Analyse des équations aux dérivées...

École Centrale Paris

Mathématiques 2D. Verwaerde et P. Laurent-Gengoux

Analyse des équations aux dérivéespartielles

P. Laurent-Gengoux

Année 2006-2007

2 Analyse des équations aux dérivées partielles

ECP 2006-2007 2

Table des matières

1 Rappels et prérequis 111.1 Quelques formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Formule d’intégration par parties en dimension N . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Systèmes d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Systèmes d’équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Résolution d’un système non linéaire par déformation . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.1 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Systèmes différentiels linéaires homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Principes de construction d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . 221.4.1 Les lois de conservation ou d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2 Les principes d’extrémalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Exemples d’équations aux dérivées partielles 252.1 Les problèmes linéaires canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Un problème aux limites elliptique linéaire : l’équation de Poisson . . . . . 252.1.2 Un problème d’évolution, parabolique linéaire : l’équation de la diffusion . . 292.1.3 Une équation linéaire du premier ordre : l’équation d’advection . . . . . . . 312.1.4 Un problème d’évolution, hyperbolique linéaire : l’équation des ondes . . . . 33

2.2 Les problèmes classiques de la physique mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.1 Les équations de transport ou de convection avec réaction et diffusion . . . . 382.2.2 La diffusion avec rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.3 L’élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.4 L’écoulement des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.5 Les phénomènes vibratoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.6 Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.7 Exemples de problèmes plus complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

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3 Quelques outils d’analyse des E.D.P. 493.1 Propriétés des opérateurs linéaires aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1 Opérateurs linéaires aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.2 Opérateurs du premier et second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.3 Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.4 Fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.5 Noyau des opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.6 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.7 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Application de la linéarité de l’opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.1 Découplage des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.2 Décomposition à l’aide de fonctions spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Formulation faible des équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.1 Équivalence des formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.2 Formulation au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.3 Utilisation des formulations faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.4 Interprétation des formulations faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4 Calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4.2 Le théorème d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.3 Généralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5 Système du premier ordre équivalent à un système donné . . . . . . . . . . . . . . . 753.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.5.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6 Le théorème de Cauchy-Kovalevska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6.2 Le théorème de Cauchy-Kovalevska : forme canonique . . . . . . . . . . . . 803.6.3 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6.4 Surface caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6.5 Système quasi-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4 Les problèmes aux limites 914.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.2 Définition des problèmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.1.3 Systèmes d’équations elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 Problème associé à un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.2 Equation dérivant d’un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.3 Potentiel coercif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2.4 Potentiel convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2.5 Analyse des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 Exemples d’analyse de problèmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3.1 Équation elliptique linéaire du second ordre générale . . . . . . . . . . . . . 100

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TABLE DES MATIÈRES 5

4.3.2 Diffusion et membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.3 Diffusion non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.4 Importance des signes : Vibration forcée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.5 Une équation faiblement non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.6 Une équation fortement non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.7 Une équation conditionnellement elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.3.8 Quelles lois linéaires de diffusion impliquent l’ellipticité ? . . . . . . . . . . 1054.3.9 Quelles lois non linéaires de diffusion impliquent l’existence et l’unicité ? . . 1064.3.10 Cas non convexe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.11 Cas non convexe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.12 Cas non convexe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.13 Cas non convexe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3.14 Un exemple sans potentiel : la convection diffusion . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4 Exemples en mécanique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.4.1 Élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.4.2 Élasticité non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5 Les équations d’évolution 1135.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.1.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.1.3 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.1.4 Classification de problèmes élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.1.5 Equation parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.1.6 Équation hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2 Equation du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.2.1 Equation linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.2.2 Equation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.2.4 Equation quasi-linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.3 Système linéaire strictement hyperbolique à deux variables (x, t) . . . . . . . . . . . 1255.3.1 Système linéaire strictement hyperbolique homogène à coefficients constants

à deux variables (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.3.2 Système général d’équations linéaires aux dérivées partielles à deux variables

(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.4 Système linéaire et quasi-linéaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.5.1 Burgers, sans viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.5.2 Dynamique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.5.3 Equation de convection diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5 Mathématiques 2


6 Le cadre fonctionnel 1396.1 Formulations faibles et distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.1.1 Notion de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.1.2 Distributions sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.2 Le problème de l’existence des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.2.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.2.2 Le théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.2.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2.4 Le cadre fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.2.5 Exemple d’utilisation du cadre fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7 L’approximation des problèmes aux limites 1497.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.1.2 Le problème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.1.3 Un problème modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.2 Principes généraux d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.2.1 Méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.2.2 Méthode de Ritz-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.2.3 Approximation par des fonction affines par morceaux . . . . . . . . . . . . . 1587.2.4 L’espace Wh des fonctions continues affines par morceaux . . . . . . . . . . 1597.2.5 Algorithmes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.3 Quelques extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.3.1 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.3.2 Généralisation de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.3.3 Éléments finis de degré supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.3.4 Dimension 1 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.4 Étude de l’erreur dans la méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.5 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.5.1 Propriétés nécessaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.5.2 Méthodes de maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.5.3 Triangulation de Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8 L’approximation des problèmes d’évolution 1858.1 Approximation de problèmes modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.1.1 Problèmes modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.1.2 Approximation par la méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . 1868.1.3 Analyse des approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.1.4 Analyse de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.1.5 Critères de stabilité des schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.1.6 Analyse et extensions de la méthode des différences finies . . . . . . . . . . 206

8.2 Approximation par la méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.2.1 Équation de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.2.2 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

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TABLE DES MATIÈRES 7

8.2.3 Analyse et extensions de la méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . 2148.3 Approximation des équations hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8.3.1 Un problème modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.3.2 Approximation par la méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . 2178.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7 Mathématiques 2


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Présentation

Objectifs de ce document

Ce document est un document de référence pour le cours d’analyse et d’approximation des équa-tions aux dérivées partielles. Il est complémentaire des documents décrivant chaque séance qui ont étédistribués à part. Il contient quelques rappels et de nombreux passages qui ne sont pas au programme,(le programme est défini par les documents décrivant chaque séance). En complément du programme,axé sur l’analyse qualitative et numérique des équations aux dérivées partielles, nous présentons dansce document :

– des résumés des méthodes classiques de calcul de solutions d’équations aux dérivées partielles.– quelques compléments pour aller plus loin dans l’étude des équations aux dérivées partielles.– de nombreux exemples non traités en cours.

Nous nous sommes efforcés de maintenir un équilibre entre la généralité et la complication des énon-cés : les théorèmes ne sont pas énoncés sous la forme la plus générale chaque fois que cela compliquetrop les notations ou que cela les rend trop abstraites ; c’est a fortiori vrai pour les démonstrations.Nous avons évité au maximum de recourir à des notions non élémentaires de calcul différentiel etsurtout d’intégration et d’analyse fonctionnelle. Notamment nous n’utilisons pas le cadre des espacesde Sobolev ni la théorie des distributions, nous leur consacrons cependant un court chapitre pouren expliquer l’intérêt. Cette simplification est possible parce que nous ne traitons pas la question del’existence des solutions d’une équation aux dérivées partielles, nous nous limitons à l’étude qualita-tive des solutions.

Position du problème

Nous présentons dans ce document quelques idées pour comprendre les problèmes, en générald’origine physique, dans lesquels on cherche une ou plusieurs fonctions vérifiant des équations auxdérivées partielles et des conditions supplémentaires, par exemple les valeurs en certains points de lafonction inconnue ou de ses dérivées. Le sujet est évidemment très vaste, puisque les équations auxdérivées partielles modélisent l’ensemble des phénomènes physiques, certains domaines sont encoremal connus et beaucoup de problèmes sont l’objet de conjectures. Nous n’avons donc pas l’ambitiondans ce court document de faire une synthèse des connaissances actuelles mais nous essayons d’in-troduire quelques idées simples pour comprendre les problèmes élémentaires.

Prenons l’exemple des équations linéaires ; les solutions d’une équation aux dérivées partielleslinéaire forment un espace de dimension infinie, elles dépendent linéairement, par exemple, des co-

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efficients d’une série, ou encore de la donnée d’une ou de plusieurs fonctions arbitraires. “Résoudreces équations”, c’est, au mieux, obtenir des représentations de la solution sous forme de séries etd’intégrales dépendant de fonctions arbitraires. Mais les représentations ainsi obtenues de la solutiongénérale de l’équation sont peu manipulables, sauf dans quelques cas particuliers, et ne permettentpas de comprendre quelles conditions supplémentaires déterminent la solution. Le plus souvent on nepourra calculer que des approximations des solutions.

Dans le cas général, on peut essayer de déterminer des solutions d’une équation aux dérivées par-tielles en posant des problèmes de Cauchy, c’est à dire la détermination locale de la solution à partirde certaines de ses valeurs sur une courbe (si on est en dimension 2). Mais d’une part ce problème,quand il a une solution (théorème de Cauchy-Kovalevska), n’est pas toujours bien posé : la solutionne dépend pas toujours de façon stable de ses valeurs sur une courbe et elle dépend d’une infinitéde paramètres (les valeurs sur la courbe). D’autre part les conditions supplémentaires sont aussi ennombre infini, la détermination des paramètres est donc un problème non trivial.

C’est pourquoi nous ne présenterons pas, comme cela a été fait pour les équations différentielles,“une théorie générale” reposant sur les propriétés des solutions d’une équation. Nous étudierons depréférence des problèmes complètement posés ayant en général une solution bien déterminée, pourlesquels on peut s’appuyer sur l’interprétation physique, pour comprendre les propriétés du problème.Et nous étudierons des principes généraux qui permettent de comprendre pourquoi un problème estbien posé, quelles sont les propriétés de ses solutions et comment on peut construire des approxima-tions des solutions.

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Chapitre 1

Rappels et prérequis

1.1 Quelques formules utiles

1.1.1 Notations

On note 〈x, y〉 =∑

i xiyi le produit scalaire canonique de RN . Soit u(x) et v(x) des fonctionsdéfinies sur un domaine Ω ⊂ RN ; Φ(x) est un champ de vecteur sur Ω, ~n = (n1, · · · , nN ) est levecteur normal unitaire extérieur en un point du bord Γ de Ω.

1.1.2 Formule d’intégration par parties en dimension N

∫Ω

∂u(x)∂xi

v(x) dΩ = −∫

Ωu∂v(x)∂xi

dΩ +∫

Γu v ni dΓ (1.1)

On en déduit diverses formules très utiles.

1.1.3 Formule de Stokes

∫Ω〈Φ,∇v〉 dΩ =

∫Ω−∇ . Φ v dΩ +

∫Γ

Φn v dΓ (1.2)

où Φn = 〈Φ, ~n〉. Avec v = 1 on obtient la formule de Green∫Ω∇ . Φ dΩ =

∫Γ

Φn dΓ (1.3)

En prenant Φ = ∇u on obtient∫Ω〈∇u,∇v〉 dΩ =

∫Ω−∆u v dΩ +

∫Γ

∂u

∂nv dΓ (1.4)

où ∂u∂n = 〈∇u, ~n〉 est la dérivée de u dans la direction ~n.

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1.2 Systèmes d’équations

1.2.1 Systèmes linéaires

Introduction

Dans l’approximation des équations aux dérivées partielles nous aurons à considérer des systèmeslinéaires de très grande dimension qui auront le plus souvent la propriété d’avoir une matrice “creuse”(i.e. la plupart des éléments sont nuls) et symétrique. Soit A une matrice (n, n) et b ∈ Rn.

Définition 1 Une matrice symétrique A est définie positive si x 6= 0 ⇒ 〈Ax, x〉 > 0

Le résultat suivant est à la base de l’étude des systèmes linéaires :

Proposition 1 Le système linéaireAx = b (1.5)

admet une solution et une seule si le système homogène associé admet pour seule solution x = 0, cequi est équivalent à detA 6= 0

La deuxième partie de la proposition n’est pas d’un grand intérêt pratique pour les systèmes de grandedimension : le déterminant d’une matrice de grande dimension est le plus souvent un nombre sanssignification ( numériquement infini ou nul). La première partie de la proposition peut être complétéepar une condition suffisante qui nous sera très utile :

Théorème 1 Si la matrice A a sa partie symétrique qui est définie positive alors le système linéaireadmet une solution et une seule

En effet Ax = 0 implique 〈Ax, x〉 = 〈A+At

2 x, x〉 = 0 ce qui implique x = 0 si A + At est définiepositive.

Notion de conditionnement

Dans ce paragraphe nous n’utilisons que la norme euclidienne, qui conduit à des calculs simples,mais il peut être nécessaire de faire la même étude pour d’autres norme, notamment la norme ‖x‖∞.Un système linéaire peut avoir une solution et une seule sans que cette solution soit stable vis àvis des données. Considérons une perturbation δb du second membre b de (1.5), elle implique uneperturbation δx = A−1δb de la solution et donc une erreur relative

‖δx‖2‖x‖2

≤ ‖A−1‖2‖δb‖2‖x‖2

Or b = Ax implique ‖b‖2 ≤ ‖A‖2‖x‖2 et donc

‖x‖2 ≥‖b‖2‖A‖2

Il vient‖δx‖2‖x‖2

≤ ‖A‖2‖A−1‖2‖δb‖2‖b‖2

Le coefficient d’amplification de l’erreur relative est donc majoré par C(A) = ‖A‖2‖A−1‖2. D’oùla définition :

ECP 2006-2007 12

CHAPITRE 1. RAPPELS ET PRÉREQUIS 13

Définition 2 Le conditionnement d’une matrice A est le nombre

C(A) = ‖A‖2‖A−1‖2

Si la matrice A est symétrique définie positive on a ‖A‖2 = λn, où λ1 ≤ ... ≤ λn sont les valeurspropres de A et ‖A−1‖2 = 1

λ1, donc

Proposition 2 Si la matrice A est symétrique définie positive le conditionnement de la matrice

C(A) =λnλ1

est un majorant du coefficient d’amplification de l’erreur relative sur la solution du système (1.5).

Noter que ce majorant est atteint si b et δb sont les vecteurs propres associés à λn et λ1.

Résolution numérique

Pour résoudre numériquement un système linéaire on utilise deux grandes classes de méthode :− Les méthodes dites directes qui sont des variantes de la méthode d’élimination de Gauss (ditesaussi méthode du pivot) différent essentiellement par l’ordre des éliminations ce qui revient à définirune renumérotation des inconnues et des équations.− Les méthodes itératives, appliquées surtout aux matrices de grande dimension et creuses, sont,pour les plus efficaces, dérivées de la méthode du gradient conjugué qui est étudiée dans le coursd’optimisation. Ces méthodes sont des méthodes d’optimisation qui utilisent l’équivalence suivante :

Proposition 3 Soit A une matrice symétrique définie positive. Soit F (x) = 12〈Ax, x〉 − 〈b, x〉. La

fonction F (x) est strictement convexe, tend vers l’infini quand ‖x‖ tend vers l’infini, et ∇F (x) =Ax− b.Un vecteur x est solution du système linéaire Ax = b si et seulement si x réalise le minimum (unique)de la fonction F (x) sur Rn.

1.2.2 Systèmes d’équations non linéaires

On note

A(x) = 0 (1.6)

un système de n équations non linéaires à n inconnues, où A(x) est une application C1 de Rn danslui-même. Un tel système peut être très difficile à analyser et à résoudre numériquement. La théoriela plus générale qui couvre l’existence des solutions de (1.6) est la “théorie du degré topologique” quidépasse le cadre de cette introduction. Nous allons voir quelques conditions suffisantes qui facilitentl’étude de ce système.

13 Mathématiques 2


Existence d’un potentiel

Dans ce paragraphe nous supposons qu’il existe une fonction “potentielle” F (x) telle que

A(x) = ∇F (x)

Les solutions du système sont alors les points stationnaires de F (x). Or l’étude de la fonction F (x)permet sous certaines conditions d’affirmer l’existence d’au moins un extrémum, son éventuelle uni-cité ou la présence d’un nombre minimal d’extrémums. Pour l’existence on utilisera la proposition

Proposition 4 Si F (x) tend vers +∞ quand ‖x‖ tend vers l’infini alors F (x) admet au moins unminimum et le système A(x) = 0 admet donc au moins une solution.

et

Proposition 5 Si F (x) est strictement convexe alors F (x) admet au plus un minimum et le systèmeA(x) = 0 admet donc au plus une solution.

Noter que l’existence locale d’une fonction potentielle équivaut à la symétrie de la matrice jacobienneet qu’il existe des situations plus générales où l’on peut étudier le nombre d’extrémums de la fonctionF (x) et leur nature, voir le cours d’optimisation, chapitre 1.

Méthode du point fixe

On réécrit le système A(x) = 0 sous la forme

x = x− ρA(x)

et on pose f(x) = x − ρA(x). Trouver une solution du système non linéaire équivaut à trouver unpoint fixe de l’application f(x).Rappelons le théorème du point fixe pour les applications contractantes, sous une forme adaptée :

Théorème 2 (Point fixe) Si une fonction f(x) laisse invariante une partie fermée C de Rn et si elleest lipschitzienne de constante k < 1 pour une norme quelconque, i.e.

‖f(x)− f(y)‖ < k‖x− y‖

alors elle admet un point fixe x et un seul sur C. De plus si x0 est un point quelconque de C la suitedéfinie par la récurrence

x0 ∈ C quelconque

etxn = f(xn−1)

converge vers x

Ce théorème fournit un résultat d’existence et un algorithme pour déterminer la solution.Un théorème beaucoup plus général, le théorème de Brouwer, est moins précis

ECP 2006-2007 14


Théorème 3 (Brouwer) Si une fonction continue f(x) laisse invariant un convexe compact C de Rn

elle admet (au moins) un point fixe x sur C.

Le plus souvent le convexe C est une boule de Rn. Si le champ de vecteur A(x) est dirigé vers l’ex-térieur de la boule quand x est sur la sphère frontière, on vérifie que l’application f(x) = x− λA(x)applique la sphère sur l’intérieur de la boule pour λ assez petit. Au prix d’une petite complicationtechnique1 on peut appliquer le théorème de Brouwer et on en déduit la proposition :

Proposition 6 (Poincaré) Si il existe r ∈ Rn tel que

‖x‖2 = r ⇒ 〈A(x), x〉 > 0

le système (1.6) admet au moins une solution.

Applications monotones

Nous allons voir des conditions pratiques d’application du théorème (2)

Définition 3 Une application A(x) d’un convexe C ⊂ Rn dans Rn est monotone si

〈A(x)−A(y), x− y〉 ≥ 0

Une application A(x) est uniformément monotone si il existe une constante α > 0 telle que

〈A(x)−A(y), x− y〉 ≥ α〈x− y, x− y〉

Si A(x) = ∇F (x) la monotonie de A(x) équivaut à la convexité de F (x), voir le cours d’optimisa-tion, chapitre 2. Dans le cas général on a le théorème :

Théorème 4 Si une application A(x) de Rn dans Rn est uniformément monotone et lipschitzienne,le système

A(x) = 0

admet une solution et une seule.

On peut étendre ce théorème à une boule de Rn.Ce théorème est une conséquence immédiate du lemme :

Lemme 1 Si une application A(x) de Rn dans Rn est uniformément monotone, de constante α etlipschitzienne de constante M , l’application

f(x) = x− (1− α2

M2)A(x)

est lipchitzienne de constante k =√

(1− α2

M2 ) < 1 ; elle vérifie donc les condition du théorème depoint fixe (2).

1Considérer l’application f(x) = Π(x−λA(x)) où Π(x) est la projection sur la boule, cette application envoie la bouleC dans elle-même par construction, elle admet donc un point fixe. Or un point fixe x de f(x) est dans la boule ; si x eststrictement à l’intérieur il n’est pas l’image par Π d’un point extérieur, donc x = x−λA(x), si x est sur la sphère, x−λA(x)est à l’intérieur de la boule par définition de λ et donc Π(x−λA(x)) = x−λA(x) ; d’où x = Π(x−λA(x)) = x−λA(x).

15 Mathématiques 2


Les points fixes de f(x) sont les solutions de A(x) = 0, ce qui démontre le théorème.Démonstration du lemme : Rappelons que A(x) est lipschitzienne en norme euclidienne si

∃k > 0 / ‖A(x)−A(y)‖2 ≤ k‖x− y‖2

(ce qui sera vrai sur tout borné si A(x) est une application C1).Définissons f(x) = x− λA(x) et montrons que f(x) est une application contractante

〈f(x)− f(y), f(x)− f(y)〉 = 〈(x− y)− λ(A(x)−A(y)), (x− y)− λ(A(x)−A(y))〉

et en développant

〈f(x)−f(y), f(x)−f(y)〉 = 〈x−y, x−y〉−2λ〈A(x)−A(y), x−y〉+λ2〈A(x)−A(y), A(x)−A(y))〉

et puisque A(x) est une application monotone et lipschitzienne

〈f(x)− f(y), f(x)− f(y)〉 ≤ (1− 2λα+ λ2k2)〈x− y, x− y〉

Choisissonsλ =

α

M2

il vient

〈f(x)− f(y), f(x)− f(y)〉 ≤ (1− α2

M2)〈x− y, x− y〉

Méthodes de calcul numérique

− Si le théorème de point fixe (2) s’applique on peut utiliser la méthode d’itération pour calculerla solution du système.

− Si le système est associé à un potentiel on peut calculer les solutions qui sont des extrémumspar des méthodes d’optimisation, voir le chapitre 3 du cours d’optimisation.

− Dans le cas général on peut utiliser la méthode de Newton (voir le chapitre 3 du cours d’op-timisation). La méthode de Newton est une méthode itérative générale de résolution d’un systèmenon-linéaire A(x) = 0 : connaissant une approximation xk de la solution, on détermine xk+1 enlinéarisant, localement autour de xk ; l’équation A(x) = 0. On a, en développant A(x) à l’ordre 1autour de xk

A(x) = A(xk) +DA(xk).(x− xk) + ε(x− xk)‖x− xk‖

Si on veut que A(xk+1) = 0, en négligeant les termes du d’ordre 2, il vient

xk+1 = xk −DA(xk)−1.A(xk)

L’application linéaire DA(x) a pour matrice dans la base canonique de Rn la jacobienne JA(x) .L’algorithme peut donc s’écrire, en mettant en évidence la résolution du système linéaire de matriceJA(xk),

ECP 2006-2007 16


Faire :Mk = JA(xk)gk = A(xk)Mkδk = −gkxk+1 = xk + δk

Tant que ‖gk‖ ≥ eps‖g0‖

On montre que, si A(x) est deux fois différentiable et si x0 est assez proche d’une solution, lesitérations convergent vers cette solution. On montre de plus que la convergence est quadratique

‖xk+1 − x‖ ≤ C‖xk − x‖2

ce qui fait que, dès que la convergence est amorcée, elle devient très rapide.En pratique la méthode est souvent instable et le choix d’un point de départ x0 assurant la convergencepeut s’avérer très délicat. La mise oeuvre exige la résolution d’un système linéaire, dont la matriceJA(xk) change à chaque itération, ce qui peut être très coûteux si la matrice est pleine et de grandedimension.

− La méthode de Newton peut être complétée par une stratégie de “déformation par homotopie” :on introduit un paramètre λ et un systèmeA(x, λ) tel queA(x) = A(x, 1) et que le systèmeA(x, 0) =0 soit simple à résoudre (par exemple linéaire). On choisit une suite de valeur λ1 = 0 ≤ λk ≤ λp = 1.De proche en proche on détermine la solution de A(x, λk) = 0 en initialisant la méthode de Newtonpar la solution de A(x, λk−1) = 0 jusqu’à atteindre λp = 1. Nous développons cette méthode dans leparagraphe suivant.

1.2.3 Résolution d’un système non linéaire par déformation

Nous étudions dans ce paragraphe des méthodes de calcul pour des systèmes non linéaires, ditesméthodes incrémentales ou de déformation par homotopie. Ces méthodes de calcul, sont utiliséesnotamment en mécanique du solide pour les modèles élastoplastiques, de grandes déformations oude contact. Avec des notations un peu différentes du paragraphe précédent et qui sont usuelles enmécanique, on écrit le système non linéaire sous la forme

K(U) = F (1.7)

où l’inconnue U et la donnée F sont des vecteurs de Rn et K(U) une application de Rn dans Rn.Pour déterminer une solution, on construit un chemin de solutions en faisant varier continûment levecteur F, qui devient F(t), à partir d’une valeur pour laquelle la solution est connue (0 par exemple)et on suit pas à pas la solution U(t). En mécanique on dit que l’on a défini un chemin de chargement.Dérivons (1.7), il vient :

K′(U(t))U′(t) = F′(t) (1.8)

où K′(U(t)) est une matrice (n, n). On obtient un système différentiel non linéaire sous forme im-plicite pour U(t).On peut intégrer numériquement cette équation différentielle par une méthode simple, la méthoded’Euler implicite ou explicite avec un pas de temps τ :

17 Mathématiques 2


– Euler explicite :

K′(Uk)(Uk+1 −Uk)

τ= F′(tk)

– Euler implicite :

K′(Uk+1)(Uk+1 −Uk)

τ= F′(tk+1)

que l’on peut réécrire sous la forme :– Euler explicite :

K′(Uk)Uk+1 = K′(Uk)Uk + τF′(tk)

– Euler implicite :K′(Uk+1)(Uk+1 −Uk) = τF′(tk)

Pour le schéma explicite il suffit de résoudre à chaque pas un système linéaire dont la matrice K′(Uk)peut être explicitement calculée. Dans un problème obtenu par une approximation par éléments finisd’un problème continu cette matrice est celle d’un problème “linéarisé”, elle sera calculée par lesméthodes étudiées pour les équations linéaires. Pour le schéma implicite (qui est plus stable et permetdes pas plus grands) la matrice fait partie des inconnues, on détermine Uk+1 par une méthode depoint fixe :

V0 = Uk (1.9)

K′(Vi)Vi+1 = K′(Vi)Uk + τF′(tk) (1.10)

la suite Vi converge, si le pas τ n’est pas trop grand, vers Uk+1. On préfère s’assurer à chaque pasque Uk+1 est solution de :

K(U) = F(tk+1) (1.11)

en appliquant localement la méthode de Newton à cette équation :

V0 = Uk (1.12)

K′(Vi)Vi+1 = K′(Vi)Vi − (K(Vi)− F(tk+1)) (1.13)

la suite Vi converge, si le pas τ n’est pas trop grand, vers Uk+1.Remarque : La matrice K′(Uk) peut ne pas être inversible, ce sera le cas si Uk est point de bifurcation(i.e. plusieurs branches de solution passent par ce point). En mécanique, par exemple, cette situationcorrespond à certaines propriétés du système : passage par une valeur limite du chargement (en casd’augmentation de celui-ci il n’y a plus d’équilibre possible) ou encore au phénomène de flambement(voir le chapitre 1 du cours d’Optimisation).

1.3 Systèmes différentiels

Voir le cours d’analyse 1 pour plus de détails. Rappelons que tout système différentiel comprenantdes dérivées d’ordre p est équivalent à un système du premier ordre en introduisant des variablessupplémentaires pour les dérivées jusqu’à l’ordre p − 1. Par exemple, en dynamique du point, leséquations de Newton, qui sont du second ordre quand l’inconnue est la position, s’écrivent sous laforme d’un système du premier ordre dans “l’espace des phases”, c’est à dire en prenant la positionet la vitesse comme inconnues.

ECP 2006-2007 18


1.3.1 Le problème de Cauchy

Soit f(t, x) une application continue de [0, T ]× Rn dans Rn et x(t) ∈ C1([0, T ] → Rn).

Définition 4 On appelle problème de Cauchy ou à valeurs initiales le problème différentielx′(t) = f(t, x(t))x(0) = x0

(1.14)

Les hypothèses peuvent être adaptée à des fonctions définies sur un ouvert de Rn. Énonçons le théo-rème fondamental d’existence locale d’une solution de (1.14) sous une forme simplifiée

Théorème 5 (Cauchy-Lipschitz) Si f(t, x) est une fonction continue par rapport à (t, x) et C1 parrapport à x, alors le problème (1.14) admet au plus une solution et il existe θ ≤ T tel qu’il existe unesolution sur [0, θ[.

On peut compléter cet énoncé par la proposition :

Proposition 7 () Si la solution x(t) de (1.14) est bornée sur [0, θ], cette solution peut être prolongéesur [0, θ′[ avec θ′ > θ.

(intuitivement, ou bien la solution explose en θ ou bien elle peut être prolongée) on en déduit lethéorème :

Théorème 6 () Si f(t, x) est continue par rapport à (t, x), C1 par rapport à x, et à croissance auplus linéaire en x (i.e. ∃M, c / ‖f(t, x)‖ ≤M‖x‖+ c), alors le problème (1.14) admet une solutionet une seule sur [0, T ].

On montre également que la solution de (1.14) dépend continûment de x0 ainsi que de tout paramètrepar rapport auquel f(t, x) est continu. Autrement dit la solution de(1.14) est stable vis à vis desdonnées du problème.La solution “générale” d’un système différentiel dans Rn existe donc localement sous des hypothèsestrès faibles et elle dépend de n paramètres que l’on peut choisir comme les valeurs initiales d’unproblème de Cauchy. Le théorème (6) est un outil puissant pour montrer l’existence globale de lasolution. Nous n’aurons pas de résultat aussi général pour les équations aux dérivées partielles.

1.3.2 Systèmes différentiels linéaires homogènes

Solution générale

Soit x(t) ∈ C1([0, T ] → Rn). Considérons un système différentiel linéaire homogène à coeffi-cients constants

x′(t) = Ax(t)x(0) = x0

(1.15)

où A est une matrice (n, n).La solution de ce système peut s’écrire formellement

x(t) = exp (tA)x0

19 Mathématiques 2


où nous avons posé

exp (tA) =∑k

tkAk

k!

Si la matrice A est diagonalisable sous la forme A = P−1DP où D est une matrice diagonale dontles coefficients sont les valeurs propres λi de A ; on en déduit l’écriture plus explicite de exp (tA)

exp (tA) = P−1 exp (tD)P

où exp (tD) est la matrice diagonale dont les coefficients sont exp (tD)i,i = exp (tλi). Le théorèmesuivant est une conséquence immédiate de cette expression, et il s’étend à des matrices non diagona-lisables :

Théorème 7 Toutes les solutions du système différentiel (1.15) tendent vers 0 quand t ↔ +∞ si etseulement si la partie réelle des valeurs propres de la matrice A est négative.

Analyse qualitative

Définition 5 Soit un produit scalaire 〈., .〉 sur Rn. Un système différentiel est conservatif si les solu-tions du système homogène conservent le carré scalaire 〈x(t), x(t)〉.Un système différentiel est dissipatif si le carré scalaire 〈x(t), x(t)〉 tend vers 0.

Le carré scalaire abstrait que nous introduisons représente souvent une grandeur physique concrète,une énergie ou une entropie. Nous utiliserons la proposition

Proposition 8 Soit un produit scalaire 〈., .〉 sur Rn. Le système (1.15) est dissipatif si et seulement sila matrice A est définie négative. Le système (1.15) est conservatif si et seulement si la matrice A estantisymétrique.

PreuveDe (1.15) on déduit

〈x, x′(t)〉 = 〈Ax, x〉

et doncd

dt

12〈x, x〉 = 〈Ax, x〉

Le résultat en découle car A est définie négative si x 6= 0 ⇔ 〈Ax, x〉 < 0 et A est antisymétrique2 siet seulement si ∀x 〈Ax, x〉 = 0.♦

2L’antisymétrie de la matrice A, 〈Ax, y〉 = −〈Ay, x〉, équivaut à

∀x ∈ R2N 〈Ax, x〉 = 0

En effet si ∀x, 〈Ax, x〉 = 0 alors ∀x, y 〈A(x + y), (x + y)〉 = 0 = 〈Ax, x〉 + 〈Ay, y〉 + 〈Ax, y〉 + 〈Ay, x〉 =〈Ax, y〉+ 〈Ay, x〉, donc 〈Ax, y〉 = −〈Ay, x〉

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Autres problèmes

Si on cherche une solution d’un système différentiel vérifiant d’autres types de conditions que(1.14) (conditions aux deux extrémités d’un intervalle, condition de périodicité...) , il n’existe pasde résultat aussi simple d’existence d’une solution. Mais on peut ramener, grace au théorème (6), leproblème à l’étude d’un système d’équations sur Rn par la méthode de “tir” : par exemple si on veutfixer p < n composantes de x(0) et n−p composantes de x(T ), on considère la solution du problème(1.14) avec un point de départ x(0) = x0 où p composantes de x0 prennent les valeurs fixées et lesn − p autres composantes prennent des valeurs λ1, ..., λp libres ; la valeur de la solution x(t) en Tdoit vérifier n− p conditions, ce qui fait n− p équations pour les n− p paramètres λi.Présentons un exemple d’application de cette méthode : on considère un problème aux limites pourune équation du second ordre

−x′′(t) + c(t) x(t) = f(t) pour t ∈ [0, 1]x(0) = x(1) = 0

(1.16)

où ∀t ∈ [0, 1], c(t) > 0 ∈ C([0, 1]), f(t) ∈ C([0, 1]). On introduit le problème auxiliaire de Cauchy−x′′(t) + c(t) x(t) = f(t) pour t ∈ [0, 1]x(0) = 0x′0) = λ

(1.17)

Ce problème de Cauchy admet une solution unique sur [0, 1] d’après le théorème (6). Pour que (1.16)ait une solution, nous devons montrer qu’il existe λ tel que (1.17) a une solution x(t) telle que x(1) =0. En notant x1(t) la solution de (1.17) pour λ = 1 et f(t) = 0, et x2(t) la solution de (1.17) pourλ = 0, on vérifie immédiatement que la solution générale x(t) de (1.17) s’écrit

x(1) = x1(1)λ+ x2(1)

Pour montrer qu’il existe λ tel que x(1) = 0, il suffit de montrer que x1(1) 6= 0.Raisonnons par l’absurde : si x1(1) = 0 le problème

−x′′(t) + c(t)x(t) = 0 pour t ∈ [0, 1]x(0) = 0x(1) = 0

(1.18)

admet comme solution x1(t) par définition de cette fonction, et cette solution est non nulle puisquex′1(0) = 1. Or ∫ 1

0−x′′1(t)x1(t) dt+

∫ 1

0c(t)x2

1(t) dt = 0

et, après intégration par parties du premier terme on obtient∫ 1

0x′1(t)

2 dt+∫ 1

0c(t)x2

1(t) dt = 0

ce qui implique x1(t) = 0 puisque c(t) > 0 par hypothèse. Ce qui contredit le fait que x′1(0) = 1.

21 Mathématiques 2


Calcul numérique de la solution

Voir le cours d’analyse 1.

1.4 Principes de construction d’équations aux dérivées partielles

1.4.1 Les lois de conservation ou d’équilibre

Principe

Les grands principes de la physique sont souvent des lois de conservation ou des lois d’équilibrequi se traduisent par des équations aux dérivées partielles. Soit Ω ⊂ Rn un domaine. Soit Φ(x) ∈ Rn

un champ de vecteur défini sur Ω. La nullité du flux de Φ à travers un contour quelconque Γ s’écrit∫Γ

Φn ds = 0

Si on prend pour Γ le bord d’un domaine quelconque ω ⊂ Ω, on en déduit en utilisant la formule deGreen (1.3) ∫

ω∇ . Φ(x) dω = 0

et donc, le domaine ω étant quelconque

∇ . Φ(x) = 0

Dans un problème d’évolution, si la variation d’une grandeur définie par une densité ρ(x, t) se traduitpar un flux Φ(x, t), le flux de ce champ à travers le bord de ω vérifie∫

ΓΦn ds+

∫ω

∂ρ

∂tdω = 0

et donc ∫ω

∂ρ

∂t+∇ . xΦ dω = 0

d’où∂ρ

∂t+∇ . xΦ = 0

Noter que cette équation s’écrit aussi∇ . x,tΦ = 0

Exemples

− Soit un fluide de concentration c(x) qui diffuse dans un corps poreux. La diffusion est repré-sentée par un flux de matière Φ(x). La loi empirique de la diffusion (Loi de Fick) suppose que leflux Φ est proportionnel au gradient de concentration Φ = −k∇c. La conservation de la matière enrégime permanent implique la nullité du flux total à travers un contour quelconque et s’écrit donc

∇ . Φ = ∇ . (−k∇c) = 0

ECP 2006-2007 22


− Soit un fluide de masse volumique ρ(x, t) dont le mouvement est décrit par le champ de vitesseu(x, t) ∈ R3. Le flux de matière est Φ = ρu. La conservation de la masse dans le mouvement setraduit par

∂ρ

∂t+∇ . ρu = 0

1.4.2 Les principes d’extrémalité

Problème de statique

Limitons nous à l’étude d’un système mécanique, mais il existe de tels principes dans tous lesdomaines de la physique. Les problèmes de statique peuvent s’écrire sous la forme d’un principe deminimum, en l’absence de frottement et si le champ de force dérive d’un potentiel :

Théorème 8 (Principe du minimum de l’énergie) La position u d’un système est un minimum del’intégrale

J(u) = E(u)−W (u)

est l’énergie potentielle totale, E(u) est l’énergie interne, W (u) le potentiel des forces appliquées. .

Si le système est un solide élastique occupant un domaine Ω les grandeurs comme l’énergie internesont des intégrales de fonctions des dérivées de la position u. Nous verrons au chapitre 3, en étudiantle calcul des variations que le minimum de

J(u)

est alors solution d’une équation aux dérivées partielles du second ordre : l’équation d’Euler.

Problème de dynamique

De même limitons nous à l’étude de l’évolution d’un système mécanique. Les problèmes de dy-namique peuvent s’écrire sous forme “lagrangienne”, en l’absence de frottement et si le champ deforce dérive d’un potentiel :

Théorème 9 (Lagrange) La trajectoire q(t) d’un système est une extrémale de l’intégrale

A(q) =∫ T

0L(q, q′) dt

où A(q) est l’action lagrangienne,et

L(q, v) = T (q, v)−W (q, v)

le lagrangien du problème, T (q, v) est l’énergie cinétique, W (q, v) le potentiel dont dérive le champde force.

Notons qu’ici l’extrémum n’est pas toujours un minimum. Si le système est un milieu continu occu-pant un domaine Ω l’énergie cinétique est une intégrale du carré de la vitesse et donc de fonctions desdérivées de l’état u. Nous verrons (chapitre 3) que cela implique que la trajectoire est une solutiond’une équation aux dérivées partielles du second ordre, l’équation d’Euler-Lagrange.

23 Mathématiques 2


ECP 2006-2007 24

Chapitre 2

Exemples d’équations aux dérivéespartielles

Objectifs

Nous présentons dans ce chapitre les “problèmes modèles” pour l’étude des équations aux déri-vées partielles ainsi que les grands problèmes de la physique mathématique.

2.1 Les problèmes linéaires canoniques

2.1.1 Un problème aux limites elliptique linéaire : l’équation de Poisson

L’équation de Poisson

On considère :− un domaine borné Ω ⊂ R2 de bord Γ “régulier”1.− une fonction f(x) ∈ C1(Ω) et une fonction g ∈ C(Γ) ;On cherche une fonction u ∈ C2(Ω) solution du problème aux limites

−k∆u(x) = f(x) si x ∈ Ωu(x) = g si x ∈ Γ

(2.1)

− C’est un“problème aux limites” car la solution est déterminée par des conditions en tous les pointsdu bord du domaine.− C’est un problème linéaire car l’opérateur aux dérivées partielles −∆ est linéaire.− Nous verrons au chapitre 4 la définition d’un opérateur elliptique, elle est liée à la proposition (13)ci-dessous.Ce problème se retrouve dans tous les domaines de la physique, citons en particulier :− Si g = 0, (2.1) est l’équation qui détermine la flèche u(x) des membranes tendues, chargées par

1Nous ne préciserons pas cette notion, les domaines formés par l’intérieur d’une courbe C1 et sans point doubleconviennent...

25


une densité f et fixées au bord (cf. séance 2).− Si f(x) = ρ(x)

ε0, (2.1) est l’équation qui détermine le potentiel électrostatique u(x) créé par une

densité de charge ρ(x) dans un domaine où le potentiel est connu sur le bord.− L’équation (2.1) est l’équation de la diffusion de la chaleur dans une plaque mince en régime per-manent, u(x) est la température au point x, f est la densité de chaleur fournie en chaque point et gétant une température connue sur le bord (cf. séance 4).− Si f = 0, (2.1) est l’équation des écoulements irrotationnels et incompressibles, u(x) est alors lepotentiel des vitesses.− Le Laplacien ∆ est le seul opérateur du second ordre invariant par rotation des axes, c’est ce quiexplique sa présence dans les équations de milieux isotropes.Nous verrons au chapitre 4 que la propriété fondamentale du problème (2.1) est le principe du mini-mum de Dirichlet :soit

U0 = v ∈ C2(Ω) / v|Γ = g

définissons la fonction énergie potentielle :

J (v) =∫

Ω

k

2‖∇v‖22 − fv dΩ (2.2)

La solution u de (2.1) est aussi solution du problème d’optimisation

∀v ∈ U0 J (u)≤ J (v) (2.3)

On en déduit (cf. chapitre 4 et 6) la proposition :

Proposition 9 Le problème (2.1) admet une solution u et une seule.

Les conditions mises sur f et g sont beaucoup trop restrictives, mais pour les étendre il nous faudraaussi étendre le sens donné à une solution du problème : si f est simplement continue il n’existe pastoujours de solution dérivable en tout point.

Cas particulier : l’équation de Laplace

Si f = 0, on obtient une équation de Laplace :−k∆u(x) = 0 si x ∈ Ωu(x) = g si x ∈ Γ

(2.4)

La fonction u vérifie ∆u = 0, c’est une fonction harmonique, le problème est donc de déterminerune fonction harmonique en connaissant ces valeurs aux bords. La théorie des fonctions harmoniquesest très développée, rappelons la propriété essentielle (cf Cours Analyse 1) :

Proposition 10 Une fonction harmonique est localement la partie réelle d’une fonction analytique.Une fonction u(x) est harmonique si et seulement si elle vérifie la propriété de la moyenne

u(x) =12π

∫ 2π

0u(x+ r exp iθ) dθ

ECP 2006-2007 26

CHAPITRE 2. EXEMPLES D’ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 27

− Noter que l’équation ∆u(x) = 0 qui est du second ordre est formellement équivalente, aprèsélimination de v, au système du premier ordre

∂u

∂x=∂v

∂y

∂u

∂y= −∂v

∂x

(2.5)

Ces équations forment les conditions de Cauchy reliant les parties réelles et imaginaires d’une fonc-tion analytique.− En utilisant les propriétés des fonctions analytiques on construit des solutions particulières de (2.4)dans des domaines simples. Par exemple si Ω est le disque x / ‖x‖ ≤ 1 on a

u(r, θ) =12π

∫ 2π

0

g(φ)(1− r2)(r2 − 2r cos(θ − φ) + 1)

dφ

− On retrouve, en appliquant la formule précédente au centre d’un petit disque quelconque, qu’unefonction harmonique vérifie la propriété de la moyenne (proposition 10).− Une fonction harmonique sur Ω est C∞ dans l’intérieur de Ω et même localement développable enséries entières puisqu’elle est la partie réelle d’une fonction analytique. On en déduit qu’une solutionde (2.4) est régulière.− Parce qu’elle est localement développable en séries entières, une solution de (2.4) ne peut êtrelocalement nulle sans être partout nulle ; on en déduit qu’une perturbation locale de la donnée au bordg entraîne une perturbation de la solution sur tout le domaine Ω : il n’y a pas d’effet à distance finie.− Une fonction harmonique vérifie le principe du maximum :

Proposition 11 Les extrémums d’une fonction harmonique sur Ω sont atteints sur le bord de Ω.

C’est une conséquence de la formule de la moyenne. Cela implique

‖u‖∞ ≤ ‖g‖∞

et donc la continuité, pour la norme infinie, de la solution u du problème de Laplace par rapport àla donnée g sur le bord. Une fonction harmonique nulle sur le bord de Ω est donc nulle partout. Onen déduit l’unicité de la solution de (2.4) car si on a deux solutions leur différence est une fonctionharmonique nulle sur le bord et donc nulle partout.Remarque : pour un domaine Ω de forme quelconque, il n’y a pas de solution explicite de (2.4), ex-primée à l’aide d’intégrales ou de séries de fonctions usuelles. La dépendance de la solution d’unproblème aux dérivées partielles par rapport à la forme du domaine est non linéaire et elle trop com-plexe pour s’exprimer par une formule : c’est une des difficultés majeure de la théorie des équationsaux dérivées partielles.Résumons les propriétés de l’équation de Laplace

Proposition 12 Propriétés de l’équation de Laplace :− la solution vérifie le principe du maximum (Proposition 11),− la solution est régulière,− une perturbation locale est à distance d’influence infinie,− la solution vérifie le principe du minimum de Dirichlet (2.3).

27 Mathématiques 2


Cas particulier : le problème aux limites homogènes

Si g = 0 le problème (2.1) est dit aux limites homogènes−k∆u(x) = f si x ∈ Ωu(x) = 0 si x ∈ Γ

(2.6)

Nous verrons en détail au chapitre 4 la proposition

Proposition 13 Soit

V0 = u ∈ C2(Ω) / u|Γ = 0

L’opérateur −∆, considéré comme un opérateur de L2(Ω) dans lui même de domaine V0, est symé-trique défini positif.

Les propriétés des opérateurs symétrique définis positifs seront essentielles pour analyser ce pro-blème.

– On montre que la solution de (2.6) est C∞ dans tout disque où f est C∞ (on dit que l’opérateur∆ est hypo-elliptique).

– On montre que, si f ≥ 0 on a u ≥ 0 sur Ω, et de même, si f ≤ 0 on a u ≤ sur Ω. Ce quiimplique que si f1 ≥ f2 on a u1 ≥ u2, ou, en d’autre termes, l’opérateur qui à une fonction fassocie la solution u de (2.6) est croissant au sens de l’ordre naturel sur les fonctions.

– Si Ω est R2 tout entier, si f est à support compact et si on astreint u à être nulle à l’infini alorson a pour la solution une expression explicite bien connue en électrostatique

u =12π

∫R2

ln ‖x− y‖f(y) dΩ

– Si Ω = [0, π]× [0, π] est un carré on obtient une solution explicite sous la forme d’un dévelop-pement en série de Fourier2

u =∑n,p

fn,pn2 + p2

sinnx sin py (2.7)

où

fn,p =4π2

∫ π

0

∫ π

0f(x, y) sinnx sin py dxdy

2La convergence de cette série dépend de la vitesse de convergence vers 0 des coefficients de Fourier fn,p de la fonctionf , qui est d’autant plus rapide que la fonction f est plus régulière. Si la fonction f est très régulière la série convergeponctuellement et peut être dérivée deux fois termes à termes, ce qui permet de justifier son expression et de justifierl’existence d’une solution C2 au problème (2.6). Si la fonction f est seulement continue, la série ne converge pas toujoursponctuellement : en fait le problème n’admet pas toujours de solution au sens ordinaire, il faut utiliser les formulationsfaibles ou les distributions pour donner un sens à (2.7), voir le chapitre 6

ECP 2006-2007 28


2.1.2 Un problème d’évolution, parabolique linéaire : l’équation de la diffusion

L’équation de la diffusion

On cherche une fonction u(x, t) du point d’abscisse x, au temps t, u ∈ C2([0, 1]× [0, T ]) solutiondu problème

∂u

∂t= c

∂2u

∂x2x ∈]0, 1[

u(x, 0) = u0(x)u(0, t) = u(1, t) = 0

(2.8)

Ce problème modélise les phénomènes de diffusion unidimensionnel : la diffusion de la chaleur(u(x, t) est la température du point x au temps t) ou la diffusion d’un fluide dans un milieu poreux(u(x, t) est alors la concentration du fluide au point x et au temps t). Il est proche d’un problèmeclassique de mathématiques financières, l’équation de Black et Scholes ( cf. séance 5 et 6).C’est un problème de Cauchy, ou à valeur initiale : au temps t = 0, l’état initial est donné, le problèmeest de déterminer l’évolution ultérieure. La détermination de la solution est complétée par la donnéede conditions aux limites sur x. Nous verrons la définition des équations paraboliques au chapitre 5,elle est liée au caractère dissipatif de l’évolution que nous montrerons ci-dessous.

Expression de la solution

Développement en séries de FourierOn peut obtenir une expression de la solution de (2.8) sous la forme d’un développement en série deFourier

u(x, t) =∑k

ak(t) sin (kπx) (2.9)

Les conditions aux limites sont automatiquement vérifiées. En reportant dans l’équation (2.8), il vient

a′k(t) = −k2π2cak(t)

d’où l’on déduit, en introduisant un coefficient ak,

ak(t) = ak exp (−k2π2ct)

et doncu(x, t) =

∑k

ak exp (−k2π2ct) sin (kπx) (2.10)

où la constante ak est définie par la condition initiale comme un coefficient de Fourier de u0(x)

ak = 2∫ 1

0u0(x) sin (kπx) dx

Noter que la série converge très vite, elle est dérivable terme à terme autant de fois que l’on veut, celaimplique que la solution est C∞ quelle que soit la régularité de la donnée initiale.

29 Mathématiques 2


Forme intégraleSi on remplace dans (2.8) l’intervalle ]0, 1[ par R on peut trouver une expression intégrale de lasolution de (2.8)

u(x, t) =∫ +∞

−∞u0(x− y)

1√(4πct)

exp(− y2

4ct))dy

Au paragraphe (3.1.6) du chapitre 3 nous verrons comment on peut utiliser la transformation deFourier pour trouver cette expression. Nous allons en donner une justification intuitive. Posons

G(x, t) =1√

(4πct)exp(− x2

4ct)

Il est immédiat de vérifier queG(x, t) est une solution de (2.8). Cette solution est d’intégrale constante3∫RG(x, t) dx = 1

Et quand t → 0 la fonction G(x, t) se concentre autour du point 0, elle s’interprète donc physique-ment comme la diffusion d’une densité concentrée au point 0, elle correspond à une condition initialede type Dirac en 0 (cf. chapitre 6).On en déduit intuitivement que la solution générale de (2.8), toujours dans le cas où on a remplacél’intervalle [0, 1] par R, est obtenue par superposition des solutions associées à des densités concen-trées u0(y) placées en un point y quelconque

u(x, t) =∫ +∞

−∞u0(y)G(x− y, t)dy (2.11)

On vérifie directement par dérivation sous l’intégrale que u(x, t) est bien solution de (2.8). De plusquand t→ 0, l’intégrale définie par (2.11) tend4 vers u0.

Propriétés de la solution

− L’expression (2.11) montre qu’une perturbation localisée au temps t = 0 est non nulle pourtout t > 0, autrement dit la vitesse de propagation d’une perturbation est infinie (mais on peut noterque l’effet est négligeable si x2

4ct est grand).

− Les expressions (2.10) et (2.11), montrent que la solution est C∞ pour tout temps t > 0 quelleque soit la régularité de la valeur initiale : l’équation est régularisante. On notera que la solution a un

3Rappelons la formule :R +∞−∞ exp(− t2

2) dt =

√2π.

4Intuitivement, pour étudier la limite quand t → 0 deR +∞−∞ G(x, t)φ(x)dx où φ ∈ D(R) est = φ(0) ; on découpe

l’intégrale en trois partie :Z +∞

−∞G(x, t)φ(x)dx =

Z −ε

−∞G(x, t)φ(x)dx +

Z +ε

−ε

G(x, t)φ(x)dx +

Z +∞

ε

G(x, t)φ(x)dx

La première et la troisième intégrales tendent vers 0 tandis que la deuxième vaut à peu près φ(0)R +ε

−εG(x, t) dx = φ(0)

pour t petit, par continuité de φ(x) en 0 et parce que G(x, t) est concentré autour de 0 pour t petit.

ECP 2006-2007 30


sens même pour des données initiales u0(x) très irrégulières.

− La présence d’une exponentielle décroissante montre que la solution, ainsi que toute perturba-tion de la solution, tend rapidement vers 0.

− Ces mêmes expressions montrent que la solution n’a pas de sens si on inverse le temps : pourt < 0 les expressions “explosent”, ce qui traduit l’instabilité fondamentale du “problème inverse” dela diffusion : trouver l’état initial connaissant l’état à un temps t > 0.

− On ad

dt

∫ 1

0u2 dx =

∫ 1

02u∂u

∂tdx = c

∫ 1

02u∂2u

∂t2dx (2.12)

d’où en intégrant par parties la dernière intégrale et en notant que le “crochet” est nul

d

dt

∫ 1

0u2 dx = −c

∫ 1

02∂u

∂t

2

dx < 0

On en déduit la décroissance de ‖u‖22 : nous dirons que l’équation est dissipative.

− La solution de (2.8) vérifie le principe du maximum : le maximum de u, à t fixé, est décroissantpar rapport à t, le minimum est croissant.Intuitivement en un point où u est maximum, ∂

2u∂x2 est négatif, donc u décroissant (cet argument est

formellement insuffisant, car ∂2u∂x2 peut être nul). Noter que cette propriété n’apparaît pas du tout sur

la forme (2.10) de la solution par développement en série de Fourier : ce qui montre qu’avoir une“expression analytique” de la solution n’est pas une panacée !Ces deux dernières propriétés montrent la grande stabilité du problème de la diffusion. Résumons lespropriétés de la solution :

Proposition 14 L’équation de la diffusion est :− dissipative,− irréversible,− à vitesse de propagation infinie,− régularisante.

2.1.3 Une équation linéaire du premier ordre : l’équation d’advection

L’équation d’advection

C’est le plus simple de tous les problèmes aux dérivées partielles et un des rares problèmes dontla solution est explicite. On cherche une fonction u(x, t) du point d’abscisse x, au temps t, u ∈C1([0, 1]× [0, T ]) solution du problème

∂u

∂t+ a

∂u

∂x= 0

u(x, 0) = u0(x)

u(0, t) = g(t)

(2.13)

31 Mathématiques 2


a est un réel positif, u0 et g sont des fonction C1 quelconques, mais compatible à l’origine : u0(0) =g(0), u′0(0) = g′(0).Ce problème modélise, comme nous le mettrons en évidence par l’expression de la solution, desphénomènes de transport. C’est un problème de Cauchy, ou à valeur initiale : au temps t = 0 l’étatinitial u0 est donné, le problème est de déterminer l’évolution ultérieure. Notons que la déterminationde la solution est complétée par la donnée d’une seule condition aux limites sur x. Nous verrons queles conditions aux limites nécessaires à la détermination de la solution dépendent ici des valeurs descoefficients de l’équation.

Solution du problème

Définissons les droites caractéristiques :

Définition 6 Les droites caractéristiques dans le plan (x, t) de l’équation (2.13) sont les droites x−at = Cte

Les droites caractéristiques forment donc une famille de droites parallèles.

Proposition 15 Une fonction u(x, t) ∈ C1 est solution de (2.13) si et seulement si u est une fonctionconstante sur les droites caractéristiques.

En effet , sur une droite caractéristique on a x(t) = Cte+ at, donc si u est solution de (2.13)

du(x(t), t)dt

=∂u

∂xx′(t) +

∂u

∂t= a

∂u

∂x+∂u

∂t= 0

On en déduit que la solution est déterminée en un point (x, t) dès qu’elle est connue en un point de ladroite caractéristique passant par ce point. Si on considère toutes les droites caractéristiques passantpar les points (x, 0) avec x ∈ [0, 1] ou par les points (0, t) la solution est déterminée en tous pointsde ces droites. Remarquons que si a est négatif, une droite caractéristique passant par un point (x, 0)recouperait l’axe (0, t), on ne pourrait pas définir indépendamment des conditions sur l’axe (x, 0) etsur l’axe (0, t) : la possibilité de fixer des conditions aux limites dépend ici du signe de a.On en déduit l’expression de la solution

Proposition 16 La solution u(x, t) de (2.13) est définie par :

u(x, t) = u0(x− at) si x ≥ at (2.14)

u(x, t) = g(t− x

a) si x ≤ at (2.15)

Interprétation physique : L’équation d’advection modélise un simple phénomène de transport :u(x, t) représente une grandeur transportée par un fluide de vitesse a dans un tube de longueur 1,u0(x) est l’état initial du tube, tandis que g(t) est l’état en entrée du tube, “entrée” devant être pris ausens de l’écoulement, si a > 0 l’entrée est le point 0, si a < 0 l’entrée est le point 1. Selon la vitesseil faut donc fixer une condition à gauche ou à droite.Remarque 1 : Si x = at il y a deux définitions pour u(x, t) rendue compatible par les conditions

ECP 2006-2007 32


u0(0) = g(0), u′0(0) = g′(0) précisées dans les données et qui rendent u(x, t) continûment dé-rivable. Notons que d’un point de vue physique la solution correspondant à un transport a un sensmême si ces conditions ne sont pas vérifiées : dans certains problèmes l’hypothèse que les solutionssont C1 n’est qu’une exigence mathématique, la solution physique n’est pas nécessairement conti-nue ; mais alors comment donner un sens à l’équation ? Nous verrons qu’il faut l’interpréter au sensdes distributions.Remarque 2 : On voit que dans ce problème, quoique très simple, la possibilité de fixer des valeurs aubord est un problème délicat : c’est général dans les problèmes hyperboliques.

2.1.4 Un problème d’évolution, hyperbolique linéaire : l’équation des ondes

L’équation des ondes

On cherche une fonction u(x, t) du point d’abscisse x, au temps t, u ∈ C2([0, 1]×[0, T ]), solutiondu problème

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2

u(x, 0) = u0(x)∂u

∂t(x, 0) = 0

u(0, t) = u(1, t) = 0

(2.16)

où u0(x) ∈ C2([0, L]) est la position initiale. Ce problème se retrouve dans tous les domaines de laphysique, pour modéliser des phénomènes vibratoires unidimensionnels : les cordes vibrantes (u(x, t)est la position du point x au temps t), les ondes sonores dans un tuyau.... C’est un problème de Cauchy,ou à valeur initiale : au temps t = 0 l’état initial est donné (position u0 et vitesse nulle pour les cordesvibrantes), le problème est de déterminer l’évolution ultérieure. Notons que la détermination de lasolution est complétée par la donnée de conditions aux limites sur x. Nous verrons la définition del’hyperbolicité au chapitre 5.

Formes équivalentes de l’équation

Système du premier ordreL’équation ∂2u

∂t2= c2 ∂

2u∂x2 qui est du second ordre est formellement équivalente au système du premier

ordre ∂u

∂t= c

∂v

∂x∂v

∂t= c

∂u

∂x

(2.17)

Le problème apparaît naturellement sous cette forme dans l’étude des ondes sonores dans un tuyau(cf. 2.39).

33 Mathématiques 2


Réduction par changement de variablesEffectuons le changement de variables

X = x+ ct, Y = x− ct

Il vient

u(x, y) = u(X + Y

2,X − Y

2c) = u(X,Y )

On en déduit∂2u

∂X∂Y= 0

L’équation ∂2u∂t2

= c2 ∂2u∂x2 est donc formellement équivalente à l’équation

∂2u

∂X∂Y= 0 (2.18)

dont la solution, obtenue par deux intégrations successives, a la forme

u(X,Y ) = g(X) + h(Y )

(cf. au paragraphe suivant (2.21)).

Décomposition de l’opérateurEn conservant les variables initiales, (2.18) équivaut à écrire l’opérateur aux dérivées partielles danséquation (2.16) sous la forme :

(∂

∂t+ c

∂

∂x)(∂

∂t− c

∂

∂x)u = 0 (2.19)

Posons

v(x, t) = (∂u

∂t− c

∂u

∂x)

L’équation (2.19) implique

(∂v

∂t+ c

∂v

∂x)

v est donc solution d’une équation d’advection, et d’après (15) cela implique que v est constante surles droites d’équation x− ct = Cte.De même en posant

w(x, t) = (∂u

∂t+ c

∂u

∂x)

et en permutant les deux opérateurs aux dérivées partielles dans (2.19) on montre que que w(x, t)est constante sur les droites d’équation x + ct = Cte. Les droites d’équation x − ct = Cte etx + ct = Cte sont appelées les caractéristiques, tandis que les fonctions v et w, qui sont constantessur les caractéristiques, sont les invariants de Riemann. La détermination des deux invariants permetde calculer la solution comme nous le détaillerons plus bas.

ECP 2006-2007 34


Solutions particulières

Définition 7 On appelle harmoniques les solutions de l’équation des ondes qui représentent des mou-vements dont tous les points oscillent en phase

u(x, t) = u(x)v(t)

Les harmoniques sont de la forme

uk(x, t) = ak sin kπx cos (kπct+ φk)

Noter que les fonctions vk(x) = ak sin kπx qui définissent la forme des harmoniques sont parconstruction les fonctions propres du problème de statique associé au problème de vibration

−d2vkdx2

= k2π2vk

u(0, t) = u(1, t) = 0

(2.20)

Développement en séries de FourierOn a une expression de la solution sous la forme d’une superposition d’harmoniques, i.e. d’un déve-loppement en série de Fourier

u(x, t) =∑k

ak cos (kπct) sin (kπx)

où

ak = 2∫ 1

0u0(x) sin (kπx) dx

Noter que la convergence de la série peut être lente (comparer avec (2.10)), elle est de l’ordre de lasérie de terme général ak, qui est le coefficient de Fourier de u0 : or si u0(x) est une fonction irrégu-lière, sa série de Fourier converge lentement.

Ondes planesSi le domaine est R on peut trouver des solutions particulières sous la forme d’ondes planes, i.e. defonctions de la forme u(x, t) = f(x− at), il vient

∂2u

∂t2− c2

∂2u

∂x2= (a2 − c2)f ′′(x+ at)

Le second membre est nul si a = ±c. Ce qui montre que, si f(x), g(x) sont deux fonctions C2

quelconques, les fonctionsu(x, t) = f(x− ct)

etu(x, t) = g(x+ ct)

35 Mathématiques 2


sont des solutions particulières de (2.16).On retrouve ce résultat en intégrant l’équation (2.18), il vient

∂u(X,Y )∂Y

=∂u(0, Y )∂Y

puis

u(X,Y ) =∫ Y

0

∂u(0, z)∂Y

dz + u(X, 0)

d’où en posant h(Y ) =∫ Y0

∂u(0,z)∂Y dz et g(X) = u(X, 0)

u(X,Y ) = g(X) + h(Y )

ou, en revenant aux variables initiales,

u(x, t) = g(x+ ct) + h(x− ct) (2.21)

où g et h sont deux fonctions C2 quelconques.

Expression de la solution

En utilisant (2.21) on peut obtenir une expression de la solution de (2.16). Il suffit de déterminerg et h de façon que u(x, 0) = u0(x) et ∂u∂t (x, 0) = 0, il vient

g(x) = h(x) =12u0(x)

et donc

u(x, t) =(u0(x+ ct) + u0(x− ct))

2(2.22)

Si nous considérons que dans (2.22) u0(x) est prolongé par antisymétrie sur [−1, 1] puis rendue pério-dique de période 2 sur tout R, l’expression (2.22) est valable pour tout couple (x, t) et les conditionsaux limites sont vérifiées

u(0, t) = u0(ct) + u0(−ct) = 0

etu(1, t) = u0(1 + ct) + u0(1− ct) = u0(−1 + ct) + u0(1− ct) = 0

Donc (2.22) définit bien une solution du problème (2.16). Nous avons donc montré la proposition :

Proposition 17 Le problème (2.16) admet une solution et une seule

u(x, t) =u0(x+ ct) + u0(x− ct)

2

ECP 2006-2007 36


Propriétés de la solution

− Les conditions de régularité que nous avons posées sur u0 sont beaucoup trop restrictives, maispour les étendre il nous faudra aussi étendre le sens donné à une solution du problème : si u0 estsimplement continue mais non dérivable la solution (2.22) de (2.16) a bien un sens mathématique etphysique mais elle n’est pas dérivable ! Comme pour l’équation d’advection les solutions physiquesont un sens qui dépasse le cadre mathématique des fonctionsC1. Nous verrons qu’il faut poser l’équa-tion aux dérivées partielles au sens des distributions.

− La forme (2.22) de la solution fait apparaître celle-ci comme la superposition de deux ondesplanes se propageant dans chaque sens à la vitesse c ; en utilisant la linéarité de l’équation on en déduitque toute perturbation de la solution a encore cette propriété : le problème est à vitesse de propagationfinie. Plus précisément, la solution à l’instant t ne dépend que des valeurs antérieures sur les droitescaractéristiques x+ ct = Cte et x− ct = Cte.

− A la différence de l’équation de la diffusion qui est dissipative, l’équation des ondes est conser-vative : on montre par la même méthode que (2.12) la proposition :

Proposition 18 conservation de l’énergie totaleUne solution de l’équation des ondes conserve l’énergie totale

L∫0

(∂u

∂t)2 + c2(

∂u

∂x)2dx = Cte (2.23)

On en déduit directement l’unicité de la solution. Cette propriété est essentielle car la conservation del’énergie garantit que la solution est stable vis à vis d’une perturbation des données.

− La forme 2.22 de la solution fait apparaître que les singularités de la solution (i.e. les pointsoù elle n’est pas C∞) se propagent : contrairement à l’équation de la diffusion, l’équation des ondesn’est pas régularisante.

− Nous avons cherché une solution de (2.16) pour t > 0 mais la solution calculée a un sens pourt < 0 : le problème inverse, retrouver l’état initial à partir de l’état à un temps t > 0, a un sens pourl’équation des ondes, contrairement à l’équation de la diffusion.Résumons les propriétés de la solution que nous avons obtenues :

Proposition 19 L’équation des ondes est :− conservative : les invariants de Riemann sont conservés sur les caractéristiques, l’énergie totaleest constante.− à vitesse de propagation finie,− réversible,− non régularisante.

37 Mathématiques 2


2.2 Les problèmes classiques de la physique mathématique

2.2.1 Les équations de transport ou de convection avec réaction et diffusion

On se propose d’étudier un problème de convection ou transport avec réaction diffusion, c’est àdire un modèle simplifié de réaction chimique dans un fluide en mouvement avec prise en compte dela diffusion de la chaleur. Un gaz est envoyé dans une enceinte remplie d’un métal en poudre et ilcrée avec celui-ci une réaction chimique fortement exothermique. La température d’entrée du gaz estchoisie pour activer la réaction. On se propose de déterminer l’évolution de la température du gaz.

V(x)+

ΩΓ0

Γ2

Γ1

Γ2

Γ2

FIG. 2.1 – Un problème de convection réaction diffusion

Données et hypothèses

Nous étudions un modèle très simplifié en négligeant de nombreux phénomènes.– Le domaine dans lequel a lieu l’écoulement est Ω ⊂ R2 (pour simplifier) de bord Γ formé de

trois parties Γ0, Γ1, Γ2 (voir schéma (2.1)).– On note u(x, t) la température du gaz (translatée par une température de référence), au point x

et au temps t.– On note c (resp. k) la chaleur spécifique (resp. la conductivité) du gaz.– La vitesse du gaz est définie par un champ de vitesse ~V . On suppose que les débits totaux sur

l’entrée Γ0 et la sortie Γ1 sont égaux et que la masse volumique est constante. On a Vn = 0 surles parois (Γ2). On suppose que les parois sont thermiquement isolées.

– La réaction produit un dégagement de chaleur par unité de volume de gaz λf(u(x)) avecf(u) = exp( u

1+µu) où λ est un paramètre et µ est une constante qui peut être assez petite.– La température initiale u0(x) est connue.

Le problème est essentiellement un transport d’énergie dans un fluide en mouvement avec diffusionet production de chaleur. On note Φ le vecteur flux de chaleur provenant de la convection et de ladiffusion. On a

Φ = c (V u)− k∇u

ECP 2006-2007 38


le premier terme représentant le flux de chaleur transporté, le deuxième le flux de chaleur diffusé. Laloi de conservation de l’énergie s’écrit

c∂u∂t +∇ . Φ = λf(u)u = u0 sur Γ0

u = u1 sur Γ1

Φn = 0 sur Γ2

(2.24)

On en déduit que u est solution du problème non linéairec∂u∂t + c ∇ . (V u)− k∆u− λf(u) = 0u = u0 sur Γ0

u = u1 sur Γ1

k ∂u∂n = 0 sur Γ2

u(x, 0) = u0(x) sur Ω

(2.25)

C’est un “problème de Cauchy”, c’est à dire un problème d’évolution dont la solution se calcule deproche en proche à partir d’un état initial donné.

Analyse de l’équation

− Si k 6= 0, V = 0 et λ = 0, on retrouve une équation de diffusion de la chaleur, avec les mêmespropriétés que dans l’équation (2.8).

− Si k = 0 l’équation est une équation de transport, nous verrons au chapitre 5 qu’elle est hyper-bolique. La solution a des propriétés semblables à celle de l’équation d’advection étudiée ci-dessus,notamment il est nécessaire de retirer la condition aux limites en sortie, i.e. sur le bord Γ1, pour quele problème soit cohérent.

− Noter que le terme source λf(u) influence l’étude asymptotique de la solution pour t→ +∞ :par exemple si k = 0, V = 0 et µ = 0 ,on a f(u) = expu et on obtient une équation différentielleque l’on peut intégrer

u(x, t) = − ln(exp (−u0(x))−λ

ct)

Il y a une explosion de la température en un temps fini tc = cλ expu0(x). Si V 6= 0 le phénomène ne

se produit que si la vitesse n’est pas trop grande, sinon le fluide est sorti de l’enceinte avant l’explo-sion. Si µ 6= 0 est petit, il n’y a pas d’explosion mais une forte élévation de température.

− Si k 6= 0 et si les températures en entrée u0 et en sortie u1 sont fixées, la solution atteint un étatlimite solution de (2.25) avec ∂u

∂t = 0. Pour µ = 0 cet état limite n’existe pas pour λ grand : il peut yavoir explosion.

2.2.2 La diffusion avec rayonnement

On considère un solide occupant un domaine Ω ⊂ R3. On étudie la répartition de la chaleur enrégime permanent en prenant en compte les échanges de chaleur sur le bord par convection sur le

39 Mathématiques 2


bord Γ0 et par rayonnement sur le bord Γ1. Ce qui se modélise de la façon suivante :Φ = −k ∇T Loi de Fourier∇ . Φ = 0 Conservation de l’énergieΦ.n = c0(T − T0) sur le bord Γ0 Échange convectifΦ.n = c1(T 4 − T 4

e ) sur le bord Γ1 Échange par rayonnement

(2.26)

On remplace la fonction T (x) par u(x) et on pose q(x) = c0T0 sur Γ0 et q(x) = c1T4e , il faut donc

trouver la solution u(x) du problème :−k∆u = 0−k ∂u∂n = c0u− q sur le bord Γ0

−k ∂u∂n = c1u4 − q sur le bord Γ1

(2.27)

avec q(x) ≥ 0, c1, c2, T0 > 0. L’équation aux dérivées partielles est linéaire, c’est une équationde Laplace (cf. 2.4), mais il y a une condition non linéaire sur un bord, ce qui rend le problèmeglobalement non linéaire. Nous étudierons ce type de problème au chapitre 4. Nous verrons quel’équivalence de ce problème avec un problème d’optimisation permet de montrer l’unicité de lasolution car la fonction potentielle est strictement convexe.

2.2.3 L’élasticité linéaire

Mise en équation

La principale difficulté est dans les notations : nous manipulons des scalaires, vecteurs, matrices,tenseurs... Suivant un usage courant en mécanique du solide, nous notons entre crochets [σ], [ε] lesmatrices de contraintes et de déformations. Nous notons en gras les vecteurs contraintes σi ou σn etdéplacements v.On considère un solide déformable occupant un domaine Ω ⊂ R3, fixé sur une partie Γ0 de sonbord, laissé libre sur le bord Γ1 et soumis à une densité de force f . Sous l’hypothèse des petitesdéformations on peut écrire les conditions d’équilibre sur la position non déformée, c’est à dire ledomaine Ω, les équations d’équilibre s’écrivent alors

−∇ . [σ] = f sur Ωu = 0 sur Γ0

σn = [σ]~n = 0 sur Γ1

(2.28)

où u(x) est le déplacement d’un point x, et [σ] la matrice des contraintes (noter que l’opérateurdivergence ici appliquée à une matrice, consiste en la divergence de chaque ligne).Il faut compléter ces équations par la loi de comportement qui relie les contraintes et les déformations ;un solide est élastique linéaire si cette loi s’écrit

[σ] = D[ε(u)] (2.29)

où εi,j(u) = 12( ∂ui∂xj

+ ∂uj

∂xi) définit la matrice des déformations, D définissant la loi de comportement

linéaire, soit en développant :σi,j = Di,j,k,l εk,l (2.30)

ECP 2006-2007 40


en sommant sur les indices répétés. En substituant (2.29) dans (2.28) on obtient un système de 3équations aux dérivées partielles du second ordre. Pour un matériau isotrope on obtient les équationde Navier

−(λ+ µ)Grad(Divu)− 2µ∆u = ~f (2.31)

On complète ces équations par les conditions de fixation ou les chargement au bord du solide. Cesconditions peuvent être variées, les plus simples sont :− la fixation des déplacements d’un point du bord Γ0 (bord encastré) se traduit par u = 0,− l’absence de toute force sur un bord, ce qui implique la nullité des contraintes normales sur le bordΓ1 : σn = 0.En conclusion les équations d’équilibre s’écrivent sous la forme d’un système linéaire de trois équa-tions aux dérivées partielles du second ordre avec trois fonctions inconnues (u1, u2, u3) et trois condi-tions aux limites en chaque point du bord portant sur les fonctions inconnues et leurs dérivées. Nousmontrerons que c’est un système elliptique. La complexité du problème n’est qu’apparente : nousmontrerons, à l’aide du principe de minimum de l’énergie, que le problème est équivalent à la mini-misation d’un potentiel quadratique strictement convexe, ce qui implique l’unicité de la solution etrend le problème formellement semblable au problème de Poisson (2.1).

Extension du modèle

– Pour des solides dont une dimension est très petite on construit des modèles limites : modèlesde coques et modèles de poutres. Dans ces modèles on ajoute des variables (les rotations)et donc des équations, mais on réduit la dimension du problème (de volumique à surfaciquesi on considère un solide mince comme une coque). Dans certains cas on peut éliminer lesvariables supplémentaires, on obtient alors des équations aux dérivées partielles d’ordre 4 surles déplacements. Pour tous ces modèles le problème est équivalent à la minimisation d’unpotentiel quadratique strictement convexe.

– Pour des déformations importantes les équations d’équilibre doivent s’écrire sur le solide dé-formé ce qui rend les équations non linéaires : c’est notamment nécessaire pour mettre enévidence un phénomène comme le flambement ou la perte de stabilité d’une position d’équi-libre.

– L’éventuelle non linéarité de la loi élastique ne modifie pas essentiellement le problème : ilsuffit d’introduire un potentiel non quadratique dans les principes de minimum, la difficultévient de ce que les lois naturelles ne conduisent pas à des potentiels convexes. En revanche lanon réversibilité, notamment la plasticité, qui est un phénomène essentiel dans les problèmes del’ingénieur, oblige à poser différemment le problème et à considérer l’histoire du chargement :on obtient un problème d’évolution. La plasticité se traduit par l’existence de seuil sur lescontraintes qui a pour conséquence la possibilité d’apparition de lignes de discontinuité desdéformations.

41 Mathématiques 2


2.2.4 L’écoulement des fluides

Données et notations

Nous étudions un problème modèle dont les hypothèses seront discutées et modifiées ultérieure-ment.

– Le domaine dans lequel a lieu l’écoulement est Ω ⊂ R2 de bord Γ.– On note u(x, t) (resp. p(x, t)) la vitesse du fluide (resp. la pression), au point x et au temps t.– On note µ le coefficient de viscosité du fluide, ρ sa masse volumique.– La vitesse du fluide est supposée nulle sur les parois, notées Γ2, égale à u0 (resp. u1) sur l’entrée

Γ0 (resp. la sortie Γ1). On suppose que les débits totaux sur Γ0 et Γ1 sont égaux.– On note σ (resp. ε) la matrice des contraintes (resp. des vitesses de déformation εi,j = 1

2( ∂ui∂xj

+∂uj

∂xi)).

La loi de viscosité traduit le fait que les contraintes de cisaillement sont proportionnelles aux vitessesde distorsions, i.e. le déviateur des contraintes est proportionnel aux déviateurs des vitesses :

σ = −pId + 2µε (2.32)

(Id est la matrice identité de dimension 2)

Fluides incompressibles

Les équations de la dynamique, jointes aux autres hypothèses, permettent de poser le problèmesous la forme

ρ∂u∂t + ρ∇ 〈u,u〉2 −∇ . σ = f

∇ . u = 0u = u0 sur Γ0

u = u1 sur Γ1

u = 0 sur Γ2

(2.33)

où f et un champ de forces et (∇ . σ est le vecteur obtenu en calculant la divergence de chaque lignede la matrice σ. On en déduit les équations de Navier-Stokes :

ρ∂u∂t + ρ∇ 〈u,u〉2 − µ∆u+∇p = f

∇ . u = 0u = u0 sur Γ0

u = u1 sur Γ1

u = 0 sur Γ2

(2.34)

où ∆u est le vecteur obtenu en calculant le laplacien de chaque composante de u. Notons que lesconditions aux limites que nous imposons sont assez arbitraires : il peut être plus naturel de fixer enentrée et en sortie des valeurs de la pression ou de fixer une condition de non glissement un = 0 surles parois. L’incompressibilité implique une vitesse de propagation infinie des perturbations localisées(intuitivement un fluide incompressible est la limite d’un fluide faiblement compressible ; or dans unfluide compressible la vitesse relative de propagation, c’est à dire la vitesse du son, est d’autant plusgrande que le fluide est peu compressible).

ECP 2006-2007 42


C’est un système d’équations non linéaires que l’on peut écrire sous différentes formes équivalentesnotamment en introduisant le vecteur tourbillon ω = rotu.Ce système est “parabolique” si µ 6= 0 et, si le coefficient de viscosité µ est “grand” relativement àla vitesse et aux longueurs caractéristiques du modèle, sa solution a de bonnes propriétés de régula-rité. Mais la viscosité est très faible pour des fluides comme l’eau ou l’air et les propriétés de cetteéquation sont alors très complexes du fait de l’apparition de couches limites, de tourbillons et surtoutde la turbulence. L’existence globale, l’unicité et la régularité de la solution sont encore l’objet deconjectures.

Modèles simplifiés

Si on néglige la viscosité, on obtient un modèle limite, les équations d’Euler incompressiblesρ∂u∂t + ρ∇ 〈u,u〉

2 +∇p = f∇ . u = 0un = u0 sur Γ0

un = u1 sur Γ1

un = 0 sur Γ2

(2.35)

Notons que nous avons dû relâcher les conditions sur le vitesse : on montre que l’on ne peut pas fixertoutes les composantes de la vitesse en un point du bord.Le problème est toujours non linéaire mais les équations sont du premier ordre. Ce modèle a l’avan-tage de permettre de trouver certaines solutions explicites et de simplifier certains phénomènes, lescouches limites devenant des discontinuités de la solution ; en contrepartie l’apparition de discontinui-tés oblige à poser le problème en un sens étendu. L’hypothèse que le fluide est de plus irrotationnel,i.e. rotu = 0, que l’on peut justifier aux petites vitesses, entraîne l’existence d’un potentiel Φ tel queu = ∇Φ qui vérifie donc

∆Φ = 0

du fait de la condition d’incompressibilité. Compte tenu des conditions aux limites, Φ est solutiond’un problème de Laplace, que l’on peut (curieusement) résoudre directement sans utiliser les équa-tions de la dynamique qui permettent de calculer a posteriori la pression.Aux petites vitesses, si on néglige le terme en u2 dans les équations de Navier-Stokes, ce qui revientà identifier l’accélération totale avec ∂u

∂t , on obtient un système d’équation linéaire du second ordre,dont nous verrons qu’il est parabolique

ρ∂u∂t − µ∆u+∇p = f∇ . u = 0u = u0 sur Γ0

u = u1 sur Γ1

u = 0 sur Γ2

(2.36)

Dans l’hypothèse d’un régime permanent on obtient le système d’équations de Stokes−µ∆u+∇p = f∇ . u = 0u = u0 sur Γ0

u = u1 sur Γ1

u = 0 sur Γ2

(2.37)

43 Mathématiques 2


Ce problème est un problème auxiliaire dans la résolution numérique des équations de Navier-Stokes.La principale difficulté vient de l’approximation numérique de la condition d’incompressibilité. Iciencore le problème peut être analysé à l’aide d’un principe du minimum comme pour l’équation dePoisson (2.1), mais on a un problème d’optimisation sous contraintes, voir le chapitre 4.

Fluides compressibles

Nous négligeons la viscosité, nous notons e l’énergie totale et ε l’énergie interne. Nous écrivonscomme ci-dessus les équations de la dynamique, qui sont aussi des équations de la conservation dela quantité de mouvement, de la masse et de l’énergie (d’où le qualificatif de système de lois deconservation). On obtient les équations d’Euler pour un fluide compressible appelées aussi équationsde la dynamique des gaz

∂ρ∂t +∇ . ρu = 0ρ∂u∂t + ρ∇ 〈u,u〉

2 +∇p = f∂(ρe)∂t +∇(ρe+ p)u) = 0u = u0 sur Γ0

u = u1 sur Γ1

u = 0 sur Γ2

avec p = p(ρ, ε) et e = ε+ u2

2

(2.38)

C’est un système d’équations non linéaires. Nous verrons que c’est un système hyperbolique non li-néaire pour des gaz parfaits. Comme pour tout système hyperbolique une perturbation se propage àdifférentes vitesses toujours finies (aux vitesses du fluide presque nulles c’est la vitesse du son), maisnous verrons que la non linéarité implique l’apparition de discontinuités appelées ondes de chocs. Lessolutions de ce système, comme celui des fluides incompressibles, ont des propriétés très complexes(tourbillon, turbulence, chocs...) qui font toujours l’objet de conjectures.

Modèles simplifiés

Ce système admet de nombreuses simplifications.– On construit des linéarisations des équations, notamment, en négligeant aux petites vitesses

l’énergie cinétique et en supposant que les grandeurs varient peu, on obtient l’équation desondes sonores

∂ρ

∂t+ ρ0

∂u

∂x= 0

∂u

∂t+c2

ρ0

∂ρ

∂x= 0

(2.39)

Les valeurs initiales et au bord sont connues. C’est un système d’équations linéaires du premierordre, hyperbolique. En éliminant ρ on retrouve l’équation des ondes. Voir dans le chapitre 5l’utilisation des caractéristiques pour intégrer l’équation.

– En considérant un écoulement unidimensionnel et en négligeant l’effet de la pression on obtientl’équation de Riemann ou Burgers, sans viscosité Voir la séance 7.

∂u

∂t+

12∂u2

∂x= 0 (2.40)

ECP 2006-2007 44


Ce n’est pas un modèle très réaliste mais il permet de mettre en évidence sur une équationtrès simple quelques propriétés des écoulements réels. Nous verrons (chapitre 5) que c’est uneéquation hyperbolique non linéaire. Voir dans la séance 7 l’utilisation des caractéristiques pourintégrer cette équation, on en déduit les propriétés remarquables suivantes :

1. Il y a conservation de la valeur de la solution u le long des droites caractéristiques.

2. Le croisement des droites caractéristiques implique l’apparition de lignes de discontinui-tés (qui représentent physiquement des ondes de choc) même pour des conditions initialestrès régulières.

2.2.5 Les phénomènes vibratoires

Principe

On étudie par exemple l’évolution de la déformation d’une membrane tendue, comme la peau d’untambour, dont la forme définit au repos un domaine Ω ⊂ R2 ; on suppose que la membrane est fixéesur le bord. Si on considère que la membrane est lâchée sans vitesse initiale à partir d’une positionconnue u0(x) le problème se modélise sous la forme d’une équation du second ordre, l’équation desondes

ρ∂2u

∂t2= σ∆u(x) si x ∈ Ω

u(x, 0) = 0 si x ∈ Γu(x, 0) = u0(x) si x ∈ Ω∂u

∂t(x, 0) = 0 si x ∈ Ω

(2.41)

La même équation en dimension deux ou trois modélise la plupart des phénomènes vibratoires.On obtient un modèle simplifié en dimension 1, l’équation des cordes vibrantes qui a été étudiéeci-dessus (2.16)

Analyse

L’analyse de l’équation des cordes vibrantes ainsi que les méthodes que nous avons présentéesci-dessus pour cette équation s’étendent à l’équation générale des ondes.

2.2.6 Les équations de Maxwell

non rédigé

2.2.7 Exemples de problèmes plus complexes

Nous avons vu dans les paragraphes précédents les équations qui modélisent les principales théo-ries de la physique dans un cadre idéalisé. Dans les problèmes réels, il est souvent difficile de resterdans ce cadre à cause de difficultés géométriques, de problèmes d’échelle et du couplage de différentsmodèle.Dans un calcul numérique, ces difficultés sont souvent découplées par des algorithmes adéquats et on

45 Mathématiques 2


se ramène à la résolution itérée de problèmes standards, d’où la nécessité de disposer de méthodessûres et performantes pour calculer des solutions numériques de ces problèmes standards.

Problèmes géométriques

Nous avons considéré plus haut que les équations étaient posées dans un domaine fixé a priori.Dans de nombreux problèmes ce domaine est variable, on dit que ce sont des problèmes à surfacelibre, comme dans les exemples suivant :− Étude des mouvements d’un liquide, notamment les vagues ou le mouvement de l’eau dans unréservoir. Quand la variation de la forme du domaine n’est pas trop grande on peut définir le domaineinconnu comme l’image d’un domaine fixe par une certaine fonction Φ(x). Cette fonction devientalors une inconnue du problème qui se ramène à une équation plus complexe que l’équation initialemais sur un domaine fixe. Mais le domaine peut même se fragmenter comme dans le cas de la forma-tion de gouttes...− Grande déformation d’un solide : voir le paragraphe sur l’élasticité.− Fusion de la glace dans l’eau : la frontière entre la glace et l’eau est alors une inconnue du pro-blème.

Problèmes d’échelle

− Dans l’écoulement d’un fluide la turbulence est un phénomène qui fait apparaître des mou-vements à très petite échelle, la complexité de ces mouvements rend nécessaire, dans un calcul nu-mérique, le remplacement des valeurs exactes des champs inconnus par leur moyenne, en un sens àpréciser. Cela conduit à des modèles de turbulence qui se différencient par les hypothèses supplémen-taires qui sont faites.

− Une excitation à très haute fréquence crée une onde de longueur très petite. Or une longueurd’onde très petite ne peut pas être prise en compte dans un calcul numérique à grande échelle. Laprise en compte de ce phénomène dans l’équation des ondes conduit à des modèles asymptotiquesdans lesquels l’étude des ondes se ramène à la théorie de l’optique géométrique plus ou moins enri-chie pour tenir compte de phénomènes comme la diffraction. Mais si la longueur d’onde est prochedes longueurs des variations géométriques du bord du domaine d’étude il faut revenir à l’équationdes ondes pour étudier l’effet de ces variations géométriques. On peut donc être amener à couplerl’optique géométrique et une étude directe de l’équation des ondes.

− les hétérogénéïtés d’un milieu continu quand elles sont à très petite échelle, peuvent empêcherla prise en compte exacte de celles-ci, au moins dans une approximation numérique : c’est le cas dessolides formés de matériaux composites, des fluides comme l’air chargé de gouttelettes d’eau ou del’eau contenant des bulles de vapeur. On est conduit à définir des modèles limites dits homogénéï-sés dans lesquels on remplace les grandeurs usuelles (vitesse, masse volumique), qui ont une fortevariation locale, par leur valeur moyenne. Les équations obtenues peuvent avoir la même forme queles équations initiales comme dans le cas de la théorie élastique des matériaux composites (le seulproblème est de calculer constantes élastiques du matériau homogénéïsé) ou bien, quand les para-

ECP 2006-2007 46


mètres des hétérogénéïtés (la densité de bulles par exemple) dépendent de la solution, ces paramètress’ajoutent aux grandeurs inconnues initiales et le nombre d’équations peut donc s’accroître.

Couplage géométrique

De nombreux problèmes impliquent la prise en compte de plusieurs modèles selon le point consi-déré, c’est le cas de l’interaction d’un fluide et d’une structure (l’écoulement d’un fluide par exemplepeut faire vibrer une structure qui en retour fait vibrer le fluide). Une des difficultés vient de ce queles inconnues utilisées dans la modélisation de chacun des milieux sont de nature différentes : lesdéplacements dans le solide et les vitesses dans le fluide.

Couplage intrinsèque

L’étude de la convection naturelle d’un fluide, pour la météorologie par exemple, se modélise parle couplage des équations de la dynamique des fluides d’une part, de la diffusion et du transport de lachaleur d’autre part : ce sont en effet les variations de température qui créent les variations de densitéresponsables du mouvement de l’air, mais ce mouvement lui-même entraîne un transport de chaleurresponsable de variations de la température. Même si on considère un modèle simplifié linéarisé pourmodéliser l’écoulement du fluide, le couplage fait apparaître une non linéarité.

L’étude des plasmas oblige à coupler les équations de dynamiques des fluides et les équations deMaxwell puisque ce sont les forces électromagnétiques qui font se mouvoir les particules chargéesmais leur mouvement est lui même la cause d’un champ électromagnétique induit.

47 Mathématiques 2


ECP 2006-2007 48

Chapitre 3

Quelques outils d’analyse des E.D.P.

Objectifs

Nous résumons dans ce chapitre quelques méthodes classiques de résolution ou d’analyse deséquations aux dérivées partielles. Dans certaines parties un peu difficiles nous nous limitons à desarguments heuristiques.

3.1 Propriétés des opérateurs linéaires aux dérivées partielles

Pour simplifier nous nous limitons aux opérateurs agissant sur une seule fonction, avec des ap-plications aux équations à une fonction inconnue, mais l’extension des méthodes présentées dans ceparagraphe aux systèmes d’équations ne pose pas de problème. On suppose que toutes les fonctionsu(x) sont définies sur Rn avec x = (x1, ..., xn) ou sur un domaine Ω de bord Γ. On note V0 l’espacedes fonctions de C1(Ω) nulles sur le bord Γ.

3.1.1 Opérateurs linéaires aux dérivées partielles

Définition 8 Soit P (y1, ..., yn) un polynôme à n variables yi dont les coefficients sont des fonctionsdu point x . On note P (D) l’opérateur aux dérivées partielles obtenu en remplaçant les variables yipar les dérivées partielles ∂

∂xi.

− Le degré du polynôme est l’ordre de l’opérateur.− Le polynôme P (y1, ..., yn) est le symbole de l’opérateur linéaire aux dérivées partielles à coeffi-cients constants.− L’opérateur est homogène si son symbole est un polynôme homogène.− L’opérateur est à coefficients constants si les coefficients de P (y1, ..., yn) ne dépendent pas dupoint x.

Par exemple si P (y1, ..., yn) =∑

i y2i on a P (D) = ∆.

Remarque : Un opérateur aux dérivées partielles n’est presque jamais un opérateur interne sur lesespaces de fonctions usuelles (saufC∞), on peut le considérer de façon naturelle comme un opérateur

49


d’un espace de Banach dans un autre (par exemple de C2 dans C1) ou, c’est souvent plus pratique,on considère qu’il opère de façon interne à un espace mais qu’il n’est pas partout défini, par exempleon considère que ∂

∂xiopère sur L2(Rn) avec un domaine de définition qui est C1(Rn).

3.1.2 Opérateurs du premier et second ordre

Un opérateur aux dérivées partielles du premier ordre linéaire et homogène s’écrit P (D)(u) =∑i bj(x)

∂u∂xj

. Définissons le champ de vecteurs V (x) = (b1(x), ..., bn(x))t. On peut écrire de façonplus synthétique

P (D)(u) = 〈V,∇u〉

Proposition 20 Un opérateur aux dérivées partielles linéaire du premier ordre s’écrit

P (D)(u) = 〈V,∇u〉

−Un opérateur aux dérivées partielles linéaire et homogène du second ordre à coefficients constantss’écrit

P (D)(u) =∑i,j

ai,j∂2u

∂xi∂xj

Compte tenu de l’égalité des dérivées croisées ∂2u∂xi∂xj

= ∂2u∂xj∂xi

on peut supposer que ai,j = aj,i. Soit

A la matrice symétrique de coefficients ai,j . Le vecteur A ∇u a pour composantes∑

j ai,j∂u∂xi

. Onpeut donc écrire de façon plus synthétique

P (D)(u) = ∇ . (A∇u)

On en déduit pour un opérateur du second ordre à coefficients constants une écriture synthétique :

Proposition 21 Un opérateur du second ordre à coefficients constants s’écrit donc

P (D) = Div(A∇u)

Nous verrons plus loin (paragraphe 3.1.3) une forme canonique pour les opérateurs linéaires du se-cond ordre quelconques.

3.1.3 Symétrie

Nous allons mettre en évidence une propriété fondamentale pour la compréhension des équationsaux dérivées partielles : la symétrie ou l’antisymétrie des opérateurs sur des espaces de fonctionsnulles à l’infini ou nulles sur le bord d’un domaine.

Antisymétrie de l’opérateur ∂∂xi

Les propriétés des opérateurs aux dérivées partielles dépendent des espace de fonctions sur les-quels on les fait opérer ou de leur domaine de définition. On considère ici que les opérateurs agissent

ECP 2006-2007 50

CHAPITRE 3. QUELQUES OUTILS D’ANALYSE DES E.D.P. 51

sur L2(Rn), avec pour domaine D(Rn), l’espace des fonctions C∞ à support compact sur Rn, ou surl’espace L2(Ω) avec pour domaine V0, ce que nous choisissons pour fixer les idées. Notons

〈u, v〉 =∫

Ωuv dΩ

le produit scalaire de L2(Ω).La formule d’intégration par parties dans un domaine borné (cf (1.1))∫

Ω

∂u

∂xiv dΩ = −

∫Ωu∂v

∂xidΩ +

∫∂Ωu v ni d∂Ω (3.1)

exprime l’antisymétrie de l’opérateur ∂u∂xi

... au terme de “bord” près. On voit que le terme de bords’annule si u et v sont dans des espaces de fonctions nulles sur le bord, . On peut réécrire (3.1), pouru, v ∈ V0, sous la forme

〈 ∂u∂xi

, v〉 = −〈u, ∂v∂xi

〉 (3.2)

L’opérateur ∂∂xi

est antisymétrique sur V0 pour le produit scalaire de L2(Ω). Il en est donc de mêmede toute combinaison

∑i ai

∂∂xi

à coefficients constants de ces opérateurs, c’est à dire des opérateursdu premier ordre à coefficients constants. D’où la proposition

Proposition 22 L’opérateur ∂∂xi

est antisymétrique sur V0 pour le produit scalaire de L2(Ω). Il enest de même des opérateurs du premier ordre à coefficients constants.

Remarque : Une variante de cette propriété est bien connue dans le formalisme de la mécanique quan-tique : l’opérateur i ∂

∂xiest hermitien sur l’espace complexe L2(Rn) avec pour domaine de définition

les fonctions C1 nulles à l’infini.

Symétrie des opérateurs du second ordre

Le produit de deux opérateurs antisymétriques qui commutent est symétrique, donc les opérateursdu second ordre ∂2

∂xi∂xjsont symétriques et il en est de même de leurs combinaisons, c’est à dire des

opérateurs linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants. Vérifions directement cetteassertion, la formule de Stokes (1.2) nous donne en utilisant l’écriture synthétique (21)

〈P (D)(u), v〉 =∫

Ω∇ . (A∇u) v dΩ = −

∫Ω〈A∇u,∇v〉 dΩ +

∫Γ

(A∇u)n v dΓ (3.3)

Le terme de bord est nul comme les fonctions u, v (noter que c’est encore vrai si (A ∇u)n = 0).Définissons la forme bilinéaire

a(u, v) =∫

Ω〈A∇u,∇v〉 dΩ

Il vient〈P (D)(u), v〉 = −a(u, v)

La symétrie de l’opérateur résulte de la symétrie de la forme a(u, v). Plutôt que d’avoir un signe “−”devant la forme bilinéaire, on préfère le mettre devant l’opérateur

51 Mathématiques 2


Proposition 23 Un opérateur linéaire du second ordre homogène et à coefficients constants

P (D)(u) = −∇ . (A∇u)

est symétrique sur V0 pour le produit scalaire de L2(Ω). La forme bilinéaire symétrique associée est

a(u, v) = 〈P (D)(u), v〉 =∫

Ω〈A∇u,∇v〉 dΩ

Le laplacien ∆ est un opérateur symétrique, avec

a(u, v) =∫

Ω〈∇u,∇v〉 dΩ

ainsi que l’opérateur des ondes∂2

∂t2− c2∆

avec a(u, v) =∫Ω

∂u∂t

∂v∂t − c

2〈∇u,∇v〉 dΩ, mais le premier est en outre défini positif1 contrairementau second.

Cette propriété de symétrie s’étend à d’autres espaces de fonctions quand les fonctions vérifientcertaines conditions aux limites sur des domaines bornés (voir chapitre 4).

Calcul du transposé

Ce paragraphe peut être laissé de côté en première lecture. La formule d’intégration par partiespermet de calculer le transposé d’un opérateur aux dérivées partielles, nous allons présenter deuxexemples classiques.

1) Soit V un champ de vecteur C1 dans un domaine Ω de bord Γ et

V0 = u ∈ C1(Ω) / u = 0 si x ∈ Γ

Considérons sur L2(Ω), l’opérateurL(u) = ∇ . (uV )

de domaine V0. On a

〈L(u), v〉 =∫

Ω∇ . (uV )v dΩ

De la formule d’intégration par parties on déduit la formule de Stokes (cf. (1.2))∫Ω∇ . Φ v dΩ = −

∫Ω

Φ .∇v dΩ +∫

ΓΦn v d∂Ω (3.4)

Appliquons (3.4) en remplaçant Φ par u~V∫Ω∇ . (uV )v dΩ = −

∫ΩuV .∇v dΩ +

∫∂Ωuv Vn d∂Ω

1D’où l’usage de considérer −∆ et non ∆ qui est défini négatif, on préfère toujours le positif au négatif...

ECP 2006-2007 52


Le terme de bord est nul comme u (mais on pourrait aussi supposer Vn nul et avoir u quelconque)donc

〈L(u), v〉 =∫

Ω∇ . (uV )v dΩ = −

∫ΩuV .∇v dΩ = 〈u, Lt(v)〉

Il vient

Proposition 24 L’opérateur Lt(v) = −V . ∇v opérant sur les fonctions C1 est le transposé del’opérateur L(u) = ∇ . (uV ) opérant sur les fonctions C1 nulles sur le bord.

Cette formule nous servira pour l’étude de l’équation de convection-diffusion.

2) Considérons dans ce paragraphe un champ de vecteurs u(x) = (..., ui(x1, x2, x3), ...)t et unefonction scalaire v(x1, x2, x3), définie sur un domaine Ω . Considérons la divergence “∇ . ” commeun opérateur de L2(Ω)3 dans L2(Ω) de domaine C1(Ω) et le gradient “∇” comme un opérateur deL2(Ω) dans L2(Ω)3 de domaine V0. Si u ∈ C1(Ω) et v ∈ V0 la formule (3.4) a bien un sens etl’intégrale de bord est nulle∫

Ω∇ . u v dΩ = −

∫Ωu∇v dΩ +

∫Γunv dΓ (3.5)

d’où ∫Ωu∇v dΩ = −

∫Ω∇ . u v dΩ (3.6)

La formule (3.6) exprime que le transposé du gradient, opérant sur les fonctions C1 nulles sur le bord,est l’opposé de la divergence opérant sur les champs de vecteurs C1.Nous aurions pu aussi considérer des champs de vecteurs tels que un est nul sur le bord (donc tan-gents au bord) et des fonctions quelconques : la formule (3.5) exprime alors que le transposé de ladivergence, opérant sur les champs de vecteurs C1 tangents au bord d’un domaine, est l’opposé dugradient opérant sur les fonctions C1. Elle s’applique par exemple au système d’équations de Stokes(chapitre 2) qui modélise des fluides incompressibles et montre que l’opérateur aux dérivées partiellesdans ce système est symétrique. Il vient :

Proposition 25 Le transposé de l’opérateur L(u) = ∇u opérant sur les fonctions C1 nulles sur lebord est l’opérateur Lt(v) = −∇ . v opérant sur les champs de vecteurs C1.Le transposé de l’opérateur L(v) = ∇ . v opérant sur les champs de vecteurs C1 tangents au bordest l’opérateur Lt(u) = −∇u opérant sur les fonctions C1.

Noter que on retrouve la symétrie de l’opérateur homogène du second ordre (23) car

P (D)(u) = −∇ . (A∇u) = ∇tA∇

Forme canonique des opérateurs linéaires du second ordre

Considérons un opérateur linéaire du second ordre général

P (D)(u) =∑i,j

ai,j(x)uxixj +∑j

bj(x)uxj + c(x)u

53 Mathématiques 2


Noter que l’on peut supposer ai,j = aj,i du fait que uxixj = uxjxi . NotonsA(x) la matrice symétriquede coefficient ai,j(x) On vérifie en développant la divergence que

P (D)(u) = ∇ . (A(x)∇u) + 2〈V (x),∇u〉+ c(x)u

où nous avons posé 2βj(x) = bj −∑

i∂ai,j

∂xiet nous avons noté V (x) = (β1, ..., βn)t. Or nous avons

vu (24) que le transposé de l’opérateur L(u) = 〈V (x),∇u〉 est l’opérateur Lt(u) = −∇ . (V (x)u) ;décomposons donc l’opérateur L(u) en sa partie symétrique

L(u) + Lt(u) = 〈V (x),∇u〉 − ∇ . V (x)u)

et antisymétriqueL(u)− Lt(u) = (〈V (x),∇u〉+∇ . (V (x)u))

Or∇ . (V (x)u) = ∇ . V (x)u+ 〈V (x),∇u〉

d’oùL(u) + Lt(u) = −∇ . V (x)u

Il vient

P (D)(u) = ∇ . (A(x)∇u)−∇ . V (x)u+ (〈V (x),∇u〉+∇ . (V (x)u)) + c(x)u

ou encoreP (D)(u) = ∇ . (A(x)∇u) + γ(x)u+ (〈V (x),∇u〉+∇ . (V (x)u))

où on a posé γ(x) = (c(x) − ∇ . V (x)). Considérons que l’opérateur P (D) opère sur L2(Ω) avecpour domaine V0. On vérifie que :− l’opérateur

P (D)S(u) = ∇ . (A(x)∇u) + γ(x)u

est symétrique, car en appliquant la formule de Stokes (3.4)

〈P (D)S(u), v〉 =∫

Ω∇ .(A(x)∇u)vdΩ+

∫Ωγ(x)uvdΩ = −

∫Ω〈A(x)∇u, v〉dΩ+

∫Ωγ(x)uvdΩ

et cette expression est symétrique en u et v (cette propriété reste vraie dans des espaces plus générauxque V0).− l’opérateur

P (D)A(u) = 〈V (x),∇u〉+∇ . (V u)

est antisymétrique par construction. La forme bilinéaire associée s’écrit

〈P (D)A(u), v〉 =∫

Ω(〈V (x),∇u〉+∇ . (V (x)u))v dΩ =

∫Ω∇ . (V (x)u))v −∇ . (V (x)v))u dΩ

en utilisant la formule de Stokes (3.4) pour transformer le premier terme, le terme de bord∫Γ V (x).~nuvds

étant nul (noter que le résultat reste vrai si V (x).~n = 0 aux point du bord où u, v sont non nuls). Laforme est clairement antisymétrique.Nous préférons changer2 A en −A et énoncer le théorème :

2Cela permet d’énoncer le résultat suivant : si A est définie positive l’opérateur −∇ . (A(x)∇u est défini positif ; pourle mathématicien il faut toujours positiver.

ECP 2006-2007 54


Théorème 10 Un opérateur linéaire aux dérivées partielles quelconque peut s’écrire sous la formecanonique

P (D)(u) = (−∇ . (A(x)∇u) + γ(x)u) + (〈V (x),∇u〉+∇ . (V (x)u)

où A(x) est une matrice symétrique et V (x) un champ de vecteurs. Sur l’espace V0 des fonctionsde C1(Ω) nulles sur le bord Γ le premier opérateur est symétrique et associé à la forme bilinéairesymétrique

a(u, v) = −∫

Ω〈A(x)∇u,∇v〉 dΩ +

∫Ωγ(x)uv dΩ

et le deuxième antisymétrique associé à la forme bilinéaire

b(u, v) =∫

Ω∇ . (V (x)u))v −∇ . (V (x)v))u dΩ

Nous verrons que cette forme canonique est bien préférable à la forme développée : elle permet dedonner un sens physique à l’équation et elle permet de définir de façon cohérente des approximationsconservant ces propriétés de symétrie.

3.1.4 Fonctions propres

La connaissance des éléments propres d’une matrice détermine toutes les propriétés intrinsèquesde celle-ci et simplifie de nombreux calculs. D’où l’importance de trouver de façon analogue les élé-ments propres d’un opérateur aux dérivées partielles ; quand on fait opérer ceux-ci sur des espaces defonctions de Ck(Ω) nulles sur le bord de Ω les éléments propres peuvent être difficiles à déterminer,mais si Ω = Rn et pour quelques domaines simples les fonctions propres sont connues.

Rappelons que les dérivées partielles d’une fonction commutent

∂

∂xi

∂

∂xj=

∂

∂xj

∂

∂xi

On en déduit que deux opérateurs aux dérivées partielles à coefficients constants commutent aussi.

Les fonctionsexp i〈k, x〉 = exp (i

∑j

kjxj)

(“ondes planes harmoniques”), avec k ∈ Rn, sont les fonctions propres des opérateurs dérivées par-tielles ∂

∂xi(en fait toutes les fonctions exponentielles le sont, mais nous nous limitons aux fonctions

bornées)∂

∂xiexp i〈k, x〉 = iki exp i〈k, x〉

La valeur propre iki est imaginaire pure. On en déduit :

Proposition 26 Les fonctions exp i〈k, x〉 (“ondes planes sinusoïdales”) sont des fonctions propresbornées de tout opérateur linéaire aux dérivées partielles à coefficients constants P (D) avec pourvaleur propre P (ik1, ..., ikn).

55 Mathématiques 2


En particulier ce sont des fonctions propres des opérateurs linéaires aux dérivées partielles du se-cond ordre, homogènes et à coefficients constants,

∑i,j ai,j

∂∂xi

∂∂xj

, avec une valeur propre réelle−

∑i ai,jkikj .

En recombinant convenablement les parties réelles et imaginaires des ondes planes on obtient desproduits de fonctions trigonométriques, et on vérifie directement que les fonctions produits

sin k1x1 cos k2x2... sin knxn

formées indifféremment de fonctions sinus ou cosinus sont des fonctions propres de l’opérateur dusecond ordre

∑i,j ai,j

∂∂xi

∂∂xj

pour les valeurs propres −∑

i ai,jkikj .

Proposition 27 Les fonctions sin k1x1 cos k2x2... sin knxn sont des fonctions propres bornées desopérateurs linéaires aux dérivées partielles du second ordre, homogènes et à coefficients constants,∑

i,j ai,j∂∂xi

∂∂xj

, avec une valeur propre réelle −∑

i ai,jkikj ..

3.1.5 Noyau des opérateurs

Les éléments du noyau d’un opérateur P (D) à coefficients constants sont les solutions de l’équa-tion homogène P (D)(u) = 0. Ce sont des vecteurs propres associés à la valeur propre 0. Nous nenous limitons pas aux fonctions propres bornées, nous considérons donc les fonctions exp i〈k, x〉 ,avec k ∈ Cn ; D’après (26) elles sont dans le noyau de P (D) si

P (ik1, ..., ikn) = 0

3.1.6 Transformation de Fourier

Définition et propriétés

Nous choisissons la transformée de Fourier d’une fonction v(k), k = (k1, ..., kn) définie sur Rn

avec la normalisation suivante

F(v)(x) =∫

Rn

v(k) exp−i〈k, x〉 dk

Rappelons quelques propriétés de la transformation de Fourier à une variable (x, y ∈ R) (Voir lecours d’analyse de première année pour la définition du produit de convolution et les propriétés de latransformée de Fourier).

Si u, v ∈ L1(R) v = F(u) ⇔ u =12πF(v)

Si u, v ∈ L1(R) F(u ∗ v) = F(u)F(v)

F(du

dx) = iyF(u)(y)

F(exp (−ax2)

2)(y) =

1√a

√2π exp (

−x2)2a

ECP 2006-2007 56


Utilisation

On cherche la solution u d’une équation aux dérivées partielles à coefficients constants P (D)u =f sous la forme d’une transformée de Fourier (ce qui revient à écrire comme une superposition demodes propres), on cherche donc u sous la forme3

u(x) = F(u(k))

après avoir posé

f = F(f)

On a∂

∂xiF(u) = F(ikiu)

et donc

P (D)(u) = F(P (ik1, ..., ikn)u)

Pour vérifier l’équation P (D)(u) = f il suffit donc d’avoir

P (ik1, ..., ikn)u = f

puisque la transformée de Fourier est injective. On a donc la proposition

Proposition 28 Le passage à la transformée de Fourier transforme un opérateur linéaire aux déri-vées partielles à coefficients constants en un opérateur “multiplication par un polynôme”.

On en déduit

u =f

P (ik1, ..., ikn)

puis on remonte à la solution u par une transformation de Fourier inverse et comme la transforméede Fourier d’un produit est un produit de convolution4, on trouve une expression de u sous la formed’un produit de convolution. En pratique c’est plus compliqué car le polynôme P (ik1, ..., ikn) peuts’annuler, la transformée de Fourier de la fonction 1

P (ik1,...,ikn) n’est donc pas toujours définie. Pourdonner un sens précis à ces opérations il faut alors se placer dans le cadre des distributions.On peut souvent se limiter à des transformées de Fourier partielles, i.e. sur une partie des variables,de façon à garder un sens aux opérations, c’est ainsi qu’a été calculée la solution de l’équation de ladiffusion donnée en (2.11). Développons cet exemple, en laissant au lecteur la justification précisedes différentes opérations.

3Avec ces notations nous faisons apparaître que si une fonction u(x) est la transformée de Fourier d’une fonction v(k),alors u est une superposition d’ondes planes de direction k ∈ Rn et d’amplitude v(k) (il est équivalent, et plus usuel,d’appliquer la transformée de Fourier aux deux termes de l’équation)

4voir le cours d’Analyse 1

57 Mathématiques 2


Exemple

On cherche une fonction u(x, t), u ∈ C2(R× [0,∞]), qui tend vers 0 à l’infini en x, solution duproblème

∂u

∂t= c

∂2u

∂x2

u(x, 0) = u0(x)

(3.7)

où u0(x) est une fonction qui tend vers 0 à l’infini. Appelons y la variable notée k plus haut et posons

u(x, t) = Fy(u(y, t))

où la transformée de Fourier est prise en y seulement. En particulier

u0(x) = Fy(u(y, 0)) (3.8)

. Il vient∂u

∂t= Fy(

∂u(y, t)∂t

)

et∂2u

∂x2= Fy(−y2u(y, t))

d’où, en reportant dans (3.7),

Fy(∂u(y, t)∂t

) = Fy(−y2cu(y, t))

et, puisque la transformée de Fourier est injective,

∂u(y, t)∂t

= −y2cu(y, t)

d’où, en intégrant cette équation différentielle en t

u(y, t) = u(y, 0) exp (−y2ct)

etu(x, t) = Fy(u(y, t)) = Fy(u(y, 0)) ∗ Fy(exp (−y2ct))

Or, d’après (3.8)Fy(u(y, 0)) = u0(x)

D’autre part la transformée de Fourier de exp (−y2) est un résultat classique

F(exp (−ay2)) =1√

(4πa)exp(−x

2

4a)

On en déduit

u(x, t) = u0(x) ∗1√

(4πct)exp(− x2

4ct) =

∫ +∞

−∞u0(x− y)

1√(4πct)

exp(− y2

4ct))dy

ECP 2006-2007 58


3.1.7 Transformation de Laplace

La transformée de Laplace d’une fonction v(t) définie sur R+ est

L(v)(p) =∫ ∞

0v(t) exp−pt dt

Son principal intérêt est d’être définie pour des fonctions beaucoup plus générales que la transforméede Fourier, puisque l’exponentielle exp−pt rend l’intégrale convergente pour des fonctions v à crois-sance polynômiale, tout en ayant les mêmes propriétés fonctionnelles (elle transforme un opérateurdifférentiel en la multiplication par un polynôme). Rappelons la formule

L(v′(t))(p) = pL(v(t))(p)− v(0)

et, si la fonction v(t) dépend d’un paramètre x,

L(∂v

∂x)(p) =

∂v

∂xL(v)

La transformée de Laplace est particulièrement utile pour résoudre des problèmes de Cauchy pour deséquations linéaires, comme dans son usage est classique dans le cadre des équations différentielles.

3.2 Application de la linéarité de l’opérateur

La linéarité d’un opérateur u → L(u) justifie le classique principe de superposition qui permetde décomposer un problème linéaire en problèmes plus simples

L(u1) = f1 et L(u2) = f2 ⇒ L(u1 + u2) = f1 + f2

Nous allons en voir quelques exemples d’application.

3.2.1 Découplage des données

Nous présentons un exemple caractéristique de découplage d’un problème utilisant la linéarité.Pour faire la théorie mathématique des équations aux dérivées partielles linéaires avec des conditionsaux limites non homogènes, on se ramène souvent à un problème à conditions aux limites nulles(“homogènes”). Prenons un exemple simple, l’équation de Poisson (cf. 2.1)

−k∆u = f si x ∈ Ωu = g si x ∈ Γ

(3.9)

On peut chercher d’abord u1(g) solution d’une équation de Laplace avec f = 0 puis u2(f) d’unproblème homogène avec g = 0, on obtient la solution du problème général sous la forme u(f, g) =u1(g) + u2(f).En fait il n’est pas nécessaire de résoudre une équation de Laplace ; soit g une fonction C2 qui pro-longe g au domaine Ω, on pose u = u− g et f = f −∆g ; u est solution du problème homogène

−k∆u = f si x ∈ Ωu = 0 si x ∈ Γ

(3.10)

59 Mathématiques 2


La principale difficulté théorique est de caractériser les fonctions g qui se prolongent en une fonctionrégulière sur Ω. Cette idée est utilisée pour la recherche de solutions faibles dans le cadre des espacesde Sobolev (cf. chapitre 6), où le traitement des conditions non homogènes est un problème délicat.

3.2.2 Décomposition à l’aide de fonctions spéciales

Pour résoudre un problème pour une équation aux dérivées partielles linéaires on peut chercherdes solutions particulières, vérifiant tout ou une partie des conditions supplémentaires puis chercherla solution générale sous la forme d’une série de ces fonctions. Nous présentons dans ce paragraphequelques exemples.

Développement en séries de Fourier

Nous avons vu au chapitre 2 (voir (2.7) et (2.10)) des développements en série de Fourier del’équation de Poisson et de la diffusion. Plus généralement compte tenu de la proposition (27) il estnaturel de chercher des solutions d’une équation à coefficients constants sous la forme d’un dévelop-pement en séries de produits de fonctions trigonométriques. La difficulté est de vérifier les conditionssupplémentaires, notamment les conditions aux limites. Dans des domaines simples, par exemple uncarré, il est possible de faire en sorte que ces conditions soient vérifiées directement par les produitsde fonctions trigonométriques. Ainsi l’expression (2.7) de la solution de l’équation de Poisson aveccondition aux limites homogène est obtenue en considérant des fonctions sinπk1x1 sinπk2x2 quisont nulles sur le bord du carré [0, 1] × [0, 1]. En utilisant des fonctions sinπk1x1 cosπk2x2 on ob-tiendrait de même une base convenable pour construire des solutions du problème de Poisson avecdes conditions aux limites u(0, x2) = u(1, x2) = 0 et ∂u

∂x2(x1, 0) = ∂u

∂x2(x1, 1) = 0.

Utilisation d’une décomposition spectrale

Une idée plus générale que les précédentes est de chercher des solutions particulières d’une équa-tion linéaire aux dérivées partielles à l’aide des fonctions propres de l’opérateur aux dérivées partiellesou d’un opérateur associé à l’équation. Il y a de nombreuses applications théoriques ou numériquesde cette idée, notamment la “synthèse spectrale” pour l’étude des phénomènes vibratoires. Prenonscomme exemple l’équation des ondes pour une membrane (cf.(2.41) avec une position initiale connueet une vitesse initiale nulle

ρ∂2u


u(x, 0) = 0 si x ∈ Γu(x, 0) = u0(x) si x ∈ Ω∂u

∂t(x, 0) = 0 si x ∈ Ω

(3.11)

Cherchons des solutions particulières de la forme de vibrations harmoniques5, c’est à dire d’un pro-duit à variables séparées

u(x, t) = g(t)v(x)

5Une vibration est harmonique si tous les points suivent le même mouvement en temps, à l’amplitude près

ECP 2006-2007 60


d’amplitude v(x). Il vient

−σ∆v(x)ρv(x)

=g′′(t)g(t)

En prenant une valeur particulière pour x puis pour t on en déduit que les fonctions des deux membressont constantes, et donc d’une part

−σ∆v(x) = µρv(x)

et d’autre partg′′(t) = µg(t)

L’amplitude v est donc une fonction propre de l’opérateur Laplacien. Soit l’espace

V0 = v ∈ C2(Ω), / v|Γ = 0

On impose à la solution particulière de vérifier les conditions aux limites, ce qui revient à poser quev ∈ V0. L’amplitude v doit être un vecteur propre du Laplacien −∆ opérant sur V0. L’opérateur−∆ admet dans cet espace une base de fonctions propres vk, k ∈ N, orthonormales pour le produitscalaire de L2(Ω), associées à des valeurs propres positives λk. On peut donc chercher une solutionparticulière sous la forme

u(x, t) = gk(t)vk(x)

avec g′′k (t) + µkgk(t) = 0 et µk = σλk

ρ > 0. D’où en posant

ωk =√σµkρ

il vient

gk(t) = gk(0) cosωkt+g′k(0)ωk

sinωkt

Toute superposition de ces vibrations harmoniques est une solution de l’équation des ondes qui vérifieles conditions aux limites. On cherche donc la solution générale u(x, t) sous la forme

u(x, t) =∑k

gk(t)vk(x)

Il reste à vérifier les conditions initiales, vitesse initiale nulle

∂u

∂t(x, 0) = 0

qui est vérifiée si g′k(0) = 0 et position initiale connue

u(x, 0) = u0(x)

ce qui impliqueu0(x) =

∑k

gk(0)vk(x)

61 Mathématiques 2


et donc, puisque la base vk est orthonormale pour le produit scalaire de L2(Ω)

gk(0) =∫

Ωu0(x)vk(x) dΩ

Finalement, la solution s’écrit comme une superposition d’harmoniques sinusoïdales

u(x, t) =∑k

gk(0) cos(ωkt)vk(x)

Remarque :La détermination des fonctions propres du Laplacien ne peut se faire en général que numériquementde manière approchée, mais pour des domaines de forme simple (carré, disque...) on peut déterminerles fonctions propres par la méthode des solutions à variables séparées.Cette méthode est très utilisée pour étudier les phénomènes vibratoires tant d’un point de vue théo-rique pour démontrer l’existence de la solution de (3.11), que d’un point de vue numérique ( on selimite alors à un nombre fini de termes dans le développement en série). Étendue à une équation avecune excitation au second membre cette méthode permet d’étudier les phénomènes de résonance.

Utilisation des solutions à “variables séparées”

Quand le domaine est Rn, un carré, un disque ou une boule, on peut chercher des solutions parti-culières d’une équation linéaire, sous la forme d’un produit de fonctions d’une variable vérifiant desconditions supplémentaires pour chaque variable. Ces fonctions sont alors solutions d’équations dif-férentielles plus ou moins découplées. Ensuite si on a trouvé suffisamment de solutions particulièreson peut chercher une solution sous la forme d’une combinaison de ce fonctions.Pour un domaine carré [0, 1]× [0, 1] et des conditions aux limites u = 0 au bord, on peut chercher dessolutions sous la forme u(x, y) = f(x)g(y), f(x) et g(y) vérifiant des conditions aux limites nullesen 0 et 1. On trouve des équations différentielles sur f et g. L’utilisation des fonctions trigonomé-triques dans les paragraphes précédents entre dans ce cadre.Pour un domaine qui est un disque de rayon 1 on cherchera en coordonnées polaires des fonctionsparticulières de la forme f(r)g(θ) avec g(θ) une fonction 2π périodique et f(r) une fonction bornéeen 0 et nulle en 1. Cette technique s’applique bien aux équations invariantes par rotation.

Cette méthode se couple avec la méthode de décomposition spectrale quand il s’agit de déterminerles fonctions propres d’un opérateur aux dérivées partielles. Considérons l’exemple de la recherchedes fonctions propres du laplacien opérant sur les fonction nulles sur le bord d’un disque. Il faut donctrouver les solutions non nulles de l’équation

−∆u == −1r

∂

∂r(r∂u

∂r)− 1

r2∂2u

∂θ2= λu, u(1, θ) = 0

Cherchons ces fonctions propres sous la forme u(r, θ) = f(r)g(θ). On impose f(1) = 0, pour lacondition aux limites, et g(θ) périodique pour la cohérence de la définition. Il vient

−1r(rf ′(r))′g(θ)− 1

r2f(r)g′′(θ) = λf(r)g(θ)

ECP 2006-2007 62


ou

−r(rf′(r))′

f(r)− λr2 =

g′′(θ)g(θ)

ce qui implique l’existence d’une constante C telle que

−r(rf′(r))′

f(r)− λr2 = C

g′′(θ)g(θ)

= C

ou encore−r(rf ′(r))′ − λr2f(r) = Cf(r)

g′′(θ) = Cg(θ)

La périodicité de g implique C < 0. Posons C = −n2 n ∈ N, il vient

g(θ) = a cosnθ + b sinnθ

f est solution de l’équation différentielle du second ordre écrite sous la forme canonique

r2f ′′(r) + rf ′(r) + (λr2 − n2)f(r) = 0

En posant x =√λr elle se réécrit

x2f ′′(x) + xf ′(x) + (x2 − n2)f(x) = 0

C’est l’“équation de Bessel”, qui n’a, à facteur près, qu’une solution bornée, notée Jn(x), qui nes’exprime pas à l’aide des fonctions usuelles mais dont les propriétés sont bien connues (cf. parexemple [13] ou tout ouvrage sur les “fonctions spéciales”). On montre que Jn(x) a une infinité dezéros µkn > 0, k = 1, ...,∞. La condition f(1) = 0 impose Jn(

√λ) = 0, donc λ ne peut être

quelconque si on veut des solutions non nulles6 : λ = (µkn)2. Finalement on trouve pour λ = (µkn)

2

des solutions de la formeu(r, θ) = Jn(µknr)(a cosnθ + b sinnθ)

On peut montrer que l’on a obtenu ainsi toutes les fonctions propres.

Utilisation des solutions fondamentales

Nous utilisons dans ce paragraphe la théorie des distributions, voir le chapitre 6.

PrincipePour résoudre un système linéaire en dimension finie A u = f on peut calculer la matrice inverse

6On montre que si λ 6= (µkn)2 il n’y a pas de solution non nulle. Les valeurs propres forment un ensemble discret décrit

ici sous la forme une suite double.

63 Mathématiques 2


A−1 colonne par colonne en résolvant les système Aui = ei où ei est un vecteur d’une base , ui estalors la ième colonne de A−1. Et on a

u =∑i

uifi

L’équivalent pour une équation linéaire aux dérivées partielles L(u(x)) = f est de résoudre, au sensdes distributions, les équations

L(uy(x)) = δ(y)

où δ(y) est la distribution de Dirac en y (c’est la“réponse” à une charge concentrée), la solution deL(u(x)) = f est donnée par le principe de superposition sous la forme

u(x) =∫

uy(x)f(y) dy

(en considérant intuitivement qu’une charge quelconque de densité f est la somme des chargesconcentrée : f(x) =

∫uy(x)δ(y) dy).

Cas des équations à coefficients constantsSi le domaine d’étude Ω est Rn et si l’opérateur L(u) = P (D)(u) est à coefficients constants, l’in-variance du problème par translation implique que uy(x) = u0(x− y), les fonctions u0(x), solutionde l’équation P (D)(u) = δ0 sont les solutions fondamentales de l’opérateur souvent calculables ex-plicitement. Si le domaine est quelconque mais que les fonctions doivent vérifier certaines conditionsaux limites, les fonction uy sont des fonctions de Green qui ne sont en général pas calculables expli-citement.

Calcul des solutions fondamentalesLes solutions fondamentales peuvent être calculée par transformation de Fourier avec les difficultésque nous avons signalées au paragraphe (3.1.6) : les calculs doivent être fait au sens des distribu-tions et les solutions fondamentales ne sont pas toujours des fonctions. Un calcul direct des solutionsfondamentales est souvent possible en tenant compte des groupes d’invariants du problème : si l’opé-rateur est invariant par rotation on pourra chercher u0(x) sous la forme u0(r) avec r = ‖x‖2 qui serasolution d’une équation différentielle (voir ci-dessous le cas de l’équation de Laplace). Les propriétésdes solutions fondamentales sont évidemment fondamentales ( !) pour déterminer les propriétés dessolutions d’une équation. Par exemple si ce sont des fonctions C∞ cela implique des résultats derégularité sur la solution de l’équation.

ExempleL’application de la méthode des solutions fondamentales à l’équation de Poisson dans R3

−∆u =ρ

ε0pour x ∈ R3 (3.12)

est classique si on interprète ce problème comme la détermination du potentiel électrostatique u(x)associée à une densité de charge ρ(x). La solution fondamentale du Laplacien dans R3, i.e. unesolution de l’équation aux dérivées partielles

−∆u0 =1ε0δ0 (3.13)

ECP 2006-2007 64


prise au sens des distributions de D′(R3), est donnée par l’expression bien connue du potentiel asso-ciée à une charge 1

u0(x) =1

4πε01

‖x‖2Si ρ(x) est fonction continue à support compact, la fonction

u(x) =∫

R3

u0(x− y)ρ(y)dy

est solution de (3.12).

ApplicationsLes solutions fondamentales sont à la base des méthodes dites intégrales ou d’éléments frontièrespour l’approximation numérique des équations linéaires à coefficients constants ; l’exemple de l’élec-trostatique est bien connu : pour trouver le potentiel dans un domaine sans charge répartie mais avecun potentiel connu V0(s) sur le bord, on cherche une répartition de “charges” q0(s) sur le bord quicrée ce potentiel connu V0(s) sur le bord. Le potentiel à l’intérieur s’obtient alors par une intégralesur le bord

V (x) =∫s

14πε0

q0(s)‖x− x(s)‖

ds

Le potentiel q0(s) sur le bord est solution d’une équation intégrale à noyau singulier∫s

14πε0

q0(s)‖x(t)− x(s)‖

ds = V0(t)

qu’il faut résoudre numériquement après approximation par une méthode d’éléments finis. En pra-tique on procède de façon un peu différente. La méthode est spécialement intéressante pour les pro-blèmes “extérieurs”, c’est à dire dont le domaine est le complémentaire d’un domaine borné. Ellepeut s’appliquer chaque fois que la solution fondamentale est connue.

3.3 Formulation faible des équations aux dérivées partielles

Pour une introduction aux formulations faibles voir les séances d’exercice 3,4,5. Dans ce para-graphe nous analysons le passage aux formulations faibles de façon plus synthétique.Nous considérons un problème aux limites pour une équation de Poisson ; soit Ω un domaine borné duplan dont le bord Γ est la réunion de deux frontières Γ0 et Γ1. Soit u une fonction de C2(Ω) solutiondu problème

−k∆u = f sur Ωu = u0 sur Γ0

−k∂u∂n

= g sur Γ1

(3.14)

où u0 et g sont des fonctions données sur le bord. Multiplions les deux membres de l’équation (3.14)par une fonction v quelconque, choisie dans un espace V de fonctions que nous préciserons plus loin ;il vient :

∀v ∈ V∫

Ω−k ∆u v dΩ =

∫Ωf v dΩ (3.15)

65 Mathématiques 2


d’où d’après la formule de Stokes :

∀v ∈ V∫

Ωk∇u .∇v dΩ +

∫Γk∂u

∂nv ds =

∫Ωf v dΩ (3.16)

Pour justifier l’usage de la formule de Stokes il faut que v ait des propriétés suffisantes de dérivabilité,nous choisissons ici V = C1(Ω).

Le terme de bord k ∂u∂n v est connu sur la partie du bord notée Γ1 puisque −k ∂u∂n = g sur ce bord.Si on choisit la fonction v nulle sur le bord Γ0 le terme de bord s’annule sur Γ0. On note V0 l’espacedes fonctions de V nulles sur la partie Γ0 du bord.

Définition 9 Nous appellerons espace de fonctions tests l’espace V0 dans lequel on choisit la fonctionv.

Il vient : u ∈ C2(Ω)u = u0 sur Γ0

∀v ∈ V∫

Ωk ∇u .∇v dΩ =

∫Ωf v dΩ +

∫Γ1

k∂u

∂nv ds

(3.17)

On obtient ainsi une première formulation variationnelle du problème, dite aussi formulation faible,nous allons montrer qu’elle est équivalente à la formulation initiale.

3.3.1 Équivalence des formulations

Un lemme

Soit V0 un sous-espace de fonctions continues sur un domaine Ω. Définissons la propriété (P)suivante :Pour tout point x ∈ Ω et pour tout petit disque Bε(x) inclus dans Ω il existe une fonction v ∈ V0

positive sur Bε(x) et nulle en dehors de ce disque.On a le lemme :

Lemme 2 Si un espace de fonctions V0 a la propriété (P) et si h ∈ C(Ω), alors

∀v ∈ V0

∫Ωh v dΩ = 0 =⇒ h = 0 (3.18)

Preuve : si h 6= 0, il existe un point x ∈ Ω et un petit disque Bε(x) tel que h soit de signe constant surce disque (par exemple > 0) ; choisissons v ∈ V0 positive sur Bε(x) et nulle en dehors de ce disque,alors on a hv > 0 sur ce disque tandis que

∫Ω hv dΩ =

∫Bε(x)

hv dΩ = 0, ce qui est contradictoire.♦Noter que l’on peut prendre comme fonctions test l’espace D(Ω) des fonctions C∞ à support com-pact, voir le paragraphe ci-dessous, mais que si l’on prend l’espace des fonctions C1 d’intégrale nullesur Ω la propriété (P) n’est pas vérifiée.

ECP 2006-2007 66


Démonstration de l’équivalence

Il y a dans l’équivalence des formulations (3.14) et (3.17) deux propriétés distinctes :

1. La formulation (3.17) implique l’équation aux dérivées partielles (3.14).Supposons que u soit solution de (3.17) alors, en appliquant la formule de Stokes, on montreque u est solution de (3.15) pour toute fonction v ∈ C1

0 (Ω) nulle sur tout le bord Γ de Ω (caralors l’intégrale de bord disparaît). Comme l’espace C1

0 (Ω) des fonction C1 nulles sur le borda la propriété (P) on en déduit que −∆u− f = 0.

2. La formulation faible (3.17) implique que u vérifie la condition aux limites −k ∂u∂n = g sur lebord Γ1.Il suffit en effet d’appliquer à nouveau la formule de Stokes à (3.17) mais cette fois pour unefonction v quelconque dans V0, on obtient une intégrale sur Ω qui est nulle puisque u estsolution de (3.14) et une intégrale de bord

∫Γ1

(−k ∂u∂n − g) vds qui doit donc être nulle. On endéduit que cela implique que ∂u

∂n = 0 en utilisant la propriété (P) sur C(Γ1).

Choix de l’espace fonctionnel

De la démonstration ci-dessus nous déduisons une règle pour choisir l’espace fonctionnel V0 desfonctions tests quand on veut définir une formulation faible :

Proposition 29 (Informelle) Si, dans la construction d’une formulation faible, on prend pour espacede fonctions tests le sous ensemble des fonctions nulles aux points du bord où les valeurs de la fonctionsont fixées (condition de Dirichlet) mais quelconques aux points du bord où les conditions portent surla dérivée (conditions de Neuman) on rend implicite les conditions sur la dérivée.

3.3.2 Formulation au sens des distributions

Prenons comme espace de fonctions test l’espace D(Ω) des fonctions C∞ à support compact.Appliquons deux fois la formule de Stokes à (3.17), les différentes intégrales de bord sont toutesnulles et l’on obtient :

∀v ∈ D(Ω)∫

Ω−u∆v dΩ =

∫Ωf v dΩ (3.19)

Cette formulation faible est la formulation au sens des distributions de l’équation (3.14). Pour unefonction deux fois dérivables, cette formulation équivaut à l’équation aux dérivées partielles initiale.Mais dans cette formulation les dérivées de l’inconnue u n’apparaissent plus, ce qui autorise à poserun problème sur des fonctions u a priori très irrégulières (en fait il suffit que u soit intégrable). Nousallons en voir ci-dessous l’intérêt.

3.3.3 Utilisation des formulations faibles

Dans la formulation faible (3.17) du problème de Poisson n’apparaissent que les dérivées pre-mières de u, et dans la formulation au sens des distributions aucune dérivée n’est utilisée. Toutesolution régulière de l’équation de Poisson est une solution des formulations faibles par construction.En sens inverse on montre que pour des données assez régulières (i.e. par exemple f ∈ C1(Ω) ) toutesolution continue des formulations faibles est régulière. Ce qui montre l’équivalence des formulations

67 Mathématiques 2


dans les situations où elles sont simultanément définies.L’intérêt des formulations faibles, en plus de l’utilisation numérique étudiée aux séances 2,3,4, estqu’elles gardent un sens dans des situations plus générales, qui fait que l’on doit les considérer commedes extensions des formulations usuelles. Ainsi la formulation (3.17) garde un sens quand le coeffi-cient de conductivité k est constant par morceaux sur Ω (elle équivaut à vérifier l’équation (3.14) surchaque morceau et à ajouter sur les frontières une condition de raccord qui est la continuité des fluxnormaux) tandis que la formulation au sens des distributions (3.19) garde un sens lorsque l’on faittendre la fonction f (physiquement c’est une densité) vers une charge ponctuelle ( L(v) définit alorsune distribution de Dirac) alors même que la formulation usuelle (3.14) n’a pas alors de sens.Nous avons vu que les formulations faibles permettent de définir les approximations du problème parla méthode des éléments finis. De manière très générale (mais pas toujours pertinente !) elles per-mettent de définir des approximations : il suffit de choisir un sous espace de dimension finie N defonctions qui peuvent approcher la solution, et de poser N équations dans ce sous-espace en écrivantla formulation faible pour N fonctions v = wi, i = 1, ..., N d’une base de ce sous-espace. C’est laméthode dite de Ritz Galerkin. Cette description très générale n’assure cependant pas la cohérencedu procédé, c’est à dire la convergence de l’approximation quand on fait tendre la dimension dusous-espace vers l’infini.

3.3.4 Interprétation des formulations faibles

Nous avons présenté les formulations faibles dans les séances d’exercice à partir de leur signifi-cation mécanique : elles représentent diverses formes du principe des travaux virtuels. On peut endonner d’autres interprétations très générales.

Considérons la formulation (3.15) en prenant pour fonction test v une fonction positive et d’inté-grale égale à 1, on a :

∀v ∈ V∫

Ω(−k∆u− f) v dΩ = 0 (3.20)

que l’on peut interprêter en considérant que les conditions d’équilibre ou de conservation locale−k∆u− f = 0 sont vérifiées en moyenne pondérée par v. En particulier si v est une des fonctions debase wi d’une approximation par éléments finis de (3.14) on voit que les équations construites dansl’approximation traduisent une moyenne locale des équations ponctuelles d’équilibre ou de conserva-tion .

Considérons la formulation (3.17) et posonsa(u, v) =

∫Ωk∇u .∇v dΩ

L(v) =∫

Ωf v dΩ

(3.21)

le problème s’écrit :∀v ∈ V0, a(u, v) = L(v) (3.22)

ECP 2006-2007 68


La forme bilinéaire a(u, v) est symétrique définie positive et elle définit donc un produit scalaire surl’espace V0 tandis que L(v) définit une forme linéaire sur cet espace. On obtient ainsi une interpréta-tion géométrique du problème : la solution u est le vecteur de V0 qui représente la forme linéaire Là l’aide du produit scalaire a(u, v). Sur un espace de dimension finie on sait que toute forme linéairepeut être ainsi représentée ; en dimension infinie ce résultat reste vrai dans un espace de Hilbert pourdes formes linéaires continues. Mais V0 n’est pas un espace complet pour la norme déduite du pro-duit scalaire a(u, v). Cela complique singulièrement le raisonnement car il faut introduire l’espacede Sobolev H1

0 , complété de V0 pour la norme√a(u, u) (voir chap. 6), dont l’utilisation pose de

nombreux problèmes techniques, mais c’est cependant ainsi que l’on obtient le cadre le plus généralpour l’étude mathématique des équations aux dérivées partielles de type elliptique. Les formulationsfaibles permettent donc de démontrer les résultats mathématiques d’existence et d’unicité de la so-lution du problème, voir au chapitre 6 plus de détails sur la théorie mathématique de l’existence dessolutions.

Enfin les formulations faibles sont des conséquences directes des principes énergétiques quandceux-ci existent, comme nous le verrons ci-dessous.

3.4 Calcul des variations

3.4.1 Position du problème

Rappel

Nous avons vu au chapitre 1 que les principes du minimum sont à la base des principales théoriesde la physique mathématique. On appelle traditionnellement en mathématique calcul des variationsl’étude des extrémums des fonctions J (v) dont la variable v est une fonction7 et dont l’expressionest l’intégrale d’une fonction de v et de ses dérivées.Nous allons montrer de manière générale que le minimum d’une fonctionnelle doit vérifier une équa-tions aux dérivées partielles, l’équation d’Euler.

Un problème de “calcul des variations”

Soit Ω ⊂ Rn, on note encore V0 l’espace des fonctions C1 nulles sur le bord Γ de Ω. Soith(x, u, u1, ..., un) une fonction C2 de x ∈ Ω et de n + 1 variables où (u, u1, ..., un) ∈ Rn+1. Onpose, pour u ∈ V0 :

J(u) =∫

Ωh(x, u,∇u) dΩ

Nous voulons caractériser les minimums u de la fonction J(u) sur V0

∀u ∈ V0 J(u) ≤ J(u) (3.23)

7On dit aussi traditionnellement dans ce cas que J (v) est une fonctionnelle, usage que nous respecterons parfois quandcela clarifie l’expression de distinguer les fonctions sur Rn des “fonctions de telles fonctions”.

69 Mathématiques 2


3.4.2 Le théorème d’Euler-Lagrange

Formulation faible des équations d’Euler

La différentielle au sens de Gateaux de la fonction J(u) au point u est, par définition, la formelinéaire DJ(u).v obtenue en dérivant la fonction dans la direction v. Soit v ∈ V0, on a donc

DJ(u).v =d

dλJ (u+ λv)|λ=0

On dérive sous l’intégrale, il vient :

DJ(u).v =∫

Ω

∂h

∂uv +

∑j

∂h

∂uj

∂v

∂xidΩ

Posons∇ui h = (

∂h

∂u1, ...,

∂h

∂un)t

On en déduit le théorème

Théorème 11 Si fonction u est un minimum de la fonctionnelle J(u), la différentielle DJ(u).v estnulle, i.e. u vérifie

∀v ∈ V0

∫Ω

∂h

∂uv + 〈∇ui h,∇v〉 dΩ = 0 (3.24)

Nous allons voir que cette condition est la formulation faible d’une équation aux dérivées partielles.

Formulation classique des équations d’Euler

Appliquons la formule de Stokes (1.2) avec Φ(x) = ∇ui h(u(x)) sur le domaine Ω à l’intégrale∫Ω 〈∇uih,∇v〉 dΩ, il vient (en supposant toutes les expressions suffisamment dérivables)∫

Ω〈Φ,∇v〉 dΩ = −

∫Ω∇ . Φ v dΩ +

∫Γ

Φn v dΓ

d’oùDJ(u).v =

∫Ω

∂h

∂uv dΩ−

∫Ω∇ . Φ v dΩ +

∫Γ

Φn v dΓ

Et, puisque v est nulle sur le bord

DJ(u).v =∫

Ω(∂h

∂u−∇ . Φ) v dΩ

En notant〈f, g〉 =

∫Ωfg dΩ

le produit scalaire de L2(Ω), il vient

DJ(u).v = 〈(∂h∂u

−∇ . Φ), v〉

ECP 2006-2007 70


Si u est un minimum de J(u) on a

∀v ∈ V0 DJ(u).v = 〈(∂h∂u

−∇ . Φ), v〉 = 0

et donc, puisque l’espace V0 a la propriété “P” du paragraphe (3.3.1)

−∇ . x(∇ui h)(x) +∂h

∂u= 0 (3.25)

où nous avons noté ∇ . x la divergence pour insister sur le fait qu’elle est prise par rapport au vecteurx = (x1, ..., xn).

Le théorème d’Euler-Lagrange

On peut donc énoncer le théorème :

Théorème 12 ( Euler-Lagrange : condition nécessaire) Si une fonction u ∈ V0 ∩ C2 est un mini-mum de la fonction

J(u) =∫

Ωh(x, u,∇u) dΩ

elle vérifie les équations d’Euler-Lagrange

−∇ . x(∇ui h) +∂h

∂u= 0 (3.26)

où l’on a posé

∇ui h = (∂h

∂u1, ...,

∂h

∂un)t

L’équation aux dérivées partielles (3.26) s’appelle l’équation d’Euler associée au problème (3.23).

L’équation d’Euler-Lagrange est une condition nécessaire mais pas suffisante, elle est équivalenteau fait que la différentielle DJ(u) est nulle. L’équivalence du problème (3.23) et du problème auxdérivées partielles ne sera facile à établir que si la fonction J (u) est convexe, voir le cours d’optimi-sation pour la démonstration du théorème suivant :

Théorème 13 ( Euler-Lagrange : condition suffisante) Si la fonction J(u) est une fonction convexealors l’équation d’Euler (3.26) est une condition nécessaire et suffisante pour que u soit un minimumde la fonction J(u). Ce minimum est unique si la fonction J(u) est strictement convexe.

L’équation d’Euler est une équation aux dérivées partielles du second ordre que l’on peut écrireaussi sous forme développée

−∑i,j

∂2h

∂ui∂uj

∂2u

∂xi∂xj+∂h

∂u= 0 (3.27)

71 Mathématiques 2


L’équation est linéaire vis à vis des dérivées secondes. Anticipons sur la section suivante : la condi-tion d’ellipticité (voir ci-dessous la définition (13)) équivaut au caractère défini positif de la formequadratique

Φ(ξ) =∑i,j

∂2h

∂ui∂ujξiξj

qui implique que le hessien de la fonction h(x, u, u1, ..., un) considérée comme fonction de (u1, ..., un)seulement est défini positif et donc (cf. chapitre 1 du cours d’optimisation) que la fonction h(x, u, u1, ..., un)est strictement convexe par rapport au vecteur (u1, ..., un). On en déduit un théorème (qui n’est pasle plus général)

Théorème 14 Si la fonction h = h(x, u, u1, ..., un) ne dépend pas de u et si l’équation d’Euler estelliptique, sa solution dans V0 est l’unique minimum de la fonctionnelle strictement convexe

J(u) =∫

Ωh(x,∇u) dΩ

Exemples

Nous verrons de nombreux exemples d’équations aux dérivées partielles qui sont des équationsd’Euler-Lagrange au chapitre 4. Les plus élémentaires sont :

Equation de LaplaceSi

h(x, u,∇u) =∑i

12(∂u

∂xi)2

on a

∇ui h = (∂u

∂x1, ...,

∂u

∂xn)t

et l’équation d’Euler est l’équation de Laplace

−∆u = 0

Equation des ondesSoit u = u(t, x1, ..., xn). Si

h(t, x, u,∇u) =12(∂u

∂t)2 − c2

2

∑i

(∂u

∂xi)2

on a

∇ui h = (∂u

∂t,−c2 ∂u

∂x1, ...,−c2 ∂u

∂xn)t

et l’équation d’Euler est l’équation des ondes

∂2u

∂t2− c2∆u = 0

ECP 2006-2007 72


Opérateur symétrique du second ordrePlus généralement si

h(x, u,∇u) =12〈A(x)∇u,∇u〉+ γ(x)

u2

2où A(x) est une matrice symétrique,

∇ui h = A(x)∇u

et l’équation d’Euler s’écrit−∇ . (A(x)∇u) + γ(x)u = 0

Le premier membre de l’équation est la partie symétrique d’un opérateur linéaire du second ordregénéral (cf. théorème (10)).

Théorème 15 Une fonction u ∈ V0 qui est un extrémum de la fonctionnelle

J(u) =∫

Ω

12〈A(x)∇u,∇u〉+ γ(x)

u2

2

est solution de l’équation aux dérivées partielles du second ordre écrite sous la forme canonique

−∇ . (A(x)∇u) + γ(x)u = 0

3.4.3 Généralisations

Fonctions vectorielles

Si u = (u1, . . . , uk, . . . , up) est une fonction vectorielle, autrement dit si la fonctionnelle

J(u) = J(u1, . . . , uk, . . . , up)

dépend de plusieurs fonctions inconnues,

(u1(x1, ..., xn), . . . , uk(x1, ..., xn), . . . , up(x1, ..., xn))

une fonction u est un minimum de J(u) si, pour 1 ≤ k ≤ p, uk est le minimum de la fonctionv → J(u1, . . . , v, . . . , up) ; la formule (3.25) reste valide pour chaque fonction uk en considérant quele gradient ∇ujh de h est en fait un gradient partiel ∇uk

jh de h par rapport à (uk1, . . . , u

kj , . . . , u

kn), le

minimum u de J(u) doit donc vérifier le système d’équations aux dérivées partielles

pour 1 ≤ k ≤ p −∇ . x(∇ukjh) +

∂h

∂uk= 0 (3.28)

où l’on a posé

∇ukjh = (

∂h

∂uk1, ...,

∂h

∂ukn)t

Définissons la matrice [σ] de coefficients [σ]k,j = ∂h∂uk

jet notons∇ . [σ] le vecteur dont la composante

k est la divergence de la k ième ligne de [σ]. On peut écrire de façon synthétique

73 Mathématiques 2


Théorème 16 ( Euler-Lagrange) Si une fonction u ∈ (V0)n ∩ C2 est un minimum de la fonction

J(u) =∫

Ωh(x, u,∇u) dΩ

elle vérifie le système d’équations d’Euler-Lagrange

−∇ . x[σ](x) +∇u h(u) = 0 (3.29)

où [σ](x) est la matrice de coefficients [σ]k,j = ∂h∂uk

j

Nous verrons que les équations de l’élasticité sont un exemple de système d’équations d’Euler, lafonctionnelle associée étant l’énergie potentiel totale.

Conditions aux limites

Voir au chapitre 4 le traitement des conditions aux limites générales.

Une équation avec des dérivées d’ordre supérieur

(Calculs laissés au lecteur) On généralise sans difficulté la théorie conduisant aux équations d’Eu-ler à des intégrales qui dépendent des dérivées d’ordre supérieur à 1. On note vx, vxx, ... les dérivéessuccessives d’une fonction v(x). Considérons le problème

Min J(v) =∫ L0 h(x, v, vx, vxx) dx

v ∈ V0(3.30)

avec V0 = v tel que v(0) = v(L) = v′(0) = v′(L) = 0.Soit v ∈ V0, on a donc

DJ(u).v =d

dλJ (u+ λv)|λ=0

La différentielle de la fonction J(v) s’obtient alors par dérivation sous l’intégrale (cf. Cours d’Opti-misation Chapitre 1)

DJ(u).v =∫ L

0

∂h

∂uv +

∂h

∂uxvx +

∂h

∂uxxvxx dx

transformons cette intégrale par intégration par parties

DJ(u).v =∫ L

0(∂h

∂u+− ∂

∂x

∂h

∂ux+

∂2

∂x2

∂h

∂uxx)v dx+ [

∂h

∂uxv]L0 + [

∂h

∂uxxvx]L0 − [

∂

∂x

∂h

∂uxxv]L0

Les crochets sont nuls du fait des conditions aux bord vérifiées par les fonctions de V0. Donc

∀h ∈ V0, DJ(u).v =∫ L

0(∂h

∂u+− ∂

∂x

∂h

∂ux+

∂2

∂x2

∂h

∂uxx)v dx = 0

On obtient une conditions nécessaire, l’équation d’Euler-Lagrange :

d2

dx2(∂h

∂u′′)− d

dx(∂h

∂u′) +

∂h

∂u= 0 (3.31)

ECP 2006-2007 74


Si on minimise sur l’espace des fonctions v qui vérifient seulement : v(0) = v(L) = 0, on montreraque le minimum u vérifie de plus la condition aux limites u′′(0) = u′′(L) = 0.

Exemple : poutre en flexionL’équation d’équilibre d’une poutre en flexion8, sous une charge f(x), en appui simple s’écrit

EId4u

dx4= f (3.32)

où u(x) est la flèche au point x avec u(0) = u(L) = 0 etEIu′′(0) = EIu′′(L) = 0 (i.e. les momentsde flexion aux extrémités sont nuls). La solution de ce probème est aussi solution du principe duminimum de l’énergie

Min J(v) =∫

Ω

12EI(

dv

dx)2 − fv dΩ (3.33)

où l’espace des déplacements cinématiquement admissibles pour un appui simple est défini par v(0) =v(L) = 0, (Noter que v′(0) et v′(L), i.e. les rotations des sections, sont libres). Les conditions de mo-ment nul aux extrémités, EIu′′(0) = EIu′′(L) = 0, sont alors des conséquences du principe duminimum.

3.5 Système du premier ordre équivalent à un système donné

3.5.1 Principe

Nous avons vu au chapitre 2 que l’équation le Laplace ou l’équation des ondes sont équivalentesà des systèmes du premier ordre (2.5) et (2.17). On peut très généralement transformer des systèmesd’équations d’ordre quelconque en systèmes du premier ordre.Montrons le principe de cette transformation sur un problème de Cauchy. Nous utilisons la notationuxi , uxixj ... pour les dérivées partielles ∂u

∂xi, ∂2u∂xi∂xj

. On considère un problème de Cauchy pour uneéquation aux dérivées partielles du second ordre sur Rn, écrite de façon explicite par rapport à ladérivée uxnxn(x), avec deux conditions initiales en xn = 0 sur la valeur de la fonction et de ladérivée normale

uxnxn(x) = g(u, uxi ..., uxixj ...)u(x1, ..., xn−1, 0) = h(x1, ..., xn−1)uxn(x1, ..., xn−1, 0) = h1(x1, ..., xn−1)

(3.34)

(la variable uxn,xn n’apparaît pas à droite dans l’équation). On introduit des variables supplémentairespour les dérivées

ui = uxi

on auxixi = uixi , uxjxj = ujxj ,

et pour les dérivées croiséesuxixj = uixj

8De module de Young E et de moment d’inertie I

75 Mathématiques 2


ou bien

uxixj = ujxi

L’équation (3.34) implique le système à n+ 1 équations du premier ordreuxi = ui, i = 1, ..., nunxn = f(u, ui..., uixj ...)

(3.35)

Mais ce système n’est pas du tout explicite, il faudrait que n’apparaissent à gauche que des dérivéespar rapport à xn. Nous allons faire autrement : remarquons que la symétrie des dérivées secondesd’une fonction implique

uixj= ujxi

On en déduit un problème de Cauchy pour un système à n+ 1 équations du premier ordre pour n+ 1inconnues

uxn(x) = un

uixn(x) = unxi

i = 2, ..., nunxn(x) = f(u, ui..., uixj ...)un(x1, ..., xn−1, 0) = h1(x1, ..., xn−1)ui(x1, ..., xn−1, 0) = hxi(x1, ..., xn−1) 2 ≤ i ≤ n

(3.36)

Ce problème est bien équivalent au problème initial car il implique

uixn= uxnxi

d’où en intégrant par rapport à xn

ui(x1, ..., xn) = uxi(x1, ..., xn) + C(x1, ..., xn−1)

Or, en faisant xn = 0

C(x1, ..., xn−1) = ui(x1, ..., 0)− uxi(x1, ..., 0) = ui(x1, ..., 0)− hxi(x1, ..., 0) = 0

et donc

ui = uxi

Remarques :Si u n’apparaît pas dans l’équation initiale on peut supprimer la première équation qui ne sert qu’àretrouver u une fois les autres variables déterminées par le système des n autres équations.Nous avons montré l’équivalence de l’équation initiale et du système d’équations pour un problèmede Cauchy, pour un autre type de problèmes il faut vérifier cette équivalence qui sera dépendante desconditions supplémentaires posées dans ce problème.

ECP 2006-2007 76


3.5.2 Exemples

L’équation des ondes

Appliquons ce principe à l’équation des ondes en dimension 2, avec x = (x1, x2)

∂2u

∂t2= c2∆u

u(x, 0) = h(x)∂u

∂t(x, 0) = 0

u(0, t) = u(1, t) = 0

(3.37)

En supprimant l’équation qui ne sert qu’à retrouver u, on obtient le système du premier ordre

u1t = u3

x1

u2t = u3

x2

u3t = c2(u1

x1+ u2

x2)

ui(x, 0) = hxi(x), 1 ≤ i ≤ 2

u3(x, 0) = 0

(3.38)

Ou encore sous forme matricielle, en posant U(x, t) = (u1, u2, u3)t

∂U

∂t=

0 0 10 0 0c2 0 0

∂U

∂x1+

0 0 00 0 10 c2 0

∂U

∂x2

Un changement de variables supplémentaires u1 → cu1 et u2 → cu2, rend les composantes u1, u2, u3

homogènes (en dimension) et permet d’obtenir des matrices symétriques

∂U

∂t=

0 0 c0 0 0c 0 0

∂U

∂x1+

0 0 00 0 c0 c 0

∂U

∂x2(3.39)

Equation générale du second ordre

Appliquons la transformation du paragraphe précédent à l’équation générale quasi-linéaire auxdérivées partielles du second ordre, c’est à dire qui est linéaire par rapport aux dérivées secondes, onpeut l’écrire sous la forme ∑

i,j

ai,j(x, u,∇u)uxixj + c(x, u,∇u) = 0 (3.40)

77 Mathématiques 2


On obtient le système quasi-linéaire du premier ordre

∑i,j

ai,juixj

+ c(u)

uixn= unxi

1 ≤ i ≤ n− 1

uxn = un

(3.41)

Ou encore sous forme matricielle, en posant U(x) = (u1, ..., un, u)t∑j

Aj(x, U)∂U

∂xj+ f(x,U) = 0 (3.42)

avec ( pour n = 3, c’est plus simple...)

A1(x,U) =

a1,1 a1,2 a1,3 00 0 −1 00 0 0 00 0 0 0

A2(x,U) =

a2,1 a2,2 a2,3 00 0 0 00 0 −1 00 0 0 0

A3(x,U) =

a3,1 a3,2 a3,3 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1

et

A0(x,U) =

c(u)00un

3.6 Le théorème de Cauchy-Kovalevska

Cette section n’est pas indispensable à la compréhension du cours mais elle permet de prendre unpeu de recul dans la compréhension des équations aux dérivées partielles.


Le théorème de Cauchy-Lipschitz (5) résout le problème de la détermination des solutions géné-rales d’un système différentiel à n inconnues : la solution du système dépend de n paramètres réelsqui peuvent être les valeurs de la solution en un point. Une autre façon de résoudre ce problème est

ECP 2006-2007 78


classique9 pour des équations linéaires mais elle se généralise au équations quelconques : on supposeque toutes les données sont analytiques et on cherche par substitution une fonction analytique solutionde l’équation ; ou, plutôt, on remarque qu’en dérivant les équations du système x′ = f(x) on obtientdes relations de récurrence entre les dérivées en un temps t et que, donc, la connaissance de la valeurx(0) de la solution détermine toutes les dérivées de la solution en t = 0 et détermine finalement ledéveloppement en séries entières de la solution.Nous nous posons dans ce paragraphe la question :

De quoi dépend la solution “générale” d’un système d’équations aux dérivées partielles ?

Nous utilisons la notation uxi , uxixjxk... pour les dérivées partielles ∂u

∂xi, ∂3u∂xi∂xj∂xk

... et uxk1x

l2

pour abréger les répétitions d’indices. Nous appelons fonctions analytiques les fonctions analytiquesréelles, c’est à dire localement développables en série entière.Considérons pour fixer les idées une équation non linéaire du second ordre à une fonction inconnueu(x) avec x ∈ R2

f(u, ux1 , ux2 , ux1x1 , ux1x2 , ux2x2) = 0 (3.43)

où f est une fonction analytique sur R6. Nous cherchons une solution analytique u(x1, x2) de (3.43).L’équation (3.43) est une relation entre les dérivées de la fonction u en un point. Mais en dérivantl’équation (3.43) nous obtenons d’autres équations entre les dérivées d’ordre supérieur. Ainsi uneéquation aux dérivées partielle implique tout un ensemble de relations entre les dérivées partielles enun point. Nous posons une question plus précise :

Quelles dérivées partielles peut-on fixer en un point (x1, x2) ?

Pour fixer les idées supposons que ce point est (0, 0). Supposons que l’on puisse exprimer dansl’équation (3.43) ux2x2 en fonction des autres dérivées d’ordre 0, 1, 2

ux2x2 = g(u, ux1 , ux2 , ux1x1 , ux1x2) (3.44)

D’après le théorème des fonctions implicites (cours d’Optimisation, chapitre 1) c’est localement pos-sible en un point où

∂2f

∂ux2x2

6= 0 (3.45)

et g est alors une fonction analytique. L’équation (3.44) est équivalente à (3.43). En dérivant (3.44) onpeut exprimer successivement toutes les dérivées d’ordre supérieur à 2 en x2 en fonction des dérivéesd’ordre inférieur à 2 en x2 ; on en déduit que l’on peut au plus fixer les dérivées d’ordre 0 et 1 parrapport à x2, c’est à dire au point (0, 0) : uxk

1(0, 0) et ux2xk

1(0, 0). Toutes les dérivées uxk

1xl2(0, 0) sont

alors déterminées et une fonction u(x1, x2) est localement déterminée par le développement en sérieentière, si ce développement converge

u(x1, x2) =∑k,l

uxk1x

l2(0, 0)xk1x

l2

9C’est d’ailleurs la méthode originelle de Cauchy qui utilisait le cadre des fonctions analytiques, le théorème énoncéaujourd’hui dans le cadre des fonction C1, et démontré par une méthode de point fixe, est postérieur.

79 Mathématiques 2


Noter que fixer les dérivées uxk1(0, 0) et ux2xk

1(0, 0) revient à fixer localement autour de 0 les fonctions

u(x1, 0) et ux2(x1, 0). Plus précisément, si on considère le problème de Cauchyux2x2 = g(u, ux1 , ux2 , ux1x1 , ux1x2)u(x1, 0) = u0(x1)ux2(x1, 0) = u1(x1)

(3.46)

alors les dérivées uxk1(0, 0) et ux2xk

1(0, 0) sont déterminées par

uxk1(0, 0) = u0,xk

1(0)

ux2xk1(0, 0) = u1,xk

1(0)

Le problème de Cauchy admet donc une solution analytique et une seule (mais nous avons admisla convergence de la série !). Le théorème de Cauchy-Kovalevska affirme que le développementconverge et que sa somme est une solution de (3.46).

3.6.2 Le théorème de Cauchy-Kovalevska : forme canonique

On considère dans ce paragraphe des systèmes généraux d’équations aux dérivées partielles. Soitu(x) une fonction de Rn dans Rp. Considérons un système d’équations aux dérivées partielles écritsous la forme explicite

uxkn

= g(u, uxi ..., uxixj , ...) (3.47)

Définition 10 Le système (3.47) est dit Kovalevskien si les dérivées qui interviennent à droite sonttoutes d’ordre inférieur ou égal à k.

L’équation des ondes (2.16) est donc Kovalevskienne mais pas l’équation de la diffusion (2.8). Leséquations de Navier Stokes (2.34) ne forment pas un système Kovalevskien (à cause du terme deviscosité) ni les équations d’Euler (2.35) pour les fluides incompressibles (à cause de la conditiond’incompressibilité), mais les équations de la dynamique des gaz (2.38) forment un système Kova-levskien.Nous admettrons le théorème :

Théorème 17 (Cauchy-Kovalevska) Le problème de Cauchy uxkn

= g(u, uxi ..., uxixj , ...) si x ∈ Rn

uxj

n(x1, ..., xn−1, 0) = uj(x) pour 0 ≤ j ≤ k − 1

(3.48)

où les fonctions g, uj(x), 0 ≤ j ≤ k − 1 sont analytiques, admet, localement en temps et en espace,une unique solution analytique.

ECP 2006-2007 80


3.6.3 Commentaires

Le théorème de Cauchy-Kovalevska répond à la question que nous avons posée plus haut dansle cas des systèmes Kovalevskien avec des données analytiques : la solution générale du systèmedépend des données initiales du problème de Cauchy, c’est à dire de k − 1 fonctions de n − 1 va-riables. Ce résultat est loin de résoudre la question de la détermination locale d’une solution généraled’un système d’équations aux dérivées partielles comme le fait le théorème de Cauchy-Lipschitzpour les systèmes différentiels. En effet l’hypothèse d’analyticité des conditions initiales est très forte(elle interdit en particulier de considérer des données initiales à support compact) et on montre pardes contre-exemples qu’il n’est pas possible d’étendre le théorème, même à des fonctions C∞. Plusprécisément, dans la situation générale, on montre que la solution définie par le théorème (3.48) nedépend continûment des données initiales pour aucune norme raisonnable. Considérons par exemplel’équation de Laplace en dimension 2, que nous écrivons ici sous la forme explicite Kovalevskienne

uyy = −ux,x si x ∈ R2

u(x, 0) = f(x)

uy(x, 0) = g(x)

(3.49)

Les fonctionsuk(x, y) = exp (−

√k) sin kx exp ky

sont des solutions particulières analytiques de (3.49) avec pour condition initiales

f(x) = exp (−√k) sin kx et g(x) = k exp (−

√k) sin kx

Quand k → ∞ les conditions initiales tendent vers 0 ainsi que toutes leurs dérivées en tous les sensraisonnables : pourtant pour y > 0 les fonctions x→ uk(x, y) explosent quand k →∞.Ce contre-exemple, dû à Hadamard10, montre que le problème de Cauchy pour le Laplacien est in-tuitivement mal posé quoique toutes les hypothèses du théorème (3.48) soient vérifiées. De fait uneéquation de Laplace ne se rencontre en physique que pour des problèmes aux limites mais jamais pourun problème à valeur initiale de Cauchy. Nous verrons au chapitre 5 que les systèmes hyperboliquessont les systèmes Kovalevskiens pour lesquels le problème de Cauchy est bien posé, i.e. continû-ment dépendant des conditions initiales pour des normes raisonnables, ce qui permet d’étendre lesconditions initiales dans (3.48) à des fonctions de classe Ck.

3.6.4 Surface caractéristique

Analyse de la situation générale

Dans ce paragraphe nous voulons étudier la situation générale d’un système écrit sous formeimplicite, mais pour alléger les écritures, nous considérons une équation du second ordre sur R2 àune fonction inconnue u(x1, x2), comme nous l’avons fait au paragraphe (3.6.1),

f(u, ux1 , ux2 , ux1x1 , ux1x2 , ux2x2) = 0 (3.50)

10Ancien professeur de mathématiques à l’Ecole Centrale Paris, mais il a d’autres titres de gloire !

81 Mathématiques 2


Nous avons écrit l’équation (3.43) sous une forme explicite Kovalevskienne (3.44), sous la condition(3.45)

∂f

∂ux2x2

6= 0

Une fois l’équation mise sous forme explicite Kovalevskienne, le théorème de Cauchy-Kovalevskarépond à la question posée initialement. Mais cette opération n’a rien d’intrinsèque, elle dépend de lavariable et du système de coordonnées choisis, aussi nous posons nous la question générale :

Peut-on mettre le système sous forme explicite Kovalevskienne dans un système de coordonnéesquelconque ?

Fixons un point, par exemple (0, 0) et effectuons autour de ce point un changement de variablesquelconque définie par des fonctions analytiques

y = φ(x), i.e. y1 = φ1(x1, x2), y2 = φ2(x1, x2)

(on peut supposer φ(0) = 0) et posons u = v(φ(x)). Le changement de variables étant analytiquel’équation, écrite en fonction de v, est toujours définie par des fonctions analytiques. Cherchons àquelle condition l’équation (3.50), écrite en fonction des nouvelles variables, est Kovalevskienne parrapport à la variable y2, c’est à dire à quelle condition

∂f

∂vy2y26= 0

On a, en effectuant des calculs fastidieux mais sans autres astuces que les règles usuelles des dérivéesdes fonctions composées

u = v(φ(x))ux1 = vy1φ1,x1 + vy2φ2,x1

ux2 = vy1φ1,x2 + vy2φ2,x2

ux1,x1 = vy1,y1φ21,x1

+ vy1,y2φ1,x2φ2,x1 + vy2,y1φ1,x2φ2,x1

+ vy2,y2φ22,x1

+ vy1φ1,x1x1 + vy2φ2,x1x1

ux2,x2 = vy1,y1φ21,x2

+ vy1,y2φ1,x2φ2,x2 + vy2,y1φ2,x2φ1,x2

+ vy2,y2φ22,x2

+ vy1φ1,x2x2 + vy2φ2,x2x2

ux1,x2 = vy1,y1φ1,x2φ1,x1 + vy1,y2φ1,x2φ2,x1 + vy2,y1φ2,x1φ1,x2

+ vy2,y2φ2,x1φ2,x2 + vy1φ1,x1x2 + vy2φ2,x1x2

(3.51)

Et donc∂f

∂vy2y2=

∂f

∂ux1x1

φ22,x1

+∂f

∂ux1x2

φ2,x1φ2,x1 +∂f

∂ux2x2

φ22,x2

(3.52)

L’équation peut donc se mettre sous forme explicite Kovalevskienne (par rapport à vy2y2) si

∂f

∂ux1x1

φ22,x1

+∂f

∂ux1x2

φ2,x1φ2,x1 +∂f

∂ux2x2

φ22,x2

6= 0 (3.53)

ECP 2006-2007 82


Sous cette condition l’équation, écrite en fonction de v de façon explicite par rapport à vy2y2 , vérifieles conditions du théorème de Cauchy-Kovalevska et le problème de Cauchy associé admet locale-ment une solution autour, par exemple, du point y1 = 0, y2 = 0 avec des conditions initiales poséessur la courbe y2 = 0.Introduisons la définition

Définition 11 Soit une courbe définie implicitement par l’équation S(x1, x2) = 0 (où S(x1, x2) estanalytique) et (y1, y2) un paramètrage local du plan tel que y2 = S(x1, x2) et que y1 paramètre lacourbe. On appelle problème de Cauchy le problème

f(u, ux1 , ux2 , ux1x1 , ux1x2 , ux2x2) = 0u = u0(y1) si y2 = S(x1, x2) = 0∂u

∂y2 = u1(y1)

(3.54)

Nous avons donc montré la proposition

Proposition 30 Soit la courbe définie implicitement par l’équation

S(x1, x2) = φ2(x1, x2) = 0

Sous la condition (3.53) que nous récrivons sous la forme

∂f

∂ux1x1

(∂S

∂x1)2 +

∂f

∂ux1x2

∂S

∂x1

∂S

∂x2+

∂f

∂ux2x2

(∂S

∂x2)2 6= 0 (3.55)

le problème de Cauchy (3.54) admet une solution analytique et une seule.

Courbe caractéristique

Nous étudions les courbes sur lesquelles le problème de Cauchy ne peut pas être posé.

Définition 12 On appelle courbe caractéristique associée à l’équation (3.50) une courbe d’équationimplicite

S(x1, x2) = Cte

où la fonction S(x1, x2) est une solution de l’équation caractéristique

∂f

∂ux1x1

(∂S

∂x1)2 +

∂f

∂ux1x2

∂S

∂x1

∂S

∂x2+

∂f

∂ux2x2

(∂S

∂x2)2 = 0 (3.56)

Sur une courbe caractéristique la condition (3.55) n’est donc pas vérifiée. Supposons qu’il existelocalement une famille de courbes caractéristiques d’équation S(x1, x2) = Cte. Montrons que surces courbes le problème de Cauchy ne peut pas être posé pour des données initiales quelconques.Notons φ2(x1, x2) la fonction S(x1, x2). On peut définir un changement de variables en prenanty2 = φ2(x1, x2) et y1 = φ1(x1, x2) où φ1(x1, x2) une fonction quelconque indépendante de φ2. Onpose φ(x) = (φ1(x), φ2(x)) et on note v la fonction telle que u(x) = v(φ(x)). L’équation (3.50)s’écrit en fonction de v

f(v, vy1 , vy2 , vy1y1 , vy1y2 , vy2y2) = 0

83 Mathématiques 2


mais avec par hypothèse∂f

∂vy2y2= 0

autrement dit vy2y2 n’apparaît pas explicitement dans l’équation. Ce qui implique que l’on ne peutpas fixer le long d’une courbe (i.e. en faisant varier y1) la fonction v et la dérivée transverse vy2 carl’équation (3.50) définit une relation entre les dérivées de ces fonctions par rapport à y1.

Proposition 31 Le long d’une courbe caractéristique le problème de Cauchy ne peut pas être posépour des données quelconques.

Existence des courbes caractéristiques

L’équation (3.55) est définie par une forme quadratique. Soit

A =

∂f

∂ux1x1

,12

∂f

∂ux1x2

12

∂f

∂ux1x2

,∂f

∂ux2x2

la matrice de cette forme quadratique

Φ(ξ1, ξ2) =∂f

∂ux1x1

ξ21 +∂f

∂ux1x2

ξ1ξ2 +∂f

∂ux2x2

ξ22 (3.57)

Soit P (x) le polynôme caractéristique de cette matrice

P (x) = detA− xId

− Si le polynôme P (x) a deux zéros de même signe, la forme quadratique est définie positive ounégative et l’équation (3.56 n’a pas de solutions non nulles, il n’y a donc pas de surfaces caractéris-tiques.

− Si polynôme P (x) a deux zéros non nuls et de signes opposés, alors la forme quadratiqueΦ(ξ1, ξ2) admet deux directions isotropes11 d’équation ξ1 = λiξ2 ou λi est un zéro du polynôme12

Q(x) = Φ(x, 1). On déduit alors de (3.56) deux équations

∂S

∂x1= λi(x1, x2)

∂S

∂x2i = 1 ou i = 2 (3.58)

On peut choisir l’équation implicite de la courbe sous une forme qui la rend explicite

S(x1, x2) = x1 − f(x2) = 011i.e. telle que Φ(ξ2, ξ2) = 012On peut définir en dimension 2 un autre polynôme Q(x) associés à une forme quadratique : Q(x) = Φ(x, 1) =

a1,1x2 + 2a1,2x + a2,2, ce polynôme n’a pas de sens en dimension supérieure. Le lecteur vérifiera que si P (x) a deuxracines de même signe, Q(x) n’a pas de racine réelle, et que si P (x) a deux racines de signes opposés, Q(x) a deux racinesréelles. Ce qui fait que parfois les définitions que nous donnons ci-dessous utilisent le caractère réel ou non des racines dupolynôme Q(x), c’est plus naturel ici, mais ces définitions ne s’étendent pas en dimension supérieure

ECP 2006-2007 84


en reportant dans (3.58) on voit que la courbe x1 = f(x2) est définie par l’équation différentielle

1 = −λi(f(x2), x2)f ′(x2)

ou encore , puisque λi 6= 0

f ′(x2) = − 1λi(f(x2), x2)

Cette équation admet, pour chaque valeur de i, une solution unique telle que f(0) = 0. Il existe doncdeux courbes caractéristiques passant par chaque point.

− Laissons de côté le cas des formes quadratiques dégénérées (voir chapitre 5), notons que si laforme quadratique est nulle l’équation est en fait une équation aux dérivées partielles d’ordre 1 quisera étudiée au chapitre 5.Nous pouvons conclure :

Proposition 32 Si le polynôme caractéristique P (x) de la matrice de la forme quadratique (3.57) adeux zéros de même signe, la forme quadratique est définie positive ou négative, l’équation n’admetpas de courbe caractéristique, on peut donc poser un problème de Cauchy sur toutes les courbes.Si le polynôme P (x) a deux zéros non nuls de signes opposés, il existe deux familles de courbescaractéristiques telles que par chaque point il passe exactement deux courbes caractéristiques, lelong desquels le problème de Cauchy ne peut pas être posé pour des données quelconques.

Cela conduit à poser les définitions :

Définition 13 Une équation aux dérivées partielles du second ordre telle que la forme quadratique(3.57) est définie positive est une équation elliptique.Une équation aux dérivées partielles du second ordre telle que le polynôme caractéristique de laforme quadratique (3.57) a deux zéros réels distincts non nuls est une équation hyperbolique.

Les définitions d’équation elliptique ou hyperbolique ne font intervenir que les dérivées d’ordre 2 ;ces définitions sont locales vis à vis des valeurs de la fonction u et de ses dérivées : selon ces valeursl’équation peut changer de type, c’est le cas dans certaines équations de la mécanique des fluides oùle changement de type correspond au passage subsonique/supersonique.

Exemples

Le Laplacien −∆ définit des équations elliptiques

−∆u = 0

−∆u+ u = f

−∆u+ ~V .∇u = f

Nous verrons au chapitre 4 des conditions naturelles qui impliquent l’ellipticité d’équations non li-néaires.On vérifie que l’équation des ondes (2.16) est hyperbolique.

Pour les opérateurs linéaires nous posons directement les définitions suivantes, cohérentes avec ladéfinition générale (13) :

85 Mathématiques 2


Définition 14 Soit un opérateur linéaire aux dérivées partielles du second ordre P (D) pour un po-lynôme

P (x1, x2) = a+ a1x1 + a2x2 + a1,1x21 + 2a1,2x1x2 + a2,2x

22

Soit P1(λ) le polynôme caractéristique de la matrice

A =(a1,1 a1,2

a2,1 a2,1

)− si le polynôme caractéristique a deux racines réelles strictement positive, l’opérateur est elliptique,− si le polynôme caractéristique a deux racines réelles non nulles de signes opposés, l’opérateur esthyperbolique,− si le polynôme caractéristique a une racine nulle, l’opérateur est parabolique, nous étudierons cettesituation au chapitre 5.

Si l’opérateur est à coefficients constants, les caractéristiques sont des droites, on montre facilementqu’un changement de variables linéaire ramène l’opérateur aux formes canoniques suivantes :− si l’équation est elliptique

−∆u

− si l’équation est hyperbolique∂2u

∂x21

− ∂2u

∂x22

c’est à dire l’opérateur de l’équation des ondes, ou aussi ∂2u∂x1∂x2

,− si l’équation est parabolique

∂u

∂x1− ∂2u

∂x22

c’est à dire l’opérateur de l’équation de la diffusion.

Discontinuités et courbes caractéristiques

Les arguments de ce paragraphe sont très heuristiques. Nous allons montrer que certains type dediscontinuité de la solution d’une équation aux dérivées partielles du second ordre ne sont possiblesque le long d’une courbe caractéristique. La présence de discontinuité peut paraître contradictoirepuisque nous avons supposé les solutions régulières, mais le passage aux formulations faibles tellesque (3.17) permet de chercher des solutions qui sont a priori C1 par morceaux et le passage auxformulations au sens des distributions (3.19), quand il a un sens, permet de chercher des solutionsdiscontinues.Soit Γ la courbe le long de laquelle se raccordent les parties u− et u+ de la solution et y2 une variabletransverse à la courbe Γ. Supposons la solution analytique de part et d’autre de cette courbe et suf-fisamment régulière sur Γ, par exemple C1. Si cette courbe n’est pas caractéristique le théorème deCauchy-Kovalevska implique l’unicité d’une solution analytique dès lors que u et uy2 sont détermi-nées sur Γ ; or ces deux fonctions sont parfaitement déterminées si la solution est C1, donc u− et u+

se raccordent parfaitement le long de Γ. Autrement dit une discontinuité de ce type n’est possible quesur une courbe caractéristique.

ECP 2006-2007 86


Supposons que la variable x2 représente le temps et que le phénomène physique que modélise cetteéquation a une vitesse de propagation finie (par exemple l’équation des ondes). Si on considère unétat initial à support compact, la solution u(x1, x2) est donc, par hypothèse, pour tout t à supportcompact. Soit Γ la courbe le long de laquelle se raccordent les parties nulles u− et non nulles u+

de la solution. L’argument précédent montre que la courbe de raccord doit être une caractéristique etdonc que la pente de la caractéristique détermine la vitesse de propagation, ce que nous verrons plusen détail au chapitre 5.

3.6.5 Système quasi-linéaire

Nous reprenons dans ce paragraphe l’étude du problème de Cauchy dans la cadre des systèmesquasi-linéaires du premier ordre.

Le problème de Cauchy

Nous considérons un système d’équations du premier ordre linéaires par rapport aux dérivées par-tielles (nous avons vu ci-dessus que tout système d’équations aux dérivées partielles pouvait s’écriresous la forme d’un système du premier ordre, mais comme cette écriture n’est pas unique les proprié-tés des différents systèmes obtenus peuvent différer). Soit donc un système de p équations linéaire dupremier ordre à p inconnues que nous écrivons sous la forme

∑j

Aj(x, u)∂u

∂xj= f(x, u) (3.59)

où u(x) est une fonction C1 de Ω ⊂ Rn dans Rp, les matrices Aj(x, u) sont carrées de dimension(p, p) et le vecteur f(x, u) ∈ Rp.Soit Σ une (hyper)surface dans Rn d’équation implicite S(x1, ..., xn) = 0, avec ∇S(x1, ..., xn) 6= 0,et u0(x) une fonction définie sur cette surface.

Définition 15 Un problème de Cauchy pour le système (3.59) consiste à trouver localement autourde Σ une solution de (3.59) qui soit égale à u0 sur Σ

∑j

Aj(x, u)∂u

∂xj= f(x, u)

u(x) = u0(x) six ∈ Σ(3.60)

Analyse

Nous allons étudier à quelle condition le problème Cauchy (15) admet une solution analytique. Onpeut toujours supposer ∂S

∂x16= 0 quitte à permuter les variables. Choisissons pour nouvel ensemble

de variables y = (y1, x2, ..., xn), avec y1 = S(x1, ..., xn). C’est, localement, un changement devariables propre car on peut l’inverser : d’après le théorème des fonctions implicites si ∂S

∂x16= 0

il existe φ(y1, x2, ..., xn) tel que y1 = S(x1, ..., xn) implique x1 = φ(y1, x2, ..., xn). On notera

87 Mathématiques 2


x = Φ(y) ce changement de variablesSoit v(y) = v(y1, x2, ..., xn) la fonction telle que u = v(S(x1, ..., xn), x2, ..., xn). On a

∂u

∂xj=

∂v

∂y1

∂S

∂xj+

∂v

∂xj

et∂u

∂x1=

∂v

∂y1

∂S

∂x1

On en déduit par substitution

∑j

Aj(x, u)∂u

∂xj=

∑j

∂S

∂xjAj(x, u)

∂v

∂y1+

∑j>1

Aj(x, u)∂v

∂xj

Posons

A(x, u) =∑j

∂S

∂xjAj(x, u)

Il vient

A(x, u)∂v

∂y1= f(x, u)−

∑j>1

Aj(x, u)∂v

∂xj(3.61)

Si A(x, u) est inversible pour tout x et pour toutes les fonctions u qui sont dans un voisinage de u0,on peut en déduire pour v, après le changement de variables x = Φ(y), un système aux dérivéespartielles explicite et donc un problème de Cauchy explicite équivalent à (15)

∂v

∂y1= A(Φ(y), v(Φ(y))−1

f(Φ(y), v(Φ(y)))−∑j>1

Aj(Φ(y), v(Φ(y)))∂v

∂yj

u(0, y2, ..., yn) = u0(y2, ..., yn)

(3.62)

Si toutes les données, ainsi que la surface, sont définies par des fonction analytiques on en déduitque toutes les fonctions du second membre sont analytiques et donc, par le théorème de Cauchy-Kovalevska (3.48), l’existence et l’unicité d’une solution analytique locale. D’où le théorème :

Théorème 18 Soit Σ une (hyper)surface dans Rn d’équation implicite S(x1, ..., xn) = 0, avec∇S(x1, ..., xn) 6= 0 et S(x) analytique, et soit u0(x) une fonction définie sur cette surface. Si

det∑j

∂S

∂xjAj(x, u) 6= 0

pour tous les points x ∈ Σ et pour toutes les fonctions u d’un voisinage de u0, le problème de Cauchy(3.60) admet localement une solution analytique.

ECP 2006-2007 88


Caractéristiques

Pour caractériser les surfaces sur lesquelles le problème de Cauchy n’a pas en général de solutions,nous posons la définition :

Définition 16 Soit Σ une (hyper)surface dans Rn d’équation implicite S(x1, ..., xn) = 0, avec∇S(x1, ..., xn) 6= 0 et S(x) analytique. Si pour une fonction u donnée,

det∑j

∂S

∂xjAj(x, u) = 0

en tout point x, Σ est une surface caractéristique pour l’équation aux dérivées partielles (15).

Si le système est non linéaire en u et donc si les matrice Aj(x, u) dépendent de u les surfaces ca-ractéristiques dépendent des valeurs de u, mais pour les systèmes linéaires en u, même à coefficientsvariables, la notion de surface caractéristique ne dépend que de l’équation.Si pour tous réels (ξ1, ..., ξn) non tous nuls on a

det∑j

ξj Aj(x, u) 6= 0

le problème de Cauchy admet localement une solution analytique sur toutes les surfaces analytiques ;nous poserons donc la définition

Définition 17 Un opérateur aux dérivées partielles du premier ordre, linéaires par rapport aux déri-vées ∑

j

Aj(x, u)∂u

∂xj− f(x, u)

est elliptique si

∀(ξ1, ..., ξn) ∈ Rn,∀u ∈ R det∑j

ξj Aj(x, u) = 0 ⇒ ∀j ξj = 0

Pour un problème elliptique le problème de Cauchy admet donc toujours une solution analytique.Mais, et c’est très important, on montre que cette solution est toujours instable par rapport aux don-nées : le problème de Cauchy est toujours mal posé.

Propriétés des surfaces caractéristiques

1) L’équation qui définit les caractéristiques (16) est définie par un polynôme homogène de degrép en les variables ξj . Si on veut exprimer dans cette équation une variable, par exemple ξ1, en fonctiondes autres il faut chercher les zéros d’un polynôme de degré p. Si ce polynôme a des zéros réels on endéduit par continuité que ξ1 peut être représenté par des fonctions des ξj , j > 1 et donc que ∂S

∂x1peut

s’écrire en fonction des ∂S∂xj

, j > 1, ce qui définit une équation aux dérivées partielles du premierordre qui permet de déterminer une surface caractéristique.

89 Mathématiques 2


2) Cherchons des solutions au sens classique d’un système d’équations linéaires qui soient conti-nues partout et dérivables partout sauf éventuellement sur une surface qui serait une surface de dis-continuité des dérivées normales. Si cette surfaces n’est pas caractéristique les dérivées normales sontdéterminées par les dérivées tangentielles qui sont continues sur la surface comme l’est la solution,les dérivées normales sont donc aussi continues. Ainsi les surfaces de discontinuité des dérivées sontnécessairement des surfaces caractéristiques. Un système elliptique n’admet donc pas de telles dis-continuité.

3) Supposons ici que les matrices Aj(x, u) ne dépendent pas de u. Soit Σ une surface caractéris-tique. Sur cette surface, définie par y1 = 0, on a l’identité (3.61)

A(y)∂v

∂y1= f(y, v)−

∑j>1

Aj(y)∂v

∂xj

où nous avons substitué y et v à x et u sans changer les notations des matrices pour ne pas alourdirles notations. Soit V (y) un vecteur normalisé qui définit le noyau de At(y), on a sur Σ

At(y) V (y) = 0

et donc, pour y1 = 0

〈V (y), f(y, v)〉 −∑j>1

〈Atj(y) V (y),∂v

∂xj〉 = 0

Nous avons obtenu une équation aux dérivées partielles du premier ordre que doivent vérifier lesfonctions vi(0, x2, ..., xn). Ce qui montre que v ne peut être choisi arbitrairement sur Σ.

ECP 2006-2007 90

Chapitre 4

Les problèmes aux limites

Objectifs

Ce chapitre est une introduction aux problèmes aux limites, c’est à dire en général les problèmesde statique ou de régime permanent. Nous avons vu les exemples les plus classiques de problèmesaux limites au chapitre 2. Nous verrons que ce sont aussi en général les problèmes associés à desopérateurs aux dérivées partielles elliptiques. Voir [11] ou [12] pour un exposé plus complet.

4.1 Introduction

4.1.1 Quelques définitions

Voir le chapitre 2 du cours d’optimisation pour plus de détail. On note J(v) une fonction définiesur un espace normé V , de norme ||v||.

Définition 18 La fonction J(v) est coercive si

∀v ∈ V lim‖v‖→∞

J(v) = +∞

Définition 19 La fonction J(v) est convexe si

∀u, v ∈ V ∀t, t ∈ [0, 1] ⇒ J(tu+ (1− t)v) ≤ tJ(u) + (1− t)J(v)

Définition 20 La fonction J(v) est strictement convexe si

∀u, v ∈ V ∀t ∈]0, 1[ J(tu+ (1− t)v) < tJ(u) + (1− t)J(v)

Définition 21 On suppose que V est un espace préhilbertien (c’est à dire muni d’un produit scalaire).Une application f(u) de V dans V est monotone (resp. uniformément monotone) si

〈f(v)− f(u), v − u〉 ≥ 0

(resp. s’il existe un réel α > 0 tel que

〈f(v)− f(u), v − u〉 ≥ α〈v − u, v − u〉

91


La monotonie de la différentielle caractérise les fonctions convexes :

Théorème 19 Sur un espace de Hilbert une fonction J(v) différentiable est convexe si et seulementsi f(v) = ∇J(v) est monotone.

4.1.2 Définition des problèmes aux limites

Les problèmes qui nous intéressent ici modélisent l’état d’un système représenté par p fonctionui(x) qui dépendent de la position d’un point x. L’état du système est déterminé par un systèmed’équations aux dérivées partielles, et par les échanges éventuels du système avec l’extérieur. Tradui-sons cela en termes mathématiques :soit Ω un domaine de Rn de bord Γ ; on note ~n le vecteur normal unitaire extérieur en un point dubord, ~t le vecteur tangent.

Problème aux limites pour une équation du second ordre à une inconnue

Commençons par le cas particulier d’une équation du second ordre à une fonction inconnue. Leproblème de référence est le problème de Poisson (cf. (2.1)). L’inconnue est une fonction u(x) den variables x = (x1, ..., xn) et, bien sûr, on aura normalement n = 2 ou n = 3 ! Nous utilisonsparfois la notation uxi , uxixj ... pour les dérivées partielles ∂u

∂xi, ∂2u∂xi∂xj

.... Nous écrivons l’équationaux dérivées partielles générale du second ordre sous la forme

f(u, ..., uxi , ..., uxixj , ...) = 0 (4.1)

Nous définissons un problème aux limites sous la formef(u, ..., uxi , ..., uxixj , ...) = 0 si x ∈ Ωg(u, ...uxi ...) = 0 si x ∈ Γ

(4.2)

où g(u, ...uxi ...) est une fonction connue. La condition sur le bord la plus générale fait intervenirtoutes les dérivées mais elle s’exprime souvent en fonction de la dérivée normale d’une fonctionauxiliaire. En pratique l’expression de la condition aux limites peut différer entre les parties du bord.Définissons certaines conditions aux limites particulières :

Définition 22 Les conditions de Dirichlet sont les conditions aux limites du type u = u0.Les conditions de Neumann sont les conditions aux limites du type k ∂u∂n = g0 où g0 est fixé.Les conditions mixte ou de Robin sont les conditions aux limites du type k ∂u∂n + αu = g0.Si les constantes u0 et g0 sont nulles les conditions aux limites sont dites homogènes.

Nous essaierons dans ce chapitre de répondre aux questions suivantes :

Résumé 1 − Pourquoi le problème aux limites (4.2) est-il bien posé ?− Quelles conditions aux limites rendent le problème (4.2) bien posé ?− Le problème (4.2) a-t-il une solution unique ?− Comment construire une approximation de la solution du problème (4.2) ?

La dernière question est étudiée au chapitres 7.

ECP 2006-2007 92

CHAPITRE 4. LES PROBLÈMES AUX LIMITES 93

Problème aux limites pour un système d’équations du second ordre

Nous nous limitons aux systèmes quasi-linéaires, c’est à dire linéaires par rapport aux dérivées.Les notations pour définir un système général d’équations aux dérivées partielles sont assez lourdes.L’inconnue est une fonction u(x) à valeurs dans Rp ou, si l’on préfère, il y a p fonctions inconnuesuk(x), k = 1, ..., p de n variables x = (x1, ..., xn). Nous utilisons la notation ukxi

, ukxixj... pour

les dérivées partielles ∂uk

∂xi, ∂2uk

∂xi∂xj.... Nous nous restreindrons aux systèmes quasi-linéaires du second

ordre, c’est à dire linéaires par rapport aux dérivées secondes, que nous pouvons écrire sous la forme

∀l, 1 ≤ l ≤ p∑i,j,k

Ri,j,k,l(u)ukxixj+ Fl(u) = 0 (4.3)

où le tenseur à 4 indices Ri,j,k,l(u) et le vecteur Fl ne dépendent que des dérivées partielles d’ordreinférieur à 1.Le système de l’élasticité non linéaire (2.28) s’écrit par exemple sous cette forme, le tenseur Ri,j,k,lvérifiant certaines conditions de symétrie.Nous définissons un problème aux limites en ne considérant que les conditions aux limites les plususuelles. Comme pour l’élasticité on définit une matrice [σ] analogue aux contraintes par la relation

σi,j =∑k,l

Ri,j,k,l(u)ukxl

Les conditions aux limites peuvent mélanger en un même point des conditions aux limites portant surune composante de la fonction u

un = 〈u, ~n〉 = u0

ou sur les dérivéesσn,n = 〈[σ]~n, ~n〉 = g0

σn,t = 〈[σ]~n,~t〉 = g0

En élasticité ces conditions sont naturelles : un appui sans frottement sur une surface se traduit parun = 0 (contact avec l’appui) et σn,t = 0 (la nullité des cisaillements dans deux directions tangentesau bord).

4.1.3 Systèmes d’équations elliptiques

La définition générale de l’ellipticité est la non existence d’une surface caractéristique (cf. para-graphe (13). Nous précisons cette définition dans les situations usuelles. Nous verrons a posteriori(théorème (22)) qu’elle est liée à la convexité de la fonction potentielle quand cette fonction existe.

Cas d’une équation non linéaire du second ordre à une inconnue

On définit la forme quadratique caractéristique

Φ(ξ1, ..., ξi, ..., ξn) =∑i,j

∂f

∂uxixj

ξiξj (4.4)

Ce qui nous permet de poser la définition :

93 Mathématiques 2


Définition 23 Une équation aux dérivées partielles du second ordre est une équation elliptique si laforme quadratique (4.4) est définie positive ou définie négative. .

Noter que cette définition ne fait dépendre l’ellipticité que des termes du second ordre et que, quitte àtout multiplier par −1, on s’arrange en général pour rendre la forme positive.

Cas particulier d’une équation linéaire du second ordre à une inconnue

Considérons l’équation générale du second ordre écrite sous la forme développée

−∑i,j

ai,j(x)∂2u

∂xi∂xj+

∑i

bi(x)∂u

∂xi+ cu = d (4.5)

où, quitte à multiplier l’équation par −1, on a fixé les signes de façon que a1,1 ≥ 0.

Définition 24 Une équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre (4.5) est elliptique si laforme quadratique caractéristique ∑

i,j

ai,j(x)ξiξj

est définie positive, autrement dit si la matrice A de coefficient ai,j est définie positive. .

Rappelons le résultat établi au chapitre 3, théorème (10) :

Théorème 20 Un opérateur linéaire aux dérivées partielles quelconque peut s’écrire sous la formecanonique

P (D)(u) = (−∇ . (A(x)∇u) + γ(x)u) + (〈V (x),∇u〉+∇ . (V (x)u))

où A(x) est une matrice symétrique et V (x) un champ de vecteurs. Sur l’espace V0 des fonctions deC1(Ω) nulles sur le bord Γ, le premier opérateur est symétrique associé à la forme bilinéaire

a(u, v) =∫

Ω〈A(x)∇u,∇v〉 dΩ +

∫Ωγ(x)uv dΩ

et le deuxième antisymétrique associé à la forme bilinéaire

b(u, v) =∫

Ω∇ . (V (x)u)v −∇ . (V (x)v)u dΩ

On peut préciser : si l’opérateur est elliptique et si γ(x) ≥ 0 on a

Proposition 33 Si l’équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre (4.5) est elliptique etsi γ(x) ≥ 0 la forme a(u, v) est symétrique définie positive sur V0.

ECP 2006-2007 94


Cas d’un système d’équations linéaires du second ordre

La définition générale de l’ellipticité est ici aussi la non existence d’une surface caractéristique.Le système général de p équations linéaires du second ordre à p fonctions inconnues uk s’écrit

∀l 1 ≤ l ≤ p : −∑i,j,k

Ri,j,k,l∂2uk

∂xi∂xj+

∑j,k

bj,k,l∂uk

∂xj+

∑k

ck,luk = dl (4.6)

On fixe l’ambiguïté sur les signes en supposant R1,1,1,1 > 0

Définition 25 Le système d’équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre (4.6) est el-liptique si la forme quadratique caractéristique∑

i,j,k,l

Ri,j,k,lξijξkl

est définie positive.

Cela implique :

Proposition 34 Si le système d’équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre (4.6) estelliptique la forme bilinéaire symétrique

a(u, v) =∫

Ω

∑i,j,k,l

Ri,j,k,l∂uk

∂xi

∂vl

∂xj

est semi-définie positive sur C1(Ω)p.

La forme a(u, v) est définie positive sur des sous-espaces de fonctions de C1(Ω)p nulles sur certainesparties du bord.

4.2 Problème associé à un potentiel


Nous avons vu au chapitre 2 et 3 que les grandes théories de la physique mathématique s’ex-primaient sous la forme de principe de minimum d’une certaine fonction potentielle. Cela expliqueque les problèmes de statique modélisés par des systèmes d’équations aux dérivées partielles, sontdes équations d’Euler-Lagrange (cf. (3.27)) d’une fonctionnelle J(v) et cela permet de comprendrepourquoi les problèmes aux limites qui leur sont associés sont des problèmes bien posés. Nous allonsvoir ci-dessous que les propriétés de la fonctionnelle permettent notamment de comprendre les ques-tions d’existence, d’unicité ou de multiplicité, et de stabilité de la solution. Elles fournissent de plusun cadre d’étude de l’approximation et des méthodes numériques de résolution.

95 Mathématiques 2


4.2.2 Equation dérivant d’un potentiel

Existence du potentiel

L’existence d’un potentiel est équivalente à l’existence d’un principe de conservation (le travail nedépend pas du chemin suivi), ainsi en mécanique ce potentiel n’existe pas en présence de frottements.Mathématiquement l’opérateur aux dérivées partielles vérifie une condition de symétrie (Voir le coursd’Optimisation chapitre 1), que nous n’expliciterons pas dans le cas général, mais qui explique lasymétrie de la forme bilinéaire a(u, v) dans les formulations faibles de ces problèmes. Le problèmede convection-diffusion ou les écoulements de Navier Stokes en régime permanent sont des exemplesde problème de statique qui ne sont pas associés à des potentiels.

Equation d’Euler associée à un potentiel

Nous considérons dans ce paragraphe des problèmes avec une seule fonction inconnue et nousnous limitons aux conditions aux limites de type Dirichlet homogène. Nous considérons une fonctionpotentielle de la forme

J(u) =∫

Ωh(x, u,∇u) dΩ (4.7)

Soit V0 l’espace des fonctions C1 nulles sur le bord Γ de Ω. Nous avons vu (théorème (12)) qu’unextrémum de la fonction J(u) sur l’espace V0 vérifie les équations d’Euler sous forme faible, c’est àdire

∀v ∈ V0

∫Ω

∂h

∂uv + 〈∇uih,∇v〉 dΩ = 0 (4.8)

où l’on a posé

∇ujh = (∂h

∂uj 1

, ...,∂h

∂un)t

On en déduit l’équation d’Euler (cf. (3.27)) écrite sous la forme canonique

−∇ . x(∇ujh) +∂h

∂u= 0 (4.9)

et en développant les dérivées (cf. (3.27))

f(u, ..., uxi , ..., uxixj , ...) = −∑i,j

∂2h

∂uxj∂uxi

uxixj +∂h

∂u= 0 (4.10)

à laquelle il faut ajouter, puisque u ∈ V0 la condition uΓ = 0 qui définit un problème aux limites.L’équation d’Euler (4.10) est une équation quasi-linéaire du second ordre (i.e. elle est linéaire parrapport aux dérivées secondes).Donc :

Proposition 35 Une condition nécessaire d’extrémalité de la fonction J(u) sur l’espace V0 est queu vérifie un problème aux limites homogènes pour l’équation d’Euler Edp4FFEulerFort qui est uneéquation quasi-linéaire du second membre

ECP 2006-2007 96


Remarque importante : Les équations aux dérivées partielles peuvent s’écrire sous un grand nombrede formes équivalentes. Il est notamment tentant, en développant toutes les dérivées, d’obtenir laforme (4.10) qui parait canonique et qui fait apparaître toutes les dérivées. Pourtant, quand on saitque l’équation peut être obtenue par un principe de minimum, il est bien préférable d’utiliser la forme( 4.9) :− Elle conserve la signification physique des différents termes.− Elle permet de construire directement les formulations faibles à la base des approximations numé-riques par la méthode des éléments finis.− Elle permet de construire de façon cohérente des formules d’approximation aux différences finies.

4.2.3 Potentiel coercif

Nous avons vu au chapitre 2 du cours d’optimisation le théorème

Théorème 21 Une fonction continue et coercive sur un espace de dimension finie admet un minimum.

Ce théorème est faux sur un espace de Hilbert ou de Banach de dimension infinie. Il ne s’appliquedonc pas directement à la fonction potentielle (4.7). Néanmoins nous pouvons nous en servir commed’un principe heuristique pour s’assurer de l’existence de la solution d’un problème car si la fonc-tionnelle est coercive, on pourra souvent en déduire l’existence d’au moins un minimum “dans lebon espace fonctionnel”. Cela sera vrai en particulier si la fonctionnelle est convexe et continue surun espace de Banach dit “réflexif” (comme les espaces Lp(Ω), 1 < p < +∞), mais cette théoriedépasse le cadre de ce cours.

− Si la fonction potentielle (4.7) est une somme de termes d’ordre de grandeur différent, la coer-civité de cette fonction va dépendre du terme de l’ordre le plus élevé.

− Quand on construit une approximation numérique du problème par la méthode des élémentsfinis, on restreint le principe du minimum à un sous-espace de dimension finie si bien que le théorème(21) s’applique.

− Quand une fonction dépend d’un paramètre, elle peut être coercive ou non selon les valeurs duparamètre ; la perte de coercivité pour une valeur d’un paramètre sera ainsi le signe d’une “catastro-phe” par perte de stabilité ou par disparition complète d’une solution (voir le cours d’Optimisationchapitre 1 pour un exemple).

4.2.4 Potentiel convexe

La convexité de la fonction potentielle (4.7) est une conséquence de la convexité de la fonction h(Voir le cours d’Optimisation chapitre 2). Pour démontrer la proposition suivante on écrit l’inégalitéde convexité pour h(...uk, ..., ..., ukj , ...) et on intègre sur Ω.

Proposition 36 Si la fonction h(x, u,∇u) est une fonction strictement convexe de (u, ..., uj , ...) alorsla fonction potentielle J(u) définie par (4.7) est une fonction strictement convexe de C1(Ω]) dans R.Elle admet alors au plus un minimum.

97 Mathématiques 2


Supposons que la fonction h(x, u,∇u) ne dépende pas de u, mais seulement de x et ∇u : h =h(x,∇u). Par définition l’équation d’Euler (4.10) est elliptique si la forme quadratique (4.4) est défi-nie positive ou définie négative. Or

∂f

∂uxixj

= − ∂2h

∂uxi∂uxj

ce qui fait que la forme quadratique (4.4) est la forme associée au Hessien de la fonction h, à xfixé, qui est donc défini positif ou négatif. Nous avons vu (Cours d’optimisation, chapitre 2) que sile Hessien d’une fonction est défini positif, la fonction est strictement convexe. Nous en déduisons lethéorème :

Théorème 22 Si l’équation d’Euler

−∇ . x(∇ujh) = 0

associée à un potentiel

J(u) =∫

Ωh(x,∇u) dΩ

est elliptique, la fonction h(∇u) est strictement convexe ou strictement concave. La fonction poten-tielle J(u) est alors strictement convexe ou strictement concave.

Ce résultat est essentiel pour la théorie mathématique de l’existence de la solution comme pour laconstruction d’une approximation numérique par la méthode des éléments finis et enfin pour définirun algorithme de calcul d’une approximation. On en déduit en particulier que la fonction J(u) a auplus un extrémum et que l’équation a donc au plus une solution. Nous verrons ci-dessous de nombreuxexemples vérifiant ces hypothèses.

4.2.5 Analyse des conditions aux limites

Position du problème

Les propriétés d’une solution dun problème aux limites dépendent non seulement de l’équationaux dérivées partielles mais aussi des conditions aux limites qui déterminent complètement la solu-tion. Dans le paragraphe (4.2.2) nous avons étudié les conditions d’optimalité d’une fonctionnelleJ(u) sur l’espace V0 des fonctions C1 nulles sur le bord. Une condition nécessaire est que u soitsolution d’un problème aux limites pour l’équation d’Euler, avec des conditions aux limites de typeDirichlet homogène. Nous allons voir dans ce paragraphe que, pour une équation d’Euler, on peutconsidérer des conditions aux limites plus générales tout en ayant une interprétation de la solution duproblème aux limites comme un extrémum d’un potentiel. Cela nous permettra d’analyser l’effet deces conditions aux limites sur les propriétés des solutions.

Cas des problèmes associés à un potentiel

Nous étudions les conditions d’optimalité d’une fonctionnelle J(u) sur l’espace des fonctions C1

quelconques et nous ajoutons au potentiel une intégrale de bord, nous définissons donc

J(u) =∫

Ωh(x, u,∇u) dΩ +

∫ΓG(u) dΓ (4.11)

ECP 2006-2007 98


où G(u) ∈ C1(R). Nous allons établir les conditions nécessaires que doit vérifier un extrémum deJ(u) sur l’espace C1(Ω).En procédant comme pour le théorème (12), on montre que un extrémum de la fonction J(u) surl’espace C1(Ω) vérifie

∀v ∈ C1(Ω), DJ(u).v =∫

Ω

∑i

∂h

∂uivxi +

∂h

∂uv dΩ +

∫ΓG′(u)v dΓ = 0 (4.12)

PosonsΦ = ∇uih = (

∂h

∂u1, ...,

∂h

∂un)t

ce qui permet d’écrire plus synthétiquement

DJ(u).v =∫

Ω〈Φ,∇v〉 dΩ +

∂h

∂uv dΩ +

∫ΓG′(u)v dΓ

Appliquons la formule de Stokes (1.2) aux intégrales∫Ω〈Φ,∇v〉 dΩ = −

∫Ω∇ . Φv dΩ +

∫Γ

Φn v dΓ

On en déduitDJ(u).v =

∫Ω

(−∇ . Φ +∂h

∂u)v dΩ +

∫Γ

(Φn +G′(u)) v dΓ

Un extrémum de J(u) sur C1(Ω) doit donc vérifierΦ = (...,

∂h

∂uxi

, ...)t

∀v ∈ C1(Ω)∫

Ω(−∇ . Φ +

∂h

∂u)v dΩ +

∫Γ

(Φn +G′(u)) v dΓ = 0(4.13)

En procédant comme au paragraphe (3.3.1) on en déduit le théorème :

Théorème 23 Un extrémum de la fonction J(u) définie par (4.11) est la solution du problème auxlimites suivant pour une équation aux dérivées partielles du second ordre

−∇ . x(∇uih) +∂h

∂u= 0 si x ∈ Ω

〈∇uih, n〉 = g(u) = G′(u) si x ∈ Γ(4.14)

Interprétation

On peut utiliser ce résultat pour analyser le problème aux limites (4.14). La fonction (4.11) estla somme de deux termes, la coercivité ou(stricte) convexité de chacun de ces termes assurera, parexemple, l’existence et l’unicité de la solution de (4.14) ; par contre si le second terme est concave ettend vers−∞ à l’infini, la coercivité de J(u) n’est pas assurée et la situation peut être complexe pource qui est de l’existence de la solution ou de sa multiplicité.

99 Mathématiques 2


4.3 Exemples d’analyse de problèmes aux limites

4.3.1 Équation elliptique linéaire du second ordre générale

Les hypothèses

Nous étudions dans ce paragraphe un problème elliptique linéaire du second ordre qui généralisetous les exemples du chapitre 2 comme ceux des séances d’exercices.Soit Ω ⊂ Rn un domaine de bord Γ où nous distinguons deux parties Γ0et Γ1. Considérons, pour uneéquation aux dérivées partielles linéaires générale du second ordre, le problème aux limites

u ∈ C2(Ω)(−∇ . (A(x)∇u) + γ(x)u) + (〈V (x),∇u〉+∇ . (V (x)u)) = f si x ∈ Ωu = u0 si x ∈ Γ0

−(A(x)∇u) · ~n = C(u− u1) si x ∈ Γ1

(4.15)

où :− A(x) est une matrice symétrique,− V (x) un champ de vecteurs tel que V (x) · ~n = 0 sur Γ1,− f ∈ C(Ω), u0 et u1 sont deux fonctions définies sur le bord, C est une constante positive.L’opérateur aux dérivées partielles est l’opérateur linéaire du second ordre le plus général, écrit sous laforme canonique (théorème (20)). On suppose que l’opérateur est elliptique, i.e. que la matrice A estdéfinie positive, et que γ(x) ≥ 0. Nous nous plaçons sous des hypothèses un peu plus générales quedans les paragraphes précédents pour ce qui est des conditions aux limites. Noter que ces hypothèsessont les hypothèses naturelles, notamment dans l’interprétation du problème comme un problème deconvection-diffusion. (cf. paragraphe 4.3.14).

Formulation faible

SoitV0 = v ∈ C1(Ω) / v|Γ0 = 0

Posons (cf. paragraphe (3.1.3))

a(u, v) =∫

Ω〈A(x)∇u,∇v〉+ γ(x)uv dΩ

b(u, v) =∫

Ω∇ . (V (x)u))v −∇ . (V (x)v))u dΩ

L(v) =∫

Ωfv dΩ +

∫Γ1

Cu1v ds

a1(u, v) =∫

Γ1

Cuv ds

ECP 2006-2007 100


Théorème 24 Le problème aux limites (4.15) est équivalent à la formulation faibleu ∈ C2(Ω), u = u0 sur Γ0

∀v ∈ V0 a(u, v) + a1(u, v) + b(u, v) = L(v)(4.16)

Les formes bilinéaires a(u, u) et a1(u, v) sont symétriques définies positives sur V0. La forme b(u, v)est antisymétrique.

La démonstration de l’équivalence est la même que celle qui a été faite au paragraphe (3.3). Lespropriétés des formes bilinéaires ont été établies au paragraphe (3.1.3)

Analyse du problème

On déduit de la formulation faible l’unicité de la solution de (4.15) car s’il existait deux solutionsu1 et u2 on aurait

∀v ∈ V0 a(u1 − u2, v) + b(u1 − u2, v) = 0

et donc en particulier, puisque u1 − u2 ∈ V0,

a(u1 − u2, u1 − u2) + b(u1 − u2, u1 − u2) = 0

or b(u1 − u2, u1 − u2) = 0 puisque la forme b(u, v) est antisymétrique, d’où

a(u1 − u2, u1 − u2) = 0

et donc u1 − u2 = 0 puisque a(u, u) est définie positive.

Si V (x) = 0, la formulation faible (3.3) n’est autre que l’expression de la nullité de la différen-tielle de la fonction potentielle J(u) (i.e. DJ(u).v = 0) définie par

J(u) =∫

Ω

12(〈A(x)∇u,∇u〉+ γ(x)u2) dΩ +

∫Γ1

Cuv ds− L(u)

=12a(u, u) +

12a1(u, u)− L(u)

Nous en avons déduit (cf. (4.9)) que le problème (4.15) est l’équation d’Euler-Lagrange associée à lafonctionnelle J(u). La fonction J(u) est strictement convexe, donc la solution u de (4.15), que noussupposons existée, est l’unique minimum de J(u).

La formulation faible servira à construire des approximations du problème, voir le chapitre 7.

4.3.2 Diffusion et membrane

Nous avons étudié dans les séances 2, 3, 4 sur la membrane et la diffusion linéaire des problèmesqui sont des cas particuliers du problème suivant −k∆u+ cu = f si x ∈ Ω

k∂u

∂n+ c1(u− u0) = 0 si x ∈ Γ

(4.17)

101 Mathématiques 2


avec k, c, c1 > 0. Soit V l’espace des fonctions C1 sur Ω. Ce problème aux limites pour une équationelliptique est du type (4.14). Il est équivalent au problème d’optimisation

Minv∈V J(v) =∫

Ωk‖∇v‖2

2+ c

v2

2− fv dΩ +

∫Γc1v2

2− u0v dΓ (4.18)

L’équivalence vient de la convexité (voir le cours d’Optimisation chapitre 2) de la fonction J(v) quis’écrit aussi sous la forme

J(v) =12a(v, v)− L(v)

oùa(u, v) =

∫Ω

(∇u.∇v + c u v) dΩ +∫

Γc1u v dΓ

est une forme bilinéaire symétrique définie positive et

L(v) =∫

Γu0v dΓ +

∫Ωfv dΩ

une forme linéaire. Noter que la condition aux limites devient entièrement implicite dans la formu-lation variationnelle. La fonctionnelle J(v) est strictement convexe et coercive, le problème admetau plus une solution (La démonstration mathématique de l’existence suppose de préciser le cadrefonctionnel et la régularité des données, voir chapitre 6).

4.3.3 Diffusion non homogène

Les coefficients du problème (4.17) peuvent être variables sans que la formulation variationnelledoive changer.

−∇ . (k(x)∇u) + c(x)u = f(x) (4.19)

avec k(x), c(x) > 0 et des conditions aux limites standards. Ce problème aux limites pour une équa-tion elliptique est du type (4.14). Ce problème équivaut à :

Minv∈V J(v) =∫

Ωk(x)

‖∇v‖2

2+ c

v2

2− fv dΩ (4.20)

La variation des coefficients ne crée donc pas de problème particulier. La résolution numérique sefait avec les mêmes méthodes que celles que nous avons développées pour l’étude de la diffusionhomogène. Noter que si k est discontinu sur des frontières intérieures, la formulation variationnellereste valable mais c’est l’équation (4.19) qu’il faut modifier (u n’est plus dérivable sur cette frontière)en ajoutant une condition de continuité des flux sur la frontière intérieure.

4.3.4 Importance des signes : Vibration forcée

On considère les vibrations sinusoïdales, i.e. de la forme u(x, t) = u(x)eiωt, d’une membranepour une excitation sinusoïdale f(x, t) = f(x)eiωt de pulsation ω (cf. 2.41 )

−k∆u− ω2u = f si x ∈ Ωu = 0 si x ∈ Γ

(4.21)

ECP 2006-2007 102


Noter en comparaison avec l’exemple précédent que c = −ω2 est négatif dans (4.17). Soit V0 l’espacedes fonctions C1 sur Ω nulles sur le bord Γ. Ce problème aux limites pour une équation elliptique estdu type (4.9). La solution de ce problème est un extrémum sur V0 de la fonction

J(v) =∫

Ω(k

2‖∇v‖2 − ω2v2 − f v) dΩ (4.22)

La fonctionnelle J(v) n’est pas en général convexe, (noter qu’elle est la différence de deux fonctionsconvexes).On peut montrer que si ω2 < ω2

0 où ω0 est la pulsation associée à la fréquence fondamentale, J(v) estencore strictement convexe et coercive, elle a encore un minimum ; mais si ω2 > ω2

0 La fonctionnellen’est ni convexe ni coercive et la solution u de l’équation d’Euler n’est plus un minimum mais unpoint “col”, le problème n’admet pas toujours une solution (Les valeurs de ω pour lesquelles il n’y apas de solution sont, à 2π près, les pulsations correspondant aux fréquences de résonance).

4.3.5 Une équation faiblement non-linéaire

Considérons le problème aux limites−k∆u+ c(u) = f si x ∈ Ωu = u0 si x ∈ Γ

(4.23)

avec k > 0 et c(u) = V ′(u) où c(u) est une fonction strictement croissante et V (u) est donc unefonction d’une variable réelle strictement convexe. La solution de (4.23) est le minimum sur l’espaceV0 de la fonctionnelle strictement convexe

J(v) =∫

Ω(k

2∇v2 + V (v)− fv) dΩ

Un problème de ce type permet de modéliser la diffusion avec rayonnement. Dans ce cas on ac(u) = u4, et donc V (u) = u5

5 (cf. 2.27). Mais il y a une difficulté : la fonction V (v) n’est pasconvexe. Sachant que u(x) est la température absolue donc toujours positive, la solution de (2.27)est aussi solution du problème (4.23) avec c(u) = signe(u)u4 qui est le minimum de la fonctionJ(u) avec V (u) = |u|5

5 , qui est strictement convexe. Or on montre que la solution de (4.23) avecc(u) = signe(u)u4 est toujours positive, c’est donc aussi une solution positive de (2.27). Les deuxproblèmes avec c(u) = u4 et c(u) = signe(u)u4 ont donc les mêmes solutions positives et, aveccette petite astuce, on se ramène à un problème strictement convexe.

Il n’est pas difficile sous ces hypothèses de construire un cadre fonctionnel assurant l’existenceet l’unicité de la solution. La résolution numérique d’un problème quasi-linéaire n’est donc pas trèsdifficile, puisqu’elle se ramène à un problème d’optimisation standard.

4.3.6 Une équation fortement non linéaire

L’équation de la diffusion en régime permanent−k∆u = qu = u0 sur le bord Γ

(4.24)



où q est la densité de chaleur échangée, est la conséquence de la loi linéaire de Fourier

Φ = −k∇u

où Φ est le flux de chaleur, et de la conservation de l’énergie

∇ . Φ + q = 0

Si les variations de température sont fortes on considère une loi de diffusion non linéaire du type

Φ(u) = −k‖∇u‖p−2∇u avec p ≥ 1 (4.25)

On en déduit un problème aux limites :−k∇ . ‖∇u‖p−2∇u = qu = u0 sur le bord Γ

(4.26)

Ce problème est du type (4.9), avec une équation elliptique. Soit V0 l’espace (affine) des fonctionsC1, telles que u = u0 sur Γ. Ce problème équivaut au problème d’optimisation convexe

Minv∈V0 J(v) =∫

Ωk‖∇v‖p

p− qv dΩ (4.27)

On montre que c’est un problème d’optimisation pour une fonction strictement convexe coercive pourune norme convenable. Des difficultés mathématiques apparaissent pour p = 1 (la fonction n’est pluscoercive, ni convexe) et des difficultés numériques pour p proche de 1.

4.3.7 Une équation conditionnellement elliptique

On considère, en régime stationnaire, un écoulement irrotationnel d’un gaz parfait dans unetuyère, en supposant que l’on peut négliger les effets de viscosité et de diffusion thermique. Noterque l’hypothèse que l’écoulement est irrotationnel ne sera vérifiée que dans des situations très parti-culières. On utilise une représentation plane de l’écoulement dans un domaine Ω. On note u(x) (resp.p(x) et ρ(x)) la vitesse (resp. la pression et la densité) en un point x. On suppose connue la compo-sante normale ρu.n = g du flux de matière sur le bord Γ. On a l’équation d’état p = Cργ d’où l’ondéduit, en supposant l’écoulement uniforme à l’aval, sur les lignes de courant

ρ = ρ0(K − ‖u‖2

2)

1γ1 (4.28)

La conservation de la matière dans tout sous-domaine se traduit par l’équation ∇ . (ρu) = 0. L’écou-lement étant irrotationnel, il existe un potentiel Ψ tel que u = ∇Ψ. On pose q = 1

γ−1 . Le potentielΨ est donc solution du problème aux limites

∇ . (K − 12‖∇Ψ‖22)q∇Ψ) = 0 sur Ω

ρ0(K − 12‖∇Ψ‖22)q

∂Ψ∂n

= g sur Γ(4.29)

ECP 2006-2007 104


Ce problème est du type (4.9). L’équation est elliptique si

(K − 12‖∇Ψ‖22) > 0

La solution de (4.29) est aussi un extrémum de la fonctionnelle

J(v) = − 1q + 1

∫Ω(K − 1

2‖∇v‖22)q+1 dΩ−

∫Γg v ds (4.30)

Cette fonctionnelle est convexe si la norme de la vitesse ‖∇v‖2 n’est pas trop grande ( ce qui corres-pond à des vitesses “subsoniques”), elle ne l’est plus pour des vitesses plus grandes qui correspondentà la zone supersonique (l’équation est hyperbolique dans cette zone).

4.3.8 Quelles lois linéaires de diffusion impliquent l’ellipticité ?

On considère un problème de diffusion comme au paragraphe (4.3.6). Supposons une loi de dif-fusion linéaire mais anisotrope :

Φ = −M(x)∇u (4.31)

où u (resp. Φ) est la température (resp. le flux) tandis que M est une matrice symétrique. La tempé-rature est solution d’un problème aux limites du type

−∇ . (M(x)∇u) = f sur Ωu = u0 sur Γ

(4.32)

La forme quadratique caractéristique (cf. définition 24) s’écrit

Φ(ξ1, ξ2, ξ3) =∑i,j

Mi,jξiξj

L’équation est donc elliptique si et seulement si la matrice M est définie positive (M définie négativeest impossible pour des raisons thermodynamiques évidentes). La solution u est alors un extrémumde la fonction

J(v) =∫

Ω

12< M∇v,∇v > −fv dΩ (4.33)

– Cas M(x) définie positive< M∇v,∇v > est alors une forme définie positive et J(v) est donc une fonction strictementconvexe coercive, le problème admet une solution et une seule.

– Cas M semi-définie positive en certains pointsLa fonction reste convexe, mais pour certaines directions de fonctions v il est possible queJ(v) → −∞ , l’existence n’est plus assurée ; quand la solution existe on montre que celle-cipeut admettre des lignes de discontinuité de la dérivée. .

– Cas M non définie positiveNous avons dit ci-dessus que cette situation est ici physiquement incohérente : elle signifieque la chaleur s’écoule dans le sens des températures croissantes ce qui est contraire aux prin-cipes de la thermodynamique. La fonction J(v) est dans ce cas convexe sur certaines droites et



concave sur d’autres, la solution est un point “col” pour J(v) dont l’existence n’est pas du toutassurée. En fait cette situation se présentera dans un cadre tout à fait différent de la diffusion,

dans les problèmes de vibrations où l’une des variables est le temps. Soit M =(

1 00 −c2

)et si on note les variables (t, x) le problème s’écrit sous la forme :

∂2u

∂t2− c

∂2u

∂x2= 0 (4.34)

et nous posons u = 0 sur le bord. C’est l’équation des cordes vibrantes. Si l’on considère quele domaine est un carré de côté 1, cela revient à étudier les vibrations d’une corde de longueur1 dont la position au temps 0 et 1 est horizontale. On montre qu’il y a une infinité de solutions(par exemple pour c = 1, si f(x) est une fonction arbitraire paire et de période 1, toute fonctionde la forme f(x+ t)− f(x− t) est solution).

4.3.9 Quelles lois non linéaires de diffusion impliquent l’existence et l’unicité ?

On considère un problème de diffusion comme au paragraphe (4.3.6). Supposons une loi de dif-fusion non linéaire, dans laquelle le coefficient de diffusion varie avec le flux

φ(u) = −g(‖∇u‖) ∇u‖∇u‖

(4.35)

où g(t) est une fonction dont nous notons G(t) une primitive. Le problème s’écrit sous la forme d’unproblème aux limites Ce problème est du type (4.9) −∇ . (g(‖∇u‖) ∇u

‖∇u‖) = f sur Ω

u = u0 sur Γ(4.36)

Ce problème est du type (4.9)avec

h(..., ui, ...) = G(√u2

1 + u22 + u2

3) = G(‖∇u‖)

Une solution de (4.36) est donc un extrémum de la fonction

Min J(v) =∫

ΩG(‖∇v‖)− fv dΩ (4.37)

Nous avons vu (cf. théorème 22) que l’équation (4.36) est elliptique si la fonction h(..., uj , ...) est unefonction strictement convexe de (u, ..., uj , ...) (ici encore le cas concave est exclu pour des raisonsthermodynamique). c’est à dire si la fonction G(t) est strictement convexe et donc si la fonctiong(t) = G′(t) est monotone.

– Si la fonction g(t) est croissante et si elle croît au moins linéairement en x à l’infini, G(t) estconvexe coercive et on montre facilement que J(v) est convexe et tend vers l’infini si ‖∇v‖tend vers l’infini : on pourra montrer l’existence d’une solution et d’une seule.

ECP 2006-2007 106


– Si la fonction g(t) définit une loi de diffusion à “seuil” (i.e. si g(t) tend vers une limite finiequand t tend vers l’infini, correspondant physiquement à une saturation pour les flux élevés),G(t) est alors linéaire à l’infini, il n’est pas sûr que J(v) tende vers l’infini quand ‖∇v‖ tendvers l’infini (J(v) est différence de deux fonctions linéaires à l’infini), l’existence d’un mini-mum et donc de la solution n’est pas assurée : intuitivement si la densité de chaleur fournief(x) est trop grande le flux qui ne peut dépasser la valeur de seuil ne peut toujours l’évacuer.On trouve des phénomènes de ce type dans les problèmes de diffusion, en électrocinétique eten mécanique (plasticité et endommagement).

4.3.10 Cas non convexe 1

Un exemple un peu formel −k∆u− u3 = 0 sur Ωu = 0 sur Γ

(4.38)

Ce problème aux limites équivaut à chercher un extrémum sur l’espace V0 de la fonctionnelle

J(v) =∫

Ωk‖∇v‖2

2− v4

4dΩ (4.39)

Ici J(v), différence de deux fonctions convexes, n’est pas convexe. On montre qu’il y a une infinitéde solutions, dont “l’aspect” est proche des modes propres de la membrane.


Un exemple formel plus complexe, qui est l’analogue continu d’un problème traité au chapitre 1du cours d’Optimisation :

−k∆u− λu+ u3 = 0 sur Ωu = 0 sur Γ

(4.40)

où λ > 0. Ce problème aux limites équivaut à chercher un extrémum sur l’espace V0 de la fonction-nelle

J(v) =∫

Ωk‖∇v‖2

2− λ

v2

2+v4

4dΩ (4.41)

On montre que si λ est inférieur à une valeur critique λc la partie quadratique de la fonction J(v)reste définie positive, la fonction J(v) est donc une somme de fonctions strictement convexes et ellea donc au plus un minimum qui est u = 0. Si λ > λc la fonction J(v) n’est plus convexe, le pointu = 0 devient un point “col” et il existe un minimum non nul. Pour des valeurs croissantes de λ lenombre de points stationnaires s’accroît.


Dans le problème de la diffusion (4.17), les différents termes dans la fonctionnelle sont des fonc-tions convexes qui s’ajoutent parce que tous ces termes représentent des pertes. Si une augmentation



de température crée de la chaleur (par réaction chimique ...), le signe du terme correspondant estdans le mauvais sens et le potentiel J(v) est la différence de deux fonctions convexes. Le cas suivant(réaction chimique, équilibre d’une étoile...) est caractéristique de ce type de comportement :

−k∆u = exp(λu)u = 0 sur Γ

(4.42)

Ce problème est équivalent à la recherche d’un extrémum de la fonction

J(v) =∫

Ωk‖∇v‖22

2− exp(λv)

λdΩ (4.43)

La fonction J(v) n’est ni convexe ni coercive, On montre qu’il y a en général une infinité de solution.


On considère une poutre fléchie par une compression aux extrémités qui peuvent tourner librement(comme une réglette que l’on fléchit entre de deux doigts). L’étude de la position d’équilibre conduitau problème suivant où l’inconnue φ(s) est ici l’angle de la tangente avec l’axe de la poutre (et nonpas la flèche)

EId2φ

ds2− F sinφ(s) = 0 (4.44)

avec φ′(0) = φ′(L) = 0 Ce problème est équivalent à chercher, sur l’espace V = C1([0, L]), unextrémum de la fonction

J(v) =∫ L

0

EI

2dφ

ds

2

+ F cosφ(s) ds (4.45)

(E est le module de Young, I la moment d’inertie d’une section). Voir l’exemple analogue, mais dis-crétisé, d’un système de barres reliées par des ressorts spirales, au chapitre 1 du cours d’optimisation.

Si on développe pour de petites déformations, cosφ = 1− φ2

2 + φ4

4 . On vérifie alors que la fonctionreste convexe au voisinage de 0 si F est petit, sinon il y a perte de convexité. C’est le problème duflambement eulérien :Si F est inférieur à une valeur critique Fc, dont on montre qu’elle est une valeur propre du problèmelinéarisé, la seule solution est la solution nulle représentée par une poutre droite. Si F > Fc il existe1, 2, 3... solutions suivant les valeurs de F . Une seule (à une symétrie près) est stable.

4.3.14 Un exemple sans potentiel : la convection diffusion

On étudie la répartition de la température dans un fluide incompressible s’écoulant dans une“tuyère” (cf. figure(4.1)) en régime permanent.

– La domaine d’étude est Ω ⊂ R2. Le bord Γ de Ω est la réunion de trois parties Γ0, Γ1, Γ2.– On note u(x) la température, Φ(x) le vecteur flux au point x.– On note c la capacité volumique et k la conductivité.– La vitesse du fluide est définie par le champ de vecteur ~V (x). On a ~V ~n = 0 sur le bord Γ2

et l’incompressibilité du fluide se traduit mathématiquement par la condition ∇ . ~V = 0 et laprésence d’une paroi par ~V ~n = 0.

ECP 2006-2007 108


V(x)+

ΩΓ0

Γ2

Γ1

Γ2

Γ2

FIG. 4.1 – Convection et diffusion

– La température du fluide sur le bord d’entrée Γ0 est connue, égale à T0, et on suppose que latempérature sur le bord de sortie Γ1 est connue et fixée à T1 (cette hypothèse qui n’est pasnaturelle sera discutée plus loin).

– On suppose que la température extérieure Te est nulle et, pour simplifier, on suppose que

u = 0 sur Γ2

Soit :− V l’espace des fonctions continues sur Ω, qui sont “C1 par morceaux” ;− V0 ⊂ V le sous espace des fonctions nulles sur Γ ;On notera que, en utilisant l’incompressibilité du fluide, on a : ∇ . (u~V ) = ∇u. ~V .

On introduit un artifice mathématique pour simplifier la théorie. Soit u la solution du problème etu0 ∈ U0 une fonction arbitraire telle que

u0|Γ0 = T0, u0|Γ1 = T1, u0|Γ2 = 0

On pose u = u− u0 qui est donc dans V0. La fonction u est solution du problème canonique : −k ∆u+ c∇ . (u~V ) = f sur Ωu = 0 sur Γ0 et Γ1)u = 0 sur Γ2

(4.46)

oùf = k ∆u0 − c : ∇ . (u0

~V )

On pose

a(u, v) =∫

Ωk ∇u∇v dΩ

b(u, v) =∫

Ωc∇ . (u~V )v dΩ

L(v) =∫

Ωfv dΩ

(4.47)



Ce problème est un cas particulier couvert par le théorème 20, où l’opérateur du second ordre estelliptique. On a donc la proposition :

Proposition 37 L’équation (4.46) est une équation elliptique si la conductivité k est différente de 0,elle est hyperbolique du premier ordre si k = 0.Une formulation faible équivalente est

u ∈ V0 et ∀v ∈ V0 a(u, v) + b(u, v) = L(v) (4.48)

où la forme a(u, v) est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur l’espace V0 et b(u, v) estune forme bilinéaire antisymétrique.

L’application v → a(u, v)−L(v) est la différentielle de la fonction J(v) = 12a(v, v)−L(v). La

non-symétrie de la forme b(u, v) fait que l’application v → b(u, v) ne peut pas être une différentielle.L’application v → a(u, v)+b(u, v)−L(v) n’est donc pas la différentielle d’une fonction, l’équationne dérive pas naturellement de la recherche d’un extrémum d’un potentiel.

On peut néanmoins démontrer ici l’unicité de la solution : si u1 et u2 sont deux solutions, u1−u2

est solution du problème homogène associé et on a donc

∀v ∈ V0 a(u1 − u2, v) + b(u1 − u2, v) = 0

d’où a(u1−u2, u1−u2)+b(u1−u2, u1−u2) = 0, or b(u1−u2, u1−u2) = 0 du fait de l’antisymétriede b(u, v) et donc a(u1−u2, u1−u2) = 0 d’où u1−u2 = 0. L’existence de la solution dans le cadredes espaces de Sobolev découle de la forme générale du théorème de Lax-Milgram (cf. chapitre 6).

Si k = 0 l’équation est hyperbolique, c’est une équation d’advection (cf. (2.13)) il n’est plus pos-sible de fixer une condition aux limites en chaque point du bord on fixera par exemple une conditionen entrée et rien en sortie. Si k > 0 et k est petit, l’équation est elliptique et il faut une condition enentrée et en sortie mais il apparaît une “couche limite” en sortie mais aussi des instabilités dans lesrésultats numériques qu’il faut corriger par des méthodes adéquates.

4.4 Exemples en mécanique du solide

(très résumé, voir [4])

4.4.1 Élasticité linéaire

Voir (2.28). Pour modéliser les déformations d’un solide élastique, on a 3 fonctions inconnues,les déplacements d’un point : u = u(t) avec u(t) = (u1(t), u2(t), u3(t))Les équations d’équilibre sont pour un matériau isotrope les équation de Navier

−(λ+ µ)Grad( Divu)− 2µ∆u = ~f (4.49)

Le potentiel associé est (on somme les indices répétés) :

J(v) =12

∫Ω

2µεij(v)εij(v) + (λ+ µ)εii dΩ−∫

Ωfjvj dΩ (4.50)

avec εij(v) = ∂vi∂xj

ECP 2006-2007 110


4.4.2 Élasticité non linéaire

On a toujours 3 fonctions inconnues, les déplacements d’un point : u = u(t) avec u(t) =(u_1(t), u_2(t), u_3(t))).Les équations d’équilibres s’écrivent, en petites déformation,

−∇ . D(ε(u)) = ~f (4.51)

où la relation contrainte / déformation est non linéaire. Pour des lois convenables, on montre l’exis-tence d’une densité d’énergie E(ε(v)) et on a une formulation variationnelle du problème

Min J(v) =∫

ΩE(ε(v)) dΩ−

∫Ωfjvj dΩ (4.52)

La fonction énergie potentielle sera coercive pour des matériaux dont le module de Young augmenteavec la déformation, donc des matériaux durcissant. C’est plutôt l’inverse qui est fréquent. Ce qui faitque l’on a souvent une perte de coercivité. On s’attendra donc à rencontrer les phénomènes suivants :

– perte de stricte convexité et de coercivité (ligne de glissement, ruine plastique).– ou même perte de convexité (plusieurs états d’équilibre).



ECP 2006-2007 112

Chapitre 5

Les équations d’évolution

Objectifs

Ce chapitre est une introduction aux problèmes d’évolution, qui sont des problèmes de Cauchypour un système d’équations aux dérivées partielles. Nous avons vu les exemples les plus classiquesde problèmes d’évolution au chapitre 2. Nous verrons que ce sont aussi en général les problèmesassociés à des opérateurs aux dérivées partielles paraboliques ou hyperboliques.

5.1 Introduction

5.1.1 Quelques définitions

Les problèmes qui nous intéressent modélisent l’état d’un système représenté par p fonction ui(x)qui dépendent de la position d’un point x et du temps t. L’état du système est déterminé par un sys-tème d’équations aux dérivées partielles, par un état initial et par les échanges éventuels du systèmeavec l’extérieur. Traduisons cela en termes mathématiques.

Soit Ω un domaine de Rn (avec bien sûr n = 1, 2, 3) de bord Γ. On note u(x, t) une fonction deΩ×R dans Rp. On utilisera parfois la notation ut, uxi,t pour les dérivées ∂u

∂t ,∂2u∂xi∂t

. Nous définissonsun problème de Cauchy pour un système d’équations aux dérivées partielles sous la forme générale

∂ku

∂tk= g(u, uxi ..., uxixj , ...) x ∈ Ω, t > 0

∂ju

∂tj(x, 0) = uj(x) x ∈ Ω, pour 0 ≤ j ≤ k − 1

+ des conditions "aux limites" en différents points du bord.

(5.1)

où g(u, uxi ..., uxixj , ...) est une fonction des dérivées à valeur dans Rp et les fonctions uj(x) défi-nissent l’état initial.

113


5.1.2 Exemples

Voir au chapitre 2, les problèmes de diffusion, d’écoulement d’un fluide ou d’un gaz et les pro-blèmes de vibration.


Nous avons vu au chapitre 3 (cf. (3.49)) un exemple de problème de Cauchy “mal posé”, aussiallons nous spécialement étudier les questions suivantes :

Résumé 2 − Combien de conditions initiales sont-elles nécessaires pour que le problème ait unsens ?− Quelles conditions aux limites rendent le problème cohérent ?− Quelles conditions rendent l’évolution du système “stable” ?− Comment construire une approximation de la solution ?

Rappelons la définition (10) du chapitre 3 :

Définition 26 Le système (5.1) est dit Kovalevskien si les dérivées qui interviennent à droite sonttoutes d’ordre inférieur ou égal à k.

Nous avons admis le théorème :

Théorème 25 (Cauchy-Kovalevska) Si le système (5.1) est Kovalevskien, le problème de Cauchy(5.1) où les fonctions g, uj(x), 0 ≤ j ≤ k − 1 sont analytiques, admet, localement en temps et enespace une unique solution analytique.

La première question est résolue partiellement par ce théorème pour les systèmes Kovalevskiens, maisc’est un résultat qu’il faudra confirmer pour des données plus naturelles que des fonctions analytiques.Pour les systèmes non Kovalevskiens nous pouvons suivre la démarche du paragraphe (3.6.1) et cher-cher quelles conditions permettent de déterminer toutes les dérivées en un point.Les autres questions sont trop difficiles pour être traitées de manière générale. La construction des ap-proximations est le sujet du chapitre 8. Nous allons distinguer des classes importantes de problèmes.

5.1.4 Classification de problèmes élémentaires

Dans ce paragraphe, informel, nous allons étudier comment une analyse de Fourier permet unepremière classification des opérateurs linéaires aux dérivées partielles : elle permet de comprendrepourquoi certains problèmes de Cauchy n’ont pas de sens physique (ou plutôt sont très rares) et decomprendre quelques propriétés des autres. Cette classification reprend des résultats présentés sousune autre forme au chapitre 2 et 3 et se limite aux opérateurs à deux variables (x, t).Considérons les problèmes suivants dans lesquels on pose un problème de Cauchy par rapport à lavariable t avec une ou plusieurs conditions initiales posées en t = 0. On cherche une fonction u(x, t)

ECP 2006-2007 114

CHAPITRE 5. LES ÉQUATIONS D’ÉVOLUTION 115

solution d’une des équations suivantes sur R× [0, T ]

Equation de la diffusion :∂u

∂t=

∂2u

∂x2

Equation inverse de la diffusion :∂u

∂t= −∂

2u

∂x2

Equation d’advection :∂u

∂t= −a∂u

∂x

Equation des ondes :∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2

Equation elliptique :∂2u

∂t2= −c2∂

2u

∂x2

Equation d’ordre 3 :∂u

∂t= c

∂3u

∂x3

Equation des ondes de flexion :∂2u

∂t2= −c2∂

4u

∂x4

(5.2)

Conformément à ce que nous avons vu au paragraphe 3.1.4, on peut trouver des solutions particulièresde ces équations sous la forme

u(x, t, ω) = exp (k(ω)t+ iωx) = exp (k(ω)t) exp (iωx)

avec ω ∈ R, k ∈ C, c’est à dire intuitivement sous la forme “d’harmoniques de fréquence ω2π en x”,

modulées par des fonction du temps t appelées aussi ondes planes (c’est le langage de la théorie desondes) ; c’est le principe de la méthode de Fourier (3.1.6). On obtient par superposition des solutions(plus ou moins) “générales” sous la forme

u(x, t) =∫

Ru0(ω)u(x, t, ω) dω

Equation de la diffusion :Les solutions particulières ont la forme

u(x, t, ω) = exp (−ω2t) exp (iωx)

Ce sont des fonctions décroissantes par rapport au temps, d’autant plus vite que la fréquence estélevée. L’équation de la diffusion est dissipative et régularisante (cf. 2.8). Nous retrouverons cespropriétés dans les équations paraboliques.Equation rétrograde de la diffusion :C’est l’équation que l’on obtient en inversant le temps dans l’équation de la diffusion. Les solutionsparticulières ont la forme

u(x, t, ω) = exp (ω2t) exp (iωx)

Ce sont des fonctions croissantes par rapport au temps, qui explosent d’autant plus vite que la fré-quence est élevée. Pour une position initiale quelconque le problème de Cauchy est mal posé. Celamontre le caractère irréversible de l’évolution dans l’équation de la diffusion.



Equation d’advection :Les solutions particulières ont la forme

u(x, t, ω) = exp (−aiωt+ iωx) = exp iω(x− at)

Toutes les harmoniques sont translatées à la vitesse a. Cette propriété est donc conservée par la solu-tion générale (cf. 2.13).Equation des ondes :Les solutions particulières ont la forme

u(x, t, ω) = exp (±icωt+ iωx) = exp iω(x± ct)

Les harmoniques sont translatées à la vitesse ±c, c’est à dire dans les deux sens, et ne s’amortissentpas : pour une position initiale quelconque l’équation est conservative et non régularisante. L’équationdes ondes admet donc une propagation symétrique à vitesse constante : la “vitesse du son”. Elle estéquivalente à un système d’équation du premier ordre et l’existence d’une vitesse de propagation finieest une propriété qui s’étend aux systèmes hyperboliques (cf. 2.16).Equation elliptique :Ce n’est qu’une réécriture l’équation de Laplace −∆u = 0. Les solutions particulières ont la forme

u(x, t, ω) = exp (±cωt+ iωx)

Les harmoniques donnent deux types de solutions ; pour les unes, les harmoniques de fréquenceélevée s’amortissent très vite, pour les autres elles explosent : le problème de Cauchy est mal posépour les équations elliptiques (cf. 3.49), ce qui ne les empêche pas d’avoir des solutions très régulières(correspondant aux exponentielles décroissantes).Equation d’ordre 3 :Les solutions particulières ont la forme

u(x, t, ω) = exp (−icω3t+ iωx) = exp iω(x− cω2t)

Les harmoniques sont translatées vers la droite, mais à une vitesse qui croît avec la fréquence ; l’équa-tion est conservative mais dispersive : pour une position initiale quelconque une partie du signal s’enva à l’infini d’autant plus vite que la fréquence est élevée et, comme les hautes fréquences repré-sentent les irrégularités locales, le signal se régularise.Equation des ondes de flexion :C’est l’équation des vibrations d’une poutre en flexion. Les solutions particulières ont la forme

u(x, t, ω) = exp (±icω2t+ iωx) = exp iω(x± cωt)

Les harmoniques sont translatées dans les deux sens, mais à une vitesse qui croît avec la fréquence :il n’y a pas de “vitesse du son”. L’équation est conservative mais dispersive : une partie du signals’en va à l’infini et comme les hautes fréquences représentent les irrégularités locales, le signal serégularise.

L’analyse précédente doit être corrigée si le domaine d’étude est bornée en x et qu’il faut tenircompte de conditions aux limites : intuitivement les ondes planes se réfléchissent sur les bords etreviennent perturber la solution. On peut généraliser cette méthode d’analyse et utiliser le comporte-ment des harmoniques et notamment des harmoniques hautes fréquences pour comprendre certainespropriétés des équations.

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5.1.5 Equation parabolique

Définition

Nous n’allons pas donner la définition la plus générale, nous nous limitons aux équations linéairesdu second ordre : soit u(x, t) une fonction avec x ∈ Ω ⊂ Rn,

Définition 27 L’équation du second ordre

∂u

∂t= ∇ . (A(x)∇u) + 〈V (x),∇u〉+ f(u)

où A(x) est une matrice symétrique et V (x) un champ de vecteurs, est parabolique si la matrice Aest symétrique définie positive.

Exemples

Voir le problème modèle de la diffusion (2.8) et plus généralement le problème de réaction-diffusion (2.25).

Propriétés

Nous retrouvons pour les équations paraboliques les propriétés de l’équation de la diffusion ;considérons les problème à valeurs initiales

∂u

∂t= ∇ . (A(x)∇u) + 〈V (x),∇u〉+ f(u) x ∈ Ω ⊂ Rn, t > 0

u(x, 0) = u0(x)u(x) = 0 sur ∂Ω

(5.3)

Une équation parabolique générale a les propriétés que nous avons établies pour l’équation de ladiffusion :− l’évolution est dissipative en l’absence de termes sources et avec ∇ . V (x) = 0, en effet

∂

∂t

∫Ωu2 dΩ = −

∫Ω〈A(x)∇u,∇u〉 dΩ < 0 (5.4)

Nous admettrons que :− l’évolution est irréversible (on ne peut pas inverser le temps sans faire exploser la solution),− l’évolution est à vitesse de propagation infinie (une perturbation locale s’étend instantanément àtout le domaine),− l’évolution est régularisante (la solution est C∞ quelle que soit la régularité de la condition initialeu0(x)).



5.1.6 Équation hyperbolique

Nous supposons1 que le problème s’écrit sous la forme d’un système du premier ordreA0(x, t, u)

∂u

∂t=

∑j

Aj(x, t, u)∂u

∂xj+ f(x, t, u)

u(x, 0) = u0(x)+ des conditions "aux limites" en différents points du bord.

(5.5)

où u(x, t) est une fonction C1 de Ω ⊂ Rn dans Rp, les matricesAj(x, t, u) sont carrées de dimension(p, p), A0(x, t, u) est inversible et le vecteur f(x, t, u) ∈ Rp. Nous posons la définition

Définition 28 Le système (5.5) est hyperbolique (resp. strictement) si le polynôme

P (λ) = det (∑j

ξj Aj(x, t, u)− λ A0)

a n racines réelles (resp. distinctes) pour toutes les valeurs, non toutes nulles, des réels (ξ1, ..., ξn) etpour tout u ∈ Rp.

Si le système s’écrit

A0(x, t, u)∂u

∂t=

∑j

Aj(x, t, u)∂u

∂xj+ f(x, t, u)

avec A0 symétrique définie positive et toutes les matrices Aj symétriques, on peut inverser A0 etmettre le système sous la forme explicite en remplaçant Aj par A−1

0 Aj . Or ces matrices sont symé-triques par rapport au produit scalaire défini parA0, il en est de même de la matrice

∑j ξjAj(x, t, u).

P (λ) est alors le polynôme caractéristique de cette matrice, il a donc toutes ses racines réelles. Ondéfinit un cas particulier de systèmes hyperboliques :

Définition 29 Le système (5.5) est hyperbolique au sens de Friedrichs si toutes les matrices Aj sontsymétriques et A0 définie positive.

Exemples

− Si on a p = 1 on obtient une équation aux dérivées partielles du premier ordre pour une fonc-tion inconnue. Le polynôme P (λ) est de degré 1 et a donc toujours une racine réelle. Un système dupremier ordre est toujours hyperbolique.

− L’équation des ondes mises sous la forme d’un système du premier ordre (cf. (3.39)) est unsystème hyperbolique de Friedrich.

1Nous supposons donc en particulier dans ce paragraphe que le système est Kovalevskien (cf. définition 10). Nous avonsvu au paragraphe (3.5) qu’un système quasi-linéaire Kovalevskien d’ordre quelconque pouvait s’écrire de façon équivalentesous la forme d’un système quasi-linéaire du premier ordre.

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− Une équation linéaire du second ordre peut s’écrire sous la forme d’un système du premierordre (voir (3.41)). Avec les notations de (3.41)), supposons n = 3 et que x3 est le temps t. Lepolynôme caractéristique du système du premier ordre associé est, en remplaçant λ par ξ3,

P (ξ3) = det

∑

i ai,1ξi∑

i ai,2ξi∑

i ai,3ξi 0ξ3 0 −ξ1 00 ξ3 −ξ2 00 0 0 ξ3

En développant le déterminant, on obtient

P (ξ3) = ξ23(∑i,j

ai,jξiξj)

Ce polynôme n’admet que la racine réelle ξ3 = 0 si l’opérateur est elliptique. Il admet trois racineréelles si l’opérateur est hyperbolique.

− Deux classes de problèmes hyperboliques ont une grande importance pratique :

Les problèmes de propagation d’ondes dans un milieu solide, ces problèmes s’écrivent de manièrenaturelle sous la forme d’équations du second ordre

ρ∂2u

∂t2= L(u) (5.6)

où L(u) + f = 0 est l’équation d’équilibre statique d’un système, la force extérieure étant replacéeici par les force d’inertie. Dans ce type de problème u(x, t) est la position au temps t d’un point dontla position au repos est x. L’opérateur L(u) est linéaire elliptique. Il peut de façon naturelle dépendrede x si le solide n’est pas homogène. Le plus souvent il n’est pas utile de calculer la solution de ceproblème. La méthode de décomposition spectrale permet à l’ingénieur de déterminer les propriétésimportantes du système par la connaissance des “modes propres”, c’est à dire des vecteurs propres,de l’opérateur L(u). Le calcul approché de la solution, si nécessaire, peut être fait par la méthode dela synthèse harmonique .

Les problèmes d’écoulement d’un fluide (cf. chapitre 2), en l’absence de dissipation, s’écriventle plus souvent directement sous la forme d’un système hyperbolique du premier ordre, dérivé d’unensemble de lois de conservation. Dans ce type de problème u(x, t) est un vecteur dont les compo-santes sont : la vitesse de la particule qui passe au point x au temps t (formulation dite “eulerienne”),la masse volumique et différentes grandeurs caractérisant l’état du fluide. Ces problèmes sont naturel-lement non linéaires vis à vis de u, notamment à cause de l’expression non linéaire de l’accélération,tout en restant linéaires par rapport aux dérivées partielles ; en revanche les opérateurs ne dépendentpas du point x, car dans un fluide en mouvement la position n’a pas de propriété particulière.

Surfaces caractéristiques

En adaptant la définition (16) (car ici une variable t est mise à part) nous posons la définition



Définition 30 Soit Σ une (hyper)surface dans Rn d’équation implicite S(t, x1, ..., xn) = 0, avec∇S(t, x1, ..., xn) 6= 0 et S(t, x) analytique. Si, pour une fonction u donnée,

det

∑j

∂S

∂xjAj(x, u)−

∂S

∂tA0(x, u)

= 0

en tout point, Σ est une surface caractéristique pour l’équation aux dérivées partielles (5.5).

La définition de l’hyperbolicité (cf. Définition 28) signifie donc qu’il y a n équations aux dérivéespartielles du premier ordre explicites

∂S

∂t= Φk(

∂S

∂x1, ...,

∂S

∂xn)

qui déterminent ces surfaces caractéristiques. Nous verrons que cela implique qu’il y a n surfacescaractéristiques passant par chaque point.

5.2 Equation du premier ordre

Nous étudions dans cette partie les équations aux dérivées partielles du premier ordre à une fonc-tion inconnue.

5.2.1 Equation linéaire du premier ordre

Définitions

Dans ce paragraphe nous ne particularisons pas la variable t. Quand nous parlons de “surface”,ce peut être une courbe si n = 2, ou une hypersurface si n > 3. Une équation linéaire aux dérivéespartielles du premier ordre s’écrit ∑

j

ai(x)∂u

∂xi+ c(x)u = f(x)

Définissons le champ de vecteurs

V (x) = (a1(x), ..., an(x))t

Le problème s’écrit〈V (x),∇u〉+ c(x)u = f(x) (5.7)

Les surfaces caractéristiques sont définies implicitement par S(x) = Cte où S(x) est solution del’équation homogène associée à (5.7)

〈V (x),∇S(x)〉 = 0 (5.8)

Le champ de vecteurs V (x) est donc tangent aux surfaces caractéristiques, ce qui veut aussi dire queles surfaces caractéristiques sont engendrées par les courbes intégrales de ce champ de vecteurs. Nousallons voir que l’équation (5.7) est étroitement liée au champ de vecteurs V (x).

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Résolution de l’équation

Définition 31 Le système caractéristique associé à l’équation linéaire du premier ordre (5.7) est lesystème différentiel

x′(t) = V (x(t))x(0) = x0

(5.9)

et les (courbes) caractéristiques sont les courbes intégrales de ce système.

Soit x(t) une courbe solution du système différentiel (5.9), on a

u(x(t))′ = 〈∇u, x′(t)〉 = 〈∇u, V (x)〉

Il vient, en utilisant (5.7) :

Proposition 38 Une fonction u est solution de (5.7) si et seulement si, sur chaque caractéristique, lafonction h(t) = u(x(t)) est solution de l’équation différentielle ordinaire

h′(t) + c(x(t))h(t) = f(x(t)) (5.10)

En conclusion, si on sait intégrer le système caractéristique2 (5.9) et intégrer l’équation différentielleordinaire3 (5.10), on sait intégrer l’équation (5.7). Plus précisément, si on se donne les valeurs deu(x) = u0(x), sur une surface, on calcule les courbes caractéristiques qui partent de la surface (i.e.on choisit x(0) sur la surface) et on résout l’équation (5.10) avec pour condition initiale u0(x(0)).

5.2.2 Equation homogène

Si c et f sont nulles, une solution de (5.7) est d’après (5.10) constante sur les caractéristiques. Onappelle intégrale première une fonction constante sur les solutions d’un système différentiel, on peutdonc énoncer (5.10) sous la forme

Proposition 39 Une fonction u est solution de l’équation homogène aux dérivées partielles

〈V (x),∇u〉 = 0 (5.11)

si et seulement si elle est une intégrale première du système différentiel caractéristique.

Considérons un problème de Cauchy pour une équation linéaire du premier ordre homogène, écritsous la forme

∂u

∂t+ 〈v(x),∇u〉 = 0

u(x, 0) = u0(x)(5.12)

où u(x, t) ∈ C1(Rn × R) et v(x) est un champ de vecteur dans Rn. Avec les notations précédenteson a V (x) = (v(x), 1)t. Le système caractéristique s’écrit

x′(θ) = v(x(θ))t′(θ) = 1x(0) = x0

t(0) = 0

(5.13)

2En général ce n’est pas possible “analytiquement”.3Toujours possible par quadrature.



On en déduit t = θ et on peut donc exprimer l’équation des courbes caractéristiques sous la formex = x(t), le système caractéristique s’écrit alors :

x′(t) = v(x(t))x(0) = x0

(5.14)

On peut expliciter la solution de (5.12) si on sait calculer le groupe à un paramètre gt(x) associé ausystème différentiel caractéristique (5.14) ( i.e. l’application qui a x0 associe la solution x(t) = gt(x0)de (5.14)). En effet, étant donné un point (x, t), la solution u(x, t) étant constante sur la caractéristiquepassant par ce point, il suffit de “remonter” le long de cette caractéristique pour trouver le point x0 telque gt(x0) = x ; ce point est x0 = g−t(x), donc u(x, t) = u0(x0, t) = u0(g−t(x)).

Proposition 40 La solution de (5.12) s’écrit

u(x, t) = u0(g−t(x))

Intuitivement u(x, t) est donc un transport d’une fonction u0(x) le long du “flot” engendré par lechamp de vecteur v(x).

5.2.3 Exemples

Voir la séance 6 et le chapitre 3.

Une équation homogène à coefficients constants

∑j

ai∂u

∂xi= 0

Les “ondes planes”, solution de l’équation, sont de la forme

u(x) = u0(∑i

bjxi)

où (b1, ..., bn)t est un vecteur perpendiculaire au vecteur v = (a1, ..., an)t et u0 est une fonction d’unevariable réelle.Les solutions du système caractéristique sont les droites

xk(t) = akt+ xk(0)

La solution “générale” s’écrit

u(x) = f(anx1 − a1xn, ... , anxn−1 − an−1xn)

où f(x1, ..., xn−1) est une fonction C1 de n − 1 variables. En particulier, nous utiliserons le résultatsuivant :

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Proposition 41 La solution générale de l’équation

∂u

∂t+ λ

∂u

∂x= 0

estu(x, t) = f(x− λt)

où f(x) est une fonction C1.

Une équation homogène

x2∂u

∂x1− x1

∂u

∂x2+

∂u

∂x3= 0 (5.15)

Le système caractéristique est linéaire, il s’écritx′1 = x2

x′2 = −x1

x′3 = 1x(0) = x0

(5.16)

Il s’intègre facilement x1(t) = x1(0) cos t+ x2(0) sin tx2(t) = −x1(0) sin t+ x2(0) cos tx3(t) = t+ x3(0)

(5.17)

Les courbes caractéristiques sont des hélices circulaires verticales, le groupe gt fait un “vissage” (unerotation sur (x1, x2) et une translation sur x3). Pour définir la solution générale de (5.15) fixons

u(x1, x2, 0) = f(x1, x2)

Choisissons de faire partir les courbes caractéristiques du plan x3 = 0, cela revient à poser x3(0) = 0dans (5.17), on a donc x3 = t et en inversant les formules (5.17)

x1(0) = x1 cosx3 − x2 sinx3

x2(0) = x1 sinx3 + x2 cosx3(5.18)

Comme la solution u est constante sur les caractéristiques, il vient

u(x1, x2, x3) = f(x1(t) cosx3 − x2(t) sinx3, x1(t) sinx3 + x2(t) cosx3)

Pour déterminer rapidement la solution “générale” de (5.15) on peut utiliser la méthode suivante :on trouve par des astuces deux intégrales premières indépendantes S1(x) et S2(x) de (5.15) ; or troisintégrales premières sont liées (i.e. leurs gradients sont liés puisque tous orthogonaux à V (x)) ; onmontre, nous l’admettrons, que cela implique qu’il existe une fonction f telle que

u(x) = f(S1(x), S2(x))

Appliquons cela à l’équation

x2∂u

∂x1− x1

∂u

∂x2+ (x1 + x2)

∂u

∂x3= 0 (5.19)



de système caractéristique x′1 = x2

x′2 = −x1

x′3 = x1 + x2

x(0) = x0

(5.20)

Des deux premières équations du système caractéristique (5.16) on tire x1x′1 + x2x

′2 = 0 d’où (x2

1 +x2

2)′ = 0 et l’intégrale première S1(x) = x2

1 + x22. La troisième implique x′3 + x′2 − x′1 = 0 et donc

(x3 + x2 − x1)′ = 0 et l’intégrale première S2(x) = x3 + x2 − x1 . La solution “générale” s’écritdonc

u(x1, x2, x3) = f(x21 + x2

2, x3 + x2 − x1)

où f est une fonction C1 quelconque de deux variables.

5.2.4 Equation quasi-linéaire du premier ordre

Définition

Dans ce paragraphe nous ne particularisons pas la variable t. Une équation quasi-linéaire auxdérivées partielles du premier ordre s’écrit

n∑j=1

ai(x, u)∂u

∂xi+ c(x, u) = 0 (5.21)

Résolution locale

Nous n’allons pas résoudre directement cette équation mais chercher une équation implicite dessurfaces intégrales. Soit Ψ(x, u) une fonction de n + 1 variables telle que la solution u = u(x), sielle existe, de l’équation

Ψ(x, u) = 0

soit une solution de (5.21). Rappelons que localement u existe d’après le théorème des fonctionsimplicites si ∂Ψ

∂u 6= 0 et que

∂u

∂xi= −

∂Ψ∂xi

∂Ψ∂u

En reportant dans l’équation (5.21), il vient

n∑j=1

ai(x, u)∂Ψ∂xi

+ c(x, u)∂Ψ∂u

= 0

La fonction Ψ(u, x) est donc solution d’une équation linéaire homogène dont nous étudié la solutiongénérale dans le paragraphe précédent. Si on sait résoudre le système différentiel caractéristique auraune expression de Ψ(x, u), et si on sait résoudre analytiquement l’équation Ψ(x, u) = 0, on aura uneexpression de la solution u(x).

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5.3 Système linéaire strictement hyperbolique à deux variables (x, t)

5.3.1 Système linéaire strictement hyperbolique homogène à coefficients constants àdeux variables (x, t)

Définitions

Nous cherchons une fonction u(x, t), x, t ∈ R à valeurs dans Rp. solution du système

∂u

∂t+A

∂u

∂x= 0 (5.22)

Compte tenu de l’importance de ces systèmes pour l’étude locale des systèmes hyperboliques géné-raux, nous allons en faire une étude directe, indépendante des résultats antérieurs.

On peut ici calculer analytiquement toutes les solutions du système, ce que nous allons faire.D’après la définition générale (28) on peut poser la définition

Définition 32 Le système (5.22) est un système hyperbolique (resp. strictement) si la matrice A est àvaleurs propres réelles (resp. distinctes) et diagonalisable.

On note λk, Uk (resp. Vk), valeurs propres et les vecteurs propres normalisés de la matrice A (resp.At).

Exemples

L’équation des ondes mises sous la forme d’un système du premier ordre (cf. (3.39)) est un sys-tème strictement hyperbolique à coefficients constants. Le système (2.4) associé à l’équation de La-place ∆u = 0 n’est pas hyperbolique, la matriceA est antisymétrique : elle n’a pas de valeurs propresréelles.

Interprétation

On peut interpréter les systèmes hyperboliques comme les systèmes qui admettent “beaucoup”d’ondes planes, i.e. des solutions particulières de la forme u(x, t) = U(x−ωt) où U est une fonctionde R dans Rp .

Proposition 42 Le système (5.22) est hyperbolique s’il admet p familles indépendantes d’ondesplanes

PreuveEn effet si on reporte u(x, t) = U(x− ωt) dans (5.22) il vient

−ωU ′(x− ωt) + cAU ′(x− ωt) = 0

u(x, t) est une solution si U ′ est un vecteur propre de A et ω la valeur propre associée. U ′(θ) resteproportionnel à un vecteur propre normalisé Uk de A. D’où U(θ) = ck(t)Uk. Il y a donc n famillesd’ondes planes

u(x, t) = ck(x− λkt)Uk



s’il existe n vecteurs propres indépendants.♦Noter que parmi ces ondes planes on a en particulier les ondes planes harmoniques

u(x, t) = exp i(x− λkt)Uk

On peut ensuite construire la solution générale comme une superposition d’ondes planes.

Résolution, première manière

On peut retraduire l’idée introduite au paragraphe précédent en termes algébriques : la matrice Aest diagonalisable, soit D la matrice diagonale, de diagonale di,i = λi, semblable à A et P la matriceformée par les vecteurs propres, on a

A = P−1DP

de (5.22) on déduit en posant v = P−1u

∂v

∂t+ P−1AP

∂v

∂x= 0 (5.23)

et donc∂v

∂t+D

∂v

∂x= 0 (5.24)

Ce système est découplé puisque la matrice D est diagonale, on en déduit p équations scalaires auxdérivées partielles sur les composantes vk de v

∂vk(x, t)∂t

+ λk∂vk(x, t)∂x

= 0

et donc (cf. (41)) il existe une fonction ck(τ) telle que

vk(x, t) = ck(x− λkt)

Finalement, on obtient l’expression de u = Pv comme superposition d’ondes planes, puisque lescolonnes de P sont les vecteurs propres Uk de A

u(x, t) =∑k

ck(x− λkt)Uk

Si on suppose u(x, 0) = u0(x) connu, les fonctions ck(x) sont les composantes de u0(x) dans la baseUk. En supposant les vecteurs propres Uk et Vk de A et At normalisés4 par les conditions 〈Uk, Vk〉 =1, il vient

ck(x) = 〈u0(x), Vk〉

d’où le théorème4Rappelons que 〈Uk, Vl〉 = 0 si k 6= l : les vecteurs propres d’une matrice et de sa transposée pour des valeurs propres

distinctes sont orthogonales

ECP 2006-2007 126


Théorème 26 La solution u(x, t), avec x ∈ R, du problème de Cauchy∂u

∂t+A

∂u

∂x= 0

u(x, 0) = u0(x)(5.25)

estu(x, t) =

∑k

〈u0(x− λkt), Vk〉Uk

On retrouve la décomposition en ondes planes annoncée au paragraphe précédent. Cette expressionmontre qu’un signal très localisé se propage à des vitesses finies et que si l’état initial est une fonctionu0 à support compact [a, b], cette fonction est décomposée en p ondes planes de même support quiseront translatées dans le temps à la vitesse λk ; il en résulte au temps t un état qui est la superpositionde p ondes de support translaté [a+ λkt, b+ λkt], la réunion de ces supports est incluse dans l’inter-valle [a+ minλkt, b+ maxλkt]. On peut considérer que le “signal” initial se propage à une vitesseminimale vm = minλk et maximale vM = maxλk, ce qui met en évidence deux “fronts” d’ondes àl’extérieur desquelles l’état est inchangé. Les deux fronts d’ondes sont des droites caractéristiques dusystème.

Dans le cas de l’équation des ondes ces deux vitesses sont de même module et de sens opposé :on “voit” donc deux fronts se propageant à la même vitesse dans les deux sens.

Proposition 43 Une perturbation localisée d’une solution du système (5.22) se propage à des vitessesfinies. Les différentes vitesses sont les valeurs propres de la matrice A.

Dans le cas de l’équation des ondes la vitesse de propagation est la “vitesse du son”. Nous verrons quel’existence de deux fronts de propagation est une propriété générale des systèmes hyperboliques5. Parcontre ce qui se passe à l’intérieur du front (pour les système à coefficients constants il peut y avoir deszones “calmes”) est plus complexe que dans le cas des équations homogènes à coefficients constants.

Résolution, deuxième manière

Nous allons présenter autrement la méthode d’intégration du système (5.22) du paragraphe pré-cédent, d’une manière qui se généralise plus facilement aux système à coefficients variables. Intro-duisons la définition des caractéristiques, cohérentes avec (30) :

Définition 33 Les droites xk(t) = λkt+ xk(0) sont les caractéristiques du système (5.22)

Ce sont les intégrales du système différentiel trivial :

dx

dt= λk (5.26)

5qui d’ailleurs les caractérise, en un sens à préciser. Les problèmes elliptiques et les systèmes non kovalevskiens ont unevitesse de propagation infinie



Soit Vk un vecteur propre de la matrice At. En multipliant scalairement le système (5.22) par Vk, ilvient

〈Vk,∂u

∂t〉+ 〈Vk, A

∂u

∂x〉 = 0

d’où〈Vk,

∂u

∂t〉+ 〈AtVk,

∂u

∂x〉 = 0

et donc puique Vk est un vecteur propre de At

〈Vk,∂u

∂t〉+ λk〈Vk,

∂u

∂x〉 = 0

c’est à dire puisque Vk est constant

∂

∂t〈Vk, u〉+ λk

∂

∂x〈Vk, u〉 = 0

La fonction fk(x, t) = 〈Vk, u(x, t)〉 est donc solution de l’équation aux dérivées partielles scalaire

∂fk∂t

+ λk∂fk∂x

= 0

et elle est donc constante sur les droites caractéristiques xk(t) = λkt.

Proposition 44 Il existe p fonctions de u, fk(u) = 〈Vk, u〉, où Vk est un vecteur propre de At quisont invariantes sur les droites caractéristiques xk(t) = λkt+ xk(0). Les fonctions fk sont appeléesinvariants de Riemann .

En conclusion pour intégrer (5.22) on calcule les p familles de droites caractéristiques et les invariantsde Riemann le long des caractéristiques, d’où l’on peut déduire la solution u. Supposant connu l’étatinitial u(x, 0) en t = 0 pour tout x, il faut donc :

1. construire les caractéristiques passant par un point (x, t),

2. déterminer les invariants de Riemann en t = 0,

3. retrouver le point d’intersection de ces caractéristiques avec l’axe t = 0 et calculer les invariantsen ces points ;

4. on connaît alors la valeur de p invariants en (x, t) ce qui permet de retrouver la valeur de u enrésolvant un système linéaire de p équations à p inconnues.

Quelles conditions aux limites peut-on poser ?

Considérons un problème de Cauchy pour l’équation (5.25) posé sur un intervalle [0, L] avec desconditions au bord

∂u

∂t+A

∂u

∂x= 0

u(x, 0) = u0(x)

+ des conditions en x = 0 et x = L

(5.27)

ECP 2006-2007 128


Nous avons vu deux exemples :− Pour p = 1, si on considère l’équation d’advection (2.13), dont la solution consiste en un transport,on ne peut poser une condition au bord que d’un côté : concrètement on posera une condition du côtéde “l’entrée”.

− Pour p = 2, dans l’exemple du problème des cordes vibrantes modélisée par l’équation desondes (2.16) : on peut, et on doit, poser une condition de chaque côté, on pose u1(0, t) = u1(L, t) = 0qui correspond à une fixation de la corde aux deux bouts.

Nous allons analyser plus précisément la situation dans le problème des ondes sonores.

Ondes sonores dans un tuyau : analyse des conditions aux limites

Considérons le problème des (petites) vibrations d’un gaz qui s’écoule dans un tuyau avec unevitesse moyenne u > 0 et une masse volumique moyenne ρ0. Le modèle s’obtient en linéarisantl’équation de l’écoulement d’un gaz parfait autour de u et ρ0 et en négligeant les termes petits sousl’hypothèse |(u − u| |u|. Il s’écrit, en fonction de la vitesse u et la masse volumique ρ, aprèsélimination de la pression

∂ρ

∂t+ u

∂ρ

∂x+ ρ0(

∂u

∂x) = 0

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+c2

ρ0

∂ρ

∂x= 0

+ des conditions initiales

+ des conditions en x = 0 et x = L

(5.28)

où la constante c2 est définie par l’équation d’état p = p(ρ) et vaut c2 = p′(ρ0).On peut donner une expression de la solution de ce problème par développement en séries de Fourier,mais l’expression obtenue ne met pas en évidence certaines propriétés remarquables de la solution.Par rapport au problème (5.25), où x varie sur tout R, la difficulté vient des conditions aux limites.Localement, la méthode des caractéristiques convient, mais quand les caractéristiques, ou les ondesplanes, rencontrent les bords il faut adapter la méthode.La matrice du système est

A =(

0 ρ0c2

ρ00

)+ u Id

qui a pour valeurs propres u± c, on en déduit la proposition

Proposition 45 Le système d’équations aux dérivées partielles (5.28) est strictement hyperbolique.Les valeurs propres de la matrice du système sont u± c.Si c > u l’écoulement est dit subsonique et il y a une droite caractéristique xk(t) = λkt+xk(0) danschaque sens.Si c < u l’écoulement est dit supersonique et toutes les caractéristiques vont vers “l’aval”, i.e. dansle sens de l’écoulement.



A une caractéristique xk(t) = λkt+ xk(0) est associée une onde plane vk(x− λkt)Uk, on peut doncremplacer, dans la discussion informelle qui suit, le mot “caractéristique” par “onde plane”. On ditqu’une caractéristique va vers “l’aval” si la fonction xk(t) est croissante, sinon on dit qu’elle va vers“l’amont”. En un point (x, t) avec 0 < x < L la détermination de la solution en fonction de l’étatantérieur en τ < t se fait sans problème : si la vitesse est subsonique il faut remonter (dans le temps)une caractéristique dans chaque sens (une caractéristique vient de l’amont et l’autre vient de l’aval del’écoulement) sinon, si la vitesse est supersonique, il faut remonter deux caractéristiques qui viennentl’amont : dans les deux cas en “remontant dans le temps” ces deux caractéristiques on trouve des va-leurs connues des deux invariants de Riemann, ce qui permet de déterminer la solution. La différenceétant qu’en écoulement supersonique la solution en un temps t ne dépend que de l’amont.

Quand on est sur un bord :

− En x = 0 si la vitesse u est subsonique une caractéristique arrive sur ce point et une autre enpart ; un seul invariant de Riemann est donc connu par les instants antérieurs, il faut une seule condi-tion supplémentaire pour déterminer complètement la solution : on peut fixer u ou ρ.

− En x = 0 si la vitesse u est supersonique, deux caractéristiques partent de ce point, la valeurde la solution ne dépend pas des temps antérieurs, il faut fixer deux conditions pour la déterminer, onpeut fixer u et ρ.

− En x = L si la vitesse est subsonique une caractéristique arrive sur ce point et une autre enpart ; un seul invariant de Riemann est donc connu par les instants antérieurs, il faut une conditionsupplémentaire pour déterminer la solution : on peut fixer u ou ρ.

− En x = L si la vitesse u est supersonique deux caractéristiques arrivent sur ce point, la valeurde la solution est fixée par les temps antérieurs, on ne peut pas fixer de conditions sur u et ρ.

Cas général : analyse des conditions aux limites

Supposons que la matrice A a q valeurs propres positives et p− q valeurs propres négatives et queles conditions imposées au bord sont toutes des conditions linéaires. Considérons la décompositionen ondes planes (cf. 5.25).Au point 0 à un temps t “arrivent”, i.e. provenant des temps τ < t, q ondes planes vk(x, t) =ck(x − λkt) correspondant aux λk négatif. Les valeurs de ces fonctions vk ne peuvent donc êtrefixées, elle sont déterminées par les valeurs antérieures de la solution. Mais pour déterminer les p− qondes planes qui partent il faut fixer p− q conditions qui d’ailleurs ne peuvent pas être complètementarbitraires ( nous laisserons de côté ce problème...).Au point L c’est le contraire, p − q ondes planes arrivent et q ondes planes partent, on doit fixer qconditions.En conclusion, on obtient la proposition

Proposition 46 Le nombre de conditions aux limites que l’on doit fixer en chaque point du bord estégal au nombre de caractéristiques “entrantes” en ce point.

ECP 2006-2007 130


Noter que nous avons laissé de côté le cas particulier des valeurs propres nulles, correspondant auxcaractéristiques parallèles au bord.

Principe énergétique

Dans ce paragraphe nous présentons un autre point de vue, global cette fois, pour analyser lesproblèmes hyperboliques : la conservation de grandeurs “globales”. Considérons un système à coef-ficients constants. Supposons A symétrique 6.

Si le domaine est RConsidérons le problème de Cauchy, posé sur R

∂u

∂t+A

∂u

∂x= 0

u(x, 0) = u0(x)

limx→±∞

u(x, t) = 0

(5.29)

Nous avons vu (cf. théorème 22) que l’opérateur ∂∂x est antisymétrique pour le produit scalaire de

L2(R) quand cet opérateur agit sur l’espace des fonctions nulles au bord, ici à l’infini. On en déduitl’antisymétrie de l’opérateur A ∂

∂x pour le produit scalaire de L2(R)p quand cet opérateur agit surl’espace des fonctions vectorielles nulles à l’infini. Montrons ce résultat directement

〈A∂u∂x, v〉 =

∑i,j

∫Rai,j

∂uj∂x

vi dx

Appliquons la formule d’intégration par parties à chaque intégrale, il vient

〈A∂u∂x, v〉 = −

∫R

∑i,j

ai,j∂vi∂x

uj dx (5.30)

et donc〈A∂u∂x, v〉 = −〈A∂v

∂x, u〉

Proposition 47 Le problème (5.27) est “conservatif” en ce sens que, une perturbation de la solutionδu, à support compact, vérifie ∫

R‖δu(x, t)‖22 dx = Cte

preuve :En multipliant scalairement l’équation (5.27) par u, le produit scalaire est celui de L2(R)p que nousnotons comme celui de Rp, autrement dit

〈u, v〉 =∫

R〈u(x), v(x)〉 dx

6Ce qui est toujours vrai après un changement de variables quand la matrice du système est diagonalisable : il suffit dese placer dans la base qui diagonalise A, la matrice est diagonale donc symétrique pour le produit scalaire canonique decette base !



il vient

〈∂u∂t, u〉+ 〈A∂u

∂x, u〉 = 0

et donc puisque l’opérateur A∂u∂x est antisymétrique sur L2(R)p

〈A∂u∂x, u〉 = 0

d’oùd

dt(12〈u, u〉) = 〈∂u

∂t, u〉 = 0

d’où le résultat.♦

Si le domaine est bornéLe résultat peut être différent sur un intervalle borné [0, L], calculons la variation dans le temps del’intégrale

d

dt(12〈u, u〉) = 〈∂u

∂t, u〉 =

∑i,j

∫ L

0ai,j

∂uj∂x

ui dx (5.31)

Appliquons la formule d’intégration par parties à chaque intégrale, il vient

〈A∂u∂x, v〉 = −

∫ L

0

∑i,j

ai,j∂vi∂x

uj dx+ [∑i,j

ai,jvi uj ]L0 (5.32)

et doncd

dt(12〈u, u〉) = −

∫ L

0

∑i,j

ai,j∂ui∂x

uj dx+ [∑i,j

ai,jui uj ]L0 (5.33)

Et donc en additionnant (5.31) et (5.33) :

d

dt〈u, u〉 = [

∑i,j

ai,jui uj ]L0 (5.34)

Si on applique ce résultat de conservation à une perturbation localisée, le crochet est nul tant que laperturbation n’a pas atteint les bords de l’intervalle. “L’énergie” de la perturbation reste donc conser-vée pour des temps petits. Ensuite tout dépend des conditions aux limites : dans certains cas le “cro-chet” peut être toujours nul, dans d’autres cas le crochet peut être dissipatif ou faire entrer de l’énergie.

Lorsque l’énergie est conservée on en déduit l’unicité de la solution (car la différence de deux so-lutions de (5.22) est une solution de (5.22) nulle en t = 0, donc toujours nulle puisque

∫ L0 ‖u(x, t)‖

22dx =

0). Et surtout on en déduit la stabilité, en norme L2, de la solution vis à vis d’une perturbation δu(x, 0)initiale, puisque ∫ L

0‖δu(x, t)‖22 dx =

∫ L

0‖δu(x, 0)‖22 dx

ECP 2006-2007 132


5.3.2 Système général d’équations linéaires aux dérivées partielles à deux variables(x, t)

Les systèmes d’équations linéaires aux dérivées partielles plus généraux, même à coefficientsconstants, ne sont pas intégrables aussi facilement que l’exemple précédent. Ils ont toujours la pro-priété d’avoir une vitesse de propagation finie mais la solution n’est plus une somme finie d’ondesplanes ce qui fait qu’une perturbation locale peut remplir le domaine à l’intérieur duquel la perturba-tion se propage.

Système linéaire non homogène à coefficients constants

Nous cherchons une fonction u(x, t), x, t ∈ R à valeurs dans Rp. solution du système strictementhyperbolique

∂u

∂t+A

∂u

∂x+Bu = 0 (5.35)

où A est une matrice à valeurs propres distinctes et B une matrice quelconque.

Un système de ce type vient par exemple de l’équation des ondes (2.16) si on ajoute un terme derappel élastique c1u ou un terme de frottement c2 ∂u∂t

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2− c1u− c2

∂u

∂t

Le système correspondant, construit comme ( 3.37) avec pour variables (u, ut, ux), a pour matrices

A =

0 0 00 0 −c20 1 0

et

B =

0 1 0c1 c2 00 0 0

Noter que les deux termes ajoutés modélisent des phénomènes bien différents, l’un étant conservatifen énergie et l’autre dissipatif.

Le changement de variables u = Pv par passage dans une base de vecteurs propres (cf. 5.24)donne

∂v

∂t+D

∂v

∂x+ P−1BPv = 0 (5.36)

où D est la matrice diagonale telle que dk,k = λk. Il ne permet plus de découpler le système, saufdans le cas particulier où la matrice B est diagonalisable dans la même base que A, c’est à dire si Aet B commutent. On n’obtiendra pas ici de formules explicites générales de la solution.

Comme pour tous les systèmes hyperboliques une perturbation localisée a une vitesse de propa-gation finie :



Proposition 48 Une perturbation d’une solution du système (5.35) localisée au temps t = 0 à unintervalle [a, b] se propage à des vitesses finies. Plus précisément au temps t le support de la pertur-bation est inclus dans l’intervalle [a + λ1t, b + λpt] où λ1 et λp sont les plus petites et plus grandevaleurs propres de la matrice A.

La proposition découle immédiatement de l’application à des intervalles complémentaires de [a, b] dulemme :

Lemme 3 Soit (X,T ) un point du plan. Les caractéristiques passant par ce point coupent l’axe t = 0au point xk = X − λkT . Soit [α, β] un intervalle qui contient tous les points xk. Si u0(x) est nullesur [α, β] alors u(X,T ) = 0.

Démonstration : Le principe de la démonstration est d’utiliser la relation différentielle qui existe surchaque caractéristique pour obtenir une inégalité qui implique la nullité de la solution. Cette démons-tration se généralise à des situations plus compliquées, notamment pour les systèmes à coefficientsvariables. Utilisons la forme (5.36) de l’équation que nous écrivons

∂v

∂t+D

∂v

∂x+B′v = 0

avec B′ = P−1BP . Soit C le “domaine de dépendance” du point (X,T )

C = (x, t) / X − λp(T − t) ≤ x ≤ X − λ1(T − t), 0 ≤ t ≤ T

Notons que si un point (x, t) est dansC, le domaine de dépendance de (x, t) est inclus dansC. Posons

‖v(., t)‖ = supx/(x,t)∈C

‖v(x, t)‖∞

et c = ‖B′‖∞. On a ‖B′v(., t)‖∞ ≤ c‖v(., t)‖∞. De (5.36) nous déduisons d’abord sur la caractéris-tique associée à la valeur propre λk

vk(xk(t), t)′ =∂vk∂t

+ λk∂vk∂x

= −(B′v)k

d’où, puisque pour t = 0, v est nulle comme u0, en intégrant

vk(xk(t), t) =∫ t

0−(B′v(xk(τ), τ)k dτ

on en déduit une inégalité sur chaque caractéristique

|vk(xk(t), t)| ≤∫ t

0‖(B′v(xk(τ), τ)k‖∞ dτ ≤

∫ t

0‖B′v(., τ)‖ dτ ≤ c

∫ t

0‖v(., τ)‖ dτ

d’où

‖vk(xk(t), t)‖∞ ≤ c

∫ t

0‖v(., τ)‖ dτ

ECP 2006-2007 134


Considérons un point (x, t) quelconque de C. L’inégalité précédente est vraie sur chacune des carac-téristiques xk(τ) passant par ce point (i.e. telle que xk(t) = x), donc, pour k = 1, ..., p

|vk(x, t)| ≤ c

∫ t

0‖v(., τ)‖ dτ

d’où

‖v(x, t)‖∞ = supk|vk(x, t)| ≤ c

∫ t

0‖v(., τ)‖ dτ

et, puisque le point (x, t) est quelconque dans C

‖v(., t)‖ = supx/(x,t)∈C

supk|vk(x, t)| ≤ c

∫ t

0‖v(., τ)‖ dτ

Posons M = sup(x,t)∈C ‖v(x, t)‖∞ on a donc en majorant la fonction sous l’intégrale par M :‖v(., t)‖ ≤ cMt. En itérant l’inégalité ‖v(., t)‖ ≤ c

∫ t0 ‖v(., τ)‖ dτ , on en déduit

∀n ∈ N ‖v(., t)‖ ≤ cMtn

n!

et donc ‖v(., t)‖ = 0 car le second membre tend vers 0 quand n tend vers l’infini. ♦

Système homogène à coefficients variables

Nous étudions dans ce paragraphe les fonctions u(x, t), x, t ∈ R à valeurs dans Rp. solution dusystème strictement hyperbolique

∂u

∂t+A(x)

∂u

∂x= 0 (5.37)

où A(x) est une matrice à valeurs propres distinctes, qui est une fonction C1 de x.Un exemple simple est une équation des ondes dans un milieu hétérogène ou par exemple une cordedont la densité linéïque est variable.

La matrice A(x) est diagonalisable, les valeurs propres λk(x) et les vecteurs propres Uk(x) deA(x) et Vk(x) deAt(x) dépendent du point (x). Les caractéristiques ne sont plus ici des droites, maisdes courbes solutions de l’équation différentielle

dx

dt= λk(x(t)) (5.38)

Il y a p familles de caractéristiques, une pour chaque valeur propre, chaque famille formant un ré-seau de courbes sans intersection d’après le théorème d’unicité de Cauchy-Lipschitz (5). Mais sanscondition supplémentaire ces courbes peuvent exploser en un temps fini (si λk(x) = 1 + x2 unecaractéristique est x(t) = tan (t) qui explose pour t = π

2 ).

Intuitivement, dans un milieu hétérogène, une onde initialement plane subit diverses réflexions etse décompose en une famille continue d’ondes dont la vitesse parait variable : le milieu est dispersif.



Il n’y a donc pas en général “d’invariant de Riemann” (qui signifie qu’une onde ne se disperse pas),comme dans les systèmes à coefficients constants, qui permettrait d’intégrer le système explicitement.

Comme pour tous les systèmes hyperboliques une perturbation localisée a une vitesse de propa-gation finie :

Proposition 49 Une perturbation d’une solution du système (5.35) localisée au temps t = 0 à unintervalle [a, b] se propage à des vitesses finies. Plus précisément au temps t le support de la pertur-bation est inclus dans l’intervalle [α, β] qui contient toutes les caractéristiques issues de l’intervalle[a, b].

La proposition découle immédiatement de l’application à des intervalles complémentaires de [a, b] dulemme :

Lemme 4 Soit (X,T ) un point du plan. Supposons que les caractéristiques passant par ce pointcoupent l’axe t = 0 aux points xk. Soit [a, b] un intervalle qui contient tous les points xk. Si u0(x)est nulle sur alors u(X,T ) = 0.

La démonstration du lemme 3) s’adapte à ce lemme, la principale différence étant que les caractéris-tiques sont des courbes.

Système homogène quasi-linéaire

Non rédigé, hors programme

5.4 Système linéaire et quasi-linéaire général

Non rédigé, hors programme

5.5 Exemples

5.5.1 Burgers, sans viscosité

Voir la séance 8. C’est une équation quasi-linéaire du premier ordre, elle est donc hyperbolique.

5.5.2 Dynamique des fluides

Voir chapitre 2 et la séance 7

5.5.3 Equation de convection diffusion

On étudie l’évolution de la température u dans un fluide animé d’un mouvement défini par unchamp de vitesses V sur un domaine Ω ; on écrit la conservation de l’énergie en tenant compte deschangements de températures, du transport de chaleur et des échanges par diffusion, il vient :

c∂u

∂t+ c∇ . (~V u)−∇ . (ν∇u) = 0 (5.39)

ECP 2006-2007 136


(c est la chaleur spécifique et ν le coefficient de diffusion) Les conditions aux limites peuvent être ladonnée de la température ou du flux en chaque point du bord.

– Si le coefficient de diffusion ν est nul, c’est une équation hyperbolique du premier ordre, dontl’intégration est facile compte tenu de sa signification physique : la chaleur est simplementtransportée le long des lignes de courant. Mais dans ce cas on ne peut fixer la température surle bord de Ω que sur les points d’entrée du fluide, les températures ou les flux aux points desorties sont une conséquence des équations.

– Si le coefficient de diffusion est grand, on retrouve l’équation parabolique de la diffusion de lachaleur.

– Pour un coefficient petit, mais non nul, on aura un problème de “couche limite” sur les partiesdu bord où le fluide est sortant, voir le paragraphe ci-dessous pour une étude simplifiée de ceproblème.



ECP 2006-2007 138

Chapitre 6

Le cadre fonctionnel

Objectifs

Ce chapitre est une introduction à la théorie mathématique de l’existence des solutions d’uneéquation aux dérivées partielles.

6.1 Formulations faibles et distributions

6.1.1 Notion de distributions

Soit Ω un ouvert de Rn. Dans les formulations faibles des équations différentielles interviennentles intégrales

∫Ω f(x)φ(x) dΩ où φ(x) est dans un ensemble de fonctions “tests”. Ces intégrales ont

souvent un sens physique, par exemple si f(x) est une densité de forces, et si φ(x) est un champ dedéplacements, l’intégrale représente un travail. Plus précisément on peut considérer qu’une densitéde force f(x) définit une forme linéaire

∫Ω f(x)φ(x) dΩ sur l’espace des déplacements, forme li-

néaire qui est un travail. Ces intégrales représentent des grandeurs physiques globales (des énergiespar exemple), mieux définies que les valeurs ponctuelles des fonctions. La théorie des distributionsredéfinit les notions de densité de forces ou de charges par les formes linéaires qui leur sont associées,ce qui permet de définir, non seulement les densités associées à des fonctions, mais encore des densi-tés associées à des charges ponctuelles ou linéïques comme il est d’usage de le faire en physique.On associe donc à une fonction intégrable f(x) ∈ L1(Ω) la forme linéaire

< Tf , φ >=∫

Ωf(x)φ(x) dΩ

Il reste à préciser l’espace des fonctions tests qui peut varier selon les applications. Pour définir lesformulations faibles de problèmes différentiels du second ordre nous avons utilisé les fonctions C1

ou C2 nulles sur le bord. Pour étudier des problèmes différentiels quelconques on considère desfonctions C∞, pour traiter des dérivées d’ordre quelconque, et à support compact pour que toutes lesintégrales soient définies. Pour étudier des fonctions périodiques on considère des fonctions tests C∞

et périodiques.

139


6.1.2 Distributions sur R

Définitions élémentaires

On définit de façon analogue les distributions sur un ouvert de Rn.

Définition 34 Soit Ω un intervalle ouvert de R. Nous utiliserons les espaces des fonctions testssuivants

D(Ω) = φ ∈ C∞(Ω) / ∃a, b ∈ Ω supp(φ) ⊂ [a, b]

D(T) = φ ∈ C∞(R) / φ(x) est périodique de période 2π

On munit l’espace D(Ω) de la notion de convergence suivante

limnφn = φ⇔ ∃a, b ∈ Ω / supp(φn) ⊂ [a, b] et ∀k φ(k)

n → φ(k)

où la convergence est prise au sens de la convergence uniforme et φ(k)n est la dérivée d’ordre k de φn.

On définit de même la convergence dans D(T)

φn → φ⇔ ∀k φ(k)n → φ(k)

Définition 35 L’espace des distributions D′(Ω) (resp. l’espace des distributions périodiques D′(T))est l’ensemble des formes linéaires continues sur D(Ω) (resp. D(T )) .

Dans ce qui suit, pour simplifier les notations, nous nous limitons aux distributions sur R, mais l’ex-tension à un intervalle quelconque est immédiate..

Exemples

Une fonction continue f(x) ∈ C(R) définit de manière unique1 une distribution

< Tf , φ >=∫ +∞

−∞f(x)φ(x) dx

Une fonction localement intégrable (au sens de Lebesgue) définit de même une distribution mais deuxfonctions qui sont égales presque partout définissent la même distribution.On appelle distribution de Dirac au point a la distribution

< δa, φ >= φ(a)

Si φ représente un déplacement,< δa, φ >= φ(a) est le travail d’une force ponctuelle d’intensité1 placée au point a ; nous verrons ci-dessous qu’une distribution de Dirac donne une représentationmathématique cohérente de la notion de force ponctuelle, charge ponctuelle....Nous ne décrirons pas les distributions générales, celles que nous considérerons par la suite seront oubien des fonctions ou bien des distributions de Dirac. Les distributions sont des objets plus générauxque les fonctions auxquels nous allons étendre quelques notions usuelles pour les fonctions.

1Car ∀φ ∈ D(R),R +∞−∞ f(x)φ(x) dx = 0 ⇒ f = 0

ECP 2006-2007 140

CHAPITRE 6. LE CADRE FONCTIONNEL 141

Valeur en un point

Soit ψn une suite2 de fonctions C∞, positives, d’intégrale 1, nulles en dehors de l’intervalle[a− 1

n , a+ 1n ].

Pour les lecteurs que la perte des valeurs (des fonctions) angoissent, notons que si f(x) ∈ C(R) on a

f(a) = limn

∫ +∞

−∞f(x)ψn(x) dx

On peut donc définir par extension la valeur en a d’une distribution par la formule

T (a) = limn< T,ψn >

S’il existe une fonction associée à la distribution, on retrouve ses valeurs par cette formule. On peutvérifier que cette expression donne la valeur 0 à la distribution de Dirac en tous points différents de a.Le problème est que :1) cette limite n’existe pas toujours.2) ces valeurs ne caractérisent pas toujours la distribution comme on le voit pour la distribution deDirac, car une fonction nulle sauf en un point définit des intégrales nulles.

Dérivée d’une distribution

On vérifie par intégration par partie que si f ∈ C1(R)

< Tf ′ , φ >= − < Tf , φ′ >

On définit donc par extension la dérivée d’une distribution T par la formule

< T ′, φ >= − < T, φ′(x) >

Que sont les distributions dérivées de fonctions non dérivables ? Il y a des cas compliqués, mais− Si f(x) est continue et C1 par morceaux on aura (Tf )′ = Tf ′ où nous notons f ′ une fonction égaleà la dérivée quand elle est définie et quelconque ailleurs, l’indétermination n’ayant pas d’effet sur ladistribution associée (le vérifier par intégration par parties).− Si H est la fonction d’Heaviside (H(x) = 0 si x < 0 et H(x) = 1 si x ≥ 0) on vérifieimmédiatement

(TH)′ = δ0

− On vérifie plus généralement que si f(x) est une fonction C1 sauf aux points xi où la fonctionadmet une limite à gauche et à droite, on a

(Tf )′ = Tf ′ +∑i

(f(x+i )− f(x−i ))δxi

(le vérifier par intégration par parties).2Pour construire une telle suite, on définit d’abord Ψ(x) par Ψ(x) = exp 1/(1− x2)2 sur [−1, 1] et 0 ailleurs (on

montre que Ψ(x) ∈ C+∞([R])), puis φ(x) = Ψ(x)/R

R Ψ(x) dx qui est d’intégrale égale à 1 et φn(x) = nφ(n(x− a)).



Convergence des distributions

Définition 36 Soit Tn, T ∈ D′(R), on dit que

Tn → T ⇔ ∀φ ∈ D(R) < Tn, φ >→< T, φ >

Une conséquence immédiate de cette définition est que la dérivée est une opération continue :

Proposition 50 La dérivation des distributions est continue par rapport à la convergence au sens desdistributions

Si Tn → T alors (Tn)′ → T ′

La distribution de Dirac est la limite (au sens des distributions) d’une densité de charge de résultante1 qui se concentre au point a.

Proposition 51 Si ψn est une suite de fonctions positives, d’intégrale 1, nulles en dehors de l’inter-valle [a− 1

n , a+ 1n ] on a

∀φ ∈ D(R) limn

∫ +∞

−∞ψn(x)φ(x) dx = φ(a)

c’est à dire que Tψn → δa

La convergence, prise au sens des distributions, d’une suite de fonctions est une convergence “enmoyenne” .

Extension

Il est possible de définir sur les distributions, par extension, diverses notions usuelles pour unefonction comme “être positive” ( ∀φ ≥ 0 ∈ D(R) < T, φ >≥ 0), ou bien la translatée θh(T ) d’unedistribution (∀φ ≥ 0 ∈ D(R) < θh(T ), φ >=< T, θ−h(φ) >)... Le principe général est de traduireune notion usuelle pour les fonctions en termes de propriétés de la forme linéaire

∫ +∞−∞ f(x)φ(x) dx

puis d’étendre la définition.Noter que nous n’avons pas défini le produit de deux distributions : on montre qu’il n’y a pas dedéfinition cohérente d’une multiplication continue qui prolongerait la notion de produit de deux fonc-tions.

Applications élémentaires

it Équations différentielles avec des charges concentréesLa position d’équilibre u(x) d’une corde tendue de longueur L sous l’effet d’une densité de forcef(x) est solution du problème aux limites

−u′′(x) = f(x)u(0) = u(L) = 0

(6.1)

ECP 2006-2007 142


Si on applique une force concentrée F au point d’abscisse a, la position d’équilibre ua(x) a la formed’une corde pincée. Par passage à la limite en considérant une densité f(x) de résultante F qui tendvers une charge concentrée F on voit que ua doit vérifier u(a) = u(L) = 0 et

−(Tua)′′ = Fδa

On vérifie facilement qu’une solution de l’équation (en fait la seule) est la distribution Tua associée àla fonction

ua(x) =F

L(L− a)x x ≤ a

ua(x) =F

La(L− x) x ≥ a

(6.2)

L’usage est de dire que ua est solution au sens des distributions de l’équation

−ua′′ = Fδa

it Convergence des séries de FourierRappelons que si u(x) est une fonction C1 de période 2π sa série de Fourier converge uniformémentvers u(x), en particulier si φ ∈ D(T ) la série de Fourier de φ converge uniformément vers φ, et quecela est faux en général pour une fonction moins régulière.Mais dans le cadre des distributions on a le résultat général :

Proposition 52 Soit f(x) une fonction localement intégrable 2π-périodique. La série de Fourier def converge vers f au sens des distributions

PreuveOn note Sn(f) la somme des n premiers termes de la série de Fourier de f . Vérifier que∫ 2π

0Sn(f)(x)φ(x) dx =

∫ 2π

0f(x)Sn(φ)(x) dx

On en déduit, puisque Sn(φ)(x) converge uniformément vers φ, que

limn

∫ 2π

0Sn(f)(x)φ(x) dx = lim

n

∫ 2π

0f(x)Sn(φ)(x) dx =

∫ 2π

0f(x)φ(x) dx

c’est à dire TSn(f) → Tf au sens des distributions. ♦

Série de Fourier d’une distribution périodiqueRemarquer que

an(f) =1π

∫ 2π

0f(x) cosnx dx =

1π< Tf , cos(nx) >

Ce qui permet d’étendre la définition des coefficients de Fourier aux distributions de D′(T)

an(T ) =1π< T, cos(nx) >

On montre, comme nous l’avons fait ci-dessus pour les fonctions,



Proposition 53 La série de Fourier d’une distribution périodique T ∈ D′(T) converge vers T ausens des distributions

Vérifier directement la formule

δ0 =1π

(12

+∞∑k=1

cos(kx))

où la convergence est prise au sens des distributions (noter que la série ci-dessus ne converge en aucunpoint au sens ordinaire).

6.2 Le problème de l’existence des solutions

Voir [11] ou [12] pour un exposé plus complet.

6.2.1 Rappel

Nous avons vu quelques exemples de problèmes aux limites pour une équation elliptique quis’écrivait, après passage à la forme faible, sous la forme

u ∈ V∀v ∈ V, a(u, v) = L(v)

(6.3)

où V est, par exemple, l’espace des fonctions C1 nulles sur le bord d’un domaine, a(u, v) est uneforme bilinéaire symétrique définie positive, L(v) est une forme linéaire sur V .Si V est un espace de dimension finie n (cas de la recherche d’une approximation par la méthodedes éléments finis), a(u, v) définit un produit scalaire et l’existence de u résulte de ce que touteforme linéaire peut être représentée par un vecteur à l’aide d’un produit scalaire. Si vk est une baseorthonormée de V pour le produit scalaire a(u, v) on a la forme explicite pour u

u =n∑k=1

L(vk)vk

Dans le cas général, où V est de dimension infinie, ce résultat est faux sauf si l’espace V est un espacede Hilbert pour le produit scalaire. Rappelons qu’un espace muni d’un produit scalaire est un espacede Hilbert si c’est un espace complet pour la norme définie par ce produit scalaire.

6.2.2 Le théorème de Lax-Milgram

Si V est un espace de Hilbert, pour un produit scalaire < x, y >, on a un théorème d’existenceplus général encore :

Théorème 27 Si L(v) est une forme linéaire continue, si a(u, v) est une forme bilinéaire continue,i.e.

∃M > 0 ∀u, v ∈ V |a(u, v)| ≤M‖u‖‖v‖et coercive, i.e.

∃α > 0 ∀u ∈ V |a(u, u)| ≥ α < u, u >

alors le problème (6.3) admet une solution unique.

ECP 2006-2007 144


Nous n’avons pas supposé la symétrie de la forme a(u, v). Si on suppose de plus la forme symétriqueles hypothèses impliquent que ‖u‖a =

√a(u, u) définit une norme équivalente à la norme initiale

et que V est donc aussi un espace de Hilbert pour ce produit scalaire. Le théorème de Lax-Milgramrésulte alors du théorème de Riesz :sur un espace de Hilbert toute forme linéaire peut être représentée par un vecteur à l’aide d’un produitscalaire.Si vk est une base orthonormée de V pour le produit scalaire a(u, v) on a l’expression explicite

u =∞∑k=1

L(vk)vk

PreuveSoit Vn le sous-espace de V engendré par les vecteur v1, . . . , vn. On définit un ∈ Vn solution de

∀v ∈ Vn, a(un, v) = L(v)

Comme nous l’avons vu ci-dessus, un s’écrit

un =n∑k=1

L(vk)vk

Comme de plusa(un, un) = L(un) ≤ C‖un‖a ≤ C

√a(un, un)

on en déduit a(un, un) ≤ C2. En remplaçant un par son expression il vientn∑k=1

L(vk)2 ≤ C2

on en déduit que la série L(vk) est de carré sommable et donc que la somme∑∞

k=1 L(vk)vk est bienconvergente dans V . ♦Remarquer que le fait que V est un espace de Hilbert, donc complet, sert précisément ici à assurerl’existence de la limite de la série.

6.2.3 Application

Il y a cependant un obstacle majeur pour appliquer le théorème de Lax-Milgram dans les situationsque nous avons rencontrées dans l’étude des problèmes aux limites : l’espace des fonctions C1 n’estpas un espace de Hilbert pour les produits scalaires que nous avons définis.On peut penser que la méthode choisie pour établir l’existence n’est pas la bonne, cependant onmontre que le problème est plus fondamental : en effet une solution C2 d’un problème comme leproblème de Laplace ∆u = f n’existe pas sous des hypothèses “naturelles” sur les données, commef ∈ C(Ω), le cadre fonctionnel des fonctions plus ou moins dérivables n’apparaît donc pas commele plus approprié pour formuler des théorèmes d’existence. Même s’il y a d’autres approches que lepassage par la recherche de solutions faibles et l’approche hilbertienne décrits ci-dessus, celle-ci estmanifestement très générale et intuitive du fait de son interprétation géométrique. Pour la mettre enoeuvre il faudra cependant un détour compliqué : compléter l’espace V pour obtenir un espace deHilbert.



6.2.4 Le cadre fonctionnel

En suivant exactement l’approche hilbertienne des problèmes aux limites décrites dans le para-graphe précédent il faudrait compléter l’espace V pour différents produits scalaires. Cependant laplupart de ces produits scalaires sont équivalents à certains produits scalaires naturels qui définissentles espaces de Sobolev : physiquement ces produits scalaires représentent des énergies, les espaces deSobolev seront donc des espaces très généraux d’énergie finie. Précisons un exemple : soit Ω ⊂ R2 etsoit V0 l’espace des fonctions de C1(Ω) nulles sur le bord de Ω. On définit sur V0 le produit scalaire

< u, v >=∫

Ω∇u.∇v + uv dΩ

et la norme

‖u‖H1 =√< u, u >

Définition 37 L’espace de Sobolev H1(Ω) est le complété de C1(Ω) pour la norme ‖u‖H1 .

Définition 38 L’espace de Sobolev H10 (Ω) est le complété de V0 pour la norme ‖u‖H1 .

Rappelons que le complété d’un espace vectoriel V pour une norme est un espace vectoriel normécomplet qui contient V et qui est son adhérence. C’est a priori un espace “abstrait” (on peut leconstruire comme un quotient de l’ensemble des suites de Cauchy). Rien ne dit donc que H1(Ω)est formé de fonctions. Cependant on montre que H1(Ω) peut être identifié au sous-espace de L2(Ω)des fonctions dont les dérivées au sens des distributions sont dans L2(Ω), ce qui signifie, par exemplepour la dérivée par rapport à x1, qu’il existe v ∈ L2(Ω) telle que

∀φ ∈ D(Ω)∫

Ωvφ dΩ = −

∫Ωu∂φ

∂x1dΩ

On le voit cela reste assez abstrait ! D’autant qu’un élément de L2(Ω) n’est une fonction que par abusde langage, car cette fonction est définie à un ensemble de mesure nulle près. Comme le bord de Ωest de mesure nulle dans Ω on ne peut donc pas sans précaution parler de la restriction au bord d’unélément deL2(Ω), nécessaire pour définir les conditions aux limites. Cependant on montre, c’est diffi-cile, que l’on peut donner un sens à cette restriction pour u ∈ H1(Ω) et définir des opérateurs “trace”qui à u ∈ H1(Ω) associe tr(u) ∈ L2(∂Ω) telle que la trace d’une fonction C1 soit sa restriction aubord. Toute fonction de L2(∂Ω) n’étant pas la trace d’une fonction de H1(Ω), on note H

12 (∂Ω) le

sous-espace des fonctions de L2(∂Ω) qui sont des traces (sous-espace que l’on sait caractériser maiscela nous mènerait très loin...). Avec ce cadre fonctionnel on peut définir les problèmes aux limitesdans un cadre Hilbertien, par exemple

u ∈ H1(Ω)Tr(u) = g ∈ H

12 (∂Ω)

∀v ∈ H1(Ω), a(u, v) = L(v)(6.4)

ECP 2006-2007 146


6.2.5 Exemple d’utilisation du cadre fonctionnel

Considérons le problème modèle de la membrane (cf. séance 2 pour les données et les notations).écrit en formulation faible

u ∈ V0 (6.5)

∀v ∈ V0 a(u, v) = L(v) (6.6)

1. On vérifie, par Cauchy-Schwarz, que a(u, v) est continue sur H10 (Ω), de même que L(v).

2. La coercivité de a(u, v) n’est pas évidente, elle résulte de l’inégalité de Poincaré que nousadmettrons

∀u ∈ H10 (Ω),

∫Ωu2 dΩ ≤ Cte

∫Ω(∇u)2 dΩ

3. On peut donc appliquer le théorème de Lax-Milgram pour obtenir l’existence d’une unique so-lution u de (6.5) dans H1

0 (Ω).

4. On peut ensuite vérifier que u est une solution au sens des distributions de l’équation initiale

−∆u = f (6.7)

5. Si f ∈ L2(Ω) et donc ∆u ∈ L2(Ω) on montre que les dérivées partielles au sens des distribu-tions ∂u

∂xi, i = 1, 2 sont des fonctions et sont dans L2(Ω) (c’est un résultat délicat à montrer, il

faut d’ailleurs que le domaine Ω soit assez régulier). On en déduit ensuite que u est continue,ce qui en particulier donne un sens clair à la notion de valeur au bord.

6. Pour montrer que u est éventuellement une fonction C2 et donc une solution au sens ordinaire,il faut rajouter des conditions de régularité ; on montre en particulier que si une fonction u estune solution au sens des distributions de (6.7), u est C∞ sur tout ouvert où f est C∞.La démarche suivie est donc : montrer, sous des conditions très large, l’existence d’une solutionen un sens “étendu”, préciser ensuite les propriétés de cette solution sous des conditions derégularité locale plus forte.



ECP 2006-2007 148

Chapitre 7

L’approximation des problèmes auxlimites

Objectifs

Ce chapitre est une introduction à l’approximation numérique des problèmes aux limites. Sansfaire de théorie générale nous développons à partir de quelques exemples les principes de l’approxi-mation par la méthode des éléments finis.

7.1 Le problème

7.1.1 Présentation

Une solution d’une équation aux dérivées partielles n’est pas en général une fonction “usuelle”(polynôme, sinus, ...) et l’ensemble des solutions forme un espace de dimension infinie. On peutparfois (cf. chapitre 3) représenter formellement les solutions par des séries de fonctions usuellesou par des intégrales. Mais, sauf pour des domaines simples (carré, disque), ces représentations nepermettent pas de résoudre les problèmes aux limites : l’ajout des conditions aux limites revient àposer une infinité d’équations pour une infinité de variables.Il faut donc faire une approximation pour représenter une fonction plus ou moins régulière, mais apriori quelconque, par des fonctions usuelles qui ne dépendent que d’un nombre fini de paramètres.Cela revient à choisir sous-espace d’approximation Vh, de dimension finie, d’un espace V0 où estcherché a priori la solution exacte.Comment définir une approximation de la solution du problème dans cet espace ? C’est ce que nousallons étudier.

7.1.2 Le problème général

Le cadre général où nous plaçons cette étude est celui du problème (4.3.1) limité à la dimensiondeux. Mais, pour simplifier, nous appliquerons les différentes méthodes à un problème modèle.

149


7.1.3 Un problème modèle

Nous considérons le problèmeu ∈ C2(Ω)−k∆u+ cu = f si x ∈ Ω

−k∂u∂n

= 0 si x ∈ Γ(7.1)

où k et c sont des constantes positives et f ∈ C(Ω) une fonction quelconque. Parmi les multiplesinterprétations de ce problème, nous pouvons considérer un problème de diffusion en régime perma-nent dans une plaque mince où u représente la température avec un échange de chaleur avec le milieuextérieur (cf. 4.17). Nous supposons que la solution existe. Pour simplifier la présentation de l’ap-proximation, nous n’avons pas mis de condition de Dirichlet (u = u0 sur le bord) dans ce problème,nous verrons au paragraphe 7.3.1 comment les traiter.Soit V0 = C1(Ω). Le problème (7.1) est équivalent (théorème 24) à la formulation faible

∀v ∈ V0 a(u, v) = L(v) (7.2)


a(u, v) =∫

Ω〈k ∇u,∇v〉+ cuv dΩ

L(v) =∫

Ωfv dΩ

7.2 Principes généraux d’approximation

7.2.1 Méthode des différences finies

Voir la séance d’exercices 1. Nous supposons dans ce paragraphe que Ω = [0, 1] × [0, 1] est lecarré de côté 1.

Principe

On divise le carré selon une grille rectangulaire de pas h = 1n−1 . Les nœuds de la grille ont

pour coordonnées (xi, yj) = ((i − 1)h, (j − 1)h) où 1 ≤ i, j ≤ n. L’objectif est de calculer uneapproximation ui,j des valeurs de la solution de (7.1) aux points (xi, yj). Il y a donc n2 valeurs àcalculer ui,j , 1 ≤ (i, j) ≤ n. On écrit une équation en chaque nœud en remplaçant l’équation auxdérivées partielles exacte par une approximation obtenue en approchant les dérivées exactes par desdifférences finies

∂u

∂x(xi, yj) w

u(xi + h, yj)− u(xi, yj)h

,∂u

∂x(xi−1, yj) w

u(xi, yj)− u(xi − h, yj)h

∂2u

∂x2(xi, yj) w

∂u(xi,yj)∂x − ∂u(xi−1,yj)

∂x

hwu(xi − h, yj)− 2u(xi, yj) + u(xi + h, yj)

h2

ECP 2006-2007 150

CHAPITRE 7. L’APPROXIMATION DES PROBLÈMES AUX LIMITES 151

Un développement limité montre que cette approximation de la dérivée seconde est à h2 près. On ade même

∂2u

∂y2(xi, yj) w

u(xi, yj − h)− 2u(xi, yj) + u(xi, yj + h)h2

.

Cas d’un nœud intérieur

Pour un nœud intérieur on déduit des approximations des dérivées secondes une approximationdu laplacien −k∆u(x) par le schéma à 5 points

−k∆u(x) w k−ui−1,j − ui+1,j − ui,j−1 − ui,j+1 + 4ui,j

h2(7.3)

Il faut adapter cette expression sur les bords et dans les coins pour ne pas faire intervenir de pointsextérieurs au carré et pour tenir compte des conditions au bord.

Cas des bords et des coins

Considérons un point du bord inférieur (xi, y1) = (ih, 0) ; on utilise l’approximation

∂2u

∂y2(xi, y1) w

∂u(xi,y2)∂y − ∂u(xi,y1)

∂y

het∂u(xi, y2)

∂ywu(xi, y2)− u(xi, y1)

h

Compte tenu de la condition au bord −k ∂u(xi,y1)∂y = 0, il vient

∂2u

∂y2(xi, y1) w

u(xi, y1)− u(xi, y2)h2

d’où l’approximation

−k∆u(xi, y1) w k−ui−1,j − ui+1,j − ui,2 + 3ui,j

h2

Remarque : cela revient à tenir compte dans le schéma à 5 points, écrit en utilisant un point extérieurui,0, de la condition ui,1 = ui,0, qui est une conséquence de l’approximation u(xi,y1)−u(xi,y0)

h w∂u∂y (xi, y1) = 0Au coin inférieur gauche (x1, y1) = (0, 0) le même principe conduit à l’équation

−k∆u(x1, y1) w k−u1,2 − u2,1 + 2u1,1

h2

Construction du système d’équations

Au total il y a N = n2 équations pour N = n2 inconnues. On construit une équation en rempla-çant dans l’équation (7.1) écrite au point (xi, yj) les différentielles exactes par leur approximation ;pour l’équation générale on obtient

k−ui−1,j − ui+1,j − ui,j−1 − ui,j+1 + 4ui,j

h2+ cui,j = fi,j (7.4)



où nous avons poséfi,j = f(xi, yj)

On écrit avec un seul indice les inconnues du système, que nous notons alors Uk, en prenant l’ordrede gauche à droite et de bas en haut des nœuds, i.e. sous la forme

Un(i−1)+j = ui,j

Nous posonsU = (U1, ..., Uk, ..., UN )t

F = (F1, ..., Fk, ..., FN )t

Le système s’écrit matriciellementKU = F

où la matrice K est symétrique et n’a que 5 diagonales non nulles correspondant aux termes Kk,l =− kh2 avec |k − l| = 0, 1, n.

Rappelons (cf. paragraphe 4.3.1) que l’opérateur−k∆+ cId est symétrique défini positif. Nous mon-trerons (cf. exercices séance 1 et le paragraphe 7.2.4) que la matrice K aussi symétrique définiepositive, ce qui montre que la construction de l’approximation a été bien menée !

Analyse et extensions

− La méthode des différences finies se généralise à des dimensions d’espace quelconques. Telleque nous l’avons présentée elle ne s’applique qu’à des domaine carrés ou cubiques, mais on peutl’étendre à des grilles déformées (plus précisément, on déforme une grille par application d’une trans-formation géométrique). Cela permet d’appliquer cette méthode à des domaines qui ne sont pas tropdéformés (par exemple image d’un carré par une transformation conforme).

− Elle permet d’utiliser des méthodes numériques très efficaces, car la régularité de la grille donnedes propriétés spéciales aux matrices que l’on peut exploiter par des méthodes appropriées (méthodemulti-grille).

− En revanche la méthode des différences finies est inadaptée pour les problèmes à géométriecomplexe. La méthode des éléments finis que nous verrons ci-dessous est plus générale et plus soupled’utilisation.

− La simplicité relative des calculs que nous avons présentés est trompeuse, la prise en comptedes conditions aux limites est délicate tout comme la construction de la matrice. La conservationdes propriétés de l’équation (symétrie de l’opérateur, existence d’un potentiel...) dans le passage àl’approximation n’est pas automatique.

Étude de l’erreur et de la convergence

L’estimation de l’erreur d’approximation dans la méthode des différences finies n’est pas auto-matique. On peut estimer facilement l’erreur de consistance, c’est à dire l’erreur faite dans l’approxi-mation des dérivées par des différences finies. Dans notre exemple si on note U le vecteur formé par

ECP 2006-2007 152


les valeurs de la solution exacte aux nœuds de la grille, on peut obtenir, en développant les différentstermes par la formule de Taylor au voisinage du point (xi, yj), une estimation du type

‖KU− F‖∞ ≤ Cte h2

où la constante dépend des dérivées d’ordre 4 de la solution. On en déduit, puisque KU = F que

‖K(U−U)‖∞ ≤ Cte h2 (7.5)

et donc

‖U−U‖∞ ≤ ‖K−1‖∞Cte h2

Noter que la matrice K dépend de h. Si on a une condition

‖K−1‖∞ ≤M (7.6)

où M est une constante indépendante de h, on en déduit une estimation de l’erreur

‖U−U‖∞ ≤MCte h2

et surtout la convergence des approximations vers la solution exacte. Cette condition (7.6) est lastabilité du schéma. Une estimation de ce type est facile1 ici mais délicate dans le cas général. Elleest liée à une estimation de la plus petite valeur propre de la matrice K. Nous reprendrons l’étude del’erreur avec plus de moyen avec la méthode des éléments finis.

7.2.2 Méthode de Ritz-Galerkin

La méthode de Ritz-Galerkin est un principe général de construction d’une approximation de lasolution d’un problème aux limites ; elle utilise une formulation faible du problème. Nous verronsque dans des conditions assez générales l’approximation ainsi définie est convergente.Nous considérons, avant de particulariser, une formulation faible très générale d’un problème auxlimites. Pour simplifier l’écriture, supposons que la solution u est dans l’espace des fonctions tests V0

qui est muni d’une norme ‖v‖0. On considère donc un problème écrit sous la forme suivanteu ∈ V0

∀v ∈ V0, a(u, v) = L(v)(7.7)

où a(u, v) est une fonction linéaire en v.

1Principe de la démonstration : si KU = F, on considère la composante maximale en valeur absolue de U ; notons laui,j en repassant à la notation en double indice. Vérifier qu’en ce point δi,j = −k(−ui−1,j − ui+1,j − ui,j−1 − ui,j+1 +4ui,j) est du même signe que ui,j . De δi,j + cui,j = fi,j on déduit que c|ui,j | ≤ |fi,j | et donc maxk,l |uk,l| ≤ 1

c|fi,j | ≤

1cmaxk,l|fk,l|, i.e. ‖U‖∞ ≤ maxk,l |fk,l| ≤ 1

c‖F‖∞



Principe d’approximation

Soit Vh un sous-espace de dimension finie de V0, h étant un paramètre qui mesure a priori laprécision de l’approximation et qui peut tendre vers 0. Nous définissons une solution approchée uhdu problème (7.7) en restreignant la formulation variationnelle à Vh. On pose donc le problème

uh ∈ Vh∀v ∈ Vh, a(uh, v) = L(v)

(7.8)

On peut déjà remarquer une condition nécessaire que doit vérifier l’espace Vh : pour que cela ait unsens de chercher une solution dans Vh il faut qu’il existe a priori au moins une fonction Πh(u) de Vhqui soit proche de la solution u et que Πh(u) → u quand h→ 0.

Cas d’une forme bilinéaire symétrique définie positive

Nous supposons dans ce paragraphe que a(u, v) est une forme bilinéaire symétrique définie posi-tive. On a alors une interprétation géométrique de l’approximation :

Théorème 28 Si a(u, v) est une forme bilinéaire symétrique définie positive, l’approximation uh dela solution u de (7.7) définie par le principe de Ritz-Galerkin est la projection de u sur Vh au sens dela norme ‖v‖ =

√a(v, v).

PreuveOn a pour v ∈ Vh

a(u− uh, v) = a(uh, v)− a(u, v) = a(uh, v)− L(v) = 0

et donc, si v est un élément quelconque de Vh, on a

a(u−v, u−v) = a(u−uh+uh−v, u−uh+uh−v) = a(u−uh, u−uh)+2a(u−uh, uh−v)+a(uh−v, uh−v)

en utilisant la bilinéarité de a(u, v). Comme uh − v ∈ Vh, on a a(u− uh, uh − v) = 0 d’où

a(u− v, u− v) = a(u− uh, u− uh) + a(uh − v, uh − v)

On en déduita(u− uh, u− uh) ≤ a(u− v, uh− v)

puisque a(uh − v, uh − v) ≥ 0. Autrement dit, en posant ‖v‖ =√a(v, v)

∀v ∈ Vh ‖u− uh‖ ≤ ‖u− v‖

♦On peut donner dans ce cas une autre interprétation intuitive de la méthode de Ritz-Galerkin. Nousavons vu que, si a(u, v) est une forme bilinéaire symétrique définie positive, la formulation faible(7.7) est équivalente au problème d’optimisation

u ∈ V0

J(u) ≤ J(v) ∀v ∈ V0(7.9)

ECP 2006-2007 154


où J(v) = 12a(v, v) − L(v) est une fonction quadratique strictement convexe. Pour définir uh ∈ Vh

on peut utiliser le problème d’optimisation

J(uh) ≤ J(v) ∀v ∈ Vh (7.10)

qui est équivalent au problème

a(uh, v) = L(v) ∀v ∈ Vh (7.11)

Nous avons vu que ces deux problèmes ont une solution est une seule. En conclusion

Proposition 54 Approximation par le principe du minimum de l’énergieConsidérons un problème aux limites dont la solution réalise le minimum d’une fonction énergie J(v)sur un espace V0. La méthode de Ritz-Galerkin consiste à choisir dans un sous-espace Vh ⊂ V0 dedimension finie la fonction uh qui minimise l’énergie sur Vh.

Noter que par construction J(u) ≤ J(uh).

Détermination de la solution approchée

Nous supposons dans ce paragraphe que a(u, v) est une forme bilinéaire. Pour déterminer pra-tiquement la solution, il faut se donner une base wi(x, y) (pour i = 1, N ) de Vh et calculer lescomposantes uj de la solution uh dans cette base.Nous supposons dans ce paragraphe que a(u, v) estune forme bilinéaire.Notations :− N est la dimension de l’espace Vh,− Les fonctions wi(x, y), pour i = 1, N , forment une base de l’espace Vh,− On note (u1, ..., uj , ..., uN )t les composantes de uh dans cette base

uh(x, y) =N∑j=1

ujwj(x, y)

Le problème (7.8) est donc équivalent, en tenant compte de la linéarité de a(u, v) par rapport à v, ausystème de N équations

a(uh, wi) = L(wi) ∀ 1 ≤ i ≤ N (7.12)

En exprimant uh dans la base wi (uh(x, y) =∑N

j=1 ujwj(x, y)), on obtient pour les composantes deuh un système linéaire de N équations à N inconnues

a(N∑j=1

ujwj , wi) = L(wi) ∀ 1 ≤ i ≤ N (7.13)

Soit, en utilisant la linéarité de a(u, v) par rapport à u

N∑j=1

uja(wj , wi) = L(wi) ∀ 1 ≤ i ≤ N (7.14)



Ce système s’écrit sous forme matricielle

KU = F (7.15)

où nous avons introduit des notations conventionnelles :−U = (u1, ..., uj , ..., uN )t est le vecteur formé par les inconnues.−K est la matrice, dite de "raideur", de dimension (N,N) dont les coefficients sont

Ki,j = a(wj , wi)

− F est le vecteur de dimension N dont les coefficients sont

Fi = L(wi)

Propriétés du système

Théorème 29 Si la forme bilinéaire a(u, v) est symétrique définie positive le système

KU = F

est à matrice symétrique définie positive, il admet donc une solution et une seule.

PreuveSi V = (v1, ..., vj , ..., vN )t est un vecteur quelconque non nul et v =

∑Nj=1 vjwj est la fonction

associée, il vientVtKV = a(v, v) > 0

♦En résumé :

Proposition 55 Approximation par la méthode de Ritz-GalerkinDans un espace d’approximation Vh la solution approchée uh du problème (7.1), est représentée parses composantes U = (u1, ..., uj , ..., uN )t dans une base wi, i = 1, N . Le vecteur U est la solutiondu système linéaire

KU = F

où la matrice K a pour coefficients Ki,j = a(wj , wi) et le vecteur F pour coefficients Fi = L(wi).La matrice K, appelée en mécanique matrice de raideur, est symétrique définie positive si la formea(u, v) est symétrique définie positive.

Choix de l’espace d’approximation

Il nous reste à choisir un espace particulier Vh. On peut choisir un sous-espace de polynômes ou defonctions trigonométriques. Mais la représentation d’une fonction quelconque par de telles fonctionsest souvent lentement convergente et très instable : le problème vient précisément de la régularité de

ECP 2006-2007 156


u ∈ V 0

a(u,v) = L(v) pour v ∈ V 0

- k ∆ u = f

u ∈ V0

J(u) J(v) pour v ∈ V 0

u h ∈ Vh

a(u h ,v) = L(v) pour v ∈ V h

u h ∈ V h

J(u h ) J(v) pour v ∈ V h

K U = F

Problème initial Approximation

< <

FIG. 7.1 – Construction d’une approximation par la méthode de Ritz-Galerkin

ces fonctions. Elles approchent bien les fonctions très régulières, mais mal les fonctions discontinues2.On utilisera des fonctions polynômes, représentées dans une base de polynômes orthogonaux, pourdes problèmes dont la solution est très régulière quand le domaine est un carré ou un cube. C’est lefondement des méthodes spectrales.Une fonction quelconque peut être bien approchée par des fonctions affines par morceaux : pour s’enconvaincre il suffit de remarquer qu’une surface quelconque peut être approchée de façon stable parune surface polyédrique. C’est pourquoi nous choisirons des espaces de “polynômes par morceaux”sur des partitions convenables du domaine : c’est la méthode des éléments finis.

Extension des formulations faibles

Il y a une petite difficulté technique pour utiliser des espaces de fonctions polynômes par mor-ceaux : pour la cohérence et la simplicité de notre exposé il faut que l’espace d’approximation Vh soitinclus dans l’espace des fonctions tests V0 qui nous a servi à construire des formulations faibles. Ornous avons toujours utilisé un espace V0 de fonction C1 mais, en général, les espaces Vh que nousallons introduire sont des espaces de fonctions continues, mais seulement “dérivables par morceaux”,c’est à dire sur des sous-domaines d’une partition de Ω. Il nous faut donc étendre les formulations

2Par exemple la vitesse de convergence d’une série de fourier vers une fonction présentant une discontinuité sur ladérivée ne peut être de l’ordre de ck ∼ 1

k3



faibles à un espace plus “grand” que V0 qui contiennent les fonctions de Vh. Il est tentant de définirun “espace de fonctions continues dérivables par morceaux” mais la définition précise de cet espacepose des problèmes si on ne fixe pas les sous-domaines (faire la somme de deux fonctions oblige àconsidérer l’intersection des sous-domaines). Il y a deux solutions pour résoudre cette difficulté :1) Prendre pour V0 un espace de Sobolev adapté au problème3, ce qui revient à remplacer la notionde dérivées par la dérivation au sens faible ou “au sens des distributions” (cf. chapitre 6). Les formu-lations faibles restent vraies dans ces espaces plus ou moins par définition. Mais cela nous entraîneun peu loin dans l’analyse fonctionnelle, ce que nous avons voulu éviter dans ce cours.2) Prendre un espace V0 adapté à chaque approximation : étant donné une partition de Ω en domainespolygonaux (pour simplifier), on définit V0 comme l’ensemble des fonctions continues et dérivablessur chaque sous-domaine. Les formules d’intégration par parties et de Stokes restent vraies pour cesfonctions : il suffit de les appliquer à chaque sous-domaine et de vérifier que les intégrales sur lesfrontières intérieures s’annulent deux à deux. On en déduit que les formulations faibles sont vérifiéesen remplaçant les fonctions tests C1 par les fonctions continues C1 par morceaux au sens ci-dessus(ce ne serait pas le cas si les fonctions étaient discontinues).

Définition 39 Nous appelons, par abus de langage, espace des fonctions continues dérivables parmorceaux l’ensemble des fonctions continues sur Ω, dérivables sur une partition (fixe) de Ω en sousdomaines polygonaux. Ces sous-domaines sont ceux qui servent à construire l’espace d’approxima-tion Vh.

7.2.3 Approximation par des fonction affines par morceaux

Dans cette section, nous considérons l’exemple (7.1) et non plus la situation générale de la sectionprécédente. Les méthodes que nous développons se généralisent facilement à la situation générale duproblème (4.3.1).

Notion de maillage

Nous supposerons dans ce paragraphe que nous avons défini (Fig.(7.2)) :− Une approximation du domaine Ω par un domaine à frontière polygonale.− Un ensemble de points, appelés nœuds, régulièrement répartis dans le domaine.− Un découpage du domaine en triangles, appelés éléments, ayant les nœuds comme sommets. Noussupposerons qu’un nœud n’est jamais à l’intérieur d’un segment.Nous appellerons ce découpage du domaine un maillage ou, dans ce cas particulier, une triangulation.Le diamètre h du plus grand triangle mesure la finesse du maillage et c’est à lui que référera l’indiceh dans les notations.Notations :− Le maillage comporte N nœuds, numérotés de 1 à N .− Le maillage est formé de ne triangles, numérotés de 1 à ne.

3Pour le problème (7.1) l’espace H1(Ω) convient.

ECP 2006-2007 158


4

8

1 2 5

3

9

6

7

14

10

13

15

17

18

19

20

12

16 23

21

22

11

FIG. 7.2 – Un maillage et le support d’une fonction de base en grisé

7.2.4 L’espace Wh des fonctions continues affines par morceaux

Description

Nous appelons Wh l’espace des fonctions continues, dont la restriction à chaque triangle dumaillage est affine4 (en abrégé fonctions continues affines par morceaux). Une fonction de Wh estentièrement définie par ses valeurs aux sommets des triangles, c’est à dire aux nœuds du maillageet on peut la considérer comme une fonction d’interpolation entre des valeurs arbitraires donnéesaux nœuds. Le graphe d’une fonction de Wh est une surface polyédrique, dont les facettes sont destriangles. Deux fonctions de Wh qui coincident aux nœuds sont égales car si deux fonctions affinesprennent les mêmes valeurs aux trois sommets d’un triangle elles sont égales.Il faut définir une base de Wh. Soit wi la fonction de Wh qui prend la valeur 1 au nœud i et la valeur0 aux autres nœuds. La fonction wi est nulle sur chaque triangle auquel le nœud i n’appartient pas,puisqu’elle est alors nulle aux trois sommets du triangle ; elle est donc non nulle seulement sur lepolygone qui entoure le nœud i (Fig. 7.2 ). Son graphe est une petite pyramide qui est centrée sur lenœud i et qui a pour base le polygone qui entoure le nœud i (Fig. 7.3).

Proposition 56 Soit wi la fonction affine par morceaux qui vaut 1 au nœud i et 0 aux autres nœuds.Son support est l’ensemble des triangles dont le nœud i est un sommet. Le système de vecteurs[w1, ..., wi, ..., wN ] est une base deWh. Les composantes d’une fonction dans la base sont ses valeursaux nœuds.

En effet, si v est une fonction arbitraire de Wh et si (v1, ..., vi, ..., vN )t est le vecteur formé par sesvaleurs aux nœuds, on a

v(x, y) =N∑j=1

vjwj(x, y) (7.16)

4Une fonction affine est une fonction polynôme de degré 1 : u(x, y) = ax + by + c. L’usage courant les appelle aussilinéaire, terme en toute rigueur réservé à u(x, y) = ax + by.



Pour le démontrer il suffit de remarquer que les deux membres représentent des fonctions de Wh etque ces deux fonctions prennent la même valeur vi au nœud i.

11

FIG. 7.3 – Graphe d’une fonction de base

Application de la méthode de Ritz-Galerkin

Nous appliquons la méthode de Ritz-Galerkin à la formulation faible (7.2) en utilisant pour espaced’approximation l’espace Vh = Wh. Nous développons uh dans la base wi, pour i = 1, ..., N ,(définition (56)) de Vh ; les composantes uj de uh sont les valeurs de uh aux nœuds (56). Nousobtenons un système linéaire

KU = F (7.17)

où nous avons introduit des notations conventionnelles :−U = (u1, ..., uj , ..., uN )t est le vecteur formé par les inconnues.−K est la matrice, dite de "raideur", de dimension (N,N) dont les coefficients sont

Ki,j = a(wj , wi) =∫

Ωk∇wj · ∇wi + cwiwj dΩ

− F est le vecteur de dimension N dont les coefficients sont

Fi = L(wi) =∫

Ωfwi dΩ

Ce système est à matrice symétrique définie positive (théorème 29).

La matrice de raideur K

La matrice de raideur K a pour éléments



ECP 2006-2007 160


Or nous avons vu qu’une fonction de base est nulle hors des triangles auxquels le nœud i appartient,les deux fonctions wi et wj ne sont donc simultanément non nulles que sur les triangles dont i et jsont des sommets. Donc Ki,j = 0 si les nœuds i et j ne sont pas adjacents. La matrice de raideur n’adonc que très peu d’éléments non nuls, on dit qu’elle est creuse. La position des éléments non nuls,que l’on appelle le profil de la matrice, dépend de la numérotation des nœuds.En reprenant les conclusions du paragraphe précédent, il vient :

Proposition 57 La matrice de raideur K a pour coefficients :

Ki,j =∫


Elle est symétrique définie positive et creuse.

Des méthodes numériques spécialement adaptées aux matrices ayant ces propriétés ont été dévelop-pées, notamment les méthodes de gradient conjugué, voir le cours d’optimisation .

Matrice de raideur élémentaire Ke

Les coefficients de K sont des intégrales sur le domaine Ω. Pour les calculer on les décomposeen intégrales sur les triangles du maillage. Précisons :

1. Un triangle Te ne contribue au calcul d’une intégrale∫Ωk∇wj · ∇wi + cwiwj dΩ

que si ce triangle appartient au support des fonctions wi et wj , ce qui implique d’après laproposition (56) que les nœuds i et j sont des sommets du triangle Te. Un triangle Te desommet (i, j, k) ne contribue donc qu’au calcul de 9 coefficients

Ki,i Ki,j Ki,k

Kj,i Kj,j Kj,k

Kk,i Kk,j Kk,k

2. La contribution du triangle Te de sommet (i, j, k) à un coefficient, par exemple Ki,j , c’est uneintégrale sur ce triangle

Kei,j =

∫Te k∇wj · ∇wi + cwiwj dΩ

Comme il contribue à 9 coefficients, on peut ranger ces contributions dans la matrice de raideurélémentaire

Ke =

Kei,i Ke

i,j Kei,k

Kej,i Ke

j,j Kej,k

Kek,i Ke

k,j Kek,k



1

3

2

h

h

FIG. 7.4 – Un triangle rectangle isocèle

Noter que cette matrice, une fois écrite pour un triangle quelconque, contient toute l’informationprovenant de la forme bilinéaire a(u, v) qui définit la formulation faible, les autres informations pro-viennent de la géométrie du domaine, c’est à dire du maillage. D’un point de vue algorithmique nousavons fait un découplage entre les données géométriques et la forme de l’équation.Exemple :

Soit un triangle rectangle isocèle Te de côté h (Fig. 7.4). En prenant pour repère les côtés de l’angledroit il vient

w1(x, y) = 1− x+ y

h, w2(x, y) =

x

h, w3(x, y) =

y

h

d’où

∇w1 =(− 1h

− 1h

)∇w2 =

(1h0

)∇w3 =

(01h

)Pour simplifier supposons c = 0. On a

Kei,j =

∫Ωk∇wj · ∇wi dΩ

et donc, puisque les gradients d’une fonction affine sont constants

Kei,j = Surf(Te)k∇wj · ∇wi =

h2

2∇wj · ∇wi

Compte tenu des expressions des gradients, il vient

Ke =k

2

2 −1 −1−1 1 0−1 0 1

(7.18)

Maillage régulier : lien avec la méthode des différences finies

Considérons un maillage d’un carré, découpé en petits carrés, redécoupés en deux triangles se-lon une diagonale fixe. Chaque nœud est, comme le nœud 1 de la figure (Fig. 7.5), au centre d’unhexagone formé de triangles rectangles isocèles, les côtés de l’angle droit étant de longueur h.

ECP 2006-2007 162


h

h

h

h

h

1 2 4

5

3

6

7

FIG. 7.5 – Maillage régulier : carré découpé en deux triangles

1

2

3

4

5

6

7

h 1

c

FIG. 7.6 – Interprétation des équations

En supposant toujours c = 0 on peut utiliser les formules établies dans le paragraphe précédentpour calculer les coefficients non nuls de la première ligne de K, il suffit d’ajouter les contributionsde chaque triangle

K1,1 = 4kK1,2 = K1,3 = K1,4 = K1,5 = −kK1,6 = K1,7 = 0

(7.19)

La première équation du système KU = F s’écrit donc

k(4u1 − u2 − u3 − u4 − u5) = F1

En divisant par h2 et en réarrangeant, le premier membre s’écrit

−ku2 − 2u1 + u4

h2− k

u3 − 2u1 + u5

h2

On retrouve un “schéma classique” d’approximation aux différences finies pour l’équation (7.1), ditschéma cinq points, (7.4). C’est un résultat général : si on utilise des maillages réguliers les équationsobtenues par la méthodes éléments finis s’interprètent comme des équations au sens des différences



finies. On peut remarquer que cela fournit une démonstration naturelle du caractère défini positif dela matrice du système obtenu par la méthode des différences finies.

Interprétation physique d’une équation

Une équation du système (7.12) s’écrit

a(uh, wi) = L(wi)

Pour simplifier l’exposé supposons que c = 0. L’équation (7.1) est alors l’équation de la diffusion dela chaleur en régime permanent dans une plaque mince, u(x) est la température au point x et f(x)une densité de chaleur fournie à la plaque.

Interprétation du premier membre d’une équationSur un triangle Te, en utilisant les notations de la figure 7.6, i.e. en faisant i = 1, les gradients desfonctions affines sont constants∫

Te

∇uh · ∇w1 dS = Aire(Te)k∇uh · ∇w1

OrAire(Te) =

c1h1

2et ∇uh est un vecteur dirigé selon la hauteur relative au nœud 1 avec un module égal à 1

h1. Donc, en

notant ~n1 le vecteur unitaire dirigé selon la hauteur∫Te

∇uh · ∇w1 dS = k∇uh · ~n1c12

Cette quantité représente le flux de chaleur créé par le champ u à travers le segment formé par lesmilieux des côtés (1, 2) et (1, 3) qui est de longueur c12 et de normale ~n1. Donc a(uh, wi) est la sommedes flux de chaleur créés par le champ uh à travers le contour représenté Fig. 7.6.

Interprétation du second membre d’une équationOn a

L(wi) =∫

Ωfwi dΩ

Ce terme est homogène à une quantité de chaleur puisque la fonction f est la densité de chaleurfournie à la plaque. La somme des fonctions wi est la fonction affine par morceaux qui vaut 1 enchaque nœud, c’est donc la fonction constante 1. Les fonctions wi apparaissent donc comme desdensités qui concentrent autour du nœud i la densité de chaleur fournie à la plaque. Le second membrereprésente une concentration d’une densité de chaleur répartie autour du nœud i.Nous en déduisons l’interprétation suivante d’une équation :

Résumé 3 Interprétation d’une équationL’équation i peut s’interpréter comme une équation de conservation de l’énergie entre le flux dechaleur à travers un contour entourant un nœud et les quantités de chaleur fournies par le milieuextérieur.

ECP 2006-2007 164


Cette interprétation est très pratique pour décrire les modifications à effectuer dans une équation pourprendre en compte de manière intuitive des phénomènes physiques qui ne sont pas couverts par lathéorie mathématique décrite dans les paragraphes précédents. Considérons, par exemple, une plaquechauffée par un rayon laser en un point qui est un nœud i. Comment faut-il modifier les équationspour en tenir compte ? La quantité de chaleur Q fournie par le laser s’ajoute à la densité de chaleur, ilfaut donc ajouter Q au second membre de l’équation relative à ce nœud i.Cette interprétation montre également la nature de l’approximation effectuée ; en effet la solutionexacte u du problème vérifie le principe de conservation de l’énergie à travers tous les contours inté-rieurs au domaine, tandis que la solution affine par morceaux uh ne vérifie le principe de conservationqu’à travers les contours polygonaux formés de segments passant par les milieux des arêtes.

7.2.5 Algorithmes de calcul

Au premier abord le système linéaire obtenu par la méthode des éléments finis semble plus obscuret surtout plus compliqué que celui que nous avons obtenu per la méthode des différences finies. Maisnous avons vu qu’il s’interprète en fait très concrètement et nous allons voir que sa complication n’estqu’apparente : un programme très court et très général permet de construire toutes les matrices deraideur. Pour bien comprendre la méthode des éléments finis, on ne peut pas séparer l’introduction desformulations faibles de l’étude de ce programme : leur intérêt et leur compréhension sont étroitementlié.Le problème est le suivant : on se donne un maillage, il faut écrire un programme de calcul de lamatrice de raideur et du second membre du système. Pour comprendre la structure du programme,remarquons que :− Le maillage contient toutes les informations géométriques, qui sont décrites par des tableaux (pa-ragraphe 7.2.5 ci-dessous).− Toute l’information sur l’équation se résume à l’expression des coefficients de la matrice de raideurqui sont des intégrales des fonctions de bases et de leurs dérivées.− Les intégrales sont décomposées en intégrales sur les éléments rassemblées dans les matrices deraideur élémentaires (paragraphe 7.2.5 ci-dessous).− Les fonctions de bases wi contiennent toute l’information sur l’approximation. Il faut les calculerainsi que leurs dérivées sur chaque élément (paragraphe 7.2.5 ci-dessous).

Structure des données du maillage

Le maillage est décrit par :− un tableau ELEM, de dimension (ne, 3) dont la ligne e contient les numéros des trois nœuds del’élément triangle e (rappelons que ne est le nombre d’éléments).− un tableau COORD, de dimension (N, 2), dont la ligne i définit les coordonnées du nœud i.



Pour le maillage de la Fig. (7.2), le haut des tableaux ELEM et COORD est :

ELEM =

1 2 31 3 44 3 82 5 33 5 6... ... ...

COORD =

0 0h 0h h0 h2h 0... ...

(7.20)

On peut numéroter les éléments dans un ordre quelconque, mais il peut être utile de respecter uneorientation pour l’ordre des sommets, nous avons pris le sens trigonométrique. En revanche la ma-nière de numéroter les nœuds a des conséquences sur la place des éléments non nuls dans la matricequi elle même a des conséquences très importante sur le nombre d’opérations dans les algorithmesd’élimination comme le pivot de Gauss.Les nœuds situés sur des bords ne sont décrits nulle part ; cela provient de ce que la condition écriteen ces nœuds, à savoir ∂u

∂n = 0, est devenue implicite dans la formulation du problème.Nous aurons besoin de la fonction “Description” qui permet d’extraire les abscisses (X(1), X(2), X(3))tet les ordonnées (Y (1), Y (2), Y (3))t des trois nœuds d’un élément e :

fonction [X,Y,NOEUD] = Description(ELEM,COORD,e)for i =1:3,

NOEUD(i) = ELEM(e,i);end;for i=1:3,

X(i) = COORD(NOEUD(i),1);Y(i) = COORD(NOEUD(i),2);

end;endfunction

Noter que la structure des données est identique à celle de la séance d’exercice 1 pour un treillisde barres.

Principe du calcul

La matrice de raideur K a pour coefficients

Ki,j =∫


Nous la décomposons en deuxK = K + K

avec

Ki,j =∫

Ωk∇wj · ∇wi dΩ

(matrice du laplacien) et

Ki,j =∫

Ωcwiwj dΩ

ECP 2006-2007 166


(matrice de masse).Les coefficients de ces matrices, ainsi que du second membre F sont des intégrales sur le domaineΩ. Nous allons décomposer ces intégrales en intégrales sur des triangles mais en inversant l’ordrequi paraît naturel : au lieu de faire une boucle sur les coefficients puis de calculer les intégrales surles triangles, nous allons faire une boucle sur les triangles puis calculer toutes les contributions d’untriangle aux coefficients d’une matrice.Considérons par exemple le calcul de la matrice de masse K. Posons nous la question suivante :quelles sont les modifications à effectuer dans la matrice K quand on ajoute un triangle au maillage ?Si on ajoute le triangle Te de sommet (i, j, k) il faut ajouter les intégrales sur ce triangle aux intégralesqui définissent les coefficients de K. Précisons :

1. Un triangle Te ne contribue au calcul d’une intégrale∫Ω cwiwj dΩ que si ce triangle appartient

au support des fonctions wi et wj , ce qui implique d’après la proposition 56 que les nœuds i etj sont des sommets du triangle Te. Un triangle Te de sommet (i, j, k) ne contribue donc qu’aucalcul de 9 coefficients

Ki,i Ki,j Ki,k

Kj,i Kj,j Kj,k

Kk,i Kk,j Kk,k

2. La contribution du triangle Te à un coefficient Ki,j auquel il contribue, c’est une intégrale surce triangle

Kei,j =

∫Te

cwiwj dS

Comme il contribue à 9 coefficients, on peut ranger ces contributions dans la matrice de raideurélémentaire Ke (cf. paragraphe 7.2.4)

Ke =

Kei,i Ke

i,j Kei,k

Kej,i Ke

j,j Kej,k

Kek,i Ke

k,j Kek,k

3. Si on ajoute le triangle Te au maillage il faut donc ajouter les 9 coefficients de la matrice de

raideur élémentaire Ke aux coefficients correspondants de K.

Programme d’assemblage

Nous supposons qu’une fonction “Ke = RaideurElemMasse(X,Y)” calcule la matrice de raideurélémentaire d’un triangle dont les coordonnées des 3 sommets sont définies par les vecteurs X et Y .Nous faisons une boucle sur les triangles et nous ajoutons les contributions de ce triangle aux co-efficients auxquels il contribue. Cette construction de la matrice de raideur à partir des matrices deraideurs élémentaires s’appelle l’assemblage.

function K = Assemblage(ELEM,COORD)ne = size(ELEM,1);N = size(COORD,1);K = zeros(N,N);for e = 1:ne,[X,Y,NOEUD] = Description(ELEM,COORD,e)



Ke = RaideurElemMasse(X,Y);for iloc=1:3,

i = NOEUD(iloc);for jloc=1:3,

j = NOEUD(jloc)K(i,j) = K(i,j) + Ke(iloc,jloc);

end;end;

endfunction

Commentaires : les numéros e des triangles correspondent aux lignes du tableau ELEM. Pourun triangle e, la fonction “Description” lit dans le tableau ELEM à la ligne e les numéros des troissommets : i = NOEUD(1), j = NOEUD(2), k = NOEUD(3) et lit les coordonnées des trois sommetsdans le tableau COORD. Après le calcul de la matrice Ke, on ajoute les coefficients de la matrice Ke

dans K en parcourant les coefficients de Ke (boucle sur iloc et jloc) ; un coefficient Ke(iloc, jloc)contribue au coefficient K(i, j) dans la matrice K.

Calcul d’intégrales sur un triangle

La méthode générale pour calculer une intégrale sur des triangles supposés petits est d’utiliser desformules d’intégration qui sont construites pour intégrer exactement les polynômes jusqu’à un certaindegré k et qui calculent une approximation d’ordre k pour des fonctions suffisamment dérivables. Onpeut utiliser la formule ∫

Te

f(x) dS = Surf(Te)∑3

i=1 f(xi)3

(7.21)

où les points xi sont les sommets du triangle, qui est exacte pour les polynômes de degré 1, ou laformule ∫

Te

f(x) dS = Surf(Te)∑3

i=1 f(mi)3

(7.22)

où les points mi sont les milieux des côtés du triangle, qui est exacte pour les polynômes de degré 2.Remarque : D’une manière générale pour calculer l’intégrale d’une fonction sur un domaine Ω, onconstruit un maillage de ce domaine et on fait une somme des intégrales sur tous les triangles dumaillage.

Calcul de la matrice de raideur élémentaire associée à K

La matrice de raideur élémentaire Ke associée à K a pour coefficients

Kei,j =∫Te

cwiwj dS (7.23)

En utilisant (7.22) calculons les coefficients de Ke. Notons mi le milieu du côté opposé au sommet idans le triangle Te, on a

wi(mi) = 0

wi(ml) =12

si l 6= i

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il vient si j 6= i ∫Te

cwiwj dS = cSurf(Te)112

(7.24)

et ∫Te

cw2i dS = cSurf(Te)

16

(7.25)

d’où

Ke =cSurf(Te)

12

2 1 11 2 11 1 2

(7.26)

et donc le programme :

function Ke = RaideurElemMasse(X,Y)P = [X(1), Y(1), 1

X(2), Y(2), 1X(3), Y(3), 1];

Surf =abs(det(P))/2;Ke = [2,1,1

1,2,11,1,2];

Ke = c/12*Surf*Ke;

Calcul de la matrice de raideur élémentaire associée à K

La matrice de raideur élémentaire Ke associée à K a pour coefficients

Kei,j =∫Te

k∇wj · ∇wi dS (7.27)

Les gradients des fonctions affines étant constants en déduit

Kei,j = Surf(Te) k∇wj · ∇wi (7.28)

Il faut calculer les gradients des fonctions de base.Les données de ce calcul sont les coordonnées des trois sommets du triangle, qui sont définies pardeux vecteurs, X et Y de dimension 3 obtenues par la fonction “Description” (cf. (7.2.5). Soit M lamatrice de dimension (3, 3) dont les colonnes sont les coefficients des fonctions wi

wi(x, y) = M1,ix+M2,iy +M3,i

On a donc∂wi∂x

= M1,i

et∂wi∂y

= M2,i



Soit P la matrice

P =

X(1) Y (1) 1X(2) Y (2) 1X(3) Y (3) 1

(7.29)

On a

Surf(Te) =12Det(P )

La fonction wi est la fonction affine qui vaut 1 au nœud i et 0 aux deux autres nœuds, ce qui s’écritmatriciellement pour les trois fonctions de base

PM =

1 0 00 1 00 0 1

La matrice M est donc l’inverse de la matrice P . Quand M est calculée, on a

∇wi = (M1,i,M2,i)t

et donc∇wi · ∇wj = M1,iM1,j +M2,iM2,j

La procédure de calcul de la matrice de raideur élémentaire présentée ci-dessous utilise quelquesmacro-instructions matricielles et la procédure “Description”, qui calcule les coordonnées des nœuds,stockées dans les vecteurs X et Y :

function Ke = RaideurElemLaplacien(X,Y)P = [X(1), Y(1), 1

X(2), Y(2), 1X(3), Y(3), 1];

M = P^-1;Surf = abs(det(P))/2;for i=1:3,

for j= 1:3,Ke(j) = Surf * k * (M(1,i) * M(1,j) + M2,i * M(2,j));end;

end;

Le programme d’assemblage présenté au paragraphe (7.2.5) permet l’assemblage la matrice K enchangeant juste le nom de la fonction qui calcule la matrice de raideur élémentaire.

Calcul du second membre

Le calcul du second membre F de composantes

Fi =∫

Ωq(x)wi dS

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suit le même principe que le calcul de la matrice de raideur. Si on ajoute un triangle Te de sommets(i, j, k) au maillage, il faut ajouter les intégrales sur ce triangle aux composantes Fi, Fj , Fk de F. Lesintégrales sur un triangle sont calculées par la formule (7.22), pour l’indice i par exemple

F ei = Surf(Te)q(mj) + q(mk)

2

On suppose donné un programme Q(X,Y) qui calcule la fonction q(x). On écrit une fonction “Fe =ForceElementaireX,Y)” qui calcule, sans astuce de programmation, les intégrales sur un triangle destrois composantes auxquelles ce triangle contribue :

function Fe = ForceElementaire(X,Y);P = [X(1), Y(1), 1

X(2), Y(2), 1X(3), Y(3), 1];

Surf = det(P)/2;Fe(1) = Surf/2*(Q((X(1)+X(2))/2,(Y(1)+Y(2))/2) + Q((X(1)+X(3))/2,(Y(1)+Y(3))/2);Fe(2) = Surf/2*(Q((X(2)+X(3))/2,(Y(2)+Y(3))/2) + Q((X(2)+X(1))/2,(Y(2)+Y(1))/2);Fe(3) = Surf/2*(Q((X(3)+X(1))/2,(Y(3)+Y(1))/2) + Q((X(3)+X(2))/2,(Y(3)+Y(2))/2);

Et on ajoute ce vecteur Fe à F par le programme d’assemblage suivant

function F = Assemblage(ELEM,COORD)ne = size(ELEM,1);N = size(COORD,1);F = zeros(N,N);for e = 1:ne,[X,Y,NOEUD] = Description(ELEM,COORD,e)Fe = ForceElementaire(X,Y);for iloc=1:3,

i = NOEUD(iloc);F(i) = F(i) + Fe(iloc);

end;endfunction

Les coefficients de Ke et la forme géométrique des triangles

(Ce paragraphe peut être laissé de côté en première lecture, il sert à donner un sens plus concretaux expressions théoriques de la matrice de raideur.)Soit triangle quelconque T , avec les notations de la figure (7.7). Calculons, à partir des éléments géométriques

du triangle, la matrice de raideur élémentaire du Laplacien, c’est à dire celle qui est associée à la matrice deraideur K. On a

Kei,j =

∫T

k∇wj · ∇wi dS

Les gradients des fonctions affines étant constants, l’intégrale est égale à∫T

k∇wj · ∇wi dS = Surf(T )k∇wj · ∇wi



1

2 3 c 1

c 2

c 3

h 1

h 3 h 2

θ 3

θ 1

θ 2

FIG. 7.7 – Notations dans un triangle quelconque

Le gradient de wi est dirigé selon la hauteur passant par i, vers le sommet i, et il est de longueur 1hi

(pour levérifier, calculer le gradient dans le repère formé par la hauteur issu de i et par le côté opposé à i). L’angle desdeux hauteurs issues des nœuds 1 et 2 est θ3 ; il vient

∫T

k∇w1 · ∇w2 dS = −Surf(T )1h1

1h2

cos θ3

d’où en utilisant les relations Aire(T ) = 12h2c2 et h1 = c2 sin θ3

∫T

k∇w1 · ∇w2 dS = −k2

cot θ3

De même ∫T

k∇w1 · ∇w1 dS = Surf(T )(1h1

)2

On a Aire(T ) = 12h1c1 ; on découpe le côté c1 en les deux segments définis par le pied de la hauteur ; les

longueurs de ces segments sont h1 cot θ3 et h1 cot θ2 ; il vient

∫T

k∇w1 · ∇w1 dS =k

2(cot θ2 + cot θ3)

Les autres intégrales s’obtiennent par permutation circulaire.Remarque :− ces intégrales ne dépendent que des angles du triangle,− si un angle du triangle tend vers 0, certains termes tendent vers l’infini,− si un angle est droit, le terme Ke,i,j associé aux deux nœuds opposés (i, j) est nul,− si les angles sont aigus les termes non diagonaux de Ke sont négatifs, si tous les triangles d’un maillage ontleurs angles aigus, on en déduit la même propriété pour la matrice de raideur K.

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7.3 Quelques extensions

7.3.1 Conditions aux limites

Conditions de type Robin

Considérons (cf. paragraphe 4.3.1) une condition aux limites de type Robin

−k∂u∂n

= C(u− u0) sur Γ

D’après le théorème (24) il faut ajouter dans la formulation faible (7.2) une forme bilinéaire

a1(u, v) =∫

ΓCuv ds

et donc ajouter à la matrice de raideur la matrice correspondante Kb de coefficients

Kbi,j =∫

ΓCwiwj ds

Ces coefficients sont nuls d’après la proposition 56 si les nœuds i et j ne sont pas tous les deux sur lebord Γ.Dans la structure des données nous ajoutons un tableau BORD de dimension (nb, 2) qui contient,dans un ordre indifférent, la liste des numéros des nœuds qui sont les extrémités des segments quiconstituent le bord, par exemple pour le maillage de la figure 7.3

BORD =

1 22 55 99 17... ...

Pour calculer la contribution de la matrice Kb à la matrice de raideur on calcule la contribution d’unsegment Se = (i, j) à cette matrice, soit 4 termes qui forment une matrice Kbe(2, 2)

Kbe =( ∫

SeCwiwi ds

∫SeCwiwj ds∫

SeCwjwi ds

∫SeCwjwj ds

)Les coefficients sont calculés par une formule d’intégration de Simpson (nous supposons que le seg-ment est paramétrée par s ∈ [0, 1])∫

Se

f(s) ds = Long(Se)(f(0) + 4f(12) + f(1))/6

L’assemblage se fait par une boucle sur les segments définis par le tableau BORD :

function [X,Y,NOEUD] = DescriptionBord(BORD,COORD,e)for i =1:2,

NOEUD(i) = BORD(e,i);



end;for i=1:2,

X(i) = COORD(NOEUD(i),1);Y(i) = COORD(NOEUD(i),2);

end;endfunction;

function Kb = Assemblage(BORD,COORD)nb = size(BORD,1);N = size(COORD,1);KBord = zeros(N,N);for e = 1:nb,[X,Y,NOEUD] = DescriptionBord(BORD,COORD,e)Kbe = RaideurElemBord(X,Y);for iloc=1:2,

i = NOEUD(iloc);for jloc=1:2,

j = NOEUD(jloc)Kb(i,j) = Kb(i,j) + Kbe(iloc,jloc);

end;end;

endfunction

Le programme “RaideurElemBord(X,Y)” est laissé au lecteur. L’introduction de la matrice Kbest superflue, on peut directement ajouter la matrice de raideur élémentaire dans la matrice K

Conditions de type Dirichlet

Considérons (cf. paragraphe 4.3.1) une condition aux limites de type Dirichlet

u|Γ0 = u0

où Γ0 est une partie du bord Γ. Nous étudions les modifications à apporter au paragraphe 7.2.4.L’espace V0 des fonctions tests de la formulation faible est alors

V0 = v continues dérivables par morceaux sur (Ω) / v|Γ0 = 0

Pour définir une approximation par la méthode de Ritz-Galerkin dans l’espace Wh des fonctionscontinues affines par morceaux, on introduit le sous-espace Vh ⊂ V0 ∩Wh des fonctions nulles sur lebord Γ0. On définit5 une approximation uh ∈Wh par

uh ∈Wh, uh|Γ0 = u0

∀v ∈ Vh, a(uh, v) = L(v)(7.30)

Noter que uh et v ne sont plus dans le même espace. Soit Γ1 le complémentaire de Γ0 dans Γ. Dansla base wi de Wh, uh s’écrit

uh =∑j∈Γ1

ujwj +∑j∈Γ0

ujwj

5Après avoir approché la fonction u0 par son interpolée affine par morceaux

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le premier terme étant formé des composantes uj inconnues et le deuxième des composantes connues.Une base de Vh est obtenue en ne considérant que les fonctions wi associées aux nœuds du maillagede Ω qui n’appartiennent pas au bord Γ0. Pour construire un système linéaire il faut renuméroter lesnœuds sans tenir compte des nœuds de Γ0 et prendre en compte dans le programme d’assemblage (cf.paragraphe 7.2.5) le fait que certains triangles ont pour sommets des nœuds de Γ0 et que les élémentscorrespondants des matrices de raideur élémentaires ne sont pas à assembler.On préfère maintenir tous les nœuds dans la structure des données et utiliser une des deux méthodessuivantes :

1) Construire la matrice de raideur comme dans l’exemple (7.1) ci-dessus avec Vh = Wh, puismodifier le système linéaire obtenu en tenant compte que :− si la ième équation fait intervenir un nœud j de Γ0, le terme Ki,juj est connu (uj = u0(xj)) et doitdonc passer au second membre ;− l’équation relative à un nœud i qui est sur Γ0 est remplacée par l’équation triviale ui = u0(xi).

2) Remplacer la condition de Dirichlet par une condition de Robin sur Γ0 avec une constante Ctrès grande : intuitivement, avec une interprétation thermique, cela revient à écrire que ce bord estfixé sur un support très conducteur de la chaleur, ce qui revient à fixer la température du bord à celledu support. Vu d’une manière plus abstraite, cela revient en utilisant le principe du minimum (7.9) àajouter à la fonction potentielle un terme∫

Γ0

C

2(u− u0)2 ds

avec une constante C très grande : c’est la méthode de pénalisation (voir les chapitres 3 et 4 du coursd’optimisation) appliquée au problème d’optimisation (7.9) pour les contraintes u(x) = u0(x) enchaque point de Γ0.Concrètement cette méthode se traduit par une opération très simple : la matrice de raideur du pro-blème (7.1) étant construite, on ajoute une constante C au terme diagonal d’une équation relative àun nœud du bord Γ0 et Cu0 au second membre.

7.3.2 Généralisation de l’équation

On considère dans ce paragraphe les modifications à apporter au paragraphe 7.2.4 pour traiterl’équation générale (4.3.1).

Termes différentiels

Supposons tous les coefficients constants. Les expressions générales de l’équation 4.3.1 ne posentpas de problème particulier : chaque terme de l’équation définit une forme bilinéaire qui définit elle-même une matrice de raideur dans l’approximation. Le calcul de cette matrice de raideur se ramènepar l’utilisation du programme général d’assemblage du paragraphe 7.2.5 au calcul d’une matricede raideur élémentaire. Le calcul de cette matrice se fait comme au paragraphe 7.2.5, seule changel’expression du coefficient Ke

i,j = .... C’est un point très remarquable de la méthode des élémentsfinis et du programme que nous avons présenté : une modification de l’équation ne change qu’uneligne du programme.



Coefficients variables

Si les coefficients dépendent du point x, cela ne change que peut de chose à l’approximation parla méthode de Ritz-Galerkin ; il faut juste en tenir compte dans le calcul des matrices de raideur élé-mentaire : les coefficients dépendent des points d’intégration. Souvent, ces coefficients sont constantspar sous-domaines (correspondant à des milieux ou des matériaux différents, voir la séance 5 d’exer-cices), la structure des données doit en tenir compte : on ajoute à la définition des éléments (tableauELEM) une colonne pour coder le sous-domaine auquel l’élément appartient.

Systèmes d’équations

L’approximation des systèmes d’équations, essentiellement ceux de l’élasticité, de l’électroma-gnétisme ou des écoulements incompressibles, s’effectue en approchant chaque composante de lasolution comme nous l’avons fait pour les équations à une seule fonction inconnue. La définition d’unsystème d’équations obtenu par le principe de Ritz-Galerkin appliquée à une formulation faible se faitcomme au paragraphe (7.2.4). La principale difficulté dans l’écriture du programme de constructiondu système linéaire vient de ce que les inconnues en chaque nœud ne sont plus des scalaires mais desvecteurs, la numérotation des inconnues diffère donc de la numérotation des nœuds. Des relations quisont scalaires avec une seule inconnue deviennent matricielles et des relations qui étaient matriciellesutilisent des tenseurs à quatre indices...

7.3.3 Éléments finis de degré supérieur

L’approximation d’une fonction régulière par une fonction affine est bien sûr moins préciseque l’approximation par des polynômes de degré plus élevé. Pour améliorer l’approximation pardes fonctions continues affines par morceaux on peut donc augmenter le degré des polynômes. Onpeut, par exemple, remplacer les fonctions continues affines par morceaux sur des triangles (Élé-ments finis linéaires), c’est à dire dont la restriction à chaque triangle est un polynôme de degré1, par les fonctions continues dont la restriction à chaque triangle est un polynôme de degré 2 :ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f ; ces fonctions, (Éléments finis quadratiques), sont souvent utiliséespar défaut dans les logiciels.

Éléments quadratiques

Un polynôme du second degré en x, y dépend de 6 coefficients, il est donc défini par ses valeursen 6 points. L’espace Wh de ces fonctions peut être décrit de la manière suivante :− Étant donné un maillage en triangles, nous appelons “nœuds” les sommets et les milieux des côtés.− Il existe une fonction de Wh et une seule qui prend des valeurs données aux nœuds.Ces propriétés sont justifiées par les suivantes :− Sur chaque triangle il y a un polynôme du second degré et un seul qui prend des valeurs donnéesaux 6 nœuds qui appartiennent à ce triangle, il y a donc une fonction et une seule qui prenne desvaleurs données aux nœuds.− Une fonction ainsi définie est continue car ses restrictions à deux triangles adjacents sont despolynômes qui prennent la même valeur aux extrémités et au milieu du côté commun à ces deuxtriangles : ils définissent donc sur ce segment deux polynômes du second degré qui coïncident en

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trois points et donc partout.Une base wi de Wh est définie comme pour les éléments linéaires : wi est l’unique fonction qui vaut1 au nœud i et 0 aux autres nœuds. Le support de Wi est formé des triangles auxquels le nœud iappartient.

Éléments sur des quadrilatères

On peut définir des approximations par des fonctions continues sur des quadrilatères en utilisantdes polynômes axy + bx + cy + d ; pour obtenir la continuité il y a cependant une petite difficultétechnique, qui est résolue par la théorie des éléments finis conformes. Voir ([7] et [6]) pour la théoriede ces éléments qui permettent en outre d’utiliser des polygones curvilignes qui sont intéressants pourmieux approcher les bords curvilignes.

7.3.4 Dimension 1 et 3

Nous avons présenté dans ce chapitre la méthode des éléments finis en dimension 2 avec une ap-proximation par des fonctions continues affines par morceaux sur des maillage en triangles. L’exten-sion aux dimensions 1 et 3 est naturelle. Il nous suffit de décrire l’espace Wh des fonctions continuesaffines par morceaux.

Dimension 1

Un maillage est un découpage de l’intervalle en segments. Les fonctions continues affines parmorceaux sont les fonctions dont le graphe est une ligne brisée sur la base de ces segments. Lesfonctions de base sont des fonctions “triangles”.

Dimension 3

Un maillage est une partition en tétraèdres. Les fonctions continues affines par morceaux sont biendéfinies par leurs valeurs aux nœuds car il existe une et une seule fonction affine ax + by + cz + dqui prend quatre valeurs données aux sommets des tétraèdres. Ces fonctions sont continues car leursrestrictions à un triangle commun à deux tétraèdres sont affines et prennent les mêmes valeurs auxsommets du triangle : elles sont donc égales sur ce triangle. Les fonctions de base wi ne sont nonnulles que sur les tétraèdres qui ont le nœud i pour sommet.Les maillages tridimensionnels sont souvent créés par translation de maillages surfaciques (cf. Fig.7.8). Selon que les surfaces sont maillées en triangles ou en quadrilatères on crée ainsi des prismes oudes hexaèdres. On peut définir directement des approximations polynômiales sur ces polyèdres, sansles redécouper en tétraèdres ; voir la théorie des éléments finis conformes dans ([7] et [6]).

7.4 Étude de l’erreur dans la méthode des éléments finis

Principe

Pour fixer les idées considérons le problème de référence (7.1).



Erreur d’interpolation

Nous donnons dans ce paragraphe à la constante h le sens précis du diamètre du plus grand élé-ment du maillage. Si u est une fonction continue, on peut définir son interpolation Πh(u) dans Vh, quiest l’unique fonction de Vh qui prend les mêmes valeurs que u aux nœuds. L’estimation de l’erreurd’interpolation permet une majoration de la distance de la solution à l’espace d’approximation Vh.Dans le cas d’une approximation par des éléments affines de on peut démontrer (en utilisant un déve-loppement de Taylor sur une approximation régulière de u) l’estimation suivante pour l’erreur d’in-terpolation, pour la norme ‖u‖H1 (définie au paragraphe 6.2.4)

‖u−Πh(u)‖H1 ≤ βh‖u‖H2

La constante β est indépendante du diamètre h du maillage pourvu que ce maillage ne soit pas trop“irrégulier” ; on peut par exemple démontrer l’existence de cette constanteC pour les éléments affinessur maillages en triangles dont le rapport des rayons du cercle circonscrit et du cercle inscrit restemajoré indépendamment du diamètre h.

Estimation de l’erreur

La forme faible (7.2) étant définie par une forme bilinéaire a(u, v) symétrique définie positive,nous avons vu au théorème 28 que la solution approchée uh est la projection de la solution exacte6

u ∈ V0 sur l’espace d’approximation Vh au sens du produit scalaire a(u, v), autrement dit

a(u− uh, u− uh) ≤ a(u−Πh(u), u−Πh(u))

La forme bilinéaire a(u, v) vérifie, d’après la définition de la norme ‖u‖H1 ,

m‖u‖2H1 ≤ a(u, u) ≤M‖u‖2H1 (7.31)

avec m = inf(k,C) et M = sup(k,C). On en déduit

‖u− uh‖2H1 ≤M

m‖u−Πh(u)‖2H1

Et donc‖u− uh‖2H1 ≤ β

M

mh‖u‖2H2

La constante βMm est indépendante de la finesse h du maillage, sous les conditions de “régularité” dumaillage vues au paragraphe précédent.Avec des conditions plus restrictives sur la frontière de Ω et sur la régularité des données on peut avoirdes estimations d’erreur plus fines, notamment des estimations uniformes et non plus en moyennequadratique. Elles sont beaucoup plus délicates à obtenir. La principale difficulté pour obtenir desestimations d’erreur uniformes est la présence de singularités sur les dérivées de la solution pourla plupart des “discontinuités” des données aux bord. Ce point délicat, mais riche de conséquencespratiques, est abordé à la séance d’exercices 2.Remarquer que l’inégalité (7.31) est ici facile à obtenir parce queC 6= 0, mais elle reste vraie siC = 0à condition qu’il y ait une condition de Dirichlet sur une partie du bord (voir dans [11] l’inégalité dePoincaré).

6Noter qu’il est important ici que Vh ⊂ V0, ce qui explique pourquoi nous avons étendu les formulations faibles àl’espace des fonctions continues C1 par morceaux (paragraphe 7.2.2.

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Contrôle de l’erreur

Des tests a posteriori, c’est à dire après qu’une approximation a été calculée, peuvent être effectuéspour estimer l’erreur locale et ainsi vérifier la qualité et le raffinement du maillage. Ces tests sont baséssur une analyse fine de l’erreur d’approximation, voir ([3]).A priori, il est clair que le pas du maillage doit au minimum permettre la représentation des variationsde la solution : par exemple dans le cas d’une approximation par des fonctions affines par morceauxil faut au moins quatre intervalles pour représenter une arche de sinusoïde.Le point le plus délicat est la prise en compte des singularités de la fonction (cf. séance d’exercices2). S’il est nécessaire de les représenter, le maillage doit suivre des règles précises.

7.5 Maillage

Un maillage d’un domaine Ω est un ensemble de domaine polygonaux disjoints dont la réunionest Ω. Les mailleurs complètement automatiques, de plus en plus utilisés, créent des triangles oudes tétraèdres mais ils rendent les calculs ultérieurs plus coûteux et sont inappropriés pour certainscalculs.

7.5.1 Propriétés nécessaires

Nous rappelons dans ce paragraphe quelques propriétés que doivent vérifier les maillages :− Un nœud d’un élément ne peut se trouver sur le bord d’un élément adjacent (les carreaux d’unedéfinition de type Bézier, Coons... crée par les logiciels de CAO ne respectent pas en général cettepropriété).− Un élément ne doit pas être trop déformé.− Dans certains problèmes (coques minces en élasticité) le maillage des surfaces en quadrilatère estpréférable, les triangles ne conduisant pas à des éléments satisfaisants.− Les maillages doivent être raffinés dans certaines parties du domaine, soit pour des raisons géomé-triques évidentes (filetage d’un boulon, couche mince), soit à cause des singularités prévisibles de lasolution (voisinage des fissures ou des entailles).− Les maillages doivent être “réguliers”, au sens intuitif du terme, dans les zones qui présentent unecertaine homogénéité. Les irrégularités du maillage entraînent toujours des fluctuations, à la mêmeéchelle, de la solution du problème.− En dimension 3 la principale difficulté est de “voir” le maillage. En l’absence de schémas simplesde construction, le contrôle du maillage peut être délicat.

7.5.2 Méthodes de maillage

Les techniques de maillage ont beaucoup évoluées ces dernières années, la mise au point demailleurs automatiques, voire adaptatifs, très performants a permis un gain de temps considérablesur une opération encore très fastidieuses sur certains logiciels. Cependant ces mailleurs, créent endimension 2 des triangles qui ne sont pas toujours adaptés aux contraintes de l’approximation, et,en dimension 3, des tétraèdres avec une qualité douteuse. Différentes techniques semi-manuelles



permettent de contrôler la création d’un maillage et souvent de diminuer l’inflation du nombre denœuds.

Maillage contrôlé

On peut distinguer entre autres :− Le maillage d’un volume par “extrusion” d’un maillage surfacique (ou linéïque). L’extrusion peutêtre une translation ou une rotation, ou une opération plus complexe. Si le maillage surfacique est entriangles on crée ainsi des prismes (cf. Fig. 7.8).− Le maillage par concaténation de sous-domaines de formes simples ou de sous-domaines préala-

FIG. 7.8 – Maillage par extrusion : le maillage d’une section est déplacé par une transformationhélicoïdale.

blement maillés. Il est bien adapté au maillage de pièces mécaniques souvent créées à partir de formessimples qui peuvent être maillées par extrusion. Il permet aussi, en découpant un domaine, de mieuxcontrôler le maillage.− Le maillage par déformation de grilles, surtout utilisé pour la méthode des différences finies. Leprincipe de cette méthode est de définir d’abord une grille sans se préoccuper de la position des nœuds.Ensuite cette grille est “transportée” sur un domaine donné, l’opérateur fixant seulement les nœudsdu bord, les nœuds intérieurs étant déterminés par une transformation M = F (m) de la grille sur ledomaine à mailler. Toute la difficulté est de définir des transformations qui, au minimum, doivent êtrebijectives et présenter localement des propriétés de "régularité" suffisantes. Ce n’est possible que siles frontières ont des formes simples, par exemple si le bord est un triangle ou un quadrilatère cur-vilignes comme la forme d’une tuyère. On peut utiliser des transformations conformes ou bien destransformations définies par des déformations élastiques, auquel cas on doit résoudre un problèmed’élasticité linéaire sur la grille initiale. Couplée avec le maillage par concaténation, le maillage pardéformation permet un contrôle très précis du maillage.

Le contrôle du “pas” du maillage s’effectue par la définition des points du bord du domaine àmailler ou par la donnée directe du pas du maillage, éventuellement à l’aide d’une fonction. Pourcontrôler un maillage à l’intérieur d’un domaine on peut aussi redécouper ce domaine pour faire

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apparaître des frontières intérieures. Pour effectuer des vérifications du maillage, l’utilisateur d’unlogiciel dispose en général de tests mesurant les déformations des éléments.

Maillage libre

Les maillages sont le plus souvent créés par des programmes qui construisent automatiquementdes triangles en dimension 2 ou des tétraèdres en dimension 3 en tenant compte des nécessairesraffinements dans les zones d’irrégularités géométriques. Il y a deux problèmes différents :1) La création des nœuds en respectant les contraintes de densité. C’est un problème complexe et trèstechnique, nous renvoyons le lecteur aux ouvrages de référence ([3]).2) La création des triangles ou tétraèdres sur la base d’un ensemble de nœud, de manière optimale,c’est à dire en évitant de créer des polygones ou polyèdres aplatis. En se limitant à la dimension 2,pour simplifier, nous allons étudier ci-dessous un outil très intéressant pour créer des triangles7 : latriangulation de Delaunay qui a, entre autres, de nombreuses applications en imagerie.

Maillage adaptatif

Définir a priori la densité optimale des nœuds d’un maillage pour obtenir une précision donnéeest souvent délicat. De nombreux logiciels permettent une adaptation automatique du maillage de lamanière suivante :− Un premier maillage est défini, un calcul effectué sur ce maillage.− Une estimation locale de l’erreur est effectuée à l’aide de tests a posteriori qui sont fondés sur uneétude mathématique de l’erreur (voir [3]).− Un remaillage est effectué ; par simplicité ce remaillage consiste souvent à redécouper localementdes triangles, sinon les temps de calcul peuvent être prohibitifs.

7.5.3 Triangulation de Delaunay

Introduction

Le problème est le suivant : étant donné un ensemble E de points du plan, existe-t-il une tri-angulation “naturelle” du plan s’appuyant sur ces points ? “Naturelle” signifie ici que les trianglesne relient que les nœuds les plus “voisins”. Ce qui renvoie au problème : quel sens mathématiquepeut on donner à la notion intuitive de “points voisins” ? La notion de “voisinage” de points du planpeut prendre un sens mathématique précis avec la définition des polygones de Voronoï qui ont denombreuses applications physiques et géométriques8 :

Définition 40 Polygones de VoronoïÉtant donné un ensemble E de points du plan, le polygone de Voronoï d’un point M dans E estl’ensemble des points du plan plus proches de M que de tous les autres points de E. Cet ensembleest un polygone convexe9 et la réunion de ces polygones réalise une partition du plan.

7La théorie se généralise de façon naturelle en dimension quelconque.8Nous considérons ici une situation isotrope où la distance euclidienne est bien adaptée, un cadre anisotrope est souvent

nécessaire pour définir un maillage optimal du point de vue de la méthode des éléments finis (voir [3]).9C’est l’intersection des demi-plans définis par les médiatrices des segments MP avec P ∈ E qui contiennent M .



Noter que les bords du polygone de Voronoï d’un point M sont les médiatrice des segments MP , oùP est un autre point de E. On définit la relation de voisinage pour des points de E en posant que deuxpoints sont voisins si leurs polygones de Voronoï ont un côté commun. En reliant les nœuds voisinspar des segments on construit en général10 une triangulation du plan, la triangulation de Delaunay.

Définition 41 Triangulation de DelaunayÉtant donné un ensemble E de points du plan, un triangle de la triangulation de Delaunay est forméde trois points dont les polygones de Voronoï ont un point commun. Si quatre points, ou plus, ont despolygones ayant un point commun, alors ces points sont cocycliques et on découpe arbitrairement entriangles le polygone qu’ils forment.

On en déduit la caractérisation suivante :

Proposition 58 Triangulation de DelaunayUn triangle appartient à la triangulation de Delaunay si et seulement si l’intérieur du cercle circons-crit à ce triangle ne contient aucun autre point de l’ensemble E.

PreuveLe point commun à trois polygones de Voronoï basés sur les sommets (M1,M2,M3) d’un triangle deDelaunay est le centre du cercle circonscrit au triangle (M1,M2,M3). Si un point M4 est intérieur aucercle circonscrit à un triangle (M1,M2,M3) de la triangulation de Delaunay, le centre de ce cercleest plus proche de M4 que des points (M1,M2,M3). Il ne peut donc pas appartenir aux polygones deVoronoï de (M1,M2,M3), contrairement à l’hypothèse. La réciproque suit le même argument.♦

Une présentation naturelle de la triangulation de Delaunay

Nous allons redéfinir la triangulation de Delaunay par une autre voie. Il est remarquable que, siles points de E sont sur une sphère (ou, c’est plus intuitif ici, sur une calotte sphérique) et non surun plan, il existe une triangulation naturelle s’appuyant sur ces points. En effet, tout découpage entriangles sur la sphère est associé à un polyèdre ayant les points de E comme sommet ; or parmi tousces polyèdres il y a, en particulier, le polyèdre convexe engendré par les points de E. Les faces de cepolyèdre sont en général des triangles (sinon on a quatre points coplanaires, on découpe arbitrairementle quadrilatère qu’ils engendrent) et ces triangles définissent un découpage de la sphère en trianglessphériques.

Les faces de ce polyèdre convexe sont des triangles qui ont la propriété que leur plan laisse tousles autres points de E du même côté. Ce découpage de la sphère jouit clairement de propriétés op-timales (par rapport à la notion de voisinage par exemple, car trois points de la sphère sont d’autantplus proches, que leur plan est éloigné du centre, or le polyèdre convexe est le plus “extérieur” à lasphère de tous ceux qui ont les points de E comme sommets).On en déduit l’idée suivante pour définir une triangulation sur la base d’un ensemble E de points duplan :

10Plus précisément : la situation “générale” est qu’un point du plan appartient au plus à trois polygones de Voronoï, sinoncela signifie que les points de base de ces polygones sont cocycliques.

ECP 2006-2007 182


FIG. 7.9 – Passage du plan à la sphère par projection stéréographique.

− on applique les points du plan sur une sphère par projection stéréographique inverse, on obtientainsi un ensemble E′ ;− on définit les triangles sphériques associés au polyèdre convexe formé par les points de E′ et le“pôle nord” ;− on reprojette sur le plan la triangulation qui a été obtenue sur la sphère.La triangulation ainsi obtenue sur le plan est la triangulation de Delaunay. Cela découle de ce quele cercle circonscrit à un des faces triangulaires du polyèdre convexe construit sur la sphère se pro-jette sur le cercle circonscrit au triangle projeté. La calotte sphérique définit par le premier cercle seprojette donc sur l’intérieur du cercle circonscrit à un triangle du maillage du plan. Or cette calottesphérique ne contient aucun sommet du polyèdre convexe, le cercle circonscrit à un triangle du planne contient aucun autre nœud. C’est la propriété caractéristique d’une triangulation de Delaunay dela proposition 58.

La triangulation de Delaunay a plusieurs propriétés d’optimalité, dont l’une est spécialement in-téressante pour la méthode des éléments finis : son plus mauvais triangle (i.e. le plus aplati ) estle meilleur possible, parmi toutes les triangulations construites sur un ensemble donné de points. Ilexiste plusieurs algorithmes de construction de la triangulation de Delaunay, certains en N ln(N)opérations pour N points ; les plus simples (en N2 opérations) construisent les triangles par récur-rence sur les points de E en considérant les modifications à apporter au maillage quand on ajoute unpoint, de façon à respecter la propriété caractéristique de la proposition 58. La principale difficultéde la mise en oeuvre est d’éviter un trop grand nombre de tests d’inclusion pour vérifier la propriétécaractéristique.



FIG. 7.10 – Une triangulation de Delaunay avec raffinement de maillage. Noter l’utilisation de sous-domaines pour contrôler le maillage (Doc. J.H. Saiac).

FIG. 7.11 – Un maillage adapté à la modélisation d’ondes de chocs sur un écoulement autour d’uneaile (Doc. J.H. Saïac).

ECP 2006-2007 184

Chapitre 8

L’approximation des problèmesd’évolution

Objectifs

Ce chapitre est une introduction à l’approximation numérique des problèmes d’évolution, ou plusprécisément, des problèmes de Cauchy pour des équations aux dérivées partielles. Sans faire unethéorie générale nous développons à partir de quelques exemples les principes de l’approximation parla méthode des différences finies et des éléments finis. Nous commençons par présenter des méthodesde discrétisation : un problème d’évolution conduit naturellement, par passage du continu au discret,à une récurrence. Nous verrons ensuite que ces méthodes naturelles conduisent à des approximationsqui peuvent être incohérentes : c’est le problème de la stabilité des schémas de récurrence. Le nonrespect par le schéma de certaines propriétés qualitatives des équations aux dérivées partielles est lacause de ces instabilités que nous analyserons.

8.1 Approximation de problèmes modèles

8.1.1 Problèmes modèles

Nous considérons les deux problèmes d’évolution qui nous ont servi de modèles au chapitre 2.

L’équation de la diffusion(Voir paragraphe 2.1.2). Soit u(x, t), x ∈ [0, L], t ∈ [0, T ] solution du problème

∂u

∂t= c

∂2u

∂x2x ∈]0, L[, t ∈]0, T [

u(x, 0) = u0(x) x ∈]0, L[u(0, t) = u(1, t) = 0 t ∈]0, T [

(8.1)

où u0(x) ∈ C([0, L]) est l’état initial. C’est une équation parabolique (cf. paragraphe 5.1.5).

185


L’équation des ondes(Voir paragraphe 2.1.4) Soit u(x, t), x ∈ [0, L], t ∈ [0, T ] solution de

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2x ∈]0, L[, t ∈]0, T [

u(x, 0) = u0(x) x ∈]0, L[∂u

∂t(x, 0) = 0 x ∈]0, L[

u(0, t) = u(1, t) = 0 t ∈]0, T [

(8.2)

où u0(x) ∈ C2([0, L]) est la position initiale et où la vitesse initiale est supposée nulle. Elle estéquivalente au système hyperbolique du premier ordre

∂u

∂t= c

∂v

∂x∂v

∂t= c

∂u

∂x

u(x, 0) = u0(x) x ∈]0, L[v(x, 0) = 0 x ∈]0, L[u(0, t) = u(1, t) = 0 t ∈]0, T [

(8.3)

8.1.2 Approximation par la méthode des différences finies

Discrétisation en espace

On divise l’intervalle [0, L] avec un pas h = LN+1 . On définit les points de discrétisation de

coordonnées xj = jh. On discrétise la solution en ne calculant les valeurs de la solution qu’auxpoints xj , les autres valeurs pourront être interpolées. On note uj(t) les valeurs ainsi calculées. Pourobtenir une équation au point xj qui soit une approximation de l’équation aux dérivées partielles onremplace dans l’équation aux dérivées partielles exacte les dérivées exactes par des différences finies

à droite :∂u

∂x(xj , t) w

u(xj + h, t)− u(xj , t)h

(8.4)

à gauche :∂u

∂x(xj , t) w

u(xj , t)− u(xj − h, t)h

(8.5)

symétrique :∂u

∂x(xj , t) w

u(xj + h, t)− u(xj − h, t)2h

(8.6)

Un développement limité montre que les deux premières approximations sont à h près, la troi-sième à h2 près. On construit de même une approximation de la dérivée seconde

∂2u

∂x2(xj , t) w

u(xj − h, t)− 2u(xj , t) + u(xj + h, t)h2

(8.7)

Un développement limité montre que cette approximation de la dérivée seconde est à h2 près.

ECP 2006-2007 186

CHAPITRE 8. L’APPROXIMATION DES PROBLÈMES D’ÉVOLUTION 187

Semi-discrétisation en espace de l’équation de la diffusion

En remplaçant les dérivées exactes par les différences finies dans (8.1) nous obtenons∂uj∂t

= cuj−1(t)− 2uj(t) + uj+1(t)

h21 ≤ j ≤ N, t ∈]0, T [

uj(0) = u0(xj) 1 ≤ j ≤ Nu0(t) = uN+1(t) = 0 t ∈]0, T [

(8.8)

C’est un système deN équations différentielles linéaires àN fonctions inconnues uj(t) (noter que lesvaleurs extrêmes u0 et uN+1 sont connues et ici nulles), pour lequel est posé un problème de Cauchy(ou problème à valeurs initiales). On pose

U(t) = (u1(t), · · · , uj(t), · · · , uN (t))t

Le système (8.8) s’écrit matriciellementdUdt

= −KU

U(0) = U0 = (u0(x1), · · · , u0(xj), · · · , u0(xN ))t(8.9)

où K est la matrice tridiagonale symétrique

K =c

h2K0

avec

K0 =

2 −1 0 ... 0 0−1 2 −1 ... 0 00 −1 2 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 2 −10 0 0 ... −1 2

(8.10)

Proposition 59 La matrice K est définie positive. On en déduit que le système différentiel (8.9) estdissipatif (cf. paragraphe(1.3.2), comme l’équation initiale (8.1)

d

dt〈U,U〉 = −〈KU,U〉 < 0

Cela découle de la relation

〈K0U,U〉 =∑

Nj=2 (uj−1 − uj)2 + u2

1 + u2N (8.11)

Nous avons vu (proposition 23) que l’opérateur ∂2u∂x2 est symétrique défini positif quand il opère sur

les fonction nulles sur le bord, il est donc heureux que son approximation conduise à une matricesymétrique définie positive ; nous verrons plus loin qu’en utilisant une approximation par la méthodedes éléments finis, cette propriété ne sera plus l’effet du hasard.



Semi-discrétisation en espace de l’équation des ondes

PrincipeEn remplaçant les dérivées exactes par les différences finies dans (8.2) nous obtenons

∂2uj∂t2

= cui−1(t)− 2uj(t) + ui+1(t)

h21 ≤ j ≤ N, t ∈]0, T [

uj(0) = u0(xj) 1 ≤ j ≤ Nu′j(0) = 0 1 ≤ j ≤ N

u0(t) = uN+1(t) = 0 t ∈]0, T [

(8.12)

C’est un système de N équations différentielles linéaires du second ordre à N fonctions inconnuesuj(t) (noter que les valeurs extrêmes u0 et uN+1 sont connues et ici nulles), pour lequel est posé unproblème de Cauchy (ou problème à valeurs initiales). On pose

U(t) = (u1(t), · · · , uj(t), · · · , uN (t))t

Le système (8.12) s’écrit matriciellementd2Udt2

= −KU

U(0) = U0 = (u0(x1), · · · , u0(xj), · · · , u0(xN ))tdUdt

(0) = 0

(8.13)

où K est la matrice tridiagonale symétrique

K =c2

h2

2 −1 0 ... 0 0−1 2 −1 ... 0 00 −1 2 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 2 −10 0 0 ... −1 2

Nous avons vu (2.23) que l’équation des ondes (8.2) est conservative. Nous allons vérifier que lesystème (8.13) est aussi conservatif, pour une énergie dicrétisée. En effet, multiplions scalairement(8.13) par dUdt

〈d2Udt2

,dUdt〉+ 〈KU,

dUdt〉 = 0

doncd

dt(12〈dUdt,dUdt〉+

12〈KU,U〉) = 0

ce qui montre la conservation de l’énergie discrétisée

(12〈dUdt,dUdt〉+

12〈KU,U〉) (8.14)

ECP 2006-2007 188


Passage à un système du premier ordreOn peut réécrire se système sous la forme d’un système du premier ordre à 2N inconnues dansl’espace des phases en introduisant le vecteur des vitesses

V =dUdt

Il vient

dUdt

= V

dVdt

= −K U

U(0) = U0

V(0) = 0

(8.15)

Ou encore en posantX = (U,V)t ∈ R2N

il vient dXdt

= A X

X(0) = (U0, 0)t(8.16)

où nous avons défini la matrice A par blocs

A =(

0 Id−K 0

)Nous allons retrouver le fait que les solutions du système (8.16) conserve l’énergie (cf. paragraphe

1.3.2). En notant 〈U,V〉 le produit scalaire canonique sur RN , introduisons le produit scalaire surR2N défini par

X,Y = 〈KX1,Y1〉+ 〈X2,Y2〉 (8.17)

où nous avons décomposé les vecteurs X = (X1,X2)t ∈ R2N et Y = (Y1,Y2)t ∈ R2N en deuxvecteurs de RN . Noter que le carré scalaire X,X n’est pas autre chose que l’énergie définiepar la formule (8.14). D’après la proposition (8) si les solutions de (8.16) conserve cette énergie, lamatrice A est antisymétrique par rapport au produit scalaire qui définit l’énergie. Nous allons montrerdirectement cette proposition :

Proposition 60 La matrice A est antisymétrique sur R2N pour le produit scalaire X,Y . Lesystème différentiel (8.16) est donc conservatif

U,U = Cte

comme l’équation initiale (8.2).



Preuve(Voir la proposition (8)). Par définition de A

AX = (X2,−KX1)t

L’antisymétrie de la matrice découle de la relation

AX,X = 〈KX2,X1〉+ 〈−KX1,X2〉 = 0

puisque la matrice K est symétrique.On en déduit à partir de (8.16) que

dXdt,X = A X,X = 0

et doncd

dt

12 X,X = 0

d’où X,X = Cte

♦

Discrétisation en temps

On peut intégrer numériquement les systèmes différentiels (8.9) et (8.13) par des méthodes clas-siques de précision plus ou moins grande (“Runge-Kutta”, “Prédicteur-correcteur”) ou adaptée à dessituations particulières (“Gear”...). Mais l’approximation en temps ne peut pas être indépendante del’approximation en espace, pour des raisons évidentes de précision, et surtout, pour des systèmesde grande dimension, la question cruciale est celle de la stabilité des approximations. Pour étudierces questions nous allons appliquer les méthodes d’intégration les plus simples. Nous écrivons cessystèmes sous la forme canonique

dXdt

= A X

X(0) = X0

(8.18)

On choisit un pas de discrétisation τ et on pose Xn = X(nτ) ∈ RN (Pour l’équation des ondes onpose Xn = X(nτ) ∈ R2N ).

Schéma d’Euler expliciteEn approchant d

dtX(nτ) par la différence divisée à droite (8.4) on définit le :schéma d’Euler explicite

Xn+1 −Xn

τ= AXn (8.19)

Dans le cas de l’équation de la diffusion la jème équation s’écrit

un+1j − unj

τ=

c

h2(unj−1 − 2unj + unj+1) (8.20)

ECP 2006-2007 190


Schéma d’Euler impliciteEn approchant d

dtX(nτ) par la différence divisée à gauche (8.4) on définit, après décalage de n enn+ 1, le :schéma d’Euler implicite

Xn+1 −Xn

τ= AXn+1 (8.21)

Dans le cas de l’équation de la diffusion la jème équation s’écrit

un+1j − unj

τ=

c

h2(un+1j−1 − 2un+1

j + un+1j+1 ) (8.22)

Schéma des trapèzesEn écrivant que

X((n+ 1)τ) = X(nτ) +∫ (n+1)τ

nτAX(t) dt

et en approchant l’intégrale par la formule des trapèzes, on définit le :schéma des trapèzes ou de Crank-Nicholson

Xn+1 = Xn + τ(AXn+1 + AXn)/2 (8.23)

Ces trois schémas définissent des récurrences linéaires que nous pouvons écrire sous forme matricielle

Xn+1 = MXn (8.24)

où la matrice M est :

- schéma d’Euler explicite : M = (Id+ τA)

- schéma d’Euler implicite : M = (Id− τA)−1

- schéma des trapèzes : M = (Id− τ2A)−1(Id+ τ

2A)

RemarqueSi on développe le schéma matriciel d’Euler explicite dans le cas du système (8.13) de l’équation desondes, on obtient, après élimination de V, un schéma du second ordre sur unj :

un+2j − 2un+1

j + unjτ2

= c2unj−1 − 2unj + unj+1

h2

Ce schéma aux différences finies est moins naturel (et moins précis) que le schéma “centré”

un+1j − 2unj + un−1

j

τ2= c2

unj−1 − unj + unj+1

h2

Ce qui montre que le passage du système du second ordre (8.12) au système du premier ordre (8.13)n’est pas sans conséquence sur l’approximation.



8.1.3 Analyse des approximations

Calcul des schémas de récurrence

Nous considérons dans ce paragraphe une situation un peu plus générale que les problèmes mo-dèles en appliquant les schémas ci-dessus à des systèmes différentiels issus de l’approximation d’uneéquation aux dérivées partielles.Le schéma d’Euler explicite ne demande que des multiplications matrice - vecteur, et ne pose pas deproblème particulier, à part la représentation de la matrice qui doit tenir compte de la forme creuse,voire tridiagonale de la matrice, le produit matrice vecteur étant écrit dans cette représentation (ma-trices “sparse” de Scilab ou MatLab).Les schémas d’Euler implicite ou des trapèzes s’écrivent mathématiquement à l’aide d’une inversionde matrice qu’on ne devra pas (jamais !) faire en pratique ; en effet l’inverse d’une matrice creuseest (en général et en particulier ici) pleine et la seule multiplication de la matrice inverse par un vec-teur exigerait N2 opération alors que l’opération que nous allons décrire ci-dessous est en O(N).Considérons par exemple le schéma d’Euler implicite, pour l’équation de la diffusion (donc A =−K), écrit sous la forme

(Id+ τK)Un+1 = Un

Pour calculer Un+1 il faut à chaque pas résoudre un système à matrice tridiagonale symétrique définiepositive (la matrice du système est tridiagonale comme l’est la matrice K)

(Id+ τK)U = b

Il existe1 alors une matrice L triangulaire inférieure et bidiagonale telle que

(Id+ τK) = LLt

A chaque itération on résout les deux systèmes à matrice triangulaires bidiagonale

LY = b (8.25)

LtU = Y (8.26)

ce qui ne coûte que 4N opérations.

Résultats expérimentaux

Comportement du schéma d’Euler explicite appliqué à l’équation de la diffusion :Voir la figure 8.1. Le profil initial de température est parabolique. Pour un pas de temps τ plus petitque 0.02 les résultats paraissent cohérents : la courbe de température est régulière, concave et décroîtvers 0. Pour un pas de temps de 0.02 une oscillation apparaît rapidement, puis la solution explose enoscillant.Analyse :

1C’est la décomposition de Choleski, un sous-produit de la triangulation de la matrice A par la méthode du pivot deGauss. Voir ([8], [9], [2])

ECP 2006-2007 192


Ci-contre

Pas de temps τ τ τ τ = 0.019

Visualisation des 100 premières étapes, repré-

sentées de 10 en 10.







FIG. 8.1 – Comportement du schéma d’Euler explicite appliqué à l’équation de la diffusion.

Fixons L = 1 pour simplifier. Nous avons calculé (2.10) un développement en séries de Fourier de lasolution exacte

u(x, t) =∑k

ak exp (−k2π2ct) sin (kπx)

d’où au point (jh, nτ) avec h = 1N+1

u(jh, nτ) =∑k

ak exp (−k2π2cnτ) sin (kjπh)

On voit que les coefficients des différents harmoniques décroissent avec le temps, d’autant plus viteque la fréquence est élevée.On peut calculer (paragraphe 8.1.5) les vecteurs et valeurs propres de la matrice M

Vk = sin kjπh, µk = 1− 4cτ

h2(sin (k

π

2h))2

on en déduit, en décomposant la position initiale U0j dans la base de vecteurs propres de M

U0j =

∑k

ckVk



et doncUnj = MnU0

j =∑k

ck(µk)nVk (8.27)

si cτh2 1/2 toutes les valeurs propres µk sont plus petites que 1 en module, ce qui implique la

décroissance des coefficients de chaque vecteur propre. Mais si cτh2 1/2,

µN = 1− 4cτ

h2(sin (N

π

2h))2 ∼ 1− 4

cτ

h2

µN est inférieure à −1 et c’est la plus grande valeur propre, en valeur absolue. Le coefficient duvecteur VN dans (8.27) domine tous les autres et il tend vers l’infini : comme le vecteur VN définitune suite oscillante cela explique l’apparition des oscillations grandissantes sur la figure 8.1.

Schéma d’Euler explicite : une position et le mouvement du point milieu

Schéma d’Euler implicite : une position et le mouvement du point milieu

Schéma des trapèzes : une position et le mouvement du point milieu

-2

0

2

4

0 20 40 60 80 100

-1

-0.5

0

0.5

1

0 50 100 150

-1

-0.5

0

0.5

1

0 50 100 150 200 250

FIG. 8.2 – Comportement des trois schémas appliqués à l’équation des ondes.

Comportement des trois schémas appliqués à l’équation des ondes. :Voir la figure 8.2. Le calcul est mené avec une faible précision (10 pas). Avec le schéma d’Eulerexplicite la l’amplitude des oscillations est croissante. Avec le schéma d’Euler implicite la solution se“régularise” rapidement (suppression des petites irrégularités), ce qui n’est pas normal, et l’amplitude

ECP 2006-2007 194


décroît comme le montre le mouvement du point milieu. Avec le schéma des trapèzes il y a conserva-tion de l’amplitude et on observe des irrégularités qui correspondent au passage des harmoniques defréquence élevées.

Conservation des propriétés qualitatives

Il y a plusieurs raisons pour construire des schémas d’approximation d’une équation aux déri-vées partielles qui conservent certaines propriétés qualitatives des solutions : la première étant quel’utilisateur d’un logiciel sera surpris de voir une grandeur physiquement positive devenir négative,même faiblement ! La deuxième étant que certaines propriétés qualitatives, comme par exemple laconservation d’une énergie ou la décroissance du maximum, assurent la stabilité et la convergencedes approximations.

Équation de la diffusionNous avons vu (Prop. 59) que l’équation de la diffusion est dissipative, qu’en est-il des schémas ?− Le schéma explicite s’écrit

Un+1 = Un − τKUn = Un − cτ

h2K0Un

où K0 est une matrice symétrique définie positive (cf. 8.10). Il n’est pas toujours dissipatif pour leproduit scalaire canonique de RN , en effet

〈Un+1,Un+1〉 = 〈Un,Un〉+ τ2〈KUn,KUn〉 − 2τ〈KUn,Un〉

si on choisit pour Un un vecteur propre V de K0 de valeur propre λ > 0, le second membre s’écrit

(1 +c2τ2

h4λ2 − 2

cτ

h2λ)〈V,V〉

Le schéma est dissipatif sicτ

h2<

2λ

On peut montrer (8.33) que λ < 4, ce qui conduit à la condition suffisante

cτ

h2<

12

En examinant la formule de récurrence (8.20) on vérifie que sous cette condition un+1j est une

moyenne des unj , ce qui implique la décroissance du maximum et la positivité des valeurs si lesvaleurs initiales sont positives.− Le schéma implicite s’écrit

Un+1 − τKUn+1 = Un

Il est toujours dissipatif pour le produit scalaire canonique de RN , en effet, si nous prenons le carréscalaire de chaque membre du schéma

〈Un+1,Un+1〉+ τ2〈KUn+1,KUn+1〉+ 2τ〈KUn+1,Un+1〉 = 〈Un,Un〉



Le premier membre n’est formé que de termes positifs donc

〈Un+1,Un+1〉 < 〈Un,Un〉

Équation des ondesNous avons vu (8.2) que cette équation est conservative.− Le schéma explicite s’écrit

Xn+1 = Xn + τAXn

où A est une matrice antisymétrique pour le produit scalaire que nous avons noté ., . . Prenonsle carré scalaire de chaque membre

Xn+1,Xn+1 = Xn,Xn +τ2 AXn,AXn −2τ AXn,Xn = Xn,Xn +τ2 AXn,AXn

puisque pour une matrice antisymétrique AX,X = 0. Le schéma n’est pas conservatif : àchaque étape il rentre de l’énergie.− Le schéma implicite s’écrit

Xn+1 − τAXn+1 = Xn

Prenons le carré scalaire de chaque membre

Xn+1,Xn+1 +τ2 AXn+1,AXn+1 −2τ AXn+1,Xn+1 = Xn,Xn

Donc Xn+1,Xn+1 +τ2 AXn+1,AXn+1 = Xn,Xn

Les deux termes du premier membre étant positifs on en déduit

Xn+1,Xn+1 < Xn,Xn

Le schéma implicite est toujours dissipatif.− Le schéma des trapèzes s’écrit

Xn+1 = MXn

avecM = (Id− τ

2A)−1(Id+

τ

2A)

On a〈Xn+1,Xn+1〉 = 〈MXn,MXn〉 = 〈MtMXn,Xn〉

Montrons que la matrice M est orthogonale pour le produit scalaire ., . . En effet la matrice Aétant antisymétrique

MtM = (Id+τ

2A)t(Id− τ

2A)−t(Id− τ

2A)−1(Id+

τ

2A)

= (Id− τ

2A)(Id+

τ

2A)−1(Id− τ

2A)−1(Id+

τ

2A)

= Id

(En tenant compte du fait que toutes ces matrice commutent). On en déduit que le schéma des trapèzesest conservatif en énergie.

ECP 2006-2007 196


8.1.4 Analyse de l’erreur

Principe

L’étude de l’erreur dans une approximation d’un problème différentiel, se fait selon le schémagénéral suivant :− soitL(u) = f l’équation exacte d’un problème dont la solution est u ∈ V ,L(u) étant une opérationlinéaire, V un espace de fonctions,− soitLh(uh) = fh l’équation obtenue par approximation du problème, en notant uh ∈ Vh la solutionde l’approximation, Vh étant un certain espace de dimension finie et h un paramètre qui représenteles pas de discrétisation et qui peut tendre vers 0,− notons Πh(u), un représentant2 de u dans Vh dont on sait estimer, en un sens à préciser, la distanceà u et qui est telle que

limh→0

(u−Πh(u)) = 0

Πh(u) est l’objet que l’on veut effectivement calculer, faute de pouvoir représenter u exactement.

ConsistancePour étudier l’erreur d’approximation la première étape est de montrer que Πh(u) vérifie “presque”l’équation approchée, c’est l’étude de la consistance de l’approximation,

Lh(Πh(u))− fh = εh

où limh→0 ‖εh‖ = 0. On en déduit, si toutes les opérations sont linéaires, que

Lh(Πh(u)− uh) = εh

StabilitéLa seconde étape est de montrer que l’opérateur L−1

h est borné indépendamment de h, c’est à dire despas de discrétisation, ce qui implique

‖Πh(u)− uh‖ ≤ Cte‖εh‖

c’est l’étude de la stabilité de l’approximation. Dans certains cas la stabilité est soumise à des condi-tions sur les pas de discrétisation, nous parlerons de stabilité conditionnelle. La consistance et lastabilité implique donc, par définition, la convergence en un sens à préciser.

Résumé 4 La solution exacte d’une équation n’est solution que d’une perturbation du schéma d’ap-proximation.− L’étude de la consistance de l’approximation consiste à évaluer cette perturbation.− L’étude de la stabilité de l’approximation consiste à montrer qu’une perturbation du schéma im-plique une perturbation du même ordre de la solution de ce schéma indépendamment des pas dediscrétisation.

2Le plus souvent par une interpolation.



Remarque 1 :Il y a un point délicat dans ces définitions informelles : le choix de la norme. Pour la consistance ilfaut comparer une fonction et son approximation qui a priori n’est pas dans le même espace. Pour lastabilité on fait varier l’espace Vh et donc la norme avec lui ! L’utilisation de la norme ‖.‖∞ résout ceproblème car elle revient à comparer les valeurs aux points de discrétisation, malheureusement elleest peu pratique pour les calculs. On peut associer aux valeurs discrètes une fonction par interpolation,de manière à n’avoir qu’à comparer des fonctions, ce qui peut se faire avec des normes usuelles surles fonctions. Si on utilise la norme de L2([0, T ]) pour comparer les fonctions et qu’on associe auxsuites unj des fonctions en escalier avec un pas h, on est conduit à munir Vh de la norme

‖uh‖ =

√√√√h

n∑j=1

(unj )2 =√h‖U‖2

Remarque 2 :On peut être plus ou moins exigeant sur l’erreur commise dans une approximation : si la solution del’équation exacte admet un état limite, comme dans l’exemple de l’équation de la diffusion, il est na-turel de chercher à avoir erreur petite pour tout temps t. Si la solution croît rapidement il est difficiled’empêcher l’erreur de croître avec le temps. L’équation des ondes, où la solution a un comporte-ment oscillatoire, pose plus de problèmes : il sera difficile d’obtenir une erreur faible sur un tempslong car un petit déphasage peut par exemple inverser les valeurs de la solution. Ce n’est pas gravepour l’ingénieur étudiant un comportement vibratoire qui tolérera un déphasage de la solution, et quise contentera de pouvoir, par une transformation de Fourier de la solution, calculer des fréquencesd’oscillations avec une bonne précision. Mais c’est toute la difficulté des calculs pour les prévisionsmétéorologiques : le cultivateur qui attend la pluie pour ses plantations sera satisfait de savoir qu’il yaura dans quatre jours une alternance de pluie et de soleil, mais le vacancier qui va à la plage et quia lu qu’il fera soleil de trois à cinq heures, maudira les mathématiciens et leurs calculs si le soleil nevient qu’à sept heures...

Erreur de consistance

Pour construire une approximation d’une équation aux dérivées partielles nous avons remplacé lesdérivées exactes par des différences finies. La solution exacte du problème continu n’est pas une solu-tion du problème discrétisé, c’est à dire du schéma de récurrence, mais elle doit vérifier “à peu près”le schéma avec une précision qui dépend des pas de discrétisation (h, τ), sinon la solution du schéman’aurait aucune raison d’être proche de la solution exacte ! Nous allons étudier sur deux exemples laprécision à laquelle la solution exacte vérifie le schéma.

Schéma d’Euler explicite pour l’équation de la diffusionPrenons l’exemple du schéma d’Euler explicite pour l’équation de la diffusion. La jème équation dela récurrence s’écrit

un+1j − unj

τ− c

h2(unj−1 − 2unj + unj+1) = 0

On pose unj = u(jh, nτ) où u(x, t) est la solution exacte de (8.1) et on fait une estimation du premiermembre de cette équation en faisant un développement limité (pour être rigoureux il faudrait faire un

ECP 2006-2007 198


développement de Taylor) de toutes les valeurs de u autour du point (jh, nτ)

u(jh, (n+ 1)τ) = u(jh, nτ) + τ∂u

∂t(jh, nτ) +

τ2

2∂2u

∂t2(jh, nτ) + ...

u(j ± h, nτ) = unj ± h∂u

∂t(jh, nτ) +

h2

2∂2u

∂t2(jh, nτ)± h3

3!∂3u

∂t3(jh, nτ) +

h4

4!∂4u

∂t4(jh, nτ) + ...

Il vient, en tenant compte du fait que u est solution de (8.1),

un+1j − unj

τ− c

h2(unj−1 − 2unj + unj+1) =

τ

2∂2u

∂t2(jh, nτ) +

τ2

12∂4u

∂x4(jh, nτ) + ...

D’où, en faisant ce calcul pour toutes les équations

Un+1 −Un

τ−KUn = εh,τ (8.28)

avec‖εh,τ‖∞ ≤M(τ + h2)

où M dépend des bornes des dérivées secondes en t et quatrième en x de u(x, t) .Nous dirons que l’ordre de consistance du schéma est en τ + h2. On notera que l’ordre est supérieuren espace du fait de la symétrie de la formule aux différences finies : ici cela élimine les termes enpuissances impaires h2k+1 dans le calcul ; les formules “centrées” sont plus précises, mais nous ver-rons qu’elles peuvent poser d’autres problèmes.

Schéma des trapèzes pour l’équation de la diffusion La jème équation de la récurrence s’écrit

un+1j − unj

τ− c

h2

12((unj−1 − 2unj + unj+1) + (un+1

j−1 − 2un+1j + un+1

j+1 )) = 0

On pose unj = u(jh, nτ) où u(x, t) est la solution exacte de (8.1) et on fait une estimation du premiermembre de cette équation en faisant un développement limité (pour être rigoureux il faudrait faire undéveloppement de Taylor) de toutes les valeurs de u autour du point (jh, nτ). En particulier

un+1j±1 = unj + (±h∂u

∂x+ τ

∂u

∂t) +

12(h2∂

2u

∂x2± 2hτ

∂2u

∂x∂t+ τ2∂

2u

∂t2) + ...

un+1j = unj + τ

∂u

∂t+

12τ2∂

2u

∂t2+ ...

On en déduit, après un calcul laborieux

‖εh,τ‖∞ ≤M(τ2 + h2)

Le schéma des trapèzes est d’ordre 2 en espace et temps.



Étude de la stabilité numérique

Nous posons p = (h, τ) et nous écrivons les schémas (8.1.2), en faisant apparaître la dépendancede la matrice par rapport aux pas de discrétisation, sous la forme Un+1

p −Mp Unp = 0

U0p = U0

(8.29)

Les calculs de cette récurrence sont sensibles aux perturbations et notamment aux erreurs de tronca-ture. Ces erreurs de troncature sont propagées par les calculs ; elles peuvent décroître ou s’amplifieret le coefficient d’amplification peut dépendre du pas de discrétisation. La propagation des erreurs estaussi liée au comportement des solutions de la récurrence : la propagation des erreurs ne sera pas lamême selon que les solutions tendent vers 0 ou vers l’infini. Nous allons étudier ces phénomènes.Effectuons une perturbation initiale de la récurrence :

U0 → U0 + δ0

Unp est donc changé en Up

n + δnp et, du fait de la linéarité, δnp est solution de la récurrence linéaire

δn+1p = Mpδ

np (8.30)

Doncδnp = Mn

pδ0p

Définition 42 − Un schéma de récurrence est fortement stable si l’erreur propagée tend vers 0.− Un schéma de récurrence est asymptotiquement stable si l’erreur propagée est bornée à l’infini,indépendamment des pas de discrétisation

∃C > 0 / ∀p ∀n ‖Mnp‖ = C

− Un schéma de récurrence est stable si l’erreur propagée est bornée sur un intervalle fini [0, T ] (i.e.∀k / τ ≤ T ) indépendamment des pas de discrétisation

∃C > 0 / ∀n / nτ ≤ T ‖δnp ‖ = C‖δ0‖

La norme est à préciser. La première définition est intéressante pour les équations dissipatives, ladeuxième pour les équations conservatives, la dernière est tout ce qu’on peut espérer dans le casgénéral.

Proposition 61 − Un schéma de récurrence est fortement stable si et seulement si toutes les valeurspropres des matrices Mp sont de module strictement inférieure à 1. Ce sera en particulier le cas siun schéma est dissipatif.− Si les matrices Mp sont diagonalisables dans une base orthogonale pour un produit scalaire 〈., .〉 leschéma de récurrence est asymptotiquement stable pour la norme du produit scalaire si et seulementsi les valeurs propres des matrices Mp sont de module inférieur ou égal à 1. Ce sera en particulier

ECP 2006-2007 200


le cas si un schéma est conservatif.− sous la même hypothèse que ci-dessus, si la plus grande valeur propre vérifie

λ = (1 + aτ)

où a est borné indépendamment de τ , le schéma de récurrence est stable sur tout intervalle [0, T )pour la norme du produit scalaire.

La démonstration est immédiate effectuant les calculs dans la base de vecteurs propres. Pour la der-nière proposition noter que le coefficient d’amplification est (1 + |a|τ)n ; compte tenu de kτ ≤ Tcela implique qu’il est inférieur à (1 + |a|Tn )n et donc à exp |a|T .Remarque :La stabilité numérique n’implique pas toujours la stabilité vis à vis d’une perturbation du secondmembre qui est en général beaucoup plus difficile à établir. C’est cependant une condition nécessaire.

Étude de l’erreur d’approximation : un exemple

Suivant la proposition 4, pour estimer l’erreur d’approximation nous devons étudier la stabilitédes solutions vis à vis d’une perturbation du second membre de la récurrence. Nous reprenons lesnotations du paragraphe précédent. Le cas général est difficile, nous nous limitons à un exemple : leschéma d’Euler explicite pour l’équation de la chaleur.Nous définissons le vecteur Un

p = (..., u(jh, nτ), ...)t dont les composantes sont les valeurs de lasolution exacte aux points de discrétisation. Nous avons vu que ce schéma est consistant avec unordre O(τ + h2), c’est à dire, en réécrivant (8.28) sous la forme d’une récurrence Un+1

p −Mp Unp = τεnp

U0p = U0

(8.31)

avec ‖εnp‖ = O(τ + h2) pour une norme à préciser. On en déduit, en posant

δnp = Unp − Un

p

que δnp la solution de la récurrence δn+1p −Mp δ

np = τεnp

δ0p = 0(8.32)

Nous allons étudier l’erreur d’approximation sur un intervalle [0, T ].

Proposition 62 Sous l’hypothèse cτh2 <

12 , le schéma d’Euler explicite est stable pour la norme infinie

sous l’effet d’une perturbation du second membre sur tout intervalle [0, T ]

∃C > 0 / ∀n ∈ N, ‖δnp ‖∞ ≤ C supi‖εip‖∞

et on a l’estimation suivante de l’erreur

|u(jh, nτ)− unj | ≤MT (h2 + τ)

où M est une constante qui dépend de ∂2u∂t2

et ∂4u∂x4 .



Preuve− Sous l’hypothèse cτ

h2 <12 on a ‖Mp‖∞ ≤ 1 c’est à dire ‖MpU‖∞ ≤ ‖U‖∞. En effet, si d’après

(8.20), on a

(MpU)j = uj +cτ

h2(uj−1 − 2uj + uj+1) =

cτ

h2uj−1 + (1− 2cτ

h2)uj +

cτ

h2uj+1

Donc si cτh2 <

12 tous les coefficients du second membre sont positif et de somme 1, donc

supj|(MpU)j | ≤ sup

j|uj |

− La solution de la récurrence (8.32) s’exprime formellement (le vérifier par récurrence)

δnp =n∑i=1

Mn−ip τεip

On en déduit

‖δnp ‖∞ ≤n∑i=1

‖Mp‖n−i∞ τ‖εip‖∞

et, puisque ‖Mp‖∞ ≤ 1,

‖δnp ‖∞ ≤n∑i=1

τ supi‖εip‖∞

On en déduit, en utilisant la consistance du schéma (8.28) l’estimation de l’erreur et nτ ≤ T

‖δnp ‖∞ ≤MT (h2 + τ)

L’estimation n’est pas optimale (facteur T ) car nous ne tenons pas compte de la décroissance expo-nentielle de la solution vers 0 qui fait que la constante M devient petite sur [t,+∞[. ♦

8.1.5 Critères de stabilité des schémas

Nous avons vu (cf. definition 42) que l’étude de la stabilité numérique des schémas de récurrencese ramenait à l’étude des valeurs propres de la matrice de la récurrence. Dans le cas où l’approxima-tion en espace a été menée par la méthode des différences finies on peut simplifier cette étude.

Un exemple

Considérons à nouveau le schéma d’Euler (8.20) pour l’équation de la diffusion (8.1). Vérifionsque les vecteurs Vk, 1 ≤ k ≤ N de composantes

Vk = (..., sin kjπ

N + 1, ...)t

ECP 2006-2007 202


sont des vecteurs propres de la matrice K

(KVk)j =c

h2

(− sin (k(j − 1)

π

N + 1) + 2 sin (kj

π

N + 1)− sin (k(j + 1)

π

N + 1))

= 2c

h2(1− cos (k

π

N + 1)) sin (kj

π

N + 1)

ce qui montre que la valeur propre correspondante est3

λk = 2c

h2(1− cos (k

π

N + 1)) = 4

c

h2sin2 (k

π

2(N + 1)) (8.33)

Les valeurs propres µk de la matrice Mp = Id− τK s’en déduisent

µk = 1− 4cτ

h2sin2 (k

π

2(N + 1))

On a µk < 1, on veut |µk| < 1 pour avoir la stabilité du schéma (cf. 61) il faut donc

1− 4cτ

h2sin2 (k

π

2(N + 1)) > −1

et donc, en prenant k = Ncτ

h2sin2 (

Nπ

2(N + 1)) <

12

L’entier N tend vers l’infini quand le pas h tend vers 0, l’argument du sinus tend donc vers π2 , la

condition de stabilité du schéma d’Euler explicite s’écrit finalement

cτ

h2<

12

En pratique on peut simplifier encore les calculs (et s’épargner la connaissance des formules de trigo-nométrie !) en décomposant le sinus en exponentielles et en posant

Vk = (..., exp ikjπ

N + 1, ...)t

on vérifie que ces vecteurs sont des vecteurs propres de la matrice K. Ils ne vérifient pas les conditionsaux limites mais des combinaisons de ces vecteurs les vérifient.Remarque :Si on itère un vecteur par multiplication par une matrice diagonalisable, à valeur propre positives, levecteur itéré devient asymptotiquement colinéaire au vecteur propre associé à la plus grande valeurpropre4.On en déduit que si cτ

h2 <12 (i.e. le schéma est stable) le vecteur associé à la plus grande valeur propre

estV1 = (..., sin j

π

N + 1, ...)t

3On utilise la formule : cos θ = 1− 2 sin2 θ2

4Décomposer les vecteurs dans la base de vecteurs propres pour le vérifier.



qui correspond à l’harmonique fondamentale et à une fonction uh qui est concave : asymptotiquementla fonction uh est donc concave, c’est le même comportement que l’équation exacte (voir 2.10). Maissi cτ

h2 >12 le schéma est instable et le vecteur associé à la plus grande valeur propre est

VN = (..., sinNjπ

N + 1, ...)t

qui correspond à une fonction uh qui asymptotiquement oscille sur un pas de discrétisation, d’oùl’apparition caractéristiques des oscillations dans les schémas instables.On peut faire de cette analyse un principe informel : il n’est pas toujours facile de distinguer les insta-bilités physiques des instabilités numériques d’autant que ces dernières apparaissent plus facilementdans des problèmes naturellement instables, mais en règle générale :“L’apparition d’oscillations ayant pour période le pas de discrétisation est un signe carac-téristique d’instabilité numérique.”

Méthode de Von Neumann

Nous pouvons simplifier l’étude de la stabilité des schéma aux différences finies en considérantdes grilles infinies. On enlève ainsi les difficultés dues aux conditions aux limites. Nous avons vu(paragraphe 5.1.4) que l’on peut trouver des fonctions u(x, t) = exp (k(ω)t) exp iωx qui sont dessolutions particulières des opérateurs différentiels à coefficients constants opérant sur tout R. Demême, sur des grilles infinies en espace de pas h, nous allons vérifier que l’on peut trouver pour lesschémas aux différences finies des solutions particulières de la forme

unj = ank exp (2iπjkh), k ∈ N

Ensuite nous étudions le comportement asymptotique de ces suites quand n → ∞, ceci pour toutesles valeurs de k. On obtient ainsi des conditions nécessaires de stabilité : les critères de Von Neumann.Sur des grilles infinies on peut montrer par superposition de solutions particulières que ces conditionssont suffisantes quand elles sont vérifiées par toutes les solutions particulières. Si le problème a desconditions aux limites, la solution de la récurrence sous l’effet d’une perturbation initiale localiséeen espace se prolonge par 0 sur toute la grille et reste alors une solution de la récurrence sur toute lagrille. Les conditions de stabilité de Von Neumann s’appliquent donc à ces perturbations.

On en déduit la méthode suivante pour étudier la stabilité d’un schéma aux différences finie (ici,avec une seule variable d’espace, mais cela se généralise en dimension 2 ou 3) :

Résumé 5 Stabilité des schémas aux différences finies : critère de Von NeumannSoit un schéma de récurrence obtenu par la méthode des différences finies dont l’inconnue est notéeunj , où unj est un scalaire ou un vecteur (pour les schémas à plusieurs inconnues).− On cherche des solutions particulières de cette récurrence sous la forme de suites

unj = ank exp (2iπjkh)

où ank est est un scalaire ou un vecteur.− Pour un schéma à 1 pas on vérifie que la suite ank est solution de la récurrence

an+1k = G(h, τ)ank

ECP 2006-2007 204


où G(h, τ) est un scalaire5 ou, pour les schémas vectoriels, une matrice. Si le schéma est une ré-currence à 2 pas on peut la transformer en une récurrence vectorielle à un pas en introduisant unevariable auxiliaire.− Pour les schémas scalaires il suffit de comparer |G(h, τ)| à 1 pour vérifier les conditions de stabi-lité (61).− Pour les schémas vectoriels il faut étudier le comportement des puissances successives de la ma-trice G(h, τ). Pour des matrices diagonalisables dans une base indépendante des pas, il suffit decomparer les modules des valeurs propres de la matrice à 1.

Exemples

Schéma d’Euler implicite pour l’équation de la chaleurLe schéma s’écrit (cf. (8.22))

un+1j − unj

τ=

c

h2(un+1j−1 − 2un+1

j + un+1j+1 )

On substitue unj = an exp (2iπjkh) dans cette expression (on omet l’indice k de ank pour simplifier),il vient en éliminant exp (2iπjkh)

an+1 − an

τ=

c

h2an+1(exp (−2iπkh)− 2 + exp (2iπkh))

d’oùan+1 = an +

2cτh2

an+1(cos (2πkh)− 1) = an − 2cτh2

an+1(sin2 (πkh))

etan+1 =

11 + 2cτ

h2 (sin2 (πkh))an

DoncG(h, τ) =

11 + 2cτ

h2 (sin2 (πkh))< 1

Le schéma implicite est toujours fortement stable, ce que nous avons déjà montré puisque ce schémaest dissipatif.

Schéma explicite centré pour l’équation des ondesLe schéma est obtenu en remplaçant les dérivées secondes en temps et en espace par les différencesfinies centrées au point (jh, kτ), il s’écrit

un+1j − 2unj + un−1

j

τ2=c2

h2(un+1j−1 − 2un+1

j + un+1j+1 )

On substitue unj = an exp (2iπjkh) dans cette expression , il vient en éliminant exp (2iπjkh)

an+1 − 2(1− 2c2τ2

h2sin2 (πkh))an + an−1 = 0

5Dans ce cas an = G(h, τ)n et l’exposant n devient une puissance.



C’est une récurrence à deux pas que l’on peut ramener à une récurrence vectorielle à 1 pas, dontl’étude revient au calcul des racines de l’équation caractéristique

x2 − 2(1− 2c2τ2

h2sin2 (πkh))x+ 1 = 0

Les racines de cette équation ont un produit égal à 1. Si elles sont réelles l’une des racines est supé-rieure à 1 en module. Si elles sont complexes elles sont toutes deux de module 1 et le schéma est doncasymptotiquement stable. Pour qu’elles soient complexes il faut que

c2τ2

h2sin2 (πkh) ≤ 1

Cette condition devant être vérifiée pour tout k et h, cela implique

cτ

h< 1

C’est la condition de stabilité de ce schéma, dite “CFL” (pour Courant, Friedrich, Levy) dont nousdonnerons une interprétation une interprétation intuitive (cf. 8.61).

8.1.6 Analyse et extensions de la méthode des différences finies

Voir le paragraphe 7.2.1.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

1.5

FIG. 8.3 – Instabilité du schéma d’Euler explicite appliqué à un problème non linéaire.

ECP 2006-2007 206


−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

1.5

FIG. 8.4 – Instabilité du schéma d’Euler explicite appliqué à un problème non linéaire.

010

2030

40

0

5

10

15

20−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

FIG. 8.5 – Un exemple d’instabilité pour l’équation de convection diffusion.

8.2 Approximation par la méthode des éléments finis

8.2.1 Équation de la diffusion

Un problème modèle

Nous considérons le problème

u ∈ C2(Ω× [0, T ])

C∂u

∂t− k∆u+ cu = 0 si x ∈ Ω

− k∂u

∂n= 0 si x ∈ Γ

u(x, 0) = u0(x) si x ∈ Ω

(8.34)

où k, C et c sont des constantes positives. Il peut s’interpréter comme un problème de diffusion enrégime transitoire dans une plaque mince isolée sur les bords , avec un échange de chaleur c(u− Te)avec le milieu extérieur supposée à température Te = 0. La fonction u(x, t) représente la température



(cf. 4.17), u0(x) la température initiale ; k est la constante de diffusion, C la capacité calorifique dela plaque. L’étude du régime permanent a été faite au chapitre 7 (cf. 7.1) (ici avec le second membreq = 0, le régime permanent correspond à une température nulle).

Formulation semi-faible

Considérons un temps t fixé. L’équation (8.34) peut s’interpréter comme l’équation d’un problèmede diffusion en régime permanent

−k∆u+ cu = q (8.35)

où le second membre q(x) est

q = −C∂u∂t

On peut définir une formulation faible de ce problème comme nous l’avons fait au chapitre 7. Onobtient ainsi la formulation semi-faible du problème qui est équivalente à la formulation initiale si lasolution u est suffisamment régulière. Soit V0 l’espace des fonctions v(x) continues C1 par morceauxsur le domaine Ω. En appliquant le théorème 24, l’équation (8.35) est équivalente6 à la formulationfaible

∀v ∈ V0 a(u, v) = −(∂u

∂t, v) (8.36)


a(u, v) =∫

Ω〈k ∇u,∇v〉+ cuv dΩ

qui est une forme bilinéaire symétrique définie positive, et

(u, v) =∫

ΩCuv dΩ

(c’est à un facteur près le produit scalaire de L2(Ω)). Le problème (8.34) est donc équivalent à laformulation semi-faible

u ∈ C2(Ω× [0, T ])

∀v ∈ V0 (∂u

∂t, v) + a(u, v) = 0

u(x, 0) = u0(x) si x ∈ Ω

(8.37)

On a donc, à t fixé

(∂u

∂t, u) + a(u, u) = 0

On en déduit∂

∂t

(u, u)2

= (∂u

∂t, u) < 0

Ce qui montre que l’équation est dissipative7.6Rappelons que, en particulier, la condition aux limites −k ∂u

∂n= 0 est devenue implicite : c’est une conséquence de la

formulation.7On peut obtenir plus car a(u, u) ≥ c(u, u), on en déduit après résolution de l’inéquation différentielle ∂g(t)

∂t+2cg(t) ≤

0, où on a posé g(t) = (u, u),(u, u) ≤ (u0, u0) exp−2ct

ECP 2006-2007 208


Proposition 63 L’équation de la diffusion (8.34) est dissipative pour le produit scalaire (u, v).

Semi-discrétisation en espace

En reprenant tout le formalisme décrit au chapitre 7, paragraphe 7.2.4, on peut construire uneapproximation de la formulation semi-faible par la méthode des éléments finis. La forme linéaireL(v) est ici −(∂u∂t , v).En appliquant la méthode de Ritz-Galerkin, toujours à t fixé, on approche u(x, t) par une fonctionuh(x, t) qui est dans Vh à t fixé et qui vérifie

uh(x, .) ∈ Vh

∀v ∈ Vh (∂uh∂t

, v) + a(uh, v) = 0

uh(x, 0) = u0(x) si x ∈ Ω

(8.38)

Nous rappelons les notations :− Vh = Wh est l’espace des fonctions d’approximation ; nous choisissons des fonctions continuesaffines par morceaux sur un maillage du domaine Ω supposé être à bord polygonal.− Le maillage comporte N nœuds xi, numérotés de 1 à N .− Le système (w1, ..., wi, ..., wN ) est une base de Wh (cf. 56) ;− On pose ui(t) = uh(xi, t) la température calculée au nœud i à l’instant t et on définit le vecteurdes températures aux nœuds

U(t) = (u1(t), ..., uj(t), ..., uN (t))t

− On poseU0 = (u0(x1), ..., u0(xi), ..., u0(xN ))t

le vecteur des températures initiales aux nœuds xi.

Par définition de la base wiuh(x, t) =

∑j

uj(t)wj(x)

En reportant cette expression dans (8.38) on obtient un système différentiel linéaireMdUdt

+ KU = 0

U(0) = U0

(8.39)

où la matrice K est la matrice de raideur définie au paragraphe (7.2.4) et la matrice M est la matricede masse, au coefficient près c’est la même que la matrice K définie au paragraphe (7.2.5),

Mi,j =∫

ΩCwiwj dΩ



On obtient un problème de Cauchy pour un système différentiel linéaire de N équations à N incon-nues.Les matrices K et M sont symétriques définies positives par construction. Le système différentiel(8.39) est par construction dissipatif comme l’est le problème initial (63) : c’est une conséquence del’approximation de Ritz-Galerkin (8.38) ou directement de

d

dt〈MU,U〉 = 〈MdU

dt,U〉 = −〈KU,U〉 < 0


Il suffit de reprendre le paragraphe (8.1.2) pour construire l’approximation en temps et obtenir, parexemple, les schémas de récurrence d’Euler explicite, implicite ou des trapèzes. Noter que le schémad’Euler “explicite”

MUn+1 −Un

τ= −KUn

est ici implicite à cause de la matrice M ; cependant on peut sans inconvénient approcher M parune matrice diagonale (technique dite de condensation de masse en calculant les intégrales qui ladéfinissent sur chaque triangle par la formule approchée qui utilise les trois sommets du triangle).

Analyse des schémas

Calcul des récurrences :Par rapport au paragraphe (8.1.3) il faut juste remarquer que les matrices sont ici creuses et non plustridiagonales et donc qu’une décomposition par la méthode de Gauss-Choleski exige une bonne re-numérotation des nœuds, ce qui est aujourd’hui fait automatiquement par les fonctions spéciales liéesaux traitements des matrices “sparse”.

Propriétés qualitatives :L’analyse du paragraphe (8.1.3) reste valide, mais les valeurs propres des matrices ne peuvent êtrecalculées analytiquement. On ne pourra donc pas préciser la condition sous laquelle le schéma d’Eu-ler explicite est conservatif.

Analyse de l’erreur :L’erreur de consistance (cf paragraphe 8.1.4) se ramène à l’erreur d’interpolation de la solution exactepar une fonction continue affine par morceaux et elle peut être calculée comme au paragraphe 7.4.Rappelons que l’erreur d’interpolation est sensible à certaines déformations du maillage et notammentà la présence de triangles aplatis.L’étude de la stabilité dépend des propriétés qualitatives des équations et des schémas : comme laconstruction des schémas implique ici automatiquement certaines propriétés de conservation ou dedissipation la stabilité est automatiquement obtenue pour des normes associées aux produits scalairesconservés. En revanche, les estimations en norme infinie peuvent être difficile à obtenir sans propriétéforte du maillage. Ainsi l’estimation obtenue au paragraphe 62 par l’intermédiaire de la propriété dedécroissance du maximum peut être étendue aux maillages tels que les angles de tous les trianglessont aigus.

ECP 2006-2007 210


8.2.2 Équation des ondes

Un problème modèle

On considère le problème des vibrations d’une membrane tendue (cf. (2.41))

ρ∂2u


u(x, t) = 0 si x ∈ Γu(x, 0) = u0(x) si x ∈ Ω∂u

∂t(x, 0) = 0 si x ∈ Ω

(8.40)

Formulation semi-faible

On construit une formulation semi-faible comme nous l’avons fait pour l’équation de la diffusionau paragraphe 8.2.1. Il vient

u ∈ C2(Ω× [0, T ]), u(x, .) ∈ V0

∀v ∈ V0 (∂2u

∂t2, v) + a(u, v) = 0

u(x, 0) = u0(x) si x ∈ Ω∂u

∂t(x, 0) = 0 si x ∈ Ω

(8.41)


a(u, v) =∫

Ω〈σ ∇u,∇v〉 dΩ

qui est une forme bilinéaire symétrique définie positive, et

(u, v) =∫

Ωρuv dΩ

On en déduit la propriété de conservation de l’énergie

∂

∂t((u, u)

2+a(u, u)

2) = 0

Semi-discrétisation en espace

On construit une semi-discrétisation en espace comme nous l’avons fait pour l’équation de ladiffusion au paragraphe 8.2.1, en prenant pour espace d’approximation

Vh = v ∈Wh / v|Γ = 0



uh(x, .) ∈ Vh

∀v ∈ Vh (∂2uh∂t2

, v) + a(uh, v) = 0

uh(x, 0) = u0(x) si x ∈ Ω∂uh∂t

(x, 0) = 0 si x ∈ Ω

(8.42)

Le traitement des conditions de Dirichlet homogènes u|Γ = 0 se fait comme au paragraphe 7.3.1. Enchoisissant d’éliminer les nœuds du bord on décompose uh dans la base wi

uh(x, t) =∑j

uj(t)wj(x)

en n’effectuant la somme que sur les nœuds intérieurs. En reportant cette expression dans (8.42) onobtient un système différentiel linéaire du second ordre

Md2Udt2

+ KU = 0

U(0) = U0

dUdt

(0) = 0

(8.43)

où la matrice K est la matrice de raideur, de coefficients


Ωσ∇wj · ∇wi dΩ

et la matrice M est la matrice de masse, de coefficients

Mi,j = (wj , wi) =∫

Ωρcwiwj dΩ

les indices parcourant les nœuds intérieurs. Les matrices K et M sont symétriques définies positivespar construction et le système conserve donc l’énergie

12〈MdU

dt,dUdt〉+

12〈KU,U〉 = Cte (8.44)


On peut directement discrétiser le système différentiel (8.43) ou bien, comme au paragraphe 8.15,réécrire se système sous la forme d’un système du premier ordre à 2N inconnues dans l’espace desphases en introduisant le vecteur vitesse

V(t) =dU(t)dt

ECP 2006-2007 212


Il vient

dUdt

= V

dVdt

= −M−1K U

U(0) = U0

V(0) = 0

(8.45)

Ou encore en posantX = (U,V)t ∈ R2N

il vient dXdt

= A X

X(0) = (U0, 0)t(8.46)

où nous avons défini la matrice A par blocs

A =(

0 Id−M−1K 0

)On note 〈U,V〉 le produit scalaire canonique sur RN et on définit sur R2N le produit scalaire

X,Y = 〈KX1,Y1〉+ 〈MX2,Y2〉 (8.47)

où nous avons décomposé les vecteurs X = (X1,X2)t ∈ R2N et Y = (Y1,Y2)t ∈ R2N en deuxvecteurs de RN . Noter que le carré scalaire X,X n’est pas autre chose que l’énergie définie parla formule (8.44). D’après la proposition 8, on peut prévoir que la matrice A est antisymétrique parrapport au produit scalaire qui définit l’énergie, puisque les solutions de (8.46) conservent l’énergie :

Proposition 64 La matrice A est antisymétrique sur R2N pour le produit scalaire X,Y .

PreuvePar définition de A

AX = (X2,−M−1KX1)t

L’antisymétrie de la matrice découle de la relation

AX,X = 〈KX2,X1〉+ 〈−KX1,X2〉 = 0

puisque la matrice K est symétrique. ♦On peut définir les schémas comme au paragraphe 8.1.2.

Analyse des schémas

Toute l’analyse du paragraphe 8.1.2 reste valide puisqu’elle repose sur le caractère antisymétriquede la matrice A.



8.2.3 Analyse et extensions de la méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis est en un certains sens plus générale que la méthode des diffé-rences finies : si on considère des maillages réguliers on retrouve les approximations classiques parla méthode des différences finies.

Par son principe même la méthode des éléments finis construit des matrices conservant les pro-priétés des opérateurs différentiels et elle offre un traitement simple de conditions aux limites com-plexes. Elle s’étend facilement au traitement de non linéarités.

Par son principe aussi elle permet un traitement systématique de l’erreur, au moins dans des si-tuations pas trop compliquées, et surtout l’adaptation locale du pas du maillage pour améliorer oumaintenir la précision.

La mise en œuvre de la méthode des éléments finis que nous avons présentée au chapitre 7 permetde bien comprendre les avantages pratiques de cette méthode : le calcul des matrices peut être fait pardes programmes très généraux, faciles à modifier et pouvant traiter des géométries quelconques.

Il est cependant clair que si on discrétise sur des grilles on dispose d’informations plus précisesque l’on peut utiliser pour construire des schémas aux différences finies très performants.

Le principal défaut de la méthode vient de son principe même : dans la construction des approxi-mations nous avons privilégié les propriétés de conservation globale. Cela convient bien à l’approxi-mation des problèmes de diffusion, qui convergent vers un état limite, ou de dynamique où l’ingénieurn’est pas intéressé par des valeurs ponctuelles mais par des grandeurs globales comme des fréquencesde vibration. Cela convient, a fortiori, à certains problèmes de dynamique (“crash”) où les forcesd’inertie sont secondaires et qui peuvent être traités comme une succession de problèmes de statique.Mais cela ne convient pas du tout au traitement de problèmes de transport où des propriétés de conser-vation locale sont essentielles notamment pour éviter la dispersion d’un signal localisé et ou le “local”peut par transport avoir des conséquences globales.

8.3 Approximation des équations hyperboliques

L’approximation des problèmes hyperboliques, comme les problèmes de transport et de dyna-mique des gaz, est un problème d’autant plus difficile que les phénomènes que l’on veut modélisersont souvent instables par leur nature physique8. Nous allons nous limiter à un problème modèle quinous permettra de comprendre la première difficulté : le traitement des phénomènes de transport.

8Il suffit de songer aux prévisions météorologiques...

ECP 2006-2007 214


8.3.1 Un problème modèle

L’équation d’advection ou de convection

L’équation d’advection modélise un simple phénomène de transport ou de convection : u(x, t)représente une grandeur transportée par un fluide de vitesse a dans un tube de longueur L, u0(x) estl’état initial du tube, tandis que g(t) est l’état en entrée du tube, “entrée” devant être pris au sens del’écoulement, si a > 0 l’entrée est le point 0.Soit a > 0 et u(x, t), x ∈ [0, L], t ∈ [0, T ] solution de

∂u

∂t+ a

∂u

∂x= 0 x ∈]0, L[, t ∈]0, T [

u(x, 0) = u0(x) x ∈]0, L[u(0, t) = g(t) t ∈]0, T [

(8.48)

où g(t) ∈ C1([0, L]). C’est une équation hyperbolique.Rappelons la proposition 16 qui synthétise les (maigres !) propriétés de l’équation d’advection :

Proposition 65 La solution u(x, t) de (2.13) est définie par :

u(x, t) = u0(x− at) si x ≥ at (8.49)

u(x, t) = g(t− x

a) si x ≤ at (8.50)

On notera que sans une condition de raccord en (0, 0) entre les données u0(x) et g(t), la solutionpeut faire un saut sur la droite x = at ce qui n’est pas cohérent avec la définition d’une équation auxdérivées partielles... C’est l’un des nombreux problèmes que l’on rencontre en étudiant les équationshyperboliques.Par construction cette équation est équivalente à un principe de “conservation de la matière” : ce quientre à la vitesse (a, 1)t dans une partie quelconque de Ω en sort, autrement dit le flux du vecteuru(x, t)(a, 1)t à travers un contour quelconque est nul.L’analyse “énergétique” (cf. paragraphe 5.3.1) donne le résultat suivant

d

dt

∫ L

0

u2

2dx = −

∫ L

0a∂u

∂xu dx = −a[u

2

2]L0

et doncd

dt

∫ L

0u2 dx+ au(L, t)2 = ag(t)2 (8.51)

On en déduit que si on effectue une perturbation localisée9 u→ u+ δu de la solution, l’énergie de laperturbation δu est conservée tant que la perturbation ne touche pas les bords : c’est évident puisqued’après (65) la solution est translatée.

9i.e. δu est nulle en dehors d’un petit intervalle.



Caractéristiques et invariants

Rappelons (cf. chapitre 5) quelques propriétés des systèmes hyperboliques en général :− Une perturbation localisée se propage à vitesse finie à l’intérieur d’un domaine qui contient lescourbes ou les surfaces caractéristiques.− Une discontinuité des dérivées se propage le long des caractéristiques : notamment un systèmehyperbolique n’est pas régularisant.− Si le système est linéaire à coefficient constant et en une dimension d’espace, les caractéristiquessont des droites. Le long de ces droites il existe des invariants : les invariants de Riemann.

Pour l’équation d’advection la propriété essentielle pour la suite est que les caractéristiques sontles droites x− at = Cte et que sur ces droites la solution est constante.

Quelques difficultés de l’approximation des systèmes hyperboliques

1. Les problèmes elliptiques ou paraboliques ont une propriété très rassurante quand on construitune approximation : les données, irrégularités ou perturbations locales n’ont qu’une influence“locale”, c’est à dire négligeable à grande distance, même s’il est parfois difficile de quantifiercela. Il est d’ailleurs fréquent d’utiliser des approximations par éléments finis localement trèsfausses, par exemple parce qu’elles lissent des singularités ou du fait d’une simplification géo-métrique brutale du modèle, sans conséquence sur la zone “intéressante” du calcul.Dans les problèmes hyperboliques la conservation d’invariants sur les caractéristiques traduitun phénomène de transport à longue distance, qui peut avoir avoir de grandes conséquences :une tempête sur les côtes américaines peut créer une houle (ondes planes de l’équation desondes) qui peut traverser l’océan, atteindre les côtes européennes, puis se réfléchir sur diffé-rentes parties de la côte et se focaliser en certains points pour créer localement des vaguesexceptionnellement hautes. Il faut donc construire des approximations qui non seulement sontconservatives (l’énergie des vagues ne doit pas s’atténuer) mais en plus “non dispersives” (lavague, si elle est courte et haute, ne doit pas s’étaler, se lisser). Et si en plus on veut déterminerl’heure précise de la formation d’une vague exceptionnelle il faut que la vitesse de la vaguesoit correctement calculée ! C’est essentiellement ce problème que nous allons aborder avecl’approximation de l’équation d’advection.

2. Les problèmes elliptiques ou paraboliques sont régularisants : les seules discontinuités éven-tuelles sont celles des données de l’équation. Non seulement ce n’est pas le cas pour lesproblèmes hyperboliques, mais en plus les équations hyperboliques non linéaires font systé-matiquement apparaître des chocs sur des temps longs et ces chocs se propagent et se réflé-chissent... : la houle tranquille peut sous certaines conditions devenir une “déferlante”. Com-ment construire des approximations qui modélisent des chocs ? L’approximation de fonctionsdiscontinues par des polynômes ou des séries de Fourier crée des oscillations locales ou lisseles chocs selon les méthodes. Voir la séance d’exercices 8 pour la traitement de la plus simpledes équations non linéaires.

ECP 2006-2007 216


8.3.2 Approximation par la méthode des différences finies

Pour une étude plus complète voir [2] et [11].

Données et notations

On reprend les notations et les méthodes du paragraphe (8.1.2) pour construire des approximationsen espace et en temps.Notations− On divise l’intervalle [0, L] avec un pas h = L

N .− On définit les points de de discrétisation de coordonnées (xj , tn) = (jh, nτ). On divise l’intervalle[0, T ] avec un pas τ .− On discrétise la solution en ne calculant les valeurs de la solution qu’aux points (xj , nτ), lesautres valeurs pourront être interpolées. On note unj les valeurs ainsi calculées. Sur le bord x = 0,un0 = g(tn).− On note

Un = (un1 , ..., unj , ..., u

nN )t

le vecteur des valeurs à calculer.

Approximation en espace

Pour obtenir une équation au point (xj) qui soit une approximation de l’équation aux dérivées par-tielles on remplace l’équation aux dérivées partielles exacte par une approximation obtenue (commeau paragraphe 8.1.2) en approchant les dérivées exactes en espace par des différences finies. On noteuj(t) les valeurs approchées en xj au temps t et on pose U(t) = (u1(t), ..., uj(t), ..., uN (t))t. Onobtient les approximations

décentré à droite ou aval :dujdt

= −auj+1(t)− uj(t)h

décentré à gauche ou amont :dujdt

= −auj(t)− uj−1(t)h

symétrique ou centré :dujdt

= −auj+1(t)− uj−1(t)2h

(8.52)

Un développement limité montre que les deux premières approximations sont à h près, la troisièmeà h2 près. Il est donc tentant de choisir des approximations centrées, nous verrons que ce n’est pas sisimple. Il faut aussi examiner le traitement des conditions au bord en x = 0, ou il faut imposer unecondition et en x = L où seule l’équation doit déterminer le schéma.La solution exacte dépend des valeurs antérieures situées en amont de l’écoulement : cela permetd’éliminer l’approximation décentrée à droite qui fait dépendre la dérivée des valeurs en aval10.L’approximation centrée pose un problème en x = L puisqu’elle fait intervenir un point extérieur ;

10On vérifie facilement que les approximations en temps construites à partir de cette approximation en espace sontinstables et incohérentes avec les conditions aux limites



on remplace en ce point l’approximation centrée par l’approximation décentrée en amont.On obtient finalement un système de N équations différentielles linéaires à N inconnues

dUdt

+ AU = b

U(0) = U0 = (u0(x1), · · · , u0(xj), · · · , u0(xN ))t(8.53)

avec :Approximation décentrée amont :

A =a

h

1 0 0 ... 0 0−1 1 0 ... 0 00 −1 1 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 1 00 0 0 ... −1 1

(8.54)

etb =

a

h(g(t), ..., 0, ..., 0)t

Approximation centrée :

A =a

2h

0 1 0 ... 0 0−1 0 1 ... 0 00 −1 0 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 0 10 0 0 ... −2 2

(8.55)

etb =

a

2h(g(t), ..., 0, ..., 0)t

Analyse des approximations en espace

Approximation décentrée :L’approximation décentrée ne respecte pas la propriété de conservation de l’énergie (8.51) discréti-sée11. Multiplions (8.53) scalairement par U

h〈 ddt

U,U〉 = −h〈AU,U〉+ ag(t)2

hd

dt(12〈U,U〉) = −h〈1

2(A + At)U,U〉+ au1g(t)

La matrice (A + At) n’est autre, à un facteur ah près, que la matrice K0 de la formule (8.10),qui est la matrice obtenue par discrétisation de l’opérateur de diffusion −d2u

dx2 (comme ce terme joue

11On discrétise l’intégraleR L

0u2 dx ∼ h

Pj u2

j = h〈U,U〉.

ECP 2006-2007 218


formellement le même rôle que la viscosité dans les écoulements, il est souvent appelé viscositénumérique). En utilisant l’expression (8.11), il vient

hd

dt〈U,U〉 = −a(

∑j

(uj − uj−1)2 + u21 + u2

N ) + 2au1g(t)

hd

dt〈U,U〉+ au2

N = −a(∑j

(uj − uj−1)2 + u21 − 2au1g(t))

= −a(∑j

(uj − uj−1)2 + (u1 − g(t))2)) + ag(t)2

En comparant avec (8.51) nous voyons apparaître une dissipation

−a(∑j

(uj − uj−1)2 + (u1 − g(t))2))

Noter que

auj(t)− uj−1(t)

h= a

∂u

∂x(xj , t)−

ah

2∂2u

∂x2(uj , t) +O(h2) (8.56)

L’erreur d’approximation fait apparaître au premier ordre la dérivée seconde, i.e. un terme de dissipa-tion (ou de viscosité) que nous avons retrouvé ci-dessus. Plus précisément l’expression (8.56) montreque l’approximation décentrée approche à h2 près l’équation

∂u

∂t+ a

∂u

∂x=ah

2∂2uj∂x2

qui est une équation de convection diffusion avec un coefficient de diffusion ah2 .

Proposition 66 L’approximation décentrée est dissipative. La dissipation équivaut à un terme dediffusion de coefficient ah2 . La dissipation diminue avec le pas mais elle est d’autant plus importanteque les variations de la fonction sont grandes : l’approximation décentrée lisse les chocs.

Approximation centrée :Avec l’approximation centrée, la matrice A est “presque” antisymétrique, ce qui annule la dissipationsauf sur le bord. Le même calcul que pour l’approximation décentrée conduit à

hd

dt〈U,U〉+ au2

N = −(auN (uN − uN−1) + a(u1 − g(t))g(t)) + ag(t)2

En comparant avec (8.51), cette expression met en évidence des variations d’énergie sur les bordsmais avec un signe quelconque.

Approximation en temps

On utilise les formules analogues à (8.52) pour approcher la dérivée en temps ce qui conduit àun schéma explicite ou implicite ou encore, en utilisant l’approximation centrée en temps, un schéma“saute mouton”12 à deux pas. Nous allons analyser quelques exemples de schémas .

12ou leap frog, en anglais...



Schéma d’Euler explicite décentré amont ou schéma de LaxLe schéma s’écrit

un+1j − unj

τ+ a

unj − unj−1

h= 0

D’où la récurrence

un+1j = unj − aτ

unj − unj−1

h= (1− aτ

h)unj +

aτ

hunj−1 (8.57)

L’ordre de consistance (cf. paragraphe 8.1.4) est en O(h+ τ) .Schéma d’Euler explicite centréLe schéma s’écrit

un+1j − unj

τ+ a

unj+1 − unj−1

2h= 0

D’où la récurrence

un+1j = unj − aτ

unj+1 − unj−1

2h(8.58)

L’ordre de consistance (cf. paragraphe 8.1.4) est en O(h2 + τ).Schéma d’Euler implicite centréLe schéma s’écrit

un+1j − unj

τ+ a

un+1j+1 − un+1

j−1

2h= 0

D’où la récurrence impliciteun+1j +

aτ

2h(un+1j+1 − un+1

j−1 ) = unj (8.59)

L’ordre de consistance (cf. paragraphe 8.1.4) est en O(h2 + τ).Schéma saute-mouton centréLe schéma s’écrit

un+1j − un−1

j

2τ+ a

unj+1 − unj−1

2h= 0

D’où la récurrence à deux pas

un+1j = un−1

j +aτ

h(unj+1 − unj−1) (8.60)

L’ordre de consistance (cf. paragraphe 8.1.4) est en O(h2 + τ2).

Analyse de ces schémas

La solution exacte en un point (xj , tn) ne dépend que des valeurs antérieures sur la caractéristiquepassant par ce point, qui est ici la droite (x − xj) = a(t − tn). La solution calculée numériquementpar un des schémas explicites du paragraphe précédent dépend de l’ensemble de valeurs antérieuresen des points situés dans un secteur angulaire, appelé cône de dépendance numérique (voir fig. 8.6 et8.7), défini par

|x− xj | ≤h

τ|t− tn|

ECP 2006-2007 220


pour le schéma centré, avec en plus x ≤ xj pour le schéma décentré amont. Si le cône de dépendancenumérique ne contient pas la caractéristique passant par le point (x, t) la solution calculée ne dépendpas des mêmes valeurs que la solution exacte, le schéma est absurde (en pratique le schéma s’avèreinstable). Pour le schéma décentré amont et le schéma centré, le cône de dépendance numériquecontient la caractéristique si hτ ≥ a, c’est à dire si on a la condition C.F.L.

aτ

h≤ 1 (8.61)

t

x

(jh,nτ)

((j-1)h,nτ)

((j+1)h,nτ)

τ

h

FIG. 8.6 – Cône de dépendance numérique pour le schéma décentré amont

t

x

(jh,nτ)

((j-1)h,nτ)

((j+1)h,nτ)

τ

h

FIG. 8.7 – Cône de dépendance numérique pour le schéma centré

Cette condition nécessaire n’est cependant pas suffisante pour rendre le schéma stable. Analysonsquelques exemples de schémas explicites.Schéma d’Euler explicite décentré en amont :La récurrence s’écrit

un+1j = (1− aτ

h)unj +

aτ

hunj+1 (8.62)

Si la condition C.F.L. est vérifiée la nouvelle valeur un+1j est une moyenne des anciennes, donc

supj |un+1j | ≤ supj |unj |.



Proposition 67 Sous la condition C.F.L. aτh ≤ 1 le schéma d’Euler explicite décentré en amont eststable en norme infinie.

Schéma d’Euler explicite centré :La récurrence s’écrit

un+1j = unj +

aτ

2h(unj+1 − unj−1) (8.63)

Analysons de la stabilité au sens de Von Neumann (cf. paragraphe 8.1.5), en étudiant les solutionsparticulière de la forme unj = ξn exp (2iπjkh) ; il vient

ξn+1 = ξn(1 + iaτ

hsin (2πkh))

ce qui donne un facteur d’amplification G(h, τ) = 1 + iaτh sin (2πkh). On a toujours |G(h, τ)| > 1,donc

Proposition 68 Le schéma d’Euler explicite centré en espace est toujours instable.

Schéma saute-mouton centré en espace :La récurrence s’écrit13

un+1j = un−1

j +aτ

h(unj+1 − unj−1) (8.64)

L’analyse de la stabilité au sens de Von Neumann donne

ξn+1k − i(

2aτh

sin (2πkh))ξnk − ξn−1k = 0

Les racines caractéristiques de cette récurrence sont les zéros de

x2 − i(2aτh

sin (2πkh))x− 1 = 0

qui a pour discriminant ∆ = 1− (aτh sin(2πkh))2. On vérifie facilement que si la condition C.F.L. estvérifiée le discriminant est réel et les racines sont complexes de module 1 et que sinon la demi-sommedes racines est en module supérieur à 1 pour 2kh ∼ 1, les harmoniques hautes fréquences sont doncinstables.

Proposition 69 Le schéma saute-mouton est stable sous la condition C.F.L..

Mais ce schéma est à deux pas et il est à la limite de la stabilité puisque les coefficient d’amplificationsont de module 1.

Schéma d’Euler implicite centréA priori les schémas implicites ne sont pas soumis à la condition C.F.L.. Voyons un exemple d’intérêtd’un schéma implicite en étudiant la stabilité du schéma d’Euler implicite centré (8.59)

un+1j +

aτ

2h(un+1j+1 − un+1

j−1 ) = unj

13Elle a la curieuse propriété que les valeurs telles que j + n est pair se calculent indépendamment des valeurs tellesj + n est impair : un

j et unj+1 sont donc calculées de façon totalement indépendante !

ECP 2006-2007 222


Il vient

ξn+1(1− iaτ

hsin (2πkh)) = ξn

ce qui donne un facteur d’amplification (ou plutôt d’amortissement)

G(h, τ) =1

1 + iaτh sin (2πkh)(8.65)

On a toujours |G(h, τ)| < 1, donc

Proposition 70 Le schéma d’Euler implicite centré en espace est toujours stable.

Mais il est très dissipatif (voir fig. 8.8) puisque les hautes fréquences (k = N − 1) ont un facteurd’amortissement de l’ordre 1q

1+aτ2

h2

en module.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

FIG. 8.8 – Schéma centré implicite : aplatissement de la gaussienne initiale (Doc. J.H. Saïac)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

FIG. 8.9 – Schéma de Lax-Friedrichs : aplatissement de la gaussienne initiale (Doc. J.H. Saïac).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

FIG. 8.10 – Schéma de Lax-Wendroff : la gaussienne initiale se conserve à peu près, mais on notel’apparition d’oscillations et la perte de positivité (Doc. J.H. Saïac).

Amélioration des schémas

Construction de schémas stablesC’est la propriété de transport le long des caractéristiques qui rend stables les équations hyperbo-liques. Nous allons construire un schéma en cherchant à respecter au mieux cette propriété. On sup-

(jh,(n+1)τ)

((j-1)h,nτ)

(jh,nτ)

((j+1)h,nτ)

G

A

B

t

x

τ

h

FIG. 8.11 – Points de calcul pour le schéma décentré amont et caractéristique de pente a

pose vérifiée la condition C.F.L : τah ≤ 1. On considère la droite caractéristique passant par le point(jh, (n + 1)τ). Elle coupe la droite t = nτ en un point G situé entre les points A = (jh, nτ) etB = ((j + 1)h, nτ) (voir fig. 8.11). On définit une valeur approchée uG de u au point G par interpo-lation linéaire entre les valeurs unj en A et unj−1 en B. Comme les valeurs de u(x, t) sont constantessur les caractéristiques on définit un+1

j = uG. On a AGAB = aτ

h et donc G = (1− aτh )A+ aτ

h B. On endéduit par interpolation linéaire

uG = (1− aτ

h)unj +

aτ

hunj−1

D’oùun+1j = uG = (1− aτ

h)unj +

aτ

hunj−1

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On retrouve le schéma décentré amont.

En utilisant la même idée, mais de façon plus symétrique, en calculant la valeur au point G parinterpolation entre les points A = ((j − 1)h, nτ) et B = ((j + 1)h, nτ) (voir fig. 8.12), on obtient leschéma Lax Friedrichs

(jh,(n+1)τ)

((j-1)h,nτ)

(jh,nτ)

((j+1)h,nτ)

G

A

B

t

x

τ

h

FIG. 8.12 – Points de calcul pour le schéma de Lax-Friedrichs et caractéristique de pente a

un+1j = uG =

12((1− aτ

h)unj+1 + (1 +

aτ

h)unj−1)

qui se réécrit, avec une interprétation plus naturelle

un+1j − un

j−1+unj+1

2

τ+ a

unj+1 − unj−1

2h= 0

Comme le schéma de Lax, le schéma est stable sous la condition C.F.L. par construction puisque l’in-terpolation implique la décroissance en norme infinie. Il est plus précis que le schéma de Lax puisqueson ordre de consistance est O(τ +h2). Il ressemble au schéma explicite centré (8.58), instable, maisnous l’avons rendu stable en remplaçant unj par

unj−1+un

j+1

2 .Remarque : c’est l’interpolation linéaire entre deux valeurs qui rend dissipatifs les schémas construitspar cette méthode. Elle a en outre la propriété de créer des schémas qui respectent la positivité : Siles valeurs initiales de la solution sont positives, elles restent positives comme dans l’équation exacte(voir fig. 8.9).

Schémas plus consistantConstruire des schémas plus consistant permet aussi de diminuer la viscosité numérique. Considéronsle schéma explicite centré (instable)

un+1j − unj

τ+ a

unj+1 − unj−1

2h= 0



Son ordre de consistance est en O(τ +h2). Un développement limité montre plus précisément que ceschéma approche en O(h2 + τ2) l’équation

∂u

∂t+τ

2∂2u

∂t2+ a

∂u

∂x= 0

Or l’équation d’advection implique∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2

donc, le schéma centré approche en O(h2 + τ2) l’équation

∂u

∂t+ a

∂u

∂x+a2τ

2∂2u

∂x2= 0

Nous faisons apparaître ainsi la cause de l’instabilité du schéma : du fait de son signe le terme a2τ2

∂2u∂x2

est l’opposé d’une dissipation ! En l’éliminant on améliore a priori la consistance et la stabilité. Onpeut l’éliminer soustrayant au premier membre une approximation en espace de ce terme

τ

2∂2u

∂t2∼ a2τ

2h2(unj+1 − 2unj + unj−1)

Donc, par construction, le schéma de Lax-Wendroff

un+1j − unj

τ+ a

unj+1 − unj−1

2h− a2τ

2h2(unj+1 − 2unj + unj−1) = 0

a une consistance en O(h2 + τ2). On montre que ce schéma est stable au sens de Von Neumann(cf. paragraphe 8.1.5) si la condition C.F.L. (8.61) est vérifiée. Mais ce schéma fait apparaître desoscillations non physiques sur les chocs (voir fig. 8.10).

Analyse des méthodes de différences finies

Dispersion numériqueLe phénomène physique que l’on veut modéliser est le transport le long des caractéristiques. Quesont devenues dans l’approximation les droites sur lesquelles se propagent des invariants ? Elles ontdisparu ! Si on considère par exemple une fonction initiale u0(x) dont le graphe est en forme de cha-peau sur un intervalle [(j− 1)h, (j+ 1)h], cette fonction est transportée sans déformation le long descaractéristiques dans l’équation exacte. Dans l’approximation sur une grille, cette fonction est repré-sentée par un vecteur initial tel que uj 6= 0 et ui = 0 si i 6= j. Avec, par exemple, le schéma explicitedécentré toutes les valeurs (unj , ..., u

nj+n) sont non nulles. Avec les schémas implicites, dès le premier

pas de calcul toutes les valeurs sont non nulles. Avec un schéma centré cette dispersion numériquefait dépendre la solution de valeurs en aval ce qui n’est pas physique et doit donc être corrigé. Si leschéma converge quand les pas tendent vers 0 cette dispersion devient négligeable. Mais il y a tou-jours une “dispersion numérique” inhérente à la méthode des différences finies ou, plus précisément,à l’utilisation d’une grille fixe.

ECP 2006-2007 226


StabilitéUne bonne approximation des phénomènes de transport implique de construire des méthodes nu-mériques conservatives ; nous avons vu que les schémas de faible précision étaient ou instables oudiffusifs. Mais les approximations d’ordre plus élevé et stables créent des oscillations sur les chocs.Une analyse de Fourier permet de comprendre pourquoi : les schémas dissipatifs (Euler implicitecentré) amortissent les harmoniques hautes fréquences qui n’ont qu’un poids faible dans la décom-position d’une fonction régulière. Les schémas conservatifs les laissent passer mais si on décomposeune fonction discontinue en séries de Fourier, les coefficients des hautes fréquences sont non négli-geables et ces harmoniques apparaissent dans l’approximation. La solution générale pour stabiliserdes oscillations sans amortissement global est d’introduire de la diffusion (ou viscosité numérique)juste là où c’est nécessaire.

Quelques extensions

Ce paragraphe se résume à quelques indications sur l’extension des principes que nous avons étu-diés à des problèmes hyperboliques plus complexes que l’équation d’advection.Équations plus générales à une variable d’espaceLe traitement d’une vitesse de transport a = a(x) variable n’a aucune conséquence sur les schémascentrés et implique de définir le sens du décentrement vers l’amont pour les schémas décentrés. Lerespect de la condition C.F.L. sur une grille peut être très contraignant si la vitesse ne varie que trèslocalement.Le traitement des systèmes hyperboliques linéaires à une variable d’espace est plus complexe :− La construction des schémas par propagation d’invariants sur les caractéristiques (cf. paragraphe5.3.1) se généralise par une décomposition locale sur une base de vecteurs propres, qui ramène l’in-tégration à l’intégration sur un pas des équations d’advection.− Le principe de décentrement admet diverses généralisations dont les “schémas de Roe”.− Le traitement des problèmes non linéaires peut se faire par linéarisation locale ou par une méthoded’intégration de solutions constantes par morceaux (“problème de Riemann”) qui sort du cadre de cecours. Voir l’exemple très simple de la séance 8.Équations à plusieurs variables d’espace− Diverses méthodes décomposent le problème de manière à se ramener à des problèmes à une va-riable d’espace, d’où l’importance de ces problèmes.− La présence de géométries complexes oblige à abandonner l’utilisation de grilles et à construire desschémas sur des maillages non structurés en triangles ou en tétraèdres. Il faut étendre les méthodesde calcul à ces maillages. La méthode des volumes finis repose sur l’utilisation, quand elles existent,des lois de conservation équivalentes aux équations aux dérivées partielles (conservation de la masse,de l’énergie, de la quantité de mouvement), combinée avec des approximation aux différences finiespour évaluer les flux aux interfaces des éléments. Voir [5].− La vérification de la condition C.F.L., quand les vitesses sont très variables, et le traitement deschocs donnent un grand intérêt à l’utilisation de maillages adaptatifs qui suivent les écoulements ets’adaptent aux chocs ; c’est une solution d’avenir qui est l’objet d’intenses recherches.



8.3.3 Conclusion

Pour traiter des problèmes d’élasticité, de thermique ou d’électromagnétisme on peut utiliser deslogiciels d’éléments finis plus ou moins efficaces mais qui, avec quelques précautions, conduisentpresque toujours à une solution raisonnable, laissant quand même à l’utilisateur le soin de juger dela pertinence de son modèle et de la qualité des approximations. Ce qui permet à certains de vendre,un peu aventureusement, des logiciels où il suffirait d’un “clic” pour visualiser le comportement phy-sique d’une maquette numérique.

Le traitement des équations hyperboliques, notamment des écoulements de fluides compressibles,ne permet pas ce genre d’annonces : entre les résultats aberrants, les messages d’erreurs pour causede “non convergence” ou de “pas trop petit”, et les journées de calculs qui ne progressent guère,l’utilisateur aura vite compris que le sujet demande des compétences que ce cours n’a certainementpas permis d’acquérir. Ce court exposé des bases et des difficultés de la simulation des problèmesd’évolution n’est malheureusement pas suffisant pour comprendre la richesse mathématique de lamodélisation et de la simulation d’un simple écoulement d’eau autour d’un rocher. Espérons avoirdonné l’envie à certains d’explorer un sujet d’étude en plein développement...

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Bibliographie

[1] On trouvera des liens et une bibliographie sur "www.etudes.ecp.fr", rubrique "Mathématiques2" .

[2] B. Mohammadi, J.H. Saiac, Pratique de la simulation numérique, Dunod, 2003.

[3] P.J. Frey, P.L. George, Maillages, Hermes, 1999.

[4] D. Aubry, Mécanique des milieux continus, Cours de l’Ecole Centrale Paris, 2006.

[5] E.Godlewski, P.A. Raviart, Numerical approximations of conservation hyperbolic systems ofconservation laws, Springer Verlag, 1994.

[6] G. Dhatt, G. Touzot La méthode des éléments finis, Hermes, 1992.

[7] J.L. Batoz,G. Dhatt, Modélisation des structures par éléments finis, Hermes, 1992.

[8] W. Press,S. Teutolsky, W. Vetterling, P. Flannery, Numerical Recipes in C, 2e éd., Cambridge,1992.

[9] P. Laurent-Gengoux et D. Trystram, Comprendre l’informatique numérique, Tec et Doc, Lavoi-sier Edition, Paris : 1989

[10] J.F. Imbert, Analyse des structures par éléments finis, Cepadues, 1984.

[11] R. Dautray, J.L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les tech-niques, Masson, 1984.

[12] P.G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems , Northholland, 1978.

[13] J. Bass, Cours de mathématique, Masson, 1961.

229

Index

éléments, 158énergie potentielle, 26énergie potentielle totale, 23équation

d’advection, 32d’Euler incompressibles, 43d’Euler-Lagrange, 71, 74, 95de convection réaction diffusion, 38de la diffusion, 29, 185de la diffusion avec rayonnement, 40de la dynamique des gaz, 44de Navier-Stokes, 42de Poisson, 25de Stokes, 43des ondes, 45, 186dispersive, 116elliptique, 94caractéristique, 83des ondes, 33elliptique, 85hyperbolique, 85

action lagrangienne, 23application

monotone, 15uniformément monotone, 15

bifurcation, 18

cône de dépendance numérique, 220calcul des variations, 23, 69caractéristique

(forme quadratique), 93(système), 121

caractéristiques(courbes), 83, 121(droites), 32, 34, 127

(surface), 89caractéristiques (droites), 45chemin de chargement, 17choc (ondes de choc), 45condensation de masse (technique de), 210condition

C.F.L., 221conditionnement, 13conditions

aux limites homogènes, 28, 92de Cauchy, 27de Dirichlet, 92de Neumann, 92

consistance, 152, 197couches limites, 43critère

de Von Neumann, 204

différences finies, 150, 186Dirac, 30distribution

de Dirac, 140distributions

(au sens des), 67, 143(théorie des), 139périodiques, 140

espaced’énergie finie, 146de Sobolev, 146

flambement, 41, 108fonctions

à support compact, 139analytiques, 79continues affines par morceaux, 159continues dérivables par morceaux, 158

230

INDEX 231

de Green, 64harmoniques, 26propres, 35tests, 66

formulationfaible, 66, 101, 147, 150, 153semi-faible, 208, 211variationnelle, 66

formulede Green, 11de Stokes, 11

Hadamard(Contre-exemple d’), 81

harmonique, 35, 60

intégrale première, 121invariants de Riemann, 34, 128irrotationnel, 43

lagrangien, 23lemme

de Poincaré, 15lois

d’équilibre, 22de conservation, 22, 44

méthodede Ritz-Galerkin, 68, 153des volumes finis, 227du gradient conjugué, 13incrémentale, 17multigrille, 152spectrale, 157

méthodesd’éléments frontières, 65intégrales, 65

maillage, 158matrice

définie positive, 12de masse, 209, 212de raideur, 156, 212

noeuds, 150, 158

ondes de chocs, 44

ondes planes, 35, 115opérateur

(ordre de l’), 49à coefficients constants, 49elliptique, 86hyperbolique, 86parabolique, 86elliptique, 89homogène, 49

opérateur (symbole de), 49

petites déformations, 40Poincaré

(inégalité de), 147(lemme de), 15

principede superposition, 59du maximum, 27, 31du minimum, 23, 26

problèmeà valeurs initiales, 19de Cauchy, 19, 113mal posé, 81de Cauchy, 83

problème aux limites, 25problème de

Poisson, 25problème de Cauchy, 80propriété de la moyenne, 26

résonance, 62

schémaà 5 points, 151asymptotiquement stable, 200d’Euler explicite, 190d’Euler explicite centré, 220d’Euler explicite décentré amont, 220d’Euler implicite, 191d’Euler implicite centré, 220de Lax, 220de Lax-Friedrichs, 225de Lax-Wendroff, 226des trapèzes ou de Crank-Nicholson, 191fortement stable, 200



saute mouton centré, 220stable, 200

solutions fondamentales, 64stabilité, 153, 197

conditionnelle, 197subsonique

(écoulement), 129supersonique

(écoulement), 129système

d’Euler incompressible, 43de l’élasticité, 40de Navier Stokes, 42de Stokes, 43elliptique, 95hyperbolique, 125hyperbolique non linéaire, 44Kovalevskien, 80, 114hyperbolique, 81

système différentielconservatif, 20dissipatif, 20

théorèmede Brouwer, 14de Cauchy-Kovalevska, 78, 80, 114de Lax-Milgram, 144de Riesz, 145

tourbillons, 43triangulation, 158triangulation de Delaunay, 182turbulence, 43

vecteur tourbillon, 43viscosité numérique, 219vitesse du son, 44

ECP 2006-2007 232

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