Algorithmique pour QBF

Florian LETOMBECRIL, CNRS FRE 2499

Plan

• Introduction• Présentation des QBFs• Prouveurs QBF et méthodes existantes

– État de l’art des prouveurs– Méthodes générales d’élagage/évaluation– Méthodes spécifiques à certains prouveurs

• Expérimentations• Conclusion

QBF : définition formelle

• Une QBF a la forme :

!nn XQXQ K11

• X1…Xn ensembles de variables propositionnelles• Φ formule propositionnelle construite sur ces

variables• Qi (1 ≤ i ≤ n) un quantificateur existentiel (∃) ou

universel (∀)

Validité de QBF( )

!"

#$%

&

''¬

(')*)

)( cba

bacba

Existenced’unestratégiegagnantedans un jeucontre lanature

⊥

a

c

b b

T

T ⊥

T

Intérêts théoriques et pratiques• Connaître la validité d’une QBF est un

problème PSPACE-complet• Réduction depuis de nombreux problèmes

d’intelligence artificielle– Planification– Raisonnements non monotones– Abduction– Etc ...

QBF = langage pivot

Problèmed’inférence,

prise dedécision

QBF SolutionRéduction Test de

validité

Interprétation

État de l’art des prouveurs QBF

• QKN : H. Kleine-Büning, M. Karpinski etA. Flögel (1995)

• Evaluate : M. Cadoli, A. Giovanardi, et M.Schaerf (1998)

• Decide : J. Rintanen (1999)• Qsolve : R. Feldmann, B. Monien et S.

Schamberger (2000)

État de l’art des prouveurs QBF(Suite)

• QuBE : E. Giunchiglia, M. Narizzano et A.Tacchella (2001)

• Semprop : R. Letz (2001)• Quaffle : L. Zhang et S. Malik (2002)

Méthodes généralesd’élagage/évaluation

• DPLL• Élimination des ∀-variables internes• Fausseté triviale (sur des ensembles de

variables)• Vérité triviale

Séparation des ensembles devariables

• Σ : union de tous les ensembles de ∃-variables

• Π : union de tous les ensembles de ∀-variables

Exemple

!!!

"

#

$$$

%

&

'¬(¬'¬'(¬(

'¬'(('¬'

)*)*

=

)]()()(

)()()[(

121122

1211111

zyxwyx

zwwyzyx

XYWZ

F

{ }{ }2121

211

,,,

,,

xxwwXW

yyzYZ

=!="

=!=#

Séparation des ensembles declauses

• H(Σ) : clauses dans lesquelles seules lesvariables de Σ (existentielles) apparaissent

• G(Π) : clauses dans lesquelles seules lesvariables de Π (universelles) apparaissent

• L(Σ,Π) : toutes les autres clauses

Exemple (suite)

Toute formule QBF F peut s’écrire :

!!"

#$$%

&

'()')(=

),()()(

11

LGH

XQXQF

nnK

Exemple (suite et fin)

)()()( 121 zyyH !¬"=#

!!!

"

#

$$$

%

&

¬'¬'(

'¬'(

'¬'

=)*

)(

)(

)(

),(

112

121

111

xwy

zww

zyx

L

)()( 2xG ¬=!

DPLL [DLL62]• DPLL(F) :

Simplifier(F)Si F est trivialement SAT alors

Retourner VraiSi F est trivialement UNSAT alors

Retourner Fauxl <- choix de littéralSi DPLL(Fl) alors

Retourner VraiRetourner DPLL(F ¬l)

DPLL (suite)

!"

#$%

&

'¬((

(('¬=

)()(

)()()(

121

2111

0zyy

yzzyF

Branchement sur z1,F devient : !

"

#$%

&

'=

)(

)(

1

2

0y

yF

Pour que F0 soit vraie, il faut que y2 et y1 soientvérifiés

Élimination des ∀-variablesles plus internes

!!!

"

#

$$$

%

&

'¬(¬'¬'(¬(

'¬'(('¬'

)*)*

=

)]()()(

)()()[(

121122

12111111

zyxwyx

zwwyzyx

XYWZ

F

!!!

"

#

$$$

%

&

'¬(¬'()(

'¬'(('¬

*+*

,

)]()(

)()()[(

1212

1211111

zywy

zwwyzy

YWZ

F

Fausseté triviale sur Π• Une QBF F est fausse si G’(Π)≠∅,

où G’(Π) est obtenu à partir de G(Π) auquelon retire les clauses tautologiques

!!"

#$$%

&

'()(=

),()(

11

LH

XQXQF

nnKDonc F peut s’écrire :

• La QBF F1 est trivialement fausse sur Π dansnotre exemple

Fausseté triviale sur Σ

• La QBF F2 n’est pas trivialement fausse surΣ dans notre exemple

• Une QBF F est fausse si H(Σ) n’est pas satisfiable

!!!

"

#

$$$

%

&

'¬(¬'(

'¬'(('¬

)*)

=

)]()(

)()()[(

1212

1211112

zywy

zwwyzy

YWZ

F

Vérité triviale

• Une QBF F est valide si H(Σ)∧L’(Σ) estsatisfiable, où L’(Σ) est obtenu à partir deL(Σ, Π) auquel on retire toutes les variablesde Π.

• La QBF F2 est trivialement vraie sur Σ dansnotre exemple

Méthodes spécifiques à certainsprouveurs

• Q-résolution par saturation (QKN)• Backtracking (Evaluate, Decide, Qsolve,

QuBE, Quaffle)• Backjumping (QuBE, Semprop)• Apprentissage (QuBE, Semprop, Quaffle)• Inversion de quantificateurs (Decide,

Qsolve)• Échantillonnage (Decide)

Q-résolution

En deux étapes :• Simplification de la formule clause par

clause• « Confrontation » de deux clauses ayant un

littéral existentiel positif pour l’une etnégatif pour l’autre

Q-résolution (suite et fin)

!!!

"

#

$$$

%

&

'(¬'¬(¬(

¬'¬'('

)*)

=

)]()()(

)()[(

21112

121113

xzxwx

zwwzx

XZW

F

!!!

"

#

$$$

%

&

'(¬'¬(

¬(¬'('

)*)

+

)]()(

)()()[(

2111

221113

xzxw

xwwzx

XZW

F

!"""" #""" #"¬$% trivialeFaussetéresQ

zxxz 1221 )(),(

a)

b)

Backtracking

1. Simplifier la QBF F2. Si la simplification ne donne rien alors

Choisir un littéralSinon Retourner en arrière

3. Si un littéral choisi alorsEmpiler le littéral

4. Répéter étapes 1 à 3 jusqu’à une solution

Backtracking (suite)

!!!

"

#

$$$

%

&

''¬(¬'¬'(

¬(¬'¬'('¬'

)*)*

=

)]()(

)()()[(

212112

21211113

xzyxwy

xzwwzyx

YXZW

F

Backtracking (suite)Étape 1 :

!!!

"

#

$$$

%

&

'(¬'¬(¬(

¬'¬'('

)*)

=

)]()()(

)()[(

21112

12111

)1(

3

xzxwx

zwwzx

XZW

F

{ }!!!

"

#

$$$

%

&

'(¬'¬(

¬('

)*)

=+¬

)]()(

)()[(,

2111

211

)2(

3

)1(

32

xzxw

xzx

XZW

FFw

Simplification :

Choix de variable : ¬w2Empilement :

Backtracking (suite)Étape 2 :

Simplification :

Choix de variable : ¬w1

Empilement :{ }

!!!

"

#

$$$

%

&

'

¬('

)*

=+¬

)](

)()[(,

21

211

)3(

3

)2(

31

xz

xzx

XZ

FFw

!!!

"

#

$$$

%

&

'(¬'¬(

¬('

)*)

=

)]()(

)()[(

2111

211

)2(

3

xzxw

xzx

XZW

F

Backtracking (suite)Étape 3 :

Simplification :

Choix de variable : z1

Empilement :{ } !

"

#$%

&

¬

'=(

)][(,

2

2)4(

3

)3(

31x

xFFz

!!!

"

#

$$$

%

&

'

¬('

)*

=

)](

)()[(

21

211

)3(

3

xz

xzx

XZ

F

Backtracking (suite et fin)

On dépile :

Or, pour l’exploration de z1, le résultat de lasimplification de F(4) est Vrai et z1 est ∀

De plus, le résultat avec ¬z1 est contradictoire

{ })3(31,Fz

On obtient donc ⊥ pour résultat

!"

#$%

&

¬

'=

)][( 2

2)4(

3x

xF

Étape 4 :est valide

Backjumping

• Initialiser les raisons en fonction d’unrésultat (QBF valide ou non pour unecombinaison de variables)

• Si la variable dépilée est dans ces raisons Alors Retourner en arrièreSinon Continuer à dépiler (la variable

n’a pas d’importance)

Backjumping (suite)• Les trois premières étapes du backtracking

sont les même pour le backjumping

Étape 4 :{ }wr w w z! ¬ ¬

1 2 1, ,

z reason wr1. !

Empilement :{ }¬ !z

1,

Backjumping (suite et fin)Étape 5 :

{ }wr w w z! ¬ ¬ ¬1 2 1, ,

{ }¬ !z1,

On dépile :

Or backjump retourne NULL et res vaut ⊥

On obtient donc ⊥ pour résultat

Apprentissage• Une affectation L=l1;…;lm est prefix-closed

si, pour chaque li, toutes les variables plusexternes sont dans L

• « Nogoods » : L=l1;…;lm prefix-closed, lesous-ensemble de L, raison pour l’invaliditéde FL, est un Nogood

• « Goods » : L=l1;…;lm prefix-closed, lesous-ensemble de L, raison pour la validitéde FL, est un Good

Apprentissage (« Nogoods »)

!!!

"

#

$$$

%

&

¬'(¬'¬('¬

('¬'¬('

)*))

=

)()()(

)()(4

sysyzx

szyzy

syzx

F

Affectation prefix-closed : x;y;z

F4 simplifié par x;y;z est invalide

Raison pour cette invalidité : {y,z}

Donc on peut ajouter la clause (¬y ∨ ¬z) enconjonction à F4

Apprentissage (« Goods »)

!!!

"

#

$$$

%

&

'(¬''(¬'¬

(¬'¬'('¬'¬

)*))

=

)()()(

)()(5

szszyzy

syxzyx

syzx

F

Affectation prefix-closed : ¬x;¬y;z

F5 simplifiée par ¬x;¬y;z est valide

Raison pour cette validité : {¬y,z}

Donc on peut ajouter le terme (¬y ∧ z) endisjonction à F5

Inversion de quantificateurs

• Pour les formules de la forme :

• Principe : inverser les quantificateurs de Xet de Y et donner aléatoirement des valeursde vérité aux littéraux de Y

• But : obtenir des valeurs de vérité pourcertains littéraux de X par propagationunitaire

! "X Y#

Inversion de quantificateurs(suite)

!!!

"

#

$$$

%

&

'(¬'¬(¬(

¬'¬'('

)*)

=

)]()()(

)()[(

21112

12111

xzxwx

zwwzx

XZW

F

On inverse ∃W et ∀Z

Inversion de quantificateurs(suite et fin)

Posons :z1

0!

Cela force les valeurs de x1, puis w1, et enfincelle de w2 ;

Ce qui nous mène à une contradiction

On obtient donc ⊥ pour résultat

Échantillonnage

• Pour les formules de la forme :

• Principe : donner aléatoirement des valeursde vérité aux littéraux de Y

• But : détecter les littéraux erronés de X parpropagation unitaire

! "X Y#

Échantillonnage (suite)

!!!

"

#

$$$

%

&

'(¬'¬(¬(

¬'¬'('

)*)

=

)]()()(

)()[(

21112

12111

xzxwx

zwwzx

XZW

F

On choisit aléatoirement des valeurs devérité pour les variables de Z

Échantillonnage (suite et fin)

Prenons :z1

0!

Cela force les valeurs de x1, puis w1, et enfincelle de w2

Ce sont ces valeurs qui seront gardées pour cesvariables

x vrai w faux w faux1 1 2! ! !, ,

Expérimentations

• Cadre des expérimentations

• Résultats expérimentaux

• Analyse expérimentale

Cadre des expérimentations

Machine :• CPU : Pentium III (Katmai) à 450 MHz• Mémoire vive : 1GoInstances de J. Rintanen :• Bolcks world, Chain, Logn, Toilet :

planification• Logn : chaine d’implications• R3cnf : instances aléatoires (∃∀∃)

Cadre des expérimentations (suite)

Prouveurs :• Decide (Backtracking, Inversion de

quantificateurs, Échantillonnage)• Quaffle (Backtracking, Apprentissage)• QuBE (Backjumping, Apprentissage)Sur 75 instances de 6 types différents• 65 résolues par Decide, 55 par Quaffle et 52

par QuBE

Résultats expérimentaux

O0.010.04-13066Impl16

O0.000.030.08375150R3CNF_150_3_15_2.50_0.T

O778.38-39.4898921820CHAIN17v.18

N--12.7615047915BLOCKS4ii.7.2

N-227.687.7215872779BLOCKS4i.6.4

ValQuBEQuaffleDecideCLSVRSInstance

Analyse expérimentale

• QuBE plus rapide sur presque toutes lesinstances aléatoires

• Decide résout le plus grand nombred’instances

• Decide plus rapide sur la plupart desinstances (proposées par J. Rintanen)

Conclusion

• A ce jour :– 7 prouveurs QBF (plus ceux qui ne font pas

encore l’objet d’un papier)– méthodes générales d’élagage utilisables dans

tout prouveur– méthodes spécifiques à évaluer et comparer

• A venir :– un prouveur performant– de nouvelles méthodes propres à ce prouveur