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ANALYSE COMPLEXESMA 6, 2014-2018

A. LesfariDépartement de Mathématiques

Faculté des SciencesUniversité Chouaïb DoukkaliB.P. 20, El Jadida, Maroc.

E. mail : [email protected] Web : http://lesfari.com

Le programme porte sur les notions suivantes : fonctions holo-morphes, équation de Cauchy-Riemann, fonctions holomorphes élé-mentaires, théorème de Cauchy, formule intégrale de Cauchy, équi-valence entre holomorphie et analyticité, zéros de fonctions holo-morphes, espace des fonctions holomorphes, théorème d'inversionlocale, théorème de l'application ouverte, principe du maximum, lemmede Schwarz, automorphismes, séries de Laurent, points singuliers,fonction méromorphes, théorème des résidus et application au calculintégral, théorème de Rouché, fonctions harmoniques, égalité de lamoyenne, noyau de Poisson. Si le temps le permet, d'autres notionscomplémentaires seront données.

Table des matières

1 Fonctions holomorphes, fonctions analytiques 41.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Fonctions diérentiables, fonctions holomorphes, équation de

Cauchy-Riemann, intégration des fonctions holomorphes . . . . 81.3 Théorème de Cauchy, formule intégrale de Cauchy, théorème de

Moréra, équivalence entre holomorphie et analyticité . . . . . . 121.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Propriétés des fonctions holomorphes et harmoniques 222.1 Inégalités de Cauchy, théorèmes de Liouville et de d'Alembert . 222.2 Principe du prolongement analytique et principe des zéros isolés 232.3 Propriété de la moyenne, principe du maximum, lemme de Schwarz 242.4 Fonctions harmoniques, formule et noyau de Poisson, problème

de Dirichlet pour le disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Théorème d'inversion locale, transformations conformes, appli-

cations géométriques, théorème de l'application ouverte, auto-morphismes Aut(C), Aut (P1 (C)), Aut(D(0, 1)), Aut(H) . . . . 26

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Fonctions méromorphes 37

3.1 Séries de Laurent, points singuliers, théorème de Casorati-Weierstrass,théorèmes de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Fonctions méromorphes, théorème des résidus . . . . . . . . . . 403.3 Nombre de pôles et zéros d'une fonction méromorphe, principe

de l'argument, théorème de Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Applications du théorème des résidus au calcul d'intégrales et

la somme de certaines séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Suites et produits innis(compléments) 574.1 Suites de fonctions holomorphes, séries de fonctions holomorphes,

théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2

A. Lesfari (SMA6-Analyse complexe) 3

4.2 Espace des fonctions holomorphes, théorème de Montel et sesconséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Séries de fonctions méromorphes, théorème de Mittag-Leer . . 614.4 Produits innis de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . 624.5 Fonctions dénies par une intégrale, fonctions gamma et bêta

d'Euler, transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Chapitre 1

Fonctions holomorphes, fonctionsanalytiques

1.1 PréliminairesSoient Ω un ouvert de C ' R2 et

f : Ω −→ C, z 7−→ f (z) = w,

une fonction complexe d'une variable complexe z = x+ iy, (x, y ∈ R).

Dénition 1 On dit que la fonction f est uniforme si à chaque valeur de zne correspond qu'une seule valeur de w. Sinon, elle est dite multiforme.

Exemples de fonctions uniformes :

a) La fonction linéaire : w = az + b, (a, b ∈ C).b) La fonction exponentielle : w = ez. Par dénition, on a

ez = ex (cos y + i sin y) .

Lorsque z est réel c'est-à-dire z = x, nous retrouvons la fonction exponentielleez = ex. La fonction ez est périodique, de période 2πi. En outre, on a

ez1ez2 = ez1+z2 .

En écrivantz = r(cos θ + i sin θ) = reiθ,

où r = |z| et θ = arg z, on obtient la formule de Moivrezn = rneinθ,

4


et les formules d'Euler

cos y =eiy + e−iy

2, sin y =

eiy − e−iy

2i.

c) Les fonctions circulaires . Par extension des dénitions dans le cas réel,on pose

cos z =eiz + e−iz

2, sin z =

eiz − e−iz

2i,

et de làtan z =

sin z

cos z, cot z =

cos z

sin z.

Les relations entre les fonctions trigonométriques réelles s'étendent au cas com-plexe. Les fonctions cos z et sin z sont périodiques, de période 2π. Elles ont lesmêmes zéros que les fonctions réelles correspondantes. Signalons que les fonc-tions cos z et sin z ne sont pas bornées.

d) Les fonctions hyperboliques . Nous les dénirons par extension du casréel, en posant

cosh z =ez + e−z

2, sinh z =

ez − e−z

2,

et de làtanh z =

sinh z

cosh z, coth z =

cosh z

sinh z.

Les fonctions cosh z et sinh z sont périodiques, de période 2πi et sont, respec-tivement, paires et impaires. Les relations entre les fonctions hyperboliquesréelles s'étendent au cas complexe.

Remarque 2 On peut dénir les fonctions ez, cos z, sin z, cosh z, sinh z, parleurs développements en série entière qui convergent dans tout le plan com-plexe :

ez = 1 + z +z2

2!+z3

3!+ · · ·

cos z = 1− z2

2!+z4

4!− · · ·

sin z = z − z3

3!+z5

5!− · · ·

cosh z = 1 +z2

2!+z4

4!+ · · ·

sinh z = z +z3

3!+z5

5!+ · · ·


Exemples de "fonctions" multiformes :

a) La fonction racine carrée : w =√z. Considérons

f : C −→ C, z 7−→ w : w2 = z.

Il est clair que f n'est pas une fonction : à chaque valeur de z 6= 0, corresponddeux valeurs de w. Lorsque l'on tourne autour du point z = 0, par exemple lelong d'un cercle centré en 0, alors w change de signe. En eet, soit

z = reiθ, w =√rei θ

2 ,

où r = |z| et θ = arg z. On veut tourner autour de z = 0, donc r sera petitet θ variera entre 0 et 2π. Si θ = 0, alors w =

√re0 =

√r. Si θ = 2π, alors

w =√reπi = −

√r. On peut utiliser le fait que l'argument θ d'un nombre

complexe z est déni à 2kπ près. On pose θ = θ0 + 2kπ et dès lors la fonctionw =

√z prend deux valeurs distinctes w1 et w2 pour chaque valeur de z 6= 0 :

w1 =√rei

θ02 , w2 =

√rei(

θ02

+π) = −w1. On dit que la fonction w =√z a deux

branches ou déterminations. Donc si z décrit un cercle entourant 0, la fonction√z est multiforme et passe de manière continue d'une branche à l'autre ; de

w =√r à w = −

√r. Si on refait de nouveau un tour complet c'est-à-dire de

θ = 2π à θ = 4π, alors on obtient√r c'est-à-dire la valeur de départ. On dit quele point z = 0 est un point de branchement ou de ramication de la fonctionw =

√z. A distance nie, le point z = 0 est le seul point de branchement de√

z, car la considération de tout cercle autour d'un point z 6= 0 ne conduit àaucun changement de branches de √z. On peut rendre la fonction √z uniformeen faisant une coupure le long de la demi droite issue de z = 0.

b) Logarithme complexe. Soit z ∈ C. Sous forme trigonométrique z s'écritsous la forme

z = reiθ = r(cos θ + i sin θ), r > 0

Posons Z = X + iY . L'équation eZ = z, s'écrit eXeiY = reiθ ou sous la formeeX(cosY + i sinY ) = r(cos θ + i sin θ).

D'où, eX = r et Y = θ + 2kπ, k ∈ Z. Dès lors,Z = log z = ln r + iθ + 2kπi, k ∈ Z

La fonction log z est dénie comme étant la fonction réciproque de la fonctionexponentielle. On montre que la fonction log z est multiforme, à une innitéde déterminations. La détermination principale de log z est dénie pour toutz ∈ C∗ par

log z = ln r + iθ, −π ≤ θ < π.


La détermination principale du logarithme est une bijection de C∗ sur la bandehorizontale 4 du plan complexe, dénie par Z = X + iY ∈ 4 ⇐⇒ −π ≤Y < π. Au lieu de choisir θ ∈ [−π, π[, on peut prendre θ dans un intervallequelconque semi-ouvert à droite ou à gauche et d'amplitude 2π, c-à-d., [a, a+2π[ ou ]a, a + 2π]. Soit Z = X + iY ∈ 4. On a eZ = eX(cosY + i sinY ),le module de eZ est donc r = eX et θ = Y est l'argument satisfaisant à−π ≤ θ ≤ π. Dès lors,

log eZ = ln r + iθ = ln eX + iY = X + iY = Z,

où eX désigne l'exponentielle réelle. Ainsi une détermination quelconque dulogarithme, notée loga : C∗ −→ z : Im z ∈ [a, a + 2π[, est l'inverse de lafonction exponentielle exp : z : Im z ∈ [a, a + 2π[ −→ C∗, ∀a ∈ R. Unetelle détermination prolonge la fonction logarithme réelle (dénie sur R∗

+) avecla condition 0 ∈ [a, a + 2π[ car si z ∈ R∗

+, z = |z|(cos θ + i sin θ) avec θ = 0comme seule valeur. Notons que l'expression log z1z2 = log z1 + log z2 ne serapas toujours vraie si z1, z2 ∈ C, alors que ez1+z2 = ez1ez2 est toujours vraie. Enfait, on a

log z1z2 = log z1 + log z2 (mod 2πi),

il sut d'appliquer la formule : log z = ln r+ iθ, −π ≤ θ < π car si on n'a pas−π ≤ θ1 + θ2 < π la formule en question n'est vraie qu'à 2πi près. La formuleci-dessus fournit également les logarithmes des nombres strictement négatifs.Soit, par exemple, z = −e. On a r = e, θ = −π et donc ln(−e) = 1− πi.

c) La fonction puissance zα (α ∈ C). Elle est dénie parzα = eα ln z.

La fonction zα est :- uniforme si α est entier.- multiforme, à q déterminations, si α = ±p

q, où p et q sont des entiers positifs

premiers entre eux.- multiforme, à une innité de déterminations, si α = a+ ib (a et b non nuls).Remarque 3 Une théorie plus avancée (surfaces de Riemann) permet de dé-crire de manière rigoureuse le procédé d'uniformisation .

Soitf : Ω −→ C, z 7−→ f(z),

une fonction uniforme et z0 ∈ Ω.Dénition 4 On dit que f(z) tend vers une limite l lorsque z tend vers z0 eton écrit

limz→z0

f(z) = l,


si et seulement si∀ε > 0, ∃δ > 0 : |z − z0| < δ =⇒ |f(z)− l| < ε.

Quand la limite d'une fonction existe, elle est unique. Les propriétés clas-siques concernant la limite d'une somme, d'un produit ou d'un rapport de deuxfonctions, s'étendent du cas réel au cas complexe.Remarque 5 La fonction f(z) tend vers sa limite indépendamment de la ma-nière dont le point z tend vers z0. En d'autres termes, si la limite existe, alorslorsque z tend vers z0 suivant une loi quelconque (par exemple suivant unecourbe), f(z) tend vers cette limite.

Le point à l'inni∞ est déni par l'image de l'origine par la transformationt = 1

z. Par dénition :

limz→∞

f(z) = l si ∀ε > 0,∃δ > 0 : |z| > δ =⇒ |f(z)− l| < ε.

limz→z0

f(z) = ∞ si ∀ε > 0,∃δ0 : |z − z0| < δ =⇒ |f(z)| > ε.

Notons que si limz→z0

f(z) = l, alors limz→z0

f(z) = l. Il en résulte quelimz→z0

Ref (z) = Re (l) , limz→z0

Imf (z) = Im (l) .

La réciproque est également vraie.Dénition 6 Soit z0 un point où la fonction f prend la valeur f (z0). On ditque f(z) est continue en z0 si et seulement si

limz→z0

f (z) = f (z0) .

La fonction f (z) est continue dans Ω si et seulement si elle est continue entout point de Ω.Les propriétés classiques concernant la somme, le produit et le rapport defonctions continues s'étendent du cas réel au cas complexe.

1.2 Fonctions diérentiables, fonctions holomorphes,équation de Cauchy-Riemann, intégration desfonctions holomorphes

Dénition 7 On dit que f (z) est dérivable au point z ∈ Ω si et seulement si

limh→0

f (z + h)− f (z)

h= f ′ (z) ,

existe, indépendamment de la façon dont h tend vers 0 dans C. Cette limite,notée f ′ (z), est appelée dérivée de f en z.


Dénition 8 La fonction f est diérentiable en z si et seulement si il existeun nombre complexe f ′ (z) tel que

∀h ∈ C, f (z + h) = f (z) + f ′ (z) · h+ o (|h|) .

Les règles de dérivation (somme, produit, quotient) sont les mêmes quecelles utilisées en analyse réelle.Proposition 9 La fonction f : Ω −→ C est dérivable en z si et seulementsi elle est diérentiable en z et f ′(z) a la même signication dans les deuxdénitions précédentes.Dénition 10 La fonction f est dite holomorphe dans Ω si elle est dérivableen tout point de Ω.

Posons z = x + iy, h = ∆x + i∆y et soit f(z) = u(x, y) + iv(x, y), oùu(x, y) = Ref(z) et v(x, y) = Imf(z), sont des fonctions réelles de deuxvariables réelles x et y.Théorème 11 La fonction f(z) = u(x, y) + iv(x, y) est holomorphe dans Ωsi et seulement si u et v sont diérentiables dans Ω et satisfont aux conditions(ou équations) de Cauchy-Riemann :

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x.

En outre, on a

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂u

∂x− i

∂u

∂y=∂v

∂y− i

∂u

∂y=∂v

∂y+ i

∂v

∂x.

Remarque 12 Si u et v ne sont pas diérentiables, alors les conditions deCauchy-Riemann sont nécessaires mais pas susantes.Proposition 13 Considérons les deux opérateurs

∂

∂z=

1

2

(∂

∂x− i

∂

∂y

),

∂

∂z=

1

2

(∂

∂x+ i

∂

∂y

).

Les équations de Cauchy-Riemann sont équivalentes à l'équation∂f

∂z= 0.

En outre, on af ′(z) =

∂f

∂z(z).


Remarque 14 On désigne par H(Ω) (ou parfois O(Ω)), l'ensemble des fonc-tions holomorphes sur un ouvert Ω ⊂ C. On montre que : H(Ω) est un espacevectoriel, un anneau (car stable pour la somme et le produit), une sous-algèbrede C1(Ω) et un sous-module fermé de C1(Ω). La composée de deux fonctionsholomorphes est holomorphe, l'application réciproque d'un diéomorphisme ho-lomorphe est holomorphe et si une fonction holomorphe possède un logarithmealors celui-ci est holomorphe.

Dénition 15 On appelle chemin C1 par morceaux une application continueγ : [a, b] −→ C, dénie sur un intervalle femé [a, b] de R et telle qu'il existe unesubdivision : a = α1 < α2 < . . . < αn = b, de [a, b] pour laquelle la restrictionde γ à chaque intervalle [αk−1, αk] (1 ≤ k ≤ n) soit de classe C1. On dit que lechemin γ est fermé (ou un circuit, ou encore un lacet) si γ(a) = γ(b).

Dénition 16 Soient f : Ω −→ C une fonction continue et γ : [a, b] −→ Cun chemin C1 par morceaux. On appelle intégrale de f le long de γ l'expression∫

γ

f (z) dz =

∫ b

a

f (γ (t)) γ′ (t) dt =n∑

k=1

∫ αk

αk−1

f (γ (t)) γ′ (t) dt.

Remarque 17 Une autre façon de dénir l'intégrale ci-dessus, est la sui-vante : partageons γ en n morceaux, au moyen des points z0, z1, ..., zn. Deplus, choisissons un point ξk sur chaque arc joignant zk−1 à zk (1 ≤ k ≤ n).

On dénit la sommeSn =

n∑k=1

f (ξk) (zk − zk−1) .

La limite obtenue en faisant croître le nombre n de subdivisions, de façon quemax1≤k≤n

|zk − zk−1| tende vers zéro, est appelée intégrale curviligne de f(z) le longde γ et est notée ∫

γf(z)dz.


Proposition 18 Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) et γ(t) = x(t) + iy(t), alors∫γ

f(z)dz =

∫γ

(u(x, y)dx− v(x, y)dy) + i

∫γ

(u(x, y)dy + v(x, y)dx) .

La formule ci dessus, est une combinaison linéaire d'intégrales curvilignesréelles. Les propriétés habituelles de ces dernières sont donc conservées.

Si on change le sens du parcours du chemin γ : [a, b] −→ C, l'intégralechange de signe ∫

γ−f (z) dz = −

∫γ

f(z)dz,

où γ(t) = γ (a+ b− t), t ∈ [a, b] ; le chemin γ− se déduit de γ par un change-ment d'orientation :

Si le chemin γ admet la représentation paramétriquex = ϕ (t) , y = ψ(t),

avec a < t < b, alors on a∫γ

f (z) dz =

∫ b

a

f [u (ϕ (t) , ψ (t)) + iv (ϕ (t) , ψ (t))] (ϕ′ (t) + iψ′ (t)) dt.

Proposition 19 Si f est holomorphe, alors∫γ

f ′ (z) dz = f (γ (b))− f (γ (a)) ,

où γ : [a, b] −→ C est un chemin C1 par morceaux.Proposition 20 (formules de majoration). Soit f : Ω −→ C une fonctioncontinue et γ : [a, b] −→ C un chemin C1 par morceaux. Alors∣∣∣∣∫

γ

f(z)dz

∣∣∣∣ ≤ ∫γ

|f(z)| |dz| =∫ b

a

|f (γ(t))| |γ′(t)| dt,

et ∣∣∣∣∫γ

f(z)dz

∣∣∣∣ ≤ML,

oùM est une borne supérieure de |f(z)| sur γ et L =∫ b

a|γ′(t)| dt est la longueur

du chemin γ.


Théorème 21 Soient γ : [a, b] −→ C un chemin fermé et ∆ le complémen-taire de l'image de γ, c'est-à-dire ∆ = Ic où I = z : ∃t ∈ [a, b], z = γ(t).Pour tout z ∈ ∆, on a

1

2πi

∫γ

dζ

ζ − z= indγ(z),

où indγ(z) est un entier dépendant du point z. Il est égal au nombre de toursque fait γ autour de z. La fonction z 7−→ indγ(z) est constante sur toute partieconnexe de ∆ et s'annule sur l'unique composante connexe non bornée de ∆.Dénition 22 On dit que indγ(z) est l'indice de γ par rapport à z.Pour γ ci-dessous, on a indγ(z) = 2 :

Exemple 23 Soit γ le cercle (orienté positivement) de centre a et de rayonr, déni par

γ(t) = a+ reit, t ∈ [0, 2π]

Le complémentaire du cercle |z − a| = r (support de γ) se divise en deuxparties : le disque |z − a < r et la couronne |z − a| > r. D'après le théorèmeprécédent, l'indice indγ(a) est constant dans le disque et il sut de le calculerau point a,

indγ(a) =1

2πi

∫γ

dz

z − a=

r

2π

∫ 2π

0

eit

reitdt = 1.

Par ailleurs, dans la couronne, l'indice est nul. Par conséquent, on a

indγ(a) =

1 si |z − a| < r0 si |z − a| > r

1.3 Théorème de Cauchy, formule intégrale deCauchy, théorème de Moréra, équivalenceentre holomorphie et analyticité

Dénition 24 Soientγ1 : [a, b] −→ C, t 7−→ γ1 (t) , γ2 : [a, b] −→ C, t 7−→ γ2 (t) ,


deux chemins dénis sur le même intervalle [a, b], ayant mêmes extrémitésγ1 (a) = γ2 (a) et γ1 (b) = γ2 (b). On dit que γ1 et γ2 sont homotopes dansΩ ⊂ C s'il existe une application continue

ϕ : [a, b]× [0, 1] −→ Ω, (t, s) 7−→ ϕ (t, s) ,

telle que :ϕ (t, 0) = γ1 (t) , ∀t ∈ [a, b] ,

ϕ (t, 1) = γ2 (t) , ∀t ∈ [a, b] ,

ϕ (a, s) = γ1 (a) = γ2 (a) , ∀s ∈ [0, 1] ,

ϕ (b, s) = γ1 (b) = γ2 (b) , ∀s ∈ [0, 1] .

L'application ϕ est dite une homotopie entre γ1 et γ2. Si γ1 et γ2 sont fermés,alors les deux dernières conditions seront remplacées par celle-ci :

ϕ (a, s) = ϕ (b, s) , ∀s ∈ [0, 1] .

Intuitivement, γ1 et γ2 sont homotopes dans Ω si on peut déformer continû-ment, tout en restant dans Ω, l'un des chemins en l'autre.Dénition 25 Un domaine est un ensemble ouvert connexe.Dénition 26 On dit qu'un domaine Ω est simplement connexe si tout che-min fermé γ inclus dans Ω est homotope à un point. Autrement dit, si toutchemin fermé γ inclus dans Ω peut être réduit à un point par déformationcontinue, sans quitter Ω.

Donc un ouvert Ω est simplement connexe s'il est connexe ainsi que soncomplémentaire. De façon imagée, un ouvert est simplement connexe s'il estconnexe et sans trou.Exemple 27 Un disque est simplement connexe. Par contre, le disque privéde son centre n'est pas simplement connexe. Une couronne circulaire n'est passimplement connexe. Le plan C\R− est simplement connexe. Un ouvert étoilé1est simplement connexe.Théorème 28 (Cauchy). a) Soit f(z) une fonction holomorphe dans un do-maine simplement connexe Ω ⊂ C et soit γ un chemin fermé contenu dans Ω.Alors ∫

γ

f(z)dz = 0.

1Un ouvert Ω est dit étoilé par rapport à un point a si pour tout x ∈ Ω, le segment [a, x]est inclus dans Ω.


b) Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexeΩ ⊂ C, sauf en z1, z2, ..., zk et soit γ un chemin fermé contenu dans Ω entouranttous ces points. Si γj (1 ≤ j ≤ k) est un chemin fermé contenu dans le domaineintérieur à γ entourant zj et n'entourant pas les autres zl (l 6= j), alors∫

γ

f(z)dz =k∑

j=1

∫γj

f(z)dz.

Remarques 29 a) Si le domaine Ω n'est pas simplement connexe et si γ esthomotope à zéro, alors on peut trouver un domaine simplement connexe ∆ ⊂ Ωcontenant γ et le résultat reste inchangé.

b) Si γ a des points doubles alors on décompose le chemin γ de telle façonqu'il n'y plus d'ambiguité et dès lors∫

γ

f (z) dz =

∫γ1

f (z) dz +

∫γ2

f (z) dz.

c) Dans le langage des formes diérentielles, le théorème de Cauchy s'énoncecomme suit : si f(z) est holomorphe dans Ω, alors la forme diérentielle f(z)dzest fermée dans Ω.

Nous allons étudier quelques conséquences du théorème précédent.Propriété 30 Soit γ un chemin d'extrémités a et b, et contenu dans Ω. Alors,l'intégrale ∫

γf(z)dz ne dépend que des extrémités a et b de γ.

On pose ∫γ

f(z)dz =

∫ b

a

f(z)dz.

Soit f(z) une fonction holomorphe dans Ω. D'après la propriété précédente,on peut dénir dans Ω une fonction uniforme (dénie à une constante près,dépendant du choix du point z0),

F (z) =

∫ z

z0

f(ζ)dζ, z0 ∈ Ω.


Proposition 31 F (z) est holomorphe dans Ω et on a F ′(z) = f(z), sur Ω.Dénition 32 La fonction F (z) est dite primitive de f(z).Remarques 33 a) Dans la proposition précédente, on suppose que f est holo-morphe mais dans la démonstration seule la propriété de continuité de f serautilisée.

b) On montre de façon similaire que si Ω est un ouvert étoilé par rapportà un de ses points, alors toute fonction holomorphe dans Ω y admet une pri-mitive holomorphe. Ceci correspond au théorème de Poincaré : toute formediérentielle fermée dans un ouvert étoilé y est exacte.

c) Notons que si F est une primitive de f , alors ∫ b

af(z)dz = F (b)−F (a).

d) La formule d'intégration par partie ainsi que celle du changement devariables restent valables.Théorème 34 Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domaine Ω. Soitγ un chemin fermé contenu dans Ω et soit ∆ le domaine simplement connexeayant γ pour frontière. Alors

a) Pour tout z ∈ ∆, on a la formule intégrale de Cauchy :

f(z) =1

2πi

∫γ

f(ζ)

ζ − zdζ.

b) La fonction f est indéniment dérivable dans ∆ et on a, pour tout z ∈ ∆,

f (n)(z) =n!

2πi

∫γ

f(ζ)

(ζ − z)n+1dζ.

(γ étant parcouru dans le sens positif, c-à-d., anti-horlogique).Une version plus générale de la formule intégrale de Cauchy valable pour

toutes les fonctions de classe C∞ est fournie par le théorème suivant :Théorème 35 Soient Ω un ouvert de C, D ⊂ Ω un disque fermé et f unefonction de classe C∞ sur Ω. Alors, pour tout z ∈ intD, on a

f(z) =1

2πi

∫∂D

f(ζ)

ζ − zdζ +

1

2πi

∫D

∂f

∂ζ(ζ)

dζ ∧ dζζ − z

.

Evidemment lorsque f est holomorphe sur Ω, alors ∂f

∂ζ= 0 et la formule

ci-dessus entraîne la formule précédente. L'intégrale 12πi

∫D

∂f

∂ζ.dζ∧dζ

ζ−zest une

intégrale singulière. Elle est égale à

limε→0

1

2πi

∫ε≤|ζ|≤1

∂f

∂ζ.dζ ∧ dζζ − z

,


et cette limite existe car ζ 7−→ 1ζ−z

∈ L1. Par ailleurs, on montre que si f estune fonction de classe C∞ ayant un support compact sur C, alors il existe unefonction g de classe C∞ sur C telle que : ∂g

∂z= f . La fonction g est unique et

est dénie à l'addition d'une fonction holomorphe près.Le théorème suivant n'est rien d'autre que la réciproque du théorème de

Cauchy (ou plus précisément une réciproque du théorème de Goursat qui ditque si f(z) est holomorphe dans Ω, alors f ′(z) est continue dans Ω).

Théorème 36 (Moréra). Si f(z) est continue dans un domaine simplementconnexe Ω et si ∫

γ

f(z)dz = 0,

pour tout chemin fermé γ de Ω, alors f(z) est holomorphe dans Ω.

Dénition 37 Soit Ω un ouvert de C. On dit qu'une fonction f : Ω −→ C estanalytique au point z0 ∈ Ω si elle admet un développement en série entière2dont le rayon de convergence r n'est pas nul. On dit que f est analytique surΩ si elle l'est en tout point z0 ∈ Ω. On écrit

f(z) =∞∑

k=0

ak (z − z0)k , z ∈ Ω,

où |z − z0| < r et (ak) est une suite de nombres complexes.

Théorème 38 Soit Ω un ouvert de C et f : Ω −→ C une fonction complexed'une variable complexe z. Alors la fonction f est analytique dans Ω si etseulement si elle est holomorphe dans Ω.

Remarque 39 La réciproque du théorème précédent est fausse en général pourles fonctions réelles. En eet, une fonction f possédant des dérivées de toutordre en z0, n'est pas nécessairement égale à la série entière

∞∑k=0

f (k) (z0)

k!(z − z0)

k ,

correspondante. Il sut de considérer la fonction f : R −→ R dénie par

f(x) =

e−

1x2 si x 6= 00 si x = 0

On vérie aisément qu'elle est de classe C∞, mais qu'elle n'est pas égale à lasérie entière correspondante.

2Pour un rappel sur les propriétés des séries entières, voir appendice 9.1


1.4 ExercicesExercice 1.4.1 Montrer que la fonction cosinus complexe cos : C −→ C, n'estpas bornée.

Exercice 1.4.2 a) Montrer que la fonction log z est multiforme, à une innitéde déterminations.

b) Montrer que la détermination principale du logarithme est une bijectionde C∗ sur la bande horizontale 4 du plan complexe, dénie par

Z = X + iY ∈ 4 ⇐⇒ −π ≤ Y < π.

c) Que peut-on dire de la continuité et la dérivabilité de ces déterminations ?

Exercice 1.4.3 Montrer que la fonction puissance zα est uniforme si α estentier, multiforme à q déterminations si α = ±p

qoù p et q sont des entiers

positifs premiers entre eux et multiforme à une innité de déterminations siα = a+ ib (a et b non nuls).

Exercice 1.4.4 Montrer que limz→0

z

zn'existe pas.

Exercice 1.4.5 Montrer que La fonction f(z) = u(x, y) + iv(x, y) est holo-morphe dans Ω si et seulement si u et v sont diérentiables dans Ω et satisfontaux équations de Cauchy-Riemann :

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x.

En déduire que

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂u

∂x− i

∂u

∂y=∂v

∂y− i

∂u

∂y=∂v

∂y+ i

∂v

∂x.

Exercice 1.4.6 Considérons les deux opérateurs∂

∂z=

1

2

(∂

∂x− i

∂

∂y

),

∂

∂z=

1

2

(∂

∂x+ i

∂

∂y

).

Montrer que les équations de Cauchy-Riemann sont équivalentes à l'équation∂f∂z

= 0, et en déduire que : f ′ (z) = ∂f∂z

(z).

Exercice 1.4.7 Soit f ∈ C1 dans Ω, à valeurs complexes. Montrer que lafonction f est holomorphe si et seulement si la forme diérentielle ω = fdz estfermée dans Ω.


Exercice 1.4.8 Soit f(z) = u(x, y) + iv(x, y), une fonction complexe d'unevariable complexe z = x+ iy.

a) Montrer que si f(z) est holomorphe dans un domaine Ω, on peut l'yexprimer au moyen de z seul.

b) Comment trouver formellement l'expression de u(x, y)+iv(x, y) au moyende z seul ?

c) On suppose que u et v soient diérentiables. Montrer que si la fonctionf(z) s'exprime au moyen de z seul, alors elle est holomorphe.

d) Supposons que la fonction f soit holomorphe et que f ′(z) 6= 0. Posonsg(z) = P (x, y) + iQ(x, y). Montrer que g est holomorphe si et seulement sidf ∧ dg = 0.Exercice 1.4.9 Exprimer la fonction

xy − i

2(x2 − y2),

au moyen de z seul.Exercice 1.4.10 Montrer que la règle de l'Hospital reste valable dans le cascomplexe, à savoir, si f(z0) = g(z0) = 0 alors :

limz→z0

f(z)

g(z)=f ′(z0)

g′(z0),

si g′(z0) est non nul et si f et g sont dérivables en z0.Exercice 1.4.11 Soit f : C −→ C, une fonction holomorphe, z = x + iy etposons f(z) = u(x, y) + iv(x, y). On suppose qu'il existe trois nombres réelsa, b, c non tous nuls et tels que : au+ bv = c. Montrer que f est constante.Exercice 1.4.12 Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas holomorphes.

a) f(z) = Re(z).b) g(z) = z.

Exercice 1.4.13 Montrer que la fonction f(z) = i√xy, z = x + iy, x ≥ 0,

y ≥ 0, satisfait aux équations de Cauchy-Riemann au point z = 0 mais n'estpas dérivable en ce point.Exercice 1.4.14 Soit f une fonction holomorphe dans Ω ⊂ C. Déterminerune condition nécessaire pour que f soit aussi holomorphe dans Ω ⊂ C.Exercice 1.4.15 Soient f(z) = u(x, y) + iv(x, y) et γ(t) = x(t) + iy(t). Mon-trer que :∫

γ

f(z)dz =

∫γ

(u(x, y)dx− v(x, y)dy) + i

∫γ

(u(x, y)dy + v(x, y)dx) .


Exercice 1.4.16 Calculer ∫γz2dz où γ est le segment de droite reliant le point

z0 = −i au point z1 = 2 + i, orienté de z0 à z1.

Exercice 1.4.17 Montrer que si f est holomorphe, alors∫γ

f ′ (z) dz = f (γ (b))− f (γ (a)) ,

où γ : [a, b] −→ C est un chemin C1 par morceaux.

Exercice 1.4.18 a) Soit f : Ω −→ C une fonction continue et γ : [a, b] −→ Cun chemin C1 par morceaux. Alors∣∣∣∣∫

γ

f (z) dz

∣∣∣∣ ≤ ∫γ

|f (z)| |dz| =∫ b

a

|f (γ (t))| |γ′ (t)| dt,

et ∣∣∣∣∫γ

f (z) dz

∣∣∣∣ ≤ML,

où M est une borne supérieure de |f (z)| sur γ et L =∫ b

a|γ′ (t)| dt est la

longueur du chemin γ.b) Appliquer la formule de majoration ci dessus au cas de l'intégrale ∫

γ

dz

z2

où γ est un arc de cercle de centre 0, de rayon R et d'angle au centre θ.

Exercice 1.4.19 Soient γ : [a, b] −→ C un chemin fermé (C1 par morceaux)et ∆ le complémentaire de l'image de γ, c-à-d., ∆ = C\Im γ ou encore ∆ = Ic

où I = z : ∃t ∈ [a, b], z = γ(t). Pour tout z ∈ ∆, on pose (indice de γ parrapport à z)

1

2πi

∫γ

dζ

ζ − z= indγ(z).

a) Montrer que l'intégrale ci-dessus a bien un sens.b) Montrer que indγ(z) est un entier dépendant du point z.c) Montrer que la fonction z 7−→ indγ(z) est constante sur toute partie

connexe de ∆ et s'annule sur la composante connexe non bornée de ∆.d) Expliquer le fait que indγ(z) est égal au nombre de tours que fait γ autour

de z.

Exercice 1.4.20 a) Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domaine sim-plement connexe Ω ⊂ C et soit γ un chemin fermé contenu dans Ω. Montrerque ∫

γ

f(z)dz = 0.


b) Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexeΩ ⊂ C, sauf en z1, z2, ..., zk et soit γ un chemin fermé contenu dans Ω entouranttous ces points. Si γj (1 ≤ j ≤ k) est un chemin fermé contenu dans le domaineintérieur à γ entourant zj et n'entourant pas les autres zl (l 6= j), montrer que∫

γ

f(z)dz =k∑

j=1

∫γj

f(z)dz.

Exercice 1.4.21 a) Soit γ un chemin d'extrémités a et b, contenu dans Ω.Montrer que l'intégrale ∫

γf(z)dz ne dépend que des extrémités a et b de γ.

b) Soit f(z) une fonction holomorphe dans Ω. D'après a), on peut dénirdans Ω une fonction uniforme F (z) =

∫ z

z0f(ζ)dζ, z0 ∈ Ω. Cette fonction F (z)

est dénie à une constante près, dépendant du choix du point z0. Montrer queF (z) est holomorphe dans Ω et on a F ′(z) = f(z) sur Ω.Exercice 1.4.22 Soit f ∈ C1 dans Ω, à valeurs complexes. Montrer que lafonction f admet une primitive dans Ω si et seulement si la forme diérentielleω = fdz est exacte dans Ω.Exercice 1.4.23 Soit f(z) une fonction holomorphe dans un domaine Ω. Soitγ un chemin fermé contenu dans Ω et soit ∆ le domaine simplement connexeayant γ pour frontière. Montrer que

a) pour tout z ∈ ∆, on a la formule intégrale de Cauchy :

f(z) =1

2πi

∫γ

f(ζ)

ζ − zdζ.

(γ étant parcouru dans le sens positif, càd. anti-horlogique).b) la fonction f est indéniment dérivable dans ∆ et on a, pour tout z ∈ ∆,

f (n)(z) =n!

2πi

∫γ

f(ζ)

(ζ − z)n+1dζ.

Exercice 1.4.24 a) Calculer l'intégrale ∫γ

1 + z

zdz, lorsque γ est le périmètre

du carré de centre 0, dont un sommet est le point (1, 1) du plan complexe.b) Même question lorsque γ est la circonférence du plan complexe d'équa-

tion : x2 + y2 − 4x+ 3 = 0.c) Calculer l'intégrale ∫

γ

cos 2πz

(z − 1)7dz, où γ est le cercle |z| = 2.

Exercice 1.4.25 Calculer l'intégrale∫γ

ez2

z(z − 6)dz.


a) γ désignant le cercle |z − 2| = 1.b) γ désignant le cercle |z − 2| = 3.c) γ désignant le cercle |z − 2| = 5.

Exercice 1.4.26 Soient Ω un ouvert de C, D ⊂ Ω un disque fermé et f unefonction de classe C∞ sur Ω. Montrer que pour tout z ∈ intD, on a

f(z) =1

2πi

∫∂D

f(ζ)

ζ − zdζ +

1

2πi

∫D

∂f

∂ζ(ζ)

dζ ∧ dζζ − z

.

Exercice 1.4.27 Soit f est une fonction de classe C∞ ayant un support3 com-pact sur C. Montrer qu'il existe une fonction g de classe C∞ sur C telle que :∂g∂z

= f .

Exercice 1.4.28 Montrer que si f(z) est continue dans un domaine simple-ment connexe Ω et si ∫

γf(z)dz = 0, pour tout chemin fermé γ de Ω, alors

f(z) est holomorphe dans Ω.

Exercice 1.4.29 Soit Ω un ouvert de C et f : Ω −→ C une fonction complexed'une variable complexe z. Alors la fonction f est analytique dans Ω si etseulement si elle est holomorphe dans Ω.

3On rappelle que le support d'une fonction f : Rn −→ R (ou C), est l'adhérence del'ensemble des x tels que f(x) est non identiquement nulle.

Chapitre 2

Propriétés des fonctionsholomorphes et harmoniques

2.1 Inégalités de Cauchy, théorèmes de Liouvilleet de d'Alembert

Proposition 40 (inégalités de Cauchy). Soit f une fonction holomorphe surle disque fermé D = z ∈ C : |z − a| ≤ r, de centre a et de rayon r et soit Mla borne supérieure de |f(z)| sur le cercle C = z ∈ C : |z − a| = r. Alors∣∣f (n)(a)

∣∣ ≤ n!M

rn, ∀n ∈ N.

Théorème 41 (Liouville). Si f(z) est une fonction holomorphe et bornée surtout C, alors f(z) est une constante.

Une fonction entière est une fonction holomorphe dénie sur tout le plancomplexe. Le théorème de Liouville signie que toute fonction entière et bornéeest constante.

Le résultat suivant porte parfois le nom du théorème fondamental de l'al-gèbre.

Corollaire 42 (d'Alembert). C est algébriquement clos. Autrement dit, touteéquation algébrique

a0zn + a1z

n−1 + · · ·+ an−1z + an = 0, a0 6= 0,

a au moins une racine dans C.

22


2.2 Principe du prolongement analytique et prin-cipe des zéros isolés

Théorème 43 Soit f une fonction holomorphe dans un domaine Ω ⊂ C etsoit z0 ∈ Ω. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes :

i) f (k)(z0) ≡ 0, ∀k ∈ N.ii) f ≡ 0 dans un voisinage V(z0) de z0.iii) f ≡ 0 dans Ω.

Corollaire 44 (principe du prolongement analytique). Soient fet g deux fonc-tions holomorphes dans un domaine Ω ⊂ C. Supposons que f = g dans unvoisinage d'un point de Ω. Alors f = g sur tout Ω.

Soit une fonction holomorphe f(z) dénie dans un domaine D ⊂ C et soitΩ un domaine tel que : Ω ⊃ D. Le problème du prolongement analytique,consiste à trouver une fonction g(z) dénie dans Ω telle que : f(z) = g(z) surΩ. Si une telle fonction existe, elle est unique en vertu du corollaire précédent.On dira que g prolonge f dans Ω. Dans certains cas il est impossible d'eectuerle prolongement analytique d'une fonction holomorphe hors de son disque deconvergence, ce qui constitue une barrière de prolongement analytique.

Dénition 45 On dit qu'un point z0 est un zéro de la fonction holomorphef(z) si et seulement si f(z0) = 0. Dans ce cas, le terme a0 du développementde f(z) au voisinage de z0,

f(z) =∞∑

k=0

ak(z − z0)k,

est nul. Lorsquea0 = a1 = · · · = am−1 = 0, am 6= 0,

le point z0 est dit zéro d'ordre m pour f(z). Dans ces conditions, on af(z0) = f ′(z0) = · · · = f (m−1)(z0) = 0, f (m)(z0) 6= 0.

On dira enn que le point z0 est un zéro isolé de f(z) si et seulement si ilexiste δ > 0 tel que le cercle | z − z0 |= δ ne contient pas d'autre zéro autreque z0. Autrement dit, s'il existe un voisinage de z0 ne contenant pas de zéroautre que z0.

Théorème 46 (principe des zéros isolés). Soient Ω un domaine de C et f :Ω −→ C une fonction holomorphe non identiquement nulle. Alors les zéros def sont isolés. Autrement dit, l'ensemble des zéros de f dans Ω est discret.


Notons aussi le principe des zéros isolés suivant : soit ∑akz

k une sérieentière de rayon de convergence r > 0 et de somme f(z). Si f s'annule uneinnité de fois autour de l'origine, alors f ≡ 0. On en déduit que si ∑

akzk et∑

bkzk sont deux séries entières de rayons de convergence respectifs r1 et r2

avec 0 < r1 < r2 et que si pour tout z tel que |z| < r1,∑akz

k =∑

bkzk,

alors ak = bk pour tout k ∈ N.

Corollaire 47 L'anneau des fonctions holomorphes sur un domaine Ω ⊂ Cest intègre.

Corollaire 48 Toute fonction f holomorphe dans un domaine Ω ne peut s'an-nuler en une suite de points situés dans Ω et possédant un point d'accumulationdans Ω que si elle est identiquement nulle.

Remarque 49 Bien que le principe des zéros isolés est un résultat plus fortque celui du principe du prolongement analytique, néamoins ce dernier esttrès important. Tout d'abord on l'utilise pour prouver le premier et en outre leprincipe des zéros isolés n'est plus valable dans le cas des fonctions de plusieursvariables alors que celui du prolongement analytique reste vrai.

2.3 Propriété de la moyenne, principe du maxi-mum, lemme de Schwarz

Soit f : Ω −→ C une fonction continue dans un ouvert Ω de C.

Dénition 50 On dit que f possède dans Ω la propriété de la moyenne sipour tout disque fermé D = z :| z − a |≤ r ⊂ Ω, la valeur de f au point aest égale à la moyenne de f sur le cercle C = z :| z − a |= r ⊂ Ω, c-à-d.,

f(a) =1

2π

∫ 2π

0

f(a+ reiθ)dθ.

Théorème 51 (de la moyenne). Toute fonction holomorphe dans un ouvertΩ ⊂ C, possède la propriété de la moyenne.

Corollaire 52 Sous les conditions du théorème précédent, on a| f(a) |≤ max

0≤θ≤2π| f(a+ reiθ) | .


Théorème 53 (principe du maximum). Si le module d'une fonction holo-morphe sur un domaine Ω ⊂ C, atteint son maximum en un point de Ω(c-à-d., s'il existe un disque ouvert D = z : |z − z0| < R ⊂ Ω et tel que|f(z)| ≤ |f(z0)| dans ce disque), alors cette fonction est constante.

Lemme 54 (lemme de Schwarz). Soit f(z) une fonction holomorphe dans ledisque ouvert D(0, 1) = z ∈ C : |z| < 1 telle que :

f(0) = 0, |f(z)| ≤ 1, ∀z ∈ D(0, 1).

Alors, on a |f(z)| ≤ z, ∀z ∈ D(0, 1). Si en outre, il existe un z0 6= 0 pour lequel|f(z0)| = |z0|, alors on a identiquement f(z) = λz où λ est une constante demodule 1.

2.4 Fonctions harmoniques, formule et noyau dePoisson, problème de Dirichlet pour le disque

Dénition 55 Soit f : Ω −→ R, (x, y) 7−→ f(x, y), une fonction de classeC2 sur un ouvert Ω de R2. La fonction f est dite harmonique dans Ω si sonLaplacien s'annule :

∆f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0,

ou ce qui revient au même si

∆f = 4∂2f

∂z∂z= 4

∂2f

∂z∂z= 0.

Remarque 56 Toute constante, toute forme linéaire est harmonique. L'en-semble des fonctions harmoniques est un espace vectoriel pour le corps C.

Proposition 57 Toute fonction holomorphe est harmonique.

Corollaire 58 La partie réelle et la partie imaginaire d'une fonction holo-morphe sont harmoniques.

Exemple 59 La fonction ln |z| est harmonique dans C\0 (voir exercice2.6.13.).

Proposition 60 Soit u : Ω −→ R une fonction harmonique dans un ouvertsimplement connexe Ω de C. Alors, il existe une fonction harmonique (diteconjuguée harmonique de u sur Ω) v : Ω −→ R telle que : u+iv soit holomorphesur Ω.


Remarques 61 a) Dans la proposition précédente, la fonction u admet uneinnité de conjugées harmoniques de la forme v(x, y) + C où v(x, y) est l'uned'entre-elles et C une constante.

b) On montre que les fonctions harmoniques, possèdent plusieurs propriétéssimilaires à celles des fonctions holomorphes. Par exemple : toute fonctionharmonique possède une propriété de la moyenne (la réciproque est vraie), unprincipe du prolongement analytique, un principe du maximum, une formuleanalogue à celle de Cauchy.Théorème 62 (formule de Poisson). Soit u une fonction harmonique dans ledisque ouvert D(0, R), et continue dans le disque fermé D(0, R). Alors

u(z) =1

2π

∫ 2π

0

u(Reiθ

) R2 − |z|2

|Reiθ − z|2dθ, ∀z ∈ D(0, R),

ou, ce qui revient au même, en posant z = ρeiα, ρ < R,

u(ρeiα

)=

1

2π

∫ 2π

0

u(Reiθ

)(R2 − ρ2)

R2 + ρ2 − 2Rρ cos(θ − α)dθ.

La fonction R2 − |z|2

|Reiθ − z|2ou R2 − ρ2

R2 + ρ2 − 2Rρ cos(θ − α)porte le nom de noyau

de Poisson.

Problème de Dirichlet : Il consiste à trouver une fonction harmoniquesur un domaine Ω et prenant des valeurs données sur la frontière de Ω.Théorème 63 (problème de Dirichlet pour le disque). Soit D(0, 1) un disqueouvert de centre 0 et de rayon R et soit u(θ) une fonction 2π-périodique surle cercle C = ∂D(0, R). Alors, il existe une fonction f(z) continue sur ledisque fermé D(0, R), harmonique sur le disque ouvert D(0, R) et satisfaisantà f (

Reiθ)

= u(θ). Cette fonction est unique et est donnée par

f (z) =1

2π

∫ 2π

0

u(θ)R2 − |z|2

|R eiθ − z|2dθ, |z| < R.

2.5 Théorème d'inversion locale, transformationsconformes, applications géométriques, théo-rème de l'application ouverte, automorphismesAut(C), Aut

(P1 (C)

), Aut(D(0, 1)), Aut(H)

Théorème 64 (d'inversion locale). Soit f une fonction holomorphe non constantedans un domaine Ω tel que : f ′(z0) 6= 0, z0 ∈ Ω. Alors, il existe un voisinage


U de z0 et un voisinage V de f(z0) tels que la restriction f : U −→ V soitbijective et f−1 soit holomorphe avec(

f−1)′

=1

f ′of−1.

Nous allons étudier les transformations conformes ainsi que quelques ap-plications géométriques. Soit w = f(z) une fonction complexe d'une variablecomplexe z = x+ iy. Posons w = u+ iv. Les équations

u = u(x, y), v = v(x, y),

déterminent une transformation du plan complexe z en le plan complexe w,établissant ainsi une correspondance entre les points (x, y) et (u, v). On parleraparfois d'une transformation biunivoque si à chaque point du plan des uv cor-respond un point et un seul du plan des xy. La transformation est biunivoquedans les domaines où son jacobien est non nul :

J(x, y) =∂(u, v)

∂(x, y)=

∣∣∣∣ ∂u∂x

∂u∂y

∂v∂x

∂v∂y

∣∣∣∣ 6= 0.

Propriété 65 Si f(z) est holomorphe, alors le jacobien de cette transforma-tion s'écrit sous la forme

J = |f ′(z)|2.En outre, f(z) est biunivoque dans les domaines où f ′(z) 6= 0 (les points oùf ′(z) = 0 sont les points critiques de la transformation).

Si f(z) est holomorphe dans un domaine Ω et si f ′(z) 6= 0 dans Ω, alorsla transformation inverse f−1 est dénie et holomorphe en tout point de f(Ω)(transformée de Ω par f).Dénition 66 On appelle transformation conforme une transformation quiconserve les angles en grandeur et en sens.Théorème 67 Si f(z) est holomorphe dans un domaine Ω et si f ′(z) 6= 0dans Ω, alors f est conforme dans Ω.

Le résultat de Riemann suivant concerne le principe de conservation d'undomaine (ouvert connexe) de C. Soit Ω un domaine de C et f : Ω −→ C unefonction holomorphe non constante. Alors f est une application ouverte, c'est-à-dire qu'elle envoie les sous-ensembles ouverts de Ω vers des ouverts de C.Ce théorème est un exemple des importantes diérences entre les applicationsholomorphes et les fonctions diérentiables de C vers C : la fonction de variablecomplexe est diérentiable de classe C∞, mais n'est clairement pas ouverte.Elle n'est même pas ouverte comme application de C dans R car son imageest l'intervalle fermé [0,+∞[. Plus précisément, on a


Théorème 68 Soit f une fonction holomorphe non identiquement constantesur un domaine Ω de C. L'image de Ω par f est aussi un domaine. Si en outref est injective, alors f−1 est holomorphe dans f(Ω) et f ′(z) 6= 0 dans Ω.Corollaire 69 Si f est une transformation conforme de Ω dans ∆, alors f−1

est une transformation conforme de ∆ dans Ω.Le résultat fondamental suivant est dû à Riemann.

Théorème 70 L'image d'un ouvert simplement connexe par une transforma-tion conforme est simplement connexe.Corollaire 71 Deux ouverts simplement connexes dont les frontières ont aumoins deux points distincts sont isomorphes.

On désigne par C, l'ensemble C∪ ∞ des complexes C que l'on complètepar le point∞ (un symbole représentant un élément qui n'est pas dans C). Onmunit l'espace C d'une topologie en rajoutant aux ouverts de C les complé-mentaires des compacts de C. Autremant dit, les ouverts de C sont les ouvertsde C et les ensembles de la forme U ∪ ∞ où U est un ouvert de C dont lecomplémentaire est un compact de C. La topologie induite par celle de C surC est la topologie usuelle de C. L'ensemble C est un compact ; le compactiéd'Alexandro de C. Une suite (zn) de C tend vers l'inni si |zn| −→ ∞ et lecomplémentaire d'un ouvert est compact. On montre que C est un espace to-pologique homéomorphe à la sphère unité que l'on désigne par S2. On désigneaussi par P1 (C) la droite projective complexe. C'est le quotient C2\(0, 0)/ ∼de C2\(0, 0) par la relation d'équivalence :

z1 ∼ z2 ⇐⇒ ∃λ ∈ C∗, z2 = λz1.

On munit P1 (C) de la topologie quotient. La droite projective complexe P1 (C)et la sphère de Riemann S2 ou C sont isomorphes et on utilisera indiéramentles notations P1 (C) ou S2. Plus précisément et de façon imagée, la droite pro-jective complexe peut être représentée à l'aide de la projection stéréographique.Proposition 72 Le disque ouvert D(0, 1) = z ∈ C : |z| < 1 et le plancomplexe C ne sont pas isomorphes mais sont homéomorphes.

Soient D un domaine de P1(C) et f un automorphisme de D, c'est-à-dire,un isomorphisme de D sur lui-même. On sait dans ce cas que f−1 est aussi unautomorphisme de D. Si f et g sont deux isomorphismes d'un domaine ∆ surD, alors gof−1 : ∆ −→ ∆ est un automorphisme. Les automorphismes d'undomaine ∆ forment un groupe, que l'on note Aut(∆).

Soit E un ensemble. On dit qu'un groupe G d'automorphismes E −→ Eest transitif, si ∀z1, z2 ∈ E, ∃f ∈ G tel que : z2 = f(z1). On appelle sous-groupe d'isotropie (ou stabilisateur) d'un élément z0 ∈ E dans G, l'ensemblef ∈ G : f(z0) = z0 ; c'est le sous-groupe de G qui conserve le point z0.


Proposition 73 Le groupe des automorphismes de C estAut(C) = z 7→ az + b, a 6= 0 .

Ce groupe est transitif ; le sous-groupe d'isotropie de 0 est z 7→ az, a 6= 0.Le groupe des automorphismes de C est le groupe ane A(C) des trans-

formations anes de C.Soit Aut(P1(C)) le groupe des automorphismes de P1(C). Soit

z 7−→ w =az + b

cz + d,

où (a, b, c, d ∈ C) et ad − bc 6= 0, une transformation homographique ou ho-mographie. Les transformations dites de Möbius sont de cette forme. Cetteapplication est holomorphe sur C si c = 0 et d 6= 0 et sur C\

−d

c

si c 6= 0.Notons que lorsque ad− bc = 0, alors

w =a(z + b

a)

c(z + dc)

=a(z + b

a)

c(z + ba)

=a

c= constante.

Donc la condition ad − bc 6= 0 élimine les cas où w pourrait se réduire à uneconstante. Lorsque c = 0, alors a 6= 0 et w est non constante. Lorsque c 6= 0,on écrit

w =a

c+

bc− ad

c(cz + d)= α+

β

z + γ,

où α = ac, β = bc−ad

c2, γ = d

cet on montre que : λ = z + γ, τ = 1

λ,

w = α + βτ . Autrement dit, une transformation homographique peut-êtreconsidérée comme le produit de transformations telles que : translation, rota-tion, homothétie et inversion. L'application z 7−→ w = az+b

cz+d, est une bijection

de C dans C ; on dénit pour c 6= 0, w(−dc) = ∞, w(∞) = −d

cet pour c = 0,

w(∞) = ∞. La transformation homographique admet pour inverse la transfor-mation w 7−→ z = −dw+b

cw−a, qui est aussi homographique, c'est un isomorphisme

analytique de P1(C) dans P1(C). Ainsi, on montre que :Proposition 74 L'ensemble des transformations homographiques forme ungroupe G d'automorphismes de P1 (C) qui est transitif et on a

Aut(P1 (C)

)= G =

w(z) =

az + b

cz + d: ad− bc 6= 0

.

En associant à toute matrice A =

(a bc d

)où detA 6= 0, la transformation

z 7−→ az+bcz+d

, on obtient un isomorphisme de groupes :φ : GL(2,C) = A ∈M2(R) : detA 6= 0 −→ Aut

(P1(C)

).


Notons que kerφ = λI : λ ∈ C∗ = C∗I, et on a ainsi l'isomorphismeAut

(P1(C)

)' GL(2,C)/ kerφ = PGL(2,C) (groupe projectif)

En considérant l'application det : GL(2,C) −→ C∗ ayant pour noyau legroupe SL(2,C) = A ∈ M2(R) : detA = 1, on obtient l'isomorphismeGL(2,C)/SL(2,C) ' C∗, et on a

Aut(P1(C)

)' PGL(2,C) = PSL(2,C) = SL(2,C)/−I, I.

On considère maintenant le demi-plan supérieurH = z = x+ iy ∈ C : Imz = y > 0 ,

et le disque unité D(0, 1) = z ∈ C : |z| < 1. L'application

H −→ D(0, 1), z 7−→ z − i

z + i, (transformation de Cayley)

est holomorphe et son inverse est de la forme i1+z1−z

. On a donc un biholomor-phisme entre H et D(0, 1), et se prolonge en un homéomorphisme des bords :S1 ' ∂D(0, 1) −→ ∂H ' P1(R).

Proposition 75 Le groupe Aut(D(0, 1)) des automorphismes de D(0, 1) est

Aut(D(0, 1)) =

w = eiθ

(z − z0

1− z0z

): θ ∈ R, |z0| < 1

.

Ce groupe est transitif.

Proposition 76 Le groupe Aut(H) des automorphismes de H est

Aut(H) =

w =

az + b

cz + d: (a, b, c, d ∈ R), ad− bc = 1

.

Le théorème de Riemann est un résultat important de la représentationconforme armant que tout domaine distinct de C est conforme au disqueunité D(0, 1). Une des conséquences de ce résultat est que deux domainesquelconques de C et distincts de C sont conformes.

Théorème 77 (de Riemann). Tout ouvert simplement connexe Ω de C telque : Ω 6= C est isomorphe au disque ouvert.


2.6 ExercicesExercice 2.6.1 Soit f une fonction holomorphe sur le disque fermé D =z ∈ C : |z − a| ≤ r, de centre a et de rayon r et soit M la borne supérieurede |f(z)| sur le cercle C = z ∈ C : |z − a| = r. Montrer que :∣∣f (n)(a)

∣∣ ≤ n!M

rn, ∀n ∈ N.

Exercice 2.6.2 a) Montrer que si f(z) est une fonction holomorphe et bornéesur tout C, alors f(z) est une constante.

b) En déduire que C est algébriquement clos. Autrement dit, toute équationalgébrique

a0zn + a1z

n−1 + · · ·+ an−1z + an = 0, a0 6= 0,

a au moins une racine dans C.c) Question supplémentaire : montrer que toute équation algébrique

P (z) = a0zn + a1z

n−1 + · · ·+ an−1z + an = 0, a0 6= 0, n ≥ 1

a exactement n racines.Exercice 2.6.3 Soit f une fonction holomorphe dans un domaine Ω ⊂ C etsoit z0 ∈ Ω. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

i) f (k) (z0) ≡ 0, ∀k ∈ Nii) f ≡ 0 dans un voisinage V(z0) de z0.iii) f ≡ 0 dans Ω.

Exercice 2.6.4 a) Soient f et g deux fonctions holomorphes dans un domaineΩ ⊂ C. Supposons que f = g dans un voisinage d'un point de Ω. Montrer quef = g sur tout Ω.

b) Expliquer la notion de prolongement analytique.c) (Théorème de Pringsheim). Montrer que si dans la série

∞∑k=0

akzk = f(z), |z| < r

tous les coecients ak sont positifs ou nuls et une innité d'entre eux sont po-sitifs, alors le point z = r est un point singulier pour f(z). (Un point z = a estun point régulier pour f(z) quand il existe un voisinage de ce point constituantun domaine d'holomorphie pour f(z). Tout point qui n'est pas régulier est ditsingulier ; on dit aussi que f(z) possède une singularité en un tel point. Lessingularités seront étudiées en détail au chapitre 3).

d) Montrer que dans certains cas il est impossible d'eectuer le prolonge-ment analytique d'une fonction holomorphe hors de son disque de convergence,ce qui constitue une barrière de prolongement analytique.


Exercice 2.6.5 Soit Ω un domaine de C et f : Ω −→ C une fonction ho-lomorphe non identiquement nulle. Montrer que les zéros de f sont isolés.Autrement dit, l'ensemble des zéros de f dans Ω est discret.Exercice 2.6.6 a) Soit ∑

akzk une série de rayon de convergence r > 0 et

de somme f(z). Si f s'annule une innité de fois autour de l'origine, alorsf ≡ 0.

b) En déduire que si ∑akz

k et ∑bkz

k sont deux séries entières de rayonsde convergence respectifs r1 et r2 avec 0 < r1 < r2 et que si pour tout z tel que|z| < r1,

∑akz

k =∑bkz

k, alors ak = bk pour tout k ∈ N.Exercice 2.6.7 Montrer que l'anneau des fonctions holomorphes est intègre.Exercice 2.6.8 Montrer que toute fonction f holomorphe dans un domaineΩ ne peut s'annuler en une suite de points situés dans Ω et possèdant un pointd'accumulation dans Ω que si elle est identiquement nulle.Exercice 2.6.9 Soit f : Ω → C une fonction continue dans un ouvert Ω deC. Montrer que toute fonction holomorphe dans un ouvert Ω ⊂ C, possède lapropriété de la moyenne. En déduire que :

|f(a)| ≤ max0≤θ≤2π

∣∣f(a+ reiθ)∣∣ .

Exercice 2.6.10 Soit f une fonction holomorphe sur un domaine contenantz ∈ C : |z| ≤ r. Démontrer la formule de Gutzmer :

∞∑k=0

|ak|2r2k =1

2π

∫ 2π

0

∣∣f(z0 + reiθ)∣∣2 dθ ≤M2

r ,

où les ak sont les coecients du développement en série entière de f au voisi-nage de z0 et Mr = sup|f(z)| : |z − z0| = r.

Notes : a) En tenant compte du fait que ak = f (k)(z0)k!

, la formule de Gutzmers'écrit sous la forme

1

2π

∫ 2π

0

∣∣f(z0 + reiθ)∣∣2 dθ =

∞∑k=0

∣∣f (k)(z0)∣∣2 r2k

(k!)2.

b) Une autre méthode pour démontrer cette formule consiste à utiliser lathéorie des séries de Fourier [25]. La fonction θ 7−→ f(z0 + reiθ), est dévelop-pable en série de Fourier

f(z0 + reiθ) =∞∑

k=0

akrkeikθ =

∞∑k=0

f (k)(z0)

k!rkeikθ,

et la formule en question résulte immédiatement de l'égalité de Parseval.


Exercice 2.6.11 Soit f : Ω −→ C, une fonction holomorphe sur un domaineΩ ⊂ C. Supposons que |f | atteigne son maximum en un point z0 ∈ Ω, alors fest constante sur Ω.Exercice 2.6.12 (lemme de Schwarz). Soit f(z) une fonction holomorphedans le disque ouvert D(0, 1) = z ∈ C : |z| < 1 telle que :

f(0) = 0, |f(z)| ≤ 1, ∀z ∈ D(0, 1).

a) Montrer que : |f(z)| ≤ z, ∀z ∈ D(0, 1).b) Montrer que si en outre, il existe un z0 6= 0 pour lequel |f(z0)| = |z0|,

alors on a identiquement f(z) = λz où λ est une constante de module 1.Interpréter le résultat obtenu.Exercice 2.6.13 a) Montrer que toute fonction holomorphe est harmonique.

b) En déduire que la partie réelle et la partie imaginaire d'une fonctionholomorphe sont harmoniques.

c) Montrer que la fonction ln |z| est harmonique dans C\0.Note : Pour a), on peut noter que le laplacien ∆ s'écrit sous la forme

∆ = 4 ∂2

∂z∂z= 4 ∂2

∂z∂z. Pour la question b), on a f(z) = u(x, y) + iv(x, y) et

on peut calculer directement les laplaciens ∆u et ∆v, en tenant compte deséquations de Cauchy-Riemann et du lemme de Schwarz sur l'interversion desdérivées partielles. En eet, on a

∆u =∂

∂x

(∂u

∂x

)+∂

∂y

(∂u

∂y

)=

∂

∂x

(∂v

∂y

)+∂

∂y

(−∂v∂x

)=

∂2v

∂x∂y− ∂2v

∂y∂x= 0.

De même, on montre que ∆v = 0.Exercice 2.6.14 a) Soit u : Ω −→ R une fonction harmonique dans un ouvertsimplement connexe Ω de C. Montrer qu'il existe une fonction harmoniquev : Ω −→ R telle que : u+ iv soit holomorphe sur Ω.

b) En déduire que la fonction u admet une innité de conjugées harmo-niques de la forme v(x, y) + C où v(x, y) est l'une d'entre-elles et C uneconstante.Exercice 2.6.15 Soit u une fonction harmonique dans le disque ouvert D(0, R),et continue dans le disque fermé D(0, R). Montrer que

u(z) =1

2π

∫ 2π

0

u(Reiθ

) R2 − |z|2

|Reiθ − z|2dθ, ∀z ∈ D(0, R),

ou, ce qui revient au même, en posant z = ρeiα, ρ < R,

u(ρeiα

)=

1

2π

∫ 2π

0

u(Reiθ

)(R2 − ρ2)

R2 + ρ2 − 2Rρ cos(θ − α)dθ.


Exercice 2.6.16 Soit D(0, 1) un disque ouvert de centre 0 et de rayon R etsoit u(θ) une fonction 2π-périodique sur le cercle C = ∂D(0, R). Montrer qu'ilexiste une fonction f(z) continue sur le disque fermé D(0, R), harmonique surle disque ouvert D(0, R) et satisfaisant à f (

Reiθ)

= u(θ). Cette fonction estunique et est donnée par

f (z) =1

2π

∫ 2π

0

u(θ)R2 − |z|2

|R eiθ − z|2dθ, |z| < R.

Exercice 2.6.17 Montrer que si f(z) est holomorphe, alors le jacobien decette transformation s'écrit sous la forme

J = |f ′(z)|2.

et en déduire que la transformation f(z) est biunivoque dans les domaines oùf ′(z) 6= 0

Exercice 2.6.18 Montrer que si f(z) est holomorphe dans un domaine Ω etsi f ′(z) 6= 0 dans Ω, alors f est conforme dans Ω.

Exercice 2.6.19 a) Montrer que le plan complexe C, la sphère de RiemannS2 et le disque unité D(0, 1) = z ∈ C : |z| < 1 ne sont pas isomorphes.

b) Montrer que C et D(0, 1) sont homéomorphes.

Exercice 2.6.20 Montrer que le groupe des automorphismes de C estAut(C) = z 7→ az + b, a 6= 0,

qu'il est transitif et que le sous-groupe d'isotropie de 0 est z 7→ az, a 6= 0.

Exercice 2.6.21 a) Soient ∆ un ouvert de P1(C), Aut(∆) le groupe des au-tomorphismes de ∆ et G un sous-groupe transitif de Aut(∆). Montrer que s'ilexiste z0 ∈ ∆ tel que le sous-groupe d'isotropie de z0 dans Aut(∆) soit inclusdans G, alors G=Aut(∆).

b) En déduire que les transformations homographiques forment un groupeG d'automorphismes de P1 (C) qui est transitif et qu'en outre

Aut(P1 (C)

)= G =

w(z) =

az + b

cz + d: ad− bc 6= 0

.

Exercice 2.6.22 (Lemme de Schwarz, voir aussi exercice 2.6.12). Soit f unefonction holomorphe sur le disque ouvert D(0, r) = z ∈ C : |z| < r etsupposons que f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M . Montrer que pour tout z ∈ D(0, r),|f(z)| ≤ M

r|z|.


Exercice 2.6.23 Montrer que les automorphismes f du disque unité D(0, 1)tels que : f(0) = 0, sont de la forme f : z 7−→ eiθz, θ ∈ R. Autrement dit, lesous-groupe d'isotropie de 0 dans le groupe Aut(D(0, 1)) est formé des rotationsz 7−→ eiθz, θ ∈ R.Exercice 2.6.24 Montrer que le groupe Aut(D(0, 1)) des automorphismes dudisque unité D(0, 1) = z ∈ C : |z| < 1 est

Aut(D(0, 1)) =

w = eiθ

(z − z0

1− z0z

): θ ∈ R, |z0| < 1

.

Exercice 2.6.25 Montrer que le groupe Aut(H) des automorphismes du demi-plan supérieur H = z = x+ iy ∈ C : Imz = y > 0 est

Aut(H) =

w =

az + b

cz + d: (a, b, c, d ∈ R), ad− bc = 1

.

Exercice 2.6.26 (Transformation de Schwarz-Christoel). Soit w = f(z) unefonction complexe d'une variable complexe z = x + iy et posons w = u + iv.Soit un polygone dans le plan des w ayant pour sommets les points w1, ..., wn

et pour angles intérieurs θ1, ..., θn. Soient les points x1, ..., xn de l'axe réel duplan des z.

Une transformation qui fait correspondre au plan y ≥ 0 du plan des z, l'in-térieur du polygone du plan des w, les points xj correspondants aux wj, estdonnée par l'équation :

w′ =dw

dz= C(z − x1)

θ1π−1...(z − xn)

θnπ−1,

d'oùw = C

∫(z − x1)

θ1π−1...(z − xn)

θnπ−1dz +K,

où C et K sont des constantes. La frontière du polygone est la transforméede l'axe réel du plan des z. La transformation de Schwarz-Christoel n'est pasconforme aux points anguleux du polygone.


a) Donner une interprétation géométrique de la transformation ci-dessus.b) Déterminer une transformation conforme appliquant la moitié supérieure

du plan des z sur la région indiquée ci-dessous du plan des w et telle que lesimages des points a et b soient A et B.

Exercice 2.6.27 (Transformation de Joukowski). Etudier brièvement la trans-formation de Joukowski dénie par

w = f(z) =1

2

(z +

k2

z

), z ∈ C∗, k ∈ R

Chapitre 3

Fonctions méromorphes

3.1 Séries de Laurent, points singuliers, théo-rème de Casorati-Weierstrass, théorèmes dePicard

Théorème 78 Soit f : ∆ −→ C une fonction holomorphe dans la couronneouverte

∆ = z ∈ C : R1 <| z − z0 |< R2.

Alors, la fonction f peut être représentée dans ∆ de façon unique par une sériede la forme

f(z) =∞∑

k=−∞

ak(z − z0)k, (3.1.1)

avecak =

1

2πi

∫γ

f(ζ)

(ζ − z0)k+1dζ, ∀k ∈ Z (3.1.2)

où γ est un chemin fermé entourant z0 et contenu dans la couronne. En outre,cette série converge absolument vers f dans ∆ et uniformément dans toutecouronne fermée contenue dans ∆.

Dénition 79 La série (3.1.1) avec les coecients donnés par (3.1.2) s'ap-pelle série de Laurent de f autour du point z0.

Ecrivons la série (3.1.1) sous la forme

f(z) =∞∑

k=0

ak(z − z0)k

︸︷︷︸(∗)

+∞∑

k=1

a−k(z − z0)−k

︸︷︷︸(∗∗)

.

37


Dénition 80 La série (∗) est appelée partie régulière (ou holomorphe) et lasérie (∗∗) est dite partie principale de la série de Laurent (3.1.1).

Classication des points : Soit f (z) une fonction holomorphe sur unouvert Ω de C, sauf peut-être en un certain nombre de points.

a) Un point z0 ∈ Ω est un point régulier pour f (z) si a−k = 0, ∀k ∈ N∗.Dans ce cas, la série de Laurent

f (z) =∞∑

k=0

ak (z − z0)k ,

est une série de Taylor tout simplement.b) Tout point qui n'est pas régulier est dit singulier ; on dit que f (z) possède

une singularité en tel point. En ce point, la fonction f (z) n'est pas dérivable.c) Un point singulier est dit isolé s'il existe un voisinage de ce point ne

contenant pas d'autres points singuliers. Dans la cas contraire il est dit non-isolé. Ainsi, la fonction coth 1

z, qui devient innie pour z = 1

kπ(k = 1, 2, 3, ...)

possède une singularité non isolé en z = 0.d) On distingue deux types de singularités isolées :

- Le point z0 est un pôle d'ordre m > 0, lorsque

a−m 6= 0 et a−(m+l) = 0, ∀l ∈ N∗ : f (z) =∞∑

k=−m

ak (z − z0)k .

Autrement dit, si f (z) s'écrit sous la forme

f (z) =g (z)

(z − z0)m ,

avec g (z) holomorphe au voisinage de z0 et telle que g (z0) 6= 0. Lorsque z0 estun pôle de f (z), on montre aisément que f (z) n'est pas bornée au voisinagede z0, mais 1

f(z)est bornée en z0.

- Le point z0 est un point singulier essentiel s'il existe une innité de coecientsa−k non nuls. Autrement dit si les fonctions f (z) et 1

f(z)ne seront pas bornées

au voisinage de z0.Notes pratiques : Nous avons vu précédemment que les coecients ak du

développement de Laurent, sont donnés par les intégrales

ak =1

2πi

∫γ

f (ζ)

(ζ − z0)k+1

dζ, k ∈ Z,

où γ est un chemin entourant z0 et contenu dans la couronne∆ = z ∈ C : R1 < |z − z0| < R2 .


En pratique, pour développer une fonction en série de Laurent, on évite engénéral le calcul de ces intégrales. Le recours à des procédés indirects est justiépar l'unicité du développement de f en série de Laurent autour de z0. L'unicitégarantit qu'un développement de f en série de puissances (z − z0)

k, avec k ∈ Z,est forcément le développement de Laurent, quel que soit le procédé utilisé pourl'obtenir.

a) On utilisera au maximum les développements en série entière. On sesouviendra des deux propriétés suivantes :(i) Le produit de deux séries entières A et B, de coecients ak et bk, est unesérie entière C. Les coecients ck de C s'obtiennent par la formule

ck =∑

i+j=k

aibj.

(ii) Si A est une série entière dont le terme indépendant n'est pas nul, 1Aest

une série entière B. Les coecients de B s'obtiennent le plus facilement par laméthode des coecients indéterminés. Considérons par exemple le cas où z0 estun pôle d'ordrem pour f. Soit g le prolongement holomorphe de (z − z0)

m f(z)déni sur le cercle de centre z0 et de rayon r. On a, sur ce même cercle privéde son centre,

f(z) =g(z)

(z − z0)m.

Pour obtenir le développement de Laurent de f , il sura donc de multiplierchaque terme du développement de g(z) par 1/ (z − z0)

m. Habituellement lafonction holomorphe g(z) se présente sous la forme du quotient de deux fonc-tions holomorphes P et Q qui ne s'annulent pas au point z0. Dans ce cas, oncalculera d'abord la série de Taylor représentant 1/Q (utiliser la propriété (ii)),puis on multipliera la série obtenue par le développement en série de P (utiliserla propriété (i)).

b) Il est souvent utile d'avoir recours à la série géométrique et ses puis-sances. On se souviendra que

1

1− u= 1 + u+ u2 + u3 + · · · , |u| < 1

et que les puissances de 1/(1− u) peuvent s'obtenir par dérivation :

1

(1− u)k+1=

1

k!

(1

1− u

)(k)

.

En particulier,1

(1− u)2 =

(1

1− u

)′

= 1 + 2u+ 3u2 + 4u3 + · · ·


1

(1− u)3 =

1

2

(1

1− u

)′′

= 1 + 3u+ 6u2 + 10u3 + · · ·

Le comportement d'une fonction au voisinage d'un de ses pôles est rela-tivement simple, mais il en va tout autrement au voisinage d'une singularitéessentielle. Dans tout voisinage d'une singularité essentielle, il existe un pointoù la valeur correspondante de la fonction dière arbitrairement peu de toutnombre complexe xé. Les théorèmes suivants sont intéressants et fournissentdes résultats encore plus précis.Théorème 81 (Casorati-Weierstrass). Soit f une fonction holomorphe sur undisque épointé D(a, r)\a avec une singularité essentielle en a. Alors, pourtout k ∈]0, r[, l'image de (D(a, k)\a) par f est dense dans C.

Les théorèmes de Picard ci-dessous sont au nombre de deux : le premierest connu sous le nom de petit théorème de Picard et le second sous le nom degrand théorème de Picard.Théorème 82 Une fonction entière non constante prend toute valeur com-plexe, sauf peut-être une.Théorème 83 Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend,sur tout voisinage de cette singularité, toute valeur complexe une innité defois, sauf peut-être une.C'est ainsi par exemple qu'au voisinage de z = 0, sin 1

zpeut assumer n'importe

quelle valeur. Par contre, e 1z peut assumer n'importe quelle valeur, sauf la

valeur zéro.

3.2 Fonctions méromorphes, théorème des rési-dus

Dénition 84 Une fonction f(z) est dite méromorphe si ses seules singula-rités sont des pôles.On en déduit que sur tout domaine borné, une fonction méromorphe ne peutavoir qu'un nombre ni de pôles. Une fonction rationnelle constitue un casparticulier de fonction méromorphe. Par exemple la fonction

f(z) =z

(z + 1)(z + 2)2,

qui est holomorphe en tout point à distance nie sauf en z = −1 (pôle simple)et z = −2 (pôle double) est une fonction méromorphe.

Soit f(z) une fonction holomorphe dans un voisinage de z0 ∈ C, privé dupoint z0.


Dénition 85 On appelle résidu de f au point z0, le nombre

Rés(f, z0) = a−1 =1

2πi

∫γ

f(z)dz,

c'est-à-dire le coecient de 1/(z − z0) dans le développement en série deLaurent de f au voisinage de z0.

Le résidu de f(z) à l'inni est Rés(f,∞) = Rés (− 1

u2f(

1u

), 0

), où u = 1/z.En eet, lorsqu'on eectue le changement de variable z 7−→ u = 1/z, lepoint z = ∞ se transforme en u = 0, tandis que l'intégrale ∫

f(z)dz devient∫− 1

u2f( 1u)du.

Calcul des résidus : a) Lorsque z0 est un pôle d'ordre m de f(z), alors

Rés(f, z0) =1

(m− 1)!limz→z0

dm−1

dzm−1[(z − z0)

mf(z)] .

b) Lorsque z0 est un pôle simple de la fonction f(z) = P (z)Q(z)

, avec P (z0) 6= 0

et Q(z0) = 0, alors

Rés(f, z0) =P (z0)

Q′(z0)si Q′(z0) 6= 0.

c) Lorsque z0 est un point singulier essentiel de f(z), le résidu s'obtient endéveloppant f(z) en série de Laurent autour de z0.

Théorème 86 (des résidus). Soit Ω ⊂ C un domaine, z1, z2,..., zk ∈ Ω etf : Ω\ z1, z2,..., zk −→ C, une fonction holomorphe. Alors∫

γ

f(z)dz = 2πik∑

j=1

Rés(f, zj),

où γ est un chemin fermé contenu dans Ω à l'intérieur duquel sont contenustous les zj.

Plusieurs versions du théorème des résidus existent, notamment celle avecindices : ∫

γ

f(z)dz = 2πik∑

j=1

indγ(zj)Rés(f, zj),

où indγ(zj) est l'indice de γ par rapport à zj.


3.3 Nombre de pôles et zéros d'une fonction mé-romorphe, principe de l'argument, théorèmede Rouché

Théorème 87 (principe de l'argument). Soit f(z) une fonction méromorphedans un domaine simplement connexe Ω. Soit γ un chemin fermé contenu dansΩ entourant tous les pôles et zéros de f(z) dans Ω. Alors

N − P =1

2πi

∫γ

f ′(z)

f(z)dz = indfoγ(0),

Théorème 88 (Rouché). Soient f(z) et g(z) deux fonctions holomorphes dansun domaine simplement connexe Ω et sur sa frontière γ. Supposons qu'en toutpoint de γ, on ait |f(z)| > |g(z)|. Alors f(z) et f(z)+g(z) ont le même nombrede zéros dans Ω.

3.4 Applications du théorème des résidus au cal-cul d'intégrales et la somme de certaines sé-ries

Le théorème des résidus est particulièrement utile dans le calcul de certainesintégrales réelles dénies. Le principe de la méthode est le suivant : soit àcalculer l'intégrale réelle

I =

∫ b

a

f(x)dx.

On associe à f(x) la fonction g(z) et un chemin fermé γ tels que l'on puisseappliquer le théorème des résidus à l'intégrale de g(z) sur γ et tels que sur unepartie C de γ on ait ∫

Cg(z)dz =

∫ b

a

f(x)dx.

Si le calcul de l'intégrale de g(z) sur la partie complémentaire de C est possible,le calcul de I est ainsi ramené à celui d'une intégrale dans le plan complexe.

Pour le calcul des intégrales réelles, on fait souvent appel aux lemmes deJordan suivants :Lemme 89 Soit f une fonction continue sur le secteur déni par z = reiθ,r > 0, 0 ≤ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ≤ 2π. Si lim|z|→∞ zf(z) = 0, alors

limr→∞

∫γr

f(z)dz = 0,

où γr est l'arc de cercle de rayon compris entre les angles θ1 et θ2.


Lemme 90 Soit f une fonction continue sur le secteur déni par z = reiθ,r > 0, 0 ≤ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ≤ 2π. Si lim|z|→0 zf(z) = 0, alors

limr→0

∫γr

f(z)dz = 0,

où γr est l'arc de cercle de rayon compris entre les angles θ1 et θ2.Lemme 91 Soit f une fonction continue sur le secteur déni par z = reiθ,r > 0, 0 ≤ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ≤ π. Si lim|z|→∞ f(z) = 0, alors

limr→∞

∫γr

f(z)eimzdz = 0, m > 0

où γr est l'arc de cercle de rayon compris entre les angles θ1 et θ2.Le même resultat reste valable pour le cas m < 0 à condition de considérer

l'arc de cercle dans le demi plan inférieur Im z < 0.Soient θ1, θ2 ∈ [0, 2π] et γε : [θ1, θ2] −→ C, θ 7−→ z0 + εeiθ, un chemin dont

l'image est un arc de cercle.

Lemme 92 (du petit cercle). Si f est holomorphe sur γε(z0) pour ε ≤ ε0 etpossèdant un pôle simple en z0, alors

limε→0

∫γε(z0)

f(z)dz = i(θ2 − θ1)Rés(f, z0),

où Rés(f, z0) = limz→z0

θ1≤arg z≤θ2

(z − z0)f(z) est le résidu de f en z0.

Lemme 93 (du grand cercle). Si f est holomorphe sur γr(z0) pour r assezgrand et possèdant un pôle simple en z0, alors

limr→∞

∫γr(z0)


où Rés(f, z0) = lim|z|→+∞

θ1≤arg z≤θ2

(z − z0)f(z).


a) Intégrales ne faisant pas appel à des fonctions multiformes.

Type 1 :∫ 2π

0

f(cos θ, sin θ)dθ,

où f est une fonction rationnelle en cos θ et sin θ dont le dénominateur nes'annule pas dans l'intervalle [0, 2π]. On eectue le changement de variablez = eiθ, qui transforme [0, 2π] en le bord γ du disque unité du plan complexe.

On utilise les formules

cos θ =eiθ + e−iθ

2=z + z−1

2, sin θ =

eiθ − e−iθ

2i=z − z−1

2i,

et dz = ieiθdθ = izdθ, ou plus généralement, les formules

cosnθ =einθ + e−inθ

2=zn + z−n

2, sinnθ =

einθ − e−inθ

2i=zn − z−n

2i,

et dz = ineinθdθ = inzdθ, et l'intégrale en question devient∫γ

f

(z + z−1

2,z − z−1

2i

)dz

iz,

γ étant le cercle unité. En appliquant le théorème des résidus, on obtient∫ 2π

0

f(cos θ, sin θ)dθ = 2πi∑

Rés(f(z + z−1

2,z − z−1

2i)

1

iz, zj ∈ int D

).

Comme D est le disque unité, alors zj ∈ int D ⇔ |zj| < 1, et∫ 2π

0

f(cos θ, sin θ)dθ = 2πi∑

Rés(f(z + z−1

2,z − z−1

2i)

1

iz, |zj| < 1

).

Type 2 :∫ +∞

−∞

P (x)

Q(x)dx,


où• P et Q sont des polynômes.• Q(x) 6= 0, ∀x ∈ R et degQ− degP ≥ 2.

Les conditions imposées sont nécessaires et susantes pour que l'intégraleconverge. On considère l'intégrale ∫

γP (z)Q(z)

dz, où γ = C ∪ [−r,+r] est le cheminfermé suivant :

et on fait tendre r vers l'inni. Si P (x)Q(x)

est paire, on peut utiliser cette méthodepour calculer ∫ +∞

−∞P (x)Q(x)

dx. En appliquant le théorème des résidus et le lemmede Jordan, on obtient∫ +∞

−∞

P (x)

Q(x)dx = 2πi

∑Rés

(P (z)

Q(z), zj

),

où la somme est étendue aux pôles zj de P (z)Q(z)

situés dans le demi-plan supérieurdu plan complexe.Il faut bien noter que limN→∞

∫ N

−NP (x)Q(x)

dx, peut exister (valeur principale deCauchy) sans que l'intégrale ∫ +∞

−∞P (x)Q(x)

dx converge comme le montre l'exemplesuivant : limN→∞

∫ N

−Nsin xdx = 0, mais l'intégrale ∫ +∞

−∞ sin xdx diverge. Dèslors pour que l'on puisse avoir∫ +∞

−∞

P (x)

Q(x)dx = lim

N→∞

∫ N

−N

P (x)

Q(x)dx,

il faut que l'intégrale en question converge.

Type 3 :∫ +∞

−∞f(x)eimxdx,

∫ +∞

−∞f(x) cosmxdx,

∫ +∞

−∞f(x) sinmxdx,

où• ces intégrales convergent.• m > 0 (resp. m < 0).• f holmorphe dans le demi-plan fermé supérieur (resp. inférieur) sauf en

un nombre ni de pôles, les pôles réels étant simples.• lim|z|→∞ f(z) = 0, Im z > 0 (resp. Im z < 0).


Nous allons distinguer deux cas :1er cas : Les points singuliers de f ne sont pas sur l'axe réel. Notons que∫ +∞

−∞f(x)eimxdx =

∫ +∞

−∞f(x) cosmxdx+ i

∫ +∞

−∞f(x) sinmxdx.

Le calcul de la première intégrale donne donc les deux autres (puisque celles-cisont des nombres réels). On calcule ∫

γf(z)eimzdz, où γ = C ∪ [−r, r] :

et on fait tendre r vers l'inni. En appliquant le théorème des résidus et lelemme de Jordan, on obtient∫ +∞

−∞f(x)eimxdx

=

2πi

∑ résidus dans le demi-plan supérieur de f(z)eimz si m > 0−2πi

∑ résidus dans le demi-plan inférieur de f(z)eimz si m < 0

D'où, ∫ +∞

−∞f(x) cosmxdx = Re

∫ +∞

−∞f(x)eimxdx,∫ +∞

−∞f(x) sinmxdx = Im

∫ +∞

−∞f(x)eimxdx.

2ème cas : La fonction f(z) peut posséder des points singuliers (pôlessimples) sur l'axe réel. Dans ce cas, on raisonne de manière analogue au casprécédent en intégrant la fonction f(z)eimz sur des chemins fermés modiés defaçon à ne pas contenir ces singularités.

b) Intégrales faisant appel à des fonctions multiformes.Le principe de la méthode est identique à celui du paragraphe a), à ceci près

que les intégrants multiformes doivent être uniformisés au moyen d'une coupureadéquate. Les contours d'intégration ne pouvant pas traverser ces coupures,l'intégrant sera déterminé univoquement par une de ses déterminations le longde ces contours.


Type I :∫ +∞

0

xαf(x)dx, 0 < α < 1

où f est holomorphe sauf en un nombre ni de points qui ne sont pas sur ledemi-axe réel x > 0. Supposons que f décroît plus vite à l'inni que 1

x2 , cequi assure la convergence de l'intégrale en question. On calcule ∫

γzαf(z)dz,

où γ = γ1 ∪ [R, r] ∪ γ2 ∪ [r, R],

Le point z = 0 est un point de branchement de l'intégrant. La coupure rendcelui-ci uniforme sur γ. On choisira la détermination de l'intégrant telle que :

zα =

xα sur le bord supérieur de la coupure

xαe2πiα sur le bord inférieur de la coupureOn applique le théorème des résidus :∫

γ

zαf(z)dz =

∫γ1

zαf(z)dz +

∫ r

R

e2πiαxαf(x)dx

+

∫γ−2

zαf(z)dz +

∫ R

r

xαf(x)dx,

= 2πi∑

Résidus aux points singuliers de la déterminationchoisie pour zαf(z).

Le reste consiste à calculer les limites des intégrales sur γ1 et γ2 quand R→∞et r → 0.

Type II :∫ +∞

0

f(x) log xdx,

où f est une fraction rationnelle n'ayant pas de pôles sur le demi-axe x ≥ 0.On suppose que f décroît plus vite à l'inni que 1

x; c-à-d., limx→∞ xf(x) = 0.

On a déjà vu que log z est multiforme à une innité de déterminations et quez = 0 en est un point de ramication. On utilise le même contour que dans


le cas précédent et on applique le théorème des résidus tout en tenant comptedu fait que l'argument de z vaut 0 sur le bord supérieur de la coupure et 2πsur le bord inférieur de celle-ci. On a∫

γ

f(z)(log z)2dz =

∫γ1

f(z)(log z)2dz +

∫ r

R

f(x)(log x+ 2πi)2dx

+

∫γ−2

f(z)(log z)2dz +

∫ R

r

f(x)(log x)2dx,

= 2πi∑

Résidus de la détermination choisiede f(z)(log z)2aux pôles de f(z).

Le reste consiste à calculer les limites des intégrales sur γ1 et γ2 quand R→∞et r → 0. On montre que ces intégrales tendent vers 0 en vertu du lemme deJordan. D'où∫ ∞

0

f(x) log xdx+ πi

∫ ∞

0

f(x)dx

= −1

2

∑Résidus de la détermination choisie def(z)(log z)2aux pôles de f(z)

et il sut de comparer partie réelle et partie imaginaire pour obtenir les in-tégrales en question. Notons que dans le cas particulier où f(x) est paire, onpeut obtenir le même résultat en considérant le circuit suivant :

avec γ = γ1 ∪ [−R,−r] ∪ γ2 ∪ [r, R].

Type III :∫ b

a

f(x) n√

(x− a)k(b− x)n−kdx,

où f est une fraction rationnelle n'ayant pas de pôles sur l'intervalle [a, b] etn, k sont de entiers avec 0 < k < n. Notons que f(z) n

√(z − a)k(b− z)n−k est


multiforme à n déterminations.

On calcule l'intégrale ∫γ

f(z) n√

(z − a)k(b− z)n−kdz,

où γ = γ1 ∪ [α1, β1]∪ γ2 ∪ [β2, α2], γ1 = z : |z− a| = r, γ2 = z : |z− b| = r.La coupure rend l'intégrant uniforme sur γ. Posons

ϕ(z) = f(z) n√

(z − a)k(b− z)n−k.

On choisira la détermination de l'intégrant telle que : ϕ(z) sera égal à ϕ(x) surle bord supérieur de la coupure. Soit C le cercle de centre a (arbitraire) et derayon R (voir gure ci-dessus). On obtient∫

Cϕ(z)dz +

∫γ−ϕ(z)dz

= 2πi∑

Résidus de la détermination choisie de ϕ(z) aux pôles de f(z).

Le reste consiste à calculer les limites de ces intégrales quand R → ∞ etr → 0. Les intégrales sur γ1 et γ2 tendent vers 0 en vertu du lemme de Jordan.L'intégrale sur [α1, β1] tend vers l'intégrale que l'on cherche à calculer et quel'on note I. Pour passer de [α1, β1] à [β2, α2], z décrit le cercle γ2 de centre bdans le sens négatif. Dans ce cas, l'argument de b− z augmente de −2π tandisque z − a reste inchangé. Dès lors, ϕ(z) augmente de −2π(n−k)

ncar (b− z)n−k

augmente de −2π(n − k). Donc l'intégrale sur [β2, α2] tend vers −e− 2πi(n−k)n I.

Par conséquent,

limR→∞

∫Cϕ(z)dz +

(1− e−

2πi(n−k)n

)I

= 2πi∑

Résidus de la détermination choisie de ϕ(z) aux pôles de f(z),


et le calcul de I s'en déduit aisément. Signalons que souvent le calcul de lalimite ci-dessus lorsqu'elle n'est pas nulle se fait en développant l'intégrant ensérie de Laurent.Remarque 94 D'autres types d'intégrales que ceux présentés ici peuvent êtretraités par la méthode des résidus (voir les exercices proposés à la n de cechapitre).

c) Calcul de la somme de certaines séries.Le théorème des résidus peut-être utilisé pour calculer la somme de cer-

taines séries. Soit CN le carré de sommets (N + 1

2

)(±1± i), N = 1, 2, 3, ...

Proposition 95 Soit f une fonction holomorphe sur C sauf en un nombre depôles z1, ..., zp /∈ Z. On choisit N susamment grand pour que CN contiennetous les pôles de f et on suppose que sur CN , |f(z)| ≤ M

|z|n , n > 1 où M est uneconstante indépendante de n (on pourra remplacer cette condition par celle-ci :lim|z|→∞ |zf(z)| = 0). Alors,

+∞∑k=−∞

f(k) = −πp∑

j=1

Rés(f(z) cot πz, zj),

et+∞∑

k=−∞

(−1)kf(k) = −πp∑

j=1

Rés(f(z)

sin πz, zj

).

3.5 ExercicesExercice 3.5.1 Soit f : ∆ −→ C une fonction holomorphe dans la couronneouverte ∆ = z ∈ C : R1 < |z − z0| < R2. Montrer que f peut être représentéedans ∆ de façon unique par une série de la forme

f(z) =∞∑

k=−∞

ak (z − z0)k ,


avecak =

1

2πi

∫γ

f (ζ)

(ζ − z0)k+1

dζ, ∀k ∈ Z,

où γ est un chemin fermé entourant z0 et contenu dans la couronne. Montrerque cette série converge absolument vers f dans ∆ et converge uniformémentdans toute couronne fermée contenue dans ∆.

Exercice 3.5.2 Montrer que si z0 est un pôle d'ordre m de la fonction f(z),alors celle-ci s'écrit sous la forme f(z) =

g(z)

(z − z0)m, avec g(z) holomorphe au

voisinage de z0 et telle que g(z0) 6= 0.

Exercice 3.5.3 Déterminons les premiers termes du développement de Laurentde 1

sin z, au voisinage de z = 0 dans le disque D∗ de centre 0, privé de son

centre, et de rayon π.

Exercice 3.5.4 Même question pour 1

(z − 1)2 (z − 4)3 , au voisinage de z = 1,

dans le disque ouvert D∗ de centre 1, privé de son centre, et de rayon 3.

Exercice 3.5.5 Trouver et qualier les points singuliers de la fonction déniepar f(z) =

z

(z − 1)2(z + i).

Exercice 3.5.6 Montrer que z = 0 est un point singulier essentiel de la fonc-tion e 1

z .

Exercice 3.5.7 Développer en série de Laurent la fonction ez + e1z , autour de

l'origine du plan complexe.

Exercice 3.5.8 Développer en série de Laurent la fonction f(z) = − 2(z−1)(z+1)

,autour de z = 1, dans les couronnes : 0 < |z − 1| < 2 et 2 < |z − 1|.

Exercice 3.5.9 a) Montrer que lorsque z0 est un pôle d'ordre m de f(z), alors

Rés(f, z0) =1

(m− 1)!limz→z0

dm−1

dzm−1((z − z0)

mf(z)) .

b) Montrer que lorsque z0 est un pôle simple de la fonction f(z) =P (z)

Q(z),

avec P (z0) 6= 0 et Q(z0) = 0, alors

Rés(f, z0) =P (z0)

Q′(z0)si Q′(z0) 6= 0.


Exercice 3.5.10 Calculer les résidus de la fonctionf(z) =

z

(z − 1)(z − 2)2,

en tous les pôles à distance nie.Exercice 3.5.11 Calculer le résidu de la fonction

f(z) =cos z. chz

z3 sin z. shz,

au point z = 0.Exercice 3.5.12 Calculer le résidu de la fonction e 1

z au point z = 0.Exercice 3.5.13 Soit Ω ⊂ C un domaine et f : Ω\ z1, z2,..., zk −→ C unefonction holomorphe. Montrer que∫

γ

f(z)dz = 2πik∑

j=1

Res(f, zj),

où γ est un chemin fermé contenu dans Ω à l'intérieur duquel sont contenustous les zj.Exercice 3.5.14 Calculer l'intégrale∫

γ

z

(z − 1)(z − 2)2dz,

où γ est le cercle de centre 0 et de rayon respectivement : 12, 3

2et 3.

Exercice 3.5.15 Soit f(z) une fonction méromorphe dans un domaine sim-plement connexe Ω. Soit γ un chemin fermé contenu dans Ω entourant tousles pôles et zéros de f(z) dans Ω. Montrer que

N − P =1

2πi

∫γ

f(z)

f ′(z)dz = indfoγ (0) ,

où N est le nombre de zéros et P le nombre de pôles dans Ω. (Tous ces pointssont comptés avec leur ordre de multiplicité).Exercice 3.5.16 a) Soient f(z) et g(z) deux fonctions méromorphes dans undomaine simplement connexe Ω et sur sa frontière γ. Supposons qu'en toutpoint de γ, on ait |f(z)| > |g(z)|. Montrer que f(z) et f(z)+g(z) ont le mêmenombre de zéros dans Ω.

b) En déduire que tout polynôme de degré n possède n zéros.c) Déterminer le nombre de zéros de la fonction z8 − 4z5 + z2 − 1 dans le

disque z ∈ C : |z| < 1


Exercice 3.5.17 Soit f une fonction continue sur le secteur : z = reiθ, r > 0,0 ≤ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ≤ 2π.

a) Montrer que si lim|z|→∞ zf(z) = 0, alors

limr→∞

∫γr

f(z)dz = 0,

où γr est l'arc de cercle de rayon compris entre les angles θ1 et θ2.b) Montrer que si lim|z|→0 zf(z) = 0, alors

limr→0

∫γr

f(z)dz = 0,


Exercice 3.5.18 Soit f une fonction continue sur le secteur : z = reiθ, r > 0,0 ≤ θ1 ≤ θ ≤ θ2 ≤ π. Montrer que si lim|z|→∞ f(z) = 0, alors

limr→+∞

∫γr

f(z)eimzdz = 0, m > 0


Exercice 3.5.19 Soient θ1, θ2 ∈ [0, 2π] etγε : [θ1, θ2] −→ C, θ 7−→ z0 + εeiθ,

un chemin dont l'image est un arc de cercle (voir gure p.91).a) Montrer que si f est holomorphe sur γε(z0) pour ε ≤ ε0 et possèdant un

pôle simple en z0, alors

limε→0

∫γε(z0)


où Rés(f, z0) = limz→z0

θ1≤arg z≤θ2

(z − z0)f(z) est le résidu de f en z0.

b) Montrer que si f est holomorphe sur γr(z0) pour r assez grand et possè-dant un pôle simple en z0, alors

limr→∞

∫γr(z0)


où Rés(f, z0) = lim|z|→+∞

θ1≤arg z≤θ2

(z − z0)f(z).


Exercice 3.5.20 Calculer les intégrales suivantes par la méthode des résidus :a)

∫ 2π

0

dθ

a+ cos θ,

b)∫ 2π

0

dθ

a+ sin θ, a > 1.


∫ 2π

0

dθ

(a+ b cos θ)2, a > b > 0.

b)∫ 2π

0

dθ

(a+ b cos2 θ)2, a > 0, b > 0.

Exercice 3.5.22 Calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :∫ 2π

0

cos 3θ

5− 4 cos θdθ.


∫ ∞

−∞

dx

1 + x4.

b)∫ ∞

0

dx

1 + x6.


∫ ∞

−∞

x2

(x2 + 1)2(x2 + 2x+ 2)dx.

b)∫ ∞

0

x sin 2x

x2 + 1dx.

Exercice 3.5.25 Calculer les intégrales suivantes par la méthode des résidus :∫ ∞

−∞

x cosx

x2 − 2x+ 10dx,

∫ ∞

−∞

x sin x

x2 − 2x+ 10dx.

Exercice 3.5.26 Calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :∫ ∞

0

sin x

xdx.

Exercice 3.5.27 Calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :∫ ∞

0

sin4 kx

x2dx, k > 0.


Exercice 3.5.28 Calculer les intégrales de Fresnel :∫ ∞

0

cosx2dx,

∫ ∞

0

sinx2dx.

Exercice 3.5.29 Calculer l'intégrale suivante :∫ ∞

−∞

eax

1 + exdx, 0 < a < 1


−∞

eax − ebx

1 + exdx, 0 < a, b < 1


0

e−ax2

cos bxdx, a > 0, b > 0


0

xα

(1 + x)xdx, 0 < α < 1.


0

log x

1 + x2dx.

Exercice 3.5.34 Calculer l'intégrale suivante :∫ 1

0

4√x3(1− x)dx,

en utilisanta) un calcul direct.b) la méthode des résidus.

Exercice 3.5.35 Soit f une fonction holomorphe sur C sauf en un nombrede pôles z1, ..., zp /∈ Z et soit CN le carré de sommets (

N + 12

)(±1 ± i), N =

1, 2, 3, ... On choisit N susamment grand pour que CN contienne tous lespôles de f et on suppose que sur CN ,

|f(z)| ≤ M

|z|n, n > 1


oùM est une constante indépendante de n (on pourra remplacer cette conditionpar celle-ci : lim|z|→∞ |zf(z)| = 0).

a) Montrer que la fonction cotπz est bornée sur CN .b) Montrer que :

limN→∞

∫CN

πf(z) cot πzdz = 0.

c) En déduire que :+∞∑

k=−∞

f(k) = −πp∑

j=1

Rés (f(z) cot πz, zj) .

d) Montrer que :+∞∑

k=−∞

(−1)kf(k) = −πp∑

j=1

Rés(f(z)

sin πz, zj

).

Exercice 3.5.36 En utilisant la méthode des résidus, déterminer la sommedes séries suivantes :

a)∞∑

k=1

1

k2 + a2, a 6= 0.

b)∞∑

k=−∞

(−1)k

(k + a)2 , a 6= Z.

Exercice 3.5.37 Soit f une fonction holomorphe sur C sauf en un nombreni de points a1, a2, ..., an. Montrer que

n∑k=1

Rés(f, ak) + Rés(f,∞) = 0.


0

sin ax

x(x2 + b2)dx, a > 0, b > 0

Exercice 3.5.39 a) On considère une fonction f dénie et bornée en modulepour 0 < |z| ≤ r0. Soit a un point singulier isolé de f . Montrer que f seprolonge en une fonction holomorphe en a.

b) En déduire le théorème de Casorati-Weierstrass : si f est une fonctionholomorphe sur un disque épointé D(a, r)\a avec une singularité essentielleen a, alors pour tout k ∈]0, r[, l'image de (D(a, r)\a) par f est dense dansC.

Chapitre 4

Suites et produitsinnis(compléments)

Ce chapitre est un complément de cours (donc pas au programme des éva-luations).

4.1 Suites de fonctions holomorphes, séries defonctions holomorphes, théorème de Weiers-trass

Soit Ω un ouvert de C.

Dénition 96 On dit qu'une suite de fonctions (fn) dénies sur Ω convergeuniformément sur tout compact de Ω vers une fonction f : Ω −→ C si, quel quesoit le compact K ⊂ Ω, la suite des restrictions fn|K converge uniformémentvers f |K. Autrement dit, si

∀K ⊂ Ω, limn→∞

‖fn(z)− f(z)‖K = 0,

où ‖f‖K = supz∈K |f(z)| est la norme de la convergence uniforme sur K. Demême, on dira que la série de fonctions ∑

fn converge uniformément (resp.normalement) sur tout compact si et seulement si pour tout compact K ⊂ Ω,la série des restrictions ∑

fn|K converge uniformément, c-à-d., la suite dessommes partielles (

∑nk=0 fk|K) converge uniformément (resp. s'il existe une

suite (an) de réels positifs, telle que : |fn(z)| ≤ an, ∀z ∈ K et ∑an converge).

Théorème 97 (Weierstrass). 1) Si (fn) est une suite de fonctions holomorphessur Ω qui converge uniformément sur tout compact de Ω vers une fonction f ,alors

57


a) f est holomorphe dans Ω.b) la suite des dérivées

(f

(k)n

)converge uniformément sur tout compact de

Ω vers f (k), k ∈ N.2) Soit ∑

fn une série de fonctions holomorphes sur Ω. On suppose quecette série converge uniformément (resp. normalement) sur tout compact deΩ. Alors

a) la somme de cette série est holomorphe sur Ω.b) la série est dérivable terme à terme sur Ω. En outre, la série ∑

f(k)n

converge uniformément (resp. normalement) sur tout compact de Ω.

Exemple 98 Toute série entière converge uniformément sur tout compact in-clus dans le disque ouvert de convergence.

Remarques 99 a) La conclusion du théorème ci-dessus n'est pas vraie engénéral dans le cas des fonctions de variable réelle : le fait que la convergenceuniforme sur tout compact entraîne le même type de convergence pour les suites(séries) des dérivées est faux dans le domaine réel.

b) En pratique, on peut utiliser le fait qu'une suite de fonctions (fn) déniessur Ω converge uniformément sur tout compact de Ω si et seulement si elleconverge uniformément sur tout disque compact de Ω. En eet, tout compactpeut être recouvert par un nombre ni de disques compacts.

c) Rappelons que la limite d'une suite uniformément convergente de fonc-tions continues est une fonction continue.

4.2 Espace des fonctions holomorphes, théorèmede Montel et ses conséquences

SoitH(Ω) l'espace des fonctions holomorphes sur un ouvert Ω ⊂ C. Commeune fonction holomorphe n'est pas toujours bornée, on ne peut considérer surH(Ω) la norme de la borne supérieure. Par contre, on peut considérer uncompact quelconque K de Ω et poser ‖f‖K = sup

z∈K|f(z)|, qui est toujours une

quantité nie. L'application PK : f 7−→ ‖f‖K , est une semi-norme sur H(Ω)(en fait, cette application vérie tous les axiomes d'une norme sauf l'implication‖f‖K = 0 =⇒ f = 0). On cherche une quantité qui tient compte de tous lescompacts à la fois. Pour cela, on choisit une suite exhaustive de compacts dontla dénition est la suivante :

Dénition 100 On dit qu'une suite de compacts (Kn) de Ω est exhaustive siKn ⊂ Kn+1, ∀n ∈ N et si tout compact de Ω est contenu dans l'un des Kn.


On peut choisir les compacts Kn tels que pour tout n ∈ N, Kn ⊂ int Kn+1,c-à-d., une suite strictement exhaustive. En outre, on a ⋃

nKn = Ω.Tout compact K de Ω est strictement intérieur à un compact Kn de la suite

considérée (toute sous-suite innie de Kn est encore exhaustive).Exemple 101 Tout ouvert de C possèede au moins une suite exhaustive decompacts comme celle donnée par

Kn = D(0, n) ∩z ∈ C : d(z,C\U) ≥ 1

n

.

Exemple 102 Pour le disque z ∈ C : |z| < r, il sut de prendre pour Kn

le disque fermé z ∈ C : |z| ≤ r − 1

n

.Exemple 103 Pour Ω = C, on pourra prendre pour Kn le disque ferméz ∈ C : |z| ≤ n.

On note Pn (f) = ||f ||Kn.

Proposition 104 Soient fn et f des fonctions holomorphes sur Ω. Alors lesconditions suivantes sont équivalentes :

i) la suite (fn) converge uniformément vers f sur tout compact de Ω.ii) ∀m ∈ N, lim

n→∞Pm (fn − f) = 0.

L'espace des fonctions holomorphes H (Ω), n'est pas un espace vectorielnormé. La distance de deux éléments de H (Ω), que nous dénirons, ne par-viendra pas d'une norme. Elle est dénie par

d (f, g) =∞∑

n=1

1

2n

Pn (f − g)

1 + Pn (f − g).

Cette série converge car son nième terme est majoré par 12n et on vérie aisé-

ment que d est bien une distance sur H (Ω).Proposition 105 Soient fn et f des fonctions holomorphes sur Ω ⊂ C. Alorsles conditions suivantes sont équivalentes :

i) la suite (fn) converge uniformément vers f sur tout compact de Ω.ii) lim

n→∞d (fn, f) = 0.

Remarque 106 La distance qui a été dénie surH(Ω) peut très bien se dénirsur l'espace C(Ω) des fonctions continues à valeurs complexes sur Ω. Alors,C(Ω) est complet pour cette distance, H(Ω) est un sous-espace vectoriel ferméde C(Ω), H(Ω) est complet, l'application linéaire

H(Ω) −→ H(Ω), f 7−→ f ′,

est continue pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.


Proposition 107 Soit Ω un domaine de C. Soit (fn) une suite de fonctionsholomorphes sur Ω convergeant vers f sur tout compact de Ω.

a) Si les fonctions fn sont sans zéros dans Ω, alors ou bien f est identi-quement nulle, ou bien sans zéros.

b) Si les fonctions fn sont injectives sur Ω, alors f est soit injective, soitconstante.Dénition 108 Soit Ω un ouvert de C. Une partie A de H(Ω) est dite bornéesi, pour tout compact K inclus dans Ω, il existe une constante MK telle que :

∀f ∈ A, ‖f(z)‖K = supz∈K

|f(z)| ≤MK .

Autrement dit, les éléments de A sont uniformément bornée sur tout compactde Ω.Remarque 109 L'adjectif borné dans la dénition ci-dessus n'est pas celuides espaces métriques puisque H(Ω) tout entier coincide avec sa boule unitépour la métrique de la convergence uniforme sur tout compact, donc non bornéau sens évoqué ci-dessus. Le sens de borné ci-dessus trouve sa justication dansla propriété suivante : une partie A d'un espace vectoriel normé est bornée (ausens métrique) si et seulement si pour tout voisinage V de 0, il existe un réelλ > 0 tel que A ⊂ λV , autrement dit si A est absorbé par tout voisinage de 0.Dans le cas d'un espace vectoriel topologique non normé, on conserve la mêmedénition. Ainsi, le sens du mot borné utilisé ici est celui qui correspond àla structure d'espace vectoriel topologique de H(Ω) et non à celle de l'espacemétrique.Proposition 110 Soient Ω un ouvert de C et A une partie bornée de H(Ω).Alors l'adhérence A est également bornée dans H(Ω).Proposition 111 Soit Ω un ouvert de C. Alors l'application f 7−→ f ′ deH(Ω) dans lui même, transforme toute partie bornée de H(Ω) en une partiebornée de H(Ω).

Le résultat de Montel suivant se démontre à l'aide du théorème d'Ascolibien connu en topologie.Théorème 112 (Montel). Soit (fn) une suite de fonctions holomorphes surun ouvert Ω de C. Si cette suite est uniformément bornée sur tout compactde Ω, alors elle admet une suite extraite (fnk

) qui converge uniformément surtout compact de Ω vers une limite f qui est holomorphe dans Ω.

Conséquences du théorème de Montel : Dans H(Ω), tout fermé borné estcompact. Il n'existe aucune norme dont la topologie est celle de H(Ω).


4.3 Séries de fonctions méromorphes, théorèmede Mittag-Leer

Soient Ω un ouvert de C, A une partie de Ω et (fn)n∈N une suite de fonctionsméromorphes sur Ω.Dénition 113 On dit que la série ∑

fn converge (resp. converge uniformé-ment, resp.converge normalement) sur A si

i) il existe un entier N tel que : pour n > N, fn n'ait pas de pôles sur A.ii) la série ∑∞

n=N+1 fn converge (resp. converge uniformément, resp. convergenormalement) sur A.La somme de la série est dénie dans A par :

f(z) =N∑

n=1

fn(z) +∞∑

n=N+1

fn(z), z ∈ A

Remarque 114 La dénition précédente est évidemment la même pour unesérie ∑

fn avec n ∈ Z. On remplacera n > N par |n| > N .Théorème 115 Soit ∑

fn une série de fonctions méromorphes sur un ouvertΩ de C. On suppose que cette série converge uniformément (resp. normale-ment) sur tout compact de Ω. Alors,

1) la somme f de cette série est méromorphe sur Ω.2) la série ∑

f(k)n converge uniformément (resp. normalement) sur tout

compact de Ω et sa somme est f (k).Exemple 116 La série

∞∑n=−∞

1

(z − n)2 .

converge normalement sur tout compact de C.Soit f une fonction méromorphe de pôles : a1, a2, a3, . . . et soit

gn(z) =a

(n)−1

z − an

+a

(n)−2

(z − an)2 + · · ·+a

(n)−pn

(z − an)pn,

la partie principale du développement en série de Laurent de f au voisinagede an.Théorème 117 (Mittag-Leer). Pour toute suite de points an ∈ C sans va-leur d'adhérence et toute suite de fonctions gn de la forme ci-dessus, il existeune fonction méromorphe f ayant pour seuls pôles les points an et pour toutn, la partie principale gn.


Corollaire 118 Toute fonction méromorphe f admet un développement enune série de la forme

f = h+∞∑

n=1

(gn − Pn) ,

où h est une fonction entière, gn les parties principales de f et Pn des poly-nômes. En outre, cette série converge uniformément sur tout compact.

Remarque 119 SoitCn = z ∈ C : |z| = rn , r1 < r2 < . . . , lim

n→∞rn = ∞

une famille de cercles et soit f une fonction méromorphe. On suppose que surCn, la fonction f croît moins vite que zn (c-à-d. il existe une constante Atelle que : ∀z ∈ Cn, n ∈ N∗, on ait |f (z)| ≤ A |z|m). On montre qu'on peutprendre dans le développement obtenu dans le théorème précédent, Pn et h despolynômes de degré ≤ m.

4.4 Produits innis de fonctions holomorphesPour un rappel des propriétés de base concernant les produits innis, voir

appendice 2.Soient Ω un ouvert de C et (fn) une suite de fonctions holomorphes dans

Ω. Rappelons que le produit inni ∏n≥1 fn(z) converge dans Ω si la suite (Pn)

(où Pn =∏n

k=1 fk) de fonctions holomorphes converge uniformément sur toutcompact de Ω. Dans ce cas, la fonction f(z) = limn→∞ Pn(z) est holomorphedans Ω, en vertu du théorème de Weierstrass. Nous avons considéré le produitinni indexé par les entiers strictement positifs mais il est évident qu'on peutenvisager des produits innis dont les facteurs sont indexés à partir de 0 au lieude 1 ou même considérer une partie innie I de N comme ensemble d'indices,par exemple le cas où I est la suite des nombres premiers.

Dénition 120 Soient Ω un ouvert de C, (fn) une suite de fonctions holo-morphes dans Ω et A une partie de Ω. On dit que le produit inni ∏

fn(z),converge normalement sur A si :

i) fn(z) tend uniformément vers 1, sur A, c-à-d.,∃n0 ∈ N : n ≥ n0, z ∈ A⇒ |fn − 1| < 1.

ii) La série ∑n≥n0

log fn(z), converge normalement sur A.

D'après l'hypothèse i), la suite (fn) converge uniformément vers 1 sur A,donc la suite (log fn) est bien dénie à partir d'un certain rang sur A, ce qui


entraîne que la détermination principale log fn(z) est dénie sur A. Comme logest la détermination principale du logarithme complexe (sa partie imaginaireest dans ]− π, π[), log fn(z) est déni et l'on a

logPn(z) = logn∏

k=k0

fk =n∑

k=k0

log fk(z).

Par ailleurs, sur C\R−x , on sait que log est continue, donc si la série ∑∞

k=k0log fk

converge uniformément sur un compact de C, alors

log limn→∞

Pn(z) = limn→∞

logPn(z) =n∑

k=k0

log fk(z) = g(z),

et g est une fonction continue. Dès lors,∞∏

k=k0

fk(z) = limn→∞

Pn(z) = eg(z).

Proposition 121 Soit (fn) une suite de fonctions holomorphes sur un ouvertΩ de C. Soit A une partie de Ω et posons fn = 1 + un. Alors le produit inni∏fn(z) converge normalement sur A si et seulement si la série ∑

un convergenormalement sur A.Dénition 122 On dit que le produit inni ∏

fn converge normalement surtout compact de Ω si, pour tout compact K ⊂ Ω, ∏

fn converge normalementsur K.Théorème 123 Soit (fn) une suite de fonctions holomorphes sur Ω ⊂ C. Onsuppose que le produit inni ∏

fn converge normalement sur tout compact deΩ. Alors,

a) f =∞∏

n=1

fn est holomorphe sur Ω.

b) pour tout n ∈ N∗, on a f = f1f2...fp

∞∏n=p+1

fn.c) Z (f) =

⋃n Z (fn), mZ (f) =

∑nmZ (fn), où Z (f) (resp. Z (fn)) dé-

signe l'ensemble des zéros de f (resp. fn) et mZ (f) (resp.mZ (fn)) est l'ordrede multiplicité du zéro de f (resp. fn).Théorème 124 Soient Ω un ouvert de C et (fn) une suite de fonctions ho-lomorphes dans Ω telle que le produit inni ∏

fn converge normalement surtout compact de Ω. Soit f =

∏∞n=1 fn. Alors la série de fonctions méromorphes∑ f ′n

fn, converge normalement sur tout compact de Ω et sa somme est la dérivée

logarithmique,f ′(z)

f(z)=

∞∑n=1

f ′n(z)

fn(z).


4.5 Fonctions dénies par une intégrale, fonc-tions gamma et bêta d'Euler, transforméede Laplace

Proposition 125 Soient Ω un ouvert de C, [a, b] un intervalle compact de Ret f : Ω × [a, b] −→ C, (z, t) 7−→ f(z, t), une fonction. Si f est continue surΩ× [a, b], holomorphe en z (t étant xé) et si (z, t) 7−→ ∂2f

∂z2 (z, t) est continue,alors la fonction F dénie par l'intégrale F (z) =

∫ b

af(z, t)dt est holomorphe

dans Ω et sa dérivé est

F ′(z) =

∫ b

a

∂f

∂z(z, t)dt.

Proposition 126 Soit Ω un ouvert de C contenant un chemin C1 (c-à-d., uneapplication γ : [a, b] −→ Ω, de classe C1, a < b) orienté. Supposons que pour ξxé, la fonction

f : Ω× γ −→ C, (z, ξ) 7−→ f(z, ξ),

est holomorphe dans Ω et continue sur Ω × γ ainsi que sa dérivée ∂2f∂z2 (z, ξ).

Alors la fonction F dénie par F (z) =∫

γf(z, ξ)dt est holomorphe dans Ω et

sa dérivée estF ′(z) =

∫ b

a

∂f

∂z(z, ξ)dξ.

Théorème 127 Soient Ω un ouvert de C et ]a, b[ un intervalle quelconque deR où a et b peuvent être nis ou innis. On considère l'intégrale suivante :F (z) =

∫ b

af(z, t)dt, dépendant d'un paramètre complexe z. On suppose que

pour tout t ∈]a, b[ la fonction z 7−→ f(z, t) est holomorphe dans Ω et qu'il existeune fonction positive ϕ :]a, b[−→ R satisfaisant aux conditions suivantes :

(i) ∀t ∈]a, b[, ∀z ∈ Ω, |f(z, t)| ≤ ϕ(t).(ii) l'intégrale ∫ b

aϕ(t)dt est convergente.

Alors, la fonction F est holomorphe dans Ω et sa dérivée est

F ′(z) =

∫ b

a

∂f

∂z(z, t)dt.

Remarque 128 Le théorème précédent, lorsqu'il est applicable, est souventutilisé en pratique. En fait, sous ces conditions, on a

F (n)(z) =

∫ b

a

∂nf

∂zn(z, t)dt.

Le théorème est évidemment valable pour Ω =⋃

k Ωk, réunion innie de partiesΩk de Ω où sur chacune on a une majorante ϕk avec supk ϕk = ∞. On montreque la fonction F est holomorphe sur chaque Ωk et dès lors sur Ω.


Fonctions gamma et bêta d'Euler :La fonction gamma d'Euler Γ(z), se dénit par l'intégrale

Γ(z) =

∫ ∞

0

e−ttz−1dt, Re z > 0

où tz−1 = e(z−1) log t, t ∈]0,+∞[. Il existe plusieurs manières d'introduire lafonction Γ d'Euler et celle-ci possède de nombreuses propriétés remarquables.Proposition 129 La fonction Γ(z) est holomorphe pour Re z > 0. En outre,on a pour tout n ∈ N et tout z ∈ C où Re z > 0, l'expression

Γ(n)(z) =

∫ +∞

0

e−t(ln t)ntz−1dt.

Proposition 130 La fonction Γ(z) vérie la relation fonctionnelle suivante :Γ(z + 1) = zΓ(z), Re z > 0,

ce qui implique la relation de récurrence :Γ(n+ 1) = n!, n ∈ N∗.

Proposition 131 On peut prolonger la fonction Γ(z) au moyen de la formuleΓ(z + 1) = zΓ(z), Re z > 0, en une fonction holomorphe sur C\ −N.Proposition 132 Pour Re z > 0, on a

Γ(z) =

∫ +∞

0

e−ttz−1dt = limn→+∞

∫ n

0

(1− t

n

)n

tz−1dt.

Proposition 133 On a

Γ(z) = limn→+∞

nz.n!

n(z + 1)...(z + n), Re z > 0

Proposition 134 On a pour Re z > 0, la formule de Weierstrass :1

Γ(z)= zeγz

∞∏n=1

(1 +

z

n

)e−

zn , Re z > 0

où γ = limn→∞(∑n

k=11k− lnn

)= 0, 57721..., est la constante d'Euler.

Proposition 135 Pour tout z ∈ C\Z, on a la formule des compléments :

Γ(z)Γ(1− z) =π

sin πz, ∀z ∈ C\Z.


On dénit la fonction bêta d'Euler par

B(p, q) =

∫ 1

0

tp−1(1− t)q−1dt, Re p > 0,Re q > 0.

Proposition 136 La fonction p 7−→ B(p, q) est holomorphe pour Re p > 0,q ∈ C xé, Re q > 0. De même, la fonction q 7−→ B(p, q) est holomorphe pourRe q > 0, p ∈ C xé, Re p > 0.

Proposition 137 On a

B(p, q) =Γ(p)Γ(q)

Γ(p+ q), Re p > 0,Re q > 0

où Γ est la fonction gamma d'Euler dénie précédemment.

Transformée de Laplace :Rappelons (voir appendice 3) qu'une fonction f n'ayant qu'un nombre ni

de points de discontinuité est sommable si et seulement si |f | est intégrable ausens de Riemann. Lorsque l'intégrale est prise au sens de Lebesgue, il ne s'agitpas d'intégrales généralisée car il y a convergence absolue. Dans la pratique,pour prouver qu'une fonction est sommable, il sut de montrer qu'elle estmajorée en module par une fonction positive dont l'intégrale est convergente.(Le lecteur peut s'il le désire mettre dans tout ce qui va suivre à la place desommable absolument intégrable).

Dénition 138 Soit f : R+ −→ R (ou C), une fonction localement sommable.On appelle transformée de Laplace de f(x) la fonction notée Lf(x) ou F (p)de la variable complexe p = σ + iω dénie par

Lf(x) = F (p) =

∫ ∞

0

f(x)e−pxdx.

La fonction f est appelée original de F et F l'image de f .

Proposition 139 Si l'intégrale ci-dessus converge pour Re p = σ0, alors il enest de même pour tout p tel que : Re p ≥ σ0.

Dénition 140 Soit f ∈ Lloc([0,+∞[). Le nombreσ0 = infσ ∈ R : f(x)eσx ∈ Lloc([0,+∞[),

s'appelle abscisse de sommabilité ou abscisse de convergence absolue de la fonc-tion f . Le demi-plan de convergence p = σ + iω : Re p = σ > σ0 est ledomaine de sommabilité sur lequel F (p) est déni.


Exemple 141 La transformée de Laplace de la fonction d'Heaviside H(x)égale à 1 si x ≥ 0, 0 si x ≤ 0, est

LH(x) =

∫ ∞

0

e−pxdx = limu→∞

1− epu

p=

1

p,

pourvu que Re p > 0, c'est-à-dire l'abscisse de sommabilité est σ0 = 0.Proposition 142 a) (Linéarité). La transformée de Laplace est une applica-tion linéaire. Plus précisément, pour toutes fonctions f, g, d'abscisses de som-mabilité respectives σ0, ς0, alors, ∀α, β ∈ C,

Lαf(x) + βg(x) = αLf(x)+ βLg(x), Re p > maxσ0, ς0.

b) (Translation). Si Lf(x) = F (p), alorsLf(x− c) = e−cpF (p), Re p > σ0.

c) Si Lf(x) = F (p), alorsLf(x)e−αx = F (p+ α), Re(p+ α) > σ0.

d) (Changement d'échelle). Si Lf(x) = F (p), alors

Lf(cx) =1

cF

(pc

), c > 0.

e) (Conjugaison complexe). Si Lf(x) = F (p), alorsLf(x) = F (p).

Exemple 143 Les transformées de Laplace des fonctions exponentielle et tri-gonométriques sont

Le−αx =

∫ ∞

0

e−(α+p)xdx =1

α+ p, Re p > −Re α

Lcosωx = Leiωx + e−iωx

2

,

=1

2Leiωx+

1

2Le−iωx,

=1

2

(1

−iω + p

)+

1

2

(1

iω + p

),

=p

p2 + ω2, Re p > 0

etLsinωx = L

eiωx − e−iωx

2i

=

ω

p2 + ω2, Re p > 0.


Proposition 144 La transformée de Laplace d'une fonction localement som-mable f , est une fonction holomorphe dans le domaine p ∈ C : Re p > σ0 eton a la formule

F (n)(p) =

∫ ∞

0

(−x)nf(x)e−pxdx = (−1)nLxnf(x).

Exemple 145 Déterminons la transformée de Laplace de xn. D'après la pro-position précédente, on a Lxnf(x) = (−1)nF (n)(p). Ici f(x) = 1 et F (p) = 1

p,

d'oùLxn = (−1)n

(1

p

)(n)

.

Explicitement, on a

Lx =1

p2, Lx2 =

2

p3, ... ,Lxn =

n!

pn+1.

On peut écrire Lxn = Γ(n+1)pn+1 où Γ est la fonction gamma d'Euler.

Proposition 146 Si Lf(x) = F (p) et Lg(x) = G(p), alorsL(f ∗ g)(x) = F (p)G(p), Re p > maxσ0, ς0

oùf ∗ g)(x) =

∫ x

0

f(t)g(x− t)dt,

est le produit de convolution de f et g, σ0 et ς0 sont les indices de sommabilitéde f et g respectivementProposition 147 Soit f une fonction localement sommable. On suppose quepour tout x > 0, f est continue, sa dérivée f ′(x) existe et est continue parmorceaux. S'il existe des constantes M > 0 et σ0 telles que : |f(x)| ≤ Meσ0x,pour tout x ≥ x0, alors

Lf ′(x) = pLf(x) − f(0+) = pF (p)− f(0+), Re p > σ0

Proposition 148 Si Lf(x) = F (p), alors

L∫ x

0

f(t)dt

=F (p)

p, Re p > max(0, σ0).

Proposition 149 (comportement à l'inni). Si f est une fonction ayant unabscisse de sommabilité σ0, alors pour Re p > σ0, on a

limp→∞

F (p) = 0.


Proposition 150 (théorème de la valeur initiale). Soit f une fonction ayantune transformée de Laplace et telle que f(0+) existe. Alors,

limp→∞

pF (p) = f(0+).

Proposition 151 (théorème de la valeur nale). Soit f une fonction ayantune transformée de Laplace et telle que limx→+∞ f(x) = f(+∞) existe et estnie. Alors,

limp→0

pF (p) = f(+∞).

Considérons l'intégrale1

2πi

∫ σ+iλ

σ−iλ

F (p)eptdp =1

2πi

∫ σ+iλ

σ−iλ

(∫ ∞

0

f(x)e−pxdx

)eptdp,

où F (p) est la transformée de Laplace de f . En posant p = σ + iω, dp = idω,l'intégrale ci-dessus s'écrit

1

2πeσt

∫ λ

−λ

(∫ ∞

0

(e−σxf(x))e−iωxdx

)eiωtdω.

Proposition 152 Soit F (p) = F (σ + iω) une fonction holomorphe dans ledemi-plan p ∈ C : Re p > σ0. On suppose que lim|p|→+∞ |F (p| = 0 pourRe p > σ0 et pour tout σ > σ0, la fonction ω ∈ R 7−→ F (σ+ iω), est sommablesur R (c'est-à-dire F est une fonction sommable en ω, pour tout σ > σ0). Alorsl'original f de F est donné par la formule de Bromwich-Wagner suivante :

f(x) =1

2πi

∫ σ+i∞

σ−i∞F (p)epxdp, σ > σ0

Dans l'intégrale de Bromwich-Wagner, l'intégration de la fonction d'unevariable complexe se fait le long d'une droite parallèle à l'axe imaginaire d'abs-cisse σ > σ0, située dans le domaine de convergence et parcourue de bas enhaut. Toutes les singularités de F (p) sont à gauche de cette droite, puisquecelle-ci est située à droite de l'abscisse de sommabilité σ0. Dans certains cas, ilest nécessaire de calculer cette intégrale, en utilisant les techniques d'intégra-tion d'une fonction d'une variable complexe, notamment la méthode habituelledes résidus.

4.6 ExercicesExercice 4.6.1 Soit ∑

fn une série de fonctions holomorphes sur un ouvertΩ de C. On suppose que cette série converge uniformément sur tout compactde Ω. Montrer que


a) la somme de cette série est holomorphe sur Ω.b) la série est dérivable terme à terme sur Ω. En outre, la série ∑

f(k)n

converge uniformément sur tout compact de Ω.

Exercice 4.6.2 Soient fn et f des fonctions holomorphes sur Ω. Montrer quela suite (fn) converge uniformément vers f sur tout compact de Ω si et seule-ment si, ∀m ∈ N, lim

n→∞Pm (fn − f) = 0 où Pn (f) = ||f ||Kn

((Kn) étant unesuite exhaustive de compacts de Ω).

Exercice 4.6.3 Soient fn et f des fonctions holomorphes sur Ω ⊂ C. Montrerque la suite (fn) converge uniformément vers f sur tout compact de Ω si etseulement si, on a lim

n→∞d (fn, f) = 0 où

d(f, g) =∞∑

n=1

1

2n

Pn(f − g)

1 + Pn(f − g),

avec Pn(f) = ‖f‖Kn, (Kn) étant une suite exhaustive de compacts de Ω.

Exercice 4.6.4 Soit Ω un domaine de C. Soit (fn) une suite de fonctionsholomorphes sur Ω convergeant vers f sur tout compact de Ω. Montrer quesi les fonctions fn sont sans zéros dans Ω, alors ou bien f est identiquementnulle, ou bien sans zéros.

Exercice 4.6.5 Soit Ω un domaine de C. Soit (fn) une suite de fonctionsholomorphes sur Ω convergeant vers f sur tout compact de Ω. Montrer que siles fonctions fn sont injectives sur Ω, alors f est soit injective, soit constante.

Exercice 4.6.6 Soient Ω un ouvert de C et A une partie bornée de H(Ω).Montrer que l'adhérence A est également bornée dans H(Ω).

Exercice 4.6.7 Soit Ω un ouvert de C. Montrer que l'applicationH(Ω) −→ H(Ω), f 7−→ f ′,

transforme toute partie bornée de H(Ω) en une partie bornée de H(Ω).

Exercice 4.6.8 Soit ∑fn une série de fonctions méromorphes sur un ouvert

Ω de C. On suppose que cette série converge uniformément (resp. normale-ment) sur tout compact de Ω. Montrer que la somme f de cette série est mé-romorphe sur Ω et qu'en outre, la série ∑

f(k)n converge uniformément (resp.

normalement) sur tout compact de Ω et sa somme est f (k).


Exercice 4.6.9 On considère la série∞∑

n=−∞

1

(z − n)2 .

1) Montrer que cette série converge normalement sur tout compact de C.2) On pose

f (z) =∞∑

n=−∞

1

(z − n)2 .

a) Montrer que f (z) est périodique de période 1.b) Montrer que les pôles de f (z) sont les entiers n ∈ Z, sont doubles et de

résidu nul.c) Soit z = x+ iy. Montrer que

lim|y|→+∞

f(z) = 0,

uniformément par rapport à x.3) Démontrer la formule d'Euler :

∞∑n=−∞

1

(z − n)2 =( π

sin πz

)2

, z ∈ C\Z

Exercice 4.6.10 Démontrer la formule de la cotangente :1

z+

∞∑n=1

2z

z2 − n2= π cot g πz.

Exercice 4.6.11 a) Soit f une fonction méromorphe de pôles : a1, a2, a3, . . .et soit

gn(z) =a

(n)−1

z − an

+a

(n)−2

(z − an)2 + · · ·+a

(n)−pn

(z − an)pn,

la partie principale du développement en série de Laurent de f au voisinagede an. Montrer que pour toute suite de points an ∈ C sans valeur d'adhérenceet toute suite de fonctions gn de la forme ci-dessus, il existe une fonctionméromorphe f ayant pour seuls pôles les points an et pour tout n, la partieprincipale gn.

b) En déduire que toute fonction méromorphe f admet un développementen une série de la forme

f = h+∞∑

n=1

(gn − Pn) ,

où h est une fonction entière, gn sont les parties principales de f et Pn sontdes polynômes. Montrer qu'en outre, cette série converge uniformément surtout compact.


Exercice 4.6.12 Soit (fn) une suite de fonctions holomorphes sur un ouvertΩ ⊂ C. Soit A une partie de Ω et posons fn = 1 + un. Montrer que le pro-duit inni ∏

fn converge normalement sur A si et seulement si la série ∑un

converge normalement sur A.

Exercice 4.6.13 Soit (fn) une suite de fonctions continues sur un ouvert Ωde C et posons fn = 1+un. On suppose que le produit inni ∏

fn converge nor-malement sur tout compact de Ω. Montrer que la suite (

∏n≤p fn)p∈N converge

uniformément sur tout compact de Ω vers une fonction f continue sur Ω.

Exercice 4.6.14 Soit (fn) une suite de fonctions holomorphes sur un ouvertΩ ⊂ C. On suppose que le produit inni

∞∏n=0

fn converge normalement sur toutcompact de Ω.

a) Montrer que f =∞∏

n=0

fn est holomorphe sur Ω.

b) Montrer que pour tout n ∈ N∗, on a, f = f1...fp

∞∏n=p+1

fn, et

Z (f) =⋃n

Z (fn) , mZ (f) =∑

n

mZ (fn) ,

où Z (f) (resp. Z (fn)) désigne l'ensemble des zéros de f (resp. fn) et mZ (f)(resp.mZ (fn)) est l'ordre de multiplicité du zéro de f (resp. fn).

Exercice 4.6.15 Soient Ω un ouvert de C et (fn) une suite de fonctions ho-lomorphes dans Ω telle que le produit inni ∏

fn converge normalement surtout compact de Ω. Soit f =

∏∞n=1 fn. Montrer que la série de fonctions méro-

morphes ∑ f ′nfn, converge normalement sur tout compact de Ω et sa somme est

la dérivée logarithmique,f ′(z)

f(z)=

∞∑n=1

f ′n(z)

fn(z).

Exercice 4.6.16 Démontrer la formule :

sin πz = πz

∞∏n=1

(1− z2

n2

), z ∈ C

Exercice 4.6.17 Soit la série de fonctions :∑n≥0

z2n

z2n+1 − 1, z ∈ C


a) Montrer que cette série converge absolument pour |z| < 1 et pour |z| > 1.b) Montrer que pour tout nombre réel r > 1, cette série converge uniformé-

ment pour |z| ≥ r et pour |z| ≤ 1r.

c) En déduire que :∑n≥0

z2n

z2n+1 − 1=

z

z−1si |z| < 1

1z−1

si |z| > 1

Exercice 4.6.18 Montrer que le produit inni ∏(1 + z2n

) converge normale-ment sur tout compact du disque unité D(0, 1) et que pour tout z ∈ D(0, 1),

∞∏n=0

(1 + z2n

) =1

1− z.

Exercice 4.6.19 Soient Ω un ouvert de C, [a, b] un intervalle compact de Ret f : Ω × [a, b] −→ C, (z, t) 7−→ f(z, t), une fonction. Montrer que si f estcontinue sur Ω× [a, b], holomorphe en z (t étant xé) et si (z, t) 7−→ ∂2f

∂z2 (z, t)

est continue, alors la fonction F dénie par F (z) =∫ b

af(z, t)dt est holomorphe

dans Ω et sa dérivée est

F ′(z) =

∫ b

a

∂f

∂z(z, t)dt.

Exercice 4.6.20 Soit Ω un ouvert de C contenant un chemin C1 (c-à-d., uneapplication γ : [a, b] −→ Ω, de classe C1, a < b) orienté.

a) Supposons que pour ξ xé, la fonctionf : Ω× γ −→ C, (z, ξ) 7−→ f(z, ξ),

est holomorphe dans Ω et continue sur Ω × γ ainsi que sa dérivée ∂2f∂z2 (z, ξ).

Alors la fonction F dénie par F (z) =∫

γf(z, ξ)dt est holomorphe dans Ω et

sa dérivée estF ′(z) =

∫ b

a

∂f

∂z(z, ξ)dξ.

b) Montrer que si ϕ est une fonction continue sur γ, alors la fonction F

dénie pour z ∈ Ω\γ par F (z) =∫

γϕ(ξ)ξ−z

dξ est holomorphe dans Ω\γ et sadérivée d'ordre n est

F (n)(z) = n!

∫γ

ϕ(ξ)

(ξ − z)n+1dξ.

c) En déduire que si en outre γ est le bord orienté ∂D d'un domaine compactrégulier D, alors

F (n) =n!

2πi

∫∂D

ϕ(ξ)

(ξ − z)n+1dξ,

où f(z) = F (z)2πi

. Interpréter ce résultat.


Exercice 4.6.21 Soient Ω un ouvert de C et ]a, b[ un intervalle quelconquede R où a et b peuvent être nis ou innis. On considère l'intégrale suivante :F (z) =

∫ b

af(z, t)dt, dépendant d'un paramètre complexe z. On suppose que

pour tout t ∈]a, b[ la fonction z 7−→ f(z, t) est holomorphe dans Ω et qu'il existeune fonction positive ϕ :]a, b[−→ R satisfaisant aux conditions suivantes :

(i) ∀t ∈]a, b[ ∀z ∈ Ω, |f(z, t)| ≤ ϕ(t).(ii) l'intégrale ∫ b

aϕ(t)dt est convergente.

Montrer que la fonction F est holomorphe dans Ω et sa dérivée est

F ′(z) =

∫ b

a

∂f

∂z(z, t)dt.

Exercice 4.6.22 La fonction gamma d'Euler Γ(z), se dénit par l'intégrale

Γ(z) =

∫ ∞

0

e−ttz−1dt, Re z > 0

où tz−1 = e(z−1) log t, t ∈]0,+∞[.a) Montrer que la fonction Γ(z) est holomorphe pour Re z > 0 et que de

plus, on a pour tout n ∈ N et tout z ∈ C où Re z > 0, l'expression

Γ(n)(z) =

∫ +∞

0

e−t(ln t)ntz−1dt.

b) Montrer que la fonction Γ(z) vérie la relation fonctionnelle suivante :Γ(z + 1) = zΓ(z), Re z > 0,

ce qui implique la relation de récurrence :Γ(n+ 1) = n!, n ∈ N∗.

c) Montrer qu'on peut prolonger la fonction Γ(z) au moyen de la formuleΓ(z + 1) = zΓ(z), Re z > 0, en une fonction holomorphe sur C\ −N.

Exercice 4.6.23 a) Montrer que

Γ(z) =

∫ +∞

0

e−ttz−1dt = limn→+∞

∫ n

0

(1− t

n

)n

tz−1dt, Re z > 0

où Γ est la fonction gamma étudiée dans l'exercice précédent.b) Montrer que

Γ(z) = limn→+∞

nz.n!

n(z + 1)...(z + n), Re z > 0


c) Démontrer la formule de Weierstrass :

1

Γ(z)= zeγz

∞∏n=1

(1 +

z

n

)e−

zn , Re z > 0

où γ = limn→∞(∑n

k=11k− lnn

)= 0, 57721..., est la constante d'Euler.

d) En déduire que : γ = −Γ′(1).

Exercice 4.6.24 Montrer que, pour tout z ∈ C\Z, on a la formule des com-pléments :

Γ(z)Γ(1− z) =π

sin πz.

Exercice 4.6.25 On se propose dans cet exercice de considérer la fonctionΓ(z) dans le champ réel (c-à-d., pour z = x ∈ R), de prouver quelques proprié-tés et esquisser une représentation graphique de cette fonction.

a) Montrer que Γ est convexe.b) Montrer que Γ′ s'annule une et une seule fois en un point α ∈]1, 2[.c) Montrer que :

limx→0+

xΓ(x) = 1, limx→0+

Γ(x) = limx→+∞

Γ(x) = +∞.

d) Calculer limx→+∞Γ(x)

xet interpréter le résultat obtenu.

e) Montrer que pour tout n ∈ N, on a

Γ

(n+

1

2

)=

(2n)!

22nn!

√π, Γ

(−n+

1

2

)=

(−1)n22nn!

(2n)!

√π.

f) Esquisser une représentation graphique de la fonction Γ(x).

Exercice 4.6.26 On dénit la fonction bêta d'Euler par

B(p, q) =

∫ 1

0

tp−1(1− t)q−1dt, Re p > 0,Re q > 0.

a) Montrer que la fonction p 7−→ B(p, q) est holomorphe pour Re p > 0,q ∈ C xé, Re q > 0. De même, montrer que la fonction q 7−→ B(p, q) estholomorphe pour Re q > 0, p ∈ C xé, Re p > 0.

b) Etablir la formule suivante : B(p, q) = Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)

où Γ est la fonctiongamma d'Euler dénie précédemment.

c) En déduire la formule :

B(p, 1− p) = Γ(p)Γ(1− p) =π

sin πp, 0 < Re p < 1


Exercice 4.6.27 Exprimer à l'aide des fonctions gamma et bêta d'Euler, lesintégrales elliptiques ∫ 1

0dt√1−t3

et ∫ 1

0dt√1−t4

ainsi que l'intégrale trigonométrique∫ π2

0sinm t cosn tdt, m > −1, n > −1.

Exercice 4.6.28 Soit f une fonction dénie sur R et telle que :(i) f(x) = 0, ∀x < 0.(ii) f est continue par morceaux sur [0,+∞[.(iii) il existe des constantes M > 0 et σ0 telles que :

∀x ≥ x0, |f(x)| ≤Meσ0x.

Montrer que la transformée de Laplace existe pour tout σ > σ0.Exercice 4.6.29 Déterminer les transformées de Laplace des fonctions :

a) x 7−→ sin√x, b) x 7−→ cos

√x√

x.

Exercice 4.6.30 Soit f , une fonction localement sommable. Montrer que latransformée de Laplace de f est une fonction holomorphe dans le domaine desommabilité p ∈ C : Re p > σ0 et on a la formule

F (n)(p) =

∫ ∞

0

(−x)nf(x)e−pxdx = (−1)nLxnf(x).

Exercice 4.6.31 Soit f une fonction périodique de période T > 0 et posonsF (p) = Lf(x) sa transformée de Laplace. Montrer que

F (p) =1

1− eTp

∫ T

0

f(x)e−pxdx.

Exercice 4.6.32 Soit f ∗ g(x) =∫ x

0f(t)g(x − t)dt le produit de convolution

de f et g. Montrer que si Lf(x) = F (p) et Lg(x) = G(p), alorsL(f ∗ g)(x) = F (p)G(p), Re p > maxσ0, ς0

où σ0 et ς0 sont les indices de sommabilité de f et g respectivement.Exercice 4.6.33 Montrer que si F (p) est la transformée de Laplace d'unefonction f , alors |F (p)| est borné sur un demi-plan p ∈ C : Re p > σ0.Exercice 4.6.34 Soit f une fonction localement sommable. On suppose quepour tout x > 0, f est continue, sa dérivée f ′(x) existe et est continue parmorceaux. Montrer que s'il existe des constantes M > 0 et σ0 telles que :|f(x)| ≤Meσ0x, pour tout x ≥ x0, alors

Lf ′(x) = pLf(x) − f(0+) = pF (p)− f(0+), Re p > σ0


Exercice 4.6.35 Montrer que si Lf(x) = F (p), alors

L∫ x

0

f(t)dt

=F (p)

p, Re p > max(0, σ0).

Exercice 4.6.36 Montrer que si f est une fonction ayant un abscisse de som-mabilité σ0, alors pour Re p > σ0, on a limp→∞ F (p) = 0.Exercice 4.6.37 Soit f une fonction ayant une transformée de Laplace ettelle que f(0+) existe. Montrer que :

limp→∞

pF (p) = f(0+).

Exercice 4.6.38 Soit f une fonction ayant une transformée de Laplace ettelle que limx→+∞ f(x) = f(+∞) existe et est nie. Montrer que :

limp→0

pF (p) = f(+∞).

Exercice 4.6.39 Soit F (p) = F (σ + iω) une fonction holomorphe dans ledemi-plan p ∈ C : Re p > σ0. On suppose que lim|p|→+∞ |F (p| = 0 pourRe p > σ0 et pour tout σ > σ0, la fonction ω ∈ R 7−→ F (σ+ iω), est sommablesur R (c'est-à-dire F est une fonction sommable en ω, pour tout σ > σ0). Alorsl'original f de F est donné par la formule de Bromwich-Wagner suivante :

f(x) =1

2πi

∫ σ+i∞

σ−i∞F (p)epxdp, σ > σ0

Exercice 4.6.40 Déterminer la transformée de Laplace inverse de la fonction

F (p) =1

(p2 + 1)2,

en utilisant la formule de Bromwich-Wagner.Exercice 4.6.41 Déterminer la transformée de Laplace inverse de la fonction

F (p) =1

(p+ 1)(p− 2)2,

en utilisant la formule de Bromwich-Wagner.Exercice 4.6.42 Une fonction f est dite causale si f(x) = 0, x < 0. Déter-miner la fonction réelle causale f(x) dont la transformée de Laplace est

F (p) =1√p, Re p > 0


Exercice 4.6.43 Déterminer la solution u(x, t) de l'équation aux dérivées par-tielles :

4∂2u

∂t2+∂4u

∂x4= 0,

satisfaisant aux conditions :

u(x, 0) =∂u

∂t(x, 0) =

∂2u

∂x2(0, t) = 0, u(0, t) = 1, x, t > 0.

On suppose que : |(u(x, t)| ≤M où M > 0 est une constante.

Bibliographie

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Ellipses, Paris, 2014.[12] Lesfari, A. : Équations diérentielles ordinaires et équations aux dérivées

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solus), éditions Ellipses, Paris, 2018.

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