COURS D’ALGEBRE IPour les filieres SMP/SMC

BENKADDOUR Said, ELANSARI M’hammed,ELAMRANI Majda, LAHMIDI Fouad

15 septembre 2012

Chapitre 1

SYSTEMES LINEAIRES :methode de Gauss

1.1 Definitions et notations

Dans toute la suite IK designera le corps IR ou IC.

A. Equations lineaires et systemes lineaires

Definition 1.1. Une equation lineaire a n ∈ IN∗ inconnues x1, x2, · · · , xn a coeffi-cients dans IK est une egalite du type

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b1

avec a1, · · · , an, b1 ∈ IK des constantes donnees.

Exemples 1. 1) Chercher x, y, z dans IR tels que : 2x− z = 02) Chercher x1, x2 ∈ IC tels que ix1 + x2 = 1− i3) L’equation 2x2

1 −√|x2|+ 2x3 = −1 n’est pas lineaire.

Definition 1.2. Un systeme lineaire de m equations a n inconnues dans IK est dela forme suivante :

(S)

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1 E1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2 E2

. . . .

. . . .am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm Em

Les inconnues sont x1, ..., xn. Les nombres b1, ..., bm et les aij sont des constantesdonnees dans IK.

Exemples 2. x1 − 3x2 + 4x3 − 2x4 = 35x1 + 2x2 + x4 = 2x2 − 3x3 = 4

1

Definition 1.3. 1) Une solution de (S) dans IKn est tout element(α1, α2, · · · , αn) ∈ IKn satisfaisant toutes les equations de (S).2) Resoudre (S) c’est trouver l’ensemble de toutes les solutions de (S).3) Un systeme (S) est dit incompatible lorsqu’il n’a aucune solution.4) Deux systemes lineaires (S) et (S ′) sont equivalents s’ils ont le meme nombred’inconnues et le meme ensemble de solutions.

Exemples 3. 1) (2, 1) est solution du systeme

x1 − 2x2 = 05x1 − 10x2 = 0x1 − 3x2 = −1

par contre (4, 2) ne l’est pas.

2) les solutions du systeme

x1 − 2x2 = 05x1 − 10x2 = 0

sont les couples (x1, x2) = (2u, u)

avec u ∈ IK quelconque.

3) Le systeme

x1 − x2 = 02x1 − 2x2 = 1

est incompatible (on ne peut avoir 0=1 !).

4) Les deux systemes suivants sont equivalentsx1 − x2 = 0x1 + x2 = 1−2x1 + 4x2 = 1

et

x1 − x2 = 0x1 + x2 = 1

1.2 Systeme lineaire triangulaire

Definition 1.4. Un systeme lineaire de m equations a n inconnues dans IK esttriangulaire si n = m et s’il est de la forme suivante :

(S)

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1 E1

0x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2 E2

. . . .

. . . .0x1 + 0x2 + ...+ annxn = bn En

avec akk 6= 0 pour tout 1 ≤ k ≤ n.

Remarque 1.1. La resolution d’un tel systeme est particulierement simple.

Puisqu’on a annxn = bn et ann 6= 0 on trouve xn = bnann

.On remonte alors a l’equation an−1n−1xn−1 + an−1nxn = bn−1 pour calculer xn−1 ; eton remonte ainsi de suite.

Exemples 4.

x1 − 3x2 + 4x3 − 2x4 = 3

2x2 + x4 = 2x3 − 3x4 = 4

2x4 = 2

1.3 Resolution des S.L. par la methode de Gauss

On considere le systeme (S)

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = α1 E1

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = α2 E2

. . . .

. . . .am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = αm Em

2

Quitte a permuter l’ordre des equations et a changer la place des variables xi , onpeut supposer que a11 6= 0.La methode de Gauss consiste a utiliser l’equation E1 pour eleminer l’inconnue x1

des equations E2, ..., Em.E2 → E ′2 = a11E2 − a21E1 : b22x2 + ...+ b2nxn = β2

. . . .

. . . .Em → E ′m = a11Em − am1E1 : bm2x2 + ...+ bmnxn = βm

On obtient le nouveau systeme

(**)

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = α1 E1

b22x2 + ...+ b2nxn = β2 E ′2. . . .. . . .

bm2x2 + ...+ bmnxn = βm E ′m

Theoreme 1.1. Les deux systemes (*) et (**) sont equivalents.

La repetition du processus decrit ci-dessus conduit a un systeme dit ”reduit” (ouechelonne) de la forme

(S)

d11y1 + d12y2 + · · ·+ d1kyk + · · ·+ d1nyn = f1 E ′′10y1 + d22y2 + · · ·+ d2kyk + · · ·+ d2nyn = f2 E ′′2. . . .. . . .0y1 + 0y2 + · · ·+ dkkyk + · · ·+ dknyn = bk E ′′k· · · · · · · · · · · ·

avec les dii 6= 0.On arrive forcement a l’un des trois cas :1) Le systeme n’a pas de solution lorsqu’on trouve une equation de la forme 0 = biavec bi non nul.2) Le systeme a une unique solution (ceci lorsque k = n avec en plus des equationsde type 0 = 0 ).3) Le systeme a une infinite de solutions (ceci lorsque k < n et les equations apresl’equation E ′′k sont evidentes (de la forme 0 = 0)). Dans ce cas on calcule y1, y2, · · · , yken fonction de yk+1, · · · , yn qui restent comme parametres quelconque dans IK.

Exemples 5. Resoudre dans IR3 les systemesx1 − x2 + 3x3 = −2x1 + x3 = 0x1 + 4x2 − x3 = 2x1 − x2 + 3x3 = −22x1 + 3x2 + 2x3 = 1x1 + 4x2 − x3 = 2

et dans IR4 x1 − x2 + x3 − 2x4 = 22x1 − 2x2 + 2x3 − 2x4 = 2−x1 + x2 + 2x3 − 4x4 = 4−x3 + 2x4 = −2

3

Exercice 1.1. Trouver les valeurs du reel a tel que le systemex+ y − z = 12x+ 3y + az = 3x+ ay + 3z = 2

ait

1) aucune solution2) une solution unique3) plusieurs solutions.

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Chapitre 2

POLYNOMES ET FRACTIONSRATIONNELLES

2.1 Polynomes

A. Definitions

Definition 2.1. Une fonction polynomiale (ou un polynome) a coefficients dans IKest une fonction pour laquelle ils existent des constantes ao, a1, · · · , an dans IK telleque

P (x) =n∑p=o

apxp = ao + a1 + · · ·+ anx

n. pour tout x ∈ IK.

Formellement, un polynome peut toujours etre represente par la suite finie (ao, a1, · · · , an)de ses coefficients, ai etant le facteur de xi.

Exemples 6. 1) O(x) = 0 et Q(x) = 1 + x + 2x2 + 3x3 pour tout x ∈ IK sont desfonctions polynomiales.

2) Les fonctions f(x) =1

1 + x2et g(x) = sin(x) ne sont pas des fonctions po-

lynomiales.

Formellement, un polynome peut toujours etre represente par la suite finie (ao, a1, · · · , an)de ses coefficients, ai etant le facteur de xi.

Definition 2.2. Le degre de P est le plus grand exposant (ici n si an 6= 0). Onnote degre(P)=d (P). Le degre du polynome nul est −∞ par convention.

Designons, dans toute la suite, par IK[x] (IK = IR ou IC) l’ensemble des polynomes acoefficients dans IK.

B. Addition de deux polynomes Soient P,Q ∈ IK[x], alors

∀x ∈ IK (P +Q)(x) = P (x) +Q(x)

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Remarquons que d (P +Q) ≤ max(d (P ), d (Q)).On a P +Q = Q+ P , (P +Q) +R = P + (Q+R), 0 + P = P et P + (−P ) = 0.

C.Produit de polynomes Soient P,Q ∈ IK[x], alors

∀x ∈ IK (PQ)(x) = P (x)Q(x)

Si P (x) =n∑p=o

apxp et Q(x) =

m∑q=o

bqxq, alors

(PQ)(x) =n+m∑i=o

i∑j=o

((ajbi−j)xi

D’ou d (PQ) = d (P ) + d (Q).On a PQ = QP , (PQ)R = P (QR), P (Q+R) = PQ+ PR.

Exemples 7. Soient P (x) = 1 + x+ x2 et Q(x) = 1 + x+ 2x2 + 3x3, on a

(PQ)(x) = 1 + 2x+ 4x2 + 6x3 + 5x4 + 3x5

D.DIVISION EUCLIDIENNE

Proposition 2.1. Pour tous polynomes A et B (B 6= 0), il existe un et un seulpolynome Q appele quotient, et un et un seul polynome R appele reste, tels queA = BQ+R avec d R < d B.(faire la D.E. de A par B c’est trouver Q et R).

Exemples 8. Faire la D.E de A(x) = 2x4 + 5x3 − x2 + 16x− 5par B(x) = 2 + 3x+ 5x2.

Definition 2.3. On dit que le polynome A est divisible par le polynome B (ou queB divise A et note B/A) si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.

Exemples 9. A(x) = 2 + 5x+ 8x2 + 5x3 est divisible par B(x) = 2 + 3x+ 5x2.

Definition 2.4. Si B divise A1 et A2 alors B est un diviseur commun de A1 etA2.Si A1 et A2 n’ont pas de diviseur commun de degre superieur ou egal a un alors A1

et A2 sont dits premiers entre eux.

Exemples 10. B(x) = x+ 1 est un diviseur commun de A1(x) = 1 + 2x+ x2

et A2(x) = 1− x2.D1 = x− 1 et D2 = x+ 1 sont premiers entre eux.

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Proposition 2.2. Soient A1 et A2 deux polynomes a coefficients dans IK. Il existeun polynome unitaire D (cad le coefficient de tete egal a un) et un seul tel que :1) D est un diviseur commun de A1 et A2,2) d D est le plus grand parmi les diviseurs communs de A1 et A2.D est appele le plus grand commun diviseur (pgcd).

Remarque 2.1. Le pgcd de A1 et A2 est le dernier reste non nul normalise dans lasuite des divisions euclidiennes successives (connue sous le nom d’algorithme d’Eu-clide).

E.DIVISION SUIVANT LES PUISSANCES CROISSANTES

Proposition 2.3. Pour tous polynomes A et B (bo = B(0) 6= 0) et tout entier

k ∈ IN, il existe un couple unique (Q,R) de polynomes, tels que A = BQ + xk+1Ravec d Q ≤ k.Q et xk+1R sont respectivement appeles quotient et reste de la division suivant lespuissances croissantes de A par B a l’ordre k.(faire la DSPC de A par B c’est trouver Q et R).

Exemples 11. Faire la DSPC de A(x) = x5 − 3x4 − 2x3 + x2 + 3x+ 2 parB(x) = 2 + 3x+ x2 a l’ordre k = 5.

F.RACINES D’UN POLYNOME. FACTORISATION

Theoreme 2.1. et definitiona ∈ IK est dit une racine (ou un zero) du polynome P s’il verifie l’une des deuxconditions suivantes qui sont equivalentes ;1) P (a) = 0 ;2) le polyome (x− a) divise le polynome P .

Theoreme 2.2. a ∈ IK est dit une racine d’ordre k (ou de multiplicite k) du po-lynome P (pour k ≤ d P ) lorsqu’il verifie l’une des conditions suivantes qui sontequivalentes :1) P (a) = P ′(a) = · · · = P (k−1)(a) = 0 et P (k)(a) 6= 0.2) Le polynome (x− a)k divise P et (x− a)k+1 ne divise pas P .

Remarque 2.2. L’outil fondamental permettant de demontrer le theoreme ci-dessus est la formule de Taylor pour les polynomes de degre n et a ∈ IK.

P (x) = P (a) + (x− a)P ′(a) +(x− a)2

2P ′′(a) + · · ·+ (x− a)n

n!P (n)(a).

(faire un exemple)

Theoreme 2.3. (Theoreme de D’Alembert)Tout polynome, a coefficient dans IC, de degre n ∈ IN possede exactement n racines(une racine d’ordre k comptant pour k racines).

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Remarque 2.3. Si x1, x2, · · · , xp sont toutes les racines deux a deux distinctes

d’ordres respectifs α1, α2, · · · , αp du polyome P (x) =n∑k=0

akxk, d’apres ce qui precede,

(x− x1)α1/P (x), ainsi que (x− x2)α2/P (x),etc · · · .Etant premiers entre eux donc :(x− x1)α1(x− x2)α2 · · · (x− xp)αp/P (x).Et l’on a α1 + α2 + · · · + αp = n et le quotient est de degre 0, le terme de degre ndevant etre anx

n, on a donc

P (x) = an(x− x1)α1(x− x2)α2 · · · (x− xp)αp

Exemples 12. Factoriser P (x) = x4 − 6x3 + 8x2 + 6x− 9 dans IC[x].

Remarque 2.4. Tout polynome a coefficients reels, est un cas particulier de po-lynomes a coefficients complexes, et donc possede autant de racines complexes queson degre. Ses racines sont necessairement conjuguees deux a deux. Si z est racined’ordre k de P alors z est aussi racine d’ordre k de P .

Theoreme 2.4. Tout polynome de degre n a coefficients reels, se decompose enfacteurs du premier degre (x−a) ou a est une racine reelle, et en facteurs du seconddegre a discriminant negatif.

Exemples 13. Factoriser dans IR[x] le polynome P (x) = x4 + 1.

Remarque 2.5. Les polynomes irreductibles dans IC[x] sont les polynomes de laforme (x− a) avec a ∈ IC.Les polynomes irreductibles dans IR[x] sont les polynomes de la forme (x− a) aveca ∈ IR ou de la forme ax2 + bx+ c a discriminant negatif ( cad : ∆ = b2− 4ac < 0).

2.2 Fractions rationnelles

On appelle fraction rationnelle, toute fonction du type

x ∈ IK −→ P (x)

Q(x)

ou P et Q sont deux polynomes a coefficients dans IK.On notera dans toute la suite IK(x) l’ensemble de toutes les fractions rationnelles acoefficients dans IK.On supposera dans toute la suite que la fraction P

Qest irreductible, c’est a dire que

P et Q sont premiers entre eux (c’est toujours possible en simplifiant par le pgcd deP et Q).Les racines de P

Qsont les racines de P . Les poles de P

Qsont les racines de Q.

On a le resultat suivant :

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Theoreme 2.5. (decomposition d’une fr en elements simples dans IC)Si P

Qest une fr a coefficients complexes, de poles a1, a2, · · · , ak d’ordres respectifs

α1, α2, · · · , αk, il existe de facon unique, un polyome E(x) appelee partie entiere, etdes constantes A1(a1), · · · , Aα1(a1), · · · , A1(ak), · · · , Aαk(ak) tels que

P (x)Q(x)

= E(x) + A1(a1)(x−a1)

+ A2(a1)(x−a1)2

+ · · ·+ Aα1 (a1)

(x−a1)α1

+ · · ·+ A1(ak)(x−ak)

+ A2(ak)(x−ak)2

+ · · ·+ Aαk (ak)

(x−ak)αk

Remarque 2.6. Pour le pole ai d’ordre αi, l’expression

A1(ai)

(x− ai)+

A2(ai)

(x− ai)2+ · · ·+ Aαi(ai)

(x− ai)αi

est appelee partie principale relative au pole ai, et les monomes dont elle est formeese nomment des fractions de premiere espece.

Exemples 14. Decomposer en e.s la fr 1x3−1

Dans le cas d’une fr dans IR[x], nous avons le resultat suivant.

Theoreme 2.6. (decomposition d’une fr en elements simples dans IR)Si P

Qest une fr a coefficients reels, de poles a1, a2, · · · , ak d’ordres respectifs α1, α2, · · · , αk,

il existe de facon unique, une decomposition

P (x)Q(x)

= E(x) + A1

(x−a)+ A2

(x−a)2+ · · ·+ Aα

(x−a)α

+ · · ·+ p1x+q1

x2+m1x+n1+ · · ·+ psx+qs

(x2+msx+ns)s

+ · · ·

formee par la partie entiere E(x), les fractions de premiere espece relatives a tousles poles reels, et des fractions de seconde espece dont le numerateur est du premierdegre, les denominateurs etant toutes les puissances de trinomes du second degre adiscriminant negatif, entrant dans la factorisation de Q(x) dans IR[x].

Exemples 15. Decomposer en e.s la fr 1x4+x2+1

Remarque 2.7. (sur la pratique de la d.e.s)

• Cas des poles simples : si a est un pole simple de la fr P (x)Q(x)

, l’unique coefficient r

a chercher pour la partie principale r(x−a)

relative a a, est donnee par P (x)Q′(x)

Exemples 16. Decomposer dans IR(x) les fr 1x3−1

et x4

(x−1)(x+2)(x−3)

• Valeurs particulieres : prenons par exemple R(x) = x2−3x−2(x2+x+1)2(x+1)2

. On a

R(x) =a

(x+ 1)+

b

(x+ 1)2+

cx+ d

(x2 + x+ 1)+

ex+ f

(x2 + x+ 1)2

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Si nous multiplions de chaque cote de cette egalite par (x+1)2, puis que nous prenonsx = −1, nous avons alors b = 2.On multiplie de chaque cote par (x2 + x + 1)2 puis, on prend x = j (qui est uneracine de de (x2 + x+ 1)) alors on obtient une equation dans IC :

j3 − 3j − 2

(j + 1)2= ej + f

fournissant e = 3 et f = −1.La valeur particuliere x = 0 donne −2 = f + d+ a+ b soit a+ d = −3.Le fait de multiplier de chaque cote par x, et de comparer les limites obtenues en+∞, donne 0 = a+ c.Une derniere valeur paticuliere comme x = 1 fournit a = −1, c = 1et d = −2.

Division suivant les puissances croissantes : Soit

R(x) =x7 + x6 + x5 − x4 + x3 + x2 + 1

x6(1 + x2)2

On a

1 + x2 + x3 − x4 + x5 + x6 + x7 = (1 + 2x2 + x4)(1− x2 + x3 − x5) + x6(2 + 2x+ x3)

D’ou R(x) = 1x6− 1

x4+ 1

x3− 1

x+ 2+2x+2x3

1+2x2+x4. Reste bien entendu a decomposer la derniere

fraction.Soit F (x) = x4−5x3+10x2−8x−1

(x−1)3(x−2). Posons y = x− 1,

le numerateur devient y4 − y3 + y2 + y − 3. La dspc de ce numerateur par −1 + y al’ordre 2 donne

−3 + y + y2 − y3 + y4 = (−1 + y)(3 + 2y + y2) + y3(−2 + y)

D’ou −3+y+y2−y3+y4

y3(y−1)= 3

y3+ 2

y2+ 1

y+ y−2

y−1.

y−2y−1

= y−1−1y−1

= 1− 1y−1

= 1− 1x−2

. Finalement

R(x) = 1 +3

(x− 1)3+

2

(x− 1)2+

1

(x− 1)− 1

(x− 1).

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Chapitre 3

PROPRIETES VECTORIELLESde IRn

3.1 Definitions et Notations

Notations 3.1. • IRn designe l’ensemble des n-uplets a coordonnees dans IR.IRn = (x1, x2, · · · , xn) / x1, x2, · · · , xn ∈ IR)• l’egalite dans IRn est definie par :

(x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , yn)⇔ x1 = y1, · · · , xn = yn

• l’addition dans IRn :pour X = (x1, x2, · · · , xn) ∈ IRn et Y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ IRn

X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn)

• la multiplication externe () de α ∈ IR et X ∈ IRn :

α X = (αx1, αx2, · · · , αxn)

• On note 0IRn = (0, 0, · · · , 0) le n-uplet a coordonnees nulles.• On note

−X = (−x1,−x2, · · · ,−xn)

etX − Y = X + (−Y ) = (x1 − y1, x2 − y2, · · · , xn − yn)

Proprietes 1. • ∀X, Y, Z ∈ IRn

X + Y = Y +X la commutativiteX + (Y + Z) = (X + Y ) + Z l’associativiteX + 0IRn = 0IRn +X l’element neutreX + (−X) = (−X) +X = 0IRn (−X) symetrique de X

• et en plus : ∀α, β ∈ IR

α (X + Y ) = α X + α Y(α + β) X = α X + β X(αβ) X = α (β X)1 X = X

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F IRn muni des lois (+) et () est dit un espace vectoriel (un e.v) et est note(IRn,+, ).F un element X de IRn est appele un vecteur de IRn = Vn

3.2 Sous-espaces vectoriels (sev) de IRn

Definition 3.1. Une partie F ⊂ IRn est dite un sous-espace vectoriel (sev) de IRn

si :i) 0IRn ∈ Fii) ∀α, β ∈ IR et X, Y ∈ F , αX + βY ∈ F .

Exemples 17. • IRn est un sev de IRn.• F = 0IRn est un sev de IRn.• F = (x, y) ∈ IR2 / y + x = 0 est un sev de IR2.

Proposition 3.1. Si F et G sont des sev alors F ∩G est aussi un sev.

3.3 Famille generatrice d’un sev de IRn

Definition 3.2. Soient X1, X2, · · · , Xk des vecteurs de IRn et α1, · · · , αk des reels.Le vecteur α1X1 + α2X2 + · · ·+ αkXk est dit une combinaison lineaire (cl) des vec-teurs X1, X2, · · · , Xk.

Exemples 18. Dans IR3

X = (1,−1, 2) = 1.(1,−1, 0) + 2.(0, 0, 1)= (−1).(−1, 1,−2)

X est cl de X1 = (1,−1, 0) et X2 = (0, 0, 1)on a aussi X est cl de Y1 = (−1, 1,−2).

Definition 3.3. Soit F un sev de IRn et X1, X2, · · · , Xk une famille de vecteurs deF .La famille X1, X2, · · · , Xk est dite une famille generatrice de F si F est l’ensemblede toutes les combinaisons lineaires des X1, X2, · · · , Xk.(cad : Y ∈ F ⇔ ∃α1, · · · , αk ∈ IR : Y = α1X1 + · · · + αkXk) Ce qu’on noteF = vect(X1;X2; · · · ;Xk)

Exemples 19. 1) Dans IR3 on pose F = (x, 2x, y); / x, y ∈ IRon a F = x.(1, 2, 0) + y.(0, 0, 1) / x, y ∈ IR.On voit bien que F est engendre par la famille X1 = (1, 2, 0) et X2 = (0, 0, 1). Lafamille ((1, 2, 0); (0, 0, 1)) est une famille generatrice de F .

2) On a dans IR3 : X = (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)donc la famille B = ((1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)) est une famille generatrice de IR3.

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Resume :Pour verifier si une famille T = (X1;X2; · · · ;Xk) de F sev de IRn est generatrice onprend Y quelconque de F et on resoud le systeme

α1X1 + · · ·+ αkXk = Y d′inconnues (αi)i

1) si le systeme admet au moins une solution pour chaque Y ∈ F , la famille T estgeneratrice,2) s’il existe Yo ∈ F pour lequel le systeme n’a pas de solution, alors cette famillen’est pas generatrice.

Exemples 20. X1 = (0, 1, 1) ;X2 = (1, 0, 0) dans IR3 ;

Soit Y = (x, y, z) ∈ IR3

pour α1, α2 :

α1X1 + α2X2 = Y ⇔ α1(0, 1, 1) + α2(1, 0, 0) = (x, y, z)⇔ (α2, α1, α1) = (x, y, z)⇔ α2 = x et y = z = α1

ce qui n’est pas toujours verifie pour un triplet quelconque de IR3 (pour Y = (0, 1, 2)pas de solution).La famille (X1;X2) n’est pas generatrice de IR3.

3.4 Famille libre

Definition 3.4. Une famille T = (X1;X2; · · · ;Xk) de IRn est dite une famille libresi le systemeα1X1 + · · ·+ αkXk = 0IRn d’inconnues α1, · · · , αk admet l’unique solution(α1, · · · , αk) = (0, · · · , 0).(cad ; (∀α1, · · · , αk ∈ IR : α1X1 + · · ·+ αkXk = 0IRn ⇒ α1 = · · · = αk = 0)).Une famille qui n’est pas libre est dite liee.

Exemples 21. 1) Dans IR2 : X1 = (1, 2) ;X2 = (0, 1)Soient α1, α2 ∈ IR

α1X1 + α2X2 = 0IR2 ⇔ (α1, 2α1 + α2) = (0, 0)⇔α1 = 02α1 + α2 = 0

⇔ α1 = α2 = 0la famille (X1;X2) est donc libre.

2) Dans IR2 : Z1 = (1, 2) ;Z2 = (−1,−2)Soient α1, α2 ∈ IR

α1X1 + α2X2 = 0IR2 ⇔ (α1 − α2, 2α1 − 2α2) = (0, 0)⇔α1 − α2 = 02α1 − 2α2 = 0

⇔ α1 = α2

la famille (Z1;Z2) n’est donc pas libre.

13

Proposition 3.2. Une famille T = (X1;X2; · · · ;Xk) de IRn est liee si et seulements’il existe Xio qui s’ecrit combinaison lineaire des autres Xi.En particulier : (X1;X2) est liee si et seulement si ∃α ∈ IR : X1 = αX2

ou X2 = αX1.

Preuve 1. (X1;X2; · · · ;Xk) est liee⇔ ∃(α1, · · · , αk) non tous nuls :α1X1 + · · ·+ αkXk = 0IRn.Donc il existe αio 6= 0 avec :αioXio = −α1X1 − · · · − αio−1Xio−1 − αio+1Xio+1 − · · · − αkXk.et donc Xio = −α1

αioX1 + · · · −αio−1

αioXio−1 + −αio+1

αioXio+1 + · · ·+ −αk

αioXk

ce qui donne Xio combinaison lineaire des autres Xi.

3.5 Base d’un sev de IRn

Definition 3.5. Une famille B = (X1, · · · , Xk) de F sev de IRn est dite une basede F si : B est libre et generatrice.

Resume :B = (X1, · · · , Xk) est une base de F si et seulement1) les Xi sont des vecteurs de F ,2) pour chaque Y ∈ F le systeme α1X1 + · · · + αkXk = Y admet une solutionunique .

Exemples 22. • B = ((1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)) est une base de IR3 dite la base

canonique de IR3.• F = (x, 2y) / x, y ∈ IR est un sev de IR2 et B1 = ((1, 0); (0, 2)) est une base de F .

Theoreme 3.1. • Toutes les bases d’un sev F de IRn ont le meme nombre devecteurs. Ce nombre est appele la dimension de F et note dim(F ).• Si F sev de IRn et dim(F ) = n alors F = IRn.• B base de IRn ⇔ card(B) = n et B generatrice⇔ card(B) = n et B libreExemples 23. dim(IR2) = 2, dim(IR3) = 3, · · · dim(IRn) = n.

Avec G = (x, 2x, y) / x, y ∈ IR sev de IR3, on a dim(G) = 2.dim(0IRn) = 0.

3.6 Somme de sous-espaces vectoriels

Definition 3.6. et proposition :Soient F et G deux sev de IRn

• la partie notee H = F +G = X +Y / X ∈ F et Y ∈ G est un sev de IRn appelela somme de F et G.• si en plus F ∩ G = 0IRn on ecrit H = F ⊕ G et on dit que H est la sommedirecte de F et G.

14

Exemples 24. F = (x, x) / x ∈ IR et G = (y,−y) / y ∈ IRon a IR2 = F +G et F ∩G = 0IR2,d’ou IR2 = F ⊕G.

Proprietes 2. dim(F +G) = dim(F ) + dim(G)− dim(F ∩G)

15

16

Chapitre 4

Produit scalaire, produit vectorielet produit mixte

4.1 Produit scalaire dans IRn

Notations :Un vecteur de IRn sera note −→u = (x1, · · · , xn).

Definition 4.1. Le produit scalaire de deux vecteurs −→u = (x1, · · · , xn)et −→v = (y1, · · · , yn) est defini par

−→u · −→v = x1y1 + · · ·+ xnyn

on note aussi −→u · −→v = (−→u | −→v ).

Remarque : −→u ,−→v ∈ IRn, mais −→u · −→v ∈ IR.−→u · −→u est note −→u 2.

Exemples 25. Avec −→u = (1, 0,−1) et −→v = (1, 0, 1) dans IR3 on a : −→u · −→v = 0et −→u · −→u = 2

Proprietes 3. ∀−→u ,−→v ,−→w ∈ IRn,∀α ∈ IR−→u · −→v = −→v · −→u−→u · −→u ≥ 0−→u 2 = 0 ⇔ −→u = (0, · · · , 0) =

−→0

(α−→u ) · −→v = −→u · (α−→v ) = α(−→u · −→v )−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w(−→v +−→w ) · −→u = −→v · −→u +−→w · −→u

Definition 4.2. Pour −→u ∈ IRn, −→u = (x1, · · · , xn) on note ‖−→u ‖ =√

(−→u )2

=√x2

1 + · · ·+ x2n

qu’on appelle la norme euclidienne de −→u .

Exemples 26. ‖(1,−1, 5)‖ =√

27

17

Proprietes 4. ∀−→u ,−→v ∈ IRn, ∀λ ∈ IR

• ‖−→u ‖ = 0⇔ −→u =−→0 = 0IRn

• ‖λ−→u ‖ =| λ | .‖−→u ‖

• ‖−→u +−→v ‖2 = ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2 + 2−→u · −→v .

• | −→u · −→v |≤ ‖−→u ‖.‖−→v ‖,c’est l’inegalite de Schwartz,

(donc∣∣∣ −→u ·−→v‖−→u ‖.‖−→v ‖

∣∣∣ ≤ 1 si −→u ,−→v 6= −→0 )

• ‖−→u +−→v ‖ ≤ ‖−→u ‖+ ‖−→v ‖

Definition 4.3. • Un vecteur −→u ∈ IRn est norme si ‖−→u ‖ = 1.

• Si −→u ,−→v ∈ IRn \ −→0 on a vu que∣∣∣ −→u ·−→v‖−→u ‖.‖−→v ‖

∣∣∣ ≤ 1

donc : ∃!θ ∈ [0, π] : cos(θ) =−→u ·−→v

‖−→u ‖.‖−→v ‖

on note θ = (−→u ,−→v ) l’ecart angulaire entre −→u et −→v .

Exemples 27. 1) Dans IR2, −→u = (1, 1), −→v = (2, 2) ;

cos(−→u ,−→v ) = 4√2√

8= 1, donc θ = 0.

2) Dans IR3, −→u = (−1, 0, 1), −→v = (1, 0, 1) ;cos(−→u ,−→v ) = 0, donc θ = π

2.

3) Si (−→e 1; · · · ;−→e n) est la base canonique de IRn :−→e i · −→e j = 0 ; si i 6= j et −→e i · −→e i = 1

4.2 Orthogonalite

Definition 4.4. On dit que deux vecteurs −→u ,−→v ∈ IRn sont orthogonaux lorsque−→u · −→v = 0

Exemples 28. 1)−→0 est orthogonal a tout −→u ∈ IRn.

2) Deux vecteurs distincts, de la base canonique de IRn sont orthogonaux.

Definition 4.5. Une base B = (−→u 1; · · · ;−→un) de IRn est dite orthonormale si :1) ∀i ‖−→u i‖ = 1,2) −→u i · −→u j = 0 si i 6= j.Les (ui)i sont normes et orthogonaux deux a deux.

Exemples 29. 1) La base canonique de IRn est orthonormale.

2) Dans IR2 : −→u 1 = (√

22,√

22

), −→u 2 = (−√

22,√

22

) ;(−→u 1;−→u 2) est une base orthonormale.

18

4.3 Determinant de deux vecteurs de IR2

Definition 4.6. Soient −→u = (x, y), −→v = (x′, y′) ∈ IR2 ;

on definit det(−→u ,−→v )note=

∣∣∣∣ x x′

y y′

∣∣∣∣ = xy′ − x′y

le determinant de (−→u ;−→v )

Exemples 30. Pour −→u = (1, 1), −→v = (1, 2), on a det(−→u ;−→v ) = 1

Proprietes 5. ∀α, β ∈ IR, ∀−→u ,−→v ,−→w ∈ IR2 on a :• det(−→u ;−→v ) = −det(−→v ;−→u ),

• det(α−→u ;−→v ) = det(−→u ;α−→v ) = αdet(−→u ;−→v ),

• det(−→u ;−→v +−→w ) = det(−→u ;−→v ) + det(−→u ;−→w )det(−→v +−→w ;−→u ) = det(−→v ;−→u ) + det(−→w ;−→u )

Proposition 4.1. ∀−→u ,−→v ∈ IR2, on a :

• |det(−→u ;−→v )| = ‖−→u ‖.‖−→v‖ sin (−→u ,−→v ).

• la famille (−→u ;−→v ) est liee ⇔ det(−→u ;−→v ) = 0.Et donc : la famille (−→u ;−→v ) est libre ⇔ det(−→u ;−→v ) 6= 0.

Preuve 2. • On a deja cos(θ) =−→u ·−→v‖−→u ‖.‖−→v ‖ avec θ ∈ [0, π] donc sin(θ) ≥ 0,

et sin(θ) =√

1− cos2(θ) =√

1− (xx′+yy′)2

(x2+y2)(x′2+y′2)

=

√(xy′)2+(x′y)2−2xx′yy′√

(x2+y2)√

(x′2+y′2)=

√(xy′−x′y)2

‖−→u ‖.‖−→v ‖

=|det(−→u ;−→v )|‖−→u ‖.‖−→v ‖

d’ou |(det(−→u ;−→v )| = ‖−→u ‖.‖−→v ‖ sin (−→u ,−→v ),

• (⇒) si par exemple −→v = α−→u , sin (−→u ,−→v ) = 0et donc det(−→u ;−→v ) = 0 (de meme si −→u = α−→v ).(⇐) Si det(−→u ;−→v ) = 0

on a : ‖−→u ‖ = 0 ou ‖−→v ‖ = 0 ou sin (−→u ,−→v ) = 0et dans tous ces cas −→u et −→v sont lies.

4.4 Produit vectoriel dans IR3

Definition 4.7. Soient −→u = (x, y, z), −→v = (x′, y′, z′) deux vecteurs de IR3. Ondefinit le produit vectoriel de −→u et −→v -note −→u ∧ −→v - par :

−→u ∧ −→v = (yz′ − zy′, zx′ − xz′, xy′ − yx′)

On a donc −→u ∧ −→v ∈ IR3.

19

Exemples 31. 1) Avec −→u = (1, 1, 1), −→v = (2, 2, 2) on a −→u ∧ −→v = (0, 0, 0) =−→0 ,

2) −→e 1 = (1, 0, 0), −→e 2 = (0, 1, 0) et −→e 1 ∧ −→e 2 = (0, 0, 1) = −→e 3

Proprietes 6. ∀α, β ∈ IR, ∀−→u ,−→v ,−→w ∈ IR3

• −→u ∧ −→v = −(−→v ∧ −→u ),

•−→u ∧ (α−→v ) = (α−→u ) ∧ −→v = α(−→u ∧ −→v )−→u ∧ (−→v +−→w ) = −→u ∧ −→v +−→u ∧ −→w(−→v +−→w ) ∧ −→u = −→v ∧ −→u +−→w ∧ −→u

• −→u ∧ −→u = 0.

Proposition 4.2. ∀−→u ,−→v ∈ IR3

• ‖−→u ∧ −→v ‖ = ‖−→u ‖.‖−→v ‖.| sin (−→u ,−→v )|donc l’aire du parallelogramme construit sur −→u et −→v est ‖−→u ∧ −→v ‖,• (−→u ;−→v ) est liee ⇔ −→u ∧ −→v =

−→0 .

Preuve 3. • Calculons a = cos( (−→u ,−→v ))2 +(‖−→u ∧−→v ‖)

2

(‖−→u ‖.‖−→v ‖)2 ,

on trouve a =(−→u ·−→v )

2

(‖−→u ‖.‖−→v ‖)2 +

(‖−→u ∧−→v ‖)2

(‖−→u ‖.‖−→v ‖)2 ,

et donc a = (xx′+yy′+zz′)2+(yz′−zy′)2+(zx′−xz′)2+(xy′−yx′)2

(‖−→u ‖.‖−→v ‖)2 ,

d’ou a = (x2+y2+z2)((x′2+y′2+z′2))

(‖−→u ‖.‖−→v ‖)2 = 1.

puisque sin( (−→u ,−→v ) ≥ 0 on a donc sin( (−→u ,−→v ) =

√(‖−→u ∧−→v ‖)

2

(‖−→u ‖.‖−→v ‖)2 = ‖−→u ∧−→v ‖

‖−→u ‖.‖−→v ‖

et donc ‖−→u ∧ −→v ‖ = ‖−→u ‖.‖−→v ‖.| sin (−→u ,−→v )|.

• (−→u ;−→v ) est liee

⇔ −→u =−→0 , −→v =

−→0 ou (−→u ,−→v ) = 0 (l’ecart est nul)

⇔ ‖−→u ‖.‖−→v ‖.| sin (−→u ,−→v )| = 0⇔ ‖−→u ∧ −→v ‖ = 0

⇔ −→u ∧ −→v =−→0 .

4.5 Determinant et produit mixte dans IR3

Definition 4.8. Le produit mixte, ou determinant de trois vecteurs de IR3 est definipar :

[−→u ,−→v ,−→w ] = −→u · (−→v ∧ −→w ) = det(−→u ,−→v ,−→w )

on a donc [−→u ,−→v ,−→w ] ∈ IR.

Exemples 32. Avec −→e 1 = (1, 0, 0), −→e 2 = (0, 1, 0) et −→e 3 = (0, 0, 1), on a :[−→e 1,

−→e 2,−→e 3] = −→e 1 · (−→e 2 ∧ −→e 3) = −→e 1 · −→e 1 = 1

20

Proprietes 7. • Avec −→u = (x, y, z), −→v = (x′, y′, z′) et −→w = (x′′, y′′, z′′) on a

[−→u ,−→v ,−→w ] = (x, y, z) · (y′z′′ − z′y′′, z′x′′ − x′z′′, x′y′′ − y′x′′)= x(y′z′′ − z′y′′) + y(z′x′′ − x′z′′) + z(x′y′′ − y′x′′)

• ∀−→u ,−→v ,−→w ∈ IR3 et ∀α ∈ IR– det(α−→u ,−→v ,−→w ) = αdet(−→u ,−→v ,−→w )

– det(−→u +−→u′ ,−→v ,−→w ) = det(−→u ,−→v ,−→w ) + det(

−→u′ ,−→v ,−→w )

– det(−→u ,−→v ,−→w ) = −det(−→v ,−→u ,−→w )(le determinant change de signe lorsqu’on echange deux vecteurs).

Proposition 4.3. Soient −→u ,−→v ,−→w ∈ IR3. On a l’equivalence :

(−→u ;−→v ;−→w ) est liee⇐⇒ det(−→u ,−→v ,−→w ) = 0

Autrement dit :

(−→u ;−→v ;−→w ) est une base de IR3 ⇐⇒ det(−→u ,−→v ,−→w ) 6= 0

Definition 4.9. Une base (−→u ;−→v ;−→w ) de IR3 est dite une base directe (resp. indi-recte) si det (−→u ,−→v ,−→w ) > 0 (resp. det (−→u ,−→v ,−→w ) < 0).

21

22

Chapitre 5

Les espaces affines IR2 et IR3

5.1 Les espaces affines IR2 et IR3

Definition 5.1. On considere les elements de IR2 (resp. IR3) comme etant despoints qu’on note M = (x, y) ∈ IR2 (resp. M = (x, y, z) ∈ IR3) et on dit que IR2 estun plan affine note A2 (resp. IR3 est un espace affine note A3).

Soient M = (x, y) ∈ A2, M ′ = (x′, y′) ∈ A2. On note−−−→MM ′ le vecteur de V2 defini

par :−−−→MM ′ = (x′ − x, y′ − y) = M ′ −M .

On a ainsi M ′ = M +−−−→MM ′ (et de meme si M,M ′ ∈ A3).

Proposition 5.1. Pour A,B,C ∈ An (n = 2 ou 3), on a :

1)−→AB =

−→0 ⇐⇒ A = B,

2)−→BA = −

−→AB,

3)−→AB +

−−→BC =

−→AC, la relation de Chasles.

Preuve 4. 1)−→AB =

−→0 ⇔ (x′ − x, y′ − y) = (0, 0)⇔ (x, y) = (x′, y′)⇔ A = B,

2)−→BA = (x− x′, y − y′) = −(x′ − x, y′ − y) = −

−→AB,

3)−→AB +

−−→BC = (x′ − x, y′ − y) + (x′′ − x′, y′′ − y′) = (x′′ − x, y′′ − y) =

−→AC.

Notation 5.1. Soient A ∈ An et −→u ∈ Vn. On note A + −→u def=−→OA + −→u avec

O = 0IRn =−→0 .

Proposition 5.2. Soient A,B ∈ An et −→u ,−→v ∈ Vn :1) (A+−→u ) +−→v = A+ (−→u +−→v ) ;

2)−→AB = −→u ⇔ B = A+−→u ;

3) A+−→u = A+−→v ⇔ −→u = −→v .

Preuve 5. 1) (A+−→u ) +−→v = (−→OA+−→u ) +−→v

=−→OA+ (−→u +−→v ) = A+ (−→u +−→v ) ;

23

d’apres l’associativite de la somme des vecteurs.

2)−→AB =

−→AO +

−−→OB = −→u

⇔−−→OB = −

−→AO +−→u =

−→OA+−→u

⇔ B = A+−→u ;

3) A+−→u = A+−→v ⇔−→OA+−→u =

−→OA+−→v ⇔ −→u = −→v .

en simplifiant par le vecteur−→OA.

5.2 Droites affines dans A2

Definition 5.2. 1) Soient A ∈ A2 et −→u ∈ V2 \ −→0 . On appelle droite affine

passant par A et dirige par −→u , l’ensemble : D = M ∈ A2 /−−→AM ∈ vect(−→u ).

Une partie D de A2 est dite une droite affine (ou : une droite) si et seuelemnt s’il

existe A ∈ A2 et −→u ∈ V2 \ −→0 telle que D soit la droite affine passant par A et

dirige par −→u .

Exemples 33. Avec A = (−1, 1), −→u = (1, 2)D = M = (x, y) / (x+ 1, y − 1) ∈ vect(−→u )= M = (x, y) / ∃α ∈ IR : (x+ 1, y − 1) = α−→u

Remarque 5.1. Soient A = (xo, yo) ∈ A2, −→u = (u1, u2) ∈ V2 \ −→0

et D = M ∈ A2 /−−→AM ∈ vect(−→u ).

Par des equivalences on a :

M = (x, y) ∈ D ⇔ ∃α ∈ IR :−−→AM = α−→u

⇔ ∃α ∈ IR : (x− xo, y − yo) = α(u1, u2)

⇔ ∃α ∈ IR :

x = xo + αu1

y = yo + αu2

Cette derniere ecriture est la representation parametrique de la droite D.Et l’on a aussi :M = (x, y) ∈ D ⇔

−−→AM ∈ vect(−→u )

⇔−−→AM et −→u sont lies

⇔ det(−−→AM,−→u ) =

∣∣∣∣ x− xo u1

y − yo u2

∣∣∣∣ = 0

⇔ u2(x− xo)− u1(y − yo) = 0Cette derniere ecriture qui se met sous la forme : M = (x, y) ∈ D ⇔ ax+by+c = 0(avec (u1, u2) = (−b, a)) est l’equation cartesienne de D.Inversement : si (a, b) ∈ IR2 \ (0, 0) et c ∈ IR,l’ensemble ∆ = (x, y) / ax+ by + c = 0 est une droite affinepassant par A = (xo, yo) un point verifiant axo+byo+c = 0 et dirige par −→u = (−b, a).

Exemples 34. D : x − 2y + 1 = 0 est la droite passant par A = (−1, 0) et dirigepar −→u = (2, 1).

24

5.3 Plans affines dans A3

L’etude des plans affines dans A3 est semblable a celle des droites affines de A2.

Definition 5.3. 1) Soient A ∈ A3, (−→u ;−→v ) une famille libre de IR3. On appelle

plan affine passant par A et dirige par le plan vectoriel−→P = vect(−→u ,−→v ) l’en-

semble des points M ∈ A3 /−−→AM ∈ vect(−→u ,−→v ).

2) Une partie P de A3 est dite plan affine (ou plan) si et seulement s’il existe un

point A ∈ A3 et un plan vectoriel−→P de IR3 tels que P = A+

−→P .

Exemples 35. Avec A = (1, 1, 1), −→u = (1, 0, 0) et −→v = (0, 2, 0),on a le plan P = (x, y, z) / (x− 1, y − 1, z − 1) ∈ vect(−→u ,−→v ).

Remarque 5.2. Posons A = (xo, yo, zo), −→u = (u1, u2, u3) et −→v = (v1, v2, v3).

Notons P = M ∈ A3 /−−→AM ∈ vect(−→u ,−→v ). On a

M ∈ P ⇔−−→AM ∈ vect(−→u ,−→v )

⇔ ∃α, β ∈ IR /−−→AM = α−→u + β−→v

⇔ ∃α, β ∈ IR / M = A+ α−→u + β−→v

⇔ ∃α, β :

x = xo + αu1 + βv1

y = yo + αu2 + βv2

z = zo + αu3 + βv3

c’est la representation parametrique du plan P .On a aussi

M = (x, y, z) ∈ P ⇔−−→AM est lie a (−→u ;−→v )

⇔ (−−→AM ;−→u ;−→v ) est liee

⇔ det(−−→AM ;−→u ;−→v ) = 0

⇔

∣∣∣∣∣∣x− xo u1 v1

y − yo u2 v2

z − zo u3 v3

∣∣∣∣∣∣ = 0

⇔ ax+ by + cz + d = 0

avec (a = u2v3 − u3v2, b = u3v1 − u1v3, c = u1v2 − u2v1) cad (a, b, c) = −→u ∧ −→vet d une constante.L’equation M = (x, y, z) ∈ P ⇔ ax+ by + cz + d = 0 est l’equation cartesiennedu plan P .Et inversement toute equation de cette forme est l’equation d’un plan

Exemples 36. Soit P le plan d’equation x+ y + z − 1 = 0.Les points A = (1, 0, 0);B = (0, 1, 0) et C = (0, 0, 1) appartiennent a P ,

les vecteurs −→u =−→AB = (−1, 1, 0) et −→v =

−→AC = (−1, 0, 1) forment une famille libre

qui dirige P .

25

5.4 Droites affines dans A3

Definition 5.4. 1) Soient A ∈ A3, −→u ∈ IR3\−→0 . On appelle droite affine passant

par A et dirige par −→u l’ensemble des points D = M ∈ A3 /−−→AM ∈ vect(−→u ).

2) Une partie D de A3 est dite droite affine (ou droite) si et seulement s’il existe

un point A ∈ A3 et −→u ∈ IR3 \ −→0 tels que D soit la droite affine passant par A etdirige par −→u .

Exemples 37. A = (0, 0, 0), −→u = (1, 1, 1),

D = M = (x, y, z) /−−→AM ∈ IR−→u

Remarque 5.3. Posons A = (xo, yo, zo), −→u = (u1, u2, u3).

Notons D = M ∈ A3 /−−→AM ∈ vect(−→u ). On a

M ∈ D ⇔−−→AM ∈ vect(−→u )

⇔ ∃α ∈ IR /−−→AM = α−→u

⇔ ∃α ∈ IR / M = A+ α−→u

⇔ ∃α :

x = xo + αu1

y = yo + αu2

z = zo + αu3

c’est la representation parametrique de la droite D.On a aussi en eliminant α dans la representation parametrique, la representationde D sous forme d’un systeme d’equations catesiennes (on ecrira SEC) :

D =

M = (x, y, z) /

ax+ by + cz + d = 0a′x+ b′y + c′z + d′ = 0

cad D = P1 ∩ P2 avec P1 (resp.P2) le plan d’equation ax+ by + cz + d = 0 (resp. leplan d’equation a′x+ b′y + c′z + d′ = 0).

Exemples 38. Avec A = (2,−1, 3) et −→u = (1, 1, 0),

M = (x, y, z) ∈ D ⇔ ∃α ∈ IR

x = 2 + αy = −1 + αz = 3

⇔x− y − 3 = 0z − 3 = 0

26

Chapitre 6

Geometrie affine euclidienne plane

6.1 Distance dans A2

Definition 6.1. On appelle repere orthonorme (direct) de A2 tout triplet

R = (O;−→i ,−→j ), ou O ∈ A2 et (

−→i ;−→j ) une base orthonorme directe.

Exemples 39. O = (1, 1),−→i = (

√2

2,√

22

) et−→j = (−

√2

2,√

22

)

(det(−→i ,−→j ) =

∣∣∣∣∣√

22−√

22√

22

√2

2

∣∣∣∣∣ = 1 > 0)

Definition 6.2. Pour M,M ′ ∈ A2, on appelle distance de M et M ′ et note

d(M,M ′) ou MM ′ le reel MM ′ = ‖−−−→MM ′‖

Exemples 40. M = (1, 0), M ′ = (0, 1),

MM ′ = ‖−−−→MM ′‖ = ‖(−1, 1)‖ =

√(−1)2 + 12 =

√2

Proposition 6.1. ∀α ∈ IR, ∀A,B,C ∈ A2,1) d(A,B) = d(B,A),2) d(A,B) = 0⇔ A = B,3) d(A,C) ≤ d(A,B) + d(B,C) (l’inegalite triangulaire),4) d(αA, αB) = |α|d(A,B).

Preuve 6. 1) d(A,B) = ‖−→AB‖ = ‖

−→BA‖ = d(B,A),

2) d(A,B) = 0⇔ ‖−→AB‖ = 0⇔

−→AB = 0⇔ A = B,

3) d(A,C) = ‖−→AC‖ = ‖

−→AB +

−−→BC‖

≤ ‖−→AB‖+ ‖

−−→BC‖ = d(A,B) + d(B,C)

4) d(αA, αB) = ‖α−→AB‖

= |α|.‖−→AB‖ = |α|d(A,B).

6.2 Coordonnees cartesiennes

Definition 6.3. Soient R = (Ω;−→i ,−→j ) un repere orthonorme, Ω = (ao, bo) et

M ∈ A2. On appelle coordonnees cartesiennes du point M dans R, les reels α, β ∈ IR

27

tels que M = Ω + α−→i + β

−→j .

Exemples 41. • Ω = (0, 0),−→i = −→e 1,

−→j = −→e 2 la base canonique de IR2.

M = (0, 0) + α−→e 1 + β−→e 2 = (0, 0) + (α, 0) + (0, β) = (x, y),on trouve α = x et β = y ;

• Ω′ = (1, 1),−→i = (

√2

2,√

22

),−→j = (−

√2

2,√

22

).

M = (1, 1) + α(√

22,√

22

) + β(−√

22,√

22

) = (x, y),

⇔

x− 1 =

√2

2(α− β)

y − 1 =√

22

(α + β)

⇔

α =

√2

2(x+ y − 2)

β =√

22

(−x+ y)

on note (x, y)R les coordonnees de M dans le repere R.dans cette exemple :

(x, y)R = (x, y) et (x, y)R′ =(√

22

(x+ y − 2),√

22

(−x+ y))

.

6.3 Coordonnees polaires :

Soit R = (O;−→i ,−→j ) un repere orthonorme de A2.

SoitM ∈ A2\O, (x, y) les coordonnees deM dans le repereR. On a

x = ρ cos(θ)y = ρ sin(θ)

[ρ, θ] sont dits les coordonnees polaires de M dans le repere R.

On a donc

ρ =

√x2 + y2

cos(θ) = x√x2+y2

sin(θ) = y√x2+y2

Proposition 6.2. L’equation d’une droite affine de A2 en coordonnees polaires estdonnee par :

ρ cos(θ − θo) = k ou k est une constante

Preuve 7. On sait que l’equation d’une droite est de la forme ax+ by+ c = 0 avec(a, b) 6= (0, 0). On remplace pour trouver aρ cos(θ) + bρ sin(θ) + c = 0.

Ce qui donne ρ√a2 + b2

(a√

a2+b2cos(θ) + b√

a2+b2sin(θ)

)= −c.

donc ρ (cos(θo) cos(θ) + sin(θo) sin(θ)) = − c√a2+b2

.

cad ρ cos(θ − θo) = − c√a2+b2

= k.

Ceci en posant cos(θo) = a√a2+b2

(et donc sin(θo) = b√a2+b2

).

1) Si k = 0 = − c√a2+b2

alors c = 0 et D passe par (0, 0) (son equation est ax+by = 0

ou θ = φo = constante [π]).

2) Si k 6= 0, on peut ecrire l’equation polaire sous la forme ρ = kcos(θ−θo) .

Exemples 42. L’equation cartesienne de D : x− y − 1 = 0 se transforme en

ρ (cos(θ)− sin(θ)) = 1 = ρ√

2(cos(θ + π

4)).

28

D’ou ρ =√

2

2(cos(θ+π4

)).

6.4 L’equation d’un cercle dans A2

Soit R = (O;−→i ,−→j ) un repere orthonorme de A2.

Soit Ω = (a, b) ∈ A2, R ∈ IR+.

Definition 6.4. On appelle cercle de centre Ω et de rayon R et on noteC(Ω;R) l’ensemble des points

C(Ω;R) = M ∈ A2 / ‖−−→ΩM‖ = R

Proposition 6.3.

C(Ω;R) = (x, y) ∈ A2 / (x− a)2 + (y − b)2 = R2

Preuve 8. On a ‖−−→ΩM‖ = R⇔ ‖

−−→ΩM‖2 = R2 ⇔ (x− a)2 + (y − b)2 = R2.

Exemples 43. L’equation du cercle de centre Ω = (0, 1) et de rayon R = 2 estx2 + (y − 1)2 = 22 = 4⇔ x2 + y2 − 2y − 3 = 0.

Inversement :Soient α, β, γ ∈ IR une equation de la formex2 + y2 + 2αx+ 2βy + γ = 0 s’ecrit (x+ α)2 + (y + β)2 = α2 + β2 − γ.1) Si α2 + β2 − γ ≥ 0, on a alors l’equation du cercle de centre Ω = (−α,−β) et derayon R =

√α2 + β2 − γ.

2) Si α2 + β2 − γ < 0, on a l’ensemble vide.

On peut ecrire aussi :

M = (x, y) ∈ C(Ω;R) ⇔ ‖−−→ΩM‖ = R

⇔x− a = R cos(t)y − b = R sin(t), t ∈ IR (ou t ∈ [0, 2π[ suffit)

On obtient une represetation parametrique du cercle de centre Ω = (a, b) et derayon R.

29

30

Chapitre 7

La projection orthogonale

7.1 Projection orthogonale dans le plan

Dans ce qui suit on fixe un repere orthonorme R = (O;−→i ,−→j ) de A2.

Lorsqu’on ecrit A(α, β) ca signifie que (α, β) sont les coordonnees de A dans R.Et lorsqu’on ecrit −→u (α, β) ca signifie que (α, β) sont les coordonnees du vecteur −→udans la base (

−→i ,−→j ).

Vecteur orthogonal a une droite dans A2

Proposition 7.1. Pour tout a, b, c ∈ IR tels que (a, b) 6= (0, 0), un vecteur ortho-gonal a la droite D d’equation ax+ by + c = 0 est −→u de coordonnees (a, b) dans la

base (−→i ,−→j ).

Preuve 9. On sait que D est dirige par −→v = (−b, a).Comme −→v · −→u = (−b, a) · (a, b) = 0. Donc −→u et −→v sont orthogonaux.

Exercice 7.1. Donner l’equation cartesienne de la droite ∆ passant par A(1, 1) etperpendiculaire a D : x+ y − 1 = 0.

Projection d’un point sur une droite

Definition 7.1. Soient Mo(xo, yo) ∈ A2 et la droite D : ax+by+c = 0. On appelleprojection orthogonale de Mo sur D le point H(X, Y ) tel que :H ∈ D−−−→MoH est orthogonal a D

Proposition 7.2. Les coordonnees de H sont donnees parX = b2xo−abyo−ac

a2+b2= xo − aaxo+byo+ca2+b2

Y = −abxo+a2yo−bca2+b2

= yo − baxo+byo+ca2+b2

31

Preuve 10. Il suffit de resoudre le systemeaX + bY + c = 0∣∣∣∣ X − xo aY − yo b

∣∣∣∣ = 0

Remarque 7.1. H est l’intersection de D et de la droite passant par Mo et dirigepar −→u orthogonal a D.

Exercice 7.2. Donner la projection orthogonal du point A(−1, 3) sur la droiteD : x− y + 2 = 0.

Distance d’un point a une droite

Definition 7.2. On appelle distance de Mo a D et on note d(Mo, D) la distanceentre Mo et sa projection orthogonale Ho sur D : d(Mo, D) = MoH.

Proposition 7.3. d(Mo, D) = MoH = |axo+byo+c|√a2+b2

avec D : ax+ by + c = 0.

Preuve 11. d(Mo, D)2 = MoH2 = (X − xo)2 + (Y − yo)2

=(−a(axo+byo+c)

a2+b2

)2

+(−b(axo+byo+c)

a2+b2

)2

= (axo+byo+c)2

a2+b2.

Exercice 7.3. Donner la distance du point A(3, 2) a la droite D : 2x− 3y + 4 = 0.

7.2 Projection orthogonale dans l’espace

Dans ce qui suit on fixe un repere orthonorme R = (O;−→i ,−→j ,−→k ) de A3.

Lorsqu’on ecrit A(α, β, γ, ) ca signifie que (α, β, γ, ) sont les coordonnees de A dansR.Et lorsqu’on ecrit −→u (α, β, γ, ) ca signifie que (α, β, γ, ) sont les coordonnees du vec-

teur −→u dans la base (−→i ,−→j ,−→k ).

Vecteur orthogonal a un plan dans A3

Proposition 7.4. Pour tout a, b, c, d ∈ IR tels que (a, b, c) 6= (0, 0, 0), un vecteurorthogonal au plan P d’equation ax+ by+ cz+ d = 0 est −→u de coordonnees (a, b, c)

dans la base (−→i ,−→j ,−→k ).

Preuve 12. Soit Mo(xo, yo, zo) ∈ P , donc axo + byo + czo + d = 0.Et l’on a M ∈ P ⇔ (ax+ by + cz + d)− (axo + byo + czo + d) = 0,⇔ a(x− xo) + b(y − yo) + c(z − zo) = 0 (∗),

32

c’est donc une autre equation de P , qu’on peut ecrire−−−→MoM · −→u = 0.Ce qui montre que −→u est orthogonal a P .

Exercice 7.4. Donner un SEC de la droite perpendiculaire au planP : −x+ 2y − z + 3 = 0 et passant par le point A(0, 2, 1).

Vecteur directeur d’une droite

Proposition 7.5. Soient D une droite de SEC

ax+ by + cz + d = 0a′x+ b′y + c′z + d′ = 0

,

−→u (a, b, c) et−→u′ (a′, b′, c′). Alors −→u ∧

−→u′ dirige D.

Preuve 13. D est donc l’intersection du plan P : ax+ by + cz + d = 0et du plan P ′ : a′x+ b′y + c′z + d′ = 0.

Donc −→u (a, b, c) et−→u′ (a′, b′, c′) sont orthogonaux a D (voir precedemment).

Notons −→w = −→u ∧−→u′ . D’apres les proprietes du produit mixte −→u ·−→w = [−→u ,−→u ,

−→u′ ] = 0

et de meme−→u′ · −→w = 0.

Donc −→w est orthogonal a −→u et a−→u′ .

On en deduit que −→w dirige D.(car D et −→w sont orthogonaux au meme plan).

Exercice 7.5. Donner l’equation cartesienne du plan P perpendiculaire a la droite

D :

x− y + z − 2 = 02x+ y − 2 = 0

et contenant le point A(3, 0, 0).

Projection d’un point sur un plan

Definition 7.3. Soient Mo(xo, yo, zo) ∈ A3 et le plan d’equationP : ax + by + cz + d = 0. On appelle projection orthogonale de Mo sur P le pointH(X, Y, Z) tel que :H ∈ P−−−→MoH est orthogonal a P

Proposition 7.6. Les coordonnees de H sont donnees parX = xo − axo+byo+czo+d

a2+b2+c2a

Y = yo − axo+byo+czo+da2+b2+c2

b

Z = zo − axo+byo+czo+da2+b2+c2

c

Preuve 14. On sait que le vecteur −→u de coordonnees (a, b, c) est orthogonal a P .

Les coordonnees de−−−→HMo sont

(xo −X, yo − Y, zo − Z) = (axo+byo+czo+da2+b2+c2

a, axo+byo+czo+da2+b2+c2

b, axo+byo+czo+da2+b2+c2

c)

= axo+byo+czo+da2+b2+c2

(a, b, c) = α−→u .

Donc−−−→HMo est aussi orthogonal a P .

33

En plus aX + bY + cZ + d = a(xo − axo+byo+czo+d

a2+b2+c2a)

+ b(yo − axo+byo+czo+d

a2+b2+c2b)

+(zo − axo+byo+czo+d

a2+b2+c2c)

= 0Donc H est dans le plan P et par suite c’est la projection orthogonale de Mo sur P .

Exercice 7.6. Donner la projection orthogonale du point A(2, 1, 0) sur le plan P :y − z = 0

Remarque 7.2. H est l’intersection de P et de la droite passant par Mo et dirigepar −→u orthogonal a P .

Distance d’un point a un plan

Definition 7.4. On appelle distance de Mo a P et on note d(Mo, P ) = MoH,ou H est la projection orthogonale de Mo sur P .

Proposition 7.7. d(Mo, P ) = MoH = |axo+byo+czo+d|√a2+b2+c2

.

Preuve 15. d(Mo, P )2 = MoH2 = (X − xo)2 + (Y − yo)2 + (Z − zo)

=(axo+byo+czo+d

a2+b2+c2a)2

+(axo+byo+czo+d

a2+b2+c2b)2

+(axo+byo+czo+d

a2+b2+c2c)2

= (axo+byo+czo+d)2

(a2+b2+c2)2(a2 + b2 + c2) = (axo+byo+czo+d)2

a2+b2+c2.

Donc d(Mo, P ) = MoH = |axo+byo+czo+d|√a2+b2+c2

.

Exercice 7.7. Donner la distance du point A au plan P de l’exercice precedent.

Distance d’un point a une droite :

Soient D une droite, A ∈ D, −→u un vecteur directeur de D, Mo ∈ A3.Notons H la projection orthogonale de Mo sur D.On a :

−→u ∧−−→AMo = −→u ∧ (

−−→AH +

−−−→HMo)

= −→u ∧−−−→HMo

donc, comme−−−→HMo ⊥ −→u :

‖−→u ∧−−→AMo‖ = ‖−→u ‖‖

−−−→HMo‖

d’ou

d(Mo, D) = ‖−−−→HMo‖ =

‖−→u ∧−−→AMo‖

‖−→u ‖

Exercice 7.8. Soit D de SEC D :

x− y + z − 2 = 02x+ y − 2 = 0

Donner la distance de D au point Mo(0, 0, 0)

34

Distance de deux droites

Proposition 7.8. Soient D, D′ deux droites non paralleles, A ∈ D, A′ ∈ D′, −→uun vecteur directeur de D et

−→u′ un vecteur directeur de D′. On a :

d(D,D′) =|[−−→AA′,−→u ,

−→u′ ]|

‖−→u ∧−→u′‖

Remarque 7.3. d(D,D′) est en fait la distance entre les points d’intersection deD et L d’une part et de D′ et L d’autre part (L est la perpendiculaire commune aD et a D′).

Exercice 7.9. Calculer la distance d(D,D′), avec D dirige par −→u (1, 1, 0) et passant

par A(0, 0, 2), D′ dirige par−→u′ (0, 1, 0) et passant par A′(1, 0, 0).

35

36

Chapitre 8

L’application des nombrescomplexes a la geometrie

8.1 Correspondance entre A2 et IC

Soit IC = z = x + yi / (x, y) ∈ IR2 l’ensemble des nombres complexes. Pour

R = (O;−→i ,−→j ) un repere orthonorme fixe de A2.

Definition 8.1. • Pour tout z = a+ bi ∈ IC (a, b ∈ IR).Le point de coordonnees (a, b) dans le repere R, s’appelle l’image de z et on le noteM(z).

le vecteur −→u = a−→i + b

−→j , s’appelle l’image vectorielle de z et on le note −→u (z).

• Soit (a, b) ∈ IR2 les coordonnees de M ∈ A2 dans le repere R et les coordonnees

du vecteur −→u dans la base (−→i ;−→j ). Le nombre complexe z = a+ bi s’appelle l’affixe

de M et le note z = aff(M) et l’affixe de −→u et on le note z = aff(−→u ).

Donc z = aff(M) = aff(−→u ) = aff(−−→OM).

Proposition 8.1. L’application

A2 −→ ICM → aff(M)

est une bijection.

c.a.d : ∀M,M ′ ∈ A2 : aff(M) = aff(M ′)⇔M = M ′.

Preuve 16. aff(M) = aff(M ′)⇔ z = a+ bi = z′ = a′ + b′i⇔ (a, b) = a(′, b′)⇔M = M ′

Proposition 8.2. L’application

V2 −→ IC−→u → aff(−→u )

est une bijection.

c.a.d : ∀−→u ,−→u ′ ∈ V2 : aff(−→u ) = aff(−→u ′)⇔ −→u = −→u ′.

Preuve 17. aff(−→u ) = aff(−→u ′)⇔ z = a+ bi = z′ = a′ + b′i

⇔ (a, b) = (a′, b′)⇔ a−→i + b

−→j = a′

−→i + b′

−→j ⇔ −→u = −→u ′.

37

Remarques 8.1. 1) Soit M ∈ A2, (x, y) les coordonnees de M dans le repere R.

Donc−−→OM = x

−→i + y

−→j et alors :

aff(−−→OM) = x+ yi = aff(M).

2) Et si z = x+ yi ∈ IC et M(z) = M ,−−→OM = x

−→i + y

−→j = −→u (z).

8.2 Utilisation des affixes

Proprietes 8. 1) ∀−→u ,−→v ∈ V2, ∀α ∈ IR :• aff(−→u +−→v ) = aff(−→u ) + aff(−→v ),• aff(α−→u ) = α aff(−→u ).

2) Soit A,B ∈ A2, zA = aff(A) et zB = aff(B).

Alors aff(−→AB) = zB − zA.

3) Soit z1, z2 ∈ IC d’images M1 = M(z1), M2 = M(z2) et λ ∈ IR.

• Si S = M(z1 + z2) alors−→OS =

−−−→OM1 +

−−−→OM2.

• Si M(λz1) = P alors−→OP = λ

−−−→OM1.

Proposition 8.3. Soit −→u ,−→u ′ ∈ V2 \−→

0

d’affixes respectives z, z′

de formes trigonometriques z = r(cos(θ) + i sin(θ)) , z′ = r′(cos(θ′) + i sin(θ′)),

alors on a :

(−→i ,−→u ) = θ = arg(z) [2π] et (−→u ,−→u ′) = θ′−θ = arg(z′)−arg(z) [2π]

Preuve 18. • On a

(−→i ,−→u ) =

(−→i ,−−→OM) avec M le point d’affixe z et −→u =

−−→OM .

Donc

(−→i ,−→u ) = arg(z) [2π].

d’apres la definition de l’argument.

• On a (−→u ,−→u ′) =

(−→u ,−→i ) +

(−→i ,−→u ′) = −

(−→i ,−→u ) +

(−→i ,−→u ′)

=

(−→i ,−→u ′)−

(−→i ,−→u ) = arg(z′)− arg(z) [2π].

Exercice 8.1. Soit −→u =√

3−→i +−→j et −→v = 2

−→i + 2

√3−→j .

Donner leurs affixes respectives, puis les ecrire sous la forme trigonometrique et ex-

ponentielle. En deduire (−→u ,−→v ).

Proposition 8.4. Soit A,B,C,D ∈ A2, d’affixes respectives zA, zB, zC , zD et telsque A 6= B et C 6= D.

• Le vecteur−→AB a pour affixe zB − zA, et on a : AB = |zB − zA|

et

(−→i ,−→AB) = arg(zB − zA) [2π].

• CDAB

=∣∣∣ zD−zCzB−zA

∣∣∣ et

(−→AB,−−→CD) = arg(zD − zC)− arg(zB − zA) = arg

(zD−zCzB−zA

)[2π].

38

Preuve 19. • On a vu precedemment que

(−→i ,−→u ) = θ = arg(z) [2π],

z etant l’affixe de −→u .

Comme aff(−→AB) = zB − zA on a

(−→i ,−→AB) = arg(zB − zA) [2π].

• On a vu precedemment que (−→u ,−→u ′) = arg(z′)− arg(z) [2π].

On en deduit que

(−→AB,−−→CD) = arg(zD − zC)− arg(zB − zA) = arg

(zD−zCzB−zA

)[2π].

ceci car aff(−−→CD) = zD − zC et aff(

−→AB) = zB − zA.

Exercice 8.2. Soient A,B,C et D de coordonnees respectives (√

22,√

22

), (−√

22,−√

22

), (1, 0)et (−1, 0). Donner l’ecart angulaire entre les droites (AB) et (CD). Calculer la dis-tance entre A et B.

Proposition 8.5. Soit A,B,C,D ∈ A2, d’affixes respectives zA, zB, zC , zD et telsque A 6= B et C 6= D.les proprietes ci-dessous sont equivalentes :

•−→AB ⊥

−−→CD (

−→AB et

−−→CD sont orthogonaux).

•−→AB ·

−−→CD = 0

•(−→AB,−−→CD

)= π

2[π].

• arg(zD−zCzB−zA

)= π

2[π].

• zD−zCzB−zA

est imaginaire pur.

Preuve 20. Les quatre premieres proprietes sont equivalentes en utilisant les definitionset ce qui precede.Les nombres complexes imaginaires purs (non nuls) sont les nombres complexesayant pour argument π

2ou 3π

2[2π], c.a.d π

2[π].

Exercice 8.3. Soit A,B d’affixes zA = 1− i, zB = 1 + i. Trouver les points C telsque le triangle de sommets A,B et C soit droit en C.

Proposition 8.6. Soit A,B,C ∈ A2 tels que A 6= B, d’affixes respectives zA, zB, zC.les proprietes ci-dessous sont equivalentes :• A,B et C sont alignes (sur une meme droite).

•−→AB et

−→AC sont colineaires (lies)

• ∃k ∈ IR :−→AC = k

−→AB.

• zC−zAzB−zA

∈ IR .

• arg(zC−zAzB−zA

)= 0 [π].

Preuve 21. • L’equivalence des trois premieres proprietes est immediate.

• Le vecteur−→AC ayant pour affixe zC−zA et le vecteur

−→AB ayant pour affixe zB−zA,

on obtient :∃k ∈ IR :

−→AC = k

−→AB ⇔ ∃k ∈ IR : zC − zA = k(zB − zA)⇔ zC−zA

zB−zA∈ IR.

39

• Les nombres reels (non nuls) sont les nombres complexes ayant pour argument 0ou π (modulo 2π), c’est a dire 0 (modulo π).

Exercice 8.4. Soit A,B ∈ A2 de coordonnees respectives (1, 2) et (2, 3) et C d’af-fixe z = 3 +mi. Pour quelles valeurs de m ∈ IR les points A,B et C sont alignes ?

8.3 Caracterisation d’ensembles de points

Proposition 8.7. Soit C le cercle de rayon r et de centre Ω d’affixe zΩ = xΩ + iyΩ

ou xΩ, yΩ ∈ IR. On a les equivalences :

M ∈ C ⇔ |z − zΩ| = r⇔ z = zΩ + reiθ ( ou θ ∈ IR)

⇔x = xΩ + r cos(θ)y = yΩ + r sin(θ)

( ou θ ∈ IR)

Preuve 22. Par definition M ∈ C ⇔ ΩM = r ⇔ |z − zΩ| = r.On sait qu’un nombre complexe de module r (r 6= 0) s’ecrit sous la forme exponen-tielle reiθ ( ou θ ∈ IR).On peut donc ecrire :|z − zΩ| = r ⇔ z − zΩ = reiθ ( ou θ ∈ IR)⇔ z = zΩ + reiθ ( ou θ ∈ IR)

⇔x = xΩ + r cos(θ)y = yΩ + r sin(θ)

( ou θ ∈ IR)

Exercice 8.5. Soit Ω de coordonnees (2, 3) et M le point d’affixe z = 1 − i. Pourquelle valeur de r, M ∈ C(Ω, r) (le cercle de centre Ω et de rayon r).

Proposition 8.8. Soit A,B ∈ A2 les points d’affixes zA et zB.L’ensemble ∆ des points M d’affixes z tels que |z − zA| = |z − zB| est la medianedu segment [A,B].

Preuve 23. On a M appartient a la mediane du segment [AB] si et seulement siAM = BM ce qui equivaut a |z − zA| = |z − zB|.

Exercice 8.6. Soit (1, 2) les coordonnees de A et (−1, 2) les coordonnees de B don-ner l’equation cartesienne de la mediane du segment [AB].

40