Doctorat Modelisation Assemblage

ENSC-2011/337

THSE DE DOCTORATDE LCOLE NORMALE SUPRIEURE DE CACHAN

Prsente par

Florent Gant

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE LCOLE NORMALE SUPRIEURE DE CACHAN

Domaine

MCANIQUE - GNIE MCANIQUE - GNIE CIVIL

Sujet de la thse

Stratgie de modlisation et de simulation desassemblages de structures aronautiques en contexte

incertain

Soutenue Cachan le 19 dcembre 2011 devant le jury compos de :

Marc Bonnet Directeur de Recherche CNRS, ENSTA ParisTech Prsident du jury

Claude Blanz Professeur, CNAM Paris Rapporteur

Alain Daidi Professeur, INSA Toulouse Rapporteur

Stphane Guinard Ingnieur de Recherche, EADS IW Examinateur

Laurent Champaney Professeur, ENS Cachan Directeur de thse

Philippe Rouch Professeur, Arts et Mtiers ParisTech Co-encadrant

LMT-CachanENS Cachan / CNRS /UPMC / PRES UniverSud Paris

61 avenue du Prsident Wilson, F-94235 Cachan cedex, France

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Je tiens tout dabord remercier les membres de mon jury de thse : Marc Bonnetpour avoir prsid le jury, Claude Blanz et Alain Daidi pour avoir accept dtre mesrapporteurs et Stphane Guinard pour avoir particip mon jury.

Bien videmment, je souhaiterais remercier mon directeur de thse, Laurent Champa-ney, pour mavoir si bien guid pendant ces trois annes de thse. Je remercie galementmon encadrant, Philippe Rouch, pour sa bonne humeur et pour nos nombreuses discus-sions qui ont toujours t trs fructueuses.

Je tiens maintenant remercier Franois, qui ma t dune aide prcieuse tout aulong de cette thse. Je remercie galement Paul qui a su mintresser au domaine desmconnaissances.

Jaimerais remercier maintenant mon co-bureau Nicolas, lambiance dans le bureau avraiment t trs agrable pendant ces trois annes. Merci galement Vincent avec quinous avons pass de bons moments de rigolade.

Un merci tout particulier aux secrtaires du secteur, Franoise et Lydia.

Pour noublier personne, merci lensemble du laboratoire pour lambiance de travailparticulirement agrable qui y rgne, et pour les moments passs au bar devant un boncaf.

Aprs ces sept annes passes lENS de Cachan, je tiens remercier toutes lespersonnes du Dpartement de Gnie Mcanique, et plus particulirement Danielle, dontles conseils ont t si prcieux.

Je tiens maintenant remercier ma famille et mes amis. Merci mes parents, Fabien etFanny pour leur soutien et leur confiance en moi qui ont t dune trs grande importance.Je remercie galement mon pouse, Magali, pour son soutien au cours de ces trois annesde thse. Je voudrais pour finir remercier ses parents pour mavoir si bien accueilli dansleur famille.

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Table des matires

Table des matires i

Table des figures iii

Liste des tableaux vii

Introduction 1

1 laboration dune stratgie de dimensionnement 51 Problmatique industrielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Mthodes de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Mthodes ingnieur et drives . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Les stratgies de calcul multichelles . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Les techniques de dcomposition de domaine sans recouvrement . 16

2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Modlisation des fixations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Les approches empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Les approches analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Les approches lments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Recalage de modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1 Les modles considrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Matrise des carts entre modles . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Prise en compte de lincertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1 Mthodes stochastiques en calcul de structure . . . . . . . . . . . 38

5.2 Mthodes non stochastiques en calcul de structure . . . . . . . . 48

6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 Recalage de modle dterministe 551 Recalage de modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.1 Le problme de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.2 Lerreur en relation de comportement . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.3 Lerreur en relation de comportement modifie . . . . . . . . . . 60

1.4 Minimisation de lerreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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1.5 Lalgorithme de minimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 Efficacit du recalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.1 Gomtrie tudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2 Le problme unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3 Les donnes exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4 Application du recalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5 Le modle rigidifi propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 Application une structure aronautique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.1 Gomtrie tudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2 Les donnes exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3 Application du recalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3 Application de la thorie des mconnaissances 871 Reprsentation de lincertain dans une stratgie de dimensionnement . . . 892 Description de la ralit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.1 Famille de structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.2 Donnes exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3 La thorie des mconnaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1 Le problme de validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2 Dfinition des mconnaissances de base . . . . . . . . . . . . . . 923.3 Propagation des mconnaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.4 Recalage des mconnaissances de base . . . . . . . . . . . . . . 101

4 Application au cas industriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.1 Implmentation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2 Dfinition et propagation des mconnaissances de base . . . . . . 1044.3 Recalage des mconnaissances de base . . . . . . . . . . . . . . 1064.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4 Perspectives pour une utilisation plus grande chelle 1111 Contexte industriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122 Exemple trait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123 Approche propose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.1 Construction des mesures de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2 Construction du modle simplifi . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.3 Limitations rencontres lors du recalage de modle simplifi . . . 1163.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Conclusion 119

Bibliographie 123


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1 Principe dune analyse descendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Paramtres variables prsents dans un assemblage boulonn . . . . . . . 71.2 R-analyse locale dun panneau : modles associs chaque chelle dtude

[Cresta, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 La mthode du zoom structural : en fonction des besoins, il est possible

de zoomer de faon rcurrente sur plusieurs chelles danalyse jusquobtenir celle adquate pour lanalyse des champs de contraintes cherchs.On fabrique ainsi une suite de modles et de calculs gigognes (Doc. Das-sault Aviation) daprs [Guidault, 2005]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Modle numrique FE2 dune structure en composite SiC/Ti [Feyel etChaboche, 2000] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Contraintes principales majeures et flexion dune poutre cantilever (ana-lyse bimodle : poutre/2D) [Ben Dhia, 1998] . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Problme de propagation de fissure trait par XFEM [Mos et al., 1999] . 161.7 Maillage micro conforme la gomtrie et maillage macro dinterface

dune poutre fissure [Guidault, 2005] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Maillage dun panneau raidi utilis par une approche FETI-DP [Farhat

et al., 2001] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9 Chane de montage de lAirbus A320 [Airbus] . . . . . . . . . . . . . . . 191.10 Schma dune jonction circonfrentielle du fuselage [EADS] . . . . . . . 201.11 Configuration dun assemblage en simple (gauche) et double (droite) re-

couvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.12 Schma des dformations obtenues en simple et double cisaillement [Huth,

1986] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.13 Numrotation des pices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.14 Rseau lectrique quivalent un assemblage de n+ 1 fixations [Ross,

1947] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.15 Schma du modle non linaire de Bortman [Bortman et Szab, 1992] . . 241.16 Montage et modle dynamiques raliss dans [Ahmadian et Jalali, 2007b] 251.17 Schma du modle rhologique dIwan parallle-srie (gauche) et srie-

parallle (droite) [Segalman et Starr, 2008] . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.18 Modles lments finis membrane/poutre (gauche) [Baumann, 1982] et

2D (droite) [Ingvar Eriksson, 1986] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


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1.19 Modle lments finis employ pour ltude de rigidit axiale dans [Al-katan et al., 2007] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.20 Modles lments finis 3D non linaires issus de [McCarthy et al., 2005](gauche) et [Champaney et al., 2007] (droite) . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.21 Quatre types de modlisation simplifie employs dans [Kim et al., 2007] 271.22 Dispositif exprimental dtude dune jonction boulonne [Guinard, 2003] 291.23 Modle continu de fixation aux dimensions nominales . . . . . . . . . . . 301.24 Maillage 3D dune jonction boulonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.25 Problmatique de matrise des modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.26 Tracs des densits de probabilit dune loi normale (trait plein) et log-

normale (trait pointill) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.27 Principe des mthodes fiabilistes : exemple de lapproximation FORM,

daprs [Puel, 2004] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1 Milieu tudi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2 Illustration du critre dArmijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3 Gomtrie tudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4 Gomtrie du modle initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.5 volutions de lerreur relative au cours du recalage . . . . . . . . . . . . 682.6 volutions de la raideur des connecteurs 1 et 3 au cours du recalage . . . 682.7 volutions du dplacement au cours du recalage . . . . . . . . . . . . . . 692.8 volutions des charges de connecteur au cours du recalage . . . . . . . . 692.9 volutions de lerreur relative au cours du recalage . . . . . . . . . . . . 702.10 volutions de la raideur des connecteurs 1 et 3 au cours du recalage . . . 702.11 Surface derreur en relation de comportement avec les trajets de conver-

gence. Cette figure utilise la srie 2 pour le modle initial. . . . . . . . . . 722.12 Configuration du modle rigidifi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.13 Evolution de la position du minimum global de lerreur en relation de

comportement modifie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.14 Recalage du modle rigidifi : volutions de lerreur relative au cours du

recalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.15 Recalage du modle rigidifi : volutions de la raideur des connecteurs 1

et 3 au cours du recalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.16 Recalage du modle rigidifi : volutions du dplacement au cours du

recalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.17 Recalage du modle rigidifi : volutions des charges de connecteur au

cours du recalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.18 Recalage du modle rigidifi : volutions de lerreur relative au cours du

recalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.19 Recalage du modle rigidifi : volutions de la raideur des connecteurs 1

et 3 au cours du recalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.20 Surface derreur en relation de comportement avec les trajets de conver-

gence. Cette figure utilise la srie 2 pour le modle rigidifi. . . . . . . . 78


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2.21 Schma dimplantation de lassemblage tudi [Airbus] . . . . . . . . . . 792.22 Structure relle tudie [EADS IW]. Essai de compression et de flambage. 80

2.23 Modle CAO ( gauche) et modlisation plaque et connecteur ( droite)de la structure tudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.24 Gomtrie du modle non-linaire de lassemblage boulonn . . . . . . . 812.25 Chargements et conditions aux limites appliqus sur les modlisations . . 812.26 Reprsentation dun connecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.27 Gomtrie de la modlisation linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.28 Convergence des quantits dintrt (erreur relative) . . . . . . . . . . . . 842.29 Convergence de lerreur relative en relation de comportement . . . . . . . 852.30 Cohrence entre le modle de connecteur global et le modle de fixation

local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.1 Principe de la modification propose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.2 Mconnaissances de base associes une loi normale centre . . . . . . . 943.3 Calcul des mconnaissances effectives sur la quantit dintrt mod . . 973.4 Principe de recalage des mconnaissances de base . . . . . . . . . . . . . 1033.5 Schma de limplmentation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.6 Rapports nergtiques des quantits dintrt . . . . . . . . . . . . . . . 1063.7 Intervalles obtenus par simulation de Monte Carlo (modle non-linaire)

et par la thorie des mconnaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.1 Stratgie de modlisation envisage au Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . 1134.2 Stratgie de modlisation envisage pour les structures de trs grande taille 1134.3 Vue schmatique de lassemblage tudi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.4 Modle non linaire construit pour les essais numriques . . . . . . . . . 1154.5 Modle numrique de la structure globale (structure rigide non reprsente)1164.6 Schma de la structure simplifie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.7 Processus de maillage automatique des fixations . . . . . . . . . . . . . . 121


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1.1 Valeurs des coefficients a et b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 Les paramtres du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2 Les donnes simules employes pour le recalage . . . . . . . . . . . . . 662.3 Modle initial : nombre ditrations pour le recalage (Init. inf. (resp. sup.)

signifie initialisation avec des valeurs infrieures (resp. suprieures) auxvaleurs objectif) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.4 Modle rigidifi : nombre ditrations pour le recalage . . . . . . . . . . 782.5 Les donnes simules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.6 Rsultats issus du recalage du modle dterministe . . . . . . . . . . . . 84

3.1 Rsultats du recalage du modle avec mconnaissances . . . . . . . . . . 1073.2 volution des mconnaissances de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


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Introduction

Dans le domaine industriel, et plus particulirement pour le transport aronautique,le dimensionnement mcanique des structures est une phase cruciale du processus deconception dun nouvel appareil en vue de sa mise sur le march. Tous les critres im-portants de tenue de la structure doivent tre abords afin de garantir la dure de vie fixepar le cahier des charges. Le dimensionnement sappuie sur lanalyse de plusieurs tudesquelles soient numriques ou exprimentales.

Ces dernires annes, le cot trs important des essais rels sur structure de grandechelle a pouss les industriels diminuer leur utilisation au profit des essais numriques.Ces essais rels sont nanmoins courants de plus petites chelles, pour pouvoir gnra-lement identifier les proprits de phnomnes locaux complexes.

En recherche, diffrentes mthodes bases sur la modlisation par lments finis sontapparues afin de traiter des problmes de plus en plus complexes grce laugmentationcontinue des capacits de calcul des environnements informatiques. La complexit de cesproblmes peut se traduire soit par la complexit du phnomne physique tudi, soitpar la taille de la structure tudie, impliquant la rsolution de problmes de trs grandedimension.

Le dimensionnement numrique des structures aronautiques comporte plusieurs par-ticularits. Par exemple, ces mthodes de dimensionnement doivent tre adaptes lamodlisation de tronons comportant plusieurs millions de fixations, lutilisation gran-dissante de matriaux composites, ou encore la gomtrie complexe de ces structures(panneaux, raidisseurs et lments de fixation).

Pourtant les bureaux dtude aronautiques ne sont actuellement pas en mesure depouvoir appliquer directement ces mthodes de rsolution non-linaire sur une structurecomplte de grande taille. La complexit des modles associe au trs grand nombredinconnues ncessaires implique des temps de calcul et des besoins informatiques tropcoteux ce jour.

Afin dy remdier, les mthodes numriques usuelles pour le dimensionnement asso-cient plusieurs types de modle lments finis afin de pouvoir adopter la complexitdes reprsentations. Gnralement, ces stratgies font interagir ou superposent un modleglobal simple avec des modles locaux complexes afin de limiter les cots de calcul. Unedes mthodes les plus utilises dans le domaine industriel consiste rsoudre dans un pre-mier temps le problme mcanique sur une structure complte avec un modle simplifigomtriquement mais aussi du point de vue de son comportement. Dans un deuxime


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temps, le champ de dplacements ou defforts internes obtenu permet le pilotage dunmodle local non-linaire dfini sur une zone dintrt. Ceci suppose dune part que cettezone dintrt soit connue a priori, et dautre part que la prsence des non-linarits lo-

cales nait que peu dinfluence sur le comportement global de la structure. Ce type de

mthode de dimensionnement est appele analyse descendante ou submodeling en

anglais. La Figure1 illustre ce processus de dimensionnement.

FIGURE 1: Principe dune analyse descendante

Llment le plus utilis pour assembler les diffrents tronons dun appareil est la

fixation boulonne ou rivete. Le comportement de ces composants peut tre dimension-

nant lorsquil est prsent dans une structure. En effet, il introduit des phnomnes forte-

ment non-linaires (contact, frottement, effet de la prcharge et des jeux de fabrication)

qui saccompagnent gnralement de concentrations de contraintes. Sachant quil peut y

avoir plusieurs millions de fixations sur un appareil, vouloir prendre en compte tous ces

phnomnes dans un modle numrique de structure de grande chelle serait trop coteux.

Lutilisation dune analyse descendante semble pour linstant mieux approprie.

Lors du dimensionnement, la prise en compte des incertitudes est un aspect important

pour vrifier la tenue dune structure. En effet, les caractristiques gomtriques ou phy-

siques peuvent varier dune structure une autre. Gnralement, les industriels pondrent

leurs rsultats numriques avec des coefficients de scurit afin de pouvoir prendre en

compte toute variation de comportement ou de chargement de la structure. Malheureuse-

ment, lapplication de ces coefficients mne souvent au surdimensionnement des parties

tudies.

Actuellement, la tendance est de vouloir rduire ces marges de manire diminuer

les cots de fabrication et dexploitation des appareils. Les industriels sefforcent donc de

modliser de faon plus prcise lala que lon peut retrouver dans une structure et son

environnement. Plusieurs outils existent afin de reprsenter ces incertitudes :


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les mthodes paramtriques non probabilistes [Moens et Vandepitte, 2005] ; les mthodes paramtriques probabilistes [Schuller, 2001] ; les mthodes non paramtriques [Soize, 2000].

Bien que certains travaux aient t dvelopps pour les mthodes non paramtriques etparamtriques non probabilistes en calcul de structures, lessentiel de la recherche seconcentre sur les mthodes probabilistes. Ces dernires sont trs intressantes lorsque lonsouhaite modliser les phnomnes de dispersion des chelles locales (o le nombre deparamtres stochastiques reste limit). des chelles globales de structures telles quecelles du tronon dun avion, ces mthodes restent pour linstant trop coteuses [Schul-ler, 2001].

Cest dans ce contexte qua t dveloppe la thorie des mconnaissances [Lade-vze et al., 2006b]. Lide de cette thorie est de modliser les incertitudes lchelledes sous-structures. Un avantage consquent de cet outil, comparativement certainesmthodes probabilistes, est de navoir besoin que dun seul calcul dterministe sur unestructure globale. Par post-traitement de ce calcul, on peut ainsi obtenir un intervalle deconfiance sur une quantit dintrt pour toute structure de la mme famille. Dune part,la thorie des mconnaissances se base sur un modle lments finis dterministe de lastructure tudie : il est donc important que ce modle soit le plus fidlement reprsen-tatif du comportement des structures relles. Dautre part, les variables internes dfinies lchelle des sous-structures et influant sur les intervalles de confiance des quantitsdintrt, ne sont que trs rarement connues a priori. Le modle avec mconnaissancesdoit donc passer par une phase de recalage afin dtre valid. Cette thorie a tout dabordt applique au domaine de la dynamique des structures [Ladevze et al., 2006b, Lade-vze et al., 2006a, Puel, 2004] pour des dispersions associes aux rigidits des structures.Elle a ensuite t tendue aux problmes de statique [Enjalbert, 2009, Louf et al., 2010]pour des incertitudes associes aux rigidits des structures mais aussi aux chargementsextrieurs.

Lobjectif de cette thse est dinsrer la modlisation par la thorie des mconnais-sances dans une procdure de dimensionnement de type analyse descendante. En se ba-sant sur les techniques industrielles actuelles, il sagit dajouter laspect alatoire via lathorie des mconnaissances. Lintrt est que cette thorie implique peu de cot de calculsupplmentaire. Les mconnaissances sont appliques au modle linaire lors de la pro-cdure de la mthode descendante. Ceci permet dobtenir un intervalle de variation dunequantit dintrt dont les bornes seront utilises par la suite pour piloter un calcul com-plexe local non-linaire. Comme prcis prcdemment, le modle de mconnaissancesse base sur une reprsentation simplifie, gnralement linaire, de la structure. La diffi-cult de cette stratgie sera de prouver son efficacit pour la modlisation de phnomnesalatoires complexes.

Ltude mene ici propose donc de justifier de manire plus prcise lapplication decoefficients de scurit. Les diffrentes tapes importantes de la stratgie seront tudieset justifies sur un exemple dassemblage boulonn dont la gomtrie est inspire de struc-tures aronautiques. Ces tapes, situes dans la premire partie de lanalyse descendante,


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4 Introduction

sont les suivantes : cration dun modle dterministe simplifi et pertinent de lassemblage boulonn ; recalage du modle dterministe grce une srie de donnes. La mthode choisie

ici est le recalage bas sur lerreur en relation de comportement ;

application de la thorie des mconnaissances sur le modle dterministe afin dob-

tenir un modle avec mconnaissances ;

recalage du modle avec mconnaissances grce une srie de donnes.

Les dveloppements numriques sont effectus sous le logiciel Matlab. Tous les algo-

rithmes crs se basent sur des modles lments finis issus du logiciel Abaqus/Standard.

Le dialogue entre les deux logiciels seffectue principalement grce un environnement

Python.

Afin de prciser les points prcdemment abords, ce document sarticule suivant

quatre chapitres :

Le premier chapitre exposera la stratgie adopte pour insrer une mthode demodlisation de lincertain dans un processus de dimensionnement dassemblage

de structures en aronautique. Cette stratgie sera constitue de diffrents modles

et mthodes dont les choix seront justifis et pour lesquels un bref tat de lart sera

effectu.

Parmi les mthodes utilises, le recalage de modle joue un rle prliminaire crucial

sur la qualit du modle enveloppe objectif. Le modle dterministe utilis pour la

thorie des mconnaissances doit tre fiable et doit reprsenter le mieux possible

la structure relle. Dans un second chapitre, une stratgie de recalage de modledterministe de fixations sera tudie et optimise afin de pouvoir aborder laspect

alatoire dans les meilleures conditions. Plus particulirement, nous nous concen-

trerons ici sur lapplication dune mthode de recalage base sur lerreur en relation

de comportement applique des modles simples de fixations boulonnes.

Le troisime chapitre prsentera tout dabord les bases de la modlisation desincertitudes par la thorie de mconnaissances. Lapplication de cette thorie sur un

modle dterministe correctement recal constituera la dernire tape de la stratgie

propose. Cette stratgie sera ensuite illustre sur un exemple typique de fixation

aronautique.

Le quatrime chapitre aura pour objectif dvaluer les possibilits dutilisation dumodle de connecteur avec mconnaissances dans un environnement plus contrai-

gnant. Dans un contexte incertain, une analyse sera effectue sur des connecteurs

reprsentant chacun plusieurs fixations. La pertinence de cette extension dchelle

pour la modlisation des connecteurs sera value et de possibles amliorations

seront proposes.


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Chapitre 1

laboration dune stratgie dedimensionnement

Dans ce premier chapitre, nous allons introduire la probl-

matique industrielle sur laquelle nous allons travailler :

le prdimensionnement dassemblage de structures. Plu-

sieurs discussions seront menes dans le but de construire

point par point une stratgie pertinente en vue dune pro-

position dapplication dans le monde industriel. La pre-

mire partie de ce chapitre prsente les diffrentes m-

thodes permettant le dimensionnement des structures de

grande chelle. Une tude bibliographique sur les mo-

dles de fixation est ensuite effectue. Enfin, la stratgie

propose est construite : elle utilise dune part un reca-

lage de modle, et dautre part elle met en place une prise

en compte des phnomnes alatoires. Ces deux derniers

points feront galement lobjet dune discussion.

Sommaire1 Problmatique industrielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Mthodes de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9


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2.1 Mthodes ingnieur et drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Les stratgies de calcul multichelles . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Les techniques de dcomposition de domaine sans recouvrement . . 16

2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Modlisation des fixations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Les approches empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Les approches analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Les approches lments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Recalage de modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1 Les modles considrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Matrise des carts entre modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Prise en compte de lincertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1 Mthodes stochastiques en calcul de structure . . . . . . . . . . . . 38

5.2 Mthodes non stochastiques en calcul de structure . . . . . . . . . 48

6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


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Problmatique industrielle 7

1 Problmatique industrielle

Dans le secteur aronautique, la certification des avions sappuie gnralement surla ralisation de nombreux essais diffrentes chelles. Ces essais peuvent tre raliss

lchelle de la microstructure dun matriau aussi bien qu lchelle de lavion lui-

mme. La tendance actuelle des industriels est de diminuer lutilisation de ces essais,

trop coteux, au profit dessais numriques. Grce lvolution des capacits de calcul

numrique, ces essais virtuels viennent peu peu complter voire remplacer certains

types dessais sur structure relle.

Parmi les lments faisant partie de cette problmatique, les ensembles de fixations,

boulonnes ou rivetes, sont des composants trs importants lors du dimensionnement :

lirrgularit de la gomtrie, les phnomnes de frottement, les prcharges ou encore les

jeux de fabrication prsents dans ces zones augmentent les probabilits dinitiation de

phnomnes dendommagement.

La production en srie mise en uvre dans lindustrie aronautique entrane la fabrica-

tion de ces ensembles de fixations en trs grand nombre. Lorsque lon tudie une famille

de structures semblables, plusieurs proprits varient dune structure lautre. En effet,

le frottement entre les plaques est mal connu, les prcharges appliques lors de lassem-

blage ne sont pas prcisment contrles (environ 20% de dispersion [Guinard, 2003]),les jeux de fabrication sont raliss avec des tolrances dimensionnelles et la position ini-

tiale de la fixation lintrieur de son logement nest pas bien matrise (configuration des

rattrapages de jeux) [Guinard, 2003]. La Figure 1.1 illustre ces paramtres mal connus.

FIGURE 1.1: Paramtres variables prsents dans un assemblage boulonn

Lobjectif de cette thse est de proposer une stratgie de dimensionnement des as-

semblages boulonns ou rivets. De plus, on souhaite prendre en compte les effets des

variabilits de comportement des fixations sur le dimensionnement. Ceci permettra de

redfinir la notion de coefficient de scurit lors du dimensionnement.

Le but de cette stratgie est de raliser des dimensionnements o lchelle de la struc-

ture est quivalente celle de plusieurs panneaux ou tronons davion. Or, les calculateurs


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8 laboration dune stratgie de dimensionnement

actuels ne permettent pas encore de raliser des essais numriques ces chelles en pre-nant en compte les comportements complexes que lon peut retrouver des chelles beau-

coup plus fines. Lesmodles utiliss pour les simulations numriques sont donc ajusts en

fonction de lchelle de la structure observe. Toute la problmatique de lindustriel rside

dans la capacit de dialogue entre les diffrentes modlisations. Plusieurs techniques ont

t dveloppes pour rsoudre ces problmes, qualifis de multichelles. La partie 2 de ce

chapitre prsente de manire non exhaustive les mthodes dites de ranalyse locale et

multichelles pour le dimensionnement des structures de grande taille.

Le dimensionnement choisi se base sur ltude dune structure multichelle o deux

types dchelle sont tudies : une structure globale (chelle des panneaux) utilisant des

lments simples et grossiers, et une structure locale (chelle de la fixation) comprenant

des lments reprsentant plus finement la gomtrie relle et dont le comportement est

plus complexe. Dans notre cas, le choix des zones o appliquer la structure locale seffec-

tue lchelle globale. Elle est base sur la recherche des transferts de charges dans les

fixations, ainsi que de leurs variations, afin den dduire les lments susceptibles dtre

les plus chargs. Ces lments de fixations sont ensuite isols en vue dune ranalyse lo-

cale, laide dune analyse descendante comme illustr sur la Figure 1. Le choix de cettemthode est justifi dans la partie 2.

Dans cette stratgie, les modles de fixations employs lchelle globale et lchelle

locale ne peuvent tre les mmes. Ces choix sont typiquement effectus en fonction de

la complexit des modles. La modlisation de ces types dlments ncessite donc une

attention particulire car les performances de la stratgie en dpendent. Une tude des

diffrents types de modlisation de ces fixations est prsente dans la partie 3. Le choix

du type de modle utilis sera galement justifi. Ces modles sont nomms modles

dterministes des fixations dans la suite de ltude.

Le modle dterministe de fixation utilis lchelle globale est ensuite associ une

thorie de prise en compte dincertitude afin dobtenir des estimations de variation des

transferts de charge. Cette partie permet de prendre en compte des variations de com-

portements complexes des fixations souvent non contrls lors de la fabrication ou de

lassemblage. Un bref tat de lart de ces mthodes en mcanique est prsent dans la

partie 5. La thorie des mconnaissances [Ladevze et al., 2004] sera employe pour ef-

fectuer ce point technique. En effet, cette thorie permet, lchelle globale, de runir

toutes les sources dincertitude prsentes dans une fixation. Le dtails de son application

est prsente au Chapitre 3.

Cependant, la thorie des mconnaissances ne peut combler les ventuelles erreurs

de modlisation du modle dterministe de fixation par rapport la ralit. Le modle

dterministe joue un rle primordial sur la qualit des rsultats obtenus par la thorie. Il

est donc important de correctement paramtrer le modle dterministe pour quil repr-

sente au mieux la famille de structures tudie quelque soit le type de modle de fixation

choisi. Pour cela nous utiliserons une mthode de recalage de modle. Ceci permettra

dvaluer lerreur produite entre le comportement du modle de structure et celui issu des


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Mthodes de dimensionnement 9

mesures (sur structures relles ou structures simules) et ainsi de la diminuer en modifiantles proprits de la modlisation. Un descriptif des mthodes de recalage de modle est

prsent dans la partie 4. La recalage choisi est bas sur lerreur en relation de comporte-

ment [Ladevze et Chouaki, 1999]. Le dtail de lapplication du recalage dans la stratgie

est prsente au Chapitre 2.

En rsum, la stratgie propose se dcompose en plusieurs points important :

application de la mthode de dimensionnement multichelle par analyse descen-

dante ;

construction du modle dterministe de fixations ;

recalage du modle dterministe de fixations ;

application de thorie des mconnaissances ;

Nous prcisons ici que le travail qui suit sintresse uniquement la partie structure

globale de lanalyse descendante. La ranalyse locale ne sera donc pas tudie.

Les travaux relatifs aux domaines abords chacun de ces points sont prsents suc-

cessivement ci-dessous.

2 Mthodes de dimensionnement

La problmatique est lie ici au dimensionnement de structures aronautiques de

grande taille prsentant un grand nombre de fixations (plusieurs millions de fixations).

Un modle complet intgrant tous les dtails structurels lchelle des fixations nest pas

envisageable pour le moment. En effet, le nombre de degrs de libert engendr sur ce

modle entranerait, pour un calcul direct, des temps de calcul et des besoins en terme de

mmoire informatique incompatibles avec les contraintes des industriels. Plusieurs tech-

niques se sont dveloppes pour rduire ces besoins informatiques. On distingue ici deux

grandes familles de stratgie. Les techniques appartenant la premire famille peuvent

tre qualifies de multichelles . Plusieurs hypothses sont utilises pour finalement

souligner le fait quil peut y avoir deux chelles de modlisation sur la structure tudie :

gnralement une chelle grossire sur la structure complte et une chelle fine sur des

zones trs rduites de la structure. Ceci permet de rendre les calculs plus abordables en lo-

calisant les modles les plus complexes. La deuxime catgorie de mthodes regroupe les

techniques dites de sous-structuration et de dcomposition de domaines ([Gosselet

et Rey, 2006]). Contrairement aux mthodes prcdentes, on travaille gnralement ici

sur la structure complte avec une modlisation fine. Pour rendre le problme abordable,

le domaine est dcoup en plusieurs sous-domaines de taille infrieure. Les calculs des

sous-domaines sont traits indpendamment et raccords pour obtenir la solution exacte

sur le domaine complet.

2.1 Mthodes ingnieur et drives

Ces approches reprsentent les techniques les plus employes dans lindustrie du fait

de leur rapidit dimplmentation et dutilisation.


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2.1.1 Approches descendantes

Les approches descendantes sont les stratgies utilises majoritairement dans les bu-reaux dtude aronautiques. Elles sont principalement employes pour obtenir des infor-

mations prcises concernant des quantits dintrts dans une zone trs localise.

Elles consistent tout dabord trouver une solution globale sur la structure entire. G-

nralement, le modle global est trs grossier et ne met en uvre quasiment pas de dtails

structuraux. Des exemples de problmes traits sont illustrs Figure 1.2 et Figure 1.3.Cependant, il peut contenir un trs grand nombre de degr de libert et ncessiter un

temps de calcul consquent tant donn la taille de la structure.

La seconde partie de la procdure consiste localiser les zones de la structure globale

pour lesquelles une analyse plus fine doit tre ralise. Cette tape peut tre ralise

laide destimateurs derreur, de critres a posteriori, ou de rgles mtier. Les zones ainsi

identifies peuvent tre associes un modle local plus complexe : les non linarits

gomtriques et matrielles [Ransom et al., 1992] ou encore certains dtails topologiques

[Kapania et al., 1997] ou dhtrognit [Voleti et al., 1996] peuvent tre reprsents.

Dans la troisime tape, les quantits de pilotage du modle local doivent tre dfinies.

Les deux principales mthodes consistent piloter les conditions aux limites du modle

local soit en dplacement [Kelley, 1982], soit en effort [Jara-Almonte et Knight, 1988]

partir des donnes issues du modle global. Les premiers travaux ont t dvelopps

dans [Kelley, 1982, Whitcomb, 1991] sous le nom de SBD (Specified Boundary Displa-

cement). On retrouve cette technique dans les logiciels lments finis sous le nom de

submodeling .

La dernire tape consiste rsoudre le problme local. Ce type de dimensionnement

se prsente donc comme une solution de choix pour les industriels car les deux modles

utiliss sont indpendants et leur calcul seffectue successivement. Pourtant, les analyses

descendantes prsentent un inconvnient de taille du fait du peu de communication qui

existe entre les deux modles. En effet, le transfert dinformation ne seffectue que de

faon unilatrale du modle global vers le modle local, lors de lextraction des quantits

globales servant piloter les conditions aux limites du modle local. Ce type de couplage

ne permet donc pas au modle local dagir sur le modle global. Cependant plusieurs tra-

vaux effectus au LMT Cachan ont montr les limites et les erreurs [Cresta, 2008, Gendre,

2010] pouvant tre commises par cette technique. Les redistributions de contraintes in-

duites par des comportements locaux adoucissant ne sont pas prises en compte au niveau

global. Ce type dapproche est donc bien adapt lorsque le comportement lchelle lo-

cale na que trs peu dinfluence sur la rponse globale de la structure.

2.1.2 Approches exactes et itratives

Contrairement aux approches prcdentes, les approches directes permettent de prendre

en compte directement linfluence des dtails locaux lchelle globale de manire exacte.

Parmi elles, on peut noter les mthodes de ranalyse structurale [Barthelemy et Haftka,

1993]. Ces mthodes consistent connatre la rponse du modle global lors de modi-

fications gomtriques ou constitutives. Ceci permet ainsi de gagner du temps de calcul


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FIGURE 1.2: R-analyse locale dun panneau : modles associs chaque chelle dtude[Cresta, 2008]

FIGURE 1.3: La mthode du zoom structural : en fonction des besoins, il est possiblede zoomer de faon rcurrente sur plusieurs chelles danalyse jusqu obtenir celle

adquate pour lanalyse des champs de contraintes cherchs. On fabrique ainsi une suite

de modles et de calculs gigognes (Doc. Dassault Aviation) daprs [Guidault, 2005].


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en ne recalculant pas la solution complte du problme mais en utilisant les calculs djeffectus.

Le deuxime type dapproche exacte consiste utiliser les techniques dites de conden-sation statique couramment utilises dans lindustrie. Elles permettent de condenser la r-solution du problme sur des variables dinterface. On peut donc crer des sous-structurescondenses gnralement nommes super-lments . Ces lments permettent de r-duire de manire importante le nombre de degr de libert en liminant les inconnuesinternes aux zones condenses. Les problmes initialement trop complexes traiter dufait de leur taille peuvent tre calculs avec un cot plus raisonnable grce aux mthodesde condensation. De plus, ces techniques permettent la collaboration entre entreprisespartenaires sur ltude dune structure, sans pour autant dvoiler les dtails des sous-structures condenses. Notons tout de mme que ces techniques ne sont pour linstant pasapplicables aux problmes non linaires.

Dans le cas o les approches exactes sont trop coteuses pour prendre en compte undialogue local global, les mthodes itratives peuvent se rvler tre un bon compro-mis. Aprs avoir effectu une analyse locale en utilisant les conditions aux limites issuesdu problme global, une correction globale est effectue laide des chargements du mo-dle local reprsentant linfluence des dtails locaux sur la structure. Parmi ces mthodes,on notera les approches RGL (Refined Global/Local) [Mao et Sun, 1991] et IGL (IterativeGlobal/Local) [Whitcomb, 1991].

2.2 Les stratgies de calcul multichelles

Nous prsentons dans cette partie les mthodes de calcul de structures de grande taillencessitant la prise en compte de dtails structuraux prcis. Lutilisation de ces mthodesest adapte dans le cas o les dtails locaux ont une dimension beaucoup plus petite quecelle du problme global. Ceci interdit donc lutilisation dun modle dchelle localesur le problme global, et entrane donc ltude de deux modles dchelles distinctes.Ici galement, des mthodes ont t dveloppes pour permettre le couplage de ces deuxchelles. Parmi les grandes classes dapproches multichelles, nous distinguons ici (outreles approches descendantes traites dans la partie 2.1.1) les techniques bases sur la tho-rie de lhomognisation, les mthodes denrichissement et de superposition.

2.2.1 Mthodes bases sur la thorie de lhomognisation

Ces mthodes ont pour but de construire un modle macro partir de connaissancesparticulires sur le modle fin micro . Les premiers travaux ont permis de dfinir descomportements macroscopiques entre des quantits moyennes effectives [Eshelby, 1957,Hashin, 1960, Mori et Tanaka, 1973] partir de modles analytiques et semi-analytiques.Dautres avances [Christman et al., 1989, Tvergaard, 1990, van der Sluis et al., 1999]ont permis didentifier un modle macroscopique partir d essais numriques maisgalement dobtenir des informations locales de la solution.


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Cependant, les premires mthodes vritablement multichelles sont principalementbases sur la thorie de lhomognisation priodique [Sanchez-Palencia, 1974]. Cettethorie est utilisable lorsque la structure microscopique est constitue dun motif prio-dique appel Volume lmentaire Reprsentatif (VER). Elle se base galement sur unproblme macro et un problme micro permettant de remonter aux proprits locales[Sanchez-Palencia, 1974, Bensoussan et al., 1978].

Des extensions ont galement t proposes pour les cas non linaires. Une prsenta-tion gnrale de ces techniques est propose dans [Terada et Kikuchi, 2001]. Parmi cestechniques, on retrouve la mthode FE2 [Feyel et Chaboche, 2000] pour laquelle lori-ginalit consiste associer, chaque point dintgration du maillage global, un modlemicroscopique dun VER. La Figure 1.4 prsente une application de la mthode au casdune structure composite. Le problme microscopique consiste dterminer le champde dformations et de contraintes sur le VER partir des conditions de priodicit et de larelation de comportement non linaire microscopique. Une fois la solution obtenue, unetape dhomognisation permet de remonter la contrainte macroscopique en effectuantla moyenne du champ de contrainte sur le VER. Connaissant la contrainte macroscopique,celle-ci est introduite dans lalgorithme de rsolution du problme macro.

Cependant, la mthode FE2 possde les mmes limitations que la thorie de lhomo-gnisation dont elle est drive : elle ne reste pertinente que lorsque les chelles sont bienspares. Dans [Ghosh et al., 2001] est dveloppe une mthode permettant de prendreen compte des zones o lhypothse de sparation des chelles nest pas vrifie.

2.2.2 Mthodes de superposition et denrichissement

Les techniques prcdentes se basent principalement sur lvaluation de quantits moyennes partir de lchelle micro pour construire le comportement lchelleglobale. Les approches tudies dans cette partie adoptent un point de vue diffrent etcherchent plutt substituer ou superposer la solution dun problme macroscopiqueun enrichissement microscopique dans les zones dintrt.

Parmi ces approches, la projection de Dirichlet homognise (HPDM) [Oden etZohdi, 1997, Oden et al., 1999, Zohdi et al., 1996] a t propose pour rsoudre desproblmes de structures fortement htrognes dans le cadre de llasticit linaire. Latechnique se base sur un modle global homognis, relativement grossier un niveaumacroscopique, et des modles microscopiques indpendants, incluant les dtails de lamicrostructure. Les cellules dans lesquelles sont dfinis les modles microscopiques, sontobtenues en partitionnant la structure suivant une grille rgulire. Pour coupler les deuxtypes de modle, une estimation de lerreur est effectue a posteriori sur le modle glo-bal. Une analyse au niveau microscopique est ralise sur les cellules des zones les pluserrones. Une correction microscopique est ainsi obtenue laide des conditions aux li-mites homognes de Dirichlet du problme macroscopique. La solution corrige est en-suite construite comme la solution macro laquelle on ajoute les corrections issues desranalyses sur chaque cellule. Cependant, tant donn que lon utilise une homognisa-


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FIGURE 1.4: Modle numrique FE2 dune structure en composite SiC/Ti [Feyel et Cha-boche, 2000]


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tion au niveau macroscopique, cette approche possde galement les inconvnients citsprcdemment.

On peut noter galement la mthode Arlequin, introduite dans [Ben Dhia, 1998, BenDhia et Rateau, 2001], qui permet de superposer un modle global, un modle plusfin dans des zones dintrt. Une illustration de la superposition dun modle poutre etdun modle 2D est prsente sur la Figure 1.5. Cette technique permet le couplage entreles deux types de modle tant au niveau de la discrtisation que des quations qui lesrgissent. La particularit de cette technique se situe au niveau de la zone de dialogue entreles deux modles. Contrairement aux mthodes prcdentes o le dialogue seffectue surune interface, ici il se met en place de manire faible sur un volume de recouvrement. lintrieur de ces zones, le recouvrement des deux modles est gr par lapplicationde fonctions de pondration, directement dans la formulation du principe des puissancesvirtuelles du problme global. Cest notamment le choix de lespace des multiplicateursde Lagrange, appel espace mdiateur , qui conditionne la qualit du raccord dans lazone de jonction.

FIGURE 1.5: Contraintes principales majeures et flexion dune poutre cantilever (analysebimodle : poutre/2D) [Ben Dhia, 1998]

Lintrt de cette mthode est le couplage que lon peut effectuer sur des types de mo-dle trs diffrents. Cependant, le choix de la discrtisation de lespace mdiateur posede grandes difficults et fait lobjet de nombreux travaux [Guidault et Belytschko, 2007].galement, lassemblage des modles fin et grossier ainsi que des multiplicateurs de La-grange peut entraner des problmes de trs grande taille et mal conditionns. Pour saf-franchir de la reconstruction complte du problme, diverses tudes ont t menes [El-khodja et al., 2007]. Dautres tudes ont galement portes sur lextension des techniquesde patchs aux cas non linaires [Rey et al., 2007].

Enfin, on peut galement citer quelques mthodes bases sur la partition de lunitpropose dans [Melenk et Babuska, 1996]. On retrouve la mthode des lments finisgnraliss GFEM [Strouboulis et al., 2000] et la mthode des lments finis tendus


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XFEM [Mos et al., 1999, Haboussa et al., 2011, Pommier et al., 2011]. Un problmede propagation de fissure est prsent sur la Figure 1.6. Lespace dapproximation EF estenrichi par des fonctions provenant dune certaine connaissance que lon a a priori du

problme. Concernant la mthode des lments finis tendus, elle utilise la partition de

lunit pour introduire diverses sortes de discontinuit sans toutefois modifier le maillage.

Les principales fonctions employes sont les fonctions Heaviside pour les discontinuits

et les solutions asymptotiques pour les champs en pointe de fissure. En ce qui concerne la

mthode des lments finis gnraliss, elle propose dintroduire des fonctions permettant

de prendre en compte le comportement local de certaines zones par lintermdiaire de

problmes lmentaires, nomms handbooks , rsolus a priori une chelle fine.

FIGURE 1.6: Problme de propagation de fissure trait par XFEM [Mos et al., 1999]

2.3 Les techniques de dcomposition de domaine sans recouvrement

Le principe de ces mthodes est de traiter un problme de grande taille en partition-

nant le domaine global en n sous-domaines que lon traite sparment. Dans ce cas, la

modlisation du problme permet de discrtiser la gomtrie de faon plus ou moins fine

en fonction du domaine tudi. Une illustration de cette approche par la mthode LaTIn

est prsente sur la Figure 1.7.Pour rsoudre le problme global, les quations sont crites lintrieur de chaque

sous-domaine et les conditions de raccord sont crites sur chaque interface. On distingue

trois grandes familles. On se propose de les lister ci-dessous sans entrer dans les dtails

de chacune :

les approches primales, Balancing Domain Decomposition (BDD) [Mandel, 1993] ;

les approches duales, Finite Element Tearing and Interconnecting (FETI) [Farhat

et Roux, 1991], FETI2 [Farhat et al., 1996], FETI-DP (Dual-primal FETI method)

[Farhat et al., 2001]. Un exemple de maillage utilis par la mthode FETI est pr-

sent sur la Figure 1.8 ; les approches mixtes, Lagrangien augment [Fortin et Glowinski, 1983, Glowinski

et Le Tallec, 1990], LaTIn micro/macro [Ladevze, 1999, Ladevze et al., 2001],


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FIGURE 1.7: Maillage micro conforme la gomtrie et maillage macro dinterface dunepoutre fissure [Guidault, 2005]

FIGURE 1.8:Maillage dun panneau raidi utilis par une approche FETI-DP [Farhat et al.,

2001]


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FETI 2-champs [Series et al., 2003].Une prsentation des principales mthodes de dcomposition de domaine sans recouvre-ment est propose dans [Gosselet et Rey, 2006].

2.4 Conclusions

Dans cette partie, nous avons brivement prsent les principales mthodes existantes

pour le calcul de problmes linaires ou non linaires de grande taille. Les problmes

traits sont principalement caractriss par lobservation de phnomnes mcaniques pr-

sents diffrentes chelles. Ils doivent donc tre rsolus en prenant en compte ces diff-

rentes chelles tout en surmontant les difficults numriques quils engendrent. Une pre-

mire famille dapproches globales-locales permettent le traitement danalyses fines

locales pilotes par des conditions aux limites issues dun modle grossier global. Ces

approches ne permettent pourtant pas, dans la plupart des cas, de prendre en compte les

effets du modle local sur le modle global.

Une seconde famille de mthodes est base sur les calculs multichelles. Ces m-

thodes sont utilises lorsque quune distinction entre lchelle micro et lchelle ma-

cro peut tre faite. Les problmes sont traits soit indpendamment, soit en superposant

ou en associant les deux modles dans un mme calcul.

Enfin, les techniques de dcomposition de domaine permettent de traiter des pro-

blmes condenss aux interfaces de faon itrative ou parallle. Ces mthodes sont trs

efficaces lors de la rsolution de problmes de trs grande taille.

Nous nous plaons ici dans le cadre dune tude ralise pour le dimensionnement

dun assemblage de structures en aronautique. Les familles de rsolution les plus utili-

ses ce jour dans lindustrie sont les approches descendantes, avec pilotage des condi-

tions aux limites en dplacement ou en effort. Cest dans ce cadre que nous allons pro-

poser une stratgie de dimensionnement de structure boulonne avec prise en compte des

phnomnes alatoires. En effet, les mthodes multichelles (except les analyses descen-

dantes) et de dcomposition de domaine sont trop coteuses vis--vis des objectifs de la

stratgie. De plus, les analyses descendantes tant frquemment utilises dans le domaine

industriel, il sera dautant plus simple dintgrer la stratgie propose dans un processus

de dimensionnement. Le but de la stratgie est dintgrer les phnomnes alatoires lors

de lanalyse globale pour avoir une connaissance des cas extrmes de sollicitation de la

structure. Lanalyse locale, qui ne sera pas tudie dans ce manuscrit, se basera ensuite sur

les rsultats issus de lanalyse globale en fonction des diffrents cas extrmes calculs.

3 Modlisation des fixations

La mthode de rsolution ayant t dfinie dans la partie prcdente, nous allons main-

tenant nous intresser au modle global de lanalyse descendante, et plus particulirement

au modle de fixation. En effet, sur les structures aronautiques, les sous-ensembles sont

principalement constitus de structures minces raidies et assembles par des fixations,


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Modlisation des fixations 19

rivetes ou boulonnes. La Figure 1.9 prsente une chane de montage de lA320 dAir-bus sur laquelle on peut apercevoir les fuselages. La Figure 1.10 prsente plus en dtaillassemblage entre deux panneaux du fuselage.

FIGURE 1.9: Chane de montage de lAirbus A320 [Airbus]

Un tat de lart non exhaustif concernant la modlisation des jonction boulonnes est

effectue dans cette partie. Nous distinguerons les approches suivantes :

les approches empiriques ;

les approches analytiques ;

les approches numriques.

Plusieurs travaux ont t mens pour identifier et simuler les assemblages boulonns ou

rivets. Nous nous limiterons dans notre cas ltude du comportement sans endomma-

gement des fixations. En effet, le modle de fixation choisi sera employ dans un modle

simple de structure, les phnomnes dendommagement seront analyss ultrieurement

partir de lanalyse locale.

3.1 Les approches empiriques

Ces types dapproches consistent principalement identifier le comportement dune

fixation boulonne partir dune srie dessais. Les formules obtenues correspondent la

flexibilit des fixations en simple ou double cisaillement (cf. Figure 1.11). Parmi toutes

les formules existantes, nous pourrons voquer les suivantes :

formule de Tate et Rosenfeld [Tate et Rosenfeld, 1946] ;

formule de Boeing [Huth, 1986] ;

formule de Swift [Swift, 1971] ;


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FIGURE 1.10: Schma dune jonction circonfrentielle du fuselage [EADS]

FIGURE 1.11: Configuration dun assemblage en simple (gauche) et double (droite) re-couvrement


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formule de Huth [Huth, 1986] ; formule de Niu [Niu, 1988] ; formule de Cope et Lacy [Cope et Lacy, 2000].

Nous allons dtailler la formulation principalement utilise chez EADS IW lors de la mo-dlisation des fixations : la formulation de Huth. Puisque les formules semi-empiriques

existantes ne sont applicables que sur un nombre restreint de gomtries de fixations, H.

Huth a permis ltude sur une plus large gamme de configurations : les fixations boulon-

nes et rivetes, simple et double recouvrement. La Figure 1.12 prsente les mesures

effectues lors de ses essais. Lobjectif de ltude est de pouvoir valuer la tenue en fatigue

FIGURE 1.12: Schma des dformations obtenues en simple et double cisaillement [Huth,

1986]

dun assemblage boulonn. Pour cela, la connaissance de la rpartition de charge entre les

boulons est ncessaire. Enfin, une tude de la rigidit des fixations est effectue pour en

dduire la rpartition des charges. Les paramtres gomtriques et matriaux supposs

influencer le comportement de la fixation sont :

les matriaux des plaques ;

la longueur de serrage des conditions aux limites ;

le diamtre de la fixation ;

le matriau de la fixation ;

la configuration simple ou double recouvrement.

Les essais ont t effectus dans les conditions suivantes :

assemblage mtallique boulonn ;

assemblage mtallique rivet ;


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assemblage en composite carbone/epoxy boulonn.Les boulons sont soit en acier, soit en titane. Les rivets sont quant eux en aluminium.

Les campagnes dessais permettent dtablir la formule suivante :

C =

(t1+ t22d

)ab

n

(1

t1E1+

1

nt2E2+

1

2t1E3+

1

2nt2E3

)(1.1)

C, ti, d et Ei tant respectivement la flexibilit de la fixation, les paisseurs des deux

plaques (i = {1,2}), le diamtre des fixations et les modules dYoung des matriaux desdeux plaques (i = {1,2}) et de la fixation (i = 3). La Figure 1.13 prcise la numrota-tions des diffrentes pices. n vaut 1 (resp. 2) en simple (resp. double) cisaillement. La

FIGURE 1.13: Numrotation des pices

Table 1.1 prsente les valeurs des coefficients a et b.

Assemblage a b

mtallique boulonn 2/3 3,0mtallique rivet 2/5 2,2carbone/epoxy boulonn 2/3 4,2

TABLE 1.1: Valeurs des coefficients a et b

Cette dfinition de la flexibilit de la fixation est principalement utilise lors de calculs

mettant en uvre des modles de structure de trs grandes dimensions, dans lesquels les

fixations ne peuvent tre reprsentes en dtails.

3.2 Les approches analytiques

Dans cette partie, nous prsentons les travaux mens pour construire des modles

analytiques de fixations. Le plus souvent, les paramtres de ces modles sont identifis

grce des essais. Les premiers types de travaux effectus concernent la modlisation descontraintes et des transferts de charge obtenus dans un assemblage boulonn charg.

Nous allons tout dabord prsenter les diffrents modles qui ont t dvelopps pour

la statique. Ces modles de fixations ont t pour la plupart identifis sur des essais rels.

Lanalogie entre la distribution de charges et un montage lectrique de rsistances est

tudie dans [Ross, 1947] (Figure 1.14). Une tude analytique prenant en compte les


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FIGURE 1.14: Rseau lectrique quivalent un assemblage de n+ 1 fixations [Ross,1947]


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effets thermiques est effectue dans [Yen, 1978]. Dans [Yang et Ye, 1990], une tude

analytique permet de retrouver galement la direction des charges sur chaque fixation.

[Bortman et Szab, 1992] prsente un modle analytique bidimensionnel (Figure 1.15)prenant en compte le frottement pour obtenir les contraintes au voisinage de la fixation.Dautres travaux ont galement t mens sur le couple de serrage des fixations [Nassar

FIGURE 1.15: Schma du modle non linaire de Bortman [Bortman et Szab, 1992]

et al., 2005], la perte de prcharge [Yang et Chang, 2006, Jaglinski et al., 2007] et leurinfluence sur la distribution des efforts sur les fixations.

La modlisation des phnomnes de fatigue [Barrois, 1978, Madenci et al., 1998, DeMatteis et Landolfo, 1999] et de rupture [Tong, 2000] sont galement proposs commecadres dapplication.

Dans le domaine de la dynamique, lobjectif principal des modles analytiques est decaractriser les effets dissipatifs tels que dcrits dans [Esteban et Rogers, 2000]. Des mo-dles rcents ont galement t dvelopps dans [Ahmadian et Jalali, 2007b, Jalali et al.,2007]. Le modle de fixation dvelopp dans [Ahmadian et Jalali, 2007b] est construit partir de plusieurs ressorts en translation et torsion, linaires et non linaires, associs un amortisseur en torsion (cf. Figure 1.16).

De nombreuses reprsentations ont t dveloppes sur la base du modle rhologiquedIwan [Hartwigsen et al., 2004, Song et al., 2004, Shiryayev et al., 2007, Segalmanet Starr, 2008, Miller et Dane Quinn, 2009] (cf. Figure 1.17). On peut galement noterdautres modles construits pour des applications au crash dans [Langrand et Combescure,2004].

3.3 Les approches lments finis

Les modles de fixation fonds sur lapproche lments finis sont les plus rpan-dus actuellement. limage des reprsentations analytiques, les premiers modles num-riques ont gnralement pour objectif de simuler la distribution des contraintes au voisi-nage de la fixation [Baumann, 1982] (lments poutre), [Ingvar Eriksson, 1986] (modle2D) (cf. Figure 1.18). galement on retrouve des travaux effectus sur la rigidit et perte


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FIGURE 1.16: Montage et modle dynamiques raliss dans [Ahmadian et Jalali, 2007b]

FIGURE 1.17: Schma du modle rhologique dIwan parallle-srie (gauche) et srie-parallle (droite) [Segalman et Starr, 2008]


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FIGURE 1.18: Modles lments finis membrane/poutre (gauche) [Baumann, 1982] et2D (droite) [Ingvar Eriksson, 1986]

de le rigidit des fixations dans [Alkatan et al., 2007, Lehnhoff et Bunyard, 2001] (rigiditaxiale) (cf. Figure 1.19) et [Ding et Dhanasekar, 2007, Izumi et al., 2005, Zhang et al.,2007] (perte de prcharge). Du fait des dveloppements des modles multidimensionnels,

FIGURE 1.19: Modle lments finis employ pour ltude de rigidit axiale dans [Alka-tan et al., 2007]

la reprsentation de la gomtrie des fixations ainsi que ses comportements non linairesont pu tre pris en compte de manire plus prcise. De trs nombreux travaux ont ainsit mens suivant ce modle : en 2D [Kim et Kim, 1995] mais surtout en 3D [Cham-

paney et al., 2007, Chen et al., 1995, Ekh et al., 2005, Kelly, 2005, Kelly et Hallstrm,

2004, McCarthy, 2005, McCarthy et al., 2005, McCarthy et McCarthy, 2005, Soo Kim et

Kuwamura, 2007] (cf. Figure 1.20), certains modles y incluant de la dgradation du ma-triau [Riccio et Scaramuzzino, 2002, Tserpes et al., 2002]. Les phnomnes de fatigue

sont galement traits dans [Kelly, 2006, Chakhari et al., 2008, Leray et al., 2008].

Pourtant, les modles qui nous intressent le plus ici sont ceux pouvant reprsenter

une gomtrie 3D tout en employant des lments finis les plus simples possibles. Ces


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FIGURE 1.20: Modles lments finis 3D non linaires issus de [McCarthy et al., 2005](gauche) et [Champaney et al., 2007] (droite)

modles reprsentent un bon compromis pour le calcul de structures de grande taille.Certains de ces modles ont t dvelopps dans [Ekh et Schon, 2008, Gant et al., 2011,Kim et al., 2007] (cf. Figure 1.21).

FIGURE 1.21: Quatre types de modlisation simplifie employs dans [Kim et al., 2007]

Enfin, en dynamique des structures, des lments simples avec amortissement ont tdvelopps [Ahmadian et Jalali, 2007a, Mayer et Gaul, 2007], mais aussi des lmentsspcifiques pour les chocs pyrotechniques [de Benedetti et al., 2007] ou encore les crashs[Combescure et al., 2003].

3.4 Conclusions

Dans cette partie, nous avons prsent les principaux travaux effectus dans la littra-ture concernant la modlisation des liaisons boulonnes et rivetes. En vue dune utilisa-


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tion au niveau global dune analyse descendante, les modles de fixation doivent pouvoirtre utiliss en nombre sur de grandes structures. Les modlisations non linaires sontcartes de notre stratgie car cela entranerait une utilisation de ressource numrique tropimportante. Nous choisissons donc un modle linaire applicable au cas de la statique. De

faon similaire aux mthodes de dimensionnement appliques dans lindustrie, les mo-

dles seront crs sous des logiciels lments finis. Dans nos exemples, ABAQUS/CAE

sera utilis. Nous avons donc la possibilit dutiliser des lments connecteur pour repr-

senter les liaisons. Afin de reprsenter au mieux la gomtrie des pices, le comportement

global de la structure et avoir un temps de calcul raisonnable, les lments de structure

sont modliss par des lments plaque linaires et les fixations par des connecteurs (cf.

[Ekh et Schon, 2008, Gant et al., 2011, Kim et al., 2007]). Les raideurs orthogonales des

connecteurs laxe de la vis auront une valeur a priori dfinie par la formule de Huth (cf.

quation (1.1)). La raideur quivalente du connecteur selon laxe de la vis sera dfinie en

fonction du matriau et de la gomtrie de la vis.

4 Recalage de modle

Le modle de fixation a t choisi dans la partie prcdente. Bien que les valeurs des

raideurs soient tires de la formule de Huth, le comportement correspondant ne con-cide pas avec le comportement rel dans la plupart des cas. tant donn que le modledincertitudes sera fond sur ce modle dterministe, une mauvaise reprsentation dter-ministe du rel entranera une mauvaise reprsentation des variations de comportementde la structure.

Lobjectif de cette partie est de pouvoir matriser le modle de fixation pour se rappro-cher au mieux du comportement moyen dune famille de structures. Pour cela, nousallons introduire la notion de recalage de modle. Tout dabord, nous allons dfinir lesdiffrents niveaux de modlisation qui seront manipuls lors de la matrise de modle.Ensuite, un bref tat de lart sera prsent concernant les mthodes de recalage de mo-dle. tant donne limportance des applications au cas de la dynamique des structures,ces mthodes seront dtailles pour ce domaine dapplication.

4.1 Les modles considrs

Dans cette partie, nous allons comparer trois types de modlisation : le modle exprimental ; le modle continu ; le modle numrique.Lors des exprimentations sur une structure relle, les donnes acquises reprsentent

le modle exprimental. Elles correspondent la rponse qui traduit le comportement relde la structure tudie. Ce modle prsente certaines limitations :

il est entach derreurs dues au processus de mesure ;


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Recalage de modle 29

il est incomplet car les donnes ne sont obtenues quen un nombre fini de points,pour un certain nombre de sollicitations, . . .

La Figure 1.22 prsente le dispositif exprimental mis en uvre EADS IW pour lajonction boulonne que lon tudiera au Chapitre 2.

FIGURE 1.22:Dispositif exprimental dtude dune jonction boulonne [Guinard, 2003]

Du ct du modlisateur, la structure peut tre reprsente par un certain domainethorique dfini par des dimensions nominales issues de la conception de la structure. partir de plusieurs hypothses, la rponse de la structure peut thoriquement se calculeren dfinissant :

les conditions initiales et conditions aux limites ; les quations dquilibre ; les relations de comportement.

Gnralement, les plus grandes incertitudes sont associes aux hypothses effectues surles relations de comportement. Nous verrons par la suite que dans notre cas, cest princi-palement ces hypothses qui nous conduisent procder un recalage de modle.

Bien que le modle continu (cf. Figure 1.23) soit dfini facilement, il existe trs peude problmes dont la solution analytique est connue. Dans la plupart des cas, nous avons

recours une solution approche numriquement, le plus souvent avec la mthode des

lments finis [Zienkiewicz et Taylor, 1984]. La Figure 1.24 prsente un maillage l-ments finis 3D dune jonction boulonne. Applique la dynamique des structures, cette

mthode permet dcrire le problme rsoudre sous la forme suivante :

[K]{u}+[B]{u}+[M]{u}= { f} (1.2)


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FIGURE 1.23: Modle continu de fixation aux dimensions nominales

FIGURE 1.24: Maillage 3D dune jonction boulonne


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[K], [M] et [B] sont respectivement les matrices de raideur, de masse et damortissementdu modle lments finis, {u}, {u} et {u} les vecteurs nodaux de dplacement, vitesseet acclration du modle, et { f} le vecteur force gnralis. On notera que le modlemcanique utilis ne prsente pas de non-linarits. En effet, pour le type dassemblagetudi ici, les non-linarits dues au contact seront englobes dans le concept des mcon-naissances introduit dans le Chapitre 3.

La solution de cette quation permet de calculer le dplacement, la vitesse et lacc-lration en chaque point de la structure. En dynamique, et sans travailler dans le domainefrquentiel, on peut supposer que le dplacement et la force impose peuvent scrire sousla forme :

{u}= {U}sin(t) (1.3){ f}= {F}sin(t) (1.4)

{U} et {F} tant respectivement les amplitudes de {u} et { f}, et et leur phase. Lesexpressions (1.3) et (1.4) peuvent se rcrire sous la forme :

{u}= {U}(cossint sincost)

= {U}coseit eit

2i{U}sine

it + eit

2

= {U}(cos2i

sin2

)eit +{U}

(cos2i

sin2

)eit

=12

[{U}eit +{U}eit

](1.5)

{U} tant un vecteur complexe contenant les informations damplitude et de phase, et{U} son complexe conjugu. Nous utiliserons la notation suivante dans la suite deltude :

{u}= 12

[{U}eit +{U}eit] (1.6){u}= 1

2

[{iU}eit +{iU}eit] (1.7){u}= 1

2

[{2U}eit +{2U}eit] (1.8)Lquation (1.2) peut donc se rcrire sous la forme suivante :

([K]2[M]+ i[B]){U}= {F} (1.9)

Rappelons que {U} et {F} sont des vecteurs complexes. Les couples (i,{i}) sontintroduits pour rsoudre le problme suivant :

([K]2i [M]){i}= 0 (1.10)


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i et {i} sont nomms respectivement frquences propres et modes rels du systmenon amorti. Lorsque le modle possde N degrs de libert, il existe N couples (i,{i})solutions de lquation (1.10). On peut dtailler lcriture de ce couple de la faon sui-

vante :

[] =[

1 2 N]

(1.11)

[] =

1 0 0 00 2 0 0

0 0. . . 0

0 0 0 N

(1.12)Les modes propres sont ensuite normaliss par la masse. On a alors les relations suivantes :

[]T [K][] = [] (1.13)

[]T [M][] = [I] (1.14)

I tant la matrice identit.

4.2 Matrise des carts entre modles

Cette partie est centre autour des mthodes permettant de contrler et de rduire les

carts entre les diffrents modles dfinis prcdemment. La Figure 1.25 prsente les

diffrents domaines de calcul dcart entre modles.

4.2.1 Vrification de modle

Le passage du modle continu au modle numrique approch entrane forcment un

cart de rponse entre eux deux. La problmatique ici est de pouvoir quantifier cet cart.

Les premiers travaux ont t effectus pour des problmes lastiques linaires. Pour cela,

trois grandes familles de mthodes existent actuellement dans le domaine de lestimation

derreur :

les techniques fondes sur les rsidus dquilibre [Babuska et Rheinboldt, 1979] ;

les techniques fondes sur le concept derreur en relation de comportement [Lade-

vze et Leguillon, 1983] ;

les techniques fondes sur le lissage des contraintes de la solution numrique [Zien-

kiewicz et Zhu, 1987].

Les dveloppements ayant eu lieu au LMT Cachan ont principalement t effectus sur le

concept derreur en relation de comportement. Plusieurs avances ont t proposes pour

les problmes de non linarit matriaux [Ladevze, 2000], le contact [Coorevits et al.,

2000], les vibrations [Ladevze et Pelle, 1989], la dynamique [Ladevze et Waeytens,

2009] ou encore la dynamique rapide [Combe et al., 1999].


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FIGURE 1.25: Problmatique de matrise des modles


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4.2.2 Validation de modle

Dans cette partie, nous prsentons les diffrentes mthodes dveloppes pour am-liorer la qualit dun modle numrique par rapport au modle exprimental associ. En

effet, lorsque la qualit du modle numrique par rapport aux mesures nest pas suffisante,

il doit gnralement subir un recalage. On distingue deux grandes familles de mthodes

de recalage :

les mthodes directes : ces mthodes consistent corriger directement les opra-teurs dfinissant le problme sans retour dinformations sur la modification phy-sique du modle ;

les mthodes indirectes ou paramtriques : ces mthodes ont pour objectif de mini-miser une erreur entre le modle numrique et les mesures en jouant sur des para-mtres physiques du modle, gnralement en faisant intervenir un processus itra-tif.

Quelques mthodes vont tre prsentes succinctement. Pour plus de dtails, on pourraconsulter une revue des mthodes de recalage faite dans [Mottershead et Friswell, 1993].Les mthodes de recalage sont prsentes ci-dessous dans le cas gnral de la dynamiquede structure. Le recalage effectu dans la stratgie de dimensionnement propose seraapplique en statique dans le Chapitre 3.

Les mthodes directes

Mthodes de Norme minimale . Le principe de ces mthodes consiste trouverune correction des matrices [K] et [M] du modle numrique. partir de larrangementdes modes exprimentaux Ui en colonne dans la matrice [U ], les corrections [K] et [M]symtriques sont dfinies telles que :

[M] minimise[M]1/2[M][M]1/2 (1.15)

sous la contrainte dorthogonalit qui scrit pour des modes normaliss en masse :

[U ]T [M+M][U ] = I ; (1.16)

[K] minimise[M]1/2[K][M]1/2 (1.17)

sous la contrainte dorthogonalit et dquilibre modal :

[U ]T [K+K][U ] = [] (1.18)

[K+K][U ] [][M+M][U ] = [0] (1.19)


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La norme matricielle [] employe est la norme de Frobenius dfinie par :

[A]=n

i=1

n

j=1

A2i j (1.20)

[A] tant une matrice carre dordre n. Comme nonc prcdemment, le principal dfautde ces mthodes est que les corrections apportes nont pas de sens physique. En effet,

il peut arriver que les corrections entranent des structures de matrices non conformes

la construction des matrices lments finis. Plusieurs amliorations concernant ce sujet

ont t proposes dans [Kabe, 1985] puis [Smith et Beattie, 1991].

Certains travaux rcents sur les corrections de matrices de rang minimum permettent

une modification plus locale des matrices. Ces travaux peuvent tre consults dans [Zim-

merman et Kaouk, 1994, Zimmerman et Simmermacher, 1995, Zimmerman et al., 1996]

et [Doebling, 1996].

Mthodes Matrix mixing . Ces mthodes proposent de construire directement

les matrices [K] et [M] partir des modes mesurs de la faon suivante :

[M]1 = [U ]T [U ] (1.21)

[K]1 = [U ]T []1[U ] (1.22)

Ces mthodes ncessitent que tous les modes du modle numrique soient mesurs expri-

mentalement, ce qui rend leur utilisation trs peu pratique. Leur premiers dveloppements

ont t proposs dans [Ross, 1971, Thoren, 1972]. Des amliorations ont galement t

effectues dans le cas o certains modes ne sont pas connus (cf. [Link et al., 1987]).

Mthodes issues de la thorie du contrle. Elles sont galement nommes Ei-

genstructure Assignement Method . Elles reposent sur le calcul dun pseudo-contrleur

qui permet de vrifier lquilibre modal. On considre le systme suivant :

[K]{x}+[B]{x}+[M]{x}= [B0]{u} (1.23){y}= [D0]{x}+[D1]{x} (1.24)

{u} et {y} tant respectivement nomms entres et sorties dans le vocabulaire du contrle.{y} peut tre une combinaison linaire de {x} et {x} en tout point du systme. [B0] dis-tribue les entres aux degrs de libert appropris de la structure. On recherche alors une

loi de contrle du type :

{u}= [G]{y} (1.25)[G] tant nomme matrice de gain. On obtient donc lquation suivante :

([K] [B0][G][D0]){x}+([B] [B0][G][D1]){x}+[M]{x}= 0 (1.26)


contexte incertain

tel-0

0675

741,

ver

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