2837,0

1

128

28

15,01

5,01

28

ttJ

tEttt

tsEtE

ttE

t

ftf

tt

ttEtf

t

ttE

t

ftf

tt

ttE

t

fluage

fdfp

i

rdrdi

fd

c

cicfp

rdrdi

fd

c

cifp

=

++=

===

−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=


472

2. Courbe de dégagement de chaleur du béton

Les données ci-après caractéristiques du béton étudié ont été obtenues lors d’un essai d’enregistrement de la quantité de chaleur dégagée dans le béton au cours de son durcissement en condition adiabatique au Laboratoire Magnel à Gand. La colonne A représente le temps écoulé en heure depuis le début des mesures (5 minutes après le gâchage), la colonne B, la température (°C) enregistrée dans le béton au moyen de thermocouples et la colonne C, la température initiale dans le béton au début des mesures. C’est ce listing qui est implémenté dans le module TEXO de CESAR-LCPC pour le calcul du degré d’hydratation et qui fait office de courbe QAB. A B C 0. 18.42 18.42 1. 19.06 18.42 2. 19.36 18.42 3. 19.58 18.42 4. 19.68 18.42 5. 19.88 18.42 6. 19.98 18.42 7. 20.22 18.42 8. 20.56 18.42 9. 21.1 18.42 10. 21.94 18.42 11. 23.54 18.42 12. 26.2 18.42 13. 30.18 18.42 14. 35.5 18.42 15. 41.16 18.42 16. 45.68 18.42 17. 48.9 18.42 18. 51.58 18.42 19. 53.8 18.42 20. 55.6 18.42 21. 57.2 18.42 22. 58.62 18.42 23. 59.78 18.42 24. 60.9 18.42 25. 61.92 18.42 26. 62.76 18.42 27. 63.52 18.42 28. 64.2 18.42 29. 64.8 18.42 30. 65.32 18.42 31. 65.7 18.42 32. 66.14 18.42 33. 66.4 18.42 34. 66.74 18.42


473

35. 66.96 18.42 36. 67.2 18.42 37. 67.4 18.42 38. 67.56 18.42 39. 67.74 18.42 40. 67.9 18.42 41. 68.06 18.42 42. 68.1 18.42 43. 68.3 18.42 44. 68.36 18.42 45. 68.46 18.42 46. 68.56 18.42 47. 68.7 18.42 48. 68.72 18.42 49. 68.8 18.42 50. 68.92 18.42 51. 68.98 18.42 52. 69.06 18.42 53. 69.14 18.42 54. 69.22 18.42 55. 69.24 18.42 56. 69.26 18.42 57. 69.34 18.42 58. 69.38 18.42 59. 69.36 18.42 60. 69.4 18.42 61. 69.46 18.42 63. 69.5 18.42 65. 69.54 18.42 67. 69.58 18.42 69. 69.6 18.42 71. 69.68 18.42 73. 69.7 18.42 75. 69.7 18.42 77. 69.68 18.42 79. 69.76 18.42 81. 69.7 18.42 83. 69.76 18.42 85. 70.04 18.42 87. 70.06 18.42 89. 70.08 18.42 91. 70.08 18.42 93. 70.08 18.42 95. 70.08 18.42 97. 70.08 18.42 99. 70.08 18.42 101. 70.08 18.42


474

3. Evolution des contraintes dans le pont-bac instrumenté (graphes Excel)

HR = 70%, (∆P/P)0 = 0,5 % et avec humidification

0 30 70 180

320

430

470

500

650

800

950

1100

1250

1400

1550

1700

1850

1990

2502302001407040200

largeur (mm)

hauteur (mm)

0-1-1-0-2--1-3--2-4--3-5--4

Figure F.3.1 Contraintes dans la dalle en t = 2,25j


475

0 30 70 180

320

430

470

500

650

800

950

1100

1250

1400

1550

1700

1850

1990

2502302001407040200

largeur (mm)

hauteur (mm)22-2420-2218-2016-1814-1612-1410-128-106-84-62-40-2


0 30 70 180

320

430

470

500

650

800

950

1100

1250

1400

1550

1700

1850

1990

2502302001407040200

largeur (mm)

hauteur (mm)22-2420-2218-2016-1814-1612-1410-128-106-84-62-40-2



476

0 30 70 180

320

430

470

500

650

800

950

1100

1250

1400

1550

1700

1850

1990

2502302001407040200

largeur (mm)

hauteur (mm)18-2016-1814-1612-1410-128-106-84-62-40-2-2-0

Figure F.3.4 Contraintes dans la dalle en t = 45j

0 30 70 180

320

430

470

500

650

800

950

1100

1250

1400

1550

1700

1850

1990

2502302001407040200

largeur (mm)

hauteur (mm)15-1812-159-126-93-60-3-3-0-6--3



477

0 30 70 180

320

430

470

500

650

800

950

1100

1250

1400

1550

1700

1850

1990

2502302001407040200

largeur (mm)

hauteur (mm)16-2012-168-124-80-4-4-0-8--4-12--8


0 30 70 180

320

430

470

500

650

800

950

1100

1250

1400

1550

1700

1850

1990

2502302001407040200

largeur (mm)

hauteur (mm)15-1812-159-126-93-60-3-3-0-6--3-9--6-12--9-15--12

Figure F.3.7 Contraintes dans la dalle en t = 1000j


478

0 30 70 180

320

430

470

500

129012701240120011301060950850750650550450300280260

largeur (mm)

hauteur (mm)

0-2

-2-0

-4--2

-6--4

-8--6

-10--8

Figure F.3.8 Contraintes dans la membrure en t = 5,59j


479

0 30 70 180

320

430

470

500

129012701240120011301060950850750650550450300280260

largeur (mm)

hauteur (mm)

0-10

-10-0

-20--10

-30--20


0 30 70 180

320

430

470

500

129012701240120011301060950850750650550450300280260

largeur (mm)

hauteur (mm)

0-2-2-0-4--2-6--4-8--6-10--8-12--10-14--12-16--14-18--16-20--18-22--20

Figure F.3.10 Contraintes dans la membrure en t = 45j (juste avant l’imperméabilisation)


480

0 30 70 180

320

430

470

500

129012701240120011301060950850750650550450300280260

largeur (mm)

hauteur (mm)

4-62-40-2-2-0-4--2-6--4-8--6-10--8-12--10-14--12-16--14-18--16-20--18-22--20-24--22

Figure F.3.11 Contraintes dans la membrure en t = 124,2j (bien après l’imperméabilisation)

0 30 70 180

320

430

470

500

129012701240120011301060950850750650550450300280260

largeur (mm)

hauteur (mm)

3-60-3-3-0-6--3-9--6-12--9-15--12-18--15-21--18-24--21-27--24



481

0 30 70 180

320

430

470

500

129012701240120011301060950850750650550450300280260

largeur (mm)

hauteur (mm)

8-124-80-4-4-0-8--4-12--8-16--12-20--16-24--20-28--24-32--28-36--32

Figure F.3.13 Contraintes dans la membrure en t = 1000j


482

4. Notations

4.1. Majuscules latines

A aire de la section transformée A avancement de la réaction A aire de la section au pas p (principe de superposition) A״ aire de la section au pas p (modèle proposé) A** aire de la section transformée et ajustée A(ξ) affinité normalisée déterminée à partir de la courbe de dégagement de

chaleur (courbe QAB) du béton Acj aire nette du béton de la jème phase (avec n = nombre de phases de béton) Apk aire du kième lit de torons (avec p = nombre de lits de torons) As section des armatures Ask aire du kième lit d’armatures passives (avec s = nombre de lits d’armatures) Ass aire totale des poutrelles en acier Atot aire totale de la section B moment statique de la section transformée par rapport à la fibre de

référence de la section B moment statique par rapport à la fibre inférieure de la section au pas p

(principe de superposition) B״ moment statique par rapport à la fibre inférieure de la section au pas p

(modèle proposé) B** moment statique de la section transformée et ajustée par rapport à la fibre

de référence de la section Bcj moment statique du béton net de la jème phase par rapport à la fibre de

référence de la section C(x,y,t) teneur en eau au point de coordonnées (x,y) et à l’instant t Ceq teneur en eau équivalente à l’humidité hext (soit à l’équilibre hydrique) qui

est imposée sur le contour Cini teneur en eau initiale dans le béton juste avant l’exposition au séchage Cµ rigidité élémentaire du µème élément Kelvin Cs teneur en eau de surface C1(x,y,t) teneur en eau en (x,y) et à l’instant t due au séchage et à l’hydratation C2(x,y,t) teneur en eau en (x,y) et à l’instant t due uniquement à l’hydratation C100 teneur en eau libre à la saturation (h=100%) D(C) coefficient de diffusion E énergie d’activation du ciment E* module réduit nommé module effectif E** module réduit nommé module effectif ajusté Ea énergie d’activation de la réaction Ea/R constante d’Arrhenius Ecj module d’élasticité du béton de la jème phase au temps ti E״cj module différé du béton de la jème phase au pas p (modèle proposé)

pcjE module du béton de la jème phase au pas p (principe de superposition)

Ec (to) module d’élasticité du béton au moment du chargement en t0 Ec (t) module d’élasticité du béton au temps t


483

Ecm28 valeur moyenne du module d’élasticité du béton à 28 jours Ej

** module effectif ajusté du béton de la jème phase Emat module d’élasticité du matériau (armatures, torons de précontrainte, bétons

d’autres phases,…) Ep module d’élasticité des torons de précontrainte Epk module d’élasticité du kième lit de torons Es module d’élasticité de l’acier des armatures Esk module d’élasticité du kième lit d’armatures passives Ess module d’élasticité des poutrelles en acier E28 module d’élasticité du béton à 28 jours HR humidité relative I moment d’inertie de la section transformée par rapport à la fibre de

référence de la section I moment d’inertie par rapport à la fibre inférieure de la section au pas p

(principe de superposition) I ״ moment d’inertie par rapport à la fibre inférieure de la section au pas p

(modèle proposé) I** moment d’inertie de la section transformée et ajustée par rapport à la fibre

de référence de la section Icgj moment d’inertie du béton net de la jème phase par rapport à son centre de

gravité Icj moment d’inertie du béton net de la jème phase par rapport à la fibre de

référence de la section Issg moment d’inertie des poutrelles en acier par rapport à leur centre de

gravité J (t,ti) fonction de fluage qui représente la déformation au temps t par suite

d’une sollicitation σi(ti) = 1 appliquée en ti Jj (tp,tp-1) fonction de fluage de la jème phase de béton représentant la déformation au

temps tp par suite d’une sollicitation unitaire appliquée en tp-1 K coefficient de conductivité thermique isotrope Mi moment externe appliqué en ti Mip moment nécessaire à appliquer pour empêcher le libre développement du

fluage, du retrait et de la relaxation au pas p dans la section N nombre d’éléments de la chaîne Ni effort normal appliqué en ti Nip effort nécessaire à appliquer pour empêcher le libre développement du

fluage, du retrait et de la relaxation au pas p dans la section P masse totale initiale de l’éprouvette Pk effort dans le kième lit de torons après le transfert de la précontrainte Po effort initial appliqué dans le kième lit de torons dont la section est Apk Q(t) quantité de chaleur dégagée jusqu’à l’instant t Q∞ quantité totale de chaleur potentiellement dégageable R constante des gaz parfaits R (t, ti) fonction de relaxation qui donne l’évolution de la contrainte dans un

élément soumis à une déformation imposée unitaire S section de l’éprouvette Text température du milieu ambiant qui est imposée au contour Ti valeur de la température durant ∆ti


484

Ts température de surface T(x,y,t) température au point de coordonnées (x,y) et à l’instant t T0 température initiale dans le béton juste après le gâchage

4.2. Minuscules latines c capacité calorifique volumique co quantité de ciment initiale du mélange prévue dans la formulation de béton dcj distance entre le centre de gravité du béton net de la jème phase et la fibre

de référence de la section dpk distance entre le kième lit de torons et la fibre de référence de la section dsk distance entre le kième lit d’armatures et la fibre de référence de la section dss distance entre le centre de gravité des poutrelles en acier et la fibre de

référence de la section fc (t) résistance à la compression du béton au temps t fcm résistance moyenne à la compression du béton à 28 jours fcm (t) résistance moyenne à la compression du béton au temps t fcmto résistance moyenne à la compression du béton sur cylindre au moment du

chargement fptk résistance caractéristique à la traction des torons h épaisseur effective hext humidité relative imposée à la surface k quantité d’eau consommée par unité de ciment hydraté (constante propre

au type de ciment) k coefficient de proportionnalité nommé coefficient de contraction hydrique k paramètre majorateur du coefficient de fluage l chaleur d’hydratation par unité de degré d’hydratation mi pourcentage en masse du composant anhydre par rapport à la masse du

ciment pi masse d’eau nécessaire à l’hydratation complète de chaque composant

anhydre du ciment par unité de masse du composant anhydre q vecteur flux de dégagement de chaleur à travers la surface orientée par la

normale n à la frontière de l’élément de volume de structure qk kième composante des déplacements nodaux r (t, ti) coefficient de relaxation tcoulage temps correspondant au coulage de la phase de béton considérée ti âge du béton au moment du chargement tprec âge du béton au moment où la précontrainte est transférée trec âge du béton au premier déchargement appliqué après la précontrainte ts âge du béton au début du retrait tsj âge du béton à partir duquel commence le séchage du béton de la jème

phase ttens instant à partir duquel les torons sont mis en tension t0 âge du béton au moment du chargement t0eff temps équivalent effectif pour décrire le degré de maturation atteint par un

béton en fonction de la température et du type de ciment t0t temps équivalent pour décrire le degré de maturation atteint par un béton

en fonction de la température


485

u périmètre de la section de béton en contact avec l’air ui composante cartésienne de l’incrément de déplacement dans la direction i

d’un point de coordonnées (x,y) w vecteur flux de teneur en eau à travers la surface orientée par la normale n

à la frontière de l’élément de volume de structure

4.3. Minuscules grecques

α coefficient d’équivalence entre les modules d’élasticité du matériau donné et celui du béton de 1ère phase

α coefficient de proportionnalité nommé coefficient de contraction thermique

ασ coefficient dépendant du type de scellement des éprouvettes β valeur finale du retrait endogène ∂C/∂h pente de la courbe de l’isotherme de désorption ε(t) déformation au temps t ε** déformation due aux augmentations des contraintes provoquées par

diverses entraves εcs (t,ts) déformation de retrait au temps t pour une éprouvette exposée au séchage

en ts

εi(ti) déformation instantanée en ti εi déformation instantanée à une distance y de la fibre de référence εL déformation libre représentant l’augmentation de la déformation au cours

du temps par suite du fluage εoi déformation instantanée au niveau de la fibre de référence εo(to) déformation instantanée en t0 εshj (t,tsj) déformation de retrait au temps t du béton de la jème phase εϕ déformation de fluage ζ (t) fonction d’évolution du module d’élasticité au cours du temps ζr (t-t0) fonction exprimant la cinétique de la relaxation des câbles de précontrainte η coefficient qui dépend de la qualité de l’acier des torons de précontrainte ηµ viscosité élémentaire du µème élément Kelvin θ (t) température du béton à l’instant considéré θ pente de l’isotherme sorption - désorption κi courbure instantanée λ rapport entre la contrainte initiale σpo appliquée en t0 et la résistance

caractéristique à la traction des torons fptk λ coefficient qui modélise le processus d’échange avec le milieu extérieur en

caractérisant le taux d’isolation du béton en fonction du type de coffrage choisi et des données climatiques

λ coefficient qui modélise le processus d’échange avec le milieu extérieur en caractérisant le taux d’imperméabilisation du béton en fonction du type de revêtement et des données climatiques

ξ degré d’hydratation ξmax degré d’avancement maximal de la réaction d’hydratation atteint par le

BHP compte tenu du rapport E/C ρ masse volumique du béton σi (ti) contrainte appliquée en ti


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σi contrainte instantanée en ti suite à la sollicitation εi σo (t0) contrainte appliquée en t0

σpo contrainte initiale appliquée en to dans les torons τ variable indépendante telle que ti ≤ τ ≤ t τµ temps de retard qui équivaut à Cµ/ηµ ϕ (t,ti) coefficient de fluage en t pour un chargement appliqué en ti ϕj (t,ti) coefficient de fluage du béton de la jème phase φr (t, t0, t1) coefficient de recouvrance de fluage en t pour un chargement appliqué en

t0 et un déchargement appliqué en t1 χ (t,ti) coefficient de vieillissement du béton compris entre 0,5 et 1 χj (t,ti) coefficient de vieillissement du béton de la jème phase χr coefficient minorateur de la relaxation intrinsèque de l’acier des torons

4.4. Majuscules grecques

∆ε augmentation graduelle de la déformation ∆ε0 variation de déformation au niveau de la fibre de référence de la section ∆ε0

p variation de déformation au niveau de la fibre de référence de la section au pas p

pε∆ variation de déformation par suite des effets différés au pas p

( )pcsfdiε∆ incrément de déformation de fluage de dessiccation intrinsèque au pas p

( )pcsfdsε∆ incrément de déformation de fluage de dessiccation structural au pas p

( )pcsrdε∆ incrément de déformation de retrait de dessiccation au pas p

( )pcsreε∆ incrément de déformation de retrait endogène au pas p

( )pcthε∆ incrément de déformation de retrait thermique au pas p

∆κ variation de courbure de la section ∆κp variation de courbure de la section au pas p ∆P perte en masse de l’éprouvette ∆σpr relaxation intrinsèque des torons

) tt,( iprkσ∆ relaxation réduite dans le kième lit de torons pprσ∆ relaxation réduite dans les torons au pas p

∆σpr∞ relaxation intrinsèque des torons en t = ∞ ∆σr perte intrinsèque de tension au temps t dans le toron

rσ∆ relaxation réduite dans le toron

∆σ∞r valeur à long terme de la relaxation qui dépend de la tension appliquée

initialement dans le toron en t0 et du type de toron ∆σ1 variation de contrainte appliquée en t1 ∆ti ième intervalle de temps où la température est supposée constante Φr (t, t0, t1) fonction de recouvrance de fluage

Analyse Et Modelisation Du Comportement Differe Du Beton

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