Analyse et correction des systèmes lineaires continus ou échantillionnées a l'aide des variable...

7/30/2019 Analyse et correction des systmes lineaires continus ou chantillionnes a l'aide des variable d'tats

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Analyse et correction des

Systmes linaires continus ouchantillonns l'aide des

variables d'tat

Version 2010

Gonzalo [email protected]

2me anneSemestre vert

Automatique avancefilire EAOI

cole Nationale Suprieure de

Mcanique et des Microtechniques

26, chemin de lpitaphe

25030 Besanon cedex FRANCE

http://intranet-tice.ens2m.fr


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Table des matieres

1 Exemple introductif : fil rouge 7

1.1 Differentes representations dun systeme physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Equations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Reponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.5 Representation detat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Proprietes de la representation detat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Non unicite de la representation detat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Interet de cette representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Resolution des equations detat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3 Generalisation aux systemes variants dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.4 Simulation sur calculateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Obtention des equations detat 17

2.1 Methode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 A partir de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Forme 1 : forme canonique de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Forme 2 : forme canonique dobservabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3 Representation modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.4 Forme canonique de Jordan (forme diagonale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Commandabilite et observabilite des systemes 253.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Que faire si un systeme nest pas observable et/ou commandable . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Retour sur conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2 Reduction de modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Transformation en lune des formes canoniques 29

4.1 Diagonalisation de la matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Consequences pour la commandabilite et lobservabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Cas des valeurs propres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3.1 Diagonalisation classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3.2 Transformation modifiee : Tm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Transformation en la forme canonique dasservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5 Transformation en la forme canonique dobservabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3


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4 TABLE DES MATIERES

5 Stabilite des systemes dynamiques lineaires 35

5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Etude de la stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3 Stabilite au sens de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3.1 Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3.2 Interpretation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3.3 Applications aux systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3.4 Fil rouge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Commande des systemes 39

6.1 Placement de poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.1.1 Calcul du regulateur L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.1.2 Calcul de la matrice de prefiltre S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.2 Cas dune representation quelconque du systeme a asservir . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2.1 Transformation en la forme canonique de commandabilite . . . . . . . . . . . . 41

6.2.2 Theoreme de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3 Commande Modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3.2 Methode de synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4 Choix des poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.5 Commande optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5.2 Stabilite de la commande optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5.3 Choix des matrice R et Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5.4 Exemple : fil rouge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Synthese dobservateurs detat 49

7.1 Introduction au probleme de la reconstruction detat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.1.1 Par calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.1.2 Par simulation du processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.1.3 Par simulation du processus et asservissement sur les parties connues du vecteurdetat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.2 Observateurs de Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.3 Observateurs dordre reduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.3.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.4 Observateur generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.5 Equation detat dun systeme asservi avec observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.5.1 Theoreme de separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.6 Filtrage de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8 Representation detat des systemes lineaires echantillonnes 57

8.1 Systeme discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.2 Resolution des equations dans le domaine du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.3 Application de la transformee en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.4 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.5 Obtention dun modele detat a partir de la fonction de transfert en z . . . . . . . . . 59

8.6 Resolution de lequation detat dans le domaine de z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.7 Commandabilite et observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.7.1 Commandabilite dun systeme echantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.7.2 Observabilite dun systeme echantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.8 Stabilite des systemes echantillonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.9 Commandes des systemes echantillonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


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TABLE DES MATIERES 5

8.9.1 Calcul de la matrice de prefiltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.9.2 Commande optimale dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9 Annales dexamens 63

Devoir personnel Juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Examen final Juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10 Travaux diriges 69


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6 TABLE DES MATIERES


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Chapitre 1

Exemple introductif : fil rouge

1.1 Differentes representations dun systeme physique

C

Soit un moteur a courant continu commande par linducteur.

I = cte

J, fi

u

Fig. 1.1 Moteur a courant continu commande par linducteur

commande : u sortie : Le systeme est monovariable, lineaire invariant dans le temps, il peut donc etre represente par uneequation differentielle a coefficients constants.

1.1.1 Equations fondamentales

Le systeme precedent est decrit par les equations suivantes :

u = Ri + Ldi

dt(1.1)

Jddt

= f + (1.2) = ki (1.3)

(1.4)

1.1.2 Equations differentielles

u = Ri + Ldi

dt(1.5)

Jd

dt + f = (1.6)

= ki (1.7)

(1.8)

7


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8 CHAPITRE 1. EXEMPLE INTRODUCTIF : FIL ROUGE

Jd2

dt2+ f

d

dt= k

di

dt=

k

L(u Ri) = k

L

u R

k

d

dt+ f

(1.9)

Jd2

dt2+

f +

RJ

L

d

dt+

Rf

L =

k

Lu (1.10)

d2

dt2

+ fJ

+ RL d

dt+ Rf

LJ = k

LJu (1.11)

(1.12)

d2

dt2+ a1

d

dt+ a0 = b0u (1.13)

Des lors (t) est connu si u(t) et les deux conditions initiales ((0) et d(0)dt ) sont connues.

1.1.3 Fonction de transfert

En utilisant la transformation de Laplace :

L [e(t)] =0

epte(t)dt, (1.14)

L

de(t)

dt

= pE(p) e(0), (1.15)

nous obtenons la transformee de (1.13) :

p2(p) p(0) (0) + a1(p(p) (0) + a0(p) = b0U(p) (1.16)dou :

(p) =b0

p2 + a1p + a0U(p) +

(0)(a1 +p) + (0)

p2 + a1p + a0(1.17)

Si les conditions initiales sont nulles :

(p) =b0

p2 + a1p + a0U(p) (1.18)

(p)

U(p)=

b0p2 + a1p + a0

= H(p) (1.19)

H(p) est la fonction de transfert du systeme.

1.1.4 Reponse impulsionnelle

Si les conditions initiales sont nulles :

(p) = H(p) U(p) (1.20)En repassant en temporel, la multiplication est transformee en une convolution

(t) = h(t) u(t) =

0h()u(t )d (1.21)

donc

h(t) =k

RJ Lf

efJt eRL t

(1.22)


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1.1. DIFFERENTES REPRESENTATIONS DUN SYSTEME PHYSIQUE 9

1.1.5 Representation detat

Si lon desire realiser une simulation analogique du systeme a partir dintegrateurs, lequation (1.13)peut se mettre sous la forme :

d2

dt2

= b0u

a1

d

dt a0 (1.23)

dou le schema suivant,

b0

a1

a0

u d2dt

ddt

+

(0) (0)

Fig. 1.2 Schema dun simulateur analogique

Les variables detat sont les sorties des integrateurs.

x1 = , x2 =d

dt= (1.24)

Le systeme peut etre represente par les deux equations suivantes,

x1 = x2 (1.25)

x2 = b0u a0x1 a1x2 (1.26)

La representation utilisee classiquement est la representation matricielle, on definit alors un vecteurdetat,

x =

x1x2

(1.27)

Equation detat : x1x2

=

0 1

a0 a1

x1x2

+

0b0

u (1.28)

Equation de sortie :

=

1 0

x1x2

(1.29)

equation detat + equation de sortie = representation detat

Dans le cas general, lecriture de la representation detat est la suivante,

x = Ax + Bu (1.30)

y = Cx + Du (1.31)

Dans les cas qui nous interessent cest-a-dire les systemes a une seule entree et une seule sortie,lecriture generale de la representation detat est la suivante,

x = Ax + Bu (1.32)y = Cx + Du (1.33)

Dimensions : si le vecteur detat est de dimension n, alors


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A est de dimension n lignes n colonnes, B est de dimension n lignes 1 colonne, C est de dimension 1 ligne n colonnes, D est une constante (tres souvent nulle).

1.2 Proprietes de la representation detat

1.2.1 Non unicite de la representation detat

La representation detat nest pas unique, dans lexemple traite jusqua present nous avons choisi levecteur detat suivant

x =

(1.34)

nous aurions pu choisir un autre vecteur detat, par exemple

x =

i

(1.35)

En effet, en reprenant les equations fondamentales du systeme

u = Ri + Ldi

dt(1.36)

Jd

dt+ f = ki (1.37)

avec ce nouveau vecteur detat elle peuvent etre ecrites sous la forme

U = Rx1 + Lx1 (1.38)

Jx2 + f x2 = kx1 (1.39)

dou la representation detat

Equation detat :

x1x2

=

RL 0

k

J f

J x1x2

+

1L0

u (1.40)


=

0 1 x1

x2

(1.41)

Notez que nous naurions pas pu prendre i et didt comme vecteur detat cardidt nest pas une sortie

dintegrateur.

En fait, on peut prendre comme vecteur detat nimporte quelle combinaison lineaire dun vecteurdetat valable.

Soit x = Mx

x = M1AMx + M1Bu (1.42)

y = CMx + Du (1.43)


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1.2. PROPRIETES DE LA REPRESENTATION DETAT 11

1.2.2 Matrice de transfert

En prenant la transformee de Laplace de la representation detat, on obtient,

pX(p) x(0) = AX(p) + BU(p) (1.44)Y(p) = CX(p) + DU(p) (1.45)

B1p C

A

U(p) Y(p)+

+

D

x(0)+ ++

+

Fig. 1.3 Schema general apres transformation de Laplace

les equations (1.44) et (1.45) se reecrivent sous la forme

[pI A] X(p) = x(0) + BU(p) (1.46)Y(p) = CX(p) + DU(p) (1.47)

X(p) = = [pI A]1x(0) + [pI A]1BU(p) (1.48)Y(p) = C[pI A]1 x(0)

C I

+

C[pI A]1B + D

matrice de transfert

U(p) (1.49)

en posant

T =

C[pI A]1B + D

(1.50)

on obtient

Y(p) = TU(p) + C[pI

A]1x(0) (1.51)

Note : dans le cas multivariable (plusieurs entree, plusieurs sorties)

T(i,j)(p) =Yi(p)

Uj(p)(1.52)

Dans le cas SISO la matrice T represente la fonction de transfert du systeme.La matrice T est unique, elle ne depend pas de la representation detat choisie, elle ne depend quedes entrees et des sorties.Demonstration :soit

pX(p) = AX(p) + BU(p) (1.53)Y(p) = CX(p) + DU(p) (1.54)

posons


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X = KX (1.55)

donc

pX

(p) = K1

AKX

(p) + K1

BU(p) (1.56)Y(p) = CKX(p) + DU(p) (1.57)

T = CKpI K1AK1K1B + D en utilisant [AB]1 = B1A1

= CK[KpI AK]1B + D en utilisant [AB]1 = B1A1= C

KpIK1 A1B + D pI est une matrice diagonale

= C[pI A]1B + D CQFD(1.58)

T est bien independante de la representation detat choisie.

1.3 Interet de cette representation

1. Systemes lineaires invariants

simulation du systeme, analogique ou numerique extension aux systemes multivariables notions nouvelles de commandabilite et dobservabilite

2. Systemes lineaires variants (A, B, C, D dependent de t)

simulation3. Systemes non lineaires

simulation, etude de la dynamique

4. Quest-ce que letat ? letat dun systeme a un instant donne represente la memoire minimale du passe necessaire a

la determination du futur. les variables detat doivent apporter une description interne du systeme et on choisit celles

pour lesquelles on peut definir letat initial, cest-a-dire celles qui decrivent des reservoirsdenergie

1.4 Resolution des equations detat

soit le systeme :

x = Ax + Bu

y = Cx + Du (1.59)

1.4.1 Cas simple

Dans le cas simple ou x ne contient quun seule composante, ce systeme devient

dx

dt= ax + bu (1.60)

En regime libre, la solution estx(t) = keat (1.61)

En regime force, la methode de la variation de la constante donne


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1.4. RESOLUTION DES EQUATIONS DETAT 13

x(t) = k(t)eat (1.62)

ak(t)eat + k(t)eat = ak(t)eat + bu(t) (1.63)

k(t) = bu(t)eat (1.64)

k(t) =t0

bu()ead + cte (1.65)

dou

x(t) = eatt

0bu()ead + cte

(1.66)

en identifiant x(0) = x0

x(t) = eatt

0bu()ead

+ eatx0 (1.67)

en generalisant

x(t) =

tt0

bu()ea(t)d + ea(tt0)x(t0). (1.68)


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1.4.2 Cas general

x(t) = eAtt

t0

eABu()d

+ eA(tt0)x(t0) (1.69)

Definition :

eAt = 1 + At +1

2(At)2 +

1

3!(At)3 + (1.70)

proprietes de eAt

eAteBt = e(A+B)t si AB = BA (1.71)

d

dteAt = AeAt (1.72)

t2

t1

eAd = A1 eAt2 eAt1 = eAt2 eAt1A1 (1.73)1.4.3 Generalisation aux systemes variants dans le temps

En posant (t, t0) solution de lequation

(t, t0) = A(t)(t, t0) (1.74)

alors

x(t) =

tt0

(t, )B()u()d + (t, t0)x(t0) (1.75)

Sauf dans quelques cas particuliers, cette equation est irresolvable.

dans le cas particulier ou la matrice A est diagonale la solution est de la forme

(t, t0) = exp

tt0

A()d

(1.76)


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1.4. RESOLUTION DES EQUATIONS DETAT 15

1.4.4 Simulation sur calculateur

Equation generale, en posant t = kTe

x((k + 1)Te) = eA(k+1)Te

(k+1)Te

kTe

eABu()d+ eATex(kTe) (1.77)Hypothese u(t) = cte entre kTe et (k + 1)Te,

x((k + 1)Te) = eA(k+1)Te

eA(k+1)Te eAkTe

A1Bu(kTe) + e

ATex(kTe) (1.78)

x((k + 1)Te) =

1 eATeA1Bu(kTe) + eATex(kTe) (1.79)x((k + 1)Te) =

Te +

Te2

2A +

Te3

3!(A)2 +

Bu(kTe) + e

ATex(kTe) (1.80)

simplification : Methode dEuler

x((k + 1)Te) = 1 eATeA1Bu(kTe) + eATex(kTe) (1.81)avec un developpement au premier degre,

x((k + 1)Te) = TeBu(kTe) + (1 + ATe)x(kTe) (1.82)

Verification dans le cas simple

dx

dt=

x((k + 1)Te) x(kTe)Te

(1.83)

et

dx

dt= ax + bu (1.84)

x((k + 1)Te) x(kTe) = Teax(kTe) + Tebu(kTe) (1.85)

x((k + 1)Te) = (Tea + 1)x(kTe) + Tebu(kTe) (1.86)

Vous etes maintenant capables simuler sur un ordinateur le comportement dun systeme donne sousla forme dune representation detat. Notez que, si le systeme est invariant dans le temps, le choixde Te nest pas crucial. Les termes

1 eATe

A1B eteATe de lequation (1.81) peuvent etre pre-

calcules une fois pour toutes. Dans le cas contraire il vaut mieux choisir Te suffisamment petit pourque lequation (1.82) soit valable.


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Chapitre 2

Obtention des equations detat

2.1 Methode directe

La methode qui donne le maximum dinformations est celle qui consiste a determiner la representationdetat directement a partir des equations de la physique appliquees au systeme considere.

2.2 A partir de la fonction de transfert

Souvent, les systemes physiques sont donnes sous la forme dune fonction de transfert, les paragraphessuivants traitent du passage de la fonction de transfert vers la representation detat.Tout systeme monovariable peut etre represente sous la forme

Y(p)

U(p)=

b0 + b1p + b2p2 + + bmpm

a0 + a1p + a2p2 + + anpn (2.1)

En general m < n, car les systemes physiques sont filtrants, quelquefois , m = n.

2.2.1 Forme 1 : forme canonique de commandabilite

Lequation (2.1) peut se decomposer sous la forme suivante

Y(p)

W(p) W(p)

U(p)avec

W(p)

U(p)=

1

a0 + a1p + a2p2 + + anpn (2.2)

sous cette forme, nous pouvons en deduire que

U(p) = a0W(p) + a1pW(p) + a2p2W(p) + + anpnW(p) (2.3)

donc,U(p) = a0W(p) + a1W(p) + a2W(p) + + an

nW (p) (2.4)

dou le choix du vecteur detat

x =

W

W...

(n1)

W

=

x1x2...

xn

(2.5)on en deduit

x1 = x2x2 = x3

...xn =

1an

U(p) a0an x1 a1an x2 + an1an

xn

(2.6)

17


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18 CHAPITRE 2. OBTENTION DESEQUATIONS DETAT

y = b0x1 + b1x2 + b2x3 + + bn1xn + bn

1

anU(p) a0

anx1 a1

anx2 + an1

anxn

(2.7)

la representation detat est alors, dans le cas n = m

x1x2...xn1

xn

=

0 1 0 . . . 0

0 0 1 0...

.... . .

. . . 00 0 0 1

a0an a1an a2an an1an

x1x2...

xn1xn

+

00...01an

u (2.8)

y =

b0 a0

anbn, , bn1 an1

anbn

x1x2...

xn1xn

+bnan

u (2.9)

Dans le cas nettement plus frequent ou m < n et apres simplification par an, le systeme est plussimple

x1x2...xn1

xn

=

0 1 0 . . . 0

0 0 1 0...

.... . .

. . . 00 0 0 1

a0 a1 a2 an1

x1x2...

xn1xn

+

00...01

u (2.10)

y = [b0, b1, , bm, 0, , 0]

x1x2...

xn1xn

(2.11)

2.2.2 Forme 2 : forme canonique dobservabilite

Dans le cas ou m < n et apres simplification par an,

x1x2...xn1

xn

=

0 0 . . . 0 a01 0 . . . 0 a10 1

. . ....

......

. . . 0 an20 0 1 an1

x1x2...

xn1xn

+

b0

b1...

bm0...0

u (2.12)

y = [0,

, 0, 1]

x1x2...

xn1xn

(2.13)Noter la symetrie des deux formes canoniques, transposition par rapport a la diagonale principale.


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2.2. A PARTIR DE LA FONCTION DE TRANSFERT 19

2.2.3 Representation modale

La representation modale consiste a choisir le vecteur detat tel que la matrice A soit diagonale etfasse apparatre les valeurs propres du systeme.Valeurs propres dune matrice,

det[I A] = 0 (2.14)Sil y a n valeurs propres distinctes, il y a aussi n vecteurs propres vi tels que

[iI A] vi = 0 (2.15)dou lon en deduit une matrice de passage

P(n,n) =

v1, v2, , vn

(2.16)

le nouveau vecteur detat est x tel que

x = Px (2.17)

La nouvelle matrice detat est donc

A = P1AP =

1 0 00 2

......

. . . 00 0 n

(2.18)

2.2.4 Forme canonique de Jordan (forme diagonale)

Methode : decomposition en elements simples de la fraction rationnelle G(p)

Cas ou tous les poles sont simples

Y(p) =

n

i=1

rip i + r0

U(p)

ou r0 = 0 si m = nChoix des variables detat :

Xi(p) =1

p i U(p), i = 1, 2, , n

doncY(p) =

ni=1

riXi(p) + r0U(p)

En prenant la transformee de Laplace inverse

xi = ixi + u, i = 1, 2, , ny =

ni=1 rixi + r0u

Ecriture matricielle

x1x2...xn1

xn

= 1 0 . . . 0

0 2 0...

.... . . 0

0 0 n

x1x2...

xn1xn

+11

...11

u (2.19)


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y = (r1, r2, , rn)

x1x2...

xn1xn

+ r0u (2.20)

1/p

1

x1(0)

1/pX1

1/p

n

xn(0)1/p

Xn

1/p

2

x2(0)

1/p

X2

1

1

1

r1

r2

rn

YU

r0

.

..

Fig. 2.1 Graphe de fluence de la representation detat sous la forme canonique de Jordan


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Cas dun pole multiple

soit 1 dordre q donc

Y(p) = r1p 1 + + rq(p 1)q +n

i=q+1ri

p i+ r0U(p)

Choix des variables detat

X1 =1

p 1U, X2 =1

(p 1)2U, , Xq =1

(p 1)q U

Xi =1

p i U, i = q+ 1, , n

dou

X2

=1

p 1X1

, X3

=1

p 1X2

,

, Xq

=1

p 1X

q

1

En prenant la transformee de Laplace inverse

x1 = 1x1 + ux2 = 1x2 + x1

... =...

xq = 1xq + xq1xi = ixi + u, i = q+ 1, , ny =

ni=1 rixi + r0u


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Ecriture matricielle

x1x2...

xqxq+1...

xn

=

11 1

. . .. . .

1 1q+1

. . .

n

x1x2...

xqxq+1

...xn

+

10...01...1

u (2.21)

y = (r1, r2, , rq, rq+1, , rn)

x1x2...

xqxq+1

...xn

+ r0u (2.22)

Matrice du systeme obtenue : forme reduite de JordanGraphe correspondant :

1/p

1

xq(0)

1/pXq

1/p

n

xn(0)1/p

Xn

1/p

q+1

xq+1(0)

1/p

Xq+11

1

rq

rq+1

rn

YU

r0

..

.

1/p

1

x2(0)

1/p

X2

1/p

1

x1(0)

1/pX1

1

r1

r2

Fig. 2.2 Graphe de fluence de la representation detat sous la forme canonique de Jordan

Remarque 1 : Dans le cas de plusieurs poles multiples, a chaque pole correspond un sous bloc deJordan carre q q, avec la valeur de ce pole sur la diagonale et 1 sur le sous diagonale.Remarque 2 : Les variables detat ne sont plus entierement decouplees.


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Cas dune paire de poles complexes conjugues

2 solutions :

1. Etablir une forme reduite de Jordan comme precedemment avec des variables detat complexes.

2. Rechercher une representation autre que diagonale, ou tous les coefficients sont reels. (voir

4).

Exemple :Equation detat :

x1x2

=

a +jb 0

0 a jb

x1x2

+

11

u (2.23)


=

c c x1

x2

(2.24)

Dans cet exemple, les variables detat sont des fonctions complexes conjuguees.

Le changement de variable z = Mx avec M =

1 1j

j

permet de transformer le systeme precedent

en :Equation detat :

z1z2

=

a bb a

z1z2

+

20

u (2.25)


=

Re(c) Im(c) z1

z2

(2.26)

En resume

A =

a b 0 0 0b a 0 0 00 0 c 0 00 0 0 d 10 0 0 0 d

poles complexes conjugues a jb

pole reel cpoles reels dordre 2 d

(2.27)

;

B =

20101

poles complexes conjugues a jbpole reel cpoles reels dordre 2 d

(2.28)


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Chapitre 3

Commandabilite et observabilite dessystemes

Probleme : Peut-on a partir des commandes u(t) controler letat du systeme cest-a-dire x(t) ? probleme de commandabilite.

Peut-on a partir de lobservation de y(t) remonter a letat du systeme x(t) ? probleme dobservabilite.

3.1 Definitions

Un systeme est totalement commandable sil existe u(t) qui conduise en un temps fini dun etatx(t0) a un etat x(t1) quels que soient x(t0) et x(t1).

Un systeme est observable, si lobservation de y(t) entre t0 et t1 permet de retrouver x(t0)

Exemple

A =

a1,1 0 0

0 a2,2...

... a3,3 00 0 a4,4

, B =

b1b200

, C = 0 c1,2 0 00 0 0 c2,4

(3.1)

Le schema representatif de ce systeme et donne en figure 3.1.

Condition de commandabilite : QS est de rang n avec

QS = B, AB, A2B, , An1B (3.2)Application a lexemple du moteur commande par linducteur,

Equation detat : x1x2

=

0 1

a0 a1

x1x2

+

0b0

u (3.3)

Calcul de QS

B =

0b0

, AB =

b0

b0a1

(3.4)

dou

QS = 0 b0

b0 b0a1 (3.5)

et

25


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26 CHAPITRE 3. COMMANDABILITE ET OBSERVABILITE DES SYSTEMES

a4,4

c2,4x4 x4 y4

a3,3

x3 x3

b2 a2,2

c1,2x2 x2 y2

b1

a1,1

x1 x1u

Fig. 3.1 Schema dun simulateur analogique

det QS = b02 (3.6)donc le systeme est commandable (si b0 = 0).Condition dobservabilite : QB est de rang n avec

QB =

C

CA

CA2

...CAn1

(3.7)

Application a lexemple du moteur commande par linducteur,Equation de sortie :

= 1 0 x1

x2 (3.8)donc

C =

1 0

, CA =

0 1

(3.9)

donc

QB =

1 00 1

(3.10)

et comme det QB = 1, QB est de rang n et donc le systeme est observable.


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3.2. QUE FAIRE SI UN SYSTEME NEST PAS OBSERVABLE ET/OU COMMANDABLE 27

3.2 Que faire si un systeme nest pas observable et/ou commandable

Il arrive souvent quapres une premiere analyse du systeme celui-ci savere etre non commandable ounon observable. Deux solutions soffrent a vous.

3.2.1 Retour sur conception

La premiere solution consiste a ajouter ou changer des organes de commande (non commandable) oudes capteurs (non observable).

3.2.2 Reduction de modeles

La deuxieme solution nest valable que si la matrise complete de letat nest pas importante. Dansce cas, la reduction du modele est envisageable. Une facon simple de proceder et de determiner larepresentation detat a partir de lequation differentielle (qui elimine les inobservabilites) ou de lafonction de transfert du systeme (qui elimine les inobservabilites et les non commandabilites).


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28 CHAPITRE 3. COMMANDABILITE ET OBSERVABILITE DES SYSTEMES


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Chapitre 4

Transformation en lune des formescanoniques

4.1 Diagonalisation de la matrice AHypotheses : le systeme est decrit par les equations suivantes :

x = Ax + Bu (4.1)

y = Cx + Du (4.2)

Les valeurs propres de A (1, , n) sont toutes differentes.Il existe alors une transformation T definie par

x = Tx

avec :x = ancien vecteur detat,

x = nouveau vecteur detat qui diagonalise ADans ce cas T est la matrice modale.On en deduit une nouvelle representation detat.

x = x + Bu (4.3)y = Cx + Du (4.4)

avec :

= T1AT = 1 0...

. ..

..

.0 n B = T1BC = CTD = D Cas ou A est une matrice compagne (une forme canonique) avec des valeurs propres toutesdifferentes, alors T est une matrice de Vandermonde :

T =

1 1 11 2 n

12 2

2 n2...

.

..1

n1 2n1 nn1

Cas general.

29


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30 CHAPITRE 4. TRANSFORMATION EN LUNE DES FORMES CANONIQUES

Vecteur propre vi associe a la valeur propre i, obtenu par

Avi = ivi

cest-a-dire(

iI

A)vi

= 0.

Rappel : les i sont obtenus par la resolution de lequation caracteristique de la matrice A

det(iI A) = 0la matrice de transformation T est alors donnee par

T =

v11 v12 v1nv21 v22 v2n

......

vn1 vn2 vnn

= (v1, v2, , vn)

4.2 Consequences pour la commandabilite et lobservabilite

Propriete 1 : Si le systeme x = Ax + Bu possede des valeurs propres toutes differentes, il estcommandable si et seulement si aucun element du vecteur colonne B = T1B nest nul.demonstration : voir graphe du systeme decouple (fig. (2.2) page 22).note : commandabilite u(t) doit pouvoir influencer tout xi.

Propriete 2 : Si le systeme

x = Ax + Bu (4.5)

y = Cx + Du (4.6)

possede des valeurs propres toutes differentes, il est observable si et seulement si aucun element duvecteur ligne C = CT nest nul.demonstration : voir graphe du systeme decouple(fig. (2.2) page 22).note : observabilite tout xi doit pouvoir influencer y(t).

Relation avec la fonction de transfert

xi = ix

i +biu (4.7)

Xi =1

p ibiu (4.8)

Y =n

i=1

ciXi + dU = ni=1

bicip i + d

G(p)

U (4.9)

Si le systeme nest pas commandable ou pas observable, au moins lun desbi ou des ci sera nul, doncle terme correspondant du developpement de G(p) en elements simples disparatra, donc la valeurpropre i correspondante ne sera pas un pole de G(p).

Propriete 3 : un systeme a 1 entree et 1 sortie et a valeurs propres toutes differentes est a la foiscommandable et observable

si et seulement si toutes les valeurs propres sont des poles de la fonction de transfert. si et seulement si la fonction de transfert G(p), dans laquelle ne doit plus apparatre au numerateuret au denominateur un terme identique, a un denominateur de degre egal au nombre n des equationsdifferentielles detat.


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4.3. CAS DES VALEURS PROPRES COMPLEXES 31

4.3 Cas des valeurs propres complexes

Sil existe des valeurs propres complexes

i = +j et (4.10)

i+1 = j = i (4.11)parmi les valeurs propres de A, il existe deux solutions possibles.

4.3.1 Diagonalisation classique

Matrice diagonale, a elements diagonaux i et i+1 complexes.exemple : systeme du deuxieme ordre.

=

+j 0

0 j

On montre aisement que les vecteur propres associes sont eux aussi complexes conjugues.

vi = +j (4.12)

vi+1 = j (4.13)(4.14)

4.3.2 Transformation modifiee : Tm

x = Tmw

avec w vecteur detat qui diagonalise A et Tm = ( )Comme

Av1 = 1v1= ( +j)v1= ( +j)( +j)

= ( ) + j( + )et que : Avi = A +jAon a :

A = A = +

donc

A ( ) = ( )

(4.15)

ATm = Tmm (4.16)

dou

m = T1m ATm =

Generalisation : systeme dordre n, ayant (a titre dexemple) deux paires de valeurs propres complexesconjuguees 1, 2, 1 et 2la transformation modifiee est :

x = Tmw

avecTm = [Re(v1), Im(v1), Re(v2), Im(v2), v5, , vn]


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la nouvelle representation est :

w = mx + Bmu (4.17)

y = Cmx + Dmu (4.18)

avec :

m = T1m ATm =

1 11 1

2 22 2

5. . .

n

et

Bm

= T1B, Cm

= CT, Dm

= D

4.4 Transformation en la forme canonique dasservissement

Hypotheses : an = 1 et bn = 0.On montre aisement que lequation caracteristique

det(pI A) = 0

se reduit a :a0 + a1p + a2p

2 + + an1pn1 +pn = 0

Dans la forme canonique dasservissement, la derniere ligne de la matrice du systeme est composeedes coefficients de lequation caracteristique (excepte celui du terme de plus haut degre) changes designe.Theoreme : Si le systeme est commandable on peut le mettre sous la forme canonique dasservissementau moyen de la transformation

z = T1x

avec

T1 =

qTS

qTS

A

qTS

A2

..

.qTS

An1

ou qTs

est la derniere ligne de linverse de la matrice de commandabilite QS1

Lutilisation de ce theoreme peut sembler lourde, mais dans la pratique il se revele puissant, puisquune grande partie des termes, notamment de QS

1, est inutile.

4.5 Transformation en la forme canonique dobservabilite

Dans la forme canonique dobservation, la derniere colonne de la matrice du systeme est composeedes coefficients de lequation caracteristique (excepte celui du terme de plus haut degre) changes de

signe.Theoreme : Si le systeme est observable on peut le mettre sous la forme canonique dasservissementau moyen de la transformation

z = Tx


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4.5. TRANSFORMATION EN LA FORME CANONIQUE DOBSERVABILITE 33

avecT =

qB

AqB

A2qB

An1qB

ou q

best la derniere colonne de linverse de la matrice dobservabilite Q1B


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Chapitre 5

Stabilite des systemes dynamiqueslineaires

La stabilite des systemes lineaires, dans le cas SISO, consiste le plus souvent a revenir a des methodesclassiques des systemes representes sous la forme dune fonction de transfert. Attention, la fonctionde transfert dun systeme presentant moins dinformation que sa representation detat, il est possiblemais rare que la fonction de transfert soit stable alors que la representation detat presente un modeinstable !

5.1 Definition

Un systeme est dit asymptotiquement stable, si et seulement si, ecarte de sa position dorigine etsoumis a une entree nulle, celui-ci revient a sa position dorigine.

5.2 Etude de la stabilite

En reprenant lequation 1.69 et en supposant que u(t) = 0 et t0 = 0, nous obtenons :

x(t) = eAtx(0)

Dapres la definition de la stabilite, il faut que x(t) 0 donc que eAt 0.Si A est diagonalisable () alors il existe une matrice T telle que :

= T1AT = 1 0 0

0 2.

...... . . 0

0 0 n

(5.1)donc

x(t) = eTT1tx(0) 0

donc

exp

1t 0 00 2t

......

. . . 0

0 0 nt

0 (5.2)

donc il faut et il suffit que les i soient a partie reelle negative, donc que les valeurs propres de lamatrice A soient a partie reelle negative.

35


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36 CHAPITRE 5. STABILITE DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES

En dautres termes, pour quun systeme soit asymptotiquement stable en boucle ouverte, il fautet il suffit que tous ses modes soient stables. Lextension aux systemes non diagonalisables (blocsde Jordan) est immediate puisque les termes de lexponentielle dune matrice triangulaire sont unecombinaison lineaire des eit.

Forme modale

La lecture de la stabilite est immediate, puisque les valeurs propres de la matrice sont sur la diagonale.

Forme canonique de commandabilite

La matrice A se presente alors sous la forme :

A =

0 1 0 . . . 0

0 0 1 0...

.... . .

. . . 0

0 0 0 1 a0an a1an a2an

an1an

le calcul des valeurs propres de la matrice revient a calculer les zeros du polynome

P() = a0an

a1an

a2an

2 an1an

n1

En fait, seul le signe des parties reelles des valeurs propres nous interesse pour letude de la stabilite,donc il suffit dappliquer le critere de Routh sur le polynome P.

Forme canonique dobservabilite

Par transposition de la matrice A, on revient au cas precedent.


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5.3. STABILITE AU SENS DE LYAPOUNOV 37

5.3 Stabilite au sens de Lyapounov

Lorigine est un etat stable si pour tout > 0, il existe un nombre (, t0) > 0 tel que x(t0) < entrane x(t) < , t > t0. Cet etat est asymptotiquement stable si, de plus, il existe un nombrea(t0) tel que

x(t0)

< a(t0) entrane limt

x(t)

= 0.

Fig. 5.1 Illustration de la stabilite dans le plan de phase

Fig. 5.2 Illustration de la stabilite dune bille sur un profil

5.3.1 Theoreme

Sil existe une fonction V(x) telle que :

1. V(x) > 0, x = 0,2. V(0) = 0,

3. V(x) pour x ,alors lequilibre en x = 0 est localement asymptotiquement stable.

Dans le cas des systemes lineaires invariants dans le temps, la stabilite est globale.

5.3.2 Interpretation physique

Comme nous lavons dit precedemment, les variables detat representent les reservoirs denergie du

systeme ou du moins une combinaison lineaire de ceux-ci. Si, a lorigine des temps le systeme contientde lenergie alors x(0) = 0. La stabilite est alors synonyme de decroissance de la quantite denergiepresente dans le systeme, celle-ci peut converger vers une valeur non nulle. La stabilite asymptotiquepar contre implique la convergence vers 0.


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38 CHAPITRE 5. STABILITE DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES

Supposons que la quantite denergie presente dans le systeme soit V(t), il suffit alors de demontrerque V(t) < 0 pour que le systeme soit asymptotiquement stable ( V(t) 0 pour que le systeme soitstable).

5.3.3 Applications aux systemes lineaires

PosonsV(x) = xTP(t)x

ou P est une matrice symetrique definie positive, sa derivee par rapport au temps secrit :

V(x) = xTPx + xTPx + xTPx = xT(ATP + PA + P)x

Sa derivee est toujours negative sil existe une matrice definie positive Q telle que :

Q = ATP + PA + P

Dans le cas des systemes lineaires invariants lequation precedente se simplifie en

Q = ATP + PA (5.3)

Dans la pratique la methode est la suivante :

1. Choisir une matrice Q arbitraire, symetrique, definie positive (la matrice I conviendra le plussouvent),

2. determiner ensuite P a partir de (5.3), cela revient a resoudre n(n+1)/2 equations,

3. le systeme est asymptotiquement stable si P est definie positive.

Cette methode peut sembler lourde au regard de celle presentees precedemment, mais cest la seulequi reste valable dans le cas des systemes non lineaires et/ou variants dans le temps. La recherche dela fonction de Lyapounov V(x, t) devient alors la clef du probleme.

5.3.4 Fil rouge

Le systeme est defini par sa matrice

A =

0 1

a0 a1

posons

P = p1 p2

p2 p3 et Q = 1 0

0 1 lapplication de la relation (5.3) donne 1 0

0 1

=

2 a0 p2 a0 p3 + p1 a1 p2a0 p3 + p1 a1 p2 2 p2 2 a1 p3

la resolution de 3 equations a 3 inconnues donne la matrice suivante

P =

a0

2+a0+a1 2

2a0 a112a0

12a0

a0+12a0 a1

sachant que a0 et a1 sont positifs, la matrice P est bien definie positive, le systeme est stable.


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Chapitre 6

Commande des systemes

6.1 Placement de poles

Hypotheses : le systeme est decrit par les equations suivantes

x = Ax + Bu

y = Cx

Lobjectif de la synthese est une regulation (donc pas un asservissement), donc il sagit de mainteniry proche dune valeur de consigne yc. Le schema de la regulation est donne figure 6.1.

B

A

Cx x y

L

Syc u

regulateur

+

+

+

-

Fig. 6.1 Regulation continue par retour detat

6.1.1 Calcul du regulateur L

Supposons que la fonction de transfert du systeme en boucle ouverte soit :

FBO(p) =Y(p)

U(p)=

b0 + b1p + b2p2 + + bmpm

a0 + a1p + a2p2 + + anpn ,

avec m < nalors la representation detat sous la forme canonique de commandabilite est (apres simplification paran) :

x =

0 1 0 . . . 0

0 0 1 0...

.... . .

. . . 0

0 0 0 1a0 a1 a2 an1

x +

00...

01

u (6.1)

y = [b0, b1, , bm, 0, , 0] x (6.2)

39


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40 CHAPITRE 6. COMMANDE DES SYSTEMES

On remarque que la derniere ligne de la matrice A contient les coefficients du denominateur de lafonction de transfert.Le schema 6.1 donne comme commande :

u =

Lx + Sy

c=

(l0 l1 l2

ln1)x + Syc.

Avec cette commande, le systeme en boucle fermee admet pour representation detat :

x =

0 1 0 . . . 0

0 0 1 0...

.... . .

. . . 00 0 0 1

l0 a0 l1 a1 l2 a2 ln1 an1

x +

00...01

Syc (6.3)

y = [b0, b1, , bm, 0, , 0] x. (6.4)

Ainsi la fonction de transfert du systeme en boucle fermee secrit :

FBF(p) =Y(p)

Syc(p)=

b0 + b1p + b2p2 + + bmpm

(l0 + a0) + (l1 + a1)p + (l2 + a2)p2 + + pn ,

donc, le regulateur permet dimposer arbitrairement le polynome caracteristique (donc la dynamique)de la fonction de transfert du systeme en boucle fermee.Supposons que le polynome choisi soit :

P(p) = 0 + 1p + 2p2 + + pn,

Le calcul du regulateur est immediat puisque :

(li + ai) = i,

doncli = i ai.

Si le systeme nest pas directement sous la forme de commandabilite, il suffit de sy ramener (voir 4.4). Le correcteur obtenu precedemment devra subir la transformation inverse a celle utilisee pourobtenir la forme de commandabilite soit :

L = LT1

6.1.2 Calcul de la matrice de prefiltre S

Le modele du systeme en boucle fermee est :

x = (A BL)x + BSyc

y = Cx

Si le systeme est stable, alors limt x = 0 donc,

limt

y(t) = C(A BL)1BSyc

or, on desire que limt y(t) = yc, donc,

S

1 = C(A BL)1B

S =

C(A BL)1B1


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6.2. CAS DUNE REPRESENTATION QUELCONQUE DU SYSTEME A ASSERVIR 41

6.2 Cas dune representation quelconque du systeme a asservir

6.2.1 Transformation en la forme canonique de commandabilite

z = T1x

avec

T1 =

qTS

qTS

A

qTS

A2

...qTS

An1

ou qT

sest la derniere ligne de linverse de la matrice de commandabilite QS

1.

Dans cette representation

u = LFCz = LFCT1x = Lx

avec

L = LFCT1 = (0 a0)qTS + (1 a1)qTSA + + (n1 an1)qTSAn1

6.2.2 Theoreme de Cayley-Hamilton

Toute matrice carree A satisfait sa propre equation caracteristique.

Si

P() = det(I A) = n + n1n1 + + 1 + 0 = 0

alors

P(A) = det(AI A) = An + n1An1 + + 1A + 0I = 0

En appliquant ce theoreme aux resultats precedents, A et AFCsont semblables et ont la memeequation caracteristique, donc A doit satisfaire lequation caracteristique de AFC.

Donc

An + an1An1 + + a1A + a0I = 0

qTS

An = an1qTSAn1 a1qTSA a0qTSdou, par substitution : Theoreme dAckermann

L = qTS

An + n1qTS

An1 + + 1qTSA + 0qTS

L = qT

SP(A)

Theoreme : Pour un systeme a une entree et une sortie les zeros du systeme restent inchanges par leplacement des poles


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6.3 Commande Modale

6.3.1 Definition

Soit la transformation x = Tx T est la transformation modale qui diagonalise A si toutes les valeurs

propres sont differentes ou du moins la met sous forme de blocs de Jordan si toutes les valeurs propresne sont pas differentes.Dans la nouvelle base, les equations sont

xi = ixi + u

i

si le systeme est diagonalisable.Si les udi sont independantes les une des autres, on peut asservir chaque variable detat xdi, et doncchaque mode du systeme.

6.3.2 Methode de synthese

Si lon dispose de p grandeurs de commande independantes, on peut asservir p coordonnees modales.

x = Ax + Bu x = x + Buavec :

= T1AT =

1 0... . . . ...0 n

B = T1BChoix des p coordonnees ramenees en contre reaction : les plus proches de laxe imaginaire (systeme plus rapide),

celles qui sont le plus influencees par une perturbation (systeme moins sensible au perturbations) ...le systeme peut etre mis sous la forme :

xpxnp

=

p 00 np

xp

xnp

+

BpBnp

u

avec :p : sous matrice (p p) de

Bp : sous matrice (p p) de BPrincipe : determiner la contre reaction de ces p coordonnees de telle maniere que :1. les valeurs propres du systeme 1 a p soient remplacees par les valeurs propres souhaitees

1

a p

2. le systeme boucle reste diagonal (en ces p variables, donc chaque mode est regule independamment)

donc le systeme boucle doit avoir, en mode de regulation pour les p coordonnees concernees uneequation de la forme :

xp = px

p

avec p

= 1 0

. ..0 p

donc

pxp + u

= pxp


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6.4. CHOIX DES POLES 43

donc

u = (p p)xp =

1 1 0

. . .

0 p

p

x1xp

Probleme : revenir a u notre veritable vecteur de commandeB (n p) est de rang p ; T1 est reguliere donc : B(n p) est de rang p donc Bp(p p) est reguliere

u = B1p u = B1p (p p)udou

xp = px

p (6.5)

xnp = Bnp

B1p (p p)xp + npxnp (6.6)

lequation (6.5) montre que les p premieres coordonnees modales sont bien asservies individuelle-ment ; les valeurs propres sont bien celles choisies (i ),

lequation (6.6) montre que les np autres coordonnees modales sont influencees par les p premieres.Verification de cette deuxieme constatation. Calculons les valeurs propres du systeme boucle :

det

sIp p 0BnpB1p (p p) sIp np

= 0

det

sIp p det(sIp np) = 0

Les valeurs propres du systeme sont donc :

1, , p : les p premieres qui ont ete deplacees par la commande modale,p+1, , n : les n p autres qui restent inchangees.La commande modale ne presente pas deffet indesirable du fait du couplage entre les np coordonneesmodales restantes et les p premieres.

Synthese du regulateur modal

Retour a la representation de depart :

x = T1x

u =

B1p (p

p)x

=

B1p (p

p)T

1x =

Lx

L = B1p 1

1 0

. . .

0 p p

T1x6.4 Choix des poles

Le choix de poles en boucle fermee tient plus de lart que de la science. En effet, les phenomenes aprendre en compte sont nombreux, tres dependants du systeme considere et des performances desirees.

Voici quelques regles fondamentales a respecter :

1. Les poles choisis doivent etre stables,

2. pas trop proches de laxe des imaginaires, sinon la moindre variation de modele peut provoquerune instabilite,


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3. Les poles complexes conjugues seront choisis pour presenter un depassement convenable (typi-quement : inferieur a 20 %) sinon le regime transitoire sera long

4. pas trop rapides (typiquement : 4 a 10 fois plus rapides que les poles en B0), il est peu probableque le modele que vous avez soit encore valable au-dela de ce domaine et/ou que la commandene sature pas.

La figure 6.2 resume ces quelques regles.

Dans cette zone

le systeme estinstable

transitoire troplent et un fortdepassement

poles trop

rapides, lemodele nest plus

valable et lacommande sature

ZONE DE

PLACEMENT

Im

Re

poles nonrobustes

Fig. 6.2 Regles de placement de poles

Le choix des poles au sein de la zone de placement est tout autant un art et les methodes sontnombreuses. Afin de reduire vos maux de tete lors du choix je vous propose 3 methodes ayant faitleurs preuves, mais sachez quil en existe dautres.

Les exemples sont donnes pour un systeme dordre 5.

Poles complexes conjugues dominants

poles dominants

polesnegligeables(dordre 3)

Le grand avantage de cette methode est une simplifica-tion des calculs et une bonne matrise du comportement enboucle fermee du systeme (comportement comme les polesdominants). Les resultats en boucle fermee sont quelques fois

surprenants si les poles negliges ne letaient pas vraiment.Bien sur si le comportement souhaite est de type premierordre, il suffit de choisir un pole simple comme pole domi-nant


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6.4. CHOIX DES POLES 45

Maximalement plat

Cette methode qui revient a calculer un filtre de Butterworthfonctionne bien dans le cas des systemes electromecaniques.Les poles sont places sur un demi cercle. Pas de panique, lecalcul des poles nest generalement pas necessaire. Bien sur,

la meme methode existe avec les polynomes de Tchebyshev.

Polynomes de Naslin

Cest encore dans les vieux pots que lon fait les meilleures soupes. Cette methode perdure depuis lesannees 60 et donne de bons resultats quel que soit le domaine dapplication.


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6.5 Commande optimale

Cette partie nest donnee qua titre de culture generale. La commande optimale est une base fonda-mentale de lautomatique, pour continuer dans cette voie, une autoformation est necessaire !

6.5.1 Definition

Lobjectif de cette commande est de minimiser un critere quadratique de la forme :

J =

0(xTQx + uTRu)dt (6.7)

avec :Q = matrice symetrique definie positiveR = matrice symetrique non negative

la commande u est alors definie par lequation suivante :

u = R1BTKxou K est une matrice symetrique, solution definie negative de lequation de Riccati :

KA + ATK KBR1BTK + Q = 0

6.5.2 Stabilite de la commande optimale

Les commandes optimales a critere quadratique conduisent toujours a un systeme stable en bouclefermee. La marge de phase est toujours superieure a 60 degres.

6.5.3 Choix des matrice R et Q

La forme du critere (eq. (6.7)) represente typiquement un critere energetique. Aussi la commandeoptimale vise-telle a minimiser lenergie requise pour faire passer le systeme dun etat a un autre.Dans ce cas les matrices R et Q seront le plus souvent choisies diagonales, les coefficients de ladiagonale ayant une signification physique (inductance, masse ...).Plus generalement, cette methode de synthese sapplique lorsque lon desire minimiser une ou plusieursgrandeurs de commande et/ou un ou plusieurs etats pour des problemes de saturation, de securite oude duree de vie du systeme (limitation de la vitesse dun moteur, limitation de la pression dans unreservoir ...).


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6.5. COMMANDE OPTIMALE 47

6.5.4 Exemple : fil rouge.

Calcul dune commande qui minimise les pertes energetiques dans le systeme. Les pertes sont :12Ri

2 : pertes Joule dans la resistance dinducteur12fv

2 : pertes mecaniques par frottements visqueux

Le critere est donc

J =

0(Ri2 + fv

2)dt

sous forme matricielle

J =

0(xT

0 00 fv

x + uT(R)u)dt (6.8)

En posant (K symetrique)

K

k11 k12k12 k22

,

le calcul de la commande

u = k12 b0r k22 b0r xmontre que seuls les coefficients k12 et k22 sont a determiner. En developpant lequation de Riccati,nous obtenons : 2 k12 a0 k122b02r k11 k12 a1 k22 a0 k12 b02k22r

k11 k12 a1 k22 a0 k12 b02k22r 2 k12 2 k22 a1 k222b0

2

r + fv

= 0Nous en deduisons que :

k12 = 0

k22 = 1/22a1 r+2

a12r2+b0

2fv r

b02

ou

k22 = 1/22a1 r2

a12r2+b0

2fv r

b02

comme K est definie negative, la solution est :

k12 = 0

k22 = 1/22 a1 r2

a12r2+b0

2fv r

b02

donc la commande est :

u = 0 b02r 2 a1 r 2a12r2 + b02fv rb02 x


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Chapitre 7

Synthese dobservateurs detat

7.1 Introduction au probleme de la reconstruction detat

Dans tout ce qui precede, nous sommes partis du principe que nous avions acces a toutes les compo-santes du vecteur detat. Nous avons donc suppose que le systeme est completement instrumente. Enrealite, les systemes physiques sont tres peu instrumentes, les raisons sont :

le cout, la difficulte dacceder a certaines variables la fiabilite, lencombrement, ...Nous allons donc voir comment reconstruire letat a partir des commandes appliquees au systemereel et les quelques mesures du vecteur detat effectuees.

Soit le systeme,x = Ax + Bu ou xk+1 = xk + uk

y = Cx + Du yk = Cxk + Duk

(7.1)

Comment obtenir x ?

7.1.1 Par calcul direct

Avec cette methode x est obtenu par la formule suivante :

x?

= C1(y Du)

Ce calcul est impossible car en general C nest pas inversible, dans les systemes SISO, C est unvecteur, donc jamais inversible.

7.1.2 Par simulation du processus

Lidee consiste a dire que puisque nous possedons un modele du systeme, il suffit de simuler leprocessus dans le calculateur. Ainsi, les differentes variables comme le vecteur detat sont parfaitementaccessibles. Cette methode est illustree par le schema 7.1.

Les indices r (reelle) et m (mesuree) sont la pour rappeler quil existe toujours une difference entrela realite et le modele utilise. Par la suite, comme dans tout ce qui precede, nous ne ferons aucunedifference entre les deux mais ayez toujours a lesprit quelle existe.En fait cette methode ne fonctionne pas du tout car le modele, pour precis quil soit, est toujoursfaux (imprecisions de mesure des coefficients des matrices, non linearites du systeme, ...).Aussi apres

quelques temps de simulation le simulateur donne nimporte quoi. Neanmoins dans quelques cas, cesera la seule solution, pour obtenir une variable non mesuree, on parle alors de reconstruction parsimulation. La robustesse du processus corrige est alors faible et la synthese de la commande doitprendre en compte cet aspect (commande robuste).

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50 CHAPITRE 7. SYNTHESE DOBSERVATEURS DETAT

Bm

Cm

Am

+

+

Br

Cr

Ar

u +

+

x y

xx

systeme

simulateur

y

Fig. 7.1 Schema general dun simulateur

7.1.3 Par simulation du processus et asservissement sur les parties connues duvecteur detat

Lidee consiste comme precedemment a simuler le systeme, mais a lasservir de facon a ce que lessorties mesurees concordent avec les sorties simulees, en injectant a lentree lerreur destimationponderee par un gain.Cest exactement ce que lon appelle un observateur de Luenberger.

7.2 Observateurs de Luenberger

Definition

On appelle observateur (de Luenberger) du systeme,

x = Ax + Bu (7.2)

y = Cx (7.3)

un systeme qui est decrit par le schema fonctionnel 7.2,lequation differentielle detat de lobservateur est :

x = A

x + Bu + G

y

= Ax + Bu + Gy Gy= Ax + Bu + Gy GCx= (A GC)x + Bu + Gy

En definissantA GC = F

x = Fx + Gy + Bu (7.4)ou les valeurs propres de la matrice F sont stables.

x(t) est une estimation de x(t),on definit x = x x lerreur destimation et x 0 pour t .Il ne reste plus qua definir la matrice de retour G.


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7.3. OBSERVATEURS DORDRE REDUIT 51

B

C

A

+

+

G

+

B

C

A

u +

+

x y

yy+ x

x

systeme

observateur

Fig. 7.2 Schema general dun observateur de Luenberger complet

Dualite

synthese dun regulateur detat synthese dun observateurA ATB CT

L GT

det[pI (A BR)] det pI (AT CTGT)

B, AB, A2B, , An1B

C

CA

CA2

...CAn1

T

Toutes les methodes de calcul dun regulateur sont valables pour le calcul de la matrice GT.

7.3 Observateurs dordre reduit

Il est parfois interessant de nobserver que la partie de letat qui nest pas accessible afin de minimiserle temps de calcul. On definit alors un observateur dordre reduit.

7.3.1 Hypotheses

soit le systeme :

x = Ax + Buy = Cx

(7.5)

avec :


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C =

0 0 1 0...

......

. . ....

0

0 0

1

q = [0 Iq] (7.6)

nq

q

(7.7)

Bien entendu, il est probable quil faille proceder a une transformation de coordonnees pour mettreC sous la forme ci-dessus.

Partitionnement

x =

x1...

xnq. . . . . .

xnq+1...

xn

= v

y

} n q} q

x =

v y

= A11 A12. . . . . . .

A21 A22

v y

+ B1

B2

u } n q} q

soit :

v = A11v + A12y + B1u (7.8)y = A21v + A22y + B2u (7.9)

Il reste a estimer v, (n q composantes) uniquement.Idee de base : Considerer ces deux equations comme lequation differentielle detat et lequation desortie dun systeme qui aurait

v : comme vecteur detatA12y + B1u : comme vecteur dentree

y A22y B2u : comme vecteur de sortie

vX = A11A vX + A12y + B1u BU (7.10)y A22y B2u

Y

= A21C

vX

(7.11)

Developpons un observateur complet (dordre n q) pour ce systeme

v = (A11 GA21)v + A12y + B1u + G(y A22y B2u)Posons : z =

v Gy

Dou les equations detat de lobservateur :

z = (A11 GA21)z + [(A11 GA21)GA12 GA22)] y(B1 GB2)u (7.12)v = z + Gy (7.13)


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7.4. OBSERVATEUR GENERALISE 53

+

G

++

+

+

y

u v

y

zz

xA12 GA22

A11 GA21

B1

GB2

Fig. 7.3 Schema fonctionnel dun observateur de Luenberger dordre reduit

dont le schema fonctionnel est donne en figure 7.3Remarque : La construction precedente fournit un observateur de ce type, avec la matrice de systeme

F = A11

GA21

7.4 Observateur generalise

Pour observer un systeme lineaire invariant, on introduit un second systeme lineaire invariant, dordrer et ayant lequation detat suivante :

z(t) = Fz(t) + Gy(t) + Eu(t)

On dit quun tel systeme est un observateur du premier systeme si, etant donne une matrice detransformation arbitraire K de dimension (r n), son vecteur detat represente une estimation deKx :

z = Kxcest-a-dire que z Kx pour t z doit donc etre solution dune equation homogene, de la forme

(z Kx) = F(z Kx)

z = Fz + Kx FKxet

x = Ax + Bu

doncz = Fz + (KA FK)x KBu

dou lon en deduit queE = KB

Cherchons a introduire y = Cx, on cherche a trouver une matrice G telle que

(KA FK)x = Gy = GCx

donc(KA FK) = GC

dou lequation detat de lobservateur generalise

z = Fz + Gy + KBu


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7.5 Equation detat dun systeme asservi avec observateur

Loi de commande

u = L

x

a w = 0, etude de la stabiliteVu du point de vue de lobservateur generalise, u doit dependre de la grandeur de sortie y du procedeet du vecteur detat z de lobservateur :

u = Dy + Ezavec z = Kx et y = Cx il vient

Lx = DCx + EKxcette expression doit etre valable quel que soit t, donc aussi pour t (

x = x) donc,

L = DC + EKdonc, lequation detat de lensemble observateur+ regulateur est

z = Fz + Gy + KBu

u = Dy + Ez(7.14)

schema fonctionnel du systeme asservi

z = Fz + Gy + KBu u = Dy + Ez

x = Ax + Bu

y = Cx

observateur regulateurprocede

zu y

Fig. 7.4 Schema fonctionnel dun systeme asservi via un observateur

vecteur detat de ce systeme composite :

xz

7.5.1 Theoreme de separation

posons : = z Kxpour lobservateur :

= z Kx= Fz + Gy + KBu KAx KBu= F(z Kx) car (KA FK) = GC= K

(7.15)

pour le procede :

x = Ax + Bu

= Ax + B(Dy + Ez)= Ax + BDCx + BEz= Ax BLx BEKx + BEz car (DC EK) = L= (A BL)x + BE

(7.16)


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7.6. FILTRAGE DE KALMAN 55

Des deux developpements precedents nous en deduisons lequation detat du systeme composite ob-servateur + procede.

x

=

A BL BE

0 F

x

dont lequation caracteristique est :

In A BL BE0 Ir F = 0

cest-a-dire :|In A BL| |Ir F| = 0

dou :theoreme de separation :Les valeurs propres dun systeme commande par retour detat et comportant un observateur dans saboucle se composent de la reunion des valeurs propres du systeme boucle sans observateur et de celles

de lobservateur.

7.6 Filtrage de Kalman

Soit le systeme,

x = Ax + Bu + Kv ou xk+1 = xk + uk + Kvky = Cx + Du + w y

k= Cxk + Duk + wk

(7.17)

avec :v(t) ou vk vecteur aleatoire superpose a letat (bruit detat)w(t) ou wk vecteur aleatoire superpose a la sortie (bruit de mesure)

Probleme du filtrage lineaire :A partir des donnees du probleme (representation detat du probleme) et des donnees statistiquesconcernant les bruits v et w (distribution statistique, moyenne, variance), trouver un systeme causal,a lentree duquel sont appliquees les signaux accessibles a la mesure, u et y et qui fournit a sa sortiex aussi proche que possible de letat x inconnu.La solution optimale de ce probleme, au sens de la variance de xx est le filtrage optimal de Kalman.


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Chapitre 8

Representation detat des systemeslineaires echantillonnes

8.1 Systeme discretLe schema de la figure 8.1 represente la forme generale dun systeme discret.

systeme discretuk

xk

yk

T

TT

Fig. 8.1 Representation generale dun systeme discret

On definit :

xk =

x1(kT)x2(kT)

...xn(kT)

, yk =

y1(kT)y2(kT)

...yq(kT)

, uk =

u1(kT)u2(kT)

...up(kT)

La resolution de lequation detat donne (voir (1.69, page 14) :

x(t) = e

At t

0 e

A

Bu()d+ eA(tt0)x(t0) (8.1)Appliquons (8.1) a lintervalle kt t < (k + 1)t en y faisant t0 = kt, nous obtenons :

xk+1 = eATxk +

(k+1)TkT

eA((k+1)T)Bu()d

Supposons que u(t) = uk = cte pour kt t < (k + 1)t alors,

xk+1 = eATxk +

(k+1)TkT

eA((k+1)T)d.Buk (8.2)

En procedant au changement de variable :

= (k + 1)T alors :(k+1)TkT

eA((k+1)T)d = 0

TeA

d =

T0

eA

d

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58CHAPITRE 8. REPRESENTATION DETAT DES SYSTEMES LINEAIRESECHANTILLONNES

lequation 8.2 devient :

xk+1 = eATxk +

T0

eA

d.Buk. (8.3)

On voit que xk+1 peut se mettre sous la forme :

xk+1 = xk + uk. (8.4)

avec :

= eAT (8.5)

=

T0

eA

d.B (8.6)

De meme on a :

yk

= Cxk + Duk. (8.7)

Cas particulier : si A est inversible,

= A1

eAT0

.B = A1

eAT I.B (8.8)soit :

= A1( I)B (8.9)

8.2 Resolution des equations dans le domaine du tempsEn supposant que le vecteur detat initial soit x0, lapplication repetee de (8.4) donne :

xk = kx0 +

k1i=0

k1iui, (8.10)

la resolution se fait alors sur ordinateur.

8.3 Application de la transformee en z

Theoreme de lavance :

Z[xk+1] = zX(z) zx0,donc la transformee en z de 8.4 est :

zX(z) zx0 = X(z) + U(z),

soit :

X(z) = (zI

)1zx0

+ (zI

)1U(z), (8.11)

et,

Y(z) = CX(z) + DU(z) (8.12)


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8.4. MATRICE DE TRANSFERT 59

8.4 Matrice de transfert

Dans le cas SISO : Fonction de transfert.

En supposant x0 = 0, des equations (8.11) et (8.12) on deduit :

Y(z) = C(zI )1

U(z) + DU(z).

soit

Y(z) = G(z)U(z),

avec :

G(z) = C(zI )1 + D.G(z) est la fonction (matrice dans le cas multivariable) de transfert du systeme echantillonne.A comparer avec le resultat obtenu dans le cas continu :

H(p) = C(pI A)1B + D

8.5 Obtention dun modele detat a partir de la fonction de transferten z

Le modele detat sobtient de la meme facon quen continu mais avec la substitution

integrateur pur retard pur1

p z1

8.6 Resolution de lequation detat dans le domaine de z

La reponse libre du systeme (uk = 0) sobtient en utilisant (8.10) et (8.11).

(8.10) devient : xk = kx0

sa transformee en z est : X(z) = Zkx0(8.11) deviens : X(z) = (zI )1zx0

en identifiant terme a terme :

Z

k

= (zI )1z,

dou,

(kT) = k = Z1

(zI )1z

,

a comparer avec : L1(pI A)1.

8.7 Commandabilite et observabilite

8.7.1 Commandabilite dun systeme echantillonne

Un systeme echantillonne represente par une equation detat aux differences pour une entree scalaire

uk,xk+1 = xk + uk. (8.13)

yk

= Cxk (8.14)


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x(0) etant donne, le vecteur detat solution de lequation (8.13) sexprime par : (en ecrivant les termessuccessifs) :

xk = kx(0) + uk1 + uk2 +

2uk3 + + k1u0 (8.15)

xk = kx(0) +

ki=1

i1uki (8.16)

que lon peu reecrire sous la forme :

xk = kx(0) + QSU

T (8.17)

avec :QS =

, , 2, , k1

U =

uk1, uk2, , u1, u0

Pour que letat du systeme passe de letat x0 a letat xk, il faut que la sequence de commande UT

respecte

QSUT = xk kx(0). (8.18)Cette sequence existe si QS est inversible donc :

UT = Q1S

xk kx(0)

. (8.19)

Les conditions de commandabilite sont donc que :

1. QS soit carree,

2. det(QS) = 0.Ainsi la condition de commandabilite devient (n est le nombre detats) :

det QS = det , , 2, , n1 = 0. (8.20)8.7.2 Observabilite dun systeme echantillonne

La sortie dun systeme echantillonne peut etre ecrite sous la forme :

yk

= Ckx0 +k

i=1

Ci1uki (8.21)

y0

= Cx0y1

= Cx1 = Cx0 + Cu0

y2 = Cx2 = Cx1 + Cu1 = C2x0 + Cu0 + Cu1...

yk1

= Cxk1 = Cxk2 + Cuk2 = Ck1x0 + C

k2u0 + + Cuk2que lon peut reecrire sous la forme :

YT = QBx0 + HU1 (8.22)

avec :QTB =

C, C, C2, , Ck1

U1 =

0, u0, u1, , uk2

doncQ

Bx0 = Y

T

H

U1 (8.23)x0 = QB

1(YT HU1) (8.24)Remonter a letat initial x0 en mesurant Y

T il faut que :


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8.8. STABILITE DES SYSTEMES ECHANTILLONNES 61

1. QB soit carree,

2. det(QB) = 0.Un systeme est observable si et seulement si

det QB = det

C

C

C2

...Cn1

= 0. (8.25)

8.8 Stabilite des systemes echantillonnes

La stabilite des systemes echantillonnes est identique au cas continu sauf quun pole stable en z estun pole dont le module est inferieur a 1.

stable z < 1

Bien entendu le critere de Routh applique sur la derniere ligne de la matrice sous la forme canoniquede commandabilite devient le critere de Jury. Une autre solution consiste a appliquer le critere deRouth sur cette derniere ligne apres lui avoir applique la transformee en w.

Rappel : la transformee en w consiste a remplacer z par w1w+1

8.9 Commandes des systemes echantillonnes

La commande des systemes echantillonnees se fait de la meme facon que pour les systemes continus.Les eventuelles transformations sont identiques.

Le choix des poles en z dans le cadre dune methode de placement de poles est par contre different(voir fig. 8.2) .

Fig. 8.2 Choix des poles dans le plan en z


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8.9.1 Calcul de la matrice de prefiltre

Le modele du systeme en boucle fermee est :

xk+1 = ( L)xk + Syckyk = Cxk

Si le systeme est stable, alors limk xk+1 = xk donc,

limk

yk

= C( L I)1Syck

or, on desire que limk yk = yck, donc,

S1 = C( L I)1

S = C( L I)1

1

a comparer avec le resultat obtenu dans le cas continu

S =

C(A BL)1B1

8.9.2 Commande optimale dans le cas discret

J =

n=1

xTn Qxn + uTn Run (8.26)

avec :

Q = matrice symetrique definie positive

R = matrice symetrique non negativela commande u est alors definie par lequation suivante :

uk1 = (R + BTKB)1BKAxk1ou K est une matrice symetrique, solution definie negative de lequation de Riccati :

K = AT(K KB(R + BTKB)1BTK)A + Q


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Chapitre 9

Annales dexamens

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64 ANNEXE 9. ANNALES

Examen final dautomatique

Duree : 2 heures.

Aucun document autorise.

Le sujet de cet examen est la modelisation a laide dune representation detat dune micro pince.

Dans un deuxieme temps, nous developperons une commande par retour detat du systeme fondee sur

un observateur complet de Luenberger. Enfin nous developperons un observateur de leffort exerce par

la pince sur lobjet.

Quelques conseils

La justification des choix est aussi importante que les calculs effectues. Ne restez pas bloque sur une question, revenez-y par la suite.

10m

materiau neutre

materiaux piezo-electrique

V

Fig. 9.1 Presentation de la pince etudiee.

Cette pince est en materiau piezo-electrique, la tension V applique sur les electrodes provoque lememe effet quune force V appliquee au bout de la machoire de la pince.En premiere approximation le comportement dynamique de la pince est le meme que celui du modele

mecanique presente figure 9.2 :La masse M est supposee ponctuelle, toutes les forces sont appliquees a une longueur L du centre derotation.

Modelisation

1. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique sur modele mecanique precedent,determiner lequation differentielle reliant le mouvement de rotation aux forces appliquees.

2. En faisant lhypothese que


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JUIN 2006 65

raideur kR

force = VFext

L

liaison pivot

masse M

frottement visqueux

F = fv

Fig. 9.2 Modele mecanique equivalent.

4. En supposant que la force Fext exercee par lobjet sur la pince est nulle. Deduisez de ce quiprecede une representation detat de la forme :

x = Ax + Bu (9.1)

y = Cx + Du (9.2)

Applications numeriques : = 0.002, m = 103, f = 11, k = 15

Analyse1. Le systeme est-il stable en boucle ouverte ?

2. Le systeme est-il commandable ?

3. Le systeme est-il observable ?

Commande

1. Donnez la valeur numerique des poles en boucle ouverte.

2. Au vu des poles en boucle ouverte, de votre experience et du systeme proposez des poles enboucle fermee.

3. Justifiez-les en 4 lignes maximum (+ un dessin si besoin).4. Calculer un regulateur detat qui permet dobtenir la dynamique que vous vous etes fixee en

boucle fermee.

5. Par le calcul de la fonction de transfert, verifiez que la dynamique souhaitee est bien obtenue.

6. A laide de cette fonction de transfert, calculer la matrice (ici un reel) de prefiltre.

7. Proposez une autre methode pour obtenir une erreur statique nulle.

Observation

1. Donnez le schema-bloc du systeme sous sa forme de representation detat avec son observateur

de Luenberger complet.2. Proposez et justifiez les poles de lobservateur.

3. Calculer, par la methode de votre choix, la matrice de retour G


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Observation de la perturbation

Dans cette deuxieme partie, la force Fext exercee par lobjet sur la pince est non nulle, par contre onsupposera de faibles variations de force, sa derive Fext est nulle.

1. A partir des equations etablies lors de la modelisation et avec les hypotheses precedentes, donnez

une representation detat du systeme incluant la force Fext exercee par lobjet sur la pince.

z = Aaz + Bau (9.3)

= Caz + Dau (9.4)

avec : z =

x

Fext

2. Donnez le schema bloc du systeme complet incluant la pince, son observateur augmente, le point

dapplication de la perturbation, le retour detat utilisant le vecteur estime, la force estimee Fext.

3. Montrez que lorsque t

et en labsence derreurs de modele, Fext

Fext

4. Calculez la matrice de retour G pour ce nouvel observateur.


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Examen de septembre dautomatique

Duree : 2 heures.

Aucun document autorise.

Le sujet de cet examen est la modelisation a laide dune representation detat dun helicoptere. Dans

un deuxieme temps, nous developperons une commande par retour detat du systeme fondee sur un

observateur complet de Luenberger. Enfin nous developperons un nouvel asservissement permettant

de garantir une erreur statique nulle

Quelques conseils La justification des choix est aussi importante que les calculs effectues. Ne restez pas bloque sur une question, revenez-y par la suite.

cabine

F

LL1

M

M1

x

xp

Fig. 9.3 Presentation de lhelicoptere ( = /2).

Nous supposerons que le probleme est plan. La position instantanee de lhelicoptere peut donc etredecrite sans ambigute par langle du bras avec la verticale .

La cabine de masse M est surmontee dune helice, le rotor, qui provoque une force F qui tend a fairemonter la cabine. Un contre-poids de masse M1 est situe a une distance L1 du centre de rotation. La

liaison pivot presente un couple de frottement visqueux de la forme fv ainsi quun couple de rappelde la forme kR, ce couple est nul a la position dequilibre en = /2rad.

Modelisation

1. Du modele mecanique precedent, determiner lequation differentielle reliant le mouvement delhelicoptere a la force appliquee par le rotor F.

2. En faisant lhypothese que


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4. Deduisez de ce qui precede une representation detat de la forme :

x = Ax + Bu (9.5)

y = Cx + Du (9.6)

avec y = xpApplications numeriques :m = 2, f = 9, k = 9

Analyse

1. Le systeme est-il stable en boucle ouverte ?

2. Le systeme est-il commandable ?

3. Le systeme est-il observable ?

Commande

1. Donnez la valeur numerique des poles en boucle ouverte.

2. Au vu des poles en boucle ouverte, de votre experience et du systeme proposez des poles enboucle fermee.

3. Justifiez-les en 4 lignes maximum (+ un dessin si besoin).

4. Calculer un regulateur detat qui permet dobtenir la dynamique que vous vous etes fixee enboucle fermee.

5. Par le calcul de la fonction de transfert, verifiez que la dynamique souhaitee est bien obtenue.

6. A laide de cette fonction de transfert, calculer la matrice (ici un reel) de prefiltre.

7. Proposez une autre methode pour obtenir une erreur statique nulle.

Observation

1. Donnez le schema-bloc du systeme sous sa forme de representation detat avec son observateurde Luenberger complet.

2. Proposez et justifiez les poles de lobservateur.

3. Calculer, par la methode de votre choix, la matrice de retour G

Obtention de lerreur statique nulle

1. Donnez le schema complet du systeme incluant :

le systeme lui-meme, un integrateur pur pour obtenir une erreur statique nulle.On considerera que la matrice danticipat

Analyse et correction des systèmes lineaires continus ou échantillionnées a l'aide des variable...

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