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7/23/2019 lieux complexe.pdf

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Rappels

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

Les quotients de complexesPour avoir les ides claires

P. Roux

Lyce Joliot Curie

22 avril 2008

http://pagesperso-orange.fr/calque/ Les quotients de complexes
http://pagesperso-orange.fr/calque/http://pagesperso-orange.fr/calque/


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Rappels

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

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Rappels

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

sommaire

1 Rappelsmoduleargumentmodule et argument

2 Trianglestriangle quilatraltriangle rectangle

3 Vecteurs

vecteurs colinairesvecteurs orthogonaux

4 Ensembles de pointscaractrisationsensembles



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Rappels

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

lobjet

Ces quelques diapos ont pour but dclaircir les

situations o lon travaille sur des quotients du type :zD zC

zB zA

zA tant, bien entendu laffixe du point A.



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Rappels

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

module

argument

module et argument

Existence

Le complexezD zC

zBz

A

existe si et seulement si A =B

il est non nul si et seulement si

A =B et C =D



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Rappels

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

module

argument

module et argument

Existence

Le complexezD zC

zBz

A



A =B et C =D


R l


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Rappels

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

module

argument

module et argument

Existence

Le complexezD zC

zB zA



A =B et C =D


Rappels


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Rappels

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

module

argument

module et argument

Module

Rappel

si A =B, le module de

zD zC

zB zA

est gal CD

AB

On le dmontre en utilisant la rgle sur le quotient desmodules etAB= |zB zA|


Rappels


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Rappels

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

module

argument

module et argument

Module

Rappel

si A =B, le module de

zD zC

zB zA

est gal CD

AB

On le dmontre en utilisant la rgle sur le quotient desmodules etAB= |zB zA|


Rappels


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Rappels

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

module

argument

module et argument

Argument

Rappel

si A =B et si C =D, un argument de

zD zCzB zA

est gal

(

AB,CD)

On rappelle que 0 nadmet pas dargument et doncquil est ncessaire de supposer que C =D


Rappels


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Rappels

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

module

argument

module et argument

Argument

Rappel

si A =B et si C =D, un argument de

zD zCzB zA

est gal

(

AB,CD)

On rappelle que 0 nadmet pas dargument et doncquil est ncessaire de supposer que C =D


Rappelsd l


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Rappels

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

module

argument

module et argument

Module et argument

Rappel

Deux complexes non nuls sont gaux si et seulement siils ont mme module et un mme argument 2prs.

Si le module est ret un argument est , on peut lescrire

rei


Rappelsd l


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pp

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

module

argument

module et argument

Module et argument

Consquence

si A =B et si C =D et si

zD zC

zB zA =rei

avec r rel strictement positif, on peut en dduire que

CD

AB =r

et(

AB,CD) = 2prs


Rappelsmodule


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pp

Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

module

argument

module et argument

Module et argument

Consquence

si A =B et si C =D et si

zD zC

zB zA =rei

avec r rel strictement positif, on peut en dduire que

CD

AB =r

et(

AB,CD) = 2prs


Rappels


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Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

triangle quilatral

triangle rectangle

triangle quilatral

Ce qui prcde peut tre utilis pour montrer quuntriangleABCest quilatral direct :

il suffit de prouver que

zC zA

zB zA=ei

3

on voit apparatre la rotation de centre Aet dangle 3


Rappels


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Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

triangle quilatral

triangle rectangle

triangle quilatral



zC zA

zB zA=ei

3



Rappels


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Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

triangle quilatral

triangle rectangle

triangle quilatral



zC zA

zB zA=ei

3



Rappels

T i l i l il l


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Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

triangle quilatral

triangle rectangle

triangle rectangle isocle

Ce qui prcde peut tre utilis pour montrer quuntriangleABCest rectangle isocle enAet direct :


zC zA

zB zA=ei

2



Rappels

T i l t i l il t l


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Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

triangle quilatral

triangle rectangle




zC zA

zB zA=ei

2



Rappels

Triangles triangle quilatral


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Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

triangle quilatral

triangle rectangle




zC zA

zB zA=ei

2



RappelsTriangles vecteurs colinaires


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Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

vecteurs colinaires

vecteurs orthogonaux

angles de vecteurs

Rappel

Langle(BM,

AM) nexiste que si les deux vecteurs sont

non nuls cest--dire que si M =A et M =B




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Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

vecteurs colinaires


angles de vecteurs

Rappel

Les vecteurs non nuls

u et

v sont colinaires si et

seulement si (u ,

v) =kavec k Z

Plus prcisment,

sikest pair, les deux vecteurs sont colinaires demme sens ;

sikest impair, les deux vecteurs sont colinairesde sens oppos.




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Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

vecteurs colinaires


angles de vecteurs

Rappel


u et


seulement si (u ,

v) =kavec k Z

Plus prcisment,






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Triangles

Vecteurs

Ensembles de points

vecteurs colinaires


angles de vecteurs

Rappel


u et


seulement si (u ,

v) =kavec k Z

Plus prcisment,






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g

Vecteurs

Ensembles de points


angles de vecteurs

Rappel


u et


seulement si (u ,

v) =kavec k Z

Plus prcisment,






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g

Vecteurs

Ensembles de points


ensembles de points

Consquence

Lensemble des points M tels que

(BM,AM) =k (k Z) est la droite (AB) prive de A etde B

Plus prcisment,

sikest pair, cest lextrieur du segment [AB] ;

sikest impair, cest le segment ]AB[




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Vecteurs

Ensembles de points


ensembles de points

Consquence



Plus prcisment,






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Vecteurs

Ensembles de points


ensembles de points

Consquence



Plus prcisment,






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Vecteurs

Ensembles de points


ensembles de points

Consquence



Plus prcisment,




RappelsTriangles

V t

vecteurs colinaires

t th


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Vecteurs

Ensembles de points


angles de vecteurs

RappelLes vecteurs non nuls

u et

v sont orthogonaux si et

seulement si (u ,

v) =

2+ kavec k Z


RappelsTriangles

Vecte rs

vecteurs colinaires

ecte rs orthogona


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Vecteurs

Ensembles de points


ensembles de points

Consquence


(BM,

AM) =

2+ k (k Zest le cercle de diamtre

[AB] priv de A et de B


RappelsTriangles

Vecteurs

vecteurs colinaires



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Vecteurs

Ensembles de points


le problme

AetBsont deux points distincts.On sintresse lensemble des point Mdaffixez

Mtels

que le complexezM zA

zM zB

vrifie certaine proprit.


RappelsTriangles

Vecteurs

caractrisations

ensembles


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Vecteurs

Ensembles de points

ensembles

Rappels

Il faut savoir caractriser les rel et les imaginaires pursen utilisant les arguments et ne pas oublier que 0 joueun rle part.


RappelsTriangles

Vecteurs

caractrisations

ensembles


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Vecteurs

Ensembles de points

ensembles

les rels

Rappel

Le complexe z est rel si et seulement si

z= 0 ou arg(z) =kavec k Z

Plus prcisment,

sikest pair, le rel est strictement positif

sikest impair, le rel est strictement ngatif


RappelsTriangles

Vecteurs

caractrisations

ensembles


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Vecteurs

Ensembles de points

ensembles

les rels

Rappel



Plus prcisment,




RappelsTriangles

Vecteurs

caractrisations

ensembles


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Ensembles de points

les rels

Rappel



Plus prcisment,




RappelsTriangles

Vecteurs

caractrisations

ensembles


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Ensembles de points

les rels

Rappel



Plus prcisment,




RappelsTriangles

Vecteurs

caractrisations

ensembles


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Ensembles de points

les imaginaires purs

Rappel

Le complexe z est imaginaire pur si et seulement si

z=0 ou arg(z) =

2+ kavec k Z


RappelsTriangles

Vecteurs

caractrisations

ensembles


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Ensembles de points

ensemble de points

Quel est lensemble des points Mtels quezM zA

zM zBait un

module gal 1 ?

Cest lensemble des points M =B tels queAM

BM=1 ou

encore AM=BM

cest la mdiatrice de [AB]


RappelsTriangles

Vecteurs

caractrisations

ensembles


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Ensembles de points

ensemble de points


zM zBsoit

rel ?

Cest lensemble des points M =B tels queM=A ou

(BM,

AM) =k (k Z)

cest la droite (AB) prive deB


RappelsTriangles

Vecteurs

bl d i

caractrisations

ensembles


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Ensembles de points

ensemble de points


zM zBsoit

imaginaire pur ?

Cest lensemble des points M =B tels queM=A ou

(BM,

AM) =

2+ k (k Z)

cest le cercle de diamtre [AB] priv de B


RappelsTriangles

Vecteurs

E bl d i t

caractrisations

ensembles


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Ensembles de points

confection

fait le 22 avril 2008 avec Beamer

thme Warsaw


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