Transformée de fourier discréte1 TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE.
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Cours et Travaux Dirigés de Traitement du Signal Déterministe Benot Decoux ([email protected]) Support de cours - v 1.0 2 e partie : "Etude fréquentielle des signaux : analyse de Fourier"
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Cours et Travaux Dirigés de
Traitement du Signal Déterministe
Benoît Decoux ([email protected])
Support de cours - v 1.0
2e partie : "Etude fréquentielle des signaux : analyse de Fourier"
2
Sommaire
III) Etude des signaux dans le domaine fréquentiel......................................................... 3
III.1) Séries de Fourier.............................................................................................................................................................3 III.1.1) Forme de base ..........................................................................................................................................................3
a) Définition .......................................................................................................................................................................3 b) Propriétés .......................................................................................................................................................................4 c) Représentation fréquentielle graphique ..........................................................................................................................4 d) Application à quelques signaux de forme connue..........................................................................................................4 e) Synthèse d�un signal à partir de ses harmoniques ..........................................................................................................6 f) Propriétés ........................................................................................................................................................................6
III.1.2) Forme avec un seul coefficient................................................................................................................................7 III.1.3) Forme complexe.......................................................................................................................................................8
a) Utilisation des formules d�Euler.....................................................................................................................................8 b) Formalisation ...............................................................................................................................................................10 c) Exemples d�application à quelques signaux élémentaires............................................................................................10 d) Interprétation................................................................................................................................................................11
II.2) Transformée de Fourier ................................................................................................................................................13 II.2.1) Définition et propriétés...........................................................................................................................................13
a) Définitions....................................................................................................................................................................13 b) Propriétés .....................................................................................................................................................................14
II.2.2) Transformée de quelques signaux courants..........................................................................................................16 II.2.3) Lien entre série de Fourier et transformée de Fourier ........................................................................................16 II.2.4) Transformée de Fourier d’un signal périodique ..................................................................................................17 II.2.5) Analyse spectrale.....................................................................................................................................................18 II.2.6) Transformée de Fourier Discrète (TFD)...............................................................................................................19
a) Définitions....................................................................................................................................................................19 b) Passage du continu au discret.......................................................................................................................................20 c) Signification des indices des séquences d�entrée et de sortie .......................................................................................22 d) Exemples de calcul pour un signal sinusoïdal..............................................................................................................24 e) Considérations pratiques ..............................................................................................................................................25 f) Transformée de Fourier Rapide (TFR, FFT en anglais) ...............................................................................................25 f) Transformée de Fourier à 2 dimensions........................................................................................................................27 g) Applications de la transformée de Fourier ...................................................................................................................28
II.3) Approfondissements théoriques....................................................................................................................................28 II.3.1) Projection d’un signal sur une base de signaux orthogonaux .............................................................................28 II.3.2) Liens entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace .................................................................31
Annexe : Quelques programmes Scilab .......................................................................... 33 Séries de Fourier.....................................................................................................................................................................33 Transformée de Fourier d’un signal sinusoïdal ...................................................................................................................33 Spectrogramme.......................................................................................................................................................................35 Transformée de Fourier à 2 dimensions...............................................................................................................................36
3
III) Etude des signaux dans le domaine fréquentiel III.1) Séries de Fourier
La décomposition en série de Fourier s�applique aux signaux périodiques. Elle permet de connaître leur composition fréquentielle.
Il existe une version réelle et une version complexe, moins intuitive. La transformée de Fourier permet également l�étude des signaux dans le domaine fréquentiel, mais
s�applique à n�importe quel signal. Cette dernière peut être obtenue par un passage à la limite des séries de Fourier complexes.
De manière plus générale, un signal peut être projeté sur une base de vecteurs. Cette étude sera faite
plus loin. La décomposition en série de Fourier correspond à une base de fonctions exponentielles. La transformée de Fourier peut être vue comme un cas particulier de la transformée de Laplace.
III.1.1) Forme de base a) Définition
Tout signal s(t) périodique (sous certaines conditions, voir plus loin), peut se décomposer sous la forme d�une somme de signaux sinusoïdaux (le terme sinusoïdal est utilisé ici dans son sens général, c�est à dire qu�il concerne également la fonction cosinus, qui est égal à la fonction sinus à un déphasage près : cos(ωt)=sin(ωt+π/2)) :
))tnsin(bt)ncos(a(a)t(s 0n1n
0n0 ω+ω+= ∑∞
=
avec 0
00 T2f2 π=π=ω , T0 pédiode du signal et f0 sa fréquence,
∫= 0T
00
0 dt)t(sT1a
et
∫ ω= 0T
0 00
n dt)tncos()t(sT2a ∫ ω= 0T
0 00
n dt)tnsin()t(sT2b
avec n≥1.
Le terme a0 représente la valeur moyenne du signal : )t(sa0 =
Ces différentes composantes sinusoïdales sont appelées harmoniques. La composante sinusoïdale (ou cosinusoïdale) de fréquence nω0, est appelée harmonique de rang n. L�harmonique de rang 1 étant appelé fondamental.
Ceci est valable quelle que soit la forme du signal, pourvu qu�il soit périodique ; par exemple le
signal ci-dessous :
s(t)
t 0
4
b) Propriétés Si la fonction s(t) est paire, bn=0 pour tout n>0. Si la fonction s(t) est impaire, an=0 pour tout n≥0. On peut le vérifier en démontrant la deuxième propriété :
∫− ω=2/T
2/Tn dt.tncos).t(sT2a
{ }∫ ∫−ω+ω=
0
2/T
2/T
0n dt.tncos).t(sdt.tncos).t(sT2a
Sur [-T/2 ; 0], s(-t)=-s(t) car la fonction est impaire. Donc
Effectuons le changement de variable t�=�t dans l�intégrale de gauche : t'=-t
dt�/dt=-dt/dt=-1 → dt�=-dt T�=-T
donc, en changeant de notation t�→t, on a :
{ }∫ ∫ ω+ω=0
2/T
2/T
0n dt.tncos).t(sdt.tncos).t(sT2a
or
∫∫ −=a
b
b
adt)t(fdt)t(f
donc an=0.
c) Représentation fréquentielle graphique
On peut afficher les séries de Fourier, sous forme graphique. Il faut utiliser 2 repères fréquentiels :
l�un pour les coefficients an et l�autre pour les bn. Chaque composante sinusoïdale est représentée par un trait vertical, de hauteur égale proportionnelle
à son amplitude. On appelle cette représentation « spectre de fréquence », ou plus simplement « spectre ».
d) Application à quelques signaux de forme connue Signal sinusoïdal
Dans le cas d�un signal sinusoïdal (sin(ωt)), on a : 0an = ∀ n
0b0 = , 1b1 = et 0bn = pour n>1 Dans le cas d�un signal cosinusoïdal (cos(ωt)), on a :
0bn = ∀ n 0a 0 = , 1a1 = et 0a n = pour n>1
Signal carré
−∈−∈+
=[0,2/T]tpoura
[2/T,0[tpoura)t(s
+ω+ω+ω
π=
+ω+
π= ∑
∞
=
...5
)t5sin(3
)t3sin()tsin(a41n2
)t)1n2sin((a4)t(s0n
Signal triangulaire
∈−−∈+
=[4/T3,4/T]tpourtA2
[4/T,4/T[tpourt)t(s
+ω+ω+ω
π=
+ω+
π= ∑
∞
=...
25)t5sin(
9)t3sin()tsin(A8
)1n2()t)1n2sin((A8)t(s 2
1n22
Signal en dents de scie
)t(s =
s
A
-AT/2
f0 3f0 5f0
bn b1
b3b5
bn
bn
1
bb5
f0
tTA2
π= A2)t(
f0
b1
3f0
5
tpour ∈
∑∞
=
−−1n
n)1(
3f0
b3
5f
b
3
[2/T,2/T[−
ω1
n)tnsin(
5f0
b5
0
6
Signal carré à rapport cyclique différent de 1/2.
( )Tt2Taa 10 −= )tnsin(
na2a 1n ωπ
= { })tncos(1n
a2b 1n ω−π
=
e) Synthèse d’un signal à partir de ses harmoniques Principe
En additionnant point par point (en pratique, pour des indices de temps discrets), des signaux sinusoïdaux d�amplitudes et de phases correctes, on retrouve le signal original dont ont été extraits ces paramètres, quand le nombre de signaux additionnés tend vers l�infini. L�exemple ci-dessous illustre cette opération pour le fondamental additionné du 1er harmonique, puis des 2 et des 3 premiers.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1.3-0.9-0.5-0.10.30.71.11.5
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1.2-0.8-0.40.00.40.81.2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1.2-0.8-0.40.00.40.81.2
f) Propriétés Linéarité
Soient s1(t) et s2(t) 2 signaux dont les coefficients de la décomposition en série de Fourier sont respectivement :
)1(n
)1(n
)1(0 b,a,a et )2(
n)2(
n)2(
0 b,a,a Les coefficients correspondant du signal obtenu par combinaison linéaire k1s1(t)+ k2s2(t) sont :
)2(01
)1(01 akak + , )2(
n1)1(
n1 akak + et )2(n1
)1(n1 bkbk +
Puissance
Il a été vu précédemment que la puissance d�un signal périodique était définie par :
∫+
=Tt
t
20
0
dt)t(sT1P
avec t0 quelconque. On peut démontrer que cette puissance est égale à :
)ba(lim21aP 2
n2n
N
1nN
20 ++= ∑
=∞→
Les coefficients de la décomposition en série de Fourier d�un signal périodique permettent donc de connaître la puissance de ce signal.
7
Phénomène de Gibbs
Quand on augmente encore le nombre d�harmoniques dans la somme, la fréquence des oscillations augmente et leur amplitude diminue, mais pas au niveau des discontinuités. Ce phénomène est appelé phénomène de Gibbs. On retrouvera ce même phénomène dans la transformée de Fourier. III.1.2) Forme avec un seul coefficient
On peut montrer que s(t) peut se mettre sous la forme suivante :
∑∞
=
ϕ+ω+=1n
n0n0 )tncos(ca)t(s
avec 2n
2nn bac +=
et
−=ϕ
n
nn a
barctg
L�intérêt de cette forme est de ne plus avoir qu�un seul signal pour chaque élément de la somme, et
de pouvoir étudier séparément l�amplitude et la phase de ces signaux. Sous cette forme, le signal est toujours représenté par deux spectres : un spectre d�amplitude et un
spectre de phase, mais en pratique on s�intéresse plus souvent au premier. Le spectre d�amplitude est une représentation des coefficients cn en fonction de la fréquence. Il est composé de raies (traits verticaux) d�amplitude égales à a0 puis cn, espacées de kF0, où F0 est la fréquence du signal, k un entier. a0 est situé à f=0 (il représente la valeur moyenne du signal, constante, donc correspond à une fréquence nulle), c1 à F0, c2 à 2F0, etc.
Démonstration
On reprend la formule originale :
))tnsin(bt)ncos(a(a)t(s 0n1n
0n0 ω+ω+= ∑∞
=
On cherche à mettre la somme du sinus et du cosinus sous la forme d�un cosinus comportant une phase :
)tncos(ctnsinbtncosa nnnn ϕ+ω=ω+ω Pour cela, il existe la formule de trigonométrie :
)bacos(bsin.asinbcos.acos −=+ On peut écrire le terme de la somme de la façon suivante :
)tnsinabtn(cosatnsinbtncosa
n
nnnn ω+ω=ω+ω
En posant n
nn a
btan =ϕ , l�expression précédente est égale à :
)tnsincossintn(cosa)tnsintantn(cosa
n
nnnn ω
ϕϕ+ω=ωϕ+ω
)tnsinsintncos(coscos
ann
n
n ωϕ+ωϕϕ
=
Or, par utilisation de la formule de trigonométrie :
8
acos1atan1 2
2 =+
on obtient : 2n
2nn
2n
n
n batan1acos
a +=ϕ+=ϕ
Donc, en posant
n2n
2n cba =+
on a : )tncos(c)tnsinsintncos(cosc nnnnn ϕ−ω=ωϕ+ωϕ
Exemples
Par exemple, dans le cas d�un sinus, on a vu que le seul coefficient non-nul était b1. Avec cette forme, le seul coefficient non-nul est c1=b1. Dans le cas d�un cosinus, le seul coefficient non nul est c1=a1. Dans les deux cas, le calcul de c1 donne 1 (cet exemple à déjà été calculé plus haut).
Dans le cas du sinus, la phase serait égale à :
2abarctglim
1
1
0a11
π=
=ϕ
→
et aurait bien :
)tsin()2
tcos()t(s 00 ω=π−ω=
Dans le cas du cosinus :
0a0arctg
abarctg
11
11 =
=
=ϕ
on aurait bien : )tcos()t(s 0ω=
On voit tout l�intérêt de cette forme de représentation des séries de Fourier : les amplitudes et les
phases sont analysées séparément. Ainsi, le spectre d�amplitude d�un signal pair et d�un signal impair sont identiques, seul le spectre de phase est différent. Par exemple quand on passe progressivement d�un sinus à un cosinus, une raie se déplace dans le spectre de phase. Quand on déphase indéfiniment un sinus, cette raie se déplace cycliquement de 0 à π rad. Il en est de même pour tout signal.
Dans le cas d�un signal carré par exemple, le spectre d�amplitude serait également le même quelle que soit sa phase à l�origine, seule cette dernière varierait, de la même manière que précédement décrite pour le sinus. Puissance
De manière analogue au cas des coefficients réels, la puissance est égale à :
∑−=∞→
=N
Nn
2
nNclimP
III.1.3) Forme complexe a) Utilisation des formules d’Euler
Par utilisation des formules d�Euler, on peut développer les expressions de an et bn :
j2eeb
2eea)tnsin(b)tncos(a
tjntjn
n
tjntjn
nnn
ω−ωω−ω −++=ω+ω
9
tjnnntjnnntjntjn
n
tjntjn
n e2
jbae2
jba2
eejb2
eea ω−ωω−ωω−ω ++−=−−+=
En effectuant cette opération, on passe du domain réel au domaine complexe. En prenant un complexe nc tel que :
2jbac nn
n−=
et en remarquant que a-n=an et b-n=-bn
on peut écrire que
nnn c
2jba
−=+
et la série de Fourier
))tnsin(bt)ncos(a(a)t(s 0n1n
0n0 ω+ω+= ∑∞
=
peut donc s�écrire sous forme complexe :
( )∑∞
=
ω−−
ω ++=1n
tjnn
tjnn0 ececa)t(s
Cette expression peut encore être simplifiée, en remarquant que l�on peut décomposer la somme :
∑∑∞
=
ω−−
∞
=
ω ++=1n
tjnn
1n
tjnn0 ececa)t(s
En effectuant le changement de variable n�=-n, le dernier terme devient :
∑−∞
−=
ω
1'n
t'jn'n ec
On peut alors le ré-écrire avec l�indice n :
∑∑−∞
−=
ω∞
=
ω ++=1n
tjnn
1n
tjnn0 ececa)t(s
Les 2 sommes pourraient presque être réunies en une seule, mais il manque un terme pour n=0. Examinons alors les coefficients nc de plus près :
[ ]∫∫ ∫ ω−ω=ω−ω=−=T
0
T
0
T
0nn
n dt)tnsin(j)tncos()t(sT1dt)tnsin()t(s
T1jdt)tncos()t(s
T1
2jbac
soit
∫ ω−=T
0
tjnn dte)t(s
T1c
On peut alors remarquer que l�on a : 00 ac =
Donc finalement, s(t) peut s�écrire :
∑∞
−∞=
ω=n
tjnnec)t(s
Pour résumer, la décomposition en série de Fourier complexe s�écrit :
∑∞
−∞=
ω=n
tjnnec)t(s
avec
∫ ω−=T
0
tjnn dte)t(s
T1c
Cette forme complexe possède l�avantage d�être compacte. Elle représente ce qu�on appelle un spectre bilatéral, comportant des fréquences positives et négatives.
10
Sous cette forme, la composante continue a0 (la valeur moyenne) est considérée comme une composante harmonique au même titre que les autres (ce qui était déjà le cas dans la forme initiale, mais pas au niveau de la formalisation).
Les coefficients nc représentent les composantes du spectre de fréquence complexe du signal s(t). Ce spectre se compose d�un spectre d�amplitude, constitué par la représentation de nc , et d�un spectre de
phase )carg( nn =ϕ , en fonction de la fréquence. b) Formalisation
Pour écrire les spectres de fréquence avec un formalisme de fonctions, on peut considérer que les valeurs discrètes de fréquences existant dans les séries de Fourier complexes sont des valeurs prélevées sur une fonction continue de la fréquence S(f). La fréquence est exprimée de manière discrète puisque la fonction est non-nulle uniquement pour des valeurs entières de la fréquence. On peut donc écrire :
n0 c)nF(S = et
n0 )nF( ϕ=ϕ L�outil mathématique utilisé est alors l�impulsion de Dirac ou le peigne de Dirac, selon le cas. Un
peigne de Dirac est une succession de pics de Dirac, régulièrement espacés. L�expression du spectre bilatéral utilisant le peigne de Dirac devient donc :
∑+∞
−∞=
−δ=n
00 )nFf().nF(S)f(S
Cette formalisation sera utile pour décrire le passage des séries de Fourier vers la transformée de Fourier (par un passage à la limite). c) Exemples d’application à quelques signaux élémentaires Sinus
Cette fonction est définie par :
)tF2sin( 0π Avec la forme réelle des séries de Fourier, on a vu qu�elle correspondait à un pic de Dirac situé à la
fréquence F0 dans le spectre d�amplitude (voir plus haut). Cette décomposition en série de Fourier donnait les coefficients suivants (première forme) :
b1=1 ; bn=0 pour n>1; an=0 pour n≥0 Avec la forme complexe, on utilise l�expression du spectre bilatéral et on l�applique au cas n=1 :
)jba(21c nnn −= donne
2jb
2j)jba(
21c 1111 −=−=−=
De plus on a :
1111 c2jb
2jb
2jc −===−= −−
car b-n=-bn
Finalement, avec la formalisation utilisant l�impulsion de Dirac :
[ ])Ff()Ff(2j)f(S 00 −δ−+δ=
Le signal est réel et impair, et sa transformée est imaginaire et impaire.
11
Cosinus
Cette fonction est définie par : )tF2cos( 0π
Avec la forme réelle des séries de Fourier, on a vu qu�elle correspondait à un pic de Dirac situé à la fréquence F0 dans le spectre d�amplitude (voir plus haut), identique au cas du sinus (le spectre de phase est cependant différent). Cette décomposition en série de Fourier donnait les coefficients suivants :
a0=0 ; a1=1 ; an=0 pour n>1; bn=0 pour n≥1 Avec la forme complexe, on utilise l�expression du spectre bilatéral et on l�applique au cas n=1 :
)jba(21c nnn −= donne
21a
21)jba(
21c 1111 ==−=
De plus on a :
1111 c21a
21a
21c ==== −−
car a-n=an
Finalement, avec la formalisation sous forme de fonction :
[ ])Ff()Ff(21)f(S 00 −δ++δ=
Le signal est réel et pair, et sa transformée est réelle et paire.
Carré On a vu que l�expression du signal décomposé en série de Fourier était :
∑∞
= +ω+
π=
0n 1n2)t)1n2sin((a4)t(s
c�est à dire
0an = n∀ et )1n2(
a4b 1n2 +π=+ , n=0,�, ∞
)jba(21)nF(S nn0 −= devient ( )
)1n2(a2jb
2jF)1n2(S 1n20 +π
−=−=+ +
D�où, en utilisant l�expression du spectre bilatéral utilisant le peigne de Dirac :
( ) ( )
+−δ
+++−δ
+−
π−= ∑∑
+∞
=
−
−∞= 1n0
1
n0 F)1n2(f.
1n21F)1n2(f.
1n21a2j)f(S
Le signal étant réel et impair, son spectre bilatéral est imaginaire et impair.
d) Interprétation
Le spectre de fréquence est composé de 2 sous-spectres : un spectre réel et un spectre imaginaire. Le spectre des parties réelles est symétrique par rapport à l�axe de l�origine (symétrie axiale), et le
spectre des parties imaginaires est symétrique par rapport à l�origine (symétrie centrale). En effet, on le voit directement à partir de l�expression déjà utilisée :
nnnnnn cjbajbac =+=−= −−−
! Si le signal est réel et impair, sa transformée est imaginaire et impaire. ! Si le signal est réel et pair, sa transformée est réelle et paire. ! Dans le cas général d�un signal ni pair ni impair, sa transformée comporte une partie réelle et paire
et une partie imaginaire et impaire.
12
Il faut se souvenir que dans la représentation complexe (par utilisation des formules d�Euler), un signal sinusoïdal et un signal cosinusoïdal peuvent être vus comme la différence et la somme, respectivement, de 2 phaseurs tournant à la même vitesse mais en sens inverse. (un phaseur est une exponentielle complexe). Cette propriété provient des formules d�Euler :
2eetcos
tjtj ω−ω +=ω et 2
eejj2eetsin
tjtjtjtj ω−ωω−ω −−=−=ω
La représentation spectrale des séries de Fourier utilise également des phaseurs, mais avec en plus l�information de leur fréquence. On peut alors utiliser un repère à 3 dimensions. Par exemple, pour cos(ωt), signal réel pur et sin(ωt), signal imaginaire pur, et le passage de l�un à l�autre par déphasage :
Sur cette représentation, un déphasage correspond à une rotation des couples de phaseurs en sens inverse. e) Formalisation
On verra dans la suite que la transformée de Fourier est une fonction continue de la fréquence. Pour se rapprocher de son expression, on peut exprimer les coefficients de la série de Fourier complexe de la façon suivante :
)nF(Sc 0n = et
)nF( 0n ϕ=ϕ Simplement la fréquence est exprimée de manière discrète puisque la fonction est non-nulle
uniquement pour des valeurs entières de la fréquence. En fait parler de fonction ici est faux sur le plan mathématique, puisque l�outil utilisé pour décrire un
tel spectre est celui des distributions. On peut exprimer cette fonction de la fréquence S(f) en utilisant la notation mathématique d�un
peigne de Dirac. Un peigne de Dirac est une succession de pics de Dirac, régulièrement espacés. Si la variable est par exemple x, la notation d�un pic de Dirac d�amplitude A et positionné à x=x0 est :
)xx(.A 0−δ Un peigne de Dirac s�exprime par :
∑+∞
−∞=
−δn
0n )nxx(.A
Donc finalement, le spectre en fréquence bilatéral peut s�écrire :
∑+∞
−∞=
−δ=n
00 )nFf().nF(S)f(S
où F0 est la fréquence du signal, et avec S(nF0) complexes : ϕ= 0jnF
00 e.)nF(S)nF(S
Re
Im
f
sin cos
13
S(nF0) est un spectre de fréquence complexe, c�est à dire possédant une partie réelle et une partie imaginaire. On peut donc le représenter par 2 spectres distincts : l�un réel et l�autre imaginaire. II.2) Transformée de Fourier II.2.1) Définition et propriétés a) Définitions
La transformée de Fourier du signal s(t) est définie par :
( ) ∫+∞
−∞=
π−==t
ft2j dte)t(s)t(sF)f(S
Rappelons la transformée de Laplace, pour comparaison :
( ) ∫+∞
=
−−
==0t
ptdte)t(s)t(sL)p(S
Lors de l�étude de la transformée de Laplace, il a été vu que la variable de Laplace p était complexe : ω+σ= jp
La transformée de Fourier peut être vue comme un cas particulier de la transformée de Laplace, dans lequel
ω= jp ce qui correspond au cas de signaux sinusoïdaux.
La transformée de Laplace est plus générale que la transformée de Fourier dans la mesure où elle permet de décrire des signaux de formes quelconques. Par contre, son domaine d�intégration est limité aux signaux causaux, alors que la transformée de Fourier concerne le cas général théorique des signaux définis sur tout l�axe temporel. La comparaison du point de vue des bornes de l�intégrale sera étudiée dans le cadre d�un approfondissement théorique.
Il s�agit d�une fonction complexe :
∫+∞
∞−ω−ω= dt)tsinjt)(cost(s)f(S
∫∫+∞
∞−
+∞
∞−ω−ω= tdtsin)t(sjtdtcos)t(s
ImjRe−=
Le module de ce complexe est appelé spectre d�amplitude, spectre de fréquence ou plus simplement spectre :
22 ImRe)f(S += La phase de ce complexe est appelée spectre de phase :
−=ϕ
ReImarctann
La partie réelle est une fonction paire, la partie imaginaire une fonction impaire.
Tranformée inverse
La transformée inverse est définie par :
( ) ∫+∞
−∞=
π− ==f
ft2j1 dfe)f(S)f(SF)t(s
Condition d’application
La transformée de Fourier n�existe que si le signal est tel que :
∫+∞
−∞=tdt.)t(x < ∞
14
Il s�agit des signaux dits "absolument sommables" (l�ensemble de ces signaux est appelé L1). On peut démontrer que cette condition est également vérifiée par les signaux dits "de carré sommables", c�est à dire les signaux à énergie finie (l�espace de ces signaux est appelé L2). C�est le cas de tous les signaux physiques puisqu�on les observe toujours sur un temps fini. b) Propriétés
L�intérêt des propriétés énoncées ci-dessous est de faciliter le calcul de la TF : elles nous évitent d�avoir à tout recalculer à chaque fois.
Les propriétés déjà vues pour les séries de Fourier complexes (linéarité, parité�) sont valables pour la TF.
Celles déjà vues pour la transformée de Laplace sont également valables pour la transformée de Fourier, sauf qu�ici le temps peut varier sur l�ensemble des réels.
Linéarité
Soient x(t) et y(t) deux signaux et X(f) et Y(f) leur transformée, respectivement.
)f(Y.b)f(X.a)t(y.b)t(x.a F +→←+ Parité
Dans le cas d�un signal réel : ! Si s(t) est une fonction paire, alors S(f) est une fonction paire et réelle. ! Si s(t) est une fonction impaire, alors S(f) est une fonction impaire et imaginaire. ! Si s(t) n�est ni paire ni impaire, alors S(f) comporte une partie réelle paire et une partie imaginaire
impaire. On peut également considérer le cas d�un signal complexe, possédant donc une partie réelle et une
partie imaginaire, qui est un cas abstrait, mais ici on se limitera aux signaux réels.
Homothétie
→←
afX
a1)at(x F , ℜ∈a
et notamment : ( )fX)t(x F −→←−
Cette propriété illustre bien une des principales propriétés de la TF : quand on réduit la zone d�étude temporelle, le spectre s�étale. On perd alors de la précision sur la localisation fréquentielle. Pour avoir de la précision fréquentielle, il faut étendre la zone d�étude temporelle, ce qui fait perdre de la précision dans la localisation temporelle du signal. Dans l�idéal il faudrait connaître le signal sur un temps infini pour connaître sa fréquence avec une précision infinie.
Ce phénomène est lié au principe d�incertitude d�Eisenberg : on ne peut pas connaître à la fois la position (=l�instant) et la vitesse (=la fréquence) d�une particule avec précision.
Dualité
L�examen rapide de la définition des transformées directe et inverse montre une dualité temps-
fréquence. Concrêtement, cette propriété va se traduire dans les autres propriétés : si )]t(s[F)f(S = , alors )f(s)]t(S[F −= et réciproquement. La propriété de translation ci-dessou illustre cette propriété.
Translation
a) temporelle af2jF e).f(X)at(x π−→←− avec ℜ∈a
15
b) fréquentielle )af(Xe).t(x Fat2j −→←π avec ℜ∈a
Ces propriétés s�appliquent par exemple au spectre d�une fonction sinus (c�est une série de Fourier mais ces propriétés sont valables) à partir de la fonction cosinus, puisque l�une représente une translation temporelle de l�autre.
Dérivation
)f(X).f2j(dt
)t(dx F π→←
)f(X.)f2j(dt
)t(xd nFn
n
π→←
Intégration
)f(X.j1d).(x F
t
0 ω→←ττ∫
Théorème de Perseval (parfois appelé "de Bessel-Parseval")
Le théorème de Perseval traduit le fait que l�énergie contenue dans un signal ne dépend pas du mode
de représentation de ce signal : temporel ou fréquentiel.
∫∫+∞
∞−
+∞
∞−= df)f(Sdt)t(s 22
Ici on considère que le signal s(t) est un réel, mais sa transformée de Fourier est complexe donc on utilise son module. Si on avait considéré un signal complexe, on aurait utilisé son module également. Convolution et transformée de Fourier
)f(Y).f(X)t(y*)t(x F→
et )f(Y*)f(X)t(y).t(x F→
C�est le théorème de Plancherel. Cette propriété est intéressante car le produit de convolution est une opération très coûteuse en puissance de calcul, alors que dans le domaine fréquentiel elle est ramenée à un simple produit. Or il existe des algorithmes rapides de calcul de la transformée de Fourier. Il est donc fréquent de passer dans le domaine fréquentiel pour effectuer une convolution.
Rappel du produit de convolution :
∫+∞
−∞=−=
udu)ut(x)u(y)t(y*)t(x
Densité spectrale de puissance
La puissance instantanée exprimée en fonction de la fréquence est appelée densité spectrale de puissance :
2)f(S On peut démontrer que la densité spectrale de puissance est la transformée de Fourier de la fonction
d�autocorrélation du signal : { })(CF)f(S 2 τ=
C�est le théorème de Wiener-Kinchine.
16
II.2.2) Transformée de quelques signaux courants
s(t) S(f)=F[s(t)] )t(δ 1
1 )f(δ
)tf2cos()t(s 0π= [ ])ff()ff(21
00 −δ++δ
)tf2sin()t(s 0π= [ ])ff()ff(
2j
00 −δ−+δ
=ΠTtrect)
Tt(
)Tf(csinT
Tttri
)Tf(csinT 2
∑+∞
−∞=−δ=δ
nT )nTt()t( )f(
T1)
Tnf(
T1
T1
nδ=−δ∑
+∞
−∞=
Rappel : sinc(Tf) possède des passages à 0 tous les k/T.
II.2.3) Lien entre série de Fourier et transformée de Fourier
On peut considérer un signal non périodique comme un signal périodique dont la période tend vers l�infini. Sa fréquence tend alors vers 0 et l�intervalle de fréquence séparant 2 pics de Dirac dans le spectre de fréquence, obtenu par décomposition en série de Fourier, se réduit jusqu�à tendre vers 0, les pics finissent par fusionner et donner une fonction continue.
Pour obtenir cette expression on reprend celle du spectre bilatéral :
∑+∞
−∞=
π=
n
tTn2j
n0e.c)t(s , avec ∫−
π−=
2/T
2/T
tTn2j
0n
0
0
0 dte).t(sT1c
que l�on peut écrire également
∑+∞
−∞=
π=
n
tTn2j
00e).nF(S)t(s , avec ∫−
π−=
2/T
2/T
tTn2j
00
0
0
0 dte).t(sT1)nF(S
En combinant ces 2 expressions :
∑ ∫∞+
−∞=
π
−
τπ−
ττ=
n 0
tTn2j2/T
2/T
Tn2j
T1ede).(s)t(s 0
0
0
0
Avec le passage à la limite, on a ∞→0T ; les intervalles de fréquence 00 nFT/n = deviennent des valeurs instantanées de fréquence ; on peut donc les remplacer par la fréquence f. De même, on remplace 0T/1 par df car il correspond à l�incrément infinitésimal des intégrales. L�expression devient donc :
dfe.de).(s)t(s ft2jf2j π+∞
∞−
τπ−+∞
∞−
ττ= ∫∫
Entre les crochets, on reconnaît l�expression de S(f), la transformée de Fourier de s(t) :
( ) ∫+∞
∞−
π− == dte).f(S)f(SF)t(s ft2j1 avec
( ) ∫+∞
∞−
π−== dte).t(s)t(sF)f(S ft2j
17
Pour résumer, la transformée de Fourier d�un signal non-périodique est obtenue en considérant que la période de ce signal tend vers l�infini. Cette période est la durée sur laquelle ce signal est analysé. II.2.4) Transformée de Fourier d’un signal périodique
Dans les séries de Fourier complexes, on a vu que la décomposition d�un signal périodique pouvait être considérée comme une fonction continue échantillonnée :
)Tnf(S)f(S
nn∑
∞
−∞=−δ= (1)
où T est la période du signal. Il s�agit d�un spectre de raies complexe. Un signal quelconque s(t), observé sur une durée finie T, peut être périodisé. Il peut être vu comme la
somme de toutes les périodes, et son expression peut alors s�écrire : )t(*)t(s)t(s TT δ=
où sT(t) est le signal limité à la durée T et δT(t) un peigne de Dirac de période T. D�après la propriété du produit de convolution, on a donc :
)f(T1).f(S)f(S
T1T δ=
où ST(f) est la transformée de Fourier de la période du signal. On peut écrire cette expression sous la forme :
∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=−δ=−δ=
nT
nT )
Tnf().
Tn(S
T1)
Tnf(
T1)f(S)f(S (2)
En effet, un peigne de Dirac peut se mettre sous la forme :
∑+∞
−∞=−δ=δ
nT )nTt()t(
Dans l�expression de S(f), le terme
)Tn(S
T1
T
représente l�enveloppe du spectre de raies espacées de 1/T. En comparant (1) et (2), on déduit que :
)Tn(S
T1S Tn =
Les coefficients de la décomposition en série de Fourier du signal périodisé peuvent donc s�obtenir en divisant le spectre de la période principal par T et en évaluant le résultat (=en échantillonnant) le résultat aux valeurs discrètes de fréquence n/T. Exemple : Détermination de la TF du signal carré à partir de cette d’un signal porte (à titre d’exercice).
On a vu que cette dernière était définie par : [ ]θ= trect)t(x →←F )f(csin)f(S θθ=
Cette fonction passe à 0 tous les k/θ, Ζ∈k . Supposons que ce signal se répète tous les kT, ce qui en fait un signal carré de période T et de rapport cyclique θ/T. D�après (2) :
∑+∞
−∞=−δθθ=
n)
Tnf().
Tn(csin
T)f(S
En particulier, dans le cas où θ=T/2 :
∑+∞
−∞=−δ=
n)
Tnf().
2n(csin
21)f(S (1)
or
18
)2
nsin(n2
2n
)2nsin(
)2n(csin π
π=
π
π=
d�où
∑+∞
−∞=−δπ
π=
n)
Tnf().
2nsin(
n11)f(S
Le sinus vaut successivement, pour n=0, 1, 2, 3, 4,� : 0, 1, 0, -1, 0,� Il vaut donc 0 pour n pair et alternativement 1 et �1 pour n impair. On peut donc écrire S(f) sous la forme :
)f(21)
T1n2f(.
1n2)1(1)f(S
n
n
δ++−δ+
−π
= ∑+∞
−∞=
Le cas f=0 n�est pas pris en compte dans la somme ; le terme δ(f)/2 a été ajouté. En effet, pour f=0, on a sinc(0)=1, donc d�après (1) : S(0)=1/2, ce qui correspond à la valeur moyenne du signal.
Ce résultat correspond à un spectre de raies tous les k/T avec k impair. Ce spectre est pair et réel. On aurait obtenu le même résultat avec le développement en série de Fourier complexe. II.2.5) Analyse spectrale
En pratique, la transformée de Fourier est souvent appliquée sur des signaux physiques (par exemple
en audio), qui changent en permanence. La TF est appliquée de manière répétitive sur des trames de signal (par exemple, qq 10 ms dans le cas de l�audio, avec un chevauchement des fenêtres). On est alors confronté au problème de la troncature du signal sur un intervalle borné. On a vu qu�une troncature brusque obtenue par multiplication avec une fenêtre carrée se traduisait par la convolution du spectre du signal avec un sinus cardinal, c�est à dire que des oscillations apparaissent dans le spectre. Il existe des fenêtres temporelles permettant de limiter ce phénomène d�oscillations. La propriété commune de toutes ces fenêtres est de posséder des transitions douces.
Quand on tronque le signal à analyser, cette troncature est équivalente à une multiplication avec une fonction porte, ce qui se traduit dans le domaine fréquentiel par une convolution avec un sinus cardinal.
Pour atténuer cet effet, on peut utiliser une fenêtre non rectangulaire.
Fenêtre triangulaire
Tt
1)t(f −= pour Tt ≤
Fenêtre de Blackman
π+
π+=
Tt4cos8,0
Tt2cos5,042,0)t(f
Fenêtre de Hamming
π+=
Tt2cos46,054,0)t(f
Fenêtre de Hanning
π+=
Tt2cos15,0)t(f
avec dans tous les cas : 0)t(f = pour Tt >
L�amélioration apportée dans l�analyse fréquentielle par ces fenêtres est quantifiée par le rapport de hauteur entre le lobe principal et le lobe secondaire (et les suivants). On étudie souvent ce rapport par le biais de leur gain en décibels :
19
)0(G)f(G
log20G 10dB =
où G(f) est la transformée de Fourier de la fenêtre. Ainsi, le gain GdB est égal à 0 pour f=0. II.2.6) Transformée de Fourier Discrète (TFD)
Aujourd�hui, les signaux sont traités sous forme numérisée. En pratique, la transformée de Fourier est
donc discrète. De plus, les signaux sont en général changeant et sont étudiés sur des durées courtes. On est donc dans le cas de signaux à durée limitée.
a) Définitions La Transformée de Fourier Discrète (TFD, DFT en anglais) est définie par :
∑−
=
π−=
1N
0n
Nnk2j
e)n(xN1)k(X
ou encore
∑−
==
1N
0n
knNW)n(x
N1)k(X avec N
2j
N eWπ
−= , k=0, 1, �, N-1
NW est appelé facteur de phase (twiddle factor). On a donc :
Nnk2j
nkN eW
π−=
Cette expression est à comparer à la transformée de Fourier dans le domaine continu :
∫+∞
∞−
ω−= dte)t(x)f(X tj
Le temps et la fréquence sont discrétisés. kNW , k=0,�,N-1 sont les N solutions de l�équation :
1zN = On les appelle également racines Nièmes de l�unité. Les sorties de la TFD sont appelés coefficients, ou points. Transformée inverse
La transformée de Fourier discrète (TFD-1) inverse est définie par :
∑−
=
−=1N
0k
knNW)k(X)n(x ; n=0, 1, �, N-1
où x(n) sont les échantillons du signal à traiter (n représente un indice temporel, on pourrait écrire x(nTe)), N est le nombre d�échantillons du signal. Remarque importante : selon les cas, on pourra trouver des facteurs d�échelles différents :
∑−
=
=1N
0n
knN )n(xw
N1)k(X et ∑
−
=
−=1N
0k
knNW)k(X)n(x
ou
20
∑−
=
=1N
0n
knN )n(xw
N1)k(X et ∑
−
=
−=1N
0k
knNW)k(X
N1)n(x
ou encore
∑−
=
=1N
0n
knN )n(xw)k(X et ∑
−
=
−=1N
0k
knNW)k(X
N1)n(x
Toutes ces expressions sont valables et donneront la forme correcte pour le signal et le spectre, mais avec des amplitudes différentes. L�important est que l�on retrouve l�amplitude correcte du signal lors de la transformée inverse.
Le choix d�une expression se fait en fonction de considérations pratiques. Par exemple, dans le cas d�un codage en virgule fixe, on prendra plutôt la 3e forme pour que le résultat de la TFD soit compris dans la plage de valeurs limitée. S�il n�y a pas de contraintes pratiques, on choisira la première forme, la plus conforme à la réalité. b) Passage du continu au discret b.1) Effet de l’échantillonnage sur le spectre Introduction
En général, les signaux numériques sont obtenus à partir de signaux analogiques, par une opération dite d�échantillonnage. On va voir que cette opération doit suivre quelques règles pour être correctement réalisée.
On a déjà considéré le cas de signaux numériques, dans l�étude de la corrélation et celle de la convolution. On avait considéré implicitement que ces règles avaient été respectées. Formalisation
Le signal échantillonné est obtenu par multiplication du signal continu avec un peigne de Dirac :
∑+∞
∞−−δ×=δ×= → )nTt()t(s)t()t(s)t(s)t(s eTe
nnageéchantilloe
où Te est la période d�échantillonnage. On a vu précédemment que la transformée de Fourier d�un peigne de Dirac temporel était un peigne de Dirac fréquentiel :
∑∑ −δ→−δ )Tnf(
T1)nTt(
ee
Fe
On a donc :
∑∑ ∞+
∞−
∞+
∞−−=−δ=→ )
Tnf(S
T1)
Tnf(
T1*)f(S)f(S)t(s
eeeee
Fe
La transformée de Fourier de se(t) se déduit donc de celle de s(t) par addition de duplicata de cette
dernière, décalés sur l�axe des fréquences avec la périodicitéT1fe = (ou
T2
eπ=ω ), et avec une division de
son amplitude par Te. Remarque : parfois, l�échantillonnage est défini par :
)t(.T).t(s)t(s)t(seTee
nnageéchantillo δ= → et dans ce cas l�amplitude du spectre du signal échantillonné n�est pas divisée par Te. Interprétation
L�échantillonnage a donc pour effet de répliquer le spectre de fréquences tous les fe=1/Te (avec une division de l�amplitude du spectre par Te). En pratique, les signaux possèdent toujours une bande passante
21
limitée, c�est à dire que leur spectre est compris entre une valeur minimum et une valeur maximum : Fmin et Fmax, pour les fréquences positives.
On voit bien que fe doit être choisie suffisamment grande par rapport à Fmax pour éviter le recouvrement de ces différents spectres. Plus précisément, il faut que fe soit supérieur à 2*Fmax, où Fmax est la limite haute de la bande passante du signal.
D�un point de vue temporel, ce phénomène va se traduire par des fréquences parasites qui n�existent pas dans le signal analogique, et donc une déformation du signal. On parle de repliement du spectre, en anglais : aliasing.
La condition Fe>2Fmax est donc la condition limite pour un échantillonnage correct. Cette condition est appelée condition de Shannon ou de Nyquist. Si cette condition n�est pas respectée, le signal analogique ne pourra pas être correctement restituée à partir du signal numérique.
Soit s(t) un signal à bande limitée, c�est à dire dont le spectre est compris dans un intervalle
[ ]maxmax F,F− .
! Cas où 2
FF maxe ≤ (cadence de Shannon)
! Cas contraire : 2
FF maxe > , (c�est le repliement du spectre, en anglais aliasing)
Filtrage des signaux avant et après échantillonnage
Quand la fréquence maximale du signal à échantillonner est supérieure à fe/2, il est filtré pour éliminer les composantes fréquentielles supérieures à cette fréquence. On appelle ce filtre « filtre anti-repliement ».
A l�autre bout de la chaîne, à la reconstitution du signal analogique, le signal présente une forme de marches d�escalier. On lui applique à nouveau un filtrage passe-bas dit « de lissage ». b.2) Détermination de l’expression de la TFD
On peut démontrer que l�expression de la TFD discrète s�obtient en échantillonnant et tronquant le signal, et en échantillonnant la transformée de Fourier de ce signal.
Le signal est échantillonné à la fréquence Fe. Il est exprimé sous forme de peigne de Dirac pondéré par les valeurs du signal aux instants d�échantillonnage :
∑+∞
−∞=
−δ=n
en )nTt(.s)t(s
où Sn sont les échantillons du signal. On tronque le signal, c�est à dire qu�on ne considère qu�un ensemble N d�échantillons :
∑−
=−δ=
1N
0nen )nTt(.s)t(s
f
0 Fe 2Fe -2Fe -Fe
f
-2Fe -Fe Fe 2Fe0
22
L�intégrale (= somme continue) se transforme alors en somme discrète. On part de l�expression de la TF continue :
∫+∞
∞−
ω−= dte)t(s)f(S tj dans laquelle on remplace le signal par sa version échantillonnée :
∫ ∑∞+
∞−
ω−−
=−δ= dte)nTt(.s)f(S tj
1N
0nen
soit
efnT2j1N
0nn e.s)f(S π−
−
=∑=
C�est ce qu�on appelle la transformée de Fourier à temps discret, ou transformée de Fourier numérique. C�est toujours une fonction de la fréquence f. Si on l�échantillonne à la fréquence Fe/N, on obtient ce qu�on appelle la transformée de Fourier discrète :
∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
−δ=−δ=k
ee
k
ee )
NFkf().
NFk(S)
NFkf().f(S)f(S
expression qui doit être tronquée :
∑−
=
−δ=1N
0k
eee )
NFkf().
NFk(S)f(S
soit, en remplaçant S(f) par son expression déterminée ci-dessus :
∑ ∑−
=
π−−
=
−δ
=
1N
0k
eNnk2j1N
0nne )
NFkf(.e.s)f(S
On arrive bien à un peigne de Dirac pondéré par les coefficients ∑−
=
=1N
0n
knNnk WsS , qui est la définition de la
TFD. c) Signification des indices des séquences d’entrée et de sortie
Pour établir le lien entre la TF continue et cette version discrète, il faut établir le lien entre, d�une part, les indices de la séquence discrète du signal temporel et les valeurs de temps correspondantes, et d�autre part entre les indices de la séquence discrète du spectre et les valeurs de fréquence correspondantes.
Les indices temporels de la séquence d�entrée représentent des valeurs de temps positives du signal échantillonné à la fréquence Fe :
indices [ ]1N;0 − ↔ instants [ ]eT)1N(;0 − Les indices fréquentiels de la séquence de sortie représentent des valeurs de fréquences, également
positives :
indices [ ]1N;0 − ↔ fréquences
−
Nff;0 e
e
On voit que la TFD calcule N termes en fonction de N échantillons de signal. Ces N échantillons
étant prélevés à la fréquence fe (=1/Te), ils correspondent à une durée égale à NTe. La domaine fréquentiel correspondant est [0, fe], avec une précision (ou résolution) fréquentielle entre les points égale à
Nff e=∆
Le tableau ci-dessous donne cette correspondance indices-fréquences.
23
Indice fréquence commentaire 0 0 composante continue 1 ∆f 2 2×∆f � N/2-1 fe/2-∆f N/2 fe/2 (*) fe/2=fréquence de Shannon-Nyquist N/2+1 fe/2+∆f � N-1 fe-∆f (*) En effet : N/2×∆f= N/2×fe/N =fe/2 Les N points présentent une symétrie par rapport au point d�indice N/2. Ce phénomène est dû à la
périodisation du spectre apportée par l�échantillonnage. La 2e partie du tableau de points (indices N/2+1 à N-1, ce qui fait N/2-2 points) étant une réplication
des fréquences négatives du spectre principale, elle correspond également aux fréquences allant de -fe/2+∆f à -fe-∆f. La correspondance indices-fréquences devient donc :
Indice fréquence commentaire 0 0 composante continue 1 ∆f 2 2x∆f � N/2 fe/2 fe/2=fréquence de Shannon-Nyquist N/2+1 -fe/2+∆f � N-2 -fe-2×∆f N-1 -fe-∆f correspond à la fréquence positive ∆f Comme pour la TF continue, si x(k) est réelle, Re[X(n)] est paire et Im[X(n)] est impaire. De plus,
comme pour la TF continue, on peut remarquer que plus on augmente le nombre d�échantillons du signal (=durée d�analyse), plus on augmente la précision fréquentielle, c�est à dire que ∆f diminue.
La fréquence de la sortie i est égale à :
Nfif e
i ×= , i=0,�,N-1 (1)
où fe est la fréquence d�échantillonnage ; les fréquences discrètes s�étalent donc de 0 Hz à fe×(N-1)/N Hz, soit fe-fe/N Hz. La quantité fe/N est appelé résolution spectrale.
Pour bien comprendre les implications de cette forme discrète, on peut ré-écrire cette relation sous la forme :
Ni
ff
e
i =
fi/fe représente la fréquence normalisée du signal, c�est à dire comprise entre 0 et 1 pour fi comprise entre 0 et fe, même si en pratique fi ne doit pas dépasser fe/2 pour respecter la condition de Shannon. Cette forme normalisée signifie que les propriétés de la TFD sont indépendantes de fe : un signal de fréquence f1 échantillonné à fe donnera le même nombre d�échantillons qu�un signal de fréquence nf1 échantillonné à nfe. Donc, si fi=fe/N, on aura 1 période de signal dans les N échantillons, et le fondamental sera représenté par la sortie d�indice 1, si on a 2 périodes, le fondamental sera représenté par la sortie d�indice 2, etc. D�où la propriété très intéressante suivante : la sortie d�indice i+1 représente le nombre de périodes
24
présentes dans les N échantillons du signal d�entrée. Cette propriété est utile quand on cherche à tester un algorithme de calcul de TFD par exemple : il suffit de mettre un nombre donné n de périodes de sinus dans les N points de la séquence d�entrée, et constater que seule la (n+1)e sortie est non nulle, et correspond à la demi-amplitude du sinus. d) Exemples de calcul pour un signal sinusoïdal Calcul
Prenons l�expression de la TFD sans le facteur multiplicatif pour simplifier les calculs :
∑−
=
=1N
0n
knN )n(xw)k(X ; k=0, 1, �, N-1 avec
π−=
Nnk2jexpWnk
N
On développe cette expression, d�abord selon n : )1N(xw...)1(xw)0(xw)k(X k)1N(
Nk1
Nk0
N −+++= ×−×× , k=0, 1, �, N-1 puis selon k :
)1N(xw...)1(xw)0(xw)0(X 0)1N(N
01N
00N −+++= ×−××
)1N(xw...)1(xw)0(xw)1(X 1)1N(N
11N
10N −+++= ×−××
�����. )1N(xw...)1(xw)0(xw)1N(X )1N()1N(
N)1N(1
N)1N(0
N −+++=− −×−−×−× et en notation matricielle :
−−
=
−−
−×−−×−−×
−×−−×
×−×−×
)1N(x)2N(x
...)0(x
ww...ww......w
............ww...w
)1N(X)2N(X
...)0(X
)1N()1N(N
)1N()2N(N
)1N(0N
)2N()1N(N
)2N(0N
0)1N(N
0)2N(N
00N
et sous forme compacte : [ ] [ ][ ]XWX =
[ ]X étant de dimension N×1 et [ ]W N×N Remarques : ! Les éléments de la 1ère ligne et de la 1ère colonne sont tous égaux à 1. ! Le calcul de cette équation nécessite donc N2 multiplications complexes (et N2-N additions).
Par exemple, avec N=3, on obtient le résultat suivant :
−−−−
−−=
)3(x)2(x)1(x)0(x
j1j11111j1j11111
)3(X)2(X)1(X)0(X
Avec un signal sinusoïdal échantillonné sur une période, le résultat serait le suivant : x(n), n=0,�,3 :
0 1 0 -1 ↓ X(k), k=0,�3 :
0 -2j 0 2j et, en prenant en compte le facteur multiplicatif 1/N : X(k), k=0,�3 :
0 -0,5j 0 0,5j
25
Avec un signal cosinusoïdal, on aurait : x(n), n=0,�,3 :
1 0 -1 0 ↓ X(k), k=0,�3 :
0 0,5 0 0,5 Pour N=8 et 2 périodes de sinus, on aurait : x(n), n=0,�,7 :
0 1 0 -1 0 1 0 -1
↓ X(k), k=0,�7 :
0 0 -0,5j 0 0 0 0,5j 0 et pour un signal cosinusoïdal : x(n), n=0,�,7 :
1 0 -1 0 1 0 -1 0
↓ X(k), k=0,�7 :
0 0 0,5 0 0 0 0,5 0 Interprétations ! On retrouve bien la propriété selon laquelle la TF d�un signal sinusoïdal est imaginaire pure et
impaire, composée de 2 impulsions d�amplitude 1/2 (si celle du signal est 1). La TF d�un signal cosinusoïdal est elle paire et réelle pure.
! Du fait de la périodisation du spectre apportée par l�échantillonnage, la 2e impulsion correspond à la symétrique de la 1ère, pour les fréquences négatives.
! On pourrait se demander pourquoi on ne voit pas apparaître de sinus cardinal dans la séquence fréquentielle, alors que le signal étudié est tronqué. La raison vient du fait que la séquence des N points du signal constitue une fenêtre de trancature de type porte, de durée N×Te=N/fe ; le sinus cardinal de la TF de cette fonction possède des zéros tous les fe/N. Or, on a vu que l�échantillonnage fréquentiel est réalisé également aux valeurs de la fréquence égales à fe/N. Donc tous ces échantillons fréquentiels sont nuls, excepté celui correspondant à la valeur maximale du sinus cardinal, situé à l�indice correspondant au nombre de périodes de signal dans les N points.
e) Considérations pratiques
• Pour N entrées, la TFD donne N sorties, dont seules les N/2 premières peuvent être conservées dans la suite du traitement puisque les N/2 suivantes représentent une symétrie par rapport au point d�indice N/2-1.
• Les entrées et les sorties de la TFD sont des nombres complexes. En pratique, - le signal d�entrée constitue la partie réelle du complexe, et la partie imaginaire est prise
égale à 0 ; - on ne s�intéresse souvent qu�au module de la sortie.
f) Transformée de Fourier Rapide (TFR, FFT en anglais)
La TFR est un algorithme de calcul rapide de la transformée de Fourier. Elle est basée sur une réduction des calculs permise par les propriétés de l�exponentielle complexe.
26
Elle s�applique à un nombre de points égal à une puissance de 2 : 64, 128, 256, 512, 1024, etc. En effet, elle consiste à décomposer une TF de N points en 2 TF de N/2 points. Cette décomposition réduit le nombre de calculs. Elle est répétée jusqu�à arriver à des TF de 2 points.
En effet, le coût de calcul de ces 2 TF est 2×(N/2)2, soit la moitié de N2. Comme ce gain de 2 est répété à chaque étape, la réduction totale est très importante. On peut démontrer que le nombre de multiplications est :
NLog2N
2
(le Log2 est la puissance de 2 permettant d�obtenir N ; par exemple : Log28=3) et le nombre d�additions : Nlog2N
Pour un calculateur numérique, le critère principal est celui du nombre de multiplications. Par exemple, pour N=8, le nombre de multiplications est :
12348Log4NLog2N
22 =×==
En fait le nombre de multiplications est encore inférieur car tous les facteurs de phase à puissance nulle sont égaux à 1.
Pour constater cette réduction du nombre de calculs, on décompose l�expression de la transformée de Fourier discrète (TFD) selon les indices pairs et impairs des échantillons de signal. On reprend l�expression de la TFD :
∑−
==
1N
0n
knNW)n(x
N1)k(X avec N
2j
N eWπ−
= , k=0, 1, �, N-1
Pour les termes pairs on remplace n par 2n, pour les termes impairs on remplace n par 2n+1. Puis on fait varier n de 0 à N/2-1 dans les deux cas. Ainsi : • 2n varie de 0 à N-2 par pas de 2 • 2n+1 varie de 1 à N-1 par pas de 2 On a donc bien toutes les valeurs comprises entre 0 et N-1 prises en compte. On décompose alors X(k) sous la forme :
)1n2(kN
12/N
0n
12/N
0n
n2kN W)1n2(xW)n2(x)k(X +
−
=
−
=∑∑ ++= ; k=0,�,N-1
kN
12/N
0n
n2kN
12/N
0n
n2kN WW)1n2(xW)n2(x)k(X
++= ∑∑−
=
−
=
Or
k2/N
k2N W
2N
k2jexpN
k22jexpW =
π−=
π−=
donc on peut écrire : kN
12/N
0n
kn
2N
kn
2N
12/N
0nWW)1n2(xW)n2(x)k(X
++= ∑∑
−
=
−
=
On peut reconnaître dans cette forme deux TFD de N/2 points : l�une pour les termes pairs de X(k), l�autre pour ses termes impairs. On peut écrire X(k) sous la forme :
)k(XW)k(X)k(X 2kN1 +=
où )k(X1 est la TFD des termes pairs de X(k) et )k(X2 la TFD de ses termes impairs. Sous cette forme décomposée, le nombre de multiplications est de (N/2)2+(N/2)2= N2/2, au lieu de
N2. De manière similaire, on pourrait démontrer que l�on a :
)k(XW)k(X)2Nk(X 2
kN1 −=+
ce qui conduit à la structure dite "en papillon" suivante :
27
Cette structure est utilisé à chaque étape de la décomposition. f) Transformée de Fourier à 2 dimensions
La TF à 2 dimensions (TF2D) est une extension directe de la TF à une dimension. Elle est
principalement appliquée aux images. La variable d�entrée n�est plus le temps mais les 2 dimensions spatiales de l�image.
Dans le cas des images, les sorties de la TF2D représentent des fréquences spatiales. Une fréquence spatiale faible correspond à des variations douces d�intensité, des fréquences spatiales élevées à des variations brusques. Ces dernières existent principalement aux endroits des contours des objets ou plus généralement des formes facilement discernables.
Les pixels (pixel=picture element) de l�image correspondent aux échantillons des signaux temporels. Dans le cas d�une image de taille M×N, la TF2D est définie par :
Nnq2j1M
0m
1N
0n
Mmp2j
e.e).n,m(fMN
1)q,p(Fπ−−
=
−
=
π−
∑∑=
avec p=0,1,�,M-1 et q=0,1,�,N-1 De manière analogue au cas à 1 dimension, F(0,0) correspond à la composante continue de l�image,
c�est à dire à la valeur moyenne de ses pixels. La TF2D inverse est définie par :
Nnq2j1M
0p
1N
0q
Mmp2j
e.e).q,p(F)n,m(fπ−
=
−
=
π
∑∑=
Une image peut être vue comme un signal à deux dimensions où à chaque position dans l'image
correspond une intensité lumineuse. L�exemple de la figure ci-dessous montre une image constituée par un rectangle blanc sur un fond noir (gauche) ainsi que l�image résultant de l�application de la TF2D (droite). Le résultat est représenté en fausses couleurs :
(voir programme en annexe)
Le résultat est analogue à celui de la TFD d�une impulsion en une dimensions. On a une symétrie par
rapport à N/2, dans la direction verticale et dans la direction horizontale. Dans ces deux directions, on reconnaît le module d�un sinus cardinal, dont la période dépend de la largeur de la largeur et la longueur du rectangle.
X(k)
X(k+N/2)
kNW
-
+
+
+
X2(k)
X1(k)
28
Afin de pouvoir bien observer les petites valeurs de la TF (les lobes secondaires du sinus cardinal) sans perdre l'information des grandes valeurs, il est fréquent d'afficher le logarithme de l�image.
Si l�on augmente la taille de l�image résultat en ajoutant des pixels à zéro à la suite des pixels de
l�image à droite et en bas, et que l�on effectue la transformée inverse, on augmente le nombre de points de l�image originale sans avoir modifié son contenu. La résolution spatiale est alors augmenté, ce qui se traduit par des pixels plus petits si l�image est représentée avec la même taille. Cette technique s�appelle "zéro-padding". Elle permet donc d�augmenter la taille d�une image sans voir un effet de "pixelisation", c�est à dire sans voir l�apparition de pixels carrés.
g) Applications de la transformée de Fourier ! Image, vidéo :
- Convolution par TFD : elle exploite la propriété de la TF de transformer un produit de convolution en produit simple. Le 2e est beaucoup moins coûteux en calculs que le 1er, et il existe la FFT, algorithme rapide de calcul de la TF.
- Compressions JPEG (images) et MPEG (vidéo) : basé sur la transformée en cosinus, expression de la TFD dans laquelle on ne conserve que la composante cosinusoïdale.
! Traitement d’antenne : retrouver la direction de propagation des ondes sonores ou électromagnétiques.
! Astronomie : par interférométrie. ! Médecine :
- Prothèses auditives, - Imagerie par Résonance Magnétique Nucléaire, - Tomographie par rayons X.
! Chimie, cristallographie : spectroscopie Infra-Rouge pour l�analyse des structures moléculaires. ! Audio, musique :
- Analyse spectrale : pour connaître le contenu fréquentiel d�un signal musical, - Changement de fréquence sans changer le contenu fréquentiel (par exemple pour rendre une
voix plus grave sans changer son timbre), - Etirement temporel pour modifier la durée d�un signal sans changer on contenu fréquentiel (par
exemple pour réduire la durée d�un spot publicitaire sans modifier la hauteur des voix), - Compression MP3 : basée sur la transformée en cosinus modifiée.
II.3) Approfondissements théoriques II.3.1) Projection d’un signal sur une base de signaux orthogonaux
On a vu que dans le cas de la décomposition d�un signal en série de Fourier, un signal s(t) pouvait s�écrire :
∑∞
−∞=
ω=n
tjnnec)t(s
avec
∫ ω−=T
0
tjnn dte)t(s
T1c
des coefficients complexes. On va voir qu�il s�agit d�un cas particulier de projection d�un signal sur une base de fonctions orthogonales.
29
Orthogonalité
Deux fonctions x(t) et y(t) sur l�intervalle [t1,t2] sont orthogonales si leur produit scalaire est nul. Leur produit scalaire est défini par (dans le cas général de 2 fonctions complexes) :
∫>=< 2
1
t
t
* dt)t(y)t(x)t(y),t(x
Le produit scalaire de 2 fonctions est défini de manière analogue au produit scalaire de 2 vecteurs. Soient 2 vecteurs (réels) de dimension n : { }n21 x,...,x,xx = et { }n21 y,...,y,yy = . Leur produit scalaire est défini par :
i
n
0ii y.xy.x ∑
=
=
Calculons par exemple le produit scalaire entre les deux fonctions exponentielles, sur l�intervalle [0,T] : tjn1e)t(x ω= et tjn2e)t(y ω=
[ ] [ ]T0
0)nn(Tj
21
T0
)nn(tj
21
T
0
)nn(tjT
0
tjntjn eenn
1enn
1dtedtee)t(y),t(x 21212121 −−
=−
==>=< −ω−ω−ωω−ω ∫∫
[ ] 01enn
1 T0
)nn(2j
21
21 =−−
= −π car n1-n2 est entier
Les fonctions tjne ω , pour 2 valeurs différentes de n, sont donc des fonctions orthogonales 2 à 2. Elles forment une base orthogonale. On aurait obtenu le même résultat avec tjne ω− Norme
Il existe plusieurs définitions de la norme d�un signal. Dans l�espace des signaux d�énergie finie (appelé L2), pour un signal x(t) elle est définie, sur un intervalle [t1,t2], par :
∫= 2
1
t
t
2 dt)t(x)t(x
On peut remarquer qu�elle est égale à la racine carrée du produit scalaire avec lui-même : xx,x * >=<
Dans le cas où x est un vecteur, la norme est définie par :
∑=
=n
0i
2ixx
La norme des fonctions exponentielles tjne ω ou tjne ω− est égale à 1. On dit que ces fonctions sont normées. La base qu�elles forment est donc non seulement orthogonale, mais également orthonormée.
Si un vecteur n�est pas normé, il peut être normalisé en le divisant par sa norme. Ainsi, le vecteur :
)t(x)t(x)t('x =
est normé. Cas général
Dans le cas général, un signal peut se décomposer en une somme infinie de fonctions orthogonales :
∑+∞
=
Φ=1n
nn )t(a)t(s
Si ces fonctions sont orthonormées, les coefficients ak sont définis par le produit scalaire entre le signal et chacune de ces fonctions :
>Φ=< nn ),t(sa soit, avec tjn
n e ω−=Φ (cas des séries de Fourier complexes) :
30
∫ ω−=T
0
tjnn dte)t(sa
Le signal doit être à énergie finie. On dit également "de carré intégrable (ou sommable)". On écrit : )t,t(L)t(s 21
2∈ où t1 et t2 sont les bornes d�intégration.
Les fonctions orthogonales constituent des vecteurs de base. La projection du signal dans cette base constitue un changement de base. Si la base est orthogonale, on a :
0, *lk >=ΦΦ< lk ≠∀
L�intérêt d�une telle décomposition est de faciliter l�analyse d�un signal (comme dans le cas des séries de Fourier). Exemple d’impulsions rectangulaires : échantillonnage
=δ
→ Ttrect
T1lim)t(
0T
t)t.it().t.i(e)t(ei
tt ∆∆−Π∆= ∑+∞
−∞=∆∆
Approximation de signaux
Si l�on restreint la somme discrête à un nombre fini m de termes, on réalise ce que l�on appelle une approximation du signal :
∑+∞
=
Φ=1n
nn
~)t(a)t(s
On définit alors une erreur d�approximation : ~
)t(s)t(s)t(e −= La norme de cette erreur est définie par :
∫ −= 2
1
t
t
2~dt)t(s)t(s)t(e
On reconnaît la définition de la distance euclidienne :
=
~)t(s),t(sd)t(e
Plus généralement, la distance euclidienne entre 2 signaux x(t) et y(t) est définie par :
∫ −= 2
1
t
t
2 dt)t(x)t(y))t(y),t(x(d
Elle est égale à la norme de la différence entre les 2 signaux : )t(y)t(x))t(y),t(x(d −=
Elle est à comparer avec la distance euclidienne entre 2 vecteurs { }n21 x,...,x,xx = et { }n21 y,...,y,yy = :
∑=
−=n
1i
2ii )xx()y,x(d
Remarque : lien entre distance, produit scalaire et produit de corrélation
Pour simplifier, on considère le cas de signaux réels uniquement.
><−+=−−= ∫ )t(y),t(x2)t(y)t(xdt))t(x)t(y))(t(x)t(y())t(y),t(x(d 22t
t
2 2
1
Si les 2 signaux sont orthogonaux, on a 0)t(y),t(x >=<
31
donc 222 )t(y)t(x))t(y),t(x(d +=
On retrouve l�expression du théorème de Pythagore. La distance et le produit scalaire peuvent donc servir à mesurer la ressemblance entre 2 signaux. Ces
signaux peuvent être considérés comme des vecteurs. Supposons que ces 2 vecteurs soient colinéaires : le produit scalaire entre eux est maximal et la distance entre eux est minimale.
Comparons également avec la fonction de corrélation entre 2 signaux, également utiles pour la mesure de ressemblance entre 2 signaux :
dt)t(y).t(x)(Ctxy ∫+∞
−∞=τ−=τ
Considérons le produit de corrélation pour τ=0 :
dt)t(y).t(x)0(Ctxy ∫+∞
−∞==
On reconnaît l�expression du produit scalaire : >=< y,x)0(Cxy
Théorème de la projection
On peut montrer que la distance entre une fonction x(t) et son approximation est minimale si l�erreur d�approximation
~)t(s)t(s)t(e −=
est orthogonale aux fonctions de base : 0,e k >=Φ< k∀
II.3.2) Liens entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace a) Région de convergence
On a vu dans la définition de la transformée de Fourier (TF) qu�elle pouvait s�appliquer aux signaux absolument sommables (c�est à dire dont l�intégrale de la valeur absolue est finie), c�est à dire tels que :
∫+∞
∞−∞<dt)t(s
L�ensemble de ces signaux est appelé espace L1. On dit également que l�intégrale a une valeur finie, ou qu�elle est convergente.
Par exemple, la TF de la fonction ate n�est pas convergente si a>0. Dans ce cas elle n�admet donc pas de TF. Par contre, la TL de cette fonction existe, pour certaines valeurs de la variable p. En effet, en remplaçant s(t) par s(t) te σ− avec σ tel que a-σ<0, et en considérant le signal causal, la TF devient :
∫∫+∞ π+σ−+∞ π−σ− ==
0
t)f2j(
0
ft2jt dte)t(sdtee)t(s)f(S
L�intégrale est devenue convergente. La nouvelle grandeur définie est appelée fréquence complexe : f2jjp π+σ=ω+σ=
L�expression ainsi obtenue est cele de l�expression de la transformée de Laplace (TL) :
∫+∞ − ==
0
pt )]t(s[TLdte)t(s)p(S
La TL est donc plus générale que la TF dans la mesure où un signal n�appartenant pas à l�ensemble des signaux L1 et donc ne possédant pas de TF, peut posséder une TL. Mais il faut alors préciser le domaine de convergence de la variable p.
Par exemple, la TL de la fonction ate
32
n�existe que dans le demi-plan à droite de la droite d�équation p=a, parallèle à l�axe imaginaire, c�est à dire pour σ>a. a est appelée abscisse de convergence de la fonction. Donc la TF de la fonction ci-dessus existe si a<0.
La TF correspond à la TL avec σ=0. La TF correspond donc à une intégration le long de l�axe imaginaire du plan complexe. Si l�axe imaginaire est compris dans la région d�existence d�une fonction, sa TF existe. Ce qui est le cas dans l�exemple ci-dessus b) Stabilité, lien avec la résolution des équations différentielles
La stabilité d�un système peut être étudiée via l�étude des pôles de sa transmittance de Laplace. Dans la partie du cours concernant résolution des équations différentielles par la TL, on a vu qu�une transmittance pouvait se décomposer sous forme d�une somme de fractions rationnelles élémentaires, chacune de ces fractions possédant un pôle simple ou multiple. Par exemple, dans la transmittance :
( ) ( ) ( )2
1,22
2
0,2
1
1
ppA
ppA
ppA
)p(E)p(S)p(T
−+
−+
−==
le pôle p2 est double. On peut démontrer facilement qu�un pôle pi simple correspond, dans le domaine temporel, à un
signal exponentiel :
tpi
i
i1 ieApp
ATL =
−
−
Dans le cas où pi est réel, il est évident que cette composante du signal est stable uniquement si pi<0, c�est à dire si la variable p est à partie réelle négative :
p=σ<0 Dans le cas où pi est complexe, cette composante du signal est une exponentielle complexe dont
l�enveloppe est une exponentielle réelle : tjtt)j(tp iiiii eeee ωσω+σ ×==
Or, les pôles complexes fonctionnent toujours par paires, et la partie imaginaire correspond alors à un signal sinusoïdal (par utilisation d�une formule d�Euler). La stabilité dépend là encore de la partie réelle de p (=l�enveloppe du signal sinusoïdal). La condition de stabilité est donc la même que pour les pôles réels.
Le cas limite de la stabilité est donc pour σ=0, et dans ce cas : tjtj0tjtt)j(tp iiiiiii eeeeeee ωωωσω+σ ====
Ce pôle implique que le comportement du système est oscillatoire, sinusoïdal. Il est à la limite de l�instabilité, mais n�est ni stable ni instable.
Ce raisonnement ne concerne que les pôles simples, mais pour les pôles multiples il aurait été similaire.
Finalement, on peut conclure de ce raisonnement que la TF est un cas particulier de la TL avec ω= jp
Dans le plan complexe, cela revient à étudier les signaux uniquement sur l�axe imaginaire, et à considérer que ces signaux sont des combinaisons de signaux sinusoïdaux (ce qui est vrai pour les signaux périodiques, et par extension pour tous les signaux). La TL permet d�étendre cette étude dans le plan complexe complet, ce qui permet en plus l�étude de la stabilité des systèmes, entre autres.
33
Annexe : Quelques programmes Scilab Séries de Fourier
Le programme suivant réalise la synthèse d�un signal carré par addition des harmoniques de ce signal. Le signal carré utilisé pour la décomposition est représenté, puis le fondamental seul, puis ce même fondamental additionné du 1er, puis des 2, 3 et 4 premiers harmoniques. fe=48000; //fréquence d'échantillonnage (nombre d'échantillons par seconde Te=1/fe; //période d'échantillonnage N=fe/10; //nombre d 'échantillons étudiés t=(0:N-1)*Te; //temps discret : N valeurs de 0 à (N-1)*Te fre=10; //fréquence du signal a=1; //amplitude e=a*squarewave(2*%pi*fre*t);
f=sin(2*%pi*fre*t); //fondamental h3=sin(3*2*%pi*fre*t)/3; //harmonique de rang 3 h5=sin(5*2*%pi*fre*t)/5; //harmonique de rang 5 h7=sin(7*2*%pi*fre*t)/7; //harmonique de rang 7 h9=sin(9*2*%pi*fre*t)/9; //harmonique de rang 9 b=4*a/%pi; s1=b*f; s2=b*(f+h3); s3=b*(f+h3+h5); s4=b*(f+h3+h5+h7); s5=b*(f+h3+h5+h7+h9);
xbasc //effacement de l'écran graphique plot2d(t,s1,style=[2]); //courbe bleue plot2d(t,s2,style=[3]); //courbe verte plot2d(t,s3,style=[4]); //courbe turquoise plot2d(t,s4,style=[5]); //courbe rouge plot2d(t,s5,style=[6]); //courbe rose plot2d(t,e); //signal carré
On obtient l�affichage suivant :
Transformée de Fourier d’un signal sinusoïdal
Le programme suivant calcule et affiche la TFD d�un signal sinusoïdal : N=128; //nombre d’échantillons du signal Te=0.01 ; //période d’échantillonnage t=(0:N-1)*Te; //vecteur de temps discret n_per=10; //nombre de périodes de signal fre=n_per/(N*Te) //fréquence du signal signal=sin(2*%pi*fre*t); tfd=fft(signal,-1)/N; //Transformée de Fourier directe deltaf=1/(N*Te); //résolution fréquentielle
34
xbasc //effacement du graphique précédent xsetech([0,0,1,1/2]); //définition de la zone graphique plot2d(signal) ; //affichage du signal xsetech([0,1/2,1,1/2]); plot2d(imag(tfd)) ; //affichage du module des points de sortie de la TFD
Interprétation :
! Le résultat étant imaginaire pur, son affichage a été obtenu en écrivant :
plot2d(imag(tfd)) ; //affichage du module des points de sortie de la TFD
! Les abscisses correspondent aux indices des tableaux. Il y a 10 périodes de signal, donc le pic principal se situe à l�indice 11 (le premier indice étant 1, et correspond à la composante continue) dans le tableau de la TFD.
! Le pic positif correspond à l�image du pic négatif dans les fréquences négatives (en fait, sa répétition à Fe � f0, dûe à l�échantillonnage).
Pour visualiser le temps et les fréquences réelles, on modifie les fonctions d�affichage de la façon
suivante : ... plot2d(signal) ; //affichage du signal deltaf=1/(N*Te) ; //résolution fréquentielle f=(0:N-1)*deltaf; //vecteur de fréquences pour l'affichage graphique plot2d(imag(tfd)) ; //affichage du module des points de sortie de la TFD ...
On obtient alors l�affichage suivant :
On remarque que l�indice du tableau de l�affichage précédent correspond maintenant à la fréquence
réelle du signal.
35
Spectrogramme
Le programme suivant réalise un spectrogramme du mot "zéro" prononcé par une jeune femme. REP_WAV="c:\" //chemin d'accès du fichier WAV fich_wav="sophie0.wav"; //nom du fichier WAV nom_fich=REP_WAV+fich_wav; [y,fe]=wavread(nom_fich); //y : signal ; fe : fréquence d’échantillonnage sig=y'; //sig : vecteur ligne (donc transposition du vecteur colonne y) N=length(sig); //N : nombre d’échantillons du signal t_fen=256; //taille fenêtre nb_fen=int(N/t_fen) //nombre de fenêtres chev=0.5; //chevauchement des fenêtres nb_fen=int(N/(t_fen*(1-chev))); //nombre de fenêtres spect_c=zeros(nb_fen,t_fen); //spectre complet spect=zeros(nb_fen,t_fen/2); //spectre réduit : seules les fréquences positives sont gardées t=linspace(-.5,.5,t_fen); //vecteur de temps discret de 128 points entre -0,5 et 0,5 win=(cos(%pi*t).^2); //fenêtre for l=1:nb_fen //boucle sur les fenêtres
debut_fen=(l-1)*t_fen*(1-chev)+1; //début de la fenêtre courante fin_fen=debut_fen+t_fen-1; //fin de la fenêtre courante signal=sig(debut_fen:fin_fen); //sélection d'une trame de signal signal=signal.*win; //pondération du signal par la fenêtre spect_c(l,:)=fft(signal,-1); //le résultat de la FFT est complexe spect(l,:)=abs(spect_c(l,1:t_fen/2)); //modules et uniquement fréquences positives
end; spect=20*log10((spect+1)/max(spect)); //gain en dB (le "+1" est pour éviter log(0)) spect=256.*(spect-min(spect))./(max(spect)-min(spect)); //->min=0 et max=256 (pour affichage) xbasc; //effacement de l'affichage graphique précédent xsetech([0,0,1,1/2]); //définition de la zone graphique plot2d(sig); //affichage du signal xsetech([0,1/2,1,1/2]); Matplot(spect'); //pour voir l’évolution du spectre en fonction du temps xset('colormap',jetcolormap(256)); //choix de la palette de couleurs colorbar(1,256); //affichage de la palette de couleurs
L�exécution du programme provoque l�affichage suivant :
Le cadre du haut représente le signal en fonction du temps. Celui du bas contient le spectrogramme
de ce son, l�axe des abscisses étant celui du temps et l�axe des ordonnées celui des fréquences (les fréquences augmentent du haut vers le bas de la figure).
On repère les 2 voyelles "é" et "o", qui comportent une certaine périodicité se traduisant dans le spectre par des pics de fréquence, et les consonnes "z" et "r", non périodiques et plutôt assimilables à du bruit coloré (bruit comportant des gammes de fréquence prépondérantes).
36
Transformée de Fourier à 2 dimensions
Le programme suivant applique la Transformée de Fourier Discrète à une image composée d�un rectangle noir sur un fond blanc. im=zeros(100,100); im(10:20,10:20) = 255; imf=fft(im,-1); xset("colormap",jetcolormap(256)) ; imf=256.*(abs(imf)-min(abs(imf)))./(max(abs(imf))-min(abs(imf))); Matplot(abs(imf));
Le résultat est analogue à celui de la TFD d�une fonction porte à une dimension. On a une symétrie
par rapport à N/2, dans la direction verticale et dans la direction horizontale. Dans ces deux directions, on reconnaît le module d�un sinus cardinal, dont la période dépend de la largeur de la largeur et la longueur du rectangle.
On peut faire de très jolie choses rien qu�en diminuant la taille de la porte, en écrivant par exemple : im(20:22,25:26) = 255;
