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Ch.VI – Simulation des systèmes - p1 SIMULATION DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET INVARIANTS I – Réponse indicielle d'un système linaire continu invariant 1. Gain statique d'un système 1.1. Définition : pour un système linéaire continu invariant stable, sollicité par une entrée constante d'amplitude A, on note que le signal de sortie s(), limite de s(t) pour t , est constant, et on définit le gain statique K, par : A ) ( s ) ( e ) ( s K = = 1.1. Détermination du gain statique Soit H(p) la fonction de transfert du système. On se place dans les conditions d'Heaviside. p A ) p ( E A ) t ( e L = = H(p) E(p) Y(p) Alors : p A ) p ( H ) p ( S = , Puis avec le théorème de la valeur finale, )) p ( H A ( lim )) p ( pS ( lim ) ( s 0 p 0 p = = Enfin : H(0) H(p)) ( lim A H(p)) A ( lim ) ( e ) ( s K 0 p 0 p = = = = Remarques : si H(p) a un pôle en 0, alors il s'agit d'un système intégrateur, la sortie obtenue pour une entrée constante est donc une rampe, est s() = ... le système n'est pas stable. Conclusion : Nous verrons que l'augmentation du gain statique, peut améliorer certaines performances du système (la précision), mais qu'à l'inverse il peut générer d'autres problèmes, le dépassement, l'instabilité par exemple. II – Réponse indicielle d'un système du premier ordre 1. Exemple du circuit RC Reprenons le circuit RC étudié chapitres III et V. # On a déterminé la fonction de transfert : RCp 1 1 ) p ( E ) p ( U ) p ( H + = = On trouve bien H(0) = 1 = K gain statique du circuit. # On impose au système un échelon de tension e(t) = 1, pour t > 0. On cherche alors l'expression temporelle de la sortie u(t), et ses caractéristiques.

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p1

SIMULATION DES SYSTEMESLINEAIRES CONTINUS ET INVARIANTS

I – Réponse indicielle d'un système linaire continu invariant

1. Gain statique d'un système

1.1. Définition : pour un système linéaire continu invariant stable, sollicité par une entréeconstante d'amplitude A, on note que le signal de sortie s(∞), limite de s(t) pour t → ∞, est constant,et on définit le gain statique K, par :

A) (s

) (e) (s

K∞=

∞∞=

1.1. Détermination du gain statique

Soit H(p) la fonction de transfert du système. On se placedans les conditions d'Heaviside.

pA

)p(E A)t(e L =→=

H(p)E(p) Y(p)

Alors : pA

)p(H)p(S = ,

Puis avec le théorème de la valeur finale, ))p(H A(lim))p(pS(lim)(s 0p0p →→ ==∞

Enfin : H(0)H(p))(limA

H(p)) A(lim

) (e) (s

K0p

0p ===∞∞=

Remarques : si H(p) a un pôle en 0, alors il s'agit d'un système intégrateur, la sortie obtenue pourune entrée constante est donc une rampe, est s(∞) = ∞ ... le système n'est pas stable.

Conclusion : Nous verrons que l'augmentation du gain statique, peut améliorer certainesperformances du système (la précision), mais qu'à l'inverse il peut générer d'autres problèmes, ledépassement, l'instabilité par exemple.

II – Réponse indicielle d'un système du premier ord re

1. Exemple du circuit RC

Reprenons le circuit RC étudié chapitres III et V.

# On a déterminé la fonction de transfert : RCp 11

)p(E)p(U

)p(H+

==

On trouve bien H(0) = 1 = K gain statique du circuit.

# On impose au système un échelon de tension e(t) = 1, pour t > 0. On cherche alorsl'expression temporelle de la sortie u(t), et ses caractéristiques.

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p2

R

Ce(t) u(t)

I

J L

K M

N

i(t)

H(p)E(p) U(p)

p1

)p(E = et )RCp 1.(p

1)]p(H[ )p(E)p(U

+==

Puis en décomposant cette fraction,

RC1

p

1 -

p1

)p(U+

=

Et enfin par transformation inverse, RCt

e 1)t(u−

−=

On peut alors tracer la courbe de réponse indicielle du circuit RC, u(t) voir cas général ci-après.

2. Cas général, premier ordre simple

K, gain statique : K = H(0)

τ constante de temps du système. p 1K

)p(Hτ+

=E(p) S(p)

# Soit la réponse à un échelon d'amplitude A : )p 1(p

AKpA

p 1K

)p(Sτ+

=×τ+

=

# Etudions les limites en zéro et en l'infini :

s(0) = Lim t→0 (s(t)) = Lim t→∞ (p S (p)) = 0 valeur initiale nulle

s(∞) = Lim t→∞ (s(t)) = Lim t→0 (p S (p)) = AK valeur finale AK

# Etudions la fonction dérivée et ses limites en zéro et en l'infini :

)p 1(AK

)p 1(pAK

p)0(s)p(PS)p('Sτ+

=τ+

×=+−=

valeur initiale nulle

τ===

+∞→→

AK))p('pS(lim))t('s(lim)0('s

p0t pente initiale non nulle

0))p('pS(lim))t('s(lim)('s0pt

===+∞→+∞→

asymptote horizontale à l'infini

# Analyse temporelle, après décomposition en éléments simples et transformation inverse :

]e1[ AK)t(st

τ

−−=

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p3

Points particuliers : t = τ, s(τ) = 0,63 AK ; t = 3τ, s(3τ) = 0,95 AK

Conclusion :

On observe sur cette courbe temporelle :

La tangente à t = 0, coupe l'asymptote à l'infini pour t = τ.

D'autre part à t = τ, on atteint soit 63% de la valeur finale.

Enfin on atteint 95% de la valeur finale pour t = 3τ. Ainsi Tr5% = 3τ.

Dans le paragraphe sur l'identification, et dans différentes applications, on verra qu'à partir d'uneréponse à un échelon expérimentale, on peut retrouver les caractéristiques du système (tr5%, τ...)en utilisant les propriétés observées sur la courbe de réponse.

Remarques : pour un premier ordre généralisé, l'équation est ] dt

)t(de' )t(e [ K

dt)t(ds

)t(s τ+=τ+ .

On note alors la présence d'un zéro dans la fonction de transfert, et pour la réponse indicielle unediscontinuité de la position en t = 0+. Mais les caractéristiques générales de la réponse indicielled'un premier ordre sont conservées (il faut néanmoins procéder à un décalage d'origine enordonnée pour retrouver ces caractéristiques).

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p4

III - Réponse indicielle - Système du second ordre

1. Exemple : système mécanique

On reprend le système [masse – ressort – amortisseur] étudié dans le chapitre III.

Solide M de masse m, ressort de raideur k, amortisseur de coefficient de frottement visqueux f.

)p(X)k fp mp(

k)p(Y )t(kx)t(ky

dt)t(dy

f dt

)t(ydm

2L

2

2

++=→=++

2pkm

pkf

1

1X(p)Y(p)

H(p)++

==

Entrée échelon d'amplitude A :

)pkm

pkf

1(p

AY(p)

2++=

M

y(t)

x(t)X

Y

k

f

Y0

X0

2. Cas général, deuxième ordre simple

2.1. Expression symbolique de la réponse indicielle

L'équation différentielle d'un système du 2nd ordre s'écrit : )t(Kedt

)t(sda

dt)t(ds

a )t(s 2

2

21 =++

Fonction de transfert s'écrit : 2

00

p

p2 1

K)p(H

++

=

ωωξ

En pratique, à partir de la fonction de transfert obtenue après modélisation, on identifie lesdifférents coefficients afin de déterminer les caractéristiques K, ξ et ω0.

La réponse indicielle d'amplitude A dans les conditions d'Heaviside est en symbolique :

++

=2

00

p

p2 1p

K A )p(S

ωωξ

Pour obtenir l'expression temporelle de la sortie, on décompose S(p) en éléments simples. Pourcela une discussion suivant les différentes valeurs de ξ est nécessaire, en effet les racines de lafonction de transfert dépendent de la valeur de ξ.

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p5

2.2. Cas ξ > 1, régime apériodique

# Expression des pôles de la fonction de transfert

Le dénominateur de H(p) possède deux racines réelles, le système a donc deux pôles réelsdistincts P1 et P2 :

)1( P 2001 −+−= ξωωξ et )1( P 2

002 −−−= ξωωξ

Ainsi ( )( )p 1p 1pKA

)p(S21 τ+τ+

= avec 1

1 P1

−=τ et 2

2 P1

−=τ

# Etudions les limites en zéro et en l'infini :

s(0) = Lim t→0 (s(t)) = Lim t→∞ (p S (p)) = 0 valeur initiale nulle

s(∞) = Lim t→∞ (s(t)) = Lim t→0 (p S (p)) = AK valeur finale AK

# Etudions la fonction dérivée et ses limites en zéro et en l'infini :

)p 1)(p 1(AK

)p 1)(p 1(pAK

p)0(s)p(PS)p('S2121 τ+τ+

=τ+τ+

×=+−=

valeur initiale nulle

0))p('pS(lim))t('s(lim)0('sp0t

===+∞→→

pente initiale nulle

0))p('pS(lim))t('s(lim)('s0pt

===+∞→+∞→

asymptote horizontale à l'infini

# Analyse temporelle, après décomposition en éléments simples et transformation inverse :

Décomposition en éléments simples

( )( )

τ+τ−

τ+τ

τ−τ+=

τ+τ+=

p1p11

p1

K Ap 1p 1p

KA )p(S

2

22

1

21

1221

Expression temporelle de la réponse indicielle

τ−τ

τ−τ+= τ

−τ−

21

t

2

t

112

e e K A

K A)t(s

Conclusion : la réponse obtenue est apériodique , son allure assez proche de celle de la réponsed'un système du premier ordre, diffère néanmoins par la tangente horizontale en zéro.

Principales caractéristiques :

- En t = 0 la pente est nulle, tangente horizontale ;- Pas de dépassement ;- Valeur finale A K, asymptote horizontale.

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p6

Remarques :

Si une des deux constantes de temps est très supérieure à l'autre (τ1 << τ2), alors la réponseindicielle peut s'assimiler à la réponse d'un système du premier ordre, ou d'un système du premierordre retardé de τ1.

Sur la courbe on peut alors déterminer la constante de temps dominante, et en déduire une valeurapprochée du temps de réponse.

2.3. Cas ξ = 1, régime critique

# Expression du pôle double de la fonction de transfert

ξ = 1 alors le dénominateur de H(p) possède deux racines réelles confondues, le système a unpôle double réel P0.

m0P ω= et ( )2Op 1p

K)p(S

τ+= avec

00 P

1 −=τ

# L'étude des limites de la fonction et de la fonction dérivée est identique à celle du cas ξ > 1.

# Analyse temporelle, après décomposition en éléments simples et transformation inverse :

Décomposition en éléments simples

( ) ( ) ( )

τ+τ−

τ+τ−=

τ+=

2O

0

O

02

O p 1p 1p1

Kp 1p

K)p(S

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p7

Expression temporelle de la réponse indicielle (voir ci-dessus)

τ−−= τ

−τ

− t t

et

e 1K)t(s

Conclusion : c'est un cas particulier du régime apériodique, la réponse a la même forme, mais onremarque que le système est plus rapide. Physiquement l'amortissement correspond à des pertesénergétiques, donc la diminution de ce facteur, entraîne une augmentation du rendement.

C'est la réponse la plus rapide sans dépassement de la valeur finale.

2.4. Cas ξ < 1, régime pseudo-périodique

# Expression des pôles de la fonction de transfert

ξ < 1 alors le dénominateur de H(p) possède deux racines complexes conjuguées, le systèmeadmets deux pôles complexes.

)1( j P 2001 ξωωξ −+−= et )1( j P 2

002 ξωωξ −−−=

# L'étude des limites de la fonction et de la fonction dérivée est identique à celle du cas ξ > 1.

# Analyse temporelle, après décomposition en éléments simples et transformation inverse :

Décomposition en éléments simples

( )

−++

+−−++

−=++

=22

02

0

0

220

20

02

020

20

)1()p(

p

)1()p(p1

K Ap p2 p

K A )p(S

ξωξωξω

ξωξωξω

ξωωω

Expression temporelle de la réponse indicielle

Après transformation inverse, et une opération mathématique (voir en annexe les tableauxdes transformées de Laplace) :

ψ−ξ−ω

ξ−+=

ωξ−

) t ) 1(sin() 1(

e 1K)t(s 2

m2

t m

avec

−−

=ξξψ

) 1(arctg

2

Conclusion : la réponse obtenue est pseudo-périodique, avec dépassements. Le système est plusnerveux, mais pas nécessairement plus rapide. Si le coefficient d'amortissement est trop faible, lesoscillations seront longues à amortir.

Principales caractéristiques :

- En t = 0 la pente est nulle, tangente horizontale ;- Dépassement et oscillations amorties (oscillations non visibles si 0,7 ≤ ξ < 1) ;- Valeur finale A K, asymptote horizontale.

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p8

Remarque : la valeur ξ = 0,7 correspond à la réponse la plus rapide.

IV - Influence du bouclage

1. Bouclage d'un système du premier ordre

On se place dans le cas d'un système à retour unitaire.

+-

O(p)E(p) S(p)

p 1K

)p(O)p.(O.B.T.Fo

o

τ+==

F(p)E(p) U(p)

p)K 1(

1

)K 1(K

)p 1( KK

)p(F

o

o

o

o

oo

o

++

+=++

= ττ

Le bouclage ne change pas l'ordre du système.

Considérons les deux fonctions de transfert, en boucle ouverte puis en boucle fermée. On peutfacilement identifier la fonction de transfert en boucle fermée d'un système asservi linéaire dupremier ordre sous la forme :

p 1K

)p(FF

F

τ+=

o

oF K 1

KK

+=

o

oF K 1+

= ττ

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p9

KF < Ko et KF < 1 ⇒ Le gain statique diminue avec le bouclage.

τF < τo ⇒ La constante de temps diminue avec le bouclage.

L'évolution s'effectue avec un rapport de (1 + Ko), appelé coefficient de rétro-action.

Réponse indicielle dans les conditions d'Heaviside :

Les deux fonctions de transfert étant identiques, les deux fonctions temporelles de sortie auront

la même forme, ]e1[ K)t(s o

t -

ooτ−= en boucle ouverte, et ]e1[ K)t(s F

t -

FFτ−= en boucle fermée. En

conclusion il n'y a pas de modification de la forme de la réponse indicielle, entre le système ouvertou bouclé.

On note de plus que o

o'o

K)0(s

τ= et

F

F'F

K)0(s

τ= soit )0(s)0(s '

F'o = , même pente à l'origine.

Résultats obtenus pour un système à retour unitaire dans les conditions d'Heaviside.

2. Bouclage d'un système du deuxième ordre

Les deux fonctions de transfert s'écrivent de la manière suivante :

2

ooo

o

p

p2 1

K )p(O

++

=

ωωξ

et 2

FFF

F

p

p2 1

K )p(F

++

=

ωωξ

)K 1( o

oF +

= ξξ Fξ diminue → Le système est plus nerveux, mais il y a risqued'oscillations et de dépassement. Tr5% n'est pas forcément meilleur.

o

oF K1

KK

+= FK diminue → Même influence sur le gain statique que pour un

premier ordre.

)K 1( ooF += ωω Fω augmente → Augmentation de la rapidité

V – Conclusion influence des différentes caractéris tiques

# Influence du coefficient d'amortissement sur les réponses indicielles : le graphe ci-dessousvisualise l'ensemble des courbes obtenues pour K = 1 et ω = 10 rd/s, pour différentes valeurs de ξ.

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p10

Si l'amortissement est trop important, le système devient excessivement lent, par contre si ξ esttrop faible, il y a dépassement et oscillations. Pour ξ = 1 ni dépassement ni oscillation.

# Influence de la pulsation des oscillations non amorties :

Les trois graphiques sont établis pour K = 1. Pulsation ω0 = 20 rd/s ; 10 rd/s ; 5 rd/s

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p11

Conclusion : influence du bouclage

On a déjà explicité les modifications engendrées par le bouclage : ξ ↓ ; KF ↓ ; ωF ↑.

# L'augmentation du gain sur un système, améliore la précision. Le système bouclé est doncmoins précis. Une correction possible sera une action proportionnelle. Mais l'augmentation du gaincomporte aussi des limitations technologiques (gain infini impossible). De plus, un fort gainaugmente les risques d'instabilité.

# La diminution du coefficient d'amortissement influe sur le temps de réponse, sur ledépassement, et sur l'oscillation du système. Le temps de réponse minimum est obtenu pour uncoefficient d'amortissement de 0.7, on peut alors régler le coefficient en B.F. à cette valeur. Si onadmet un dépassement de 20% (maximum toléré), on pourra régler ce coefficient à la valeur de0.43, augmentant alors la nervosité, sans nuire à la stabilité.

# L'augmentation de la pulsation, entraîne une augmentation de la rapidité du système.

VI - Importance des pôles et des zéros de la fonct ion de transfert

1. Influence d'un pôle sur la réponse d'un système

Premier ordre : p 1

K)p(H

τ+= → un pôle réel

τ1

P −=

Dans le plan complexe, plus le pôle est proche de l'axe desimaginaires, plus son influence est grande : le temps de réponseaugmente, le régime transitoire est plus long.

Im

Re

Pôle P1

ττττ

Deuxième ordre :

Deux pôles complexes conjugués ξ < 1 :

) 1(j P 2mm1 ξωξω −+−=

) 1(j P 2mm2 ξωξω −−−=

Plus les pôles se rapprochent de l'axe des imaginaires,plus le régime transitoire est long.

Re

ImLieu des pôles,pour ξ variable ξ = 0

ξ = 0

P1

P2

Deux pôles réels distincts ξ > 1 :

)1 ( P 2mm1 −+−= ξωξω

)1 ( P 2mm2 −−−= ξωξω

Re

ImPôle P1

Pôle P2

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p12

Lorsque ξ augmente, P1 se rapproche de l'axe des imaginaires, et P2 s'en éloigne. Le système serapproche d'un système du premier ordre, il y a un mode dominant. On trouve alors :

m1

2 #

p1

ω

ξτ −= (équivalent pour ξ grand) soit un temps de réponse m

%5

6 # trω

ξ

Cette simplification est justifiée dès que ξ ≥ 1,5. On montre aussi que si τ1 > 8τ2 alors tr 5% = 3τ1.

2. Influence d'un zéro ou d'un pôle supplémentaire

Soit un système du deuxième ordre, de fonction de transfert 2

00

p

p2 1

K )p(H

++

=

ωωξ

On procède à une analyse en réponse indicielle, d'amplitude A. On considère successivementl'ajout d'un zéro Z0, d'un pôle P3, et enfin des deux simultanément, pour visualiser leur influencesur la réponse indicielle.

Premier cas : ajout d'un zéro

Système du deuxième ordre, avec deux pôles complexes conjugués, et un zéro supplémentaire.

Pôle P1

Pôle P2

Zéro Z0

Im

Re

s(t)

t

AK

Avec Zo

Sans Zo

1/(τoωo²)

Augmentation de la nervosité : augmentation des dépassements, et pente initiale non nulle.

Influence négligeable si Z0 est trop éloigné de l'axe des imaginaires (0

0 31ω

τ < )

Deuxième cas : ajout d'un zéro

Système du deuxième ordre, avec deux pôles réels, et un zéro supplémentaire.

Pôles P1 et P2

Zéro Z0

Im

Re

s(t)

AK

Avec Zo

Sans Zo

1/(τoωo²) t

Augmentation de la nervosité : génération de dépassements si Z0 est situé entre l'origine et P1, penteinitiale non nulle, diminution éventuelle du temps de réponse tr5%.

Influence négligeable si Z0 est trop éloigné de l'axe des imaginaires ( ²3

1

00 ω

τ < )

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p13

Troisième cas: ajout d'un pôle

système du deuxième ordre, avec deux pôles complexe conjugués, et un pôle supplémentaire(nécessairement réel).

Im

Re

Pôle P3

Pôle P1

Pôle P2

s(t)

AK

Sans P3

Avec P3

t

Diminution de la nervosité : diminution des dépassements (suppression même si 0

3

1ξω

τ ≥ ),

augmentation éventuelle du temps de réponse tr5%.

Influence négligeable si P3 est trop éloigné de l'axe des imaginaires (0

3 31ω

τ < )

Influence simultanée d'un zéro et d'un pôle supplémentaire :

On montre facilement que si le zéro est plus influent (plus proche de l'axe des imaginaires), lesystème sera plus nerveux, à l'inverse, si c'est le pôle le plus influent, le système sera moinsnerveux.

Influence d'un zéro et d'un pôle supplémentaire sur la réponse en vitesse :

On montre de façon similaire, que l'ajout d'un zéro diminue l'erreur de traînage, et qu'à l'inverse,l'ajout d'un pôle augmente cette erreur.

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p14

EXERCICES D'APPLICATION

Ex. 1 - Circuit RC

Soit le circuit RC suivant. On considère le condensateur déchargé à l'instant t = 0 et on note e(t) etu(t), les tensions respectives d'entrée et de sortie.

R1

Ce(t) u(t)

I

J L

K M

N

i(t)

R2

On se propose de mettre ce problème en équation, de déterminer ensuite sa fonction detransfert. Enfin on souhaite connaître sa réponse indicielle.

1. Déterminer la fonction de transfert de ce système électrique.

2. Tracer un diagramme fonctionnel, faisant apparaître le courant.

3. On donne R2 C = 1 ms et (R2 + R1) C = 5 ms. On applique un échelon de tension de 10 Ven entrée.

Déterminer les valeurs limites de u(t), sans déterminer la fonction temporelle.Déterminer ensuite l'expression temporelle de u(t), et tracer l'allure de la réponse indicielle.

Ex. 2 - Circuit RLC

Soit un circuit RLC classique, on se propose de déterminer la fonction de transfert, et l'ordre dece sous-système.

R

L

C u(t)

I

J

e(t)

M

NJ'

I'

1. Mettre en équations le système. Les équations qui régissent ce système sont bien sûr leséquations de l'électricité.

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p15

2. A l'aide de la transformée de Laplace et des différents théorèmes déterminer la fonction detransfert du circuit. Quel est l'ordre de ce système? Identifier la fonction de transfert avec la formesuivante :

20

2

0

p

p2 1

K)p(H

ωωξ ++

=

Préciser les expressions des trois données K, ξ et ω0.

3. Donner alors une représentation du schéma fonctionnel, en faisant apparaître en entrée la tensionE(p), et en sortie à la fois la tension U(p), et le courant I(p).

4. On pose e(t) = 10 V pour t > 0. Déterminer l'expression de u(t) pour les valeurs de R, L et Csuivantes.R = 103 Ω ; L = 0.1 H ; et C = 1 µ F. Procéder en trouvant les racines (en numériques dudénominateur), puis en utilisant la transformée de Laplace inverse. Tracer alors la courbe deréponse, déterminer graphiquement le temps de réponse à 5%.

Que se passe-t-il si C = 0.1 µ F ? Retracer alors sur le même graphe, l'allure de la sortie, enutilisant cette fois l'expression temporelle de la sortie donnée en cours.

Ex. 3 - MISE EN MOUVEMENT DE BACS

On se propose de déterminer les caractéristiques d'un mécanisme qui permet la mise en mouvementde bacs, dans une chaîne automatisée. La configuration du dispositif est indiquée sur la figure ci-dessous ; le mécanisme est embarqué sur un chariot. Les grandeurs numériques sont en fin de sujet.

Le système comprend :

Un moteur électrique à courant continu ; Un réducteur de vitesse, rapport de réduction β =1/6,25 Un système poulie courroie. Le diamètre des poulies est Φ=44mm ; Un poussoir solidairede la courroie, en liaison glissière avec le chariot.

Le bac repose sur un tapis, il possède une masse m = 14 kg. Le contact s'effectue avec uncoefficient de frottement f1 = 0,3. Le système est asservi en vitesse à l'aide d'une génératricetachymétrique.

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p16

1. Modélisation du moteur à courant continu

U(p)

E(p)

I(p)

Cr(p)

Ωm(p)kc

ke

1

R Lp+1

f J pT+

Déterminer à partir du schéma ci-dessus les expressions de F1(p) et F2(p), donnés par :

Ωm F U F Cr(p) (p) (p) (p) (p)= +1 2

2. Etude de la commande en vitesse

On étudie maintenant le schéma fonctionnel du système (voir annexe), où le bloc BM(p) représentele bloc-moteur.

Kb BM(p)

GT

ADCONS Ω(p) Ωm(p)

Cr(p)

MES Ω(p)

U(p) UC(p)

# Justifier la nécessité du bloc d'adaptation AD.

# Transformer le schéma précédent en système à retour unitaire.

# Quelle doit être la fonction de transfert du bloc AD pour satisfaire la condition suivante : Uneconsigne en tour par minute permet d'obtenir une vitesse de rotation du moteur en tour par minutede valeur sensiblement identique.

3. Etude de la fonction de transfert F 1(p)

On considère maintenant pour les deux questions suivantes uniquement l'entrée decommande du moteur. On se place dans le cas où l'entrée de perturbation Cr(p) est nulle.

# Déterminer l'expression littérale de O(p), fonction de transfert de la chaîne d'action définie par leschéma ci-dessous (on néglige le frottement fluide f = 0) :

O(p)UC(p) MesΩΩΩΩ(p)

+-

# Donner son expression numérique sous forme canonique (pour Kb=1), puis les valeursnumériques de ses grandeurs caractéristiques K, ξ, ω0.

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p17

# Procéder de même pour F(p). Pour l'expression littérale de F(p), on utilisera O(p) sansdévelopper son expression. Donner les valeurs numériques des deux pôles P1 et P2 de F(p).Toujours pour Kb = 1 pour les applications numériques.

F(pMes

Uc)

(p)(p)

4. Réponse indicielle

On simplifie le problème à partir des valeurs obtenues précédemment : le dénominateur de F(p)peut se mettre sous la forme :

( )( )1 11 2+ +τ τ p p

Une des constantes de temps est nettement plus grande que l'autre, le système peut s'assimiler à unpremier ordre. Donner la valeur numérique de τ1.

On considère la réponse à un échelon de vitesse CONS(Ω) = 2000 tr.mn-1. Donner l'expressionlittérale de la sortie obtenue Ω(p). Déterminer alors les principales caractéristiques de cette sortie,sans revenir dans le domaine temporel.

5. Erreur statique

Pour une entrée d'échelon unitaire, exprimer ε(p) (signal en sortie du comparateur) en fonction deO(p), puis déterminer l'erreur statique.

Caractéristiques du moteur et de la génératrice tachymétrique

Puissance P = 900 W ; Tension maximum U = 120 V ; Constante de couple KC = 0,24 N.m/A ;Constante de F.C.E.M. Ke = 25,5 V/1000 tr.mn-1 ; Résistance d'induit R = 2 Ω ; Inductanced'induit L = 0,5 mH ; Inertie de l'ensemble mobile, ramenée à l'arbre moteur JT = 2,68.10-4

m².kg ; Génératrice tachymétrique GT = 10 V/1000 tr.mn-1.

Ex. 4 – Ascenseur fluvial funiculaire de Strepy-Thieu

PRESENTATION

En vue de moderniser les voies d’eaunavigables d’Europe, il fut décidé en 1954 deporter le gabarit du réseau d’intérêt international àcelui des péniches de 1350 tonnes. Les défistechnologiques à relever sont de taille, notammentpour le franchissement des dénivelés.

Sur le canal du centre en Belgique, l'ascenseurfluvial funiculaire de STREPY-THIEU permet defranchir un dénivelé de 73,15 mètres. Il voit lejour et fonctionne pour la première fois en 2001.

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p18

DESCRIPTION DU DISPOSITIF ETUDIE

On s’intéresse ici à une utilisation enmontée de cet ascenseur, assurée par lafonction de service FS1 «Transborderune péniche du canal aval au canalamont» .

Plus précisément on s'intéresse à lacommande des moteurs qui assurent lelevage du bac.

Transborder unepéniche du canal

aval au canal amontA-0

Péniche dans lecanal aval

Péniche dans lecanal amont

Quantité d’eaudans le bac

Quantité d’eaudans le bac

AutorisationNiveau dans la canalamont et aval Energie

Ascenseur fluvialfuniculaire.

Le cœur du système de levage se trouve dans la salle des machines. On y trouve, pour chaque bac :

- Quatre moteurs asynchrones, associés à un réducteur grande vitesse (RGV) et des treuils. Lafréquence de rotation des moteurs asynchrones en charge est voisine de Nmot = 985 tr.min-1.- La vitesse des treuils est encore réduite, pour entraîner des tambours.- Les tambours agissent sur des câbles liés d’un côté au bac, et de l’autre aux contrepoids.

La montée proprement dite comprend trois phases : accélération constante pendant 25s, Vitesseconstante (de 0,2 m.s-1), Décélération constante pendant 25s. Au cours de ces trois phases le couplerésistant qui agit sur l'ensemble en rotation est variable (créé par le poids des divers éléments,notamment des câbles, du bac et des contrepoids). Dans cette partie, on ne s’intéressera qu’à lacommande du couple moteur.

MODELISATION DU MOTEUR

La modélisation et la commande des moteurs asynchrones qui créent le mouvement vertical du bacétant très complexes, on travaillera sur un modèle de méga-moteur équivalent (hypothétique) à courantcontinu, entraînant directement l’axe du tambour. On suppose que dans les différents régimes defonctionnement considérés (accélération, décélération, vitesse constante), le comportement linéarisédu méga-moteur reste toujours décrit par les équations suivantes :

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p19

Equation électrique : dt

)t(dik)t(ei(t) k)t(u LmR ++=

Equation de couplage tension-vitesse : (t) k)t(e em ω=Equation de couplage couple-intensité : i(t) k)t(c tmot =

Avec les variables :

u(t) : tension d'alimentation du moteuri(t) : intensité dans l'induit du moteurem(t) : force électromotrice du bobinageω(t) : vitesse angulaire du rotorcmot(t) : couple fourni par le moteur

et les paramètres :

kR : résistance d'induitkL : inductance d'induitkt : constante de couplage mécaniqueke : constante de couplage électromoteur

Pour les applications numérique : kR = 2,35 Ω , kE = 9,7 V/rad.s-1, kL = 0,8 H, kt = 46 N.m/A

Les données nominales du moteur sont les suivantes : Tension 1000 V ; Intensité 420 A ; Couplemoteur 19320 N.m ; fréquence de rotation 985 tr.min-1

1. Schéma fonctionnel

Décrire le fonctionnement du moteur par un schéma-blocs de la forme ci-dessous, en supposant lesconditions initiales nulles Donner les expressions de latransmittance T(p) (sous forme canonique) et du gain k.

Cmot(p)-+kT(p)

T(p)

Ω(p)

U(p)

COMMANDE DU MOTEUR

On appelle c*mot(t) la consigne decouple moteur définie par le niveausupérieur, et cmot(t) le couple moteur réel.Celui-ci est mesuré par un capteur de gainpur kc qui en donne une image xc(t).Demême, la vitesse de rotation ω(t) estmesurée par un capteur de vitesse de gainpur kω. Les deux gains sont connus.

Le but de la commande mise en placeest d'asservir le moteur en coupleindépendamment de la vitesse de rotation.

La Figure ci-contre présente le schéma derégulation de couple moteur retenu quiimplémente une loi de commande définiepar )p(GC et )p(Gω . On cherche à

déterminer ces deux fonctions de transfert.

C*mot(p) XC(p)

U(p)

kC

GC(p)

Cmot(p)

-+

Gω(p)

++

+-

T(p)

kT(p)

Ω(p)

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Ch.VI – Simulation des systèmes - p20

4. Modélisation de la régulation de couple

4.1. Etablir deux schéma-blocs présentant une modélisation fonctionnelle d'un système boucléclassique et montrer que le couple moteur peut s'écrire : (p) )p(H(p)C )p(H)p(C *

motCmot Ω+= ω . Donner

l’expression des fonctions de transfert )p(HC et )p(Hω en fonction de )p(GC et )p(Gω .

4.2. Montrer que l’on peut choisir )p(Gω de façon à annuler )p(Hω .

5. Commande proportionnelle et intégrale

Avec ce choix de )p(Gω , et en supposant le capteur de couple de gain unitaire (kc=1), on étudie les

performances d'une commande proportionnelle et intégrale pB

A)p(GC += .

5.1. Mettre )p(HC sous forme canonique 2C bpap1

)p 1(K)p(H

+++= τ

et calculer les différentes constantes

K, τ, a et b en fonction de A et B. Application numérique, avec les valeurs de kt, kR et kL.

5.2. Donner la valeur des coefficients A et B qui mettent )p(HC sous la forme 2C p) 1,0(1

)p 1()p(H

++= τ

.

En déduire la valeur de τ .

6. Réponse indicielle – Performance : précision

6.1. On procède à une réponse indicielle unitaire : donner l'expression littérale du couple obtenu,procéder aux applications numériques.

6.2. Sans revenir en temporel, évaluer les limites de Cm(t) et de la fonction dérivée dt

)t(dCm. En

déduire l'allure de la réponse indicielle.

6.3. Calculer l’erreur statique sur le couple moteur résultant de ce choix. Expliquer pourquoi ons’intéresse en fait à l’erreur de traînage, et la calculer.